Exercitii Si Teorie Matematica tfj

CLASA A IX-A FR MULTIMEA NUMERELOR REALE 1) Teorema fundamentală a algebrei N ⊂Z ⊂Q⊂R⊂C 2) Partea întreagă a numărului x este cel mai mare număr întreg mai mic decât x. x − 1 < [ x] ≤ x 3) Partea zecimală a unui număr este diferenţa dintre numărul respectiv şi partea sa întreagă. {x} = x − [ x], {x} ∈ [0,1) Exemple: a) [3,76]=3 {3,76}=3,76-[3,76]=3,76-3=0,76 b) [10]=10; {10}=10-[10]=0; c) [-3,16]=-4, {3,16}=-3,16-[3,16]=3,16-(-4)=-3,16+4=0,84 De observat că partea fracţionară a numărului este pozitivă 4) Sume remarcabile • • •

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) S = 12 + 2 2 + . . . + n 2 = 6 2  n(n + 1)  S = 13 + 2 3 + . . . + n 3 =   2  S = 1+ 2 + .. . + n =

 x, x ≥ 0 5) Modulul: x =  . Pentru inecuaţii cu modul, se utilizează definiţiile: − x , x < 0 • a ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c; •

a ≥ c ⇔ a ≤ −c

sau

6) Medii • • • •

a ≥ c;

a1 + a 2 + . . . + a n a+b ; (Caz particular M a = ) 2 n Geometrică M g = n a1 ⋅ a 2 ⋅ . . . ⋅ a n ; (Caz particular M g = ab ) n Mh = 1 1 1 ; Armonică + + ... + a1 a 2 an Inegalitatea mediilor M a ≥ M g ≥ M h . Aritmetică M a =

7) Formule de calcul prescurtat

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; ( a − b ) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) ; ( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ; a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ; a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) ; ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 2 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ;

• • • •

8) Puteri • • • •

a n = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a (de n ori); a0 =1; 1 a −n = n ; a a

m n

= n am ;

a x ⋅ a y = a x+ y ; a x : a y = a x− y ;

(a )

x y

= a x⋅ y ;

( a ⋅ b) x = a x ⋅ b x ; ( a : b) x = a x : b x

1.Mulţimi si elemente de logică matematică a) Mulţimea numerelor reale In acest paragraph vom prezenta principalele mulţimi de numere pe care le-aţi studiat în anii precedenţi, indicând proprietăţile algebrice, de ordine şi corespondenţă cu punctele unei drepte. Prima mulţime de numere cunoscute este mulţimea numerelor naturale, notată N={0, 1, 2, 3, …,n,…}, iar mulţimea numerelor naturale fără zero. N*= {1, 2, 3,…,n, …} S-a precizat, că nu se poate efectua scăderea între două numere naturale obţinându-se de fiecare dată un număr natural. Exemplu 10-15=-5 care nu este număr natural. Atunci apare necesitatea extinderii acestei mulţimi de numere. Apare mulţimea numerelor întergi, notată Z= {…-n, …,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, …,n, …}, observându-se că N⊂Z. In această mulţime nu se poate efectua împărţirea de fiecare dată ca să onţinem un număr întreg. Exempu 7:2=3,5∉R. Atunci vom fi conduşi la ideea extinderii mulţimii numerelor întregi, obţinând mulţimea m  numerelor raţionale, notată Q=  / m, n ∈ Ζ, n ≠ 0 numite şi fracţii cu observaţia că n  N⊂Z⊂Q, Q conţine numerele zecimale finite, periodice simple şi periodice compuse. Dar mai apar şi alte numere în calcularea diagonalei unui pătrat de latură 1, unde diagonala este 2, . Calculând pe 2, 3 , 5 ,… s-a observat că se obţin numere zecimale cu un număr infinit de zecimale care nu se repetă periodic . Toate aceste numere reunite dau mulţimea numerelor reale , notată cu R. Deci: Numărul real este o fracţie zecimală, finită sau infinită. Mulţimea numerelor reale împreună cu operaţia de adunare sau înmulţire formează o structură algebrică. Ne referim la perechea (R, +) Proprietăţile adunării pe R. A1. Adunarea este asociativă : (a+b)+c=a+(b+c); ∀a, b, c ∈R. A2. Adunarea este comutativă : a+b=b+c; ∀a, b, c ∈R. A3. Numărul 0 est element neutru pentru adunare : a+0=0+a=a. A4. Numărul (-a) este simetricul lui a (opusul ) faţă de adunare : a+(-a)=(-a)+a=0 Ca exerciţiu scrieţi proprietăţile înmulţirii pe R. Propietatea care leagă cele două operaţii între ele se numeşte : distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea a· (b+c)=a·b+ a·b (∀)a, b, c ∈R. (revedeţi scoaterea factorului comun)

