Circuitos - Tema 5.capacitores E Inductores 336z3k

CAPÍTULO 5

Capacitores e Inductores Introducción En este capítulo se introducen dos nuevos elementos pasivos: El capacitor y el inductor. A diferencia de los resistores, los cuales disipan energía, los capacitores e inductores no disipan sino que almacenan energía, la cual puede recuperarse posteriormente. Un capacitor es una componente de circuito diseñada para almacenar carga eléctrica (almacena energía en su campo eléctrico). Si se conecta, por ejemplo, una fuente de voltaje cd a un capacitor, éste se “cargará” al voltaje de la fuente. Si después se desconecta la fuente, el capacitor permanecerá cargado, es decir, su voltaje permanecerá constante en el valor al cual había llegado cuando se conectó a la fuente (suponiendo que no hay fugas). Debido a esta tendencia a mantener el voltaje, un capacitor se opone a cambios en el voltaje. Esta característica es lo que le da a los capacitores sus propiedades únicas. Los capacitores se utilizan en muchas aplicaciones. Se usan en sistemas de radio y TV, por ejemplo, para sintonizar señales, en cámaras fotográficas para almacenar la carga que dispara los flashes, en motores para aumentar su par de arranque, en sistemas de potencia para incrementar la eficiencia de operación, etc.

5.1. Capacitores Un capacitor está construido básicamente por dos conductores separados por un material aislante. Una de las formas básicas es el capacitor de placas paralelas mostrado en la Fig. 5.1. Éste consiste de dos placas metálicas separadas por un material no conductor denominado un dieléctrico. El dieléctrico puede ser aire, aceite, mica, plástico, cerámica o cualquier otro material aislante apropiado. Como las placas del capacitor son metálicas, ellas contienen un gran número de electrones libres. Sin embargo, en su estado normal, no están cargadas, es decir, no hay exceso o deficiencia de electrones en cualquiera de las placas. Si ahora se conecta una fuente de CD (Fig. 5.2), los electrones son sacados de la placa superior por el potencial positivo de la batería y el mismo número es depositado en la placa inferior. Esto deja la placa superior con una deficiencia de electrones, esto es, con carga positiva, y la placa inferior con un exceso de carga, es decir, carga negativa. En este estado se dice que el capacitor está cargado. Si la

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cantidad de carga transferida durante el proceso es de Q culombios, se dice que el capacitor tiene una carga Q.

Placas metálicas

Conductor

Die léctrico (a ire)

Conductor (a) Construcción básica

(b) Símbolo

Figura 5.1

Si ahora se desconecta la fuente (Fig. 5.3), el exceso de electrones que se movieron desde la placa inferior permanecen entrampados ya que no tiene forma de regresar a la placa superior. En consecuencia, el capacitor permanece cargado aunque no está presente una fuente. Debido a esto, se dice que un capacitor puede almacenar carga. Movimiento de electrones

Figura 5.2

Figura 5.3

Los capacitores de gran tamaño cargados con altos voltajes contienen una gran cantidad de energía y pueden dar descargas dañinas. Siempre descargue los capacitores luego de que se ha removido la potencia si se van a manipular. Esto se puede hacer conectando un alambre entre sus conectores. Así los electrones regresan a la placa superior, se restaura el equilibrio de carga y se reduce a cero el voltaje en el capacitor.

Capacitancia: Definición Los capacitores se representan mediante un parámetro denominado capacitancia. La cantidad de carga Q que un capacitor puede almacenar depende del voltaje aplicado. Los experimentos muestran que para un capacitor dado, Q es proporcional al voltaje. Sea C la constante de proporcionalidad. Entonces Q = CV

(5.1)

Reacomodando los términos, se obtiene C=

Q ( faradios, F ) V

(5.2)

163

El término C se define como la capacitancia del capacitor y es la relación entre la carga en una placa del capacitor y la diferencia de voltaje entre las dos placas. Como se indica, su unidad es el faradio. Por definición, la capacitancia de un capacitor es un faradio si almacena un culombio de carga cuando el voltaje entre sus terminales es un voltio. Sin embargo, el faradio es una unidad de tamaño demasiado grande. La mayoría de los capacitores prácticos varían en tamaño desde unos pocos picofaradios (pF o 10 −12 ) hasta microfaradios (µF o 10 −6 ). Mientras mayor sea el valor de C, más carga puede sostener el capacitor para un voltaje dado.

Ejemplo 1. a. ¿Cuánta carga es almacenada en un capacitor de 10 µF cuando se conecta a una fuente de 24 voltios? b. La carga en un capacitor de 20 nF es 1.7 µC. ¿Cuál es el voltaje? Solución: a. De la Ec. (5.1), Q = CV . Por tanto, Q = ( 10 × 10 −6 ) ( 24 ) = 240 µC .

b. Reacomodando la Ec. (5.1), V = Q C = ( 1.7 × 10 −6 ) ( 20 × 10 −9 ) = 85 V .

5.2. Factores que Afectan la Capacitancia Aunque la capacitancia C de un capacitor es el cociente entre la carga Q por placa y el voltaje aplicado V, ella no depende ni de Q ni de V. Depende de las dimensiones físicas del capacitor y del material entre las placas.

Efecto del área. Como muestra la Ec. (5.1), la capacitancia es directamente proporcional a la carga. Esto significa que mientras más carga se pueda poner en las placas de un capacitor para un voltaje dado, mayor será la capacitancia. Considere la Fig. 5.4. El capacitor en la Fig. 5.4(b) tiene cuatro veces el área del de la Fig. 5.4(a). Como tiene el mismo número de electrones por unidad de área, tiene cuatro veces la carga total y por tanto cuatro veces la capacitancia. Esto resulta ser cierto en general, es decir, la capacitancia es directamente proporcional al área de las placas.

(a)

(b)

Figura 5.4

Efecto de la Separación. Considere ahora la Fig. 5.5. Puesto que la placa superior tiene una deficiencia de electrones y la placa inferior un exceso, existe una fuerza de atracción a través de la brecha de separación. Para un espaciamiento fijo como en la Fig. 5.5(a), las cargas están en equilibrio. Ahora acerque las placas como en la Fig. 5.5(b). Conforme disminuye la separación, la fuerza de atracción aumenta, desplazando más electrones del interior del

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material de la placa B hacia su superficie superior. Esto crea una deficiencia de electrones en los niveles inferiores de B. Para reponer estos electrones, la fuente mueve electrones adicionales alrededor del circuito, dejando a A con una deficiente todavía mayor y a B con un exceso aún mayor. Por tanto, la carga en las placas se incrementa y en consecuencia, según la Ec. (5.2), y también lo hace la capacitancia. Concluimos entonces que al diminuir la separación, se aumenta la capacitancia y viceversa. De hecho, como se demostrará más adelante, la capacitancia es inversamente proporcional a la separación entre las placas. Más electrones son llevados a la placa B

(a)

(b)

Figura 5.5

Efecto del Dieléctrico. La capacitancia también depende del dieléctrico. Considérese la Fig. 5.6(a), la cual muestra un capacitor con dieléctrico de aire. Si se sustituye el aire por diferentes materiales, la capacitancia aumenta. La Tabla 5.1 muestra el factor por el cual se incrementa la capacitancia para varios materiales. Por ejemplo, se usa Teflón en lugar de aire, la capacitancia se incrementa por un factor de 2.1. Este factor se denomina la constante dieléctrica relativa o permitividad relativa del material (la permitividad es una medida de lo fácil que resulta establecer flujo eléctrico en un material). Observe que la cerámica de alta permitividad incrementa la capacitancia por un factor tan alto como 7500, como indica la Fig. 5.6(b). TABLA 5.1 Constantes Dieléctricas Relativas (También llamadas Permitividades Relativas) Material

εr (Valores Nominales)

Vacío

1

Aire

1.0006

Cerámica

30−7500

Mica

5.5

Mylar

3

Aceite

4

Papel (seco)

2.2

Poliestireno

2.6

Teflón

2.1

165

Cerámica

(a) C = 300 pF con dieléctrico de aire

(b) C = 1.5 µF con dieléctrico de cerámica de alta permitividad

Figura 5.6

Capacitancia de un Capacitor de Placas Paralelas. De las observaciones anteriores, seve que la capacitancia es directamente proporcional al área de las placas, inversamente proporcional a la separación entre ellas y depende del dieléctrico. En forma de ecuación, C=ε

A (F) d

(5.3)

donde el área A está en metros cuadrados y la separación en metros.

