1- Ejercicios Resueltos De Algebra De Boole 2i195c
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ALGEBRA DE BOOLE EJERCICIOS RESUELTOS 1) Hacer circuito con pulsadores, tabla de verdad, circuito con compuertas lógicas, expresión booleana sintetizada y mapa k.
Z=BA+CB+CBA 2) Dada la tabla de verdad, encontrar la función algebraica, el circuito con llave y la compuerta lógica. C B A Z 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3) Dada la función Z = ( A B + C ) ( A C ) encontrar el circuito con llave, tabla de verdad y la compuerta lógica.
4) Resolver minimizando: a) Z = ( A + B + C ) ( A + C ) b)
Z=( A + BC )( A B+ BC)
c)
Z = A ⋅ AB ⋅ B ⋅ AB
5) Encontrar la expresión booleana del siguiente circuito, con la compuerta lógica, circuito con llave y la expresión sintetizado
1
6) Sintetizar la siguiente expresión booleana y hallar la tabla de verdad, mapa k.
Z = A + ( A + B) + B + ( A + B) 7) Dado el siguiente circuito, aplicando el concepto de funciones equivalentes, realizarlo con las mismas compuertas. Verificar que la expresión booleana de ambos circuitos sea la misma.
8) A- Dado el siguiente circuito con llaves, armar su tabla de verdad y encontrar la expresión booleana sintetizada, su circuito con llave, compuerta lógica y tabla de verdad. B- Realizar la TV y a partir de ella encontrar la expresión booleana, sintetizarla y armar la nueva TV.
9) Idem punto 5: hacer TV, expresión booleana sintentizada, el circuito con llave, la compuerta lógica y la síntesis de la TV.
2
10) Dado el siguiente circuito eléctrico, hacer la TV, expresión booleana sintentizada, su circuito con llave, compuerta lógica y TV.
3
Respuestas: 1)
Z = AB + CB + ABC Completo los términos con las variables faltantes, teniendo en cuenta que A + A = 1 Z = AB(C + C ) + BC ( A + A) + ABC Aplicando propiedad distributiva Z = A BC+A BC+A BC+A BC+ ABC Factoreando por partes, resulta Z = A B(C+ C) + AC(B+ B) Como C + C = 1 y B + B = 1 Z = AB + AC
BA
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C
2)
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 1 1 0 1 1
Z = ABC + ABC + ABC Z = AB(C + C ) + ABC Z = A B + A BC Z = A( B + BC ) Aplico la propiedad distributiva de la suma lógica respecto del producto lógico Z = A( B + BB + C ) Z = A( B + C ) Z = AB + AC
4
BA
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C
3)
Z = ( AB + C )( AC ) Z = ( A + B + C )( A + C ) Z = AA + AC + AB + BC + AC + C C Z = 0 + AC + AB + BC + AC + C C 0 0 0 0 1 1 1 1
Z = AB + C ( A + B + A + 1) Z = AB + C
BA
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C
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 1 1 1 1 0 0 0 1
4)
A
0
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1
1
1
B 5
Z = ( A + B + C )( A + C ) Z = AA + AC + BA + BC + CA + CC
a)
Z = A + AC + BA + BC + C Z = A(1 + C + B) + C ( B + 1) Z = A+C
Z = ( A + C B)( AB + BC )
b)
Z = ( A ⋅ C B)( AB ⋅ BC ) Z = A(C + B)( A + B)( B + C ) Z = ( AC + AB)( AB + AC + B B + BC ) Z = ( AC + AB)( AB + AC + 0 + BC ) Z = AC AB + AC AC + ACBC + AB AB + AB AC + ABBC Z = C AB + AB + B AC Z = AB(C + 1 + C ) Z = AB
A
0
1
B
C)
0
1
0
1
0
0
B 0 0 1 1
A 0 1 0 1
Z 1 0 0 0
Z = A ⋅ AB ⋅ B ⋅ AB Z = A ⋅ AB + B ⋅ AB Z = A ⋅ AB + B ⋅ AB Z = A ⋅ ( A + B) + B ⋅ ( A + B) Z = A A + AB + B A + B B
