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CAPITULO 4 METODOS DE RESOLUCION DE CIRCUITOS

4.1.- Análisis de circuitos resistivos puros. 4.1.1.- Funciones de la red. 4.1.2.- Divisores de voltaje y corriente.

4.2.- Transformaciones en los circuitos eléctricos y redes equivalentes. 4.3.- Método de las mallas y de los nudos. 4.4.- Impedancia y itancia operacional. BIBLIOGRAFIA: [1] [2]

Cap 3: Circuitos resistivos simples. [3] Cap 4: Técnicas de análisis de circuitos. Cap 2: Kirchhoff’s Current and Voltage [8] Laws and Series-Parallel Resistive circuits. Cap 4: Node and Loop Analysis.

Cap 2: Leyes experimentales y circuitos simples. Cap 3: Circuitos resistivos simples Cap 3: Métodos de análisis de circuitos(I). Cap 4. Métodos de análisis de circuitos (II).

E

n los inicios del análisis de los circuitos eléctricos, se podían plantear todas las LKV y LKC que permitían determinar todas las corrientes y voltajes de un circuito. En teoría este método es absolutamente correcto, sin embargo en la práctica es poco eficiente ya que con un circuito de sólo seis ramas y cuatro nodos se obtienen 12 ecuaciones con 12 incógnitas (3 LKV, 3 LKC y 6 relaciones corriente-voltaje). Las 12 incógnitas son los 6 voltajes y 6 corrientes de rama. En estas condiciones apareció el método de las mallas el que trabaja con corrientes ficticias permitiendo así una disminución en el número de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso anterior las ecuaciones disminuyen de 12 a 3 en las cuales las únicas incógnitas son las corrientes. A partir de éstas se pueden determinar todas las variables buscadas. Luego se agregó el método de los nodos y con el desarrollo de los computadores, este método se popularizó puesto que es más práctico computacionalmente. En este capítulo se analizarán principalmente redes que contienen solamente resistores y fuentes. Debido a la relación corriente-voltaje en los resistores, las ecuaciones TEORIA DE REDES I.- 74

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

que resultan del planteamiento de las Leyes de Kirchhoff serán ecuaciones algebraicas. Es decir que en los sistemas de ecuaciones que se obtengan, no tendremos ni integrales ni derivadas de modo que el modelo matemático que caracteriza este tipo de circuitos será un sistema de ecuaciones algebraico, donde las incógnitas serán las variables que se desean calcular, ya sean corrientes o voltajes, los cuales repiten la forma de onda del estímulo. El método de Impedancia y itancia Operacional permitirá ampliar lo estudiado en los circuitos resistivos a circuitos que contengan condensadores e inductores. Es un método que facilita el manejo de las ecuaciones integro-diferenciales que se obtienen en el análisis de estos circuitos, debido a las relaciones corriente-voltaje en los condensadores e inductores.

4.1 Circuitos resistivos puros. i1

R1

a

i3 i2

+ eo

R2

R3

b Figura 4.1-1: Red resistiva pura.

La corriente en un circuito que tenga una sola fuente, dicha corriente la impone la fuente.

eo = Req ⋅ i1

⇒

Req = R1 + Req′ R2 + R3 R2 R3 + R1 (R2 + R3 ) R2 R3 U ab = eo ; R2 R3 + R1 (R2 + R3 ) i1 = eo ⋅

1 Req RR ′ Req = 2 3 R2 + R3

i1 = eo ⋅

U ab = i1 ⋅ Req′

R1 (R2 + R3 ) + R2 R3 R2 + R3 R2 i3 = eo R2 R3 + R1 (R2 + R3 )

Req =

si consideramos que el estímulo es eo y la respuesta del circuito Uab, la relación es: respuesta U ab R2 R3 = = R2 R3 + R1 ( R2 + R3 ) estímulo eo Conclusión: La relación entre las variables de un circuito resistivo es constante, o sea que sólo depende del valor de los componentes y de su configuración.

TEORIA DE REDES I 75

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

En los circuitos resistivos puros, la frecuencia de la onda de respuesta es igual a la frecuencia de la onda del estímulo, o sea, la red sólo depende del valor de la resistencia y de la configuración.

4.1.1.- Funciones de la red. Definición de los coeficientes de transferencia. Función de la red: f2 =H, f1 donde H es la función de la red. Esta sólo depende de los elementos que componen la red, de su configuración y no del estímulo que alimenta la red. Si el estímulo varía, la respuesta varía pero H permanece constante.