Constante Dieléctrica. La constante ε en la Ec. (5.3) es la constante dieléctrica absoluta del material aislante. Sus unidades son faradios por metro (F/m). Para el aire o el vacío, ε tiene el valor de ε 0 = 8.85 × 10 −12 F/m. Para otros materiales, ε se expresa como el producto de la constante dieléctrica relativa εr (mostrada en la Tabla 5.1) y ε0. Es decir,

ε = εr ε0

(5.4)

El valor de ε para cualquier material es, por tanto,

ε = εr ε0 Observe que εr es una cantidad adimensional. Considérese una vez más la Ec. (5.3): C = εA d = ε r ε 0 A d . Observe que ε 0 A d es la capacitancia de un capacitor con dieléctrico de aire (o vacío). Denote éste por C0. Entonces, para cualquier otro dieléctrico,

C = ε rC 0

(5.5)

Ejemplo 2. Calcule la capacitancia de un capacitor de placas paralelas con placas de 10 cm por 20 cm, separación de 5 mm y a. un dieléctrico de aire. b. un dieléctrico de cerámica con permitividad de 7500.

Solución. Convierta todas las dimensiones a metros. Así, A = ( 0.1 )( 0.2 ) = 0.02 m 2 y d = 5 × 10 −3 m .

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a. Para el aire, C = ε 0 A d = ( 8.85 × 10 −12 )( 2 × 10 −2 ) ( 5 × 10 −3 ) = 35.4 × 10 −12 F = 354.4 pF. b. Para cerámica, con εr = 7500, C = ( 7500 ) ( 35.4 pF ) = 0.266 µF .

5.3. Campos Eléctricos Flujo Eléctrico. Los campos eléctricos son campos de fuerzas que existen en la región que rodea los cuerpos cargados. Se necesitan algunas nociones sobre los campos eléctricos para comprender los dieléctricos y sus efectos sobre la capacitancia. A continuación se revisan brevemente algunas de estas ideas. Considérese la Fig. 5.7(a). Como se sabe, cargas diferentes se atraen y cargas diferentes se repelen, es decir, entre ellas existe una fuerza. La región donde existe esta fuerza se denomina un campo eléctrico. Para visualizar este campo, se usa el concepto de campo de Faraday. La dirección del campo se define como la dirección de la fuerza sobre una carga positiva. Por tanto, está dirigida hacia afuera desde la carga positiva y hacia adentro hacia la carga negativa como se muestra en la figura. Las líneas del campo nunca se cruzan y la densidad de las líneas indica la intensidad del campo; esto es, mientras más densas sean las líneas, más fuerte es el campo. La Fig. 5.7(b) muestra el campo de un capacitor de placas paralelas. En este caso, el campo es uniforme entre las placas con cierta distorsión cerca de sus bordes. Las líneas de flujo eléctrico se representan por la letra griega ψ.

(a)

(b)

Figura 5.7

Intensidad del Campo Eléctrico. La intensidad de un campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga que el campo ejerce sobre una pequeña carga de prueba positiva Qt. Denote por E la intensidad del campo. Entonces, por definición, E=

F Q

( newtons

culombio , N C )

(5.6)

Como ejemplo, se determinará el campo alrededor de una carga puntual Q. Cuando la carga de prueba es colocada cerca de Q, experimenta una fuerza F = kQQt r 2 (ley de Coulomb). La constante en la ley de Coulomb es efectivamente igual a 1 4πε . Entonces F = QQt 4 πεr 2 y de la Ec. (5.6),

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E=

F Q = Qt 4 πεr 2

(N C)

(5.7)

El campo eléctrico se representa mediante líneas de flujo, las cuales se dibujan para indicar la intensidad del campo en cualquier punto alrededor de un cuerpo cargado; es decir, mientras más densas sean las líneas de flujo, más fuerza tendrá el campo. En la Fig. 5.8, la intensidad del campo es más fuerte en la posición a que en la posición b ya que la densidad de las líneas de flujo es mayor en a que en b.

Densidad de Flujo Eléctrico. Debido a la presencia de ε en la Ec. (5.7), la intensidad del campo eléctrico depende del medio en el cual está situada la carga. Definamos una nueva cantidad, D, que sea independiente del medio.

Líneas de flujo eléctrico salen para cargas positivas y entran para cargas negativas Líneas de flujo eléctrico

Carga positiva

Figura 5.8

Sea D = εE

(5.8)

D se conoce como la densidad de flujo eléctrico. Aunque aquí no es obvio, D representa la densidad de flujo eléctrico en el espacio, esto es, D=

flujo total ψ = área A

(5.9)

donde ψ es el flujo que atraviesa el área A. Considérese la Fig. 5.9. El flujo ψ se debe a la carga Q. Mientras mayor sea Q en culombios, mayor será el número de líneas de flujo por unidad de área, independientemente del medio circundante. Si se duplica la carga, se producirá el doble de flujo por unidad de área. Así que los dos pueden igualarse:

ψ=Q

(C)

(5.10)

Una forma sencilla para visualizar esto es pensar en una línea de flujo como si ella emanase desde cada carga positiva en el cuerpo, como muestra la Fig. 5.8 o la Fig. 5.9. Entonces, como se indica, el número total de líneas de flujo es igual al número total de cargas.

168

Figura 5.9

Campo de un Capacitor de Placas Paralelas. Considérese ahora un capacitor de placas paralelas (Fig. 5.10). El campo aquí es creado por la carga distribuida en las placas. Como la placa A tiene una deficiencia de electrones, se parece a una lámina de carga positiva, en tanto que la placa B se parece a una lámina de carga negativa. Por tanto, una carga de prueba positiva Qt entre estas láminas es repelida por la lámina positiva y atraída por la negativa. Placa A

Placa B

Figura 5.10

Si ahora se moviliza la carga desde la placa B hasta la placa A, el trabajo W requerido para moverla contra la fuerza es el producto de la fuerza por la distancia. Así pues, W = Fd

( J)

(5.11)

En el Cap. 2 se definió el voltaje como el trabajo dividido por la carga, esto es, V = W Q . Como la carga aquí es la carga de prueba, Qt, el voltaje entre las placas A y B es V=

W Fd = Qt Qt

( V/m )

(5.12)

Ahora se divide ambos lados por d y se obtiene V d = F Qt . Pero, por la Ec. (5.6), F Qt = E y entonces E=

V d

(V/m)

(5.13)

La Ec. (5.13) muestra que la intensidad del campo eléctrico entre las placas de un capacitor es igual al voltaje entre las placas dividido por la distancia entre ellas. Recordando ahora que C = Q V , las relaciones anteriores producen C=

Q ψ AD D  A  A = = =  =ε V V Ed Ed d

169

Ésta es la misma ecuación, Ec. (5.3), que desarrollamos intuitivamente en la Sec. 5.2.

5.4. Dieléctricos Como se vio en la Fig. 5.6, un dieléctrico aumenta la capacitancia. Ahora se examina el por qué. Considérese la Fig. 5.11. Para un capacitor cargado, las órbitas de los electrones (normalmente circulares) se vuelven elípticas conforme los electrones son atraídos hacia la placa positiva (+) y repelidos desde la placa negativa (−). Esto hace que el extremo del átomo más cercano a la placa positiva aparezca negativo en tanto que el otro extremo aparezca positivo. Se dice que estos átomos están polarizados. En todo el volumen del dieléctrico, el extremo negativo de un átomo polarizado tiene adyacente el extremo positivo de otro átomo y los efectos se cancelan. Sin embargo, en las superficies del dieléctrico, no hay átomos que cancelar y el efecto neto es como si existiese una capa de carga negativa en la superficie del dieléctrico en la placa positiva y una capa de carga positiva en la placa negativa. Esto produce el efecto de que las placas parezcan más cercanas, aumentando así la capacitancia. Los materiales para los cuales el efecto es mayor resultan en el mayor incremento en capacitancia.

Órbita Dieléctrico Núcleo

Figura 5.11

Ruptura Dieléctrica Si el voltaje en la Fig. 5.11 es aumentado por encima de un valor crítico, la fuerza sobre los electrones se hace tan grande que, literalmente, son arrancados de sus órbitas. Esto se denomina ruptura dieléctrica y la intensidad de campo eléctrico en el momento de ruptura se llama la resistencia dieléctrica del material. Para el aire, la ruptura ocurre cuando el gradiente de voltaje alcanza el valor de 3 kV/mm. En la Tabla 5.2 se muestran las resistencias dieléctricas de varios materiales. Como la calidad de un dieléctrico depende de muchos factores, la resistencia dieléctrica varía entre muestra y muestra. Los dieléctricos sólidos normalmente se dañan durante una ruptura. La ruptura dieléctrica no está limitada a capacitores; puede ocurrir con cualquier tipo de aparatos eléctricos cuyo aislamiento es forzado más allá de límites seguros. Por ejemplo, el aire se rompe y ocurren chispas en las líneas de transmisión de alto voltaje cuando son golpeadas por rayos. La forma de los conductores también afecta el voltaje de ruptura. Éste ocurre a niveles menores en puntas aguadas que en puntas romas. Este efecto se utiliza en los pararrayos.

