Algebra De Baldor (ejercicios Resueltos 6zf3v

EJERCICIO 1 1. Una deuda se expresa en sentido negativo. Luego inicalmente el estado económico de Pedro es - 60 bs. Al recibir 320 bs. Aumenta su capital tantos bs. como ha recibido; entonces la operaciòn queda expresada como se indica

− 60 + 320 = + 260 bs.

EJERCICIO 3 1. + 32 m ; − 16 m 2. + 10 m ; − 4 m 3. 50 − 85 = − 35 m 4. − 6 ⋅11= − 66m

2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres 3. 200 + 56 − 189 = + $ 67

5. -8 × 6 =-48 m 9 × 6 =+ 54 m

4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles 5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30 6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9 7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones 8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0

EJERCICIO 2 1. 12 − 15 = − 3!

400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor − 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo

7. Los 40 pies de longitud del poste se reparten asi: 15 pies que sobresalen - se asumen en sentido positivo- . 25 pies que se encuentran enterrados. - se asumen en sentido negativo - . Al introducir 3 pies màs, se adicionan a los que estan bajo el suelo y se deben descontar de los que estan por encima. Aritmèticamente significa:

40 = 15 + 25 − 25 − 3 = − 28 pies + 15 − 3 = + 12 pies

2. − 3 + 8 − 6 = − 1! 3.

6.

15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18!

( )

4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13! 8. 55 − 52 = + 3 m

5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6! 6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4! → 7 am

− 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0!

→ 8 am

− 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12! → 11am

9. − 32 + 15 = − 17m 10. 35 − 47 = − 12 m 11. − 39 + 56 = + 17m 12. 90 − 58 − 36 = − 4 m

7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5! → 10 am

− 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7! → 11am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4! → 12 am − 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2! → 2 pm 8. − 56 + 7 = − 49! 9. − 71 + 5 = − 66! long

− 15 + (− 5) = − 20! lat.

10. 18 + 3 =+ 21! long

65 -4 =+ 61! lat. 11. -75 +135 =+ 60 años

13. 72 72 72 72

− 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m

14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km − 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0

− 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km

− 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km

EJERCICIO 7. 1. x + 2x = 3x

27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a 28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1

2. 8a + 9a = 17a

29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y

3. 11b + 9b = 20b

30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am

4. − b − 5b = − 6b 5. − 8m − m = − 9m

31.

6. − 9m − 7m = − 16m

1 1 1 4 + 2 +1 + 8 15 a+ a+ a+a = a= a 2 4 8 8 8 2 1 1 1 8 + 10 + 2 + 1 21 ax + ax + ax + ax = ax = ax 5 2 10 20 20 20

7. 4a x + 5a x = 9a x

32.

8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1

33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m

9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1

34. −

1 1 1 ab − ab − ab − ab 7 14 28 − 4 − 2 − 1− 28 35 5 = ab = − ab = − ab 28 28 4

10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2 11.

1 1 1+ 1 2 a+ a= a = a =a 2 2 2 2

3 1 6ab + ab 7 ab + ab = = ab 12. 5 10 10 10 13.

1 1 2 +1 3 1 xy + xy = xy = xy = xy 3 6 6 6 2

14. −

1 4 − 1− 4 5 xy − xy = = − xy = − xy 5 5 5 5

15. −

5 2 1 − 20 − 3 2 23 2 a b − a 2b = a b =− ab 6 8 24 24

7 −8−7 15 16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a

17. 8a + 9a + 6a = 23a

2 3 1 1 1 3 x y − x 3y − x3y − x y 3 6 9 12 −2 4 − 6 − 4 − 3 3 37 3 x y=− x y = 36 36

35. −

36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2 37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m 38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1 39.

1 1 1 1 1 a+ a+ a+ a+ a 2 3 4 5 6 30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29 a= a= a = 60 60 20 1 1 1 1 1 ab − ab − ab − ab − ab 3 6 2 12 9 −12 − 6 − 18 − 3 − 4 43 = ab = − ab 36 36

40. −

18. 15x + 20x + x = 36x 19. − 7m − 8m − 9m = − 24m 20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b 21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x 22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1

EJERCICIO 8

1 2 6+3+4 13 a= a 23. a + a + a = 2 3 6 6

1. 8a − 6a = 2a

24. − x − 25.

2 1 − 6 − 4 −1 11 x− x= x=− x 3 6 6 6

1 3 2 + 3 + 10 15 3 ax + ax + ax = ax = ax = ax 5 10 10 10 2 3 4

5 6

2 2 2 26. − a x − a x − a x =

−9 − 10 − 12 2 31 2 a x=− a x 12 12

2. 6a − 8a = − 2a 3. 9ab − 15ab = − 6ab 4. 15ab − 9ab = 6ab 5. 2a − 2a = 0 6. − 7b + 7b = 0 7. − 14xy + 32xy = 18xy

8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y

35.

9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y 10. −m2n + 6m2n = 5m2n 11. − 15xy + 40xy = 25xy 12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2

5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1 a − a = a = a = a 6 12 12 12 4

2 36. 4a −

1 2 12 − 1 2 11 2 a = a = a 3 3 3

37. − 5mn +

3 − 20 + 3 17 mn = mn = − mn 4 4 4

13. − x 2 y + x 2 y = 0

38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3

14. −9ab 2 + 9ab2 = 0

39. −

15. 7x2 y − 7x2 y = 0 16. − 101mn + 118mn = 17mn

7 m n m n −7+8 m n 1 m n a b +a b = a b = a b 8 8 8

40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy

17. 502ab − 405ab = 97ab 18. − 1024 x + 1018x = − 6x 19. −15ab + 15ab = 0

EJERCICIO 9

20.

1 3 2−3 1 a− a= a=− a 2 4 4 4

1. 9a − 3a + 5a = 11a

21.

3 1 3−2 1 a− a= a= a 4 2 4 4

3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn

22.

5 2 5 2 10 − 5 2 5 2 a b− a b= a b= a b 6 12 12 12

5. 19m − 10m + 6m = 15m

4 2 9 2 −8+ 9 2 1 2 x y= x y= x y 23. − x y + 7 14 14 14 3 5 3 − 10 7 am − am = am = − am 24. 8 4 8 8 25. − am + 26.

3 −5+3 2 am = am = − am 5 5 5

5 7 20 − 21 1 mn − mn = mn = − mn 6 8 24 24

2 27. − a b +

− 11+ 3 2 3 2 8 a b= a b = − a 2b 11 11 11

28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3 29. − 12 , yz + 3,4yz = 2,2yz 30. 4a x − 2a x = 2a x 31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0 32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1 33. − x a + 1 + x a + 1 = 0 34. −

1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2 a a + a = = a 4 2 4 4

2. − 8x + 9x − x = 0 4. − x + 19x − 18x = 0 6. −11ab − 15ab + 26ab = 0 7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X 8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0 9.

2 1 2 + 1− 3 0 y+ y−y= y= y=0 3 3 3 3

10. − 11.

3 1 1 − 12 + 5 − 10 17 m+ m− m = m =− m 5 4 2 20 20

3 2 1 3+2− 8 2 3 a b + a 2b − a 2b = a b = − a 2b 8 4 8 8

12. − a + 8a + 9a − 15a = a 13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab 14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0 15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy 16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab 17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2 18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax 19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0 20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0

21.

1 1 1 1 30 − 20 + 15 − 12 13 x− x+ x− x= x= x 2 3 4 5 60 60

EJERCICIO 10

22.

1 1 1 1 4 − 4 + 2 −1 1 y− y+ y− y= y= y 3 3 6 12 12 12

1. 7a + 6a − 9b − 4b − 9b − 4b = − 13b 7a + 6a = 13a = 13a − 13b

3 2 1 2 1 2 2 23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b 18 − 5 + 10 − 30 2 7 2 = a b=− a b 30 30 5 2 1 2 3 2 2 24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab − 20 − 4 + 24 − 9 2 9 3 ab = − ab 2 = − ab2 = 24 24 8 25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a 26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c 27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn 28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0 29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a 30.

1 2 7 1 x+ x− x+ x−x 2 3 6 2 3+4−7+3−6 3 1 x=− x= − x = 6 6 2

3 1 5 31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x − 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5 = x=− x= − x 24 24 6 32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0 33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1 34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a 35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b 36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b 37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x = − 1340m2 x

38.

5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2 6 3 4 8 20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2 = ab = ab 24 24 37 3 2 = a b = 4 58 a 3b 2 8

39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a 40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0

2. a + b − c − b − c + 2c − a a−a =0 b −b =0 =0

− c − c + 2c = 0

3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y 5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y = 25x − 12y − 10

− 9 − 1 = − 10

4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11 − 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n = − 13m + 7n − 6 5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b − a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0 = 2a

5 − 11= − 6

− 2c + 2c = 0

6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y − 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0 = − 30z

− 30z

7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab 15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2 − 6ab − 5ab − ab = − 12ab

20 − 31= − 11

= 8a − 12ab − 11 2

8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b −3a − 6a + 31a − a = 21a 4b + 81b − 114b − b = − 30b = 21a − 30b 3 4 2 3 4 2 3 3 9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b − 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b

− 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0 = − 48a 3b 10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c −a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0 − c − 2c + 3c = 0 8 − 19 − 3 = − 14 = − 2a − 14

2 2 3 2 2 3 11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m 3 3 3 2 2 2 m + 6m = 7m m − 14m − m − 115m2 = − 129m2

71mn − 65mn = 6mn

= 7m3 − 129m2 + 6mn 4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3 12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50 − x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2 x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y

x 2y − x2y = 0

− y3

− 10 − 9 + 50 = 31

= 14x y − 7x y − y + 31 4

3 2

3

13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3

− 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0 = − 25

− 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0

5a x + 1 − 5a x + 1 = 0

− 50 − 65 + 90 = − 25

14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3

− x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3 =−x

m+3

−a

m+2

am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2

−3

15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c 0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a 0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b = 2,7a − 3,3b − 3,4c 16.

17.

−5+8−6= −3

1 1 3 1 3 1 a + b + 2a − 3b − a − b + − 4 6 4 2 2 3 1 3 2+8−3 7 a + 2a − a = a= a 2 4 4 4 7 17 1 = a− b+ 4 6 4

0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c

1 1 2 − 18 − 1 17 b − 3b − b = b=− b 3 6 6 6

3 2 1 1 m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2 5 10 3 3 2 1 6 + 1− 20 2 13 m + m2 − 2m2 = m = − m2 5 10 10 10 13 2 1 = − m − mn 10 3

− 2mn −

3 1 3−2 1 − = = 4 2 4 4

− 6 − 1+ 6 1 1 mn + 2mn = mn = − mn 3 3 3

18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab 3 4 2 6 4 6 3 2−3−8 9 3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2 1 3 a = a ab − ab − 2ab = ab = − ab − a + a = 4 4 4 3 12 12 2 4 5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2 6 2 2 b =− b =−b − b + b − b = 6 6 3 6 6 19 2 9 2 a − ab − b = 12 4

3 2 2 1 xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6 8 5 4 2 2−2 2 x y=0 0,4x 2 y − x 2 y = 5 5 , 3 1 14 − 2,4 + 1 3 − 0,6y 3 + y 3 = y =− y = − 0,35y 3 4 4 4 = 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25

2 19. 0,4x y + 31+

3

7 m − 2 3 m−1 1 m− 2 1 + a − − 0,2a m − 1 + b m − 2 b b 50 5 25 5 3 m − 1 3 m −1 3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1 a + a − 0,2a m − 1 = a = a 25 5 25 25 13 m − 1 1 m − 2 = a + b 25 50

20. 25 a

m−1

, , 3 2 3 − 16 14 xy − 0,2xy 2 = xy 2 = xy 2 = 0,175xy 2 8 8 8 31− 6 = 25

−

−

7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2 − + b = = b b b b 50 25 5 50 50

EJERCICIO 11 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4 1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6 2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120

4 2 2 2 1 1 3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = = 2 3 6 3

12.

4a 4 ⋅1 4 2 = = = 3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9 2

 1 1 5⋅ 2 2 ⋅   20 ⋅  2 5 b m 5 4 13. = = = = 60 1 1 1 1 np ⋅ 3 4 12 12 2

2

 1   1  2   3

3

4. 24m n p = 24     ⋅ 2

3

1 1 1 6 1 = 6⋅ ⋅ = = 4 27 4 108 18 3

5.

2 4 2 3 2 4 2  1 2 1 8 1 a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅   = ⋅ 4⋅ = =  2 3 3 3 8 24 3

6.

7 3 2 7  1  1 189 1 1 189 63 ⋅ ⋅ = = c p m = ⋅ 33 ⋅   ⋅ =  4  2 12 16 2 384 128 12 12

14.

2

2

 1   1  2   3

3

b c a 7. m n p =     ⋅

8. 9.

1 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = 4 4 27 4 432

5 b −1 c − 2 5 2 −1  1  a ⋅ m = ⋅1 ⋅    2 6 6

3− 2

5 1 5 = ⋅ = 6 2 12

2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6

3 2 10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅

4 3 11. mn ⋅ 8a b =

15.

1 3 ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12 2

1 1 1 8 4 ⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = = 2 3 6 6 3

16.

2

3 3 3 3 3 ⋅ 8 24 b ⋅2 6 4 =4 = 4 = 4 = =1 2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6 c ⋅3 3 3 3 3

1 1 1 2 = = = =3 2 1 1 n2  1   9 3  3

2m

2⋅

1 1 24 ⋅ ⋅ 2 3 = = 2 2 2 ⋅ n2 p2  1  1  2⋅ 2⋅      3  4  24mn

=

4 4 = = 24 1 1 2⋅ 12 6

24 4 6 = 1 1 1 2⋅ ⋅ 9 16 144

3 3 6 3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 3 ⋅ 36 17. 3 ⋅ 64b c = = 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216 1 2m 2⋅ 2

18.

3 1 3 3 ⋅ 1⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ apb 2 5 4 5 5 = = 3 3 ⋅ 125bm 3 ⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3 2 2 2 2

4 3 3 ⋅ 1 4 5 5 = = = 250 3 ⋅ 3 125 3 ⋅ 5 2 2 2

3 5 = 6 = 2 15 75 25 2

EJERCICIO 12 Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:

a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4 1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1

 1  3

2

1 1  1 3 2  2

2

2 2 2. c + 2cd + d =   + 2 ⋅ ⋅ +   =

3.

1 1 1 4 + 12 + 9 25 + + = = 9 3 4 36 36

a b 3 4 + = + = 9 + 8 = 17 1 c d 1 3 2

1 c m 3 − 6 + 2 = 2 − 24 + 2 = 2 − 72 + 6 = − 64 − + 2 = 4. 1 1 3 3 d n 3 2 4 5.

a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36 − + = − + = − + = 3 − 8 + 6 =1 3 2 6 3 2 6 3 2 6

6.

3 1 3 1 1 1 1 1− 10 + 5 4 c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1= =− 5 2 5 3 2 2 5 5 5

1 1 3⋅ 4⋅ 1 144 + 6 − 1 149 12 1 2 ab ac bd 3 ⋅ 4 3 2 + − = + − = + − = 48 + 2 − = = = 49 23 1 1 6 1 1 7. n 3 3 3 6 d m 4 2 2 4 8.

b + n + 6m = 4 +

1 1 4 + 1+ 12 17 + 6⋅6 = 2 + + 6 = = = 8 21 4 2 2 2 1 3

1 2

1 4

2 2 9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅

10.

ma 63 216 = = 216 ⋅ 16 = 3.456 4 = b 1 d  1   16  2

1 1 1 1 1 2 − 16 + 1 13 = ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + = =− =−6 2 3 2 4 2 2 2

1 2

2

2

 1  1 1 1 3  4   3  4 1 1 2+1 3 1 11. 3 2 4n c + = + = 3+ 4= + = = = 4 4 6 4 6 12 24 24 24 8 m 2

2

2

12.

4d 2 16n 2 2 8 1 1  1  1 + − 1= 2 ⋅   + 8 ⋅   − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0  2  4 2 2 4 16 2 2

13.

a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10 − = − = − = 21− 20 = 1 1 1 1 1 c d 3 2 2 3

14.

1 2 b−a m−b 4−3 6−4 + + 5a = + + 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23 1 1 1 1 n d 4 2 2 4

12c − a 16n − a 1 − + = 15. m d 2b

1 1 − 3 16 ⋅ − 3 1 1 3 − 4 + 48 47 1 4−3 4−3 3 4 − + = − +2= − +2= = = 1 23 24 1 8 6 8 6 24 24 2⋅4 6 2

12 ⋅

3⋅ 3 6⋅6 3a 6m 9 − = 4⋅4 + − = 16 + − 3 6 3 6 3

16.

4b +

17.

b + 2d 3c + 8d − = 2 4

2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d 18. + 3 4 2 2

2

4 + 2⋅ 2

1 2

3⋅ −

36 3 6 = 4 + − = 4 + 1− 1= 4 6 3 6

1 1 + 8⋅ 3 2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3 = − = − = = 4 2 4 2 4 4 4

 1 3⋅ 2 +    2

2

9 3⋅ 2⋅ 3 ⋅4 1 2 ⋅ 144 1 4 − a⋅ n = + − 3⋅ = + − 3⋅ 3 4 4 3 4 2 3 9 2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3 9 3 64 + 9 − 12 61 5 = + − = + − = 8+ − = = =78 3 4 2 3 4 2 8 2 8 8 2

2

EJERCICIO 13 Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0 1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5

(

)(

) (

(

)(

)

)(

)

2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3



1 

 4 − 1  9 − 2 

2

3 7

7

7+8

2 2   + 4= ⋅ + 4= + 4= 3. b − m c − n + 4a =  2 −   3 −  + 4 ⋅ 1 =  2 3 2  3  2 3 2 2

4.

(2m + 3n)(4 p + b ) =  2 ⋅ 21 + 3⋅ 23  4 ⋅ 41 + 2  = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15 2

(

)(

)(

2

)



1

1

(

)

2



(

)

2 2 2 2 5. 4m + 8 p a + b 6n − d =  4 ⋅ + 8  1 + 2  6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0 2 4 3

=

15 1 =72 2

(

)(

)(

)(

) (

)(

)  21

)(

 2 − 1 1  = 4  4

1 4

6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1  −  = 1⋅ 1⋅ 1

(

)

(

)

(

7 168 − 7 161  1 2  3+ 4 +  + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 −  = = 26 56  = 28 − =  6  2 3 6 6 6

)

2 2 2 2 7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1 

(

)

(

1 2

)

(

)

2 2 2 2 2 2 8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14

1  1 16 ⋅   8⋅ 4 4 4 2 2+ 6 8  8m 16 p  2 4  ⋅1 = +   a= + + = + 2 = + 2= = = 2 23 9.  9n 18 2 6 b  2  3 3 3  9⋅ 2  3  3

(

)

b c a 10. x + m a + d − c = 0 +

(

)

1 2 3 1 1 (1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 21 ⋅ 62 = 31 2

 1 1 4 +  2 2 3 5 3 27 4 1 + 2  2 + 1 1 + 4 ÷ = 4 ÷ = 4⋅ ÷ = = = 5 25 2  4  1 3 9 4 9 5 5 9

2 2 11. 4 m + p ÷ a + b =  2 2

a

c

(

)(

)(

12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p

)

1  1 2 1  2 1 2  1 =  2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅   8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅   9 ⋅ + 20 ⋅  = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176  2 2  3 4 3 4  4 3

(

)

(

)

(

2 2 2 13. c m + n − d m + p + b n + p

1 = 32  + 2

)

2 7 3 11 21 44 126 − 144 + 44 26  1 1  2 1  − 4 2  +  + 2 2  +  = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 + = = = 2 122 = 2 16  2 4  3 4 3 6 4 12 2 12 12 12

 c2 + d 2  32 + 4 2 2  1  9 + 16 2  1  25 2  1 2  1 5   ⋅ = m ÷ = ÷ ÷  ⋅ =  ÷  ⋅ = 5⋅ = = 2 12 14.      1 2 2  1 2 2 2 2 a 4 2  1 d   15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a ) 2 1 1   1   1  =  4 ⋅ + 2 ⋅ 2  18 ⋅ − 24 ⋅  + 2  8 ⋅ + 2  40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162  4   2  3 4 4 

2 2 2 5+  1 d 2 4 2+ 4 1 6   a+ 5 + 2 1+  2 5 + 8 3 5 + 8 3 13 3 624 b⋅ m = 2⋅ 2 4 = ⋅ = 2⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 208 = = 312 16. 1 d −b p2 4 − 2  1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2   16 16 16 16  4 5+

(

)

( )

1 2

 2  3

2

1 2 2 3

2 6

2 90 − 2 88 = = 14 46 = 14 23 6 6 6

2 2 2 17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅   = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =

 2  1+ 3 6⋅   a+c 6n  1  4 4 1 2 4 3   ÷ (c + d )⋅ p =   ÷ 7⋅ = = + + ÷ (3 + 4)⋅ = + 18.  2  2 2  4  2 2  2 7 7 b    2  

(

)

(

)

2 n 6 1 1 2 = 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3 2 2 4 2 3

19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p −

20.

6abc 3mn cdnp + − 2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc 1 2 2 1 3⋅ ⋅ 3⋅ 4 ⋅ ⋅ 2 3 3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11 = + − 1⋅ 2 ⋅ 3 24 24 12 2 ⋅ 8⋅ 2 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3 2(2 − 1) 6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3

21.

a 2 + b2 12 + 2 2 5 5 5 + 216 221 + 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 = = = 73 23 2 2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2 b −a 2 − 12 3 3 3 3  1 1   1 1  1 1  +  +  + +   a b   b c   n m

2

22. b 2 + 

2

  2 2 5  7 21 49 70 35  3 5  3   1 1   1 1  1 1  2 = = = 17 21 = 2 +  +   +  +  +  = 4 +  ⋅  +  + 2 = 4 + +   = +  2 6  2   1 2   2 3  2 1  4  2 4 4 4 2  3 2

(2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m 23.

2

n2

2  1 1 4 4 4 189 − 4 185  1   1  2 =  2 ⋅ + 3⋅   4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4     = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − = = = 20 95  2   2   3 3  4 4 9 9 9 9 9 2

2

c 2 2 3 22 − 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26 3 − n = 1 3 7 9 7 9 1 1 24. 2ab − m b − m 63 63 4− 2− 2 ⋅1⋅ 2 − 2 2 2 2 2 b2 −

EJERCICIO 14

(

)

10. $ x + a − m

1. a + b + m 2. m2 + b3 + x 4

(

)

11. m − a − b − c Km

3. a + 1 ; a + 2

12. $ (n − 300)

4. x − 1 ; x − 2

13.

5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6

14. $ 8a ; $15a ; $ ma

(

)

6. $ a + x + m 7. m − n

(

(365− x) días

15. 2a + 3b +

)

16. a ⋅ b m2

9. x − m Km

17. 23n m2

8. bs. x − 6

(

)

c 2

18. x 2 m2

( ) ( 20. (a + b)( x + y ) 21. $ (8 x + 48) 22. bs. (a − 8)(x + 4)

19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm

23.

75 sucres x

24. $

a m

)

3.000 25. n − 1 colones

a +b 29. $ m − 2

x 26. a − 3 soles

27.

m m 14

28.

x +1 km h a



30.  x + 2 x +



x  hab. 2



2a  

a

. −  a + +   sucres 31. 1000  3 4  

EJERCICIO 15 3 2 x y 8 − 32 + 3 2 3 29 2 x y=− x y − 4x 2 y + x 2 y = 8 8 8

1. m, n → m + n

20. − 4x 2 y ,

( )

2. m , − n → m + − n = m − n 3. − 3a , 4b → − 3a + 4b 4. 5b , 6a → − 6a + 5b

( )

5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1

21.

6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3 7. − 2x , 3y → − 2x + 3y 8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m 9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a

(

)

3 3 mn , − mn 8 4 3 3 3−6 3 mn − mn = mn = − mn 8 4 8 8

22. a , b , c → a + b + c 23. a , − b , c → a − b + c 24. a , − b , 2c → a − b + 2c

10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x

25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p

11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m

26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2

12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab 13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy

(

)

14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn

1 2 1 2 a− b 15. a , − b → 2 3 2 3 16.

3 3 3 3 b, c→ b+ c 5 4 5 4

17.

1 2 1 2 3 b, b→ b+ b= b=b 3 3 3 3 3

18. −

1 1 1 1 2 xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy 2 2 2 2 2

3 2 abc , − abc 5 5 3 2 5 − abc − abc = − abc = − abc 5 5 5

19. −

27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2 28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6 29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b 30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n 31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b 32.

1 2 3 x, y, − x 2 3 4 1 3 2 4−6 2 1 2 x− x+ y= x+ y=− x+ y 2 4 3 8 3 4 3 3

2

33. − 5 m , − m , − 3 mn −

3 2 −3−5 2 8 2 m − m − mn = m − mn = − m − mn 5 3 5 3 5 3

34. − 7a 2 , 5ab ,

3b 2 ,

− a2

− 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2

35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m 36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5 3

3

2

2

3

EJERCICIO 16

2

37. 5x2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2

1. 3a + 2b − c 2a + 3b + c

5a + 5b

38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3 = − 9a b − 6ab − 7b 2

2

3

2.

3 2 2 2 3 39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n 3 2 2 3 = m − m n + 7mn − n

40.

41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b

3.

m+n−p −m−n+ p

4.

42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2

9x − 3y + 5

5.

44. 6a 2 + 9a 2 − 5ab − 7b 2 − 8b 2 − 11

a+ b − c 2a + 2b − 2c − 3a − b + 3c

2

45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8 2 2

3

3

4

= 2xy 3 − 4y 4 − 8

1 1 46. 3a − a + b − b − 4 + 6 2 2 6 −1 1− 2 5 1 = a+ b+2= a− b+2 2 2 2 2 47.

1 2 3 2 2 1 5 5 x + x + xy − xy + y 2 − y 2 2 4 3 3 6 6 2 + 3 2 2 −1 5 2 1 = x + xy = x + xy 4 3 4 3

48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2

3 2 2 2 1 1 49. x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2 4 3 3 3 3+ 4 2 3 1+ 15 2 7 2 16 2 x − xy + y = x − xy + y = 4 3 3 4 3 50.

3 2 1 1 1 5 a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2 4 4 2 2 6 3 − 1+ 4 2 3+3−5 3 2 1 2 = a b+ ab = a b + ab 2 4 6 2 6

ay + az 12. 5x − 7y + 8

− 4x − y + 6 − 3x + 8y + 9 − 2x

+ 23

13. − am + 6mn − 4s − am − 5mn + 6s

3am − 5mn − 2s am − 4mn

2b

= 15a − 5ab − 15b − 11 2 2

− 5 ax − 7ay − 6az 4 ax + 9ay + 8az

3x

= m3 − 8m2n − 7mn2

2

ax − ay − az

11.

0

− x − y +4 − 5x + 4 y − 9

43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z

ab + bc + cd − 8ab − 3bc − 3cd 5ab + 2bc + 2cd − 2ab

7a − 4b + 5c − 7a + 4b − 6c −c

1 1 2 1 a − a + b+ b−6 2 4 3 5 2 −1 10 + 3 1 13 = a+ b−6= a + b−6 4 15 4 15

10.

6.

p+ q+ r − 2p − 6q + 3r p + 5q − 8r − 4r

14. 2a + 3b 6b − 4c

−a

+ 8c

a + 9b + 4c 15. 6m − 3n

7. − 7x − 4y + 6z 10x − 20y − 8z − 5x + 24y + 2z

− 2x

− 4n + 5p − 5p

5m − 7n 16. 2a + 3b

8. − 2m + 3n − 6 3m − 8n + 8

− 5m + n − 10 − 4m − 4n − 8

9. − 5a − 2b − 3c 7a − 3b + 5c

− 8a + 5b − 3c − 6a

−m

−c

8a

+ 5c − 4 +6 + 7c − 9

10a + 3b + 12c − 7 17. 2x − 3y

6x

+ 5z + 9 −4 −5 3y

8x

+ 5z

18. 8a + 3b − c 5a − b + c

− 8a + 5a − 9a x

−a −b − c 7a − b + 4c

19. 7x + 2y

m

24.

n

− 11a x + 5am + 16an

−4

4m

+ 9y − 6z + 5 − y + 3z − 6 8 x − 3y −5

− 7m

+ 2bc + 2cd − 3de − 2ab + 4bc + 3de − ab − 3bc − 6cd

−m

2ab

26. a − b 23.

b−c c+d

8x + y + z + u − 3x − 4y − 2z + 3u

c−d −a

m2 + n2

2a

a 3 − 2a 2

− 4m

a − ab + b 2

2

2

2a − a 2 − 11a + 15

− 3mn

2

8. 3x + x 3

3

x − 7x 2 −x

2

− 8x + 9x − 6 2

+ 2x

3 3. x

− x2

+4

x − x + 2x + 4 3

2

x 2 − 3xy + y 2

9.

− x + 3xy − 2y 2

− 3a 2 + a3

x + 3xy − 2y 2

+ 4a

a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a

10.

+ 5a b − 4ab 2

a 2

x3

a 2 − 3ab + b 2

3x 2

−5

4x 2 − 11x + 1

+ xy 2 + y 3

15. x 3

+ a − 5ab − b − 2a + 8ab − b

2

2x 3

2

4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3

−b

x 3 − x 2 + 3x + 6

6. x 2 − 4 x − 7x + 6

− 7ab2 − b3

3

2

2

+6

2

2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3

2

− x 2 + 3x

− b3

3 14. a

2

x 2 + 3xy − y 2 4 4. a

+ 8x − 5

3

−1

3x

+5

3

− x + 4x − 6 3

− x2 + x − 6

13. − 4x 2 + 5

2

+6

+ a − 7a + 4

− 5m − 5n 2

2x 2 − x

5.

− 4a + 5

3 12. a

+ 4n2 − 3mn

1. x + 4 x x 2 − 5x

+d −d

a

y + 3z + 2u

7.

−c

a

4x + 5y + 3z − 4u − 9x − y + z + 2u

2

2 2. a + ab − 2ab + b 2

+ 2c

25. 5ab − 3bc + 4cd

a+3

5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3

− m + 3n + 2p − 9

EJERCICIO 17

a+2

− 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3

15x + 7y − 3z − 10

20. − m − n − p m + 2n −5 − 6m + 3p + 4 5m + 2n −8

− 3a

a +1 a+2 − 5ma + 3 22. 6m − 7m a +1

a+ b − c +d a− b + c −d − 2a + 3b − 2c + d − 3a − 3b + 4c − d

− 14a x + 7am

+ 3c

19a

5a x − 3am − 7an

21.

