Estadistica 1-79 5m3qw

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil

EJERCICIOS DE ESTADISTICA 1. La función de distribución de la variable aleatoria que representa la duración en minutos de una llamada telefónica es:

{

2 f ( x )= 1− 3 e

−2 x 3

−x

1 − e 3 , si x> 0 3 0 , si x ≤0

SOLUCION: Se sabe que la función de densidad de probabilidad coincide con la derivada de la función de distribución. Por tanto, la función de densidad será: f ( x )=F ´ ( x )=

{

dF (x) 4 e−2 x/ 3+ 1 e−x /3 , si x >0 = 9 9 dx 0, si x ≤ 0

La probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos: P(3≤ɸ≤6)=F(6) – F(3) ≈ 0.1555 Donde ɸ denota la variable aleatoria que mide la duración de una llamada en minutos.

2. Sea la variable aleatoria X que toma los valores -1 y 0 con probabilidades 0,1 y 0,2 respectivamente yademás toma valores en el intervalo (0,2) de acuerdo con la función de densidad: f ( x )= k ( 2 x −1 ) si x ∈(1, 2) 0 , si x ∉(1 ,2)

{

A) Hallar el valor de k. B) Hallar E(X).


SOLUCION: A) El valor de k es aquel que verifica que la suma de todas las probabilidades asignadas a los valores de X es 1, es decir: P(X=1) + P(X=0) + P [X∈(0,2)]=1 Por lo tanto: 2

0,1+0,2+∫ k ( 2 x−1 ) dx=1→ K=0,35 1

2

B)

E ( X )= (−1 ) .0,1+ 0.0,2+ 0,35∫ x ( 2 x−1 ) dx=1,008 1

3. Se debe elegir entre 2 procesos para la fabricación de pernos cuya longitud sigue una distribución continua, con funciones de densidad dadas por f y g para el proceso 1 y el proceso 2 respectivamente. Si solo se aceptan pernos con longitudes entre 1,1 y 2 cm

{

{

3 4 , si x> 1 si x >1 f ( x )= x 4 g ( x)= x5 0, si x ≤ 1 0, si x ≤ 1

SOLUCIÓN: X: longitud de los pernos. Si solo se acepta pernos con longitudes entre 1,1y2 PROCESO 1: f(x) PROCESO 2:g(x) A) ¿Qué proceso mayor porcentaje de pernos aceptados? 2

P ( A )=∫ 1,1

[ ]

3 −1 dx= 3 2 =0,626 4 X x 1,1


[ ]

4 −1 dx=¿ 4 z 2 =0,621 5 X x 1,1 2

P ( B ) =∫ ¿ 1,1

P ( A )=62.631 de pernos aceptables P( B) 62.051 de pernos aceptables

B) Calcular la longitud media y la varianza de los pernos producidos en cada proceso: PROCESO 01: ∞

E ( X )=∫ Xf ( x )=∫ 1

3 3 dx= 3 2 x

∞

∫x

2

f ( x ) dx=∫ 3 ¿ x 2 dx=3 1

( E ( x )] 2 3 V ( X 1 )=∫ x 2 f ( x ) dx −¿ = ¿ 4

PROCESO 2: ∞

E ( X )=∫ Xf ( x )=∫ 1

4 4 dx = 4 3 x

∞

∫ x 2 f ( x ) dx=∫ x43 dx=2 1

( E ( x )] 4 2 2 = ¿ 3 9

()

V ( X 2 )=∫ x 2 f ( x ) dx −¿2=2−


RPTA: A) P ( A )=62.631 de pernos aceptables P( B) 62.051 de pernos aceptables B) V ( X 1 )=

3 4

V ( X 2 )=

2 9


4. La variable aleatoria X representa la duración, en minutos, de las llamadas a una línea telefónica y su f.d.p. está dada por:

{

−x

1e 2 f ( x )= 2 si x >0 0 si x <0

Calcular la probabilidad de que el tiempo de duración de una llamada esté entre 5 y 10 minutos. SOLUCIÓN: 10

P (5 ≤ x ≤ 10 )=∫ 2

a. b. c. d.

1 e −x2 dx=−e 2

−x 2

] 102= −1e −( −1e )=0.361 5

5. El número medio de accidentes ocurridos en una planta petrolera es de 2 accidentes en 2 meses. ¿Qué modelo sigue la variable número de accidentes ocurridos en la planta por 2 meses? Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 2 meses. Probabilidad de que haya entre 2 8 inclusive, en 2 meses. Probabilidad de que haya más de 2 accidente en 1 mes. SOLUCION: a. La variable definida sigue un modelo Poisson de parámetro X → P(2)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

b. Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 2 meses P ( X >2 )=1−P ( X ≤ 2 )=1−0.6767=0.3233 c. Probabilidad de que haya entre 2 y 8 inclusive, en 2 meses. P (2 ≤ X ≤8 )=P ( X ≤8 )−P ( X ≤1 ) =0.9998−0.4060=0.5938

ℷ=2


d. Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 1 mes. La variable Y definida sigue un modelo Poisson de parámetro ℷ=1 X → P(2)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

P (Y > 2 )=1−P ( Y ≤2 ) =1−0.9197=0.0803 6. Sea X una variable aleatoria que anota la suma de puntos al lanzar dos dados. Se pide: a) Tabla de probabilidades. b) Esperanza matemática. c) Desviación típica. SOLUCION: a) Al sumar los puntos de dos datos obtendremos unos valores que oscilan entre 2 (1+1) y 12 (6+6). Para expresar la tabla de probabilidades, basta con asignar probabilidades a los diferentes valores (2 a 12) de la variable. Por ejemplo, para que la suma sea 3 tenemos 2 opciones (1+2 , 2+1) de los 36 sucesos elementales que componen el espacio muestral de lanzar 2 dados. xI

Pi

2

1/36

3

2/36

4

3/36

5

4 /36

6

5/36

7

6/36


8

5/36

9

4 /36

10

3/36

11

2/36

12

1/36

1 2 1 +3. +…+12. =7 36 36 36

b)

u=∑ xi . p i=2.

c)

σ 2=∑ xi2 . pi −u2=5.833 σ =√ σ 2=√ 5.833=2.415

7. Los pesos de los individuos de una población se distribuye normalmente con media 70 Kg y desviación típica 60 kg. De una población de 2000 personas, calcula cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 kg y 76 kg. SOLUCION: Se trata de una distribución normal de media µ=70 y desviación típica σ=6, N(70,6). Tipificamos la variable 64−70 P(64 ≤ 76)=P( ) ≤ 6 1)= P( Z ≤ Entonces

Z

≤

(

76−70 )=P( -1 6

≤

Z

≤

1 ) - P( Z ≤ -1)

P( Z ≤

1 ) = 0.8413 P( Z ≤ - 1) = P( Z ≥ 1) = 1 – P( Z ≤ 1 ) = 1 – 0.8413 = 0.1587 ⟶P( -1 ≤ Z ≤ 1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6825 = 68.25% Por lo tanto el 68.25% de las personas pesan entre 64 y 76 kg que vendrían a ser 1365 personas. 8. La duración media de un televisor es de ocho años y su desviación típica 0.5 años. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un televisor dure más de nueve años. SOLUCION: Es una distribución normal de media µ=8 y desviación típica σ=0.5, N(8;0.5).


P(X > 9) = P(Z

9−8 0.5 ) = P(Z > 2) = 1 – P(Z

≤

2) = 1 – 0.9772 = 0.0228

Entonces la probabilidad de adquirir un televisor que duré más de nueve años es de 2.28%. 9. El número promedio de accidentes laborales en un determinado polígono industrial donde hay muchas empresas ha sido durante el año pasado de 3 por hora trabajada. Las empresas de dicho polígono conciertan un servicio sanitario de urgencias, situado en el propio polígono, que puede atender a un número máximo de 4 trabajadores a la vez. a) ¿Cuál es la probabilidad de atender en dicho servicio durante una determinada hora o más de dos trabajadores accidentados?b) ¿El servicio concertado tendría la capacidad de asegurar la atención de un número suficiente de accidentes con al menos una probabilidad del 95%? SOLUCION: Definimos la variable aleatoria X como número de accidentes laborales en una hora, X sigue una distribución de Poisson de media 3. a) P(X > 2) = 1 - P(X ≤ b) P(X

≤

x)

≥

2) = 1 – 0.4232 = 0.5768

0.95, esto da como solución x= 6, por lo tanto no puede

asegurar la asistencia con la probabilidad deseada. 10. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta al examen obtenga una calificación superior a 72? b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84? SOLUCION: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta al examen obtenga una calificación superior a 72?

µ; σ x N =¿ ) = (78; 36) P ( x >72 )=1−P(x ≤ 72)


P ( x >72 )=1−P(z ≤

72−78 ) 6

z ≤−1 P ( x >72 )=1−P ¿ ) Utilizando la tabla de distribución normal, se tiene: P ( x >72 )=1−0.1587 P ( x >72 )=0 .8413 b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Primero debo hallar

P ( x >84 )

P ( x >84 )=1−P ( x ≤ 84) P ( x >84 )=1−P ( z ≤

84−78 ) 6

z≤ 1 P ( x >84 )=1−P ¿ )

Utilizando la tabla de distribución normal, se tiene: P ( x >84 )=1−¿ 0.8413 P ( x >84 )=¿ 0.1587 Se sabe que : P ( x >72 )=0.8413 Entonces, lo pedido en la pregunta es lo siguiente: P

( BA )

Esto es la probabilidad condicional donde se quiere hallar la probabilidad del evento B puesto que ya ocurrió el evento A. Donde: Evento A = P ( x >72 )=0.8413 Evento B = P

P ( x >84 )=¿ 0.1587

P (B ∩ A ) B 0.1587 = = 0.8413 =0 .1886 A P(A)

( )


11. El tiempo de vida útil, en días de frascos de cierta medicina es una variable aleatoria X que tiene la función de densidad.

{

k , x> 0 f ( x )= (x +100)3 0 , en los demas valores a) ¿Cuál debe ser el valor de k, para que f sea función de densidad de probabilidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga una vida útil de al menos de 200 días? a ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga cualquier duración entre 80 y 120 días? SOLUCION: Para que f sea una función de densidad de probabilidad se debe cumplir que: ∫ f ( s ) . dx=1 En este caso: ∞

∫ 0

k . dx 3 ( x+100 )

Resolviendo esa integral se tiene que :k =20000

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga una vida útil de al menos de 200 días? Se debe de hallar:

P(x ≥ 200)

P ( x ≥200 )=1−P ( x <200 ) ∞

20000 . dx 3 200 (x+100)

P ( x ≥200 )=∫

Resolviendo: P ( x ≥200 )=0 . 111 d) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga cualquier duración entre 80 y 120 días?


P(80< x <120)

Se debe hallar:

120

P ( 80< x< 120 )=∫ 80

Resolviendo:

20000 . dx (x+100)3

P ( 80< x< 120 )=0.102

¿Cuál es la vida media de los frascos de esta medicina? La vida media de los frascos de medicina está dado por: ∞

E ( x )=∫ x . 0

20000 .dx 3 (x+ 100)

Resolviendo :

E ( x )=100

Entonces la vida media de los frascos de medicina será de 100 años. 12. La altura de los estudiantes en una universidad es una variable aleatoria normal con parámetros µ=1.75m y σ =10cm = 0.1m, calcule la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga una altura en el intervalo (µ;µ+ σ ). SOLUCION: µ; σ x N =¿ ) = (1.75; 0.1) Como me pide hallar la probabilidad de x en el intervalo (µ; µ+ (1.75; 1.85) Entonces lo que pide hallar será: P (1.75 ≤ x ≤ 1.85 )=P

P(1.75 ≤ x ≤1.85)

1.85−1.75 ≤z ≤ ( 1.75−1.75 ) 0.1 0.1

P (1.75 ≤ x ≤ 1.85 )=P ( 0 ≤ z ≤1 ) Utilizando la tabla de distribución normal, resuelvo:

P (1 . 75≤ x ≤ 1 .85 )=0 . 3413

σ ) igual a

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil 13. El error en la temperatura de reacción, en grados centígrados, para un experimento de laboratorio controlado es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

 x 2 / 3,  1  x  2

f ( x)  

0, en otro caso 

a) Verifique la propiedad a. b) Encuentre la probabilidad de que X tome un valor entre 0 y 1.

Solución:

2

x

a)

2

2

/ 3 dx  x 3 / 9

1

1

1

1

x b) P(0 < x < 1) =

/ 3 dx  1 / 9

2

0

14. El tiempo necesario, en milisegundos, para completar una reacción química está aproximado por la siguiente función de distribución acumulada:

0, x  0 

F ( x)  

 0.01x ,x0  1 e

Calcule la función de densidad de probabilidad de X. ¿Qué proporción de las reacciones están completas en 200 milisegundos?

