23 Ejercicios Resueltos Y Demostraciones Sobre Numeros Complejos (nxpowerlite) 4y1n6f

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Interpretación geométrica de la suma y el producto

1

Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número

z1 + z 2 2

. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos

λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?

Solución:

Gráficamente el afijo del número complejo z1 + z 2 2

=

x1 + x 2 2

+i

y1 + y2 2

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número

ic

Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta

at

•

a1 .c

om

complejo z1 + z 2

w

.M

at

em

λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz 2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )

w

w

es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .

2

Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces: z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

z 3 − z1 z 2 − z1 z1 − z 2 z 3 − z2

=

z 3 − z1 e z 2 − z1 e

=

z1 − z 2 e

i arg(z 3 −z1 ) i arg(z 2 −z1 )

=e

π

i arg( z1 −z 2 )

z 3 − z2 e

i arg( z 3 −z1 )

=e

3

π

ya que

arg ( z 3 − z1 ) = arg ( z 2 − z1 ) +

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

π 3

3

i

i

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

π = arg ( z1 − z 2 ) 3

arg ( z 3 − z 2 ) + Por lo tanto, z 3 − z1 z 2 − z1

=

z1 − z 2 z 3 − z2

⇒ z 32 − z1z 3 − z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒

⇒

z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

los tres diferentes verificando

entonces forman un

triángulo equilátero.

Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 . Los números son ahora:

a1 .

co

m

{ 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z 2*, z 3* }

em

at

ic

Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 se transforma en

w

w .M

at

z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2

w

despejando

z 3*2 − z 2* z 3* + z 2*2 = 0

⇒ z 3* =

⇒ resolvemos la ecuación de segundo grado en z 3*

1 * z2 ± 2

(

Esto significa que z 3* es z 2* girado

π 3

3i z 2*

3

1 * z 2 + z 2*2 − 4z 2*2 2

(

)

⇒

1 1  ⇒ z 3* = z 2*  ± 3i   2 2 

radianes (60 grados) y como

{ 0, z 2*, z 3* } { z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z2 , z 3 } .

que z 3* = z 2* . Por lo tanto,

)

z 3* =

1 1 ± 3 i = 1 se tiene 2 2

forman un triángulo equilátero lo que significa que

Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros dos vértices.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de avanzar

π radianes, luego hay que 3

π π 2π + = . Por lo tanto, como uno de los vértices es z1 = 1 = e 2πi , se tiene que 2 3 3 z 2 = e 2πie z 3 = e 2πie

2 πi

2 πi

3e

3

2 πi

=e

2 πi

=e

3

= cos

3

4 πi

3

−1 2π 2π 3 + isen = + i 3 3 2 2

= cos

4π 4π 3 −1 i + isen = − 3 3 2 3

son los otros dos. En forma binómica

 3   −1 3  (1, 0),  −1 , ,  ,−   2   2 2   2

Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman un triángulo equilátero entonces

m

z1 = z 2 = z 3

2k π i 3

w .M

1 =e

k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z 2 = e

2π i 3 ,

z3 = e

4π i 3

w

w

3

at

em

at

ic

a1 .

co

y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es el mismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y 0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,

Coordenadas complejas conjugadas

4

Hállese la ecuación de la circunferencia a(x 2 + y 2 ) + 2bx + 2cy + d = 0 en función de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en función de z y de su conjugado)

Sea z = x + iy y z = x − iy entonces z +z =x 2

z −z =y 2i

x 2 + y2 = z

Sustituyendo en la ecuación dada de la circunferencia

4

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

2

= zz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

 z + z     + 2c  z − z  + d = 0 ⇔ az z + bz + bz − ciz + ciz + d = 0 ⇔ a(z z ) + 2b    2i   2  ⇔ azz + z (b − ci ) + z (b + ci) + d = 0

Módulo

Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta: Sean z1, z 2 ∈ de módulo 1, entonces

z 1 + z 2 = 2 ⇔ z1 = z 2

⇒

Como z1, z 2 ∈ de módulo 1, llamando φ = arg ( z1 ) y ψ = arg ( z 2 ) en forma

a1 .

co

m

exponencial serán z1 = e iφ y z 2 = e iψ . Luego,

at

ic

( z1 + z2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z2 )( z1 + z 2 ) = w .M

at

em

z1 + z 2 =

z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2 =

2 + z1 z 2 + z 2 z1

w

=

w

5

En consecuencia,

z1 + z 2 = 2 ⇔ 2 + z1 z 2 + z 2 z1 = 4 ⇔

(

⇔ Re e

i ( φ−ψ )

)=1

z1 z 2 + z 2 z1 2

(

)

= 1 ⇔ Re z1 z 2 = 1 ⇔

⇔ cos ( φ − ψ ) = 1 ⇔ φ = ψ + 2k π

y, por tanto, como z1 = e iφ y z 2 = e iψ la última afirmación es lo mismo que decir, z1 = z 2 .

