Bab Ii Pola Bilangan Dan Deret Bilangan 622f9

BAB II POLA, BARISAN, DAN DERET BILANGAN STANDAR KOMPETENSI : 6. Memahami barisan dan deret bilangan serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana 6.2 Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri 6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri 6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret RINGKASAN MATERI A. Jenis dan Bentuk Pola Bilangan 1. Pola bilangan ganjil dan seterusnya 1

3

5

7

…

2. Pola bilangan genap dan seterusnya 2

4

6

8

…

3. Pola bilangan persegi

dan seterusnya 1

4

9

16

…

4. Pola bilangan persegi panjang

dan seterusnya 2

6

12

20

…

5. Pola bilangan segitiga

dan seterusnya 1

3

6

6. Pola bilangan segitiga Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 5

10

…

1 1

dan seterusnya

12

Kegunaan segitiga Pascal salah stunya adalah untuk menentukan koefisien pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, misalnya : (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Dan seterusnya B. Barisan Bilangan Barisan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Tiap bilangan dalam barisan tersebut disebut suku barisan (U) dan urutannya ditunjukkan dengan pemetaan pada bilangan asli. Contoh : Bilangan asli : 1 2 3 4 … n Barisan : 0 2 Pada barisan bilangan di atas : Suku kesatu ditulis U1 = 0 Suku kedua ditulis U2 = 2 Suku ketiga ditulis U3 = 4 Suku keempat ditulis U4 = 6 Suku ke-n ditulis Un

4

6

…

…

Beberapa contoh barisan bilangan : a. 1, 3, 5, 7, 9, … aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan menambah 2 bilangan sebelumnya. b. 22, 19, 16, 13, 10, … aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangi 3 bilangan berikutnya. c. 32, 16, 8, 4, … aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan membagi dua bilangan sebelumnya. d. 1, 3, 4, 7, 11, … aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Latihan : Pemahaman Konsep 1. Pada pola bilangan segitiga Pascal : a. enam bilangan pertama baris ke-5 adalah …. b. empat bilangan pertama diagonal ke-3 adalah … 2. Isilah titik-titik berikut, berdasarkan pola bilangan segitiga Pascal : a. (p + q)2 = …p2 + …pq + …q2 b. (a + b)5 = …a5 + …a4b + …a3b2 + …a2b3 + …ab4 + …b5 3. Tentukan aturan dari barisan bilangan berikut : a. 2, 6, 18, 54, … aturannya adalah …. b. 3, 8, 13, 18, … aturannya adalah …. c. 99, 92, 85, 78, … aturannya adalah …. Penalaran dan Komunikasi 1. Perhatikan gambar di bawah ini ! a. Tulislah barisan bilangan yang menyatakan banyaknya segitiga sama sisi dengan sisi 1 satuan pada tiap gambar ! …………………………. b. Teruskanlah barisan tersebut dua bilangan berikutnya ! ………………………….

13

2. Lengkapilah titik-titik pada barisan bilangan berikut : a. 13, 22, … , 40, 49 b. 14, 6, … , … , -18 c. 1, 9, … , 729, … d. 2, … , 26, 38, 50 Pemecahan Masalah 1. Tentukan nilai p pada tiap barisan bilangan berikut : a. 2, 6, p, 14, … b. 2, 10, 50, 2p, … c. 56, 28, 14, (6p + 1), … d. -2, 18, -162, (4p – 2), … 2. Dengan memperhatikan pola bilangan segitiga Pascal, jabarkan perpangkatan berikut : a. (a + 1)4 = …. b. (p  5)3 = … c. (2c  d)6 = … C. Menentukan dan menghitung suku ke-n barisan bilangan 1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dengan menambahkan beda pada suku sebelumnya. Beda (b) adalah selisih dari dua suku berurutan. b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un - 1 Misalnya U1 = a, beda = b, maka barisan bilangan aritmetika adalah : a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, Un Dimana rumus suku ke-n adalah : Un = a + (n – 1)b Contoh 1: Diketahui barisan 4, 10, 16, 22, … Tentukan : a. beda b. rumus suku ke-n c. suku ke-20 d. nilai n, jika Un = 100 Jawab : a. b = 10 – 4 = 6 Jadi beda barisan tersebut adalah 6 b. Un = a + (n – 1)b = 4 + (n – 1)6 = 4 + 6n – 6 = 6n – 2 Jadi rumus suku ke-n barisan bilangan tersebut adalah Un = 6n – 2 c. U20 = 6(20) – 2 = 120 – 2 = 118 Jadi suku ke-20 barisan bilangan tersebut adalah 118 d.