11. − 7x 2 + 5x − 6

4 x + 8x − 9 2

−x

2

− 7x + 14

− 4 x 2 + 6x − 1

x − 5x y 3

− y3

2

− 4xy 2 − 5y 3

− 7m2n

16.

+m

2

− m + 7m n 3

+ 4n3 + 6mn − n3

3 2

+ 5n3 + 6mn2 + 8n3

+ x 3 − 4x 2

+ a

+5

− 4a + 4a m − 3am2

x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11 + a4 +a

+ 7a 2m − 4am2

−6

− 3a + 3a m − 6am

−6

+ a + a + a − 2a − a 5

4

3

+ 3x 4

− 7x 2 − 3x

+ 5xy 4 + 2y 5

2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3

26.

a 5 + a6 + a2

− 4x + 5

+ a 4 + a3 + 6 + 3a 2 +a

20. a + a + a2 + 5

+ 6 − 5a

+a +a +4

6

4

3

− b4

a4

27.

+ 4a + 7 a 2

− 8 + 5a

− 4a 2

5

3

− a 3b + a 2b 2 − ab 3

− 8 a2 − 6

− 3a + 5a 3b − 4a 2b 2 4

−1

− 4a 3b + 3a 2b 2 − 2a 4

− x 2y2 − 5x 3 y

− 4xy − y 5 4

x5

−a

4 21. x

− y5

+ 3x y

2

x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2

a 3 + 5a

+ 3x y

2 3

3 2

+6

3

− xy 4

+ 2x y

+ x −9

5 19. x

2

− x 3y 2 4

+ a 3 − a 2 − 14 6

2

5 25. x

+8

3

2

3

+6

− 3a

5

− 5am2 + m3

3 3

+ 7x 2 − 4x + 6

6 18. + a

− 8a 2m + 6am2 − m3

24.

− x2 + x

4 17. x

+ 6xy 3 − 4x y

− ab 3 − 4b 4

m3 − n3 + 6m2n

28.

− 4 xy 3 + y 4

+ n3 − 4m2n + 5mn2 −6

2 2

− 3b 4

x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6

m − n3

+ 6mn2

3

− 2m + n − 2m n 3

3

2

11mn2 2 22. + x + xy

+ 5a

− x 2 + 6xy + 5y 2

x −1

+ ax −1

− 7 x 2 + 7 xy − y 2

a + 6a x

a 3 − 8ax 2 + x 3 3

a + 14ax − x 3

5a 3

2

− 13a x − 3 − 3a

+ ax − 4

−a

x+3

+ 4a

x

3

− 2x 3

x−2

+ ax + 2 − 3a

2

− x 3 − 5a 2 x

3a 3

x −1

30. − a x + a x + 1

− 6ax − x + 5a x 2

+ 6a x − 3 + 7a x − 3 + a x − 4

− 6x 2 − 4xy + y 2

23.

− 3a x − 2

x 29. a

− x 2 + 4 xy − 7y 2

−a

x −1

+a

x+3

− 5a x + 2 +a

x −1

−a

− 2a x + a x + 1 + a x + 3 ⇒a

x+3

− 3a

x+2

x−2

+a

x−2

+ ax + 2 − 3a x + 2

x +1

− 2a

x

EJERCICIO 18 1.

1 xy 3 1 xy + 2

5 2 x − 6 1 − x2 + 6 1 − x2 + 3

6.

1 2 x + 2

1 + y2 4

1 2 2+3 1 1 5 1 x + xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 2 6 4 2 6 4 1 2 2. a + ab 2 1 − ab 4 1 − ab 4

1 2 b 2 1 − b2 5

2 xy 3 1 − xy 6 5 − xy 6

+

8.

+ y2

2 xy + 5 1 + xy + 10 −

1 2 y 2 1 2 y 6 1 2 y 3

2 2 a 3 5 2 a 6 1 2 − a 12

1 ab 5 1 − ab 10 1 + ab 20 +

+

b3

−

2b 3

+

−

3 3 b 5

−

−

− x2 + 5 2 3 x − 3 5 3 x − + 6

+ −

3 4 x 5

2 3 m 3

− +

1 mn2 + 4 1 mn2 − 8

2 3 n 5 3 3 n 5

−

n3

m3

1 2 b 2 1 2 b 6 1 2 b 3

− 3 + 1− 2 2 8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1 a + ab + b 12 20 6 17 2 3 4 17 2 3 2 = a + ab − b2 = a + ab − b2 12 20 6 12 20 3

5 2 a b 6 1 2 a b 2

3 x 8 3 x 4

5−3 4 2 4+5 3 −3−6 x − x + 2+ x + x 5 6 8 2 9 9 2 3 9 = x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2 5 6 8 5 2 8 9.

− 3 + 1+ 2 2 3 2 3 3 2 − 4 +1 x + xy + y = x − xy 4 10 6 4 10

5.

x4

−

4 − 1− 5 3+2 2 xy + y 6 3 2 5 1 5 = x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2 6 3 3 3

−

+

−3 +

2 + y2 3

3 2 x 4

−

4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2 a + ab + b + a b 4 8 5 6 5 7 8 2 5 1 7 8 = a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3 4 8 5 6 4 3 8 5

x2 +

4.

1 2 ab 2 3 2 − ab 8

−

1 3 a 4

2 − 1− 1 5−2 2 3 2 a + ab + b = a2 + b 4 10 10 2

2 3. x

3 xy 4 1 xy 2 5 xy 6

+

5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10 x + y + xy 6 24 12 2 7 2 13 1 13 7 2 = x2 − y + xy ⇒ x 2 + xy − y 6 24 12 3 12 24 7. a 3

+

2 2 y 3 1 2 y 8 1 2 y 4

1 2 m n 6 1 2 − m n 2

+

2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2 m + mn + n + m n 3 8 5 6 5 1 6 2 5 1 1 6 = m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3 3 8 5 6 3 3 8 5 4 10. x

−

5 4 x 6

+

2x 2 y 2 + −

3 2 2 x y 8 1 2 2 x y 4

+

2 4 y 7 1 4 − y 14 1 4 + y 7

−

1 3 xy 6 −

5 3 x y 6

6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3 x + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 17 2 2 5 4 1 3 5 3 = x4 + x y + y − xy − x y 6 8 14 6 6 1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4 ⇒ x − x y+ x y − xy + y 6 6 8 6 14

2 3 x 3

5 11. x −

+

− 3x 5 1 3 x 6 1 3 x 12

+ − − 2x 5 +

4 x 5 1 − x 10

13. a 6 − +

3 2 x 8 1 2 − x 4

−

−

2 4 x 3

3 − a2x 7 2 1 − a3 + a2x 3 2

5 2 ax 6 7 2 − ax 8 1 2 − ax 4

5 2 a 8

+6

−7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3 a + a + a − a + a 7 8 5 8 8 10 3 3 3 7 = a6 − a4 + a2 + a5 − a3 − a 7 8 5 8 8 3 10 4 3 3 3 2 7 ⇒ a6 + a5 − a − a + a − a 5 7 8 8 8 a6 +

7 3 13 1 2 x + x + x2 − x4 − 4 12 10 8 3 2 7 3 1 2 13 ⇒ − 2x 5 − x 4 − x + x + x −4 3 12 8 10

+

−

−4

− 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6 3−2 2 2 4 x + x+ x − x −4 12 10 8 3

2 3 a 9

3 4 a 7

3 5 3 3 1 a − a − a 5 8 2

3 − a −6 8

= − 2x 5 −

12.

a2 +

3 x 5

+

+

a4

1 3 x 3 1 3 − x 9 −

14.

−

x5

1 3 2 3 4 x y − xy − 10 4

+

− 2 3 2 x y 5

−

−

y5 1 5 y 6 1 5 y 9 1 5 y 3

+

3 4 5 x y − x2y3 5 6

+

2x 4 y

1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4 5 x y − xy + y + x y − x2y3 10 4 18 5 6 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5 x y − xy − y + x y − x2 y 3 = x5 − 10 4 18 5 6 13 4 3 3 2 5 2 3 3 4 29 5 x y− x y − x y − xy − y ⇒ x5 + 5 10 6 4 18 x5 +

2−6 3 −6+7 2 20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3 a + a x+ ax + x 9 14 24 9 4 1 2 7 4 = − a3 + a x− ax 2 − x 3 9 14 24 9

EJERCICIO 19 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5 1.

3.

4x − 5y − 3x + 6y − 8

2x 4 − 4x

− x+ y

= − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8 = − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8 = − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811

x 2 − 5x + 8 − 6x 2 + 5x − 50 − 6x 2 + 10x − 72 ⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72 = − 150 + 50 − 72 = − 172

+ 7x 3y + 10xy 3

⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8

⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0

− x 2 + 10x − 30

− 5x 2 y 2 − 8

4

− x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3

2y − 8

2.

x4 − y4

4.

3m − 5n + 6 − 6m − 20n + 8 12m − 20n − 12 9m − 45n + 2 2 1 18 45 ⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 = − + 2 = 6 − 9 + 2 = −1 3 5 3 5

5.

nx + cn − ab 8nx − 2cn − ab

10.

− ab − 5

nx

− 6 + x 4 − x 2y2

5x 3 y

10nx − cn − 3ab − 5 1 1 ⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 5 5 50 10 = − − 6 ⋅3 − 5 5 5 = 10 − 2 − 18 − 5 = − 15 6.

x 3 y − xy 3 + 5 − 6xy + 2 + 3xy 3 + 1

− y4

6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4

− y4

⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2 4

3

3

4

= 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2 = 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2 = 625 + 3.000 − 1280 − 256 + 2 = 2.091 .

+ b3

a3

+ x2 y2

3

− 3a b + 8ab − b 3 2

2

− 5a 3

− 6ab 2 + 3a b

− 4a

+8 − 2b

2

11.

3

2

⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8 = − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8 = − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42 3

2

3

+

3 2 − 2 +1 6 + 1− 3 2 a − ab + b 4 6 9 3 1 4 = a 2 − ab + b 2 4 6 9 3 1 4 ⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32 4 6 9 3 1 4 = ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6 4 6 9

+ 125n 3

3 7. 27m

− 9m n + 25mn 2

2

− 14mn 2

−8

+ 10m n + 11mn 2 2

27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8 3

2

2

3

2  1  2  2 1  1 ⇒ 27 ⋅   +   ⋅ + 22 ⋅ ⋅   + 125 ⋅   − 8  3  3 5  5 3  5 8 4 1 44 1 1 = 27 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 125 ⋅ −8 27 9 5 3 25 125 4 44 4 44 =8+ + + 1− 8= + +1 45 75 45 75 20 + 132 + 225 377 = = = 1 152 225 225 225 a −1 + y b − 2 + mx − 4 8. x

2x

− 2y

b−2

x −4

− 2m

+ 3y

b−2

− 2m x − 4

3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4  2 ⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3   3 9.

n

b −1

− m

x −3

+8

− 5nb −1 − 3m x − 3 + 10 4nb −1 + 5m x − 3 − 18 mx − 3  2 ⇒   3

5−3

4  2 =  =  3 9 2

5−4

= 15 + 8 − 2 = 21

2 2 b 3 1 1 ab + b 2 3 9 1 1 ab − b 2 6 3 +

−

+ 2ab − 2b3 + 8

3

a −1

3 2 a 4

12.

9 2 m 17 7 2 m 34 7 2 m − 34

+ +

25 2 n 34 5 2 n 17

− + − +

1 4 1 2 1 4 3

− 15mn − 30mn

18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12 − 45mn m + n + 34 34 4 18 2 35 2 12 = − 45mn m + n + 34 34 4 9 2 35 2 ⇒ m − 45mn + n +3 17 34 2 2 9  2 2 1 35  1 =   − 45⋅ ⋅ +   +3 17  3  3 5 34  5 9 4 90 35 1 ⋅ − + ⋅ +3 17 9 15 34 25 4 35 4 7 = − 6+ + 3= + −3 17 170 17 850 40 + 7 − 510 463 = =− = − 2 123 170 170 170 =

13.

1 2 b m 2 3 2 b m 4 1 2 − b m 4 1 − b 2m 8

− − + +

3 cn 5 1 cn 10 1 cn 25 2cn

−

2

+

14.

+ 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3

6

+

4

+

3 5

0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b − 0,4a 3 0,2a

− 0,8a 2b

+6

+ 15 , a 2b + 0,9b3

3

ab 2

− 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6

⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6 2

4 + 6 − 2 −1 2 − 30 − 5 + 2 + 100 − 10 + 30 + 20 + 3 b m+ cn + 8 50 5 7 2 67 43 7 2 2 67 1 43 ⇒ b m+ cn + = ⋅3 ⋅ + ⋅10 ⋅ + 8 50 5 8 3 50 5 5 7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43 = + + = + + = + + 24 50 5 24 250 5 4 25 5 525 + 268 + 860 1. 653 53 = = = 16 100 100 100

2

= − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6 = − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6 = − 12 , + 18 + 2,7 + 6 = 25,5

EJERCICIO 20 21. − 8xa + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11 1. − 8 − 5 = − 13

22.

2. − 7 − 4 = − 11 3. 8 − 11 = − 3 4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3

( )

5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8 6. 2a − 3b = 2a − 3b 7. 3b − 2 = 3b − 2

(− 60a ) = − 45a + 60a = 15a − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m

23.− 45a x −1 − 24.

54bn −1

25. − 35ma

 1

8. 4x − 6b = 4x − 6b 9. − 5a − 6b = − 5a − 6b

( )

10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3 11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2

)

27. −

n −1

a

a

x −1

n −1

a

a

1 10 + 1 11 1 = =52 2 2

2 3 −8−9 17 − = =− 3 4 12 12

29.

4 3  5 3  24 + 25 3 49 3 x y −  − x y = x y= x y  6  5 30 30

1 2  3 2  − 1+ 6 2 5 2 ab −  − ab  = ab = ab  4  8 8 8

15.

− 6 x 2 y − (− x 2 y) = − 6x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y

30. −

16.

11a 3m2 − (− 7a 3m2 ) = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2

31. − 2 − 3 = − 5

17.

− 8ab 2 − (− 8ab 2 ) = − 8ab 2 + 8ab 2 = 0

18.

31x 2 y − (− 46 x 2 y) = 31x 2 y + 46 x 2 y = 77 x 2 y

19.

− 84a 2b − (− 84a 2b) = − 84a 2b + 84a 2b = 0

( ) 33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3 34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9 35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0 36. 2a − (− 5) = 2a + 5 32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8

x −1

n −1

1 2  2 2 1 2 2 2 3 2 2 x −− x  = x + x = x = x  3  3 3 3 3

14. 11m2 − 25 m2 = − 14m2

20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2

n −1

x −1

28.

12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz 13. 3a − 4a = − a

x −1

26. 5 −  −  = 5 + = 2 2

2

(

6a n − (− 5a n ) = 6a n + 5a n = 11a n

EJERCICIO 21

37. −3x − b = − 3x − b 38. − 2n − 5m = − 2n − 5m

(

40.

8b − (− 5a ) = 5a + 8b 3

(

)

42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25

( ) 44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b 54 x 3 − (− 11x 3 ) = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3 − 54a 2 y − (− 43a 2 y ) = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y

48. − ab − 9ab = − 10ab

− 31x y − (− 31x y) = − 31x y + 31x y = 0 2

2

2

50. − 3a − a = − 4a x

51.

x

x 2 + 2x − 6

3 2 5. a − a b − 7a 2b − 9ab 2

53. − 31a

x

− 18a

54. − 236ma −

x −1

a 3 − 8a 2b − 9ab 2

7. x + y − z x+ y − z

0

x 2 + y 2 − 3xy

8.

− 3x 2 + y 2 + 4xy

2 x + 2 y − 2z

9.

− 2x 2 + 2y 2 + xy

x3 − x2 + 6 − 5x − 6 + 4 x

x

= − 49a

2

x − 6x 2

x −1

(− 19m ) = − 236m a

a

2 + 6y 3 −8 10. y 2 4 − 6y 3y − 2y

4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8

+ 4x

3

⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8

+ 19ma = − 217ma 11. a 3 − 6ab 2 + 9a

+ 8a − 15a 2b − 5

1 1 56. − (− 6a ) = + 6a 4 4 − 2 + 15 13 2 = 57. − − ( − 5) = 3 3 3

a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5 ⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5 12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4

7 3 3 3 58. − m − m 10 8 − 56 − 30 3 86 3 43 3 m =− m =− m = 80 80 40

5 2 2  11 2 2  a b −− ab   12  6 10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2 = ab = ab = ab 12 12 4 1 3 2 a b − 45a 3b 2 9 − 1− 405 3 2 − 406 3 2 ab = a b = − 45 91 a 3b2 = 9 9

60. −

−x+y−z

⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2

55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2

59.

x−y+z

6.

x

52. 105m − 9m = 96m x −1

3x − 5y

11a + b − 4

2

311a x +1 − (− 7a x +1 ) = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1 x

2b

2 4. x − 3x 5x − 6

46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b

49.

x − 2y

3. 8a + b 3a −4

43. 3a − − a = 3a + a = 4a

47.

2. 2x − 3y

3

41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9

45.

a +b −a +b

1.

)

39. 3b − − 6a = 6a + 3b

− 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2 ⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4 13. a + b + c − d a + b−c+d

14.

2a + 2b 15.

x 3 + 6x 2 − 9x − 19 − 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43 − 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24

ab + 2ac − 3cd − 5de − 8ab + 4ac + 5cd − 5de − 7 ab + 6ac + 2cd − 10de

5 3 2 16. y − 9y + 6y

− 31

− 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31

17.

5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2 − 5m3

+ 21m2n − 14mn2 + 18 − 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18

18.

4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2 25x 3 y + 51xy 3

− 32 x 2 y 2 + x 4

29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4 6 4 2 2 4 19. m + m n − 9m n + 19 + 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5

m6 + m4n2 + 21m2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80 − a 5b

20.

+ 11a b

6

8a

+ 6 a 3b 3 4

− 18 ab 5 + 11a b

2

2

+ 42 − 9b

4

6

8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42 2 4 3 5 21. 1 − x + x − x + 3x − 6x

24 + 30x 2 − 8x 4

− 15x

+ x6

25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25

22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18 + 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4 − 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98 − 8m4n2

6 23. m

+ 21m2n4 − 6mn5 − 14m n

5

23m n

+ 8

+ 24mn5 − 8n6 + 14

3 3

m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21m2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22 7 5 2 24. x − 8x + 16x − 23x − 15

− 51x

+ 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3

x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3

25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6 + 15a b 4

9a

6

6

5

3

3

5

+ 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14 2

ax + ax +1 − ax + 2

26.

+ 14

− 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab

2

− 5a x + 6a x + 1 + a x + 2 − 4a x + 7a x + 1

4

a a −1 + 3ma − 2 27. m − m

− 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3

4ma

5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3 m+4 − 7am + 2 − 8a m + 6am − 1 28. a + 14a m + 2 + 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1

a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1 a+2 − 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2 29. x

− 19x a − 45x a − 1 x

a+2

− 26x − 36x a

a −1

+ 11x a + 1 − 60x a − 3 + 25x

a−2

+ 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3

n+1 n−2 + 8mn − 3 − 19mn − 5 30. m − 6m

− 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4 mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5

EJERCICIO 22 b− a 1.

7. − a + 2b − 3c − a + b − 2c

b− a 2b − 2a ⇒ − 2a + 2b

− 2a + 3b − 5c

2. 2x + 3y −x+y

8. − 3n + 4m + 5p + n − m −p

x + 4y

− 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p

3. − 7a + 5 5a −b

9. x + 3y − 6z x−y +z

− 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5

2x + 2y − 5z

4. − x 2 + 6 −x

10. − 5b 2 + 8ab + a 2 + 5x

2

6b 2 − ab − 3a 2

− 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6 2

2

b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2

5. x 2 y + 5xy 2 + xy

2

− 5m2 − n2 + 6mn −x

3

11.

x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2

6.

7a 2b + 5ab 2 − 6a 2 b 2

− 6m2

+ 9mn

12. − 8x 2 + 5x − 4 + 8a 3

+ x − 6 + x3

a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab 2

− m2 + n2 + 3mn

3

3

2

2

− 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10

13.

23. y 6 + y 3 + y 2 + 9

14m2 − 8n + 16 − 14m

− 9 −m

2

− 23y 3

3

− 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7

y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y ⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14

14. 8ab + 5bc + 6cd − ab + bc − 6cd

8 6 4 2 24. x − x + 3x − 5x − 9 − 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x

7 ab + 6bc

x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x

3 2 3 15. a − 9a b − b

⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45

− 25a 2b + b 3 + 8ab 2 a 3 − 34a 2b

+ 8ab 2

16. 6x − 8x y − 6xy 3

2

25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60 + 60x 4 y 3 + x 2 y 5

2

− xy 2 + 6y 3 − 4

+ 5a x + 1

−d

27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3

− 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1

− 7an

− 15an + 16an − 4 + 10an − 2

19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15

⇒ − 15a − 8a n

− 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x

+ 10a

+ 9x a + 2

20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18 5

n −1

n−2

− 8an − 1 + 16an − 4

28. 15x a + 3 + 5x a + 2 − 6x a + 41x a − 1

⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22

− 25y

− a x + 2 + 6a x

⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5

5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4

− 6xy

2 5

a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x

− 40ab 3 + 6b 4

− 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4

4

4 3

x+3 − 8a x + 1 − 5 26. a

− 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14 18. 5a 4 + 9a 3b

5 2

⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60

m2 − 9n + 11c + 14 − m2 − 7n + 8c

− y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6

x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6 7

6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4

17.

+ 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y

+ 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4

15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4 −x +x y 5

2 3

⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1

− 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3 ⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18

m −1 − 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 29. 9a

5am − 1 − 12am − 2

x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x

21.

− 25x 3

+ am + 8am − 4

14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4

+ 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5

⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5

− 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5 ⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37 − 26a 3b 2

5 22. a

+ 8ab 4 − b 5 + 6

− 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4

+8

a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14 5

4

3 2

2 3

4

5

− 15mx + 3

30. m m

x+4

x+4

+ 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2 + 23m

− 15m

x+3

x+2

+ 23m

x+2

+ 6mx + 1 + 56m

x +1

+ mx − 1 − 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2 x

EJERCICIO 23

2 11. x − 1

− xy − y 2

1

1.

x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1

− a +1 −a+2

+6

3 12. a

2. 0 − a+8

− 5a 2b + 8ab 2 − b 3 a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6

− a+8

+ y3

3 13. x

+ 5 x y − 17 xy 2

−9

3.

+5

2

x + 5 x y − 17 xy + y + 5 3

− 3a − a + 5 2

− 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4 2

2

2

3

2

− 9 x y + 8x y + 15 xy 3

+ 16

4.

2 2

3

x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1

− 5xy + x − 16

4

2

− 5xy + x 2

−1

4 14. x

⇒ x 2 − 5xy

+ b5

5 15. a

+ 11a b − 2a b − 8a b + 4ab 4

5. 1

3 2

4

a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5 5

− a 3 + a 2b − ab 2 1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1 3

2

2

3

2

⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5

2

+ x2

4 16. x

6. x 3

− 5x

x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2

+ 50 + 25x

3

x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50

2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2

6 17. y + y − 41

3 7. a

− 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2

+ 8a 2b − 6ab 2 + b 3

y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2

a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3

⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41 + y4

8.

6 18. a

5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4 m4

+ 15a b

+ a 2b 4 − 17a b

30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30

+ 14ab 5 + b 6

4 3 19. x + x − 11x

− 5 x + x 2 + 34 x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34 −1

3 20. m

10. 16 14 − b + a − c − d

3 3

a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6

− 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 − 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4

+ 9a 4b 2 5

5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3

9.

2 3

− m2n − 7mn2 + 3n3 m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1

EJERCICIO 24 1.

1 2 a 2 1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5

5 3 6. 6 m + +

2 +1 2 1 2 a + ab − b 2 4 3 5 3 2 1 2 2 = a + ab − b 4 3 5

4 2 5 − xy − yz + 5 3 9

7.

4 2 135 + 5 xy − yz + 5 3 9 4 2 140 = − xy − yz + 5 3 9 4 2 = − xy − yz + 15 59 5 3 −

3 bc 3. 5 1 − bc 6

3 2 ab + cd 4 9

18 − 5 3 2 bc + ab + cd 30 4 9 3 13 2 ⇒ ab + bc + cd 4 30 9

1 2 a − b 4. 2 3 4 2 1 − a − b + 5 9 2 5−8 6+2 1 a− b+ 10 9 2 3 8 1 =− a− b+ 10 9 2

5 2 5. 9 x − −

3 2 y 8 1 2 5 3 y − xy + 10 7 11

5 2 30 + 8 2 5 3 x − y − xy + 9 80 7 11 5 38 2 5 3 = x2 − y − xy + 9 80 7 11 5 5 19 2 3 ⇒ x 2 − xy − y + 9 7 40 11

1 2 3 m n − mn2 2 8

3 2 a + 7 5 2 − a − 14

1 3 ab − b2 3 5 1 1 + ab 2 8

6−5 2 2−3 a + ab 14 6 1 2 1 3 1 a − ab − b 2 + 14 6 5 8

8.

+

+

5 3 10 + 9 3 1 2 3 m + n + m n − mn2 6 45 2 8 5 3 1 2 3 19 3 2 ⇒ m + m n − mn + n 6 2 8 45

15

2.

2 3 n 9 1 3 n 5

3 2 x 8 3 2 x 5

5 xy 6 3 + xy 10

+

−

1 2 y 10

−

2y 2

15 + 24 2 50 + 18 1+ 20 2 x + xy − y 40 60 10 39 2 68 21 2 39 2 17 21 2 = x + xy − y = x + xy − y 40 60 10 40 15 10

3 2 9. a + a

+

−

+

a

7 2 9 a − a − 8 10

5 6 7 8

8 + 7 2 10 + 9 20 − 21 a − a+ 8 10 24 15 2 19 1 3 =a + a − a− 8 10 24

a3 +

7 3 2 10 . m + 12 mn 5 − mn2 9

−

4 3 n 7

− n3

+

5 2 1 m n+ 21 8

21− 20 4+7 3 5 2 1 mn2 − n + m n+ 36 7 21 8 5 1 11 1 ⇒ m3 + m2n + mn2 − n3 + 21 36 7 8

m3 +

3 4 3 x + x3y 5 4

11.

− x4

5 3 xy 7 1 + xy 3 3 −

−

5 2 2 x y 8

2 4 y 3 5 4 − y 6 +

12.

3−5 4 3 3 5 15 − 7 3 4 − 5 4 x + x y − x2y 2 − xy + y 5 4 8 21 6 2 3 5 8 3 1 4 = − x 4 + x3y − x2y 2 − xy − y 5 4 8 21 6

1 3 7 8 − a+ b c + d 2 5 8 9 7 1 1 7 + b − c + d − 20 8 9 8 1 12 + 7 7 +1 8 +1 7 a+ b− c+ d− 2 20 8 9 8 1 19 8 9 7 b− c+ d − = a+ 2 20 8 9 8 1 19 7 = a+ b− c+ d − 2 20 8

EJERCICIO 25 1.

3 2 a 8 5 − a2 6

−

6. 5 2 a b+ 8

5 a 6

+

9 − 20 2 5 11 2 5 a − a=− a − a 24 6 24 6 2.

8a 1 − a 2

+ +

−

5 3 a 6

5 2 2 + 7 2 1+ 18 5 3 − a a b+ ab − 8 8 3 6 5 2 9 2 19 5 3 = a b + ab − − a 8 8 3 6 5 5 9 19 ⇒ − a 3 + a 2b + ab2 − 6 8 8 3

−5

6b 3 b 5

1 2 1 ab − 4 3 7 2 ab − 6 8

16 − 1 30 + 3 15 33 a+ b−5 = a+ b−5 2 5 2 5 7.

2 2 3. x + x y − 6 3 7 2 − x y 9 3

x3 +

4.

a

+ b

2 3 20 − 49 2 2 3 + 2 m n+ mn + mn3 − 6 11 56 9 2 29 2 2 5 = m4 + m3n − m n + mn3 − 6 11 56 9

− c −

2 c 3

2 −1 4+3 3+2 1 7 5 a+ b− c= a+ b− c 2 4 3 2 4 3

5.

2 5 m + n 3 6 −m − n

1 mn3 − 6 3 2 + mn3 9 +

m4 +

6−7 2 1 x y − 6 = x3 − x2y − 6 9 9

1 3 − a + b 2 4

2 3 5 2 2 mn + mn 11 14 7 2 2 − m4 mn 8

1 p 2 + p +

2−3 5−6 1+ 2 1 1 3 m+ n+ p= − m− n+ p 3 6 2 3 6 2

8.

− 1 5 x 2

7 4 1 3 2 2 2 3 1 4 x y + x y + x y + xy 8 14 3 3 3 3 2 1 x y − + xy 4 7 8

− 7 −

2 9

1 5 7 4 1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2 x − x y+ x y + x y + xy − 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65 x − x y− x y + x y + xy − = 2 8 14 3 24 9 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 x − x y− x y + x y + xy − 7 29 = 2 8 14 3 24

7 5 x y+ 9

2 4 2 1 2 6 x y − x 3y 3 − x 2 y 4 + xy 5 + y 3 8 13 7 4 2 1 2 4 + − x y x y − xy 5 + y6 9 11

9. − x6 − x6 +

10.

7 5 6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4 xy+ x y − x y − x y 9 9 8 11

1 3 7 2 x − x y 3 9 2 3 1 2 x + x y 3 6

5 2 xy 8 3 − xy 2 4 +

−

7 3 y − 11

+

2 + 13 6 7 13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6 y = − x6 + x5 y + x y − x y − x y + y 13 9 9 8 11 13

2 5

− 6

1+ 2 3 14 − 3 2 5 − 6 2 7 3 2 + 30 11 2 1 7 32 x − x y+ xy − y − = x3 − x y − xy 2 − y 3 − 3 18 8 11 5 18 8 11 5

11.

3 4 2 3 2 4 5 6 mn − mn + n 10 7 9 2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 m + mn − mn − n 13 20 14 3

+

3 5

2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3 m + mn − mn + n + = m + mn − mn + n + 13 20 14 9 5 13 20 14 9 5 3 5 7 4 12. 8 c + 22 c d 5 4 + c d 11

7 3 2 1 2 3 1 5 − c d + c d d 12 2 3 5 3 2 3 3 5 + − cd 4 − c d d 6 4 13 +

− 35

3 5 7 + 10 4 7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5 c + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39 3 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5 = c5 + c d+ c d + c d − cd − d − 35 8 22 12 2 4 39

EJERCICIO 26 Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores: a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5 2 1. a − ab

3 3 2. a + b

+ 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2

− 3ab − b 2 a 2 − 4ab − b 2 = 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11

a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3 3

= 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8 = 1+ 10 − 24 + 24 = 11

1 a 2

3.

