Apuntes De Topografia Basica Planimetria 6sc1j

Elaborado Por: ING. WILFREDO AVALOS LOZANO.

CHICLAYO - 2019 [Escriba el nombre del autor]

INDICE I.- MATEMÁTICAS BÁSICAS DE USO PRÁCTICO EN TOPOGRAFÍA. .....................................................1 1.1.

Geometría Topográfica. ........................................................................................................................1

1.1.1.- Ángulo.- ...............................................................................................................................................1 1.2.- Razones Trigonométricas de Ángulos Notables..................................................................................5 1.3.- Teorema de Pitágoras. ............................................................................................................................6 1.4.- Ley de Senos. ...........................................................................................................................................7 1.5.- Ley de Cosenos. .......................................................................................................................................7 II.- TOPOGRAFÍA. .............................................................................................................................................. 10 2.1.- Levantamiento Topográfico. ................................................................................................................ 11 2.2.- Escalas. ................................................................................................................................................... 12 2.3.- Planimetría Básica................................................................................................................................. 14 2.4.- Planimetría Con Equipos Topográficos.............................................................................................. 23 2.4.1.- Sistema De Coordenadas Rectangulares. ................................................................................. 23 2.4.2.- Coordenadas polares. ................................................................................................................... 25 2.4.3.- Rumbos. ........................................................................................................................................... 26 2.4.4.- Acimuts. ........................................................................................................................................... 27 2.4.4.1.- Ejercicios de levantamientos efectuados con Brújula y Teodolito. .................................... 29 3.0.- Bibliografía y Separatas. .......................................................................................................................... 49 3.1.- Bibliografía. ............................................................................................................................................... 49 3.2.- Separatas. .................................................................................................................................................. 49

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TOPOGRAFIA I

ing. Wilfredo Avalos Lozano

I.- MATEMÁTICAS BÁSICAS DE USO PRÁCTICO EN TOPOGRAFÍA.

1.1.

Geometría Topográfica.

1.1.1.- Ángulo.- es la abertura formada por 2 rayos divergentes que tienen un extremo en común. el cual se denomina vértice. Elementos de un ángulo:

A

Angulo cóncavo β

α ángulo convexo O

Vértice

B

1.1.1.1.- Clasificación por su medida: a) ángulo nulo:

B

B

A

A

ambas semirectas coinciden

b) ángulo agudo: B

C ángulo menor a 90° O

A

1

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c) ángulo recto: A ángulo igual a 90° B d) ángulo obtuso: C

B ángulo mayor a 90° < de 180°

O

A

e) ángulo llano: ángulo = 180°

C

B

A

1.1.1.2.- Clasificación según su suma. a) ángulos complementarios: A C α + β =90° α β

B

2

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b) ángulos suplementarios: A B θ + β =180° θ

M

β

N

1.1.1.3.- Clasificación según su posición.

a) ángulos adyacentes:

b) ángulos consecutivos: A

B A

C θ

C

θ

β

B

β α

comparten un lado en común

D

pueden formar más ángulos

c) ángulos opuestos por el vértice: A

θ

β

son congruentes B

3

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d) ángulos entre dos rectas paralelas y una recta secante: P

M

1 2 3 4 Región interior

N

5 6 7 8 Región exterior

- M // N, se lee M es paralelo a N y viceversa además es transversal a P, de los 8 ángulos que quedan formados: 4 son interiores: 3, 4, 5, 6 4 son interiores: 1, 2, 7, 8

Ángulos alternos internos (son congruentes). P <4 = <6; por ser alternos internos entre M // N

M

y transversal a P.

4 3

N

5 6

<5 = <3; por ser alternos internos entre. M // N y transversal a P. Características de este par de ángulos. - están en distintos semiplanos con Respecto a la recta P. - los dos ángulos son internos. - los ángulos no son adyacentes.

4

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Ángulos alternos externos (son congruentes). P <1 = <7; por ser alternos externos entre M // N

M

1

2

y transversal a P. <2 = <8; por ser alternos externos entre. M // N y transversal a P. Características de este par de ángulos. - están en distintos semiplanos con Respecto a la recta P.

N

- los dos ángulos son externos.

8 7

- los ángulos no son adyacentes.

1.2.- Razones Trigonométricas de Ángulos Notables. Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede conocer la proporción existente entre sus lados. 1° Triángulo notable de 45°.Sen 45° =

45°

√2

1

Cos 45° = Tg30° =

45°

1 1

1 √2 1 √2

x

√2 √2

=

√2 2

= 0.7071

x

√2 √2

=

√2 2

= 0.7071

=1

1

2° Triángulo notable de 30° y 60°.Sen 30° =

30°

√3

2

2

Cos 30° = Tg30°=

60°

1

1 √3

= 0.5 √3 2

x

;

Sen 60° =

= 0.866; Cos 60°= √3 √3

=

√3 3

√3 = 2

1 2

0.866

= 0.5

= 0.577

1 5

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Tg60°=

√3 1

=1.73

2° Triángulo notable de 37° y 53°.Sen 37° =

53°

5

3

Cos 37° = Tg37°=

37°

3 4

3 5 4 5

= 0.6 = 0.8 ;

