Desigualdad De Chebyshev 22o3b

Ejemplos de Desigualdad de Chebyshev

1.- Supongamos que X es una variable aleatoria de media μ = 75 y desviación típica σ = 5 a) ¿Qué conclusión podemos obtener sobre X de la desigualdad de Chebyshev para k = 2 y k = 3? Con k = 2, obtenemos μ – kσ = 75 – 2 (5) = 65

y

μ + kσ = 75 + 2 (5) = 85

Podemos concluir que la probabilidad de que un valor de X esté entre 65 y 85 es al menos 1 - ( ) = ; es decir P (65 ≤ X ≤ 85) ≥ Con k = 3 μ – kσ = 75 – 3 (5) = 60

y

μ + kσ = 75 + 3 (5) = 90

1-( ) =1- =

P (60 ≤ X ≤ 90) ≥

b) Estimar la probabilidad de que X esté entre 75 – 20 = 55 y 75 + 20 = 95 Sea kσ = 20. Como σ = 5, k ∙ 5 = 20 obtenemos k = 4. Por la desigualdad de Chebyshev P (55 ≤ X ≤ 90) ≥ 1 -

=1-

=

0.94

2.- Sea X una variable aleatoria con media μ = 40 y desviación típica σ = 5. Usar la desigualdad de Chebyshev para hallar un valor b para el que P (40 – b ≤ X ≤ 40 + b) ≥ 0.95

1-

0.05 =

=

b = kσ = 5 ∙ 2 √ = 10√

= 0.95

k=√

= 20

=2√

23.4

P (40 – 23.4 ≤ X ≤ 40 + 23.4) ≥ 0.95

P (16.6 ≤ X ≤ 63.4) ≥ 0.95

3.- Sea X una variable aleatoria con media μ = 80 y desviación típica desconocida. Usar la desigualdad de Chebyshev para hallar un valor de σ para el cual P (75 ≤ X ≤ 85) ≥ 0.9 10.1 =

= 0.9 =

k=√

= 10

μ – kσ = 75 o μ + kσ = 85 80 + √

σ = 85

σ=

√

=

√

1.58

4.- Una variable aleatoria X tiene media μ = 12 y desviación típica σ = 9. Usar la desigualdad de Chebyshev para estimar el valor mínimo de P (3 < X < 21).

μ – kσ = 12 – 3k = 3

k=

= =3

y

μ + kσ = 12 + 3k = 21

k=3 P (3 < X < 21) ≥ 1 -

=1-

=1- =

0.88

5.- Supongamos que la experiencia demuestra que el tiempo Y (en minutos) necesario para dar mantenimiento periódico a un dictáfono sigue una distribución gamma con = 3.1 y β = 2. A un nuevo técnico en mantenimiento le toma 22.5 minutos revisar la máquina. ¿Este tiempo utilizado en el mantenimiento al dictáfono concuerda con el periodo anterior? β = (3.1)(

σ=√

) = 12.4

= 3.52

Dado que Y =22.5, supera a la media μ =6.2 por 16.3, entonces k=

= 4.63

Según la desigualdad de Chebyshev P (|Y – μ | ≥ kσ = P (|Y – 6.2 | ≥ (4.63)(3.52) ≤

=

= 0.0466