Es la relación entre la respuesta y el estímulo:

- Función de la red de entrada: Cuando estímulo y respuesta están ubicados en el mismo par de terminales puede llamarse resistencia propia (si está en Ω ) o conductancia propia (si está en mhos υ) Ejemplo: La resistencia propia de la red anterior sería: HR=

eo i1

- Función de la red de transferencia: Cuando la respuesta y el estímulo no están en el mismo par de terminales, la función de la red es de transferencia. En este caso se puede medir en Ω , siemens o adimensional. En los primeros casos se le llama función de la red. En el último ganancia o atenuación según si el valor es mayor o menor que uno. Ejemplo: si

U ab > 1, esta es una ganancia de voltaje, en el caso contrario es un atenuación de voltaje. eo

- Función de la red de salida: Cuando se analizan las respuestas y estímulos en los pares de terminales de salida.

Analizar cuáles son las diferentes funciones de la red calculadas en el ejercicio anterior.

TEORIA DE REDES I 76

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

4.1.2.- Divisores de voltaje y corriente.

+

Conexión en serie: +

U1

U3

U2

...... R1

R2

R3

Un Rn En un circuito serie la eo corriente es la misma en todos sus elementos, por lo que la I corrientes por R1, R2, ...Rn es Figura 4.1-2 la misma. Por Ley de Ohm, el voltaje en cada resistencia depende del valor de la misma. Sin embargo existe un método, llamado divisor de voltaje, que permite determinar directamente cuál es el valor del voltaje en cualquiera de las resistencias de un circuito serie:

Un = eo

Rn R1 + R 2 + R 3+.. + Rn

i

Conexión Paralelo: En un circuito paralelo el voltaje es el mismo en todos los elementos. Existe un método para determinar la corriente en una conductancia cualquiera del circuito paralelo denominado divisor de corriente. Este se expresa: in = i

+

....... i1

i2

i3

in

G1

G2

G3

Gn

U

Figura 4.1-3

Gn G1 + G 2 + G 3+.. + Gn

TEORIA DE REDES I 77

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Demostración del divisor de voltaje: Por LKV: -eo + R1·I + R2·I + R3·I +..+ Rn·I = 0 por otra parte, como Un = Rn·I

por lo que

I =

eo

∑

reemplazando queda: Un = e o Rn ∑R

R

qed.

Demostración del divisor de corriente: Por LKC: -i + U·G1 + U·G2 + U·G3+ ... + U·Gn = 0

por lo que U =

por otra parte, como in = Gn·U reemplazando queda: in = i

i

∑G

Gn qed. ∑G

EJERCICIO: Utilizando divisores de corriente y voltaje, determinar las variables i y V del circuito que se presenta a continuación: Re q 2 20 20 · 6 = 100 · = 100 · = 60V 80 Re q1 + Re q 2 200 + 20 6 6 V VT IT = T = = 100 = 3A Re qT Re q1 + Re q 2 200 1 1 i = I T · 40 = 3 * = 1 A 1 1 3 + 20 40

20

V = VT ·

15

IT

i

40

+

+ V

100v

40 -

TEORIA DE REDES I 78

25

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

4.2.- Transformaciones en los circuitos eléctricos y redes equivalentes. Introducción: Las transformaciones son una característica de los circuitos eléctricos que permiten la sustitución de una red por otra que no modifica los valores de las variables en el circuito. O sea, en los terminales donde se realizó la sustitución, circula la misma corriente y existe la misma ddp que para el circuito original. El objetivo de las transformaciones es facilitar el análisis de un circuito reemplazándolo por otro supuestamente más sencillo, o que va a permitir una simplificación del circuito original. En muchos casos es necesario volver al circuito original y aplicar en él los resultados encontrados. Para que el análisis del circuito sea correcto, la transformación de un circuito eléctrico debe desembocar en un circuito equivalente.