170 TABLA 5.2 Resistencia dieléctrica* Material

kV/mm

Aire

3

Cerámica (ε alta)

3

Mica

40

Mylar

16

Aceite

15

Poliestireno

24

Caucho

18

Teflón

60

*Los valores material.

dependen

del

Debido a la ruptura dieléctrica, los capacitores se clasifican para un voltaje de operación máximo (denominado el voltaje o tensión de trabajo) indiciado por el fabricante. Si se opera un capacitor con un voltaje superior a su voltaje de trabajo, se puede dañar.

5.5. Tipos de Capacitores Como ningún capacitor está adaptado para todas las aplicaciones, comercialmente se encuentran disponibles en diferentes tipos y valores. Típicamente, los capacitores tienen valores en la banda de picofaradios (pF) a microfaradios (µF). Se describen por el dieléctrico del que están hechos y si son del tipo variable o fijo. La Fig. 5.12 muestra los símbolos de circuito para capacitores fijos y variables. Observe que según la convención pasiva de signos, se considera que la corriente fluye hacia el terminal positivo del capacitor cuando éste está siendo cargado y sale por el mismo terminal cuando se está descargando.

Figura 5.12 Símbolos de circuito para capacitores: (a) capacitor fijo, (b) capacitor variable.

La Fig. 5.13 muestra algunos tipos de capacitores fijos. Los capacitores de poliéster son livianos, estables y se pueden predecir sus cambios con la temperatura. En vez de poliéster, se pueden usar otros materiales dieléctricos como por ejemplo mica y poliestireno. Los capacitores de capas son enrollados y encapsulados en capas de metal o plásticas. Los capacitores electrolíticos producen capacitancias muy altas.

171

Figura 5.13. Capacitores fijos: (a) capacitor de poliéster, (b) capacitor de cerámica, (c) capacitor electrolítico.

La Fig. 5.14 muestra los tipos más comunes de capacitores variables. La capacitancia de un capacitor de pistón se varía girando el tornillo. Este tipo de capacitor con frecuencia se usa en paralelo con otro capacitor de modo que su capacitancia equivalente puede variarse ligeramente. La capacitancia del capacitor de aire variable se varía girando su eje. Los capacitores variables se usan en radio receptores en el circuito de sintonización. Los capacitores también se usan como bloqueadores de cd, para pasar ca, como desplazadores de fase, en el arranque de motores y para suprimir ruido.

Figura 5.14. Capacitores variables: (a) Capacitor de pistón (de compensación), (b) capacitor capa variable.

Para obtener la relación de voltaje-corriente del capacitor, tomamos la derivada de ambos lados de la Ec. (5.1). Siguiendo la convención de letras minúsculas para identificar las cantidades variables en el tiempo, se sabe que la corriente es dada por i=

dq dt

(5.14)

Al diferenciar ambos lados de (5.1), se obtiene i =C

dv dt

(5.15)

Ésta es la relación de voltaje-corriente para un capacitor siguiendo la convención positiva de los signos. La relación se ilustra en la Fig. 5.15 para un capacitor cuya capacitancia es independiente del voltaje. Los capacitores que cumplen con la Ec. (5.15) se consideran lineales. Para un capacitor no lineal, la gráfica de la relación de la derivada del voltaje-corriente no es

172

una línea recta. Aunque algunos capacitores son no lineales, la mayoría son lineales. En estas notas se supone que todos los capacitores son lineales.

Pendiente = C

dv/dt

Figura 5.15

La relación de voltaje-corriente del capacitor puede obtenerse integrando ambos lados de la Ec. (5.15): 1 v= C

t

∫ i dt

(5.16)

−∞

o t

1 v= i dt + v ( t 0 ) C

∫

(5.17)

t0

donde t 0 = q ( t 0 ) C es el voltaje en el capacitor en el instante t0 y q ( t 0 ) es la carga acumulada hasta ese instante. La Ec. (5.17) muestra que el voltaje del capacitor depende de la historia pasada del circuito del capacitor. Por tanto, el capacitor tiene memoria – una propiedad de mucha utilidad. El tiempo t0 se denomina el tiempo inicial y el voltaje en el capacitor v ( t 0 ) se denomina la condición inicial. Cuando un capacitor está conectado a una batería de voltaje v, fluye una corriente i y se almacena una carga en las placas del capacitor. Con el tiempo, el voltaje en el capacitor es una constante y la corriente se hace cero. El capacitor ha almacenado energía en virtud de la separación de las cargas entre sus placas. Entre estas cargas actúan fuerzas eléctricas, las cuales son el resultado de un campo eléctrico. Se debe reconocer que la energía requerida originalmente para separar las cargas, ahora está almacenada en el campo eléctrico. La potencia instantánea entregada al capacitor es P = vi = Cv

dv dt

(5.18)

y la energía almacenada en el capacitor es entonces t

w=

∫ −∞

t

dv p dt = C v dt = C dt

t

∫

∫

−∞

−∞

1 v dv = Cv 2 2

t

t =−∞

Observando que el capacitor estaba descargado en t = −∞, v(−∞) = 0 y entonces 1 w = Cv 2 2

(5.19)

173

Usando la Ec. (5.1), la Ec. (5.19) se puede escribir como W=

q2 2C

(5.20)

La Ec. (5.19) o la Ec. (5.20) representan la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas del capacitor. Esta energía puede recuperarse, ya que un capacitor ideal no puede disipar energía. Se deben señalar las siguientes propiedades importantes de un capacitor: 1. Observe en la Ec. (5.15) que cuando el voltaje en un capacitor no está cambiando con el tiempo, es decir, es una constante, la corriente que lo atraviesa es igual a cero. Así pues,

Un capacitor es un circuito abierto para una corriente constante (régimen de cd). Sin embargo, si una batería (voltaje cd) se conecta a un capacitor, el capacitor se carga. 2. El voltaje en el capacitor debe ser continuo.

El voltaje en un capacitor no puede cambiar abruptamente. El capacitor se resiste a un cambio abrupto en su voltaje. De acuerdo con la Ec. (5.15), un cambio discontinuo en la tensión requiere de una corriente infinita, lo cual es físicamente imposible. Por ejemplo, el voltaje en un capacitor puede tomar la forma mostrada en la Fig. 5.16(a), pero no es físicamente posible que el voltaje en el capacitor tome la forma mostrada en la Fig. 5.16(b). Lo anterior puede resumirse por la ecuación v (0+ ) = v (0− )

donde el tiempo justo antes de t = 0 se identifica como t = 0 − y el tiempo inmediatamente después de t = 0 como t = 0 + . El intervalo de tiempo entre estos dos instantes es infinitamente pequeño. Inversamente, la corriente que pasa por un capacitor sí puede cambiar instantáneamente. 3.

El capacitor ideal no disipa energía, la almacena. Absorbe potencia del circuito cuando está almacenando energía en su campo y regresa la energía almacenada previamente cuando entrega potencia al circuito.

Figura 5.16

4.

Un capacitor real, no ideal tiene un modelo con una resistencia de fuga en paralelo, como muestra la Fig. 5.17. La resistencia de fuga puede ser tan alta como 100 MΩ y se puede despreciar en la mayoría de las aplicaciones prácticas. Es por ello que en el texto todos los capacitores se consideran como ideales.

174 Resistencia de fuga

Capacitancia

Figura 5.17

Ejemplo 3. Considérese la señal mostrada en la Fig. 5.18, en la cual el voltaje cambia de valor constante de cero a otro valor constantes de 1 durante un incremento del tiempo ∆t. Usando la Ec. (5.15), se obtiene  0,  C i( t ) =  ,  ∆t  0,

t<0

0 < t < ∆t t > ∆t

Por tanto, se obtiene un pulso de altura igual a C/∆t. Conforme ∆t disminuye, la corriente aumentará. Claramente, ∆t no puede disminuir a cero o se experimentaría una corriente infinita. Esto es una imposibilidad ya que se requeriría potencia infinita. Así pues, un cambio instantáneo (∆t = 0) de voltaje en un capacitor no es posible. En otras palabras, como ya se mencionó, no se puede tener una discontinuidad en v(t).

Figura 5.18

Ejemplo 4. Determinar el voltaje en un capacitor de 2 µF si la corriente que lo atraviesa es i(t ) = 6 e −3000 t mA

Suponga que el voltaje inicial en el capacitor es igual a cero.

Solución. Como v =

1 t idt + v(0) y v(0) = 0, entonces C ∫0

1 v= 2 × 10 −6 3

t

∫ 6e

−3000 t

⋅ 10 −3 dt

0 t

3 × 10 −3000 = e = ( 1 − e −3000 t ) V −3000 0 Ejemplo 5. Determine la corriente que pasa por un capacitor de 200 µF cuyo voltaje se muestra en la Fig. 5.19.

175

Figura 5.19

Solución. La señal de voltaje puede describirse matemáticamente como

 50t V   100 − 50t V v(t ) =  −200 + 50t V  0

0 <1 1 <3 3 <4 otros valores de t

Puesto que i = C dv dt y C = 200 µF, se diferencia v para obtener

 50 −50  −6 i(t ) = 200 × 10 ×   50  0

0 <1 1 <3 3 <4 otros valores de t

 10 mA 0 < t < 1 −10 mA 1 < t < 3  =  10 mA 3 < t < 4  0 otros valores de t

y la forma de onda de la corriente es como se muestra en la Fig. 5.20.

Figura 5.20

Ejemplo 6. Calcule el voltaje v(t) para un capacitor C = ½ F cuando la corriente es como se muestra en la Fig. 5.21 y v(t) = 0 para t ≤ 0.

Figura 5.21

176

Solución Primero se escribe la ecuación para i(t) como

 0,   t, i( t ) =   1,  0,

t≤0 0≤t≤1 1≤t ≤2 2

Entonces, como v(0) = 0, t

t

1 1 v(t ) = i( τ) dτ + v(0) = i( τ) d τ C C

∫

∫

0

0

y C = 1/2, se tiene que

 0,  t  2 τ dτ ,  v(t ) =  0t  2 (1)dτ + v(1),  1  v(2), 

∫ ∫

t≤0 0≤t≤1 1≤t ≤2 2≤t

con unidades de voltios. Por tanto, para 0 < t ≤ 1, se tiene v(t ) = t 2 Para el periodo 1 ≤ t ≤ 2, observe que v(1) = 1 y, por tanto, v(t ) = 2(t − 1) + 1 = 2t − 1 V La señal de voltaje resultante se muestra en la Fig. 5.22. El voltaje cambia con t 2 durante el primer segundo, cambia linealmente con t durante el periodo de 1 a 2 s y permanece constante e igual a 3 V después de t = 2 s.

v(t) (voltios)

t (s)

Figura 5.22

Ejemplo 7. En la Fig. 5.23 se muestra el voltaje a través de un capacitor de 5 mF. Determine y grafique la corriente, la potencia y la energía en el capacitor.

Figura 5.23

177

Solución La corriente se determina a partir de ic = C dv dt y se muestra en la Fig. 5.24a. La potencia es v(t )i(t ) , el producto de la corriente en la Fig. 5.24a y el voltaje en la Fig. 5.23, y se muestra en la Fig. 5.24b. El capacitor recibe energía durante los primeros dos segundos y después entrega energía para el periodo 2 < t < 3. La energía es ω = ∫ pdt y se puede calcular como el área bajo la curva de p(t). La gráfica de la energía se muestra en la Fig. 5.24c. Observe que el capacitor almacena energía en forma creciente desde t = 0 s hasta t 0 2 s, alcanzando un máximo de 25 J. Entonces el capacitor entrega una energía total de 18.75 J al circuito externo desde t = 2 s hasta t = 3 s. Finalmente, el capacitor mantiene una energía una energía constante de 6.25 J después de t = 3 s. (a) Almacenando energía

iC(t) (A)

(b)

p(t) (W) t (s)

t (s) Entregando energía

(c) wt) (J)

Almacenando energía

Entregando energía Mantiene constante la energía

Figura 5.24 La corriente, potencia y energía en el capacitor del Ejemplo 7.

Ejemplo 8 Obtenga la energía almacenada en cada capacitor en la Fig. 5.25(a) bajo condiciones de CD.

Figura 5.25

178

Solución. Bajo condiciones de CD, cada capacitor se reemplaza con un circuito abierto, como se muestra en la Fig. 5.25(b). La corriente a través de la combinación en serie de los resistores de 2 kΩ y 4 kΩ se obtiene por división de corriente como i=

3 ( 6 mA ) = 2 mA 3+2+ 4

Por tanto, los voltajes v1 y v2 en los capacitores son

v1 = 2 000i = 4 V

v2 = 4 000i = 8 V

y las energías almacenadas en ellos son 1 1 2 w1 = C 1 v12 = ( 2 × 10 −3 ) ( 4 ) = 16 mJ 2 2 1 1 2 w2 = C 2 v 22 = ( 4 × 10 −3 ) ( 8 ) = 128 mJ 2 2

5.6.

Capacitores en Serie y en Paralelo

De los circuitos resistivos se sabe que la combinación serie-paralelo es una herramienta poderosa para reducir circuitos. Esta técnica se puede extender a las conexiones serie-paralelo de capacitores. El objetivo es reemplazar combinaciones de capacitores, cuando sea posible, por un solo capacitor equivalente Ceq.

Capacitores en Paralelo. Para obtener el capacitor equivalente Ceq de N capacitores en paralelo, considere el circuito en la Fig. 5.26(a). El circuito equivalente se muestra en la Fig. 5.26(b).

Figura 5.26

Observe que los capacitores tienen el mismo voltaje v entre sus terminales y que la carga total es la suma de la carga en cada capacitor:

qT = q 1 + q 2 + ⋯ + q N

(5.21)

o lo que es equivalente al aplicar la LCK,

i = i1 + i2 + ⋯ iN y, como i k = C k dv dt , entonces

(5.22)

179

dv dv dv + C2 + ⋯ CN dt dt dt N  dv dv Ck  = C eq  dt dt k =1 

i = C1  =  

(5.23)

∑

donde (5.24)

C eq = C 1 + C 2 + ⋯ C N

Esto es, la capacitancia equivalente de N capacitores conectados en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales.

Observe que los capacitores en paralelo se combinan en la misma forma que los resistores en serie. A continuación se calcula la capacitancia equivalente Ceq de N capacitores en serie comparando el circuito en la Fig. 5.27(a) con su equivalente en la Fig. 5.27(b). Para capacitores en serie, la misma corriente i fluye (y por tanto la misma carga) a través de los capacitores.

Figura 5.27

Aplicando la LVK a la trayectoria cerrada (lazo) en la Fig. 5.27(a), se obtiene

v = v1 + v 2 + ⋯ + v N Pero

1 vk = Ck

t

∫ i( τ ) d τ + v ( t ) k

0

( k = 1, 2, … , N )

t0

y por tanto 1 v= C1

t

∫ t0

1 i( τ ) d τ + v 1 ( t 0 ) + C2

t

∫ t0

1 i( τ ) d τ + v 2 ( t 0 ) + ⋯ + CN

t

t

∫ i( τ) d τ + v t0

1 1   1 = + +⋯+ i( τ ) d τ + v 1 ( t 0 ) + v 2 ( t 0 ) + ⋯ + v N ( t 0 ) C N   C1 C2 t0

N

( t0 ) (5.25)

∫

En el circuito equivalente se tiene que

1 v= C eq

t

∫ i( τ ) d τ + v ( t ) 0

t0

(5.26)

180

y comparando las Ecs. (5.25) y (5.26) , se obtiene 1 1 1 1 = + +⋯+ C C1 C2 CN

(5.27)

La LVK requiere que el voltaje inicial v(t0) en Ceq sea la suma de los voltajes en los capacitores en t0 o, según la Ec. (5.26), v ( t 0 ) = v1 ( t 0 ) + v 2 ( t 0 ) + ⋯ v N ( t 0 ) Entonces se tiene que, de acuerdo con la Ec. (5.27), la capacitancia equivalente de capacitores conectados en serie es el recíproco de la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales.

Observe que los capacitores en serie se combinan en la misma forma que los resistores en paralelo. Una combinación que se encuentra con frecuencia es la correspondiente a N = 2. En este caso, la Ec. (5.27) se convierte en 1 1 1 = + C eq C 1 C 2 o C eq =

C 1C 2 C1 + C2

(5.28)

Ejemplo 9. Encuentre el voltaje y la carga en cada capacitor del circuito en la Fig. 5.28.