Un 6n – 2 6n 6n

= 100 = 100 = 100 + 2 = 102

14

n =

102 6

n = 17 Jadi nilai n = 17 Contoh 2: Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 15 dan U7 = 31. Tentukan : a. beda b. suku pertama c. rumus suku ke-n Jawab. a. U3 = 15 a + (3 – 1)b = 15 a + 2b = 15 ………………………….(1) U7 = 31 a + (7 – 1)b = 31 a + 6b = 31 ………………………….(2) Dari persamaan (1) dan (2), eliminasi a a + 6b = 31 a + 2b = 15 ─ 4b = 16 b=4 Jadi beda barisan tersebut adalah 4 b. Substitusi b = 4 ke persamaan (1) a + 2b = 15 a + 2(4) = 15 a + 8 = 15 a = 15 – 8 a =7 Jadi suku pertama barisan tersebut adalah 7 c. Un = a + (n – 1)b = 7 + (n – 1)4 = 7 + 4n – 4 = 4n + 3 Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 4n + 3 Contoh 3 : Tentukan empat suku pertama dari barisan dengan rumus Un = 3n – 1. Jawab. U1 = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2 U2 = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5 U3 = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8 U4 = 3(4) – 1 = 12 – 1 = 11 Jadi empat suku pertama barisan bilangan tersebut adalah 2, 5, 8, 11. 2. Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dengan mengalikan rasio pada suku sebelumnya. Rasio (r) adalah hasil bagi dari dua suku berurutan. U2 U3 Un r= = = U1 U2 U n 1

15

Misalnya U1 = a, rasio = r, maka barisan bilangan geometri adalah : a, (a × r), (a × r2), (a × r3), …, Un Dimana rumus suku ke-n adalah : Un = a × rn-1 Contoh 1. Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, … Tentukan : a. rasio b. rumus suku ke-n c. suku ke-6 d. nilai n, jika Un = 39.366 Jawab. a. r =

6 =3 2

Jadi rasio barisan tersebut adalah 3 b. Un = 2 × rn-1 = 2 × 3n-1 Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 2 × 3n-1 = 2 × 36-1 = 2 × 35 = 2 × 243 = 486 Jadi nilai suku ke-6 barisan tersebut adalah 486.

c. U6

d.

Un = 39.366 n-1 2 × 3 = 39.366 3n-1 =

39.366 2

3n-1 = 19.683 3n-1 = 39 n–1 =9 n =9+1 n = 10 Jadi nilai n = 10 Contoh 2: Diketahui barisan geometri dengan U2 = 9 dan U4 = 81. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. rumus suku ke-n Jawab. a. U4 = 81 4-1 a×r = 81 a × r3 = 81 ………………… (1) U2 a × r2-1 a × r1

=9 =9 = 9 ………………… (2)

Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2) diperoleh : a  r 3 81  9 a  r1 r2 = 9

16

r = 9 r =3 Jadi rasio barisan tersebut adalah 3 b. Substitusi r = 3 ke persamaan (2) diperoleh a × r1 =9 a × 31 = 9 a×3 =9 a

=

9 3

a =3 Jadi suku pertama barisan tersebut adalah 3 c. Un = a × rn-1 = 3 × 3n-1 = 3n-1+1 = 3n Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n. Latihan : Pemahaman Konsep 1. Tuliskanlah lima suku pertama dari barisan yang rumus umumnya sebagai berikut : a. Un = 2n – 3 b. Un = (n + 1)2 n2 2n  1

c.

Un =

d.

Un = 76 – 4n

2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan berikut : a. -1, 4, 9, 14, … b. 2, 4, 6, 8, … c. 1, 4, 9, 16, … d. 9, 27, 81, 243, … 3. Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 4 dan U8 = 19. Tentukan : a. beda b. rumus suku ke-n c. nilai n jika Un = 31 4. Diketahui barisan geometri dengan U2 = 48 dan U4 = 12. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. rumus suku ke-n Penalaran dan Komunikasi 1. Tentukan suku ke-305 dari barisan bilangan 145, 149, 153, 157, 161, ….. 2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 6 dan U6 = 48. a. rasio b. suku pertama c. rumus suku ke-n 3. Diketahui barisan bilangan 1, 2, 5, 10, 17, p, q. tentukan nilai p dan q.