REDES EQUIVALENTES. En general interesa conocer el voltaje y la corriente solo en una rama del circuito y no todos los parámetros de la red. luego es conveniente utilizar técnicas que permitan transformar una red compleja en una red más simple pero equivalente con la que se simplifica el análisis. DEFINICION: Las redes R1 y R2 son equivalentes respecto a la red arbitraria R, si al ser conectadas a la red R no se alteran los valores de corriente y voltaje de las componentes de la red R. Nótese que si se realizan mediciones externas a las redes R1 y R2, es decir en R, se obtendrán idénticos resultados. Además R1 y R2 pueden contener componentes diferentes y estructuras diferentes. No es posible efectuar comparaciones entre variables internas de R1 y R2. Finalmente, R1 y R2 pueden ser consideradas como cajas negras en el sentido que no tiene mayor interés para el observador el contenido de las cajas. Lo que se puede comparar de ambas redes serán las relaciones entre sus variables terminales, o sea el voltaje y la corriente asociadas a la red arbitraria R. i

i RED R1

+ v -

RED R

RED R2

+ v -

RED R

Figura 4.2-1 TEORIA DE REDES I 79

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Para la red R no hay cambios en sus terminales si sustituimos la red R1 por la red R2 o inversamente, ya que éstas dos redes, R1 y R2, son equivalentes. Resumen de las Características: - La red R2 debe facilitar los cálculos con respecto a la red R1. - Mediciones externas a ambas redes arrojan resultados iguales. - Internamente la red R1 y la red R2 poseen componentes y topologías diferentes. - No se pueden efectuar comparaciones entre variables internas de las redes 1 y 2. A partir de este concepto se realizan las transformaciones delta-estrella, las transformaciones de fuente y se basan los teoremas de Thevenin y Norton. Las equivalencias se pueden presentar considerando diferentes conceptos: a) Equivalencia debido a iguales características de terminales. b) Equivalencia debido a valores iguales de las variables. c) Equivalencia debido a la movilidad de las fuentes. d) Equivalencia debido a transformaciones de fuentes. e) Equivalencia con respecto a un instante de tiempo. f) Redes equivalentes debido a aproximaciones numéricas. g) Redes equivalentes debido al rango de operación.

Transformaciones delta-estrella: Configuración estrella: 1

R1

2

1

R1 R2

R2 R2

R1

2 4

4

4

2

1

R3

R3 R3

3

3 3

Tipo Y

Tipo T Figura 4.2-2

Esta configuración posee 3 ramas y 4 nodos (no pueden haber fuentes en las ramas).

TEORIA DE REDES I 80

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Configuración delta: R12

R12

1

2

R13

2

1

R23

R13

R12 R13 3

Tipo Δ

R23

R23 3

3

1

2

Tipo Π Figura 4.2-3

Esta configuración posee 3 ramas y 3 nodos (no pueden haber fuentes en las ramas).

Una delta se puede transformar en una estrella e inversamente haciendo los siguientes procedimientos: R12 1 2 - En el circuito original, configurar la delta (o la estrella) dentro de los terminales de la estrella (o delta) que se desea cambiar. R2 R1 - Reemplazar los valores de las resistencias de una 4 R3 R23 R13 configuración por los valores de la otra según las siguientes R3 ecuaciones: 3

Figura 4.2-4 - Transformación delta a estrella: R12 ⋅ R13 R12 ⋅ R 23 R1 = R2 = R12 + R 23 + R13 R12 + R 23 + R13

R3 =

R13 ⋅ R 23 R12 + R 23 + R13

- Transformación estrella a delta: R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3 R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3 R12 = R13 = R3 R2

R 23 =

R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3 R1

TEORIA DE REDES I 81

3

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Transformaciones de fuentes: Las fuentes independientes REALES se pueden transformar utilizando el siguiente método: Ri a

a

+

Gi

Rc Vo

Io

Ic

Rc Ic

b

b

Figura 4.2-5 - De fuente real de corriente a fuente real de voltaje: Io 1 Vo = Ri = Gi Gi

- De fuente real de voltaje a fuente real de corriente: Vo 1 Io = Gi = Ri Ri

Se supone que la corriente Ic es la misma para ambos circuitos si se cumplen las relaciones anteriores.

EJERCICIO: Hallar la corriente y el voltaje en las diferentes ramas del siguiente circuito empleando transformaciones de fuente.

i1

3V

2

3

i3

+ +

1A 2

6V

i2

1 i4

NOTA: En el momento de transformar los circuitos se debe tener particular cuidado en los terminales que están actuando, ya que éstos no se deben perder en el circuito equivalente resultante.