Figura 5.28

Solución. Los capacitores C2 y C3 están en paralelo y su capacitancia equivalente es

C ′ = C 2 + C 3 = 4 + 2 = 6 µF Ésta está en serie con C1. La capacitancia equivalente para todo el circuito es C eq =

3× 6 C 1C ′ = = 2 µF C1 + C′ 3 + 6

y la carga total es QT = C eq 120 = ( 2 × 10 −6 ) ( 120 ) = 240 µC Las cargas en C1 y C ′ . Por tanto, QT = Q1 = Q′ y

181

Q1 240 × 10 −6 V1 = = = 80 V C1 3 × 10 −6

y

Q′ 240 × 10 −6 V′ = = = 40 V C′ 6 × 10 −6 Q2 = C 2V ′ = ( 4 × 10 −6 ) ( 40 ) = 160 µC Q3 = C 3V ′ = ( 2 × 10 −6 ) ( 40 ) = 80 µC

5.7. Inductores La inductancia es una propiedad de circuito que se debe completamente al campo magnético creado por una corriente en un circuito. El efecto que la inductancia tiene sobre la operación del circuito es oponerse a cualquier cambio en la corriente, de modo que, en cierto sentido, la inductancia puede compararse con la inercia en un sistema mecánico. Un elemento de circuito construido que posea inductancia se denomina un inductor. El inductor se diseña para almacenar energía en su campo magnético. En su forma más sencilla, un inductor es simplemente una bobina de alambre, Fig. 5.29(a). Idealmente, los inductores sólo tienen inductancia. No obstante, como están construidos de alambre, los inductores prácticos tienen cierta resistencia. Sin embargo, inicialmente se supondrá que esta resistencia es despreciable y los inductores se tratan como elementos ideales, esto es, se supone que no tienen otra propiedad que no sea la de inductancia. En los diagramas de circuitos y en ecuaciones, la inductancia se representa por la letra L. Su símbolo es una bobina, como se muestra en la Fig. 5.29(b). La unidad de inductancia es el henry. Los inductores se usan en muchas tipos de circuitos. En radios, forman parte del circuito de sintonización. En las lámparas fluorescentes son parte del circuito de balasto que limita la corriente cuando la lámpara es encendida: en sistemas de potencia, son parte de los circuitos de protección usados para controlar las corrientes de cortocircuito durante condiciones de fallas.

(a) Un inductor básico

(b) Símbolo del inductor ideal

Figura 5.29

Inducción Electromagnética. Como la inductancia depende del voltaje inducido, comenzando con un repaso de la inducción electromagnética. Primero veamos parte de los

182

resultados de Faraday y Henry. Cuando un imán se mueve a través de una bobina de alambre, esta acción induce un voltaje en la bobina. Cuando el imán se introduce en la bobina, un voltímetro indicaría un cambio; cuando se saca, el medidor mediría un cambio en sentido contrario, lo que indica que la polaridad ha cambiado. La magnitud del voltaje es proporcional a la rapidez con la que se mueve el imán. Cuando un conductor se mueve en el campo de un imán, se induce un voltaje. Si el conductor se mueve en una dirección, adquiere una polaridad; si se mueve en la dirección contraria, la polaridad se invierte. Una vez más, la magnitud del voltaje es proporcional a la rapidez con que se mueve el alambre. Faraday realizó otros experimentos para verificar estos voltajes inducidos por el movimiento.

Ley de Faraday. Con base en estas observaciones, Faraday concluyó que en un circuito se induce un voltaje siempre que el flujo que enlaza (el flujo que lo atraviesa) al circuito esté cambiando y que la magnitud del voltaje es proporcional al ritmo de cambio de los enlaces de flujo. Ley de Lenz. Lenz determinó un resultado de apoyo. Demostró que la polaridad del voltaje inducido es tal que se opone a la causa que lo produce. Este resultado se conoce como ley de Lenz. Voltaje Inducido e Inducción. Como ya se señaló, la inductancia se debe completamente al campo magnético creado por conductores portadores de corriente. Considere la Fig. 5.30, la cual muestra un inductor en tres instantes del tiempo. En (a) la corriente es constante y, como el campo magnético se debe a esta corriente, el campo magnético también es constante. Al aplicar la ley de Faraday notamos que, como el flujo que enlaza la bobina no está cambiando, el voltaje inducido es cero. Considere ahora a (b). Aquí, la corriente (y por ende el campo) está creciendo. De acuerdo con la ley de Faraday, se induce un voltaje que es proporcional a la rapidez con la cual está cambiando el campo y según la ley de Lenz, la polaridad de este voltaje debe ser tal que se opone al incremento en la corriente. Así, la polaridad del voltaje es como se muestra. Observe que mientras más rápido crece la corriente, mayor será el voltaje contrario. Considere ahora a (c). Como la corriente está decreciendo, la ley de Lenz también muestra que la polaridad del voltaje inducido se invierte, es decir, el campo que colapsa produce un voltaje que trata de mantener la corriente. Una vez más, mientras más rápido sea el cambio de la corriente, mayor será este voltaje. Corriente constante

Corriente decreciente

Corriente creciente

Voltaje inducido

(a)

(b)

Voltaje inducido

(c)

Figura 5.30

183

Corriente

Como el voltaje inducido en la Fig. 5.30 trata de oponerse a cambios en la corriente, se denomina fuerza contra electromotriz (fem contra). Sin embargo observe cuidadosamente que este voltaje no se opone a la corriente, se opone solamente a cambios en la corriente. Tampoco evita que la corriente cambie: sólo evita que cambie abruptamente. El resultado es que la corriente en un inductor cambia gradual y suavemente de un valor a otro, Fig. 5.31.

Tiempo

Figura 5.31

Inductores con Núcleo de Hierro y con Núcleo de Aire. Como descubrió Faraday, el voltaje inducido en una bobina depende de los enlaces de flujo y éstos dependen de los materiales del núcleo. Las bobinas con núcleos ferromagnéticos (denominadas bobinas con núcleos de hierro) tienen su flujo confinado casi totalmente a sus núcleos, en tanto que las bobinas enrolladas en materiales magnéticos no lo tienen (estos últimos algunas veces se denominan bobinas con núcleos de aire ya que todos los materiales de núcleos no magnéticos tienen la misma permeabilidad que el aire y por ello se comportan magnéticamente en la misma forma que el aire. Primero, considere el caso del núcleo de hierro, Fig. 5.32. Idealmente, todas las líneas de flujo están confinadas al núcleo y por tanto pasan a través de todas las vueltas (las enlazan) del devanado. El producto del flujo por el número de vueltas por el que pasa se define como el enlace de flujo de la bobina. Para la Fig. 5.32, φ líneas de flujo pasan a través de N vueltas produciendo un enlace de flujo de Nφ. Por la ley de Faraday, el voltaje inducido es proporcional al ritmo de cambio de Nφ. En el sistema SI, la constante de proporcionalidad es uno y la ley de Faraday para este caso puede entonces expresarse como

e = N × ritmo de cambio de φ

(5.29)

o, en notación del Cálculo, e=N

dφ dt

( voltios, V )

(5.30)

donde φ está en webers, t en segundos y e en voltios. Entonces si el flujo cambia con una tasa de 1 Wb/s en una bobina de una vuelta, el voltaje inducido es 1 voltio. Considérese ahora un inductor con núcleo de aire, Fig. 5.33. Como no todas las líneas de flujo atraviesan todas las espiras, es difícil determinar los enlaces de flujo como en el caso anterior. Sin embargo, como no hay material ferromagnético presente, el flujo es directamente proporcional a la corriente. En este caso, entonces, como el voltaje inducido es proporcional al ritmo de cambio del flujo y como el flujo es proporcional a la corriente, el voltaje inducido será proporcional al ritmo de cambio de la corriente. Sea L la constante de proporcionalidad. Entonces,

e = L × ritmo de cambio de la corriente

(5.31)

184

N vueltas

Núcleo de hierro

Figura 5.32

Figura 5.33

o e=L

di dt

( voltios, V )

(5.32)

L, la constante de proporcionalidad, se denomina la auto-inductancia de la bobina (inductor) y en el sistema SI su unidad es el henry (H).

5.8. Inductancia Propia En la sección anterior se demostró que el voltaje inducido en una bobina es e = L di dt , donde L es la inductancia propia o simplemente la inductancia y di dt es el ritmo de cambio de su corriente. En el sistema SI, L se mide en henrys. Como se puede ver de la Ec. (5.32), es el cociente entre el voltaje inducido en una bobina y la razón de cambio de la corriente que lo produce. A partir de esto, se obtiene la definición del henry. Por definición entonces, la inductancia de una bobina (inductor) es un henry si el voltaje creado por su corriente cambiante es un voltio cuando su corriente cambia con el ritmo de un amperio por segundo. En la práctica, el voltaje en un inductor se denota usualmente por vL en vez de e. Así pues, vL = L

di dt

(V)

(5.33)

Las referencias para el voltaje y la corriente se muestran en la Fig. 5.34. Como se acostumbra, el signo más para el voltaje está en la cola de la flecha para la corriente.

Figura 5.34

185

Fórmulas de Inductancia. La inductancia de un inductor depende de sus dimensiones físicas y de su construcción. A continuación se dan algunas fórmulas para las inductancias de algunas bobinas sencillas. La inductancia aproximada de la bobina en la Fig. 5.35(a) es µN 2 A L= ℓ

(H)

(5.34)

donde ℓ está en metros, A en metros cuadrados, N es el número de vueltas y µ es la permeabilidad (característica del material) del núcleo. La precisión de la Ec. (5.34) disminuye para valores pequeños de ℓ/d. Si ℓ/d < 10, el error es menor que 4%.