A
0
1
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1
1
B 6 0
B 0 0 1 1
5)
A 0 1 0 1
Z 0 1 1 0
Z = ABC ( B + C + D) + ABC ⋅ ( B + C + D) Z = ( ABCB + ABC C + ABC D) + ( A + B + C ) ⋅ BCD Z = ABC + ABC D + ABCD + B BCD + C BCD Z = ABC + ABC D + ABCD + BCD Z = ABC (1 + D) + BCD( A + 1) Z = ABC + BCD
BA DC
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D 0 0 0 0 0 0 0 0
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 0 0 1 0
7
6)
Z = A + ( A + B) + B + ( A + B) Z = ( A ⋅ ( A + B)) + ( B ⋅ ( A + B)) Z = A( A + B) + B( A + B) Z = ( A A + AB) + ( B A + B B)
A
Z = ( 0 + A B ) + ( B A + 0) A 0 1 0 1
1
0
0
1
1
1
0
B
Z = AB + B A B 0 0 1 1
0
Z 0 1 1 0
7)
Z1 = ( A + B) ⋅ ( B + C )
Z2 = A + B + B + C
Z 1 = AB + AC + BB + BC
Z 2 = ( A + B)( B + C )
Z 1 = AB + AC + B + BC
Z 2 = ( A + B)( B + C )
Z 1 = B( B + 1 + B) + AC
Z 2 = AB + AC + BB + BC
Z 1 = B + AC
Z 2 = AB + AC + B + BC Z 2 = B( B + 1 + B) + AC
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 1 0 1 1 1
Z 2 = B + AC
BA
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1
1
1
C
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8) Z = ( AB + ( A + B )C ) ⋅ ( A B + C ) Z = ( AB + ( AC + BC )) ⋅ ( A B + C ) Z = ( AB + AC + BC ) ⋅ ( A B + C ) Z = ABA B + ACA B + BCA B + ABC + AC C + BC C Z = 0 + CA B + BCA + ABC + 0 + 0 Z = CA B + ABC C 0 0 0 0 1 1 1 1
9)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 0 0 1 0 0
BA
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C
Z = ( AB + CD)(( A + B)(C + D)) + ( AB + CD)(( A + B)(C + D)) Z = ( AB ⋅ CD)(( A + B) ⋅ C D) + ( AB + CD)( A + B) + (C + D) Z = (( A + B) ⋅ CD)( AC D + BC D) + ( AB + CD)( AB + C + D) Z = ( ACD + BCD)( AC D + BC D) + ( AB + C + D)( AB + C + D) Z = (0 + 0 + 0 + 0) + (0 + ABC + ABD + C AB + 0 + C D + D AB + DC + 0) Z = ABC + ABD + C AB + C D + D AB + DC 9
D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
BA DC
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1
10)
Z 1 = ( A B + C A)
Z 2 = ( AB + C A)(C + B)(( A + C ) + B A) Z 2 = ( ABC + AB B + C AC + C AB)( A + C + B A) Z 2 = ( ABC + AB + C A + C AB)( A + C + B A) Z 2 = BCA + B A + A BC + CB A Z 2 = B A(C + 1 + C ) + CB A Z 2 = B A + CB A
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Trabajo Práctico Nº 2 1) Resolver las siguientes identidades De Morgan, aplique las leyes de álgebra de boole en los casos que crea conveniente. A) A + B
B) A* B C) A + B D) E * B E) C * ( D + E ) F) A + ( B * C )
2) Justifique por medio de la expresiòn booleana las compuertas derivadas NAND, NOR y EX-NOR. 3) Dados los siguientes circuitos con pulsadores, hallar su funcion equivalente. Justifique su respuesta por medio de la tabla de verdad. La expresión booleana debe hallarse por simple inspeccion del circuito dado. Hcer el circuito con compuertas y con pulsadores sintetizado. Hacer el mapa K. a)
12
b)
c)
d)
13
Respuestas 1) a)
A + B = A⋅ B
b)
A⋅ B = A + B
c)
A + B = A⋅ B = A⋅ B
d) E ⋅ B = E + B = E + B e)
C ⋅ ( D + E ) = C + ( D + E ) = C + ( D ⋅ E ) = C + ( D ⋅ E ) = (C + D) ⋅ (C + E )
f)
A + ( B ⋅ C ) = A ⋅ ( B ⋅ C ) = A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ ( B + C ) = AB + AC
2)
Z = A⋅ B AND
NAND
Z = A⋅ B Z = A⋅ B
Z = A⋅ B
Z = A+ B Z = A+ B OR
Z = A+ B
NOR
