2.3 Distribuciones De Probabilidad Discretas Y Continuas.pdf 1r1q55

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE POSGRADOS DIPLOMADO EN SIMULACION DE PROCESOS PRODUCTIVOS MODULO 2: ANALISIS DE DATOS: NUMEROS Y VARIABLES ALEATORIAS, DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y TEORIA DE COLAS TEMA 2.3: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS INTRODUCCIÓN En estadística, nos podemos interesar por uno o varios números que estén relacionados con los resultados de un experimento. En la inspección de un producto industrializado puede importarnos el número de artículos defectuosos, al analizar una prueba en carretera puede preocuparnos la velocidad promedio a la que maneja un conductor o el consumo medio de combustible por vehículo, etc. Todos estos números están asociados a situaciones en que interviene un elemento de azar, en otras palabras son valores de variables aleatorias. Al estudiar variables aleatorias generalmente nos interesan sus llamadas distribuciones de probabilidad, es decir, los posibles resultados de un experimento y la probabilidad de dicho resultado. En esta sección se estudiarán los modelos matemáticos para calcular las probabilidades en los que intervienen variables aleatorias discretas y continuas.

OBJETIVOS

1

Describir los conceptos fundamentales de las distribuciones de probabilidad discretas y continuas.



2

Conocer los elementos y características de las de las diferentes distribuciones de probabilidad discretas y continuas como lo son la función de densidad, función acumulada, valor esperado, varianza, etc.

3

Resolver ejercicios prácticos utilizando las distribuciones de probabilidad discretas y continuas.

1

CONTENIDO

Variable aleatoria: Es aquella que puede tomar diferentes valores dentro de un conjunto posible de resultados llamado recorrido y su ocurrencia es al azar. Por ejemplo, el número de clientes que llegan a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes en un día de pago, que en un día normal. Las variables aleatorias pueden clasificarse en discretas y continuas.

Distribución de probabilidad: Es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada uno de dichos resultados .

2.2.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Variable aleatoria discreta: Son aquellas que pueden tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo: “X” es la variable que nos define el número de alumnos aprobados en la asignatura de probabilidad y estadística en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40). Este tipo de variable, debe cumplir con estos parámetros: 𝑃(𝑥) ≥ 0 ∞

∑ 𝑝𝑖 = 1 𝑖=0 𝑏

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = ∑ 𝑝𝑖 = 𝑝𝑎 + ⋯ + 𝑝𝑏 𝑖=𝑎

EJEMPLO 1 Sea el experimento aleatorio de lanzar 2 monedas al aire. Determine la distribución de probabilidad del número de caras. SOLUCION: Sea C: cuando ocurre alguna cara y Z: cuando ocurre una cruz durante el experimento. El espacio muestral del experimento es S= {CC, CZ, ZC, ZZ}.

2

e (elemento de S) CC CZ ZC ZZ

x (Nº de caras) 2 1 1 0

La probabilidad de cada punto muestral es de 1/4, es decir, P(CC)= P(CZ)= P(ZC)= P(ZZ)=1/4 Entonces, la distribución de probabilidad del número de caras se presenta en la siguiente tabla: x (Nº de caras) 0 1 2

f(x) = P(X=x) = Probabilidad ¼ = 0.25 = 25% ¼ + ¼ = ½ =0.50 = 50% ¼ = 0.25 = 25%

El grafico de distribución de probabilidad queda de la siguiente manera:

Gráfico de distribución de probabilidad de lanzar 2 monedas al aire 0.6

0.5

Probabilidad

0.5

0.4 0.3

0.25

0.25

0.2 0.1 0

0

1

2

Nº de caras

Interpretación: La probabilidad de obtener 0 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 0.25 La probabilidad de obtener 1 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 0.50 La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 0.25

3

2.2.1.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Sean X: Variable aleatoria discreta, f: Distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X F: Distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria discreta X Entonces: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡) 𝑡≤𝑥

EJEMPLO 2 Encuentre la distribución de probabilidad acumulada para el ejemplo 1. SOLUCION: Del ejemplo 1 se tiene que: x (Nº de caras) 0 1 2

f(x) = P(X=x) 0.25 0.50 0.25

Entonces: 𝐹(0) = 𝑃(𝑋 ≤ 0) = ∑ 𝑓(𝑡) = 𝑓(0) = 0.25 𝑡≤0

𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑡) = 𝑓(0) + 𝑓(1) = 0.25 + 0.50 = 0.75 𝑡≤1

𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑡) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) = 0.25 + 0.50 + 0.25 = 1 𝑡≤2

Distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X 0, 𝑥 < 0 0.25, 0 ≤ 𝑥 < 1 F(x) { 0.75, 1 ≤ 𝑥 < 2 1, 𝑥 ≥ 2

4

2.2.1.2 VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Valor esperado: Es también llamado como media, esperanza matemática o simplemente esperanza. En una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula. 𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑(𝑥𝑖 𝑃(𝑥𝑖 )) Donde: μ=E(x): Media, valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza xi: Posible resultado P(xi): Probabilidad del posible resultado Varianza: Es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla calculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula: 𝜎 2 = ∑[(𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑃(𝑥𝑖 )] Nota: La varianza se expresa en unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la desviación estándar que se empresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto tiene una interpretación más lógica de la dispersión de los resultados alrededor de la media. La desviación estándar se calcula 𝜎 = √𝜎 2

