Estatistica Probabilistica 1a. Parte k2a6s

PUC SP -

FEA

ESTATISTICA PROBABILISTICA (Primeira Parte)

Apostila para os cursos de:

ISTRAÇÃO E COMUNICAÇÃO

Professor Everaldo Montesi Medeiros

Primeira Parte:

Capitulo 1 ™ Teoria das Probabilidades ™ Técnicas de Contagem ™ Teorema de Bayes

Capitulo 2 ™ Distribuições de Probabilidades ™ Esperança Matemática ou Valor Esperado

Professor Everaldo

2

Capitulo 1 Teoria das Probabilidades Conceito → As probabilidades são usadas para demonstrar a chance de ocorrência de um determinado evento. Foram desenvolvidas três abordagens para a determinação de valores e definição de probabilidades. São elas: 1. Enfoque Clássico (a priori); 2. Enfoque da Freqüência Relativa (a posteriori); 3. Enfoque Subjetivo (Feeling). •

Enfoque Clássico

E conhecido como calculo a “a priori”, pois podemos determinar os resultados antes de observada qualquer amostra do evento. Formula Básica:

Onde :

a

P (x) =

P ( x ) = Probabilidade de ocorrência do evento;

a + b

a = numero de casos favoráveis; b = numero de casos desfavoráveis.

Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um REI de um baralho de 52 cartas em uma única oportunidade?

Observação : Probabilidade de “Não Ocorrência”

4

P (x) =

4 + 48 4

P (x) =

52

=

1

(INSUCESSO)

P ( não x ) = 1 -

a a + b

13

A probabilidade de não ocorrência do evento:

4 48 ⎛ a ⎞ = = 92 ,31 % P( X ) = 1 − ⎜ ⎟ =1− 52 52 a + b ⎠ ⎝

Professor Everaldo

3

•

Enfoque da Freqüência Relativa

E baseado na proporção das vezes que ocorre um resultado favorável em um determinado numero de observações (amostra).

Exemplo: Foram coletados dados para 10.000 adultos em uma determinada região do país. Desse total foram selecionadas 100 pessoas que apresentaram taxas de colesterol acima do nível normal. Determinar a probabilidade de “uma pessoa” escolhida ao acaso, apresentar taxas elevadas de colesterol.

a

P (x) =

a + b

P (x) =

100 100 + 9900

0,01 ou 1%

•

Enfoque Subjetivo

E uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de ocorrência de um determinado

evento

(feeling;

conhecimento;

experiência...).

Não

tem

embasamento científico.

Exemplo : • Prognostico de uma greve; • Recuperação de um doente; • Previsão das decisões do Governo.

Professor Everaldo

4

1. A expressão de Probabilidade P(x) Probabilidade de ocorrência do evento em analise em um determinado experimento.

2. Intervalo de Variação Menor Valor = ZERO Indica que o evento e impossível. Probabilidade infinitamente pequena. Maior Valor = HUM Indica que o evento vai ocorrer com toda certeza.

Portanto,

ZERO

≤

P(x)

≤

HUM

Observação: Em um dado experimento um evento pode ou não ocorrer. Portanto,

P(x) +

p ( não x ) =

HUM

3. Experimento aleatório E aquele cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando repetido em condições uniformes.

4. Espaço amostral (s) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento.

Exemplo: •

Observações de recém-nascidos s=

•

Lançamento de uma moeda s=

•

M; F

K; C

Lançamento de duas moedas s=

Professor Everaldo

KK ; CC ; KC ; CK

5

5. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral (s)

6. Diagrama de Venn (ou de Euler) É relacionado com a teoria dos conjuntos em matemática e tem a finalidade de tornar mais fácil a visualização dos elementos.

A S

B

A C S B C S

7. Evento Simples É o evento formado pôr apenas um elemento de S. Exemplo: —

Masculino ou Feminino;

—

(KK ; CC ; KC ; CK) duas moedas isoladamente.

8. Evento Composto É aquele formado pôr dois ou mais elementos de S. Exemplo: —

Pelo menos uma cara (K) no lançamento de duas moedas;

(KK ; KC ; CK) três elementos de S. —

Obtenção de um n.º par no lançamento de um dado;

(2, 4, 6) três elementos de S.