4

;

Sen 53° = = 0.8 5

Cos 53°=

3 5

= 0.6

= 0.75

4 Tg53°=

4 5

= 1.33

1.3.- Teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas para el Angulo α:

Seno de alfa = Senα =

b

CO H

=

a b

CA

C

Coseno de alfa = Cosα =

a

Tangente de alfa = Tgα = CA =

H

=

CO

c b a c

CA

A

α c

Cotangente de alfa = Ctgα = CO =

B

𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎2

H

Secante de alfa = Secα = CA = H

c a

b c

Cosecante de alfa = Cscα = CO =

𝑏 a

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CA=cateto adyacente; CO=cateto opuesto; H= hipotenusa.

1.4.- Ley de Senos. Quiere decir que si en un polígono triangular conozco 3 distancias y un ángulo. puedo determinar otro ángulo y así todos los ángulos y distancias. Además que saber que la suma de ángulos internos de un polígono responde a la siguiente formula. Σ<s = 180 (n-2)

o cumplirse: α+β+Ɵ = 180° B

β

c

a

Ɵ

α A

C b

Se cumple: 𝑎 sin 𝛼

=

𝑏 sin β

=

𝑐 sin θ

1.5.- Ley de Cosenos. Necesariamente tendría que conocerse uno de los ángulos y 2 distancias, de esta manera se pueden calcular la tercera distancia y los dos ángulos restantes. debe cumplirse: α+β+Ɵ = 180° B

c

β

α

a

Ɵ

A

C b

Se cumple:

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𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 – 2bc.cosα

𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 – 2ac.cosβ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 – 2ab.cosθ Problemas resueltos para ambos casos: Ley de Senos: Ejercicio 01. se desea conocer los ángulos α y θ a partir de los datos obtenidos en campo.

B

α

97m

37 °

A

58.86m

Ɵ C 85m

Solución: por la ley de senos realizamos las siguientes relaciones. Calculo de α: 𝟓𝟖.𝟖𝟔 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟕°

=

𝟖𝟓 𝐬𝐢𝐧∝

58.86 senα = 85 sen37° 𝟖𝟓𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟕°

α = arcsen 𝟓𝟖.𝟖𝟔 α = 60°21´8.47” Calculo de θ: 𝟖𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎°𝟐𝟏´𝟖.𝟒𝟕"

=

𝟗𝟕 𝐬𝐢𝐧 𝜽

85 senα = 97 sen60°21´8.47” α = arcsen

𝟗𝟕𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎°𝟐𝟏´𝟖.𝟒𝟕" 𝟖𝟓

α = 82°38´51.76” 8

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se cumple: α+37°+θ=180° 60°21´8.47”+37°+82°38´51.76” =180° (OK)

Ley de Cosenos: Ejercicio 02. se desea conocer la distancia BC=a; a partir de los datos obtenidos en campo.

B a=?? b=97m

obstáculo

37° A

C

c=85m Solución: por la ley de cosenos realizamos las siguientes relaciones.

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 – 2bc.cosα 𝑎2 = 972 + 852 – (2*97*85).cos37° 𝑎2 = 3464.50044 a = √3464.50044 a = 58.86m

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II.- TOPOGRAFÍA. Proceso ordenado que haciendo uso de matemáticas básicas y el uso de instrumentos mecánicos, automáticos y electrónicos, es posible representar gráficamente el relieve y forma de la tierra en planos. Practicado desde muchos siglos atrás por el hombre para dar solución práctica a muchos problemas de ingeniería y los resultados hoy los vemos en las maravillas mundiales tales como las pirámides de Egipto, Machupicchu, etc. Orden en la realización de un trabajo topográfico.  Conocimiento del área de estudio.  Recopilación de información del área a levantar.  Elección del método topográfico de medición.  Trabajo de campo.  Trabajo de gabinete.  Elaboración de planos. La topografía solo es usada para representar hasta un máximo de 625𝑘𝑚2 , teniendo como lado promedio 25km, más allá de esta cobertura se manifiesta el radio de curvatura terrestre por lo que se debe emplear métodos que comprenden la aplicación de la geodesia.

Geodesia. Estudia la forma, dimensiones y campo de gravedad de la tierra. Nos permite ubicar con exactitud un punto (latitud y longitud) sobre una superficie matemática denominada elipsoide. Ramas de la topografía. Planimetría.- Método de medición y representación de una parte de la superficie de la tierra sobre un plano. Altimetría.- conjunto de operaciones que se realizan para definir y representar numérica y gráficamente, las cotas de puntos de terreno. Taquimetría.- realiza levantamientos de planos con equipos taquimétricos estudiando distancia vertical y horizontal entre puntos.