TEORIA DE REDES I 82

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

EJERCICIOS: Utilizando Divisores de Corriente y Voltaje y/o transformaciones, determinar las variables Io y Vo, señaladas en los siguientes circuitos: EJERCICIO 1

2•3 6 = 2+3++ 8 3•3 9 = Donde: R 2 = 2+3+3 8 2•3 6 = R3 = 2+3+3 8 R1 =

4Ω 3Ω

2Ω

Ιο

4Α 3Ω

5Ω

5Ω

Realizando una transformación de delta a estrella el circuito queda: 4Ω

R1

R3 4Α

Tal como queda el circuito se puede plantear que la corriente que entrega la fuente se repartirá según un divisor de corriente por las dos ramas en paralelo. Por lo que se puede utilizar este método y plantear que:

Io = 4 •

R2

1 5 + R2 1 1 + 5 + R2 5 + R3

= 1.926 A

Ιο 5Ω

5Ω

EJERCICIO 2 8Ω

5Ω

5Ω

+ 20V

10Ω

+ Vo − 12Ω

12Ω

Circuito 2a.2,5Ω

+

+

2.4Ω

8Ω

En el circuito anterior, como las resistencias de 8 y 12 Ohm están en paralelo el circuito se puede transformar al circuito que se muestra en la figura 2b.La resistencia de 10Ω no influye en el hecho de que el voltaje de la fuente se reparta como divisor de voltaje en las resistencias de 2,5 y 2,4 Ohm. Por esta razón, el voltaje Vo en la resistencia de 2,4 Ohm es el mismo que se indica en el circuito 2a, por lo que se tiene que:

Vo = 20 •

2 ,4 = 9,796 2,4 + 2,5

Vo 20V

10Ω

−

Circuito 2b.-.

TEORIA DE REDES I 83

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

EJERCICIO 3:

ib

R1

+

Io

+

ib Io

Vs R2

Vs

Ro

R3 -

Circuito 3a. haciendo una transformación de la fuente real de corriente se obtiene:

Ro

ib

R1

+

+

Io

+

ib R2

Vs

Ro·Ie

Vs R3

LKV

-

circuito 3b.

Utilizando divisores de Voltaje y analizando el circuito 3b se tiene que: 1 Io = ib • R 3 1 R2 + R3 Pero por LKV en la primera parte de circuito se tiene que: Ro • ib + Vs = Ro • Ie pero se tiene que Vs = Io • R 3 1 por lo que ib = ( Ro • Ie − Io • R 3) • Ro ⎛ R3 R 3 ⎞⎛ R 2 + R 3 ⎞ ⎟ queda entonces: Io = ⎜ Ie − Io • ⎟⎜ ib = Ie − Io • ⎝ Ro Ro ⎠⎝ R 3 ⎠ R 2Ro + R 3Ro Por lo que Io = • Ie R 2R 3 + R 32 + RoR 3

TEORIA DE REDES I 84

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

4.3.- Método de las mallas y de los nudos. METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA:

El método de las corrientes de malla es uno de los que se aplica en circuitos de estructura compleja, como frecuentemente aparecen en la práctica. Se basa en la superposición de corrientes ficticias que en vez de circular por ramas específicas, lo hacen por las mallas de circuito. Una malla se define como cualquier lazo cerrado que no contiene otros lazos en su interior (ver Capítulo 3: Topología de redes). Al final, las corrientes de rama se obtienen con relativa sencillez a partir de las corrientes de malla.

En la figura 4.3-1 se muestra el grafo de un circuito de estructura compleja.

i6

i7 I4

I3 i3

i1

I1

i8

i1, i2, i3, i4, ... representan las corrientes que circulan por las ramas, llamadas corrientes de rama.

i5

I1, I2, I3, ... representan las corrientes que circulan por las mallas, llamadas corrientes de malla.

i4 i2

I2

Figura 4.3-1

Observe que hay menos cantidad de corrientes de malla que corrientes de rama por lo que disminuirá cualquier sistema de ecuaciones.

