Area De Un Cuarto Del Circulo 193827

Se quiere calcular el área de un cuarto de círculo como se muestra en la figura, para ello se simula el lanzamiento de 100 dardos al azar, entendiendo que el área de la fracción de círculo estaría dada por la expresión: 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √𝑟 2 − 𝑥 2 Como el radio es igual 1 quedaría, 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √1 − 𝑥 2

Para esto se usa la simulación de Excel llamada Monte carlo:  

Se harán 100 puntos (lanzamientos) dentro del área del cuarto del circulo Se halla X y Y, para esto usamos el comando =ALEATORIO(), esto se realiza para los 100 puntos.



Se grafican los puntos en un gráfico de dispersión



Después hallamos la hipotenusa del circulo usando la fórmula: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √𝑥 2 + 𝑦 2



Para saber cuántos puntos hay en ¼ del circulo tenemos en cuenta la condición de que la hipotenusa tiene que ser menor a 1, o tiene que ser 1, o tiene que ser 0. Para esto usamos el comando =SI(hipotenusa<1;1;0), esta acción se realiza para los 100 lanzamientos.



Para hallar el área se usa la formula dicha anteriormente,



A continuación, se halla el promedio del área de los 100 lanzamientos, esto nos dará el área que hay en ¼ del círculo, con el comando =PROMEDIO(AREA 100 PUNTOS)



Como tenemos e=0,005, Z=1.96, ahora tenemos que hallar la desviación estándar para saber el número de lanzamientos que hay que hacer para obtener el área de ¼ del circulo. La desviación estándar se halla con el comando =DESVEST.M(AREA DE LOS 100 PUNTOS)



Para hallar n se realiza con la siguiente ecuación:

𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝑍 2 ∗ 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛2 𝑒2



Como ya tenemos el área de ¼ del circulo estimada, podemos hallar el área del circulo multiplicando este promedio por 4



La grafica de lo anterior quedaría

area 1/4 de circulo 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Los puntos azules son los puntos que no están dentro del área, los puntos naranjas se hicieron tomando en el eje X los puntos aleatorios de X y en el eje Y el área que se halló para cada punto, y los de color gris son los puntos que se deben tomar en cuenta en el área debajo de la curva.



Para obtener un resultado final de: