Ejercicios Resueltos Numeros Complejos 4v6f3q

PRIMERA UNIDAD

NUMEROS COMPLEJOS

Teoría y ejemplos ilustrativos. CONCEPTOS PRELIMINARES Un numero complejo se puede expresar de varias formas: rectangular o binómica, polar o trigonométrica, polar abreviada, exponencial compleja. 1.

La forma rectangular.

(cartesiana, binómica o canónica)

Es Z=a+bi, donde a es la parte real, representado como a=Re(z) y b la parte imaginaria representado como b=Im(z). Ejemplo: 5-3i, Im(z)=-3

donde

es la unidad imaginaria, Re(z) =5 y

1. Dado Z=6-i15 ubicar su parte real y su parte imaginaria Sol.: Tiene parte real Re(Z)=6 y parte imaginaria Im(Z)=-15. 2. La forma polar. Se representa como norma y

, donde r es el modulo, radio vector o

es el argumento o amplitud.

Por trigonometría se obtiene

sabe que

y el argumento

,

.

o

El modulo se .

2. Dado Z=6+8i hallar su modulo y argumento, su forma polar. Sol.: Luego

y

o

.

En

consecuencia la forma polar o trigonométrica del complejo Z=6+8i será . 3.

Dado el

hallar el argumento

Sol.: Recordamos que caso

de

este

pero si no supiéramos el ángulo, como es el

ejercicio,

lo

expresaríamos

tal

como

. En este caso lo podemos hallar de memoria porque la tangente de 30º es conocida, pero si es un valor desconocido tendríamos que usar una calculadora. 4. Dado el hallar el argumento Sol.: En este caso como las coordenadas no son ambas positivas no caen en el primero cuadrante sino en el segundo donde los signos son (-,+), en tal caso calculamos igual como si ambos fueran positivos

y el valor

obtenido lo restamos de 180, así 180-30= 150. 5. Dado el hallar el argumento. Sol.: En este caso como las coordenadas son ambas negativas caen en el tercer cuadrante donde los signos son (-,-), en tal caso calculamos igual como si ambos fueran positivos

y al valor obtenido le sumamos 180, así

180+30= 210. 6. Dado el hallar el argumento. Sol.: En este caso como las coordenadas son de signos (+,-), el vector cae en el IV cuadrante, calculamos igual como si ambos fueran positivos y el valor obtenido lo restamos de 360, así 360-30= 330. a) Si (+,+)

Z=a+bi el angulo (argumento) está en el I cuadrante y

se obtiene b) Si (-,+) Z=a+bi, está en el II cuadrante y el valor obtenido X se calcula como si fuera del I cuadrante pero se resta de 180. Es decir

c) Si (-,-) Z=a+bi, está en el III cuadrante y el valor obtenido X se calcula como si fuera del I cuadrante pero se le suma 180. Es decir

d) Si (+,-) Z=a+bi, está en el IV cuadrante y el valor obtenido X se calcula como si fuera del I cuadrante y se resta de 360. Es decir . 3. Forma polar simplificada del complejo. Se suele utilizar en vez que es

la forma polar simplificada

.

7. Expresar Sol.: Será

en forma polar simplificada. .

4.Forma exponencial compleja. El complejo

se puede expresar también como

, donde el numero e es una constante, es un numero irracional igual a 2.718281…..

8. Expresar el complejo compleja. Sol.: será .

en forma exponencial

9. Dados Z1 = 7cis 40º , Z 2 = 8cis10º calcular Z1 .Z 2 En La multiplicación de complejos es más práctico escribirlo en la forma polar: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. EJEMPLO: (2cis40)(10Cis10)=(2x10)Cis(40+10)=20Cis50. 10. Dados

Z1 = 80cis 45º , Z 2 = 50cis12º calcular

Z1 Z2

En La división de complejos es más práctico escribirlo en la forma polar: se dividen los módulos y se restan los argumentos. EJEMPLO

(40cis40)/(10Cis10)=(40/10)Cis(40-10)=4Cis30

(

)

2cis 22º ( 3cis84º ) ( 2cis 27º )

( 6cis25º ) ( cis183º )

11. Hallar

Si son operaciones combinadas: en el numerador y en el denominador se multiplican las formas polares, es decir, se multiplican los módulos y se suman los argumentos,; y cuando se tiene al final una división de polares se procede como en el caso explicado en el ejercicio anterior.

(1+ i 3)

4

12.

Calcular

1.

Un ejercicio de este tipo se puede resolver de una forma

algebraica.

( 2 + i 5)

4

(

=  2+i 5 

)

2

2

 = 4 + i 4 5 + 5i 2  2 = 4 + i 4 5 − 5  2 = −1 + i 4 5  2 = 12 − 2(1)(i4 5) + (i4 5) 2 =       

= 1 + i8 5 − 80 = −79 − i8 5

2.

Otra resolución más fácil es pasarlo a la forma polar, y se eleva a (rcisθ )n = r n cis ( nθ ) potencia así , y después se devuelve a la forma EJEMPLO binómico. :

( 2 + i 5)

4

= ( 3cis 48.19º ) = ( 34 cis ( 4 × 48.19º ) ) = 81cis192.76º = 81cos192.76º +i81sen192.76º = −79 − i17.9 4

13.Calcular una raíz en

2 − 2 3i

Extraer raíz de índice n es más simple si se pasa a la forma polar y se utiliza el teorema de Moivre: n

 θ + 2π k  rCisθ = n rCis  ÷ n   , donde K=0,1,2,….,n-1. Se obtendrán n raíces. EJEMPLO: Extraer la raíz quinta de

Se obtendrán cinco raíces.

−16 − i16 3

5

−16 − i16 3 = ( 32cis 240º ) → K = 0,1, 2,3, 4

 240 + 2π ( 0 )  k = 0 → 5 32cis  ÷ ÷ = 2Cis 48º = 1.3 + i1.5 5    240 + 2π ( 1)  k = 1 → 5 32cis  ÷ ÷ = 2Cis120º = −1 + i1.7 5    240 + 2π ( 2 ) k = 2 → 5 32cis  5   240 + 2π ( 3) k = 3 → 5 32cis  5 

 240 + 2π ( 4 ) k = 4 → 5 32cis  5 

14.

Calcular una raíz en

 ÷ ÷ = 2Cis192º = −2 − i 0.4   ÷ ÷ = 2Cis 264º = −0.2 − i 2   ÷ ÷ = 2Cis336º = 1.8 − i 0.8  6

−1

En este caso se pide una de las 6 raíces que se va a obtener con -1=1+i0=1Cis180º, K=0,1,2,3,4,5. Por ejemplo una de ellas:  180 + 2π ( 0 ) k = 0 → 6 1cis  6 

15. La

 3 1 +i ÷ = 1Cis 30º = ÷ 2 2 

Dado Z = 3 ( cos10 + isen10 ) expresarlo en su forma exponencial forma

exponencial

compleja

rCisθ = re → Ejemplo :10Cis30º = 10e iθ

consiste i 30º

en

expresar