Solución:

0, x  0  0.01x ,x0  0.01e 

f ( x)   Al derivar:

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil -2 P(x < 200) = F(200) = 1 – e = 0.8647

15. Cierta máquina fabrica resistores eléctricos que tienen una resistencia promedio de 25 ohmios y una desviación estándar de 3.2 ohmios. La resistencia tiene una distribución normal. a) b) c) d)

¿Qué porcentaje de los resistores tendrán una resistencia inferior a 16 ohmios? ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia superior a 35 ohmios? ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia entre 20 y 32 ohmios? ¿Por encima de qué valor está el 10% de los resistores con mayor resistencia? Solución:

16  25   a ) P( X  16)  P Z    P( Z  2.81)  0.0025 3.2  

Lo que implica que el 0.25% de los resistores tienen una resistencia inferior a 16 ohmios.

35  25   b) P( X  35)  P Z    P( Z  3.13)  1  P( Z  3.13)  1  0.9991  0.0009 3.2  

Por lo tanto, el 0.09% de los resistores tienen una resistencia superior a 35 ohmios.

32  25   20  25 Z   P (1.56  Z  2.19) 3.2   3 .2

c )P ( 20  X  32)  P

 P ( Z  2.19)  P ( Z  1.56)  0.9857  0.0594  0.9263

Por lo tanto, el 92.6% de los resistores tiene una resistencia entre 20 y 32 ohmios.


d ) P( Z  z )  1  0.1  0.9  De la tabla : z  1.28

z

x  x    z  25  1.28(3.2)  29.10 ohmios 

16. Las lesiones laborales graves que ocurren en una planta siderúrgica, tiene una media anual de 2,7. Dado que las condiciones de seguridad serán iguales en la planta durante el próximo año. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lesiones graves sea menor que dos? SOLUCION: El evento de que ocurrirán menos de dos lesiones graves, es el evento que x=0 o bien x=1, por lo tanto: 2,7 ¿ ¿ ¿ x . e−2,7 ¿ P ( x <2 )= p ( 0 )+ p ( 1 ) en donde , p ( x ) =¿

Sustituyendo en la fórmula para p(x), obtenemos: 0

P ( x <2 )=P ( 0 )+ P ( 1 )=

1

(2,7) .0,067206 (2,7) .0,067206 + =0,249 0! 1!

Por lo tanto, la probabilidad de que haya menos de dos lesiones laborales graves el próximo año en la planta siderúrgica es 0,249.

17. Supongamos que tenemos un hospital con 20 máquinas de diálisis renal y que la probabilidad de que una de ellas no funcione bien durante un día cualquiera es de 0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 queden fuera de servicio en un mismo día? SOLUCIÓN:


n=20 P=0,02 x =3 q=1− p

Solución de problema bajo dos enfoques: 

Enfoque de Poisson

P ( x )= 

(n . p)n .e−n . p (20.0,02)3 . e−20.0,02 = =0,00715 x! 3!

Enfoque Binomial

P ( x )=

[

]

[

]

n! 20 ! . ( p x . qn −x )= . ( 0,023 . 0,9820−3 ) ( n−x ) ! ( 20−3 ) !

P ( x )=0.0065

Reflexión: Como se aprecia en ella la diferencia entre las dos distribuciones de probabilidad es inane (apenas cerca del 10% de error). 18. Sabiendo que a una central telefónica llegan en promedio 4 llamadas cada 3 minutos, calcular las siguientes probabilidades: γ=

E( x ) 4 = t 3

a) Que lleguen por lo menos una llamada el próximo minuto. b) Que lleguen menos de 12 llamadas durante un lapso de 10 minutos. c) Que lleguen más de 40 llamadas durante un cuarto de hora. SOLUCIÓN: a) Que lleguen por lo menos una llamada el próximo minuto. γ 1 x . e−γ P ( x ≥1 ) =1−P ( x=0 ) =1− x! En el próximo instante, t=4 γ 1=γ .4= Entonces:

16 3

1

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil 0

16 .e 3 P ( x ≥1 ) =1− 0!

( )

−16 3

=1−e

−16 3

=0,9952

b) Que lleguen menos de 12 llamadas durante un lapso de 10 minutos. En el próximo instante, t=10 γ 1=γ .10=

40 3

Ahora: (utilizaremos tabla de Poisson) P ( x <12 )=P ( x=11 )+ ( x =10 ) +…+ ( x=0 )=0,3202

c) Que lleguen más de 40 llamadas durante un cuarto de hora. En el próximo instante, t=15 γ 1=γ .15=20 Ahora: (utilizaremos tabla de Poisson) P ( x > 40 )=¿ 1−P ( x ≤ 39 )=1−[ P ( x =39 ) + P ( x=38 )+ …+ P(x=0) ] ≅ 0 19. sea X la variable aleatoria cuya función de densidad es xє [ −1; 1 ]

y 0 fuera de dicho intervalo. Se pide:

{

f ( x )= a+bx ; xє [ −1; 1 ] 0 ; resto 1. Calcular a y b sabiendo que

E [ x ]=

1 6

2. Calcular la varianza 3. Calcular la función de distribución de la variable X 4. Calcular la mediana de X SOLUCIÓN: 1. Calcular a y b sabiendo que

E [ x ]=

1 6

f ( x )=a+ bx

si


E [ x ]=∫ xf ( x) dx

Entonces reemplazamos: 1

E [ x ]=∫ x (a+ bx)dx= −1

1 6

Resolviendo la integral: b=

1 4

Luego usando la función de densidad: ∞

1=∫ f ( x ) dx −∞ 1

( 4x ) dx

1=∫ a+ −1

Resolviendo la integral: a=

1 2

Por lo tanto la función de densidad queda de la siguiente forma:

{

1 x f ( x )= 2 + 4 ; xє [ −1; 1 ] 0 ; resto 2. Calcular la varianza: var ( x )=E [ x 2 ] −u2 1

E [ x ] =∫ x2 f ( x)dx 2

−1

;

u=E [ x ] =

1 6


E [ x ] =∫ x2 2

−1

( 12 + x4 ) dx

Resolviendo la integral: E [ x2 ] =

1 3

Reemplazando en nuestra primera ecuación: var ( x )=E [ x 2 ] −u2 2

1 1 var ( x )= −( ) 3 6 var ( x )=

11 =0.306 36

3. Calcular la función de distribución de la variable X: Para hallar la función de distribución acumulativa debemos integrar la función de densidad que tenemos:

{

1 x f ( x )= 2 + 4 ; xє [ −1; 1 ] 0 ; resto Entonces:

1 x F ( x )=∫ ( + )dx 2 4 F ( x )=0, si x <−1 y F ( x )=1, si x ≥ 1 x

1 t Si−1≤ x ≤ 1, F ( x )=∫ ( + ) dt −1 2 4 Luego:

{

0, si x <−1 2 F( x )= x + x , si−1≤ x ≤ 1 2 8 1, si x> 1 4. Calcular la mediana de X: F ( Me )=P [ X ≤ Me ] =0.5 2

x x F ( Me )= + =0.5 2 8


Me=0.838

20. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es:

{

3 f ( x )= x+ ax ; xє [ 0 ; 1 ] 0 ; resto

a) b) c) d)

Encontrar el valor de la constante a Hallar la media y la varianza de X. Hallar la función de distribución de X. Hallar la mediana de X

SOLUCIÓN: a) Encontrar el valor de la constante a: 1

f ( x )=∫ ( x+ ax3 ) dx=1 0

Integrando se obtiene: a=2

{

3 f ( x )= x+ 2 x ; xє [ 0 ; 1 ] 0 ; resto

Entonces:

b) Hallar la media y la varianza de X. 1

u=E [ x ] =∫ x (x+ 2 x 3 )dx

La media: 3

0

5

x 2x 1 u=E [ x ] = + 3 5 0

u=E [ x ] =

|

11 15

La varianza:

var ( x )=E [ x 2 ]−u2 1

Primeramente hallamos

E [ x ] =∫ x2 ( x +2 x3 ) dx

E [ x2 ] =

2

0

7 12


var ( x )=E [ x 2 ] −u2 2

var ( x )=

7 11 −( ) 12 15

var ( x )=

41 =0.0456 900

c) Hallar la función de distribución de X. Debemos integrar la función de densidad: 3 F ( x )=∫ ( x +2 x ) dx F ( x )=0, si x <0 y F ( x ) =1, si x ≥1 x

Si−1≤ x ≤ 1, F ( x )=∫ (t+ 2t 3)dt −1

{

0, si x< 0 4 F( x )= x + x , si 0≤ x ≤ 1 2 2 1, si x> 1 2

d) Hallar la mediana de X: F ( Me )=P [ X ≤ Me ] =0.5 F ( Me )=

x2 x 4 + =0.5 2 2

Me=0.786

3

21. Para la distribución

f ( x )=

4x 65

defina en el intervalo

E [ 3 x 2−2 x +1 ] .

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades: E( y )=E [ 3 x 2−2 x +1 ] =3 E [ x 2 ] −2 E [ x ] +1 Hallando:

E [x ]

y

E [ x2 ]

[ 2,3 ] , hallar la


E [ x ]=∫ xf ( x) dx 2

3

E [ x ]=∫ x ( 2

4 3 x )dx 65

E [ x ]=¿ 2.597 3

E [ x2 ] =∫ x2 f ( x) dx 2

3

E [ x ] =∫ x2 ( 2

2

4 3 x )dx 65

E [ x2 ] =6.821

Luego remplazando:

E ( y )=3 ( 6.821 )−2 ( 2.597 ) +1 E ( y )=16.269

22. El 20% de los trabajadores de una empresa ir a la huelga. Se seleccionan 5 trabajadores de dicha empresa. Obtenga el modelo de probabilidad que sigue la variable X = ‘’Número de asistentes a la huelga entre los 5 seleccionados. ’’ a) Probabilidad de que al menos 3 vayan a la huelga. b) Probabilidad de que todos vayan a la huelga. c) Probabilidad de que no vaya ninguno. SOLUCIÓN: a) La probabilidad de que al menos vayan 3 es: P ( X ≥ 3) =

P ( X =3 ) + P ( X=4 )+ P ( X =5 ) P ( X =0 ) + P ( X=1 ) + P ( X =2 )+ P ( X=3 ) + P ( X =4 )+ P ( X=5 )

P ( X ≥ 3) =

C 53 +C 54 +C 55 C 53 +C54 +C55 = C 50 +C51 +C 52 +C53 +C 54 +C 55 25


5! 5! 5! + + 3 ! ( 5−3 ) ! 4 ! ( 5−4 ) ! 5 ! ( 5−5 ) ! P ( X ≥ 3)= 25 P ( X ≥ 3) =

10+5+ 1 =0.5 32

b) La probabilidad de que todos vayan a la huelga es: 5

P ( X=5 ) =

C5 2

5

=

1 =0.03125 32

c) La probabilidad de que ninguno vaya a la huelga es: P ( X=0 )=

C50 1 = =0.03125 25 32

23. El número medio de accidentes ocurridos en una planta petrolera es de 2 accidentes en 2 meses. a) ¿Qué modelo sigue la variable número de accidentes ocurridos en la por 2 meses? b) Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 2 meses. c) Probabilidad de que haya entre 2 y 8 inclusive, en 2 meses. d) Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 1 mes. SOLUCIÓN: a) La variable definida sigue un modelo Poisson de parámetro X → P(2)

λ=2 .


b) Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 2 meses. P ( X >2 )=1−P ( X ≤ 2 ) P ( X >2 )=1−[ P ( X =0 ) + P ( X =1 )+ P ( X =2 ) ]

[

P ( X >2 )=1−

−2

0

1

−2

−2

2

e ×2 e × 2 e ×2 + + 0! 1! 2!

]

P ( X >2 )=1−0,6767=0,3233 c) Probabilidad de que haya entre 2 y 8 inclusive, en 2 meses. P (2 ≤ X ≤8 )=P ( X ≤8 )−P(X < 2) 8

1

e−2 × 2k e−2 ×2k P (2 ≤ X ≤8 )=∑ −∑ k! k! k=0 k=0 8

P (2 ≤ X ≤8 )=∑ k=2

e−2 ×2 k =0,5938 k!

d) Probabilidad de que haya más de 2 accidentes en 1 mes. La variable Y definida sigue un modelo Poisson de parámetro λ=1 . Y → P(1)

P (Y > 2 )=1−P(Y ≤ 2) P (Y > 2 )=1−[P ( Y =0 ) + P (Y =1 ) + P (Y =2 ) ]


P (Y > 2 )=1−

[

−1

0

−1

1

−1

e × 1 e ×1 e × 1 + + 0! 1! 2!