EJEMPLO 3 Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar del numero de caras al lanzar 3 monedas al aire. SOLUCION: El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}; entonces la probabilidad de cada punto muestral es de 1/8. Se elabora las distribuciones de probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos resultados se presentan en la siguiente tabla:

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xi 0 1 2 3 Total

P(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 1

xi* P(xi) 0*1/8 = 0 1*3/8 =3/8 2*3/8 = 3/4 3*1/8 = 3/8 1.5

(xi-μ)2.P(xi) (0-1.5)2.1/8=0.281 (1-1.5)2.3/8=0.094 (2-1.5)2.3/8=0.094 (3-1.5)2.1/8=0.281 0.750

Observando la tabla se tiene que: 𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑(𝑥𝑖 𝑃(𝑥𝑖 )) = 1.5 𝜎 2 = ∑[(𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑃(𝑥𝑖 )] = 0.75 Calculando la desviación estándar se obtiene: 𝜎 = √𝜎 2 = √0.75 = 0.866 Interpretación: El valor de μ=E(x)=1.5 significa que si se promedian los resultados del lanzamiento de las 3 monedas (teóricamente, un número infinito de lanzamientos, se obtendrían 1.5 caras. Los valores de σ2=0.75 y σ=0.866 miden la dispersión de los resultados de lanzar 3 monedas alrededor de su media.

2.2.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Variables aleatorias continuas: Son aquellas que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo: “X” es la variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8,…, n) Este tipo de variable, debe cumplir con estos parámetros: 𝑃(𝑥) ≥ 0 𝑃(𝑥 = 𝑎) = 0 ∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎) −∞

2.2.2.1 FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Sea X una variable aleatoria continua. Si dice que f es una función de densidad de probabilidad, si y solo si, b

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

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2.2.2.2 FUNCION DE DISTRIBUCION Al igual que en el caso discreto, se puede definir una función de probabilidad acumulada, la cual en el caso continuo se denomina función de distribución. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x); entonces, la función 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 −∞

Se denomina función de distribución de la variable aleatoria X

2.2.2.3 MEDIA Y VARIANZA Sea X una variable aleatoria continua y f(x) la función de densidad de probabilidad; entonces se tiene que: Media: ∞

𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Varianza: ∞ 2

2

𝜎 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇) ] = ∫ (𝑥 − 𝜇)2 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

EJEMPLO 4 Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad 2𝑒 −2𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 𝑓(𝑥) = { 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 0 Encuéntrese: a) Las probabilidades de que tome un valor entre 1 y 3 b) Las probabilidades de que tome un valor mayor que 0.5 c) La función de distribución, y utilícela para determinar la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que 1 d) La media y la varianza. SOLUCION: a) 3

3 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3) = 𝑃(1 < 𝑥 < 3) = ∫ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = (−𝑒 −2𝑥 ) = (−𝑒 −2∗3 ) − (−𝑒 −2∗1 ) 1 1

= − (𝑒 −6 ) + (𝑒 −2 ) = −0.002479 + 0.1353 = 0.1328

7

b) ∞

∞ 𝑃(0.5 ≤ 𝑥 ≤ ∞) = 𝑃(0.5 < 𝑥 < ∞) = ∫ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = (−𝑒 −2𝑥 ) = (−𝑒 −2∗∞ ) − (−𝑒 −2∗0.5 ) 0.5 0.5

= − (𝑒 −∞ ) + (𝑒 −1 ) = −0 + 0.3679 = 0.3679 c) 𝑥

x

𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 2𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡 = (−𝑒 −2𝑡 ) = (−𝑒 −2∗𝑥 ) − (−𝑒 −2∗0 ) = (−𝑒 −2∗𝑥 ) + 1 𝑜 −∞

0

= 1 − 𝑒 −2𝑥 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 𝑒 −2∗1 = 1 − 𝑒 −2 = 0.8647 d) ∞

∞

∞ 𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∗ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = (−0.5𝑒 −2𝑥 (2𝑥 + 1)) = 0.5 𝑜 0 2

𝜎 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)

∞ 2]

0

∞ 2

= ∫ (𝑥 − 𝜇) ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 0.5)2 ∗ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = 0.25 −∞

0

2.2.3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función f(x) que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria X, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. Las distribuciones de probabilidad discretas son aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de “X” finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que: 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑘) 𝑘=−∞

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde -∞ hasta el valor x.

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2.2.3.1 DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.

Distribución Uniforme Discreta Codificación Distribución de probabilidad

Distribución acumulada

Rango Parámetros

Media Varianza Ejemplo:

UD(i,j) 1 𝑥 ∈ {𝑖, 𝑖 + 1, … , 𝑗} 𝑝(𝑥) = {𝑗 − 𝑖 + 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑖 𝑥−𝑖+1 , 𝑖≤𝑥≤𝑗 𝑝(𝑥) = { 𝑗−𝑖+1 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑗 {i,i+1,…,j} i y j son números enteros, con i<j Parámetro de localización: j Parámetro de escala: j-i 1 (𝑖 + 𝑗) 2 1 [(𝑗 − 𝑖 + 1)2 − 1] 12 Uniforme discreta (1,6)

EJEMPLO 5 Para el experimento del lanzamiento de un dado y observar el resultado que se obtiene encuentre: a) La distribución de probabilidad uniforme discreta b) La probabilidad de que x tome el valor de 3 c) La media y la varianza.