⇐

La implicación en el sentido ⇐ es trivial ya que si z1 = z 2 entonces z1 + z 2 = 2z1 , y, por tanto z1 + z 2 = 2 z1 = 2

Otra forma.- También puede realizarse la demostración simplemente operando en forma binómica. Teniendo en cuenta que z1 y z 2 son de módulo unidad su representación es

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

5

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

z1 = cos φ + isenφ

z 2 = cos ψ + isen ψ

se cumplirá 2

2

( cos φ + cos ψ )

2 = z1 + z 2 =

+ ( senφ + sen ψ )

operando, cos2 φ + cos2 ψ + 2 cos φ cos ψ + sen 2φ + sen 2 ψ + 2senφsen ψ =

2=

2 + 2 ( cos φ cos ψ + senφsen ψ ) =

=

2 1 + cos ( φ − ψ )

Luego,

2 = z1 + z 2 ⇔ 4 = z 1 + z 2

2

⇔ 1 = cos ( φ − ψ ) ⇔

⇔ ϕ − ψ = 2k π ⇔ ϕ = ψ + 2k π

⇔ por hipótesis z 1 = z 2 =1

Dos números complejos no nulos son tales que z1 + z 2 = z1 − z 2 . Probar que

z1

w

w

w .M

at

6

em

at

ic

a1 .

co

m

y, por tanto z1 = z 2 .

z1 = z 2

Método 1.- Por hipótesis, z1 + z 2 = z1 − z 2

z1 + z 2

2

= z1 − z 2

2

( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = ( z1 − z 2 )( z1 − z 2 )

⇔ ⇔

⇔

⇔ ⇔

z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2 = z1 z1 − z 1 z 2 − z 2 z 1 + z 2 z 2 ⇔

(

)

(

)

2 z1 z 2 + z 2 z1 = 0 ⇔ Re z1 z 2 = 0

⇔

luego z2 z1

=

z 2 z1

=

z1 z1

(

(

)

(

Re z 2 z1 + i Im z 2 z1 z1

)

2

donde se ha aplicado que Re z1 z 2 = 0 y, por tanto,

6

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

) = i Im ( z2 z1 ) z1

z1 z2

2

es imaginario.

z2

es imaginario.

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Método 2.- Sea z1 = a + bi

z2 z1

=

z 2 = c + di

(c + di )(a − bi ) ca + db + i (da − cb) ca + db da − cb = = +i (a + bi )(a − bi ) a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2

(1)

Por otro lado, por hipótesis z1 + z 2 = z1 − z 2

luego,

( a + c ) + i (b + d )

= ( a − c ) + i (b − d )

⇔

2

+ (b + d )2 = (a − c )2 + (b − d )2 ⇔

(a + c )

⇔ a 2 + c 2 + 2ac + b 2 + d 2 + 2bd = a 2 + c 2 − 2ac + b2 + d 2 − 2bd ⇔

⇔ 4ac = −4bd ⇔ ac = −bd

co

m

Finalmente, sustituyendo en (1)

a 2 + b2

em

at

z1

da − cb

a1 .

=i

ic

z2

w

w

w .M

at

que demuestra que es un número imaginario puro.

