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FORMAS NORMALES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ´ E. SAEZ

La idea general de la Teor´ıa de Formas Normales consiste en encontrar un sistema de coordenadas donde una determinada expresi´on se reduce a una expresi´on equivalente que contiene s´olo los t´erminos m´as relevantes, por ejemplo, es conocido en el estudio de las cuadr´aticas reales en dos variables reales con coeficientes constantes, que existen traslaciones y rotaciones en el plano que permiten definir nuevas coordenadas donde la ecuaci´on de la cuadr´atica no contiene el t´ermino mixto y no contiene al menos un t´ermino lineal ya que son irrelevantes para la forma cualitativa de la gr´afica de la cuadr´atica. Dichas ecuaciones son llamadas Can´onicas. Otro ejemplo conocido es en el estudio de las matrices cuadradas, donde se demuestra que existen bases adecuadas en los Espacios Vectoriales respectivos tales que mediante transformaciones lineales es posible representar la matriz en t´erminos de los valores propios que son los n´ umeros realmente relevantes de la matriz. Dichas matrices se dicen de Jordan. La expresi´on general de una Ecuaci´on Diferencial Parcial Lineal Real de Segundo Orden en dos variables, definida en un dominio Ω del plano en coordenadas cartesianas es de la forma 2

(1)

2

2

∂ u a(x, y) ∂∂xu2 + 2b(x, y) ∂x∂y + c(x, y) ∂∂yu2 + d(x, y) ∂u + e(x, y) ∂u + ∂x ∂y f (x, y)u + g(x, y) = 0

donde los coeficientes a, b, c : Ω → R son funciones en dos variables que iten desarrollos de Taylor convergentes y no se anulan simultaneamente en Ω. Los coeficientes d, e, f, g : Ω → R son funciones en dos variables y continuas.

Como la ecuaci´on (1) es de segundo orden, veremos en lo que sigue que siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas definidas por sistema de ecuaciones de la forma ξ = ξ(x, y) (2) ∂(ξ,η) η = η(x, y) con 6= 0 , ∀(x, y) ∈ Ω ∂(x,y) tal que (1) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes tipos de ecuaciones m´as sencillas, llamadas Formas Normales , o bien , formas Formas Departamento de Matem´ atica, UTFSM e–mail: [email protected]. 1

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Can´ onicas de (1).   1.a)       1.b) 2.a) FormasNormales :    2.b)     3)

(3)

∂2u ∂ξ 2

∂2u ∂η2 ∂2u ∂ξ∂η ∂2u ∂η2 ∂2u ∂ξ 2 ∂2u ∂2u + ∂η2 ∂ξ 2

−

+ T.O.I. + T.O.I. + T.O.I. + T.O.I. + T.O.I.

=0 =0 =0 =0 =0

donde T.O.I., designa los t´erminos de orden inferior al efectuar el cambio de coordenadas (2) a (1) para obtener (3). Definici´ on. Diremos que la ecuaci´on (1) es de tipo Hiperb´ olica, ´ o Parab´ olica, o bien, El´ıptica, si y s´olo si existe un cambio de coordenadas tal que la ecuaci´on se puede escribir en la Forma Normal 1., ´ o 2., o bien 3., respectivamente. N´otese de (3) que no existe unicidad de Formas Normales. Adem´as, las formas 1.), 2.) y 3.) son por definici´on de tipo Hiperb´olicas, Parab´olicas y El´ıptica, respectivamente. En F´ısica e Ingenier´ıa es frecuente encontrar las E.D.P.  2 ∂2u ∂ u   ∂x2 − ∂t2 = 0 Ecuaci´on de Onda Unidimensional ∂u ∂2u Ecuaci´on de Calor Unidimensional 2 − ∂t = 0 ∂x  2  ∂ u2 + ∂ 2 u2 = 0 Ecuaci´on de Laplace Bidimensional ∂x ∂y

Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de Ecuaciones de tipo Hiperb´olica, Parab´olica y El´ıptica, respectivamente. Teorema La E.D.P. (1) es reducible en Ω a la forma: 1) Hiperb´olica si y s´olo si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) > 0 , ∀(x, y) ∈ Ω 2) Parab´olica si y s´olo si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) = 0 , ∀(x, y) ∈ Ω 3) El´ıptica si y s´olo si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) < 0 , ∀(x, y) ∈ Ω Demostraci´ on Sea ∆ : Ω → R tal que ∆(x, y) = b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y). Demostraremos en primer lugar que en Ω, el signo del discriminante ∆(x, y) es invariante bajo un cambio de coordenadas del tipo (2). Por (2) es inmediato que existe una cadena de dependencia de las variables del tipo:

ξ

x

η

y

u

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Usando la Regla de la Cadena y cambiando de notaci´on se obtiene que las derivadas parciales respecto de x e y, estan dadas por las expresiones:  ux = uξ ξx + uη ηx      uy = uξ ξy + uη ηy uxx = uξξ ξx2 + 2uξη ηx ξx + uηη ηx2 + T.O.I.   uxy = uξξ ξy ξx + uξη ηy ξx + uηξ ξy ηx + uηη ηx ηy + T.O.I.    u 2 2 yy = uξξ ξy + 2uξη ηy ξy + uηη ηy + T.O.I.

Reemplazando las derivadas parciales anteriores en (1) se obtiene que la forma general de la Ecuaci´on Parcial en las cordenadas (ξ, η) es del tipo

(4)

Auξξ + 2Buξη + Cuηη + T.O.I. = 0

donde los coeficientes de las derivadas de segundo orden est´an dadas por:   A = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 B = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy (5)  C = aη 2 + 2bη η + cη 2 x y x y Con un c´alculo operatorio simple se verifica la identidad:



∂(ξ, η) B − AC ≡ (b − ac)(ξx ηy − ξy ηx ) ≡ (b − ac) ∂(x, y) 2

2

2

2

2

La identidad anterior, demuestra que el signo de la expresi´on ∆ = b2 −ac es invariante bajo cambio de coordenadas pues 2 ∂(ξ, η) 2 2 Sing(B − AC) = Sing(b − ac) si y s´olo si 6= 0 ∂(x, y) (⇒). Es inmediato de (3) que las Formas Normales : Hiperb´olica, Parab´olica y El´ıptica implican, respectivamente: ∆(x, y) ≡ 1(resp. 41 ), ∆(x, y) ≡ 0 y ∆(x, y) ≡ −1, de donde los signos de ∆(x, y) en Ω son positivos, cero y negativo ya que son invariantes bajo cambio de coordenadas. (⇐) Demostraremos a continuaci´on que dependiendo del signo de ∆ , existe un cambio de coordenadas (2) que transforma (1) a una de las respectivas Formas Normales en (3). Caso 1.- Supongamos que ∆(x, y) > 0 en Ω y busquemos funciones ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) tales que anulen simultaneamente las expresiones de A y C en (5). Si tales 1 funciones existen entonces B 6= 0 en (5) pues B 2 − AC > 0 y dividiendo (4) por 2B se tiene la Forma Normal 1.b) de (3). La demostraci´on se reduce a analizar la consistencia del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (6)

aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 = 0 aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 = 0

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Como las ecuaciones del sistema son similares, el estudio de la primera de ellas es v´alido para la segunda ecuaci´on cambiando el rol de ξ por η. La primera ecuaci´on del sistema, dividida por ξy2 tiene la forma 2 ξx ξx (7) a + 2b + c = 0 ξy ξy Si a 6= 0 en cada punto de Ω, se tiene una ecuaci´on de segundo grado donde el cuociente ξξxy juega el rol de inc´ognita. Sus soluciones son: √ √ −b + b2 − ac ξx −b − b2 − ac ξx = , o bien, = ξy a ξy a Sean las ecuaciones diferenciales ordinarias √ √ b − b2 − ac dy b + b2 − ac dy = , y, = (8) dx a dx a Si ξ(x, y) = cte es una soluci´on general de la segunda ecuaci´on anterior, entonces es dy = − ξξxy , de donde el cuociente inmediato que ξx dx + ξy dy = 0 y en consecuencia dx ξx ξy

es soluci´on de la ecuaci´on de segundo grado (7) y la funci´on ξ satisface la primera ecuaci´on del sistema (6). Analogamente si η(x, y) = cte es soluci´on general de la primera ecuaci´on de (8), entonces la funci´on η satisface la segunda ecuaci´on del sistema (6). Para demostrar que la transformaci´on ξ = ξ(x, y) η = η(x, y)

define un cambio coordenadas en Ω, basta demostrar que el jacobiano de la transformaci´on no se anula en Ω. En efecto las funciones ξ y η, por (7) y (8) satisfacen √ ( ξ 2 − ξxy = b+ ba −ac − ηηxy =

Luego ξx ξy

−

ηx ηy

= −2

Entonces, ξx ηy − ξy ηx =

∂(ξ,η) ∂(x,y)