−a

2

−

2 2 4. 3m − 5n

− m2 − 10n 2 − 8mn

9. a

2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2 2

− a b + 5a b

2

9 24 12 45 − 48 − 24 27 − − == =− 2 5 5 10 10 − 18x 2 y 2

+ 15y 4 3

16x y

a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5 5

= 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25 = 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21

− 16ab + 10mn − 8mx 3 3 2 = − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4 2 2 5 = − 32 + 6 − 48 = − 74

x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4 = 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5 = 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625 = 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926 4

3

2

2

3

4

3 11. a

3 2 3 6. a − 7am + m 2 + 5am + 5m3 − 8a 2 m

− 11a 2b + 9ab 2 − b 3 a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3

a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3 2

= 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23 = 1− 22 + 36 − 8 = 7

3

3 24 9 27  3  3 = 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1  + 6   = 1 − − 2⋅ + 6⋅  2  2 2 2 4 8 9 81 4 − 48 − 18 + 81 19 = 1 − 12 − + = = 2 4 4 4

12. 7.

3 3

10. − ab + 10mn − 8mx − 15ab

+ 6xy − 9y 4

3

− 3a 2b 4 + b 5

5 4 2

3 2 9 48 4  3  2 = 2   − 8 ⋅ ⋅ − 15   = 2 ⋅ − − 3⋅  2  5 2 5 4 10 5

4 5. x

1

1 2 1 2 1 3 mn + mn + n + m3 6 4 2 4+1 2 3+ 1 2 5 m n+ mn + m3 = m3 + m2 n + mn2 6 4 6 3 2 2 3 5 3 2 3 2 27 5 18 3 4       =  +   ⋅ +   = + ⋅ + ⋅  2 6  2 5 2  5 8 6 20 2 25 27 3 12 675 + 150 + 48 873 = + + = = 8 4 50 200 200

1− 2 1 5 1 1 5 a − b+ c=− a− b + c 2 2 3 2 2 3 1 1 5 1 ⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5 2 2 3 2 −1− 2 + 10 7 1 = = =3 2 2 2

=

3

m2 n + mn 2 − n 3 8. 3 4 2

1 5 b+ c 2 3

2 2 7 1 a + ab − b2 3 8 5 1 1 2 − a 2 − ab + b 6 10 4 −1 2 7 − 8 2 −1 2 1 2 1 1 a + ab − b = a − ab − b 2 6 8 10 2 8 10 1 1 1 2 1 2 4 ⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 − ⋅2 = − − 2 8 10 2 8 10 1 1 2 10 − 5 − 8 3 = − − = =− 2 4 5 20 20

1 4 x 64 −

2 2 5 3 x − x+ 3 6 8

1 4 2 2 5 3 x − x − x+ 64 3 6 8 1 4 2 2 5 3 = ⋅4 − ⋅4 − ⋅4 + 64 3 6 8 32 20 3 96 − 256 − 80 + 9 = 4− − + = 3 6 8 24 231 77 5 =− =− = −9 8 24 8

+

x3

13.

3 2 x y− 16

3 3 x 4

−

2 2 xy 5 3 2 1 3 + xy + y 5 25

14.

4−3 3 3 2 2−3 2 1 3 x + x y− xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 2 1 3 ⇒ x3 + x y+ xy + y 4 16 5 25 1 3 2 1 1 3 = ⋅ 43 + ⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 + ⋅5 4 16 5 25 1 15 4 125 = ⋅ 64 + ⋅16 + ⋅ 25 + 4 16 5 25 = 16 + 15 + 20 + 5 = 56

2 x −1 x 5 a + a − ax − 3 + ax − 2 5 6 − ax −1 + 9a x − 3 − a x − 2 2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3 a +a − a 5 6 3 49 x − 3 ⇒ ax − ax −1 + a 5 6 3 49 4 − 3 = 14 − ⋅14 − 1 + ⋅1 5 6 3 49 + 30 − 18 + 245 257 =1 − + = = = 8 17 30 5 6 30 30

EJERCICIO 27 + ab + b 2

1.

− 5b 2

− a 2 − ab + 4b 2

a 2 + ab − 4b 2

− ab + 4b 2

a2

2.

a2

7. − m + n − p 2m − 2n + 2p m− n + p

1 − 14

14

− 13

+ y3

− 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2

2a 3 + 5a 2 − 2a + 2

− a 3 − 5a 2 + 2a − 3

5 x 3 − 9x 2 − 11x − 7x 4

− 7x y

10.

x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3 x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3

+ 4n3

5.

− 7a

8a − ab + b + 5

+ ab − 5

3

2

12. − 11n4

3

+ 14n2 − 25n + 8 19n3 − 6n2 + 9n − 4

− 7a − 9b + 3c

−a

− 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4

5a a +b−c

− 2a + b − c

a

−a

2a + b − c

+ b3

a3 7a − ab

2

6a

a −b +c

12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5

− 7a − 35a b + 8ab + 6 2

8a + 9b − 3c a

6.

5m4 − 4n3

−1

x4

11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4

35a 2b − 7ab 2 − 11 3

− 4n3

+4

− 6x

3

− 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4

11. 5m4

−1

a3

− 8a + 6

− x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3 2

− 6a 2

− 24 x 2 − 5ax − 3a 2

5a 2 + 6a − 4 2a 3

3 2 3 4. − 3m n + 4mn − n 3 2 3m n − 4mn + 5n3

− 25 x 2

6a 2 + 25x 2

+ 4xy 2 + 5x 2 y

x 2 − 5ax + 3a 2

− 9ax + 7a 2 + 25 x 2

9. 3 3. − x

0

9ax − a 2

8.

a+8 −a+6

m−n+p −m+n−p

− 7n3

n5

+ 4n

11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4 4

n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4

3

+5

2

2

3

− 6a 3m

13.

+ 5am3

7a − 5a m − 11a m 4

3

2

20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4

−6 − 6m

2

+ 8x y + 31y 2 2

3

2

2

3

− 8a 2m2

a4

− x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4

4

x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4

7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6 4

x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4 4

0

4

5 4 21. − 6n + n

+ m4

+ n2 + 7n3 − n2 − 8n − 6

− 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6

− 6n5 + n4 + 7n3

− 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6

− 8n − 6

− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6 − 4x 4 y

14.

− 6x

n

+ 13x 2 y 3 − 9xy 4 + 8x y

5

+ xy

3 2

4

− 2y

− 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y 5

4

3 2

2 3

− 30x 3 y 2

x5

4

+ 40xy 4 + y 5

+ 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5 a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5

− 5a b

− 2a + b

8x + 6y + 4 2

23.

x − 7 xy + 34y

2

2

x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16

18. 4a + 8ab − 5b a 2 − 7ab + 6b 2

5a + ab + b a2

+ 2b 2

25.

− y3

19. x 3

− 14x y + 5xy 2

x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3

7a 2 − 11ab + b 2

x − 14x y + 5xy − y 3x 3

3

2

+4

2b 2 − 8

2b 2 − 4

3a − 4b + 5c − 7a + 8b − 11 − a + 2b − 7c

− 5a + 6b − 2c − 11 − a + b + 2c

− 5a + 6b − 2c − 11

− 6a + 7b

5a 3 + 14a 2 − 19a + 8

26.

+ 9a − 1 − a4

3

− 19y 3

2

2b 2 − 8

− 7a 2 + 11ab + b 2 − 8

a5 2

4

2

3

3

m − 3m − 5m + 6m − 1

2

2

− 4a 2 − ab + b 2

5a 2 + ab + b 2

24.

−5

m4

− 3m − 5m + 6m + 4

x 2 − 7 xy + 34y 2

2

− 3m3 − 5m2 + 6m + 4

+ 8m + 4

3

2

9y 2 − 16

2

4m3 − 5m2 − 2m − 7m3

− 7 xy + 40y 2

2

− b5

2 3

a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5

8 x + 6y + 6

− 6y

− 5ab 4 − b 5 + 7a b

4

8x + 6y + 4 17. x

− 3a 3b2 + 6ab 4

a 5 + 22a 4b + 7a 3b2

6y − 5

2

3

4

2a

+9

4

5 22. a

b

16. 8x

5

5

7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5

2a

− 19

n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25 6

5

6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5

15. a + b a−b

+ 3n4 + 8n3

6

a −a 5

4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3

+ 3a 2

−1

+ 5a + 17a − 10a + 6

4

3

2

− a 4 + 3a 3

−5

a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1 5

4

3

2

− 11

+ 10m2n2

4 27. m

+ 15n4

2 2

3

m − 11m n − 4m n 4

3

3x y + 21x y + 18x y − y 5 4

− 3mn + 16n

2 2

3

4

3

− x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3

5m + 11m n + 11m n + 11mn − 17n 4

3

2 2

3

+ 4a 3b 2

5 28. a

− 7a b

4

29x 4 y − 47x 3 y 2

+ 8ab 4 − b5

+ 15a b − 25ab + 3b

4

2 3

2 3

x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5

− m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4 4

3 2

x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3

+ 7m2n2 + 8mn3 − n4

6m4

+ y5

5 29. x

− 11m n − 14m n − 3mn + n4 3

4

− 2xy 4 + y 5

x x −1 30. 3a + 6a a x − 7a x − 1 + a x − 2

5

− a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4

4a x − a x − 1 + a x − 2

a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5 8a x + 2 − 7a x + 1 − a x 3a

− 6a b − 21ab

5

2 3

−6

4

− a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b 5

4

3 2

2 3

4

2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab 5

4

3 2

2 3

4

− 4a

5

x

+ 12 a x − 1 + ax −1 − ax − 2

8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2

− 2b − 6 5

EJERCICIO 28 +5 2x − 6

2 1. x

x−4 −x+6

x 2 + 2x − 1 −2

2

x + 2x − 3

x + 2x − 1 2

2. 3a − 5b + c a − b − 3c

7a + b

4a − 6b − 2c

a

2

4a − 6b − 2c

− 8b − 3c

− 7a + 7b + 3c

7a − 7b − 3c

− 3a + b + c

6x − x + 8

− 3x + 8 x + 5

6x + 2x 2 − 8x + 3

a +1

2

a

−1

a3 a3 + a2

a −2 a4 + a

5. ab + bc + ac

− 7bc + 8ac − 9

ab − 6bc + 9ac − 9

a +a 3

− a4

4ab

+ 9ac

+ x2

4 7. x

−x

2

x

−a

− 5x + 4 x 2

2x − x − 4 x + x + 2

ab − 6bc + 9ac − 9 − 4ab − 9ac − 3ab − 6bc

−3 − 3x + 5

3

4 4

− a4 + a3 + a2 − a

5ab − 3bc + 4ac − ab + 3bc + 5ac

a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3

10a 2 x − 14ax 2

+8

3

+2

4

3

− a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3

3x 2 − 8x − 5

2

6x 3 − x 2

− 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3 a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3

2

a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3

− 3x 2 − x + 1

4.

9x + 4

2

+ 3ax

3

a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3

3 +1 3. x 5x 3 − x 2 + 7 3

− 3x 3

a2 x

6.

−9

3

2

− 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4 x

−3

4

x − 7 x + 8 x − 3x + 1 4

3

2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2 − x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1 x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1

2

− n4

4 8. m

17m n − 4m n − 7mn3 3

− m4

2 2

− m4

+ 6m2n2

+6

− 80n4

− m2n2 + mn3 − 4

17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4

− m4 − m2n2 + mn3 + 2

+ a3

9.

a −a 5

+ 8

− a 4 − 4a 3 + a 2 16a 3 − 8a 2 − 7a − 15

a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27

− a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15

− y2 − 11xy + 9y − 14

19x − 8xy + 9y 2

3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14

a −1

20x 2 − 11xy + 8y 2 − 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14

2

+ 14

17 x 2

a 2 − ab + b 2

12.

a −4

3a 2 − 8ab + 7b 2

− 3a + 8

− 5a + 11ab − 17b

a 2 − 2a + 1

− a 2 + 2ab − 9b2

0

− 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42

a5

20x 2 − 11xy + 8y 2

−3

a2

− a +1

2

− a 2 + 9ab + 3b 2 − 8ab − 7b

− a 2 + ab − 4b2

2

a 2 − 2ab + 9b 2

− a 2 + ab − 4b 2

− ab + 5b 2

2

−1

4 13. m

− m3 + 8m2 − 6m + 5

− 16

m5

− m − 7m + 1

− 16m + 7m − 3

m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5

m5 − 16m4 + 7m2 − 19

2

14. x

m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2

+ a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15

x 2 − 3xy − y 2

2

11.

−2

a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27

− 5a 2 − 11a + 26

2 10. 3x

+ m2n2 − mn3

m4

+ a − 7

− 6a 2

4

17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4

4

m5 − 16m4

+ 7m2

− 19

− m + m − 7m2 + 13m − 5

2

4

3

m5 − 17m4 + m3

+ 13m − 24

− y5

5

− 2x y + 5x y − 7 x y 4

3 2

− 3y 5

2 3

− 7x y

+ 6 xy

3 2

7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4 −8

4

− xy

x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8 5

15. − a

4

3 2

2 3

4

+ 7a 4

6

− 3a

4

− 5a

3

− 2a + 8

− 3a 4

+ 5a − 4a + 1 2

5a

− a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13

− 20a x

5

7x 4 y − x 3 y 2

+ 10xy 4

−1

− x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7 5

4

+ 21a x − 19ax

3 2

2 3

− 7a + 41a − 50a + 8

a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13 6

a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a

+ 18a 3 x 2

− 4x 5 − 8

− 9a x − 17a x + 11a x 4

− 7ax 4 + x 5 − 80 2 3

5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13

2

4

a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71 3 2

+ 7a 2 − 8a + 5 3

+ 9 2 3

+ 9a 3 x 2 4

4

5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13

− 7a 3 x 2 4

5

3 2

+4

− 6a 4 − 11a 3

5 16. a

−1

7 x y − x y + 10xy − 1

5

− 8a + 11a 3 − a 2

5

− x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8

4

4

5

3 2

2 3

+ 36

a5 a − 9a x + a x 5

a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3

4

3 2

+ 11a x − 4 x

− 4 x 5 + 28

− a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71 5

11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99

2 3

5

+ 28

EJERCICIO 29 7

1 b 1. a + 2 2 3 − a + b 3 4

a 5. 12

3 a 4 1 − a 3

3−2 2+3 a+ b 3 4 1 5 = a+ b 3 4

−

−

5 b 4

9−4 a− 12 5 = a− 12

5 b 4 5 b 4

3 a−6 8

1 3 3 2 a + a 2 5 5 3 3 2 3 a − a − a+6 6 5 8

5 3 3 − a3 + a2 + a − 6 6 5 8

3+5 3 3 − a+6 a 6 8 4 3 = a3 − a + 6 3 8

5 3 − a3 + a2 6 5

3.

a −

+

3b

2 2 a − b 5 3

+6

5−2 9 −2 a+ b+6 5 3 7 3 = a+ b+6 5 3

1 3 4. x − 3

3 a+ 5 1 − a+ 5

1 3 6 −1 2 2 1+ 30 x − x − x+ 3 14 9 5 1 3 5 2 2 31 = x − x − x+ 3 14 9 5 5 3 x 6 1 3 5 2 2 31 − x + x + x− 3 14 9 5 −

5+2 3 5 2 2 31 x + x + x− 6 14 9 5 7 3 5 2 2 =− x + x + x − 6 51 6 14 9 −

7 b +6 3 1 b 6

3 −1 14 + 1 a+ b+6 5 6 2 5 = a+ b+6 5 2

3 2 1 + x 7 5 1 2 2 x − x+6 14 9

3 3 2 2 a + a −6 7 5

7+9 4 3 3 2 2 a − a + a − 12 7 5 4 4 3 3 2 2 = a − a + a − 3 7 5

7 4 3 3 2 2 a − a + a −6 12 7 5

6. − 2.

7 4 3 2 −6 a − a3 + a2 12 7 5 3 4 1 1 − a+ a 4 5 3

4

1 x+ 2 −

2 1 y− z 3 4 1 2 y− z +3 9 5

5 2 y − 9 5 1 5 13 x− y+ z− 3 2 9 20

1 6 −1 5+8 x+ y− z+3 2 9 20 1 5 13 z+3 =− x+ y− 2 9 20

1 13 2 + 15 x z− + 2 20 5 1 13 17 z− = x+ 2 20 5

−

−

7.

3 2 3 a b + ab2 2 4 1 2 5 a b − ab 2 8 6

1 18 − 1 a− 5 3 1 17 a− 5 3

− b3 +

2 3 b 3

12 − 1 2 9 − 10 2 3 − 2 3 a b+ ab − b 8 12 3 11 1 1 ab 2 − b 3 = − a 2b − 8 12 3 −

1 3 a 2

1 3 b 3 11 2 1 1 a b+ ab 2 + b 3 8 12 3 −

1 3 11 2 1 a + a b+ ab 2 2 8 12

8. 1 a − 2 b 2 9 1 b 3

−

3 c 5

1 2−3 3 a− b− c 2 9 5 1 1 3 = a+ b − c 2 9 5

2 1 b + c 3 5 5 1 − b − c 9 10

1 1 3 a+ b − c 2 9 5 1 1 − b− c 9 10

6−5 2 −1 1 6 +1 − b+ c a c 9 10 2 10 1 1 1 7 = b+ = a− c c 9 10 2 10

1 3 1 2 9. 3 a + 8 a 3 − a2 5

1 5 3 1 − a− 4 10

1 2 a 4 1 3 29 2 a − a 3 40

+

1 3 5 − 24 2 3 2 −1 a + a − a+ 3 40 4 10 1 3 19 2 3 1 = a − a − a+ 3 40 4 10

3 2 5 10. x − xy 5 6 3 − xy 2

2 2 y 9 1 − y2 3

2 2 x 9 17 2 x 45

1 4

3 2 10 + 18 2−3 2 1 x − xy + y + 5 12 9 4 3 2 28 1 2 1 xy − y + = x − 5 12 9 4 3 2 7 1 2 1 = x − xy − y + 5 3 9 4

2

11. 7 a

3

1 3 b 5 3 3 1 3 − a 2b + ab 2 + b 4 8 10 −

2 3 3 2 3 2 −1 3 a − a b + ab 2 − b 7 4 8 10 2 3 3 2 3 2 1 3 = a − a b + ab − b 7 4 8 10

12.

2 4 3 m + m3n 7 5 1 4 7 3 m − mn 14 20

− +

2 1 a+ 3 4 1 − 8

1 3 a − 3 1 − a3 + 3

1 3 10 − 29 2 2 2 −1 a + a − a+ 3 40 3 8 1 3 19 2 2 1 = a − a − a+ 3 40 3 8

+

+

−

1 xy 9 22 − xy 9

2 2 y 3 3 2 − y 2

+

1 2 2 mn 3 2 2 2 mn 5 1 2 2 mn 4

−

1 mn3 − 4 + −

+ −

1 8 1 10

8−9 10 − 8 a+ 12 80 1 2 1 1 = = a+ a+ 12 80 12 40

− −

1 2

10 + 17 2 1− 22 4+9 2 1 x + xy − y − 45 9 6 2 27 2 21 13 2 1 x − xy − y − = 45 9 6 2 3 2 7 13 2 1 = x − xy − y − 5 3 6 2

2−5 2 2 +1 2 3 3 2 + 5 a b+ ab − b − 4 8 2 10 3 2 3 2 3 3 7 = − a b + ab − b − 4 8 2 10

2 a 3 3 a 4

−

−

1 2 1 2 1 − a b + ab 2 4 5 5 1 2 3 1 − a 2b + ab − b 3 − 4 8 2 2

19 2 a − 40 19 2 a + 40

3 2 7 13 2 x + xy + y 5 3 6 3 2 7 1 x − xy − y 2 5 3 9

1 2 1 + 4 +

39 − 2 2 2 + 1 y + 18 4 =

37 2 3 y + 4 18

3 2 3 3 a b + ab 2 − b 3 4 8 2 2 3 3 1 3 − a 3 + a 2b − ab 2 + b 7 4 8 10 −

−

7 10

2 3 15 − 1 3 7 − a b − 7 10 10 2 3 14 3 7 2 3 7 3 7 =− a − =− a − b − b − 7 10 10 7 5 10 −

n4 5 4 n 3 2 4 n 3

4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1 3−5+2 4 m + m n+ m n − mn3 − n 14 20 60 4 3 5 4 5 3 11 2 2 1 0 = m + m n+ m n − mn3 − n4 14 20 60 4 3 5 4 1 3 11 2 2 1 3 = m + m n+ m n − mn 14 4 60 4

5 4 2 − n4 m 14 5 5 4 1 3 11 2 2 1 3 − m − m n− m n + mn 14 4 60 4 −

1 3 11 2 2 1 2 m n− m n + mn3 − n4 4 60 4 5

13.

1 1 x+ y 2 3 3 y − 4

1 z 6 2 z 5

1 m 4 1 − m 2

+

5 +

1 3 n+ 3 8

−

1 4+9 5 − 12 1− 2 1 3 x+ y− z+ m + n+ 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 3 = x+ y+ z− m + n+ 2 12 30 4 3 8

5 4 a + 6

14.

1 3 a 2 −

−

3 4 a − 8

3 3 a 4 1 3 a 6

+

+

2 2 a − 3 1 2 a 6

1 13 7 1 1 40 − 3 x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 37 =− x− y− z+ m − n + 2 12 30 4 3 8

39 a 40

+

3 8

−

3 a 5 3 a 8

−

1 13 7 1 1 x− y− z+ m − n − 2 12 30 4 3

+

5

−

2 3 3 11

+

11 4 a 24 − a4

20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39 165 − 22 + 9 a + a − a − a+ 24 12 6 40 33 11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 = = a − a − a − a+ a − a − a + 24 12 6 40 33 24 12 2 33

1 3 1 2 a − a + 12 2 1 3 + − a 12

152 33 3 8

−

. − 99 11− 24 4 1 1216 − a2 + a 24 2 264 . 13 4 1 2 1117 =− a − a + 24 2 264

EJERCICIO 30 1.

x3 − x2

+5

4.

− x + x + 3x − 5 − 6 3

2

3x

−6

5.

− 5x 2 − 4 x + 8

− 8a 2b + 5ab2 − 4b 3

4x 3

Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b

−4

Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8

− a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3 2

−8

3

− 9x + 6

Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2

2

1 1 x− y−4 2 3 1 1 − x+ y 2 3

4

6. 4x 3 + 5x 2 − 5x − 2

2

8.

− m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8

− b3

3

3

− 3mn3 + 6n4 4m2n2

− 11

Rta. 5a + 8ab − b3 − 11

2

m4

+ b3

4a 3 + 8ab 2

Rta. x − 4 x − x + 13 3

8x + 9 Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9 a3

− a3

x− 5

2

2. − 5a + 9b − 6c 5a − 9b + 6c + 8x + 9

3.

3 2 3 7. 5a + 8ab − b − 11

+8

− x 3 + 4 x 2 + x − 13

Rta. − x + x + 3x − 11 3

x 3 − 4x 2

Rta.

1 1 x− y−4 2 3

9.

5x 2 − 7 xy − 8y 2

n3

10.

− 9m + 8m n − 5mn + n

− 5x + 7 xy + 8y + 1 2

3

2

2

11.

Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1

2

2

3

2

2

− a + 5a − 8 − a 3 + 5a − 8 Rta. 0

3

10m − 8m n + 5mn − 2n

2

0 3

3

− 9m + 8m n − 5mn + 2n 3

1 2

2

3

m3 Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3

EJERCICIO 31 6. a + (a − b) + (− a + b)

1. x − ( x − y)

= x− x+ y

= a+ a−b− a+b

=y

= 2a − a = a

(

)

2 2 2. x + − 3x − x + 5

11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z)

= x+ y+ x− y+ z− x− y+ z = x − y + 2z

= a − b + 2a − a + b

= − 3x + 5

= 3a − a = 2a

2

2

2

2

3. a + b − (− 2a + 3)

= a + b + 2a − 3

12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b)

7. a 2 + − b2 + 2a 2 − a 2 − b 2

= x − 3x − x + 5 2

2

2

2

= a − b − a − a + b + a − 2b = − 2b

2

2

(

8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3}

= 2a + x − a + 1 − a − x + 3

= 3a + b − 3

) [

(

= 4m + 2m + n

= x + y − x − 2 xy − y − x + y

= 6m + n

= − x − 2 xy + y

2

2

2

5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y)

= 2 x + 3y − 4 x − 3 y = − 2x

2

2

2

2

2

]

[

]{

} (

2 2 2 2 2 14. 8x + − 2 xy + y − − x + xy − 3 y − x − 3xy

= 8x − 2 xy + y + x − xy + 3y − x + 3xy 2

2

2

2

2

= 8x 2 + 4 y 2

2

10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6

15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b)

= − 5m + 6 − m + 5 − 6 = − 6m + 5

= − a − b − a − b + b − a + 3a + b =0

EJERCICIO 32

[

]

2. 3x − x + y − (2 x + y)

= 2a + a − a − b

= 3x − x + y − 2 x − y

1. 2a + a − (a + b)

[

= 2a + a − a − b = 2a − b

]

]

2

= − 3x 2 + 3xy + 2 y 2

2 2 2 2 2 2 9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y 2

) [

(

= − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy 2

= 1+ 3= 4

4. 4m − (− 2m − n)

)

13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy

[

[

= 3x − x − y + 2 x + y = 4x

]

]

[

]

3. 2m − (m − n) − (m + n)

[

= 2m − m − n − m − n = 2m − m + n + m + n = 2m + 2n

]

)

[(

) (

) (

2 2 2 2 2 4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y

[

= 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y 2

2

2

2

2

]

[

[

]

= a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b = 3a − 7b

= 6 x 2 + 3xy − 4 y 2

{[

{(− 2a + b) − (− a + b − c) + a}

(

) (

2 2 2 12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m

{[

= 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2

= a − 2a + b + a − b + c + a =a+c

= 7m − {− m 2

] [

] [

]

]

= 7 m2 + 2 n − 5

= 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1

{[

= − 5n + 2

{[

= 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a

(

= 6a − b − { 4a − b + a − b + a}

)]

7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y}

[

]

= 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y )

[

= 2 x + − 5x + 2 y + x − y

]

=b

( [

[

(

8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y

{

2

{

])

}

14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y)

= − 2x + y

{

]}

= 6a − b − 4a + b − a + b − a

= 2 x − 5x + 2 y + x − y

2

]}

13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a )

= 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1

[

2

= 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3

6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1)

[

2

)] }− (2n + 3)

]} − 2n − 3 − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3

= a + {− 2a + b + a − b + c + a}

[

]

11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b) = a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b

= 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2

5. a +

)]

2

[

2

= x 2 − − 7 xy + − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 = x 2 − {− 7 xy − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 }

( [

]) = 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] ) = 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y

)] } ]}

= 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y) = 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y = 5x − 5y + 6

= x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2

[

= 2 x 2 + 4 xy + 3y 2

[

{

}

9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a

[

]

= − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b}

[

= − a − b + − a + b + 2a − b + a − b

]

= − a − b − a + b + 2a − b + a − b = a − 2b

}

]

[

= 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c

[

]

]} = − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] } [

= − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y} = − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y

]

= 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c = 6a + 7c

))} − (n + 6)] = − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6] = − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6] = − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6] (

{

]

= 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c

)

[ {

(

(

16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5

10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y )

= − 3x + y

{

15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c

= − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6 = − 6m + 2n + 1

{[

)] = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b} = 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b} (

[ {(

) [ ( ) ( )] = − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}] = − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}] = − [x − x − 2 y + z ]

23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y

}

17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b)

= 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b}

= − x + x + 2y − z = 2y − z

= 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b = − a − 5b − 6

[

)] { = − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y} (

}

18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y)

[

]

= − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y = 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1 =−4

[

] {[

][

] [

]}

19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c)

[ ] { [ ]} = − a + a + {b − c + c} = − [a] − − a + b − c − − c

) [ ( ) ] }] = − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }] = − [− a + {− a − c − a − b}] = − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c (

) (

EJERCICIO 33

(

)

2. x − 3xy − y + 6 2

=b

2

= x 2 + (− 3xy − y 2 + 6)

{[

]} { [ ]} = − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b

20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b)

= − {a + b} − {b + a} − a − b

3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1

= x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1)

4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3

= − a− b− b− a − a− b

= a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 )

= − 3a − 3b

}] ]} { [ ]} [ { = − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}]

{[

21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b)

[

]

= − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b = − a + b + 2c

[ {

[ {

24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b

1. a − b + c − d = a + −b+ c− d

= b− c+ c

= − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b

))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}] = − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}] = − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ] = − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3]

( (

22. − 3m + − m − n − m + 4

= − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3 = − 2m + 4n − 7

}]

4 3 2 5. x − x + 2 x − 2 x + 1

= x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)

6. 2 a + b − c + d = 2a − − b + c − d

(

)

3 2 7. x + x + 3x − 4

= x 3 − (− x 2 − 3x + 4)

8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3

= x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 )

2 2 2 9. a − x − 2 xy − y

= a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )

2 2 2 10. a + b − 2bc − c

= a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )

EJERCICIO 34 1. x + 2 y + ( x − y )

[

6. − 2a + (− 3a + b)

[

2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n)

[

[(

2

= x2

[

2

2

[

2

]

(

[

]

2

2

)

]

8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2

)

4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3

[

) (

2

= − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 )

) ] − {3xy − [( x − xy) + y ] }

3. x − 3xy + x − xy + y 2

(

7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y

]

= 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n) 2

]

= − 2a − (− 3a + b)

]

= x − − 2 y − (x − y)

= − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2

{

]

= x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3)

{

[ ( )] } = 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }]

5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a

9.

}

[m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3) = − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)} 4

2

4

2

EJERCICIO 35 17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1 1. 2 ⋅ − 3 = − 6

18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x

2. − 4 ⋅− 8 = 32

19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x

3. − 15 ⋅16 = − 240 4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2 5. 2x 2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3 6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3

20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1

EJERCICIO 36

7. − 5x3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3

1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1

8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x

2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2

9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p

3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1

10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y

4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2

11. − x2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4

5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4

12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d

6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5

13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3

7. 4x a + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5

14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y

8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc

15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6

9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2

16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4

10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c

2

2

2 2

EJERCICIO 37 1.