7

Calcular el valor de a y b para que

3b − 2ai sea real y de módulo unidad 4 − 3i

Operando

z =

•

(3b − 2ai )(4 + 3i ) 12b − 8ai + 9bi + 6a 12b + 6a 9b − 8a = = +i (4 − 3i )(4 + 3i ) 16 + 9 25 25

Si se quiere que sea real 9b − 8a = 0 ⇒ 9b − 8a = 0 25

•

⇒ b=

8a 9

Si además es de módulo uno 12b + 6a 96a 2 = 1 ⇒ 12b + 6a = 25 ⇒ + 6a = 25 ⇒ a = 25 9 3

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

7

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Luego, los valores pedidos son

a =

2 4 b= 3 3

Lugares geométricos

8

Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones

(a)

z − 2i ≤ 1

Sea z = a + bi entonces z − 2i = a + (b − 2)i , se cumplirá

a 2 + (b − 2)2 ≤ 1 ⇔ a 2 + (b − 2)2 ≤ 1

co

m

z − 2i ≤ 1 ⇔

(b)

at

em

at

ic

a1 .

El conjunto buscado es el interior del círculo de centro (0,2) y radio 1.

w

w .M

z −2 > z −3

w

Sea z = x + iy entonces z − 2 = (x − 2) + iy y z − 3 = (x − 3) + iy , sus módulos

z −2 =

(x − 2)2 + y 2

z −3 =

(x − 3)2 + y 2

y por tanto,

z −2 > z −3

⇔ (x − 2)2 + y 2 > (x − 3)2 + y 2 ⇔

⇔ x 2 + 4 − 4x + y 2 > x 2 + 9 − 6x + y 2 ⇔

2x > 5 ⇔ x > 5

2

La solución es el conjunto

R = { x + i y / x > 5 / 2, x , y ∈ ℜ }

(c)

z − 1 + z + 3 = 10

Forma 1: Por definición de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje mayor 5

8

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Forma 2: Sea z = x + iy , entonces z − 1 = (x − 1) + iy , z + 3 = (x + 3) + iy , luego

z − 1 + z + 3 = 10

2

( x − 1)

⇔

2

+ y2 +

(x + 3)

+ y 2 = 10

Pasando una de las raíces al segundo miembro y elevando al cuadrado 2

( x − 1)

 + y 2 =  10 − 

2 + y2  

2

(x + 3)

2

x 2 + 1 − 2x + y 2 = 100 + (x + 3)2 + y 2 − 20 −8x − 108 = −20

2

(x + 3) 2

2x + 27 = 5

(x + 3)

+ y2

+ y2

(x + 3)

+ y2

(

2

= 25 ( x + 3 ) + y 2

)

ic

a1 .

co

2

( 2x + 27 )

m

Elevando nuevamente al cuadrado,

at

em

at

4x 2 + 27 2 +108x = 25(x + 3)2 + y 2 = 25(x 2 + 9 + 6x + y 2 )

w

Completando cuadrados

w

w .M

21x 2 + 42x + 25y 2 = 504

21(x 2 + 2x ) + 25y 2 = 504 21 ( (x + 1)2 − 1 ) + 25y 2 = 504 21(x + 1)2 + 25y 2 = 525

Se trata de la elipse (x + 1)2 y2 + =1 525 525 21 25

⇔

(x + 1)2

+

52

y2 =1 21

(d) z z > 4

Sea z = x + iy , z = x − iy entonces

zz > 4 ⇔

( x + iy )( x − iy ) = x 2

+ y2 = z

2

>4

⇔

z >2

Luego z z > 4 es la región del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

9

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

(e)

z − 3i = 4

Sea z = x + iy , z − 3i = x + i(y − 3) entonces

z − 3i = 4

x 2 + (y − 3)2 = 16

⇔

Se trata de la circunferencia de centro (0,3) = 3i y radio 4.

(f)

z < 1, Im z > 0

Se trata del conjunto

{ x + iy / x 2 + y 2 < 1

, y > 0}

es decir, del interior del semicírculo superior de radio 1.

2

co

m

z2 + z = 1

a1 .

(g)

em

at

ic

Sea z = x + iy , z = x − iy , entonces

w

w

w .M

at

 π i  e 6 1 ± 3i z4 + 1 = z2 ⇔ z4 − z2 + 1 = 0 ⇔ z2 = =  π  2  −6i e

Luego:   π i π  e 12 i  6 =   e   π      + π i    12    e     z = π    − i   π 12   e − i    e 6 =  π    − + π i      12    e    

9

Consideremos el número complejo: 1 2 + cos t + isent Probar que cuando “t” varia en los numeros reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo diámetro es el

z = x + iy =

segmento que uno los puntos (1/3,0),(1,0).