√

b2 −ac a

√ b− b2 −ac a

6= 0 , de donde,

ξx ηy −ξy ηx ξy ηy

6= 0

6= 0 , ∀x, y ∈ Ω

Si a ≡ 0, entonces b(x, y) 6= 0 en cada punto de Ω pues por hip´otesis ∆(x, y) > 0. Si c ≡ 0, basta dividir (1) por 2b para tener la forma normal de la ecuaci´on diferencial. Sea entonces c(x, y) 6= 0 en cada punto de Ω. El sistema (6) se reduce a la expresi´on 2bξx ξy + cξy2 = 0 2bηx ηy + cηy2 = 0

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Dividiendo la primera ecuaci´on del sistema por ξx2 se tiene la ecuaci´on de segundo grado con inc´ognita el cuociente ξξxy ; 2b

ξy ξy + c( )2 = 0 ξx ξx

o bien factorizando , ξy ξy (2b + c ) = 0 ξx ξx Sus soluciones son : ξy 2b ξy = 0 , o bien , =− ξx ξx c Sean las ecuaciones diferenciales ordinarias dx dx 2b =0 , y, = dy dy c Sean x = cte , y , η(x, y) = cte las respectivas soluciones generales de las ecuaciones ordinarias, entonces ξ = x η = η(x, y)

satisface el sistema (6). El sistema como una transformaci´on define un cambio de ∂(ξ,η) ∂η coordenadas pues ∂(x,y) = ∂y 6= 0 , ya que, b 6= 0. Lo anterior demuestra s´olo la parte 1) del Teorema. Caso 2.- Supongamos que ∆(x, y) ≡ 0 en Ω. An´alogamente a lo anterior busquemos ahora funciones ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) tales que anulen simultaneamente las expresiones de A y B en (5). Si a ≡ 0 en (1) entonces b ≡ 0 pues b2 − ac ≡ 0, luego c 6= 0 en cada punto de Ω. Basta dividir (1) por c para tener la forma Parab´olica 2.b). Si a 6= 0 en cada punto de Ω en (1), del caso 1.- se sabe que la funci´on ξ = ξ(x, y) obtenida de la segunda ecuaci´on diferencial en (8), (que se reduce a la forma m´as dy = ab ), tiene la propiedad de anular la expresi´on de A . Pero B 2 − AC ≡ 0 simple dx pues el sig(∆(x, y)) es invariante bajo cambios de coordenadas, entonces la misma funci´on ξ = ξ(x, y) anterior, tambien anula B. Por otro lado basta tomar η(x, y) = y ya que en el caso c 6= 0 en cada punto de Ω, no anula la expresi´on de C (si c ≡ 0 el teorema es inmediato pues (1) dividida por a se encuentra en la forma normal Parab´olica 2.b)) Para terminar la demostraci´on de este caso falta demostrar que la transformaci´on definida por el sistema: ξ = ξ(x, y) η = y , define un cambio de coordenadas en Ω.

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Pero ∂(ξ, η) = ∂(x, y)

ξx ξy 0 1

= ξx , y −

b ξx = ξy a

Si b ≡ 0 en Ω, entonces c ≡ 0 y la demostraci´on es inmediata pues basta dividir (1) por a para tener la forma normal Parab´olica 2.b). Si b 6= 0 en cada punto de Ω, entonces ξx 6= 0 y el Jacobiano anterior no se anula en Ω lo que termina la demostraci´on del caso 2.-. Caso 3.- Supongamos que ∆(x, y) < 0 en Ω. Busquemos funciones ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) tales que simultaneamente anule la expresiones de B y se tenga la identidad A ≡ C en (5). Entonces de (5) y de las identidades en Ω, A − C ≡ 0 y B ≡ 0 se tiene respectivamente el sistema: a(ξx2 − ηx2 ) + 2b(ξx ξy − ηx ηy ) + c(ξy2 − ηy2 ) = 0 (9) aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy = 0 Multiplicando la segunda ecuaci´on del sistema por 2i y sumando con la primera se obtiene: a(ξx + iηx )2 + 2b(ξx + iηx )(ξy + iηy ) + c(ξy + iηy )2 = 0 Dividiendo la ecuaci´on por (ξy + iηy )2 se tiene: a(

ξx + iηx 2 ξx + iηx ) + 2b( )+c=0 ξy + iηy ξy + iηy

Esta expresi´on significa que el cuociente grado aX 2 + 2bX + c = 0, es decir, (10)

