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Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez .

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INDICE Descripción general ............................................................................................................ 5 Conceptos Básicos de Matemáticas Financieras .......................................................... 6 Capitulo 1 ............................................................................................................................ 12 Interés Simple ..................................................................................................................... 12 PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE.................................................... 27 Capitulo 2 ............................................................................................................................ 34 Interés Compuesto ............................................................................................................ 34 Ejercicios Propuestos de Repaso Interés Compuesto ............................................................. 61 Capitulo 3 ............................................................................................................................ 63 Descuento Financiero ....................................................................................................... 63 Problemas propuestos Descuento ............................................................................... 65 Capitulo 4 ............................................................................................................................ 67 Ejercicios Propuestos: Operaciones con Tasas.......................................................... 73 Capitulo 5 ............................................................................................................................ 79 Equivalencias Financieras ............................................................................................... 79 Capitulo 6 ............................................................................................................................ 92 Anualidades Generalidades ............................................................................................. 92 Anualidades Vencidas Simples....................................................................................... 93 Ejercicios Resueltos de Anualidades .......................................................................... 100 Capitulo 7 .......................................................................................................................... 119 Anualidades Anticipadas y Diferidas Simples ........................................................... 119 Capitulo 8 .......................................................................................................................... 129 Sistemas de Amortización-‐Cuadros de Amortización ........................................................... 129 Capitulo 9 .......................................................................................................................... 142 Depreciación-Formatos-Tablas de Depreciación ...................................................... 142 Capitulo10 ......................................................................................................................... 148 Rentas Perpetuas............................................................................................................. 148

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Problemas propuestos- Rentas perpetuas vencidas y anticipadas ...................... 155 Capitulo 11 ........................................................................................................................ 182 Anualidades con Gradiente ........................................................................................... 182 Capitulo 12 ........................................................................................................................ 187 Casos de Integración ............................................................................................................ 187 Bibliografía Básica ................................................................................................................ 202 Formulario del Curso de Matemática Financiera ....................................................... 203

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Matemáticas Financieras Descripción general nLa disciplina corresponde al área de finanzas. Se orienta a la formación del estudiante en técnicas y operaciones financieras básicas. Trata los siguientes temas : Operaciones a interés simple e interés compuesto;; descuento financiero, operaciones con tasas, equivalencias financieras, anualidades ordinarias, anticipadas y diferidas;; anualidades generales ordinarias;; anualidades con gradientes;; depreciación y métodos de depreciación. Objetivo General

nBrindar los conocimientos y herramientas de aplicación para motivar al estudiante en la solución de problemas de operaciones financieras básicas;; que al término del estudio del libro , le faciliten a tener una mejor comprensión de las disciplinas posteriores del área de finanzas, así como, su desempeño profesional competente en la toma de desciciones financieras Objetivos Específicos n1. Capacitar al estudiante en técnicas y procedimientos de cálculo de interés simple y

otras operaciones a interés simple. n2. Capacitar al estudiante en técnicas y procedimientos de cálculo de interés compuesto

y otras operaciones a interés compuesto. n3. Capacitar al estudiante en técnicas y procedimientos de cálculo de anualidades

simples. n4. Capacitar al estudiante en técnicas y procedimientos de cálculo de anualidades

generales y anualidades con gradientes. n5. Capacitar al estudiante en técnicas y procedimientos de cálculo de la depreciación. n6.

Brindar herramientas prácticas para aplicar los conocimientos adquiridos en la

solución de problemas matemáticos financieros. n7. Motivar para que el estudiante use los conceptos de matemática financiera para

resolver problemas de la vida cotidiana de las familias y las empresas

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Introducción Conceptos Básicos de Matemáticas Financieras Operación financiera nToda operación financiera es en realidad un préstamo. Alguien – el prestamista –

entrega a otro – el prestatario – una cantidad de dinero a cambio de que, pasado un tiempo se lo devuelva con un recargo denominado interés. Esta es la característica típica de toda operación financiera: el intercambio de dos cantidades de dinero en distintos momentos del tiempo, siendo siempre mayor la segunda que la primera por la aplicación del interés. nSe entiende que ambos sujetos obtienen un beneficio del intercambio. nNormalmente, el tiempo de devolución debe coincidir con la duración del proceso

productivo que le permite al prestamista obtener normalmente su renta.

Extensión de las Finanzas nHoy

en día, las Finanzas, consistentes en la obtención de fondos externos para

aplicarlos a las actividades productivas de la Empresa, constituyen una actividad cada vez mas gravitante desde el punto de vista económico. Tomando en cuenta esto no hay Empresa, en la actualidad, que se sustraiga a las Finanzas.

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . nLas empresas financieras, que intermedian en las operaciones financieras, son de las más grandes empresas en el país y el mundo. Aún las empresas con mayores excedentes, acuden al mercado financiero, es decir, están financiadas. nEs así como también hacen finanzas y deberian usar la Matemática Financiera en la

evaluación del uso de las tarjetas de crédito , préstamos hipotecarios , depósitos a plazos , fondos mutuos y otras operaciones que no son agenas a su realidad. ¿Qué es Matemática Financiera? nLa Matemática Financiera es la aplicación de las conocimientos matemáticos al cálculo

de las magnitudes financieras, resultantes de una operación financiera, como el interés, el monto, el tiempo, el capital, la tasa de interés, etc, en las distintas circunstancias que se pueda presentar a la empresa. nLa

Matemática Financiera constituye una de las herramientas fundamentales en la

istración Financiera, para el análisis cuantitativo de las operaciones financieras. nPero además de esta, el financiero dispone de la base contable general

(Análisis de los Estados Financieros) la base istrativo – financiero (captación de los fondos) y la base económica estadística (Micro – Macroeconomía e Investigación Operativa). nPor lo anterior la matemática financiera nos sirve para realizar operaciones de suma y

resta de unidades monetarias en diferentes puntos dentro de un horizonte temporal cuyos resultados servirán para tomar decisiones de inversión y financiamiento más ventajosas desde un punto de vista cuantitativo. Valor del dinero en el tiempo n Las magnitudes o capitales financieros, a diferencia de las magnitudes económicas, no

son simplemente magnitudes monetarias. El ser humano no es indiferente al momento en que dispone de una cantidad de dinero;; todos los seres humanos manifestamos una preferencia por el presente (disponer de el dinero Hoy);; y renunciamos e intercambiamos nuestro dinero presente, solo si recibimos un monto de dinero mayor en el futuro. n Es decir, renunciamos a un consumo presente sólo por la promesa de un consumo

futuro mayor. n Así, una persona puede tener la alternativa de recibir 1,000 U.M. hoy por 1,150 U.M. en

el futuro. Si se dispone de los 1,150U.M. en 15 días, probablemente preferirá los 1,150 U.M.;; pero si se dispone de ese monto en 8 años, muy probablemente preferirá los 1,000 U.M.

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . n Así que, para comparar dos capitales financieros, debemos considerar no sólo la cuantía de los capitales, sino también el momento en que será disponible o la fecha de su vencimiento. Por ejemplo, 250,000 soles el 1º de enero de 2017, representa un capital financiero de esa cuantía disponible en esa fecha. nLas razón por que es preferible recibir hoy 1,000.00 U.M. en lugar de de recibirlo dentro

de un año es explicada por el conceto del valor del dinero en el tiempo. n El valor del dinero en el tiempo se explica por que si se recibe los 1,000.00 U.M. dentro

de un año se verá afectada por la inflación, devaluación ( si se tratan de operaciones en moneda extranjera) , costo de oportunidad y el riesgo , todos estos conceptos se deben de tomar en cuenta por que afectarán en la decision de recibir los 1,000.00 U.M ahora o dentro de un año. nCapital o magnitud financiera es un par ordenado de números que designan – en ese

orden – una cuantía monetaria y la fecha en que estará disponible. Todo capital financiero se verá expresado por dos coordenadas (P;; n), en las que P (que es un número positivo) designa su cuantía y n, el momento en que estará disponible dicha cuantía.

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Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Equivalencia financiera


n En las operaciones financieras simples (las compuestas están integradas de varias

operaciones simples), se intercambian dos capitales financieros, cada uno con un monto y momento diferente determinado, que no puede ser sujeto a modificación. Lo que importa es el tiempo que mediará entre el vencimiento de los capitales intercambiados. n Pongamos

el ejemplo de un pagaré suscrito en la fecha 28-04-2016, que

identificaremos como el momento 0, en que se entrega el monto determinado Po. La cuantía del segundo capital será P1 , siendo su momento n, que es el lapso de tiempo que lo distancia de la fecha inicial. nAsí, dos capitales financieros son equivalentes si, a una tasa de interés establecida, uno

de ellos es igual al valor actual o al valor futuro del otro, en un mismo momento determinado. nEjemplo: ¿Un monto de 5,000 soles en la fecha de hoy será equivalente a 5,500 soles

dentro de un mes, si la tasa de interés simple mensual aplicable es de 5%? nAquí, comparamos dos capitales financieros: n(5,000;; 0) y (5,500;; 1);; donde el tiempo está expresado en unidades meses.

DIAGRAMAS DE VALOR – TIEMPO O DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA Un instrumento muy útil para representar, comunicar y entender las operaciones financieras son los Diagramas Valor – Tiempo, o, en especial Diagramas de Flujos de caja, o de fondos. Con ellos podemos representar operaciones financieros que incluyen uno o muchos desembolsos u obligaciones, en diferentes momentos del tiempo. Esto es muy importante, pues en las finanzas, el dinero tiene valor en el tiempo, por lo cual 5,000 U.M. el día de hoy no es lo mismo que los mismos 5,000 U.M dentro de dos años, por ejemplo. De esta manera, el Diagrama de Flujo de Caja o de Fondos, se compone de un eje horizontal (Línea de Tiempo) que representa los periodos de tiempo, por ejemplo, en años, en meses, semestres, etc., identificando cada periodo, por ejemplo, el año 5, quinto año, se representa como un punto en la línea de tiempo. En cada periodo (punto) que corresponda, representamos el desembolso (sea un pago o un cobro para la empresa) con una flecha vertical, de preferencia, proporcional al importe del desembolso. En el ejemplo, representamos un Flujo de Caja de la Empresa Lambda S.A.C:, para un lapso de tiempo de 6 años, registrados en forma anual. En el eje horizontal se representan los periodos anuales, y en cada uno de ellos, representamos los Flujos de caja (denominados con FC, con el periodo como subíndice, por ejemplo, FC3, representa el Flujo de caja del año 3)

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Por ejemplo, digamos que los flujos fueron como sigue: • • • • • •

FC1: S/. 5,000 FC2: S/. 7,000 FC3:. S/. 8,000 FC4:. S/. 10,000 FC5:. S/. 12,000 FC6:. S/. 12,000

El diagrama de flujo de caja será como sigue:

El diagrama de flujo de caja es muy útil en el momento de plantear, ordenar y controlar las operaciones que vamos hacer para definir o renegociar una operación, o contrato financiero, o planificar una gestión financiera empresarial, por ejemplo. En el libro, usaremos extensamente los diagramas de flujo de caja, considerando que podemos calcular el valor presente o el valor futuro de un conjunto de flujos de caja, lo cual será de mucha utilidad.

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Capitulo 1

Interés Simple OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales El lector al finalizar el capítulo podrá identificar una operación de interés simple, identificar y calcular las principales variables: Monto, Interés, Capital, tasa y número de periodos Específicos • El Dinero como equivalente de bienes y servicios. • Interés Simple • Monto a Interés Simple (Capitalización) • Principal a interés Simple. (Actualización) • Determinación del Interés • Determinación de la tasa a interés simple • Determinación del número de periodos Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. Interés Simple: Variables

Capital o

Monto

Interés

Tasa de

Nº de

Principal

(S/.)

(S/.)

Interés

periodos

(S/.)

P

(% por tiempo)

M

I

i

( tiempo)

n

•

Característica principal: no existe capitalización intermedia.

•

Capitalización es la acumulación del interés al capital. Las fórmulas más conocidas de interés simple:

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M = P+I

I = P *i * n

M = P *(1 + i * n)

Donde I P

es el interés o dinero a cobrar o pagar es el capital o dinero a considerar

M es el capital a formar i

es la tasa o razón

n

es el número de periodos (tiempo) pactado de la operación

Nota: Se debe verificar que las unidades temporales de “i” coincidan con las de “n”. También podrá encontrar otras denominaciones de las variables mencionadas anteriormente, tales como: Monto: Valor Futuro (VF) Capital: Valor Presente (VP), Presente (P), Capital (K) Tasa de interés: r Tasa de interés Tasa Una tasa es una comparación por cociente entre dos magnitudes;; puede ser expresado como un tanto por uno (expresión decimal) o como un tanto por ciento (expresión porcentual) Por ejemplo, si decimos que la tasa de crecimiento demográfico anual en el año K es de 4% (4/100= 0.04), entonces, si el año anterior K-1 la población fue de 20’ 000,000, entonces la población en el año k será 20’000,000 más el 4% de 20’000,000. En total = 20’800,000 Tasas de Interés Una tasa de interés es el cociente entre el Interés (numerador) generado en un periodo de tiempo y el capital prestado (denominador);; puede también ser expresado como un tanto por uno (expresión decimal) o como un tanto por ciento (expresión porcentual). Se expresa así, como en los ejemplos: 25% de interés anual. 2% de interés mensual. 0.01 mensual

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Por ejemplo, si decimos que el interés en una operación financiera es de S/. 12,240, y el capital prestado ha sido 67,300, durando la operación 1 año, entonces, la tasa de interés anual es: i = 12240/67300= 0.181872214 Es decir, 0.181872214 anual, o 18.1872214 % anual APLICACIÓN DE LA TASA EN INTERÉS SIMPLE: Recordemos que en Interés simple aplicamos una tasa sin capitalización, y se llama Tasa Nominal, podía ser anual, mensual, etc. Por ejemplo, 14% TNA significa 14% del capital cada año como interés simple. También puede decirse llanamente interés simple anual, mensual, etc. Algunos autores omiten en algunos casos el periodo, y se suele presumir que es anual. Las tasas nominales pueden proporcionalizarse.

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EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo Nº 1: Calcular el interés producido por un capital de 5000 $ colocado durante 3 años al 9 % tasa nominal anual. Datos • P = 5000 $ • n = 3 años • i = 9 % TNA= 0.09 • ut = 1 año • I = .? (incógnita) SOLUCION. Verificando que, efectivamente, “n” esta expresado en años y la tasa de interés es coincidentemente anual, aplicamos la fórmula:

I = P *i * n

Por lo tanto: I = 5000 x 0.09 x 3 = 1350 $ Aclaración: la unidad de tiempo es el valor numérico de la frase que aparece en la tasa. Por ejemplo: tasa 4 % anual representa 4% del capital cada: 1 año = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días El tiempo dado (número de periodos) “n” y la tasa “i” deben tener las mismas unidades antes de sacar cuentas Ejemplo Nº2: Un capital de 4000 $ es colocado al 5 % mensual durante 3 trimestres, calcular el interés ganado: SOLUCION.- Datos • P = 4000 $ • n = 3 trimestres = 9 meses • i = 5 % TNM= 0.05 • ut = 1 mes • I = .? (incógnita)

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Verificando que, efectivamente, “n” esta expresado en años y la tasa de interés es coincidentemente anual, aplicamos la fórmula:

I = P *i * n

Así: I = 4000 x 0.05 x 9 = 1800 $ La matemática financiera comienza luego de este tema a utilizar una fórmula reducida de interés simple con el objeto de poder llegar a deducir otras más complejas, por lo tanto se realizan modificaciones, como en el caso del monto: MONTO: Es el capital colocado más el interés ganado M = P + I Combinando ambas fórmulas >>>>>> M = P + P. i. n Factorizando (factor común, inversa de la propiedad distributiva) M = P. (1 + i. n) FORMULAS PRINCIPALES DE INTERÉS SIMPLE •

M = P + I Fórmula genérica

•

I = P * i * n

•

M = P *(1 + i * n)

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Casos especiales: Variación del Principal y Variación de Tasas: Varía la tasa de interés dentro del periodo de operación. ¿Qué consecuencia tiene? Tenemos varios “i”: i1, i2 , i3,…… ik Tendremos que subdividir n en varios tramos n1, n2, n3, …, nk

M = P *(1 + i1 * n1 + i2 * n2 + i3 * n3 + ...) Varía el principal dentro del periodo de operación. ¿Qué consecuencia tiene? Tenemos varios “P”: P1, P2 , P3,,,…… Pk Tendremos que subdividir “n” en varios tramos: n1, n2, n3, …. nk

I = P1 * i * n1 + P2 * i * n2 + P3 * i * n3 + ...

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . TIEMPO EXACTO Y TIEMPO APROXIMADO TIEMPO EXACTO se refiere a los días calendarios reales, que se registran cada vez que es posible. Lamentablemente, como todos los sabemos, no todos los años tienen el mismo número de días, teniendo los años bisiestos un día mas, por lo cual no podemos generalizar TIEMPO APROXIMADO son los de un año de 360 días tomado como norma simplificada para poder comparar. Así, tenemos 12 meses de 30 días cada mes. Usamos tiempo aproximado cuando: • No podemos usar tiempo exacto por falta del dato preciso • Para poder comparar o sacar proporciones. La norma bancaria implícita dice que usemos el tiempo exacto hasta donde podamos, y desde ahi el tiempo aproximado. PROCEDIMIENTO PARA EL REGISTRO DEL TIEMPO EXACTO DE UNA OPERACION FINANCIERA 1.- El primer día se excluye, el último día se incluye. Esto es porque el sistema financiero solo computa el interés a partir de un día, así que el día del depósito o préstamo aún no se ha generado interés alguno. Ejemplo: ¿Cuantos días estuvo depositado un capital si se depositó el 15 de marzo y se retiró El 15 de abril? Registro de los días: Fechas

Días

15 marzo – 31 de marzo

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1 abril - 15 abril

15

Total:

31

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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE Formulas utilizadas

M= P+I

I=p.i.n

M= p.(1+i.n)

Ejercicio N° 1(Determinación del Monto) La Empresa Gómez Representaciones S.A.C. coloca un capital de S/. 84,230 en el Banco Inca que aplica el 1.8% TNM por 1 años, 10 meses, 18 días. Calcule el monto. Solución Datos: • • • •

P = S/. 84,230 i = 1.8% TNM = 0.018 n = 1a, 10m, 18d M=?

Primero, debemos colocar “n” en la misma unidad de tiempo (meses) n (meses) = 12 + 10 + 18/30 n

= 22 + 0.6

n

= 22.6 meses

Nota: Para calcular los “meses” que hay en 18 días, usamos una regla de tres: Días 30 18

Meses 1 X

30 . X = 18 . 1 Despejando: X = 18/30 = 0.6 Podemos usar la regla de tres en cualquier caso, con los cambios respectivos. Utilizaremos la fórmula: M = P x (1+ixn) Reemplazando los Valores:

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M = 84230 x (1+0.018x22.6) Respuesta:

M = S/. 118494.76

Ejercicio N° 2 (Cálculo de número de periodos) Juan Fernández colocó un capital en el Banco Futuro que aplicó el 18% TNA obteniendo al cabo de 1 año, 6 meses, 21 días, un interés de S/. 4629.00. Calcule el capital colocado por Juan. Solución Datos: • • • •

P=? i = 18% TNA = 0.18 n = 1a, 6m, 21 d I = S/ 4629

Calculo de “n” n (años)= 1 + 6/12 + 21/360 n = 1.55833333 años Utilizaremos la fórmula: I=Pxixn Reemplazando los Valores 4629 = P x 0.18x1.5583333 4629 = P x 0.280499994 Despejando P: P= 4629 _______ (0.18x1.55833333) 16502.67 = P Respuesta:

P = S/. 16502.67

Nota: También puedo despejar directo en la formula y reemplazar valores: I = P x (ixn) I =P (ixn) P=

I (ixn)

Lo cual es equivalente

Ejercicio N° 3 (Cálculo de “n”)

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La Empresa Lambda S.A.C. obtiene un préstamo del Banco Austral por S/. 140,860 aplicándose el 1.9% TNM. Si el monto cancelado total fue de S/. 182,600. Calcule el tiempo total de la operación. Solución Datos: • • • •

P = 140,860 i = 1.9% TNN = 0.019 n=? M = S/ 182,600

Calculo de “I” Reemplazamos valores: M=P+I M-P = I I = M-P I = 182,600 - 140,860 I = S/. 41,740 Cálculo de “n” Utilizaremos la fórmula: I=Pxixn Despejando: I =n pxi n= I Pxi Reemplazando los Valores n=

41740 _______ (140860 x 0.019) n = 15.59592578 meses Respuesta: ”n”= 15 meses 18 días Ejercicio N° 4 (Cálculo de la tasa “i”) Luis Gómez Sánchez depositó S/. 42,300 en el Banco Galaxia, durante 1 año, 6 meses, 9 días, retirando un total de S/. 72,340. ¿Cuál fue la TNA aplicada? Solución Datos: • P = 42,300 • i = ?

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• n = 1a, 6m, 9d • M = S/ 72,340

Calculo de “I” I = 182,600 - 140,860 I = S/. 30,040 Calculo de “n” n (meses) = 12 + 6 +9/30 n = 18+0.3 n = 18.3 n (años) = 1 + 6/12 + 9/360 n

= 1 + 0.5 + 0.025

n

= 1.525 años

Cálculo de la tasa “i” Utilizaremos la fórmula: I=pxixn Despejando: i = I__ Pxn Reemplazamos valores: i=

30040 ____ (42300 x 1.525)

i = 0.465682285 Expresado como porcentaje (multiplicado por 100 y agregando el símbolo %)

i = 46.57% TNA Respuesta: i = 46.57% TNA Ejercicio N° 5 (Cálculo del Monto) Empresa Gamma S.A.C. deposita el 15 de Marzo S/. 82,300 en el Banco Progreso retirando el 12 de agosto el total. Calcule el importe retirado si se aplica el 2% TNM Solución Datos: • P = S/. 82,300 • n = 15/03, 12/08

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• M = ? • I = S/ 11,324 • i = 2% TNM = 0.02

Registro Tiempo Exacto (n) Fechas

Días

15/03 – 31/03

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01/04 – 30/04

30

01/05 – 31/05

31

01/06 – 30/06

30

01/07 – 31/07

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01/08 – 12/08 Total

12 150 días

n (meses) = 150 30 n = 5 meses Utilizaremos la fórmula: M = P x (1 + ixn) Reemplazando los Valores M = 82300 x (1 + 0.02 x 5) Respuesta: M = S/ 90,530 Ejercicio N° 6 (Cálculo del Monto cuando las tasas varían) La Empresa colocó un capital de S/. 7943 en el Banco Fortuna que aplicó el 1.8% TNM, por un año, 2.0% TNM por 6 meses y 2.3% TNM por 5 meses 18 días. Calcula el monto que se forma. Solución Datos: • • • • • •

P = S/. 7943 i1 = 1.8% TNM = 0.018 n1 = 1 año = 12 meses i2 = 2% TNM = 0.02 n2 = 6 meses i3 = 2.3% TNM = 0.023 23



• n3 = 5 meses, 18 días, 5.6 meses • n = ? • I = ?

Podemos ordenar los datos en un diagrama valor tiempo para mejor visualización, si se desea, como sigue:

Cálculo del interés: Utilizaremos la fórmula para el Interés von variación de tasas: I = P x (i1n1 + i2n2 + i3n3 ….) Reemplazando los Valores I = 7943 (0.018 x 12 + 0.02 x 6 + 0.023 x 5.6) I = S/. 3691.91 Determinación del Monto: M=P+I M = 7943 + 3691.91 Respuesta:

M = S/ 11,634.91

Ejercicio N° 7 (Cálculo de la tasa de interés) En el caso anterior calcule la TNM equivalente a los 3 que aplicada al capital en el tiempo total.

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Solución Datos: • • • •

i =? TNM P = S/. 7943 M = S/. 11,634.9 n = 12 + 6 + 5.6 = 23.6 meses

Cálculo de “i” Utilizaremos la fórmula: i=

I __ P x n

Reemplazando los Valores: i=

3691.9__ 7943x23.6

i = 0.01969493 Respuesta:

i = 1.969493% TNM

Ejercicio N°: 8 (Cálculo del Monto cuando las tasas varían) ACBSP S.A.C. deposita en el Banco Progreso, que aplico el 2% TNM por 9 meses, 2.3% por 8 meses, y 2.6% por 5 meses. Generando un interés de S/ 4698. Calcule el capital depositado. Solución Datos: • • • • • • • •

P =? i1 = 2% TNM = 0.02 n1 = 9 meses i2 = 2.3% TNM = 0.023 n2 = 8 meses i3 = 2.6% TNM = 0.026 n3 = 5 meses I = S/ 4698

Ordenemos los datos en un diagrama valor tiempo, como sigue:

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Utilizaremos la fórmula: I = P x (i1n1 + i2n2 + i3n3 ….) Despejando: P=

I___________ (i1n1 + i2n2 + i3n3 ….)

Reemplazando los Valores P=

4698_______________ (0.02x9 + 0.023x8 + 0.026x5)

Respuesta : P = S/. 9510.12

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE

Temas: Interés Simple: Calculo de Interés, Monto, Principal, numero de periodos y tasa de interés; sin y con variación de tasas, con tiempo exacto o tiempo aproximado. Tasa correspondiente cuando hay variación de tasas. 1) Si Pedro Zegarra deposita en el Banco Regional su capital disponible, aplicándose una TNA del 11%, generando en 2 años, 2 meses 24 días un interés de S/. 4,350. Determine cuál fue el capital depositado. 2) La Empresa Peruvian Tech SAC deposita el 17 de agosto US$ 120,000 en el Banco Progresista, que aplica una TNM de 2%. El 15 de febrero siguiente (año siguiente) la empresa retira el total y cierra la cuenta. Determine el importe del interés ganado. (Muestre el cálculo del número de periodos). 3) Segundo Lorente abre una cuenta depositando un capital en el Banco Bona Fide, el cual, al momento del retiro del total y cierre de la cuenta, le informa a Lorente que las TNM vigentes fueron como sigue: 1.2% los primeros 2 meses, 1.1%, los 4 meses que siguieron; 1% los 2 meses y 15 días siguientes, y el 1.1% los 4 meses y 15 días finales. El importe retirado fue de S/. 8671.58 Determinar: A.- El capital depositado B.- LA TNM que, aplicada al mismo capital durante el tiempo total de la operación produciría el mismo monto.

4) Si Juan Gonzales deposita en el Banco Provincial su capital disponible, aplicándose una TNA del 11%, generando en 1 año, 5 meses 18 días un interés de S/. 3,450. Determine cuál fue el capital depositado. 5) La Empresa High Tech Enterprise SAC deposita el 18 de septiembre US$ 120,000 en el Banco Progreso, que aplica una TNM de 2%. El 15 de febrero siguiente (año siguiente) la empresa retira el total y cierra la cuenta. Determine el importe del interés ganado. (Muestre el cálculo del número de periodos).

6) Segundo Lorente abre una cuenta depositando S/. 7,590 en el Banco Bona Fide, el cual, al momento del retiro del total y cierre de la cuenta, le informa a Lorente que las TNM vigentes fueron como

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sigue: 1.2% los primeros 2 meses, 1.1%, los 4 meses que siguieron; 1% los 2 meses y 15 días siguientes, y el 1.1% los 4 meses y 15 días finales. Determinar: A.- El importe retirado B.-LA TNM que, aplicada al mismo capital durante el tiempo total de la operación produciría el mismo monto.

7) Determinar cuál fue el interés formado por un capital de S/. 145,560 si fue depositado al 15% TNA por 7 meses y 9 días. A.- Calcular el Monto formado por un capital que estuvo durante 2 años al 15% TNA, por 3 meses al 17%TNA y por 105 días al 20% TNA. Capital: S/. 13,500. B.- Determine también cual sería la TNA única correspondiente que forma el mismo Monto en el mismo tiempo sin variación. 8) Juan Fernández Torres deposita US$ 15680 al 1.2% TNM en el Banco Afianzador con el deseo de juntar US$ 20000 para adquirir una camioneta al contado. ¿Durante qué tiempo deberá ahorrar en el Banco para ese fin? 9) José Pérez compra en Comercial La Preferida una refrigeradora, cuyo costo de S/. 1340, pagando en la fecha de compra S/. 500 en efectivo, y firmando una letra por la diferencia, a cancelar en 90 días. La Preferida acepta, pero considera que debe aplicar una TNM del 1.5%. Diga cuál será el importe que Pérez debe pagar al cumplirse el plazo. 10) Determinar cuál fue el interés formado por un capital de S/. 245,560 si fue depositado al 12% TNA por 15 meses y 12 días. 11) Jorge Chávez deposita en el Banco de los Trabajadores un capital fruto de su ahorro, el cual, al cabo de 4 años y 3 meses, asciendo a S/. 12.320, siendo la pata aplicada el 1 % TNM. Calcule cual fue el capital que deposito Chávez. 12) Determine durante qué periodo de tiempo deposito la empresa ABC SAC un capital de S/. 620,000 en el Banco de los Emprendedores, si aplico una TNA de 13% y produjo un Interés de S/ 36,520 al final del periodo.

