Experimento Doble Rendija 1i40b

Laboratorio Avanzado - Laboratorio 2: Experimento de Doble Rendija Juan Guillermo Aguilar Montero Universidad de los Andes, Departamento de F´ısica (Dated: Septiembre 18 de 2018) En este experimento se estudi´ o el fen´ omeno de interferencia de la luz, registrando su patr´ on de difracci´ on a trav´es de una y dos rendijas. Dichos patrones permitieron observar la dualidad ondapart´ıcula que presentan los fotones. Se usaron dos fuentes de luz para realizar dicho estudio: un l´ aser de λ = 670 ± 5nm y un bombillo con un filtro que emite fotones a λ = 546 ± 5nm. Los resultados con ambas fuentes de luz fueron comparados con el modelo te´ orico de Fraunhofer, para corroborar la validez de los datos, y tambi´en vislumbrar las deficiencias de dicho modelo. Finalmente, se calcularon las λ del l´ aser y el bombillo midiendo las distancias entre los picos de los patrones de interferencia, obteniendo los valores experimentales de λlaser = 677,39 ± 10,42nm y λbombillo = 572,39 ± 11,64nm. ´ INTRODUCCION

La difracci´ on (o interferencia) es un fen´ omeno f´ısico en el donde la trayectoria de una o varias ondas se ve modificada al encontrse con alg´ un tipo de obst´aculo. La onda de inter´es en este informe es la luz y su comportamiento al pasar por una rendija doble. Fue Thomas Young, en 1803, quien primero estudi´o dicho fen´ omeno, evidenciando la naturaleza ondulatoria de la luz [1]. Obtuvo un patr´ on como el de la figura 1: dicho patr´ on se debe a que, al pasar una onda por las dos rendijas,las ondas resultantes interfieren entre s´ı, tanto constructiva como destructivamente. Se observa una sucesi´ on de m´ aximos y m´ınimos, cuya intensidad va disminuyendo a medida que n se va alejando de 0.

onda, pero al obtenerse el patr´on de interferencia, es decir, al momento de la detecci´on, es detectada como part´ıcula (fot´on) [2]. El patr´on de difracci´on se puede estudiar de manera sencilla con un diagrama como el de la figura 2:

Figura 2. Diagrama de una onda pasando por una doble rendija. Tomada de [4]

Figura 1. Patr´ on de difracci´ on de doble rendija. Tomada de https://nustem.uk/activity/diffraction/attachment/ double-slit-diffraction-diagram/.

Actualmente tambi´en se sabe que la luz se comporta como part´ıcula (fot´ on), lo cual significa que la luz presenta caracter´ısticas tanto de part´ıcula como onda, un fen´ omeno que se halla en el coraz´ on de la Mec´anica Cu´ antica: los resultados del experimento de doble rendija indican que la luz al pasar por ´esta se propaga como

La condici´on para interferencia constructiva es que la diferencia de caminos δ sea un m´ ultiplo de la longitud de onda λ (δ = nλ). Asumiendo que el punto P se encuentra a gran distancia de la rendija, se puede considerar a los dos rayos de luz r1 y r2 como paralelos, teniendo entoncesδ ≈ r2 − r1 . Usando esto y la ley de los cosenos se puede llegar a la relaci´on δ = dy/L, lo cual finalmente da una f´ormula para la interferencia constructiva, es decir, los picos de intensidad en el patr´on:

λ=

dy nL

(1)

Donde n son los valores ilustrados en la figura 1. La f´ormula 1 permite relacionar la λ con las distancias medibles d, y y L, permitiendo as´ı el c´alculo de la λ de

2 la luz incidente. Una forma de replicar (aproximadamente) un patr´on de difracci´ on de manera matem´ arica es usando el modelo de Fraunhofer. Al ser un modelo relativamente sencillo, no es del todo exacto, pero su f´ acil implementaci´on lo hace una buena referencia para comparar con datos experimentales. Dicho modelo hace dos grandes suposiciones: que la luz llega a una rendija como una onda plana (esto implicar´ıa que la fuente estar´ıa a una distancia infinita de la rendija), y que el patr´ on de difracci´on se observa a una larga distancia desde la rendija [3]. Para el caso de una sola rendija, el patr´ on es dado por la ecuaci´ on 2, donde a es el ancho de las rendijas: I = I0

sin( πa λ sin θ) πa λ sin θ

2 (2)