Núcleo laminado

(a)

(b) Figura 5.35

Para proporcionar una mayor inductancia en espacios más pequeños, algunas veces se usan núcleos de hierro. Sin embargo, a menos que el flujo del núcleo se mantenga por debajo de saturación, la permeabilidad varía y la inductancia no es constante. Para obtener una inductancia constante se puede usar un entrehierro [Fig. 5.35(b)]. Si el entrehierro es lo suficientemente ancho para predominar, la inductancia de la bobina es aproximadamente L=

µ 0 N 2 Ag

ℓg

(H)

(5.35)

donde µ0 es la permeabilidad del aire, Ag es el área del entrehierro y ℓg es su longitud. Otra forma de aumentar la inductancia es usando un núcleo de ferrita. Igual que los capacitores, los inductores disponibles comercialmente vienen en valores y tipos diferentes. Los inductores prácticos típicos tienen valores de inductancia que van desde unos pocos microhenrys (µH) hasta decenas de henrys. Los inductores pueden ser fijos o variables. En la Fig. 5.36 se muestran los símbolos para inductores, siguiendo siempre la convención pasiva de los signos.

186

Figura 5.36. Símbolos de circuito para los inductores: (a) núcleo de aire, (b) núcleo de hierro, (c) núcleo de hierro variable.

Ejemplo 10. Cálculo del Voltaje Inducido. Para calcular el voltaje inducido en una bobina, se necesita determina la relación di dt , lo que requiere del Cálculo. No obstante, como di dt representa una pendiente, el voltaje se puede determinar fácilmente para corrientes que puedan describirse mediante líneas rectas, como en la Fig. 5.37. Para cualquier segmento ∆t, la pendiente es igual a ∆i ∆t , donde ∆i es el cambio en la corriente en el intervalo de tiempo ∆t. En la Fig. 5.37 se muestra la corriente que pasa por un inductor de 10 mH. Se desea determinar el voltaje vL y su gráfica.

Figura 5.37

Solución. El problema se divide en intervalos en los cuales la pendiente de la curva es constante. En cada uno de esos intervalos, determinamos la pendiente para cada segmento y luego calculamos el voltaje usando la relación vL = L × ( pendiente ) para ese intervalo: 0 a 1 ms:

Pendiente = 0. Por tanto, vL = 0 V.

1 ms a 2 ms:

Pendiente = ∆i ∆t = 4 1 × 10 −3 = 4 × 10 3 A/s. Por tanto, vL = L ∆i ∆t = 0.010 4 × 10 −3 = 40 V .

2 ms a 4 ms:

Pendiente = ∆i ∆t = −8 2 × 10 −3 = −4 × 10 3 A/s A/s. Por tanto, vL = L ∆i ∆t = 0.010 ( −4 × 10 −3 ) = −40 V .

4 ms a 5 ms:

Pendiente = 0. Por tanto, vL = 0 V.

187

5 ms a 6 ms:

Igual pendiente que la de 1 ms a 2 ms. Por tanto, vL = 40 V.

La gráfica para el voltaje se muestra en la Fig. 5.38.

Figura 5.38

Para corrientes que no son lineales, sí se necesita recurrir al cálculo, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 11. ¿Cuál es la ecuación para el voltaje en un inductor de 12.5 H cuya corriente es i = te − t ? Solución. Usando diferenciación por partes, tenemos que vL = L

di d = L ( te − t ) = L  e − t + t ( − e − t )  = 12.5 e − t ( 1 − t ) V dt dt

A partir de la relación de corriente-voltaje para un inductor, de la Ec. (5.33) se obtiene di =

1 vL dt L

Integrando se obtiene 1 i= L

t

∫ v(t) dt

(5.36)

−∞

o t

1 i( t ) = v(t ) dt + i ( t 0 ) L

∫

(5.37)

t0

donde t0 es el tiempo inicial, i(t0) es la corriente total para −∞ < t < t 0 o corriente inicial en el inducto, e i ( −∞ ) = 0 . La idea de tomar i ( −∞ ) = 0 es práctica y razonable, ya que debe haber algún punto en el pasado cuando no había ninguna corriente en el inductor. Ya se mencionó que el inductor se diseña para almacenar energía en su campo magnético. La energía almacenada puede obtenerse a partir de las Ecs. (5.33) y (5.36). La potencia entregada al inductor es

188

 di  p = vi =  L  i  dt 

La energía almacenada es t

w=

∫

t

p dt =

−∞

∫ −∞

i(t )

=L

∫

i ( −∞ )

i di =

 di   L  i dt  dt  1 2 1 Li ( t ) − Li 2 ( −∞ ) 2 2

(5.38)

Como i ( −∞ ) = 0 , w=

1 2 Li 2

(5.39)

A continuación se señalan algunas propiedades importantes de un inductor: 1. Observe en la Ec. (5.33) que el voltaje en un inductor es cero cuando la corriente es constante. Así pues, se tiene que un inductor actúa como un cortocircuito para régimen permanente de CD. 2. Como se mencionó anteriormente, el inductor se opone a cambios en la corriente que lo atraviesa. Es decir, la corriente que pasa por un inductor no puede cambiar instantáneamente. De acuerdo con la Ec. (5.33), un cambio discontinuo en la corriente que pasa por un inductor requiere de un voltaje infinito, lo cual no es físicamente posible. Así que un inductor se opone a un cambio abrupto en la corriente que lo atraviesa. 3. Igual que un capacitor ideal, un inductor ideal no genera ni disipa energía. La energía almacenada por el inductor en un momento dado puede recuperarse posteriormente. El inductor toma potencia del circuito cuando almacena energía y le entrega potencia al circuito cuando la regresa. 4. Un inductor no ideal, práctico, tiene una componente resistiva significativa, como se muestra en la Fig. 5.39. Ésta se debe al hecho de que el inductor está hecho de un material conductor, el cual tiene cierta resistencia. Esta resistencia se denomina la resistencia del devanado Rw y está en serie con la inductancia del inductor. La presencia de Rw hace que el inductor sea un dispositivo que almacena y disipa energía. Como Rw es usualmente muy pequeña, en la mayoría de los casos se ignora. El inductor no ideal también tiene una capacitancia de devanado Cw debida al acoplamiento capacitivo entre bobinas conductoras. Cw es muy pequeña y puede ignorarse en la mayoría de los casos, excepto en altas frecuencias. En estas notas los inductores se toman como ideales.

Figura 5.39

189

Ejemplo 11. Halle la corriente que pasa por un inductor de 5 H si el voltaje aplicado es

 30t 2 , v(t ) =   0,

t>0 t<0

Determine también la energía almacenada en el intervalo 0 < t < 5 s.

Solución. Puesto que t

1 i= v(t ) dt + i ( t 0 ) L

∫ t0

y L = 5 H, entonces t

1 t3 i= 30t 2 dt + 0 = 6 × = 2t 3 A 5 3

∫ 0

La potencia es p = vi = 60t 5 y la energía almacenada es entonces 5

t6 w = p dt = 60t dt = 60 6

∫

∫

5

5

0

= 156.25 kJ 0

La energía almacenada también se puede obtener usando la Ec. (5.38), esto es, w

5 0

=

2 1 2 1 1 Li ( 5 ) − Li 2 ( 0 ) = ( 5 ) ( 2 × 5 3 ) − 0 = 156.25 kJ 2 2 2

Ejemplo 10. La Fig. 5.40 muestra un circuito junto con dos gráficas. Estas gráficas representan la corriente y el voltaje del inductor en el circuito. Determine el valor de la inductancia del inductor.

Figura 5.40

Solución La corriente y el voltaje del inductor están relacionados por t

1 i( t ) = v( τ) dτ + i ( t 0 ) L

∫ t0

o t

1 i( t ) − i ( t 0 ) = v( τ) dτ L

∫ t0

(5.40)

190

Puesto que i(t) y v(t) están representados mediante gráficas y no por ecuaciones, ayuda interpretar la Ec. (5.40) utilizando

i(t ) − i ( t 0 ) = la diferencia etre los valores de corriente en t y t 0 y t

1 v( τ) dτ = el área bajo la gráfica de v(t ) versus t para los tiempos entre t 0 y t L

∫ t0

Escoja valores convenientes de t y t0, por ejemplo, t0 = 2 y t = 6 ms. Entonces,

i ( t ) − i ( t 0 ) = 1 − ( −2 ) = 3 A y t

0.006

t0

0.002

1 v( τ) dτ = L

∫

∫ 30 dτ = ( 30 )( 0.006 − 0.002 ) = 0.12 V ⋅ s

Usando la Ec. (5.40), se obtiene 3=

1 = 0.12 L

⇒

L = 0.040

V ⋅s = 0.040 H = 40 mH A

Ejemplo 11 En el circuito de la Fig. 5.41(a) y bajo condiciones de CD, hallar: (a) i, vC e iL; (b) la energía almacenada en el capacitor y el inductor.