9. Evento Certo Ocorre em todas as realizações do experimento. Exemplo: —

Lançamento de uma moeda (resultados possíveis: K ou C).

Professor Everaldo

6

10. Evento Impossível Não ocorre em nenhuma realização do experimento. Exemplo: —

Probabilidade de sair o numero sete no lançamento de um dado.

A

U

S

S

A = O

11. Evento Complementar É aquele evento formado pôr todos os elementos de S que não pertencem a A.

A

A

U

A`

A` = O

A U A` = S

S

Exemplo: Obtenção de uma face par no lançamento de um dado. P (A) = ( 2 ; 4 ; 6 ) --- par P (B) = ( 1 ; 3 ; 5 ) --- impar

12. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois ou mais eventos são chamados de mutuamente exclusivos, se a ocorrência de um deles excluir a ocorrência do outro. Portanto, quando não podem se apresentar simultaneamente.

Professor Everaldo

7

A

B

Exemplo: P (A) = extração de um ÁS

S

P (B) = extração de um REI

Em uma única oportunidade

Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente. 13. Eventos Não Mutuamente Exclusivos Os eventos A e B da ilustração abaixo, não são considerados mutuamente exclusivos porque possuem elementos em comum.

Exemplo:

AB

P (A) = a carta é de ouro P (B) = a carta é uma figura

S

Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B

14. Eventos Coletivamente Exaustivos Os eventos A e B são chamados de coletivamente exaustivos porque esgotam todas as possibilidades de ocorrências. Exemplo: P (A) = a carta é preta P (B) = a carta é vermelha

A

B

S

Professor Everaldo

8

15. Eventos independentes Quando a ocorrência do evento B não depende ou não está vinculada à ocorrência do evento A. Exemplo: Lançamento de dois dados

Em outras palavras, dizemos que os eventos são independentes quando não há modificação do espaço amostral, após a ocorrência de cada evento (COM REPOSIÇÃO)

16. Eventos dependentes Quando há modificação no espaço amostral após a ocorrência de cada evento (SEM REPOSIÇÃO)

Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um ás e um rei de um baralho em duas oportunidades?

1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52 2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51

Professor Everaldo

Modificação no espaço amostral

9

Existem duas Categorias: a) P (A ou B) Probabilidade de ocorrência “de um ou outro” evento.

b) P (A e B) Probabilidade de ocorrência “simultânea” dos eventos (ou de ambos).

Regras da Adição

P (A ou B)

P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )

Dentro da regra da adição é possível ocorrer duas situações, conforme segue:

a) Eventos Mutuamente Exclusivos P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) A

B

S

Exemplo: Determinar a probabilidade de retirarmos um “ás” ou um “rei” de um baralho de 52 cartas, em uma única oportunidade.

P (A) = um ás = 4 / 52 P (B) = um rei = 4 / 52

P (A U B) = P (A) + P (B) 4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13 Professor Everaldo

10

b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos Neste caso é subtraída da soma das probabilidades a ocorrência conjunta dos eventos (interseção)

P ( A ou B ) = P ( A U B ) = U

P ( A ) + P ( B ) - P (A

B)

A B S

Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um “ás” ou uma “carta de ouros” de um baralho de 52 cartas, em uma única oportunidade. P (A) = um ás = 4 / 52

P ( A ou B ) =

P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52

4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52

Regras da Multiplicação

P (A e B)

As regras de multiplicação se relacionam determinação da probabilidade conjunta de (simultânea).

=

P(A

U

P(AeB)

B)

=

P(A)

com a eventos

. P(B)

a) Eventos Independentes Exemplo Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Determinar a probabilidade de que ambos os resultados sejam CARAS.

Professor Everaldo

11

Portanto, P (A) = 1 / 2

P (A)

P (B) = 1 / 2

1/2.1/2

. =

P (B) = 1/4

=

25%

b)Eventos Dependentes Probabilidade Condicional É quando a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência do evento A. =

P ( A

U

P ( A e B )

B )

=

P ( A )

.