El patr´ on de la doble rendija incluye un nuevo t´ermino, el cual incluye la distancia d entre rendijas (ecuaci´ on 3: I = I0 cos

2



πd sin θ λ

(3)

Se tiene entonces que para la doble rendija, el patr´on de difracci´ on estar´ a definido por las dos contribuciones definidas anteriormente, de la siguiente manera: I = I0 cos2



πd sin θ λ



sin( πa λ sin θ) πa λ sin θ

2 (4)

MONTAJE EXPERIMENTAL Instrumentaci´ on

El montaje principal consta de un interfer´ ometro de doble rendija TeachSpin, el cual se puede ver en la figura 3:

Figura 3. Vista del montaje completo. Tomada de [4].

Este interfer´ometro incluye dos fuentes de luz (l´ aser y bombillo), el canal donde ocurre la dispersi´ on y difracci´on, y los detectores. Los outputs del experimento (voltajes/pulsos TTL) ser´an medidos con un mult´ımetro/contador de frecuencias para medir los patrones de interferencia. En la configuraci´on del l´aser se usar´ a un fotodiodo como detector, y un fotomultiplicador en el caso del bombillo.

Figura 4. Esquema del interfer´ ometro y sus componentes principales. Tomada de [5].

Removiendo la tapa superior del canal, y con el montaje orientado como en el esquema 4, se tiene de izquierda a derecha: un bombillo con un filtro verde removible (genera luz a λ = 546 ± 5nm), el l´ aser de λ = 670 ± 5nm, un soporte para la rendija colimadora, un soporte para la doble rendija, uno para la rendija bloqueadora acoplado a un micr´ometro, uno para la rendija detectora (tambi´en acoplada a un micr´ ometro) y el m´odulo de detecci´on. Dicho m´odulo cuenta con dos detectores y un obturador, con el cual se escoge qu´e detector se quiere usar. Con el obturador abierto (cilindro arriba), se mide con el tubo fotomultiplicador; con el obturador cerrado (cilindro abajo) se mide con el fotodiodo. El fotomultiplicador convierte la se˜ nal de fotones detectados en se˜ nales TTL que se leen con un contador de frecuencia TTi, el cual indica el n´ umero de fotones incidentes en el detector por segundo. El fotodiodo convierte la se˜ nal de los fotones en un voltaje que se mide con ayuda de un volt´ımetro, lo cual es equivalente a medir intensidad pues estas cantidades son directamente proporcionales (cuanto m´as fotones golpean mayor es el voltaje). El m´odulo de detecci´on y el m´odulo fuente se pueden ver en la figura 5: El m´odulo de detecci´on tiene salidas de ambos detectores para poder medir sus outputs. Tambi´en cuenta con un m´odulo de alto voltaje, el cual solo es necesario para operar el fotomultiplicador. Adicionalmente se encuentra conectado al m´odulo fuente para la alimentaci´on de poder y la alarma, la cual se activar´a si el tubo fotomultiplicador est´a cerca a da˜ narse. En el m´odulo fuente se encuentra un interruptor que permite cambiar la fuente de luz entre el l´aser, el bombillo, o ninguna (apagado). La intensidad del bombillo puede ser cambiada usando la perilla que se encuentra

3 arriba de dicho interruptor.

Se conecta el aparato a la fuente de poder y se retira la cobertura (tapa) de aluminio. Se alinea manualmente el l´aser de tal forma que su luz llegue con la mayor intensidad posible a donde se encuentra el detector. Ahora, esta vez de derecha a izquierda (del detector a la fuente de luz), se agregan las rendijas (todas en forma vertical) en el siguiente orden: Se coloca una rendija simple en el espacio para la rendija detectora. Se coloca la rendija ancha y se ajusta el micr´ ometro acoplado a unos 5mm (la mitad de su rango). Se debe verificar que se obtiene una banda rectangular de luz a la altura del detector.

Figura 5. Vista de los dos m´ odulos. Arriba: M´ odulo de detecci´ on. Abajo: m´ odulo fuente. Tomada de [5].