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2.1.- Levantamiento Topográfico. Metodología por la cual se realiza mediciones con instrumentos topográficos y geodésicos; mecánicos o electrónicos, y de esta manera graficar en un plano la forma precisa de un área geográfica. Tipos de levantamientos: por citar algunos. 1. Levantamiento Planímetros.- representa puntos medidos en el plano. 2. Levantamientos altimétricos.- determina las diferencia de altura en un relieve a partir de un altura de referencia en este caso el nivel medio del mar. 3. Levantamientos taquimétricos.- se determinan mediante el uso de equipos taquimétricos la determinación de un punto en los tres ejes ( X,Y,Z). 4. Levantamientos longitudinales.- se usan en carreteras, canales,etc. 5. Levantamientos catastrales.- se usan para medir predios urbanos o rurales.

Términos muy usados en topografía: Nivel medio del mar.se llama así al nivel de referencia desde el cual se miden los desniveles este se encuentra en el nivel quieto del mar el cual se a determinado mediante el uso del mareógrafo ensayos realizados durante 20 años. BM (Bench Mark).Punto conocido fijo con sus coordenadas y altura con respecto al nivel medio del mar. Cota.Es la distancia vertical con referencia al nivel medio del mar. Cota absoluta: es una cota de nivel con referencia al nivel medio del mar. Cota relativa: es una cota asumida arbitrariamente.

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Representación de planos. Todo Trabajo de topografía tiene por finalidad plasmar lo medido en una determinada área en un plano. El cual posteriormente tiene que ser de fácil lectura de medición y análisis para los profesionales que tengan a ellos. Representar las dimensiones reales del área levantada resultaría imposible graficarla en un papel de dimensiones muy inferiores a las del terreno, para eso existe un procedimiento por el cual se encuentra un factor de reducción para poder graficar detalladamente lo medido en terreno en un plano de dimensiones pequeñas a esto se le conoce como ESCALA. 2.2.- Escalas. Es el factor de reducción que nos da la relación existente entre la medida real en el terreno y la medida representada en el plano.

Plano

E = Terreno

Las escalas pueden numéricas o gráficas. Escala Numérica.- se expresan en forma de fracción, ejemplo. 1 100

= 1:100

Quiere decir que una unidad en el papel o plano equivale a 100 unidades del terreno, o el dibujo es 100 veces más pequeño que en el terreno. Escala gráfica.- consiste en dibujar una regla dividida en distancia o unidades en correspondencias con la escala elegida. Ejemplos de escala numérica: Ejemplo 01. Representar en un plano a escala 1:320 una longitud en el terreno de 54.32m. 1 → 320 X → 54.32

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⟹ X = 54.32m/320 = 0.16975m

este valor en escala 1:320 equivale a 0.16m

Ejemplo 02. Se desea conocer la escala numérica para representar 7.5km medidos en el terreno y que en el papel ocupen una longitud de 15cm.

Esc =

15𝑐𝑚 7.5𝑘𝑚

x

1𝑘𝑚 100000𝑐𝑚

=

15 750000

=

15 15 750000 15

=

1 50000

Quiere decir que para representar 7500m medidos en el terreno. y en el papel mida 15cm, debo usar una escala de 1:50000 Su relación con la escala 1:1 será:

1:50(0(0(0 1dm → 5000m 1cm → 500m 1mm → 50m

Conclusión: en función a las dimensiones de la hoja de impresión. 1. A menor denominador el dibujo es más grande en el papel, por lo tanto no muestra mucho detalle y pueda que no represente la dimensión total de lo que medimos en el terreno. 2. A mayor denominador el dibujo es más pequeño en el papel, por lo tanto nos representa la totalidad del área medida es más demostrativo. Si deseo cambiar el tamaño del dibujo: 3. Si quiero reducir un dibujo, tengo que dividir el menor denominador del mayor. 4. Si quiero ampliar un dibujo, tengo que dividir el mayor denominador del menor.

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2.3.- Planimetría Básica.

Levantamiento topográfico mediante el método de arcos y cuerdas. Este método se apoya en el uso de la ley de cosenos para que a partir de medir en un vértice dos arcos y una cuerda determinar el ángulo de dicho vértice.

Arco = a

Cuerda = c α

C

Arco = b

Por ley de cosenos. el ángulo ∡𝐶

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 – 2ab.cosθ Donde: 2ab.cosθ = 𝑎2 +𝑏 2 -𝑐 2 Cosθ =

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

⟹

θ = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

……. fórmula a usar.

Caso 01: si los arcos son diferentes. Si a ≠ b:

θ = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Caso 02: si los arcos son iguales. Si a = b:

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θ = arccos

2𝑎2 −𝑐 22 2𝑎2

Ejemplo 01: se mide en un trabajo de campo los siguientes datos del ángulo ∡𝐶 ∡𝐶 ;representa al angulo θ.

a = 6.00m

c = 7.00m θ =??

C

b = 6.50m Solución.

Lo primero que observamos es que los arcos son diferentes a ≠ b; por lo tanto usaremos la fórmula para el caso 01. ∡𝐶 = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Reemplazando datos: ∡𝐶 = arccos ∡𝐶 = arccos

6.02 +6.52 −7.02 2∗6∗6.5 29.25 78

⟹

∡𝐶 = arccos

∡𝐶 = arccos 0.375

(36+42.25)−49 78

⟹

⟹ ∡𝑪 = 67°58´32.47”

Ejemplo 02: se mide en un trabajo de campo los siguientes datos del ángulo “C”.