10

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Calculamos en primer lugar la expresión de x y de y en función de t . Multiplicando por el conjugado del denominador 1(2 + cos t − isent ) = (2 + cos t + isent )(2 + cos t − isent ) =

2 + cos t 2

2

(2 cos t ) + sen t

−i

sent 2

4 + cos t + 4 cos t + sen

2t

=

2 + cos t sent −i 5 + 4 cos t 5 + 4 cos t

Luego

x =

2 + cos t 5 + 4 cos t

−sent 5 + 4 cos t

y =

Para comprobar que ( x, y ) está en la circunferencia de centro ( a, b ) y radio r basta verificar que

2

(x − a )

2

+ ( y − b ) = r 2 . En nuestro caso

2



(a,b ) =  3 , 0 

y r =

1 . Es evidente que 3

co

m

cualquier punto de la forma

em

at

ic

a1 .

 2 + cos t −sent   ,   5 + 4 cos t 5 + 4 cos t 

w .M

at

cumple la ecuación de la circunferencia. En efecto,

w

w

 2  2    x − 2  + y 2 =  2 + cos t − 2  +  −sent  =     5 + 4 cos t 3   5 + 4 cos t  3  2

=

( 6 + 3 cos t − 10 − 8 cos t ) 2 9 ( 5 + 4 cos t ) 2

( −4 − 5 cos t ) + 9sen 2t = 2 9 ( 5 + 4 cos t ) =

=

+

sen 2t (5 + 4 cos t )2

=

16 + 25 cos2 t + 40 cos t + 9sen 2t

25 + 16 cos2 t + 40 cos t 9(5 + 4 cos t )2

9(5 + 4 cos t )2

=

2 1  1  = =   9  3 

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

11

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Potencias de exponente natural

10

Escribir en forma binómica el complejo:

 1 + cos x + isenx n z =    1 + cos x − isenx 

Método 1.- Sea

z1 = 1 + cos x + isenx = 1 +

2e ix

+

e 2ix − 1

= 1 + e ix

2e ix

e ix + e −ix e ix − e −ix −i = 2 2i

2e ix

e 2ix − 1

at

−

em

e 2ix + 1

2eix

= 1 + e −ix

w .M

at

=1+

ic

a1 .

z1 = 1 + cos x − isenx = 1 +

m

e 2ix + 1

co

=1+

e ix + e −ix e ix − e −ix +i = 2 2i

w

w

Por lo tanto,

 z n  1 + e ix  z =  1  =   z   1 + e −ix 1

 e ix ( 1 + e −ix ) n n   = e inx  =   e ix + 1   )   (

z1 = 1 + cos x + isenx

z1 = 1 + cos x − isenx

Método 2.- Sea

entonces  z n z1n z1n zn  z =  1  = 1 = n n  z  1 z1 z1 z1n Si consideramos que en forma exponencial la expresión de z1 es re z =

z1n z1n n

z1 z1n

12

=

z12n r 2n

iθ

se tiene

2n  r ( cos θ + isen θ )  2n  = r ( cos 2n θ + isen 2n θ ) =  r 2n r 2n

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Simplificando, z = cos 2n θ + isen 2n θ

Para obtener la expresión en función de x se considera que

θ = arctg

 x x 1 − cos2 x 1 − cos x senx = arctg = arctg = arctg  tg  =  2  2  2 1 + cos x 1 + cos x (1 + cos x )

donde se ha utilizado 1 − cos x = 2sen 2

x 2

1 + cos x = 2 cos2

x 2

Por lo tanto,  z n  z =  1  = cos 2n θ + isen 2n θ = cos nx + isen nx  z  1 1 1 = 2 cos t , t ∈ , z ∈ , hallar lo más simplificado posible z n + z zn

ic

a1 .

co

m

Sabiendo que z +

at

em

at

Se tiene que

w .M

1 = 2 cos t ⇒ z 2 + 1 = 2z cos t ⇒ z 2 − ( 2 cos t ) z + 1 = 0 z

⇒

w

z+

w

11

⇒ z =

1 (2 cos t ± 2

4 cos2 t − 4 = cos t ±

cos2 t − 1 = cos t ± isent

Por lo tanto, z n = cos nt ± isennt . Por otro lado,

1 1 cos t ∓ isent = = = cos t ∓ sent z cos t ± isent cos2 t + sen 2t

⇒

1 zn

= cos tn ∓ sentn

La expresión que nos piden simplificar será zn +

1 z

n

= cos nt ± isennt + cos nt ∓ isennt

⇒ zn +

1 zn

= 2 cos nt

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

13

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Raíces enésimas

12

Calcular z =

6

1−

3i

Calculando su módulo y argumento

r = z =

1+3 = 2 − 3 π =− 1 3

φ = arg ( z ) = arctg se tiene que sus raíces sextas son: zk =

6

2 −π

3

k = 0,1, 2, 3, 4, 5

+ 2k π

6

(a) Demuestre que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es cero.