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SOLUCION: a) El resultado de un dado puedo tomar 6 valores, que equivalen a X=1, 2, 3, 4, 5 y 6 en donde i=1 y j= 6 entonces se tiene que: 1 1 1 = = 𝑗−𝑖+1 6−1+1 6 1 𝑝(𝑥) = {6 0

𝑥 ∈ {1,2,3,4,5 𝑦 6} 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

b) P(x=3)=f(3)=1/6 c) 1 1 𝜇 = (𝑖 + 𝑗) = (1 + 6) = 3.5 2 2 1 1 35 [(𝑗 − 𝑖 + 1)2 − 1] = [(6 − 1 + 1)2 − 1] = 𝜎2 = = 2.92 12 12 12

2.2.3.2 DISTRIBUCION DE BERNOULLI Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente 2 resultados posibles. Es costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra forma de representación y estar asociados a algún otro significado de interés. Si la probabilidad de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p, entonces, la probabilidad de obtener “fracaso” será el complemento 1-p.

Distribución de Bernoulli Codificación Distribución de probabilidad

BE(p) 1 − 𝑝, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑝, 𝑠𝑖 𝑥 = 1 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑝(𝑥) = {1 − 𝑝, 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 {0,1} 𝑝 ∈ (0,1) 𝑝 𝑝(1 − 𝑝) 𝑝(𝑥) = {

Distribución acumulada Rango Parámetros Media Varianza

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2.2.3.3 DISTRIBUCION BINOMIAL Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento. Características de un experimento Binomial. a) La cantidad de ensayos “n”, que se realizan es finita. b) Cada ensayo tiene únicamente 2 resultados posibles: “éxito” o “fracaso”. c) Todos los ensayos realizados son “independientes”. d) La probabilidad “p”, de obtener “éxito” en cada ensayo permanece constante. Algunos ejemplos de problemas con estas características son: - Determinar el número de caras obtenidas al lanzar una moneda al aire 5 veces. - Determinar el número de veces que se obtiene un “3” al lanzar un dado 10 veces al aire. - Determinar la probabilidad de la cantidad de artículos que son defectuosos en una muestra tomada al azar de la producción de una fábrica, suponiendo conocida la probabilidad de que un artículo sea defectuoso.

Distribución Binomial Codificación Distribución de probabilidad

Distribución acumulada

BI(N,p) 𝑁! 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑁−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑁 𝑝(𝑥) = { 𝑥! (𝑁 − 𝑥)! 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥

𝐹(𝑥) =

∑ 𝑓(𝑥) = 𝑖=0

Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

𝑁! 𝑝𝑖 (1 − 𝑝)𝑁−𝑖 , 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑖! (𝑁 − 𝑖)!

1, { {0,1,…,N} N es un número entero 𝑝 ∈ (0,1) 𝑁𝑝 𝑁𝑃(1 − 𝑝)

𝑠𝑖 𝑥 > 1

Binomial (5,0.5)

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EJEMPLO 6 Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay 2 o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%. Encuentre: a) La probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad. b) La media y la varianza. SOLUCION: a) La situación corresponde a un experimento binomial. N=20 Cantidad de ensayos (independiente) p=0.05 Probabilidad de éxito (constante) X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos x=0,1,…,20 Valores que puede tomar X. De lo anterior se puede decir que: 𝑁! 20! 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑁−𝑥 = 0.05𝑥 (1 − 0.05)20−𝑥 𝑥! (𝑁 − 𝑥)! 𝑥! (20 − 𝑥)! Entonces: P(X≥2)=1-P(X≤1) P(X≥2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(f(0)+f(1)) 20! 𝑓(0) = 0.050 (1 − 0.05)20−0 = 0.3585 0! (20 − 0)! 20! 𝑓(1) = 0.051 (1 − 0.05)20−1 = 0.3774 1! (20 − 1)! P(X≥2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(f(0)+f(1))=1-(0.3585+0.3774)=0.2641=26.41% b) 𝜇 = 𝑁𝑝 = 20(0.05) = 1 𝜎 = 𝑁𝑝(1 − 𝑝) = 20(0.05)(1 − 0.05) = 0.95 2

2.2.3.4 DISTRIBUCIONES BINOMIAL NEGATIVA Este modelo de probabilidad tiene características similares al modelo binomio: los ensayos son independientes, cada ensayo tiene únicamente 2 resultados posibles, y la probabilidad de que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente. En la distribución binomial negativa, la variable de interés es la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener un número requerido de éxitos, “k”.

