Geometria - Circunferencia- Puntos Notables 5f3l48

GEOMETRÍA TEMA 3

CIRCUNFERENCIAS: PUNTOS NOTABLES SNI3G3

DESARROLLO DEL TEMA

I.

IV. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica formada por todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano llamado centro.

1.

A

 = mBD  mAC α=β

D

C

II. ELEMENTOS

Si: AB / / CD se cumple:

B

Centro: O Radio : r

B

2.

Si: AB = CD se cumple:

 = mCD  mAB

A

α=β

D

C

Nota: Medida Angular: 360° Medida Longitudinal: 2πr 3.

A

P M

Si: OP ⊥ AB se cumple: AM = MB

B

O

III. ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA • Cuerda: AB

 = mPB  mAP 

4.

Si: L recta tangente se cumple:

T

• Diámetro: PQ

α = 90°

O

PQ = 2r  • Arco AB

• Punto de Tangencia: T • Recta Tangente: • Recta Secante:

5.

LT

Si: A, B son puntos de tangencia, se cumple: AP = PB

LS B

• Flecha: CS

SAN MARCOS REPASO 2014 – I

P

A

1

GEOMETRÍA

TEMA 3

CIRCUNFERENCIAS: PUNTOS NOTABLES

6.

VII. TEOREMA DE PONCELET

Si: AP y PB son puntos

En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es

de tangencia α = θ

igual a la longitud de la hipotenusa más dos veces el inradio.

+

=

+

V. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRIÁNGULO Es aquella circunferencia que es tangente a los lados de un triángulo.

Nota: Todo triángulo tiene una circunferencia inscrita a su centro, se denomina incentro y se determina al intersectarse las bisectrices interiores, además el radio se denomina inradio.

VIII. TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la suma de los lados opuestos son iguales.

+

=

+

IX. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA VI. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO

A. Ángulo Central

Es aquella circunferencia que contiene a los vértices de un triángulo.

Nota: Todo triángulo tiene una circunferencia circunscrita cuyo centro se denomina circuncentro y se determina al intersectar las mediatrices trazadas a cada lado del triángulo y cuyo radio se llama circunradio.

B. Ángulo Inscrito

TEMA 3

GEOMETRÍA

2

SAN MARCOS REPASO 2014 – I

CIRCUNFERENCIAS: PUNTOS NOTABLES

Caso 3

C. Ángulo Semi–Inscrito

= = =

D. Ángulo Ex–Inscrito

–

X. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia.

+

=

E. Ángulo Interior

=

ABCD: Cuadrilátero Inscrito ó Cíclico

+

XI. PROPIEDADES En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

F. Ángulo Exterior Caso 1

= +

– =

Caso 2

Nota:

=

SAN MARCOS REPASO 2014 – I

–

3

GEOMETRÍA

TEMA 3

CIRCUNFERENCIAS: PUNTOS NOTABLES

XII. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia, por lo cual, deberá cumplir con las propiedades anteriores.

Un cuadrilátero va hacer inscriptible si se cumple: PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcula: "x". (T: punto de tangencia)

Problema 2 En el gráfico, si AB = 50, BC = 70 y AC = 60. Calcula AQ. (P, Q y T son puntos de tangencia)

Problema 3

 – mCF , En el gráfico, calcular: mBD  – mENF = 15º si: mAMD

A) 18º A ) 18º C) 16º E) 13º

B) 14º D) 12º

A) 28 C) 30 E) 23

Resolución:

B) 20 D) 22

B) 30º C) 15º D) 12º E) 20º

Resolución:

San Marcos 1996

Piden: AQ = x

Nivel difícil

Resolución: Del gráfico: ∧

P= ∧

 – mBD  mAMD 2

P= Piden: x

∆ VOT (m  VTO = 2x)

Por propiedad:

m  TOM = 4x

CQ = = p ∆ ABC = 50 + 60 + 70 2 CQ = = 90

OTM 4x + x = 90º

 – mCF  = mAMD  – mENF  mBD  – mCF = mBD 15º

∴x = 30

∴ x = 18º

Respuesta: A) 18º

TEMA 3

    Luego: mENF – mCF = mAMD – mBD 2 2

⇒ 60 + x = 90

⇒ 5x = 90º

 – mCF  mENF 2

GEOMETRÍA

Respuesta: C) 30

4

Respuesta: C) 15º

SAN MARCOS REPASO 2014 – I