m

13

em

Las raíces n- enésimas de la unidad son de la forma:

w .M

at

(a)

at

ic

a1 .

co

(b) Demuestre que el producto de las raíces n- enésimas de la unidad es 1 ó –1.

2k π n

k = 0,1,..., n − 1

w

w

zk = e

i

Por tanto, n −1

n −1

∑ zk

=

k =0

∑e

i

2κπ n

= 1+e

i

2π n

+e

i

4π n

+…+e

i2

n −1 π n

k =0

2π

Esto es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón e n primer termino 1, es decir, n −1

∑ zk

=

k =0

1 − e 2πi 2π i 1 −e n

=0

(b) Considerando ahora el producto, n −1

∏ zk

= 1*e

i

2π n

*e

i

4π n

* .... * e

k =0

14

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

i2

n −1 π n

=e

 2π 4 π n −1  π   0 +i +i +...+i 2  n n n 

n −1

=e

2π i∑k n k =0

i

y

Ejercicios: Números Complejos

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

n −1

como,

∑k =

k =0

n(n − 1) se tiene 2 n −1

∏ zk

k =0

 −1 si n par = e (n +1)πi =   1 si n impar

Logaritmos complejos

De entre todas las raíces n-ésimas del complejo 1 +

3i . ¿Hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea

real? Calculamos en primer lugar n

•

de módulo:

•

de argumento:

n

3 i . Por definición,

1+

n

z son los números complejos

m

r

φ = arctg

Por tanto,

2

( 3)

at w

1+

r =

3 i , luego

w .M

En este caso z = 1 +

em

at

ic

a1 .

co

φ + 2κπ con k = 0,1, 2,...(n − 1) ; n

=2

w

14

3 3 2 = π. = arctg 1 1 3 2 n

3i tendrá

1+

n

•

por módulo:

•

por argumento:

2 π

3

+ 2κπ con k = 0,1, 2,...(n − 1)

n

es decir, zk =

n

2π

3

+ 2k π

con k = 0,1, 2,...(n − 1)

n

zk =

n

    π + 2k π   − π + 2k π      3 2  cos   + isen  3   con k = 0,1, 2,...(n − 1)       n n      

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

15

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Teniendo en cuenta que el logaritmo principal de z k es log z k = ln z k + i arg ( zk ) se cumplirá que log z k ∈ ⇔ arg ( z k ) = 0

es decir, π

3

+ 2k π n

−π =0 ⇔ π

3

+ 2k π = 0

⇔k =

3 = −1 2π 6

Como los valores posibles de k son 0,1,2,...(n − 1) entonces la pregunta planteada sobre si hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea real tiene por respuesta que no existe ninguna raíz cuyo logaritmo principal sea real.

 1 + i  2 log    1 − i  i

m

Calcular el siguiente número complejo: z =

a1 .

co

15

em

at

ic

Como

w

w

w .M

at

(1 + i )(1 + i ) 1+i = =i 1−i (1 − i)(1 + i) π  log i =  + 2k π  i  2 

El valor pedido es: z =

16

Dado a + bi = log ω siendo ω tal que

Se considera ω = c + di cumpliendo

16

2 log i = π + 4k π i

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

ω 1+i 3

ω

2

k ∈

es real y el módulo de ω es la unidad. Hallar a + bi .