Referitor la relaţia de ordine : Oricare ar fi două numere reale între ele există una din relaţiile “<” mai mic; “>” mai mare “=” egal. Sau “≤” mai mic sau egal , “≥” mai mare sau egal. Axa reală: O dreaptă pe care s-a fixat originea. O un sens şi o unitate de măsură se numeşte axă Între munţimerea punctelor de pe axă şi mulţimea numerelor reale există o corespondenţă biunivocă. Oricărui număr real îi corespunde un punct pe axă şi reciproc. S-au mai introdus două simboluri respectiv “+∞” şi “-∞”, care reprezintă un număr foarte mare pozitiv iar “-∞” reprezintă un număr foarte mare în valoare absolută dar cu semnul minus. Propoziţie, predicat, cuantificatori, operaţii logice elementere. Numim alfabet , o mulţime de semne iar enunţul este orice succesiune de semne dintr-un alfabet. Exemple: 10 + 4 ⋅ 5 = 25 ; 4) x+1≤3; 5) x2+y2=z2, x,y,z, ∈Z 1) 1+9=10; 2) 3≥8; 3) 2 Se numeşte propoziţie un enunţ care într-un context dat este fie adevărat fie fals. Notăm propoziţiile cu litere mici : p, q, r, … sau cu litere mici indexate: p1, p2, p3, …. Valoarea de adevăr a unei propoziţii este proprietatea acestuia de a fi adevărată sau falsă. Se notează: 1, dacă p este adevădevă V(p)=  0, dacă p este falsă Se numeşte predicat un enunţ care conţine una sau mai mai multe variabile, cărora atribuindu-le “valori” obţinem propoziţii adevărate sau false. Exemple x+1≤3; x∈R; p(x):x+1≤3 p(x,y): x se divide cu y Cuantificatorul existenţial ( ∃ x)p(x) (citim exista x pentru care are loc p(x). Ex: p(x) x+5=16 x=11 ∈R Cuantificatorul universal ( ∀x )p(x) (citim oricare ar fi x are loc p(x). Ex: p(x) x2+1>0, ∀ x∈R Operaţii logice elementare 1. Negaţia Negaţia unei propoziţii p este propoziţia “ non p” p care este adevărată când p este falsă şi este falsă când p este adevărată Valoarea de adevăr. p 1 0

p 0 1

2. Conjuncţia propoziţiilor Conjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia p ∧ q (citim p şi q) care este adevărată dacă şi numai dacă p şi q sunt adevărate şi falsă în celelalte cazuri. 3. Disjuncţia propoziţiilor Disjuncţia propoziţiilor p şi q este propoziţia p ∨ q (citim p sau q) care este adevărată dacă şi numai dacă cel puţin una este adevărată şi falsă în caz contrar. 4. Implicaţia propoziţiilor Implicaţia propoziţiilor p, q în această ordine este propoziţia p→q (p implică q sau dacă p atunci q) care este falsă dacă şi numai dacă p este adevărată şi q falsă. 5. Echivalenţa propoziţiilor. Echivalenţa propoziţiilor p, q este propoziţia notată p↔q (p echivalent cu q sau p dacă şi numai dacă q). Exerciţii:

n(n + 1)(n + 2) este natural. 6 a a 2 a3 Să se arate că dacă a este numar par, atunci + + ∈Ζ 12 8 24 Calculaţi [ x ] + [ y ] şi [ x + y ] şi comparaţi aceste numere în cazurile 1) x=6, y=11; 2) x=-10, y=-36; 3) x=3.3 , y=2.6 Calculaţi { x} + { y} şi { x + y} şi comparaţi aceste numere în cazurile 1) x=4,6, y=9,5; 2) x=2,4, y=3,3; Să se arate că numărul 3 nu este raţional Se consideră predicatele p1(x) x+1>0, x∈R şi p2(x): x-2≤0 , x∈R. Să se determine valorile lui x pentru care 1) p1(x) este adevărată , 2) p2(x) este adevărată 3) p1(x) ∨ p2(x) este adevărat 4) p1(x) ∧ p2(x) este adevărat.