Las mallas se han escogido de manera tal que cada una de ellas contiene al menos una rama no contenida en otras mallas, para garantizar la independencia lineal de las ecuaciones resultantes. Los sentidos de las corrientes de malla se escogen arbitrariamente. Cuando una rama pertenece a una sola malla, la corriente de ésta tiene el mismo valor absoluto que la corriente de la malla. Su signo depende de la coincidencia de los sentidos de ambas corrientes: cuando los sentidos coinciden, los signos son iguales, si no los signos son contrarios. Acorde a esto en la figura sucede que i1 = I1 porque la rama 1 pertenece solo a la malla 1 y el sentido de las corrientes de rama y malla coinciden. Ahora bien, i5 = -I2 porque la rama 5 solo pertenece a la malla 2 y los sentidos de ambas corrientes son contrarios. En el caso en que una rama pertenece a varias mallas, la corriente en la mismas es igual a la suma algebraica de todas las corrientes de malla que contengan a dicha rama. Se les da un signo positivo a las corrientes de malla cuyo sentido coincide con el de la corriente de rama y signo negativo en el caso contrario. TEORIA DE REDES I 85

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

De esta forma se tienen las siguientes expresiones para algunas corrientes de rama: i2 = I1 + I2 i3 = I1 - I3 i4 = -I2 - I4

El método de las corrientes de malla se basa en la aplicación de las LKV en cada una de las mallas escogidas. Para la fundamentación del método, se puede suponer que la malla 1 está constituida como se muestra en la figura 4.3-2:

Aplicando la LKV 1 se obtiene la expresión (1).

I3 i3

R3 e3

R1

+

i2 R2

+ e1

+

I2

Sustituyendo las corrientes por sus valores respecto a las corrientes de malla se obtienen las expresiones siguientes:

e2 i1 Figura 4.3-2

− e1 + e 2 − e 3 + R1 • i1 + R 2 • i 2 + R 3 • i 3 = 0

(1)

R1 • I 1 − R 2 • ( I 1 + I 2) + R 3 • ( I 1 − I 3) = e1 − e 2 + e 3 ( R1 + R 2 + R 3) • I 1 + R 2 • I 2 − R 3 • I 3 = e1 − e 2 + e 3

Ecuaciones análogas se pueden obtener para el resto de las mallas del circuito. Si el número de mallas es k, el sistema general de ecuaciones de corrientes de mallas puede escribirse de la forma siguiente: ⎧ R11 • I 1 + R12 • I 2+...+ R1k • Ik = ∑ E1 ⎪ ⎪⎪ R21 • I 1 + R 22 • I 2+...+ R2 k • Ik = ∑ E 2 ⎨... ⎪... ⎪ ⎪⎩ Rk 1 • I 1 + Rk 2 • I 2+...+ Rkk • Ik = ∑ Ek En el sistema de ecuaciones debe señalarse que:

TEORIA DE REDES I 86

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

I1, I2, ...Ik: R11, R22, ...Rkk:

R12, R13,...

∑ E1, ∑ E 2 ...

son las distintas corrientes de malla y constituyen las incógnitas del sistema de ecuaciones obtenido. son coeficientes que se denominan resistencias propias de la malla en cuestión. Se obtienen sumando todas las resistencias que existan en la malla de que se trate y siempre estarán precedidos por el signo +. los restantes coeficientes se denominan resistencias mutuas entre las mallas de que se trate y se obtienen sumando todas las resistencias comunes a ambas mallas. Están precedidos por el signo más si las dos corrientes de malla recorren la rama en el mismo sentido (R12 = + R2) y por el signo menos en caso contrario (R13 = - R3). En los circuitos lineales bilaterales se cumple que: Rik = Rki. se denominan fem de la malla y se determinan sumando algebraicamente los valores de los voltajes de todas las fuentes que pertenecen a la malla en cuestión. Se le adjudica signo más a aquellas fuentes cuya polaridad favorece el sentido establecido para la corriente de malla en cuestión y menos a aquella cuya polaridad se opone al sentido de dicha corriente de malla. En la malla 1 las polaridades delas fem e1 y e3 favorecen el sentido de circulación de la corriente, pero e2 se opone a este sentido por lo que ΣE1=e1-e2+e3.

En una determinada red de m ramas y n nodos, el número (ne) de corrientes de malla y de ecuaciones es: ne = m - n -1; ya que este es el número de veces que se puede plantear LKV, garantizando la independencia lineal entre las ecuaciones. Este número coincide (volviendo al análisis topológico) con la cantidad de eslabones de la red en cuestión para un árbol cualquiera de la misma. Comparando los métodos de las corrientes de rama con el de las corrientes de malla, este último resulta más práctico ya que conlleva la resolución de menos ecuaciones simultáneas: Para cualquier red de m ramas y n nodos el número de ecuaciones que se obtienen en cada método es el siguiente: Método de las Ramas: Método de las Mallas:

se resuelven m ecuaciones de las cuales n-1 se obtienen a partir de plantear LKC y m-n+1 se obtienen de LKV. se obtienen m-n+1 incógnitas, siendo éste el número de ecuaciones a resolver.

