Comportamiento Dinamico De La Maquina De Induccion.pdf 5d3k1z

´ COMPORTAMIENTO DINAMICO DE LA ´ ´ MAQUINA DE INDUCCION ´ ELO386 - CONTROL DE ACCIONAMIENTOS ELECTRICOS U NIVERSIDAD T E´ CNICA F EDERICO S ANTA M AR´I A

Miguel San Mart´ın A. 201121074-3 Resumen—El inter´es en que se centra esta tarea en analizar y comprender el funcionamiento de la m´aquina de inducci´on. Para esto se estudiar´a el modelo estacionario y el din´amico, planteando las ecuaciones caracter´ıstica de esta m´aquina adem´as de graficar el comportamiento que tiene el torque con respecto a la velocidad de giro. Finalmente se simular´a ambos modelos en vacio y con carga utilizando las herramientas computacionales “Simulink” y “Plecs” Index —M´aquina AC, Squirrel-Cage, Modelo din´amico, Modelo estacionario

I.

´ I NTRODUCCI ON

La m´aquina AC es una herramienta capaz de transformar energ´ıa el´ectrica en mec´anica o viceversa. Dependiendo como se utilice puede ser denominada motor o generador, pero en b´asicamente la construcci´on de la m´aquina es la misma en ambos casos. As´ı mismo, existen principalmente dos clases de m´aquinas AC: la m´aquina s´ıncrona y la m´aquina de inducci´on (tambi´en denominada as´ıncrona). La primera son motores y generadores cuya corriente de campo magn´etica es suministrada por una fuente de potencia AC externa, mientras que la m´aquina de inducci´on provee el campo magn´etico a trav´es de inducci´on magn´etica (acci´on transformadora)[1]. En esta tarea se da especial e´ nfasis a las m´aquinas de inducci´on, espec´ıficamente a la llamada squirrel-cage (jaula de ardilla), la cual est´a presente en mucha de las aplicaciones industriales para el movimiento de ventiladores, correas, bombas hasta puede ser encontrado en veh´ıculos el´ectricos tal como se da en los reconocidos “Tesla Motors” . II.

DATOS

Para esta tarea se utiliza los siguientes par´ametros para el motor de inducci´on: P = 2 pares de polos. Jm = 0,135[Kgm2 ] (Solo el motor) Lm = 50[mH], Ls = 52[mH], Lr = 53[mH]; R20 = 0,2[Ω] , R1 = 0,2[Ω] Este motor es conectado directamente a la red el´ectrica de 50 [Hz] y Vll = 380[V rms]. A su vez el rotor es conectado r´ıgidamente a un ventilador (curva cuadr´atica de carga) que a velocidad nominal ejerce un torque igual a 80 % del torque nominal del motor y cuya inercia es JL = 1,54[kgm2 ].

III. III-A.

D ESARROLLO

Caracter´ıstica estacionaria de la m´aquina

Los motores de inducci´on dependen de los voltajes y corrientes inducidos en el rotor desde el estator. Este proceso de inducci´on constituye una acci´on transformadora de las variables antes mencionadas, por lo tanto es l´ogico realizar un equivalente con el modelo de un transformador.Sin p´erdida de generalidad se puede considerar que la relaci´on en el n´umero de vueltas del devanado entre primario y secundario es igual a uno, si se reflejan las componentes hacia el lado de la fuente se puede obtener un equivalente como se muestra en la figura (1).