ξx +iηx ξy +iηy

es soluci´on de la ecuaci´on de segundo

√ ξx + iηx −b − i ac − b2 = ξy + iηy a

N´otese que a 6= 0 en cada punto de Ω pues b2 − ac < 0 (el caso a = 0 no es posible pues b2 < 0 es una contradicci´on .) Consideremos la ecuaci´on diferencial ordinaria √ b + i ac − b2 dy = , y sea , Φ(x, y) = ξ(x, y) + iη(x, y) = c1 + ic2 ∈ C dx a su soluci´on general, donde c1 + ic2 es una constante compleja arbitraria. Pero la diferencial de Φ(x, y) = cte es dΦ = Φx dx + Φy dy = 0, entonces y en consecuencia se tiene (10). El c´alculo anterior significa que las funciones ξ = ξ(x, y) (11) η = η(x, y) satisfacen el sistema (9) y en consecuencia A − C ≡ B ≡ 0.

dy dx

x = −Φ Φy

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Falta demostrar que el sistema (11) define una transformaci´on que es un cambio ∂(ξ,η) 6= 0 en cada punto de Ω. de coordenadas, o bien , que ∂(x,y) Consideremos la parte imaginaria

√ ac − b2 ξy ηx − ξx ηy ξx + iηx = − )= 6= 0 , en cada punto de Ω Im( ξy + iηy ξy2 + ηy2 a

Entonces

∂(ξ, η) = ξx ηy − ξy ηx 6= 0 , en cada punto de Ω ∂(x, y) lo que concluye la demostraci´on.

Comentario 1. El teorema anterior se generaliza a E.D.P. lineales de segundo orden definidas en un dominio Ω ⊂ Rn . Por cambios de coordenadas la forma general de la E.D.P. se puede escribir en la forma normal n X ∂2u λi 2 + T.O.I. = 0 , y se tiene la siguiente clasificaci´on : ∂ξi i=1 1) 2) 3) 4)

El´ıptica Parab´olica Hiperb´olica Ultrahiperb´olica

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∀i, λi > 0 (resp. λi < 0) ∃i, λi = 0 (∃!)i, λi > 0 (resp. λi < 0) , λj < 0 (resp. λj > 0) si i 6= j Existe m´as de un λi > 0 y m´as de un λi < 0

Comentario 2. Sea la funci´on asociada a una misma E.D.P. de la forma (1) ∆ : Ω ⊂ R2 → R, tal que , ∆(x, y) = b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y)

Consideremos la partici´on de Ω en los tres conjuntos

Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ Ω3 donde Ω1 = ∆−1 (−∞, 0), Ω2 = ∆−1 (0) y Ω3 = ∆−1 (0, ∞)

Entonces, una misma ecuaci´on puede ser de los tres tipos: El´ıptica , Parab´olica, o bien, Hiperb´olica si se restringe a los conjuntos Ω1 , Ω2 , o bien , Ω3 respectivamente. Es decir, el tipo de ecuaci´on depende del dominio de definici´on de los coeficientes de la E.D.P. Ejercicio interesante Encontrar la soluci´on de la ecuaci´on de Onda Unidimensional 2 ∂2u 2∂ u =k donde k > 0 es una constante, ∂t2 ∂x2 tal que satisfaga las condiciones iniciales de Cauchy: (12)

u(x, 0) = f (x) = g(x)

∂u (x, 0) ∂t

con f, g ∈ C 1

Soluci´on: Si el coeficiente k 6= 1 en la ecuaci´on de Onda, entonces dicha ecuaci´on no est´a escrita en forma normal por la presencia de este coeficiente diferente de uno .

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Es inmediato que, ∆(x, y) = b2 − ac = k 2 > 0 y en consecuencia la ecuaci´on de Onda es de tipo Hiperb´olico. Sean las ecuaciones diferenciales ordinarias √ √ dt b + b2 − ac 1 dt b − b2 − ac 1 = = , = =− dx a k dx a k Entonces las respectivas soluciones generales son: x − kt = c1 ,

x + kt = c2 , donde c1 , c2 son constantes arbitrarias.