El sistema de ecuaciones puede ser planteado en forma matricial de la siguiente forma:

TEORIA DE REDES I 87

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

⎡ R11 R12 ... R1k ⎤ ⎡ I 1⎤ ⎡ ∑ E1⎤ ⎥ ⎢ R 21 R 22 ... R 2k ⎥ ⎢ I 2⎥ ⎢ E 2 ∑ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ •⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ Rk 1 Rk 2 ... Rkk ⎦ ⎣ Ik ⎦ ⎢⎣ ∑ Ek ⎥⎦ o de forma abreviada como:

[ R] • [ I ] = [ ∑ E ] Para concluir la explicación teórica sobre este método, hay que señalar que es recomendable que las posibles fuentes reales de corriente que tenga el circuito se transformen en fuentes de voltaje. Si el circuito posee fuentes ideales de corriente, es recomendable utilizar el método de los Lazos que se describe a continuación.

METODO DE LOS LAZOS:

Este método difiere del anterior solamente en la selección de las trayectorias que se tomarán para establecer las corrientes ficticias. En este método se puede tomar cualquier trayectoria cerrada, o sea cualquier LAZO del circuito. Sin embargo un problema surge aquí: ¿Cómo garantizar la independencia lineal de las ecuaciones obtenidas? Para esto hay que recurrir a los conceptos topológicos de árbol. Los pasos a seguir son los siguientes: 1.- Construir el árbol topológico del circuito analizado. 2.- Seleccionar los lazos de manera que cada lazo contenga únicamente un eslabón. 3.- Plantear el sistema de ecuaciones de lazos trabajando con las corrientes de los lazos seleccionados en el punto anterior. NOTA: Habrán tantas corrientes de lazo como eslabones del circuito. Por otra parte, si existe una Fuente ideal de corriente, ésta se encuentra en un eslabón (ver Capítulo 3: Topología de circuitos), o sea pertenece a un sólo lazo. Por esta razón podremos afirmar que el valor de la corriente del lazo correspondiente no es más que el valor de la fuente ideal de corriente.

TEORIA DE REDES I 88

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

METODO DE LOS VOLTAJES DE NODO:

Este método puede aplicarse en el análisis de circuitos lineales de cualquier configuración. Las incógnitas en este método son los voltajes de los distintos nodos con respecto a otro, escogido como nodo de referencia, o sea como nodo cuyo potencial se supone igual a cero. Asumir como nulo el potencial de un nodo no altera el comportamiento de la red, ya que, como se sabe de la física, las diferencias de potenciales no dependen de la referencia que se tome. + V5

En el grafo de la figura 4.3-2, el nodo 0 se ha tomado como nodo de referencia. V1, V2, V3,...representan los voltajes de nodo o sea, la diferencia de potencial entre el nodo 1 y el nodo 0, entre el nodo 2 y el nodo 0, entre el nodo 3 y el nodo 0,... respectivamente. La polaridad positiva se supone en el nodo en cuestión y no en el de referencia.

5 + V3 3

4

+ V1

+ V2

1

2

+ V4

-

0

Figura 4.3-3

A partir de los voltajes con respecto al nodo de referencia, pueden encontrarse las tensiones en todas las ramas a partir de la LKV. En la trayectoria 1-2-0-1, por ejemplo, designando V12 al voltaje entre los nodos 1 y 2, se plantea la siguiente LKV: V12 + V2 - V1 = 0

⇒

V12 = V1 - V2

Generalizando, cualquiera sea el voltaje entre dos nodos Vij, éste se obtiene a partir de los voltajes de nodo mediante la igualdad: Vij = Vi - Vj. El método de los voltajes de nodo se basa en la aplicación de las LKC en cada nodo excepto en el de referencia. Para la fundamentación del método, se puede suponer que el nodo 1 está constituido como se muestra en la figura 4.3-4:

TEORIA DE REDES I 89

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Aplicando una LKC en el nodo 1 y la Ley de Ohm en cada conductancia se obtiene la expresión (2).