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EJERCICIOS PROPUESTOS INTERES SIMPLE

1. Calcular el monto formado por un capital de S/. 31415 depositado por 6 meses 27 días, si se aplicó una TNM del 2.1152%

n =

6.9

M =

36000

2. Calcular cual fue el capital depositado durante 1año y 6 meses a una TNM del 1.70% si formó un monto de S/. 20896 n =

18 P = 16000.00

3. Un depósito de 52315 soles fue colocado al banco, con los siguientes cambios de tasa (TNM): 1.25% por 4 meses, 1.35% por 6 meses, y 1.50% por 9 días. A.- ¿Cuál fue el Monto y el Interés formado? B.- ¿Cuál sería la TNM única para obtener estos resultados sin cambio de tasa? A.- B.-

M = 59403.68 i = 0.01315534

I =

7088.68 TNM

4. Un depósito realizado el 18 de mayo a una TNA del 18.6% capitalizable mensualmente, de un valor de S/. 92369;; se retira el 12 de octubre. Calcule el monto total a retirar. fechas 18-may jun jul Ago Sept 01-oct total

dias 31 13 30 31 31 30 12 15 150

i =

M=

0.0155

99753.31

TEM

n =5 meses

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NOTA: En el futuro se notará que este ejercicio también podrá ser resuelto con Interés Compuesto. 5. Calcular el monto formado por un capital de S/. 41675 depositado por 5 meses 9 días, si se aplicó una TNM del 2%. n =

5.3

M =

46092.55

6. Determinar cuál fue el capital depositado durante 3 años y 6 meses a una TNM del 1.60% si formó un monto de S/. 21424 n =

42 P = 12813.40

7. Un capital de 42315 soles fue colocado en un banco, con los siguientes cambios de tasa (TNM): 1.25% por 6 meses, 1.35% por 4 meses, y 1.50% por 15 días.

A.- ¿Cuál fue el Monto y el Interés formado? B.- ¿Cuál sería la TNM única para obtener estos resultados sin cambio de tasa? A.- M = 48091.00 5776.00 I = B.- i = 0.01300000 1.30% TNM

8. Un depósito realizado el 21 de marzo a una TNA del 18.6% capitalizable mensualmente, de un valor de S/. 92369;; se retira el 15 de agosto. Calcule el monto total a retirar

fechas dias 21-mar 31- mar 10 ab 30 may 31 jun 30 jul 31 01-ago 15 15 147 n =

i =

0.0155

99600.00 4.9 meses M=

TEM

NOTA: En el futuro se notará que este ejercicio también podrá ser resuelto con Interés Compuesto. 9. Calcular el monto formado por un capital de S/. 31415 depositado por 6 meses 27 días, si se aplicó una TNM del 2.1152% n =

6.9

m =

36000 30



10. Calcular cual fue el capital depositado durante 1 año y 6 meses a una TNM del 1.70% si formó un monto de S/. 20896 n =

18 P = 16000.00

11. El 15 de julio se deposita S/. 42,296 en una institución bancaria a una tasa de interés nominal de 2.20% mensual. El 16 de septiembre se produce el retiro del total y cierre de la cuenta. ¿Cuál será el monto a retirar? n

Fechas días 15-jul 31-jul 16 Agosto 31 16- 01-sep sep 16 M = 44250

63 días .n = .n (meses)= 2.1

12. Depositamos S/. 44600 en una institución bancaria que fija una tasa mensual simple de 1.1659% Nuestro deseo es formar un monto de S/. 55000. ¿Cuánto tiempo debemos mantener el depósito en meses? .n =

20 meses

13. El 1 de enero Juan Gonzales deposita S/. 5479 a una TNM de 1.20%, tasa que cambia a 1.30% 3 meses después, y a 1.40% al cabo de 4 meses. Después de un total de 7 meses y 15 días, cerramos la cuenta. ¿Cuál será el monto total a retirar? n 1= n 2= n 3=

3 meses i1 = 4 meses i2 = 0.5 meses i3 =

1.20% 1.30% 1.40%

I = 520.55 6000 M=

14. Si depositamos S/. 355210 en un banco a una TNA de 19.20%. Al cabo de 2 años 2 meses 15 días retiramos nuestro dinero. ¿Cuánto será el Monto generado? n =

2.20833 M =

505819

15. André Calero deposita US$ 13,000 en el Banco Emprendedor con el propósito de reunir US$ 15340 en promedio para adquirir un automóvil. Si el banco paga una TNA de 12% ¿Por cuánto tiempo deberá esperar Pérez? n =

1.5

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16. El 20 de marzo se depositan S/. 3,875 en un banco a una tasa de interés nominal anual de 27%. El 15 de abril la tasa sube a 29%;; y el 30 de abril sube nuevamente a 30%. Si se retira el total el 15 de mayo, ¿Cuál será el monto total a retirar? 26 d 15 d 15 d M= 4045.83 17. Si Juan Gonzales deposita en el Banco Provincial su capital disponible, aplicándose una TNA del 11%, generando en 1 año, 5 meses 18 días un interés de S/. 3,450. Determine cuál fue el capital depositado. n= 1.4666667 P= 21384.3 18. La Empresa High Tech Enterprise SAC deposita el 18 de septiembre US$ 120,000 en el Banco Progreso, que aplica una TNM de 2%. El 15 de febrero siguiente (año siguiente) la empresa retira el total y cierra la cuenta. Determine el importe del interés ganado. (Muestre el cálculo del número de periodos). n= 150 días I= 12, 000 19. Segundo Lorente abre una cuenta depositando S/. 7,590 en el Banco Bona Fide, el cual, al momento del retiro del total y cierre de la cuenta, le informa a Lorente que las TNM vigentes fueron como sigue: 1.2% los primeros 2 meses, 1.1%, los 4 meses que siguieron;; 1% los 2 meses y 15 días siguientes, y el 1.1% los 4 meses y 15 días finales. Determinar: A.- El importe retirado I= 1081.58 M= 8671.58 B.- LA TNM que, aplicada al mismo capital durante el tiempo total de la operación produciría el mismo monto. n=13 meses

i= 1.0961 %

20. Calcular cuál fue el interés formado por un capital de S/. 245,560 si fue depositado por Julio Gutiérrez en el Banco Constelación al 12% TNA por 15 meses y 12 días. n= 1.2833333 I= 37816.24 21. Un capital de S/. 18 364 fue depositado el 18 de mayo a una tasa de 1.2% TNM siendo retirado el 14 de diciembre del mismo año. Calcule el interés que produjo dicho capital. I= 1542.58

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RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha conocido que el interés, como un proceso, y propiamente, como la remuneración por el uso del dinero, implicando el Costo del Dinero. El interés pagado (medido en unidades monetarias), simbolizado por I, depende del capital prestado (P, valor presente), del tiempo trascurrido (n), y de la tasa de interés (i) pactada. Por ejemplo, a mayor tiempo, mayor interés a pagar. Además, si acumulamos el interés ganado al capital (principal) prestado, a eso le llamamos Monto (M) o valor futuro. Se ha conocido asimismo las relaciones cuantitativas de estos elementos o variables, y se han aplicado estas relaciones, como fórmulas, para calcular los importes necesarios en varios ejercicios y casos empresariales y personales, incluso en casos en que la tasa de interés varía.

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Capitulo 2

Interés Compuesto

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales El lector al finalizar el capítulo podrá identificar una operación de interés compuesto, diferenciarla de una a interés simple, identificar y calcular: Monto, Interés, Capital, tasa y número de periodos Específicos • Interés Compuesto. Diferencia con el interés simple • Monto a Interés Compuesto (Capitalización) • Principal a interés Compuesto. (Actualización) • Determinación del Interés • Determinación de la tasa a interés Compuesto • Determinación del número de periodos El interés compuesto está integrado por operaciones de interés simple, la diferencia es que en el interés compuesto el interés del periodo, llamado periodo de capitalización, se “acumula” en el capital del periodo siguiente. Si consideramos el Principal, o Valor Presente, y el Monto, o Valor Futuro, podemos completar nuestro esquema valor tiempo y definir las formular del interés compuesto. — Característica principal: Existe capitalización intermedia. — Capitalización es la acumulación del interés al capital. — Periodo de Capitalización: Lapso periodo en que se produce la acumulación de intereses.

Nota importante para la aplicación:

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . • Se debe homogenizar la tasa, para que su periodo de interés coincida con su periodo de capitalización. • Por ejemplo, si tenemos una tasa nominal anual de 27%, y el periodo de capitalización es trimestral, entonces, debemos hallar la tasa proporcional trimestral: • It= 28%/4=7% trimestral • Es decir, sería 7% trimestral, capitalizable trimestralmente, o 7% Tasa Efectiva Trimestral APLICACIÓN DE LA TASA EN INTERÉS COMPUESTO: Recordemos que en Interés simple aplicamos una tasa sin capitalización, y se llamaba Tasa Nominal, podía ser anual, mensual, etc. En interés compuesto, se añade la dimensión capitalización, que complementa. Podemos decir: 15% TNA con capitalización anual. En este caso, como coincide el periodo de interés (TNA) con el periodo de capitalización (anual), no hay ningún problema, y decimos: 15% TNA con capitalización anual = 15% Tasa efectiva Anual = 15% TEA Recordemos: en interés compuesto aplicamos Tasas Efectivas ¿Qué hacemos si no coincide periodo de interés con periodo de capitalización? En este caso, cambiamos la tasa nominal, pues las tasas nominales pueden proporcionalizarse. ¿Para qué? Para lograr la coincidencia con el periodo de capitalización, que es lo que manda (no podemos cambiar el periodo de capitalización). Ejemplo: 15% TNA con capitalización mensual. En este caso, no coincide el periodo de interés (TNA) con el periodo de capitalización (mensual), no podemos aplicar el dato, asi que hallamos una TNM: TNM = 15% TNA* 1 año /12 meses=1,25% TNM Acá si coincide, pues 1,25% TNM con capitalización mensual = 1.25% Tasa Efectiva Mensual (TEM) Nota: Puede también considerarse el Monto como Valor Futuro (VF) y el Principal como Valor Presente VP Ejercicio (Calculando el interés y el VF compuestos)

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1 año. Solución: VA = 50,000;; i = 0.15;; n = 1;; I =? VF =? Calculamos el interés y el VF:

[20] I = 50,000 (1 + 0.15)1 - 1 = UM 7,500

VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500

Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula: I = 57,500 - 50,000 = UM 7,500 Respuesta: El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . RESUMEN DE FORMULAS DE INTERÉS COMPUESTO •


•

M = P *(1 + i)n

•

n I = P * é(1 + i ) - 1ù ë û

•

i=n

M - 1 P

M ) P n= log(1 + i ) log(

• •

FSC = (1 + i)n

•

FSA =

1 (1 + i)n

Monto con Variaciones de la Tasa de Interés •

M = P(1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n2 (1 + i3 ) n3 ....

Nota: Nótese la importancia del FSC (Factor simple de Capitalización) y del FSA (Factor simple de Actualización), el primero servirá para poder convertir una cantidad a su valor futuro, mientras que el segundo para convertir una cantidad a su valor presente, lográndolo a través del reemplazo de las respectivas variables.

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO

1) M = P + I

Algunas fórmulas utilizadas 2) I = P x ( (1+i)n – 1) 3) M = P x (1+i)n

Ejercicio N° 1 (Determinación del Monto) La Empresa deposita S/ 4532 en el Banco Galaxia, que aplica 1.5% TNM. Al cabo del primer mes el interés se acumula al capital y al fin del segundo mes la empresa cierra la cuenta. Calcular el monto a retirar (no ha habido otros retiros). Solución: Datos: • P = S/. 4532 • i = 1.5% TNM c/capitalización mensual= 1.5% TEM = 0.015 • n = 2m • M = ? Aplico la fórmula: M = P x (1+i)n Reemplazo valores: M= 4532 x (1+0.015)2 Respuesta: M = S/. 4668.98 Con las fórmulas de Interés Simple (aplicación sucesiva): P = 4532 n1 = 1m i = 0.015 Cálculo M1 M1 = P x ( 1 + ix1) M1 = 4532 x ( 1 + 0.15 x1) M1 = 4599.98 Cálculo M2 P2 = M1 = 459998 M1 = 4599.98 n2 = 1m M2 = P x( 1+ix1) M2 = 4599.98 x(1+1x0.015) Respuesta: M2 = S/. 4668.98 Lo cual demuestra la concordancia: el Interés compuesto es la aplicación del interés simple con la condición de la capitalización, y en forma simplificada.

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Ejercicio N° 2 (Cálculo del Monto M) Gamma S.A.C. solicita un crédito por $ 92,400 al Banco Industrial, que aplica el 1.8% TEM cancelando el mismo luego de 1 año 6 meses 15 días. Calcule el importe pagado al final de dicho lapso. Solución: Datos: • P = 92,400 • i = 1.8% TEM = 0.018 • n = 1a 6m. 15d = 18.5m • M = ? Cálculo de “M” Aplico la fórmula: M = P x (1+i)n Reemplazando los valores y operando: M = 92400 x (1 + 0.018) 18.5 M = $ 128,530.40 Respuesta: M = $ 128,530.40 Ejercicio N° 3: Juan Gonzales deposita el 15 de marzo S/ 8400 retirando el total y cerrando la cuenta el 13 de Julio. Calcule el importe retirado si el Banco aplicó 18% TEA Solución: Datos: Solución • P= 8400 • i = 18% TEA = 0.18 • n = 15/03 – 13/07 • M = ? Cálculo del tiempo exacto Fechas

Días

15/03 – 31/03

16

01/04 – 30/04

30

01/05 – 31/05

31

01/06 – 30/06

30

01/07 – 31/07

13

n

120 días

n (años) = 120

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360 n= 0.33 años Determinación del Monto “M”: Aplico la fórmula: M = P x (1+i)n Reemplazando los valores y operando: M = 8400 x (1 + 0.18)0.33333 M= S/. 8876.46 Respuesta: M= S/. 8876.46 monto a retirar. Ejercicio N° 4 (Determinación del Capital “P”) La Empresa coloca un capital en el Banco Regional que aplica el 8% TEA, durante 2 años, obteniendo un interés de S/. 6245. Calcule el capital depositado. Solución: Datos: • P =? • i = 8% TEA = 0.08 • n = 2 años • I = 6245 Determinación del Capital “P”: Utilizaremos la fórmula: I = P x ( (1+i)n-1) Despejando: I_____ = P ((1+i)n-1) P=

I______ ( (1+i)n-1)

Reemplazando los Valores P=

6245 ((1+0.08)2-1)

Respuesta:

P = 37,530.05

Ejercicio N° 5 (Cálculo del principal).Juan Fernández deposita un capital en el Banco Inca que aplica el 1% TEM por 2 años 18 días, obteniendo un total de S/. 15605 Solución: Datos: • M = S/. 15605

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• i = 1% TEA = 0.01 • n = 2 años 18 d = 24.6m • P = ? n (meses) = 24 + 18/30 n = 24.6 meses Utilizaremos la fórmula: i = P x (1+i)n Despejando: M_____ = P (1+i)n P= M (1+i)n Reemplazando los Valores P=

15605___ = (1 + 0.01)24.6

Respuesta: P = 12,216.81 Ejercicio N° 6: Deduzca de la fórmula de Monto otra para la tasa de interés (i) Solución: Para ello aplicaremos las propiedades de las Ecuaciones, como podemos hacer siempre, lo que incluye lo que comúnmente llamamos “despejar”. Partiendo de la fórmula del Monto: M = P x (1+i)n Despejando: M = (1+i)n P Aplicando raíz enésima a ambos : M n n = (1 + i ) n P Operando según la propiedad (raíz enésima de la potencia enésima es igual a la base): n

M = 1+ i P

Despejando: n

M -1 = i P

Cambiamos el orden:

i=n

M - 1 P 41



Obtenemos la fórmula que requeríamos:

i=n

M - 1 P

Ejercicio N° 7 (Cálculo de la tasa) La Empresa coloca S/ 82,420 en el Banco Wari que aplica una tasa TEM retirando al cabo de 1 año 5 meses S/. 112,645. Calcule la TEM aplicada (No ha habido retiros intermedios). Solución: Datos: • P = S/ 82,420 • n = 1a 5m = 17m • M = S/ 112,645 • i = ? TEM Utilizaremos la fórmula:

i=n

M - 1 P

Reemplazando los Valores:

i = 17

112645 - 1 82420

Lo cual nos da: i = 0.01854714512 Respuesta: i = 1.85471451% TEM Ejercicio N° 8 Juan Sánchez deposita S/. 9469 soles en el Banco Fortuna, durante 18 meses, retirando al cabo de dicho lapso (sin hacer ningún retiro previo) S/. 12,949. Determine la tasa efectiva anual aplicada. Solución: Datos: • P= S/. 9469 • i = ? TEA, • n= 1.5 años • M = S/. 12,949 Utilizaremos la fórmula:

42


i=n


M - 1 P

Reemplazando los Valores:

12949 - 1 9469 Calculando: i = 1. 5

i = 0.232030 Respuesta:

i = 23.203036%

TEA

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO (2)

INTERÉS COMPUESTO 1) M = P + I

P=

M (1 + i ) n

Algunas fórmulas utilizadas 2) I = P x ( (1+i)n – 1) 3) M = P x (1+i)n

i=n

M - 1 P

n=

log( M / P) log(1 + i)

M = P x (1+i1)n1 (1+i2)n2 (1+i3)n3 …. Ejercicio N° 1 (Cálculo del monto con variación de tasas) Lambda S.A.C. coloca un capital de S/ 6425 en el Banco Sigma que aplicó el 8% TEA los 3 primeros meses, 9% TEA los 4 meses siguientes y el 9.6% TEA el período final, siendo el lapso total del depósito 2 años. Calcule el monto formado. Solución: Consideramos en forma general los datos ofrecidos, gráficamente, a efectos de mejor orden, de esta manera:

43



Datos: • P = 6425 • i1 = 8% TEA = 0.08 • n1 = 3m • i2 = 9% TEA = 0.09 • n2 = 4m • i3 = 9.6% TEA = 0.096 • n3 = 17m • M = ? • n1 (años) = 3/12 • n1 = 0.25 años • n2 (años) = 4/12 n2 = 0.33333333 • n3 (años) = 17/12 n3 = 1.4166666 Corresponde aplicar la fórmula del Monto con variaciones de tasas: M = P x (1+i1)n1 (1+i2)n2 (1+i3)n3 …. Reemplazando valores: M = 6425 (1+0.08)0.25 (1+0.09)0.33333 (1+0.096)1.416666 M = S/ 7675.43 Respuesta : M = S/ 7675.43 Ejercicio N° 2 (Cálculo del número de periodos)

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Jorge Robles deposita S/ 8450 en el Banco de las Regiones, que aplica el 8% TEA, obteniendo un monto total de S/ 12,490. Calcular el lapso total de la operación. Solución: Datos: • P = S/ 8450 • i = 8% TEA = 0.08 • M = S/ 12490 • n = ? Utilizaremos la fórmula:

n=


La fórmula se deduce de la siguiente ecuación original: 𝑀 = 𝑃 (1 + 𝑖 )) 𝑀 = (1 + 𝑖 )) 𝑃 log

𝑀 = log(1 + 𝑖 )) 𝑃

log

𝑀 = 𝑛 log(1 + 𝑖 ) 𝑃

𝑛=

𝑀 log . 𝑃 /

log(1 + 𝑖 )

Reemplazando los Valores 𝟏𝟐𝟒𝟗𝟎 𝑳𝒐𝒈 ( 𝟖𝟒𝟓𝟎 ) 𝒏 = 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟖) n = 5.07739860 años Respuesta:

n = 5 años 28 días

Ejercicio N° 3: (Calculo de la TEA única equivalente)

45



Calcule la TEA única equivalente que aplica al capital (Ejercicio N° 1) por el mismo tiempo produce el mismo monto. Solución: Datos: • P = S/ 6425 • n = 24m = 2 años • M = S/ 7675.43 • n = ? TEA Utilizaremos la fórmula:

i=n

M - 1 P

Reemplazando valores:

i=2

7675.43 - 1 6425

i = 0.09298648 Respuesta: i = 9.298648 % TEA Ejercicio N° 4. La Empresa Trexsa deposita un capital en el Banco Norte que aplica el 0.5% TEM, logrando en 2 años y 5 meses un interés de S/. 11,453. Determine el capital depositado. Solución: Datos: • P = ? • i = 0.5% TEM = 0.005 • I = S/. 11,453 • n = 2 a 5m = 29m Usaremos la fórmula:

P=

M (1 + i) n


P=

11453

((1 + 0.005) - 1)

Respuesta:

29

P = S/ 73595.00575 46



Ejercicio N° 4

La Empresa Latinoamerican Partners realiza un depósito a plazo fijo por 1 año en el Banco del Avío, que ofrece para este caso una tasa de 14% TEA. Determine cuál fue el importe aplicado si el retiro total fue de S/ 24560 Solución: Datos: • M = S/ 24560 • n = 1 año • i = 14% TEA = 0.14 • P = ? Usaremos la fórmula:

P=

M (1 + i) n


P=

24560 (1 + 0.14) P = 21,543.80

Respuesta: P = 21,543.80 Capital depositado Ejercicio N° 5.El Señor Fontana desea depositar S/. 45300 con el fin de lograr al cabo de 2 años S/ 56200 ¿Cuál debe ser la TEM aplicable mínima que le permita lograr su cometido? Solución: Datos: • M = S/ 56,200 • P = S/. 45300 • n = 2 años = 24m. • i =? Utilizaremos la fórmula:

i=n

M - 1 P


47


i = 24


56200 - 1 45300

i = 0.0902421341 Respuesta:

i= 0.902421341% TEM

Ejercicio N° 6: (Cálculo de número de periodos) Determine el monto formado por un capital de S/. 120,560 depositado durante 2 años, 3 meses y 21 días al 1.2% TNM con capitalización anual. Solución: Datos: • P = S/ 120,560 • n = 2a 3m 21d • i = 1.2% TNM = 14.4% = 0.144 • M = ? Calculando n en años: n (años) = 2 + 3 + 21__ 12 360 n (años) = 2.30833333 años Calcular TEA Sacamos la tasa nominal proporcional, para que coincida con el periodo de capitalización anual 1.2% TNM x 12 meses 14.4% TNA Cap./anual i = 14.4% TEA Determinar el Monto: Aplicando la fórmula: M = P x (1+i)n Reemplazando valores: M = 120560 (1+0.144)2.308222 Operando: M = S/ 164,463.67 Respuesta: M = S/ 164,463.67 Monto a retirar Ejercicio N° 7 Expresar la siguiente tasa como tasa efectiva: 15% TNA c/cap mensual Solución: Datos:

48



.i = 15% TNA / 12 meses Calculo de la TNM Aplicando primero una Regla de Tres para pasar de TNA a TNM: 15% TNA x 12m x% TNM x 1m Operando: 15% x 1 = Xx12 15% = X 12 X = 1.25% TNM Cálculo de la TEM: 1.25% TNM c/cap. Mensual Conforme a la definición del Tasa Efectiva: .i= 1.25% TEM Ejercicio N° 8 (Cálculo del Principal) Si Juan Gonzales deposita en el Banco Provincial su capital disponible aplicándose un TNA del 11% generando en 1 año, 5 meses, 18 días un interés de S/ 3450. Determine cuál fue el capital depositado. Solución: Datos: • P = ? • I = S/ 3450 • i = 11% TNA = 0.11 • n = 1 a 5m 18d Calcular “n” n (años) = 1 + 5/12 + 18/360 n (años) = 1.4666667 años Calculo de P: Usaremos la fórmula:

P=

M (1 + i) n


P=

3450 (1 + 0.11)1.466667

P = S/ 2,960.37 Respuesta: P = S/ 2,960.37 Ejercicio N° 9

49



La Empresa deposita el 18/09 S/ 120000 en el Banco Regional, el cual aplica una TEM de 2%. El 15/02 del siguiente año la Empresa retira el total (no hay retiros intermedios). Determine el interés ganado Solución: Datos: • P = S/ 120000 • i = 2% TEM = 0.02 • I = ? • n = 18/09 – 15/02 Calcula tiempo exacto Fechas

Días

18/09 – 30/09

12

1/10 - 31/10

31

1/11 - 30/11

30

1/12 - 31/12

31

1/1

- 31/1

31

1 /2 - 15/2

15

Total

150 días

n = 5 meses Cálculo de Interés: Aplicamos la fórmula: I = P x ( (1+i)n – 1) Reemplazando valores: I = 120000 x ( (1+0.02)5 – 1) I = 12,489.70 Respuesta: El interés ganado es I =

12489.70

Ejercicio N° 10 Sigma S.A.C. coloca un capital de S/ 8425 en el Banco Galaxia que aplica el 1.5% TEM retirando al de la operación S/ 12438. Calcule el tiempo de la operación. Solución: Datos:

50


• • • •


P = S/. 8425 M = S/ 12438 i = 1.5% TEM = n=?

Aplicaremos la fórmula

n=



n=

log(12438 / 8425 log(1 + 0.015)

Operando: n = 26.16448152 meses Respuesta:

n = 26 meses 5 días

Ejercicio N° 11 Jorge Gonzales deposita un capital en el Banco Norte que aplico un 1.3% TEM los primeros 3 meses, 1.5% TEM los 12 siguientes meses y 1.8% el tiempo restante, durante la operación 2 años en total. Calcule el importe depositado si el monto total fue de S/ 41650. Solución: Datos: • P = ¿? • M = 41650 • i1 = 1.3% TEM = 0.013 • n1 = 3m • i2 = 1.5% TEM = 0.015 • n2 = 12m • i3 = 1.8% TEM = 0.018 • n3 = 9m Cálculo del Monto: Aplicamos la fórmula: M = Px (1+i1)n (1+i2)n2 (1+i3)n3 Despejando:

P=

(1 + i1 )

n1

M (1 + i2 ) n 2 (1 + i3 ) n3 51




P=

41650

(1 + 0.013) (1 + 0.015)12 (1 + 0.018) 9 3

P = S/ 28540.67 Respuesta: P = S/ 28540.67

Ejercicio N° 12 En el ejercicio anterior halle la TEM equivalente que produce el mismo monto en el mismo tiempo. Solución: Datos: Usamos los datos el ejercicio 11 i=? n = 2 años = 24 meses Aplicamos la fórmula

i=n

M - 1 P


i = 24

41650 - 1 28540.67

i = 0.01587446304 i = 1.587446304% TEM Respuesta: i = 1.587446304% TEM Ejercicio N° 13 Alonso desea determinar el interés que generara un capital de S/. 85780.00, al cuál se le aplica el 15% TNA con capitalización anual por 3 años y 15 días. Solución: Datos • P = s/. 85780.00, • I = ¿? • i = 15% TNA

52



• n = 3 años y 15 días

Calculando el tiempo (en años): .n = 3 + 15/360 = 3.04166667 Aplicando la Formula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)) Reemplazando valores: 𝑀 = 85780 (1 + 3.0.15)C.DEFGGGGH 𝑀 = 131222.60 Despejando el Interés de la formula y: 𝑀 =𝑃+𝐼 𝐼 = 1312222.60 − 85780 𝐼 = 45442.60 Respuesta:

𝐼 = 45442.60

Ejercicio N° 14 Determinar cuál fue el capital que produjo un interés de S/. 30,500.00 si fue aplicado por 2 años y medio , a una tasa del 11% TNA con capitalización anual Solución: Datos • P = ¿? • I = 30500 • i = 11% TNA • n = 2 años y 6 meses Utilizaremos la fórmula: 𝑃=

𝐼 (1 + 𝑖))

Reemplazando los Valores 𝑃=

30500 (1 + 0.11)N.O

53



Obtenemos:

𝑃 = 23495.92 Respuesta:

P = S/. 23495.92

54

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Ejercicio N° 15


Alberto necesita determinar cuál será el interés percibido por un capital de s/.625400.00 si fue calculado a las siguientes tasas: TASA

TIEMPO

.i1 =12% TEM

n1=8 meses

.i2 =15% TEM

n2=10 meses

.i3 =18% TEM

n3=2meses y 3 dias

P= 625400 I = ¿? SOLUCIÓN: Aplicamos la fórmula de monto con variación de tasas: a) 𝑀 = 𝑃((1 + 𝑖F ))Q (1 + 𝑖N ))R … (1 + 𝑖T ))U ) Reemplazando valores para calcular el Monto: 𝑀 = 625400((1 + 0.12) V (1 + 0.15)FD (1 + 0.18)N.FD ) 𝑀 = 8868142.787 Ahora, usamos la formula principal para despejar el Interés y calcular: a) 𝑀 = 𝑃 + 𝐼 𝐼 =𝑀−𝑃 𝐼 = 8868142.787 − 625400 𝐼 = 8242742.787 Respuesta:

I = 8242742.787

Ejercicio N° 15

En el ejercicio anterior, determinemos cual fue la TEM única que produce el mismo interés en el mismo tiempo. SOLUCIÓN: Con los datos del ejercicio anterior: • • • •

N= 8+10+2.10 M= 828968.39 P =625400 i = ¿? TEM

55



Aplicamos la fórmula: Z

X

a) 𝑖 = W Y − 1 Reemplazando los valores del caso: 𝑖 =

R\.Q\

W

VNV[GV.C[ GNOEDD

−1

𝑖 = 0.0141175 𝑖 = 1.44175 % 𝑇𝐸𝑀 Respuesta : i = 1.441175 % TEM

EJERCICIO Nº 16 Calcular el monto generado por un capital de $ 86500 aplicado al 18% TEA desde el 1 de enero del año 2009 hasta el 9 de julio del año 2010. SOLUCIÓN: Datos:

n = (1año + 6meses + 15dias ) ® 1.541666667años

np == (86500 1año +soles 6meses + 15dias ) ® 1.541666667años

i = 18%TEA p = 86500soles M =?

i = 18%TEA M =? Utilizamos la fórmula de Monto, y reemplazando los valores: M = P ´ (1 + i ) n M = 86500 ´ (1n + 0.18)1.541666667 M = P ´ (1 + i ) M = 111643.70soles

M = 86500 ´ (1 + 0.18)1.541666667 M = 111643.70soles Respuesta: S/. 111643.70 EJERCICIO Nº 17 Determine cuál fue el capital que produjo un interés de 25620 soles del 10 de marzo del 2009 hasta el 2 de junio del 2010, al 18%TNA con capitalización anual SOLUCIÓN: Datos:

56



P=?