P ( B / A )

Exemplo Qual a probabilidade de retirarmos um às e um rei de um baralho de 52 cartas, em duas oportunidades “sem reposição”

P (A) = 4 / 52 P (B) = P (B / A) = 4 / 51 P (A e B) = 4 / 52

Professor Everaldo

. 4 / 51

= 1 / 13

. 4 / 51

= 4 / 663

12

Exercícios: 1. Em uma urna existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a probabilidade de retirarmos 1 bola múltipla de três e múltipla de 4. Resposta: 46,7%

2. Na urna A existem 5 bolas amarelas, 4 pretas e 3 brancas. Na urna B existem 4 amarelas, 3 pretas e 3 brancas e na urna C existem 6 amarelas, 5 pretas e 4 brancas. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola de cada uma e todas terem a mesma Resposta: 12,5%

3. Em uma urna existem 3 bolas brancas e 2 pretas. Qual é a probabilidade de retirarmos duas bolas, sem reposição, e ambas serem pretas? Resposta: 10,0%

4. Roberto aguarda com ansiedade o resultado de dois exames. Ele estima em 80% a probabilidade de obter A em Matemática e 40% em Filosofia. [Determinar as seguintes probabilidades]: a) Nota A em ambos: Resposta: 32% b) Nenhuma nota A: Resposta: 12% c) A em Matemática e não A em Filosofia Resposta: 48% d) não A em Matemática e A em Filosofia Resposta: 8%

Professor Everaldo

13

Conceito: No cálculo das probabilidades (a priori), é necessário conhecer o tamanho do espaço amostral. Precisamos conhecer todos os resultados possíveis em um determinado experimento. Uma das formas tradicionais é o uso das arvores de decisão. Entretanto, quando o numero de resultados é muito grande sua aplicação não é muito prática. Ilustração gráfica: Diagrama de árvore para ilustrar todos os arranjos possiveis

Resultados Possiveis

Essa prática é bastante útil para ilustrar o comportamento de certos fenômenos, muito embora sua expansão o torna cansativo. Na realidade, estamos em busca do numero total de resultados e não necessariamente identificá-los Como quantificá-los? •

O principio da multiplicação

Vamos supor que um fabricante de automóveis pretende produzir um veiculo com as seguintes características: o Um modelo (1000 cilindradas com 16 válvulas); o Quatro cores (azul, preto, verde e creme); o Duas e quatro portas; o Com e sem ar condicionado; Professor Everaldo

14

o Com e sem direção hidráulica. Questão: Calcular o mix possível de produção utilizando-se o principio da multiplicação. O numero total de resultados possíveis é igual ao produto das diversas formas que o fabricante deseja produzir o automóvel. Portanto, temos:

DECISÕES

COMBINAÇÕES POSSÍVEIS

Modelo

1

Cores

4

Portas

2

Ar Condicionado

2

Direção

2

Mix total

32

Exemplo 2 Vamos supor que um aluno responde 15 questões de um teste qualquer. Cada questão ite somente duas respostas (certo ou errado). Calcular o numero de maneiras possíveis. Os cálculos: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 (quinze questões com duas possibilidades de respostas)

Portanto,

•

2 15 = 32768 (espaço amostral)

Permutações e Arranjos

Conceito: Para quantificarmos o numero total de resultados em um determinado experimento e considerando que a ordem dos elementos é importante, recomenda-se a aplicação dos conceitos das Permutações e dos Arranjos. Neste caso:

Professor Everaldo

AB

‡

BA

15

Permutações Conceito: É o numero de maneira que n objetos podem ser arranjados. Principio algébrico:

n! = n . (n-1) . (n-2) .......... 2 . 1 onde: n é sempre positivo 0! = 1 por definição

Exemplo (1): Três membros de uma organização (A, B e C) se ofereceram como voluntários para comporem a diretoria do ano seguinte, assumindo as funções de presidente, tesoureiro e secretário. Determinar o número de permutações possíveis.

3! = 1 x 2 x 3 = 6

A A B B C C

B C A C A B

C B C A B A

Exemplo (2): Vamos supor que quatro (A, B, C ou D) times de futebol disputam um torneio. Determinar o numero total de maneiras que pode apresentar-se o resultado final. Colocação

Times

Possibilidades

Suposição

1º

Quatro

∴

4

(A, B, C ou D)

B Campeão

2º

Três

∴

3

(A, C ou D)

D Vice

3º

Dois

∴

2

(A ou C)

A 3º

4º

Um

∴

1

(C)

C 4º

O numero total de resultados é o que segue:

n! = 4!