Figura 1: Circuito equivalente por fase del motor Donde R1 y X1 modelan la parte del estator, R2 /S y X2 la parte del rotor y finalmente Rf y Xm la magnetizaci´on entre estas dos. Se define la variable S como el deslizamiento de la m´aquina el cual es diferencia relativa entre la velocidad del campo magn´etico y la velocidad del motor S=

(ωsin − ωm ) ωsin

(1)

Donde ωsin = 2πf es la frecuencia de alimentaci´on en el estator y ωm es la velocidad del rotor. Bajo el supuesto que no hay perdidas en la magnetizaci´on de la m´aquina, entonces Rf = 0[Ω]. Posteriormente, para la simplificaci´on del circuito de la figura (1), se puede realizar un equivalente Thevenin visto desde los terminales de Xm . De esta manera el nuevo circuito queda reducido a la imagen de la figura (2)

X1 = ω(Ls − Lm ) → 2 · 1500

2π 2 · 10−3 = 0,628[Ω] 60

2π 3 · 10−3 = 0,942[Ω] 60 Si se realizan los correspondientes reemplazos con los datos iniciales se obtienen los siguientes valores : X2 = ω(Lr − Lm ) → 2 · 1500

Figura 2: Circuito equivalente Thevenin por fase del motor

Vth = 220

Donde es posible determinar que : Vth = V1 p Zth =

Xm R12

+ (Xm + X1

)2

jXm (R1 + X1 ) → Rth + jXth R1 + j(Xm + X1 )

(2)

Rth ≈ R1

Xm Xm + X1 Xm Xm + X1

15,7 · 0,628 → 0,6[Ω] 15,7 + 0,628 3 · 2202 0,2 S

(3) T =

Debido a que Xm >> R1 y tambi´en Xm >> X1 las ecuaciones (2) y (3) pueden aproximarse a lo siguiente: Vth ≈ V1

Rth =

15,7 → 211,5[V ] 15,7 + 0,628

(4)

157,08 · [(0,628 +

0,2 2 S )

+ (0,628 + 0,628)2 ]

En base a la ecuaci´on anterior, se puede graficar el torque de la m´aquina el´ectrica en funci´on de la velocidad. Dicha gr´afica se encuentra en la imagen de la figura (3).

2 (5)

200 100

(6)

En cuanto en a la potencia en el entrehierro, esta viene dada por: R2 2 (7) PEH = 3(I2 ) S Donde la corriente es definida como :

Torque[Nm]

Xth ≈ X1

0 −100 −200 −300 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Velocidad [rpm]

I2 = q

Vth (Rth +

R2 2 S )

(8)

+ (Xth + X2 )2

Hay que destacar que la ecuaci´on (7) considera toda la potencia inyectada al rotor, la cual un porcentaje es disipada por el cobre y la otra parte se convierte en energ´ıa mec´anica. Espec´ıficamente, la potencia mec´anica puede escribirse como: 1−S Pmec = 3(I2 )2 R2 (9) S Por otra parte el torque se define de la siguiente manera:

T =

2 R2 3Vth PEH S → ωsin ωsin [(Rth + RS2 )2 + (Xth + X2 )2 )]

(10)

Finalmente, transformando las componentes a sus respectivas impedancias: Xm = ωLm → 2 · 1500

2π 50 · 10−3 = 15,7[Ω] 60

Figura 3: Curva caracter´ıstica torque vs velocidad de la m´aquina de inducci´on A partir de esta curva, se pueden realizar varios comentarios: El torque es cero a velocidad s´ıncrona Existe un torque m´aximo el cual no se puede exceder. Por lo general es 2 o 3 veces m´as grande que el torque nominal de la m´aquina. El torque de arranque (cuando la m´aquina se encuentra a velocidad cero) es un poco mayor que su torque nominal. Si la velocidad del rotor del motor de inducci´on es superior a la velocidad s´ıncrona, se invierte la direcci´on del torque y esta comienza a trabajar como generador, transformando energ´ıa mec´anica en el´ectrica. Si la m´aquina gira en relaci´on contraria a los campos magn´eticos, el torque detendr´a r´apidamente al motor y tratar´a de hacerla girar en sentido inverso. Esta es una manera de detener r´apidamente la m´aquina recibe el nombre ”frenado por contracorriente”