Z = A+ B Z = A+ B Z = A⋅ B Z = AB + A B Z = AB + A B Z = AB + A B
EXOR
Z = AB + A B
EX-NOR
Z = AB ⋅ A B Z = ( A + B) ⋅ ( A + B) Z = ( A + B) ⋅ ( A + B) Z = A A + A B + B A + BB Z = AB + B A
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3) a) Z = ( A + B) ⋅ CA Z = ACA + BCA Z = BCA C 0 0 0 0 1 1 1 1
b)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 0 1 0 0
BA
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0
C
Z = ( A + B)( A + B) ⋅ C Z = ( A A + AB + B A + BB ) ⋅ C Z = ( AB + B A) ⋅ C Z = CAB + C B A
BA
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0
C
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 1 0 0 1
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c)
Z = (( A + B)C ) + B A Z = AC + BC + B A
C 0 0 0 0 1 1 1 1
Z = AC ( B + B) + BC + B A Z = ACB + AC B + BC + B A Z = BC ( A + 1) + ACB + AB Z = BC + ACB + AB Z = BC + B( AC + A) Z = BC + B(( A + A)(C + A))
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 0 1 1 1 1
BA
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Z = C ( B + B) + B A
0
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1
Z = C + BA
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1
Z = BC + B(C + A) Z = BC + BC + B A
d)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C
Z = (( AB + AC )(C + B))( A + B + C ) Z = ( ABC + AB B + ACC + AC B)( A + B + C ) Z = ( ABC + AC + AC B)( A + B + C ) Z = ABCA + ACA + AC B A + ABC B + AC B + AC B B + ABCC + ACC + AC BC Z = ABC + AC B + AC B + ABC + AC + AC B Z = ABC + AC B + AC Z = ABC + AC ( B + 1) Z = ABC + AC Z = C ( AB + A) Z = C (( A + A)( B + A)) = C ( B + A) Z = CB + C A
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C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 1 0 1 1
BA
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C
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Z=BA+CB+CBA 2) Dada la tabla de verdad, encontrar la función algebraica, el circuito con llave y la compuerta lógica. C B A Z 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3) Dada la función Z = ( A B + C ) ( A C ) encontrar el circuito con llave, tabla de verdad y la compuerta lógica.
4) Resolver minimizando: a) Z = ( A + B + C ) ( A + C ) b)
Z=( A + BC )( A B+ BC)
c)
Z = A ⋅ AB ⋅ B ⋅ AB
5) Encontrar la expresión booleana del siguiente circuito, con la compuerta lógica, circuito con llave y la expresión sintetizado
1
6) Sintetizar la siguiente expresión booleana y hallar la tabla de verdad, mapa k.
Z = A + ( A + B) + B + ( A + B) 7) Dado el siguiente circuito, aplicando el concepto de funciones equivalentes, realizarlo con las mismas compuertas. Verificar que la expresión booleana de ambos circuitos sea la misma.
8) A- Dado el siguiente circuito con llaves, armar su tabla de verdad y encontrar la expresión booleana sintetizada, su circuito con llave, compuerta lógica y tabla de verdad. B- Realizar la TV y a partir de ella encontrar la expresión booleana, sintetizarla y armar la nueva TV.
9) Idem punto 5: hacer TV, expresión booleana sintentizada, el circuito con llave, la compuerta lógica y la síntesis de la TV.
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10) Dado el siguiente circuito eléctrico, hacer la TV, expresión booleana sintentizada, su circuito con llave, compuerta lógica y TV.