∴

4 . 3 . 2 . 1 = 24

Professor Everaldo

16

Permutações com REPETIÇÕES Conceito: Em algumas oportunidades nos deparamos com situações onde os itens são iguais. Suponhamos, por exemplo, três letras (A, A, A) e outras duas (B, B). Uma permutação possível é do tipo: A A A B B Se trocarmos de posição a letra B entre si não haverá modificação na permutação. Nesse caso deve-se deduzir do total, pois nas permutações os grupos são diferentes. A formula para esse cálculo é a seguinte:

n! n 1! n 2 !...... n 3 ! onde: n!

= numero total de permutações

n1! / n2! / n3! = são iguais entre si

Portanto, temos:

5! 3 !2 !

=

10

Exemplo 2: Em uma bolsa existem 10 bolas. Três azuis, quatro amarelas e três brancas. A única diferença entre as bolas são as cores. Calcular de quantas maneiras pode-se alinhá-las. Portanto, temos:

n! = 3 + 4 + 3 ∴ 10! n1! . n2! . n3! = 3! . 4! . 3!

10 ! 3 !4 !3 !

Professor Everaldo

=

3628800 864

4200

17

Arranjos Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de permutações de um sub grupo de n objetos, temos os Arranjos.

fórmula: A n.x

=

n! (n − x)!

onde n = n.º total de observações da amostra x = n.º de elementos de um subgrupo da amostra.

Exemplo 1: Suponhamos que uma organização é composta por 10 membros e que nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e secretário. Determinar o número de arranjos possíveis.

A10.3 =

10 ! 10 ! 10 .9 .8 .7! = = = 720 (10 − 3 )! 7! 7!

P.S: No arranjo a ordem é importante, ou seja, AB ≠ BA

Exemplo 2: Numa corrida de cavalos existem sete cavalos competindo. Calcular o numero possível de arranjos para os três primeiros colocados. n = 7 x = 3

7! 7! 7 .6 .5 .4! = = = 210 ( 7 − 3)! 4! 4!

Combinações:

Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de grupamentos dos objetos, sem levar em consideração a ordem de apresentação, temos as combinações. fórmula: C n.x

=

Professor Everaldo

n! x! ( n − x ) !

18

Neste caso:

AB

=

BA

Exemplo 1: Suponha o mesmo exemplo da organização composta por 10 membros e que nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e secretário. Determinar o número de combinações possíveis.

C 10.3 =

1 0! 1 0 .9 .8 = =120 3 !7 ! 3 . 2 .1

Exemplo 2: De quantas maneiras diferentes o diretor de uma empresa pode escolher dois estudantes de istração entre sete candidatos e três estudantes de economia entre nove candidatos?

Solução:

Professor Everaldo

7

9

2

3

=

1764

19

O teorema de Bayes caracteriza-se como uma probabilidade condicional. Entretanto, é utilizado quando o experimento apresenta mais de dois eventos. Vamos supor o seguinte exemplo: Uma fabrica de enlatados na cidade de Jundiaí, possui três linhas de produção (A, B e C) que respondem por 50%, 30% e 20% da produção total. Considerando que 0,4% das latas da linha A apresentam defeitos, e das linhas B e C apresentam respectivamente 0,6% e 1,2% defeitos. Determinar as seguintes probabilidades: 1. Qual a probabilidade de um consumidor adquirir uma lata dessa fabrica em um supermercado qualquer da cidade, e apresentar algum tipo de defeito? 2. Qual a probabilidade dessa lata encontrada no supermercado ter sido produzida pela linha de produção A?

Diagrama de Arvore 0,004

(0,50 . 0,004) = 0,0020

Linha A

(0,30 . 0,006) = 0,0018

Linha B

(0,20 . 0,012) = 0,0024

Linha C

0,50

0,006

0,30

0,20 0,012

Resposta 1ª. Questão =(0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012)

=

0,62%

Resposta 2ª. Questão

=(0,5*0,004)/((0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012))

Professor Everaldo

32,25%

20

(Exemplo 2) Três máquinas fabricam um determinado produto. A máquina A apresenta 1% de defeitos. A máquina B apresenta 2% e a máquina C apresenta 5%. Vejamos:

Máquina Produção

Produtos

Produtos

c/

s/

defeitos

defeitos

A

0,333

0,01

0,99

B

0,333

0,02

0,98

C

0,333

0,05

0,95

Responder: Escolhido ao acaso um produto defeituoso, determinar a probabilidade de ter sido produzido:

Pela Maquina A.

