Modelos Matemáticos 2 5t1d3i

MODELADO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA DE CONTROL El modelo matemático de un sistema dinámico es el primer paso en el proceso de análisis y se define como un juego de ecuaciones que representa la dinámica del sistema con exactitud. Un modelo matemático útil no debe ser muy complicado, como tampoco muy simple y debe representar los aspectos esenciales de un componente físico. Dependiendo del sistema y de las circunstancias particulares, un modelo matemático puede ser más adecuado que otros modelos.

Para definir el modelo matemático de la dinámica de un sistema ya sea mecánico, eléctrico, etc, éste puede ser descrito en términos de Ecuaciones Diferenciales. Estas ecuaciones diferenciales pueden ser obtenidas utilizando las leyes físicas que rigen un sistema en particular. Una vez obtenido el modelo matemático del sistema se recurre al uso de diversas herramientas analíticas y de computación para investigar bajo condiciones específicas, el comportamiento del sistema y encontrar mediante un procedimiento directo, un sistema de control que se comporte de un modo específico. Es posible aumentar la exactitud de un modelo matemático incrementando su complejidad, en algunos casos se incluye gran número de ecuaciones diferenciales para describir un sistema completo.

Los modelos matemáticos brindan los medios para capturar el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas. La importancia de los modelos matemáticos radica en que pueden ser: • Simulados en situaciones hipotéticas, • Ensayados en estados que serían peligrosos en el sistema real, • Usados como base para sintetizar controladores.

4 Ejemplo: Modelo Matemático de un Sistema Eléctrico. Leyes que rigen un Circuito Eléctrico: -Ley de Corriente de Kirchhoff -Ley de Voltaje de Kirchhoff Ley de Corriente: “La suma de corrientes que entra a un nodo es igual a la suma de las que salen del mismo”

Ley de Voltaje: “La suma de caídas de tensión es igual a la suma de las elevaciones de tensión a lo largo de una malla eléctrica”

Encontrar el modelo matemático para el Circuito Eléctrico L-R-C:

Aplicando Ley de Voltaje de Kirchhoff al sistema:

Reemplazando:

4 Ejemplo: Modelo Matemático de un Sistema Mecánico. Leyes que rigen un Sistema Mecánico: -Primera Ley de Newton -Segunda Ley de Newton -Tercera Ley de Newton Masa: cantidad de materia contenida en un cuerpo (generalmente constante).

Fuerza: causa que tiende a producir un cambio en el movimiento del cuerpo sobre el cual actúa. Fuerza de o Fuerza de Campo Torque, Par o Momento de Fuerza: causa que tiende a producir un cambio en el movimiento rotacional del cuerpo sobre el cual actúa.

Desplazamiento, Velocidad y Aceleración: El desplazamiento x es un cambio en la posición, desde un punto a otro, en un marco de referencia. La velocidad v es la distancia del desplazamiento en . función del tiempo, es decir, v = x. La aceleración a es la derivada de la velocidad con . .. respecto al tiempo, es decir, a = v = x.

Desplazamiento, Velocidad y Aceleración Angular: El desplazamiento angular Θ se mide en radianes y es positivo en dirección contraria a las manecillas del reloj. La velocidad angular ω es la derivada con respecto al . tiempo del desplazamiento angular Θ, es decir, ω = Θ. La aceleración angular α es la derivada de la velocidad . .. angular con respecto al tiempo, es decir, α = ω = Θ.

Primera Ley de Newton: La cantidad de movimiento total de un sistema mecánico es constante en ausencia de fuerzas externas. Segunda Ley de Newton: La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. F=m*a Si Σ F es la suma de todas las fuerzas en una dirección dada: ΣF=m*a Tercera Ley de Newton: A toda acción se opone una reacción de igual magnitud.

Modelo de los Elementos Mecánicos: Φ Resorte Lineal Traslacional

Φ Amortiguador Traslacional:

Φ Amortiguador Rotacional:

Ejemplo: Encontrar el Modelo Matemático para el Sistema Mecánico Resorte-Masa-Amortiguador:

Σ F= m a m a = m d2x dt2 Fp = p Fk = - k ( x – 0 ) Fb = - b ( dx - 0 ) dt m d2x = – k x + p - b dx dt2 dt m d2x + b dx + k x = p dt2 dt

Expresando en términos de la carga eléctrica q:

El concepto de Sistemas Análogos es útil en la práctica por dos razones: 1. La solución de la ecuación que describe un sistema físico se puede aplicar directamente a sistemas análogos de otro campo. 2. Como un tipo de sistema puede ser más fácil de manejar experimentalmente que otro, en lugar de construir y estudiar un sistema mecánico o hidráulico se puede construir y estudiar su análogo eléctrico.

Analogía Fuerza - Voltaje: Sistema Mecánico Fuerza p Masa m Coef. de fricción viscosa b Constante k Desplazamiento x Velocidad dx dt

Sistema Eléctrico Voltaje V Inductancia L Resistencia R Recíp. Capac. 1 C Carga q Corriente i