I = 25620 soles n = 550dias ® 1.25años i = 18%TEA I (1 + i ) n - 1 25620 P= (1.18)1.25 - 1 P = 111463.50 soles P=

EJERCICIO Nº 18 Determine el interés generado por un capital de 95690 soles al 12% TNA con capitalización anual, desde el 1enero del 2001 hasta el 8 de enero del 2003. SOLUCIÓN: Datos:

n = 738dias ® 2.05años P = 95690 soles n 738TEA dias ® 2.05años i ==12% P I ==?95690 soles

i = 12%TEA Usamos la fórmula del Interés II = = ?P éë(1 + i ) n - 1ùû 2.05 I = 95690 éë1.12 - 1ùû n I = P éë(1 + i ) - 1ùû I = 25025.63soles I = 95690 éë1.122.05 - 1ùû I = 25025.63soles Respuesta:

I = S/. 25 025.63

EJERCICIO Nº 4 Determine la TEB que de aplica a un capital de 600000 soles para producir un interés de 85600 desde el 1 de marzo al 26 de noviembre del mismo año. SOLUCIÓN: Calculando “n” con tiempo exacto:

57


Fechas


Días

1marzo

31marzo

30dias

1abril

30abril

30dias

1mayo

31mayo

31dias

1junio

30junio

30dias

1julio

31julio

31dias

1agosto 31agosto 31dias 1sept

30sept

30dias

1oct

31oct

31dias

1nov

26nov

26dias

TOTAL

270dias

Considerando los siguientes datos: .i = ¿ TEB P = 600000 soles I = 85600 soles i ==? 270 TEB dias/ 30 =9 meses/ 2 = 4.5 bimestres N P = 600000soles I = 85600soles Aplicamos las9meses formulas debimestres la tasa de interés, aplicando asimismo la n = 270dias / la 30 ® / 2 ® 4.5 formula principal: M = P+I i=

n

M - 1 P

600000 + 85600 600000 i = 3.008%TEB i = 4.5

Respuesta: i = 3.008% TEB EJERCICIO Nº 19

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Se realiza una inversión de 50 000 soles en un banco el día 1º de febrero. ¿En qué fecha valdrá 55 000 soles si la tasa de interés es de 15% con compuesta mensualmente SOLUCION: Datos: P = 50000soles M = 55000 soles i = 15%capitalizable mensualmente ® 15% /12 ® 0.0125 n=?

Aplicamos la fórmula de “n”: M log( ) n = log .P𝑀/ 𝑛 = log(1 +𝑃i ) log(1 + 𝑖 ) 55000 log( ) 55000 n = log50000 .50000/ 𝑛 = log(1 + 0.125) log(meses 1 + 0.0125) n = 7.67 𝑛entonces = 7.67 :𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 7.67 7.67 ´ 365 = 233 dias 12 𝑥365 = 233 𝑑𝑖𝑎𝑠 12 Entonces, la fecha en que tendrá el valor indicado será 233 días después entonces la fecha en la valdra 55000 soles sera el 22 de septiembre (22 de septiembre)

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Ejercicios Propuestos

Temas: Interés Compuesto. Cálculo del Monto y Tasa 1.- Se deposita S/.5,450 en una institución bancaria, con una tasa de interés anual de 27%, capitalizable mensualmente. Calcular el monto a retirar después de 5 meses. 2.- Se deposita S/.15,350 en una institución bancaria, con una tasa de interés simple anual de 24%. Cada mes, el depositante vuelve a depositar en la misma institución el capital más el interés generado. Calcular el monto a retirar después de 3 meses. 3.- Se deposita S/.15,350 en una institución bancaria, con una tasa de interés anual de 24% capitalizable mensualmente. Calcular el monto a retirar después de 3 meses. 4.- Se deposita S/. 52,340 en una institución bancaria por 6 meses, lográndose al final de dicho periodo un monto de S/. 61,312. ¿Cuál fue la tasa efectiva mensual aplicada?

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Ejercicios Propuestos de Repaso Interés Compuesto

Temas: Interés Compuesto: Calculo de Interés, Monto, Principal, numero de periodos y tasa de interés; sin y con variación de tasas, con tiempo exacto o tiempo aproximado. Tasa correspondiente cuando hay variación de tasas. Transformación de tasas: tasa proporcional y tasa equivalente.

1) Determine el monto formado por un capital de S/. 55,560 depositado durante 2 años, 6 meses y 24 días al 1.1% TNM con capitalización anual. 2) Determine el monto formado por un capital de S/. 120,560 depositado durante 2 años, 3 meses y 21 días al 1.2% TNM con capitalización anual. 3) A.- Calcular el Monto formado por un capital de S/. 33,800 que estuvo durante 2 años al 15% TEA, por 3 meses al 17%TEA y por 105 días al 20% TEA. B.- Determine también cual sería la TEA única correspondiente que forma el mismo Monto en el mismo tiempo sin variación 4) La Empresa Agroexport Partners SAC realiza un depósito a plazo fijo por 1 año y medio en el Banco del Nuevo Mundo, que ofrece la tasa del 14% TEA. Determine cuál fue el importe aplicado si el retiro total fue de US$ 34,660 5) El señor Leo Gómez desea depositar S/. 45,300 con el fin de lograr al cabo de un plazo prudencial un interés de S/. 12,200, aplicando una TEA del 11%. ¿Cuál debe ser plazo mínimo que le permita lograr su cometido? 6) Representaciones Gonzales SAC deposita en el Banco Buena Fé un importe al 12% TNA con capitalización anual, durante 6 meses 9 días; generando un interés de US$ 1840. Calcule el capital depositado. 7) Determine la tasa efectiva correspondiente a: 17.1% TNA con capitalización mensual.

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8) Calcule el interés formado por un capital de US$ 120,400, depositado en el Banco La Confianza al 15% TEA, habiendo estado depositado por 15 meses.

9) El 3 de marzo, la Empresa INHIBE Consultores SAC hace un depósito de US$ 70,1000 en el Banco Afianzador, que aplica una TEA de 12.6%, retirando el depósito y los intereses en fecha 31 de agosto (del mismo año). ¿Cuál fue el importe del retiro? 10) Determine la tasa efectiva correspondiente a: 16.2% TNA con capitalización mensual. 11) El señor Fontana desea depositar S/. 45,300 con el fin de lograr al cabo de 2 años S/. 56,200. ¿Cuál debe ser la TEM aplicable mínima que le permita lograr su cometido? 3 12) Determine la TEA que, aplicada durante 2 años y 6 meses a un capital de S/. 342,100, generó un interés de S/. 82,300

RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha conocido que el Interés compuesto cuenta con las mismas variables básicas del interés simple, pero que se diferencia de este en que el interés ganado en un periodo se acumula al capital en el siguiente, (capitalización), por lo cual el capital va creciendo, y el monto es también mayor que en interés simple. Solo se agrega una dimensión a la variable tasa de interés: el periodo de capitalización, que convierte por añadidura la tasa nacional (interés simple) en tasa efectiva. La capitalización hace que el cálculo del interés varíe, por lo que se origina una relación o fórmula distinta para calcular el Interés, y por ende, el Monto. Se ha conocido asimismo las relaciones cuantitativas de estos elementos o variables, y se han aplicado para calcular los importes necesarios en varios ejercicios y casos empresariales y personales

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Capitulo 3

Descuento Financiero OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales Al finalizar el capítulo, el lector podrá identificar la necesidad y principales características de las operaciones de descuento bancario, en sus diversas modalidades, calculando los principales importes relacionados Específicos • Necesidad y características del descuento bancario. Identificación de las variables: Valor Facial, Descuento, Valor Actual, número de periodos de la operación. Tasa de descuento. • Descuento racional: Cálculo del Valor Facial, Descuento, Valor Actual, número de periodos de la operación. Tasa de descuento • Descuento bancario: Cálculo del Valor Facial, Descuento, Valor Actual, número de periodos de la operación. Tasa de descuento

A diferencia del descuento comercial, el descuento “financiero” es una operación de crédito, por la cual una institución financiera otorga un crédito a una persona – sea natural o jurídica – garantizado por un documento comercial, por ejemplo, una letra o pagaré a favor de la persona y con vencimiento en fecha futura. Ejemplo de Letra de Cambio

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Ejemplo de Pagaré

En este caso, no usamos el término “interés”, sino “descuento” debido a que el banco se basa en el Valor Nominal del documento y aplica una deducción llamada descuento, que tiene la misma función de retribución del Interés, para determinar el Valor Líquido a recibir. Así: VL= VN - D Variables: En este caso, no usamos el término “interés”, sino “descuento” debido a lo ya dicho • Valor Nominal del documento, coincide con el Monto, M • Descuento , que es una deducción que retribuye el uso del dinero en el tiempo, que tiene la misma función de retribución del Interés, D • Valor Líquido a recibir, corresponde al Principal, P. • Numero de periodos, n, que corresponde al “tiempo” que resta al vencimiento del título valor. • Tasa de descuento, “d”, es aquella que se usa para calcular el Descuento. En descuento racional coincide con la tasa de interés, por la que lo significamos con ¡i”, pero en descuento bancario no, pues se aplica al Monto, no al principal, por lo que se llama propiamente tasa de descuento. Tipos de descuento: Por la aplicación de la capitalización: • Descuento Simple • Descuento Compuesto Diferencia entre descuento racional y bancario

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Ambos se aplican mediante una tasa, similar a la tasa de interés, que llamamos “i”. La aplicamos tanto como interés simple o como interés compuesto. En el descuento racional la tasa de interés “i” se aplica sobre el Valor Líquido (VL);; y en el descuento bancario la tasa de descuento “d” se aplica sobre el Valor Nominal (o Monto) Así, en el descuento racional el Descuento (D) coincide con el Interés (I) Determinación del capital común. Este caso consiste en encontrar el capital equivalente, en un momento (tiempo) determinado, a un conjunto de capitales (flujos) de diverso importe y fecha de vencimiento, a efecto de ejecutar, por ejemplo, una compra de deuda, u otra operación financiera. Por ejemplo mi deuda con el banco Alfa vence en tres meses, la que corresponde al banco Beta vence de 10 meses. Los importes son de S/. 4,000 y S/. 6,000 respectivamente. El banco Futuro quiere “comprarme” ambas deudas, y consolidarla en una sola a pagarse en 15 meses. Si aplico en todos los casos una tasas del 1% TEM, ¿Cuál será el capital común en el mes 15?

FÓRMULAS Descuento Simple

Descuento Compuesto

Racional

Racional

•

æ i * n ö D = M * ç ÷ è 1 + i * n ø

Bancario •

•

D = M * éë1 - (1 + i)-n ùû

Bancario

D = M * d * n

•

P = M * ( (1 - d )n )

•

D = M * éë1 - (1 - d )n ùû

Problemas propuestos Descuento Ejercicios propuestos de descuento compuesto La empresa EDISA presenta al Banco de la Providencia un pagaré librado a su favor por $ 4 900, cuyo vencimiento está fijado para dentro de 4 meses. El banco aplica

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . descuento racional compuesto, aplicando una tasa de 2.1% mensual. Calcule el importe que recibirá la empresa en la fecha. Rpta: $

RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha conocido la operación financiera de descuento, aplicado típicamente por los bancos, consistente en el desembolso del banco de un importe monetario por la trasferencia de un pagaré, una letra de cambio o una factura conformada, de vencimiento en fecha posterior. El banco desembolsa el valor facial del instrumento financiero, pero con un “descuento”, por lo que el valor desembolsado (Valor Actual) es siempre menor al valor facial. Se puede aplicar un interés simple o compuesto. Hay dos formas de aplicar el descuento: como una tasa de interés (descuento racional), lo que es similar a la aplicación del interés), o como descuento bancario, donde se aplica una tasa de descuento Se han definido los elementos del descuento. Y se ha conocido asimismo las relaciones cuantitativas entre ellos, y se han aplicado para calcular los importes necesarios en varios casos financieros.

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Capitulo 4

Tasas Transformaciones de Tasas OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales Al culminar el capítulo, el participante será capaz de identificar y diferencias las principales clases de tasas de interés usadas en el sistema financiero local, identificando su necesidad y las operaciones necesarias para trasformar las tasas como tasas equivalentes. Específicos • Tasa nominal. Periodo de interés. Denominación de tasas según su periodo. • Tasa efectiva. Relación con la tasa nominal. Periodo de capitalización. Denominación según su periodo de capitalización. • Tasa equivalente. Cálculo de una tasa nominal equivalente a otra tasa nominal. Cálculo de una tasa efectiva equivalente a otra tasa efectiva (diferente periodo de capitalización). Existen varios tipos de tasas que se aplican en la Matemática Financiera, varias de ellas son resultantes de operaciones necesarias para resolver problemas concretos del día a día de las operaciones financieras. En este recuento iremos en el orden que aparecen los diferentes tipos de tasas y las operaciones para transformar tasas, en la medida que las operaciones se complejizan. 1.- TASA NOMINAL. Es aquella tasa que no indica un periodo de capitalización, pero si un periodo de interés, por lo cual sólo puede usarse como tal en el INTERES SIMPLE. Por ejemplo: 18% nominal anual, (18% TNA), 1.5% nominal mensual (1.5 % TNM), etc. Esta tasa es posible de proporcionalizarse, es decir, multiplicarse o dividirse, para que puedan coincidir con la unidad del tiempo del horizonte temporal o periodo de la operación. 2.- TASA PROPORCIONAL. Una tasa nominal es proporcional a otra tasa nominal dada, si es producto de una multiplicación o división de la misma. Una tasa proporcional tiene un periodo de interés diferente a la tasa dada.

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Ejemplo 1.- Convierta la tasa nominal mensual de 2.4% en una tasa nominal proporcional.

Operación

Resultado

a) Quincenal

= 2.4 %/2

= 1.2% n. quincenal

b) Bimestral

= 2.4 % * 2

= 4.8% n. bimestral

c) Trimestral

= 2.4 % * 3

= 7.2% n. trimestral

Nota 1: La tasa de periodo mayor, será también mayor, y viceversa. Nota 2: En las tasas, el periodo va en el denominador. Así, 2.4% mensual (TNM) es 2.4%/ mes. Ejemplo 2.: La operación para hallar la tasa nominal proporcional anual a 2.4% TNM sería así: TNA

=

2.4 %

12 meses

------------ X 1 mes

---------------- 1 año

28.8% =

------------------ 1 año

=

28.8% TNA

También se puede expresar así: j .i p

= ----------- m

Donde m es el número de veces que el periodo de interés de la tasa proporcional buscada está contenida en el periodo de interés de la tasa dada. En el ejemplo, el periodo anual está contenido 1/12 en el periodo mensual. Las tasas proporcionales pueden ser: ACUMULADAS o FRACCIONARIAS. 3.- TASA EFECTIVA.- Es aquella tasa que indica un periodo de capitalización, y este coincide con el periodo de interés, por lo cual puede usarse en el INTERES COMPUESTO. Por ejemplo, 27% TNA capitalizable anualmente, es una tasa efectiva anual del 27%, y se expresa: 27% TEA. 3.1 TRANSFORMACION DE TASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA. Así, una tasa nominal se convierte en efectiva si el periodo de capitalización coincide con el periodo de interés. Pero si no coincide, entonces debe calcularse antes una tasa nominal proporcional cuyo periodo de interés coincida con el periodo de capitalización. Ejemplo 3: Convertir 1.5% TNM en una TEA. Sol.: Buscamos una TNA capitalizable anualmente = TEA.

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Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Primero debemos convertir la TNM en TNA: 1.5 % TNA

=

-----------X 1 mes


12 meses ------------- ------ 1 año

=

18%

O lo que es lo mismo, considerar m = 1/12 = 0.08333333 … Y 1.5%/ 0.08333333 …= 18% Ahora si, la tasa hallada será también la tasa efectiva= 18% TEA 4.- TASA EQUIVALENTE.- Es aquella tasa efectiva que produce el mismo monto que otra tasa efectiva dada, en un determinado horizonte (periodo de la operación). Este problema se suele presentar, por ejemplo, cuando necesitamos calcular una tasa efectiva que coincida con un periodo de renta, en el caso de una anualidad. Ejemplo 4: Dado un Principal “P”, aplicado durante 9 meses, calcule la TEM que producirá el mismo monto que una TEA del 52%. SOL.- AL hablar de efectiva, se aplica interés compuesto. La condición es que los montos coincidan: M TEM= M TEA P . (1 + ie)9 = P . (1 – 0.52) 9/12 Eliminado P y el exponente 9: 1 + ie = ( 1+ 0.52) 1/12 ie = ( 1+ 0.52) 1/12 – 1= 0.03508414 = 3.508414 % TEM 4.1 FORMULA PARA CALCULAR LA TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A OTRA TASA EFECTIVA DADA. ie = ( 1+ id ) ne/nd – 1 Donde ne es el periodo de capitalización de la tasa equivalente en días, y nd el periodo de capitalización de la tasa dada en días (podría usarse otra unidad de tiempo para ambas). No confundir con el “n” usado como numero de periodos del horizonte temporal, ni con el “m” usado para hallar la tasa proporcional. Con este último son similares, pero son ¡exactamente lo opuesto! Regla Práctica: La tasa de periodo mayor, será también mayor, y viceversa. 4.2 FORMULA PARA CALCULAR LA TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A PARTIR DE UNA TASA NOMINAL SI ESTA DIFIERE RESPECTO AL PERIODO DE CAPITALIZACION .

69

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Esta formula hace en una sola operación dos: De tasa nominal a efectiva, y luego de esa tasa efectiva a una tasa efectiva equivalente. ne/nd

j .i e

=

1 +

_____ m

- 1

EJEMPLO 5: Calcular la Tasa Efectiva Semestral equivalente a una TNA del 24.6% capitalizable mensualmente. SOLUCION: .j= 24.6% TNA, m= 12;; ne/nd = 6 . Aplicando: 6

0.246 .i e

=

1 +

_____ 12

- 1

=

0.129479

O también expresado: 12.95% TES 5.- OTRAS EXPRESIONES DE TASAS. 5.1 TASA ACUMULADA.- Es el producto de la aplicación de una tasa dada durante varios periodos de interés de una tasa dada, y se expresa como tasa para TODO el periodo. Nos dá la tasa de ganancia por toda la operación en su conjunto. Es una forma de plantear una situación, pero se calcula como una tasa equivalente, si es efectiva (interés compuesto), según la fórmula 4.1 . En caso de interés simple, se puede calcular sólo proporcional, o como: .ia = I/C EJEMPLO 6: Cual es la tasa acumulada si se aplica una tasa nominal mensual (simple) de 1.2% a un capital de 4,000 u.m. durante 105 días. SOLUCION. 105 días = 3 meses y medio. I = 4000* 1.2%*3.5 meses. = 168 .ia = 168/ 4000 = 4.2% (tasa de 105 días) 5.2 TASA FRACCIONADA.- Es el producto de la aplicación de una tasa dada a una fracción del periodo de interés. Si son tasas nominales, se aplica como tasa proporcional. Si son tasas efectivas, se puede calcular con la misma fórmula 4.1, considerando el “n” como una fracción lo siguiente if = ( 1+ id ) 1/m – 1

70

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Donde “m” sería lo opuesto a n, es decir, el número de veces que el periodo de interés la tasa fraccionada buscada se contiene en el periodo de interés de la tasa dada id EJEMPLO 7: Cual es la tasa fraccionada si se aplica una tasa efectiva mensual de 1.3% a un capital de 4,000 u.m. durante 15 días. SOLUCION. 15 días se contiene 2 veces en el mes: m = 2 if = ( 1+ 0.013 ) 1/2 – 1= 0.006479011= 0.6479011% (quincenal, TEQ) 6.- PERIODOS EN MATEMATICAS FINANCIERAS Y NECESIDAD DE TRASFORMAR LAS TASAS.- 6.1 Al inicio, en interés simple, sólo se considera el PERIODO DE LA OPERACIÓN (“n”) y el PERIODO DE INTERÉS, indicado en la tasa. Ambos deben estar expresados en las mismas unidades temporales: si aplicamos una tasa mensual, el numero de periodos debe estar también en meses, en caso contrario, se puede transformar “n” o la tasa (tasa proporcional). Aquí, manda el periodo de interés. 6.2 En interés compuesto, se requiere además conocer el PERIODO DE CAPITALIZACION, que es indicado usualmente en la tasa de interés compuesta o efectiva. Por eso, si el periodo de interés no coincide con el periodo de interés, se debe transformar la tasa (proporcional o equivalente, según el caso) para que su periodo de interés coincida con el periodo de capitalización, como ya lo vimos. Aquí MANDA el periodo de capitalización. 6.3 En el caso de anualidades, se agrega además el PERIODO DE RENTA, que debe coincidir con el periodo de interés y de capitalización. Por ejemplo, si la renta es mensual, la tasa aplicable debe ser una TEM (tasa mensual, de capitalización mensual). En caso contrario, debe buscarse la tasa efectiva equivalente que coincida con el periodo de renta, pues MANDA el periodo de renta. 6.4 En general, se debe armonizar las unidades de tiempo de los periodos que se aplicarán. Para ello, se puede usar el concepto de transformación de unidades, como se usa en las ciencias exactas, usando los factores de conversión, que son fracciones que equivalen a 1 (numerador y denominador son equivalentes). EJEMPLO 8.- transformar 5 semestres a meses. .n=

6 meses 5 semestres * ___________=

30 meses 71

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo 1 semestre


EJEMPLO 9.- transformar una tasa del 1.2% nominal mensual a anual .i=

1.2 % __________ * mes

12 meses ___________= 1 año

14.4 % _______ = 1 año

14.4% anual

Nota: Una tasa mensual, por ejemplo, indica una cantidad (proporción) por cada mes, las unidades de tiempo van en el denominador.

72

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Ejercicios Propuestos: Operaciones con Tasas

TASA PROPORCIONAL. TASA EFECTIVA A PARTIR DE UNA TASA NOMINAL. TASA EQUIVALENTE, TASA EFECTIVA A PARTIR DE UNA TASA NOMINAL CON PERIODO DE INTERÉS DISTINTO A SU PERIODO DE CAPITALIZACION. 1. Calcule el monto resultante de aplicar una TNM de 0.9% a un capital de S/. 5,234 durante 2 años. Calcule la TNA correspondiente. 2. Determinar la TEA que corresponde a un TNM de 0.8% con capitalización anual. 3. Calcule la TEM equivalente a una TEA del 12% 4. Calcule la TEM equivalente a una TNA del 24% con capitalización bimestral. 5. a.- Calcule el monto a formarse de un capital de US$ 18,514 aplicado durante 15 meses al 12% TEA b.-Calcule cual sería la TEM que nos daría el mismo monto, aplicado durante el mismo tiempo al mismo capital. 6. Calcule la tasa nominal anual correspondiente a las siguientes: a) 5% TNB b) 1.2% TNM c) 0.04% TND d) 10.5% TNS 7. Calcule las TEAs equivalentes a: a) 1 % TEM b) 8% TES c) 7% TET d) 0.08% TED

73



EJERCICIOS PROPUESTOS - TASAS EQUIVALENTES ieq = (1+idada)meq/mdada+1

ieq = Tasa efectiva equivalente buscada idada= Tasa efectiva dato meq= Período de capitalización de la tasa equivalente en días. Mdada= Período de capitalización de la tasa dada en días.

Ejercicio N° 1: Calcule la TEA que es equivalente a una TEM del 1%. Nota: Aplicada al mismo capital por el mismo tiempo, produce el mismo monto. SOLUCIÓN. Datos: Ieq = ? TEA

ieq = (1+0.01)360/30 -1

Meq = 360 días

ieq = 0.1268250301

idada= 1% TEM

ieq = 12.68250301% TEA

Mdada= 30 días

Si son equivalentes es mayor la de mayor período. Ejercicio N° 02: Calcule las siguientes tasas equivalentes a 15% TEA: a) TEM b) TES b) SOLUCIÓN. c) Datos: d) Ieq = ¿ TEM

ieq = (1+0.15)30/360 -1

Meq = 30 días

ieq = 0.01171491692

Idada = 360 días

ieq = 1.171491692% TEM

Ieq = ¿ TES

ieq = (1+0.15)180/360 -1

Meq = 180 días

ieq = 0.07238052948

Idada = 15% TEA = 0.15

ieq = 7.238052948% TES

Mdada = 360 días

74



EJERCICIOS PROPUESTOS INTERES COMPUESTO - TASA EQUIVALENTE ¿Cuál fue el capital depositado durante 6 meses 12 días a una TEM del 2.50% si produjo un Interés de S/. 11299.50? n=

6.4

P =

66000

¿Por cuánto tiempo debió estar depositado un capital de 82310 soles si produjo un interés de 16,075.30 soles a una TEM del 1.80%? m =

98385

n =

10

meses

Calcular cual fue el capital depositado durante 5 meses 18 días a una TEM del 2.50% si produjo un Interés de S/. 11340

P = 7646976468.96 n= 5.6 ¿Por cuánto tiempo debió estar depositado un capital de 82310 soles si produjo un interés de 14820 soles aplicándose una TEM del 1.80%? m =

97130

n =

9.28 meses

¿Cuál fue el capital depositado durante 6 meses 12 días a una TEM del 2.50% si produjo un Interés de S/. 11299.50? P = 66000 n= 6.4 ¿Por cuánto tiempo debió estar depositado un capital de 82310 soles si produjo un interés de soles si produjo un interés de 16,075.30 soles a una TEM del 1.80%? m =

98385

n =

10

meses

Depositamos S/.456824 en un banco a una tasa anual de 31.50% capitalizable mensualmente, durante 1 año, 2 meses y 6 días. Calcule el Monto y el Interés generado

75

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo i = n mss =

31.50% 14.2

i men=

m =660000 I =203176

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . 0.0263

cap. Mens.

Calcular: La TES equivalente a una TEA del 22% La TEB equivalente a una TEM del 2%

a.-

0.105

10.45%

b.-

0.044

4.45%

Calcular cual fue el tiempo en que un capital de S/. 12520 estuvo invertido a una TEA de 21.60% si formó un interés de S/. 1850 n = 0.7047

años

8.45636

13.69

8 meses

días 14 aprox.

Depositamos S/. 21150 en una institución bancaria que fija una tasa nominal mensual de 1.19% Nuestro deseo es formar un monto de S/. 23667. ¿Cuánto tiempo debemos mantener el depósito? n =

10

Depositamos un capital de S/. 70820 a una TEA de 16.20% . Al retirar todo el depósito y los interés se nos informa que el dinero estuvo por 2 meses a dicha tasa, y 3 meses al 15.60%. Calcule el monto total a retirar. Si la TEA hubiera sido una sola, ¿Cuál sería su valor para obtener el mismo resultado? M=

75983.1

Calcular cual fue el tiempo en que un capital de S/. 9390 estuvo invertido a una TNA de 21.60% con capitalización mensual si formó un interés de S/. 1307.64

n¨=

0.6667

años

8

meses

Calcular: La TEA equivalente a una de 1.20%

76



La TEQ equivalente a una de 11.20% TEA TEQ

0.153894624 0.004433139

Descuentos

54340

El precio de lista de un producto es S/. 82.50, aplicándose descuentos sucesivos de 20 y 30%. ¿Cuál es el precio final? B) ¿Cuál es descuento (%) total? PF Descuento

46.2 44%

El 15 de julio se deposita S/. 42,310 en una institución bancaria a una tasa de interés nominal de 3.2% mensual. El 16 de agosto se produce el retiro del total y cierre de la cuenta. ¿Cuál será el monto a retirar? P 42310 i 3.20% TNM n 15-jul 16-ago julio 16 agosto 16 dias T. 32 M 43754.18 Se deposita S/.25,350 en una institución bancaria, con una tasa de interés anual de 27% capitalizable mensualmente. Calcular el monto a retirar después de 6 meses. P 25350 TNA c. i 27% mensual 0.0225 TEM n 6 meses M 28970.62 Se deposita S/. 22,540 en el Banco Surmenor por 3 meses, lográndose al final de dicho periodo un monto de S/. 31,310. ¿Cuál fue la tasa efectiva mensual aplicada? P 22540 i ? TEM n 3 m M 31310 i 0.11577438 Comprobación M 31310

77



El señor Fontana desea depositar S/. 45,300 con el fin de lograr al cabo de 2 años S/. 56,200. ¿Cuál debe ser la TEM aplicable mínima que le permita lograr su cometido? i= 0.902421 % TEM Determine el monto formado por un capital de S/. 120,560 depositado durante 2 años, 3 meses y 21 días al 1.2% TNM con capitalización anual. N= 2.3083333 a i= 14.4% TEA M= 164463.67 RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha identificado y diferenciado las principales clases de tasas de interés usadas en el sistema financiero local, identificando su necesidad. Se las ha agrupado en especial como tasas nominales y tasas efectivas, conforme no tenga o tengan periodo de capitalización. Se ha diferenciado asimismo por su periodo de interés, las tasas: anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, etc. Se ha definido la tasa equivalente a otra como aquella que, aplicada al mismo capital por el mismo tiempo, produce el mismo interés (y por ende, el mismo Monto), Se ha señalado la manera de cambiar una tasa de un periodo de interés a la de otro periodo de interés, y las operaciones necesarias para trasformar las tasas como tasas equivalentes, entre tasas nominales a tasas efectivas. Se han definido las relaciones (formulas) para determinas las tasas equivalentes, y se han aplicado para calcular los importes necesarios en varios casos financieros, y ejercicios propuestos.