=(0,333*0,01)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

= 12,50%

Pela Maquina B.

=(0,333*0,02)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

= 25,00%

Pela Maquina C.

=(0,333*0,05)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

Professor Everaldo

= 62,50%

21

(Exemplo 3) Encima de uma mesa existem quatro urnas com bolas vermelhas, brancas e azuis. A probabilidade de retirarmos qualquer bola de qualquer urna está demonstrada na tabela abaixo: P (xi)

P (xi)

P (xi)

P (xi)

P (xi)

“a priori”

Vermelha

Branca

Azul

Total

A

0,25

0,10

0,60

0,30

1,00

B

0,25

0,60

0,20

0,20

1,00

C

0,25

0,80

0,10

0,10

1,00

D

0,25

0,00

0,60

0,40

1,00

Urnas

Evidencia Amostral

Calcular: 1. Retirando-se ao acaso uma bola vermelha, qual a probabilidade dessa bola ser da Urna B =(0,25*0,6)/((0,25*0,6)+(0,25*0,1)+(0,25*0,8))+(0,25*0,0)

2. Calcular em relação à Urna A

(R = 6,7%)

3. Calcular em relação à Urna C

(R = 53,3%)

4. Calcular em relação à Urna D

(R = 0,07%)

Professor Everaldo

= 40,00%

22

Capitulo 2 Distribuições de Probabilidades a) Conceito → É uma distribuição de freqüência relativa para os resultados de

um espaço amostral. Demonstra a proporção das vezes que uma variável aleatória tende a assumir cada um dos diversos vetores possíveis. Exemplo 1:

Resultados possíveis no lançamento de duas moedas: C= K=

Sendo:

Espaço Amostral CC CK KC KK

Coroa Cara Probabilidades dos Resultados 0,50 * 0,50 = 0,25 0,50 * 0,50 = 0,25 0,50 * 0,50 = 0,25 0,50 * 0,50 = 0,25

P (x)

Exemplo 2:

Numero de caras em duas jogadas de uma moeda:

Nº de caras (xi) 0 1 1 2

P (xi) 0,25 0,25 0,25 0,25

P(xi) 0,25

Total

1,00

1,00

P(xi)

0,50 0,25

Nº de caras lançamento duas moedas

0,75 0,50 0,25 0,00 0

1

2

xi

b) Variáveis Aleatórias:

É uma descrição numérica do resultado de um experimento.

Professor Everaldo

23

• Variável Aleatória Discreta

Podem assumir um numero finito de valores em uma infinita seqüência de valores tais como zero, um, dois... Simplificando, são aquelas variáveis que podem ser contadas (números inteiros) Exemplo: numero de clientes; numero de funcionários, resultado de uma partida de futebol,...Etc. Exemplo prático: Numero de alunos pôr disciplina em uma Escola:

Ps

na Fi

... st

nç

t ic t ís ta Es

ini

18

ia

istração Geral

m

26

Ad

Economia

om

32

on

Psicologia

ia

28

Ec

Finanças

40 30 20 10 0 lo g

20

ic o

Estatística

as

Numero de alunos

a

Disciplinas

• Variável Aleatória Continua

São aquelas que podem assumir qualquer valor em um determinado intervalo. Em outras palavras, podem assumir um numero infinito de valores. Exemplo: peso dos alunos; diâmetro dos parafusos, duração de uma conversa telefônica, etc. Obs. Medidas de um modo geral

Exemplo prático: Altura dos alunos em uma determinada sala:

Altura (xi) Classes

Numero de alunos

1,50 a 1,60

6

25

1,60 a 1,70

22

20

1,70 a 1,80

18

15

1,80 a 1,90

10

10 5 0 1,50 a 1,60

Professor Everaldo

1,60 a 1,70

1,70 a 1,80

1,80 a 1,90

24

c) Distribuições Discretas de Probabilidades (Descontinuas): —

x = variável aleatória;

—

P (x) ou f (x) = função probabilidade de ocorrência de cada valor de x.