Para determinar la velocidad nominal de la m´aquina, es necesario utilizar la ecuaci´on (10) sabiendo que el motor tiene una potencial nominal de 15[kW]. Reemplazando los datos se obtiene una velocidad de Vnom = 1464[rpm]. Finalmente, con la imagen de la figura (3) se puede determinar el que el torque nominal de la m´aquina a velocidad nominal es de Tnom = 94[N m]. Como bien se sabe, el curva caracter´ıstica de un ventilador puede describirse como una ecuaci´on cuadr´atica de la forma Tv = K · Vv2 , donde Tv es el torque ejercido en el eje del ventilador, Vv es la velocidad de giro del ventilador y K una constante, la cual es necesario ajustar para hacerla coincidir con el enunciado del problema. Seg´un este, el motor conectado al ventilador a velocidad nominal aplica un 80 % del torque nominal entonces, con los datos obtenidos anteriormente se puede plantear lo siguiente: 2 Tnom · 0,8 = K · Vnom → K = 0,8

#» Lm Rr #»αβ Rr #»αβ dΨαβ #» r = is − Ψ + jω Ψαβ r dt Lr Lr r

Donde la velocidad es medida en [rad/s]. Si se realiza la intersecci´on entre la curva del ventilador y la curva del motor de inducci´on se obtiene la imagen de la figura (4) 250 200 150

(15)

Haciendo el mismo procedimiento anterior pero ahora reemplazando en la ecuaci´on (13). L2m Lm #»αβ #»αβ #»αβ Ψ + i s Ls 1 − (16) Ψs = Lr r Ls Lr Es conveniente realizar el cambio de variable σ = (1 − Lm 2/(Ls Lr )). De esta manera, derivando la ecuaci´on (16) se tiene: #» #» #» dΨαβ Lm dΨαβ d i αβ s r s = + Ls σ dt Lr dt dt

Tv = 0,0032Vv2

(14)

Despejando la corriente de rotor ir de la ecuaci´on (14) y reemplaz´andola en la ecuaci´on (12) se obtiene:

94 2 (1464 2π 60 )

As´ı, la ecuaci´on que describe la curva caracter´ıstica del ventilador, en este caso, es:

Torque[Nm]

#» #»αβ #»αβ Ψαβ r = Lr i r + Lm i s

(17)

Reemplazando la ecuaci´on (15) en (17) y el resultado reemplaz´andolo en la ecuaci´on (11) se obtiene finalmente la siguiente ecuaci´on, la cual ha sido reorganizada de manera conveniente, adem´as de realizar el cambio de variable τr = Lr /Rr #» d i αβ #» #»αβ #»αβ #»αβ s = V αβ Ls σ s − i s C1 + Ψ r C2 − j Ψ r ωr C3 (18) dt Las variables C1 ,C2 y C3 son valores constantes que dependen intr´ınsecamente de los par´ametros del motor. Estos pueden ser calculado como: L2m C1 = Rs + τr Lr

100

C2 =

Lm τr Lr

C3 =

Lm Lr

50 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Velocidad [rpm]

Figura 4: Punto de operaci´on con ventilador conectado III-B.

Modelo din´amico en Simulink

Para caracterizar el modelo din´amico de la m´aquina de inducci´on, se deben plantear las cuatro ecuaciones que describen su comportamiento en αβ #» #» #»αβ dΨαβ s V αβ = R i + s s s dt

(11)

#» dΨαβ #» #» r 0 = Rr i αβ − jω Ψαβ r + r dt

(12)

#» #»αβ #»αβ Ψαβ s = Ls i s + Lm i r

(13)

Ahora bien, es necesario expresar por separado el valor real con el imaginario de los vectores involucrados para posteriormente construir el diagrama de bloques. La forma gen´erica de separar estos vectores es la siguiente: #» A αβ s = Asα + jAsβ Lo anterior es v´alido para todos los vectores de las ecuaciones descritas. De esta forma, la ecuaci´on 18 puede ser dividida en dos, una parte real y otra imaginaria respectivamente: Ls σ

disα = Vsα − isα C1 + Ψrα C2 + Ψrβ ωr C3 dt

(19)