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∡𝐶 ;representa al angulo θ.

a = 6.00m

c = 5.70m θ =??

C

b = 6.00m Solución.

Lo primero que observamos es que los arcos son iguales a = b; por lo tanto usaremos la fórmula para el caso 02. ∡𝐶= arccos

2𝑎2 −𝑐 2 2𝑎2

Reemplazando datos: ∡𝐶 = arccos

(2∗62 )−5.72 2∗62

⟹

∡𝐶= arccos

(72)−32.49 72

⟹ ∡𝐶 = arccos

39.51 72

∡𝐶 = arccos 0.54875 ∡𝑪 = 56°43´7.32”

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Ejemplo 03: En la poligonal levantada por el método de arcos y cuerdas se pide compensar los ángulos y graficar la poligonal corregida.

Solución. Calculo del ángulo ∡𝑨: ∡𝐴 = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Reemplazando datos: ∡𝐴 = arccos ∡𝐴 = arccos

7.02 +8.02 −9.62 2∗7.0∗8

⟹

∡𝐴 = arccos

(49+64)−92.16 112

20.84 112

∡𝐴 = arccos 0.186071

∡𝑨 = 79°16´35.02”

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Calculo del ángulo ∡𝑩: ∡𝐵 = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Reemplazando datos: ∡𝐵 = arccos ∡𝐵 = arccos

8.452 +9.452 −14.52 2∗8.45∗9.45

⟹

∡𝐵 = arccos

(71.40+89.30)−210.25 159.705

−49.545 159.705

∡𝐵 = arccos -0.310228

∡𝑩 = 108°4’22.75”

Calculo del ángulo ∡𝑪: ∡𝐶 = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Reemplazando datos: ∡𝐶 = arccos ∡𝐶 = arccos

7.482 +7.52 −11.652 2∗7.48∗7.5

⟹

∡𝐶 = arccos

(55.95+56.25)−135.72 112.2

−23.5221 112.2

∡𝐶 = arccos -0.209644

∡𝑪 = 102°6’5.45”

Calculo del ángulo ∡𝑫: ∡𝐷 = arccos

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2ab

Reemplazando datos: ∡𝐷 = arccos ∡𝐷 = arccos

7.952 +8.02 −9.462 2∗7.95∗8.0

⟹

∡𝐷 = arccos

(63.20+64)−89.49 127.2

37.71 127.2

∡𝐷 = arccos 0.296469

∡𝑫 = 72°45´15.6”

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NOTA: se debe cumplir que la suma de todos los ángulos dede ser: Σ∡𝑠 = 180 (n-2) ⇒ 180 (4-2) = 360° Σ∡𝒔 : ∡𝑨 = 79°16´35.02” + ∡𝑩 = 108°4’22.75” ∡𝑪 = 102°6’5.45” ∡𝑫 = 72°45´15.6” __________________ Σ∡𝒔 = 362°12´18.82” Se observa que existe un exceso de. 2°12´18.82” esto nos da pie a un proceso de compensación de ángulos hasta dibujar el plano con datos ajustados correctamente. Calculo del error angular (Ea). Ea = Σ∡𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 - Σ∡𝑠 = 180 (n-2) Ea = 362°12´18.82” – 360° Ea = 2°12´18.82” Calculo de la corrección angular (Ca). Ca =

𝐸𝑎 𝑁𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

=

2°12´18.82" 4

= 0°33´4.7” error por Exceso se pasó de 360°

Corrección de ángulos internos. El exceso se restara de cada ángulo ∡𝐴 = 79°16’35.02”

-

0°33’4.71”

=

∡𝐵 = 108°4’22.75”

-

0°33’4.71”

= 107°31’18.05”

∡𝐶 = 102°6’5.45”

-

0°33’4.71”

=

101°33’0.74”

∡𝐷 = 72°45´15.6”

-

0°33’4.71”

=

72°12’10.9”

=

360°00´00” (ok).

Σ∡𝑠

78°43’30.31” +

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Ángulos corregidos: con estos ángulos se grafica la poligonal corregida la cual se ajustara con el error de cierre lineal. ∡𝑨 = 78°43’30.31” ∡𝑩 = 107°31’18.05” ∡𝑪 = 101°33’0.74” 72°12’10.9”

∡𝑫 =

Calculo del error lineal de cierre (El). Luego de calcular los ángulos corregidos se procede a dibujar con estos y las distancias medidas en campo. Cuando dibujemos es muy probable que la poligonal no cierre entonces se procederá de la siguiente manera. 1.- al dibujar utilizaremos escuadras, escalímetro y un transportador. 2.- primero dibujamos una línea base AB con su distancia respectiva 65.50m. 3.- Luego con el transportador graficamos el ángulo ∡𝑩 = 107°31’18.05”, y graficamos la distancia BC=62.80m. 4.- Luego con el transportador graficamos el ángulo ∡𝑪 = 101°33’0.74”, y graficamos la distancia CD=75.00m. 5.- Finalmente graficamos el ángulo ∡𝑫 = 72°12’10.9”, y graficamos la distancia A= 97.40m. Observamos que la poligonal no cierra existe una distancia entre el punto A de cierre y un A’, a esta distancia se le conoce como error de cierre lineal. Ec = se mide con escalímetro; según la escala en la que se está dibujando el plano. Ec=0.67m Para cerrar la poligonal debo calcular la corrección de cierre lineal. N= # de lados Ccl=

𝐸𝑐 𝑁

=

0.67 4

= 0.1675m; a repartir en cada vértice.