1. Arătaţi că dacă n∈N, atunci 2. 3. 4. 5. 6.

SIRURI Def. 1: Se numeşte şir de numere reale o succesiune de numere reale, realizată după o anumită regulă. Notaţie: (an): a1, a2, a3, . . . , an, . . . – termenii şirului; - 1,2,3 . . . – rang; - (an) – termen general Moduri de definire a şirurilor a) Descriptiv – prin enumerarea termenilor şirului. Ex: (an): 2, 4, 8, 16, 32, . . . b) Cu ajutorul termenului generalEx: (an): an=5n+2, n ∈ N * c) Prin intermediul unei relaţii de recurenţă 1 2  Ex: (an): a1 = 2; a n +1 =  a n + , n ≥ 1 2 an  * Def. 2: (an) se numeşte şir mărginit ⇔ ∃ M > 0 a.i. a n ≤ M ∀n ∈ N . (dacă nu,

şirul este nemărginit) Def. 3 Dacă a n ≤ a n +1 ( a n < a n +1 ) , sau monoton (strict) crescător. Dacă

a n ≥ a n +1 ( a n > a n +1 ) , sau

monoton (strict) descrescător.

a  a n +1 ≥ 1  n +1 > 1, ∀n ∈ N * atunci şirul este an  an 

a  a n +1 ≤ 1  n +1 < 1, ∀n ∈ N * an  an 

PROGRESII ARITMETICE

atunci

şirul

este

Def.: (an) = progresie aritmetică ⇔ a n +1 = a n + r , ∀n ≥ 1 . r este raţia progresiei aritmetice. a + a n −1 , ∀n ≥ 2 . Teorema 1: Sirul (an) este progresie aritmerică ⇔ a n = n +1 2 Teorema 2: Formula termenului general a n = a1 + (n − 1)r a1= primul termen; n = numărul de termeni ai şirului; r = raţia progresiei; Teorema 3: Suma primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice Sn =

( a1 + a n ) n

2 a1= primul termen; an = ultimul termen al şirului; n = numărul de termeni ai şirului; Exerciţii: Se dă progresia aritmetică (an)n≥1. Determinaţi în fiecare din cazuri , elementele cerute: 1) a1=3; r=2. Calculaţi a15 şi S15 2) a1=-2; a25=22. Calculaţi r şi S15 3) Dacă a1+a2=42 şi a10+a3=21 Calculaţi a1 şi r ( 3 + 31) *15 = ... Soluţia pentru Ex.1) a15=a1+(15-1)*r=31 S15= 2 PROGRESII GEOMETRICE Def.: (bn) = progresie geometrică ⇔ ∃ q ∈ R * a.i. bn = bn −1 ⋅ q, ∀n ≥ 2 ; q este raţia progresiei geometrice. 2 Teorema 1: Sirul (bn) este progresie geometrică ⇔ bn = bn −1 ⋅ bn +1 , ∀n ≥ 2. Teorema 2: Formula termenului general bn = b1 ⋅ q n −1 . Teorema 3: Suma primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice n ⋅ b1 , daca q = 1  Sn =  q n −1 b1 ⋅ q − 1 , daca q ≠ 1  Exemple: Se dă progresia geometrică (bn)n≥1 cu raţia q Determinaţi în fiecare din cazuri, elementele cerute 1) q=4, n=8, b8=49152. Calculaţi b1 şi S8 1 b1 = 4 , q=4 Calculaţi b10 2)  1  b30 =   2  3)