Exemplo prático de uma distribuição de Probabilidade. —

Lançamento de um dado Espaço Amostral 1 2 3 4 5 6

—

Função Discreta Uniforme de Probabilidades

P (x) 0,20

0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 1,00

0,15 0,10 0,05 0,00 1

2

3

4

5

6

Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Distribuição Discreta de Probabilidades

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P (xi) 2,78% 5,56% 8,33% 11,11% 13,89% 16,67% 13,89% 11,11% 8,33% 5,56% 2,78% 100,00%

Espaço Amostral Todos os resultados possíveis (n = 36)

Portanto, Soma P (X i) = 1 sendo o i de 1 a n

20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 2

Professor Everaldo

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

25

d) Esperança Matemática E (xi)

Valor Esperado (valor de maior freqüência) Conceito: é a média de uma variável aleatória. Portanto, é a medida de tendência central para a distribuição de probabilidades. Símbolo utilizado;

E (x)

Formula básica;

E (xi) = ∑ [x i . p (x i)]

Onde:

ou

µ

x i = valores observados P (xi) =

probabilidade de ocorrência de x i

Exemplo prático: Determinar a esperança matemática no lançamento de dois dados. Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

P (xi ) X i . P (xi ) 1/36 2/36 2/36 6/36 3/36 12/36 4/36 20/36 5/36 30/36 6/36 42/36 5/36 40/36 4/36 36/36 3/36 30/36 2/36 22/36 1/36 12/36 252/36

E(Xi) =

20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

252 =7 36

e) Variância

Conceito: É a medida de variabilidade que mede a dispersão dos valores da variável aleatória em análise.

• Símbolo utilizado: • Formula básica: Onde:

Variância (x) ou

σ2

σ 2 = ∑ (x - µ) 2 . p (x)

µ = E (x i) = valor esperado ou esperança matemática

Professor Everaldo

26

Exemplo pratico: calcular a variância no lançamento de dois dados

Xi

x-µ

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

(x - µ)2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 0

(x - µ)2.p(x)

P(xi )

0,694 0,889 0,750 0,444 0,139 0,000 0,139 0,444 0,750 0,889 0,694 5,833

0,0278 0,0556 0,0833 0,1111 0,1389 0,1667 0,1389 0,1111 0,0833 0,0556 0,0278 1,00

media 7 var = dpad =

5,83 2,42

Exemplo 1: Revendedor Sabrico

Estatística de Vendas do automóvel Gol durante os últimos 300 dias no Revendedor Sabrico. Determinar a Esperança Matemática, a Variância e o Desvio Padrão da amostra analisada. Vendas (x) 0 1 2 3 4 5

Dias

P (x)

X. p (x)

X-µ

(X - µ)2

(X - µ)2 . p(x)

54 117 72 42 12 3 300 R = Esperança Matemática = 1,50 Variância = 1.25 Desvio padrão = 1,118

Exemplo 2: Loja Lava Melhor

Determinar a venda diária de maquinas de lavar na loja “A Melhor”, tomando-se pôr base os resultados abaixo obtidos em uma pesquisa de 20 dias: Vendas pôr dia

Pesquisa

0

4

1

6

2

6

3

3

4

1

Professor Everaldo

P (xi)

X . P(xi)

(X - µ)

(X - µ)2

(X-µ)2.p(x)

27

Resposta: 1,55 maquinas / dia. Determinar também: •

A Variância e o Desvio Padrão

•

A venda mensal da loja considerando 300 lojas e 20 dias úteis do mês.

Resposta: 1,55 x 20 = 31 maquinas / mês 31 x 300 = 9.300 maquinas /mês

Exemplo 3: Execução de Obra

Um profissional faz as seguintes estimativas para a execução de uma obra. Determinar o prazo esperado: Prazo de execução Probabilidades

10

0,3

15

0,2

22

0,5

Xi P(Xi)

Resposta: (17 dias)

Exemplo 4: Investimento

Um investidor acredita ter 40% de chance de ganhar 25.000 reais e 60% de perder 15.000 reais em um determinado investimento. Qual o resultado esperado?

Xi

P(Xi)

Xi P(Xi)

Resposta: (1000 reais)

Professor Everaldo

28