2

]

P (Y > 2 )=1−0,9197=0,0803 24. En una ciudad el 13% de los ciudadanos acude a un mitin. Se ha obtenido una muestra de 250 ciudadanos en dicha ciudad. ¿Qué modelo sigue la variable X = Número de ciudadanos que acuden al mitin entre los 250 seleccionados? a) Esperanza y varianza de la variable. b) Probabilidad de que más de 20 asista al mitin. c) Probabilidad de que entre 20 y 80 inclusive, asista al mitin. d) Probabilidad de que menos de la mitad acuda al mitin. SOLUCIÓN: La variable definida sigue un modelo binomial que se aproxima a normal. a) La esperanza matemática de la variable es: E ( X )=μ=np μ=250 × 0,13=32,5

La varianza de la variable es: V ( X )=σ 2=np(1−q) 2

σ =250× 0,13 ×0,87=28,275 , σ=5,3174 b) La probabilidad de que asistan más de 20 al mitin es: P [ X> 20−0,5 ] =P [ X > 19,5 ] z=

[

X−μ → z N (0,1) σ

P z>

]

19−32.5 =P [ z >−2,54 ]=P [ z ≤ 2,54 ] 5.3174

P (2,54 )=0,9945 c) Probabilidad de que entre 20 y 80 inclusive, asista al mitin.


P [ 20−0,5 ≤ X ≤ 80+ 0,5 ] =P [ 19,5 ≤ X ≤80,5 ] z=

P

[

X−μ → z N (0,1) σ

]

19,5−32.5 80,5−32.5 ≤ z≤ =P [ −2,54 ≤ z ≤9,03 ] 5.3174 5.3174

P [ z ≤9,03 ] −P [ z ≥−2,54 ] =P [ z ≤ 9,03 ] −P [ z ≤ 2,54 ] P ( 9,03 )−P ( 2,54 ) =1−0,9945=0,0055 d) Probabilidad de que menos de la mitad acuda al mitin. P [ X< 125−0,5 ] =P [ X <124,5 ] z=

X−μ → z N (0,1) σ

[

P z<

]

124,5−32.5 =P [ z ≤17,30 ] 5.3174

P (17,30 )=1 25. Para establecer el precio a pagar por cada litro de leche, se ha tenido en cuenta el contenido de materia grasa por litro de leche. Se consideraron 3 categorías: Categoría 1: contenido en materia grasa inferior a 4% Categoría 2: contenido en materia grasa entre 4% y el 5% Categoría 3: contenido en materia grasa superior al 5% Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por litro de leche procesado por esta empresa es una variable aleatoria X con función de densidad: f ( x )=

{

2 ( 6−x ) , si 3< x <6 9 0, si x ∉(3,6)

Sabiendo que el precio del litro de leche pagado por una empresa es de 3 $ para la categoría 1; 3,5$ para la categoría 2 y 4$ para la categoría 3, obténgase el precio medio del litro de leche pagado por la empresa láctea.


SOLUCIÓN: Sean los sucesos: Ai: “pertenecer a la categoría i”; i = 1, 2, 3. Definimos la v.a.: Y: “precio pagado por cada litro de leche” Se quiere calcular E(Y); para lo cual se necesita conocer la f.d.p. de la v.a. Y. 4

ρ1=P ( A1 ) =∫ 3 5

ρ2=P ( A2 ) =∫ 4 6

ρ3=P ( A3 ) =∫ 5

2 ( 6−x ) 5 dx= 9 9 2 ( 6−x ) 3 dx= 9 9 2 ( 6−x ) 1 dx= 9 9

Entonces: E ( Y )=3 ρ1 +3.5 ρ2 +4 ρ3=3.27 $

26. Sea

f

la función definida por:

{

f ( x )= 2 (1−x ) , si0 ≤ x ≤ 1 0, si x <0 ó x >1 Comprobar que cumple las condiciones para ser una función de densidad de probabilidad. Si X es una variable aleatoria cuya función densidad es f , calcular: 1.

P( X > 0.5)

2.

P ( 0.5< X <0.75 )

3.

P( X > 0.75 X >0.5)

4.

E [ X ] y σ X2

SOLUCIÓN:


Las condiciones que debe cumplir una función para ser una densidad de probabilidad, comprobaremos que f(x) las cumple; primero, si 0 ≤ x ≤1 , se tiene 2(1−x )≥ 0

luego se tiene

f (x) ≥0

para todo

pocos cálculos nos muestran que la integral de

0

1

f ( x)

x ∈ R ; segundo, unos

es igual a uno.

∞

f ( x ) dx=¿ ∫ 0 dx +∫ 2 ( 1−x ) dx+∫ 0 dx 0

−∞

1

∞

∫¿ −∞ 1

¿∫ 2 ( 1−x ) dx 0

Ahora, una función primitiva de

2(1−x ) es

−(1−x )2 , ya que se tiene:

∫ 2 ( 1−x ) dx=−2∫−( 1−x ) dx ( 1−x )2 −2 =−(1−x)2 2 Y resulta

1

∫ 2 ( 1−x ) dx=−(1−x )210=1 0

1. Aplicamos formula: ∞

P ( X >0.5 )=∫ f ( x ) dx 0.5

1

¿ ∫ 2 ( 1−x ) dx 0.5

¿−(1−x )210.5=0.52 =0.25


2. Calculamos con la formula anterior: 0.75

P(0.5< X <0.75)= ∫ f (x)dx 0.5

0.75

¿ ∫ 2 (1−x ) dx 0.5

2 2 ¿−(1−x )20.75 0.5 =0.5 −0.75 =0.1875

3. Como consecuencia de la definición de probabilidad condicionada, para calcular P(X > 0.75, X > 0.5) , necesitamos conocer

P( X > 0.5) , que ya calculamos en

el apartado 1. Y

P ( { X >0.75 } ∩ { X > 0.5 } )=P ( X >0.75 ) , que se calcula de manera similar ∞

P( X > 0.75)= ∫ f ( x)dx 0.75

1

¿ ∫ 2 (1−x ) dx 0.75

¿−(1−x )210.75=0.752=0.0625

Se sigue: P ( X >0.75/ X > 0.5 )=

P ( X >0.75 ) 0.0625 = =0.25 0.25 P( X >0.5)

4. El concepto y cálculo del valor esperado de una variable continua X se explica en el apartado 2.1.4; en este caso, el valor a calcular es: 1

1

E [ X ] =∫ 2 x ( 1−x ) dx=2∫ ( x−x 2 ) dx 0

x21 2 x3 1 ¿ − 20 3 0 2 1 ¿ 1− = 3 3

0


Para calcular la varianza lo mejor es emplear la fórmula 2.14, para ello calculamos el momento de segundo orden: 1

1

E [ x2 ] =∫ x2 2 ( 1−x ) dx=2∫ ( x 2−x 3 ) dx 0

0

2 x3 1 2 x4 1 ¿ − 3 0 4 0 2 1 1 ¿ − = 3 2 6 Ahora, el cálculo de la varianza es igual a: 1 12 1 σ = − = 6 3 18 2 x

27. Una variable aleatoria X tiene función de distribución definida por:

{

0, si x <0 F( x )= x , si 0 ≤ x<1 1, si x ≥ 1 2

1. Representar gráficamente

F(x)

2. Comprobar que es una función de distribución. 3. Calcular

1 P(0 ≤ X ≤ ) 4

4. ¿Tiene función de densidad esta función de distribución?

SOLUCIÓN: 1. La gráfica de F(x) es:


F (x)

2. Resulta casi inmediato verificar que cumple las tres condiciones de la caracterización de las funciones de distribución, es una función no de creciente, continua por la derecha y F(x )→ 0 cuando x →−∞ y F( x )→ 1 cuando x → ∞ .

3. Para calcular

1 P(0 ≤ X ≤ ) , comenzaremos por expresarla en unos 4

términos que sean adecuados para introducir la función de distribución; así, ponemos: P(0 ≤ X ≤1/ 4)=P(X =0)+ P(0< X ≤ 1/4 )

La probabilidad

P(X =0) es igual al tamaño del salto en

x=0

que, por ser

continua en ese punto, será igual a cero

0−¿=0−0 P( X =0)=F (0)−F ¿ ;

También se tiene: P(0< X ≤ 1/4 )=F(1 / 4)−F (0)= En resumen, se tiene

1 16

P(0 ≤ X ≤1/ 4)=1/16.

4. La candidata a ser función de densidad es la derivada existe en todos los puntos salvo en

{

0, si x<0 ' F (x )= 2 x , si 0≤ x <1 1, si x ≥ 1

x=1 ; se tiene:

F '( x ) que

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil ∞

1

∫ F ( x ) dx=∫ 2 x dx=x210 =1 '

0

−∞

Luego

F'

es la densidad de F .

28. La urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas. Se extrae aleatoriamente tres bolas de la urna, sucesivamente sin reposición. Determinar la probabilidad que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca. SOLUCIÓN: Total=n=10 bolas P ( A )=P(1 ° R) xP(2 ° R) xP (3 ° B) Explicación: En la primera sacada los eventos deseados serian 7 rojas y el

n ( Ω )=10

En la segunda sacada los eventos deseados serian 6 rojas, puesto que se ha sacado 1 bola de la urna. Así como el espacio muestral se ha reducido n ( Ω )=9 En la tercera sacada los eventos deseados serian 3 azules y el espacio muestral se ha reducido nuevamente y será: n ( Ω )=8

P ( A )=

7 6 3 x x =0.175 10 9 8

29. Un aparato electrónico consta de dos partes. La probabilidad que falle la primera es 0.20, que fallen las dos partes es 0.15 y de que falle sólo la segunda parte es 0.45. Calcular la probabilidad que: a. Falle sólo la primera parte. b. Falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda. SOLUCIÓN: a. Falle sólo la primera parte:

B

A 0.2 0.1 0 0.20 5

0.4 5


P ( A−B )=0.20−0.15 P ( A−B )=0.05 b. Falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda: Falle B (B)

´ No Falle B ( B )

TOTAL

Falle A (A)

´ No Falle A ( A )

0.15 0.30

0.05 0.30

0.20 0.60

TOTAL

0.45

0.55

1

P ( A /B )=

P ( B∩ A ) P (B)

P ( A /B )=

0.15 0.45

P ( A /B )=

1 3

30. En un lote de 20 televisores se sabe que hay 5 defectuosos. Se extrae al azar una muestra de tres televisores sin reposición. Hallar la probabilidad que la muestra contenga: a) b) c) d)

0 defectuosos 1 defectuosos 2 defectuosos 3 defectuosos

SOLUCIÓN: El espacio muestral (Ω) = 20 televisores A: defectuosos = 5 B: No defectuosos= 15 → muestra de 3 televisores sin reposición  Por teoría sabemos: Definición de una Distribución Hipergeométrica N−r Cn−k f ( k )=P ( x =k )=C x N , K =0,1,2, … … , n Cn r k


   

n= elementos escogidos al azar R= Fracasos N= conjunto de Elemento K el evento [x=K] ocurre, si y solo si, en las n Extracciones sucesivas sin reposición ocurre k éxitos.

Con nuestros datos sabemos que:    

N=20 R=5 n=3 K=0, 1, 2, 3

a) 0 defectuosos

P [ x=0 ] =

¿

5 0

20−5 3−0 20 3

C .C C

5! 15 ! . 5 ! 0 ! 12 ! x 3 ! 1 x 17 ! x 3 ! x 15 ! = = 20! 20 ! x 12 ! x 3 ! 17 ! .3 !

15 x 14 x 13 =0,399122807 20 x 19 x 18

b) 1 defectuoso

P [ x=1 ]=

5 1

20−5 3−1 20 3

C xC C

5! 15! x 4 ! x 1 ! 13 ! x 2 ! 5 x 15 x 7 = = =0,4605263158 20! 20 x 19 x 3 17 ! x 3

c) 2 defectuosos

P [ x=2 ] =

C 52 x C20−5 3−3 C20 3

5! 15 ! x 2 ! 3 ! 15 ! x 0 ! 10 x 15 = = =0,1315789474 20 ! 20 x 19 x 3 17! x 3 !


d) 3 defectuosos 15! 15! x 0 5! 10 x 1 1 ¿ x = = =8,771929825 x 10−3 2!3! 20! 20 x 19 x 3 114 17 ! x 3 ! C53 x C 20−5 3−3 P [ x =3 ] = =¿ 20 C3 Respuesta: 0,399122807



0 defectuosos la probabilidad es de

 

1 defectuosos la probabilidad es de 0,4605263158 2 defectuosos la probabilidad es de 0,1315789474



3 defectuosos la probabilidad es de

−3

8,771929825 x 10

31. Cuando se acerque un tren, un operador de la estación apretara un botón con una probabilidad de 0.95. Si él aprieta el botón, el interruptor opera con una probabilidad de 0.99. Si el interruptor opera, sonara una alarma con probabilidad de 0.9 ¿cuál es la probabilidad de que la alarma suene? SOLUCIÓN: Si indicamos por A el evento de que suene la alarma, nos preguntan la probabilidad P(A), la cual no involucra ninguna probabilidad condicional. Analizamos que para que ésta suene se debe realizar una secuencia de etapas encadenadas o enlazadas, una después de otra: Primero, habrá que activar el circuito oprimiendo un botón, después, que el interruptor opere y por último, que la alarma suene. Por tal razón, el evento de que suene la alarma está determinado por la intersección de tres eventos A 1 , A 2 , A3 que deben ocurrir en tres etapas secuenciales, o sea evento A se puede indicar por

A= A 1 ∩ A 2 ∩ A3

.

1. Aquí el operador oprime un botón o no lo oprime. si llamamos por A el evento de apretarlo, nos indican que P ( A 1 )=0.95 y por lo tanto P ( A c1 ) =0.05 2. El interruptor puede operar o no operar, aún si en el experimento anterior ocurrió el evento A 1 . Indicado por A 2 , el evento de que el circuito funcione correctamente y con

c

A2

el que no opere, podemos


representar simbólicamente el dato de que el circuito opera con una probabilidad de 0.99 cuando se aprieta el botón como sigue: P ( A 2 / A 1 )=0.99 ; P ( AC2 / A1 ) =0.01

A3

3. Si

indica que la bocina operó correctamente, el dato de que hay

una probabilidad de 0.9 de que suene la bocina dado que el circuito operó (y que también se apretó el botón), significa A 1 , A 2 y A 3 quedará claro que

Con la descripción anterior de A= A 1 ∩ A 2 ∩ A3 Y por lo tanto P( A)=P( A 1 ∩ A2 ∩ A3 )

Ahora recurrimos a la ley de la cadena para expresar la probabilidad de la intersección P( A1 ∩ A 2 ∩ A 3)=P( A 1 ) x P

A2 A3 xP A1 A 1 ∩ A2

( ) (

)

Que se puede mostrar probabilidad fácilmente a partir de condicional de A 3 dado A 1 y A2 : P

(

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A3 ) A3 = A1∩ A2 P ( A 1 ∩ A 2)

)

Despejando la probabilidad de la intersección de los tres eventos resulta P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A3 ) =P ( A 1 ∩ A 2 ) x P

(

A3 A1∩ A2

)

Recurrimos nuevamente a la ley de la cadena para intersección de dos eventos P ( A 1 ∩ A 2 )=P ( A 1 ) xP

A2 A1

( )

con lo que resulta


P( A)=P ( A1 ∩ A 2 ∩ A 3 )=P ( A1 ) xP

A2 A3 xP A1 A1 ∩ A 2

( ) (

)

0.95 x 0.99 x 0.9=0.84645

Respuesta:  La probabilidad de que suene la alarma es de

0.84645

32. Suponga que cierta factoría produce tres productos designados por A, B y C. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un producto defectuosos A, si se sabe que el 30% de los productos producidos en la factoría A y 5% de los productos A son defectuosos? SOLUCIÓN: Datos A= productos A D=productos defectuosos de A Se busca: P ( A ∩ D )=? ? Se sabe que:

P( A)=30

P

( DA )=5

P

( DA )= P (P(A ∩A)D )

( A ) =P ( A ∩ D ) (⏟DA ) . P⏟ P

5 . 30 =P ( A ∩ D ) → P ( A ∩ D )=0.015 33. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extrae al azar y sucesivamente dos bolas, sabiendo que la primera bola extraída es


blanca; ¿Cuál es la probabilidad que la segunda bola extraída también se blanca? SOLUCIÓN: Datos  

3 bolas blancas 5 bolas negras

Se busca: P( B)=¿ Sacar sucesivamente 2 bolas blancas

P (B)=

C 31 x C21 3 x 2 = =0.107142857 8 x7 V 82

34. En una urna hay 8 bolas enumeradas de 1 a 8, se extraen al azar y sucesivamente 3 bolas. a) ¿Cuál es la probabilidad que sean las tres pares? b) ¿Cuál es la probabilidad que sean tres números consecutivos? SOLUCIÓN: a. Probabilidad de que las tres bolas sean pares Datos: Bolas enumeradas del 1 al 8 → 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 A: 2, 4, 6,8 P ( A )=

V 43 4 x 3 x 2 = =0.071428571 V 83 8 x 7 x 6

P ( A )=0.071428571 b. Probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean números consecutivos B={ 123 ; 234 ; 345 ; 456 ; 567 ; 678 } P (B)=

5 5 = =0.089285714 8 C3 8 x 7 x 6 1 x2 x3

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil Problema 35: En una urna existen 3 bolas rojas, 6 blancas, 4 verdes y 2 negras. Determine Ud. la probabilidad de que al elegir 3 bolas al azar: a) ellas no resulten del mismo color. b) ellas resulten del mismo color SOL: Si: P (M)= probabilidad que resulten del mismo color P (N)= probabilidad que no resulten del mismo color Sabemos que:

P ( N )=1−P( M ) Hallamos la probabilidad que resulten del mismo color “P (M)”

P ( M ) =P ( rojas ) + P ( blanca ) + P ( verdes )+ P (negras)

P (M )=

3 2 1 6 5 4 4 3 2 + + +0 15 14 13 15 14 13 15 14 13

P (M )=

6 120 24 + + +0 2730 2730 2730

P (M )=

15 273

( )

( )

( )

Hallamos la probabilidad que no resulten del mismo color “P (N)”

P ( N )=1−P ( M ) P ( N )=1−

15 273

P ( N )=0.94505 P ( N )=94.51 Rpta.

15 =0.054945=5.495 273

a)

P (M )=

b)

P ( M ) =94.51


Problema 36 En un lote de 10 válvulas hay dos válvulas defectuosas, si se prueban las válvulas una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que la ultima válvula defectuosa sea detectada en la tercera prueba? Sol: N=10 : total de válvulas r=2

: defectuosas (éxito)

n=3

: válvulas a probar

K=0, 1, 2 Por lo tanto: en la tercera prueba tendremos lo siguiente: N=8 r=1 n=1 K=0, 1

1 1 1 1 P ( x=1 )= = =0.142857=14.286 1 7 7 1

()

37. En una urna hay 2 bolas azules, 1 blanca y 3 rojas. Se van a extraer al azar 2 bolas. Calcule usted la probabilidad de que las dos bolas sean rojas o una blanca y la otra azul. SOLUCIÓN: URNA: 2 bolas azules, 1 blanca y 3 rojas. TOTAL= 6 bolas A) Las 2 bolas sean rojas o una blanca y otra azul


C32 C 11 x C21 3+2 5 1 P ( A )= 6 + = = = 15 15 3 C2 C 62

38. Un fabricante recibe el 45% de su material para un transistor de la compañía A, el 35% de la compañía B y el resto de la compañía C. Sabe por experiencia que el 1% del material de la compañía A será defectuoso, y que el 2% del material de la compañía B y C estará en malas condiciones también. En un lote que contiene material de las tres compañías hay mil transistores. ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor este defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que si un transistor estuviese defectuoso contase con material de la compañía B. SOLUCIÓN:

A

45%

D1%

( DA )=P ( A ∩ D )=0.45 x 0.01

P ( A ). P

COMPAÑÍA B 35% D P (B) . P =P ( B ∩ D ) =0.35 x 0.02 B

D 2%

( )

C P (C ) . P

20%

D 2%

( DC )=P ( C ∩ D )=0.20 x 0.02

P ( D )=P ( A ∩ D )+ P ( B∩ D )+ P (C ∩ D)

P ( D )=0.45 x 0.01+0.35 x 0.02+ 0.20 x 0.002=0.0155 P

x 0.02 =0.4516 ( BD )= P(PB∩(D)D) = 0.350.0155

39. Se desea formar una comisión que está formado por 6 hombres y 8 mujeres. Si se desea formar una comisión integrada por 4 delegados con igual representatividad; calcular: a) La probabilidad que la comisión sea mixta.


b) La probabilidad que la comisión esta integrada por 3 hombres y una mujer. SOLUCIÓN: 6 hombres y 8 mujeres TOTAL= 14 personas A) Que la comisión sea mixta C62 x C 82 15 x 28 P ( A )= = =0.4196 1001 C 14 4

B) Que la comisión este integrada por 3 hombres y 1 mujer. P (B)=

C 63 x C81 20 x 8 = =0.1598 1001 C 14 4

40. En una asignatura universitaria de primero asisten a clase 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban el 90% de los alumnos que asisten a clase y el 30% de los que no asisten. Se elige un alumno al azar. Calcular: a) La probabilidad de que haya aprobado b) Si se sabe que el alumno ha desaprobado, la probabilidad de que haya asistido a clase. SOLUCIÓN: S=asisten a la clase A= aprobar P ( S )=

100 2 = 150 3

P

A =30 S´

( )


P

P( A ∩ ´S) P ( A / S´ )= P( S´ )

A =90 S

( )

P ( A /S )=

P (A ∩S ) P(S)

P ( A ∩ S´ )=P(

A ) × P( S´ ) S´

2 P ( A ∩ S )=0.9 × =0.6 3

1 P ( A ∩ S´ )=0.3 × =0.1 3

P ( A )=P ( A ∩ S )+ P(A ∩ S´ ) a) P(A) = 0.7 b)

´ ´ )= P( S ∩ A ) P( S / A ´) P( A ´ ) + P(S ∩ A ) P ( S )=P ( S ∩ A

´ )= (0.2/3) =0.22 P( S / A 0.3

´ )=P ( S )−P( S ∩ A) P( S ∩ A

´ )=0.1 × P( S ∩ A

2 3

41. El volumen de producción de dos plantas de una empresa es de 8000 y 10000 unidades de producto por día. El porcentaje de piezas defectuosas es de 0.5% en la primera fábrica y del 0.8% en la segunda. Calcular la probabilidad de que al elegir un producto al azar sea defectuoso. SOLUCIÓN: 8000 18000 A Empresas

0.5%


(Ω=18000)

B P ( A ∩ D )=P ( A ) × P

P ( A ∩ D )=

0.8%

( DA )

8 ×0.5 18

P ( B ∩ D )=P ( B ) × P

P ( B ∩ D )=

10000 18000

( DB )

10 × 0.8 18

P ( D )=P ( A ∩ D )+ P ( B∩ D ) P ( D )=0.002+0.0044 P ( D )=0.0066

42. Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma. Cada uno lanzada el dado a lo sumo una vez. Si el primero en lanzar saca un seis, gana y se acaba la partida; si no saca seis, lanza el segundo, que gana si obtiene un cuatro o un cinco, acabando la partida. Si tampoco gana este, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene tres, dos o uno. Aunque no gane el tercero, la partida se termina. Hallar la probabilidad que tuene cada uno de ganar y la probabilidad de que la partida termine sin ganador. SOLUCIÓN: A=gana saca 6 B=gana saca 4, 5 C=gana saca 3, 2, 1 a)

P ( A )=

1 6


b)

P

( BA )= 26 → P ( A ∩B )=P ( BA ) × P ( A ) 2 1 1 P ( A ∩ B)= × = 6 6 18

c)

P

( A C∩ B )= 36 → P ( A ∩ B ∩C )=P ( A C∩B )× P ( A ∩ B )

3 1 1 P ( A ∩ B ∩C )= × = 6 18 36 d) Termine sin ganador P ( D )=1−P ( A ∩B ∩C )=

35 36

43.- Las probabilidades de aprobar lengua son del 80%, las de aprobar matemáticas del 75% y las de aprobar ingles del 70%.Calcula: SOLUCIÓN: a) Las probabilidades de aprobar las tres asignaturas. Datos: A=Aprobar lengua

P(A)=80%

B=Aprobar matemáticas

P(B)=75%

C=Aprobar ingles

P(C)=70%

P ( A ∩ B ∩C )=P ( A ) xP ( B ) xP ( C ) P ( A ∩ B ∩C )=0.8 x 0.75 x 0.7 P ( A ∩ B ∩C )=0.42

b) La probabilidad de desaprobar solo una


´ ∩ B ∩C ) + P ( A ∩ B ´ ∩C ) + P( A ∩ B ∩ C) ´ P ( S 1 )=P ( A

´ A ¿ C A ¿ C A ¿ C´ P ( S 1 )=P ¿ P ( S 1 )=0.2 x 0.75 x 0.7+0.8 x 0.25 x 0.7+0.8 x 0.75 x 0.3 P ( S 1 )=0.105+0.14+ 0.18 P ( S 1 )=0.425

44.- Una bolsa contiene 2 bolas negras y 3 bolas blancas. Otra bolsa tiene 4 bolas negras y 2 bolas blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. Calcular la probabilidad de: Es un experimento compuesto, para analizarlo utilizamos un diagrama en árbol, etiquetando las ramas con las probabilidades condicionadas. SOLUCIÓN:

Denominamos los sucesos: B1 = La bola es de la bolsa 1 B2 = La bola es de la bolsa 2 N = La bola es negra B = La bola es blanca a) La bola es blanca y de la bolsa primera P ( B ∩ B1 )=P