78



Capitulo 5

Equivalencias Financieras

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales.- al culminar el presente capítulo, el lector podrá identificar la necesidad de aplicar el principio de la equivalencia financiera para negociar o modificar contratos u operaciones financieras;; así como podrá calcular las variables pertinentes. Específicos • Principio de la Equivalencia financiera. Momento de comparación. • Determinación del Capital común • Determinación del periodo medio. En muchos casos en la vida comercial o financiera de la empresa, necesitamos permutar entre dos capitales o magnitudes financieras, o entre dos flujos financieros, por convenir mas a las circunstancias cambiantes de la empresa, por ello necesitamos aplicar problemas de equivalencias financieras. Conceptos Previos:

79

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Estos conceptos se relacionan con los del Valor Actual (o Valor Presente) y Valor Futuro. El Valor Actual corresponde a “P”, y el Valor Futuro a “M”. Por tanto:

VP =

VF (1 + i ) n

VF = V * (1 + i )

n

Debemos considerar que, a la tasa de interés “i”, (compuesta), VP y VF son capitales equivalentes financieramente. Principio de Equivalencia Dos capitales, P1 y P2, que vencen en los momentos n1 y n2 son equivalentes cuando, valorados a un mismo instante de tiempo “n”, tienen el mismo valor. Este problema se presenta cuando deudores y acreedores se ponen de acuerdo para cambiar las condiciones pactadas originalmente, generando nuevas relaciones contractuales;; por ejemplo en : • Refinanciación de deudas • Reemplazo de varias deudas que vencen en fechas diferentes por una sola • Pagos adelantados • Prórrogas de vencimientos de plazos pactados. Se considera el valor del dinero en el tiempo. Podemos decir que: (P1 , n1 ) = (P2 , n2) Si coinciden a VF o a VP en un momento “n”. “n” es la fecha focal. En interés simple, diferente fecha focal varía la equivalencia;; en interés compuesto, diferente fecha focal no varía la equivalencia financiera. Ecuación de Valor Significa que la suma de las deudas es igual a las sumas de los pagos cuando todas las cantidades han sido trasladadas a la fecha focal. Sólo podemos sumar, restar e igualar dineros siempre que estén en la misma fecha, por ejemplo, la “fecha focal” Casos de aplicación de equivalencias financieras Determinación del capital común Determinación del vencimiento común Determinación del vencimiento medio

80

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . En interés simple, el Principio de equivalencia se verifica en un momento determinado, pero no tiene que cumplirse en otro momento. La elección de la fecha focal condicionará el resultado. Por esa razón, por razones de tiempo y porque el supuesto de interés compuesto es más real, sólo consideraremos en este caso equivalencia financiera a interés compuesto. Equivalencia Financiera a Interés Compuesto En interés compuesto, la fecha donde se realice la equivalencia no afecta el resultado final de la operación. Así, la elección de la fecha focal o fecha para el análisis comparativo es indiferente. Determinación del capital común. Este caso consiste en encontrar el capital equivalente, en un momento (tiempo) determinado, a un conjunto de capitales (flujos) de diverso importe y fecha de vencimiento, a efecto de ejecutar, por ejemplo, una compra de deuda, u otra operación financiera. Por ejemplo mi deuda con el banco Alfa vence en tres meses, la que corresponde al banco Beta vence de 10 meses. Los importes son de S/. 4,000 y S/. 6,000 respectivamente. El banco Futuro quiere “comprarme” ambas deudas, y consolidarla en una sola a pagarse en 15 meses. Si aplico en todos los casos una tasas del 1% TEM, ¿Cuál será el capital común en el mes 15?

EJERCICIOS RESUELTOS DE EQUIVALENCIAS FINANCIERAS Determinación del vencimiento común. Ejercicio propuesto.

VF VP = (1 + i )n

n=

VF = VD(1 + i) n

log(VF / VP) log(1 + i)

Ejercicio N° 01.Ronald Hilario tiene 3 deudas 6,000, 5,000 y 8,000 con vencimiento en 5, 8 y 11 años. Queremos sustituirla con una sola a pagar en el décimo año. Si la operación se realiza a una TEA del 14%. Calcular el monto a pagar. 6000 0

5

5000 8

VFx

8000

10

11

años 81



Momento de comparación. VP1 + VP2 + VP3 = VPx

VP1 =

6000 = VP1 = S / .3116.21 (1.14 )5

VPx = S/ 6761.95

5000 = VP2 = S / .1752.80 (1.14 )8 8000 VP3 = = VP3 = S / .1892.94 (1.14 )11 VP2 =

VF= VPx(1+i)n

VF = 6761.95(1.14)10

VF=25068.05

Ejercicio N° 02.Luis Gómez Balarezo tiene deudas con tres bancos por S/ 5000, S/. 6000 y S/. 75000, con vencimiento en 3, 7 y 9 meses, aplicándose una TEA del 21%. El Banco propone en la fecha comprar sus deudas y le ofrece un repago en 12 meses a una TEA del 18% ¿Cuánto deberá pagar? 5000 0

3/12

VP1 =

VP2 =

VP3 =

6100 7/12

7500 9/12

VFx 12/12 meses/años

5000 = VP1 = S / 4767.31 (1.21)3 /12

6100

(1.21)

7 / 12

= VP2 = S / .5458.06

VPx = S/ 16726.25

7500 = VP3 = S / .6500.88 (1.21)9 /12 VF = 16726.25(1+0.18)12/12

VF= S/ 19736.98

Ejercicio N° 03.Juan tiene deudas con tres bancos por S/ 2000,

S/. 3500 y S/. 5000,

con vencimiento de 3, 4 y 6 meses. Otro Banco ofrece un préstamo de S/.

82



12500 en el momento que Juan desee ¿En qué momento debe emplear dicho préstamo a efecto de cancelar las tres deudas si se aplica una TEM del 3.6%? 2000 0

12500

5000

4

n

6

3

VP1 =

2000

VP2 =

meses

= VP1 = S / 1798.67

(1.036)3

VP3 =

n=

3500

5000

(1.036)6 3500

(1.036)

4

= VP3 = S / .4044.00

= VP2 = S / .3038.29

log(VF / VP ) log(1 + i )

n=

log(12500 / 8880.96) log(1 + 0.036)

S/ 8880.96

N = 9.66487389 meses

Ejercicio N° 04.La Empresa tiene adeudos por S/. 50,000, S/. 120,000 y S/. 85000 con vencimientos en 8, 16 y 24 meses con el 16% TEA. La Empresa recibe la oferta del Banco de un préstamo por el cual deberá pagar S/. 260000 en el momento “n” este Banco tiene la TEA 12%. Calcule el momento “n” para pagar el importe exacto.

VP1 =

5000

(1.16 )8 / 12

= VP1 = S / 4528.96 VPx = S/ 166152.69

VP2 =

VP3 =

120000

(1.16)16 / 12 85000

(1.16 )24 / 12

= VP2 = S / .98454.88

= VP3 = S / .63168.85 83



N= 3.951113039 años

log(260000 / 166152.69) n= log(1 + 0.12)

N = 3 años, 342 días.

Ejercicio N° 5 3. Cristina posee tres deudas al banco de s/. 5,250.00, s/. 3,220.00 y s/.11,240, que tienen vencimientos a 3, 5 y 6 años respectivamente, Cristina recibe una herencia por lo cual decide pagar hoy la deuda con s/. 26,220.00. Hallar el momento en que se canceló la deuda si la tasa de interés es de 15.35% SOLUCIÓN (Incluir un diagrama valor tiempo) Identificamos la Ecuación de Valor (Momento de comparación “0”) VP= VP1 + VP2 +VP3 VF= 26220 gh

a) 𝑉𝑃 = (Fij)Z 𝑉𝑃 =

4350 3220 11240 + + C O (1 + 0.1535) (1 + 0.1535) (1 + 0.1535)G 𝑉𝑃 = 9182.570842

Entonces: klm (

no

)

np b) 𝑛 = qrs(Fij)

𝑛=

26220 LOG (9182.57)

𝐿𝑂𝐺(1 + 0.1535) 𝑛 = 7.34740 𝑛 = 7.34 𝑎ñ𝑜𝑠

Respuesta

n = 7.34 años

Ejercicio N° 6 Determine cuál es el valor de un negocio que rendirá s/. 60000.00 en el primer año y s/. 120000.00 en el segundo, si lo quiero comparar con la inversión que realizare hoy, siendo la tasa de referencia el 15% TEA.

84



Solución : Datos: • • • • •

VF1 = s/. 60000.00 VF2 = s/. 120000.00 .n1 = 1 año .n2 = 2 años .i = 15% TEA

Aplicando la fórmula del Capital o Valor Presente: gh

a) 𝑉𝑃 = (Fij)Z Nuestra Ecuación de Valor:(Usamos el mes “0” como momento de comparación): VP= VP1 + VP2 +

Reemplazando los valores: 𝑉𝑃 =

GDDDD F.FOQ

+

FNDDDD F.FOR

Obtenemos: 𝑉𝑃 = 142911.15 Respuesta: VP = S/. 142,911.15 Valor del negocio en el año “0”

Ejercicio N° 7 Tenemos 3 deudas de S/. 10000, S/. 20000 y S/. 115000 que vencen en 10, 20 y 25 meses, se quiere reemplazar el pago por uno solo con vencimiento en el mes 16. Calcule el importe del pago si aplicamos el 21% TNA con capitalización mensual. Solución : Datos: • • • • •

VF1 = s/.10000.00 VF2 = s/. 20000.00 VF3 = s/. 115000.00 VFx = X n1 = 10 meses 85


• • • •


n2 = 20 meses n3 = 25 meses Nx = 16 meses i = 21% TNA con capitalización mensual

Cálculo de la TEM Tasa Nominal a Tasa Efectiva Mensual NF%

F|ñ}

𝑖 = F |ñ} 𝑥 FN T~•~• 𝑖 = 1.75% 𝑇𝐸𝑀 Ecuación de Valor (Usamos el mes “0” como momento de comparación): VPx= VP1 + VP2 +VP3 Aplicando la fórmula del Capital o Valor Presente: gh

a) 𝑉𝑃 = (Fij)Z Reemplazando los Valores 𝑉𝑃𝑥 10000 20000 115000 = + + FG FD ND (1 + 0.175) (1 + 0.175) (1 + 0.175) (1 + 0.175)NO Despejando obtenemos: 𝑉𝑃 = 63746.42 Respuesta: VP = 63746.42 Ejercicios Resueltos de Equivalencia Financiera- Grupo 2 1. vencimiento es dentro de 30, 60 y 90 días respectivamente. Se quiere transformar las deudas en una sola con vencimiento en 45 días. ¿Cuánto tendrá que abonar el empresario aplicando la equivalencia de la deuda si la tasa efectiva mensual es de 7%? I = 7%TEM n = 45 VF1 = 1000 n1 = 30 VF2 = 3000 n2 = 60 VF3 = 2000 n3 = 90 VP = VP1 + VP2 + VP3 VP = ?

86

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo VPx


2000

3000

1000

Ddías

30

45

60

90

𝑉𝑃 1000 3000 2000 = + + (1 + 0.07)F.O (1 + 0.07)F (1 + 0.07)N (1 + 0.07)C 𝑉𝑃 = 5741.6 2. Tenemos 3 deudas de 15000, 60000 y 12000 soles que vencen en 10, 20 y 25 meses. Buscamos reemplazarlos por un solo pago con vencimiento en el mes 22. Calcule el importe de dicho pago si aplicamos el 21% TNA con capitalización mensual. I = 21% TNA = 1.75% TEA n = 22 VF1 = 15000 n1 = 10 VF2 = 60000 n2 = 20 VF3 = 12000 n3 = 25 VP = VP1 + VP2 + VP3 VP =?

VPx

|120000

6000

15000

días

10

20

22

25

87

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . 𝑉𝑃 15000 60000 120000 = + + NN FD ND (1 + 0.0175) (1 + 0.0175) (1 + 0.0175) (1 + 0.0175)NO 𝑉𝑃 = 194504.2 El importe por el pago para cancelar las 3 deudas en el mes 22 es de S/. 194,504.2 3. Se busca el tiempo en el cual se estaría cancelando una deuda equivalente de 15070 soles la cual es equivalente a las deudas de 1220, 1450, 7800 soles con vencimiento en 2, 5 y 6 meses respetivamente si todas estas deudas esta sujetas a un interés efectivo de 15% mensual. I = 15% TEM VP = 1870 VF1 = 1220 n1 = 2 VF2 = 1450 n2 = 5 VF3 = 7800 n3 = 6 VP = VP1 + VP2 + VP3 n = ?

15070

7800

1450

1220

días

0 2 n 5 15070 1220 1450 7800 = + + ) N O (1 + 0.15) (1 + 0.15) (1 + 0.15) (1 + 0.15)G

𝑛=

6

log €𝑉𝐹‚𝑉𝑃ƒ 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖 )

𝑛=

log .15070‚5015.556788/ 𝑙𝑜𝑔(1 + 0.15)

𝑛 = 7.871682048 4. Un comerciante desea saber cuál es importe que deberá pagar dentro de 2 años para cancelar 4 deudas de 1200, 1500, 2200 y 3000 con vencimiento dentro de 6, 10, 22, 15 meses respectivamente si la tasa de interés efectiva es de 12% mensual para todas las deudas. VP = VP1 + VP2 + VP3

88

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo I = 12%TEM VF1 = 1200 VF2 = 1500 VF3 = 2200 VF4= 3000


n = 24 n1 = 6 n2 = 10 n3 = 22 n4 = 15

VF

2200

3000

1500

1200

dias

6

10

15

22

24

𝑉𝐹 1200 1500 3000 2200 = + + + (1 + 0.12)NE (1 + 0.12)G (1 + 0.12)FD (1 + 0.12)FO (1 + 0.12)NN 𝑉𝐹 = 27637.54 5. Cuál sería el tiempo en el cual se debería cancelar una deuda de 7350 soles que es equivalente las deudas de 1000, 2550 y 1780 soles con vencimiento en 12, 14, 15 meses respectivamente si la TEM es de 9% I = 9% TEM n = ? VF1 = 1000 n1 = 12 VF2 = 2550 n2 = 14 VF3 = 1780 n3 = 15 VF = 7350

89



7350

2550

1000

1780

Días

12

n

14

15

7350 1000 2550 1780 = + + ) FN FE (1 + 0.09) (1 + 0.09) (1 + 0.09) (1 + 0.09)FO

log .7350‚1607.290924/ 𝑛= 𝑙𝑜𝑔(1 + 0.09) 𝑛 = 17.63971739 Ejercicios propuestos de Equivalencias Financieras – Ecuaciones de Valor Ejercicio Nº 1 Lambda SAC tiene adeudos con 3 bancos por S/. 5 000, 6 100 y 7 500, con vencimientos en 3, 7 y 9 meses, aplicándose una TEA del 21%. El Banco Santa Providencia propone a Gonzales en la fecha comprarle sus deudas, y le ofrece un repago en 12 meses, a una TEA del 18%. ¿Cuánto deberá pagar Gonzales al cabo del plazo?

R: 19736.98

Ejercicio Nº 2 Calcule el momento en el cual un pago de S/. 220 000 cancelará 3 deudas de 120 000, 70 000 y 40 000 soles con vencimientos en 5, 8 y 12 meses, si la TEM aplicable es de 1.2%.

R: 3.36 meses -‐101 dias

Ejercicio Nº 3 La empresa tiene 2 deudas de S/. 150 000 y S/. 100 000, con vencimientos dentro de 4 y 6 meses. Si la empresa proyecta cancelar anticipadamente dichas deudas, con un pago único en el mes 2, y la tasa aplicable es de 18% TEA. Calcule el importe correspondiente.

90

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo R= 240 550.97


Ejercicio Nº 4 La empresa tiene 2 acreencias de S/. 50 000 y S/. 250 000 exigibles dentro de 16 y 18 meses a partir de la fecha. Se ofrece a la empresa realizar un sólo pago anticipado de S/ 280 000, siendo la tasa aplicable 12% TEA. Calcule el momento exacto y aproximado del pago. R: 0.8632 años = 10 meses 11 dias Ejercicio Nº 5 La empresa tiene dos obligaciones de 53200 y 112300 cuyos vencimientos es dentro de 1 año y 1 año, 8 meses. Si la taza aplicable es del 2.5% mensual, calcule el importe a pagar para cancelar las dos obligaciones si el pago fuera realizado 1 mes antes del vencimiento de la primera obligación. R= 141 8240,2341

RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha explicado el principio de la equivalencia financiera para negociar o modificar contratos u operaciones financieras;; como un principio de equidad, que garantice que cada agente económico reciba o page la remuneración justa según el acuerdo por el uso del dinero. Cuando aplicamos el principio de equivalencia, podemos formar ecuaciones de valor, así como podrá calcular las variables pertinentes en una negociación o una renegociación de un contrato financiero, pero para ello debemos definir un momento de comparación. Así, la ecuación de valor se forma afirmando que los valores presentes o futuros de las deudas y los valores presentes o futuros de los pagos deben ser iguales. Por ejemplo, cuando queremos consolidar nuestras deudas en una sola, a vencerse en un momento determinado, como se dá en las “compras de deuda”(Determinación del capital común).. O cuando queremos pagar todas nuestras deudas (múltiples) con un solo pago en un momento determinado (Determinación del periodo común). Se ha aplicado las ecuaciones de valor para negociar o modificar contratos u operaciones financieras;; y así calcular las variables pertinentes en dos casos: Determinación del Capital común y Determinación del periodo medio. Esto se ha aplicado en diversos casos y ejercicios propuestos.

91



Capitulo 6

Anualidades Generalidades

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales.- al culminar el presente capítulo, el lector podrá identificar una anualidad, y conocerá la necesidad y conveniencia de aplicar este concepto en los contratos financieros;; asimismo podrá calcular las variables pertinentes, diferenciando anualidades simples de generales, y anualidades vencidas, anticipadas y diferidas. Específicos • Elementos de la anualidad vencida simple: Cuota, número de periodos de cuota, Principal o Valor Presente, Valor Futuro, tasa de interés. • Determinación de importe de la Cuota, número de periodos de cuota, del importe del Valor Presente, del importe del Valor Futuro, y la tasa de interés Anualidad: Concepto • Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que. partir del

segundo, los períodos de tiempo comprendido entre un flujo anterior son uniformes. Este período uniforme de tiempo, el período de renta, no es necesariamente un año, sino un intervalo de tiempo fijo, por ejemplo quincena, mes, trimestre, etc. Bajo estas características, son ejemplos de anualidades: los sueldos, dividendos, depreciaciones, amortizaciones, pensiones de enseñanza, pensiones de jubilación, primas de seguros, etc. Dentro de la anualidad, el importe de cada flujo (ingreso o egreso), recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

92



Anualidades Vencidas Simples Operaciones con un solo flujo

Operaciones con varios flujos (series)

93

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo 0 1 R R C=P= VP

2 R

3 R

4 R

5 R

6 R

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . 7 R

... ...

N periodo R M=S= VF

Veamos el siguiente caso general:

• Un conjunto de flujos (cuotas o rentas) “R” iguales, en el cual el periodo de renta es el mismo que el periodo de interés de la tasa de interés “i” aplicada, durante “n” periodos. Este es el caso de una anualidad simple, como vamos a ver mas adelante.

• Este conjunto de flujos o anualidad tiene equivalencias, tanto al momento “0” (Valor Presente) como al momento “n” (Valor Futuro) . También puede interesar conocer cual será la cuota que conformará un flujo con un valor Futuro o Presente determinado. Clasificación de las anualidades

Por la oportunidad del pago de la renta o cuota •

Vencida u ordinaria (renta pagada al final del periodo)

•

Anticipada o imposición (renta pagada al inicio del periodo)

•

Diferida (renta pagada en un periodo posterior al correspondiente. Puede ser, a su vez, vencida o anticipada)

Las anualidades en general pueden ser a su vez: •

- Simples: cuando el período de renta coincide con el período de capitalización.

94

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . • - Generales: cuando el período de renta no coincide con el período de capitalización. Pueden darse varios períodos capitalizables por período de renta, o varios períodos de renta por período capitalizable. •

- Impropias o variables: son anualidades cuyas rentas no son iguales.

Simbología • P = Valor presente de una anualidad • S = Monto de una anualidad, valor futuro • R = Renta • H = Número de días del plazo de la anualidad a interés compuesto • f = Número de días del período de capitalización • n = Número de períodos de capitalización en el Horizonte temporal (n= H / f) • i = Valor constante que asume la tasa de interés del período capitalización • m = Número de períodos de capitalización en un año de la TNA

• Nota: Como en los casos anteriores, debe haber coherencia temporal entre el valor

de la tasa “i” y el valor de “n”. Por ejemplo, si la tasa es efectiva mensual, se considera el numero de pagos (renta o cuotas) mensuales. Operaciones con varios flujos (series) Cuando interesa el valor futuro

95



Operaciones con varios flujos (series) Cuando interesa el valor futuro

Operaciones con varios flujos (series) Cuando interesa el valor presente

96



FORMULAS ANUALIDADES ANUALIDADES VENCIDAS •

é (1 + i) n - 1 ù VF = R * ê ú = R * FCS i ë û é (1 + i) - 1ù VP = R * ê = R * FAS n ú ë i *(1 + i) û n

•

é ù i R = VF * ê ú = VF * FDFA n ë (1 + i) - 1û é i *(1 + i) n ù R = VP * ê ú = VP * FRC n ë (1 + i) - 1û

•

ù i -1 é Ra = VF * (1 + i ) * ê ú n ë (1 + i) - 1 û

•

é i *(1 + i) n ù Ra = VP *(1 + i) -1 * ê ú n ë (1 + i) - 1û

•

é (1 + i) n - 1 ù VP = Ra * (1 + i ) * ê n ú ë i *(1 + i) û

•

•

ANUALIDADES DIFERIDAS Para ambos casos, de A. vencidas o

ANUALIDADES ANTICIPADAS

anticipadas;; a las formulas consabidas

se aplica el factor: •

é (1 + i)n - 1ù VF = Ra * (1 + i ) * ê ú i ë û

•

(1 + i) - k para R

Y 97

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo • (1 + i ) k para VF o VP

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Donde: K es el # de periodos de diferimiento

Ejercicio: Anualidades o Rentas Fórmulas Básicas:

(1 + i)n - 1 VP = R * i *(1 + i)n

(1 + i) n - 1 VF = R * i Ejercicios: 1.- TREXSA adquiere en la fecha maquinaria para ampliación de su producción con un crédito a ser cancelado en pagos trimestrales iguales. Si el costo total fue de US$ 355,300;; la tasa es de 10% TET y se espera pagar en 2 años y medio;; ¿Cuánto importará la cuota trimestral a pagar? 2.- La empresa desea formar al final de los próximos 3 años un fondo para la renovación de equipos de planta de US$ 398,300, en una institución bancaria que 11% TET. ¿Cuál será la cuota trimestral necesaria? 3.- Juan Gonzales puede disponer mensualmente de S/. 3,200 para formar un fondo para adquirir en el futuro un vehículo, depositando dicho importe en banco que paga 2% TEM. Si requiere formar un fondo de S/. 50,000. ¿Cuántas cuotas mensuales debe depositar? 4.- La empresa le ofrece al señor Jorge Palma el pago de un reintegro en 4 cuotas de S/. 3,000 mensuales, considerando una tasa de interés de 2.7% TEM. Si se considera preferible pagar en la fecha un solo monto;; ¿Cuánto debe ser el importe? 5.- A la empresa le faltan 5 pagos mensuales de US$ 32,000 para cumplir con un crédito otorgado por el banco Buenaventura;; y en la fecha se desea cancelar el total de la deuda. Si Buenaventura aplica una TEM de 2.7%, ¿Cuánto deberá pagar en la fecha?

98



99



Ejercicios Resueltos de Anualidades

[(1 + i ) -1] VFA = Rx n

i

FA = Fondo de Amortización

Ejercicio N° 01: Juan Pérez necesitar formar un fondo de S/. 5000 disponible dentro de 2 años, haciendo depósitos mensuales iguales en el Banco que aplica el 0.8% TEM ¿Cuál debe ser el importe del depósito mensual?

El conjunto de los “n” (24) pagos iguales (“R”) y períodos (mensuales) se llama anualidad …. R=? i = 0.8% TEM = 0.008 Vfa = S/. 5000 n = 24 cuotas mensuales (depósitos)

R=

R=

VFAxi (1 + i )n x1

[

]

5000 x0.008 1.00824 - 1

(

)

100



R = S/. 189.80 Ejercicio N° 2.- Jorge Gonzales decide depositar mensualmente S/. 250.00 en el Banco que aplica el 0.6% TEM y desea saber cuánto acumulará en 3 años. Calcule el importe a formar. R = S/ 250 mensual i = 0.6% TEM = 0.006 VFA= ? n = 3 años = 36 meses

[

]

Rx (1 + i ) - 1 VFA = i n

[

]

250 (1.006) - 1 VFA = 0.006 36

VFA = S/ 10,012.57 importe formado en 3 años Ejercicio N° 03.-

Abraxas S.A.C. deposita mensualmente por 28 meses

$ 3200 en el Banco que aplica el 18% TEA. Calcule el importe formado en dicho período. R = $ 3200 i = 18% TEA n = 28m

VFA =

[

28

n = 28 meses

VFA = 1508.414168/0.01388843

VFA = ?

VFA = $ 108609.4085

Cálculo “i”

]

3200 (1.01388843) - 1 0.01388843

Período de cuota nanda

i (ITEM) = (1+0.18)30/360-1 i = 0.01388843 i = 1.38843034% TEM

101



Ejercicio N° 04.- Luis Cumpla contiene un préstamo de S/. 52,000 para adquirir un vehículo con una Financiera que aplica una TEM de 1%. Cumpla acuerda pagar en 3 años con cuotas mensuales ¿Cuál debe ser el importe de la cuota? R=? i = 1% TEA

VPA =

n = 3 años = 36m

[

]

Rx (1 + i ) - 1 ix(1 + i ) n n

VPA = s/. 52,000

VPAxix(1 + i) n R= (1 + i )n - 1

[

]

R=

52000X 0.01X 1.0136 = R = S / .1727.14 (1.0136 - 1)

Ejercicio N° 05.- José Sánchez dispone de S/. 250.00 cada mes y desea adquirir un préstamo con Financiera que aplica 0.8% TEM. Qué importe de préstamo puede tener José si desea cancelarlo en 3 años? R = S/. 250.00 i = 0.8% TEM = 0.008 VPA = ? n = 3 años = 36m

VPA =

(

)

250x 1.00836 - 1 (0.008x1.00836 )

VPA= S/ 7793.09

---

EJERICIOS RESUELTOS DE ANUALIDADES Concepto: Conjunto de pagos que son periódicos (cada tiempo igual) y son iguales (en unidades monetarias) Ejemplos: -‐ El alquiler de una casa, en donde se pagara un alquiler de 800 soles mensuales en un contrato de 2 años (24 cuotas) -‐ 240 cuotas de 200 dólares mensuales Ejercicio Nº 1 Juan Fernández desea formar en 2 años y medio un fondo de S/. 2,500, haciendo depósitos mensuales iguales en el Banco Galaxia al 1% TEM. ¿Cuál debe ser el importe del depósito?