Luego existe el cambio de coordenadas ξ = x − kt η = x + kt

, donde la Ec. de Onda es de la forma Hiperb´olica

De (5) se tiene que B = 2k 2 y la ecuaci´on en las nuevas coordenadas es de la forma ∂2u + T.O.I = 0. Es simple verificar que los t´erminos T.O.I ≡ 0, dividiendo la 2B ∂ξ∂η 2

∂ u ecuaci´on anterior por 4k 2 se tiene la forma hiperb´olica ∂ξ∂η = 0. Es claro que cualquier funci´on que depende s´olo de unas de las variables es anulada por la derivada mixta (se supone de clase C 2 ). Entonces

u = φ(ξ) + ψ(η) , con φ, ψ ∈ C 2 funciones arbitrarias son soluciones de la forma hiperb´olica. En consecuencia, regresando a las variables originales por el cambio de coordenadas , (13)

u(x, t) = φ(x − kt) + ψ(x + kt)

son soluciones arbitrarias de la ecuaci´on de Onda. Consideremos la siguiente interpretaci´on de la soluci´on u = φ(x−kt) . Supongamos que la gr´afica de φ en el instante inicial t = 0 es como la curva γ0 de la figura. Entonces la gr´afica de u = φ(x − kt) es una curva din´amica γt que como funci´on del tiempo, se desplaza s = kt unidades hacia la derecha a velocidad k, pues kt > 0. An´alogamente la gr´afica de ψ(x + kt) es una curva que como funci´on del tiempo se desplaza s = kt unidades a velocidad k hacia la izquierda pues −kt < 0. Por estas interpretaciones , se dice que las soluciones de la ecuaci´on de Onda, u(x, t) = φ(x − kt) + ψ(x + kt) son sumas de ondas viajeras como indica la figura: u

γ0

γt

kt x

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Busquemos ahora las funciones φ, ψ tales que la(s) soluci´on(es) satisface(en) las condiciones iniciales de Cauchy, es decir, la(s) soluci´on(es) satisfacen las condiciones (12), entonces tomando t = 0 en (13) se tiene que φ, ψ satisfacen el sistema: f (x) = φ(x) + ψ(x) g(x) = −kφ′ (x) + kψ ′ (x)

Derivando la primera ecuaci´on del sistema anterior respecto de x se tiene que las derivadas de φ, ψ satisfacen el sistema: φ′ (x) + ψ ′ (x) = f ′ (x) −kφ′ (x) + kψ ′ (x) = g(x) Despejando del sistema las derivadas de φ, ψ tenemos: ( ′ φ′ (x) = kf (x)−g(x) 2k ′ ψ ′ (x) = kf (x)+g(x) 2k Integrando respecto de x se tiene las identidades: Rx 1 − φ(x) ≡ f (x) g(ξ)dξ 2 2k R0 x f (x) 1 ψ(x) ≡ 2 + 2k 0 g(ξ)dξ

Reemplazando x → x − kt y x → x + kt en la primera y segunda identidad respectivamente se obtiene ( R x−kt 1 − 2k g(ξ)dξ φ(x − kt) ≡ f (x−kt) 2 R0x+kt f (x+kt) 1 + 2k 0 ψ(x + kt) ≡ g(ξ)dξ 2

Finalmente, sumando las dos identidades anteriores encontramos la soluci´on llamada de D’Alambert del problema de la Ecuaci´on de Onda con condiciones iniciales de Cauchy. u(x, t) =

1 [f (x 2

+ kt) + f (x − kt)] +

1 2k

R x+kt x−kt

g(ξ)dξ

RESUMEN Caso 1.b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ E.D.P. Hiperb´olica.

i) Si a 6= 0, sean las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: √ √ dy b + b2 − ac dy b − b2 − ac = , = dx a dx a ξ(x, y) = c1 y las respectivas soluciones generales : η(x, y) = c2

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Entonces el cambio de coordenadas: ∂2u ξ = ξ(x, y) , Transforma (1) a la forma , 2B + T.O.I. = 0 η = η(x, y) ∂ξ∂η Dividiendo la expresi´on anterior por 2B , se obtiene la Forma Normal Hiperb´olica, ∂2u + T.O.I. = 0 ∂ξ∂η

(14)

ii) Si a = 0 y c 6= 0 , en cada punto de Ω , sean las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: dx dx 2b =0 , = dy dy c x = c1 y las respectivas soluciones generales : η(x, y) = c2 Entonces el cambio de coordenadas: ∂2u ξ = x + T.O.I. = 0 , Transforma (1) a la forma , 2B η = η(x, y) ∂ξ∂η Dividiendo la expresi´on anterior por 2B , se obtiene la Forma Normal Hiperb´olica (). iii) Si a = 0 y c = 0 , en cada punto de Ω, basta dividir (1) por 2b para obtener la Forma Normal Hiperb´olica en las coordenadas cartesianas originales, ∂2u + T.O.I. = 0 ∂x∂y Caso 2.b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) ≡ 0, ∀(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ E.D.P. Parab´olica.