28

4) b1 = 3, b9 =

1 2 , Calculaţi b1 , q=-

1 Calculaţ q>0. 37

Test de evaluare: 1. Să se determine numerele reale în progresie geometrică a, b, c dacă suma lor este 26, iar numerele a+1, b+6, c+3 sunt în progresie aritmetică. 2. Să se găsească suma primilor douăzeci de termeni ai unei progresii aritmetice dacă a 6 + a9 + a12 + a15 = 20 3. Să se găsească primul termen a1 şi raţia r a unei progresii aritmetice dacă : a 2 − a 6 + a 4 = 7 şi a8 − a 7 = 2a 4 4. Să se rezolve ecuaţia 5+13+21+...+x=588 5. Dacă (bn)n≥1 este o progresie geometrică cu b5 −b1 = 80 şi b4 − b2 = 24 Calculaţi b1 şi q. FUNCTII domeniu  1) Pt. a defini o funcţie este nevoie de codomeniu : f : A → B, lege  x=abscisa; y= f(x) = ordonata; Ex: f : R → R, f ( x) = x − 3 ;

f : [0,2] → R,

f ( x) = . . .

f ( x ) = −4 x + 3 ;

2) Intersecţia cu axele a) ∩ ox ⇒ y = 0 ( f ( x) = 0 ) ⇒ x = . . . ⇒ A( x,0) ; b) ∩ oy ⇒ x = 0 ⇒ y = f ( x) = . . . ⇒ B (0, y ) ; 3) Intersecţia graficelor: f(x)=g(x) 4) Compunerea funcţiilor f : A → B şi g : B → C este funcţia : h : A → C , h( x ) = ( f  g )( x) = f ( g ( x ) ) 5) Funcţii pare sau impare; inversa unei funcţii FUNCTIA DE GRADUL I 1) Def: f : R → R, f ( x) = ax + b, a ≠ 0 Ex: f : R → R, f ( x) = −2 x + 1 2) Intersecţia cu axele a) ∩ ox ⇒ y = f ( x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = b) ∩ oy ⇒ x = 0 ⇒ y = f ( x) = b ⇒ B (0, b) ;

−b −b  ⇒ A ,0  ; a  a 

3) Graficul funcţiei de gradul I • Este o dreaptă. • Se construieşte astfel: se află intersecţia cu axele, se reprezintă în sistem ortogonal de axe xOy cele două puncte A şi B, apoi se unesc aceste puncte obţinându-se o dreaptă ce reprezintă graficul funcţiei. Ex . Să se reprezinte grafic funcţia f : ℜ → ℜ ; f ( x ) = 2 x − 6 . Vom găsi punctele unde Gf intersectează axele de coordonate.

-

y = 0 A( 3, 0 ) Int. cu xx ′ :  2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3 

•

x = 0 B ( 0, − 6 ) Int. cu yy ′ :   y = 2 ⋅ 0 − 6 = −6

4) Monotonia funcţiei de gradul I • Dacă a>0 atunci f(x)= crescătoare • Dacă a<0 atunci f(x)= descrescătoare • Dacă a=0 atunci f(x)= constantă ( f ( x) = b ) Ex: f(x)=2x-3 (a=2 ⇒ f(x)=crescătoare) f(x)= -4x+5 (a=-4 ⇒ f(x)=descrescătoare) f(x)=9 (a=0 ⇒ f(x)=constantă) 5) Semnul funcţiei de gradul I, f : R → R,

f ( x) = ax + b, a ≠ 0 , se determină astfel: −b • Se scrie şi se rezolvă ecuaţia ataşată: ax + b = 0 ⇒ x = ; a • Se face tabelul: −b −∞ +∞ x a f(x) semn contrar lui a 0 semnul lui a Exemplu: Să se afle semnul funcţiei f ( x ) = −3x + 18, ataşăm ecuaţia -3x+18=0 şi găsim x=6. x -∞ 6 +∞ + + 0 f ( x) + Dacă : x ∈ ( − ∞,6 ) : f ( x ) > 0 x = 6 : f ( x) = 0 x ∈ ( 6, ∞ ) : f ( x ) < 0 Exemplificăm aplicaţii la rezolvarea unor inecuaţii de forma

ax + b ax + b ≤0; ≥c cx + d cx + d

5 x − 10 <0 −x+6 Rezolvăm numărătorul şi numitorul acestei fracţii, apoi studiem semnul în tabelul. 5x-10=0 x=2 –x+6=0 x=6 Soluţia: x ∈ ( − ∞, 2) ∪ ( 6, ∞ ) x -∞ 2 6 +∞ 5x-10 0 + + + Să se rezolve inecuaţia

