Ecuacion Cubica 6q6m28

La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 + bx2 + cx +d igual a cero.

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene unaecuación cuadrática o de grado dos) Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto. La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso libro "Ars Magna".

Método de solución de la ecuación cúbica Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene

Donde

y por último

forma canónica

para eliminar el término x2 de ecuación

A continuación se hace la sustitución la

Que simplificando equivale a puede escribirse como

que también

(Ecuación cúbica reducida)

Donde Ahora

La

y sea

última

en

ecuación

la

se

ecuación

hace

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

reducida

cero

si

Cuyas soluciones son Sustituyendo

ambas

soluciones

en

*

se

obtiene

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones (lo cual se garantiza gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas. Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por Z - Z1

Siendo La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0 Dividiendo

se

tiene

Por tanto se tiene el

. Solo nos interesa factor

Segundo

ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.

es

una ecuación

de

segundo

grado con

soluciones

En

conclusión

las

tres

soluciones

son

Nuevamente recordando que x = z – j/3

La raíz cuadrada que contiene a nos ayuda a determinar cuántas soluciones reales o complejas posee la ecuación

Si

entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas

Si

las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.

Si

Las tres raíces son reales.

Ejemplos Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0 Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1 Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q j = b/a = 5/2, j = 2.5 k = c/a = 4/2, k = 2 l = d/a = 1/2, l = 0.5

,luego

, luego Se procede con el cálculo de Z1,Z2 y Z3

; p = -1/12

; q = -1/108

Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – x2 = z2 – j/3; x2 = 1/6 x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1

2.5/3, – 2.5/3,

x1 = x1 =

-

1/2 1

Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son iguales. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en

particular Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0 Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2 Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q j = b/a = 2/1, j = 2 k = c/a = 1/1, k =1 l = d/a = 2/1, l = 2

,luego

, luego Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3

; p = -1/3

; q = 52/27

x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i

– i

2/3, –

x1 = 2/3,

x1 =

2 i

Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en

particular Tercer ejemplo: x3 + 2x2 x 2 = 0 Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2 A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y q j = b/a = 2/1, j = 2 k = c/a = 1/1, k = 1 l = d/a = - 2/1, l = - 2

,luego

, luego

; p = -7/3

; q = -20/27

Como (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar una fórmula alternativa para este caso.

Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica

Si

Por

Sumando

se reescribe como

la fórmula

ambas

de

Moivre se

igualdades

sabe

se

que

obtiene

Pero (r es el argumento del número complejo que equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria)

Por tanto Se

Para

igualdad

deduce

encontrar

el

ángulo

se

procede

con

la

Continuando con el ejemplo 3 Encontremos

Luego

primero

los

el

valores

x1 = z1 – j/3; x1 = x2 = z2 – j/3; x2 = x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1

de

5/3 -4/3

– –

ángulo

las

2/3, 2/3,

zetas

x1 = x1 =

1 -2

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado

Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos que se desarrollaron.