i) Si a = 0, en cada punto de Ω , basta dividir (1) por c para obtener la Forma Normal Parab´olica en las coordenadas cartesianas originales, ∂2u + T.O.I. = 0 ∂y 2 ii) Si a 6= 0 y c 6= 0 , en cada punto de Ω, sea la Ecuaci´on Diferencial Ordinaria dy b = , dx a y la respectiva soluci´on general: ξ(x, y) = c1

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Entonces el cambio de coordenadas: ∂2u ξ = ξ(x, y) , Transforma (1) a la forma , C 2 + T.O.I. = 0 η = y ∂η Dividiendo la expresi´on anterior por C , se obtiene la Forma Normal Hiperb´olica , ∂2u + T.O.I. = 0 ∂η 2

iii) Si a 6= 0 y c = 0 , en cada punto de Ω, basta dividir (1) por a para obtener la Forma Normal Parab´olica en las coordenadas cartesianas originales, ∂2u + T.O.I. = 0 ∂x2 Caso 3.b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) < 0, ∀(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ E.D.P. El´ıptica.

Sea la Ecuaci´on Diferencial Ordinaria Compleja: √ dy b + i ac − b2 = , dx a y la respectiva soluci´on general : Φ(x, y) = ξ(x, y) + iη(x, y) = c1 + ic2 ∈ C Entonces el cambio de coordenadas: ∂2u ∂2u ξ = ξ(x, y) , Transforma (1) a la forma , A 2 + A 2 + T.O.I. = 0 η = η(x, y) ∂ξ ∂η Dividiendo la expresi´on anterior por A , se obtiene la Forma Normal El´ıptica, ∂2u ∂2u + 2 + T.O.I. = 0 ∂ξ 2 ∂η Ejercicios propuestos: 1) Clasificar y reducir a su forma normal: i) uxx + 2uxy + uyy + ux − uy = 0 ii) uxx + 2uxy + 5uyy + 3ux + u = 0 2 2 iii) y 2 uxx + 2xyuxy − 3x2 uyy = yx ux − 3 xy uy iv) x2 uxx − y 2 uyy = 0 2) Demostrar que t´erminos de primer orden de una E.D.P., se pueden anular bajo la sustituci´on: u = veAx+By .

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3) Cu´al es la soluci´on de la E.D.P. uxx − uyy = 3x2 − 2y u(x, 0) = 41 x2 tal que satisface las condiciones: ∂u (x, 0) = x ∂y 4) Sea u = u(x, t) y considere la E.D.P. ∂u x ∂2u ∂2u + 2 = , x 6= 0 , c > 0. ∂x2 ∂x c2 ∂t2 i) Introduzca en la E.D.P. la sustituci´on v(x, t) = xu(x, t). ii) Escribir la E.D.P. obtenida en i) en su forma normal. ii) Encontrar la soluci´on de la E.D.P planteada, tal que satisface las condiu(x, 0) = x ciones iniciales de Cauchy: ∂u (x, 0) = 2c. ∂t 5) Sea la ecuaci´on de Onda Unidimensional x

∂2z ∂2z = , con − ∞ < x < ∞ , t > 0 ∂t2 ∂x2 i) ¿ Cu´al es la soluci´on que satisface las condiciones iniciales de Cauchy ? z(x, 0) ∂z (x, 0) ∂t

= 1 − x2 = 0

ii) En el plano xz haga un bosquejo de la soluci´on para t = 0 y t = 1. iii) En el plano xz. ¿ Para qu´e tiempo t > 0 la soluci´on encontrada en i) pasa por el punto (x, z) = (0, −4) ?. Haga un bosquejo de la onda. iv) ¿ Existe algun instante t tal que la soluci´on encontrada en i) pasa, en el plano xz, por el punto (x, z) = (1, 21 ). 6) Sea el problema de Cauchy ∂2u ∂t2

=

∂2u ; ∂x2

u(x, 0) = ∂u (x, 0) ∂t

x, t ∈ R sen x si x ∈ [0, π] 0 si otro caso

≡0

Haga un bosquejo en el plano ux, de la onda soluci´on del problema, en el instante t = π.

References [1] A. R. Castro F. Curso b´ asico de ecuaciones en derivadas parciales . Addison-Wesley Iberoamericana . Wilmington, Delaware. E.U.A. 1997. [2] I. Peral A. Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales . Addison-Wesley / Universidad Aut´ onoma de Madrid. Wilmington, Delaware. E.U.A. 1995.