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Pasos para corregir el error lineal calculado la corrección. 1. Se obtuvo el error de cierre nos dio 0.67m, línea que fue trazada desde A’ hasta A. 2. Se dibujan paralelas a esta en cada uno de los vértices utilizando las escuadras de 60°,30° y la de 45°,45°. Pero en sentido contrario a como A’ encontró a “A”. 3. En cada una de estas paralelas empezando del vértice “B” se va compensando acumulando el Ccl, hasta llegar al vértice “A”. Ejemplo: En “B”, será igual a 0.1675m En “C”, será el doble del anterior 0.1675x2 = 0.335m En “D”, será el triple de “B” 0.1675x3 = 0.5025m Finalmente en “A” llega con el valor completo de 0.67m 4. Una vez culminado este proceso se unen las correcciones empezando de B, C, D y finalmente llegando a “A”. esta nueva poligonal es la poligonal corregida y se acepta para áreas pequeñas no mayores 4 Has. (recomendable). 5. A continuación presentamos el grafico de la poligonal donde se aprecia en el cirulo el error de cierre de 0.67m, el cual falto para que esta cierre correctamente.

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A continuación presentamos el plano corregido.

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2.4.- Planimetría Con Equipos Topográficos.

Levantamiento de poligonales. Poligonal es un trazo, bien puede ser cerrado originándose quiebres que se les denominan vértices dando origen a un ángulo, como también puede ser abierto. Se originan a partir de la medición de distancias y en los vértices ángulos. para nuestro estudio utilizaremos teodolito y wincha como elementos de medición de poligonales. Elementos de geometría:

MERIDIANO EJE CERO DE LONGITUD

2.4.1.- Sistema De Coordenadas Rectangulares.

Y

2 líneas que se cortan en un ángulo recto Constituyen un sistema de ejes de coordP

X

- enadas rectangulares. O cartesianas.

X ECUADOR O EJE CERO Al DE LA LATITUD

eje XX se le llama eje de abscisas.

Al eje YY se le llama eje de ordenadas.

Y Por lo tanto en el punto P se representa un par ordenado, P(X, Y). En topografía, el eje de las ordenadas o meridianos se le conoce como el eje Norte – Sur. Y al eje de las paralelas se le conoce como el eje Este – Oeste. Para el punto P:

P(Np , Ep)

Donde: Np = coordenadas Norte del punto P.

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Ep = coordenadas Este del punto P. Relación entre los cuadrantes utilizados en trigonometría y los cuadrantes topográficos.

IV

I

III

II

Signos de los cuadrantes.

CUADRANTE

NOMBRE

SIGNO

I

NORTE - ESTE

++

II

SUR ESTE

-+

III

SUR – OESTE

--

IV

NORTE - OESTE

+-

Los signos determinaran la operación a realizar, adición o sustracción cuando veamos el tema de proyecciones ortogonales.

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2.4.2.- Coordenadas polares. La posición de un punto P2 con respecto a un punto P1 también queda definida mediante el ángulo Ɵ entre el eje de referencia y la alineación de P1,P2, y la distancia D, según se observa en la figura. P2

ΔN1-2

NORTE

ΔE1-2

Ɵ

P1

ESTE

El ángulo Ɵ y la distancia D, constituyen las coordenadas polares del punto p2. Las coordenadas de un punto se indican de la siguiente manera: La dirección de una alineación cualquiera se puede definir por el ángulo horizontal, (medido en sentido horario), que dicha alineación forma con una alineación de referencia. Si la alineación de referencia es el eje Norte, el ángulo Hz se le denomina Acimut Ɵ.

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En la gráfica se indican los acimuts. Correspondientes a alineación ubicadas en diferentes cuadrantes. El ángulo que la dirección Norte – Sur, forma con la alineación dada se denomina (Rumbo).

2.4.3.- Rumbos. Son un medio para establecer direcciones de línea el rumbo de una línea es el ángulo horizontal comprendido entre un meridiano de referencia y la línea, esto nos da la orientación de líneas, el ángulo se mide (según el cuadrante) ya sea desde el Norte o desde el Sur hacia el Oeste y Este. Su valor no excede los 90°.