Calibraci´ on

Para calibrar correctamente el sistema, es importante identificar las rendijas que se van a utilizar: hay tres rendijas dobles marcadas con los n´ umeros 14, 16 y 18, los cuales corresponden a una separaci´ on del centro de las rendijas (d en el diagrama 2) de 0.356mm, 0.406mm y 0.457mm respectivamente. Adicionalmente deben haber tres rendijas sencillas: dos del mismo ancho y una m´ as ancha. En la figura 6 se tienen dos ejemplos de estas rendijas:

Se ubica una de las tres rendijas dobles. El fabricante provee tarjetas de cart´on en forma de ”T”para verificar c´omo llega la luz a cada punto del interfer´ometro, as´ı que usando una de ellas se verifica que la luz pasa por las dos rendijas de manera individual (se observan dos l´ıneas verticales). De no ser este el caso, se mueve el micr´ ometro de la rendija bloqueadora hasta observarlas. A continuaci´on se coloca la rendija sencilla restante en el lugar para la rendija colimadora. Se mueve de forma horizontal para asegurarse de que la luz del l´aser pase por ´esta y adem´as llega con intensidad a la doble rendija. Finalmente, se verifica que se puede lograr que la luz pase por alguna de las dos rendijas de, por ambas o por ninguna. Esto se hace moviendo la rendija bloqueadora con el micr´ometro.

Procedimiento

Se realizaron dos experimentos:

Figura 6. Rendijas. Izquierda: rendija sencilla ancha. Derecha: rendija doble. Tomada de [5].

A continuaci´ on se describir´ a el proceso de calibraci´ on del interfer´ ometro usando el l´ aser. El proceso con el bombillo es an´ alogo. Antes de empezar, se debe asegurar que el alto voltaje est´ a apagado y el obturador del detector cerrado (cilindro abajo).

Experimento 1 - Patr´ on de interferencia con l´ aser Con el montaje calibrado, se mide el patr´ on de interferencia del l´aser. En esta configuraci´ on, solo la porci´on de la luz que pase por la rendija detectora llegar´a al detector, por lo tanto se puede estudiar el patr´on de difracci´on secci´on por secci´on moviendo dicha rendija con ayuda del micr´ometro acoplado a su base. Se quiere ver el patr´on de interferencia del l´ aser a trav´es de la rendija izquierda, la derecha, y el patr´ on doble usando ambas rendijas al tiempo. Se puede cerciorar que la luz efectivamente pasa por una rendija

4 o ambas poniendo una tarjeta T justo despu´es de la rendija doble y viendo el patr´ on. Antes de tomar los datos, se coloca de nuevo la cubierta, y se conecta el cable que sale del obturador a la entrada del fotodiodo (el obturador debe estar cerrado, es decir, con el cilindro abajo). Se medir´ a el voltaje que arroja el detector en funci´ on de la distancia medida desde la rendija detectora: Se recomienda medir de 10mm a 0mm en el micr´ ometro de dicha rendija en pasos de 0.1-0.2mm. Se mide voltaje vs. distancia para las tres configuraciones (rendija izquierda, rendija derecha, ambas rendijas).

des medidas con las fuentes de luz apagadas) a todos los datos en y. Los offsets hallados fueron 9mV para los voltajes y 3 conteos/s para el bombillo. Experimento 1

Para el caso de doble rendija se obtuvieron los resultados observados en la figura 7:

Experimento 2 - Medici´ on con un fot´ on a la vez Ahora se usar´ a el bombillo como fuente de luz. Se remueve la tapa y se mueve el l´ aser para dejar pasar la luz del bombillo. Se remueve el filtro verde de ´este y se enciende ajustando su intensidad con la perilla. Se realiza la alineaci´ on de manera an´ aloga al caso del l´aser (basta con cerciorarse de que la luz pasa por la rendija doble y que la rendija bloqueadora cumple su funci´on). Despu´es de haber hecho esto se vuelve a colocar el filtro. Se vuelve a colocar la tapa, y solo despu´es de asegurarse de que ´esta est´e bien colocada y no hayan filtraciones de luz al montaje se puede levantar el obturador para medir con el fotomultiplicador (este detector es muy sensible y se puede da˜ nar muy f´ acilmente al exponerse a fuentes de luz, por eso solo se puede utilizar con la tapa puesta). Se ajusta el high voltage a unos 600V, y se procede a medir los pulsos TTL, los cuales son el output del fotomultiplicador. Esto se hace conectando el contador de frecuencias a la salida del m´odulo photomultiplier. Se sigue entonces la misma din´amica que el experimento anterior, solo que esta vez se mide conteos/s vs. distancia medida en el micr´ ometro de la rendija detectora. ´ RESULTADOS Y ANALISIS