Figura 5.41

Solución. (a) Bajo condiciones de CD, se reemplaza el capacitor con un circuito abierto y el inductor como un cortocircuito, como en la Fig. 5.41(b). De la Fig. 5.41(b) es evidente que i = iL =

12 =2A 1+ 5

El voltaje vC es el mismo que el voltaje en el resistor de 5 Ω. Por tanto,

vC = 5i = 10 V (b) La energía en el capacitor es

191

1 1 wC = Cvc2 = ( 1 ) ( 10 2 ) = 50 J 2 2 y en el inductor es wL =

1 2 1 LiL = ( 2 ) ( 2 2 ) = 4 J 2 2

5.9. Inductores en Serie y en Paralelo Ahora que hemos introducido el inductor, necesitamos extender la herramienta de las combinaciones en serie-paralelo. Debemos saber cómo hallar la inductancia equivalente de un conjunto de inductores conectados en serie o en paralelo. Considere la conexión en serie de N inductores, como se muestra en la Fig. 5.42(a), con el circuito equivalente mostrado en la Fig. 5.42(b). La misma corriente pasa por los N inductores. Por tanto, aplicando la LVK al lazo, se obtiene

v = v1 + v 2 + ⋯ + v N

Figura 5.42

La sustitución de vk = Lk di dt (i = 1, 2, … , N ) resulta en

di di di + L2 + ⋯ + L N dt dt dt di = ( L1 + L 2 + ⋯ + L N ) dt

v = L1

o, igualando esta expresión con la inductancia del circuito equivalente,  v=  

 di

N

∑ L  dt = L

di dt

(5.41)

Leq = L1 + L2 + ⋯ + LN

(5.42)

k

k =1

eq

donde

y se obtiene que la inductancia equivalente de inductores conectados en serie es la suma de las inductancias individuales. Observe que los inductores en serie se combinan en la misma forma que los resistores en serie.

192

Considérese ahora la conexión en paralelo de N inductores en la Fig. 5.43(a). Los inductores tienen el mismo voltaje aplicado entre sus terminales. Usando la LCK en el nodo superior tenemos que

i = i1 + i2 + ⋯ + iN Pero

1 ik = Lk

t

∫ v dt + i (t ) 0

t0

y por tanto 1 i= L1

t

∫ t0

t

1 v dt + i 2 ( t 0 ) + L2

1 v dt + i 2 ( t 0 ) + ⋯ + LN

∫ t0

t

∫ v dt + i

N

( t0 )

t0

t

1 1   1 = + +⋯+ v dt + i 1 ( t 0 ) + i 2 ( t 0 ) + ⋯ + i N ( t 0 ) LN   L1 L 2 t0

∫

o

 i=  

N

1 Lk

t

  v dt +  t0

∑ ∫ k =1

N

∑ k =1

1 ik ( t0 ) = Leq

t

∫ v dt + i (t ) 0

(5.43)

t0

donde 1 1 1 1 = + +⋯+ Leq L1 L2 LN

(5.44)

La corriente inicial i ( t 0 ) a través de Leq en t = t0 es la suma de las corrientes en los inductores en t0, Así pues, según la Ec. (5.43), i ( t 0 ) = i1 ( t 0 ) + i 2 ( t 0 ) + ⋯ i N ( t 0 ) Entonces, de acuerdo con la Ec. (5.44), la inductancia equivalente de inductores en paralelo es la suma de los recíprocos de las inductancias individuales. Observe que los inductores en paralelo se conectan en la misma forma que los resistores en paralelo.

Figura 5.43

Para dos inductores en paralelo (N = 2), la Ec. (5.44) se convierte en 1 1 1 = + Leq L1 L2

o

Leq =

L1 L 2 L1 + L2

(5.45)

193

Ejemplo 12. Halle Leq para el circuito de la Fig. 5.44.

Leq L’eq Figura 5.44

Solución. La combinación en paralelo de L2 y L3 es ′ = Leq

6× 2 L2 L 3 = = 1.5 H L2 + L3 6 + 2

Ésta está en serie con L1 y L4. De modo que Leq = 2.5 + 1.5 + 11 = 15 H

Ejemplo 13. En la Fig. 5.45, la resistencia de la bobina es 14.4 Ω. ¿Cuál es la corriente de régimen permanente I?

Bobina

Figura 5.45

Solución. La bobina se reemplaza por su circuito de CD equivalente de un resistor de 14.4 Ω en serie con un cortocircuito. La resistencia equivalente “vista” por la fuente de 120 V es Req = 6 + 9 14.4 = 6 +

9 × 14.4 = 11.54 Ω 9 + 14.4

Usando la propiedad del divisor de corriente, tenemos que 9  120   I =  =4 A  11.54  9 + 14.4 

Ejemplo 14. Para el circuito en la Fig. 5.46, i(t ) = 4 ( 2 − e −10 t ) mA. Si i2(0) = −1 mA, calcular (a) i1(0); (b) v(t), v1(t) y v2(t); (c) i1(t) e i2(t).

194

Figura 5.46

Solución: (a) De la relación i(t ) = 4 ( 2 − e −10 t ) mA, i(0) = 4 ( 2 − 1 ) = 4 mA. Como i = i1 + i 2 , entonces i1 (0) = i(0) − i 2 (0) = 4 − ( −1 ) = 5 mA (b) La inductancia equivalente es Leq = 2 + 4 12 = 2 + 3 = 5 H Entonces v(t ) = Leq

di = 5 ( 4 )( −1 ) ( −10 ) e −10 t = 200 e −10 t mV dt

y v 1 (t ) = 2 Como v = v1 + v2,

di = 2 ( −4 ) ( −10 ) e −10 t = 80 e −10 t mV dt

v 2 (t ) = v(t ) − v1 (t ) = 120 e −10 t mV (c) La corriente i1 se obtiene como t

i 1 (t ) =

t

1 120 −10 t v 2 dt + i1 (0) = e dt + 5 ∫ 40 4 ∫0 t

= −3 e −10 t 0 + 5 = −3 e −10 t + 3 + 5 = 8 − 3 e −10 t mA En forma similar, t

t

1 120 −10 t i 2 (t ) = v 2 dt + i 2 (0) = e dt − 1 ∫ 12 0 12 ∫0 t

= − e −10 t 0 − 1 = − e −10 t + 1 − 1 = − e −10 t mA

5.10 Circuitos Conmutados Los circuitos conmutados tienen las siguientes características: 1. Todas las excitaciones de los circuitos, esto es, fuentes dependientes e independientes de voltaje y corriente, son funciones constantes independientes del tiempo. 2. El circuito incluye uno o más interruptores que se cierran o abre en algún instante t0. El instante inmediatamente antes de que se abra o cierre el interruptor se denota por t 0− y el instante justo después de que el interruptor se cierre o se abra se denota por t 0+ .

195

3. El circuito incluye por lo menos un capacitor o un inductor. 4. Se supondrá que los interruptores en un circuito han estado en posición por un largo tiempo en t = t0, el instante de conmutación. Se dirá que un circuito así está en estado estacionario (o régimen permanente) justo antes de la conmutación. Un circuito que contiene sólo fuentes constantes y está en régimen permanente se denomina un circuito de CD. Todos los voltajes y corrientes de los elementos en un circuito de CD son funciones constantes del tiempo. En un circuito bajo régimen de CD,

Un inductor actúa como un cortocircuito. y

Un capacitor actúa como un circuito abierto. Ejemplo 15. Considérese el circuito en la Fig. 5.47. Antes de t = 0, el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Determine los valores del voltaje en el capacitor y de la corriente en el inductor inmediatamente después de abrir el interruptor en t = 0.

Figura 5.47

Figura 5.48

Solución 1. Para hallar vC ( 0 − ) e iL ( 0 − ) , se considera el circuito antes de que el interruptor se abra, es decir, para t < 0. La entrada al circuito, el voltaje de la fuente, es constante. También, antes de que el interruptor se abra, el circuito está en estado estacionario. Como el circuito es uno de CD, el capacitor se comportará como un circuito abierto y el inductor como un cortocircuito. En la Fg. 5.48, se reemplaza el capacitor por un circuito abierto con un voltaje vC ( 0 − ) y el inductor por un cortocircuito con un corriente iL ( 0 − ) . Observe primero que iL ( 0 − ) =

10 =2 A 5

Utilice después el principio del divisor de corriente para obtener que 3 vC ( 0 − ) =   10 = 6 V 5

2. El voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor no pueden cambiar instantáneamente, de manera que

196

vC ( 0 + ) = vC ( 0 − ) = 6 V iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = 2 A

Ejemplo 16. En el circuito de la Fig. 5.49, hallar iL ( 0 + ) , vC ( 0 + ) , dvC ( 0 + ) dt y diL ( 0 + ) dt . Se utiliza dvC ( 0 + ) dt para denotar dvC ( t ) dt t =0 + . Conmutador 2

Conmutador 1

Figura 5.49

Supóngase que el conmutador 1 ha estado abierto y el 2 ha estado cerrado por un largo tiempo y prevalece la condición de estado estacionario en t = 0 − .

