Desigualdad De Boole 2j53b

Desigualdad de Boole De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal, Teorema: Para una familia finita o numerable de sucesos A1, A2, A3, ..., se cumple:

Contenido [ocultar]  1 Demostración o 1.1 Familia finita o 1.2 Familia numerable o 1.3 Otro método o 1.4 Teoría de la medida  2 Desigualdades de Bonferroni 

3 Véase también

Demostración [editar] Familia finita [editar] Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita

de sucesos.

Se trata de probar que

.

La desigualdad es cierta para m = 1. Supuesta cierta para un m dado, se considera una familia Sea inducción).

de m + 1 sucesos. :

(hipótesis de

Entonces: , de donde: .

Familia numerable [editar] Ahora se trata el caso de una familia numerable

de sucesos.

Para todo número natural n (distinto de cero), sea

; entonces

. La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre n; en efecto y para todo n,

, entonces

.

Otro método [editar] Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea todo

,

Entonces

y para

. , y los sucesos

por otra parte, para todo

son incompatibles dos a dos;

, entonces

(

De todo esto, se deduce que

.

Axiomas de probabilidad De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda

es creciente).

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos. La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.

Contenido [ocultar]  1 Axiomas de Kolmogórov o 1.1 Primer axioma o 1.2 Segundo axioma o 1.3 Tercer axioma o 1.4 Propiedades que se deducen de los axiomas  2 Véase también  3 Referencias 

4 Enlaces externos

Axiomas de Kolmogórov [editar] Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma [editar] La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.

Segundo axioma [editar] La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.

Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.

Tercer axioma [editar]

Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces: . Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Propiedades que se deducen de los axiomas [editar] De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad: 1.

donde el conjunto vacío

representa en probabilidad el suceso

imposible 2. Para cualquier suceso 3. 4. Si

entonces

5. En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad). Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente , tomaremos como σ-álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por función de probabilidad

) y como

Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.

1.

, puesto que es el cociente de dos números positivos

2.

3. Si

de tal manera que entonces

con lo que

Véase también [editar]    

Axioma σ-álgebra o Sigma-álgebra Andréi Kolmogórov Teoremas de Probabilidad