8. −

3 2 7 2 3 m n ⋅− am 7 14 3 7 2 5 21 2 5 3 2 5 a m n= a m n= amn = − ⋅− 7 14 98 14

9.

2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 x y ⋅− a x y = − a x y = − a2x 6y 4 3 5 15 5

10. −

2. −

3.

4. −

6. −

5 m n 3 a b ⋅− ab 2c 6 10 1 1 1 = − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c 2 2 4 2 x m +1 3 x −1 m a b ⋅− a b 9 5 2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1 b a b = ⋅ a = 3 5 15

1 3 4 4 3 2 4 3 5 5 1 3 5 5 m n ⋅− a m n = amn = amn 8 5 40 10

7 2 3 14 4 1 a bc = − a 4bc 5. − abc ⋅ a = − 8 7 56 4

7.

3 m 2 3 1 3 m+1 3 a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 = a b 4 5 2 5 10

1 2 4 3 1 4 4 5 2 a ⋅ a b = ⋅ a 5b = a b = a 5b 2 5 2 5 10 5

3 3 4 5 3 1 x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9 5 6 6 2

11.

2 x +1 x − 3 2 44 x − 3 2 a b c ⋅− a b 11 7 8 4 = 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2 7 7

12. −

1 3 3 m+1 1 m+1 a ⋅ am = a = a 3 5 15 5

EJERCICIO 38

3 m n 4 12 3m 2n 3 3m 2n a b ⋅ − a 2mbn = − a b =− a b 8 5 40 10

3 3 1 x a m ⋅− 5a 2m ⋅− am 5 10 15 2 + x 3 +1+ a 3 x+2 a+4 a m a m =− =− 50 10

8. −

1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4 2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y 3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4

9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7

4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2

10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x

5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1 6.

7.

1 3 2 2 3 6 2 + 4 3 +1 1 x ⋅− a x ⋅− a 4m = a x m = a 6 x 4m 2 3 5 30 5 2 m 3 2 4 a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1 3 4 18 m + 2 + 4 4 + x + 1 3 a b =− = − a m + 6b x + 5 12 2

= − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x

11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x = − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x

1 2 3 10 3 3 2 x y ⋅− xy 2 ⋅− x ⋅− x y 2 5 3 4 6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4 y = x = x y 8 4

12. −

EJERCICIO 39 1.

2. 8x 2 y − 3y 2

3x 3 − x 2 − 2x − 6x + 2x 4

2ax 3

3

16ax 5 y − 6ax 3 y 2

2 3. x − 4x + 3 − 2x

− 2x 3 + 8 x 2 − 6 x

3 2 4. a − 4a + 6a 3ab

3a 4b − 12a 3b + 18a 2b

2 2 5. a − 2ab + b − ab

13.

− 4x 2

− a 3b + 2a 2b 2 − ab 3

− 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2

5 3 6. x − 6 x − 8x 2 2 3a x

4 3 2 2 14. a − 6a x + 9a x − 8 3 3bx

3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3

3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3

m4 − 3m2n2 + 7n4

7.

n+ 3 − 3a n + 2 − 4a n + 1 − an 15. a − an x 2

− 4m3 x − 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x

− a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2

3 2 2 8. x − 4x y + 6 xy

16.

ax 3 y ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3 a − 5a b − 8ab 3

9.

2

x 3 − 3x 2 + 5x − 6

x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5 − 3a 2 x 3 − 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3

2

3 2 2 3 17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y 2 2 5a xy

− 4 a 4m 2 − 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2

− 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5

m m −1 + am − 2 10. a − a − 2a

18.

x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1 − 2x 2

− 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1

− 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3

= − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1

19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8

m+1 + 3 xm − x m − 1 11. x 2m 3x

− 5a 3 y 2 − 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2

3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1

m n m −1 n + 2 m−2 n+4 + a m − 3b n + 6 20. a b + 3a b − a b

m n m − 1 n +1 m−2 n+ 2 12. a b + a b − a b

4a mb 3

3a 2b

4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9

3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3

EJERCICIO 40 1

1. 2

a−

2 b 3

2 2 a 5 2 1+ 2 4 2 − a a b 10 15 1 3 4 2 = a − a b 5 15

2

3

2. a − b 3 4 −

2 3 a b 3

4 6 3 1+ 1 − a3 + 1b + a b 9 12 4 4 1 3 2 =− a b+ a b 9 2

3.

3 1 2 a− b+ c 5 6 5 5 2 − ac 3 15 1+ 1 2 5 10 2 + 1 a c + abc 2 − ac 15 18 15 5 2 = − a 2c 2 + abc 2 − ac 3 18 3 −

2

4. 5

a2 +

1 2 ab − b 2 3 9

3a 2 x 6 2+2 3 6 a x + a2 + 1bx − a 2b 2 x 5 3 9 6 2 = a 4 x + a3bx − a 2b 2 x 5 3

5.

6.

1 2 1 2 1 2 1 2 a − b + x − y 2 3 4 5 5 − a 2m 8

1 2 2 1 x − xy − y 2 3 5 4 3 3 y 2

5 2+ 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 40 5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2 =− a m+ a b m− a mx + a my 16 24 32 8

3 2 3 6 3 x y − xy 3 + 1 − y 2 + 3 6 10 8 1 3 3 = x 2 y 3 − xy 4 − y 5 2 5 8

8. −

3a − 5b + 6c 3 2 3 − a x 10

9.

9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3 a x + a bx − a cx 10 10 10 9 3 3 3 2 3 9 2 3 =− a x + a bx − a cx 10 2 5 −

7.

2 3 1 2 5 1 m + m n − mn2 − n3 3 2 6 9 3 2 3 mn 4 6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3 m n + m n − m n − mn 12 8 24 36 1 3 5 1 = m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6 2 8 8 12

2 6 1 4 2 3 2 4 1 6 x − x y + x y − y 5 3 5 10 5 − a3x 4 y3 7

2 4 2 2 1 4 x −x y + y 9 3 3 3 4 x y 7 6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4 x y − x y + x y 63 7 21 2 7 4 3 5 6 1 3 8 = x y − x y + x y 21 7 7

10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3 a x y + a x y − a x y + a x y 35 21 35 70 2 5 3 1 3 4 9 = − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 + a x y 7 21 7 14

10. −

EJERCICIO 41 1. a + 3 a −1

3. x + 5 x−4

a 2 + 3a − a−3

x + 5x

a 2 + 2a − 3

x + x − 20

2. a − 3 a +1

a 2 − 3a a−3 a − 2a − 3 2

2

− 4x − 20 2

4. m − 6 m−5

5. − x + 3 −x+5

7. 3x − 2 y

2x + y

6x 2 − 4 xy

x 2 − 3x − 5x + 15

+ 3xy − 2 y 2

x 2 − 8x + 15

6x 2 − xy − 2 y 2

6. − a − 2 −a −3

8.

5x − 4y − 3x + 2y

m2 − 6m − 5m + 30

a 2 + 2a + 3a + 6

+ 10xy − 8y 2

m − 11m + 30

a 2 + 5a + 6

− 15x 2 + 22xy − 8y 2

2

− 15x 2 + 12xy

11. − a + b 8a − 4b

9. 5a − 7b a + 3b

13. − 9m + 8n 6m + 4n

− 8a 2 + 8ab

5a 2 − 7ab + 15ab − 21b

− 54m2 + 48mn

+ 4ab − 4b

2

2

− 36mn + 32n2

− 8a 2 + 12ab − 4b2

5a 2 + 8ab − 21b2

− 54m2 + 12mn + 32n2

12. 6m − 5n m−n

10. 7x − 3 2x + 4

14. − 7y − 3 2y − 11

6m2 − 5mn

14x 2 − 6x

− 14y 2 − 6y

+ 28x − 12

− 6mn + 5n

+ 77y + 33

14x + 22x − 12

6m − 11mn + 5n

− 14y + 71y + 33

2

2

2

2

2

EJERCICIO 42 2 2 1. x + xy + y x−y

3 2 5. a + a − a a −1

a 4 + a3 − a2

x 3 + x 2 y + xy 2 − x y − xy − y 2

2

−a −a

3

3

− y3

x3

a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

+ am3 − am2 + am − 2a

2 2 10. 3a − 5ab + 2b 4a − 5b

12a 3 − 20a 2b + 8ab 2

− m4n2 − m2n4 − n6

− 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3

− n6

12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3

m6

+ a b + 2ab + b 2

11. 5m4 − 3m2n2 + n4 3m − n

2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x

a 3 + 2a 2b + ab 2 2

+ 7x − 3

y2 + 2 +x 2

+3

− 9x 2 + x + 3

+ 6y 3y 5

+ 3mn4 + 3m n

2 3

− n5

15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5

a 4 + a3 + a2

3y 5 − 6y 3 + 5y 2 3

4

2 12. a + a + 1 a2 − a − 1

3 9. 3y − 6y + 5

4. x 3 − 3x 2 + 1 x+3

− 5m n

2

2x 4 − x 3

− 9m3n2

15m5

+ 3x − 6 x + 9x − 3 3

3

a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

− am − 2a

am4

3 2 7. x − 2x + 3x − 1 2x + 3

3. a 2 + 2ab + b 2 a +b

x4

+a

m6 + m4n2 + m2n4

− a 2b + 2ab 2 − b 3

+ 3x − 9x

am4 − am3 + am2 − 2am

4 2 2 4 6. m + m n + n 2 2 m −n

a 3 − 2a 2b + ab 2

3

2

− 2a 2 + a

a4

2. a 2 − 2ab + b 2 a −b

x 4 − 3x 3

3 2 9. m − m + m − 2 am + a

− a3 − a2 − a

− 12y + 10

− a2 − a − 1

+ 5y 2 − 12y + 10 a4

− a 2 − 2a − 1

13. x 3 + 2x 2 − x

19. x 2 − 2xy + y 2

x 2 − 2x + 5

− x 2 + xy + 3y 2

x + 2x − x 5

4

− x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2

3

− 2x − 4 x + 2x 4

3

+ x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3

2

+ 5x + 10x − 5 x 3

+ 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4

2

+ 12x 2 − 5x

x5

− x 4 + 3x 3 y

2 20. n − 2n + 1

14. m3 − 3m2n + 2mn2 m − 2mn − 8n 2

n2 − 1

2

n4 − 2n3 + n2

m5 − 3m4n + 2m3n2

− n2 + 2n − 1

− 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3 − 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4 m − 5m n 5

− 5xy 3 + 3y 4

+ 20m n − 16mn

4

2 3

n4 − 2n3

+ 2n − 1

4

21. a 3 − 3a 2b + 4ab 2

15. x 2 + x + 1

x2 − x − 1

a 2b − 2ab 2 − 10b 3

x4 + x3 + x2

a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3 − 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4

− x3 − x2 − x

− 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5

− x2 − x −1

a 5b − 5a 4b 2

− x 2 − 2x − 1

x4

4 2 16. x − 3x + 2

22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3

x 2 − 2x + 3 x

2x + 3y

− 3x

6

− 2x

+ 2x

4

+ 6x

5

+ 3x x 6 − 2x 5

− 4x

3

− 9x

4

16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3

2

2

+6

4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y

+ m3 + m2 − 4m − 1 m6 + m5 − 4m4

+ m2 − 4m − 1

+ 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20 4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20 4

3 2 3 24. − a + 2ax + 3x

18. a 3 − 5a + 2

2a 2 − 3ax − x 2

a −a+5 2

− 2a 5

− 5a 3 + 2a 2

+ 3a x

2

3

+ 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3 +a x

3 2

− 25a + 10 + 7a 2 − 27a + 10

− 6a 2 x 3 − 9ax 4

4

+ 5a − 2a

4

+ 5a

− 27y 4

2y + 5

m6 + m5 − 4m4 − m3

a5 − a4

− 24 x 2 y 2

16x 4

3 2 23. 2y − 3y + y − 4

m3 + 1

−a

+ 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4

+ 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6

17. m3 + m2 − 4m − 1

a5

+ 22a 2b 4 − 40ab 5

− 2a + 3a x + 5a x 5

4

3 2

− 2ax 4 − 3x 5 − 11ax 4 − 3x 5

2 30. y − 2y + 1 y 4 − 2y 2 + 2

25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3

− x 2 − xy − y 2

y 6 − 2y 5 + y 4

− x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3

− 2y 4 + 4y 3 − 2y 2

− x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4

+ 2y 2 − 4y + 2

− x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5 − x 6 + 2x 5 y

y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3

− 3x 2 y 4 − xy 5

4 2 31. m − 3m + 4

26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3

a − 2a − 7

3m3 − 2m + 1

a 6 − 5a 5 + 2a 4 − 3a 3

3m7 − 9m5

3

− 2m

− 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a a − 5a

+ 6m3 +m

2

2

− 3m

2

5

4

3

+4

2

3 2 32. a + a − a + 1 3 a + a 2 − 2a − 1

4 3 2 27. m + m − m + 3

m − 2m + 3 2

m6 + m5 − m4

a6 + a 5 − a 4

+ 3m2

− 2m5 − 2m4 + 2m3

+a + a

− 6m

+ 3m4 + 3m3 − 3m2 m6 − m5

− 8m

4

3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4 7

+ 31a − 8a + 21

5

+ 12m3

5

− 7a + 35a − 14a + 21 3

6

− 4y + 2

+ 5m3

5

4

+ a3 − a3 + a2

− 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a

+9

− a 3 − a2 + a − 1

− 6m + 9

a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1

33. 8x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3

28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4

3x 2 − 2xy + 4y 2

a 2 − 2ab + b2

24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3

a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab 5

4 2

3 3

2 4

− 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4

5

+ a b + a b − 3a b − ab + b 4 2

3 3

2 4

a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3

5

+ 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5

6

24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5

− 3ab5 + b6

34. 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a − 1

29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4

a 4 − 2a 2 + 2

x 2 + xy − 2y 2 x −x y+ x y 6

5

4 2

− x y

3 3

5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4

+ x y

2 4

− 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2

+ x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5 − 2x y + 2x y 4 2

x6

3 3

− 2x y + 2xy − 2y 2 4

5

6

− 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6

+ 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2 5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2

4 3 2 35. x − x + x − x + 1

40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2

x − 2x + 3x + 6

a 4 − 3a 2 + 4a − 5

x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3

3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4

3

2

− 9a 7

− 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2

+ 12a

+ 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x

3a 9 − 15a 7 + 14a 6

+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10

5

− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10

+ x 2 − 3x + 6

41. a + b − c a−b+c

3 2 36. 3a + 2a − 5a − 4

a + a − 2a + 1 3

− 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a − 15a

+ 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6 x 7 − 3x 6 + 6x 5

+ 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2 6

2

a 2 + ab − ac

3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3

− ab

+ 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2

− b 2 + bc + ac

− 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a + 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4

+ bc − c 2 − b 2 + 2bc − c 2

a2

3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4

42. x + 2y − z x−y+z

37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y

y 4 − 3y 2 − 1

x 2 + 2xy − xz

5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5

− xy

− 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3

+ xz

− 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y x 2 + xy

5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y

4 3 2 2 4 38. m − 2m n + 3m n − 4n

− m7 + 2m6n − 3m5n2

+ 4m3n4

+ 3m n − 6m n + 9m n 5

2

4

3

+ m4n3 − 2m3n4

+ 2xy

+ 20mn6 + 3m2n5

39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6

x − 2x y + 3xy

4

x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6

− 6yz + 10z 2

− 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2

44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2 x +y+z

x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2 + x2y

− 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8

− xy 2 − xyz +x z 2

+ 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10 x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10

− 3y 2 + 5yz + 4 xz

− 4n7

− m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7

3 2

− 2y 2 + 3yz − z2

− 2x 2 + 3xy − 5xz

− 12m2n5

− 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4

5

+ 2yz − z 2

43. 2x − 3y + 5z − x + y + 2z

− m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 6

− 2y 2 + yz

x3

− xyz − xz − 3xyz

+ y 3 − y 2 z + yz 2 + y 2z − yz 2 + z 3

2

+ y3

+ z3

x x −1 x−2 7. a + 3a − 2a

EJERCICIO 43

ax − ax −1 + a

1. a x + 2 − a x +1 + a x a +1 a

x+ 3

−a

x +2

+a

a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2 − a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 + a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4

x +1

+ a x + 2 − a x +1 + a x a

x−2

x+ 3

+a

a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4

x a+4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1 8. m

2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1

− ma − 1 + ma − 2 + m

x +x 2

− m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a

− x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3

+ m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1

− x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2

+ m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2

− x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2

−m

a a a a 3. m + 2 + m +1 − m + m − 1

− 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma + 3m

+ 2m

2a + 2

xa − 1 − xa − 2 − x

ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1

ma + 4 − ma + 3

2a + 3

+ 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2

9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4

m2 − 2m + 3

a+ 2

a−3

+ 3m

a +1

− 3m + 3m a

a −1

a−3

x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5 − x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6

+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1

− x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7 x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4

n+ 2 n +1 n 4. a + 3a − 2a n +1 n a +a

a

2n + 3

+ 3a

2n + 2

− 2a

n n −1 2 n− 2 3 n−3 4 10. a b − a b + 2a b − a b anb2 − an − 2b4

2n + 1

+ a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n

a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6

a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n

− a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8 a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5

5. x a + 2 + 2x a +1 − x a

x a + 3 − 2x a + 1

11. a x + b x

x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3 − 2x x

2a + 5

2a + 3

− 4x

2a + 2

+ 2x

2a + 1

+ 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1

a m + bm am + x + amb x + a xbm + bm + x a

6. a − 2a x

x −1

+ 3a

a

+ 2a

+ 3a

x +1

− 4a x + 6a x − 1

x

− a + 2a x

a

x+2

x −1

− 2a + 8a x

+ a b + a xbm + bm + x m x

12. a x − 1 − bn − 1 a−b

x +1

− 2a

m+ x

x−2

a 2 + 2a − 1 x+2

a x − abn − 1

− 3a

x −1

− x 2a − 7

x−2

− 3a

x−2

− a x − 1b + bn a − ab x

n −1

− a x − 1b + bn

− 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8

13. − 5a 2m + 2 + a 2m + 1 + 3a 2m

6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3 − 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1 + 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2 − 5a 5m − 1 + a 5m − 2

+ 3a 5m − 3

− 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3

a + 2 x −1 a +1 x a x +1 14. x y − 4x y + 3x y

− 2x 2a − 1y x − 2 − 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2

+ 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1

EJERCICIO 44 3. 1.

1 1 a− b 2 3 1 1 a+ b 3 2

2 3 x − 6

2 2 x y 9 3 2 − x y 4

1 2 1 a − ab 6 9 1 1 + ab − b2 4 6

2 y 5 1 5 x+ y 3 6 1 2 x − 3 +

4.

2 xy 15 5 10 2 xy − y 6 30

1 2 4 − 25 10 2 x − xy − y 3 30 30 1 21 1 = x2 + xy − y 2 3 30 3 1 7 1 = x2 + xy − y 2 3 10 3

2 xy 2 12 3 2 3 + xy − y 3 6 8

+

2 3 8 + 27 2 2+6 2 3 3 x − x y+ xy − y 6 36 12 8 1 3 35 2 8 3 3 2 = x − x y+ xy − y 3 36 12 8 1 3 35 2 2 2 3 3 = x − x y + xy − y 3 36 3 8

1 2 4−9 1 a − ab − b 2 6 36 6 1 5 1 = a2 + ab − b2 6 36 6

2. x −

1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2

1 2 2 a − ab + b2 4 3 1 3 a− b 4 2 1 3 a − 16

1 2 2 ab + ab2 4 12 3 2 3 2 − ab + ab 8 2

−

6 3 b 6

1 3 2+3 2 2 + 18 2 a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 20 2 = a − a b+ ab − b3 16 8 12 1 3 5 2 5 = a − a b + ab 2 − b 16 8 3

5.

2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2 3 2 m − mn + 2n2 2 6 4 3 3 m + m n 10 6 2 − m3n 5

6.

3 2 2 m n 4 1 − m2n2 3 4 + m2n2 5

6 5 2 4 4 3 x + x − x 8 4 5 3 3 − x 24

−

1 mn 3 2 2 + mn 3 3

+

−

1

3

2 2 7. − 2 x + 3 ax + 2 a

8.

3 2 2 x − ax + a 2 2 3 −

3 4 3 3 x + ax 4 6 1 + ax 3 2

+ − −

9 2 2 a x 4 1 2 2 a x 3 2 2 2 a x 6

3 − a3x 2 2 + a3x 9

6 4 a 6

3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3 6 x + ax + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 6 19 2 2 23 3 6 = − x 4 + ax 3 + a x − a x + a4 4 6 12 18 6 3 4 19 2 2 23 3 3 4 = − x + ax + a x − a x+a 4 12 18

−

9.

2 x 15 2 + x 4

+

2 3 1 x − x2y + 7 5 1 2 2 x − xy + 4 3

− + −

3 3 x 8 1 3 x 30 1 3 x 20

+ − −

3 2 x 4 1 2 x 40 1 2 x 15

4 5

1 2 xy 2 5 2 y 6 1 3 2 x y 8 2 3 2 + x y 15 10 3 2 + x y 42

+

2 2 3 x y 6 5 2 3 − x y 30 −

+

5 xy 4 12

2 5 21+ 80 4 105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 2 5 101 4 417 3 2 15 2 3 5 = x − x y+ x y − x y + xy 4 28 420 840 30 12 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 = 12 14 420 280 2

1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− 2 10 5 3 5 3 4 x + x 8 6 1 4 + x 40

−

6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30 4 x + x − x − x + x− 8 4 120 24 60 5 3 5 1 4 111 3 16 2 38 4 = x + x − x + x + x− 4 2 120 24 60 5 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 = x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5

2 5 1 4 x − x y 28 20 4 4 − x y 21

+

1 2 x 12 6 2 + x 8

−

2 4 n 2

6 4 15 − 12 3 45 + 20 − 48 2 2 3 + 4 2 m + m n− m n + mn3 − n4 10 30 60 6 2 6 4 3 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn 3 − n 4 10 30 60 6 3 4 1 3 17 2 2 7 = m + m n − m n + mn3 − n4 5 10 60 6

1

3 2 1 2 x + x− 8 4 5 1 3 2x − x + 2 3

1 x 20 1 1 + x − 20 10

+

3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1 1 x + x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 3 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 = x5 + = x + x − x + x + x− x − x + x + x− 8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10

3

1

2

1

3 2 2 3 10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n

2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2 6 5 2 4 m − m n + 12 6 6 4 − m n+ 12 +

4 3 2 m n 15 2 3 2 m n 6 15 3 2 m n 8

− − −

2 2 3 m n 12 4 2 3 m n 15 5 2 3 m n 4

2 mn 4 12 10 + mn 4 10

+

−

5 5 n 8

6 5 4+6 4 32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 12 12 120 60 120 8 1 5 10 4 297 3 2 101 2 3 140 5 5 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 4 mn − n = m − m n + m n − m n + mn 4 − n5 = m − m n+ m n − m n + 2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8

EJERCICIO 45 3 2 2 3 3 2 3 4. m − 5m n + 6mn + n por m − 4mn − n 1− 5 + 6 + 1 1 + 0 − 4 −1

3 2 2 1. x − x + x por x − 1 1− 1+ 1 1+ 0 − 1

1− 5 + 6 + 1 − 4 + 20 − 24 − 4 −1 + 5 − 6 −1

1− 1+ 1 − 1+ 1− 1 1− 1+ 0 + 1− 1

1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1

= x5 − x 4 + x 2 − x

= m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6

4 3 2 3 2 2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8 1− 2 + 0 − 7

5. x 4 − 8x 2 + 3 por x 4 + 6x 2 − 5 1+ 0 − 8 + 0 + 3 1+ 0 + 6 + 0 − 5

1+ 3 − 5 + 0 + 8 − 2 − 6 + 10 + 0 − 16 − 7 − 21+ 35 + 0 − 56

1+ 0 − 8 + 0 + 3 + 6 + 0 − 48 + 0 + 18

1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56

1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15

= x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56

= x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15

3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b 1+ 3 − 2 + 5 − 1 1− 2 + 1 4

3

2 2

3

− 5 + 0 + 40 + 0 − 15

4

por a − 2ab + b 2

2

1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20

1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 = a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b 5

4 2

1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10 − 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40 + 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30 − 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20

1+ 3 − 2 + 5 − 1 − 2 − 6 + 4 − 10 + 2 +1 + 3 − 2 + 5 −1 6

6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10

3 3

2 4

5

6

= a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2

7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10

12 8 4 16 12 8 4 8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3

1− 7 + 9 − 15

1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2 3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10

1− 5 + 9 − 4 + 3 1− 7 + 9

3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6 − 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16 + 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20

− 4 + 28 − 36 + 60 + 3 − 21 + 27 − 45

3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20 = 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20

− 15

− 5 + 35 − 45 + 75 + 9 − 63 + 81 − 135

1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 = m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45

9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2

5 2 4 2 10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7

6+0+0−4+6−2 1+ 0 − 2 + 1− 7

1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 2+0+4

6+0+ 0 −4+ 6 −2 − 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4

2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2 + 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4

+ 6+ 0 +0−4 +6 − 2 − 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14

2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4

6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14

= 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7

= 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14

12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3 3 − 4 + 0 + 0 −1

11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4 6

4

3

4

2

1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4

1+ 0 − 5 + 3

1+ 0 − 3 + 0 + 4

3 − 4 + 0 + 0 −1 − 15 + 20 + 0 + 0 + 5

1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12

+ 9 − 12 + 0 + 0 − 3 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3

+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16

= 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7

1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16

= n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16

13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1 1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6 − 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24 − 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30 + 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6 1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6 x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 m m−1 m− 3 por a 2 − 5 14. a − 3a + 5a

1− 3 + 0 + 5 1+ 0 − 5

1− 3 + 0 + 5 − 5 + 15 + 0 − 25 1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25 = a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3

x+2 x +1 x −1 por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 15. a − 5a − 7a

1− 5 + 0 − 7 7 + 0 + 6 +1

7 − 35 + 0 − 49 + 6 − 30 + 0 − 42 + 1 −5+ 0 −7 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 = 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1

− 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2 1+ 0 − 5 + 0 − 6 6 − 4 + 2 +1

16. x

a+2

2x + 2 − 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1 1− 3 − 1− 5 6−5+3

17. a

6 + 0 − 30 + 0 − 36 − 4 + 0 + 20 + 0 + 24 + 2 + 0 − 10 + 0 − 12

6 − 18 − 6 − 30 − 5 + 15 + 5 + 25 + 3 − 9 − 3 − 15

+ 1+ 0 − 5 + 0 − 6

6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15

6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6

= 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2

= 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4

EJERCICIO 46

(

)(

(

)(

)(

(

)

x2 + 1 x4 + x2

a 3 − 2a 2b + ab2

x +1

4a 2 + 20a

)(

a 2 − 2ab + b 2 a+b

2

4a + 20 a−3

)(

2 2 6. a − b a − 2ab + b a + b

2 2 2 4. x + 1 x − 1 x + 1

)

1. 4 a + 5 a − 3

− 12a − 60

+ x2 + 1

+ a 2b − 2ab2 + b3

4a 2 + 8a − 60

x 4 + 2 x2 + 1

a 3 − a 2b − ab 2 + b 3 a−b

x2 − 1

(

)(

a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3

x 6 + 2 x 4 + x2

)

2. 3a x + 1 x − 1 2

− a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4

− x4 − 2 x 2 − 1

3a 2 x + 3a 2

a 4 − 2a 3b

x6 + x4 − x2 − 1

x−1

+ 2ab3 − b 4

3a 2 x 2 + 3a 2 x − 3a 2 x − 3a 2

(

)(

)(

5. m m − 4 m − 6 3m + 2

− 3a 2

3a 2 x 2

)

m − 4m 2

(

)(

)(

3. 2 a − 3 a − 1 a + 4

)

m 3 − 4 m2 − 6m2 + 24m

a −1 2a 2 − 6a − 2a + 6 2a 2 − 8a + 6 a+4 2a 3 − 8a 2 + 6a + 8a − 32a + 24 2

2a

3

m − 10m + 24m 3

− 26a + 24

(

2

3m + 2 3m4 − 30m3 + 72m2 + 2m3 − 20m2 + 48m 3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m

)(

)(

)

7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1

3x − 6 x + 3x x−1 3

m− 6

2a − 6

)

2

3x 4 − 6 x 3 + 3x 2 − 3 x 3 + 6 x 2 − 3x 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x x+1 3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2 + 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x 3x 5 − 6 x 4

+ 6 x 2 − 3x

(

)(

)(

2 2 8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2

11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1)

)

x2 − x + 1

x−3 x+ 4

x−5 x+1

x2 + x − 1

x 2 − 3x

x 2 − 5x

x4 − x3 + x2 + x3 − x2 + x

x

+ x −5 x2 − 4 x − 5

x2 − 4x − 5

− x2 + x − 1

x 4 + x 3 − 12 x 2

− x2 + 2x − 1

x4 x− 2

+ 4 x − 12 x 2 + x − 12

− 4 x 3 − 4 x 2 + 48x − 5x 2 − 5x + 60

− x + 2x − x

5

3

− 2x

x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60

2

+ 2x − 4x + 2

4

2

2 2 2 12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3) 2 x + 2x + 1 x2 − 3

x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2 5

4

3

x2 + 3

x−1

x + 2x + x 4

m m −1 m −1 9. (a − 3)(a + 2)(a − 1) m a −3

2

x

+ 3x 2 + 6 x + 3

+a

− 3a

m −1

x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3 −6

2a + a m

2 m −1

− 3a

m −1

− x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2

−6

− 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x

a m −1 − 1 2a

− a a

+ 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9 +a

3m − 2

− 3a

2m−2

2 m −1

2 m −1

− 6a

m −1

+ 3a +a

3m − 2

− 3a

2m−2

− 3a

x +x −x 7

m −1

m −1

− 2a + 6

6

− x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9

5

m

− 2a m + 6

⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6

2 13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1) 27a 3 − 18a 2 2a − 1 2a + 1 a−1

54a 4 − 36a 3

(

)(

)(

)

10. a a − 1 a − 2 a − 3

a2 − a

2a 2 − a

+ 27a − 18a 3

54a − 9a − 18a 4

3

2

− 2a + 1

2

2a − 3a + 1 2

2a 2 − 3a + 1

a−2

108a 6 − 18a 5 − 36a 4

a3 − a2

− 162a 5 + 27a 4 + 54a 3

− 2a + 2a

+ 54a 4 − 9a 3 − 18a 2

a − 3a + 2a

108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2

2

3

+3

x 3 − x 2 − 3x + 3

x 3 − x 2 − 3x + 3 2 m −1

m

2 m −1

− 3x

3

− x2

x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3

a m −1 + 2 2a

3

2

a−3 a 4 − 3a 3 + 2a 2 − 3a 3 + 9a 2 − 6a a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a

6

5

(

x x +1 x +2 14. a a + b

a a

2 x +1

+a b x

)(a

x +1

− b x + 2 )b x

x+2

b − b2 x + 2

x +1 x

a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2 − a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4 a 3 x + 2b x

− a xb 3 x + 4

EJERCICIO 47

(

1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2 )

) (

)

2

= 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2

) (

= 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2

)

2 2 2 2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2

= 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2

= 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10 2

(

2

= 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2

= 4 x + 12 + 5x + 10 = 9 x + 22

(

)

11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2

2

2

= 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2

= 8x + 31 2

12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n) 2

3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a )

= m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2

= 10a + ax 2

4. x 2 ( y 2 + 1) + y 2 ( x 2 + 1) − 3x 2 y 2

= 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2 = − 2m2 − 10mn + 16n 2

= x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2 = − x2 y2 + x2 + y2

(

2

2

2

2

2

= ax + x 2

)

(

)

(

= − y 3 + 3y 2

(

) ( )( ) = 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x 2

= − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4

2

2

2

2

a−b+ c a−b+ c

a 2 + ab − ac

a 2 − ab + ac

+ ab

+ b 2 − bc − ac

8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4)

2

a+b− c a+ b− c

= − x 2 − 6x + 6

− ab

− bc + c 2

= a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4) = a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12

+ b 2 − bc + ac

a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c 2

= a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20

2

2

− bc + c 2

a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 2

a+b+ c a+b+ c a 2 + ab + ac

= − 2a 2 + 5a + 7

+ ab

9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b)

= 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 ) = 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2 = − 14a 2 + 5ab + 5b 2

) ( ) = (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c) = a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c ) 2

2

2

2

14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c)

7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x

2

) + a + 2 x ) − (a − x)(a − x ) − a − 2 x − (a − ax − ax + x )

= − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2 2

10. a + c − a − c

) (

= 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2

)

= y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2

(

) ( )( + 3ax + 3x − (ax + 2 x

= 4ax + x + 3x − ax − 2 x

2 2 3 3 2 2 2 2 2 6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1

2

(

2

= 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2

(

)

13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x

5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n ) = 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2 2

2

= (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n)

= a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2

3

2

2

= a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2 = 4ac

2

+ b 2 + bc + ac

+ bc + c 2

a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2 2

2

a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2 a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2 − a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2 a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc

(

) (

) (

2

)

2

2 2 2 15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3

x + x− 3

x + x−2

x + x− 3

x2 + x − 2

2

2

2

2

x 4 + x 3 − 3x 2

x4 + x3 − 2x2

+ x 3 + x 2 − 3x

(

) (

x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4

x2 − x − 3 x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9

x 4 − x 3 − 3x 2 − x 3 + x 2 + 3x

− x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4

− 3x 2 + 3x + 9

x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9

x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9

x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14

[

][

]

2 17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x

+ xy

[ ][ ] = [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x

+ xz

+ yz + z 2

x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z

− x2

+ y2

3x + 3xy

+ 3y 2

2

− y2

x2

2

3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2 ⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz

[

[ ][ = [− x + 2][x + 8]

= 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4

2

)][ ( ) ( )] = [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n] = [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n] = [− 2mn − 2n ][− m + 5n] ) (

)(

19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n 2

2

2

= − x 2 − 6 x + 16 20.