= c 2 + d 2 = 1 . Se cumplirá que

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

( )(

) )

 (c + di ) 1 − i 3  ∈  r = ⇔ 1+i 3 1−i 3  2  2 c + d = 1

 ω  r = ∈  ⇔ 1 + i 3   ω = 1

(

 c + d 3 + i −c 3 + d   r = ∈ ℜ ⇔  −c 3 + d = 0 ⇔    2 4  2 c + d 2 = 1 2  + = c d 1  

(

⇔

⇔ c =±

)

1 2

(

)

3 1 3 ⇔ ω1 = + i 2 2 2

d =±

1 3 ω2 = − − i 2 2

Luego

ser

interesante

m

co

a1 .

ic

considerar

at

Puede

k´∈ , k = 0,1

la

expresión

de

ω de

la

forma:

w .M

Observación:

k´∈ Z , k = 0,1

 π   − + k π + 2k´π  i  3 

em

 −2π +2k π   3 i  = 2 log ω2 = ln e     

π   + k π + 2k´π  i  6 

at

 π +2k π   3 i  = log ω1 = ln e 2    

w

w

ω = e it = cos t + isent ya que al tener módulo uno quedará perfectamente determinado si se

conoce arg ( ω ) = t . 17

(a) Escribir la forma binómica y exponencial el número complejo z =

ix 1 + 2i

dando x =

(numero de

lista del alumno en clase) + 1000  ix   (b) Calcular log z = log   1 + 2i 

Supongamos que x = 121 + 1000 = 1121

z =

i 1121 1 + 2i

=

i 4*28 +1 1+

2i

=

i 1+

2i

=

(1 − (1 +

2i

)

2i i

)( 1 −

2i

)

=

i+ 2 2 1 = + i 1+2 3 3

En forma exponencial z se expresará

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

17

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

   1 2  z =    3        φ = arctg      

3 φi e ya que 3

z =

 2 2 +   =  3  1  3   2  3

1 3 = 3 3

Calculamos su logaritmo  2 1   ix   = log  log z = log  + i  =   1 + 2i  3   3 = ln

  1   3 + i  arctg   + 2k π  k ∈    2  3

La rama principal se obtiene para k = 0   1   3 + i  arctg         2  3

em

at

ic

a1 .

co

m

log z = ln

18

w

w

w .M

at

Potencias complejas

z

Sea “z” un número complejo de representación binómica z = a + bi y consideramos la potencia ( 1 + i ) . Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un ejemplo:

z

(1 + i )

=e

=

z log( 1+i )

(

= e(

x +iy ) log( 1+i )

x log 2 −y π +2k π 4 e



)e y log

=e

( x +iy )( log

π   i 2 + x  +2k π    4 

(

))

2 + π + 2k π i 4

=

k ∈

A - Que la potencia tenga algún valor real.  π  π  sen  y log 2 + x  + 2k π   = 0 ⇔ y log 2 + x  + 2k π  = k´π    4     4 

18

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

k´∈

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

⇔ x =

k´π − y log 2 π + 2k π 4

k, k´∈

Basta dar valores a y, k y k´para obtener x. En esos casos z = x + i y verificara que su potencia tiene algún valor real.

B – Que la potencia tenga resultado único. Si x es entero, y = 0 el resultado es único. e x log

2

   cos πx + isen πx   4 4 

co

m

C – Que la potencia tenga sólo un número finito de resultados

ic

a1 .

Si x = p / q e y = 0 sólo hay q resultados correspondientes a k = 0,1, 2,..., q − 1 .

em

at

D – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo modulo

w .M

at

π  x log 2 −y  + 2k π   4 

= cte ⇒ y = 0

w

w

e

E – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo argumento.

π  y log 2 + x  + 2k π  = cte ⇔ x ∈   4

19

Calcular log2−2i (1 + i ) Aplicando la definición

( (

)

ln 2 + π + 2k π i log(1 + i ) 4 log2−2i (1 + i ) = = = log(2 − 2i ) ln 2 2 + −π + 2k ' π i 4

)

 m 2 + π + 2k π i   m 2 2 − −π + 2k ' π i      4 4 =  2 2 m 2 2 + −π + 2k ' π 4

(

)

(

)

(

(

)

)

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

19

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

siendo k , k´∈

Polinomios

20

Hallar los números complejos z tales que 2

z 2 + 2z + z − z + 9 = 0

Sea z = a + bi debemos encontrar a y b de forma que: 2

(a + bi )

2

+ 2 ( a − bi ) + ( a + bi ) − ( a − bi ) + 9 = 0 ⇔

⇔ a 2 − b 2 + 2abi + 2a 2 − 2b 2 − 4abi + 2bi + 9 = 0 ⇔

ic

a1 .

co

m

 3a 2 − 3b 2 + 9 = 0 (3a 2 − 3b 2 + 9) + i (−2ab + 2b) = 0 ⇔    −2ab + 2b = 0

at

em

at

Se distinguen dos casos:

w .M

Caso 1: b = 0 , entonces por la primera ecuación a 2 = −3 , esto es absurdo pues a y b son

w

w

números reales.