( BB1 ) . P ( B 1)= 53 x 0.5=0.3

b) La bola es blanca P ( B ) =P ( B ∩B 1 ) + P ( B ∩ B 2 ) P ( B ) =P

( BB1 ) . P ( B1 )+ P ( BB2 ) . P ( B 2)


3 2 28 P ( B ) = x 0.5+ x 0.5= =0.46 5 6 60 c) Si la bola es negra, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la segunda bolsa? N . P ( B 2) ( B2) B2 P( = N ) N N P( . P ( B 1) + P( . P (B 2) B1) B2 ) P

4 x 0.5 B2 6 5 P = = =0.625 N 2 4 8 x 0.5+ x 0.5 5 6

( )

45.- El 30% de los estudiantes de un Instituto practica el fútbol, el 40% practica el baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Se elige un estudiante al azar. Calcula: Ordenando en un cuadro de doble entrada: SOLUCIÓN:

BALONCESTO NO BALONCESTO TOTAL

FUTBO L 10 20 30

NO FUTBOL

TOTAL

30 40 70

40 60 100

a) La probabilidad de que no juegue al futbol ni al baloncesto. 40 P ( F´ ∩ B´ )= =0.4 100 b) Si juega al futbol, ¿Cuál es la probabilidad de que juegue al baloncesto? P

( FB )= P(BP(F)∩ F) = 1030 = 13

c) ¿Son independientes jugar al futbol y al baloncesto? Debemos comprobar si se cumple:

P ( F ∩B )=P ( F ) xP ( B )


10 =0.3 x 0.4 30 0.10 ≠ 0.12 Por lo tanto, se comprueba que no son independientes. 46. Una bolsa contiene 2 bolas negras, 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Se extrae una bola de la bolsa, describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de: a) la bola es de color rojo. b) la bola no es negra. c) la bola es blanca o verde. SOLUCIÓN: El espacio muestral sería: E= { bolanegra ,bola blanca, bola roja ,bola verde } Hallamos las probabilidades pedidas: a) P(roja) = P(R ) =

4 14

=

4 14

C b) P(no negra) = P( N ) = 1-P(N) = 1 -

2 14

c) P(blanca o verde) = P(B U V) = P(B) + P(V) =

=

6 7 3 14

+

5 14

=

4 7

47. La clase de estadística tiene 35 estudiantes, 20 cursan la clase de matemáticas, 18 cursan la clase de economía y 10 cursan ambas materias. Encuentre la probabilidad de que, al seleccionar un estudiante al azar, el estudiante: a) curse economía o matemáticas. b) curse istración. c) ni curse matemática ni curse economía. d) curse economía pero no matemáticas. e) curse economía o matemáticas pero no ambas. SOLUCIÓN:


Sea:

E = estudiantes que cursan economía M = estudiantes que cursan matemáticas A = estudiantes que cursan istración

Hallamos las probabilidades pedidas: a) P(E U M) = P(E) + P(M) – P(A ∩ M) 18 35

P(E U M) =

20 35

-

10 35

7 35

=

=

4 5

7 35

b) P(A) = c) P( M

+

C

d) P(E ∩

∩

E

C

MC ) =

e) P((E U M) ∩

)=

1 5

8 35

(E ∩ M )C ) =

18 35

48. En un estudio realizado entre un grupo de profesionales se determinó el grado de escolaridad máximo alcanzado y el nivel de ingresos. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. Ingresos Escolarida d Bachiller Profesiona l Postgrado total

Altos

Medios

Total

27 38

Bajo s 5 16

18 26 9 53

15 80

9 30

33 163

50 80


Si se selecciona al azar a un profesionista, encuentre la probabilidad de que: a) Tenga ingresos altos y escolaridad máxima alcanzada de bachiller. b) Tenga ingresos altos. c) Tenga ingresos medios o escolaridad profesional. d) tenga ingresos bajos o medios. SOLUCIÓN: Sea:

IA

= ingresos altos

IM

= ingresos medios

IB

= ingresos bajos

EB

= escolaridad máxima alcanzada de bachiller.

E P = escolaridad profesional Hallamos las probabilidades pedidas con ayuda del cuadro: a) P( I A

∩

EB ) =

18 163

b) P( I A ) =

53 163

c) P( I M

U

E P ) = P( I M ) + P( E P ) – P( I M

P( I M

U

EP ) =

80 163

P( I M

U

EP ) =

122 163

d) P( I B

U

I M ) = P( I B ) + P( I M ) - P( I B

P( I B

U

IM ) =

30 163

P( I B

U

IM ) =

110 163

+

+

80 163

80 163

-

-

∩

EP )

38 163

0 163

∩

IM )


49) En un grupo de amigos el 80% están casados, Entre los casados, el 75% tiene trabajo. Finalmente, un 5% no están casados y tampoco tienen trabajo. a) ¿Qué porcentaje no tiene trabajo? b) Si uno tiene trabajo, ¿Que probabilidad hay de que este casado? c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tiene trabajo? Solución: Considerando nuestro espacio muestral Ω =100 grupo de amigos que se clasifican C (casados), NC (no casados), T (trabajan) y NT (no trabajan). Según tabla: trabajan (T)

no (NT)

trabajan

total

casados ( C ) 75

5

80

no casados 15 (NC)

5

20

total

10

100

90

a) ¿Qué porcentaje no tiene trabajo? P ( NT ) =

¿(NT ) 10 x 100 = x 100 =10 Ω 100

b) Si uno tiene trabajo, ¿Que probabilidad hay de que este casado? P(C ∩ T ) 75 C 100 5 P =¿ ¿ = = T P(T ) 90 6 100

( )

c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tiene trabajo?

P

∩ NT ) 5 X 100 = X 100 =50 ( NTC ) = ¿ (C¿(NT 10 )


50) El costo C de proyectos de reforestación en San Martin, en miles de 2 dólares está dado por C=3 X +5 X , siendo X el tiempo empleado para desarollarlo, una variable aleatoria con una distribución aritmética que verifica: E [ ( X−0.5 )2 ]=

13 , y E [ ( X−1 )2 ] =2 4

Calcule el costo promedio de los proyectos. Solución: Como nos pide el promedio del costo E(C), entonces por definición. E [ C ] =E [ 3 X +5 X 2 ] E [ C ] =E [ 3 X ] + E [ 5 X 2 ] E [ C ] =3 E [ X ] +5 E [ X 2 ]

, necesitamos hallar los valores de

E [ X ] y E [ X2]

Ahora, utilizando los datos que nos dan

E [ ( X−0 .5 )2 ] =

[

E X 2 −X +

13 4

E [ X 2 ] −E [ X ]=3

]

1 13 = 4 4

E [ X 2 ] −E [ X ] + E

[]

1 13 = 4 4

E [ X 2 ] −2 E [ X ] =¿

Sistema de ecuaciones

E [ ( X−1 )2 ]=2 E [ X 2−2 X +1 ]=2 E [ X 2 ]−E [ 2 X ] + E [ 1 ]=2


E [ X 2 ] =5

E [ X ] =2 Remplazando los datos obtenidos en E(C)

E [ C ] =3 E [ X ] +5 E [ X 2 ]

E [ C ] =3.2+5.5=31mil dolares 51) Un producto químico contiene una proporción X de cierta componente por litro .El producto es vendido a 6$/litro, si la proporción de la componente es menor de 50% y a 8$/litro, en caso contrario. Si el producto es elaborado a 5$/litro y si X es una variable aleatoria con función de densidad:

a) Calcule la constante C y obtenga la función de probabilidad de X b) Defina la función de distribución acumulada de X y calcule la mediana. Graficar. c) Defina la función utilidad por litro del producto y calcule la utilidad esperada por litro. Solución: a) Entonces el área del triángulo es 1 A=

1 xc =1 2


c=2 f ( X )=2 X

Función de probabilidad (en este caso la ecuación de la recta)

,

0 ≤ x ≤1 X

b) La función acumulativa será

F ( X ) =∫ f ( X ) dx= X 2 , 0

0 ≤ x ≤1

Por definición de la mediana

F ( M e )=0.5

F ( M e )=( M e )2=0.5 M e =0.7071667812 Nuestra grafica de distribución acumulativa es:

c) Para hallar la utilidad tenemos 2 casos según el problema: proporción de componente menor que 0.5, se vende a 6$ y mayor que 0.5 se vende a 8$, también nos defines el precio de elaboración 5$, claramente la utilidad es la diferencia de precios en cada caso, nuestra función utilidad quedará así:

{

U ( X )= 8−5 ,0.5< x ≤ 1 6−5 , 0≤ x ≤ 0.5 Calculando la utilidad esperada por litro definida de la siguiente manera: +∞

E [ X ] =∫ X . f ( X ) dx −∞


En nuestro caso la utilidad esperada seria Donde f(x) es la función de probabilidad Tener en cuenta que U(X) es compuesta, de ahí tendremos los valores de X y los límites de nuestra 1

0.5

1

E [ X ] =∫ X . f ( X ) dx=∫ 1. f ( X ) dx+ ∫ 3. f ( X ) dx 0

0

0.5

0.5

1

E [ X ] =∫ 1. X dx +∫ 3. X 2 dx 2

0

0.5

9 1 E [ X ] = + =2.5 4 4

53.- La demanda en miles de kilogramos de un producto es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por:

{

f ( x )= cx , si 0 ≤ x ≤ 3 0, en otros casos

Grafique la distribución de X. Luego, calcule su media, su mediana y su moda. Si la utilidad en miles de soles del producto es el doble de la demanda menos 3 soles, calcule la media y la varianza de la utilidad. Solución:


a) hallemos c 3

∫ cx dx=1 0

3

|

c x2 =1 2 0 c=2/9

{

2 ⇒ f ( x )= 9 X ,∧Si0 ≤ x< 3 0,∧en otros casos

Ahora calculemos su media 3

+∞

3

|

2 2 x3 E ( x )=∫ f ( x) xdx=∫ x xdx = =2 9 27 0 −∞ 0 Su mediana será cuando x

2

2 x F ( x )=∫ xdx= 9 0 9

F ( x )=0.5


Ahora F ( Me )=0.5=

Me 2 9

Me=√ 4.5 La moda es en el punto donde

f ( x)

alcanza su máxima expresión, según la

gráfica en 3. Mo=3

b) La utilidad será:

U=2 x−3

La varianza

[

3

3

2

]

2 2 V ( x ) =E ( x ) −[ E ( x ) ] =∫ x . x2 dx− ∫ x xdx =4.5−4=0.5 9 0 9 0 2

2

Nos pide hallar la media y la varianza de la utilidad: Tenemos

E ( x )=2

y

V ( x ) =0.5

E ( 2 x−3 )=2. E ( x ) −3=1 → E ( U )=1 V ( 2 x−3 )=22 V ( x )=2 →V ( U )=2 Respuesta:a ¿ E ( x )=2 ; Me=√ 4.5 ; Mo=3 b ¿ E ( U )=1 ; V (U )=2


54.-La vida útil de un producto, en meses, es una variable aleatoria X con función de distribución acumulativa dada por:

{

−x 3

f ( x )= 1−e , si 0 ≤ x ≤3 0, en otros casos Calcule la mediana de la duración del producto. Ilustrar con una gráfica. Calcule la media

μ

y la desviación estándar

de estos productos dura entre

μ−2 σ

y entre

σ

de X. ¿Qué porcentaje

μ+2 σ

Solución: Hallemos la mediana: −x

F ( Me )=0.5 → 1−e 3 =0.5 → Me=2.079

Primero hallemos

f (x)

Sabemos por teoría que: −x

dF ( x) e3 f ( x )= → f ( x )= dx 3 +∞

+∞

E ( x )=∫ f ( x ) xdx=∫ x 0

μ=3

0

e

−x 3

3

dx =−x e

−x −∞ 3 0

|

+∞

+∫ e 0

−x 3

dx=0−3 e

−x −∞ 3 0

|

=3


σ =√ Var ( x ) 2

+∞

[∫

2

+∞

Var ( x )=E ( x ) −[ E ( x ) ] =∫ f ( x ) x dx− 2

2

0

0

]

+∞

f ( x ) xdx =∫ x e 2

−x 3

2

2

dx−3 =−x e

−x +∞ 3 0

|

0

+∞

+2 ∫ x e dx−9=0+ 1 0

⇒ σ =3 μ−2 σ

¿Qué porcentaje dura

y

μ+2 σ ?