[ [

]

]

][xy − y ] 2

= − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4

[ [

]

= − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3

]

]

= − − 4x − 6y − 3 = 4x + 6y + 3

{

)] } − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] } − {− 3x + 5 + x − 2 x + x } − {− 4 x + 5 + x }

[

(

4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x

]

2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2)

[

][

2

= − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4

[

= x − 3a + 2 x − 2 = 3 x − 3a − 2

[

2

]

3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1)

1. x − 3a + 2 (− x + 1)

[

2

3

EJERCICIO 48

= x − 3a − 2 x + 2

][

2

= − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2

= 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3 = 2m n − 8mn − 10n

2

= x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y

2

2

2

[

2

2

[(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)]

= x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2

2

2

]

]

= − x 2 − 8 x + 2 x + 16

= 5x − 5x + 3

)(

][

18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2)

2

[

− xy − y 2

2

= 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2

2

+ y 2 + yz

2

= x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2

2

x 2 + xy

x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2

x2 − x − 3

[(

)

x+ y x− y

x 2 + xy + xz

− 2x2 − 2x + 4

x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9

) (

x+ y+ z x+ y+ z

+ x3 + x2 − 2x

− 3 x 2 − 3x + 9

)(

2

2 2 16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y

]

= − a − b − 3 2a − ab + 2b

= − a − b − 6a + 3ab − 6b = − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b

= 4x2 = 4x2 = 4x2

= 4x2 + 4x − 5− x2 = 3x 2 + 4 x − 5

2

2

2

]

{

[{(

) }] = m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}] = − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}] = − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}] = − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}]

10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m

)) ] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] } = 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] } = 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] } = 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8}

[

(

(

5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a

[

[

]

= − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5

= 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8 = − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8

= − 2m − 3n − 6m + 4n − 5 = − 8m + n − 5

]

6. a − ( x + y ) − 3( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y)

[ ]

= a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y

[

]

{ [

] } − {− [− (x + y)] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] } = − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y}

11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y)

= a − 4x + 2y + 2 x + 4y = a − 4x + 2 y + 2x + 8y = a − 2 x + 10 y

{

[

= − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y

]}

7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1)

{

[

]}

= − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y

= m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1

{

[

]}

= 36 x + 29 y

= − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1 = − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1} = − n − 3 { − 5m + 2n − 1}

{

[

] }

12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a

= − n + 15m − 6n + 3

{

{ {

[ [

] }

= 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a

= − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3

]} = − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] } = − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] } [

8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b)

] } = 5 {− 2 a − b + 18a − 9b} = 5{16a − 10b} = 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a

= 80a − 50b

= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2} = − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2}

{[

] } − 4 {− [− (− a − b)] } = − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] }

13. − 3 − + (− a + b)

= − 5a − 4b − 12a + 16b + 8 = − 17a + 12b + 8

[

}] = − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x = − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}]

= − 3{a − b} − 4 {− a − b}

{

9. − 5( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x

[ = − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4]

]

= − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4 = − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4 = − x − 8y + 4

= − 3a + 3b + 4a + 4b = a + 7b

{

]} [ ]} = − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] } = − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6}

{[

14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a )

= − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9} = − {− a + 9b − 3} = a − 9b + 3

EJERCICIO 49

8 9 4 4 12. − a b c ÷ 8c = −

1 8 9 4 −4 1 a b c = − a 8b9 8 8

6 4 3 13. 16m n ÷ − 5n = −

16 6 4 − 3 16 mn = − m6n 5 5

1. − 24 ÷ 8 = − 3 2. − 63 ÷ − 7 = 9 3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a 4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2 5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c 6. − a b ÷ − ab = a 2

2 − 1 1− 1

b

=a

7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x 2 2 3

2 3

8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5 9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1 2 10. − xy ÷ 2y = −

xy 2 − 1 xy =− 2 2

4 5 4 11. 5x y ÷ − 6x y = −

5 4 − 4 5 −1 5 x y = − y4 6 6

EJERCICIO 50 1. am + 3 ÷ am + 2 = a 3. − 3a

m− 2

3 m − 2 − bm − 5 g 3 m−2 − m + 5 3 3 = a = a a 5 5 5

b

÷ − 6a

2m − 2

b

x−4

108 7 6 − 6 8 − 8 27 7 ab c a = 20 5

2 2 −1 6 − 6 2 m n = m 3 3

16. a x ÷ a 2 = a x − 2 17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2 3 4 m n 18. 5a b c ÷ − 6a b c = −

x m m n 19. a b ÷ − 4a b = −

5 m − 3 n − 4 1− 1 5 a b c = − a m − 3bn − 4 6 6

1 x−m m−n a b 4 3 5

3 5

a x 3 x 2 3 a−x x−2 3−3 = m a − xnx − 2 20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x

2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − ba + 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2

b g= am + 3 − m − 2 = a

3 2 x−2 n 5. − 4a b ÷ − 5a b =

7. 5a

2 6 6 15. − 2m n ÷ − 3mn =

m+3− m+2

÷ − 5am − 5 =

2m − 1 x − 3

7 6 8 6 8 14. − 108a b c ÷ − 20b c =

4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2 a b = a b 5 5

4. x

2n + 3

÷ − 4xn + 4 = −

m + 3 m −1 ÷ − 8x 4 y 2 = 6. − 7x y

7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3 x y = x y 8 8

n −1 n +1 n −1 n +1 8. − 4x y ÷ 5x y = −

5 5 = − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab 6 6

9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x

1 2n + 3 − b 1 1 n + 4g = − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1 x 4 4 4

2 3 m n x 10. − 5ab c ÷ 6a b c = −

4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1 4 x y =− 5 5

5 1− m 2 − n 3 − x a b c 6

EJERCICIO 51 1 1 2 2 2 2 3 2 x ÷ = x = x 1. 2 3 2 4 3 3 3 3 4 2 15 3 a= a − a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 = 4 2. 5 5 20 4 5 2 2 5 3 1 3 12 5 xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = − xy = − 4xy 5 1 3. 3 6 3 6

4.

−

7 7 m n 3 28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2 a b ÷ − ab 2 = 8 a m − 1b n − 2 = a b = a b 3 8 4 24 6 4

2 5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5 2 18 9 9 1

3

6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p 3 3 7 7 2 5 6 5 5 6 8 2 − 1 5 − 5 6 − 6 = 14 a = 7 a 7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a b c 40 20 2

2 2 x m 3 2 10 x − 1 m − 2 8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = − a b 3 3 5 9 5

11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6 3 1 2 3 3 5 3 x 12 3 5 − x 1 3 5− x 3 5− x 8 − c d ÷ d =− c d =− =− c d c d 2 3 9. 8 4 24 2 4 1 3 12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1 15 5 3 6 m n− 3 1 3 m n 3 1 a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = − a b = − a mb n − 3 3 10. 4 5 1 12 2 2 = − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = − ab 6 c 2 = − ab 6 c 2 3 2 45 9 5

EJERCICIO 52 2 1. a − ab ÷ a =

a 2 − ab a 2 ab = − =a −b a a a

10.

2 3 2 4 2 2. 3x y − 5a x ÷ − 3x

=

3x 2 y 3 − 5a 2 x 4 − 3x 2

=

3x 2 y 3 − 3x 2

−

5a 2 x 4 − 3x 2

= − y3 +

5 2 2 a x 3

3 2 2 3 3. 3a − 5ab − 6a b − 2a

=

4.

3

2

2 3

3a 5ab 6a b 3 5 − − = − a 2 + b 2 + 3ab 3 2 2 − 2a − 2a − 2a

x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x = − + = x 2 − 4x + 1 x x x x

8 6 4 5. 4x − 10x − 5x 2x 3 4x 8 10x 6 5x 4 5 = 3− − = 2x 5 − 5x 3 − x 2 2x 2x 3 2x 3 3 2 2 6. 6m − 8m n + 20mn − 2m

=

6m3 8m2n 20mn2 − + = − 3m2 + 4mn − 10n2 − 2m − 2m − 2m

8 8 6 6 2 3 7. 6a b − 3a b − a b 2 3 3a b 6a 8b 8 3a 6b6 a 2b 3 1 = 2 3− − = 2a 6b 5 − a 4b3 − 3 3a b 3a 2b3 3a 2b3 4 3 2 8. x − 5x − 10x + 15x

− 5x

=

5x 3 10x 2 15x 1 x4 − − + = − x 3 + x 2 + 2x − 3 5 − 5x − 5 x − 5x − 5 x

9 2 7 4 5 6 3 8 9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n 2 2m 8m9n2 10m7n4 20m5n6 12m3n8 = − − + 2m2 2m2 2m2 2m2 7 2 5 4 3 6 8 = 4m n − 5m n − 10m n + 6mn

a x + am − 1 a x am − 1 = 2 + 2 = a x − 2 + am − 3 a2 a a

m m+2 + 6am + 4 11. 2a − 3a 3 − 3a

=

2am 3am + 2 6am + 4 2 − + = − am − 3 + am − 1 − 2am + 1 − 3a 3 − 3a 3 − 3a 3 3

12. ambn + am − 1bn + 2 − am − 2bn + 4 a 2b 3 m n m −1 n + 2 a b a b am − 2bn + 4 = 2 3 + − 2 3 ab ab a 2b 3 m−2 n−3 m− 3 n−1 = a b + a b − a m − 4 bn + 1 m+2 − 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1 13. x xm − 2 m+2 x 5x m 6x m + 1 x m − 1 = m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2 x x x x = x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x x + 4 m−1 − 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3 14. 4a b − 2a x + 2 b m − 4

=

4a x + 4 b m − 1 6a x + 3 b m − 2 8a x + 2 b m − 3 − + x+2 m−4 x+2 m−4 − 2a b − 2a b − 2a x + 2b m − 4

= − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b

EJERCICIO 53 1 2 2 x x 3 6 3 1. 2 − 3 = x − = x −1 2 2 4 6 4 x x 3 3 1 3 3 2 1 a a a 3 −5 + 4 3 3 3 − − − 5 5 5 2. 5 5 5 3 15 2 5 =− a + a − a = − a 3 + a2 − a 9 15 12 9 12

1 m 1 m−1 a a 2 2 2 1 3 +4 = am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2 1 6. 1 3 4 3 2 a a 2 2

2 3 3 2 2 3. 1 m 4 mn mn 3 4 − + 8 1 2 1 2 1 2 m m m 4 4 4 4 8 12 2 8 3 = m2 − mn + n = m2 − mn + n2 4 3 8 3 2

4.

7.

2 4 3 1 3 4 1 2 5 x y x y x y xy 6 3 − 5 + 4 − 1 1 1 1 − xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3 5 5 5 5 10 3 5 2 5 =− x + x y − xy 2 + 5y 3 3 5 4 10 3 5 2 2 = − x + x y − xy + 5y 3 3 4

2 x 2 x +1 1 x −1 a a a 3 4 − − 5 1 x−2 1 x−2 1 x−2 a a a 6 6 6 12 3 6 12 2 12 2 3 = a − a− a ⇒ 4a 3 − a − a 3 4 5 5 2

1 n m +1 2 n +1 m 3 n−1 m+ 2 ax a x a x 8 4 + −3 2 2 2 − a 3x2 − a3x 2 − a 3x2 5 5 5 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2 a x − a x a x = + 8 16 6 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2 a x − a x = + a x 8 16 3

8. −

2 5 1 3 3 a ab ab 5 2 4 1 2 3 1 5 5. 5 −3 − = a − ab − b 5a 5a 5a 25 15 5

EJERCICIO 54 2 1. a + 2a − 3 − a 2 − 3a

a 2 + 5a + 6

6.

a+3

− a − 2a

a −1

−a −a

+ 8a 2 − 8ab

3a + 6 − 3a − 6

+ a+3

2

11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2

a+3

2

− a−3

2 2. a − 2a − 3

a+2

a +1

4ab − 4b

2x + y

− 6 x 2 − 3xy

a−3

3x − 2y

+ 4 xy + 2y

12.

6m2 − 11mn + 5n2 − 6m + 6mn 2

− 4 xy − 2y 2

− 3a − 3 + 3a + 3

8a − 4b 2

− 4ab + 4b 2

6x 2 − xy − 2y 2

7.

−a +b

m−n 6m − 5n

− 5mn + 5n2

2

+ 5mn − 5n2

3 . x + x − 20

x+5

− x 2 − 5x

x−4

2

8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2 + 15x 2 − 10xy

− 4x − 20 + 4x + 20 4.

m − 11m + 30 2

− m2 + 6m

x 2 − 8x + 15 − x + 3x 2

− 5x + 15 + 5x − 15

5x − 4y

12 xy − 8y

2

− 12xy + 8y 2

m−6 m−5

5a + 8ab − 21b

9.

2

+ 7ab + 21b

−x+5

10.

2 2 13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n + 54m2 − 48mn 6m + 4n

− 36mn + 32n2 a + 3b

+ 36mn − 32n2

5a − 7b

− 7ab − 21b

−x+3

2

− 5a 2 − 15ab

− 5m + 30 + 5m − 30 5.

− 3 x + 2y

14. − 14y 2 + 71y + 33

2

+ 14y 2 + 6y

2

14x 2 + 22x − 12 − 14x + 6x 2

28x − 12 − 28x + 12

7x − 3 2x + 4

+ 77y + 33 − 77y − 33

− 7y − 3 2y − 11

15.

− y3 x − y

x3 −x +x y 3

21.

x 2 + xy + y 2

2

− 12y + 5y 2 + 10

3y 5 − 3y − 6 y 5

2

x y

+ 6y 3 + 12y

xy − y 2

3

− xy + y 2

5y 2 + 10

3

− 5y 2 − 10

a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b − a 3 + a 2b

a 2 − 2ab + b 2

22.

− am − 2a

am4 − am4 − am3

− 2a 2b + 3ab2

+ am3 + am2

ab 2 − b3

am2 − am

− ab 2 + b3 17.

x

− 9x

2

am + a m3 − m2 + m − 2

− am3

+ 2a 2b − 2ab 2

4

3y 3 − 6 y + 5

− 6y 3 − 12y

− x 2 y + xy 2

16.

y2 + 2

3

− am2 − am

+x+3

x+3

− x 4 − 3x 3

− 2am − 2a + 2am + 2a

x 3 − 3x 2 + 1

− 3x 3 − 9 x 2 + 3x 3 + 9x 2

23. x+3 −x−3

18.

a

+a

4

−a − a 4

−a

− 12a 3 + 15 a 2b + 20a 2b − 25ab 2

a −a +a 3

4a − 5b 3a 2 − 5ab + 2b 2

− 20a 2b + 33ab 2

a +1

3

2

8ab 2 − 10b 3

3

− 8ab 2 + 10b 3

+a +a 3

2

24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5

a2 + a

− 15m + 5m n 5

−a −a 2

19.

12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3

− 9m3n2 + 3m2n3

− n6 m 2 − n2

m6 − m 6 + m 4 n2

3m − n 5m4 − 3m2n2 + n4

4

+ 9m3n2 − 3m2n3

m4 + m2n2 + n4

3mn4 − n5

m 4n2

− 3mn4 + n5

− m4n2 + m2n4 m2n4 − n6 − m2n4 + n6 4 3 20. 2x − x

+ 7x − 3

− 2x 4 − 3x 3 − 4x

EJERCICIO 55 2x + 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 1

3

− a 2 − 2a − 1

1. a 4

− a4 − a3 − a2

+ 4 x 3 + 6x 2 6x 2 + 7 x − 6x 2 − 9x − 2x − 3 2x + 3

a2 − a − 1

− a − 2a − 2a 3

a2 + a + 1

2

+ a3 + a 2 + a − a2 − a − 1 + a2 + a + 1

+ 12x 2 − 5x

2. x 5 − x + 2x − 5 x 5

4

3

− 5xy 3 + 3y 4

+ x − 2x y + x y 4

3

x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3

− 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2

− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3

− x + 2x − 5x

3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4

+ x − 2x + 5 x

− 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4

2

3

2

m5 − 5m4n

+ 20m2n3 − 16mn 4

− m + 2m n + 8m n 5

4

3

m2 − 2mn − 8n 2

9.

m − 3m n + 2mn

2

3

2

2

n4 − 2n3

+ 2n − 1

− n4 + 2n3 − n2

− 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3

x 2 − 2xy + y 2 − x 2 + xy + 3y 2

2 2

2

3

3.

4 3 8. − x + 3x y

x 3 + 2x 2 − x

2 x − 5 x + 12x 4

x 2 − 2x + 5

3

n2 − 2n + 1 n2 − 1

− n2 + 2n − 1

+ 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3

+ n2 − 2n + 1

2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4 − 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4

10. a 5b − 5a 4b 2 4.

− x 2 − 2x − 1

x4

x2 − x −1

− x 4 + x 3 + x2 +x

4 2

a 3 − 3a 2b + 4ab 2

3 3

− 3a b + 10a b + 22a b 4 2

x2 + x + 1

3 3

2 4

+ 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4

− 2x

3

+ 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3

− a b + 2a b + 10a b 5

4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5

− x 3 + x2 + x

− 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5

x − x −1 2

11.

− x2 + x + 1

− 24x 2 y 2

16x 4

− 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3

− 16x + 24x y − 12x y + 18xy 4

6 5 5. x − 2x

+ 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6

− x6

+ 3x 4

− 2x 2

3

2 2

2 x + 3y

3

x 4 − 3x 2 + 2

24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4

x 2 − 2x + 3

− 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4

− 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x + 2x 5

− 6x3

+ 4x

3x

4

− 9x

2

− 3x

4

+ 9x

2

12. 4y 4 + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20

+6

− 4y 4 − 10y 3

−6

2y + 5 2y 3 − 3y 2 + y − 4

− 6y 3 − 13y 2 6.

m6 + m5 − 4m4

+ m2 − 4m − 1

− m6 − m5 + 4m4 + m3

+ 6y 3 + 15y 2

m3 + m2 − 4m − 1

2y 2 − 3y

m3 + 1

− 2y 2 − 5y − 20

m3 + m2 − 4m − 1

− 8y − 20 8y + 20

− m3 − m2 + 4m + 1

7.

a5 − a 4 − a + a − 5a 5

4

+ 7a 2 − 27a + 10

a2 − a + 5

3

a 3 − 5a + 2

− 5a + 7a − 27a 3

2

+ 5a 3 − 5a 2 + 25a

5 4 3 2 13. − 2a − 3a x + 5a x

+ 2a

3

2

2

+ 6a 2 x 3 + 9ax 4 2

− 2ax 4 − 3x 5

2

+ 2ax 4 + 3x 5

a x

− 2a 2 + 2a − 10

−a x

3

3

− a 3 + 2ax 2 + 3x 3 2a 2 − 3ax − x 2

3

3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4 − 3a 4 x

2a − 2a + 10 2

− 11ax 4 − 3x 5

− 4a x − 6a x

5

6 5 14. − x + 2x y

− 3x 2 y 4 − xy 5

x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3

+ x − 3x y + 2x y + x y 6

5

4 2

− x 2 − xy − y 2

3 3

− x y + 2x y + x y − 3x y 5

4 2

3 3

2 4

6 5 4 3 19. y − 2y − y + 4y

+ x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4

−y

− x y + 3x y − 2 x y − xy 4 2

3 3

2 4

5

−a

+ 2y 5

+ 31a 2 − 8a + 21 + 2a + 7a

6

4

4

+ 5a 5

2

− 3m7 + 9m5

+ 4a 2 + 14a − 3a 3

+ 6a + 21

+ 3a 3

− 6a − 21

m6 − m5

+ 5m3

− 6m + 9

− m6 − m5 + m 4

m 4 + m3 − m2 + 3

− 3m2

+ 2m5 + 2m4 − 2m3

− 8m + 8m

m4

− 3m2

+4

− m4

+ 3m2

−4

a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 − a6 − a5 + a4 − a3

a3 + a2 − a + 1 a 3 + a 2 − 2a − 1

a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2

+9

− 3m4 − 3m3 + 3m2

−9

4

m4 − 3m2 + 4 3m3 − 2m + 1

− 6m3

+ 6m

3m4 + 3m3 − 3m2

− a + 2a b − a b 5

− 12m3

+ 2m5

21.

m2 − 2m + 3

a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 6

−2

− 2m5 + m4 + 6m3

− 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m

17.

+2

+ 2y 2

3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4

20.

2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a

16.

2

2

− 10a 3 − 35a 2 − 2a 4

+ 4y − 2y

4

− y4

a − 5a + 2a − 3 3

3

y 2 − 2y + 1

2

− 4y 3 y

a 3 − 2a − 7

3

− 5a + 2a + 7a + 31a 5

− 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2 − 2y

4

− 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y

+ x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5 6 5 15. a − 5a

+ 2y

6

− a5 − a4 + a3 − a2 − 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a + 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1 − a3 − a2 + a − 1

− 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2 a + a b − 3a b − ab + b

2

4

3

2

2

3

+ a3 + a2 − a + 1

4

a b − 5a b + 6a b 5

4

2

3 3

− a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3

24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3

22.

− 3a 4b 2 + 5a 3b 3

− 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3

+ 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4 − a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5 5

− a b + 2ab − b 2

18.

4

2

3

4

5

6

− 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5

6

− 2 x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2

x6

− x − x y + 2x 4 y 2 6

2

32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5

a b − 2ab + b 4

3

+ 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4

+ a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5 2

3x 2 − 2xy + 4 y 2

− 16x y + 56x y − 36x y − 26xy 4

x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4

5

−x y

+ 2x y

5

3 3

23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2

x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3 + x4y2

− 5a 8

− 2x 2 y 4 + 3xy 5

+ x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5 x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6 − x2y4

− 10a 4

5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a

− 4a + 2a + 5a − 4a − 2a

− x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4 − x3y3

+ 10a 6 7

− xy 5 + 2y 6

6

+ 4a 7

5

− 8a 5

4

3

+ 8a 3

+ 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2 − 2a 6

+ 4a 4 − 3a

5

3a 5

− 4a 2 3

− 6a

− 6a 3

+ 6a

+ 6a

7 6 5 24. x − 3x + 6x

+ x 2 − 3x + 6

x 3 − 2x 2 + 3x + 6

− x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4 − x + 3x − 6 x 6

5

x 4 − x 3 + x2 − x + 1

4

+ x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3

29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6

x − 3x + 6x + x 5

4

3

− x + 2x − 3x − 6 x − 3x 5

4

3

7

7

2

x − 2x 3

− 12a 6

2

3

2

+ 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a − 15a

+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10

5

+ 15a

25.

4

− 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2

− x + 2 x − 3x − 6 3

5

+ 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a

+ 3x + 6

2

a 4 − 3a 2 + 4a − 5

5

6

+ 9a 7

+ x − 2x + 3x + 6 x + 6 3

6

− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a

2

− x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x 4

− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2

− 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4 9

2

− 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10

5

3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4 6

5

4

3

2

3

− 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3 4

3

− b2

30. a 2

a 3 + a 2 − 2a + 1

+ 3a − 4a − 6a + 8a 5

2

− a 2 − ab

2

+ ab + b 2

− 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a 2

− ac − bc + c 2

3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 − 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4

26.

31. − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2 2x − 3y + 5z

5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y − 5y + 3y − 4y − 2y 8

7

6

+ 2 x 2 − 3xy + 5 xz

4

+ 15y − 9y + 12y + 6y 5

4

− x + y + 2z

2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz

y − 3y − 1

5

2

− 2xy

− 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3 6

− bc ac + bc − c 2

+ 6a + 4a − 10a − 8a 3

a+b−c a−b+c

− ab − b 2 + ac + 2bc

− 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2 4

+ 2bc − c 2 + ac

3

− 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y

+ 3y 2 − 5yz 4 xz

− 6yz + 10z 2

− 4 xz

+ 6yz − 10z 2

+ 5y − 3y + 4y + 2y 4

3

2

27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 + m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3

m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4

2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4 − 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4 − 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11m3n 4 − 9m2n 5 + 3m5n 2 −

9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5 4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7 − 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7

28.

x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4 − x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4 − 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 + 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6 − x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8 + x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10 − x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10

x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 + y3

32. x 3 − x3 + x 2y + x2z

− 3xyz + z 3 − xy 2 + xyz

x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2 − xz 2

x+y+z

x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2 − x2 y

− y 3 + xy 2 + xyz

+ y 2 z − yz 2

x z

− xyz + z − xz + y 2 z − yz 2

−x z

+ xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2

2

2

3

2

+ b5 a + b

33. a 5 −a −a b 5

a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4

4

− a 4b

37. 3

a b

+ y 15

x15

+ a 4b + a 3b 2

−x −x y 15

2

12

−x y 12

− a 3b 2 − a 2b 3 −a b 2

x3 + y 3 x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12

3

3

x12 y 3 + x 9 y 6

3

x9y6

+ a 2b 3 + ab 4

− x9y 6 − x6y 9

ab 4 + b 5

− x6y 9

− ab 4 − b 5

x 6 y 9 + x 3 y 12 x 3 y12 + y15

34.

21x

− 21y

5

5

− 21x + 21x y 5

− x 3 y 12 − y 15

3x − 3y 7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y

4

4

21x 4 y

3

2

2

3

4

38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1

− 21x 4 y + 21x 3 y 2

− x − 2x y − xy 3

21x 3 y 2

2

x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1

− x − xy − x

2

x + y −1

2

x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x

− 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3

− x 2 y − 2xy 2 − y 3

21x 2 y 3

− xy

− y2 − y

− 1− x − 2xy − x − y 2 − y 2

− 21x 2 y 3 + 21xy 4

+ 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y

21xy 4 − 21y 5 − 21xy 4 + 21y 5

35.

− 16y 8

16x 8 − 16x − 16x y 8

2x 2 + 2y 2 8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6

6 2

− 16x 6 y 2 + y5

5 39. x

+ 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4

− x + x y − x y + x y − xy 5

16x 4 y 4 − 16x y − 16x y 4 4

2 6

− 16x 2 y 6 − 16y 8

4

3

2

2

3

x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 x+y

4

x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5

+ 16x 2 y 6 + 16y 8

36.

− y 10

x 10 − x10 + x 8 y 2

x2 − y2 x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8

x8y2

EJERCICIO 56

− x8y2 + x6y4 6

x y

4

− x6y 4 + x 4 y6

1.

x4 y 6 − x 4y 6 + x2y 8 x 2 y 8 − y 10 − x 2 y 8 + y 10

+ ax

ax+3 − ax +3 − ax +2 −a

a +1 a x + 2 − a x +1 + a x

x+2

+ a x + 2 + a x +1 a x +1 + a x − a x +1 − a x

2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2 +x

n+ 5

+x

x2 + x

n+ 4

+ 2x

n+ 4

− 2x

n+ 4

− x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1 + 3x

n+ 3

− 2x

n+ 3

8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2

− ma − 1 + ma − 2 + ma − 3

+ m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1

ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1

+ m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a

xn + 3 + x n + 2

− m2a + 2

− xn+ 3 − xn+ 2

+ m2a +1 + m2a 2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1 − 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1

3. ma + 4 − ma + 3

+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1

− ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2 m

− 3m

a+3

a+2

m2 − 2m + 3

+ 6m

+ m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2

a +1

− ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1

9.

− ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma

x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4 + 2x

ma + 1 − 2ma + 3ma − 1

2a − 3

− 3x

+ x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6 + x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7

a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n

− x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7

3a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a

2n +1

− 2a

2n 3 2n −1 4 2n − 2 5 10. a b − a b + a b

−a b +a

2n

x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4

2a − 4

− x 2a − 4 + 2x 2a − 5

a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n

− 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1

x a − 1 − x a −2 − x a − 3

− 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5

− ma + 1 + 2ma − 3ma − 1

− a 2 n + 3 − a 2n + 2

− x 2a − 7

− x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4

+ ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma

4.

− m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2

ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1

2n

3

2n − 1 4

2a 2n + 1 + 2a 2n

b − 2a −a

2n − 2

2n − 2

− 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4

b +a 5

b +a 5

2n − 3

2n − 3

a nb 2 − a n − 2 b 4

b6

b − 2a 6

2n − 4

b +a 7

2n − 5

b

8

+ a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8

5.

x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1 − x 2a + 5

+ 2x 2 a + 3 + 2x

2a + 4

−x

− 2x 2a + 4

6.

ax+2 −a

x+2

+ 2a

x +1

x a + 2 + 2x a + 1 − x a

2a + 3

11.

+ 4x 2 a + 2 − x 2a + 3

+ 2x 2 a + 1

+ x 2a + 3

− 2x 2 a + 1

a b +b

a x − 2a x − 1 + 3a x − 2

− 3a

a 2 + 2a − 1

− 2a

+ 4a − 6a x

12.

+ a − 2a

7.

x −1

+ 3a

m+ x

a x − a x − 1b + b n − ab n − 1 − a x + a x − 1b

x −1

b − ab

a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4 3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3 − 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4 + 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4

n−1

− b n + ab n − 1

x−2

− a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2

a−b a x −1 − b n − 1

n

− a x + 2a x − 1 − 3a x − 2 x

m

− a xb m − b m + x

2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1 x +1

ax + bx a m + bm

x

− 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2 x

a m + x + a mb x + a x b m + b m + x − a m + x − a mb x

a x − a x −1 + a x − 2 a x + 3a x − 1 − 2a x − 2

13.

3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1 − 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1 + a

5m − 2

− 13a

5m − 1

3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2 + 46a

5m

− a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m − 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1 5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1

14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2 − 2x

3a + 1 2 x − 3

y

3a 2 x − 2

+ 8x y

− 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1 − 6x

3a − 1 2 x − 1

− 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x

y

+ 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x − 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x 10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1 − 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1

EJERCICIO 57 1.

1 2 5 1 a + ab − b 2 6 36 6 1 1 − a 2 − ab 6 4 −

2.

1 1 a+ b 3 2 1 1 a− b 2 3

5.

1 1 ab − b 2 9 6 1 1 ab + b 2 9 6

1 2 7 1 x + xy − y 2 3 10 3 1 2 xy − x2 + 3 15

3 4 1 3 17 2 2 7 m + m n− m n + mn 3 − n 4 5 10 60 6 3 4 2 3 4 2 2 − m + m n− m n 5 5 5 1 3 65 2 2 7 m n− m n + mn3 2 60 6 1 3 1 2 2 2 − m n + m n − mn 3 2 3 3 −

2 y 5 1 5 x+ y 3 6

x−

5 1 xy − y 2 6 3 5 1 − xy + y 2 6 3 1 3 35 2 x − x y+ 3. 3 36 1 3 2 2 − x + x y− 3 9

2 2 3 3 xy − y 3 8 1 2 xy 6

3 2 − x y+ 4 3 2 x y− 4

1 2 3 3 xy − y 2 8 1 2 3 3 xy + y 2 8

6.

3 2 2 m n + 4 3 2 2 m n − 4

1 mn3 − n4 2 1 mn3 + n 4 2

3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 x + x − x + x + x− 4 2 40 3 30 5 3 5 1 3 3 2 x − x − x + 4 8 4

−

4 3 x 5 4 3 x 5

1

2 4 x− 15 5 2 4 x+ − 15 5 +

13

1

a 4 − a 3x − a 2x 2 + ax 3 − x 4 7. 1 3 5 2 5 1 3 4 12 18 3 a − a b + ab 2 − b 3 a− b 16 8 3 4 2 9 4 3 3 2 2 − a + a x− a x 4 2 1 3 3 2 1 2 2 − a + ab a − ab + b 2 1 3 13 2 2 13 3 16 8 4 3

1 − a 2b + 4 1 2 ab− 4

5 2 ab 3 3 2 ab 2

1 2 ab − b 3 6 1 − ab 2 + b3 6

1 x+2 3 3 2 1 2 x + x− 8 4 5

2x 3 −

1 4 4 3 1 2 19 x − x − x + x 2 5 12 30 1 1 2 1 x − x − x4 + 2 12 2

1 2 1 1 x − xy + y 2 2 3 4 2 3 x− y 3 2

9

4.

3 2 m − mn + 2n 2 2 2 2 1 1 m + mn − n2 5 3 2

a x− a x + ax 2 12 18 1 1 2 2 2 3 a x − ax − a3x + 2 3 9 −

3 2 2 1 3 1 4 a x + ax − x 4 2 3 3 2 2 1 3 1 4 a x − ax + x 4 2 3

3 2 2 a − ax + x 2 2 3 3 2 1 1 a + ax − x 2 2 3 2

8.

1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 x − x y+ x y − x y + xy 4 14 420 280 2 12 1 5 1 4 1 3 2 − x + x y− x y 14 20 8 − +

4 4 x y+ 21 4 4 x y− 21

13 3 2 1 2 3 x y − x y 35 2 2 3 2 1 2 3 x y + x y 15 3

9.

5 3 2 1 2 3 5 x y − x y + xy 4 21 6 12 5 3 2 1 2 3 5 − x y + x y − xy 4 21 6 12

2 3 1 2 1 x − x y + xy 2 7 5 2 1 2 2 5 x − xy + y 2 4 3 6 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 x + x − x + x + x− 8 40 120 120 10 10 3 1 3 3 3 2 − x5 − x4 + x − x 8 2 8 4 1 4 1 3 11 2 1 x − x − x + x 40 60 120 10 1 4 1 3 1 2 1 − x − x + x − x 40 30 40 20 −

10.

1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 2 6 40 60 6 8 1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 − m + m n− m n + m n 2 3 15 6 −

1 4 m n+ 2 1 4 m n− 2

1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 4 3 4 2 3 2 1 1 x + x− x 2 10 5

1 3 1 2 1 1 x − x + x− 20 15 20 10 1 3 1 2 1 1 x + x − x+ 20 15 20 10

3 3 1 2 2 1 m − m n + mn 2 − n3 4 2 5 4 2 2 2 5 m − mn + n2 3 3 2

53 3 2 91 2 3 7 m n − m n + mn 4 24 60 6 1 3 2 4 2 3 1 m n + m n − mn4 3 15 6

15 3 2 m n − 8 15 3 2 − m n + 8

5 2 3 m n + 4 5 2 3 m n − 4

5 5 n 8 5 mn4 + n5 8

mn 4 −

EJERCICIO 58 1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x 1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1

− 1+ 1− 1 − 1+ 1− 1 + 1− 1+ 1

3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2

1+ 0 − 1

1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 − 1+ 2 − 1

⇒ x2 − 1

2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7 1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1− 2 + 0 − 7 − 1+ 2 − 0 + 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8

3 − 11+ 10 − 13 − 3 + 6 − 0 + 21 − 5 + 10 + 8 + 19 + 5 − 10 + 0 − 35 8 − 16 + 0 − 56 − 8 + 16 − 0 + 56

⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8

3 − 8 + 12 −3+6− 3

1− 2 + 1 1+ 3 − 2 + 5 − 1

⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4

− 2 + 9 − 13 2− 4+ 2 5 − 11 + 7 − 5 + 10 − 5 − 1 + 2 −1 + 1 − 2 +1

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3 4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 1+ 0 − 4 − 1 − 1− 0 + 4 + 1 1− 5 + 6 + 1

− 5 + 6 + 21 − 19 5 + 0 − 20 − 5

⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3

6 + 1 − 24 − 10 − 6 − 0 + 24 + 6

8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15

1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 − 1+ 7 − 9 + 15

1 + 0 − 4 −1 −1 − 0 + 4 +1

− 5 + 44 − 112 + 187 + 5 − 35 + 45 − 75

5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5 1− 2 − 50 + 58 − 15 1+ 6 − 5 1− 8 + 3 − 1− 6 + 5 − 8 − 45 + 58

1− 7 + 9 − 15 1− 5 + 9 − 4 + 3

⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3

9 − 67 + 112 − 192 − 9 + 63 − 81 + 135 − 4 + 31 − 57 + 87 + 4 − 28 + 36 − 60

⇒ x 4 − 8x 2 + 3

+ 8 + 48 − 40

3 − 21 + 27 − 45 − 3 + 21 − 27 + 45

3 + 18 − 15 − 3 − 18 + 15

6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2 1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2 − 1+ 4 − 3 + 2

1− 3 − 6 + 10

− 3 + 6 + 25 − 52 3 − 12 + 9 − 6

⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10 6

9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2

− 6 + 34 − 58 + 42

2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 −2−0− 4 − 6 − 12 − 20 6 + 0 + 12

+ 6 − 24 + 18 − 12 10 − 40 + 30 − 20

− 8 + 0 − 18 + 8 + 0 + 16

15 12 9 6 3 6 3 7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10 3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10

− 2+0−4 2+0+ 4

1− 4 + 3 − 2

− 12 + 41 − 70

⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5

− 12 − 8 − 24 + 12 + 0 + 24

− 10 + 40 − 30 + 20

− 3 + 8 − 10

2+0 +4 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1

⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2

12 − 32 + 40 9 − 30 + 46 − 9 + 24 − 30 − 6 + 16 − 20 6 − 16 + 20

10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 4 + 6 + 6 − 16 + 38 + 4 + 0 − 8 + 4 − 28 6 − 2 − 12 + 10 − 44 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 − 2 + 0 + 4 − 2 + 14 + 2 − 0 − 4 + 2 − 14

6+0+0−4+6−2 ⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2

10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3 11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4 1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4

− 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4

1+ 0 − 3 + 0 + 4

− 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12

⇒ n4 − 3n2 + 4

+ 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12

12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3

4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16

3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 − 3 − 0 + 15 − 9

− 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16

− 4 + 0 + 20 − 13 + 4 + 0 − 20 + 12

1+ 0 − 5 + 3 3 − 4 + 0 + 0 −1 ⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4

− 1+ 0 + 5 − 3 1 −0−5+3

13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6 1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6 1− 4 − 5 + 1 − 1+ 4 + 5 − 1 1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6 14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5 − 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5 + 5 − 20 − 25 + 5 − 1− 0 + 5 1− 3 + 0 + 5 3 − 18 + 9 + 33 − 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3 − 3 + 12 + 15 − 3 + 3 + 0 − 15 − 6 + 24 + 30 − 6 + 5 + 0 − 25 + 6 − 24 − 30 + 6 − 5 − 0 + 25 15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x 7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 −7− 0 −6− 1

7 + 0 + 6 +1 1− 5 + 0 − 7 ⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1

− 35 + 0 − 79 − 5 + 35 + 0 + 30 + 5 − 49 + 0 − 42 − 7 49 − 0 + 42 + 7

16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2 6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 − 6 + 4 − 2 −1

6 − 4 + 2 +1 1+ 0 − 5 + 0 − 6 ⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2

− 30 + 20 − 46 + 19 + 30 − 20 + 10 + 5 − 36 + 24 − 12 − 6 36 − 24 + 12 + 6

17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 − 6 + 18 + 6 + 30 − 5 + 18 − 4 + 22 + 5 − 15 − 5 − 25 3 − 9 − 3 − 15 − 3 + 9 + 3 + 15

1− 3 − 1− 5 6−5+3 ⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1

EJERCICIO 59 1.

a 2 + b2

a2

− a2

1+ b

4.

3. 9x 3 + 6x 2 + 7

a4 + 2

2. b2 a2

− a4

− 9x 3

a3 a+

7 3x 2

− 6x 2 +7

16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2 − 16a 4

3x + 2 +

+ 6x 2

2 a3

+2

2

3x 2

9.

4a 2 − 5ab + 2b 2 +

x 3 − x 2 + 3x + 2

3

7b 4a

− x3 + x2 − x

− 20a 3b

x2 − x + 1 2x + 2 x+ 2 x − x +1

+ 2x + 2

+ 20a 3b 8a 2 b 2

10.

− 8a b

2 2

− x3 + x2y + 7ab 3

5.

x + 1+

x−y x 2 + xy + y 2 +

2y 3 x−y

x2y − x 2 y + xy 2

x 2 + 7x + 10 x + 6 − x 2 − 6x

+ y3

x3

4 x+6

xy 2 + y 3 − xy 2 + y 3

x + 10 −x − 6

2y 3

+4 6.

x 2 − 5x + 7

x−4

11.

3 x − 1+ x−4

− x + 4x 2

−x + x y 4

x−y x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 +

4

x4 y

−x+7 x−4

− x4 y + x3y 2 x3y2

+3 7.

+ y5

x5

− x3y2 + x2y3

m4 − 11m2 + 34

m2 − 3

x2y3 − x 2 y 3 + xy 4

10 m2 − 8 + 2 m −3

− m4 + 3m2

+ xy 4 + y 5

− 8m + 34

− xy 4 + y 5

2

8m − 24 2

2y 5

+ 10

8.

x 2 − 6xy + y 2 − x 2 − xy

x − 7y +

2

8y x+y

− x3 + 2x2 − x

2

+ 8y 2

x2 − 2x + 1 x + 6+

6 x 2 − 6x + 8

− 7xy + y 2 + 7xy + 7y

3 2 12. x + 4 x − 5x + 8

x +y

− 6 x 2 + 12 x − 6 6x + 2

6x + 2 x2 − 2x + 1

2y 5 x−y

5 4 14. x − 3x

3 2 2 3 13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b

− 8a 3 + 12a 2b

4a 2 + 3ab + 7b 2 +

3

12b 2a − 3b

+ 9x 2 + 7 x − 4

x 2 − 3x + 2

− x 5 + 3x 4 − 2x 3

x 3 − 2x + 3 +

6a 2b + 5ab 2

− 2x 3 + 9x 2 + 7x

− 6a 2b + 9ab 2

+ 2x 3 − 6x 2 + 4 x

14ab 2 − 9b 3

3x 2 + 11x − 4

− 14ab 2 + 21b 3

− 3x 2 + 9x − 6

12b 3

20x − 10

20 x − 10 x 2 − 3x + 2

EJERCICIO 60 Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores: a = - 1 b = - 2 c = - 1/2 1. a 2 − 2ab + b2

4 3 3. a − 3a + 2ac − 3bc

2. 3a 3 − 4a 2b + 3ab 2 − b 3

= (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2

= 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3 3

2

= 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9

2

= − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31

4 3  1  1 = (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1)  −  − 3⋅ 2  −   2  2

1 1 = 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8 2 2

5 4 3 2 2 3 4 5 4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c 2

3

4

5 4 3 2 1 1 1  1  1 = (− 1) − 8 (− 1)  −  + 16 (− 1)  −  − 20 (− 1)  −  + 40 (− 1)  −  −  −   2  2  2  2  2

5

1 1 1 1 1 5 5 1 1 − 32 + 1 31 =− = − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ + = − 1+ 4 − 4 + − + = − 1+ = 2 4 8 16 32 2 2 32 32 32 32

(

) (

) (

2

2

5. a − b + b − c − a − c

)

(

2

  1   2  1  = (− 1 − 2) +  2 −  −   −  − 1 −  −    2    2   2

2

2 1  1   5  1  = (− 3) +  2 +  −  − 1 +  = 9 +   −  −   2  2 2  2  25 1 24 = 9+ − = 9+ = 9 + 6 = 15 4 4 4 2

2

2

7. ab ac bc + − c b a  1  1 1 − 1 −  2  −   2  2 2 2 2 − 1⋅ 2 = + − = + − 1 1 2 2 2 −1 − 2 2 1 1 12 + 1 13 = 4 + − 1= 3 + = = = 3 41 4 4 4 4

(

)

(

)

(

9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b

[

]

) ( 3

) ( 3

6. b + a − b − c − a − c

[

)

3

3

]

3   1    1  = 2 + (− 1) −  2 −  −   −  − 1 −  −      2  2    2

3

3 1  1   5  1 = 2 − 1 −  2 +  −  − 1 +  = 13 −   −  −  2  2   2  2 125 1 124 31 2 − 31 29 = 1− + = 1− = 1− = =− = − 14 21 8 8 8 2 2 2

[

(

3

]

) (

3

3

3

)

2

2

8. a + b + c − a − b − c + c 2

2

  1    1   1 =  − 1+ 2 +  −   −  − 1− 2 −  −   +  −     2   2 2    1 1  1  5 1  1  = 1−  −  − 3 +  − =   −  −  − 2 2  2  2 2  2  1 25 1 1 − 25 − 2 26 = − − = = − = − 6 24 = − 6 21 4 4 2 4 4 2

2

2

2

)

  1   1  1 2  3 6 = 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1)  2 +  −   − 2  −  (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4  2 −  + (− 3) = 3⋅ 0 + 4   − = 6 − 3 = 3     2 2 2 2   2 2  

[

]

Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores: a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2 11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x 2 − y 2 )(m + x − n)

4 2 2 10. x − x y + 3xy − y 3 8 2 2

2

(− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1) = 4

2

2

8 2 2 16 − 4 − 6 = − + + 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2 8 2 2

(

) (

)(

)

[

][

= − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1) 2

2

[

− (− 1)

(

] [

] [

]

2 2 1 2 2  = 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1)  3 + (− 2) −  2  1 2 2 2   1 2 = 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1  3 − 2 −  = [ 4] + − 1 + 3 1 −  2   2 3 34 + 3 37  1 1 = 16 + 1 + 3   = 17 + = = = 18 2 2 2 2  2

3

12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n

2

[

] [

] [

]

[ ]

)

][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 13  − 2 + (− 1) + 21  = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+  − 2 − 1 + 21 

1 5 38 + 5 43   5 = 1 + 5 − 4 +  − 3 +  = 1 − 20 +  −  = − 19 − = − = − = − 21 21 2 2 2 2 2    

[ ]

14.

x− y 13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y − 2 2

2

   1 1 4  (− 2 ) + (− 2 ) − 3  + − 3  1 1  2 3 −8 −8 8 = − + (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13 − 3 2−1 3 8 8 8 + 69 77 = + 21 + 2 = + 23 = = = 25 23 3 3 3 3

(− 2) − (− 1) 2 2  1  = 3(− 2) − 2 (− 1)  2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) − 2  2  − 2+1 −1 = − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − = − 4 − 11 + 16 − 2 2 1 1 1 = 44 + 16 + = 60 + = 60 2 2 2

[

]

[

][

]

4x x3  1 1 − +  −  x + x4 − m 3y 2 + y 3  n b  =

[ ]

4 (− 2 )

(− 2) 3 (− 1) 2 + (− 1) 3

−

2 2 2 2 15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n) 2 1 1 2 2 2  = (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) −  + − 2 + (− 1)  32 − 2 ⋅   2 2  2 2 1 9 9 160 + 9 169   1 = = 84 21 = 4 [1 + 1] − [− 2 + 1]  4 + 1 −  + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 −  + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + = 2 2 2 2 2   2 2

[

][

]

m

y

n

↓ +5

!

[

]

↓

↓

↓

2a 2 − 3a + 5

−1

−4

2a 2 − 3a + 8

+2

!

!

x2

3xy − y 2

− x2 + y2

− y2

y 2 Rta

4. 3x 2 − 5x + 6

− 3x 2 + 8 x − 6 3x

Rta

[

]

2a 2 − 3a + 8

3

9 am

!

10 am

5.

8 am

3. x 2 − 3xy

x2

3⋅

[ ]

EJERCICIO 61 1. 7 am

]

1 2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4 ( ) ( ) −2 −1 1 3 3 2 2 4+ 9 13 13 114 + 13 127 = − 9− + 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = − =− = − 21 16 6 6 6 6 6

16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) + x

[

8a + 5 2a 2 + 5a + 13 Rta

{[

( ( ))] } − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] } − { − [4 x + 5x − x + x + 6] }

6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6

= − 3x 2 = − 3x 2

2

2

2

2

= − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6

(

)(

) (

7. x + y x − y − x + y

)

2

= x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y )

12.

= x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 ) = x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2

1 3 1 1 3 a ab 2 + b − 4 90 15 1 1 − a 3 − a 2b 4 6

1 1 a+ b 2 3 1 2 1 1 a − ab + b 2 2 3 5

1 2 1 a b− ab 2 6 90 1 2 1 a b + ab 2 6 9

1 2 1 a + ab + b 2 2 5

−

= − 2 xy − 2 y 2 8. a = 2 b = 3 c = 1 c− b 3 (a + b) − 4 (c − b) + −a

1 1 3 ab 2 + b 10 15

1− 3 −2

= 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) +

= 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24

− 5y 2

2 9. 3x

− x + 3xy − y 2

2 x + 3xy − 6 y 2

2a b + 3ab − b 2

− x − 5xy

2

2

2

x

2

3 +1 4 ab = ab 3 3

a 3 − a 2b + b3 − 2a 2b + 2b3

3

− 2b 3

2a 2b

+ 6y

2

− 3ab 2 − b3

13.

2 x 2 + 5xy + 6 y 2

1 2 1 1 a + ab − b2 2 3 5

1 1 3 ab 2 − b 10 15

−

−2 −2

= 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) +

−

a 3 − 3a 2b + 3b 3

2

a 3 − 3a 2b + 3b 3

2 x + 3xy − 6 y x

2

2

2

+ 6y

3x + 3xy 2

a 2 − ab + b2 2

a 5 − 3a 4b − a b + 3a b

Rta

+ a b − 3a b a 5 − 4a 4b + 4a 3b2

− x + 2x − 6 x 4

− x

x+4

4x − 4x + 12

2

− 4x 2 + 4x − 12 x 2 − 2x + 6 x3 − x + 5

3 3

x2 − x + 3

2

x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30 5

x 3 + 3x 2 − x + 12

− 6 x + 30

3

3

− x 3 + 19x 2 − 6x

− x 3 + x 2 − 3x

+ 2x − 10x

4

− 8x + 8x − 3

x 3 + 3x 2 − x + 12

2

+ 6x 5

2x 3 − 16x 2 + 5x + 12

x 3 − 19x 2 + 6x

− x 3 + 5x 2 − 2x

− 3ab 4 + 3b 5

− 6x 2 − 6 x + 3 2

1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4 a + a b− a b + ab − b 3 4 120 20 5

4

+ 3b 5

2 3

3 2 14. x − 5x + 4x

1 4 1 3 1 2 2 a − a b+ ab 3 4 10 1 3 3 + a 3b − a 2b2 + ab 3 2 8 20 4 2 − a 2b 2 + ab 3 − b4 3 5

x5

− 3ab 4

3 2

3 2

2 2 1 1 2 10. a − ab + b 3 2 5 1 2 3 a + ab − 2b2 2 4

11.

+ 3a 2b 3

4

+ 7 x − 16x 2

+ x 3 − 2x 2 + 6x 5 x 2 − 10x + 30 − 5 x 2 + 10x − 30

15.

(2 + x) (1+ x ) − (x (4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x 2

2

2

2

4

2 3

− 2)( x 2 + x − 3) = x 2 (3x + 10) + 2 (3x − 1) − 5x 2 − 2 x + 6) = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2

4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2 3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2

16. x = − 2 y = 1

(x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y) = (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1) = (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3) 2

2

2

2

[x − (3x + 2)][x + (− x + 3)] 2

21.

[x

2

2

][

= x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6

x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6 x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6

[

]

[2 (x

22. x ( x + y ) − x ( x − y ) = x 2 + xy − x 2 + xy

= 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15 17. x + 2x + 8 2

x 2 + 4x + 6

x−6

]

− 3x − 2 x 2 − x + 3

2

x+4

= 2 x + 2 y 2 − 3x 2 + 3 y 2

= 2 xy

= − x 2 + 5y 2

5x 2 − 4x + 3

− x 2 + 5y 2

− 2 x 3 y + 10 xy 3 4 x 3 y − 7 xy 3

2 xy

[

18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) }

]

− 2 (a + b) − (a − b)

= − {3a − b + a − 2a − 2b}

[

= − 2 a +b− a +b

= − {2a − 3b}

= − 2 [ 2b ]

= − 2 a + 3b

= − 4b

]

[

[

= 8x + − 2 x − x + y = 8 x − 3x + y = 5x + y

]

+ x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3

2

+ x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4

xy 2

]

8 x + − 2 x + (− x + y)

= 5x − 2 x − y

− xy + y 2

(

)(

) (

[

5x + y 3x − y

= x3 − y3 − x 3 − y 3

15x 2 + 3xy

= − 2 y3

− 5xy − y 2 15x − 2 xy − y 1 3 1 2 5 1 x + x y+ xy 2 + y 3 4 24 12 3 1 3 1 2 1 2 − x + x y − xy 4 8 2 1 2 1 1 x y− xy 2 + y 3 6 12 3 1 2 1 1 2 − x y+ xy − y 3 6 12 3

]

[

= 2 x + − 5x − x + y

]

]

−

2

Rta

)(

3

[

)

=

y

]

4⋅9 9⋅9 25 + 2 (9 − 4) − 3 (25 − 9) 25 42 9

36 81 5 6 9 5 + 2⋅5 − 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅ 25 16 3 5 4 3 6 45 12 + 225 − 800 − 563 = + − 80 = = = − 56 103 5 2 10 10 =

26.

1 1 − x − y 2 3 8+ 1 3− 1 − x+ y 2 3 9 2 Rta − x+ y 2 3

]

25. a = 4 b = 9 c = 25 9b ab c + 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b) c a b

1 2 1 x − xy + y 2 2 4 1 1 x+ y 2 3

4x +

4

= x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3 = x3 − y3 − x 3 + y3

2

x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta

3

2 2 2 2 24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y

= 3x − y

[

x 2 + xy + y 2

2

x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2

− x y + xy

))] = 5x + [− (3x − x + y )] = 5x + [− 2 x − y ]

= 2 x − 6x + y

2

Rta

(

2 x + − 5x − ( x − y )

x 2 + 3xy − y 2

x + xy + y

2

2

19. 5x + − 3x − x − y

= − 4x + y

− y3 x − y

−x +x y 3

Rta

2 x 3 y + 3xy 3

3

x2y

2a − 7b

= 2 x + − 6x + y

− 2 x y + 10 xy 3

23. x 3

− 4b 2a − 3b

[

]

+ y 2 ) − 3( x 2 − y 2 )

4x − 8x − 3 Rta

x + 4x + 6

20.

2

2

2

2

[(

= x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6)

2

x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3 − x − 3x 3

2

x2 − 4

x −4

?

x2

−4

2

=x−2

− 4x − 12 + 4x + 12

x + 2x 2

2x − 4 − 2x + 4

x−2 x+2

Rta

)} [ { }] − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si

{ (

27. 4 x 2 − 3x − x 2 − (4 + x ) + x 2 − x + (− 3)

= 4 x2

2

2

[

= 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3

]

2 28. x + 7x − 5

x2 − 9

x=−2

x 4 − 11x 3

x + 7x − 5x 4

6 x 2 − 5x − 1

3

(a

(a 2

+b

+b

)(a + b)(a − b)

[

= a − 3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b 4

)(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ] (a + b )(a − b ) = a − [b ]

2

2

2

2

2

2

2

a −a b +a b −b 4

2 2

4

2 2

a −b 4

4

=a −b

4

=a −b

4

EJERCICIO 62

= − x2 − 2 x + 1

( ) 2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x 3. (6a + b) = 36a + 12ab + b 4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m 5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121 6. ( x + y ) = x + 2 xy + y 2

1. m + 3 = m2 + 6m + 9 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1+ 3x2 ) = 1+ 6x2 + 9 x 4 2

7.

(

)

2

8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 9.

(a x + by ) = a x 2 2

2

4 2

+ 2a 2 xby 2 + b 2 y 4

EJERCICIO 63 1. a − 3 = a 2 − 6a + 9

2

2

6. 7.

2

2

2

(a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6 2

(3a

4

− 5b2 ) = 9a 8 − 30a 4b2 + 25b4 2

4 2

5

6 2

x2 − x + 2

x+1

− x2 + 2x − 1

6

3 4

10

x +1

4 2

4 6

2

3 2

2 4

2

3 2

10

12 2

m

n 2

x

x +1 2

2

2

20

2 6

3

6

24

2n

x x +1

2x

8

3

10 12

m+ n

2m

12

2 3 4

4 2

x −2 2

a +1

8

5 6

2 3

2

2

2a +2

4

2 x +2

a +1 x − 2

2 x −4

2

2 2

7 2

7

2

2

3

5

2

2

−3

(x − 1) = x − 2 x + 1 9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y 10. (a − b ) = a − 2a b + b

2

2

x 3 + 5x 2

(3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b 11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n 12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x 13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y 14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m 15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y 16. (a + a ) = a + 2a +a 17. (a + b ) = a + 2a b + b 18. ( x + y ) = x + 2x y + y 8.

( ) 2. ( x − 7) = x − 14 x + 49 3. (9 − a ) = 81 − 18a + a 4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b 5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1

]

= − x2 + 2 x − 1

x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta

10.

(

10

14

5 2

7 7

2 4

14

)

2

11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2

(10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y 13. ( x − y ) = x − 2 x y + y 14. (a − 5) = a − 10a + 25 15. ( x − 3x ) = x − 6x + 9 x 5 2

3

12.

m

n 2

]

= − x − 3x + 4 + x − 3

x 3 + 5x 2 − 3

2

4

4

4

]

[ [

x + 5x − 6 2

4

4

4

4

[

6

2m

x −2

2

a +1

a −2 2

4 5

m n

2 x −4

2 10

2n

x −2

2a + 2

]

− x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3)

3

30. 3

29.

x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45

x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45

= 6 ( 4) + 10 − 1 = 24 + 10 − 1 = 33

= 6 x − 5x − 1 2

2

2

2

= 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3

2

3

− 9x 2 − 63x + 45

= 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1

+ 21x Rta

18x − 14x − 84 x + 45

2

2a −1

2a − 4

EJERCICIO 64

( )( ) 2. (m − n )(m + n) = m − n 3. (a − x )( x + a ) = a − x

( )( ) 7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x 8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81 6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1

1. x + y x − y = x 2 − y 2 2

2

4.