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Sea:

X: Variable aleatoria discreta con distribución binomial negativa (Cantidad de ensayos realizados hasta obtener “k éxitos”. p: Probabilidad de “éxito”. Es un valor constante de cada ensayo. X=k, k+1,k+2,… (Valores que puede tomar la variable X)

Entonces la distribución de probabilidad de X es: 𝑥−1 𝑘 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑥−𝑘 𝑘−1 Media y Varianza de la distribución binomial negativa: 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) =

𝑘 𝑝

𝑘 1 ( − 1) 𝑝 𝑝

EJEMPLO 7 Suponiendo de que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que está expuesto es de 30%, calcule la probabilidad que la décima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en contraerla, la media y la varianza. SOLUCION: Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos son independientes y la probabilidad de “éxito” es constante: 0.3. (Note que éxito no siempre tiene una connotación favorable). Entonces se concluye que la variable de interés X tiene distribución binomial negativa con k=4 y p=0.3 Sea X: Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos”, x= 4,5,6,… 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥) = (

𝑥−1 ) 0.34 (1 − 0.3)𝑥−4 4−1

Entonces, con X = 10 𝑃(𝑋 = 10) = 𝑓(10) = (

10 − 1 ) 0.34 (1 − 0.3)10−4 = 0.08 4−1

4 = 13.33 0.3 4 1 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = ( − 1) = 31.10 0.3 0.3 𝜇 = 𝐸(𝑥) =

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2.2.3.5 DISTRIBUCION GEOMETRICA Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer “éxito”.

Distribución Geométrica Codificación Distribución de probabilidad Distribución acumulada Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

GE(p) 𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1,2, … 𝑝(𝑥) = {𝑝(1 − 𝑝) 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1,2, … 𝐹(𝑥) = {1 − (1 − 𝑝) 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 {0,1,…} 𝑝 ∈ (0,1) 1 𝑝 1−𝑝 𝑝2 Geométrica (0.5)

EJEMPLO 8 Calcule la probabilidad que en el 5º lanzamiento de 3 monedas se obtengan 3 caras por primera vez. Además, encuentre la media y la varianza del experimento. SOLUCION: En el experimento de lanzar 3 monedas hay 8 resultados posibles. En cada ensayo la probabilidad que salgan 3 caras es constante e igual a 1/8 y la probabilidad que no salgan 3 caras es 7/8 Estos ensayos son independientes, y por la pregunta concluimos que la variable de interés X tiene distribución geométrica con p=1/8.

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Sea X: Cantidad de ensayos hasta obtener el primer “éxito” (variable aleatoria discreta), x= 1,2,3,… 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 = (1/8)(1 − (1/8) )𝑥−1 Por lo tanto 𝑃(𝑋 = 5) = 𝑓(5) = (1/8)(7/8 )5−1 = 0.0733 1 =8 (1/8) 1−𝑝 1 − 1/8 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = ( 2 ) = ( ) = 56 𝑝 (1/8)2 𝜇 = 𝐸(𝑥) =

2.2.3.6 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “exitosos” y los restantes son considerados “fracasos”. Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando. Definición de la distribución hipergeométrica. Sean: N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra. K: Cantidad de elementos existentes que se consideran “éxitos”. n: Tamaño de la muestra. X: Variable aleatoria discreta (cantidad de resultados considerados “éxitos” que se obtienen de la muestra. x= 0,1,2,…,n (son los valores que pueden tomar X) Entonces, la distribución de probabilidad de X es:

𝑓(𝑥) =

(𝐾𝑥)(𝑁−𝐾 ) 𝑛−𝑥 (𝑁 ) 𝑛

x=0,1,2,…,n

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Figura 1 – Representación gráfica de la definición de la distribución hipergeométrica. Se observa que x no puede exceder a K. La cantidad de “éxitos” que se obtienen en la muestra no pueden exceder a la cantidad de “éxitos” disponibles en el conjunto. Igualmente la cantidad de n-x “fracasos” no puede exceder a los N-K disponibles. Media y varianza de la distribución hipergeométrica 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝑛 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝑛

𝐾 𝑁

𝐾 𝐾 𝑁−𝑛 (1 − ) ( ) 𝑁 𝑁 𝑁−1

EJEMPLO 9 Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar 3 baterías. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtenga: a) Ninguna batería en buen estado. b) Al menos una batería en buen estado. c) No más de 2 baterías en buen estado. d) La media y la varianza. SOLUCION: Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeométrico. N=9 (Total de elementos del conjunto) K=4 (Total de elementos considerados “éxitos”) n=3 (Tamaño de la muestra) x: Cantidad de baterías en buen estado en la muestra (Variable aleatoria discreta

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Entonces la probabilidad de x es: 𝑓(𝑥) =

𝑁−𝐾 (𝐾 𝑥 )( 𝑛−𝑥 )

(𝑁 𝑛)

=

9−4 (𝑥4)(3−𝑥 )

(93)

para x=0,1,2 y 3 a) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑓(0) =

9−4 (40)(3−0 )

= 0.119 (39) b) P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − 𝑓(0) = 1 − 0.119 = 0.881 c) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = f(0) + f(1) + 𝑓(2) = 0.119 + 0.4762 + 0.3571 = 0.9523 d) 𝐾 4 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝑛 = 3 ( ) = 1.3333 𝑁 9 𝐾 𝐾 𝑁 − 𝑛 4 4 9−3 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝑛 (1 − ) ( ) = 3 ( ) (1 − ) ( ) = 0.5542 𝑁 𝑁 𝑁−1 9 9 9−1

2.2.3.7 DISTRIBUCION POISSON La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al número de “éxitos” que se obtendrían en una región o en intervalo de tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren.

Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones: a) El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que ocurre en otra región o intervalo. b) La probabilidad de que el resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de la región o intervalo. c) La probabilidad de que más de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.

Algunas situaciones que se pueden analizar con este modelo:     

Número de defectos por unidad de área en piezas similares de un material. Número de personas que llegan a una estación en un intervalo de tiempo especificado. Número de errores de transmisión de datos en un intervalo de tiempo dado. Número de llamadas telefónicas que entran a una central por minuto. Número de accidentes automovilísticos producidos en una intersección, en una semana.

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Distribución de Poisson Codificación Distribución de probabilidad

P(λ)

Distribución acumulada

𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1,2, … 𝑝(𝑥) = { 𝑥! 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 −𝜆 𝑖 𝐹(𝑥) = {∑ 𝑒 𝜆 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑖!

Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

{0,1,…} λ>0 es un número entero λ λ Poisson (4)

𝑖=0

EJEMPLO 10 La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que es una variable con distribución de Poisson, determine la probabilidad que: a) En cualquier hora ocurra solamente 1 error. b) En cualquier hora ocurra al menos 3 errores. c) En dos horas cualesquiera, ocurran no más de 2 errores. d) La media y la varianza para 1 hora. SOLUCION: Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de errores por hora) λ=5 (promedio de errores de transmisión en 1 hora) a) 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝑒 −5 51 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑓(1) = = = 0.0337 𝑥! 1!

18

b) 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − (𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)) = 1 − (

𝑒 −5 50 𝑒 −5 51 𝑒 −5 52 + + ) 0! 1! 2!

= 0.8743 c) Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de errores en 2 horas) λ=10 (promedio de errores de transmisión en 2 horas) 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) = 1 − (

𝑒 −10 100 𝑒 −10 101 𝑒 −10 102 + + ) = 0.0028 0! 1! 2!

d) 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝜆 = 5 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝜆 = 5

2.2.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que: 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 −∞

19

2.2.4.1 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo especificado para la variable.

Distribución Uniforme Continua Codificación Distribución de probabilidad Distribución acumulada

Rango Parámetros

Media Varianza Ejemplo:

U(a,b) 1 𝑓(𝑥) = { 𝑏 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎 𝑥−𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹(𝑥) = { 𝑏−𝑎 1, 𝑠𝑖 𝑏 < 𝑥 {a, b} A y b son números reales, con a
EJEMPLO 11 Cuando falla cierto componente de una máquina, esta debe detenerse hasta que sea reparado. Suponiendo que el tiempo de reparación puede tomar cualquier valor entre 1 y 5 horas. a) Calcule la probabilidad que la duración tome al menos 2 horas. b) La media y la varianza.

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SOLUCION: Sea X: Variable aleatoria continua (duración de la reparación) Tiene distribución uniforme, por lo tanto su función de densidad es: a) 1 1 1 𝑓(𝑥) = = = ,1 ≤ 𝑥 ≤ 5 𝑏−𝑎 5−1 4 5

1 3 𝑃(𝑋 ≥ 2) = ∫ 𝑑𝑥 = = 0.75 = 75% 4 4 2

b) 1 1 𝜇 = 𝐸(𝑥) = (𝑎 + 𝑏) = (1 + 5) = 3 2 2 1 1 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = (𝑏 − 𝑎)2 = (5 − 1)2 = 1.33 12 12

2.2.4.2 DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.

Distribución Normal Codificación Distribución de probabilidad Distribución acumulada Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

N(μ,σ2) 𝑓(𝑥) =

1 𝜎√2𝜋

1 𝑥−𝜇 2 − ( ) 𝑒 2 𝜎 , −∞

< 𝑧 < +∞

--(−∞, +∞) Parámetro de localización: μ Parámetro de escala: σ>0 𝜇 𝜎2 Normal (10,2)

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Se puede demostrar que f cumple con las propiedades de una función de densidad: 𝑓(𝑥) ≥ 0, −∞ < 𝑥 < +∞ +∞

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 −∞

La gráfica de f es similar al perfil de corte vertical de una campana y tiene las siguientes características: a) Es simétrica alrededor de μ. b) Su asíntota es el eje horizontal c) Sus puntos de inflexión están ubicados en μ-σ y μ+σ Distribución normal estándar Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución normal, es conveniente definir la distribución normal estándar que se obtiene haciendo μ=0 y σ2=1 en la función de densidad de la distribución normal. Sea Z: Variable aleatoria continua con media μ=0 y σ2=1, Z tiene distribución normal estándar si su función de densidad es: 1 −1𝑧 2 𝑓(𝑧) = 𝑒 2 , −∞ < 𝑧 < +∞ √2𝜋 Para calcular la probabilidad con la distribución normal estándar se puede usar la definición de la distribución acumulada o función de distribución: z

z

𝐹(𝑧)𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ −∞

−∞

1 √2𝜋

1 2

𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡 , −∞ < 𝑧 < +∞

Para el cálculo de probabilidades con distribución normal estándar se pueden usan tablas con valores de F(z) para algunos valores de z. Algunas tablas de distribución normal estándar no incluyen valores de F(z) para valores negativos de z, por lo cual y por la simetría de f(z), se pueden usar la siguiente relación: P(-z)=P(Z≤-z)= P(Z≤z)=1-F(z). Entonces F(-z)=1-F(z)

22

PROBABILIDADES ACUMULADAS PARA LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Figura 2 – Tabla de probabilidades para la distribución Normal Estándar.

