Diagrama Trilineal 3r2c1

COMPORTAMIENTO A LA FLEXIÓN DE SECCIONES DE VIGA Diagrama Momento Curvatura

Comportamiento de una sección de viga.

M B A

C

DIAGRAMA TRILINEAL MOMENTO CURVATURA



A. Condición de inicio del agrietamiento del concreto. B. Condición de inicio de fluencia del acero en tracción. C. Inicio del aplastamiento del concreto.

Punto A: Condición de inicio del agrietamiento del concreto (cr ’ Mcr ) cr = Curvatura de agrietamiento. Mcr = Momento de agrietamiento. Momento de Agrietamiento: Para los momentos no mayores que el Mcr la sección de viga no está agrietada. Se considera que el comportamiento corresponde al estado elástico no fisurado. Se tiene:

fr I g My    M cr  I Yt donde, 2 fr = 2 f 'c Kg / cm Módulo de rotura del concreto.

Ig = Momento de inercia de la sección no agrietada. Yt = Distancia del centroide de la sección a la fibra extrema en tracción.

Determinación de Ig.

a)

Sección transformada

A’s

Yo = h/2

h

xC.G. Yt = h/2

As

b

n

b

Es Ec

Es  2 * 10 6 kg / cm2 Ec  15000 f 'c kg / cm2

(Concreto Normal )

yo 

bh (h / 2)  (n  1) A sd  (n  1) A 's d' bh  (n  1) A s  (n  1) A 's 2

bh3 h  Ig   bh  y o    (n  1) A s (d  y o )2  (n  1) A 's ( y o  d' )2 12 2  b)

Sección “Bruta” d’

(n – 1) A’s

A’s

yo

h

d As

bh 3 Ig  12

b

xC.G. (n – 1) As

yt

Curvatura Agrietamiento:

cr 

εt f  r y t Ec y t cr

yt

t Punto B: Condición de inicio de Fluencia (y ’ My ) Determinación de la profundidad del eje neutro:

b (kd)  nA s  (n  1) A's kd  b kd  kd   n A sd  (n  1) A's d' Resolviendo calculamos kd.

2

Determinación de la curvatura de fluencia, y :

y 

εy d  kd



f y / Es d  kd

c

d’

fc

´s

(n – 1) A’s

kd

C’s Cc

d

y n As

T = As fy

s = y

b

Momento de Fluencia:

1 f c kdb 2 C´s  A´s f´s

De la figura, C c 

donde, f´s  E s ε´s  f y ε's  ε c

kd  d' , kd

(d – kd)

εc  ε y

kd d  kd

kd   M y  Cc  d    C's (d  d' ) 3  

Punto C: Condición de inicio del Aplastamiento (nu’ Mnu ) Concreto “no calificado”, cu = 0.004 Concreto “confinado”, cu > 0.004 Código de Nueva Zelanda, cu  0.01 cu

d’

0.85f´c ’s c

C’s

a Cc

d

nu

b

a = 1* c

d – a/2

d – d’

T = As fy

s > y

Cc = 0.85 f’c ab

Mu = Cc (d – a/2) + C’s (d – d’)

(d – kd)

c’s = A’s f’s

Mnu sigue el análisis normal para la obtención de momento resistente de una sección.

nu 

ε cu c

Capacidad de ductilidad por Curvatura,

nu μc  y

APLICACIONES: APLICACIÓN Nº 01: Para la sección de la viga que se muestra en la figura, determine el diagrama momento-curvatura. Considere: f’c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2 ; para el inicio del aplastamiento: cu = 0.004 , As = 4  1’’ , estribos del N° 3