Ls σ

disβ = Vsβ − isβ C1 + Ψrβ C2 − Ψrα ωr C3 dt

(20)

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (19) y (20), adem´as de acomodarlas de manera conveniente, se logra obtener las siguientes funciones de transferencia: isα 1 = (Vsα + K1 ) (Ls σs + C1 )

(21)

isβ 1 = (Vsβ + K2 ) (Ls σs + C1 )

(22)

Donde, y por simplicidad, K1 = C2 Ψrα +C3 Ψrβ ωr y K2 = C2 Ψrβ − C3 Ψrα ωr . De manera an´aloga, se puede expresar la ecuaci´on (11) en su parte real e imaginaria: τr

dΨrα + Ψrα + ωr τr Ψrβ = Lm isα dt

dΨrβ + Ψrβ − ωr τr Ψrα = Lm isβ dt Sus funciones de transferencias son las siguientes: τr

(23) (24)

Figura 6: Funci´on de transferencia Ψs /Is Ambos sub-sistemas antes presentados pueden ser conectados sin mayor inconveniente, se dan de forma separada para evitar confusi´on hacia el lector. Para finalizar el modelo, solo falta representar el torque que ejerce esta m´aquina, esta puede ser escrita en funci´on de las corrientes de estator y flujos del rotor como:

Ψrα 1 = (Lm Isα − ωr τr Ψrβ ) (τr s + 1)

(25)

3 Lm #» #» Im{Ψr αβ · is αβ∗ } Te = − p 2 Lr

Ψrβ 1 = (Lm Isβ + ωr τr Ψrα ) (τr s + 1)

(26)

Realizando la respectiva multiplicaci´on de las variables complejas del flujo y la corriente se puede llegar a la siguiente expresi´on:

Con las funciones de transferencias (21),(22),(25) y (26) es posible representarlas como diagrama de bloques en Simulink. A continuaci´on se presenta la funci´on de transferencia is /Vs , se recuerda al lector que al ser funciones vectoriales pueden ser expresadas de forma separada en su parte real e imaginaria.

Te =

3 Lm p (Ψrα isβ − Ψrβ isα ) 2 Lr

(27)

(28)

Se sabe que el torque el´ectrico tambi´en cumple con la siguiente ecuaci´on, la cual nos permitira obtener la frecuencia ωr a partir del torque: Te − TL =

J dωr p dt

(29)

La figura imagen (7) muestra el diagrama de como se puede obtener el torque el´ectrico, a partir de las funciones de transferencias antes calculadas, adem´as de realimentar el sub-sistema de la figura (6)

Figura 5: Funci´on de transferencia is /Vs Como se observa de la figura (5) los voltajes de entrada son separados en su parte real Vsα y en su parte imaginaria Vsβ . El sub-sistema es simple, de primer orden con polos en Lm σ/C1 y que contiene una perturbaci´on modelada como K1 , en la parte real, y K2 , en la parte imaginaria. Mientras que en la imagen de la figura (6), el sub-sistema es un poco m´as complejo puesto que existen perturbaciones por variables cruzadas, es decir, la perturbaci´on que afecta a la parte real viene dado por Ψrβ y a su vez la perturbaci´on que afecta a la parte imaginaria viene dada por Ψrα . Este sistema tambi´en es de primer orden con polos en τr

Figura 7: Obtenci´on de Te y ωr a trav´es de Ψr y is

Simulaci´on en arranque directo

300

Con los diagrama de bloques descritos en el punto anterior es posible simular el arranque directo de la m´aquina y ver el comportamiento de las variables como torque,velocidad y corrientes en el tiempo. En el anexo de esta tarea se adjunta la figura que muestra la conexi´on del circuito en su totalidad. Primero se analiza cuando el motor est´a en vac´ıo, es decir, sin carga.

Ia b

100 0 −100 −200

300

−300 0

200 Torque [Nm]

I

200 Corrientes [A]

III-C.