Simplemente analizamos en la función de distribución acumulativa sabiendo que: μ−2 σ =−3

y

μ+2 σ=9

F ( 9 ) −F (−3 )= porcentajes entre estos valores −9

1−e 3 −0=0.95021=95

Respuesta: Me=2.079 ; μ=3 ; σ=3 ; 95 55.- La demanda mensual en kilogramos de un producto es una variable aleatoria X cuya función de densidad de probabilidad es dada por:

{

−x

f ( x )= k e 8000 ,∧si x ≥ 0 0, en otro caso Halle el valor de k y grafique la distribución. Luego, calcule la demanda promedio del producto y su desviación estándar. Si la utilidad neta en soles por kilogramo del producto está dada por: 2

U=20+

x x +2 4000 80002

¿Cuánto es la utilidad neta esperada por kilogramo? ¿Qué cantidad mensual del producto es necesario para satisfacer la demanda en el 95% de los meses? Solución: a)

−x 3

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil +∞

−x

∫ k e 8000 dx=1

−k 8000 e

0

−x + ∞ 8000 0

|

=1

k=

1 8000

Entonces la función de distribución será:

{

−x

1 8000 f ( x )= 8000 e ,∧si x ≥ 0 0, en otro caso

+∞

[

−x

−x

−x +∞

|

]

1 1 +∞ E ( x )=∫ e 8000 dx= −8000 e 8000 . x|0 −80002 e 8000 0 =8000 8000 8000 0 μ=8000 +∞

−x

2 Var ( x )=E ( x 2 ) −[ E ( x ) ] =∫ x2 e 8000 dx−80002=2 ( 8000 )2 −80002=8000 0

σ =8000

b)


x x2 U=20+ +2 4000 80002 E ( x )=80002 E ( x 2) =2 ( 8000 )

2

E( x ) E (x 2) x x2 E 20+ +2 =E ( 20 ) + +2 =26 4000 4000 80002 80002

(

)

E ( U )=26 c) x

∫ f ( x ) dx=0.95 0

x

−x x

|

−x

1 e 8000 =−e 8000 0=0.95 ∫ 8000 0

−x

−e 8000 +1=0.95

−x

e 8000 =0.05

ln ( 0.05 )=

−x 8000

x=23965.85819

Respuesta:k =

1 ; μ=8000 ; σ=8000; E ( U ) =26 ; x=23965.85819 8000

56.-Un agente de bienes raíces cobra horarios fijos de $200 más una comisión de 5% sobre el beneficio obtenido por el propietario, si el beneficio del propietario es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad:

{

1 f ( x )= 2000 ; si 0 ≤ x ≤ 2000 0; en elresto

¿Cuánto es la utilidad esperada del agente? ¿Qué probabilidades hay de que el agente obtenga utilidades superiores a $275?


Solución:

Hallamos la utilidad esperada:

1 x2 1 x dx =¿ 2000 2 2000

2000

|

=1000

0

2000

E ( x )= ∫ ¿ 0

U ( x ) =μ+0.05 X=μ+ 0.05 E ( x )=200+ 0.05 ( 1000 )=200+50 U ( x ) =250 Hallamos la probabilidad: U ( x ) =275=200+ 0.05 X → X =1500 P (U > 275 )=P ( X >1500 ) =1−P ( X <1500 ) 1 x dx=¿ 2000 2000

1500

|

0

=

1500 =0.75 2000 1500

P ( X <1500 ) =F ( 1500 )= ∫ ¿ 0

P (U > 275 )=P ( X >1500 ) =1−P ( X <1500 )=1−0.75

P (U > 275 )=0 . 25

57) La utilidad mensual de una empresa de servicios es igual a 1000 soles más una proporción X de la ganancia por alquiler de sus máquinas. Si se considera a X como una variable aleatoria continua, con función de densidad por f ( x )=

{

Ax ( 1−x ) si 0 ≤ x ≤ 1 0 en el resto

}


a) cuanto es la utilidad esperada de la empresa si esta tiene 25000 soles mensuales por alquiler de sus maquinas b) Con que probabilidad la utilidad de la empresa supera los 11000? Solución: a) ∫��−�8000��+∞0=1 −�8000�−�8000|0+∞=1 �=18000 Entonces la función de distribución será: (�)={18000�−�8000,�� ≥00,�� (�)=∫18000�−�8000��+∞0=18000[−8000�−�8000.�|0+∞−80002�−�8000| 0+∞]=8000 �=8000 �(�)=�(�2)− [�(�)]2=∫�2+∞0�−�8000��−80002=2(8000)2−80002=8000 �=8000 U=1000+ 25000

b) �=20+�4000+2�280002 (�)=80002 (�2)=2(8000)2 (20+�4000+2�280002)=�(20)+�(�)4000+2�(�2)80002=26 �(�)=26

p(X>0.4) = 0.648

58) La vida útil en años de una batería es una variable aleatoria X con función de densidad: f ( x )=0.2 e−0.2 t , x ≥ 0 Cada batería lo produce a un costo de $20 y lo vende a $50, con una garantía de un año que consiste en el cambio por una nueva por única vez. Defina la utilidad por batería del fabricante. ¿Cuánto es su utilidad esperada? ¿Qué tiempo de garantía debería ofrecer el fabricante para que solo le devuelvan el 5% de las baterías vendidas? Solución: La vida útil de una batería se evalúa en dos casos, uno cuando la vida útil de la batería es menor a la garantía, que en este caso es de 1 año y el segundo caso cuando este supera la garantía señalada.

Analizamos los 2 casos


Vida útil de la batería

0 ≤ X <1

La probabilidad estará dada por la integral de la densidad, evaluada en la función densidad. 1

P [ 0 ≤ X <1 ] =∫ 0.2 e−0.2t dt=1−e−0.2 0

La utilidad por definición es la ganancia de la venta en este caso si el fabricante cobrase la ganancia que sería de Venta−Costo=50−20=30 pero la garantía de un año consiste en el cambio por una nueva, por única vez para este caso la garantía es menor de 1 año por lo cual deducimos; si ganaba 30, el cambio por única vez es de 20 debido al costo la cual estamos dándonos una ganancia de 10.

Vida útil de la batería

1≤ X

Nuevamente la probabilidad estará dada por la integral de la densidad, evaluada en la función densidad +∞

P [ 1 ≤ X ] =∫ 0.2 e−0.2 t dt=e−0.2 1

La utilidad por definición es la ganancia de la venta en este caso sería: Venta−Costo=50−20=30

La utilidad U la utilidad por batería del fabricante de acuerdo a la garantía se da en la siguiente tabla:

Vida Útil: X

0 ≤ X <1

1≤ X

Probabilidad

1−e−0.2

e−0.2

Utilidad

10

Entonces la Utilidad esperada es:

30


E ( U )=10(1−e−0.2)+30( e−0.2 )

Sabemos que K es el tiempo de garantía para que le devuelvan solamente un 5%; de aquí deducimos lo siguiente : F ( k )=P [ X ≤ k ]=0.05 k

F ( k )=P [ X ≤ k ]=∫ 0.2e−0.2t dt=1−e−0.2 k 0

0.05=1−e−0.2 k k =0.2564664719 Respuesta: La utilidad esperada es:

E ( U )=10(1−e−0.2)+30( e−0.2 )

Tiempo de garantía k =0.2564664719

59. la demanda en miles metros de determinada tela de una compañía textil es una variable aleatoria X con función de densidad dada por: 1 f ( x )={ si 0 ≤ x ≤5, 0 en el resto 5 Por cada metro de tela se gana 3$ pero por cada metro de tela no vendidaen la temporada se pierde 1$.calcule la producción que maximiza la utilidad esperada de la compañía. Solución: X: demanda K: la producción


U={3 x−1 ( k−x ) para 0 ≤ x ≤ k , 3 k para k ≤ x ≤ 5 k

5

E ( U )=∫ (4 x−k ) f (x) dx +∫ 3 kf ( x ) dx 0

k

K

5

(4 x−k ) 3k E ( U )=∫ dx+∫ dx 5 0 k 5 2 E ( U )=3 k − k 2 5 Derivando 4 k max =3− k=0 5 k=

15 4

Sin reemplazar la función densidad: k

E ( U )=4 ∫ xf ( x ) dx−4 kF ( x )+3 k 0

60. la duración e meses de una máquina moto-aradora es una variable X con función de densidad:

1 f ( x )= e 4

−x 4

, x ≥ 0 . Un alquila la

máquina pagando 1000$ mensuales durante K meses, la máquina le produce una utilidad no neta de 3000$ mensuales mientras funciona y de 0$ en el periodo de falla. Además paga a un operador 200$ mensuales solo cuando la máquina funciona. a) obtenga la utilidad esperada mensual del . b) ¿para qué valor de K es máxima la utilidad esperada mensual? Solución: a)


U={ ( 3000−200 ) x−1000 k si x
E ( U )=2800 ∫ xf ( x ) dx−2800 kF ( x )+ 1800 k 0

k

1 F ( x )=∫ e 0 4

−x 4

dx=1−e

−k 4

b) derivando la respuesta de E(U) e igualando a 0 se obtiene: k =−4 ln ( 10/28 )

61. sea X una variable con función de distribución acumulativa dada por: X

X<0

F(X)=P [ X ≤x]

0.0

0 ≤ x<1 2

x /2

1≤ x<3

x ≤ 3

( x+ 1)/4

1.0

1≤ x<3

x ≤ 3 0

Calcule la media y la varianza Solución: F ( x )=∫ xf ( x ) dx X

X<0

f(x)

0.0 1

0 ≤ x<1 x 3

1 media=µ=E ( x ) =∫ x ( x ) dx+∫ x ( )dx 4 0 1 E ( x )=

4 3

var =E ( x 2 )−µ2 1

3

E ( x 2) =∫ x 2 ( x ) dx+∫ x 2 0

En:

1

( 14 ) dx= 2912

1/4


var =

29 16 − =0.639 12 9 62.Si X es una variable aleatoria con media 30 y varianza 9 aplique la desigualdad de Chebyshev para hallar el valor de c tal que

P [| X−30|>c ] <0.16 Solución: a) El teorema de la desigualdad de Chebyshev es el siguiente: Si X es una variable aleatoria unidimensional con esperanza finita E(X) y con varianza Var (X), entonces para todo número positivo c tenemos:

(Una demostración de este teorema puede encontrarse en el Capítulo 14, Sección 28 “Desigualdad de Chebyshev” del libro “Calculus, Vol. II” de Tom Apostol.) b) En nuestro problema:

E ( x )=30 ∧Var ( x )=9 Entonces según la desigualdad de Chebyshev:

P [| X−E ( x)|> c ]< Luego:

P [| X−30|>c ] < Entonces:

Var ( x ) c2

9 ∧ P [| X−30|>c ] <0.16 c2 9 =0.16 c2 9 16 3 4 = → = → c=7.5 2 100 c 10 c

Respuesta: a) c = 7.5


63. Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, compruebe que: Var ( X +Y )=Var ( X ) +Var (Y ) Solución: Se sabe que: (X −E ( X ) ) ¿ ) E¿ Var ( X )=¿ Si b ∈ R entonces Var ( X +b )=Var (X )

Teniendo en cuenta estos dos puntos la demostración será: Var ( X +Y )=E [ ( X +Y −E (X +Y ) ) ]=E [ ( X−E ( X )+ Y −E(Y ) ) 2

2

]

¿ E [( E−E ( X ) )2+( E−E ( Y ))2 +2(E−E ( X ) )( E−E ( Y ) ) ] ¿ E [( E−E ( X ) )2 ]+ E [( E−E ( Y ))2 ] +2 E [( E−E ( X ) ) ] . E [ (E−E ( Y ) ) ] ¿ Var ( X )+ Var (Y ) +0 Var (X +Y )=Var ( X ) +Var ( Y ) loque queriademostrar

μ

Si X es cualquier variable aleatoria que tiene media compruebe que la variable aleatoria estándar

Z =( X−μ ) / σ

varianza 1. Solución: a) Probaremos que Z =( X−μ ) /σ

Z =( X−μ ) /σ Z=

X μ − σ σ

E( Z)=

E( X ) μ − σ σ

y desviación estándar

tiene media 0:

σ ,

tiene media 0 y


E( X)=μ , entonces: μ μ E( Z)= − σ σ

Pero

E( Z)=0 b) Probaremos que

Z =( X−μ ) /σ

tiene varianza 1:

Z =( X−μ ) /σ Z=

X μ − σ σ

Var (Z)=

Pero

Var (Z)=

Var (X ) σ2

Var ( X )=σ 2 , entonces:

σ2 σ2

Var (Z)=1 Respuesta: a) Queda demostrado que la media de Z, E(Z) vale 0. b) Queda demostrado que la varianza de Z, Var(Z) vale 1. Problema 65 Si X es cualquier variable aleatoria tal que

E [( X−c )2 ]

existe, calcule el valor de la

constante c de manera que minimice el esperado. Solución: a) Tenemos: 2

E [( X−c )2 ]=∑ ( x i−c ) f (xi ) Existe un valor que puede tomar c, de modo que mínimo, notamos que en la sumatoria no afectará al factor

∑ ( x i−c ) 2 f ( x i)

∑ ( x i−c ) 2 f ( x i)

el valor que tome c

f ( xi ) , pero sí afectará al valor

encontramos entonces un valor de c para el que

sea

∑ ( x i−c ) 2

( x i−c )

2

, si

sea mínimo,

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia E.A.P. Ingeniería Civil habremos encontrado también el valor de c para el que

∑ ( x i−c ) 2 f ( x i)

es

mínimo. b) Hallamos el valor de c para el que

∑ ( x i−c ) 2

es mínimo.