(x

2

(

2

2

2

2

(a − b )(a + b ) = a − b 10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y

+ a 2 )( x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4

)(

3

9.

)

5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

m

n

2

15.

(a

2

m

4

n

m

2m

m

4 2

2n

a

2a

2m

− 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 ) = a 2 x + 2 − 4b2 x − 2

x +1

2

2

2

2

4

2

4

2

( )( ) 11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x

2

− y 2 + 2 yz − z 2

(x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36 13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b 14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x 2

12.

2

2

(n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1 2

2

(6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x 13. (a + b )(a − b ) = a − b 14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y 12.

10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2

2

2

)

a

4

4

)(

(a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9 9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1

2

2

2

6

8.

( )( ) 2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z 3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z 4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1 5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1 6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4 1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z 2

2

2

EJERCICIO 65

7.

2

(

11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2

2

3

2

2

4

2

2

2

3

4

2

6

2 2

4

3

2

4

EJERCICIO 66

( ) 6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y

( ) 2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1 3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27 4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64

3

5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1

3

1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8 3

3

3

3

3

2

3

2

3

(2 + y ) = 8 + 12 y 2 3

7.

(

2

2

− 27 y 3

+ 6y4 + y6

)

3

8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3

2

(

)

3

9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27 10.

(a

2

(

− 2b) = a 6 − 6a 4b + 12a 2b2 − 8b3 3

)

3

11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 12.

(1− a ) = 1− 3a 2 3

2

+ 3a 4 − a 6

EJERCICIO 67

( )( ) 2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8 3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21 6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2 7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3 8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20 1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2 2

2

2

2

2

2

2

(

)( ) 10. (n − 19)(n + 10) = n

9. a − 11 a + 10 = a 2 − a − 110

− 9n − 190

2

(a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45 12. ( x − 1)( x − 7) = x − 8 x + 7 13. (n − 1)(n + 20) = n + 19n − 20 14. (n + 3)(n − 6) = n − 3n − 18 15. ( x + 7)( x − 6) = x + x − 42 16. (a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8 11.

2

2

4

2

2

2

2

3

3

6

3

3

6

4

4

8

2

4

2

4

2

3

3

4

(a − 2)(a + 7) = a 18. (a + 7)(a − 9) = a 5

17.

5

6

6

(

)(

10

+ 5a 5 − 14

12

− 2a 6 − 63

)

19. ab + 5 ab − 6 = a 2b 2 − ab − 30

(xy − 9)(xy + 12) = x y + 3xy − 108 21. (a b − 1)(a b + 7) = a b + 6a b − 7 22. ( x y − 6)(x y + 8) = x y + 2 x y − 48 23. (a − 3)(a + 8) = a + 5a − 24 24. (a − 6)(a − 5) = a − 11a + 30 2

20.

2

2 2

3 3

x

x +1

2 4

2 2

4 4

3 3

x

6 6

2x

x +1

2

2 2

3 3

x

2 x +2

x +1

(x − 2)(x + 5) = x 4

4

+ 3x 4 − 10

8

EJERCICIO 68

20.

( ) 2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6 3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1 4. ( x − 1) = x − 2 x + 1 5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15 6. (m − 3)(m + 3) = m − 9 7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b 8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b

21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2

(

2

1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4

(

2

25. 2a + x

2

2

−1

( )( 12. (1 − 4ax )

2 2

13.

+ 25x 4

2

( )( ) 15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a 16. (m − 8)(m + 12) = m

4

2

3

3

4

+ 4m − 96

4 2

6

x2 − y2 3. x + y = x − y 4.

y2 − x2 = y+x y−x

x2 − 4 = x−2 5. x+2 9 − x4 = 3 + x2 6. 3 − x2

3 4

3

4

3

4

2

4

2

2

− m2

4

)

2

2 3

2 3

4 6

2

a − 4b = a − 2b a + 2b

8.

25 − 36x = 5 + 6x 2 5 − 6x 2

9.

4x − 9m n = 2x − 3mn2 2x + 3mn2

2

4

2

2 4

36m − 49n x 2

2 3

4

4

2 2

4

2

4

4

( )( )( )( ) 38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a

7.

2 4

6m − 7nx 2

= 6m + 7nx 2

81a 6 − 100b 8 3 4 11. 9a 3 + 10b 4 = 9a − 10b a 4b6 − 4x 8 y10 2 3 4 5 12. a 2b 3 + x 4 y 5 = a b + 2x y 2 13.

3

8

2

37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4

8

2

10.

6

8

2

3

EJERCICIO 69

2

6

2

2

6

1− x 2 2. 1− x = 1+ x

4 2

2

3

2 1. x − 1 = x − 1 x +1

4

2

(x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3 18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48 19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m 2

4

(x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48 33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b 34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81 36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25 32.

+ a 2 − 56

2

17.

2

(

14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1

2

4 4

31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2

= 1 − 8ax + 16a 2 x 2

2

a +1

= 8a 3 + 12a 2 x + 6ax 2 + x 3

4

)

(a + 8)(a − 7) = a

3

2

2

2

11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2 2

)

2n

2a +2

2 2

3

4

2 2

2

3

3

(a + 4)(a − 4) = a − 16 10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx 9.

2x

a +1

2

26. 2

n

(x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22 27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b 28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180 29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n 30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77

2

2

x

2 2

2

3

n

a +1

2

2

)

(a + b )(a − b ) = a − b 23. ( x − 8)( x + 9) = x − x − 72 24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c 22.

2

2

)(

x

x 2n − y 2n = xn − y n xn + yn

14.

a 2 x + 2 − 100 = a x + 1 + 10 a x + 1 − 10 1− 9x 2m + 4

= 1− 3x m + 2 15. 1 + 3x m + 2

(x + y ) − z = x + y + z 16. (x + y ) − z 1 − (a + b) = 1− a − b 17. 1 + (a + b) 4 − (m + n) = 2 − m− n 18. 2 + (m + n) x − (x − y) =y 19. x + (x − y) 2

2

2

2

2

2

(a + x) − 9 = a + x − 3 (a + x) + 3 2

20.

4

− 13a 2 + 36

EJERCICIO 70 1+ a 3 = 1− a + a 2 1. 1+ a

EJERCICIO 71 1.

x4 − y4 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 x−y

3.

a 5 − n5 = a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4 a −n

4.

x6 − y6 = x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5 x+y

5.

a6 − b6 = a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5 a −b

6.

x7 + y7 = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6 x+y

7.

a 7 − m7 = a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6 a −m

8.

a 8 − b8 = a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7 a+b

9.

x10 − y10 = x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9 x−y

10.

m9 + n9 = m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8 m+n

a 3x3 + b3 2 2 2 11. ax + b = a x − axb + b

11.

m9 − n9 = m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8 m−n

n3 − m3 x 3 2 2 2 12. n − mx = n + nmx + m x

12.

a10 − x10 = a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9 a+x

1− a 3 = 1+ a + a 2 2. 1− a x3 + y 3 = x 2 − xy + y 2 x+y

3.

8a 3 − 1 = 4a 2 + 2a + 1 4. 2a − 1 8x 3 + 27y 3 = 4x 2 − 6xy + 9y 2 2x + 3y

5. 6.

27m3 − 125n3 = 9m2 + 15m + 25n2 3m − 5n

7.

64a + 343 = 16a 2 − 28a + 49 4a + 7

8.

216 − 125y = 36 + 30y + 25y 2 6 − 5y

9.

1 +a b = 1− ab + a 2b 2 1+ ab

3

3

3 3

729 − 512b = 81+ 72b + 64b 2 9 − 8b 3

10.

x 6 − 27y 3 4 2 2 13. x 2 − y = x + 3x y + 9y 3 8a 9 + y 9 6 3 3 6 14. 2a 3 + y 3 = 4a − 2a y + y 1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x

1− n5 = 1+ n + n2 + n3 + n4 13. 1− n

2.

m5 + n 5 = m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4 m+n

1− a 6 = 1+ a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 14. 1− a

1+ a 7 = 1− a + a 2 − a 3 + a 4 − a 5 + a 6 15. 1+ a 1− m8 = 1− m + m2 − m3 + m4 − m5 + m6 − m7 16. 1+ m

27x 6 + 1 = 9x 4 − 3x 2 + 1 16. 3x 2 + 1

17.

x 4 − 16 = x 3 + 2x 2 + 4x + 8 x−2

64a 3 + b9 2 3 6 17. 4a + b3 = 16a − 4ab + b

18.

x 6 − 64 = x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32 x+2

a 6 − b6 4 2 2 4 18. a 2 − b2 = a + a b + b

19.

x 7 − 128 = x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64 x−2

20.

a 5 + 243 = a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81 a+3

21.

x 6 − 729 = x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243 x−3

19.

125 − 343 x15 5 − 7x 5

= 25 + 35x 5 + 49 x10

n +1 4 2 = n −n +1 20. 2 n +1 6

22.

625 − x 4 = 125 − 25x + 5x 2 − x 3 x+5

24.

x10 − 1 9 8 = x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1 x −1

26.

16a 4 − 81b 4 = 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3 2a − 3b

27.

64m6 − 729n6 = 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5 2m + 3n

28.

1. 024x10 − 1 = 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1 2x − 1

29.

512a 9 + b9 = 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8 2a + b

30.

a 6 − 729 = a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243 a −3

23.

m8 − 256 = m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128 m−2 25.

x 5 + 243y 5 = x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4 x + 3y

EJERCICIO 72 x6 + y6 4 2 2 4 1. x 2 + y 2 = x − x y + y

m16 − n16 = m12 + m8n4 + m4n8 + n12 8. m4 − n4

a 8 − b8 6 4 2 2 4 6 2. a 2 + b2 = a − a b + a b − b

9.

m10 − n10 8 6 2 4 4 2 6 8 3. m2 − n2 = m + m n + m n + m n + n

10.

a12 − b12 9 6 3 3 6 9 4. a 3 + b 3 = a − a b + a b − b a12 − x12 9 6 3 3 6 9 5. a 3 − x 3 = a + a x + a x + x x15 + y15 12 9 3 6 6 3 9 12 6. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + y m12 + 1 = m8 − m4 + 1 7. m4 + 1

a18 − b18 = a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15 a 3 + b3 x 20 − y 20 = x15 − x10 y 5 + x 5 y10 − y15 x5 + y 5

m21 + n21 = m18 − m15n3 + m12n6 − m9n9 + m6n12 − m3n15 + n18 11. m3 + n3 x 24 − 1 18 12 6 = x + x + x +1 12. 6 x −1 a 25 + b 25 = a 20 − a15b5 + a10b10 − a 5b15 + b 20 13. a5 + b5 a 30 − m30 = a 24 + a18m6 + a12m12 + a 6m18 + m24 14 a 6 − m6

EJERCICIO 73 x4 −1 2 = x −1 1+ x 2

4.

x 6 − 27y 3 = x 4 + 3x 2 y + 9y 2 x 2 − 3y

8m3 + n6 = 4m2 − 2mn2 + n4 2. 2m + n2

5.

x 6 − 49y 6 = x 3 − 7y 3 x 3 + 7y 3

1 − a5 = 1+ a + a 2 + a 3 + a 4 3. 1− a

6.

a14 − b14 = a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12 a2 − b2

1.

1 + a3 = 1− a + a 2 7. 1+ a 8.

16.

16x 2 y 4 − 25m6 = 4xy 2 − 5m3 4xy 2 + 5m3

64x 6 − 343y 9 = 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6 4x 2 − 7y 3

a18 − b18 = a15 − a12b3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15 17. a3 + b3

x 27 + y 27 = x 24 − x 21y 3 + x18 y 6 − x15 y 9 + x12 y12 − x 9 y15 + x 6 y18 − x 3 y 21 + y 24 9. x3 + y 3 a 27 + y 27 = a18 − a 9 y 9 + y18 10. a9 + y9

18.

(a + x) − y (a + x) − y

a 4b 4 − 64x 6 = a 2b 2 − 8x 3 11. a 2b 2 + 8x 3

19.

1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 = x − x + x − x + x − x + x − x + x − x +1 x +1

1− a 2b 4 c 8 = 1+ ab 2 c 4 12. 1− ab 2c 4

20.

x 40 − y 40 = x 32 + x 24 y 8 + x16 y16 + x 8 y 24 + y 32 x8 − y8

2

=a+ x+ y

32x 5 + 243y 5 = 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4 2x + 3y

13.

25 − (a + 1)

2

14.

2

5 + (a + 1)

= 4− a

1− x12 4 8 15. 1− x 4 = 1+ x + x

EJERCICIO 74

9 − 36x10 = 3 − 6x 5 3 + 6x 5

22.

x 8 − 256 7 = x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128 x−2

3 2 2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1

4 3 3. x − x + 5 ÷ x − 2

= (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2 3

1. x − 2x + 3 ÷ x − 1 2

2

= 24 − 23 + 5 = 16 − 8 + 5 = 13

= − 1− 3− 2 − 2 = − 8

= 1 − 2 ⋅1+ 3 = 1− 2 + 3 = 2 2

4 3 2 5. m + m − m + 5 ÷ m − 4

=4 +4 −4 +5 = 256 + 64 − 16 + 5 = 309 4

4 3 2 4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3

= (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6 4

21.

3

2

= 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6

= 81 + 135 + 18 − 6 = 228 5 3 7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5

= 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4 = 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4

3

2

5 4 3 2 6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3

= (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2 5

3

2

 2  2  = 15  −  − 11  −  + 10  −  3  3  4 20  8 = 15  −  − 11⋅ − + 18  27  9 3 40 44 20 =− − − + 18 9 9 3 − 40 − 44 − 60 + 162 18 = = =2 9 9

3

2

= − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2

= − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98 8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1 3 2  1  1  1 3 = 6  −  +  −  + 3 −  + 5 9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3  2  2  2 = 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90 3 1 3  1 1 3 = 6 −  + − + 5= − + − + 5 = 12 − 21+ 90 = 81  8 4 2 4 4 2 − 3 + 1 − 6 + 20 12 = = = 3 6 4 2 4 4 12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3 3

2

= 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2 3 2 10. 15x − 11x + 10 x + 18 ÷ 3x + 2

4

6

4

2

 3  3  3  3 =  −  +  −  − 8 −  + 4 −  + 1 4 3 2  2  2  2  2  2  2  2  2 = 5   − 12   + 9   − 22   + 21  5  5  5  5 729 81 9 12 = + − 8⋅ − + 1 16 8 4 44 64 16 4 2 2 = 5⋅ − 12 ⋅ + 9⋅ − + 21  + 18 729 81 729 81 625 125 25 5 3 = + − 18 − 6 + 1 = + − 23 16 96 36 44 64 16 64 16 = − + − + 21 729 + 324 − 1. 472 419 125 125 25 5 = = − 80 36 44 64 64 =− + − + 21 125 25 5 − 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625 = = = 13 125 125

EJERCICIO 75 1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3 1 −7 5 3 − 12

11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3 6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2

2

1 −5 0 4 − 48 − 2 14 − 28 48

3

1 − 7 14 − 24

1 −4 −7 = x − 4 Re s. − 7

1

−3 −3

4 18

− 3 − 66

−1 207

0 − 618

2 −3 1. 854

1

−6

22

− 69

206

− 618

1. 856

−2

= x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856

0

= n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0

12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1

4 7. x − 3x + 5 ÷ x − 1 1 0 0 −3 5 1 1 1 1 −2

2. a − 5a + 1÷ a + 2 1 −5 1 −2 − 2 14 2

1 1 1 −2

1 − 7 15 = a − 7 Re s. 15

2

−3

7

1

−1

3

2

−2

6

−2

= x 2 − x + 3 Re s. − 2

3

3 2 13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2

= x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3

3 3 2 3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1 −1 1 −1 2 − 2 −1 2 − 4

1 −2

5 4 3 2 8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4

1 − 12 − 1 − 4 12 0

1

1 −3

4 −6

−1

0

−4 4

−2 0

0

−2

−4

3

2

0

2

0

1

0

1

1

0

4

−6

2

4

2

4

16

2

1

2

8

10

2

= x + 1 Re s. 0 −3

1 − 6 18 − 60

1

10. 1

= a 2 − 6a + 18 Re s. − 60

− 208

0

0

5

25

125

5

25

− 83

0

−6

9

0 Re s. 0

−4

4

1

−1

1

−3

3

−3

3

−9

5

− 10

8

1 3

Re s. 5

15

0

−1

−

3 2

9 4

1 −

3 2

5 4

1 2 . 076

5

− 415 − 2 . 075 − 415

4

−6

6 4 3 2 15. x − x + x + x − 1 ÷ 2x + 3 8

x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5

5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3

−2

= x3 − x2 + x − 3

= a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10

2

1 −3 0 −6 − 3 18 − 54

0 −3

6

3

9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2 1

2 3

−

5

4 3 2 14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1

2

4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2 1 −2 1 −2 2

−4

= a 2 − 2a + 3

= x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2

= x − 2x + 4 Re s. − 6

1 2

− 5

1

= x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1

=

15 8 15 − 8 0

1

0

−1

0

−

3 2

9 4

1

−

3 2

5 4

1 5 3 4 5 3 1 3 x − x + x + x− 2 4 8 2 4

Re s.

−

5 4

EJERCICIO 76 1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3 Exacta (6 múltiplo de 3) 2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2 Exacta (10 múltiplo de 2) 3

2

3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1 Inexacta (1 no anula el polinomio) 4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3 Inexacta (8 no es múltiplo de 3) 5. 4x 3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1 Exacta (4 múltiplo de 1) 6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1 Inexacta (- 1 no anula el polinomio)

7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5

(− 1)

3

− 2(− 1) + 2(− 1) + 5 2

= − 1− 2 − 2 + 5 = 0 No existe residuo, luego a + 1 divide exactamente al polinomio, por lo que se deduce es un factor de este. 8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10

55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10 = 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0 Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se anula, entonces x - 5 divide con exactitud a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10

3 2

9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3 4

3

17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5 − 25 0 30 − 20 5

2

 3  3  3  3 4  − 7  + 7  − 7  + 3  4  4  4  4

15

7

2

− 6 18 − 54

3 2 21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1 −5 3 −8

0

20 − 12 32 0 k − 8 = 0 entoces k = 8

− a + 2a + 2 ÷ a + 1 −1 1 0 − 2 0

EJERCICIO 77

+ 5x − 6 ÷ x − 1 1 1 1 6

x5 + 1 Inexacta Re s. 2 1. x −1

0

Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6 6 14. x

6 1 6

2.

− 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6 36 − 18 48 − 24 30 −3

8

−4

5

0

Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5 6 5 4 3 2 15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4 4 0 −4 0 4 − 16

1

0 −1

0

1 −4

9

Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9 16. 16x 4 − 24 x 3 + 37x 2 − 24x + 4 ÷ 4x − 1 16

4

−5

− 20

32

8 −4 − 16

87

2 − 6 18 − 29 0 Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0

2

1 1 1 6

4

+ 25a + k ÷ a + 3

4 20. 2a

Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2 13. x 4

−2

1 −1 2 0 k + 4 = 0 , luegok = − 4

Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8

2

0

19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2

11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2 − 4 12 − 16

1 −1 0

30

Sik = − 150 se anula

3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al reemplazar tal valor en el polinomio resultará un residuo, por ende la división no será exacta y 3n + 2 no se puede concebir como factor de dicho polinomio.

12. a

2

2 18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5 35 150

10. 3n + 2 no es factor de

4

−6

Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n − 1; Re s. − 6

324 189 63 21 − + − +3 256 64 16 4 324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768 0 = = =0 256 256 La variable x del dividendo se reemplaza por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el valor de la variable del divisor divisor.. Se observa su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es un divisor exacto de tal polinomio.

8

− 3

12 4

=

2 −6

− 18

0

0

9.

a 5 + 32 Inexacta Re s. 64 a−2

a 4 + b4 Inexacta Re s. 2b 4 a+b

x8 −1 Exacta 3. 2 x +1

10.

x 7 − 128 Inexacta Re s. − 256 x+2

a11 + 1 Inexacta Re s. 2 4. a−1 a 6 + b6 Inexacta Re s. 2b 6 5. 2 a + b2 x7 − 1 Exacta 6. x −1 x3 − 8 Inexacta Re s. − 16 7. x+2

Exacta; coc. 4x 3 − 5x 2 + 8x − 4

8.

x 4 − 16 Exacta x+2

11.

16a 4 − 81b 4 Exacta 2a + 3b

a 3x6 + b9 Exacta 12. ax 2 + b3

EJERCICIO 78 1.

6.

5x = 8x − 15 5x − 8x = − 15 − 3x = − 15 − 15 x= −3 x=5

2. 4 x + 1= 2 4x = 2 − 1 4x = 1 x=

3.

1 4

y − 5 = 3y − 25 y − 3y = − 25 + 5 − 2y = − 20 − 20 y= −2 y = 10

4.

5x + 6 = 10x + 5 5x − 10x = 5 − 6 − 5x = − 1 −1 x= −5 1 x= 5

21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36 8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14 − 6x + 8x = 27 − 21 16x = 65x − 36 + 1 11x − 4 = 8 x + 14 2x = 6 16x − 65x = − 35 11x − 8 x = 14 + 4 − 49x = − 35 6 3x = 18 x= 2 − 35 18 x= x= x=3 − 49 3 x=

10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y 11y − 81= 72y + 102 11y − 72y = 102 + 81 − 61y = 183 183 y= − 61 y=−3

5.

9y − 11= − 10 + 12y 9y − 12y = − 10 + 11 − 3y = 1 y=−

9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x − 4 x + 9 = − x − 13 − 4x + x = − 13 − 9 − 3x = − 22

x=6

5 7

11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x 8x + 11= 10x − 3 8x − 10x = − 3 − 11 − 2x = − 14 − 14 x= −2 x=7

13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x 9x + 14 = − 717x + 256 9x + 717x = 256 − 14 726x = 242

242 726 1 x= 3 x=

1 3

x=

− 22 −3

x=

22 3

12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100 − x + 68 = 8 − 16x − x + 16 x = 8 − 68 15 x = − 60 − 60 15 x=−4 x=

14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172 − 88x = 84 x − 172 − 88x − 84x = − 172 − 172x = − 172 − 172 x= − 172 x =1

EJERCICIO 79 1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3)

x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3 − x − 1 = 5 − 3x − x + 3x = 5 + 1 2x = 6 6 x= 2 x=3

2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6)

15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3 15x − 10 = 4 x + 1 15x − 4 x = 10 + 1 11 11 x=1 x=

5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6 x − 1 = 5x + 17 x − 5x = 17 + 1 − 4 x = 18 18 x= −4 9 x= − 2

5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x)

4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x )

15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x

30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x

10 x = − 10x − 20

26 x − 2 = − 2 x − 14

10 x + 10 x = − 20 20 x = − 20

26 x + 2 x = − 14 + 2 28x = − 12

− 20 20 x= −1

12 28 3 x=− 7

x=

x=−

[

]

[

[

]

] 3x + [− 6x − 3] = 3x − 9

[

] ]

[

16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5 4 x + 6 = 26 x − 5 4 x − 26 x = − 5 − 6

−2 − 2x = − 2 ⇒ x = =1 −2

]

[

}] x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3 x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3 {

8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3

}

9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0

9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0

4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0

[

] ]

x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3

4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0 12 x − 8 = 0 12 x = 8 8 x= 12 2 x= 3

[

x − 11 − x = − 3 x − 11 + x = − 3 2 x = − 3 + 11 2x = 8⇒ x =

] } − {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5 − {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5 [

11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5

[

[

]

x=−5

EJERCICIO 80 1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5 ( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x

5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x 37 x + 43 = 5x − 21

4 x + 8x = − 6 + 3

37 x − 5x = − 21 − 43

12 x = − 3

32 x = − 64

[

] ]

[ [

]

71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3

− {− x} = − 5

x=

]

8 =4 2

10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3)

− {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5

−3 1 ⇒ x= − x= 12 4

]

− 22 x = − 11 − 11 1 = x= − 22 2

− x − x = − 3+ 1

x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12 4 x − 3 = − 8x − 6

[ [

16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5

3x − 6x − 3 = 3x − 9 − 3x − 3 = 3x − 9 − x − 1= x − 3

{

]

16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3

3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9

{

[

7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3)

6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9)

− 64 ⇒ x= − 2 32

[

71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7

]

71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7 74 − 7 x = 32 + 7 x 74 − 32 = 7 x + 7 x 42 = 14 x 42 =x 14 3= x

3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5)

6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x − 14 x + 18 = − 8 x − 14 x + 8 x = − 18 − 6 x = − 18 − 18 ⇒ x=3 x= −6

4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6

(

)(

) (

2

7 x + 5x = − 7 − 5 12 x = − 12

149 − 289 = 6 x + 14 x − 140 = 20 x

− 12 12 x= −1

− 140 =x 20 − 7= x

x=

5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3(2 x + 5) − 12

2

23x + 13x = − 36 − 108 36 x = − 144 − 144 36 x= − 4 x=

) (

2

(

)(

) ( + 13x − 3) = 17 − (10 x

14 − (10 x

3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0

2

6 − 72 1 x= − 12 x=

x=5 7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0

( x − 2)

2

13.

4 x = 20

x − 4 x + 4 + x 2 − 3x = 3 ( x 2 + x − 12) − ( x 2 + x − 2) + 2

20 4 x=5

2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2 2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4 − 7 x − 2 x = − 36 − 9 x = − 36

(3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5)

(

)(

) (

)(

)

− 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21 2

2

41x − 76 x = − 21 + 20 − 35x = − 1 −1 x= − 35 1 x= 35

+ x ( x − 3) = 3( x + 4)( x − 3) − ( x + 2)( x − 1) + 2

2

x=

9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x

) − 59 x − 6)

− 13x − 59 x = 6 − 72 x = 6

− 5x = − 25 − 25 x= −5

− 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0 4 x − 20 = 0

2

14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6

− 5x + 25 = 0

12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20 − 25x + 38 x = 20 − 12 13x = 8 8 x= 13

)(

12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6

)

6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0

8.

=1

x2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1 2x − 5= 1 2x = 6 6 x= 2 x=3

108 + 23x = − 13x − 36

) (

(x − 2) − (3 − x)

11.

126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12

) (

)

2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5 2

149 − 14 x = 289 + 6 x

(

)(

10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5

184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6

x=

− 36 −9

x= 4 14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0 2

2

9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0 − 20x + 4 = 0 − 20x = − 4 −4 x= − 20 1 x= 5

2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12 2

15.

2

2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12 4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12 − 46 x = − 12 − 34 − 46 x = − 46 − 46 x= − 46 x=1

16.

2

7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2 2

19.

5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0 2

2

7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2 2

5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0

2

4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6

− 51x − 27 = 0

− 86 x = − 6 − 37 − 86 x = − 43

− 51x = 27 x=

27 − 51

x=

− 43 − 86

9 17

x=

1 2

x= − 17. x 2 − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x )

x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x − 5x + 15 = − 4 x + 15 − 5x + 4 x = 0 − x= 0

5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2 2

20.

5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2 − x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2 8 x + 13x = − 2 − 47 21x = − 49

x= 0 18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0 3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0

− 49 21 7 x= − 3 x=

45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0 21x − 6 = 0 21x = 6 6 x= 21 2 x= 7

EJERCICIO 81

[

]

1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0

[

] ]

14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0

[

11x + 2 − 4 x + 3 = 0 11x + 2 − 4 x − 3 = 0 7 x − 1= 0 7x = 1 1 x= 7

(3x − 7)

2

2.

[

]

− 5(2 x + 1)( x − 2) = − x 2 − − (3x + 1)

[

]

9 x 2 − 42 x + 49 − 5(2 x 2 − 3x − 2) = − x 2 − − 3x − 1

9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1 − 27 x + 59 = 3x + 1 − 27 x − 3x = 1− 59 − 30 x = − 58 − 58 29 ⇒ x= x= − 30 15

{

]}

[

3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1)

{

]} 4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1} 4 x − 1 = − {− 3x + 1} [

(x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7 ( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7

8.

6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1

2

2

x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7 4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57

4 x − 1 = 3x − 1

x + 16 x = − 57 + 6

4 x − 3x = − 1 + 1

17 x = − 51

x=0

(

) { − 3 = − {3x − 3 = − {3x

(

) (

x=

)}

4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2 2

2 x − 3x

2

2 x − 3x 2

2

2 2

+ 2 x − 2 − 3x − 6}

− x − 8}

(x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3) + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x 3

9.

x 3 + 3x 2

3

2

2

3

6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x 2 = − 18 x 2 1 = x⇒ − = x − 18 9

x = 11

]} = 0 − {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0 x − {3x + [x + x − 4] } = 0 ) (

)

2 2 2 5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x

x

2

2

2

3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3

2

2

10.

(3x

3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x − 48x + 3x = − 60 − 45x = − 60 − 60 4 ⇒ x= x= − 45 3

x=1

}

3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2

[

]

3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2 2

2

[

− 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x 2

2

2

− 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2 − 5x + 3x = 16 − 15 − 2x = 1 1 x= − 2

(x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1) (x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1)

7.

2

2

x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2 3

2

2

− 12 x + 12)( x + 5) = (3x 2 + 6 x + 3)( x − 1) + 3

2

− 4x = − 4 −4 x= −4

[{

2

3x + 15x − 12 x 2 − 60 x + 12 x + 60 = 3x 3 − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3 3

x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0

2

2

3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3

2

x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0

6.

2

2

2x − x = 8 + 3

2

3

x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x 3

2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8

{ [(

− 51 ⇒ x= − 3 17

]

]

EJERCICIO 82 1.

x → N º mayor x − 8 → N º menor x + x − 8 = 106 2 x − 8 = 106 2 x = 106 + 8 114 x= 2 x = 57 → N º mayor

3

− 7 x − 6 = − 3x − 2 − 7 x + 3x = − 2 + 6 − 4x = 4 4 ⇒ x= −1 x= −4

x − 8 ⇒ 57 − 8 = 49 → N º menor

2.

x → Nº mayor x − 32 → Nº menor x + x − 32 = 540 2x = 540 + 32 2x = 572 572 x= 2 x = 286 → Nº mayor

6. A + B = 1.080 soles A − 1.014 = B A + A − 1.014 = 1.080 2A = 1.080 + 1.014 2 .094 A= 2 A = 1.047 soles

A − 1.014 = B ⇒ 1.047 − 1.014 = B 33 soles = B

x − 32 ⇒ 286 − 32 = 254 → Nº menor 7. 3.