Se utiliz´ o la doble rendija de d = 0,457mm para todos los experimentos. Se tomaron datos de distancia de desplazamiento de la rendija detectora, de 10mm a 0mm en pasos de 0.2mm. Estas distancias se convirtieron en radianes mediante la relaci´ on tan θ = y/L. Todas las gr´ aficas presentan barras de error que corresponden a la incertidumbre de las mediciones de V , conteos/s y y (equivalente a θ). Todas las gr´ aficas generadas a partir de los datos experimentales son comparados con el modelo de Fraunhofer, calculado usando la ecuaci´on 4 y las λ del l´ aser y el bombillo reportados por el fabricante: λlaser = 670 ± 5nm, λbombillo = 546 ± 5nm. Los valores de I0 fueron ajustados manualmente, usando las intensidades m´ aximas observadas en cada experimento . Finalmente, se rest´ o el offset o background (intensida-

Figura 7. Patr´ on de interferencia para el l´ aser (doble rendija).

A primera vista se puede apreciar tanto el alcance como las limitaciones del modelo te´orico de Fraunhofer: la distribuci´on de los m´ınimos y m´aximos de intensidad son correctamente reproducidos por el modelo, pero a medida que los ´ordenes de difracci´on n aumentan o disminuyen, la intensidad de los m´aximos y m´ınimos es menor a las que indican los datos. En primera instancia, este modelo nos permite visualizar que los datos tomados efectivamente s´ı presentan un patr´ on de doble rendija, corroborando la validez del experimento. Teniendo y como la distancia entre el m´aximo central y los dem´as, se calcul´o la λ experimental de acuerdo con la ecuaci´on 1 (se promedi´o entre cada λ calculado correspondiente a cada n disponible). Se hall´ o el valor de λlaser(exp) = 677,39 ± 10,42nm. La incertidumbre se calcul´o con la teor´ıa de propagaci´on de error. Comparando este valor con el valor te´orico (reportado por el fabricante) de λlaser(teorico) = 670 ± 5nm, lo cual da un error relativo del 1.1 %. Considerando esto es es posible afirmar que el valor calculado se aproxima razonablemente al valor te´orico, una vez m´ as dando validez a los datos obtenidos. Los patrones obtenidos para el caso de una sola rendija (izquierda y derecha) se muestran en las figuras 8 y 9 respectivamente:

5 Experimento 2

Para el caso del bombillo, como se med´ıan conteos por segundo, un valor mucho m´as vol´atil que los voltajes del experimento anterior, para cada distancia (´ angulo) se tomaron 5 conteos y se promediaron. Se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 10:

Figura 8. Patr´ on de interferencia para el l´ aser (rendija izquierda).

Figura 10. Patr´ on de interferencia para el bombillo (doble rendija).

Figura 9. Patr´ on de interferencia para el l´ aser (rendija derecha).

En este caso se tiene un u ´nico pico, pues no hay una doble rendija que divida el camino de la onda original. Se puede apreciar c´ omo el modelo de Fraunhofer tambi´en se acerca a los datos, pero esta vez falla en reproducir la amplitud del pico. Este experimento permite observar la naturaleza ondulatoria de la luz, pues, como se discuti´o anteriormente, el fen´ omeno de difracci´ on/interferencia responsable de los patrones observados es inherente a las ondas.

De nuevo se observa c´omo el modelo Fraunhofer acierta en varios aspectos pero falla en otros. Se calcul´ o la longitud de onda de manera an´aloga al experimento 1 y se obtuvo λbombillo(exp) = 572,39 ± 11,64nm. El valor λbombillo(teorico) = 546 ± 5nm da un error relativo del 4.8 %. En este caso, el error fue mayor, y teniendo en cuenta el valor de la incertidumbre de la λ experimental, es claro que el valor te´orico no entra en el rango del valor calculado. Esta discrepancia se debe principalmente al factor de conteos por segundo, un valor que pod´ıa variar dr´asticamente para un mismo valor de distancia (´angulo). Se trat´o de mitigar este efecto tomando varios datos y promedi´andose, pero un promedio de 5 valores no fue suficiente. Una toma de datos m´as rigurosa hubiera permitido obtener un patr´on m´as correcto. A pesar de esto, la comparaci´ on con el modelo Fraunhofer permite afirmar que s´ı se obtuvo un patr´on de difracci´on de doble rendija. Estos resultados tambi´en permitieron observar la naturaleza corpuscular de la luz satisfactoriamente. Un argumento a favor de esta afirmaci´on es el siguiente: Durante el experimento se observ´o un conteo promedio de unos 50 conteos/s. Teniendo en cuenta que la eficiencia del detector (el porcentaje de fotones recibidos convertidos en se˜ nales) es de un 4 %, realmente se tiene que en promedio cada segundo llegan al detector unos 1000 fotones. Esto indica que el tiempo de vuelo