N

A

45°

50°

B

O D

Rumbos: E

45°

N 50° E

S 45°O

N 45° O

S 45° E

45° C S

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TOPOGRAFIA I

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2.4.4.- Acimuts. Son ángulos horizontales medidos en el sentido del reloj desde cualquier meridiano. En topografía plana el acimut se mide generalmente a partir del norte pero a veces desde el sur como punto de referencia por ejemplo en algunos trabajos de astronomía. Los acimuts varían de 0° a 360°. Se representan por letras acompañados del ángulo que este describe.

NM ZAB= 62° NM

B

ZBC =128° NM

ZZAB = 62° A C

Características fundamentales de los acimuts: - siempre se mide del Norte. - se miden en sentido horario. - No pasan de 306°. Pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadricula, o supuestos. Dependiendo del meridiano que se use. También pueden denominarse directos e indirectos. Los directos, o hacia adelante se convierten en inversos o hacia atrás y viceversa sumando o restando de 180° “si el acimut directo es mayor de 180° para obtener el inverso se le resta de 180° y por el contrario si es menor de 180° se le sumaran”. Diferencias entre rumbos y acimuts.

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TOPOGRAFIA I

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Ejemplo: RUMBOS

ACIMUTS

Varían de 0° - 90°

Varían de 0° a 360°

Se indican con la letra Z y un valor numérico.

Se indican con un valor numérico

Se miden en el sentido horario y antihorario.

Se miden en sentido horario.

Se miden desde el Norte o desde el Sur.

Solo son medidos desde el Norte.

pueden ser verdaderos, magnéticos de cuadricula, arbitrarios, directos o indirectos.

NM ZAB= 62° NM

B

ZBC =128° Rumbo N 62° E

ZZAB = 62°

NM

Rumbo S 52° E

A C

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2.4.4.1.- Ejercicios de levantamientos efectuados con Brújula y Teodolito. LEVANTAMIENTO DE UNA POLIGONAL CON BRUJULA Y WINCHA. PROBLEMA 01.- Calcular el área de la siguiente poligonal cerrada.

Solución: Primer paso.- Realizamos la sumatoria de angulos internos medidos en campo.
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Segundo paso.- Condicion Geométrica. Σ =180(n-2) ; Donde n=#de lados, n=6. Σ =180(6-2)=720° Tercer paso.- Calculo del error angular. Ea =(Σ <s internos teóricos - Σ <s internos medidos ) Ea = 720° - 722° (se toma en valor positivo). Ea = 2°00’00” (error en exceso).

Cuarto paso.- Calculo de la correccion angular. Ca =

𝑬𝒂 𝒏

; n=# de lados. n=6.

2°

Ca = 6 ; n=# de lados. Ca = 0°20’00” a restar a cada uno de los angulos de campo.

Quinto paso.- Calculo de la correccion angular.


-

0°20’00” = 249°40’00” + 0°20’00” = 61°40’00” 0°20’00” = 108°10’00” 0°20’00” = 111°40’00” 0°20’00” = 84°40’00” 0°20’00” = 104°10’00” Σ =720°00’00”

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Sexto paso.- Calculo de la propagacion del azimut.

Para el calculo de la propagación del azimut: se tomara en cuenta lo sgte. 

En cada ángulo se calculan dos azimuts (directo e indirecto).



Primero se proyecta la linea del tramo a analizar.



Para calcular el azimut indirecto se suma o se resta de 180°.



Azimut directo; se suma o resta el ángulo interno o externo.



El azimut de inicio debe ser el mismo al final de la propagación.

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TOPOGRAFIA I

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Gráfica de la propagación del Azimut:

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Listado:

ZAB = 226° ZBA = ZAB -180°= 226° - 180° = 46° ZBC = ZBA +(360°-
164°20’ – 108°10’ = 56°10’

ZDC = ZCD+180°= 56°10’+180° = 236°10’ ZDE = ZDC -


NOTA: los ángulos que intervienen son los ya corregidos.  intervención del ángulo externo se restará, (360°-
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

En el Primer Cuadrante el rumbo será



En el Segundo Cuadrante el rumbo será : S - E.



En el Tercer Cuadrante el rumbo será

: S - W.



En el Cuarto Cuadrante el rumbo será

: N - W.

: N - E.

Poligonal con los azimuts directos.

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Calculo gráfico de los rumbos: se anota fórmula para cada cuadrante.

Octavo paso.- Calculo de las Proyecciones ortogonales. 35

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Noveno paso.- Calculo de las correcciones de lasProyecciones ortogonales. 36

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Una vez calculadas las proyecciones ortogonales según el cuadrane y el signo que toman estas, son sumadas o restadas de la coordenada anterior. para finalmentre cerrar en la coordenada de inicio manteniendo los mismos valores De no ser asi deben ser sometidas a un proceso de correción tal como es el caso de este problema. EX = 

(±𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓∗𝑫𝒊𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍) 𝑫𝒊𝒔𝒕 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

EY =

(±𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓∗𝑫𝒊𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍) 𝑫𝒊𝒔𝒕 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

Para iniciar el proceso debemos de cambiar el signo del error de tal manera que al realizar la sumatoria final este dé el mismo valor que el error calculado pero con signo opuesto y asi cerrar a cero de error.