102



Solución: VFA= S/. 2,500 R = ¿? Mensual n = 30 cuotas mensuales i = 1% TEM Aplicamos:

VFA = R x [(1 +i )ⁿ - 1] i

Despejamos:

VFA x i [(1 +i )ⁿ - 1] R=

= R

VFA x i [(1 +i )ⁿ - 1]

Reemplazamos valores: R = Rpta.:

2500 x 0.01 [(1 +0.01 )30 - 1]

R = S/. 71.87

Ejercicio Nº 2 José Pérez opta por adquirir un departamento financiado con el Banco Saturno, que aplica el 0.5% TEM. El importe a financiar es $ 80,000 en 15 años, con pagos mensuales. Calcular el importe de la cuota. Solución: VPA= $ 80,000 R = ¿? Mensual n = 180 cuotas mensuales

103

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo i = 0.5 % TEM =˃ 0.005


VPA = R x [(1 +i )ⁿ -‐ 1] i x (1 +i )ⁿ

R = 80000 x 0.005 x 1.005180 [1.005180 -‐ 1 ]

R = $ 675.08

Despejamos: R = VPA x i x (1 + i )ⁿ [ (1 + i )ⁿ -‐ 1 ] Reemplazamos valores:

Rpta.:

ANUALIDADES SIMPLES VENCIDAS

1. VFA = R x [(1 +i )ⁿ -‐ 1] I 2. VPA = R x [(1 +i )ⁿ -‐ 1] i x (1 +i )ⁿ 3. n = log (1 +VF x i /R) log (1 + i) 4. n = -‐ log (1 – VP x i/R) log (1 + i)

Ejercicio Nº 1

104



La empresa desea formar un fondo para contingencias judiciales por $ 250,000; haciendo depósitos mensuales en el Banco Frontera, al 1% TEM, de $ 30,000 ¿En cuánto tiempo puede disponer de dicho fondo? Solución: VFA= $ 250,000 R = $ 30,000 C. Mensual i = 1% TEM => 0.01 n = ¿? cuotas mensuales Aplicamos 3:

n = log (1 +VF x i /R) log (1 + i)

Reemplazamos valores:

n = log (1 +250000 x 0.01/30000) log (1 + 0.01) n = 8.04 c.m. Rpta.: Son 8 meses (ultima cuota será mayor)

Ejercicio Nº 2 Juan Gonzales desea comprar un equipo de S/. 3,200 soles, con cuotas mensuales de S/. 250, financiando con el Banco Galaxia, que aplicará el 2.5% TEM ¿Cuántas cuotas son necesarias? Solución: R = 250 i = 25% TEM = 0.025 Aplicamos 4: y reemplazamos n = - log (1 – VP x i/R) log (1 + i) n = - log (1 – 3,200 x 0.025/250) log (1 + 0.025) n = 15.6185 c.m. Ejercicio Nº 3 En el caso 2, calcule la cuota mensual que nos permite pagar en 15 cuotas exactas. Solución:

105



VP = S/. 3,200 i = 2.5% TEM => 0.025 n = 15 cuotas mensuales R = ¿? C. Mensual Aplicamos 2:

R = VPA x i x (1 +i )ⁿ [ (1 +i )ⁿ- 1] R = 3,200 x 0.025 x (1 +0.025 )15 [ (1 +0.025 )15- 1] R = S/. 258.45

Ejercicio Nº 4 Representaciones Gómez SAC, desea formar un fondo para reposición de maquinarias de $ 800,000. El Gerente financiero informa que puede disponer para ello de $ 60,000 cada mes, que se depositaria en el Banco Fortuna, al 1% TEM ¿En qué tiempo la empresa dispondrá de dicho fondo? Solución: VF = $ 800,000 i = 1% TEM => 0.01 R = $ 60,000 C. Mensual n = ¿? cuotas mensuales Aplico 3 y reemplazo: n = log (1 + VF x i/R) log (1 + i) n = log (1 + 800,000 x 0.01/60,000) log (1 + 0.01) n = 12.58 c.m Ejercicios resueltos de Anualidades vencidas Ejercicio 1 Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

106



Solución: i =0,09/12=0,0075 𝑃 = 1000 †

1 − (1 + 0.0075)‡CD ˆ = 26,775.08 0.0075

2500 (1 + 0.0075)‡CF = 1,983.09 26,775.08 + 1,983.09 + 20,000 = 48,713.17 Respuesta.

Ejercicio 2 ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

Solución: i =0,12/12=0,01 1 − (1 + 0.01)‡CD 𝑃 = 1,600 † ˆ = 41,292.33 0.01 2,500(1 + 0.01)‡CF = 1,836.44 41,292.33 + 1,836.44 + 14,000 = 57,128.78 Respuesta

Ejercicio 3 En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,

107

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

Solución: (1 + 0.08)FF − 1 𝐹 = 1,500 † ˆ = 24,968.23 0.08 24,968.23(1 + 0.08)H = 42,791.16 (1 + 0.08)H − 1 𝐹 = 3,000 † ˆ = 26,768.41 0.08 1,500(1 + 0.08)FV = 5,994.02 42,791.16 + 26,768.41 + 5,994.02 = 75,553.60 Respuesta Ejercicio 4 Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

Solución: i=0,06 /12 =0,005 tasa mensual

𝐹 = 100 .

(FiD.DDO)RŠ\ ‡F D.DDO

/ = 46,204.09 Respuesta.

Ejercicio 5

108

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Determine cuál es el valor de la cuota mensual necesaria para que la empresa GAMMA SAC forme un fondo para renovar maquinarias al cabo de 2 años depositados en el Banco Buena Fe (15% TEA). Fondo $340 000.

Solución: VF= 340,000 n= 24 cuotas mensuales i= 15% TEA -> TEM R=?

𝒊𝑬𝒒 = (𝟏 + 𝒊𝑫𝒂𝒅𝒂 )𝑴𝑬𝒒 ⁄𝑴𝑫𝒂𝒅𝒂 − 𝟏 i”• = TEM = (1 + 0.15)CD⁄CGD − 1 TEM = 1.171491692% TEM 𝑹 = 𝑽𝑭 ∗ •

R = 340,000 ∗ •

𝒊 ž (𝟏 + 𝒊 )𝒏 − 𝟏

0.01171491692 ž (1.01171491692)NE − 1 R= $ 12 350.61

Ejercicio 6 Calcule el importe de la cuota mensual necesaria para cancelar un préstamo de s/. 18 400 en un año y medio si se nos aplica una TES del 8%.

Solución: VP= 18,400 n= 18 cuotas mensuales i= 8% TES -> TEM R=? 𝒊𝑬𝒒 = (𝟏 + 𝒊𝑫𝒂𝒅𝒂 )𝑴𝑬𝒒 ⁄𝑴𝑫𝒂𝒅𝒂 − 𝟏 i”• = TEM = (1 + 0.08)CD⁄FVD − 1 TEM = 1.290945696% TEM 𝒊 ∗ (𝟏 + 𝒊 )𝒏 ¢ 𝑹 = 𝑽𝑷 ∗ ¡ (𝟏 + 𝒊 )𝒏 − 𝟏

109



0.01290945696 ∗ (1.01290945696)FV ¢ R = 18,400 ∗ ¡ (1.01290945696)FV − 1

R= S/. 1,152.14 Ejercicio 7 Un profesional deposita $470 000 al principio de cada mes, en una cuenta de inversión. Si la tasa de interés es del 23.64% capitalizable cada mes, a) Obtenga el monto al cabo de 4 años b) ¿Cuál es el interés ganado en los 4 años? c) Calcule el valor presente de la anualidad

Solución: a) A=470 n= 48 meses i= 0.2364/12=0.0197

(1 + 𝑖 ))iF − (1 + 𝑖 ) (1.0197)EViF − (1.0197) ¢ = 470 ¡ ¢ 𝐹 = 𝐴¡ 𝑖 0.0197 2.601049072 − (1.0197) ¢ = 470(80.2715265) 𝐹 = 470 ¡ 0.0197 𝐹 = $37,727.62 b) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 37,727.62 − (470⁄𝑚𝑒𝑠)(48 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $15,167.62 F.DF[H‡(FiF.DF[H) Q©Šª

c) 𝑃 = 470 ¨

D.DF[H

F.DF[H‡(D.C[[HOHF[VE)

« = 470 ¨

D.DF[H

«

𝑃 = 470(31.4691777475) 𝑃 = $14,790.51 Ejercicio 8 La empresa desea formar al final de los próximos 3 años un fondo para la revocación de equipo de planta de $398 300, en una institución bancaria que 11% TET. ¿Cuál será la cuota trimestral necesaria?

Solución: C=? R=$2,750 i=15.6% anual capitalizable al mes n= 12 meses

110


𝐶 = 𝑅 ¡1 +


1 − (1 + 𝑖 )‡)iF ¢ 𝑖

𝐶 = $2,750 ¡1 +

F‡.Fi

\.Q®¯ ©QR°Q / QR \.Q®¯ QR

¢=$30,767.60

Ejercicio 8 Un trabajador deposita $ 250 en una cuenta de ahorros al inicio de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% TEM ¿cuánto habrá ahorrado al cabo de un año?

Solución:

R=$250 n= 12 meses i= 1.3% mensual capitalizable al mes Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma: 𝑀 = 𝑅.

(Fij)Z ‡F

𝑀 = 250 †

j

/ (1 + 𝑖 )

(1 + 0.013)FN − 1 ˆ (1 + 0.013) = $3265.99 0.013 EJERCICIOS ANUALIDADES

VFA =

[

]

RA (1 + i ) - 1 i n

[

]

RA (1 + i ) - 1 VPA = ix(1 + i) n n

n=

log[(1 + VFAxi / RA)] log(1 + i)

n=

log[(1 + VPAxi / RA)] log(1 + i)

Ejercicio N° 1.- Pedro Sánchez desea formar un fondo de contingencias de S/ 420000 con depósitos mensuales de S/ 25000 en el Banco que aplica en la operación una TEM de 1.5%. Calcule del número de cuotas necesarias.

111



VFA = S/. 420,000 RA = S/. 25,000

n=

i = 1.5% TEM = 0.015 n = ?

log[(1 + 420000x0.015) / 25000] log(1 + 0.015)

n = 15.09 meses cuotas mensuales

Ejercicio N° 2.- En el caso anterior redondeando la respuesta al entero superior, calcule la cuota exacta para formar el fondo.

RA =

VFAxi (1 + i )n - 1

[

]

RA =

420000 X 0.015 = RA = S / .25,176.63 (1 + 0.015)15 - 1

[

]

n = 15

n = 16 RA = S/. 23,421.33

Ejercicio N° 3.- ABBA S.A.C. desea cancelar un préstamo de S/ 220,000 que le ofrece el Banco con cuotas mensuales de S/ 18,000 aplicándose el 3% TEM. Calcule ¿En cuántas cuotas hará la cancelación? VPA = S/. 220,000

n = -

RA = S/. 18,000 i = 3% TEM = 0.03 n = ?

log(1 - 220000 x0.03 / 18000) log(1 + 0.03) n = 15.45 meses

Ejercicio N° 4.- En el caso N° 3. Calcule la cuota exacta para pagar el préstamo con 15 cuotas (Redondeo inferior).

[(

)]

VPAx ix 1 + i) n = RA (1 + i )n - 1

[

]

[

220000 X 0.03(1 + 0.03) RA = (1 + 0.03)15 - 1

[

15

]

] = RA = S / .18,428.65

Ejercicio N° 5.- Trexsa S.A.C desea formar fondo de reposición de maquinarias de $ 320,000 con depósitos mensuales de $ 20,000 en el Banco que aplica el 26.82417946% TEA. Calcule cuántos depósitos serán necesarios.

112



VFA= $ 320,000

Calculo i

RA = $ 20,000

TEM= (1+26.82417946%)30/360-1

i = 26.82417946% TEA

TEM = 0.02

n=?

i = 2% TEM

log(1 - 320000x0.02 / 20000) n= log(1 + 0.02)

n = 14.02

RA =

VFAxi (1 + i )n - 1

[

]

RA =

320000x0.02 (1.0214 - 1)

RA = $ 20,032.63

Casos más comunes en Finanzas Son los siguientes: I.

Capitalización de un monto único actual

II. III.

Actualización de un monto único futuro Conversión de un capital actual en una serie de cuotas

IV.

Conversión de una serie de cuotas en un capital actual

V.

Conversión de un capital futuro en una serie de cuotas

VI.

Conversión de una serie de cuotas en un capital futuro

Que consisten en las siguientes situaciones del mundo financiero – empresarial, principalmente, Capitalización de un monto único actual VF = VP *FSC (VP es igual a P) FSC: Factor Simple de Capitalización Donde “i” es la tasa de interés efectiva aplicable, y “n” es el número de periodos. Es la fórmula consabida de interés compuesto, en el caso más común, tratándose de un capital único, del cual conocemos su valor capitalizado (futuro) al cabo de un número dado de periodos.

113



Por ejemplo: ¿Cuánto obtendremos al cabo de 3 años, depositando S/. 14,000 a una tasa de 8% TEA? Actualización de un monto único futuro. VP = VF * FSA FSA: Factor Simple de Actualización Se utiliza para actualizar (calcular el Valor Presente) de un capital disponible en el futuro, al cabo de un número de periodos dado.

Por ejemplo: ¿Cuánto vale en la fecha (hoy) un conjunto de 3 pagos anuales de 4,000 soles, si el capital tiene un rendimiento de 9% en otra inversión de riesgo y tamaño similar? Conversión de un capital actual en una serie de cuotas C = R= VP * FRC FRC = Factor de Recuperación del Capital.

114

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . En este caso, queremos calcular el Valor Presente, en la fecha, de un conjunto de “n” pagos periódicos iguales que se extienden al futuro, aplicándose la tasa de interés de “i”. Se asocia, como el nombre del factor lo indica, con la cuota a pagar para recuperar un capital (préstamo).

Por ejemplo: ¿Cuánto debemos pagar cada mes para cancelar un préstamo de S/. 50,000 que nos han otorgado hoy, si queremos hacer 24 pagos mensuales iguales, a una tasa de 1% Tasa Efectiva Mensual? Conversión de una serie de cuotas en un capital actual VP = C * FAS FAS = Factor de Actualización de una Serie Este problema consiste en valorizar en la fecha de hoy un conjunto de “n” pagos periódicos iguales futuros, aplicándose una tasa de interés “i”.

Por ejemplo: ¿Cuánto le vale a la empresa hoy un conjunto de 15 pagos mensuales de S/. 15,000 cada uno, si la tasa de interés comparable es de 1.2% Tasa Efectiva Mensual. Conversión de un capital futuro en una serie de cuotas

115

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo C = R = VF * FDFA


FDFA = Factor de Deposito en el Fondo de Amortización Esta situación consiste en un conjunto de “n” pagos iguales periódicos futuros, que formarán un fondo disponible en el futuro, al cabo de los “n” periodos. Se debe determinar cuál es el importe C (o R) a depositar periódicamente,

Por ejemplo: ¿Cuánto deberá ser el importe mensual de 20 pagos mensuales iguales si se aplica una tasa de 0.5% TEM, para formar al cabo de los 20 meses un capital de S/. 70,000? Conversión de una serie de cuotas en un capital futuro VF = C * FAS FAS = Factor de Actualización de una Serie Esta operación consiste en determinar cuál es el capital que se formaría con una serie de “n” cuotas periódicas iguales depositadas a una tasa de interés del periodo de “i”.

Por ejemplo: ¿Cuánto obtendremos al cabo de 20 pagos mensuales iguales de S/. 500, si se aplica una tasa de 0.5% TEM?

116



Casos más comunes en Finanzas Como relacionar las formulas en las Matemáticas Financieras. Mnemotecnia útil (¡deje de sufrir!)

Podemos ahorrar esfuerzo, tiempo y errores, si nos damos cuenta que las formulas se relacionan;; así quedan mejor en nuestras memorias. Para comenzar, hay que darnos cuenta que “capitalización” y “actualización”, son operaciones “inversas”, por lo cual el factor simple de capitalización (FSC) es el inverso multiplicativo del facto simple de actualización (FSA). Así: FSC = 1/FSA También hay que notar que un capital individual y el valor presente o futuro de una anualidad son comparables, porque representan valores individuales, no importa si la anualidad tenga 200 o muchos más pagos, su valor presente (o futuro) es uno solo. Así que, el valor presente de una anualidad es igual al valor futuro de la misma anualidad, pero actualizado. Y a la inversa: el valor futuro de la anualidad es el valor presente de la misma anualidad, pero capitalizado.

117

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Así:


VPA = VFA * FSA VFA = VPA * FSC Además, en anualidades, la Cuota y el Valor (presente o futuro) de la Anualidad se “despejan”, así: RA = VFA * F AS (Factor de actualización de la serie o anualidad) Por tanto: VFA = RA /FAS O´: VFA = RA* FCS (Factor de capitalización de la serie) Pues: FAS = 1 / FCS Pues FAS y FCS son inversos multiplicativos. Si usamos las propiedades de las ecuaciones (despeje) nos ahorramos de memorizar tantas formulas, y solo despejamos.

RESUMEN DEL CAPÍTULO SE ha identificado una anualidad como el conjunto de desembolsos iguales (o nó) y periódicos, integrados en una sola operación financiera, del cual podemos calcular, con la tasa respectiva, de un valor presente y un valor final. Se ha identificado asimismo la conveniencia y la necesidad de aplicar este concepto en los contratos u operaciones financieras;; por ejemplo, en el pago de préstamos, o en la formación de fondos de amortización. También se han definido las diferentes clases de anualidades, como son, por su pago en el periodo, o por el importe de la cuota, diferenciando anualidades simples de generales, y anualidades vencidas, anticipadas y diferidas. Se han definido asimismo las variables o elementos que intervienen: cuota, número de cuotas, tasa de interés, valor presente de la anualidad y valor futuro de la anualidad, partiendo del caso de las anualidades vencidas. Las relaciones cuantitativas entre las variables se han definido, para el caso de las de las anualidades vencidas, con lo cual se han podido calcular las variables pertinentes, en diferentes casos empresariales y personales.

118



Capitulo 7

Anualidades Anticipadas y Diferidas Simples OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales.- Al finalizar el capítulo, el lector podrá identificar una anualidad anticipada y diferida, y asimismo podrá calcular las variables pertinentes. Específicos • Características y diferencias de las anualidades anticipadas y diferidas • Determinación de importe de la Cuota, número de periodos de cuota, del importe del Valor Presente, del importe del Valor Futuro, y la tasa de interés;; para anualidades anticipadas. • Determinación de importe de la Cuota, número de periodos de cuota, del importe del Valor Presente, del importe del Valor Futuro, y la tasa de interés;; para anualidades diferidas. Conceptos Básicos Anualidad anticipada Serie de flujos o rentas que empiezan a inicios del período de renta. Son ejemplos de anualidades anticipadas: el pago de alquileres, pensiones de enseñanza, pólizas de seguros de vida, etc. En un mismo horizonte temporal, con iguales importes de rentas y tasas, la diferencia entre una anualidad vencida y otra anticipada radica en que en el primer caso, la renta vence al final de cada período, mientras que en el segundo, la renta vence a inicios del período, lo que origina en el momento 0 un desembolso menor al pactado (P-R), y en el último período, el derecho a percibir el beneficio hasta su vencimiento, como sucede, por ejemplo, con las pensiones de enseñanza.

119

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Esquema valor – tiempo

•

Conociendo una renta vencida R, la renta anticipada o imposición Ra puede calcularse descontando a aquélla un período de renta con la tasa efectiva de ese período;; recíprocamente una renta anticipada puede ser convertida en vencida capitalizándola durante un período. Convirtiendo una anualidad anticipada en vencida, le son aplicables las fórmulas de las anualidades vencidas.

Fórmulas –Anualidades anticipadas

120



Como un comentario general al tema de las anualidades anticipadas, se debe decir que su tratamiento es idéntico al de las anualidades vencidas, con una sola diferencia: los pagos no son al final del periodo (cuotas vencidas) sino al inicio del periodo, por lo cual su nombre, llamándose también imposiciones. Esta característica diferencial se resuelve en los cálculos agregando (multiplicando) un Factor al cálculo del Valor, tanto Presente como Futuro, el factor (1 + i) Por ejemplo, así calculamos el Valor Futuro en cuotas vencidas:

é (1 + i) n - 1 ù VF = R * ê ú = R * FCS i ë û Y así lo calculamos cuando son Cuotas anticipadas:

é (1 + i)n - 1ù VF = Ra * (1 + i ) * ê ú i ë û Sólo agregamos el factor (1 + i) Si analizamos un poco, tanto el Valor Presente y el Valor Futuro de una anualidad del mismo número de cuotas, el mismo importe de cuota y la misma tasa será más si es una anualidad anticipada, pues 1 + i es mayor que uno;; esto es lógico, porque se tienen los importes un periodo antes, y ello implica un valor mayor (valor del dinero en el tiempo). Ejercicios Resueltos de Anualidades anticipadas. Ejercicio 1.- Juan Fernández Gonzáles decide finalmente alquilar un departamento de su propiedad al señor José Sánchez Pérez, y consta en el contrato, por 2 años, que el alquiler mensual

121

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . se abonará como mes adelantado, lo cual finalmente fué aceptado por Sánchez. Si consideramos como costo de oportunidad del capital una tasa efectiva mensual de 2%, y si el alquiler mensual monta S/. 1600, determine: A. ¿Cuánto significa este contrato a la fecha de inicio (mes 0) para Juan Fernández, en soles de la fecha? B. ¿Cuánto sería el Valor del contrato si, en lugar de ser de cuota anticipada, es de cuota vencida, como es más común? Resolución A.- Es un caso de Anualidades anticipadas, el cual podemos mostrar en el siguiente Diagrama Valor - Tiempo.

Son 24 pagos mensuales anticipados de S/. 1600 cada uno, que actualizados y sumados, representan un Valor Presente de todo la serie. Si usted los cuenta uno a uno, verá que son 24 pagos. Tenemos los siguientes datos: • • • •

Ra = S/. 1600 anticipada mensual .i = 2% TEM= 0.02 .n= 2 años = 24 meses. VP = ¿?

En cuyo caso, los datos están todos concordados, por lo cual aplicamos la fórmula ya explicada:

é (1 + i) n - 1 ù VP = Ra * (1 + i ) * ê n ú ë i *(1 + i) û Reemplazamos los valores respectivos:

122

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo VP = 1600 * 1.02 *(1.0224-1)/(0.02*1.0224) =


VP = S/. 30867.53 Respuesta: el contrato le vale al inicio del mismo a Fernández, S/. 30867.53. En este monto aumenta su riqueza, respecto a no alquilarlo. B.- En la parte B, si fuera una cuota vencida, aplicaríamos la siguiente formula:

é (1 + i)n - 1ù VP = R * ê = R * FAS n ú ë i *(1 + i) û Reemplazando los valores: VP = 1600 * (1.0224-1)/(0.02*1.0224) = VP = S/. 30262.28 Respuesta Ejercicio 1: Recibirá S/. 30262.28 Un valor claramente, menor, en 605.25 soles, pues al recibir cada pago antes está ganando el interés de un mes en cada uno. Ejercicio 2.- Carlos Pérez Díaz, profesional independiente natural de la ciudad de Chiclayo, tiene un adeudo con el Banco Tercer Milenio, que monta en la actualidad $ 4,320, y que pagará en 20 cuotas mensuales iguales. Si Pérez espera comenzar a pagar desde el momento mismo de la firma del contrato con el banco, calcule el importe de la cuota, en el Banco aplica 1.2% TEM. Resolución Es un caso de Anualidades anticipadas, al comenzar a pagar desde el mes 0 (fecha de firma del contrato). En el siguiente diagrama Valor - Tiempo aplicado al caso, se muestran las 20 cuotas, que deben corresponder, mediante la actualización, al Valor Presente, o Préstamo

123



Tenemos los siguientes datos: • • • •

Ra = ¿? anticipada mensual .i = 1.2% TEM= 0.012 .n= 20 meses. VP = $ 4,320

En este caso, se aplicará la siguiente fórmula:

é i *(1 + i) n ù Ra = VP *(1 + i) -1 * ê ú n ë (1 + i) - 1û Reemplazando los valores;; tenemos: Ra = 4320 *1.012-1 *(0.012 * 1.01220)/(1.01220-1) Ra = $ 241.35 Respuesta Ejercicio 2: La cuota a pagar es de: $ 241.35 Ejercicio 3.- La empresa Representaciones Juli SAC decide, en vista de un contencioso judicial que enfrenta, conformar un fondo de amortización para enfrentar los posibles pagos resultantes de ese juicio, por lo cual decide hacer depósitos al inicio de cada mes en el Banco Providencia, a partir de la fecha de decisión el primer depósito, siendo que el Banco paga una TEM de 0.8%. Consultado el señor Jorge Alegre Espíritu, gerente financiero de la empresa, la disponibilidad es de US$ 2,300 cada mes. El gerente general Jorge Sánchez estima que dentro de 10 meses se debe disponer del fondo,

124

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . para lo cual, se desea conocer cuál será el importe en dólares norteamericanos disponibles en esa fecha. Resolución Al ser pagos al inicio del mes, se trata de una anualidad anticipada, conformada por 10 cuotas (depósitos) de US$ 2,300 cada uno. Lo cual se resume en el siguiente diagrama Valor – Tiempo:

Resumimos así los datos: • • • •

Ra = US$ 2,300 anticipada mensual .i = 0.8% TEM= 0.008 .n= 10 meses. VF = ¿?


é (1 + i)n - 1ù VF = Ra * (1 + i ) * ê ú i ë û Reemplazando los valores;; tenemos: VF = 2300 *1.008 *( 1.00810-1)/( 0.008 ) VF = US$ 24036.68 Respuesta Ejercicio 3: El importe disponible al cabo de los 10 meses será de US$ 24036.68. Ejercicio 4.- La empresa decide conformar un Fondo de amortización en los próximos 3 años para la renovación de la maquinaria de la Planta N° 1, que monta aproximadamente US$

125

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . 230,000. Por lo cual, el gerente financiero Jorge López propone depósitos al inicio de cada mes, a partir de la fecha para este fin, en el Banco de las Regiones, que pagará una TEM de 0.8%. Cuál será el importe de las cuotas (depósitos)? Resolución Tenemos, asimismo, al ser pagos al inicio del mes, una anualidad anticipada, conformada por 36 cuotas (depósitos) iguales, con un Valor Futuro al finalizar el periodo total de US$ 230,000, cómo se resume en el siguiente diagrama Valor – Tiempo:

Resumimos así los datos: • • • •

Ra = ¿? (anticipada mensual) .i = 0.8% TEM= 0.008 .n= 3 años = 36 meses. VF = US$ 230 000


ù i -1 é Ra = VF * (1 + i ) * ê ú n ë (1 + i) - 1 û Reemplazando los valores;; tenemos: Ra = 230000 *1.008-1 *0.008 /( 1.00836-1) Ra = US$ 5494.38 Respuesta Ejercicio 4: La empresa deberá depositar a inicios de cada mes US$ 5494.38, para formar el fondo requerido al cabo de los 3 años. (Completar ejercicios propuestos con resultados)

126



Anualidades diferidas • Cuando en un contrato de crédito u operación similar, por acuerdo expreso de los contratantes, el pago de las rentas empieza después del vencimiento de uno o varios períodos de renta, contados a partir del inicio del plazo pactado, se está ante el caso de una anualidad diferida. Durante el plazo diferido k, que es el tiempo que media entre el inicio del contrato y el primer pago -contado a períodos de renta-, el capital inicial es capitalizado al vencimiento del período diferido, para luego distribuirlo entre el número de cuotas insolutas del préstamo.

• Así, al vencimiento del plazo diferido, una anualidad diferida se convierte en una anualidad vencida o anticipada, a la cual le es aplicable factores financieros vencidos o anticipados respectivamente Esquema valor – tiempo

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Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Anualidad Vencida y Diferida Fórmulas –Anualidades Diferidas vencidas

RESUMEN DEL CAPÍTULO En el presente capítulo se ha identificado con especificidad una anualidad anticipada y diferida, identificando su diferencia en la oportunidad del desembolso de la cuota: anticipada, cuando el desembolso es al inicio del periodo, y diferida cuando se produce después de un “periodo de gracia”, por ejemplo, después de tres periodos. Las anualidades diferidas pueden ser a su vez con anualidades vencidas o anticipadas, pudiendo haber así: • anualidades anticipadas diferidas y • anualidades vencidas diferidas. A partir de las fórmulas de las anualidades vencidas, se han definido las formulas respectivas para las anualidades anticipadas y diferidas, añadiéndose factores a las formulas básicas. Se ha podido calcular así el valor presente o futuro o la cuota de anualidades anticipadas o diferidas. Con ellos, asimismo se ha podido calcular las variables pertinentes en diferentes casos financieros y ejercicios propuestos.