0.1

0.2 0.3 Tiempo [s]

0.4

0.5

Figura 10: isα azul,isβ rojo

100

Las corrientes ia y ib tienen aspecto muy semejante en cuanto a la forma, se puede comprobar de que estas se encuentran en cuadratura durante el tiempo de simulaci´on

0 −100 −200 0

0.1

0.2 0.3 Tiempo [s]

0.4

400

0.5

300 Torque [Nm]

Figura 8: Torque vs tiempo

2000

200 100 0

Velocidad [RPM]

−100 1500 −200 0

1000

500 1000 Velocidad [RPM]

1500

Figura 11: Torque vs velocidad 500

0 0

0.1

0.2 0.3 Tiempo [s]

0.4

0.5

Ahora bien, si se acopla el eje de la m´aquina a un ventilador, el cual tiene una curva caracter´ıstica Torque vs velocidad igual a T = 0,0032V 2 , como si vio en el primer apartado, las gr´aficas correspondientes son las siguientes.

Figura 9: Velocidad vs tiempo 400 300 Torque [Nm]

Como se puede observar, al comienzo el torque var´ıa sinusoidalmente al pasar el tiempo hasta el punto que la oscilaci´on se reduce en frecuencia y luego en amplitud hasta de llegar a cero y esto coincide cuando el motor alcanza su m´axima velocidad que se da en los 1500 [RP M ]. A su vez la velocidad crece de una forma cuadr´atica con una peque˜na oscilaci´on al principio. Existe un peque˜no sobrepaso en la velocidad, lo que se podr´ıa denominar overshoot y esto sucede por el modelo de la planta. Posteriormente la velocidad se mantiene constante a su valor nominal. El contraste del modelo din´amico con respecto al modelo estacionario es similar , ambas describen el comportamiento de la m´aquina cuando esta llega a un estado estacionario, la cual es un torque igual cero a velocidad nominal

200 100 0 −100 −200 0

1

2 Tiempo [s]

3

Figura 12: Torque vs tiempo

4

1500

400

1000

Torque [Nm]

Velocidad [RPM]

300

500

200 100 0 −100 −200

0 0

1

2 Tiempo [s]

3

4

Figura 13: Velocidad vs tiempo

III-D.

Ia Ib

Corrientes [A]

100 0 −100 −200 −300 0

1

2 Tiempo [s]

3

500 1000 Velocidad [RPM]

1500

Figura 15: Modelo din´amico (azul), Modelo estacionario (rojo)

300 200

0

4

Comparaci´on con el modelo en PLECS

A modo de tener un buena comparaci´on con el modelo antes realizado en Simulink, se puede utilizar herramientas computacionales que est´an dise˜nadas para este fin, el cual es analizar variables de sistemas el´ectricos, magn´eticos, mec´anicos, entre otros. Plecs nos ofrece la simulaci´on de varios tipos de sistemas, los cuales pueden ir combinados si se requiere. Dentro de este, podemos hallar distintos modelos previamente caracterizados listos para ser utilizados. En este caso, se ocupa el motor de inducci´on “Squirrel-Cage” conectado directamente a una fuente trif´asica como se muestra en la imagen figura (16).

Figura 14: isα azul,isβ rojo Con respecto al torque en el modelo con carga, se puede ver que la oscilaci´on es es mucho mayor que el modelo en vac´ıo y perdura por mucho m´as tiempo. Tambi´en se observa que luego que se estabiliza el torque este comienza a aumentar hasta llegar a los 200[Nm] y luego decae hasta llegar a cero en estado estacionario. La velocidad crece de la misma forma que en el modelo al vac´ıo, solo que no presenta oscilaci´on al principio de esta y se demora mucho m´as en llegar a la velocidad nominal por el efecto que tiene el ventilador. En cuanto al modelo din´amico con respecto al modelo estacionario, se ve la gran similitud ya que describe de una forma m´as precisa el comportamiento del motor conectado al ventilador en la totalidad del gr´afico. Se ve que a velocidad nominal ahora el motor aplica un torque que es 0.8 veces el torque nominal de la m´aquina. Las corrientes tiene el mismo comportamiento que en el ejemplo al vac´ıo, solo que esta vez las corrientes se mantienen en un valor de 200 [A] por mucho m´as tiempo, necesitando una mayor potencia para poder sacar de la inercia al ventilador y mantenerlo girando. Se corrobora que ambas se˜nales contin´uan en cuadratura.