-x+6 + 5 x − 10 −x+6

-

+

+

+

+

0

-

-

-

-

0

+

║

-

-

Exerciţii:

2x − 1 1 − 3x x ≤ 0 ; b) < 0 ; c) ≥ 0 ; d) x+3 x x+3

1) Să se rezolve inecuaţiile: a)

( x + 1)( x − 1) ≥ 0

; e) ( 2 x − 1)( 3x + 1)( 4 x − 5) > 0 2x + 3 2) Să se reprezinte grafic funcţiile: f:D→ ℜ a) f ( x ) = 3 x; D = [ − 2, ∞ ) ; b) f ( x ) = −3x; D = ( − ∞,1]; c) f ( x ) = −2 x + 1; D = [ − 1, 3]; ax + by = c , m, n, p, c, a, b ∈ ℜ Rezolvarea sistemelor de tipul :  mx + ny = p Repetăm metoda reducerii şi metoda substituţiei din gimnaziu. Având în vedere că cele două ecuaţii sunt două drepte , ne interesează poziţia relativă a celor două drepte. Pentru rezolvarea sistemelor de inecuaţii de gradul I vom rezolva fiecare inecuaţie apoi intersectăm soluţiile lor şi obţinem soluţia sistemului. Exemplu:  x ∈ ( 2, ∞ ) x + 1 > 3 x > 2 9  9   ⇔ ⇔ a)  9  ⇒ x ∈ ( 2, ∞ ) ∩  − ∞,  =  2,   2  2  2 x + 1 ≤ 10 2 x ≤ 9  x ∈  − ∞, 2     Să se rezolve: x x − 2 2 x − 3 ≤ 0 2 x + 3 ≥ 0  3 + x ≥ 2 − 1   a)  b) 3 x − 1 > 0 c)  x( x − 1) − x + 3 x < x + 1 2 x − 1 ≥ 0  x + 1 < 0   3 2 6 FUNCTIA DE GRADUL II 1) Def: f : R → R, f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 Ex: f : R → R, f ( x) = −3 x 2 − 5 (a= -3; b=1; c= -5) 2) Ecuaţia ataşată: ax 2 + bx + c = 0; ∆ = b 2 − 4ac •

Dacă ∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x 2 ; x1, 2 =

•

Dacă ∆ = 0 ⇒ x1 = x 2 =

•

−b± ∆ - ecuaţia are 2 rădăcini reale diferite; 2a

−b - ecuaţia are 2 răcini reale egale; 2a Dacă ∆ < 0 - ecuaţia nu are rădăcini reale.

3) Intersecţia cu axele, vârf, grafic, monotonie • • •

Graficul este o parabolă cu vârful în jos dacă a>0 şi cu vârful în sus dacă a<0. −b −∆ −b −∆ ; ; yV = . Vârful are coordonatele xV = . Deci, V  2a 4a  2a 4a  ∩ ox ⇒ y = f ( x ) = 0 ⇒ ax 2 + bx + c = 0

a) Dacă ∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x 2 ; x1, 2 =

−b± ∆ 2a

deci graficul intersectează axa OX în 2

puncte distincte.

−b deci graficul intersectează axa OX într-un singur punct 2a care va fi vârful parabolei. c) Dacă ∆ < 0 graficul nu intersectează axa OX. b) Dacă ∆ = 0 ⇒ x1 = x 2 =

•

∩ oy ⇒ x = 0 ⇒ y = f ( x) = c ⇒ A(0, c)

4) Relaţiile lui Viete b  S = x1 + x 2 = −   a x 2 − Sx + P = 0;  ; ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ); P = x ⋅ x = c 1 2  a 6) Semnul funcţiei de gradul II – se studiază astfel: se scrie ecuaţia ataşată ax 2 + bx + c = 0; •

x f(x) •

−∞ semnul lui a

x1 0

−b , deci avem tabelul: 2a −b 2a semnul lui a 0

+∞

Dacă ∆ = 0 ⇒ x1 = x 2 = x f(x)

•

−b± ∆ , deci avem tabelul: 2a x2 semn contrar lui a 0 semnul lui a

Dacă ∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x 2 ; x1, 2 =

−∞

+∞ semnul lui a

Dacă ∆ < 0 nu avem rădăcini reale, deci tabelul devine: x f(x)

−∞

+∞ semnul lui a

Să se determine funcţia f ( x ) = ax 2 + bx + c dacă f ( 0 ) = 1, f ( − 2) = 2 şi f (1) = −1 Condiţiile date conduc la sistemul de ecuaţii: a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = 1  f ( 0) = 1  1 3 x 2 3x  2 ( ) ( ) ( ) ( ) f − 2 = 2 ⇔ a ⋅ − 2 + − 2 ⋅ b + c = 2 ⇔ a = − ; b = − ; c = 1 ⇒ f x = − − +1   2 2 2 2  f (1) = −1 a ⋅ 12 + 1 ⋅ b + c = −1   Forma canonică a funcţiei de gradul al doilea:

2

b  ∆  f ( x ) = a x +  − 2a  4a  Exemplu: a) Să se scrie funcţia de gradul doi sub forma canonică şi să se deducă valoarea extremă a funcţiei în cazurile: 2 a ) f ( x ) = 3 x − x; b) f ( x ) = x 2 + x + 2; c) f ( x ) = −4 x 2 + 2 x + 3 Rezolvare: 2 2 2 b  ∆ 1 7  1 7   b) f = a x + = 1 x +  + =  x +  +  − 2a  4a  2 4  2 4  a =1 b = 1 ∆ = b 2 − 4ac = 1 − 8 = −7 c=2

∆  b b 1 ,−  − =− 2; Daca a=1>0, f are un minim Vmin  2a 4a  Xmin=- 2a ∆ 7 7 = ⇒ f min = ; Ymin=4a 4 4 La fel pentru a) şi c). Să se traseze graficul următoarelor funcţii: 1) f ( x ) = − x 2 − 2 x + 8 ; 2) f ( x ) = − x 2 + 4 x − 4; 3) f ( x ) = x 2 + 2 x − 3; 4) f ( x ) = − x 2 − 2 x + 3 Aplicaţii: Rezolvare de inecuaţii: a) x 2 − x ≥ 0; b) 3 x 2 + 6 x < 0; c ) x 2 − 9 < 0; d ) x 2 + 4 x + 9 ≥ 0 Rezolvăm b) 3 x 2 + 6 x < 0; ataşăm ecuaţia 3 x 2 + 6 x = 0; o rezovăm x( 3 x + 6 ) = 0 x1 = 0; x 2 = −2 S : x ∈ ( − 2, 0 ) x -∞ -2 0 +∞ 2 0 0 + f ( x ) = 3x + 6 x - ∞ x + y = S Rezolvarea sistemelor simetrice de forma  x ⋅ y = P 2 Atunci ecuaţia în sumă şi produs este Z − SZ + P = 0 Exemple: 2 xy + 5( x + y ) = 55 2 P + 5S = 55 S = 7 atunci ⇔ ⇔  6 xy + 3( x + y ) = 81 6 P + 3S = 81  P = 10 Z 2 − 7 Z + 10 = 0 ⇒ Z 1 = 2 şi Z 2 = 5 care dau tocmai soluţia sistemului (2, 5) şi (5, 2) Rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuaţie de gradul I şi o ecuaţie de gradul 2 sau intersecţia mx + n = y a, b, c, m, n ∈ ℜ dintre o dreaptă şi o parabolă , de forma  2 ax + bx + c = y Exemplu: y = x +1 ⇔ x 2 − 3 x + 5 = x + 1 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 0 x1 = x 2 = 2 ⇒ y1 = y 2 = 3  2  y = x − 3x + 5

y − x +1 = 0  y − 2x = 0  x + y + xy = 29 Să se rezolve sistemele: 1)  2) 3)   2 2  xy − 2( x + y ) = 2  y = x − 2x − 1 y = x + x + 3 Test de evaluare: 1. Să se determine funcţia f : ℜ → ℜ, f ( x ) = ax 2 + bx + c dacă punctele A(4,0), B(2,0), C(5,12) aparţin graficului funcţiei. 2. Să se determine parametrul m încât între rădăcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 − 3 x + m = 0 să existe relaţia x12 + x 22 = 3 3. Să se rezolve inecuaţia:

x 2 + 3 2x 1 − ,< 5 3 15

x2 − 4 4. Să se determine semnul expresiei : E ( x ) = 2 x +1  x y 10 y + x = 3  R. : ( 2,6 ); ( 6,2) 5. Rezolvaţi sistemul simetric:  1 + 1 = 2  x y 8 6. Reprezentaţi grafic funcţia: f ( x) = − x 2 + 4x + 5 f : ℜ → ℜ GEOMETRIE VECTORIALA Definiţie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: AB = − BA Definiţie: Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari. Teoremă: Fie aşib doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există

α , β ∈ R (unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 -modulul vectorului AB AB( x B − x A , y B − y A ) − coordonatele vectorului AB x + xB y + yB , yM = A Mijlocul segmentului AB:x M = A 2 2 x + x B + xC y + y B + yC , yG = A Centrul de greutate al triunghiului ABC:x G = A 3 3 Adunarea vectorilor se poate face după regula paralelogramului sau triunghiului

Teoremă:Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃ λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u . Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ ∃ λ ∈ R a.i. AB = λ AC AB CD ⇔ ∃ λ ∈ R a.i. AB = λ AC Produsul scalar a doi vectori . u ⋅ v = u ⋅ v cos(u , v) 2

u = x1 i + y1 j , v = x 2 i + y 2 j ⇒ u ⋅ v = x1 x 2 + y1 y 2 , u = x1 + y1

2

Daca u , v ≠ 0 ,atunci u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0 Elemente de geometrie şi trigonometrie Formule trigonometrice.Proprietăţi. sin 2 x + cos 2 x = 1, ∀x ∈ R -1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R sin(x+2k π ) = sin x , ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z π ) = cos x, ∀x ∈ R, ∀k ∈ Ζ sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa sinasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb b)=cosacosb+sinasinb sin2x=2sinxcosx, π sin ( − x ) = cos x 2 sin x , cos x ≠ 0 tgx= cos x tg(x+k π ) = tgx π tg ( − x ) = ctgx 2

-1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R cos(x+2k cos(a+b)=cosacosbcos(acos2x=cos 2 x − sin 2 x π cos ( − x ) = sin x 2 cos x , sin x ≠ 0 ctgx= sin x ctg(x+k π ) = ctgx π ctg ( − x ) = tgx 2

sina+sinb=2sin a+b a−b cos 2 2

a+b a−b cos 2 2

cosa-cosb= -2sin

cosa+cosb=2cos

sina-sinb=2sin a−b a+b sin 2 2

a−b a+b cos 2 2

Valori principale ale funcţiilor trigonometrice x

0

sinx

0

cosx

1

tgx

0

ctgx

-

π 6 1 2 3 2 3 3 3

π 4 2 2 2 2 1

π 3 3 2 1 2

π 2 1

π

1

Semnele funcţiilor trig. sin:+,+,-,cos:+,-,-,+ sin(-x)= -sinx (impară) tg(-x)= -tgx

2π

0

3π 2 -1

0

-1

0

1

3

-

0

-

0

3 3

0

-

0

-

0

tg.,ctg.:+,-+,cos(-x)=cosx(pară) ctg(-x)= -ctgx

Semnele funcţiilor trigonometrice în cadrane Funcţia / I II III IV Cadranul sin + + cos + + + + sin tg = cos + + cos ctg = sin Reducerea la primul cadran  π π   3π   3π  Dacă x ∈  0,  atunci π − x ∈  , π , π + x ∈  π ,  2π − x ∈  , 2π  avem:  2 2   2   2  t =π −x t =π +x t = 2π − x cos t - cos x - cos x cos x sin t sin x - sin x - sin x