3
Respuestas: 1)
Z = AB + CB + ABC Completo los términos con las variables faltantes, teniendo en cuenta que A + A = 1 Z = AB(C + C ) + BC ( A + A) + ABC Aplicando propiedad distributiva Z = A BC+A BC+A BC+A BC+ ABC Factoreando por partes, resulta Z = A B(C+ C) + AC(B+ B) Como C + C = 1 y B + B = 1 Z = AB + AC
BA
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C
2)
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 1 1 0 1 1
Z = ABC + ABC + ABC Z = AB(C + C ) + ABC Z = A B + A BC Z = A( B + BC ) Aplico la propiedad distributiva de la suma lógica respecto del producto lógico Z = A( B + BB + C ) Z = A( B + C ) Z = AB + AC
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BA
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C
3)
Z = ( AB + C )( AC ) Z = ( A + B + C )( A + C ) Z = AA + AC + AB + BC + AC + C C Z = 0 + AC + AB + BC + AC + C C 0 0 0 0 1 1 1 1
Z = AB + C ( A + B + A + 1) Z = AB + C
BA
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C
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 1 1 1 1 0 0 0 1
4)
A
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1
1
B 5
Z = ( A + B + C )( A + C ) Z = AA + AC + BA + BC + CA + CC
a)
Z = A + AC + BA + BC + C Z = A(1 + C + B) + C ( B + 1) Z = A+C
Z = ( A + C B)( AB + BC )
b)
Z = ( A ⋅ C B)( AB ⋅ BC ) Z = A(C + B)( A + B)( B + C ) Z = ( AC + AB)( AB + AC + B B + BC ) Z = ( AC + AB)( AB + AC + 0 + BC ) Z = AC AB + AC AC + ACBC + AB AB + AB AC + ABBC Z = C AB + AB + B AC Z = AB(C + 1 + C ) Z = AB
A
0
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B
C)
0
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0
B 0 0 1 1
A 0 1 0 1
Z 1 0 0 0
Z = A ⋅ AB ⋅ B ⋅ AB Z = A ⋅ AB + B ⋅ AB Z = A ⋅ AB + B ⋅ AB Z = A ⋅ ( A + B) + B ⋅ ( A + B) Z = A A + AB + B A + B B
A
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1
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B 6 0
B 0 0 1 1
5)
A 0 1 0 1
Z 0 1 1 0
Z = ABC ( B + C + D) + ABC ⋅ ( B + C + D) Z = ( ABCB + ABC C + ABC D) + ( A + B + C ) ⋅ BCD Z = ABC + ABC D + ABCD + B BCD + C BCD Z = ABC + ABC D + ABCD + BCD Z = ABC (1 + D) + BCD( A + 1) Z = ABC + BCD
BA DC
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D 0 0 0 0 0 0 0 0
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 0 0 1 0
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6)
Z = A + ( A + B) + B + ( A + B) Z = ( A ⋅ ( A + B)) + ( B ⋅ ( A + B)) Z = A( A + B) + B( A + B) Z = ( A A + AB) + ( B A + B B)
A
Z = ( 0 + A B ) + ( B A + 0) A 0 1 0 1
1
0
0
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0
B
Z = AB + B A B 0 0 1 1
0
Z 0 1 1 0
7)
Z1 = ( A + B) ⋅ ( B + C )
Z2 = A + B + B + C
Z 1 = AB + AC + BB + BC
Z 2 = ( A + B)( B + C )
Z 1 = AB + AC + B + BC
Z 2 = ( A + B)( B + C )
Z 1 = B( B + 1 + B) + AC
Z 2 = AB + AC + BB + BC
Z 1 = B + AC
Z 2 = AB + AC + B + BC Z 2 = B( B + 1 + B) + AC
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 1 0 1 1 1
Z 2 = B + AC
BA
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C
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8) Z = ( AB + ( A + B )C ) ⋅ ( A B + C ) Z = ( AB + ( AC + BC )) ⋅ ( A B + C ) Z = ( AB + AC + BC ) ⋅ ( A B + C ) Z = ABA B + ACA B + BCA B + ABC + AC C + BC C Z = 0 + CA B + BCA + ABC + 0 + 0 Z = CA B + ABC C 0 0 0 0 1 1 1 1
9)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 0 0 1 0 0
BA
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C