6 promedio de cada fot´ on ser´ıa de unos 1000ns (de un extremo del interfer´ ometro al otro, el cual mide casi 1m), pero un fot´ on viajando a la velocidad de la luz se tarda unos 3ns en viajar dicha distancia, es decir: En promedio se tiene que hay un fot´ on viajando del bombillo al detector 3ns de cada 1000ns. Esta gran diferencia entre el tiempo de vuelo detectado y el tiempo real del fot´ on indica que la gran mayor´ıa del tiempo (un 99.7 %), no se tiene ning´ un fot´ on en vuelo, y cuando s´ı se detectan fotones (un 0.3 % del tiempo) solo viaja un fot´ on a la vez. De esta forma se tiene que se en este experimento se estudi´ o el comportamiento de fotones individuales, pasando uno a la vez por cada rendija.

Este resultado es supremamente interesante, pues teniendo fotones individuales pasando por la doble rendija, se tiene un patr´ on de interferencia propio de las ondas. Se observ´ o as´ı, efectivamente, la dualidad onda-part´ıcula que presenta la luz.

Como comentario final, se hubiera deseado comparar las intensidades en m´ aximos y m´ınimos para el caso de una rendija abierta (izquierda y derecha) y las dos rendijas abiertas pues, por ejemplo, se sabe que la relaci´on entre m´ aximos de intensidad para casos de una y dos rendijas es del orden de 1:4 [5]. Esta comparaci´on no es posible en este caso pues el montaje fue alterado entre tomas de datos, lo cual no asegura que las condiciones para la toma de intensidades de los patrones de la rendija izquierda, derecha y ambas se hayan mantenido iguales. Es f´ acil ver que efectivamente las condiciones se vieron afectadas, pues el m´ aximo de intensidad para la rendija izquierda es del orden de 200mV y 400mV para la derecha, una diferencia del doble cuando en realidad estos valores deber´ıan ser mucho m´ as cercanos entre s´ı.

CONCLUSIONES

Se observ´o que la naturaleza ondulatoria de la luz. Los patrones de interferencia para rendijas dobles y sencillas fueron hallados, y se corrobor´o su validez compar´andose con un modelo sencillo pero ilustrativo, el modelo Fraunhofer. Se calcularon cantidades f´ısicas de inter´es (λlaser y λbombillo ), y aunque la segunda no se acerc´o lo suficiente al valor te´orico, s´ı se puede afirmar que en el caso del l´aser esta cantidad es un indicativo m´as de la veracidad de los datos. Este resultado tambi´en demuestra el alcance y la utilidad de un an´alisis de doble rendija, pues a partir de cantidades f´ısicas f´acilmente medibles (distancias) se puede calcular la longitud de onda de la luz incidente, lo cual claramente tiene aplicaci´on al estudiar fuentes de luz visible, y radiaci´on electromagn´etica en general. Se observ´o el comportamiento de la luz como part´ıcula al poder detectar el patr´on de difracci´on generado por fotones individuales pasando por la doble rendija. Se pudo justificar que efectivamente se estaban observando fotones individuales al analizar el tiempo de vuelo indicado por el detector y el tiempo que un fot´ on realmente tarda en llegar desde la fuente hasta el detector. Todos estos resultados permiten finalmente concluir que la luz presenta una dualidad onda-part´ıcula.

BIBLIOGRAF´ IA [1] Heavens, O. S., Ditchburn, R. W. (1991). Insight into Optics. John Wiley Sons. ISBN 978-0-471-92769-3. [2] Feynman, R. (1985) QED; The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. ISBN 978-1-40084746-4. [3] Born M., Wolf E. (1999). Principles of Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4. [4] Universidad de los Andes. Gu´ıa de Laboratorio Avanzado - Dualidad onda part´ıcula: Experimento de doble rendija. [5] Inc. David A. Van Baak; TeachSpin (2013). Two-slit interference one photon at a time The Essential Quantum Paradox, instruction manual, tws1-a. Online, 2495 Main Street Suite 409 Buffalo NY.