3 G3 i3

i2 2

1

Luego, sustituyendo los voltajes de rama por los voltajes de nodo se obtienen las expresiones siguientes:

G2 i1

G1 0 Figura 4.3-4

−i1 + G1 •V 10 + i 2 + G 2 •V 12 + i 3 + G 3 •V 13 = 0

(2)

G1 •V 1 + G 2 • (V 1 − V 2) + G 3 • (V 1 − V 3) = i1 − i 2 − i 3 ( G1 + G 2 + G 3) •V 1 − G 2 •V 2 − G 3 •V 3 = i1 − i 2 − i 3 Ecuaciones análogas se pueden obtener para los restantes nodos, excepto en el de referencia. Simbolizando por n el número de nodos, se puede afirmar que en una red donde n-1=h, el sistema general de los voltajes de nodo tiene la forma siguiente:

⎧G11 •V 1 − G12 •V −...− G1h •Vh = ∑ I 1 ⎪ ⎪⎪− G 21 •V 1 + G 22 •V 2−...− G 2h •Vh = ∑ I 2 ⎨. ⎪ . ⎪ ⎪⎩− Gh1 •V 1 − Gh2 •V 2−...+ Ghh •Vh = ∑ Ih En este sistema de ecuaciones debe señalarse que: V1, V2, ... G11, G22, ...

G12,G13, ...

representan los potenciales de los n-1 nodos del circuito (excluido el de referencia). Estas son las incógnitas del sistema. son los coeficientes denominados conductancias propias del nodo en cuestión. Se calculan sumando todas las conductancias que convergen al nodo de que se trate y siempre están precedidas por el signo más. Los restantes coeficientes se denominan conductancias mutuas entre los nodos de que se trate y se obtienen sumando las conductancias que se encuentran entre ambos nodos. Estos coeficientes siempre están precedidos por el signo menos. En la

TEORIA DE REDES I 90

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

ΣI1, ΣI2, ...

figura, la conductancia mutua entre los nodos 1 y 2 es G2 y aparece con signo menos en la ecuación. En los circuitos lineales bilaterales se tiene que Gij=Gji. se determinan sumando algebraicamente los valores de corriente que proporcionan las fuentes y que convergen al nodo en cuestión. Se le adjudica signo más a las corrientes que convergen y signo menos en el caso contrario. En el esquema, sólo la corriente y1 converge al nodo 1; es por eso que es la única que posee signo positivo, las demás son negativas.

En una determinada red de n nodos, el número de ecuaciones del método de los voltajes de nodo coincide con el número de ramas del árbol: nra= n -1. En general es conveniente tomar como nodo de referencia el nodo hacia el cual convergen más ramas, lo que permite conocer en forma directa la tensión de un mayor número de ramas. Si entre dos nodos existe una fuente ideal de voltaje, la tensión de esa rama es la que proporciona dicha fuente. Para aplicar el método de los nodos es recomendable transformar las fuentes reales de voltaje a fuentes reales de corriente.

El sistema de ecuaciones de nodo puede ser planteado en forma matricial de la siguiente forma: ⎡ G11 − G12 ... − G1h ⎤ ⎡ V 1⎤ ⎡ ∑ I 1⎤ ⎥ ⎢ − G 21 G 22 ... − G 2h⎥ ⎢V 2⎥ ⎢ I 2⎥ ∑ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . ⎥ •⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ − Gh1 − Gh2 ... Ghh ⎦ ⎣ Vh ⎦ ⎣ ∑ Ih ⎦

Comparando los métodos de las mallas con el método de los nodos, siempre se escogerá el método que implique menos ecuaciones para el sistema. Esto se hace comparando el número de eslabones (Nº de ramas - Nº de nodos + 1) que representa la cantidad de ecuaciones de malla, con el número de ramas del árbol (Nº de nodos - 1) que representa el número de ecuaciones de nodo.