128



Capitulo 8

Sistemas de Amortización-Cuadros de Amortización

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales.- Al culminar el capítulo, el estudiante podrá conocer las características e importancia de los cuadros de amortización de préstamos y los cuadros de depósito en el fondo de amortización, siendo capaz asimismo de formularlos, calculando apropiadamente sus importes. Específicos • características e importancia de los cuadros de amortización de préstamos y los cuadros de depósito en el fondo de amortización, • Sistemas de amortización de préstamos: sistema francés, americano y alemán. Otros sistemas • Formulación del Cuadro de amortización de préstamos, cálculo de la cuota total, cuota de interés, cuota de amortización y saldo de capital. • Formulación del Cuadro depósito en el fondo de amortización, cálculo de la cuota total, cálculo del interés acumulado por periodo, cálculo de la adición al capital por periodo y cálculo de capital (fondo) acumulado. Amortización es el proceso mediante el cual una deuda y los intereses que genera se extingue progresivamente por medio de cuotas periódicas de pago al acreedor, llamadas también servicios parciales de la deuda. Cada cuota incluye el interés sobre el saldo de la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de la misma. Esos pagos pueden iniciarse conjuntamente con la percepción del préstamo (cuotas adelantadas), al vencimiento de cada periodo de pago (cuotas vencidas), o después de cierto plazo pactado originalmente (cuotas diferidas). Si las cuotas de pago son de igual importe, forman una anualidad, cuyo valor actual es el valor actual de la deuda o capital. Así, podemos ver la amortización como una aplicación del tema de las anualidades. Si la tasa de interés pactada es efectiva, y el pago es pequeño, que no cubre los interese devengados, entonces la diferencia no cubierta se capitaliza. Los pagos cubren los conceptos que alcancen en este orden de prelación:

129

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . • Pago de costos adicionales aleatorios de la deuda, como seguros de desgravamen hipotecario, otros seguros, • Intereses moratorios • Intereses compensatorios • Capital pendiente de la deuda. En muchos casos, conviene formular cuadros de amortización, llamados también cuadros de servicio de la deuda o de reembolso de préstamos. Cuando se preparan estos cuadros, suelen ser referenciales, pues se presume lo siguiente: • La tasa de interés no variará en el periodo del crédito, en caso contrario se recalculará las cuotas;; • Las cuotas se cancelarán en las fechas pactadas, caso contrario de asumen intereses moratorios. Sistemas de repago de préstamos Para reembolsar un préstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago, limitados solamente por el principio de equivalencia financiera, por medio del cual, la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de interés o combinación de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crédito original. Los principales sistemas de repago de préstamos son: Sistemas de repago

Modalidad.

Cuotas constantes (francés)

Vencidas Vencidas en períodos variables Anticipadas Diferidas

Amortización constante (alemán)

Interés constante (inglés)

Cuotas crecientes

Aritméticamente Geométricamente Periódicamente Suma de dígitos

Reajuste de deudas

Combinados

130



Estructura del Cuadro de Amortización del Préstamo Disponemos de la siguiente estructura, la más convencional por ser la más conveniente: Cuadro de Amortización del Préstamo

K

R

I

A

S

Cuota de Intereses

Cuota de Amortización del Capital

Saldo de la

0

1

2

3

4

Periodo N°

Cuota Total del periodo

deuda

En este caso, corresponde a 4 periodos, pueden ser anuales, mensuales, semestrales, bimestrales. En la cual, tenemos las siguientes identidades: A. R = I + A, eso en cualquier periodo (en este caso, son 4 periodos).Es decir, la cuota total comprende lo que corresponde a intereses (I) y lo que corresponde a amortización del préstamo propiamente (A) B. La cuota de Interés se calcula aplicando la tasa (.i) al saldo pendiente de capital (el saldo al final del periodo anterior), Así, en el periodo k, tenemos: .Ik = .i*Sk-1 Ojo, "k" sólo identifica el periodo, por ejemplo, año 3 (K=3) C. El nuevo Saldo de capital, se calcula restando la amortización del periodo al saldo pendiente (que queda al final del periodo anterior). Por ejemplo, en un periodo “k”: .Sk = .Sk-1 - Ak En el periodo 0, que s el periodo inicial, sólo se registra el desembolso de capital, no hay ninguna cuota presente.

131

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Empezaremos por el sistema de Cuotas constantes, o Método francés, Cuota constante.- Calculada con el FRC, se compone de la cuota interés y la cuota capital. La primera es generada por la deuda residual y la segunda está constituida por la diferencia de la cuota constante y la cuota interés, tiene por objeto disminuir el capital adeudado. A medida que devenga cada servicio, la cuota capital experimenta un incremento geométrico de razón (1 + i) cuyo importe es igual al decremento que experimenta la cuota interés. R= a

= P

i . ( 1 + i)n

( 1 + i)n – 1

EJERCICIOS RESUELTOS – CUADROS DE AMORTIZACIÓN Ejercicio 1: La empresa ha recibido un préstamo de US$ 5 000 000 y se compromete a pagar 11% anual mediante 10 cuotas iguales anuales de pago. Calcule la cuota anual correspondiente, y complete el siguiente cuadro de Amortización. Cuadro de amortización Año

Cuota Anual

Intereses

Amortización del Saldo de la

Anuales

Capital

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

deuda

132

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo 10


Ejercicio 2: Juan Gonzáles está dispuesto a cancelar el importe total de su titulación en una Maestría en Finanzas, y contrae un crédito con el Banco del Futuro por US$ 3,000, pagadera en 6 cuotas vencidas mensuales, a una tasa de interés del 18% anual. El Banco cobra además por portes y otros gastos 14$ mensuales. Calcule la cuota anual correspondiente, y complete el siguiente cuadro de Amortización. Cuadro de amortización Mes

Cuota

Intereses

Amortizació Saldo de la

Mensual

Mensuales

n del Capital deuda

0

1

2

3

4

5

6

Portes

Cuota Total

Ejercicio 3: El Aserradero Santa Rosa necesita US$ 2 000 000 para renovar la maquinaria de su planta ubicada en Pucallpa. Un banco local ha aprobado un crédito considerando un 13% efectivo anual en 5 años, con cuotas vencidas trimestrales. ¿Cuál será la cuota trimestral a pagar?. Prepare el cuadro de amortización utilizando el programa Excel. Fuentes: Montoya, Héctor. Matemáticas Financieras y Actuariales por Computadora. Editorial Instituto de Investigación “El Pacífico”. p. 176 y ss Aliaga Valdez, Manual de Matemática Financiera, Universidad del Pacífico. Lima, Perú, 2004. p. 400 y ss.

133

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo SOLUCION. 1


Calculamos la formula según la fórmula FRC, y obtenemos el resultado: 849007.14 También se puede aplicar la formula financiera de Excel Pago, con los siguientes parámetros: =PAGO(0.11;;10;;5000000;;;;0) Que corresponden a: Tasa, Numero de periodos, Valor Actual, Valor Futuro (sin consignar el dato), Tipo (vencida, que es 0, en este caso) Obtenemos el siguiente Año

Cuota

Intereses

Amortización Saldo de la

Anual

Anuales

del Capital

n 0

(Fija)

Saldo*0.11

deuda

C - A

550000

Sn-1 - An 5000000

1

849007.14

299007.14 4700992.86

2

849007.14 517109.215 331897.9254 4369094.93

3

849007.14 480600.443 368406.6972 4000688.24

4

849007.14 440075.706 408931.4339

5

849007.14 395093.248 453913.8916 3137842.91

6

849007.14

7

849007.14 289739.834 559267.3059 2074731.19

8

849007.14

9

849007.14 159933.892 689073.2475 764871.229

10

849007.14 84135.8352 764871.3048

3591756.8

345162.72 503844.4197 2633998.49

228220.43 620786.7095 1453944.48

0.0

134

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Solución. Ejercicio Nº2.


Se debe transformar primero la TEA en TEM. TEM: 0.0138884303484099 Luego, Calculamos la formula según la fórmula FRC, y obtenemos el resultado: $524.58 Con lo cual formamos nuestro cuadro: Mes 0

Cuota

Intereses

Amortización Saldo de la Portes

Cuota

Mensual

Anuales

del Capital

Total

deuda 3000

1

524.58

41.67

482.91

2517.09

14

538.58

2

524.58

34.96

489.62

2027.46

14

538.58

3

524.58

28.16

496.42

1531.04

14

538.58

4

524.58

21.26

503.32

1027.73

14

538.58

5

524.58

14.27

510.31

517.42

14

538.58

6

524.58

7.19

517.39

0.03

14

538.58

EJERCICIO PRÁCTICO ASISTIDO CON EXCEL. TEMA: CUADRO DE AMORTIZACIÓN DEL PRÉSTAMO Caso 1.- Considere la situación que se va a financiar la adquisición de maquinarias y equipos por 120,000 dólares americanos, para el Proyecto de Inversión, con un préstamo bancario, con el Banco del Futuro, el que aplica un 18% TEA, y que se devolverá en 4 cuotas anuales uniformes vencidas (Método Francés). Elabore el Cuadro de Amortización del Préstamo.

Cuadro de Amortización del Préstamo K

R

I

A

S

0

1

2

3

4

135

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Indicaciones: Trabajar con las funciones: pago, usando como argumentos: Va el importe del préstamo, como Valor Actual o Presente, tasa la tasa de interés aplicable ;; Nper, el número de periodos, dejando el argumento "tipo" en blanco (así es 0, se considera como cuota vencida).En este caso, Vf (Valor Futuro) se deja en blanco..

Por Tanto: R = I + A, eso en cualquier periodo (en este caso, son 4 periodos). La cuota de Interés se calcula aplicando la tasa (.i) al saldo pendiente de capital (el saldo al final del periodo anterior), Así, en el periodo k, tenemos: .Ik = .i*Sk-1 Ojo, "k" sólo identifica el periodo, por ejemplo, año 3 (K=3) Además, el nuevo Saldo de capital, se calcula restando la amortización del periodo al saldo pendiente (que queda al final del periodo anterior). Por ejemplo: .Sk = .Sk-1 – Ak Se recomienda utilizar celdas absolutas y relativas para trabajar más eficientemente.

SOLUCIÓN (EXCEL) Calculo de la Cuota “R” Con insertar función, eligiendo la función PAGO, e Ingresando los valores para los argumentos, en forma ordenada como sigue:

136



Como se puede apreciar, el importe de la Cuota (R) es de 44,608.64, y aparece con signo negativo, por ser un desembolso. Este resultado se puede comprobar con la aplicación de la fórmula de la cuota (R) de una anualidad simple vencida con Valor presente,

é i *(1 + i) n ù R = VP * ê ú = VP * FRC n (1 + i ) - 1 ë û En la computadora (en Excel), como sigue: R= VP*i*(1+i)^n/((1+i)^n-1)) Con este dato, podemos completar la segunda columna de Cuota total, pues será el mismo importe los 4 periodos. Completamos las demás columnas, tomando en cuenta las relaciones indicadas (Calculo de la Cuota interés, de la amortización y del saldo pendiente) Es de notar que, al finalizar el último periodo, el saldo de capital debe ser 0, indicando el pago total del préstamo. Apreciamos en el siguiente cuadro la solución completa:

137



K

R 0 1 2 3 4

I

A

S

S/. 21600 44,608.64 S/. 17458.44471 44,608.64 S/. 12571.40946 44,608.64 S/. 6804.707875 44,608.64

120000 S/. 23,008.64

S/. 96,991.36

S/. 27,150.20

S/. 69,841.16

S/. 32,037.23

S/. 37,803.93

S/. 37,803.93

S/. 0.00

Podemos completar el cuadro, asimismo, con las funciones PAGOINT y PAGOPRIN, que devuelven (calculan) el pago de la cuota en el periodo, y el pago del Principal en el periodo dado Trabajaríamos el siguiente esquema:

K

R

Número del PAGO Periodo

I PAGOINT

A PAGOPRIN

S Saldo del principal

Y mostramos aquí como llenar los argumentos de la función PAGOIN, colocando el curso en el primer casillero de I (periodo 1), para poder “jalar” o “arrastrar” la formula a los demás periodos en la columna:

Note que el “periodo” se ha seleccionado la celda de la columna “K” correspondiente, para poder “arrastrar” la fórmula Excel.

138

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Además, debe notarse que al introducir las formulas en el cuadro, en las tres funciones se les agrega el signo menos (-), pues Excel coloca por convención los pagos en negativo. Y mostramos también, a continuación, como llenar los argumentos de la función PAGOPRIIN, colocando el curso en el primer casillero de I (periodo 1), para poder “jalar” o “arrastrar” la formula a los demás periodos en la columna:

139



EJERCICIOS RESUELTOS DE AMORTIZACION DE PRÉSTAMOS

AMORTIZACION DE PRÉSTAMO MÉTODO FRANCÉS Amortización del préstamo en cuotas iguales anualidad VP

RA =

VPxix (1 + i ) n (1 + i )n - 1

[

]

Ejercicio N° 01.- Formule el cuadro de Amortización de un préstamo de S/ 7000 a cancelarse en 4 cuotas mensuales, aplicándose el 2% TEM. VPA = S/ 70,000 n = 4 cuotas m.

RA =

i = 2% TEM RA = ?

70000x0.02 x1.02 4 1.02 4 - 1

(

)

RA = S/. 18,383.66

K Períodos N° 0

R Cuota Total ---

I Cuota Interés 0.02

A S Cuota Saldo de Amortización capital …. 70,000

1

18,383.66

1400

16,983.66

53,016.34

2

18,383.66

1060.33

17,323.33

35,693.01

3

18,383.66

713.86

17,669.80

18,0.2321

4

18,383.66

360.46

18,023.21

0.010

Ejercicio N° 02.- Formule el CAP si el préstamo es de S/ 50000 a cancelarse en 4 cuotas anuales aplicándose el 14% TEA VPA = S/ 50000

RA = 50,000 x 0.14 x 1.144

n = 4 c. anuales

4

i = 14% TGA = 0.14

[(1.14 ) - 1]

RA = S/ 17,160.24

R A = ?

140


Períodos N° 0

Cuota Total


Cuota Interés ---

Cuota Amortización …. ….

Saldo de capital 50,000

1

17,160.24

7000

10160.24

39839.76

2

17,160.24

5577.57

11582.67

28257.09

3

17,160.24

3955.99

13204.25

15052.84

4

17,160.24

2107.40

15052.84

0

RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha podido conocer las características e importancia de los cuadros de amortización de préstamos y los cuadros de depósito en el fondo de amortización, y sus diferentes tipos, en especial, aquellos que se pueden solventar con el uso de las anualidades, como son los casos más usuales. En el caso de los cuadros de amortización de préstamos, se han analizado los principales sistemas de amortización, a saber: • Sistema francés • Sistema americano (inglés) • Sistema alemán. Se han descrito los cuadros de amortización de préstamos y los cuadros de depósito en el fondo de amortización, y la información que se registra, y las relaciones para calcular los importes. Se ha podido asimismo formular los cuadros de amortización de préstamos y los cuadros de depósito en el fondo de amortización, calculando apropiadamente sus importes, e interpretado los mismos para la toma de decisiones, en diversos casos y ejercicios propuestos, que simulación situaciones del ámbito financiero empresarial.

141



Capitulo 9 Depreciación-Formatos-Tablas de Depreciación

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales.- Culminando el capítulo, el estudiante comprenderá que es la depreciación y cuáles son sus características y necesidad en el ámbito de la empresa. Asimismo, podrá identificar y aplicar los diferentes métodos de depreciación, sus ventajas y desventajas. Específicos • Depreciación con Método de la línea recta • Depreciación con Método de porcentaje fijo sobre el saldo decreciente • Depreciación c con Método de suma de los dígitos de los años • Depreciación con Método de doble saldo decreciente • Depreciación con Método de unidades de producción

La depreciación es el proceso de pérdida de valor de cualquier activo, por su uso, por el paso del tiempo en sí, o por su obsolescencia tecnológica. Esta pérdida de valor, que podemos determinar por métodos convencionales, los cuales vamos a analizar en este capítulo. Este es un hecho económico para la empresa, pues la depreciación representa un detrimento al valor de la empresa. Pero la depreciación no representa un flujo de efectivo, el detrimento no representa un dinero que sale de la empresa. En adición, la depreciación debe considerarse como una pérdida del valor para efectos de reducir el pago al impuesto de la Renta. Se propone a continuación los diferentes tipos de cálculo de la depreciación, con sus características principales. Ejercicio 1: La empresa panificadora Panduro S.A adquiere un horno metálico por S/. 9 000 y se le ha asignado una vida útil de diez años. Se estima que su valor residual o de desecho es de S/. 1 000.

142

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Hallar el cargo anual de depreciación desarrollando la tabla adjunta para los diez años, según los diferentes métodos explicados en Clase. Nota: También puede desarrollar el mismo caso considerando Valor residual 0 Tabla de depreciación en línea recta con valor residual Año

Cargo Anual

Depreciación

Valor en Libros

Acumulada (Acumulado de D) n

D

DA

C - DA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

143

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Tabla de depreciación Porcentaje Fijo sobre saldo decreciente Año Base n

Porcentaje Cargo

Depreciación

Valor en

Fijo

Acumulada

Libros

Anual i

D

DA

C - DA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

144

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Tabla de depreciación Método Suma de los dígitos de los Años con Valor Residual Año Lista

División Porcentaje Base

Invertida

especifico Valor

Cargo Depreciación Valor en Anual

Acumulada

Libros

de Uso n

n'

n'/N

i

C – R

D

DA

C - DA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla de depreciación Método Doble saldo decreciente Año Base

n 0

Porcentaje Cargo Fijo Anual Base x i i D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Depreciación Acumulada

Valor en Libros

Costo C

DA

C - DA

145

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo 10


V Residual

Fuente: Zans, Walter. Matemática Financiera. Editorial San Marcos DEPRECIACION – FORMATOS –TABLAS DE DEPRECIACION Ejercicio 1: La empresa ha recibido un préstamo de US$ 5 000 000 y se compromete a pagar 11% anual mediante 10 cuotas iguales anuales de pago. Calcule la cuota anual correspondiente, y complete el siguiente cuadro de Amortización. Préstamo

50000

Tasa

11% TEA

Año

10 años

Cuotas

Vencidas

Cuota Anual

Intereses

Amortización del Saldo de la deuda

Anuales

Capital

n 0

N

D

DA

C - DA

5000000

1

849007.14

550000

299007.14

4700992.86

2

849007.14

517109.215

331897.9254

4369094.935

3

849007.14

480600.443

368406.6972

4000688.237

4

849007.14

440075.706

408931.4339

3591756.804

5

849007.14

395093.248

453913.8916

3137842.912

6

849007.14

345162.72

503844.4197

2633998.492

7

849007.14

289739.834

559267.3059

2074731.186

8

849007.14

228220.43

620786.7095

1453944.477

9

849007.14

159933.892

689073.2475

764871.2293

10

849007.14

84135.8352

764871.3048

-0.07545887

Ejercicio 2: Juan Gonzáles está dispuesto a cancelar el importe total de su titulación en una Maestría en Finanzas, y contrae un crédito con el Banco del Futuro por US$ 3,000, pagadera en 6 cuotas vencidas mensuales, a una tasa de interés del 18% anual. El Banco cobra además por portes y otros gastos 14$ mensuales. Calcule la cuota anual correspondiente, y complete el siguiente cuadro de Amortización.

146


.i=


0.01388843 0.01388843 Mes 0

Cuota

Intereses

Amortización Saldo de la

Mensual

Anuales

del Capital

Portes

Cuota

deuda

Total 3000

1

524.58

41.67

482.91

2517.09

14

538.58

2

524.58

34.96

489.62

2027.46

14

538.58

3

524.58

28.16

496.42

1531.04

14

538.58

4

524.58

21.26

503.32

1027.73

14

538.58

5

524.58

14.27

510.31

517.42

14

538.58

6

524.58

7.19

517.39

0.03

14

538.58

RESUMEN La depreciación es el proceso de pérdida de valor de cualquier activo, por su uso, por el paso del tiempo en sí, o por su obsolescencia tecnológica. Este es un hecho económico para la empresa, pues la depreciación representa un detrimento al valor de la empresa. Pero la depreciación no representa un flujo de efectivo, el detrimento no representa un dinero que sale de la empresa. Esta pérdida de valor, se puede determinar por métodos convencionales, los cual se han descrito en sus características principales. cuales son: • Depreciación con Método de la línea recta • Depreciación con Método de porcentaje fijo sobre el saldo decreciente • Depreciación c con Método de suma de los dígitos de los años • Depreciación con Método de doble saldo decreciente • Depreciación con Método de unidades de producción. Asimismo, la depreciación es una pérdida del valor a registrarse para efectos de reducir el pago al impuesto de la Renta.

147



Capitulo10

Rentas Perpetuas

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales Culminando el capítulo, el estudiante comprenderá en que consiste una renta perpetua, podrá identificar casos reales de rentas perpetuas, y podrá calcular las variables que intervienen en el caso. Usará estos conceptos para resolver situaciones financieras reales. Específicos • Calculo el Valor presente de una renta perpetua • Calculo de la cuota (renta) de una renta perpetua • Aplicaciones a casos financieros y no financieros Se llama anualidad perpetua aquélla en la cual no existe el último pago. Son aquellas rentas conformadas por una serie interminable de rentas periódicas, es decir el número de términos es indefinido o ilimitado. Una cuota fija anual que el gobierno aporte a una institución de beneficencia o para el mantenimiento de una vía pública y en la cual los aportes se realicen por tiempo indefinido, constituyen anualidades perpetuas. Para esta clase de anualidad no existe el valor futuro y sólo existe el valor presente. Ejemplos: Ÿ Rentas de alquiler de un inmueble. Ÿ Pagos de dividendos de una acción. Ÿ Intereses de los títulos u obligaciones (bonos), a largo plazo, emitidos por el Estado. Ÿ Bonos perpetuos, los cuales antiguamente permitían financiar el costo de las guerras por parte de los gobiernos. RENTAS PERPETUAS Valor Final: Debido a que no hay un tiempo definido para el cálculo de la capitalización, es imposible considerar el cálculo del valor final de una renta perpetua.

148



n Þ µ Þ lím. Sn i » µ n Þ µ Valor Actual de una Renta Perpetua Vencida Inmediata: lím. An i = lím. 1 – (1+i)-n = (1-0)/i = 1/i n Þ µ n Þ µ i A = R 1 i Valor Actual de una Renta Perpetua Vencida, Diferida t períodos: Aµ i = 1 (1+i) –t Þ A = R (1+i) –t i i Valor Actual de una Renta Perpetua Adelantada Inmediata: Aµ i = Aµ i (1+i) = 1 (1+i) Þ A = R (1+i) i i Valor Actual de una Renta Perpetua Adelantada, Diferida t períodos: Aµ i = Aµ i (1+i) (1+i) -t = 1 (1+i) -t+1Þ A = R (1+i) –t+1 i i Anualidad y Renta • Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que a partir del

segundo, los períodos de tiempo comprendido entre un flujo y el anterior son uniformes. Este período uniforme de tiempo, el período de renta, no es necesariamente un año, sino un intervalo de tiempo fijo, por ejemplo quincena, mes, trimestre, etc. • Ejemplos de anualidades: los sueldos, dividendos, alquileres, depreciaciones,

amortizaciones, pensiones de enseñanza, pensiones de jubilación, primas de seguros, etc. Dentro de la anualidad, el importe de cada flujo (ingreso o egreso), recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad. Diagrama de flujo de una anualidad

• Veamos el siguiente caso general:

149



• Un conjunto de flujos (cuotas o rentas) “R” iguales, en el cual el periodo de renta es el mismo que el periodo de interés de la tasa de interés “i” aplicada, durante “n” periodos. Este es el caso de una anualidad simple.

• Este conjunto de flujos o anualidad tiene equivalencias, tanto al momento “0” (Valor Presente) como al momento “n” (Valor Futuro) . También puede interesar conocer cual será la cuota que conformará un flujo con un valor Futuro o Presente determinado. Rentas perpetuas

• El caso de rentas perpetuas es cuando no hay un término o límite de las Rentas, es decir, podemos decir que “N” es infinito.

•

Valor presente de Rentas perpetuas

150



Calculo

• No podemos conocer el Valor Futuro de un conjunto de rentas perpetuas, pero si su Valor Presente;; según la relación:

151

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Donde P es el valor presente y R es la cuota, siendo i la tasa de interés aplicada. Nótese que el periodo de interés debe coincidir con el periodo de la renta. En este caso, son rentas vencidas, porque se producen al final de cada periodo de renta. Caso contrario son rentas anticipadas. Ejercicio:

• Si depositamos en la fecha en una institución bancaria S/ 10,000, para disponer indefinidamente y en forma mensual un monto fijo, sabiendo que el banco paga un interés mensual del 2%. ¿Cuánto será el monto mensual fijo disponible? Calculo Rentas adelantadas

• Su Valor Presente;; si fueran rentas perpetuas adelantadas, se determina según la relación: P = . Rx (1 +i). . i Donde P es el valor presente y R es la cuota, siendo i la tasa de interés aplicada. Nótese que el periodo de interés debe coincidir con el periodo de la renta. En este caso, son rentas vencidas, porque se producen al final de cada periodo de renta. Caso contrario son rentas anticipadas. Renta de una Anualidad Vencida que forma un Valor Futuro dado

152



Renta de una Anualidad Vencida que forma un Valor Futuro dado

Clasificación de anualidades por oportunidad del pago de la cuota

153



154

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Problemas propuestos- Rentas perpetuas vencidas y anticipadas

FORMULAS A APLICAR Rentas perpetuas Vencidas: P=

R ______ i

Rentas perpetuas Anticipadas R ( 1 + i) P= ________ i 1. Sintiendo pronto el fin de sus días, Juan Pérez decide dejar un monto que permita a su joven hijo disponer de una asignación al final de cada mes de $ 250 dólares por el resto de su vida. Decide colocar un monto P en un banco que paga un 3% mensual. ¿Cuánto debe ser este monto? 2. José de la Torre y Vargas, antiguo alumno de la Universidad de la Sapiencia, decide donar a la vieja alma Mater un fondo que le permita atender becas para estudiantes de pocos recursos, por un total anual de $5,000, pagaderos al final del año. Para ello, ?. 3. Un inmueble se alquila a $550 mensual, pago anticipado, y deseamos saber ¿Cuál será el valor presente de estas rentas, si consideramos que no habrá depreciación del inmueble, y por tanto se alquilará indefinidamente?. LA tasa de interés del mercado es de 2.5% mensual. 4. Un padre de familia, al recibir una herencia, quiere asegurar la manutención de su esposa e hijos, y decide colocar $ 30,000 para que su familia pueda disponer, al inicio de cada mes, de $300 . ¿Caul debe ser la tasa de interés mensual para ello?. 5. La empresa decide formar un fondo de reposición y mantenimiento de maquinarias, que le permita atender un gasto mensual fijo de $ 600 al inicio de cada mes. Sin el Banco paga una tasa anual de 26.5%, ¿Cuánto deberá colocar la empresa?

RESUMEN DEL CAPÍTULO Una renta perpetua consiste en un conjunto sin fin (sine die) de pagos periódicos, que reditúan (o cuestan) una tasa de interés, en los cuales las matemáticas nos permiten calcular el valor presente del conjunto de pagos (u obligaciones), pero no el valor futuro. Las rentas perpetuas tienen varias aplicaciones a casos reales, financieros, personales y por extensión a otros campos.

155



Se han deducido y presentado las fórmulas para relacionar y calcular las variables que intervienen en el caso. Se han aplicado estas formular para resolver ejercicios y situaciones financieras reales y simulados

156



Ejercicios de Repaso: Anualidades Amortización Equivalencias Financieras

1. La empresa deposita trimestralmente S/. 80000, en una institución financiera a una TNA de 18% con capitalización trimestral. Calcule en fondo formado al cabo de 2 años. i =

0.045 TET

VF = -750,401.09

2. Si la Empresa debe contar dentro de 3 años con un fondo de S/. 440000 haciendo depósitos mensuales en su banco, que paga el 14.232% TEA;; calcule el importe del depósito (cuota) necesario. N =36

i = 0.01115

R = -10,000.00

3. a.- Formule el Cuadro de Amortización de un préstamo si el importe a amortizar es de US$ 215000 en 5 cuotas trimestrales, aplicando el 8% TET, por el método francés. b.- Si decidimos cancelar toda la deuda con la tercera cuota, calcule el importe total en el tercer trimestre. R = -53,848.14 B.-Sería la cuota y el saldo pendiente 53848.14 + 96025.49 = 149873.62 K

R

0

I

A

S

215000

1 53848.14 17200.00 36648.14 178351.86 2 53848.14 14268.15 39579.99 138771.87 3 53848.14 11101.75 42746.39

96025.49

4 53848.14

7682.04 46166.10

49859.39

5 53848.14

3988.75 49859.39

0.00

4. La empresa tiene 3 obligaciones pendientes, por S/. 22000 15000 y 18000 , a vencerse n 4 6 y 9 meses respectivamente. Si deseamos cancelar con un solo

157



pago en el mes 3 las 3 obligaciones, calcule el importe de dicho pago único si se aplica una TEM de 1.40% Respuesta: 20809.9

13799.5

15882.9

50492.4

X =

52642.9

5. Transformaciones Mecánicas SAC tiene 3 obligaciones por S/. 15000 18000 y 22000 a vencerse dentro de 15, 18 y 20 meses, y recibe el ofrecimiento de 55000, disponibles en el momento que disponga la Empresa, a usarse para cancelar con un solo pago las 3 deudas. Determine el momento (número de cuotas) si la TEM es 0.80%. VP 13310.2

15594.9

18759.1

47664.2

N =

17.9656 meses

6. La empresa deposita trimestralmente S/.100000, en una institución financiera a una TNA de15% con capitalización trimestral. Calcule en fondo formado al cabo de 2 años. i =0.0375 TET

VF = -913,255.42

7. ABC equipos industriales SAC. Debe cancelar una deuda de US$250000 en12 cuotas mensuales a una TEM de1.20%¿Cuál será el importe de la cuota? R = -22,493.86 8. Si la Empresa debe contar dentro de2 años con un fondo de S/.240000 haciendo depósitos mensuales en su banco, que paga el12% TEA;; calcule el importe del depósito (cuota) necesario.

158


N =

24 .i =


0.00949

R =

-8,951.69

9. Formule el Cuadro de Amortización de un préstamo si el importe a amortizar es de US$515000 en 4 cuotas trimestrales, aplicando e l8% TET, por los métodos francés y americano R = -155,489.21 a)

M. Francés K

R

0

I

A

S

515000

M. Americano

K

R

0

I

A

S

515000

1 155489.21 41200.00 114289.21 400710.79

1

41200 41200

0 515000.00

2 155489.21 32056.86 123432.35 277278.43

2

41200 41200

0 515000.00

3 155489.21 22182.27 133306.94 143971.49

3

41200 41200

0 515000.00

4 155489.21 11517.72 143971.49

4 556200 41200 515000

0.00

0.00

10. La empresa tiene 3 obligaciones pendientes, por S/.20000 15000 y18000, a vencerse en 4 6 y 9 meses respectivamente. Si deseamos cancelar con un solo pago en el mes 3 las 3 obligaciones, calcule el importe de dicho pago único si se aplica una TEM de1.40% 18918.1

13799.5

15882.9

48600.6 X =

50670.5

11. Transformaciones Metálicas SAC tiene 3 obligaciones por S/.14000 18000 y 22000 a vencerse dentro de 15 18 y 20 meses, y recibe el ofrecimiento de 55000, disponibles en el momento que disponga la Empresa, a usarse para cancelar con un solo pago las 3 deudas. Determine el momento (número de cuotas) si la TEM es 0.80%

159


VP 12422.8 15594.9


18759.1 46776.8 N =20.324meses

12. La empresa deposita trimestralmente S/.100000, en una institución financiera a una TNA de 17% con capitalización trimestral. Calcule en fondo formado al cabo de 2 años. i = 0.0425 TET

VF = -929,671.02

13. ABC equipos industriales SAC. Debe cancelar una deuda de US$ 250000 en 14 cuotas mensuales a una TEM de1.20% ¿Cuál será el importe de la cuota? R = -19,505.80 14. Si la Empresa debe contar dentro de 3 años con un fondo de S/.240000 haciendo depósitos mensuales en su banco, que paga el 12% TEA;; calcule el importe del depósito (cuota) necesario N = 36

i = 0.00949

R = -5,623.99

15. Se espera formar un Fondo de Amortización depositando 5 cuotas cada trimestre en el banco, a una TET del 5%. Formule el Cuadro de Depósitos en el Fondo de Amortización respectivo si el importe del Fondo es S/. 210000 R = -38,004.71 M. Francés K

R 1 38004.71

I

A

S

0.00 38,004.71

38005

2 38004.71 1900.24 39,904.94

77909.65 160



3 38004.71 3895.48 41,900.19 119809.84 4 38004.71 5990.49 43,995.20 163805.04 5 38004.71 8190.25 46,194.96 210000.00 16. La empresa tiene 3 obligaciones pendientes, por S/.22000 15000 y 18000, a vencerse en 4 6 y 9 meses respectivamente. Si deseamos cancelar con un solo pago en el mes 3 las 3 obligaciones, calcule el importe de dicho pago único si se aplica una TEM de 1.40% 20809.9 13799.5

15882.9 50492.4 X =52642.9

17. Transformaciones Metálicas SAC tiene 3 obligaciones por S/.15000 18000 y 22000 a vencerse dentro de 15 18 y 20 meses, y recibe el ofrecimiento de 55000, disponibles en el momento que disponga la Empresa, a usarse para cancelar con un solo pago las 3 deudas. Determine el momento (número de cuotas) si la TEM es 0.80% VP

13310.2 15594.9

18759.1 47664.2

N =17.9656 meses

18. Calcule la cuota mensual necesaria para repagar un préstamo de 245200 dólares, si se aplica una TEA de 18.30% y se emplearán 15 cuotas. TEM= R =

0.014102987 18251.18

19. Calcule en cuantos periodos aproximadamente se formará un fondo de S/.870000 si la cuota es de S/.67200 semestrales y se aplica una TNA de 17.10% con capitalización mensual.

161



i TEM =

0.01425

i TES =

0.0886

20. Formule el cuadro de Amortización de un Préstamo de 517320 soles si se repagará en cuotas trimestrales si la tasa es 17.40% TEA. Usar el método Francés y Americano

M. s K

R

I

0

A

S

517320

1 116504.33 21168.33 95336.01 421983.99 2 116504.33 17267.25 99237.08 322746.91 3 116504.33 13206.55 103297.79 219449.12 4 116504.33 8979.69 107524.65 111924.47 5 116504.33 4579.86 111924.47

0.00

I tem=

0.040919212

R=

116504.3349

M. Americano K

R

0

I

A

517320

1

21168 21168

0 517320

2

21168 21168

0 517320

3

21168 21168

0 517320

4

21168 21168

0 517320

5 538488 21168 517320

21. La empresa formará un Fondo de S/. 804320 con 5 cuotas trimestrales aplicando una TEA de 25%. Formule el Cuadro de Deposito en el Fondo de Amortización. K

R 1 127103.39

I

A

S

0.00 127103.39

127103.39

2 127103.39 15002.52 142105.92

269209.31

3 127103.39 31775.85 158879.24

428088.55

4 127103.39 50529.00 177632.39

605720.95

5 127103.39 71495.66 198599.05

804320.00

S

162

0



i TET =

0.118033989

R =

127103.3944

22. La empresa tiene 3 obligaciones por US $ 63200, 68420 , y 80200, que vencen en 17 18 y 20 meses. Calcule el importe de un pago que cancelaría las tres deudas en el mes 15 si la TEA es de 14.40% Al momento VP=

215533

tem = 0.011273985

X = $ 203784

20.

23. Determinar cuál es la TEA equivalente a una TET del 3% R: 12.550881%TEA 24. Determinar el importe de la cuota mensual necesaria para cancelar un préstamo de S/. 30,000 en el periodo de un año y medio, si el banco aplica el 1.41723282 % TEM. R: 1899.99 25. La empresa desea formar un fondo de contingencias con 15 depósitos mensuales iguales de S/. 2,000, en el Banco del Sur, que paga el 15% TEA. ¿Cuál será el importe del fondo a formar? R: VF=32589.53 26. Formule el Cuadro de Amortización de un Préstamo de S/. 20,500 si se considera pagar en 5 cuotas trimestrales, a una TET del 4%. R: 4604.86 27. La empresa Confecciones Paracas SAC tiene tres pagarés por US$ 25,000;; US$ 18,000 y US$ 20,000, a pagarse a su vencimiento en 4, 5 y 10 meses. La Gerencia estima que en medio año puede cancelar las tres deudas con un solo pago. Determine el importe de dicho pago si se aplica una TEM del 1.5%.

R: 62869.31

163



28. Calcular el momento (mes) en que se puede cancelar con un pago de S/. 120,000 dos deudas de S/. 80,000 y S/. 25,000;; a vencerse en 10 y 12 meses, si se aplica una TEM del 1% R: n= 23.892387 meses 29. Calcule la TET equivalente a una TEA del 18%.

R: 4.224663% 30. Determine el importe del depósito mensual igual que permitirá formar un fondo de S/. 84, 000 si la institución bancaria que recibe el depósito paga 10.5% TEA, si se debe tenerlo en 2 años.

R: 3175.36 TEM =0.8355155% n= 24 c.m 31. La empresa Gamma SAC debe amortizar un préstamo de S/. 120, 000 y desea hacer pagos mensuales de S/.20, 000 en el Banco Regional, que aplica 0.8% TEM, determine en cuantas cuotas la empresa cancelará el adeudo. R: n=6.173342 meses 32. A.- Formule el Cuadro de Amortización del Préstamo correspondiente a un préstamo de S/.120, 000 que se pagará con 4 cuotas trimestrales, aplicando el 2.5% TET. R: 31898.15 B.- Si en la 3ra cuota se desea cancelar con un solo pago todo el adeudo, calcule el importe total de dicho pago;; y el ahorro en intereses que se logrará. R: 63018.27 ahorro: 778 33. La empresa DIVINDUST tiene 3 adeudos de 55,000;; 80, 000 y 100, 000 dólares a vencerse en 8, 10 y 14 meses respectivamente;; determine el importe del pago único en el mes 12, que permitirá cancelar ambas deudas, si consideramos la TEM del 1.5%.

164



VF: 198 942. 42 VP: 237 859.17 34. Jorge Solano desea que una acreencia a vencerse dentro de un mes, por S/. 62,000, sea reprogramada por el banco para dentro de un año, aplicando una TNA del 15% con capitalización mensual. Calcule el importe del pago dentro de 1 año

R: 71 078.30 1.25% TEM 35. Determine la tasa efectiva mensual equivalente a una TET del 4.5% R: i =1.4780461%TEM 36. Determine el importe del depósito mensual igual que permitirá formar un fondo de S/. 74,000 si el banco que recibe el depósito aplica 1% TEM, si se debe tenerlo en dos años. R: 2 743.44 37. La empresa ABC SAC se debe amortizar un préstamo de S/. 120,000;; y desea hacer pagos trimestrales de s/. 20,000 en el Banco Providencia, que aplica 9.12788137 % TEA, determine en cuantas cuotas ABC cancelará el adeudo. R: n= 6.5071897 38. La empresa Paidea SAC debe S/. 250,000 al Banco Nor Peruano, que aplica una TEA del 10%. R: 78867.70 Formule el Cuadro de Amortización del Préstamo su se usarán 4 cuotas anuales, b.- ¿Cuál sería el pago total por intereses? I= 65 470.82 c.- ¿Cuál sería el pago total en el periodo 3 si se desea cancelar con un solo pago, el total de la deuda?

165



R: 78 867 + 71697.91 = 150 565.61 39. Se desea formar un fondo de contingencias de US$ 1’320,000, disponible en 15 meses, depositándose cuotas trimestrales en el Banco del Futuro, a una TET del 5%. Calcule el importe de la cuota. R: 238 886.73 40. La empresa Omega SAC tienen 3 adeudos de 15,000;; 20,000 y 45,000 soles, con vencimientos en 10, 15 y 18 meses, aplicándose el 1.2% TEM. Calcule el capital necesario para cancelar los 3 adeudos en el mes 18. VP: 66 341.36

VF: 82 230.63

41. Determine la tasa efectiva anual equivalente a una TET del 4.5% I= 19.25186 %TEA 42. La empresa incurre en un préstamo de S/. 40,000 que debe cancelar en el periodo de un año y medio. Determinar el importe de la cuota mensual necesaria para cancelar dicho préstamo si el banco aplica el 1.41723282 % TEM. R: 2 533.33 43. Se sabe que la empresa Sinapsis SAC cancelo un préstamo con 15 pagos mensuales de S/. 18,000 cada uno, aplicándose el 1.2398807% TEM. Determine el importe del préstamo. VP= 245 000

44. La empresa Olimpo SAC debe S/. 150,000 al Banco Sur Peruano, que aplica una TEA del 11%. R: 48 348.95 a. Formule el Cuadro de Amortización del Préstamo su se usarán 4 cuotas anuales

166



b.- ¿Cuál sería el pago total en el periodo 2 si se desea cancelar con un solo pago, el total de la deuda?

R: 82 798.72 + 48 348.95 = 131 147.67 c.-En dicho caso, ¿Cuál sería el ahorro en intereses? R: 9 107.86 + 4 791.34 = 13 899.20 45. Con el propósito de formar un Fondo de contingencias, la Empresa Atenea SAC decide hacer depósitos mensuales de US$ 15,000 en una cuenta especial en el Banco La Confianza, que aplica el 12.682503% TEA. Determine cuál es valor del Fondo formado con la quinceava cuota. I= 1% TEM VF:241 453.42

46. La empresa Beta SAC tiene tres adeudos de 15,000;; 20,000 y 45,000 soles, con vencimientos en 10, 15 y 18 meses;; aplicándose el 1.2 % TEM. Calcule el momento para cancelar los 3 adeudos con un solo pago de 65,000 soles. n= -1.71 meses. El importe no cubre el total de la deuda. 47. Calcule la TEM equivalente a una TEA del 18%. I= 1.388843 %TEM 48. Determine el importe del depósito mensual igual que permitirá formar un fondo de S/. 84, 000 si la institución bancaria que recibe el depósito paga 1.05% TEM, si se debe tenerlo en un año y medio. R: 4263.93 49. La empresa ABC SAC debe amortizar un préstamo de S/. 120, 000 y desea hacer pagos mensuales de S/.20, 000 en el Banco Providencia, que pagar 0.8% TEM, determine en cuantas cuotas ABC cancelará el adeudo. n= 6.1722 meses

167



50. A.- Formule el Cuadro de Amortización del Préstamo correspondiente a un préstamo de S/.100, 000 que se pagará con 4 cuotas trimestrales, aplicando el 3% TET.

B.- Si en la 2da cuota se desea cancelar con un solo pago todo el adeudo, calcule el importe total de dicho pago;; y el ahorro en intereses que se logrará. R: 26 902.71 – 78 380.21 – 783.57

51. La empresa INDUTRUST tiene 2 adeudos de 80, 000 y 100, 000 dólares a vencerse en 10 y 14 meses respectivamente;; determine el importe del pago único en el mes 12, que permitirá cancelar ambas deudas, si consideramos la TEA del 15%. VF: 179 582.93 52. Juan Gómez desea que una acreencia a vencerse dentro de un mes, por S/. 72,000, sea reprogramada por el banco para dentro de un año, aplicando una TNA del 15% con capitalización mensual Calcule el importe del pago dentro de 1 año. VF: 82 542.54 53. Calcule la cuota mensual necesaria para repagar un préstamo de 245200dólares , si se aplica una TEA de 18.30% y se emplearán 15 cuotas tem= 0.014102987 R =

18251.18

54. Calcule en cuantos periodos aproximadamente se formará un fondo de S/.870000 si la cuota es de S/.67200 semestrales y se aplica una TNA de 17.10% con capitalización mensual.

i TEM =

0.01425

i TES =

0.0886

168


n =


9.0006 meses

55. Formule el cuadro de Amortización de un Préstamo de 517320 soles si se repagará en 5 cuotas trimestrales si la tasa es 17.40% TEA. Usar el método Francés y Americano. M. Francés

K 0 1 2 3 4 5

R 116504.33 116504.33 116504.33 116504.33 116504.33

I

A

21168.33 17267.25 13206.55 8979.69 4579.86

95336.01 99237.08 103297.79 107524.65 111924.47

M.Americano

S 517320 421983.99 322746.91 219449.12 111924.47 0.00

K 0 1 2 3 4 5

R

I

A

S

21168 21168 21168 21168 538488

21168 21168 21168 21168 21168

0 0 0 0 517320

517320 517320 517320 517320 517320 0

i TEM

0.040919212

R

116504.3349

56. La empresa formará un Fondo de S/.804320 con 5 cuotas trimestrales aplicando una TEA de 25%. Formule el Cuadro de Deposito en el Fondo de Amortización. K 1 2 3 4 5

R 127103.39 127103.39 127103.39 127103.39 127103.39

I 0.00 15002.52 31775.85 50529.00 71495.66

A 127103.39 142105.92 158879.24 177632.39 198599.05

S 127103.39 269209.31 428088.55 605720.95 804320.00

i TET R

0.118033989 127103.3944

57. La empresa tiene 3 obligaciones por US $ 63200, 68420, y 80200, que vencen en 17, 18 y 20 meses. Calcule el importe de un pago que cancelaría las tres deudas en el mes 15

169


VP= 215533 tem = 0.011273985

X =


$203784

Al momento 20.

58. Calcule el tiempo exacto en que se deberá pagar 118000 soles si se desea cancelar una serie de deudas por S/.40000, 38000 y 50000 pagaderas dentro de 16, 18 y 22 meses, si la TEM es de 1.30% P =

100281.4127

n =

12.597

meses

59. Calcule el Valor Lìquido que obtendría la Empresa en la fecha si presenta para su descuento bancario un pagaré por 53200 soles, 1 mes y 14 dias antes de su vencimiento si se aplica una tasa de descuento del 12.90% TNA capitalizable mensualmente. n = i = VL =

1.4667 0.01075 TEM 52363

60. Calcule la cuota mensual necesaria para repagar un préstamo de 25526 dólares, si se aplica una TEA de 18.30% y se emplearán 15 cuotas. tem=

0.014102987

R =

1900.00

61. Calcule en cuantos periodos aproximadamente se formará un fondo de S/. 870000 si la cuota es de S/.67200 semestrales y se aplica una TEM de1.425% con capitalización mensual.

i TEM =

1.425%

i TES =

0.0886 170


n =


9.0006 meses

62. Formule el cuadro de Amortización de un Préstamo de620100 soles si se repagará en 5 cuotas trimestrales si la tasa es17.40% TEA. Usar el método Francés y Americano.

K 0 1 2 3 4 5

M. s R 139651.16 139651.16 139651.16 139651.16 139651.16

I

A

25374.00 20697.87 15830.40 10763.75 5489.78

114277.16 118953.29 123820.76 128887.41 134161.38

M. Americano K R I

S 620100 505822.84 386869.56 263048.79 134161.38 0.00

0 1 2 3 4 5

25374 25374 25374 25374 645474

A

25374 25374 25374 25374 25374

0 0 0 0 620100

S 620100 620100 620100 620100 620100 0

I tet= R=

0.040919212 139651.16

63. La empresa formará un Fondo de S/.70435 con 5 cuotas trimestrales aplicando una TEA de 25%. Formule el Cuadro de Deposito en el Fondo de Amortización. K 1 2 3 4 5

R 11130.55 11130.55 11130.55 11130.55 11130.55

I 0.00 1313.78 2782.64 4424.87 6260.94

A 11130.55 12444.34 13913.19 15555.42 17391.49

S 11130.55 23574.89 37488.09 53043.51 70435.00

i TET =

0.118033989

R =

11130.55449

171



64. La empresa tiene 3 obligaciones por US $ 64444, 68420 y 80200 , que vencen en 17, 18 y 20 meses. Calcule el importe de un pago que cancelaría las tres deudas en el mes 15 si la TEA es de 14.40% VP= 216819

X = $ 205000 tem = 0.011273985

Al momento 20.

65. Calcule el tiempo exacto en que se deberá pagar 118000 soles si se desea cancelar una serie de deudas por S/. 40000, 38000 y 49308 pagaderas dentro de 16, 18 y 22 meses, si la TEM es de 1.30% SOLUCION P = 99760.26131

n = 13 meses

66. Determine la cuota mensual usada para repagar un préstamo de 25500.92 dólares, si se aplica una TEA de 18.30% y se emplearan 14 cuotas. tem= 0.014102987 R =

2020.00

67. Calcule en cuantos periodos aproximadamente se formará un fondo de S/. 870000 si la cuota es de S/. 57653.56 semestrales y se aplica una TES de 8.860% con capitalización mensual. i TES = n =

8.860%

10.00

sem

172



68. Formule el cuadro de Amortización de un Préstamo de 321450 soles si se repagará en 5 cuotas trimestrales si la tasa es 17.40% TEA. Usar el método Francés y americano.

K 0 1 2 3 4 5

M. s R I

72392.95 72392.95 72392.95 72392.95 72392.95

13153.48 10729.45 8206.23 5579.76 2845.81

A

59239.46 61663.50 64186.72 66813.19 69547.13

M. Americano K R I

S

321450 262210.54 200547.04 136360.32 69547.13 0.00

0 1 2 3 4 5

13153 13153 13153 13153 334603

13153 13153 13153 13153 13153

A

0 0 0 0 321450

S

321450 321450 321450 321450 321450 0

I tet= R=

0.040919212 72392.9453

69. La empresa formará un Fondo de S/.54200 con 5 cuotas trimestrales aplicando. una TEA de 25%. K

R

I

A

S

1 2 3 4 5

8565.00 8565.00 8565.00 8565.00 8565.00

0.00 1010.96 2141.25 3404.95 4817.81

8565.00 9575.97 10706.25 11969.96 13382.82

8565.00 18140.97 28847.22 40817.18 54200.00

i TET = R =

0.118033989 8565.00395

70. Calcule el tiempo exacto en que se deberá pagar 118000 soles si se desea cancelar una serie de deudas por S/. 40000, 38000 y 50000 pagaderas dentro de 16, 18 y 22 meses, si la TEM es de 1.30%. SOLUCION P =

100281.4127

n =12.597meses 173



71. Calcule el Valor Lìquido que obtendría la Empresa en la fecha si presenta para su descuento bancario un pagaré por 53237 soles, 1 mes y 14 dias antesde su vencimiento si se aplica una tasa de descuento del 12.90% TNA capitalizable mensualmente. n = i = VL =

1.4667 0.01075 TEM 52400

72. Calcule el Valor Presente de 10 cuotas semestrales vencidas de 1500 soles si se aplica una TEA de 20%. RPTA: -9,400.00 73. Calcule el número de cuotas vencidas bimestrales necesarias para formar un Fondo de 425000 soles con una TEB de 2.50% si el importe de la cuota es de S/.37935.46. i =

0.025 0.01072 0.10724 n

10.00

74. Formule el Cuadro de Amortización de un Préstamo con el método francés si el préstamo es de 38600 soles y la TEB es de 3% , siendo 5 cuotas bimestrales

K

Cuota Total 8,428.49 8,428.49 8,428.49 8,428.49 8,428.49

C. Intereses 1158 939.8854063 715.2273748 483.8296024 245.4898968

C. Amortización 7,270.49 7,488.60 7,713.26 7,944.66 8,183.00

Saldo Préstamo 38600 31,329.51 23,840.91 16,127.65 8,183.00 0.00

174



75. Formule el CDFA si se espera formar un Fondo de 415000 en dos años y medio aplicando cuotas semestrales vencidas 76. K

Deposito 67,975.95 67,975.95 67,975.95 67,975.95 67,975.95

Intereses 0 6797.60 14274.95 22500.04 31547.64

Adicion al F. F. Acumulado 67,975.95 67,975.95 74,773.55 142,749.50 82,250.90 225,000.41 90,476.00 315,476.40 99,523.60 415,000.00

77. Una letra con vencimiento el 14 de octubre es descontada con DBC el 15 de agosto, aplicándose una tasa de descuento de 15% TEA. Calcule el Valor líquido y el descuento si el Valor. P =

12749.9 D =

350.071

78. Tenemos 3 obligaciones por S/.15000, 22000 y 14000 en los meses 15, 19 y 24. Queremos remplazarlos por un solo desembolso en el mes 20. Calcule el importe a pagar si tenemos una TEM del 1.20%. 15921.9

22264

13347.69

Importe

51533.55

79. Calcule el Valor Presente de 8 cuotas semestrales vencidas de 2300 soles si se aplica una TEA de 18%. i =

0.08628

VP=12,908.10

80. Calcule el número de cuotas vencidas bimestrales necesarias para formar un Fondo de 425000 soles con una TEB de 2.50% si el importe de la cuota es de S/. 30807.78

175


i =


0.025 0.01072 0.12868 n

12.00

81. Formule el Cuadro de Amortización de un Préstamo con el método francés si el préstamo es de 48000 soles y la TEB es de 4% siendo 5 cuotas bimestrales. K

Cuota Total 10,782.10 10,782.10 10,782.10 10,782.10 10,782.10

C. Intereses C. Amortizacion Saldo Prestamo 48000 1920 8,862.10 39,137.90 1565.515942 9,216.59 29,921.31 1196.852522 9,585.25 20,336.06 813.4425648 9,968.66 10,367.41 414.6962095 10,367.41 0.00

82. Formule el CDFA si se espera formar un Fondo de 420000 en dos años y medio aplicando cuotas semestrales vencidas y una TEA de 22. K

Deposito 68,176.61 68,176.61 68,176.61 68,176.61 68,176.61

Intereses 0 7126.92 14998.86 23693.69 33297.46

Adicion al F. F. Acumulado 68,176.61 68,176.61 75,303.53 143,480.15 83,175.47 226,655.62 91,870.31 318,525.93 101,474.07 420,000.00

83. Una letra con vencimiento el 14 de octubre es descontada con DBC el 12 de agosto, aplicándose una tasa de descuento de 15% TEA. Calcule el Valor líquido y el descuento si el Valor Nominal es S/. 13066.38. n

63

P =

12700 D =

366.384

84. Tenemos 3 obligaciones por S/. 15000, 22000 y 14500 en los meses 15, 19 y 25. Queremos reemplazarlos por un solo desembolso en el mes 20. Calcule el importe a pagar si tenemos una TEM del 1.2%.

176



15921.9 22264 13660.46 Importe

51846.32

85. Calcular el monto formado por un capital de S/. 41675 depositado por 5 meses 9 días, si se aplicó una TNM del 2% n =5.3

M =46092.55

86. Determinar cuál fue el capital depositado durante 3 años y 6 meses a una TNM del 9 días, si se aplicó una TNM del 2% n =

42 P = 12813.40

87. Un capital de 42315 soles fue colocado en un banco, con los siguientes cambios de tasa (TNM): 1.25% por 6 meses, 1.35% por 4 meses, y 1.50% por 15 días. A.- ¿Cuál fue el Monto y el Interés formado? B.- ¿Cuál sería la TNM única para obtener estos resultados sin cambio de tasa?

A.- B.-

M = 48091.00 i = 0.01300000

I = 5776.00 1.30% TNM

88. Un depósito realizado el 21 de marzo a una TNA del 18.6% capitalizable mensualmente, de un valor de S/. 92369;; se retira el 15 de agosto. Calcule el monto total a retirar;; se retira el 15 de agosto. Calcule el monto total a retirar.

fechas 21-mar 31-mar ab may jun jul 01- Ago 15-ago

dias 10 30 31 30 31 15 147 n =

i =

0.0155

TEM

M= 99600.00 4.9 meses

177



89. Calcular cual fue el capital depositado durante 5 meses 18 dias a una TEM del 2.50% si produjo un Interés de S/. 11340. n= 5.676468.96

102.50% 1.148 0.148 76469 P = 76469

90. ¿Por cuánto tiempo debió estar depositado un capital de 82310 soles si produjo un interés de 14820 soles aplicándose una TEM del 1.80% ? M = 97130

n = 9.28 meses

9 meses

9

dias

91. Determinar cuál es la TNM que aplicada a un capital de S/. 15320 produce un interés de S/. 3450 al cabo de 8 meses. i =

0.028149478

% 2.815 TNM

92. Calcular cual fue el capital depositado durante 1 año y 7 meses a una TNM del 2% si formo un monto de S/. 14420 n =

19 P = 10449.28

93. Un depósito realizado el 19 de marzo a una TNA del 21% capitalizable mensualmente, de un valor de S/. 82400;; se retira el 1 de agosto. Calcule el monto total a retirar.

fechas 19-mar ab may jun jul 01-ago

31-mar

dias 12 30 31 30 31 1 135 n =4.5

i = M=

0.0175 89090.64

94. Calcular la TEA aplicada a un capital de S/. 42450 por 1 año, 6 meses 18 dias, si produjo un interés de S/. 18410. n =1.55

i =0.261648071

26.164807% TEA

95. ¿Por cuánto tiempo se depositó un capital de S/. 51415 a un 18% TEA si produjo un Interés de S/. 18410?