62π 6π  6π π π   = sin  8π + = sin  π −  = sin  = sin 7 7  7 7 7   122π 12π  π π   = cos10π +  = cos π +  = − cos 2) cos 11 11  11  11   2641π 41π  41π 11π  11π π   = cos100π + = cos 2π − = sin  = cos  = cos 3) cos 26 26  26 26  26 13   Exemple: 1) sin

a b c = = =2R,unde R este raza cercului sin A sin B sin C circumscris triunghiului. Teorema cosinusului:a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A Aria unui triunghi: b⋅h AB ⋅ AC sin( AB, AC ) a+b+c A∆ = A∆ = A ∆ = p ( p − a )( p − b)( p − c) ,p= 2 2 2 2 c1 ⋅ c 2 l 3 A ∆dreptunghic = A ∆echilateral = 2 4 abc Raza cercului circumscris unui triunghi:R= ,unde S este aria 4S triunghiului S Raza cercului înscris într-un triunghi:R= ,unde S este aria triunghiului p a+b+c iar p= 2 Teorema sinusurilor:

Teste recapitulative Testul 1 a) Se dă progresia aritmetică ( a n ) n≥1 de raţie r, în care cunoaştem a1 = −3, r = 3 Calculaţi a5 ; a10 şi S10 . 1 b) Se dă progresia geometrică ( l n ) n≥1 de raţie q, în care cunoaştem l1 = , q=4. Calculaţi 4 l10 şi S10 . c) Să se determine parametrul real m încât între rădăcinile ecuaţiei x 2 − 3 x + m = 0 să existe relaţia: x12 − x 22 = 27 cos( a + b ) = 1 − tga ⋅ tgb d) Să se verifice identitatea: cos a ⋅ cos b e) Se dă triunghiul ABC în care AC=5, AB=3, mAˆ = 60  Să se determine BC, aria ∆ABC , raza cercului înscris şi raza cercului circumscris triunghiului ABC Testul 2

π  a) Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic ABC  A =  avem egalităţile: 1) 2  2 2 2 b ⋅ cos B + c ⋅ cos C = 2a ⋅ sin B ⋅ sin C ; 2) tg C + cos C = tg C ⋅ sin 2 C + 1; 3) sin B + cos B = sin C + cos C

(

)

(

)

b) Să se demonstreze identitatea: 2 sin 6 x + cos 6 x + 1 = 3 sin 4 x + cos 4 x ,  x−2 <0  c) Să se rezove sistemul de inecuaţii:  x( x − 3)  x( x + 1)( x + 2 ) ≥ 0  d) Să se rezolve ecuaţia: 5+13+21+...+x=588; e) Să se determine funcţia f : ℜ → ℜ, f ( x ) = ax 2 + bx + c a ≠ 0 când se cunoaşte a=1 şi vârful parabolei V(3, 1)

Testul 3  x y 10 y + x = 3 y = x − 2  a) Să se rezolve sistemele: a)  ; b)  2 y = x + x +1 1 + 1 = 2  x y 3 x 2 + 3 2x 1 b) Rezolvaţi inecuaţia: − < 5 3 15

π = 30  să se afle a; aria ∆ABC , raza 6 cercului înscris r, şi raza cercului circumscris R d) Fie ∆ABC , iar M, N, P mijloacele laturilor [ AB ], [ BC ], [ CA] . Să se arate că       MP ~ BN ~ NC , MN ~ AP ~ PC c) În triunghiul ABC se dau b=3, c=5 şi mAˆ =

e) Să se arate că

3 ∉Q

Testul 4 a) Să se arate că: 1 1 1 1 1 5 + + + + = ; a ( a + 1) ( a + 1)( a + 2 ) ( a + 2 )( a + 3) ( a + 3)( a + 4) ( a + 4 )( a + 5) a( a + 5) a ∈ ℜ \ { 0, − 1, − 2, − 3, − 4, − 5} b) Să se arate că dacă numerele a, b, c sunt în progresie aritmetică atunci numerele A1 = a 2 − bc; A2 = b 2 − ca; A3 = c 2 − ab sunt de asemenea în progresie aritmetică. c) Fără a rezolva ecuaţia : x 2 + x − 7 = 0 să se calculeze (x1 şi x2 fiind rădăcinile ecuaţiei) 1 1 + 3 3 x1 x 2 d) Să se arate că în triunghiul dreptunghic ABC mAˆ = 90  are loc egaslitatea :

(

)

tgB + ctgC sin B = tgC + ctgB sin 2 C e) Să se arate că , dacă a=41, b=28, c=15, atunci triunghiul ABC este obtuzunghic. 2