∑ ( x i−c ) 2=∑ ( x i−´x + ´x −c )2=∑ ( x i−´x )2+ 2 ( ´x −c ) ∑ ( x i−´x ) +n ( ´x −c )2 Como

∑ ( x i− x´ ) =0

, tenemos:

∑ ( x i−c ) 2=∑ ( x i−´x )2 +n ( ´x −c )2 Como

n ( ´x −c )

2

siempre es positivo o igual a cero, tenemos:

∑ ( x i−c ) 2 ≥ ∑ ( x i−´x )2 Concluimos entonces que el valor que debe tomar sea mínimo es

c

para que

∑ ( x i−c ) 2

´x

c) Finalmente:

c= ´x =E ( x ) , para que E [ ( X −c)2 ] sea mínimo . Respuesta: a) C=E(x) para que

E [( X−c )2 ] sea mínimo.

66. La demanda diaria, en kilogramos, de un producto se distribuyen según el modelos de la probabilidad normal con una media de 50 y una desviación estándar de 10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de un día cualquiera este entre los 46 y 54 kilogramos? Ilustrar con una gráfica. b) ¿Qué cantidad del producto debe haber diariamente a fin de satisfacer la demanda en el 89.8% de los meses? c) Si la utilidad diaria (en soles) del producto está dada por: U: 2.4x+20, ¿con que probabilidad la utilidad de un día cualquiera supera los 170 soles? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda total de 3 días supere los 116 kilogramos? SOLUCION:


X =Demanda diaria de un producto Por dato tenemos que: X N ( μ , σ2) μ=50 ; σ =10

a) La primera pregunta nos pide: P ( 46 ≤ X ≤ 54 )=? Como: Z=

P

Hallando

X−μ 46−μ X−μ X −μ ⟹P ≤ ≤ σ σ σ σ

(

)

54−50 ≤Z ≤ =P(−0.4 ≤ Z ≤ 0.4) ( 46−50 10 10 )

P (−0.4 ≤ Z ≤ 0.4 ) : P (−0.4 ≤ Z ≤ 0.4 ) =2Φ ( 0.4 )−1=2 ( 0.6554 )−1=0.3108 P ( 46 ≤ X ≤ 54 )=0.3108

b) Nos da el valor de la probabilidad de 0.8980 con lo desarrollando inversamente podemos hallar la cantidad del producto que debe haber a diario para satisfacer la demanda: P ( Z ≤ z 1 )=0.8980


Φ ( z 1 )=0.8980 ⟹ z 1=1.27 Luego: X =z1 ( σ ) + μ=( 1.27 ) (10 )+ 50 X =62.7

c)

U=2.4 X +20

2.4 X +20 ≥ 170 2.4 X ≥ 150⟹ X =62.7

Z=

X−μ 62.7−50 = =1.25 σ 10

Conociendo el valor de Z hallamos la probabilidad: P ( Z ≥ 1.25 )=1−Φ ( 1.25 )=1−0.8944 P ( Z ≥ 1.25 )=0.1056 d) Utilizando la propiedad reproductiva de la normal (PRN): X N ( μ ,σ 2 ) ∧ Y =3 X ⟹ Y N ( 3 μ , 3 σ 2 ) Luego: Y N ( 150,300 ) ⟹ μ=150 ; σ=17.321 Z=

116−150 =−1.9629909 ≈−1.96 17.321

Nos pide: P (Y ≥ 116 )=P ( Z ≥−1.96 )=1−[ 1−Φ ( 1.96 ) ] =Φ ( 1.96 ) P ( Z ≥−1.96 )=0.9750

Respuesta:


b) La probabilidad es de un 31,08%. c) Diariamente tendría que haber 62,7 kg de producto. d) La utilidad diaria supera los 170 soles con una probabilidad de 10,56%. e) La probabilidad es de 97,50%.

67.- Los puntajes resultantes de una prueba de conocimientos aplicados a 120 alumnos se distribuyen según el modelo de la probabilidad normal con una media de 80 puntos. a) Calcule la desviación estándar si el 6.68% de ellos obtienen menos de 59 puntos. b) ¿Qué porcentaje máximo se requiere en esta prueba para estar en el cuarto inferior? y ¿Qué puntaje mínimo se requiere para estar en el cuarto superior? c) ¿Cuántos alumnos se encuentran entre el cuartil 1 y el cuartil 3? SOLUCION: X =puntaje prueba Por dato tenemos que: X N ( μ , σ2) n=120; μ=80 ; σ =?

a) Si el 0.0668 de ellos obtiene menos de 59 puntos hallaremos la desviación estándar de la siguiente forma: P ( X ≤ 59 )=P ( Z ≤ z )=0.0668 ⟹ z =−1.5 Z=

X−μ 59−80 ⟹σ= =14 σ −1.5

σ =14 b) Como el

Q1=0.25

y nos pide el mínimo del cuarto superior, para lo que

necesitamos el valor de

Q3=0.75 . Sabiendo esto:

Puntaje máximo para estar en el cuarto inferior: P ( Z ≤ z )=0.25 ⟹ z=−0.67( valor aproximado) ⟹ X=z ( σ ) + μ=(−0.67 )( 14 ) +80


X =70.62 Puntaje mínimo para estar en el cuarto superior: P ( Z ≤ z )=0.75 ⟹ z=0.67( valor aproximado )

⟹ X=z ( σ ) + μ=( 0.67 ) ( 14 ) +80 X =89.38

c) Como sabemos, entre el

Q1 y el Q3 hay un porcentaje del 50% del total

con lo que podemos decir: nº de alumnos entre Q1 y Q3=( 0.50 )( 120 ) =60 alumnos

Respuesta: a) La desviación estándar es igual a σ =14 . b) El puntaje máximo para estar en el cuarto inferior es de 70,62 y el puntaje mínimo para estar en el cuarto superior es de 89,38. c) Entre el Q1 y el Q3 hay 60 alumnos. 68.- Cierto liquido industrial contiene un porcentaje X por galón de un compuesto particular cuya distribución es normal con una media de 15% y una desviación estándar de 3%. El fabricante tiene una utilidad neta de $0.15, si 9< X<21 , de $0.10, si 21≤ X ≤ 27 , y una pérdida de $0.05, 3 ≤ X ≤ 9 , calcule la utilidad esperada por galón. SOLUCION: X =porcentaje por galón

Por dato tenemos que: X N ( μ , σ2) μ=15 ; σ =3 Además ordenando los datos: i.

Perdida de $0.05 cuando

3≤ X≤9

ii.

Utilidad de $0.15 cuando

9< X< 21

iii.

Utilidad de $0.10 cuando

21≤ X ≤ 27


En (i): P

9−15 ≤Z≤ =P (−4 ≤ Z ≤−2 )=Φ ( 4 )−Φ ( 2 ) ( 3−15 3 3 )

P (−4 ≤ Z ≤−2 )=1−0.9772=0.0228

En (ii): P

21−15 ≤Z≤ =P (−2 ≤ Z ≤ 2 )=2 Φ ( 2 )−1 ( 9−15 3 3 )

P (−2 ≤ Z ≤ 2 )=2 ( 0.9772 )−1=0.9544

En (iii): P

27−15 ≤ Z≤ =P ( 2 ≤ Z ≤ 4 ) =Φ ( 4 )−Φ ( 2 ) ( 21−15 3 3 )

P (2 ≤ Z ≤ 4 ) =1−0.9772=0.0228

Entonces la utilidad esperada por galón vendrá dada por:

(−0.05 )( 0.0228 )+ ( 0.15 )( 0.9544 ) + ( 0.10 ) ( 0.0228 )=0.1443

Respuesta: La utilidad esperada por galón es de $0.1443

n=20 P=0,02 x =3 q=1− p Solución de problema bajo dos enfoques: 

Enfoque de Poisson n

P ( x )=



(n . p) .e x!

−n . p

3

=

−20.0,02

(20.0,02) . e 3!

Enfoque Binomial

=0,00715


P ( x )=

[

]

[

]

n! 20 ! . ( p x . qn −x )= . ( 0,023 . 0,9820−3 ) ( n−x ) ! ( 20−3 ) !

P ( x )=0.0065

Reflexión: Como se aprecia en ella la diferencia entre las dos distribuciones de probabilidad es inane (apenas cerca del 10% de error). 69. Los resultados de un examen de comportamiento agresivo aplicado a 400 adolescentes se distribuyen según el modelo de la probabilidad normal con una media igual a 35 puntos. e) Obtenga la desviación estándar de la distribución si el 84.13% de los adolescentes obtienen al menos 30 puntos. ¿Cuántos adolescentes obtienen entre 26 y 44 puntos? f) ¿Qué probabilidad hay de que 3 de 5 adolescentes obtengan al menos 31.4 puntos? Suponga independencia de los puntajes. SOLUCIÓN: c) X (variable aleatoria) = Puntaje obtenido en el examen Tenemos además que: X N ( μ , σ2) Sabemos que

μ=35 , necesitamos hallar la desviación estándar

tenemos: P ( X ≥ 30 ) =0.8413 Estandarizamos la distribución para poder usar la tabla Z=

X−μ X−35 −5 = ; si X =30 → Z= σ σ σ

(

P Z≥

)

(

−5 −5 =1−P Z ≤ σ σ

(

P Z≥

)

−5 =0.8413 σ

)

σ ,


(

P Z≤

En la tabla

Φ ( z 1 )=P ( Z ≤ z1 ) =0.1587 → z 1=−1, pero z 1=

−1=

Ahora hallamos P (26 ≤ X ≤ 44 )=P

)

−5 =0.1587 σ

−5 σ

−5 → σ =5 σ

P (26 ≤ X ≤ 44 )

44−μ 26−35 44−35 ≤Z ≤ =P ( ≤Z ≤ =P (−1.8 ≤ Z ≤1.8 )=2 P ( 0 ≤ Z ≤1.8 )=2 ( 26−μ ) σ σ 5 5 )

P (26 ≤ X ≤ 44 )=2 Φ ( 1.8 )−1=2 ( 0.9641 ) −1=0.9282 Finalmente: 0.9282∙ 400 ( cantidad de adolescentes ) =371.28≅ 371 adolescentes. d) Hallamos primero la probabilidad de que un estudiante obtenga por lo menos 31.4 puntos: Z=

X−μ ; X=31.4 → Z =−0.72 σ P ( Z ≥−0.72 )=1−P ( Z ≤−0.72 ) …(1)

P ( Z ≤−0.72 )=Φ (−0.72 )=0.2358usando en ( 1 ) tenemos : P ( Z ≥−0.72 )=1−0.2358=0.7642 Hay entonces un 76.42% de posibilidades de que un estudiante obtenga por lo menos 31.4. Al averiguar la probabilidad de que de cinco estudiantes, tres obtengan más de 31.4 estamos frente a un ensayo de Bernoulli, pues solo hay dos resultados para cada estudiante posibles, Éxito o Fracaso, Si o No y la probabilidad se mantiene para cada estudiante, entonces: P [ x=k ] =C nk ∙ pk ∙q n−k P [ x=3 ] =C53 ∙ p3 ∙ q5−3=

5! ∙ 0.76423 ∙ 0.23582=0.2481468129 3 !2!