Figura 16: Esquema del motor de inducci´on en vac´ıo Donde el bloque del torque modela la carga que se le aplica al motor, en este primer caso se realiza en vac´ıo TL = 0. El voltaje de la fuente es VLLRM S = 380[V ]. El resultado obtenido sin carga se encuentra en la imagen de la figura (17), el cual es el mismo resultado que lo obtenido en la imagen de la figura (11). Hay que destacar que este gr´afico es con velocidad en radianes, la velocidad nominal a la que llega es 157,08[rad/s] lo que es alrededor de 1500[RP M ], por lo que se verifica el resultado de ambas simulaciones.

IV.

Figura 17: Torque vs Velocidad sin carga Ahora bien, el esquema utilizado en el modelo de motor con el ventilador se presenta en la imagen de la figura (18), donde se modifica la estructura de la m´aquina incorpor´andole una salida de velocidad la cual es realimentada hacia el bloque de torque simulando la curva caracter´ıstica del ventilador T = 0,0032 ∗ V 2 .

Figura 18: Esquema del motor de inducci´on con carga Nuevamente, el resultado obtenido coincide con la respuesta hallada en el punto anterior. En la imagen de la figura (19) se presenta la respuesta del torque vs la velocidad con el ventilador como carga. La respuesta es altamente oscilatoria en un comienzo para luego estabilizarse y comenzar a aumentar poco a poco hasta llegar a un valor m´aximo, luego de esto decae al valor del torque nominal T = 76[N m]

Figura 19: Torque vs Velocidad con carga

´ C ONCLUSI ON

A partir de los resultados obtenidos en esta tarea se puede concluir lo siguiente: El modelo de la m´aquina de inducci´on es m´as complicada que el de la m´aquina DC y es tener necesario conocimientos apropiados para realizar un buen an´alisis. En consecuencia del punto anterior, el cambio de coordenadas Alfa-Beta contribuyo de buena manera al estudio de esta m´aquina ya que simplifico y transformo un sistema de tres coordenadas en uno de dos, que f´acilmente puede ser expresado en un plano con vectores rotatorios en el tiempo. La caracter´ıstica torque vs velocidad del modelo estacionario tiene un aspecto gr´afico singular pero es posible describir con precisi´on el comportamiento de la m´aquina cuando funciona como motor o generador. El modelo din´amico dise˜nado en Simulink, a partir de las cuatro ecuaciones caracter´ıstica, describe de una forma bastante precisa la m´aquina. Los resultados son tan buenos que son comparables con PLECS, el cual es un software enfocado en este tipo de simulaciones. Este tipo de m´aquina puede ser alimentadas directamente de una fuente trif´asica (arranque directo), pero el bobinado tiende a exigir corrientes muy superior a la nominal,lo que hace que las l´ıneas de alimentaci´on incrementen considerablemente su carga y como consecuencia directa se reduzca la ca´ıda de tensi´on. La intensidad de corriente durante la fase de arranque puede tomar valores entre 6 a 8 veces mayores que la corriente nominal del motor. Su ventaja principal es el elevado par de arranque, que es 1.5 veces el nominal. [4] R EFERENCIAS [1] [2] [3] [4]

Stephen J. Chapman M´aquinas el´ectricas vol 5 pp. 205-270 USM Apuntes Control Vectorial S EUNG -K I S UL Control of Electric Machine Drive Systems Irving L. Kosow Maquinas El´ectricas 2da ed. –

V.

A NEXOS

Figura 20: Modelo completo en Simulink