23

EJEMPLO 12 Usando la tabla de distribución normal estándar calcule. a) P(Z≤1.45) b) P(Z≥1.45) c) P(Z≤-1.45) d) P(1.25≤Z≤1.45) e) Encuentre Z tal que P(Z≤z)=0.64 SOLUCION: a) El resultado se toma directamente de la tabla de la distribución normal estándar. P(Z≤1.45)=F(1.45)=0.9265 b) P(Z≥1.45) = 1- P(Z<1.45)=1-F(1.45)=1-0.9265=0.0735 c) P(Z≤-1.45)=F(-1.45)=1-F(1.45)=1-0.9265=0.0735 d) P(1.25≤Z≤1.45)=F(1.45)-F(1.25)=0.9265-0.8944=0.0321 e) P(Z≤z)=F(z)=0.64 En la tabla, el valor de Z más cercano a F(z)=0.64 corresponde a z=0.36. Estandarización de la distribución normal. Si una variable tiene distribución normal, mediante una sustitución se la puede transformar a otra variable con distribución normal estándar. Este cambio de variable facilita el cálculo de probabilidad u se denomina estandarización de la distribución de la variable. Sea X una variable aleatoria con distribución normal: X~N(μ,σ) 𝑥−𝜇 Entonces la variable aleatoria 𝑍 = 𝜎

Tiene distribución normal estándar: Z~N(0,1)

EJEMPLO 13 La duración de un evento tiene distribución normal con media 10 y varianza 4. Encuentre la probabilidad que el evento dure. a) Menos de 9 horas b) Entre 11 y 12 horas SOLUCION: Sea X: Variable aleatoria continua (duración en horas) con distribución normal. X~N(10,4), entonces 𝑍 =

𝑥−10 4

P(X ≤ 9) = P (𝑍 ≤

tiene distribución normal estándar: Z~N(0,1) 9 − 10 ) = 𝑃(𝑍 ≤ −0.5) = 𝐹(−0.5) = 0.3085 = 30.85% 4

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11 − 10 12 − 10 ≤𝑍≤ ) = 𝑃(0.5 ≤ 𝑍 ≤ −0.5) = 𝐹(1) − 𝐹(0.5) 4 4 = 0.8413 − 0.6915 = 0.1498 = 14.98%

P(11 ≤ X ≤ 12) = P (

EJEMPLO 14 Sea X~N(10,σ). Encuentre σ tal que P(X≤9)=0.025 SOLUCION:

𝑃(𝑋 ≤ 9) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 𝐹(𝑧) = 0.025 Entonces: Z= -1.96 Sustituyendo y despejando −1.96 =

9 − 10 ; 𝜎 = 0.5102 𝜎

25

2.2.4.3 DISTRIBUCION GAMMA

Distribución Gamma Codificación Distribución de probabilidad Distribución acumulada

G(α,β) 𝑓(𝑥) =

1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼)

𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥/𝛽 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0

−,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝛼−1

𝑗

(𝑥/𝛽) 𝐹(𝑥) = { 1 − 𝑒 −𝑥/𝛽 ∑ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑗! 𝑗=0

[0, +∞) Parámetro de forma: α Parámetro de escala: β≥0 𝛼𝛽 𝛼𝛽 2 Gamma (3.86,5.25)

Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

Γ(𝛼) es la Función Gamma que esta definida de la siguiente forma: ∞

Γ(𝛼) = ∫ 𝑥 ∝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0

Si α es un entero positivo, entonces: 𝚪(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)!

EJEMPLO 15 El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros α=3 y β=2. Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas.

26

SOLUCION: Sea X: duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria). Su densidad de probabilidad es: 1 1 1 2 −𝑥/2 𝑓(𝑥) = 𝛼 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥/𝛽 = 3 𝑥 3−1 𝑒 −𝑥/2 = 𝑥 𝑒 𝛽 Γ(𝛼) 2 Γ(3) 16

a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico. 8

P(X > 8) = 1 − P(X ≤ 8) = 1 − ∫ 0

1 2 −𝑥/2 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 16

1 8 = 1 − [−2𝑥 2 𝑒 −𝑥/2 + 4(−2𝑥𝑒 −𝑥/2 + 2(−2𝑒 −𝑥/2 ))] = 0.2381 0 16

2.2.4.4 DISTRIBUCION EXPONENCIAL Es un caso particular de la distribución Gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtiene con α=1 en la distribución Gamma Definición: Sea: X: Variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial si su densidad de probabilidad está dada por: 1 −𝑥/𝛽 𝑒 ,𝑥 > 0 𝑓(𝑥) = {𝛽 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑥 En donde β>0, es el parámetro para este modelo

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Media y varianza de la distribución exponencial 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝛽 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝛽 2