Datos: resultados se dan en metros lineales (m) Distancia parcial : es la distancia de cada tramo individual. Distancia total : es la sumatoria de todas distancia de cada tramo. EAB(X) =

EBC(X) =

ECD(X) =

EDE(X) =

EEF(X) =

EFA(X) =

−𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟑𝟎 𝟑𝟑𝟖 −𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟔𝟎 𝟑𝟑𝟖 −𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟔𝟖 𝟑𝟑𝟖 −𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟕𝟓 𝟑𝟑𝟖 −𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟔𝟓 𝟑𝟑𝟖 −𝟑.𝟐𝟗𝟗∗𝟒𝟎 𝟑𝟑𝟖

SUMATORIA

= -0.2928

EAB(Y) =

= -0.5856

EBC(Y) =

= -0.6637

ECD(Y) =

= -0.7320

EDE(Y) =

= -0.6344

EEF(Y) =

= -0.3904

EFA(Y) =

= -3.299 m

+𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟑𝟎 𝟑𝟑𝟖 +𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟔𝟎 𝟑𝟑𝟖 +𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟔𝟖 𝟑𝟑𝟖 +𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟕𝟓 𝟑𝟑𝟖 +𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟔𝟓 𝟑𝟑𝟖 +𝟎.𝟐𝟒𝟖∗𝟒𝟎 𝟑𝟑𝟖

= 0.0220

= 0.0440

= 0.0499

= 0.0550

= 0.0477

= 0.0293 = +0.248m

Estos resultados son iguales a los calculados pero con signo diferente por lo tanto se hacen cero y de esta manera la poligonal queda cerrada correctamente. A continuación adjunto el cuadro de calculo excel para su análisis y comparación.

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TOPOGRAFIA I

ing. Wilfredo Avalos Lozano CUADRO CALCULO DE COORDENADAS

VERTICE TRAMO

DIST. (m)

RUMBO N-S

G°

M'

CUADRANTE S"

E-W

ANGULO SEXADECIMAL

PROYECCIONES ΔX=D.SENR

ΔX=D.COSR

A AB

30.00

S

46

0

0.00

W

III

46.00000000

60.00

N

15

40

0.00

W

IV

15.66666667

ESTE (X)

NORTE (Y)

1000.000

1000.000

978.420

979.160

-21.58019401 -20.83975111

B BC

COORD. SIN CORREGIR

-0.5855 962.217

CD

68.00

S

56

10

0.00

E

I

56.16666667

56.48492685

DE

75.00

S

55

45

0.00

E

III

55.75000000

61.99423118 -42.21036958

1018.702

E

1080.697 EF

65.00

S

39

30

0.00

W

III

39.50000000

-41.34508432 -50.15559792

FA

40.00

N

64

20

0.00

W

IV

64.33333333

-36.05316646 17.32539143

F

1039.351

A

1003.298

SUMATORIA Σ= 338.00

3.298

Error(Y) 0.0220 0.0441

PROY.CORREGIDAS ΔX+E(X) -21.8729 -16.7879

ΔX+E(Y)

0.0500

55.8214

37.9109

-0.7319

0.0551

61.2624

-42.1552

1074.792 1032.582 -0.6343

0.0478

-41.9794

-50.1078

-0.3903

0.0294

-36.4435

17.3548

982.426

-0.248

-3.298

0.248

ESTE(X)

NORTE(Y)

1000.000

1000.000

978.127

979.182

961.339

1036.997

1017.161

1074.908

1078.423

1032.753

1036.443

982.645

1000.000

1000.000

0.00

0.00

57.8150

-0.6636

999.752

COORD. CORREGIDAS

-20.8177

1036.931

37.86096986

D

Error(X) -0.2927

-16.20241973 57.77094075

C

CORRECCIONES

NOTA: Una vez calculadas las correcciones estas afectan a las coordenadas sin corregir ,obteniendo de esta forma las coordenadas finales. como vemos el itinerario inicio en la coordenada "A", y termina en la misma con iguales valores para sus coordenadas por lo tanto el procedimiento es correcto.

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LEVANTAMIENTO DE UNA POLIGONAL CON TEODOLITO Y WINCHA. PROBLEMA 01.- Calcular el área de la siguiente poligonal cerrada. Los datos corresonden a los promedios por el metodo de repeticiones.

Solución: Primer paso.- Realizamos la sumatoria de angulos internos medidos en campo.
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Tercer paso.- Calculo del error angular. Ea =(Σ <s internos teóricos - Σ <s internos medidos ) Ea = 540° - 539°59’50” Ea = 0°00’10” (error por defecto). Cuarto paso.- Calculo de la corrección angular. Ca =

Ca =

𝑬𝒂 𝒏

; n=# de lados. n=5.

0°00′10" 5

Ca = 0°00’2” a sumar a cada uno de los angulos de campo. Quinto paso.- Calculo de la corrección angular.
+ 0°00’2” = 86°56’22” +


Para el calculo de la propagación del azimut: se tomara en cuenta lo sgte.  En cada ángulo se calculan dos azimuts (directo e indirecto).  Primero se proyecta la linea del tramo a analizar.  Para calcular el azimut indirecto se suma o se resta de 180°.  Azimut directo; se suma o resta el ángulo interno o externo.  El azimut de inicio debe ser el mismo al final de la propagación.