Z = ( AB + CD)(( A + B)(C + D)) + ( AB + CD)(( A + B)(C + D)) Z = ( AB ⋅ CD)(( A + B) ⋅ C D) + ( AB + CD)( A + B) + (C + D) Z = (( A + B) ⋅ CD)( AC D + BC D) + ( AB + CD)( AB + C + D) Z = ( ACD + BCD)( AC D + BC D) + ( AB + C + D)( AB + C + D) Z = (0 + 0 + 0 + 0) + (0 + ABC + ABD + C AB + 0 + C D + D AB + DC + 0) Z = ABC + ABD + C AB + C D + D AB + DC 9
D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
BA DC
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10)
Z 1 = ( A B + C A)
Z 2 = ( AB + C A)(C + B)(( A + C ) + B A) Z 2 = ( ABC + AB B + C AC + C AB)( A + C + B A) Z 2 = ( ABC + AB + C A + C AB)( A + C + B A) Z 2 = BCA + B A + A BC + CB A Z 2 = B A(C + 1 + C ) + CB A Z 2 = B A + CB A
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Trabajo Práctico Nº 2 1) Resolver las siguientes identidades De Morgan, aplique las leyes de álgebra de boole en los casos que crea conveniente. A) A + B
B) A* B C) A + B D) E * B E) C * ( D + E ) F) A + ( B * C )
2) Justifique por medio de la expresiòn booleana las compuertas derivadas NAND, NOR y EX-NOR. 3) Dados los siguientes circuitos con pulsadores, hallar su funcion equivalente. Justifique su respuesta por medio de la tabla de verdad. La expresión booleana debe hallarse por simple inspeccion del circuito dado. Hcer el circuito con compuertas y con pulsadores sintetizado. Hacer el mapa K. a)
12
b)
c)
d)
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Respuestas 1) a)
A + B = A⋅ B
b)
A⋅ B = A + B
c)
A + B = A⋅ B = A⋅ B
d) E ⋅ B = E + B = E + B e)
C ⋅ ( D + E ) = C + ( D + E ) = C + ( D ⋅ E ) = C + ( D ⋅ E ) = (C + D) ⋅ (C + E )
f)
A + ( B ⋅ C ) = A ⋅ ( B ⋅ C ) = A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ ( B + C ) = AB + AC
2)
Z = A⋅ B AND
NAND
Z = A⋅ B Z = A⋅ B
Z = A⋅ B
Z = A+ B Z = A+ B OR
Z = A+ B
NOR
Z = A+ B Z = A+ B Z = A⋅ B Z = AB + A B Z = AB + A B Z = AB + A B
EXOR
Z = AB + A B
EX-NOR
Z = AB ⋅ A B Z = ( A + B) ⋅ ( A + B) Z = ( A + B) ⋅ ( A + B) Z = A A + A B + B A + BB Z = AB + B A
14
3) a) Z = ( A + B) ⋅ CA Z = ACA + BCA Z = BCA C 0 0 0 0 1 1 1 1
b)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 0 1 0 0
BA
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
C
Z = ( A + B)( A + B) ⋅ C Z = ( A A + AB + B A + BB ) ⋅ C Z = ( AB + B A) ⋅ C Z = CAB + C B A
BA
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
C
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 1 0 0 1
15
c)
Z = (( A + B)C ) + B A Z = AC + BC + B A
C 0 0 0 0 1 1 1 1
Z = AC ( B + B) + BC + B A Z = ACB + AC B + BC + B A Z = BC ( A + 1) + ACB + AB Z = BC + ACB + AB Z = BC + B( AC + A) Z = BC + B(( A + A)(C + A))
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 0 1 1 1 1
BA
00
01
11
10
Z = C ( B + B) + B A
0
0
0
0
1
Z = C + BA
1
1
1
1
1
Z = BC + B(C + A) Z = BC + BC + B A
d)
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C
Z = (( AB + AC )(C + B))( A + B + C ) Z = ( ABC + AB B + ACC + AC B)( A + B + C ) Z = ( ABC + AC + AC B)( A + B + C ) Z = ABCA + ACA + AC B A + ABC B + AC B + AC B B + ABCC + ACC + AC BC Z = ABC + AC B + AC B + ABC + AC + AC B Z = ABC + AC B + AC Z = ABC + AC ( B + 1) Z = ABC + AC Z = C ( AB + A) Z = C (( A + A)( B + A)) = C ( B + A) Z = CB + C A
16
C 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 0 0 1 0 1 1
BA
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
C
17
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