EJEMPLO 16 Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución exponencial con media de 4 años. Determine la probabilidad que el componente siga funcionando al cabo de 6 años. Además calcule la media y la varianza. SOLUCION: Sea X: Variable aleatoria continua (duración de un componente en años). X tiene una distribución exponencial con μ=β=4 Su densidad de probabilidad es 1 1 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥/𝛽 = 𝑒 −𝑥/4 , 𝑥 > 0 𝛽 4 La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 años: 6

1 P(X ≥ 6) = 1 − P(X < 6) = 1 − ∫ 𝑒 −𝑥/4 𝑑𝑥 = 0.2231 4 0

𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝛽 = 4 2 𝜎 = 𝑉(𝑥) = 𝛽 2 = 44 = 16 Puede demostrarse que si una variable aleatoria tiene una distribución Poisson con parámetro λ, entonces el tiempo de espera entre 2 “éxitos” consecutivos es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro β=1/λ De lo anterior, se puede decir en resumen:

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Distribución Exponencial Codificación Distribución de probabilidad

Distribución acumulada

Rango Parámetros Media Varianza Ejemplo:

E(1/λ) −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) = { 𝜆𝑒 ó también 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 1 −𝑥/𝛽 𝑒 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) = { 𝛽 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑥 −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑒 ó también 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 −𝜆/𝛽 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑒 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 [0, +∞) Parámetro de escala 1/λ≥0 ó β≥0 1/λ ó β 1/λ2 ó β2 Exponencial (2)

EJEMPLO 17 La llegada de los barcos a un puerto tiene distribución de Poisson con media de 4 llegadas por día. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de 2 barcos consecutivos en algún día sea menor a 4 horas. SOLUCION: Sea X el tiempo transcurrido entre 2 llegadas consecutivas (en días). X es una variable aleatoria continua con distribución exponencial con parámetro β=1/λ=1/4; donde λ=4 llegadas al día Entonces la función de probabilidad es: 1 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥/𝛽 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 = 4𝑒 −4𝑥 , 𝑥 > 0 𝛽 X = Tiempo entre llegada de 2 barcos = 4 horas (1 día/24horas)=1/6 día Por lo tanto: 1/6

P(X < 1/6) = ∫ 4𝑒 −4𝑥 𝑑𝑥 = 0.4866 = 48.66% 0

29

2.2.4.5 DISTRIBUCION WEIBULL Este modelo se usa en problemas relacionados con fallas de materiales y estudio de confiabilidad. Para estas aplicaciones, es más flexible que el modelo exponencial.

Distribución Weibull Codificación Distribución de probabilidad Distribución acumulada Rango Parámetros Media Varianza

W(α,β) 𝑓(𝑥) = {𝛼𝛽𝑥 0

𝑒

𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝛼

𝑥 −( )

𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) = {1 − 𝑒 𝛽 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 [0, +∞) Parámetro de escala: β>0 Parámetro de forma: α>0 1 1 − 𝛼 𝛽 Γ (1 + ) 𝛽 𝛼

Ejemplo:

𝛽−1 −𝛼𝑥 𝛽

−

2 𝛽

2 𝛽

1 𝛽

[Γ (1 + ) − (Γ (1 + ))2 ]

Weibull (2,1)

EJEMPLO 18 Suponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene una distribución de Weibull con α=0.1, β=0.5. a) Calcule la vida útil promedio b) Calcule la probabilidad de que dure más de 30 horas. SOLUCION: Sea X: Vida útil en horas (variable aleatoria continua). Su densidad de probabilidad es 𝛽

𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽𝑥 𝛽−1 𝑒 −𝛼𝑥 = (0.1)(0.5)𝑥 0.5−1 𝑒 −0.1𝑥

0.5

= 0.05𝑥 −0.5 𝑒 −0.1𝑥

0.5

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a) 𝜇=𝛼

−

1 𝛽 Γ (1

1 1 1 + ) = 0.1−0.5 Γ (1 + ) = 0.1−2 Γ(3) = 100(3 − 1)! = 200 𝛽 0.5

b) ∞ 0.5

P(X > 300) = ∫ 0.05𝑥 −0.5 𝑒 −0.1𝑥 𝑑𝑥 = 0.177 300

2.2.4.6 DISTRIBUCION BETA Este modelo tiene aplicaciones importantes por la variedad de formas diferentes que puede tomar su función de densidad eligiendo valores para sus parámetros. Es de destacar que el dominio de la distribución beta es el intervalo (0,1), pero puede adaptarse a otros intervalos finitos mediante una sustitución de la variable aleatoria.

