Geometria - Propiedades De Los Puntos Notables De Un Triángulo 2v1v5p

GEOMETRIA I – 1º B

Profesora: Ana María Zamagni

PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Teorema 1: Las tres mediatrices correspondientes a los lados de un triángulo concurren en un punto llamado CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia circunscripta al triángulo.

Demostración: Como los vértices del triángulo no están alineados dos cualesquiera de las mediatrices se cortan en un punto o. Mz ab  Mz cb   o Por lo tanto o pertenece a la Mz ab , por consiguiente oa  ob y o pertenece a la Mz cb , por consiguiente oc  ob Por propiedad transitiva de la congruencia oa  oc , por lo tanto o equidista de a y de c, es decir o pertenece a la Mz ac . Como o pertenece a las tres mediatrices pertenece a su intersección, por lo tanto equidista de los tres vértices, y en consecuencia es el centro de la circunferencia que  pasa por a, b y c. Que es la circunferencia circunscripta al a b c . Este punto se llama “Circuncentro”. Consecuencia: Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia. Actividad: a) Dibuja en el triángulo abc la circunferencia de centro o y radio oa . Verifica si pasa por b y por c. b) Verifica la propiedad en otros triángulos. c) Completa: El circuncentro es un punto …………………..al triángulo si este es acutángulo. El circuncentro es un punto …………………..al triángulo si este es obtusángulo. El circuncentro es un punto que …………………..a la hipotenusa del triángulo si este es rectángulo. Teorema 2: Las bisectrices interiores de un triángulo concurren en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.

GEOMETRIA I – 1º B

Profesora: Ana María Zamagni



ˆ ; Bzc ˆ ; Bzb ˆ Bza H) a b c T) Bzaˆ  Bzbˆ  Bzcˆ   i ˆ, Demostración: Tomamos Bzaˆ  Bzbˆ   i , como i pertenece a Bza equidista de ab (cuya distancia es ip ) y de ac (cuya distancia es is ), por lo tanto ip  is . (1) ˆ , equidista de ab (cuya distancia es ip ) y de bc Como i pertenece a Bzb (cuya distancia es ir ), por lo tanto ip  ir . (2) Por transitividad de la congruencia de (1) y (2) : is  ir . Por lo tanto como i ˆ . equidista de ac y de bc , i pertenece a la Bzc Como i pertenece a las tres bisectrices pertenece a su intersección, por lo tanto equidista de los tres lados del triángulo, y en consecuencia es el centro de la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo. Este punto se llama “Incentro”.

Actividad: a) Dibuja en el triángulo abc la circunferencia de centro i y radio ip . Verifica si los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia en p, r y s. b) Verifica la propiedad en otros triángulos. c) Subraya la o las opciones correctas: El incentro es un punto interior al triángulo siempre, a veces o nunca. d) Anota tus conclusiones acerca de la actividad.

Teorema 3: Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado ORTOCENTRO.

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Profesora: Ana María Zamagni



H) a b c T)

aa´ altura de bc aa´  bb´  cc´  o

;

bb´ altura

de

ac

y

cc´ altura

de

ab .



Demostración: Por los vértices del a b c se trazan las tres paralelas correspondientes a los lados opuestos respectivos. Estas tres rectas se cortan en los puntos m, p y r. (Podemos asegurar que se cortan porque son paralelas a rectas que se cortan) Considerando el paralelogramo mbca (ya que ma // bc y mb // ac por construcción) Por definición sabemos que mb = ac . Análogamente en el paralelogramo abpc, bp = ac . Por transitividad de la congruencia: mb = bp , por lo tanto b es el punto medio de mp . (1) bb´ es perpendicular a ac y a todas su paralelas en especial a mp .(2) De (1) y (2) bb´ está incluido en la mediatriz de mp . Análogamente se demuestra que: aa´ está incluido en la mediatriz de mr cc´ está incluido en la mediatriz de rp .  Por teorema anterior las tres mediatrices del m p r se cortan en un punto, o, y como las 

alturas del a b c están incluidas en dichas mediatrices se cortan en el mismo punto o: llamado “ortocentro”. Actividad: a) Dibuja distintos tipos de triángulos y sus correspondientes alturas. b) Completa: El ortocentro es un punto …………………..al triángulo si este es acutángulo. El ortocentro es un punto …………………..al triángulo si este es obtusángulo. El ortocentro es un punto que es………………………………. del triángulo si este es rectángulo.

Teorema 4: Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamado BARICENTRO, que dista de cada vértice en las dos terceras partes de las medianas correspondientes.

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Profesora: Ana María Zamagni



H) a b c aa´ mediana de

bc

;

bb´ mediana

de

ac

y

cc´ mediana

de

ab .

2 2 2 T) ag  aa´ ; bg  bb´ y cg  cc´ 3 3 3

Demostración: Consideramos p punto medio de 

En el a g c ,

pq

ag

y q punto medio de

cg

.

es base media (por construcción), por lo tanto pq // ac y pq 

ac (1) 2

ac



En a b c , a´c´ es base media y por lo tanto a´c´ // ac y a´c´  (2). 2 De (1) y (2) pq // a´c´ y pq = a´c´ . Por lo tanto cá´qp es paralelogramo, esto implica que sus diagonales se cortan en partes congruentes: pg  ga´ y c´g  gq . Por construcción ap  pg y pg  ga´ esto implica que el segmento aa´ está dividido en tres partes congruentes. ap; pg ; ga´ . Como ag  ap  pg , queda demostrado que ag 

2 aa´ . (ii) 3

Análogamente cg 

2 cc´ . (ii) 3

Actividad: Demostrar que bg 

2 bb´ (ii) 3

EXINCENTRO: La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo y las bisectrices de los ángulos exteriores adyacentes a los otros dos ángulos interiores se cortan en un punto llamado “exincentro”. Este punto es el centro de la circunferencia exinscripta, la cual es tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. (graficar un exincentro) .