Diapositivas De Dinamica De Una Particula.pptx 1q6tk

DINAMICA DE UNA PARTICULA EN COORDENADAS DIVERSAS INTEGRANTES: Ballena Tapia Chrystian

Cosmopolis Viteri Jose Núñez García Henry Edwin Palomino Espinoza Frank Carlos Terrones Fernández Cesar

Ciclo: Docente: Fecha:

III Ing. Loayza Rivas Carlos Adolfo Chiclayo, 16 de junio del 2011

DINAMICA DE LA PARTICULA EN COORDENADAS DIVERSAS

INTRODUCCION El movimiento de un cuerpo cambia cuando este interactúa con otros cuerpos. Dichos cambios dependerán por un lado de las propiedades del cuerpo y por otro del medio que lo rodea. El problema central de la dinámica de la partícula es el siguiente: Dada una partícula cuyas características (masa, carga, momento magnético) son conocidas, colocada en determinadas condiciones de movimiento en cierto medio del cual se tiene una descripción completa, determinar cual será el movimiento subsiguiente de la partícula.

OBJETIVOS   •

En base a los conocimientos previos adquiridos se aplicara para el desarrollo y entendimiento de problemas usando las leyes de newton y otros teoremas ejercitando el manejo del álgebra vectorial aplicada a la formulación de la solución de problemas de dinámica de partículas.

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Conocer los conceptos de impulso y momentum, tanto lineal como angular. Aplicar la ecuación de impulso y cantidad de movimiento para resolver problemas en función de tiempo. Y establecer la diferencia entre fuerzas impulsivas y no Impulsivas.

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Aplicar la segunda ley de newton para caracterizar el estado dinámico de una partícula sujeta a fuerzas externas. Y aplicar los principios de conservación de momentum a la dinámica de partículas.

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Al término del informe se desea explicar lo ya mencionado, con la finalidad de describir matemáticamente el movimiento de partículas relacionándolo con las fuerzas que lo originan.

Dinámica de la Partícula El propósito de la dinámica es predecir el comportamiento futuro de un sistema, en particular de una partícula cuando son conocidas las fuerzas y las restricciones que actúan sobre ella y se conoce el presente. Si los efectos de rotación pueden ser despreciados para un cuerpo particular, entonces el cuerpo puede ser tratado como si fuese una simple partícula con la masa del cuerpo concentrada en un punto.

Leyes de Newton Desde los tiempos de Galileo se ha reconocido que no es necesario aplicar fuerzas para mantener el movimiento de los cuerpos. Esto evidentemente choca con lo observado diariamente puesto que si se dejan de aplicar fuerzas, los cuerpos se detienen.

1.Primera Ley de Newton Todo cuerpo continuará en su estado de reposo o de velocidad constante en línea recta, a menos que una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo el lo obligue a cambiar este estado de reposo o de movimiento. =0→ =0

En otros términos se dice de la siguiente forma: si la suma de fuerzas que actúa sobre un cuerpo es cero, su aceleración es cero. Esto significa que la partícula se encuentra en equilibrio. La primera Ley de Newton se conoce también como Ley de Inercia.

2. Segunda Ley de Newton Estamos ahora en condiciones de enunciar la Segunda Ley de Newton, ella establece que: En los sistemas de referencia inerciales: =m=m

Donde Fes la suma de todas las fuerzas resultantes, m la masa de la partícula y a su aceleración. Habiendo definido previamente las fuerzas y las masas, la Segunda Ley de Newton es una ley experimental que establece que las masas son independientes del valor de la fuerza que se utiliza para su definición. Obsérvese que en ausencia de fuerzas externas aplicadas sobre un cuerpo, F = 0 y por lo tanto a = 0, por lo que una partícula libre se moverá con movimiento rectilíneo uniforme como era establecido por la Primera Ley.

El enunciado que hemos dado de la Segunda Ley no es el más general posible, en efecto, tal como lo hemos enunciado, la Ley sólo vale cuando la masa de la partícula no varía con el tiempo. Si deseamos describir el movimiento de un cohete, por ejemplo, su masa variará con el tiempo a medida que los gases de propulsión son expulsados por la tobera. Para describir este tipo de fenómenos es necesario generalizar la Segunda Ley introduciendo la noción de momento lineal o cantidad de movimiento. El momento lineal de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad: =m

La versión generalizada de la Segunda Ley establece que: En los sistemas de referencia inerciales

La variación de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza que actúa sobre el objeto.

1.Tercera Ley de newton La Tercera Ley de Newton permite estudiar la interacción mutua entre dos cuerpos. Ella establece que: =−

Si un cuerpo A ejerce sobre otro cuerpo B una fuerza FAB entonces B ejerce sobre A una fuerza igual y contraria:

Esta ley también es conocida como Ley de acción y reacción. Si la fuerza ejercida sobre el cuerpo A se denomina acción de B sobre A, entonces la fuerza que ejerce A sobre B se denomina la reacción de A sobre B.

 

 

Ecuaciones diferenciales del movimiento de una partícula

a. En coordenadas cartesianas: a=i+j+k De F=ma F=mi+mj+mk Fx

Fy

Fz Ecuación diferencial Del movimiento de la partícula

 b. En coordenadas cilíndricas

a=( -ρ) +( ρ+2 + F=ma =m( -ρ) +m( ρ+2 +  

 

 

Ecuaciones del Impulso y Momentum Si una fuerza actúa sobre una partícula durante un tiempo muy pequeño “dt” se denomina impulso elemental de la fuerza a la expresión

Si la fuerza que actúa sobre la partícula dura entre los instantes y , se denomina impulso total de la fuerza a la expresión:

Momentum Lineal El momentum lineal de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad. Designándolo por p, tenemos:

P = mv El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma dirección de la velocidad. Es un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. En adelante escribiremos la palabra momentum en lugar de ”momentum lineal”. En el sistema MKSC, el momentum se expresa en m kg s-1 (a esta unidad no se le ha dado un nombre especial).