Solución Primero se dibuja de nuevo el circuito para t = 0 − , reemplazando el inductor con un cortocircuito y el capacitor con un circuito abierto, como se muestra en la Fig. 5.50.

Figura 5.50

Ahora se observa que iL ( 0 − ) = 0 A vC ( 0 − ) = −2 V Por tanto, se tiene que iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = 0 A vC ( 0 + ) = vC ( 0 − ) = −2 V Para hallar dvC ( 0 + ) dt y diL ( 0 + ) dt , se acciona el interruptor en t = 0 y se dibuja de nuevo el circuito de la Fig. 5.49, como se muestra en la Fig. 5.51.

197

Figura 5.51

Puesto que se quiere determinar dvC ( 0 + ) dt , recuerde que iC = C o

dvC dt

dvC ( 0 + ) iC ( 0 + ) = dt C En forma similar, como para el inductor vL = L

diL dt

diL ( 0 + ) dt se puede obtener como diL ( 0 + ) vL ( 0 + ) = dt L Usando la LVK para la malla derecha en la Fig. 5.51, se obtiene v L − vC + 1 i L = 0 Por tanto, en t = 0 , +

vL ( 0 + ) = vC ( 0 + ) − iL ( 0 + ) = −2 − 0 = −2 V y obtenemos diL ( 0 + ) = −2 A/s dt En forma similar, para hallar iC, escribimos la LCK en el nodo a para obtener iC + iL +

vC − 10 =0 2

Por tanto, en t = 0 + , iC ( 0 + ) = En consecuencia,

10 − vC ( 0 + ) − iL ( 0 + ) = 6 − 0 = 6 A 2

dvC ( 0 + ) iC ( 0 + ) 6 = = = 12 V/s dt C 12

198

PROBLEMAS

1.

El voltaje en un capacitor de 40 mF cambia de 160 V a 220 V en 5 s. Calcule la corriente promedio que pasa por el capacitor.

2.

Una corriente de 6 cos 8t fluye a través de un capacitor de 2 F. Halle el voltaje v(t) en el capacitor. Suponga que v(0) = 2 V.

3.

En la Fig. 5.52 se muestra el voltaje en un capacitor de 5 µF. Dibuje la corriente iC que pasa por el capacitor.

Figura 5.52

4.

En la Fig. 5.53 se muestra la corriente que pasa por un capacitor de 1 µF. Dibuje el voltaje vC en el capacitor. El voltaje en t = 0 s es 0 V.

Figura 5.53

5.

La onda de voltaje en la Fig. 5.54 se aplica a un capacitor de 20 µF. Dibuje la onda de corriente que pasa por el capacitor.

6.

Si el voltaje en un capacitor de 2 F es como se muestra en la Fig. 5.55, halle la corriente que pasa por el capacitor.

7.

Un capacitor de 40 µF es cargado a 120 V y luego se permite su descarga hasta 80 V. ¿Cuánta energía se pierde?

8.

Determine la capacitancia equivalente CT para cada circuito de la Fig. 5.56.

9.

Determine la capacitancia total en los terminales de cada circuito en la Fig. 5.57.

199

Figura 5.54

Figura 5.55

Figura 5.56

CT

CT (d) Todos los valores en µF

Figura 5.57

10. Determine Cx en la Fig. 5.58. 11. Calcule la capacitancia equivalente para el circuito de la Fig. 5.59. Todas las capacitancias están en mF. 12. Obtenga la capacitancia equivalente del circuito en la Fig. 5.60. 13. Para el circuito en la Fig. 5.61, determine (a) el voltaje en cada capacitor; (b) la energía almacenada en cada capacitor. 14. Repita el Problema 13 para el circuito de la Fig. 5.62.

200

Figura 5.58

Figura 5.59

Figura 5.60

Figura 5.61

Figura 5.62

15. Obtenga la capacitancia equivalente de la red mostrada en la Fig. 5.63.

201

Figura 5.63

16. Suponiendo que los capacitores están inicialmente descargados, halle vo(t) en el circuito de la Fig. 5.64. is (mA) is

Figura 5.64

17. Si v(0) = 0, halle v(t), i1(t) e i2(t) en el circuito de la Fig. 5.65.

Figura 5.65

18. Para el circuito en la Fig. 5.66, sea v = 10 e −3 t V y v1(0) = 2 V. Hallar (a) v2(0); v1 (t ) y v2 (t ) y (c) i1 (t ) e i 2 (t ) .

Figura 5.66

19. El voltaje en un inductor de 2 H es 15 ( 1 − e −3 t ) V . Si la corriente inicial en el inductor es 0.4 A, halle la corriente y la energía almacenada en el inductor en t = 1 s. 20. La Fig. 5.67 muestra la corriente en un inductor de 0.75 H. Determine el voltaje vL y grafíquelo.

202

21. La Fig. 5.68 muestra la corriente en una bobina. Si el voltaje de 0 a 2ms es 100 voltios, ¿cuál es L?

Figura 5.67

Figura 5.68

22. La Fig. 5.69 muestra la gráfica del voltaje en un inductor. La corriente cambia de 4 A a 5 A durante el intervalo de 4 s a 5 s. (a) Determine el valor de L; (b) Determine la onda de corriente y grafíquela; (c) ¿Cuál es la corriente en t = 10 s?

Figura 5.69

23. Si la onda de voltaje en la Fig. 5.70 se aplica a un inductor de 5 H, calcule la corriente que pasa por el inductor. Tome i(0) = −2 A. 24. Hallar vC, iL y la energía almacenada en el capacitor y el inductor en el circuito de la Fig. 5.71 bajo condiciones de régimen permanente de CD.

v(t) (V)

Figura 5.70

Figura 5.71

25. El circuito en la Fig. 5.72 ha alcanzado valores finales (régimen permanente de cd). Determine Rx.

203

Figura 5.72

26. En la Fig. 5.73, L1 = 2 L2 . La energía total almacenada es WT = 75 J . Halle L1 y L2. 27. En la Fig. 5.74, calcule el valor de R que hará que la energía almacenada en el capacitor sea la misma que la almacenada en el inductor bajo condiciones de CD.

Figura 5.73

Figura 5.74

28. Determine LT para el circuito de la Fig. 5.75. .

Figura 5.75

29. Obtenga Leq para el circuito inductivo en la Fig. 5.76. Todas las inductancias están en mH.

Figura 5.76

204

30. Halle la inductancia equivalente vista desde los terminales ab de los circuitos en la Fig. 5.77. 31. Determine la inductancia equivalente Leq que se puede usar para representar la red inductiva de la Fig. 5.78. 32. En el circuito de la Fig. 5.79, sea is (t ) = 6 e −2 t mA , t ≥ 0 e i1(0) = 4 mA. Hallar: (a) i2(0); (b) i1(t) e i2(t), t > 0; (c) v1(t) y v2(t), t > 0; (d) la energía en cada inductor en t = 0.5 s.

Figura 5.77

Figura 5.78

Figura 5.79

33. Hallar i y v en el circuito de la Fig. 5.80 suponiendo que i(0) = 0, v(0) = 0. 20 mH

12 sen 4t mV

60 mH 16 mH

v

40 mH

Figura 5.80

34. El interruptor en la Fig. 5.81 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en el instante t = 0. Calcule vC ( 0 + ) e iL ( 0 + ) . Denote por vC ( ∞ ) e iL ( ∞ ) los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor después de que el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Determine vC ( ∞ ) e iL ( ∞ ) .

205

iL(t)

t=0 + vC(t)

− Figura 5.81

35. El interruptor en el circuito mostrado en la Fig. 5.82 ha estado cerrado por un largo tiempo antes de abrirse en el instante t = 0. Determine los valores de vR ( 0 − ) y vL ( 0 − ) , el voltaje en el resistor de 4 Ω y en el inductor justo y antes de que se abra el interruptor, y los valores de vR ( 0 + ) y vL ( 0 + ) , inmediatamente después de que el interruptor se abre.

Figura 5.82

36. El circuito mostrado en la Fig. 5.83 está en estado estacionario cuando se abre el interruptor en t = 0. Determinar v1 ( 0 − ) , v1 ( 0 + ) , i 2 ( 0 − ) e i 2 ( 0 + )

Figura 5.83

206