M C

B

65 cm

A

cr

y

nu

 25cm

Solución: Punto A: Inicio del agrietamiento (cr , Mcr) yo d

 cr

xC.G. (n – 1) As

fr Ig Mcr  yt fr  2 f 'c  33.47 kg / cm2 d  65  ( 4  0.95  1.5 * 2.54 )  56.24 cm. Es 2 * 10 6 n   7.97 Ec 15000 * 280

yt

yt

t

A s  4 * 5.07  20.28 cm 2 ( n  1) * As  141.25 cm 2 yo 

25 * 65 * 32.5  141.25 * 56.24  34.40 cm 25 * 65 *141.25

yt  65  34.40  30.60 cm 2

bh 3 h  Ig   bh  yo    ( n  1) As ( d  yo ) 2 12 2  I g  645423.6 cm 4 M cr 

33.47 * 645423.6  7.06 t  m 30.6 *105

cr 

 t fr / Ec 2 280 / 15000 280   yt yt 30.6

cr  4.36 * 10 6 rad / cm

Punto B: Inicio de la fluencia del acero en tracción, ( y , My)

c

fc kd

Cc

d

y n As b

(d – kd)

T = As fy s = y

(kd)2 25  161 .63 * 56.24  (25 kd  161 .63 ) kd 2 12.5 (kd)2  161 .63 * kd  9090 .07  0 (kd)2  12.93 (kd)  727 .21 0 kd   6.47  27.73  21.26 cm y fy / E s y   d  kd d  kd y 

0.0021 26.24  21.26

 y  60.03 * 10 6 rad / cm fc  Ec * c  320 kg / cm2  f 'c

Entonces la hipótesis no es confiable, por lo que el momento lo determinaremos mediante el bloque equivalente rectangular de esfuerzos:

a  1 * kd  0.85 * 21.26  18.07 cm

f’c a

cc

d

a 0.1827    M y  As f y  d    20.28 * 4.2  0.5624   2 2     M y  40.20 t  m

T = As fy

Punto C: Inicio del aplastamiento

a

c

As f y 0.85 * f 'c * b



20.28 * 4.2  14.32 cm 0.85 * 0.28 * 25

a a   16.85 cm 1 0.85

nu 

 cu 0.004   237.53*10 6 rad / cm c 16.84

 a M nu  As f y  d    41.80 t  m 2  c = 0.004 c

nu

Capacidad de ductilidad:

c 

nu 237.53   3.96 y 60.03 M (t – m) C

41.80

B

40.20 7.06

A

4.36

60.03



237.53 X 10-6 (rad/cm)

APLICACIÓN Nº 02: Para la sección de viga que se muestra en la figura, considerando sección confinada, cu = 0.006 determine la capacidad de ductilidad c. A’s = As=2  Nº 8 f’c = 280 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2 A’s

Estribos  3/8 40

As 25

Solución: A’s = As = 2 * 5.07 = 10.14 cm2 d = 40 – (4 + 0.95 + 1.27) = 33.78 cm d’= 6.22 cm

i) Curvatura Última nu: cu  0.006 's c  d'  0.006 c f 'c  12 *

f 's 

c  d' (a  0.85 * 6.22)  12 c a

12 * a  63.44  C's  f 's * A 's a

Cc  C´s  T 0.85 * f 'c a2 b  121 .68 * a  643 .28  29.39 * a 5.95 * a2  93.29 * a  643 .28  0

a 2  15.68 * a 108.11  0  f 's   0.25 t / cm2 c

a

1



 nu 

5.18  0.85



a  5.18 cm

 fy

conforme

6.09 cm

cu  9.85 *10  4 rad / cm c

ii) Curvatura de Primera Fluencia y: d’

(n-1)A’s = 70.68 cm2

y

d

(d – kd) n A s = 80.80

cm2 εy 

25

fy  0.0014 Es

Es 2 *106 n   7.97 Ec 15000 * 280 (25 * kd  0.8  70.68) * kd 

25 (kd ) 2  80.8 * 3.78  70.68 * 6.22 2

25 * (kd ) 2  151.48 * kd 12.5 (kd ) 2  3169.05 (kd ) 2  12.12 * kd  253.52  0  y 



kd 10.98 cm

0.0014  0.614 *10  4 rad / cm 33.78 10.98

iii) Capacidad de Ductilidad por curvatura:

Luego :

c 

nu 16.04 y