TEORIA DE REDES I 91

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

4.4.- Impedancia y itancia operacional. En este epígrafe vamos a estudiar una forma de aplicar los métodos de las mallas y de los nodos en circuitos que contengan Resistores, inductores y condensadores. En los circuitos que poseen inductores y condensadores, las ecuaciones obtenidas al plantear LKV o LKC son integro-diferenciales. Veamos el siguiente ejemplo:

L

R1

Apliquemos una LKV en cada malla: 1 t R1 • i1 + ∫ i 3 • dt − Vs = 0 C0

+ i1

C

Vs

i3

−

R2

i2

1 t di 2 + R2 • i2 = 0 i 3 • dt + L ∫ C0 dt

Figura 4.4-1

La resolución e incluso el planteamiento de este tipo de ecuaciones es complicado. Hoy la computación permite resolver muy fácilmente este tipo de problemas. Sin embargo es primordial ingresar correctamente los datos y por esta razón dominar el planteamiento de las ecuaciones. Definamos a D, operador diferencial como: D=

d( dt

)

y

D

−1

1 t = = ∫ ( )dt D o

De esta definición del operador diferencial, se pueden definir las impedancias y itancias operacionales según la siguiente tabla:

ELEMENTO

R

L

C

IMPEDANCIA OPERACIONAL

ITANCIA OPERACIONAL

ZR=R

YR=G

ZL(D)=LD

1 YL (D)= D-1 L

1 ZC(D)= D-1 C

YC=CD

TEORIA DE REDES I 92

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

Si aplicamos impedancias operacionales en el circuito que inicialmente analizamos, obtendremos las siguientes ecuaciones: R1 • i1 + −

1 −1 D • i 3 = Vs C

1 −1 D • i 3 + LD • i 2 + R 2 • i 2 = 0 C

Aplicando el método de las mallas en el mismo circuito y considerando las mallas que se representan en la figura 4.4-2: L

R1 i1

+ Vs

I2 C

I1 i3

i2

R2

Figura 4.4-2

el sistema de ecuaciones obtenido es: ⎧ 1 −1 1 −1 ⎪( R1 + C D ) I 1 − ( C D ) I 2 = Vs ⎨ ⎪− ( 1 D −1 ) I 1 + ( 1 D −1 + LD + R 2) I 2 = 0 ⎩ C C

EJERCICIOS: EJERCICIO 1:

e5

+

I1 e2 i1

⎧( R1 + R2 + R3) • I 1 + R2 • I 2 − R3 • I 3 = e1 − e2 ⎪ ⎨ R 2 • I 1 + ( R 2 + R 4 ) • I 2 + R 4 • I 3 = − e2 + e6 ⎪ R3 • I 1 + R4 • I 2 + ( R3 + R4 + R5) • I 3 = − e5 ⎩

i4

i2

R1

El sistema de ecuaciones de malla de este circuito queda: i5

I3 R4

R3

i3

+ e1

R5

R2 +

I2 i6

+ e6

Además se obtiene las corrientes de rama a partir de las corrientes de malla como:

i1 = I 1

i4 = I 2 + I 3

i 2 = I1 + I 2 i 3 = I1 − I 3

i5 = − I 3 i6 = I 2

TEORIA DE REDES I 93

Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.

EJERCICIO 2: Para el siguiente circuito: - Determinar la malla o lazo que falta. - Plantear el sistema de ecuaciones. - Hallar todas las corrientes de rama.

i1

2Ω

Para disminuir el número de ecuaciones se utilizará el método de los lazos ya que de esta forma la corriente I1 tomará el valor de la fuente controlada de corriente. El lazo que falta será el lazo externo que rodea todo el circuito por lo que el sistema de ecuaciones queda:

1,2· i2

Ι1 5Ω i2

+ −

20Ω

i4

i5

Ι2

10Ω Ι3

100V

SISTEMA DE ECUACIONES: Z11:

Z12:

7

· I1

Z21:

Z31:

· I1

· I3

=

· I3

=

Z33:

0

I1 = 1,2 · i2 e i2 = I3- I2 Resolviendo este sistema se obtiene

· I2

Vx V2

0

· I2

Z32:

-2

· I3

=

Z23:

15

· I1

-2

· I2

Z22:

-5

V1

Z13:

-5

-100 V3

+22

i3

100

Además se tiene que:

I1= 2.7606A I2= -3.1925A I3= 5,4930A

CORRIENTES DE RAMA: CORRIENTE

EXPRESION EN FUNCION DE LAS CORRIENTES DE MALLA

i1 =

I3-I1

VALOR FINAL (A) = 2.7270

i2 =

I3-I2

= 8.6855

i3 =

I3

= 5.4930

i4 =

I1-I2

= 5.9585

i5 =

- I2

= 3.1925

TEORIA DE REDES I 94