1_fismat_2 3g5926

Fisika Matematika 2 10:41:02

SKS Dosen Konsultasi materi kuliah

: 3 sks : Sahrul Hidayat/Aswad Hi Saad : [email protected] : portal.phys.unpad.ac.id/sahrul/

Jadwal Kuliah Ruang

: Rabu, jam 10.30 – 13.00 : 202

Fisika Matematika 2 10:41:04

Materi : 1. Deret • Deret Pangkat • Deret Taylor/MacLaurin 2. Deret Fourier 3. Transformasi Fourier 4. Transformasi Laplace 5. Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 6. Persamaan Bernouli 7. Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 8. Persamaan Nilai Eigen 9. Penyelesaian PDB dengan metode deret

Fisika Matematika 2 10:41:05

Metode Perkuliahan

Fisika Matematika 2 10:41:05

Komponen Penilaian 1. Tugas 2. Quiz 3. UTS 4. UAS

= 15 % = 15 % = 35 % = 35 %

Fisika Matematika 2 Komponen Penilaian Huruf Mutu A B C D E T

K

10:41:05

Angka Rentang / Batasan Mutu 4 80  A  100 3 68  B  79 2 57  C  67 1 46  D  56 0 0  E  45 Mahasiswa diwajibkan melengkapi tugas (<2 minggu), jika tidak nilai langsung berubah menjadi E Tidak ada nilai

Fisika Matematika 2 10:41:05

Buku Referensi 1. Boas, M. L.(2006), Mathematical methods in the physical sciences, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York 2. Tang, K.T. (2007). Mathematical Methods for Engineers and Scientists, Springer 3. Riley, K. F. , M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition, Cambridge University Press

Fisika Matematika 2 Pendahuluan

10:41:06

DERET

1 8

Contoh deret tak hingga:

1 1 1 1 1 1         1 2 4 8 16 32 64

1 4 1

1 1 1 1 1         1 2 3 4 5

1 64

1 16

1 2

Terlihat bahwa deret tersebut bersifat konvergen

Contoh deret yang bersifat tidak konvergen:

1 32

1

Fisika Matematika 2 DERET TAK HINGGA

10:41:06

Ungkapan umum deret a  a  a    a    1 2 3 n tak hingga:

a1, a2,… suku-suku deret



a k 1

k

an suku ke-n dari deret n

Sn   ak k 1

Jumlah sampai suku ke-n

Jika Sn nilainya terbatas pada n→ , deret tersebut konvergen, jika nilainya tak hingga, deret tersebut divergen.

Fisika Matematika 2 Deret Geometri

10:41:06

Di dalam deret geometri, masing-masing suku merupakan factor/perkalian dengan suatu bilangan konstan r (rasio).

a  ar  ar  ar    ar 2

3

n 1



    ar

n 1

n 1

a Deret tersebut konvergen terhadap nilai 1 r dan divergen jika

jika

r 1

r 1

1  r  1 Merupakan interval kekonvergenan deret geometri

Fisika Matematika 2 Deret Geometri

10:41:06

Contoh :

3 3 3 3      10 100 1000 10000

.3  .03  .003  .0003    .333... 3 10 1 1 10

a

r

3  10 9 10

3 1   9 3

1  3

Fisika Matematika 2 Deret Pangkat

10:41:10

Ungkapan umum deret pangkat: 

n 2 3 n c x  c  c x  c x  c x    c x   n 0 1 2 3 n n0

atau 

n 2 3 n c ( x  a )  c  c ( x  a )  c ( x  a )  c ( x  a )    c ( x  a )   n 0 1 2 3 n n0

Koefisien c0, c1, c2… dan a adalah konstan.

Fisika Matematika 2 Menguji Konvergensi Deret 10:41:10 Salah satu metode untuk menguji kekonvergenan deret adalah metode rasio. 𝑈𝑛+1 𝜌 = lim ⁡ 𝑛→∞ 𝑈𝑛

Jika || < 1 deret bersifat konvergen, jika || > 1 deret bersifat divergen, dan jika || = 1 kekonvergenan tidak bisa ditentukan. Contoh : Tentukan apakah deret berikut konvergen atau tidak! ∞

𝑛=0

1 𝑛!

Fisika Matematika 2 Menguji Konvergensi Deret 10:41:10 Contoh : Tentukan untuk nilai x berapa deret berikut bersifat konvergen! a.

∞

b.

𝑛! 𝑥 𝑛

∞

𝑛=0

𝑛=0

𝑥−3 𝑛

𝑛

TUGAS

Tentukan untuk nilai x berapa deret berikut bersifat konvergen! 1.

∞

𝑛=0

−3

𝑛𝑥𝑛

𝑛+1

2.

∞

𝑛=0

𝑛 𝑥+2 3𝑛+1

𝑛

Fisika Matematika 2 Menguji Konvergensi Deret 10:41:10 Salah satu deret yang sering ditemukan dalam kasus fisika adalah Fungsi Bessel. Contoh fungsi Bessel akan ditemukan pada kasus distribusi temperature pada lempeng atau perambatan gelombang pada drum. Ungkapan fungsi Bessel untuk orde ke-0 adalah sebagai berikut: ∞

𝐽0 (x) = 𝑛=0

−1 𝑛 𝑥 2𝑛 22𝑛 𝑛! 2

Tentukan untuk nilai x berapa deret tersebut konvergen!