Momentum Angular Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv.

El momentum angular con respecto a 0 de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v (y por consiguiente momentum p=mv) esta definido por el producto vectorial. L=rxp

L = r x mv

Momento angular de una masa puntual En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento P con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo L , siendo r el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será:

El vector L es perpendicular al plano que contiene r y V, en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla del sacacorchos y su módulo o intensidad es:

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo ) definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Momento angular y momento dinámico Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de r El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de v y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento P , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

Donde a es la aceleración de la partícula, de modo que ma= F es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de r por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, L y M deberán estar referidos al mismo punto O.

Momento angular de un conjunto de partículas puntuales El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal.

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Momento angular de un sólido rígido Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

Donde: W es la velocidad angular del sólido. I es el tensor de inercia del cuerpo. Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia I depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde α es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que I = cte aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular .

 

Teorema Impulso – Momentum

Si una fuerza actúa sobre una partícula, el impulso total de dicha fuerza es igual a la variación de la cantidad de movimiento. De: Multiplicando en dt:

En Términos Escalares:

 

Impulso Total

Variación del Movimiento lineal

 

Teorema de la Conservación de la Cantidad de Movimiento

Si sobre una partícula o sobre un sistema de partículas no actúa ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento se conserva. Cabe indicar que si la proyección de la fuerza sobre uno de los ejes coordenados es nula, la cantidad de movimiento a lo largo de este eje se conserva aún cuando no se cumple para otro eje. Para una partícula: De: Si: Momento = Momento Inicial Final

Para dos partículas:

m2

Va1

m2

-

Va2 m2

VS2

Para la Masa = Para la Masa Igualando

Momentum Inicial del Sistema

En general: ∑ mi vi = cte.

Momentum Final del Sistema

PROBLEMAS APLICATIVOS 1) Cuando un proyectil de masa “m” es disparado contra masas de tierra, experimenta

na fuerza retardatriz (C1 + C2 V donde C1 y C2 dependen de las propiedades del material y de la forma del proyectil. Si la velocidad de impacto es Vo , encontrar la penetración total. 2)

Solución: Y Vo X

“ m”

C1 + C 2 V2

De:

X max

X

Pero: Luego:

Cálculo de C:

Se pide

Si x=0

→

V=

2) Un peso descansa en la parte superior de una esfera de radio “r” sin fricción. El peso se desliza hacia abajo lateralmente sobre la esfera siguiendo un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Encontrar la posición en que el peso se separa de la esfera.

2

En 1:

3) Dos cuerpos 1y 2 están unidos por una cuerda inextensible y su peso según se indica. Inicialmente los cuerpos están en reposo. Si el coeficiente de fricción es M, determinar la velocidad de los cuerpos para el tiempo t, de modo que éste sea lo bastante pequeños para que el cuerpo 1 no llegue al extremo de la superficie inclinada.

Para el cuerpo 1: Para el cuerpo 2: 1 y 2:

4) Un cañón cuya ánima forma un ángulo α con la horizontal dispara una granada que tiene la velocidad con relación al ánima. El conjunto del cañón se encuentra montado sobre un emplazamiento horizontal sin fricción. La masa total del cañón es M y la masa de la granada es m. encontrar la velocidad de retroceso y del cañón y la magnitud de la velocidad absoluta de la granada en el momento de salida. (El retroceso tiene lugar sin que se opongan fuerzas de resistencia).

Solución: El momentum a lo largo del eje x se conserva, luego: ( momentum inicial) = (momentun final) o = m ( Vabs granada ) x −Mv

La velocidad absoluta de la granada será:

CONCLUSIONES •

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas. En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mútua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de las partículas.

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En muchos casos observamos el movimiento de solamente una partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de conservación del momentum. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina dinámica de una partícula.

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La primera y la tercera leyes de Newton del movimiento se emplearon de manera amplia en estática para estudiar cuerpos en reposo y las fuerzas que actúan sobre ellos. Estas dos leyes también se utilizan en dinámica en realidad, son suficientes para el estudio del movimiento de cuerpos que no tienen aceleración. sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es, cuando cambia la magnitud o la dirección de su velocidad, es necesario recurrir a la segunda ley de newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas q actúan sobre el.

RECOMENDACIONES •

Al estudiar la Dinámica de una Partícula se debe de tener en cuenta primero que es dinámica, estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen. es una rama de la mecánica que abarca casi toda la mecánica clásica. Esto es básico entender ya que es elemental para la buena aplicación de sus teoremas.

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El estudio de La Dinámica de la Partícula es fundamental basándose en teorías sobre las leyes de Newton y otras teorías en común y en la cual se debe de estudiar teniendo en cuenta que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas.

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La aplicación de La dinámica de una partícula en coordenadas diversas ya sea cartesianas, cilíndricas y tangenciales es recomendable desarrollarlo teniendo como base el desarrollo de lo tratado también en las coordenadas ya mencionadas en la Cinemática de una partícula.

GRA C

IAS. ..