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Gráfica de la propagación del Azimut:

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Listado:

ZAB = 113°13’24” ZBA = ZAB +180°= 113°13’24” + 180° = 293°13’24° ZBC = ZBA - 

NOTA: los ángulos que intervienen son los ya corregidos. intervención del ángulo externo se restará, (360°-
En el Primer Cuadrante el rumbo será : N - E. En el Segundo Cuadrante el rumbo será : S - E. En el Tercer Cuadrante el rumbo será : S - W. En el Cuarto Cuadrante el rumbo será : N - W.

(+,+) (+,- ) (-, -) (-,+)

Las coordenadas según el cuadrante topográfico en donde se encuentran tienen los

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siguientes signos:

Poligonal con los azimuts directos.

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Calculo gráfico de los rumbos: se anota fórmula para cada cuadrante.

Ahora es más fácil poder calcular las proyecciones ortogonales que es donde más se equivocan los alumnos en el cálculo de las distancias, por el tema de pasar por alto el cuadrante en el que se encuentran las proyecciones por tanto no tomando en cuenta los signos que a este le corresponden, y el error es notorio en el valor de las coordenadas a calcular tanto en “X” como en “Y”.

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Noveno paso.- Calculo de las correcciones de lasProyecciones ortogonales. Una vez calculadas las proyecciones ortogonales según el cuadrane y el signo que toman estas, son sumadas o restadas de la coordenada anterior. para finalmentre cerrar en la coordenada de inicio manteniendo los mismos valores De no ser asi deben ser sometidas a un proceso de correción tal como es el caso de este problema. EX = 

(±𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓∗𝑫𝒊𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍) 𝑫𝒊𝒔𝒕 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

EY =

(±𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓∗𝑫𝒊𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍) 𝑫𝒊𝒔𝒕 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

Para iniciar el proceso debemos de cambiar el signo del error de tal manera que al realizar la sumatoria final este dé el mismo valor que el error calculado pero con signo opuesto y asi cerrar a cero de error.

Datos: resultados se dan en metros lineales (m) Distancia parcial : es la distancia de cada tramo individual. Distancia total : es la sumatoria de todas distancia de cada tramo. EAB(X) =

EBC(X) =

ECD(X) =

EDE(X) =

EEA(X ) =

+𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟎𝟕∗𝟑𝟖.𝟐𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 +𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟎𝟕∗𝟓𝟑.𝟒𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 +𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟎𝟕∗𝟗𝟔.𝟐𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 +𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟎𝟕∗𝟏𝟎𝟐.𝟕𝟓 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 +𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟎𝟕∗𝟏𝟎𝟒.𝟐𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓

SUMATORIA

= +0.00368

EAB(Y) =

= +0.00515

EBC(Y) =

= +0.00928

ECD(Y) =

= +0.00991

EDE(Y) =

= +0.01005

EEA(Y) =

= +0.03807 m

−𝟎.𝟎𝟒𝟏𝟑𝟐∗𝟑𝟖.𝟐𝟎

= -0.00399

𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 −𝟎.𝟎𝟒𝟏𝟑𝟐∗𝟓𝟑.𝟒𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓

= -0.00559

−𝟎.𝟎𝟒𝟏𝟑𝟐∗𝟗𝟔.𝟐𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓

= -0.01007

−𝟎.𝟎𝟒𝟏𝟑𝟐∗𝟏𝟎𝟐.𝟕𝟓

= -0.01076

𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓 −𝟎.𝟎𝟒𝟏𝟑𝟐∗𝟏𝟎𝟒.𝟐𝟎 𝟑𝟗𝟒.𝟕𝟓

= -0.01091

= -0.04132m

Estos resultados son iguales a los calculados pero con signo diferente por lo tanto se hacen cero y de esta manera la poligonal queda cerrada correctamente. A continuación adjunto el cuadro de calculo excel para su análisis y comparación.

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Decimo paso.- consiste en calcular el área por el método del área doble

Ejercico Tomado del libro de Leonardo Casanova Topografia Plana,CAP 05. Pág.5-12

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3.0.- Bibliografía y Separatas.

3.1.- Bibliografía. 1. Casanova Matera Leonardo, 2002, Topografía Plana; Mérida – Venezuela, Taller de Publicaciones de Ingeniería ULA/Mérida 2002.

2. Mendoza Dueñas Jorge, 2010, Topografía Técnicas Modernas, Lima- Perú, Universidad Nacional De Ingeniería UNI.

3.2.- Separatas. 1. Wilfredo Avalos Lozano, 2016/03/01, Levantamiento de una Poligonal con Brújula y Wincha, pp.1-8. 2. Wilfredo Avalos Lozano, 2016/03/01, Levantamiento de una Poligonal con Teodolito y Wincha, pp.1-9.

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