Distribución Beta Codificación Distribución de probabilidad

Rango Parámetros Media Varianza

B(α,β) Γ(α + β) 𝛼−1 (1 − 𝑥)𝛽−1 0 < 𝑥 < 1 𝑓(𝑥) = {Γ(α)Γ(β) 𝑥 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 [0,1] Parámetro de escala: β>0 Parámetro de forma: α>0 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼𝛽 (𝛼 + 𝛽)2 (𝛼 + 𝛽 + 1)

EJEMPLO 19 Una distribución de cierto producto llena su bodega al inicio de cada semana. La proporción del artículo que vende semanalmente se puede modelar con distribución beta con α=4, β=2. a) Encuentre la probabilidad que en una semana venda al menos 90% b) Encuentre el valor esperado de la proporción de ventas semanal. SOLUCION: Sea X: Proporción del artículo que vende semanalmente (variable aleatoria continua). Su densidad de probabilidad es: Γ(α + β) 𝛼−1 Γ(4 + 2) 4−1 𝑓(𝑥) = 𝑥 (1 − 𝑥)𝛽−1 = 𝑥 (1 − 𝑥)2−1 = 20𝑥 3 (1 − 𝑥) Γ(α)Γ(β) Γ(4)Γ(2) a) 1

𝑃(𝑥 ≥ 0.9) = ∫ 20𝑥 3 (1 − 𝑥) = 0.082 = 8.2% 0.9

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b) 𝜇 = 𝐸(𝑥) =

𝛼 4 2 2 = = (𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎) 𝛼+𝛽 4+2 3 3

EJERCICIOS DE APLICACION

EJERCICIO 1 Sea X una variable aleatoria discreta y su función de distribución de probabilidad:

𝑓(𝑥) = a) b) c) d)

2𝑥+1 25

, 𝑥 = 0,1,2,3,4. Encontrar:

La distribución de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de P(X=3), P(2≤X<4) El valor esperado La varianza

EJERCICIO 2 En un lote de 5 artículos, 3 son defectuosos y 2 aceptables. Se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 2 artículos. Encuentre: a) La distribución de probabilidad de la variable aleatoria llamada X: “cantidad de artículos defectuosos que se obtienen en la muestra”. b) La distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria c) El valor esperado d) La varianza

EJERCICIO 3 Suponga que el tiempo de atención de cada cliente en una estación de servicio es una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad de probabilidad: 5 𝑓(𝑥) = {2 (𝑥 + 2) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 0 a) Verifique que cumple las propiedades de una función de densidad. b) Calcule la probabilidad que el tiempo de atención este entre 15 y 30 minutos. c) Encuentre la función de distribución. d) La media y la varianza.

EJERCICIO 4 La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme para x= 1,2,3,4,…,50. Determinar: a) Media y varianza b) P(5<X≤10)

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EJERCICIO 5 La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un año son que falle es de 0.95. Calcule la probabilidad de que en 15 de estos aparatos elegidos al azar, a) 12 duren menos de 1 año b) A lo más 5 duren menos de 1 año c) Al menos 2 duren menos de 1 año d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema

EJERCICIO 6 La probabilidad que una persona expuesta a cierta enfermedad la contraiga es 0.3. Calcule la probabilidad que la quinta persona expuesta a esta enfermedad sea la segunda en contraerla.

EJERCICIO 7 Una caja de 10 alarmas contra robo contiene 4 defectuosas. Si se seleccionan 3 de ellas y se envían a un cliente. Calcule la probabilidad que el cliente reciba. a) Ninguna defectuosa b) No más de una defectuosa c) Al menos 1 defectuosa

EJERCICIO 8 Cierto tipo de tela usada en tapicería tiene, en promedio, 2 defectos por metro cuadrado. Si se supone una distribución de Poisson, calcule la probabilidad que: a) Un rollo de 60 m2 tenga exactamente 10 defectos b) Un rollo de 30 m2 tenga no más de 2 defectos

EJERCICIO 9 Suponga que Z es una variable aleatoria con distribución Normal Estándar. Use la tabla para calcular: a) P(Z<1.45) b) P(Z>2.10) c) P(Z<-1.24) d) P(Z>1.78) e) P(-1.25 <2.31)

EJERCICIO 10 El peso de los artículos producidos por una fábrica tiene distribución normal con una media de 50 gramos y una desviación estándar de 2.5 gramos.

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a) Calcule la probabilidad que un artículo elegido al azar tenga un peso de mas de 60 gramos. b) Calcule la proporción de los paquetes que tendrían un peso entre 46 y 54 gramos.

EJERCICIO 11 El pH de un químico tiene una distribución N (µ, 0.102). Durante la elaboración del producto se ordena suspender la producción si el pH supera el valor de 7.20 o es inferior a 6.80. a) Calcule la probabilidad que la producción no sea suspendida si µ=7.0 b) Calcule la probabilidad que la producción no sea suspendida si µ=7.05 c) Cuál debe ser µ para que la probabilidad de que se suspenda la producción sea 0.85

EJERCICIO 12 La duración en miles de Km de cierto tipo de llantas, es una variable aleatoria con distribución exponencial con media de 40 mil Km. Calcule la probabilidad que una de estas llantas dure: a) Al menos 20 mil Km b) No más de 30 mil Km

EJERCICIO 13 Suponga que el tiempo de servicio en horas de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con α=0.025 β=0.5. a) Calcule el tiempo esperado de duración del semiconductor b) Calcule la probabilidad que este semiconductor esté funcionando después de 4000 horas de uso.

EJERCICIO 14 Responder el cuestionario de este tema disponible en el Aula Virtual del curso.

¡Felicidades por completar este capítulo! Continúa por favor a la sección 2.4 Análisis de la Bondad de Ajuste.

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