Caso 2: b ≠ 0 , entonces a = +1 , y sustituyendo en la primera ecuación

−3b 2 − 12 ⇒ b = ±2 Luego los números complejos son:

z1 = +1 + 2i

21

z 2 = +1 − 2i

¿Cuántas raíces tienen los polinomios? ¿Puedes decir algo sobre el número de raíces reales? ¿Por qué?

(a)

p(x ) =

(

)

2 + 2i x 5 + 3x 2 + 2i

5 raíces en . No se puede decir nada sobre las reales porque p(x ) no es un polinomio con coeficientes en .

20

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

(b)

p(x ) =

2x 7 + 3x 6 + 2

7 raíces en . Tiene al menos una real por ser el grado impar.

(c)

p(x ) =

3x 5 + 3x 2 + 2

5 raíces en . Tiene al menos una real por ser grado impar.

(d)

p(x ) =

3x 7 + ( 2 + 2i)x 6 + 2

7 raíces en . No se puede decir nada sobre las reales porque p(x ) no es un polinomio con coeficientes en .

22

Si F ( z ) es un polinomio con coeficientes reales y F ( 2 + 3i ) = 1 − i ¿a qué es igual F ( 2 − 3i ) . ¿Queda

Sea F (z ) = a 0 + a1z + .... + an z n

at

ic

an ≠ 0 , entonces como sus coeficientes son reales

at

em

a)

a1 .

co

m

determinada F ( a − bi ) conociendo F ( a + bi ) , si los coeficientes de F ( z ) no son todos reales?

(

)

w

w

w .M

F (z ) = a 0 + a1 z + ... + a n z n = a 0 + a1z + ... + an z n = F (z ) luego,

F (2 − 3i ) = F (2 − 3i ) = 1 − i = 1 + i b)

En el caso de que los coeficientes de F ( z ) no sean todos reales no se determina el

valor de F ( a − bi ) conocido el de F ( a + bi ) . Por ejemplo, en el caso de F (z ) = iz 2

F (2 + 3i ) = i(2 + 3i )2 = i(4 + 12i − 9) = i(−5 + 12i ) = −12 − 5i F (2 − 3i ) = i(2 − 3i)2 = i(4 − 12i − 9) = i(−5 − 12i ) = 12 − 5i

23

Hallar la relación que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las raíces de la ecuación

z 2 + (a + bi) + (c + di ) = 0 tengan el mismo argumento.

Sean z1 , z 2 las raíces. Expresándolas en forma exponencial serán

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

21

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

z1 = ρ1e θi z 2 = ρ2e θi Como, (z − z1 )(z − z 2 ) = z 2 − (z1 + z 2 )z + z1z 2 = z 2 + (a + bi )z + (c + di )

se cumple que z1 z 2 = c + di y z1 + z 2 = − ( a + bi ) . Por lo tanto,

ρ1ρ2e 2θi = c + di

z1 * z 2 = c + di ⇒

z1 + z 2 = (ρ1 + ρ2 )e θi  θi  ⇒ (ρ1 + ρ2 )e = −a − bi z1 + z 2 = −(a + bi )   luego,

em

at

ic

a1 .

co

m

 ρ1ρ2 cos 2θ = c   ρ1ρ2sen 2θ = d     ( ρ1 + ρ2 ) cos θ = −a     ( ρ1 + ρ2 ) sen θ = −b

w

w .M

at

De donde,

w

tg 2θ =

d c

tg θ =

b a

de relacionar la tangente del ángulo doble con la tangente se encontrará la relación entre los coeficientes. Como tg 2θ =

Entonces

b d a =2 2 c 1 −b

=2 a

2

sen 2θ 2sen θ cos θ 2tg θ = = 2 2 cos 2θ cos θ − sen θ 1 − tg 2 θ

ab 2

a − b2

La relación buscada es d ab =2 si a 2 ≠ b 2 2 c a − b2 Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en o con la profesora para su corrección.

22

Profesora: Elena Álvarez Sáiz