17

4. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan berikut : a. 1, 3, 6, 10, … b. 1, 8, 27, 64, …. c. 1,

2 3 4 , , ,.... 3 6 10

5. Di dalam suatu ruangan terdapat 12 kursi pada baris pertama, 15 kursi pada baris kedua, 18 kursi pada baris ketiga dan seterusnya. Tentukan : a. banyaknya kursi pada baris ke-15. b. pada baris keberapakah terdapat 72 kursi. Pemecahan Masalah 1. Diketahui tiga bilangan (3x + 2), (5x – 8), dan (

1 x + 12) membentuk barisan 2

aritmetika. Tentukan nilai x. 2. Andi berlari lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama sejam pertama. Pada 1 dari kecepatan pada jam 2 1 pertama. Setiap kecepatan tiap jamnya berkurang dari kecepatan sebelumnya. 2

jam kedua, kecepatannya berkurang menjadi

Berapakah jarak yang telah ditempuh Andi selama 5 jam. D. Menentukan jumlah n suku pertama barisan bilangan 1. Deret Aritmetika Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + …. Deret Aritmetika dinamakan juga deret hitung. a. Deret Aritmetika Naik Suatu deret aritmetika dikatakan naik, jika beda dari deret aritmetika itu positif (b > 0). Contoh : 1) 1 + 3 + 5 + 7 + …. 2) 4 + 7 + 10 + 13 + … b. Deret Aritmetika Turun Suatu deret aritmetika dikatakan turun, jika beda dari deret aritmetika itu negatif (b < 0). Contoh : 1) 8 + 6 + 4 + 2 + …. 2) 40 + 35 + 30 + 25 + … Rumus jumlah n suku pertama (Sn) deret aritemetika adalah : Sn =

1 n(a + Un) atau 2

Sn =

1 n [2a + (n-1)b] 2

Dimana : n = banyaknya suku a = U1 = suku pertama b = beda Un = suku ke-n Sn = jumlah n suku pertama Contoh 1. 18

Diketahui deret aritmetika 3 + 10 + 17 + … Tentuka jumlah 20 suku petama deret tersebut. Jawab. a = 3 b = 10 – 3 = 7 S20 = = = = =

1 × 20 [2 × 20 + (20  1)7] 2

10 [40 + (19)7] 10 [40 + 133] 10 [ 173 ] 1.730

Contoh 2. Diketahui deret aritmetika yang mempunyai suku pertama 4 dan beda 3, tentukan a. rumus suku ke-n b. rumus Sn c. nilai S50 Jawab. a. Un = a + (n – 1)b = 4 + (n – 1)3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1 Jadi rumus suku ke-n deret tersebut adalah Un = 3n + 1 1 n(a + Un) 2 1 = n(4 + 3n + 1) 2 1 = n(3n + 5) 2

b. Sn =

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn =

1 n(3n + 5) 2

1 n(3n + 5) 2 1 = × 50 (3 × 50 + 5) 2

c. S50 =

= 25 (150 + 5) = 25 (155) = 3.875 Jadi jumlah 50 suku pertama deret tersebut adalah 3.875. 2. Deret Geometri Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan geometri. U1 + U2 + U3 + …. Deret Geomatri dinamakan juga deret ukur. a. Deret Geometri Naik Suatu deret geometri dikatakan naik, jika suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret geometri tersebut memenuhi syarat a > 0 dan r > 1. Contoh : 1) 1 + 3 + 9 + 27 + …. 2) 2 + 4 + 8 + 16 + … b. Deret Aritmetika Turun Suatu deret geometri dikatakan turun, jika suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret geometri tersebut memenuhi syarat a > 0 dan 0 < r < 1. 19

Contoh : 1) 16 + 8 + 4 + 2 + …. 2) 3 +

3 3 3 + + +… 2 4 8

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) deret geometri adalah : Sn =

a 1  r n  atau 1 r

Dimana : n = banyaknya suku a = U1 = suku pertama r = rasio Sn = jumlah n suku pertama

Sn =

a  r n  1 dengan r ≠ 1 r 1

Contoh 1. Diketahui deret geometri 1 + 3 + 9 + … Tentuka jumlah 8 suku petama deret tersebut. Jawab. a=1

r=



3 =3 1



1 38  1 3 1 1(6.561  1) = 2 1 6.560  = 2 6.560 = 2 = 3.280 Jadi jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah 3.280.