Respuesta: f) Probabilidad: 92.82%, cantidad de adolescentes: 371 (371.28). g) Probabilidad: 24.81468129%

70. En un trabajo estadístico se ha logrado determinar que los tipos de cambio oficial del dólar USA en soles (X) durante 360 días de cotización del año 2006, se distribuyen según el modelo de la probabilidad normal con una media de 3.225 soles y una desviación estándar de 0.025 soles. a) ¿En cuántos de estos días se cotizó el dólar por más de 3.179 soles? b) Si para el próximo año se proyecta un tipo de cambio Y dado por Y =0.98 X+ 0.012 , ¿cuál es la probabilidad de que el dólar se cotice por menos 3.132? SOLUCIÓN: c) X (variable aleatoria) = Tipo de cambio oficial del dólar Tenemos además que: X N ( μ , σ2) μ=3.225

Sabemos que Ahora hallamos

(

P ( X ≥ 3.179 )=P Z ≥

y que

σ =0.025

P ( X ≥ 3.179 )

3.179−3.225 =P ( Z ≥−1.84 )=P ( Z ≤1.84 )=Φ ( 1.84 ) 0.025

)

P ( X ≥ 3.179 )=Φ ( 1.84 )=0.9671 Finalmente: 0.9671∙ 360 ( cantidad de días )=348.156 días. d) Queremos hallar: P (Y ≤ 3.132 )


Tenemos: Y =0.98 X+ 0.012; Y =3.132→ X =3.183673469

Entonces:

(

P (Y ≤ 3.132 )=P ( X ≤3.183673469 ) =P Z ≤

3. 183673469−3.225 =P ( Z ≤−1.653061224 )=1−Φ 0.025

)

P (Y ≤ 3.132 )=1−Φ (1.653061224 )=1−0.9505=0.0495 Finalmente la probabilidad es 4.95%. Respuesta: c) 348.156 días. d) Probabilidad: 4.95%

71. Las calificaciones de 400 alumnos en una prueba final de Estadística se distribuyen según el modelo de probabilidad normal con una media de 12. a) Obtenga aproximadamente la desviación estándar de la distribución si la nota mínima es 6 y la máxima es 18. b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿cuántos alumnos aprobaron el curso? c) ¿Qué nota como mínimo debería tener un alumno para estar ubicado en el quinto superior? d) ¿Qué rango percentil tiene un alumno cuya nota es 14?, indique su orden de mérito. SOLUCIÓN: d) X (variable aleatoria) = Calificación de la prueba Tenemos además que: X N ( μ , σ2) Sabemos que

μ=13

Es fácil deducir que: P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ )=0.9974


Podemos entonces decir que aproximadamente el 100% de probabilidades está en el intervalo ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+ 3 σ ) . P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ ) ≅ 1 Pero por dato del problema tenemos: P (6 ≤ X ≤ 18 )=1 Entonces: ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+ 3 σ ) ≅ ( 6 ≤ X ≤18 ) ; donde μ=12 μ+3 σ ≅18 → 12+ 3 σ ≅ 18 → σ ≅ 2

e) Hallamos primero: P ( X ≥ 11 ) Tenemos:

(

P ( X ≥ 11 ) =P Z ≥

11−12 =P ( Z ≥−0.5 )=Φ ( 0.5 )=0.6915 2

)

Entonces el 69.15% de los estudiantes aprobó, es decir: 0.6915 ∙ 400=276.6 ≅ 277 estudiantes

f) Hallamos primero z 1 : 1 P ( Z ≥ z 1 )= =0.2 → z 1=0.8012857143(por interpolación) 5 Tenemos: X −12 z 1= 1 → X 1=13.60257143 2 Entonces como mínimo se debe sacar 13.603 de nota para estar en el quinto superior. g) Hallamos

P ( X ≤ 14 )

(

P ( X ≤ 14 )=P Z ≤

14−12 =P ( Z ≤ 1 )=0.8413 2

)

Percentil 84.13. Ahora su orden de mérito será:


400−( 0.8413 ∙ 400 )=400−336.52=63.48≅ 63 avo

Respuesta: b) Desviación estándar: σ ≅ 2 c) Aprobaron el curso 277 (276.6) alumnos. d) Debe tener como mínimo 13.603 de nota para estar en el quinto superior. e) Su percentil es 84.13, según el orden de mérito será el 63avo (63.48). 72. 73. 74. 75. Una pieza es considerada defectuosa y por lo tanto rechazada si su diámetro es mayor que 2.02cm o si es menos que 1.98cm. Suponga que los diámetros tienen distribución normal con media de 2cm y desviación estándar de 0.01cm. a) ¿Cuántas piezas de 10000 se espera sean rechazadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 piezas de 4 sean rechazadas si las 4 piezas se escogen una a una sin reposición de un número desconocido de piezas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta pieza buena sea la sexta probada si las piezas se escogen una a una sin reposición de un número desconocido de piezas? SOLUCION: a) TEMA: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Entonces la pieza es rechazada si su Diámetro: D<1.98 cm o si 2.02 cm< D DATOS: D: Diámetro D N (μ ,σ 2)

μ=2 cm

2

σ =0.01→ σ =0.0001

Calculemos la probabilidad de que se rechace la pieza P=[ D>2.02 ] =P

[

D−μ 2.02−2 > =P [ Z >2 ] =1−ϕ (2)=1−0.9772=0.0228 σ 0.01

]

P=[ D<1.98 ] =P

[

D−μ 1.98−2 < =P [ Z <−2 ] =1−ϕ (2) =1−0.9772=0.0228 σ 0.01

]


Entonces la probabilidad de que la pieza sea rechazado es: 0.0228+0.0228=0.0456 Luego de 10000 pizas serán rechazadas=

10000× 0.0456=456 piezas

b) TEMA: PROBABILIDAD BINOMIAL Si B es el evento = ‘’Ocurren k éxitos de n pruebas’’, entonces, un caso (⏟ EE … EE) (⏟ FF … FF ) partícula de B es el evento cuya probabilidad es k veces n −k veces ¿ p k ×(1−p)n−k

donde p es la probabilidad de que ocurra un éxito

luego (1-p) es la probabilidad de que ocurra un fracaso. Luego todos los caso de B se obtienen ‘’chocolatendo las letras repetidas y nos importa el orden en que salgan’’ entonces el número de n formas que ocurra en evento B es C k Entonces

n

k

n−k

P ( B ) =Ck × p ×(1− p)

En nuestro caso sería: Ocurren k=2 éxitos (que se rechace) de n=4 pruebas 4 2 2 (piezas que se escogieron). Entonces P ( B ) =C2 × m ×(1−m) donde m es la probabilidad de que se rechace que para nosotros lo consideraremos como éxito. c) TEMA: PROBABILIDAD DE PASCAL O BINOMIAL NEGATIVA Sea el evento D = ‘’ Ocurren k éxitos de n pruebas, de manera que el késimo éxito sea la n-ésima prueba’’. El último ensayo es un éxito, en los restantes ensayos anteriores ocurre una binomial. Luego: k−1 −1 P ( D )=( C n−1 × (1− p )n−k ) × p=Cnk−1 × pk ×(1− p)n−k don de p es la k−1 × p probabilidad un éxito. En nuestro caso: Ocurren k=4 éxitos (es decir salen buenas) de n=6 pruebas, de manera que la CUARTA pieza buena sea la SEXTA probada. Sabemos que la probabilidad de éxito es en este caso la que era la de fracaso en la pregunta b ósea (1-m) entonces: −1 P ( D )=C64−1 ×(1−m)4 ×m6−4 =C 53 ×(1−m)4 ×m2

76. Un exportador recibe sacos de café de un quintal al mismo tiempo de dos proveedores A (Chanchamayo) B (Quillabamba). El 40% recibe de A y el resto de B. El porcentaje de granos con impurezas por saco es una variable aleatoria cuyo modelo de probabilidad es normal con media y desviación estándar respectivamente de 6% y 2% para A y de 8% y de 3% para B. Si el exportador selecciona un saco al azar. a) Que probabilidad hay de que el porcentaje de granos con impurezas supere el 10 %


b) Si el porcentaje de granos con impurezas supera el 10% ¿Qué probabilidad hay que provenga de Chanchamayo?. SOLUCIÓN: A) Se sabe que:

Calculemos la probabilidad de que se rechace �=[�>2.02]=�[�−��>2.02−20.01]=�[�>2]=1−�(2)=1−0.9772=0.0228 �=[�<1.98]=�[�−��<1.98−20.01]=�[�<−2]=1−�(2)=1−0.9772=0.0228

Entonces la probabilidad de que la pieza sea rechazado es: 0.0228+0.0228=0.0456 Luego de 10000 pizas serán rechazadas= 10000×0.0456=456��

Por lo tanto

P=0.4xP [ Z >2 ] 1+ 0.6 xP [ Z> 0.67 ] −1

¿ 0.4 x 0.00228+ 0.6 x 0.2514

¿ 0.15996

B) Sabiendo que el 15.87%de los clientes consume por más de $15 p(�−�σ<15−�5)=0.1587 p(�<15−�5)=0.1587 Viendo la tabla: Zcal = 1.00 entonces: 15−�5 =1.00 15-u=5 u = 10 112 personas pagaron menos de $7.1, ¿cuántas personas comieron en el restaurante? p(�<7.1) p(�−�σ<7.1−105)


p(�<−058) = 0.2810 Por lo tanto: 0.4x0.0228/0.15996

77. Una fábrica cuenta con 3 máquinas A, B y C, donde, la maquina A produce diariamente el triple de B y ésta el doble de C. Además se sabe que el peso de los artículos producidos por A se distribuye exponencialmente con una media de 5 Kg, el peso de los producidos por B se distribuyen uniformemente entre 3 Kg y 8 Kg, mientras que el peso de los producidos por C se distribuye normalmente con una media de 6 Kg y una desviación estándar de 2 Kg. Estos artículos llegan a una bandeja donde se juntan aleatoriamente. Si se extrae de la bandeja un artículo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que pese a lo más 5Kg? b) Si pesa más de 5 Kg, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la maquina A? SOLUCION: TEMA: ALGUNAS DISTRIBUICIONES IMPORTANTES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y TEOREMAS DE BAYES 

A se distribuye exponencialmente con una media igual a 5, entonces 1 1 1 =μ → β = = , luego la probabilidad μ=5 se sabe además que β μ 5 x

se calcula así:

P ⌈ X ≤ x ⌉=∫ β e−βx dx 0

5

entonces: 

1 P ⌈ X ≤ 5 ⌉=∫ e 0 5

−1 x 5

dx =0.6321

B tiene una distribución uniforme entre 3 y 8 entonces:

B U [ 3,8 ]

Luego si [ c , d ] ⊂[ a , b ] La probabilidad de que X tome valores entre P [ c ≤ X ≤d ]= 

d−c b−a , entonces

C se distribuye normalmente con C N [ 6,4 ] La probabilidad será:

P [ 3 ≤ X ≤5 ] =

[ c , d ] es:

5−3 =0.4 8−3 2

μ=6 y σ =2→ σ =4

entonces


P [ X ≤ 5 ] =P

[

]

X−μ 5−6 ≤ =P [ Z ≤−0.5 ]=1−ϕ (0.5 )=1−0.6915=0.3085 σ 2

Ahora armemos en diagrama de árbol: para ello hallemos la producción por día de cada uno, sabemos que: A=3 B → A=3 ( 2C )=6 C . Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por la maquina A será

6C 6 = 9C 9

B=2 C . Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por

la maquina B será

2C 2 = 9C 9

C =C. Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por la 1 maquina C será 9 producciontotal por dia= A+ B+C=6C +2 C+C=9C

a) La probabilidad de que pese más de 5 Kg será 6 2 1 × 0.6321+ ×0,4+ ×0.3085=0.5446 9 9 9 b) La probabilidad de que pese más de 5 Kg y haya sido producida por A sera: guiándonos de la grafica


6 × 0.3679 9 =0.5385 6 2 1 ×0.3679+ × 0.6+ × 0.6915 9 9 9 78. El monto de consume que registra una cajera de un supermercado en un día cualquiera es una variable aleatoria que tiene distribución normal con media$ 200 y desviación estándar $ 50. a) En este supermercado sólo el 5% de los clientes se considera un excelente cliente y por lo tanto como promoción puede recibir un 10% de descuento, ¿a partir de qué consumo un cliente se beneficiará de la promoción?. b) Actualmente el 30% de los clientes tiene un consumo considerado como mínimo. La empresa considera que en base a la promoción en unos meses sólo el 20% de los clientes consumirá debajo de ese monto, ¿cuánto dinero adicional tendrá que gastar cada cliente para que esto se cumpla? SOLUCION: σ=50 u=200 a) p(

x−u k−200 ≥ )=0.05 σ 50

p( z ≥

k−200 )=0.05 50

1- p( z ≤

p( z ≤

k−200 )=0.05 50

k−200 )=0.95 50

Viendo la tabla: Zcal =1.645 entonces:


k−200 50

=1.645

k = 282.25

x−u c−200 < )=0.30 σ 50

b) p(

p( z <

c−200 )=0.30 50

Viendo la tabla: Zcal =-0.52 entonces: c−200 50

= -0.52

c =174

p(

x−u m−200 < )=0.20 σ 50

p(z<

m−200 )=0.20 50

Viendo la tabla: Zcal =- 0.84 entonces: m−200 50

= - 0.84

m = 158 m+d=c 158+d=174 d = 16 tendrá que gastar $16 cada cliente para que cumpla.

79.-Suponga que el costo de consumo por personas en un restaurante se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a $5. Si se sabe que el 15.87% de los clientes han pagado más de $ 15 y que 112


personas pagaron menos de $7.1, ¿cuántas personas comieron en el restaurante? SOLUCION: σ=5 Sabiendo que el 15.87%de los clientes consume por más de $15 p(

x−u 15−u < )=0.1587 σ 5

p( z<

15−u )=0.1587 5

Viendo la tabla: Zcal = 1.00 entonces: 15−u 5

=1.00

15-u=5 u = 10

112 personas pagaron menos de $7.1, ¿cuántas personas comieron en el restaurante? p( x< 7.1 ) p(

x−u 7.1−10 < ) σ 5

p( z<−058 ) = 0.2810

112/0.2810= 398.576512 112/0.28 = 400 en el restaurante comieron 400 personas

Estadistica 1-79 5m3qw

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