Fisika Matematika 2 10:41:10

Grafik fungsi Bessel

n terbatas (solusi pasial)

n tak hingga (solusi total)

Fisika Matematika 2 10:41:10

Ungkapan Fungsi dalam bentuk Deret Deret dapat merepresentasikan suatu fungsi

• Sebuah fungsi f(x) dapat diuraikan menjadi deret pangkat. • Tinjaulah fungsi f(x) = sin x. Maka sin x dapat dituliskan dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut :

sin 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 • Dalam hal ini, yang menjadi masalah adalah bagaimana menentukan nilai konstanta-konstanta a0, a1, a2 dst.

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin

10:41:10

• Bagaimana bentuk umum deret fungsi f(x)?

• Untuk mendapatkan bentuk umum deret fungsi f(x), f(x), dapat diuraikan di sekitar x = a. Bentuk deret pangkatnya dapat ditulis sebagai

f x = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑎 + 𝑎2 𝑥 − 𝑎 … + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑎

𝑛

2

+ 𝑎3 𝑥 − 𝑎

3

+

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin

10:41:10

Turunan f(x) f 1 ( x)  a1  2 a 2 ( x  a)  3 a 3 ( x  a) 2  4 a 4 ( x  a) 3

 5a 5 ( x  a) 4    n a n ( x  a) n 1 f 2 ( x)  2 a 2  2  3 a 3 ( x  a )  3  4 a 4 ( x  a ) 2  4  5 a 5 ( x  a ) 3    (n  1)(n) a n ( x  a) n  2 f 3 ( x )  2  3 a 3  2  3  4a 4 ( x  a )  3  4  5 a 5 ( x  a ) 2    (n  2)(n  1)(n) a n ( x  a) n 3

f 4 ( x)  2  3  4 a 4  2  3  4  5 a 5 ( x  a ) 2    (n  3)(n  2)(n  1)(n) a n ( x  a) n  4

 f n ( x)  1 2   (n  4)(n  3)(n  2)(n  1)(n)  n!

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin

10:41:10

Jika dimasukkan nilai x = a (penghampiran di sekitar x = a), maka : f (a) f (a)  1 0! f 1 (a) f 1 (a) 1 f (a )  a1  a1   1 1! f 2 (a) f 2 (a) 2 f ( a )  2a 2  a 2   2 2! f (a)  a 0  a 0 

f 3 (a) f 3 (a) f (a)  2  3a3  a3   ` 23 3! 3

f 3 (a) f 4 (a) f ( a )  2  3  4a 4  a 4   2 3 4 4!  4

f n (a) f (a)  1 2  3  4  (n  3)(n  2)(n  1)(n)a 3  a n     n! n! n

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin Substitusi koefisien kedalam fungsi menghasilkan: ( x  a) 2 ( x  a) 3 3 f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)  f (a)  f (a) 2! 3! ( x  a) 4 ( x  a) n 4 n  f (a)    f (a) 4! n! 1

2

Persamaan diatas disebut sebagai deret Taylor.

10:41:10

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin Apabila aproksimasi dilakukan di sekitar a = 0 (x = 0), maka deret Taylor tersebut berubah menjadi 2 3 x x f ( x)  f (0)  xf 1 (0)  f 2 (0)  f 3 (0) 2! 3! x4 4 xn n  f (0)    f (0) 4! n!

Persamaan diatas disebut sebagai deret MacLaurin

Contoh : Ungkapkan uraian deret MacLaurin untuk fungsi f(x) = sin x

10:41:10

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin

10:41:10

Uraian deret MacLaurin untuk beberapa fungsi dasar x2 x3 x4 e  1 x     2! 3! 4!

- < x < .

x2 x4 x6 cos x  1     2! 4! 6!

- < x < .

x3 x5 x7 sin x  x     3! 5! 7!

- < x < .

x2 x3 x4 ln(1  x)  x     2 3 4

-1 < x < 1

x

p( p  1) 2 p( p  1)( p  2) 3 (1  x)  1  px  x  x  2! 3! p

-1 < x < 1

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin TUGAS 3. Tunjukan uraian deret MacLaurin fungsi ex di sekiar x = 0 adalah 

xk x2 xk pn ( x)    1  x   ...   ... 2! k! k 0 k! Buktikan bahwa deret tersebut konvergen untuk daerah: - < x < .

10:41:10

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin 1. Perkalian Fungsi  x3 x5  ( x  1) sin x  ( x  1) x    3! 5!   x3 x4 x5 x6 2  x x      3! 3! 5! 5!

2. Pembagian Fungsi ln(1  x) 1  x2 x3 x4    x     x x 2 3 4  x x2 x3 1     2 3 4

10:41:10

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin 3. Penjabaran bentuk binomial dari sebuah fungsi (1)(2) 2 (1)(2)(3) 3 1  (1  x) 1  1  x  x  x  1 x 2! 3! 1  x  x 2  x 3 

4. Integrasi

x

x

dt  arc tg t  arc tg x 2 1 t 0

 0

(1  t 2 ) 1  1  t 2  t 4  t 6  



dt   (1  t 2  t 4  t 6  ) dt 2 1 t t3 t5 t7 t     3 5 7

x3 x5 x7 arc tg x  x     3 5 7

10:41:11

Fisika Matematika 2 Deret Taylor dan Deret MacLaurin TUGAS Tentukan uraian deret MacLaurin untuk fungsi-fungsi berikut:

4. ex sin x 5. tan x

10:41:11