178


n = 1.849156823 años


1 año 10 meses 6 dias

96. Un capital de 60410 soles fue depositado a una TEM de 2% por 3 meses, los 5 meses siguientes la tasa fue de 2.10% y los 4 meses finales al 2.50% Calcule: A.-) El Monto formado;; B.-) la TEM única si no hubiera existido cambio de tasas M = i =

78511.54

0.02208118

2.208118

% TEM

97. Determinar cuál es la TNM que aplicada a un capital de S/. 20120 produce un interes de S/. 4450 al cabo de 9 meses. i = 0.024574774

2.457 % TNM

98. Un depósito realizado el 19 de marzo a una TNA del capitalizable mensualmente, de un valor de S/. 92400 ;; se retira el 16 de agosto. Calcule el monto total a retirar.

fechas 19-mar ab may jun jul

dias 31-mar 12 30 31 30 31 01-ago 16-ago 16 150 n =

i =

0.015

M=

5

99541.04

99. Calcular la TEA aplicada a un capital de S/. 32450 por 1 año, 5 meses 6 días, si produjo un interés de S/. 12410 n = 1.433

i =

0.253499362

25.349936

% TEA

100. Calcular cual fue el capital depositado durante 2 años y 3 meses a una TNM del 1% si formo un monto de S/. 10420 n =

27 P =

8204.72 179



101. ¿Por cuánto tiempo se depositó un capital de S/. 41415 a un 18% TEA si produjo un Interés de S/. 14410? n = 1.803943308 años 102. Un capital de 51320 soles fue depositado a una TEM de 2% por 4 meses, los 5 meses siguientes la tasa fue de 2.10% y los 3 meses finales al 2.50% Calcule: A.-) El Monto formado;; B.-) la TEM única si no hubiera existido cambio de tasas M = i =

66372.42 0.02166477

2.166477

% TEM

103. Colocamos en una institución bancaria 31462 soles, aplicándose una TEA de 21% obteniéndose al final de periodo un monto de 33526.331. Calcule el periodo total en meses n= 0.33338864

4.00 Meses

33526.33

104. Colocamos en una institución bancaria 28635 soles, aplicándose una TEA de 12% pero al cabo de 35 días paso a 14% y 33 días después a 0.145.Si el periodo total de aplicación en días fue 110.Calcule el monto obtenido en dicho periodo total

M

29768.65

105. La empresa desea formar un fondo para renovar maquinarias depositando trimestralmente $ 9500 durante 3 años. Diga si la cuota es suficiente si se requiere mínimamente 150,000 siendo la TET de 6% VF

160264.44

106. La empresa debe amortizar un préstamo de S/. 421200 con un conjunto de cuotas iguales de 8 cuotas semestrales, aplicándose una TES de 0.137617. ¿Cuánto debe ser la cuota? r 2.80522188

90073.21

107. Cual serla la TEM que es equivalente a una TEA de 24.00%

180

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo n TEM


30 n TEA

TEM

0.01808758

108. Descontamos en DRC una letra que vence dentro de 2 meses, usando una Tasa Efectiva Mensual de 1.80% la letra tiene un valor nominal de S/. 4750. Calcular el Valor Liquido pagado hoy. Calcule también el descuento aplicado P

4583.51

D

166.49

181



Capitulo 11

Anualidades con Gradiente

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales Al cabo del estudio de este capítulo, el participante estará capacitado para identificar una anualidad con gradiente aritmético o geométrico, diferenciarlo de otras anualidades, conocer sus variables y las relaciones entre ellas (fórmulas) Específicos • Conocer el concepto de gradiente, en los casos de aritmético y geométrico. • Conocer las anualidades de gradiente aritmético, identificación del gradiente aritmético, identificación de las fórmulas, cálculo del Valor Presente, Valor Futuro, y cuota. • Conocer las anualidades de gradiente geométrico, identificación del gradiente geométrico, identificación de las fórmulas, cálculo del Valor Presente, Valor Futuro, y cuota. CONCEPTO DE SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN GEOMETRICA)

1000 950 900 850

0

1

2

3

4

182



1600 1400 1200 1000

0

1

2

3

4

Si el gradiente o incremento no es una cantidad fija, sino una proporción fijo de un gradiente inicial, entonces es un gradiente geométrico, como se puede notar en el ejemplo a continuación.

1000 950 902.5 857.38

0

1

2

3

4

1,331.00 1,210.00 1,100.00 1,000.00

0

1

2

3

4

En cuyo caso, el gradiente de un momento k y el gradiente del periodo anterior k – 1 se encuentran en la misma proporción geométrica (cociente) que todas las demás.

En ambos casos, que llamamos genéricamente Anualidades con Gradiente, con “n” cuotas y a una tasa de interés “i”, podemos calcular también su valor presente, su valor futuro, y el valor de la cuota en el periodo “k” entre 1 y “n” Pero en cada caso, necesitamos saber cuáles son los elementos de la Anualidad con Gradiente, es decir, identificar sus partes o variables.,

183



FORMULAS PARA SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN GEOMETRICA) 1,331.00 1,210.00 1,100.00 1,000.00

0

1

2

3

4

En el ejemplo presente

é ê ê A1 = P ê ê1 - ê ë

i - i g é1 + i g ù ê ú 1 + i ë û

n

ù ú ú ú ú ú û

CONCEPTO DE SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Como su nombre lo indica, “gradiente” es un incremento (o decremento) que presenta una anualidad, que funciona bajo una ley: si el “gradiente” es un incremento constante en cada periodo respecto al anterior, es decir, una cantidad que se suma a cada elemento de la serie (anualidad), se tratada de un gradiente aritmético. Sería una serie aritmética, pues la diferencia entre dos valores consecutivos es constante. EJEMPLO DE SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

En el ejemplo podemos identificar: 1600 1400 1200 1000

0

1

2

3

4

Una cuota inicial, R1, en este caso, de valor 1000. La gradiente “G”, que se calcula restando cualquier cuota menos la cuota anterior.

184

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Por ejemplo:


G = R4 – R3 = 1400 – 1200 = 200 Entonces G es 200. El número de periodos es n = 4 La tasa de interés es “i” Podríamos decir así que los términos de la Serie (anualidad con Gradiente) son R, R + G, R+ 2G;; R+3G Fórmulas para Gradiente aritmético Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n periodos, que crece G unidades monetarias cada periodo, empezando de cero en t=1 ¿Cuál sería la expresión para el valor presente de las gradientes?

G é (1 + i)n - 1 n ù P = ê + n i ë i *(1 + i) (1 + i) n úû ¿Cuál sería la expresión para el valor presente de toda la anualidad con gradientes?

[(1 + i)n - 1] G é (1 + i) n - 1 n ù P = R* + ê + n n i *(1 + i) i ë i *(1 + i) (1 + i) n úû El primer término es conocido por nosotros (Valor presente de una anualidad) Esta es la expresión básica. Se enfoca con si fueron dos series: una, una anualidad ordinaria, y la otra. Una serie de gradientes. Ejercicios Resueltos de Anualidades con Gradiente

RESUMEN DEL CAPÍTULO Se ha podido identificar una anualidad con gradiente, como aquella que, definida como un conjunto de pagos o desembolsos periódicos, sus importes presentan una ley de crecimiento (o decrecimiento) identificado como gradiente. Este puede ser gradiente aritmético o geométrico. En el primer caso, la cuota tiene una ley de

185



crecimiento por adición de un importe en cada periodo adicional, llamado gradiente aritmético. En el segundo Caso, se da que la cuota tiene una ley de crecimiento geométrico, o tasa geométrica, en cuyo vaso es mejor desdoblar el cálculo primero de la cuota como anualidad y luego del gradiente geométrico aparte. Se han conocido sus variables y las relaciones entre ellas (fórmulas), identificándose en cada caso y, cálculo del Valor Presente, Valor Futuro, y cuota de la anualidad. Se han conocido algunas aplicaciones de las anualidades con gradiente a casos reales, económicos, financieros, personales y por extensión a otros campos, como por ejemplo el cálculo de la inflación. Se han aplicado estas formular para resolver ejercicios y situaciones financieras reales y simulados

186



Capitulo 12

Casos de Integración OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Generales Identificar, diferenciar y combinar las diversas herramientas y conceptos financieros para la resolución de situaciones financieras complejas Específicos • Relaciona los conceptos de equivalencia financiera en condiciones atípicas para calcular importes financieros resultantes de una negociación o renegociaciones de contratos financieros. • Relaciona los conceptos de equivalencia financiera con los diferentes tipos de anualidades para calcular importes financieros en condiciones especiales. • Relaciona los conceptos de equivalencia financiera con los diferentes tipos de amortización de préstamos y formación de fondos de amortización para calcular importes financieros en condiciones especiales. • Aplica los conceptos de anualidades perpetuas y con gradiente para resolver situaciones financieras y no financieras. • Aplica los diferentes conceptos de las matemáticas financieras para absolver casos especiales de evaluación de inversiones y valoración de activos financieros

EJERCICIOS GRUPO 1. Nota: Incluya en cada caso un diagrama de flujos. Ejercicio 1.- Para determinar los gastos del financiamiento de un Proyecto, consideraremos en este caso la amortización con una cuota fija. Para el caso del financiamiento de $ 28,000, a pagarse en un plazo de 6 años, con la tasa de interés del 18% anual, determine el valor de la cuota;; con el resultado obtenido, complete el siguiente formato (Método Francés):

187



Formato Nº 1 –Cronograma pago de la Deuda Año

Deuda

Intereses

Amortización

Cuota

Saldo

A

B

C= D – B

D

Deuda E = A - C

1

2

3

4

5

6

Ejercicio 2.- Jorge Blanco en la fecha se retira de la empresa, siendo que sus sueldos acumulados y otros conceptos de ley, por un total de S/. 3,200 , no pueden ser cubiertos de inmediato por la empresa. La istración propone a Blanco dos alternativas: • 5 pagos mensuales iguales, empezando dentro de 30 días a partir de la fecha;; • Un solo pago al final del periodo total. Complete Ud. la propuesta calculando: a) El valor del pago mensual que recibiría Blanco con la primera alternativa;; b) El valor del pago total que recibiría con la segunda alternativa. Considere una TEA de 22%. Ejercicio 3.- Se adquiere una maquinaria que proponen dos alternativas: a.- Pago en efectivo de $ 110,000 en la fecha. b.- Pago en efectivo de $ 10,000 y 12 pagos mensuales de $ 10,000 en los próximos periodos;; interés: 0.9% mensual. ¿Cuál alternativa conviene más a la empresa?

188



Ejercicio 4.- ¿Cuáles serán las tasas equivalentes: mensuales;; bimestral, trimestral y semestral de una tasa efectiva anual del 32%? Ejercicio 5.- ¿Cuáles serán las tasas equivalentes acumulada anual para una tasa efectiva mensual de2.2%? Ejercicio 6.- La empresa quiere comprar un inmueble a su propietario;; quien pide $ 800,000 al contado;; nuestra empresa desea hacer una contraoferta, con un pago al contado de $ 140,000 en la fecha y 8 pagos mensuales iguales empezando a partir de 30 días de la fecha. ¿Cuánto debe ser el monto de los pagos para que la contrapropuesta sea igualmente conveniente al propietario? SOLUCIONES EJERCICIOS GRUPO 1 Ejercicio 1.- Calculando la cuota, con los siguientes datos: VP = 280000 Tasa de Interés I = 18% anual. Aplicando la fórmula: C = 28000* (0.18*1.18)6/(1.186 – 1) = 8005.48 Habiendo determinado la cuota, basta ahora completar el cuadro de amortización del préstamo, que se muestra a continuación: K 0 1 2 3 4 5 6

R

I

8005.48 8005.48 8005.48 8005.48 8005.48 8005.48

A

5040.00 4506.21 3876.34 3133.10 2256.07 1221.18

2965.48 3499.27 4129.14 4872.38 5749.41 6784.31

S 28000.00 25034.52 21535.25 17406.11 12533.72 6784.31 0.00

Ejercicio N° 2 A) En primer lugar, con un diagrama valor – tiempo, ordenaremos los datos

189



y enfocaremos más precisamente el caso:

Calculando la cuota, con los siguientes datos: VP = 3200 Tasa de Interés I = 22% anual. Debemos obtener una TEM a partir de la TEA. Transformando la TEA: TEA = (1+ TEM) 12 -1 TEM = (1+ TEA) 1/12 -1 TEM = 0.0167 = 1.67% TEM Cálculo de la cuota: Aplicando la fórmula: C = 3200* (0.0167*1.0167)5/(1.01675 – 1) = 672.43 B) Cálculo del pago total en la segunda alternativa. VF = VP * ( 1 + i) n Reemplazando valores: VF = 32000 * (1 + 0.0167)5 = 3476.27 Rpta: S/. 3476.27 Ejercicio 3.- ¿Cuánto monta el Valor Actual de la alternativa “b”? Con un diagrama valor – tiempo, ordenaremos los datos:

190



.i = 0.9 % TEM Cálculo del Valor Actual: Aplicando la fórmula: VA B = 10000 + 10000* (1.00912 – 1) /(0.009*1.009)12= VA B = 10000 + 113265.17 = $ 123265.17 Este valor es mayor a 110,000, por lo que es más oneroso a la empresa. Rpta: Le conviene más la alternativa “A”. Ejercicio 4 Calculando ordenadamente las tasas equivalentes: mensuales;; bimestral, trimestral y semestral de una tasa efectiva anual del 32% Así: Tasa

Cálculo

Resultado

Mensual

(TEA +1 )1/12 -1 = 0.0234 = 2.34% TEM

Bimestral

(TEA +1 )1/6 -1

= 0.04735 = 4.375 % TEB

Trimestral

(TEA +1 )1/4 -1

= 0.07187 = 7.187 % TET

Semestral

(TEA +1 )1/2 -1

= 0.1489 = 14.89 % TES

191



Ejercicio 5 Calculando la tasa equivalente acumulada anual para una tasa efectiva mensual de 2.2% Datos: . i = TEM= 2.2% Cálculo de la tasa equivalente acumulada: ( 1 + i acumulada) = ( 1 + i)n i acumulada = ( 1 + i)n - 1 i acumulada = ( 1 + 0.022)12 – 1 = 0.2984 = 29.84 % (Tasa acumulada por todo el lapso de la operación). Rpta: 29.84 % Ejercicio 6 Calcular el monto de los pagos para que la contrapropuesta sea igualmente conveniente al propietario Con un diagrama valor – tiempo, ordenaremos los datos y aclaramos la situación:

192

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . Compararemos un pago de $ 800000 en el momento 0, con un conjunto de pagos (señalado en el diagrama), que sean equivalentes, para lo cual debemos hallar la cuota ( R ) respectiva.. Calculando la cuota del conjunto de pagos, despejamos el valor presente pendiente: VP = 800,000 – 140,000 = $ 660,000 Con este valor presente, podemos calcular la cuota: .i = 1% TEM .n = 8 meses Aplicando la fórmula consabida:

C = 660000* (0.01*1.01)8/(1.018 – 1) = $ 86255.59

Rpta: $ 86255.59 Importe de la cuota mensual necesaria para igualar la conveniencia de ambas propuestas.

193



SEGUNDO GRUPO DE EJERCICIOS PROPUESTOS

Nota: Incluya en cada caso un diagrama de flujos. 1.- Para determinar los gastos del financiamiento de un Proyecto, consideraremos en este caso la amortización con una cuota fija. Para el caso del financiamiento de $ 12,000, a pagarse en un plazo de 5 años, con la tasa de interés del 14% anual, determine el valor de la cuota;; con el resultado obtenido, complete el siguiente formato: Formato Nº 1 –Cronograma pago de la Deuda Año

Deuda

Intereses

Amortización

Cuota

Saldo

A

B

C= D – B

D

Deuda E = A - C

1

2

3

4

5

2.- Esperamos que nuestro proyecto genere ingresos anuales netos iguales de S/ 550,000 en los siguientes 6 años. A una tasa de interés anual del 10%, considerado como tasa de descuento, ¿el valor actual del Proyecto será mayor a la inversión realizada de S/ 2’400,000? 3.- Nuestra empresa quiere comprar un terreno a su propietario;; quien pide $ 250,000 al contado;; nuestra empresa, considerando los flujos de que dispondrá quiere ofrecer $ 40,000 al contado y pagos iguales durante 6 meses. Si el interés es el 4.5% anual;; ¿cuánto debe ser el pago mensual para que sea igualmente

194



conveniente al propietario? 4.- La empresa planea adquirir dentro de 24 meses un terreno cuyo costo es de $ 200,000;; para lo cual formará un fondo especial en base a depósitos mensuales en una cuenta destinada a ese fin en un banco, que paga una tasa de interés mensual de 0.9%. ¿Cuánto debe ser la cuota del depósito? 5.- La empresa obtiene un ingreso extraordinario, y desea asegurar el pago oportuno de las cuotas de $ 3,400 cada una de los próximos seis meses de una deuda anteriormente contraída. ¿Cuánto debe colocar en este comento si se espera que el primer pago mensual es dentro de un mes, y el banco paga un interés de 2% mensual?

195

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo CASOS DE INTEGRACIÓN


Temas: Valor del dinero en el tiempo, Valor presente, Valor futuro, Equivalencia financiera, Anualidades CASO I La empresa Sun –Scape SAC tiene tres adeudos: US $ 18500 con el Banco del Norte, que cobra 12% TEA, con vencimiento en 8 meses a partir de la fecha; US $ 20500 con el Banco Provincial, al 15% TEA, que vence en 10 meses; y una deuda que ha acordado pagar con 5 cuotas mensuales de US $ 5000 cada una, pagaderas a partir del próximo mes en adelante, aplicándose una TEA del 18%. La empresa conviene con el Banco Garantizador vender el total de la deuda y reemplazarla por tres pagos trimestrales vencidos a partir del siguiente trimestre, aplicándose una TEA del 10%. 1. Presente el diagrama valor tiempo de la operación en su conjunto. 2. Determine el importe de la cuota necesaria al Banco Garantizador para cancelar la operación. CASO II La empresa AGROLAC SAC está analizando la posibilidad de invertir en una maquinaria que le permitirá obtener ingresos netos adicionales que están sujetos a estimación. Según la información de los ingenieros contratados, las inversiones suman US$ 700,000, se ha considerado un horizonte de evaluación de 10 años, y se asume que la tasa de rendimiento de la mejor inversión alternativa es del 15% TEA, tasa que será usada como la tasa de actualización de los flujos, como costo de oportunidad del capital. Se considera que todas las inversiones se desembolsan en el Año “0”. Se considera los siguientes escenarios de evaluación: Escenario N° 1 El ingreso neto en todos los años es de US$ 100,000 Escenario N° 2

196

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . El ingreso neto en los 5 primeros años es de US$ 90,000, y en los 5 últimos años es de US$ 110000 1. Presente el diagrama valor tiempo y determine el Valor Presente Neto (o Valor Actual Neto) de la Proyecto de inversión, en ambos escenarios.

Casos de Integración – Grupo 2 Temas: Valor del dinero en el tiempo, Valor presente, Valor futuro, Equivalencia financiera, Anualidades 1.- La empresa considera que sus dividendos por acción pueden proyectarse razonablemente en US$ 15 por acción, en todos los periodos venideros, sine die. Además, se considera que el costo de oportunidad del capital invertido en la acción es del 12%. Determine el valor de la acción a la fecha, suponiendo para simplificar que el precio de transferencia de la acción es deleznable (es decir, no se planea vender la acción) y que la inflación será también deleznable. 2.- Sean un préstamo de US$ 15500, que se cancela en 4 cuotas trimestrales al 3% TET. A) Formule el Cuadro de Amortización del Préstamo simplificado (columnas K, R, I, A, S) B) Diga cuál sería el importe a pagar al final del 3er. Trimestre si con ese pago se liquida toda la deuda. C) En el caso de B, ¿Cuál sería el ahorro en intereses? 3.- La empresa ABC tiene las siguientes deudas: A) Una por S/. 25,000 con el Banco Buena Fé, a vencerse en 7 meses, aplicándose el 2% TEM B) Una por S/. 30,000, con el Banco Invertia, a vencerse en 3 meses, a una TEM del 1.5% C) Una última, por S/. 14,500 con el Banco de los Emprendedores, para pagarse dentro de 8 meses, a una TEM del 1.4%. Así las cosas, el Banco del Desarrollo ofrece a ABC comprar sus deudas con un préstamo a pagar dentro de 1 año, a una TEM del 1% 3.1.- ¿Le conviene el acuerdo a ABC? 3.2.- ¿Cuánto debe pagar por el préstamo (mes 12)? 4.- ¿Cuál sería el Valor Presente de un conjunto de ingresos anuales que se estima crecerán un 5% cada año si la tasa de descuento (actualización)

197

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . apropiada es del 12% TEA, y si el ingreso del primer periodo es de US% 150,000, y al final del 2er. Año se venderá el activo a US$ 355,000. (No considerar la inversión inicial). (Agregar respuestas)

198



Casos de Integración – Grupo 3 Valor del Dinero en el tiempo CASO I En la empresa se presenta el siguiente dilema: Si se adquiere el derecho a uso de una marca internacional por 5 años, los ingresos netos en promedio se pueden incrementar en 25%, considerándose que la cantidad vendida será básicamente la misma. Los demás costos serían básicamente los mismos. Los derechos tienen un costo de US$ 2’500,000; y los ingresos netos proyectados en US$ con la marca propia para los próximos 6 años son 1

2

3

4

5

500000

520000

550000

570000

590000

Considérese que la tasa de rentabilidad de la empresa en la mejor alternativa de inversión disponible es de 14% anual. A) ¿Le conviene a la empresa adquirir los derechos? B) ¿Cuál sería el ingreso mínimo igual para los 5 años para que la alternativa sea aplicable?

P ´ i ´ (1 + i)n R= [(1 + i)n - 1] CASO II Un proyecto de reemplazo de maquinarias en la empresa tiene un costo de inversión total de $4’ 350,000, que se aplica el año 0 del horizonte de evaluación. El flujo de ingresos netos incrementales (diferenciales) proyectado con reemplazo es como sigue: 1

2

3

4

5

823,000

922,000

1’055,320

1’067,000

1’079,000

Considérese que la tasa de rentabilidad para la empresa de la mejor alternativa de inversión disponible es de 16% anual. I. II.

¿Le conviene a la empresa el proyecto de reemplazo? ¿Cuál sería el ingreso mínimo igual para los 5 años para que la alternativa sea aplicable?

(Agregar respuestas)

199



EJERCICIOS PROPUESTOS: CASOS MAS COMUNES PARA LAS FINANZAS 1.- Obtenemos un crédito de S/ 11,500 para reembolsar en 24 cuotas mensuales; a una tasa mensual de 5.5%. ¿Cuánto se deberá devolver mensualmente? 2.-La empresa desea adquirir dentro de 36 meses una maquinaria cuyo costo es de $ 120,000. ¿Cuánto deberá colocarse mensualmente en un banco que paga un interés mensual en moneda extranjera de 0.4%? 3.-¿Será suficiente un aporte ,mensual de S/ 900 en los próximos 32 meses para reunir al final de ese lapso S/ 60,000; considerando la tasa de interés mensual de 4%. 4.- Una persona deposita un fondo de ahorros para su hijo en un banco por 16 años, aportando $ 800 anuales, siendo que el banco paga una tasa anual de 15% ¿Cuánto habría de acumular en ese lapso? 5.- Esperamos que nuestro proyecto genere ingresos anuales de S/ 500,000 en los siguientes 5 años. A una tasa de interés anual del 10%, ¿el valor actual será mayor a la inversión de S/ 2’000,000 hecha? 6.- La empresa planea adquirir dentro de 22 meses un terreno cuyo costo es de $ 100,000; para lo cual formará un fondo especial en base a depósitos mensuales en una cuenta destinada a ese fin en un banco, que paga una tasa de interés mensual de 0.8% en moneda extranjera. ¿Cuánto debe ser la cuota del depósito? 7.- Se adquiere una maquinaria que proponen dos alternativas: A.- Pago en efectivo de $ 110,000 en la fecha. B.- Pago en efectivo de $ 10,000 y 12 pagos mensuales de $ 10,000 en los próximos periodos; interés: 0.9% mensual. ¿Cuál alternativa conviene más a la empresa?

200

Matemática Financiera Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . 8.- Juan Solano decide ahorrar US$ 200 mensuales durante un año en un banco que paga 4% efectivo anual. Determinar: a.- El valor actual de los depósitos; b.- El monto del que dispondría dentro de 12 meses. Nota.- Usar la tasa fraccionaria: con la fórmula: if = (1 + i)

1/n

-1

9.- Jorge Solís se ausentará del país por motivos de trabajo en los próximos 6 meses; y desea asegurar el presupuesto familiar, que es de S/. 3,000 mensuales. Para ello, depositará el monto adecuado en una financiera que paga el 3% mensual, de donde su esposa retirará mensualmente la suma requerida. Calcule el monto del depósito que debe hacer Solís. 10.-Carlos Gonzáles quiere comprar las propiedades de Eduardo Pinto; quien pide $ 75,000 en un solo pago; Gonzáles hace la siguiente oferta: $ 10,000 al contado y pagos semestrales de 6,125 durante 6 años si el interés es el 4.5% con capitalización anual; ¿Le conviene a Pinto la propuesta de Gonzáles?

RESUMEN DEL CAPÍTULO En este capítulo, se presentan casos de mayor complejidad del ámbito, económico, financiero, empresarial, en el cual no basta el uso de un solo enfoque conceptual, sino que necesariamente se deben combinar varios de ellos. Para lo cual, se debe poseer un conocimiento preciso de la naturaleza de las diferentes operaciones financieras. Se han presentado casos en los cuales se deben combinar el principio de equivalencia financiera, el proceso de actualización y capitalización, entre sí y con los diversos tipos de anualidades. Asimismo, se han utilización las rentas perpetuas como las anualidades con gradientes para calcular diversos importes, en los siguientes casos: • negociación o renegociaciones de contratos financieros. • calculo importes financieros en condiciones especiales. • diferentes tipos de amortización de préstamos y formación de fondos de amortización para calcular importes financieros en condiciones especiales.

201



• Casos especiales de evaluación de inversiones y valoración de activos financieros

Bibliografía Básica • C. ALIAGA VALDEZ, Manual de Matemática Financiera. Universidad del Pacífico. 1ª.

Edición. Lima – Perú. 1996 • FRANK AYRES Matemáticas Financieras. Mc- GRAW HILL. México 1971.

Meza O. J. (2011). Matemáticas financieras aplicadas, 4ª Edición. Bogotá – Colombia: Ecoe Ediciones. Tarango, J. P. (2006). Matemáticas Financieras. Editorial Ceysa. Álvarez A. A. (2005). Matemáticas Financieras, 3ª Edición. Zans, W. (2006). Matemática financiera: con aplicaciones tributarias y contables. Lima – Perú: Editorial San Marcos. Gianneschi, M. A. (2005). Curso de Matemática Financiera. Buenos Aires – Argentina: Ediciones Macchi. Santandreu, P. (2000). Matemática financiera: con ejercicios resueltos. Barcelona – España: Ediciones Gestión. Portus, G. L. (1990). Matemáticas financieras. Bogotá – Colombia: Mc. Graw- Hill.

202



Formulario del Curso de Matemática Financiera

INTERÉS SIMPLE •

•


æ i * n ö D = M * ç ÷ è 1 + i * n ø

Bancario •

I = P * i * n

• •

M = P *(1 + i * n)

D = M * d * n

Descuento Compuesto

Racional

INTERÉS COMPUESTO

• •

M = P *(1 + i)n

•

I = P * é(1 + i ) - 1ù ë û

Bancario

n

i=n

M - 1 P

P = M * ( (1 - d )n )

•

D = M * éë1 - (1 - d )n ùû

TRANSFORMACION DE TASAS TASA PROPORCIONAL.

•

•

•

D = M * éë1 - (1 + i)-n ùû

Ejemplo: La operación para hallar la tasa

M log( ) P n= log(1 + i )

nominal proporcional anual a 2.5% TNM sería así:

•

FSC = (1 + i)n

•

1 FSA = (1 + i)n

TNA =

También se puede expresar así:

•

Monto con Variaciones de la Tasa de Interés •

M = P(1 + i1 )

DESCUENTO Descuento Simple Racional

h1 f

2.4% 12meses 28.8% * = = 28.8%TNA 1mes 1año 1año

(1 + i2 )

h2

f

(1 + i3 )

h3

f

é j ù i p = ê ú ë m û

....

CALCULO DE TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A OTRA TASA NOMINAL DADA SI DIFIEREN RESPECTO AL PERIODO DE CAPITALIZACION. n

j ö m æ • ie = ç1 + ÷ - 1 è c ø 203

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo Donde:

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . •

C: # de Veces que la tasa efectiva j (i) capitaliza según el periodo de interés de la

ie = (1 + id ) - 1 n

ANUALIDADES VENCIDAS

tasa nominal.

•

é (1 + i) n - 1 ù VF = R * ê ú = R * FCS i ë û

•

é (1 + i)n - 1ù VP = R * ê = R * FAS n ú ë i *(1 + i) û

•

é ù i R = VF * ê ú = VF * FDFA n ë (1 + i) - 1û

•

é i *(1 + i) n ù R = VP * ê ú = VP * FRC n ë (1 + i) - 1û

n: Periodo de capitalización de tasa

equivalentes buscada “i” (en días) m: Periodo de capitalización de tasa original “j” (en días)

i = Tasa efectiva equivalente j = Tasa nominal dada. CALCULO DE LA TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A OTRA TASA EFECTIVA DADA. ANUALIDADES ANTICIPADAS

Donde: K es el # de periodos de diferimiento.

•

é (1 + i)n - 1ù VF = Ra * (1 + i ) * ê ú i ë û

•

é (1 + i) - 1 ù VP = Ra * (1 + i ) * ê n ú ë i *(1 + i) û

•

ù i -1 é Ra = VF * (1 + i ) * ê ú n (1 + i ) - 1 ë û

RENTAS PERPETUAS Valor Actual de una Renta Perpetua Vencida Inmediata:

•

n

1 A = R * i

Valor Actual de una Renta Perpetua Anticipada Inmediata:

•

A = R*

•

é i *(1 + i) n ù Ra = VP *(1 + i) -1 * ê ú n ë (1 + i) - 1û

MLRVR

ANUALIDADES DIFERIDAS

•

Para ambos casos, de A. vencidas o anticipadas;; a las formulas consabidas se

1 i = n

MPFSSD

aplica el factor:

•

•

(1 + i) - k para R

Y

i = 1 - n

R C

MDSD

•

i

DEPRECIACIÓN

(1 + i )

(1 + i ) k para VF o VP

•

2 i = n 204

Matemática Financiera Enfoque: Valor del dinero en el tiempo FORMULAS DEDUCIR.

ADICIONALES

Dr. Econ. Manuel Alberto Hidalgo Tupia Mg. C. Juan Carlos Orellano Antúnez . •

PARA

a, ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 ,.....ar n-1 , ar n

1 - r n • S = a * 1 - r

Suma “S” de términos de Serie Geométrica primer término a y razón “r”, tal como:

205

3libro Matemática Financiera- Hidalgo V6.pdf 5xq6t

Overview 5o1f4z

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