S8 =

Contoh 2. Diketahui deret geometri yang mempunyai suku pertama 2, rasio 2 dan Sn = -42. Tentukan banyaknya suku dari deret geometri tersebut. Jawab. a=2 r = 2 Sn = -42 n a 1  r  Sn = 1 r n 2 1    2 42 = 1    2









2 1    2 1 2 n 2 1    2 42 = 3 126 = 2[1 (2)n] 63 = 1 – (2)n – (2)n = 64 (2)n = 64 (2)n = (2)6 n =6 Jadi banyaknya suku dari deret tersebut adalah 6.

42 =



n



20

Latihan Pemahaman Konsep 1. Tentukan jumlah 40 suku pertama deret 2 + 7 + 12 + 17 + …. 2. Tentukan nilai m dari deret bilangan 2 +

4 6 m + + . 3 5 7

3. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret 1 – 2 + 4  … 4. Diketahui deret 729 + 243 + 81 + … Tentukan : a. rasio b. U8 c. S5 Penalaran dan Komunikasi 1. Di dalam suatu aula terdapat 15 kursi pada barisan pertama, 20 kursi pada barisan kedua, 25 kursi pada barisan ketiga, dan seterusnya. Jika dalam aula tersebut terdapat 15 baris, maka tentukan banyaknya kursi pada aula tersebut. 2. Hitunglah bilangan asli di antara 1 sampai 300 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 6. 3. Tinggi tumpukan dua gelas 15 cm dan tinggi tiga tumpukan gelas yang sama adalah 18 cm. Jika gelas tersebut ditumpuk hingga 20 buah, berapakah tingginya ? Pemecahan Masalah 1. Di kelas 9 terdapat 100 siswa yang saling berjabat tangan untuk berhalal-bihalal. Berapakah banyaknya seluruh jabat tangan yang terjadi ? 2. Seorang bayi bernama Dinda pada tanggal 25 Januari 2006 memiliki berat 3.100 gram. Jika pertambahan beratnya setiap bulan merupakan suatu deret geometri dengan rasio

7 dan pada tanggal 25 April 2006 beratnya 4.600 gram. Tentukan 8

berat Dinda pada tanggal 25 Mei 2006.

21

Uji Kompetensi Pemahaman Konsep 1. Diketahui pola titik-titik berikut :

a. Tulislah barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya titik-titik. b. Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan bilangan tersebut. c. Tentukan banyaknya titik pada pola ke-8. 2. Diketahui barisan bilangan : 1, 9, 17, 25, 33, …. Tentukanlah : a. rumus suku ke-n barisan bilangan tersebut. b. suku ke-23. c. nilai n jika Un = 233. 3. Diketahui deret aritmetika dengan U3 = 19 dan U6 = 37. Tentukanlah : a. beda dan suku pertama b. suku ke-50 c. jumlah 50 suku pertama 4. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret 6 + 18 + 54 + … Penalaran dan Komunikasi 1. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri mempunyai rumus Sn = 2(1  2n). Hitunglah n jika Sn = 62. 2. Suatu deret aritmetika diketahui S5 = 55 dan U1 = 3. Tentukan : a. beda deret tersebut b. suku ke-5 3. Tiga buah bilangan membentuk deret geometri. Suku pertama dan suku ke-3 adalah 6 dan 54. Tentukan suku ke-2. Pemecahan Masalah 1. Dalam suatu penyelidikan diketahui bahwa perkembangbiakan sebuah sel bakteri dua kali lipat dalam tiap menit. Jika semua ada 100 sel bakteri untuk penyelidikan, berapa banyaknya bakteri tersebut setelah 4 menit. 2. Diketahui deret aritmetika dengan U1 + U3 = 38 dan U3 + U5 + U7 = 93. Tentukan suku pertama dan beda barisan itu.

22