10.

= 96 → Nº menor 2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2 = 96 + 2 = 98 → Nº mayor

x → Nº mayor x − 1→ Nº menor x + x − 1= 103 2x = 103 + 1 104 x= 2 x = 52 → Nº mayor

A + B = 1.154 bs. A − 506 = B A + A − 506 = 1.154 2A = 1.154 + 506 2A = 1.660 1.660 A= 2 A = 830 bs.

11.

x + x − 1+ x − 2 = 186 3x − 3 = 186 3x = 189 189 x= 3 x = 63 → Nº mayor x − 1⇒ 63 − 1

x − 1⇒ 52 − 1 8.

x + 2 → Nº mayor x + x + 1+ x + 2 = 204 3x + 3 = 204 3x = 204 − 3 201 x= 3 x = 67 → Nº menor

130 2 x = 65 x → Nº mayor x=

x + 1⇒ 67 + 1 = 68 → Nº medio

x − 24 ⇒ 65 − 24

x + 2 ⇒ 67 + 2

= 41→ Nº menor 5. A + B = 56 años A + 14 = B A + A + 14 = 56 2A = 56 − 14 42 A= 2 A = 21años

A + 14 = B 21+ 14 = B 35 años = B

x → Nº menor x + 1 → Nº medio

4. x → Nº mayor x − 24 → Nº menor x + x − 24 = 106 2x = 106 + 24

= 69 → Nº mayor 9.

x → Nº 1

x + 1→ Nº 2 x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4 x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74

= 62 → Nº medio x − 2 ⇒ 63 − 2 = 61→ Nº menor

12. caballo + coche + arreos = 325 coche + 80 = caballo coche − 25 = arreos coche + 80 + coche + coche − 25 = 325 3 coches + 55 = 325 3 coches = 270 270 coche = 3 coche = $ 90

4x + 6 = 74 4x = 74 − 6 68 x= 4 x = 17 → Nº 1 x + 1⇒ 17 + 1 = 18 → Nº 2 x + 2 ⇒ 17 + 2 = 19 → Nº 3

x → Nº mayor x − 1→ Nº medio x − 2 → Nº menor

= 51→ Nº menor A − 506 = B ⇒ 830 − 506 = B 324 bs. = B

2x → Nº menor 2x + 2 → Nº mayor 2x + 2x + 2 = 194 4x = 194 − 2 192 x= 4 x = 48 2x ⇒ 2 ⋅ 48

x + 3 ⇒ 17 + 3 = 20 → Nº 4

coche + 80 = caballo ⇒ 90 + 80 = caballo $ 170 = caballo coche − 25 = arreos ⇒ 90 − 25 = arreos $ 65 = arreos

13.

x → Nº mayor x − 32 → Nº medio

EJERCICIO 83 16.

x − 65 → Nº menor

x → 1º x − 20 → 2º x − 20 − 40 → 3º

x + x − 32 + x − 65 = 200 3x − 97 = 200 3x = 297 297 x= 3 x = 99 → Nº mayor x − 32 ⇒ 99 − 32

⇒ x − 60 → 3º x + x − 20 + x − 60 = 310 3x = 310 + 80 3x = 390 390 x= 3 x = 130 → 1º x − 20 ⇒ 130 − 20

= 67 → Nº medio x − 65 ⇒ 99 − 65

= 110 → 2º x − 60 ⇒ 130 − 60

= 34 → Nº menor

= 70 → 3º 14.

x → 1º cesto x − 10 → 2º cesto x − 15 → 3º cesto x + x − 10 + x − 15 = 575 3x − 25 = 575 3x = 600 600 x= 3 x = 200 → 1º cesto x − 10 ⇒ 200 − 10 = 190 → 2º cesto x − 15 ⇒ 200 − 15 = 185 → 3º cesto

15.

17.

x → mayor x − 20 → menor x − 18 → medio x + x − 20 + x − 18 = 88 3x − 38 = 88 3x = 88 + 38 3x = 126 126 x= 3 x = 42 → mayor x − 20 ⇒ 42 − 20 = 22 → menor x − 18 ⇒ 42 − 18 = 24 → medio

x → mayor x − 55 → medio x − 70 → menor x → mayor 18. x + x − 55 + x − 70 = 454 x − 36 → menor 3x − 125 = 454 x + x − 36 = 642 3x = 454 + 125 2x − 36 = 642 3x = 579 2x = 642 + 36 579 x= 2x = 678 3 678 x = 193 → mayor x= 2 x − 55 ⇒ 193 − 55 x = 339 → mayor = 138 → medio x − 70 ⇒ 193 − 70 x − 36 ⇒ 339 − 36 = 123 → menor = 303 → menor

1.

x → edad Juan 3x → edadPedro x + 3x = 40 4 x = 40 40 4 x = 10 → edad Juan x=

3x ⇒ 3 ⋅10 = 30 → edadPedro

2. x → Arreos 4x → Caballo x + 4x = 600 5x = 600 600 x= 5 x = $ 120 → Arreos 4x ⇒ 4 ⋅120

= $ 480 → Caballo 3. x → 1º piso x → 2º piso 2 x x + = 48 2 2x + x = 48 2 3x = 48 ⋅ 2 3x = 96

96 3 x = 32 Habt. → 1º piso x 32 ⇒ 2 2 = 16 Habt. → 2º piso x=

4. A + B + C = 300

B = 2A C = 3A ⇒ A + 2A + 3A = 300 6A = 300 300 A= 6 A = 50 colones B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50 = 100 colones C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50 = 150 colones

8. x → 1º parte 5. A + B + C = 133 4x → 2º parte B A= 5x → 3º parte 2 x + 4x + 5x = 850 C = 2B 10x = 850 B ⇒ + B + 2B = 133 2 850 x= B 10 + 3B = 133 2 x = 85 → 1º parte B + 6B 4x ⇒ 4 ⋅ 85 = 133 2 = 340 → 2º parte 7B = 133 ⋅ 2 5x ⇒ 5 ⋅ 85 266 = 425 → 3º parte B= 7 B = 38 Sucres

B 38 ⇒ 2 2 = 19 Sucres C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38 A=

= 76 Sucres

7.

A + B + C = 140 A B = ⇒ 2B = A 2 C B = ⇒ 4B = C 4 2B + B + 4B = 140 7B = 140 140 B= 7 B = 20 Quetz. A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 Quetz. C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20 = 80 Quetz.

x → 1º parte x → 2º parte 3 4x → 3º parte 3 x 4x = 96 x+ + 3 3 3x + x + 4 x = 96 3 8x = 96 ⋅ 3 8x = 288 288 x= 8 x = 36 → 1º parte x 36 ⇒ = 12 → 2º parte 3 3 4x 4 ⋅ 36 ⇒ = 4 ⋅12 = 48 → 3º parte 3 3

14.

x → EdadEnrique 2x → EdadPedro 3x → Edad Juan 6x → EdadEugenio x + 2x + 3x + 6x = 132 12x = 132 132 x= 12 x = 11→ EdadEnrique 2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro 3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan 6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio

9. x → Nº buscado 2x = x + 111 2x − x = 111 x = 111→ Nº buscado

6. x → Nº mayor x → edadRosa 10. x 3 15 x + → edaría → Nº menor 6 x + 3x + 15 = 59 x x + = 147 4x = 59 − 15 6 4x = 44 6x + x = 147 44 6 x= 4 7x = 147 ⋅ 6 x = 11→ edadRosa 7x = 882 3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15 882 x= = 33 + 15 7 = 48 → edaría x = 126 → Nº mayor

x 126 ⇒ 6 6 = 21→ Nº menor

13.

11. x → Nº buscado 8 x = x + 21 8 x − x = 21 7 x = 21 21 x= 7 x = 3 → Nº buscado

12. x → Mi edad 3x + 7 = 100 3x = 100 − 7 3x = 93 93 x= 3 x = 31→ Mi edad

EJERCICIO 84 1.

x → 1º parte 3x → 2º parte 3x − 40 → 3º parte x + 3x + 3x − 40 = 254 7x = 254 + 40 7x = 294 294 x= 7 x = 42 → 1º parte 3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte 3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40 = 126 − 40 = 86 → 3º parte

x → 1º Número A + B + C = 152 8. x−6 B+8 → 2º Número B = 2 A − 8⇒ =A C = 2A 5 2 B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A x − 6 → 3º Número B − 32 = C B = 2A + 15 x−6 B+8 + x − 6 = 72 x+ + B + B − 32 = 152 A + 2A + 15 + 2A = 130 5 2 5A = 130 − 15 x 6 B 8 2x + − = 78 + + 2 B = 152 + 32 5A = 115 5 5 2 2 10x + x 6 B + 4B 115 = 78 + A= = 184 − 4 5 5 2 5 11x 390 + 6 5B = 180 ⋅ 2 A = 23 Balb. = 5 5 B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb. 360 B= 11x = 396 5 C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb. 396 B = $ 72 x= 11 x → 1º Número 3. B + 8 72 + 8 80 ⇒ = = $ 40 A= x = 36 → 1º Número x−8 2 2 2 → 2º Número x−6 36 − 6 C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40 2 ⇒ 5 5 x − 18 → 3º Número 30 x−8 = = 6 → 2º Número x+ + x − 18 = 238 5 2 x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número x 8 2x + − = 256 2 2 6. A + B = 99 4x + x 9. x → Nº buscado = 256 + 4 B = 3A + 19 2 x − 80 = 220 − 2 x 5x = 260 ⋅ 2 A + 3A + 19 = 99 x + 2x = 220 + 80 520 4A = 99 − 19 3x = 300 x= 5 4A = 80 300 x= x = 104 → 1º Número 80 3 A= x − 8 104 − 8 96 4 x = 100 → Nº buscado ⇒ = = 48 → 2º Número 2 2 2 A = 20 bs. x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19 = 60 + 19 = 79 bs. x → Costo traje 4. 7. x → cm de azúl x 10. x → Tengo ahora → Costo sombrero 8 x − 14 2x + 10 = x + 60 → cm deblanco x − 30 → Costo bastón 2 2x − x = 60 − 10 x − 14 x x = 50 S /. → Tengo ahora x + = 74 x + + x − 30 = 259 2 8 x 14 x x+ − = 74 2x + = 259 + 30 x → Parte separada 2 2 8 11. 2x + x 16x + x + → La otra parte 80 x = 74 + 7 = 289 2 8 x + x + 80 = 910 3x = 81⋅ 2 17x = 289 ⋅ 8 2x = 910 − 80 162 2 .312 830 x= x= x= 3 17 2 x = 54 → cmde azúl x = $ 136 → Costo traje x = 415 cm x − 14 54 − 14 x 136 ⇒ 4 ,15 m → Parte separada ⇒ ⇒ = $ 17 → Costo sombrero 2 2 8 8 x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm 40 x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón = = 20 → cmde blanco ⇒ 4 , 95 m → La otra parte 2 2. A + B + C = 130

5.

12.

x → Edad padre 14. x → Nº buscado x−3 13. A + B + C = 9 . 000 8 x − 60 = 60 − 7 x → Edad hijo B + 500 = A 3 8 x + 7 x = 60 + 60 x−3 B − 800 = C 15 x = 120 = 83 x+ 3 B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000 120 x= x 3 3B = 9 .000 + 300 15 x + − = 83 3 3 9 . 300 x = 8 → Nº buscado B= 3x + x 3 = 83 + 1 15. x → Edad hom bre 3 B = 3 .100 Votos 2x − 17 = 100 − x 4x = 84 ⋅ 3 A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos 2x + x = 100 + 17 252 C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos x= 3x = 117 4 x = 63 → Edad padre 117 x= x − 3 63 − 3 60 3 ⇒ = = 20 → Edad hijo x = 39 → Edad hom bre 3 3 3

EJERCICIO 85 1.

2.

x → Nº mayor 2x → Nº menor 3 2x = 100 x+ 3 3x + 2x = 100 3 5x = 100 ⋅ 3 300 x= 5 x = 60 → Nº mayor 2x 2 ⋅ 60 ⇒ = 40 → Nº menor 3 3 x → Edad padre x − 15 → Edad hijo 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 = 60 x+ − 2 2 2x + x 15 = 60 + 2 2 3x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Edad padre x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Edad hijo 2 2

3.

x → Partemayor x − 232 → Partemenor x + x − 232 = 1.080 2x = 1.080 + 232

x → Nº mayor

6.

x − 88 → Nº menor 3 x − 88 = 540 x+ 3 x 88 x+ − = 540 3 3 3x + x 88 = 540 + 3 3 4 x 1. 620 + 88 = 3 3 4 x = 1. 708 1.708 x= 4 x = 427 → Nº mayor

1.312 2 x = 656 → Partemayor x − 232 ⇒ 656 − 232 = 424 → Partemenor x=

4. A + B = 150 A − 46 = B A + A − 46 = 150 2A = 150 + 46 196 A= 2 A = 98 Soles B = A − 46 ⇒ 98 − 46

427 − 88 x − 88 ⇒ 3 3 339 = = 113 → Nº menor 3

= 52 Soles

5.

x → Ang. mayor x + 45 → Ang. menor 2 x + 45 = 180 x+ 2 x 45 = 180 x+ + 2 2 2x + x 45 = 180 − 2 2 3x 360 − 45 = 2 2 3x = 315 x=

7.

315 3

x = 105 ! → Ang. mayor x + 45 105 + 45 ⇒ = 75! → Ang. menor 2 2

x → N º mayor x − 12 → N º menor 4  x − 12  x−   = 36  4  x−

x 12 + = 36 4 4 4x − x = 36 − 3 4 3x = 33⋅ 4 3x = 132

132 3 x = 44 → N º mayor x − 12 44 − 12 ⇒ = 8 → N º menor 4 4 x=

8 x → Costo perro x → Costo collar 8 x x + = 54 8 8x + x = 54 8 9x = 54 ⋅ 8 9x = 432 432 9 x = $ 48 → Costo perro 48 x ⇒ = $ 6 → Costo collar 8 8

A + B = 84

9.

10.

⇒ A − 16 − 20 = B A − 36 = B A + A − 36 = 84 2A = 84 + 36 120 2 A = $ 60 A=

x=

B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24

x → Nº mayor x + 150 → Nº menor 3 x → Parte mayor 11. x + 150 = 506 x+ x + 16 → Parte menor 3 3 150 x x + 16 x + = 506 − = 160 x+ 3 3 3 3x + x 1.518 − 150 x 16 = x + = 160 − 3 3 3 3 3x + x 480 − 16 4x = 1.368 = 3 3 1. 368 x= 4x = 464 4 464 x= x = 342 → Nº mayor 4 x + 150 342 + 150 x = 116 → Parte mayor ⇒ 3 3 x + 16 116 + 16 ⇒ 492 3 3 = = 164 → Nº menor 132 3 = = 44 → Parte menor 12.

3

EJERCICIO 86 1. 2 x → Edad actual A x → Edad actual B

2 x − 10 = 3 ( x − 10)

3. 2x → Tiene A x → TieneB 2x − 30 = x − 5 2x − x = 30 − 5

x = $ 25 → TieneB

2 x − 10 = 3x − 30 2 x − 3x = − 30 + 10 − x = − 20 x = 20 → Edad actual B 2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A 2.

3x → Edad A x → Edad B

3x + 5 = 2 ( x + 5) 3x + 5 = 2 x + 10

3x − 2 x = 10 − 5 x = 5 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A

2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A 4.

x → Tiene A 2 x → Tiene B x + 66 = 2 ( x − 90) 2 x + 132 = 2 ( x − 90) 2

x + 132 = 4 (x − 90) x + 132 = 4 x − 360 − 3x = − 492

− 492 −3 x = 164 colones → Tiene B x 164 ⇒ = 82 → colones Tiene A 2 2 x=

x → Nº Señoritas x − 15 → Nº Jovenes 2 x − 15 = 60 x+ 2 x 15 x + = 60 + 2 2 2 x + x 120 + 15 = 2 2 3x = 135 135 x= 3 x = 45 → Nº Señoritas x − 15 45 − 15 ⇒ = 15 → Nº jovenes 2 2

A − 16 = B + 20

13.

x → Esti log ráfica x − 10 → Lapicero x + x − 10 = 18 2x = 28 28 x= 2 x = 14 bs. → Esti log ráfica x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero

14.

x → Parte roja x + 4 → Parte negra x + x + 4 = 84 2x = 80 x = 40 cm → Parte roja x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra

5. x → Nº var ones x → Nº Srtas 3 x + 14 = x − 10 3 x − x = − 10 − 14 3 x − 3x = − 24 3 − 2x = − 72

x = 36 → Nº var ones x 36 ⇒ = 12 → Nº Srtas 3 3 6. 3x → Edad padre x → Edad hijo

3x − 5 = 2 ( x + 10) 3x − 5 = 2 x + 20

x = 25→ Edad hijo 3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre

8. 5x → Tiene Enrique x → Tiene suhno. 5x − 0 ,5 = x + 0 , 5 5x − x = 0 , 5 + 0 , 5

x → Nº mayor 7. 2x − 56 → Nº menor x + 2x − 56 = 85 3x = 141 141 x= 3 x = 47 → Nº mayor 2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56 = 94 − 56 = 38 → Nº menor

x → Bolsa 1 x − 400 → Bolsa 2 x + x − 400 = 1. 400 2x = 1. 800 x = 900 S /. → Bolsa 1

9.

4x = 1 1 x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2 x= 4 x = $ 0 , 25 → Tiene suhno 5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25 12. 3x → Edad actual Juan x → Edad actual hijo

= $ 1, 25 → Tiene Enrique

3x + 22 = 2 ( x + 22)

11. 2 x → Edad act . padre x → Edad act . hijo

10. 4x → Días Trab.Pedro x → Días Trab.Enrique 4x − 15 = x + 21 4x − x = 21+ 15 3x = 36

3x = 2 x + 44 − 22 x = 22 → Edad actual hijo 3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan

2 x − 14 = 3( x − 14) 2 x − 14 = 3x − 42

13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B

2 x − 3x = − 42 + 14 − x = − 28

36 3 x = 12 → Días Trab.Enrique 4x ⇒ 4 ⋅12 x=

= 48 → Días Trab.Pedro

A + 80 = 3 ( B + 4)

⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12 − B − 3B = 12 − 164

x = 28 → Edad act . hijo

− 4 B = − 152 − 152 B= −4

Edades hace 14 años : 2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14 = 42 años → padre x − 14 ⇒ 28 − 14

B = $ 38 A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46

= 14 años → hijo

EJERCICIO 87 3. 16 − x → Pr ob. reslt . x → Pr ob. no reslt .

1. 2x → Nº Sombreros x → Nº trajes 4x + 50x = 702 54x = 702

5. 35 − x → Trajes de 30 Q x → Trajes de 25 Q

30 (35 − x ) + 25x = 1.015

12 (16 − x) − 5x = 73

1. 050 − 30 x + 25x = 1.015

192 − 12 x − 5x = 73

702 54 x = 13 → Nº trajes 2x ⇒ 2 ⋅13

− 5x = 1.015 − 1.050

− 17 x = 73 − 192

x=

x=

− 119 − 17

x=

x = 7 → Pr ob. no reslt .

= 26 → Nº Sombreros

16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt . 6.

2.

x → Cab. x − 6 → Vacas

600x + 800 ( x − 6) = 40 .000

4. 50 − x → Días trab. x → Días no trab.

600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000 1. 400x = 44 .800 x=

44 .800 1. 400

x = 32 → Cab. x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas

3(50 − x) − 2 x = 90

150 − 3x − 2 x = 90 − 5x = − 60 x=

− 60 −5

x = 12 → Días no trab. 50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab.

− 35 −5

x = 7 → Trajes de 25 Q 35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q

x → Traje Cal. x − 7 → Traje inf.

32 x + 18 ( x − 7) = 1.624

32 x + 18x − 126 = 1. 624 50x = 1.750 1.750 x= 50 x = 35balb. → Traje Cal. x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.

8. 3 x + 5 → Sac. Frij. 7. 3x → N º Lápices

x → N º cuad . 0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47 0 , 21x = 1, 47 1 , 47 x= 0 , 21 x=7

⇒ 7 → N º cuad . 3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices

x → Sac. azúc.

6 (3 x + 5) + 5 x = 582 18 x + 30 + 5x = 582 23 x = 552 552 23 x = 24 ⇒ 24 → Sac. azúc. 3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5 = 77 → Sac. Frij. x=

9. 80 − x → Cedro

10. 1. 050 − x → P. mayor x → P. menor

x → Caoba

3 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825 0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40 60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 403 .150 − 3x − 2 x = 1.825 − 5x = 1.825 − 3.150 0 ,15x = 8 , 40 − 5x = − 1. 325 8 , 40 x= − 1. 325 0 , 15 x= −5 x = 56 x = 265 3 ⇒ 56 pies → Caoba ⇒ 265 → P. menor 80 − x ⇒ 80 − 56 1 . 050 − x ⇒ 1. 050 − 265 = 24 pies3 → Cedro = 785 → P. mayor

EJERCICI0 88 1.

x → 1º 2x → 2º x + 2x − 20 → 3º ⇒ 3x − 20 → 3º x + 2x + 3x − 20 = 196 6x = 196 + 20 216 x= 6 x = 36 → 1º 2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º 3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20 = 108 − 20 = 88 → 3º

2. 3x → Edad A x → Edad B

3x − 5 = 4 ( x − 5) 3x − 5 = 4 x − 20

3x − 4 x = − 20 + 5 − x = − 15 x = 15 → Edad B 3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A

3.

x → Par zap. 2 x + 50 → Traje

4. x → Costo casa 7. x → Gasté x x = + 2 . 000 85 − x = 4x 4 6 85 = 5x x x + 12 . 000 = 85 4 6 =x 5 6x = 4x + 48 . 000 17 = x 2x = 48 . 000 ⇒ $ 17 → Gasté 48 .000 x= 2 x = 24 . 000bs. → Costo casa 5.

x → Nº mayor 8. 2 x − 156 → Nº menor 3 2 x − 156 = 108 x+ 3 2x 156 x+ = 108 + 3 3 3x + 2x 324 + 156 = 3 3 5x = 480 480 x= 5 x = 96 → Nº mayor 2 x − 156 2 ⋅ 96 − 156 ⇒ 3 3 36 = = 12 → Nº menor 3

9.

x → Edad act . B

2 ( x − 12) → Edad A hace 12 años 2 ( x − 12) + 24 + 68 = 3 ( x + 12)

2 x − 24 + 92 = 3x + 36 2 x − 3x = 36 − 68 − x = − 32 x = 32 → Edad act . B Edad actual de A :

2 ( x − 12) + 12 ⇒ 2 (32 − 12) + 12 = 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años

x → mon. 10 cts. 22 − x → mon. 5 cts.

6. x → Ancho 0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85 461− 11= 9x 50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000 0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85 450 = 9x 100 x + 2.500 + 35x = 16 .000 0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10 450 =x 135x = 16 .000 − 2. 500 0 , 05x = 0 , 75 9 13. 500 50 = x 0 , 75 x= x= 135 ⇒ 50 pies → Ancho 0 , 05 x = 100 soles → Par zap. x = 15 → mon.10 cts. 2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje 22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.

10. x → N º buscado

15.

12 ( x − 24) = 24 ( x − 27) 12 x − 288 = 24 x − 648 12 x − 24 x = − 648 + 288 − 12 x = − 360 − 360 x= − 12 x = 30 → N º buscado

11. x → c / cab.

35x = 40 ( x − 10) 35x = 40 x − 400 − 5x = − 400 x=

− 400 −5

x = $ 80 → c / cab. 12. x → Nº buscado 3x − 55 = 233 − x 3x + x = 233 + 55 4x = 288 288 x= 4 x = 72 → Nº buscado 13.

x → N º menor x + 1→ N º medio x + 2 → N º mayor

2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740

x → Parte hijo x + 2 . 000 → Parte hijas

3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500

19.

x → Lunes 2 x → Martes 4 x → Miercoles

8 x → Jueves 3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500 8 30 → Viernes x − = 5x 12 . 500 8 x − 20 → Sábado 12 .500 x= x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911 5 x = 2 .500 31x − 50 = 911 ⇒ 2 .500 colones → Parte hijo 31x = 911 + 50 x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500 961 x= ⇒ 4 .500 colones → Parte hijas 31 x = $ 31→ Lunes x → N º mayor 16. 2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes x − 1→ N º menor 2 4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles 2 x − x − 1 = 31 8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves 2 2 x − x + 2 x − 1 = 31 8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes 2 x = 32 8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado x = 16 → N º mayor

(

)

x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor 17. 3x → Edad A x → Edad B x → Edad C 5 x − 12 → Edad C Luego : x = x − 12 5 x = 5 ( x − 12) x = 5x − 60 − 4 x = − 60 x = 15 → Edad B 3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A

x → Nº 1

20.

x − 18 → Nº 2 x + x − 18 = 3 ⋅18 2x = 54 + 18 72 x= 2 x = 36 → Nº 1 x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2

21.

x → Tiene A

3( x − 16) → Tiene B x + 3 ( x − 16) = 36

x + 3x − 48 = 36 2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740 x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C 4 x = 84 9 x = 740 − 11 x → Edad act . A 18. 84 x= 729 x+5 4 x= → Edad B en 5 años 9 3 x = $ 21→ Tiene A x = 81 x + 20 → Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16) ⇒ 81 → N º menor 2 = 3⋅ 5 = $15 → Tiene B Luego : x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio x+5 x + 20 22. 3x → Tiene A x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor + 15 = 3 2 x → Tiene B x → A caballo 14. x + 5 + 45 x + 20 x = → Tiene C 3x → Enauto 3 2 2 x − 20 → A pie 2 ( x + 50) = 3( x + 20) x  3x − 1 − ( x − 3) = 2  + 20 x + 3x + x − 20 = 150 2 x + 100 = 3x + 60 2  5x = 150 + 20 − x = − 40 3x − 1 − x + 3 = x + 40 170 x = 40 → Edad act . A 2 x − x = 40 − 2 x= 5 Edad actual de B : x = 38 → Tiene B x = 34 Km → A caballo 40 + 20 x + 20 3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A − 20 ⇒ − 20 3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto 2 2 x 38 x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie ⇒ = $19 → Tiene C = 30 − 20 = 10 años 2 2

23. x → Costo tienda x x − 800 = 5 7 x − 4 . 000 x = 5 7 7 x − 28 .000 = 5 x 2 x = 28 .000

24.

x → Cab. peor

28

2 ( x + 15) → Cab. mejor x + 2 x + 30 = 120 3x = 90 x = $ 30 → Cab. peor

2 ( x + 15) = 2 (30 + 15)

= 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor x → queda A 3x → queda B x + 3x = 160 4x = 160

2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o

x → Lunes x + 6 → Martes x + 12 → Miercoles x + 18 → Jueves 4x → Jueves x + 18 = 4x − 3x = − 18

31. 3x → Padre hace 5 años x → Hijo hace 5 años

3x + 10 = 2 ( x + 10) 3x + 10 = 2 x + 20 x = 10 años

Edad actual Padre : 3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años

x = $ 6 → Lunes

Edad actual Hijo :

x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles

x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años

4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves

x = 40 Como A tenía 80 Q. ⇒ lo que perdío A

32. 3x → Edad A en 4 años x → Edad B en 4 años

29. x → Tenía ppio. 2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0

3x − 6 = 5 ( x − 6)

2 x − 440 + 4 x − 100 = 0 6 x = 540 540 x= 6 x = 90 ⇒ 90 soles → Tenía ppio.

= 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q.

26. 2 x → Emp. A x → Emp. B

2 (2 x − 400) = x + 400 4 x − 800 = x + 400 3x = 1. 200 x = $ 400 → Emp. B

2

2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2 2 x = 24 x = 12 m → Ancho

4 x + 5 = 3x + 15 x = 10 → Vacas 4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab.

x + 2 ( x + 15) = 120

25.

(2 x − 6)(x + 4) = 2 x

4 x + 5 = 3 (x + 5)

x = 14 . 000 ⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda

30. 2 x → L arg o x → Ancho

27. 4 x → Cab. x → Vacas

3x − 6 = 5x − 30 − 2 x = − 24 x = 12 años Edad Actual A : 3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años Edad Actual B : x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años

2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A

EJERCICIO 89

(

1. a + ab = a a + b 2

)

( ) 3. x + x = x ( x + 1) 4. 3a − a = a (3a − 1) 5. x − 4 x = x (1 − 4 x ) 6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m) 2. b + b 2 = b 1 + b 2

3

2

2

11.

12. 15c d + 60c d = 15c d 3

13.

20. 2a 2 x + 2ax 2 − 3ax

9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 (a 2 − 2 x ) 2

2

3

2

2

= ax (2a + 2 x − 3)

(c + 4d )

21.

35m2 n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m)

(

22. 14 x 2 y 2 − 28 x 3 + 56 x 4

)

14. abc + abc2 = abc 1 + c

(2a − 3xy ) 16. a + a + a = a (a + a + 1) 7. ab − bc = b (a − c) 17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1) 8. x y + x z = x ( y + z) 18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1) 9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x ) 10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x ) 3

4

2

3

3

2

15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

x 3 + x 5 − x 7 = x 3 (1 + x 2 − x 4 ) = 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )

23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2

= 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )

24. 96 − 48mn 2 + 144n 3

= 48 (2 − mn 2 + 3n 3 )

25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2

= a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )

26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3

34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4

= 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 )

= 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 )

27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x

35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2

= 31a x (3axy − 2 x y − 4) 2

28. 29.

2

x − x + x − x = x (1 − x + x − x 2

3

= 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c)

2

4

2

3

)

4

3

2

2

30. 25x − 10 x + 15x − 5x 7

5

3

4

2

2 3 4 5 6 37. a − 2a + 3a − 4a + 6a

= a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 )

2

= 5x (5x − 2 x + 3x − 1) 2

31.

5

3

38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m

x − x + 2 x − 3x = x ( x − x + 2 x − 3) 15

12

x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x (x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)

36.

a − 3a + 8a − 4a = a (a − 3a + 8a − 4) 6

9

6

6

9

6

3

= ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm)

32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3

20 16 12 8 4 2 39. a − a + a − a + a − a

= 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 )

= a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1)

33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3

= 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 )

EJERCICIO 90

(x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4)

1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b)

19.

2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3

20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1

( ) ( ) ( )( ) 3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y ) 4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n) 5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y ) 6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1) 7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1) 8.

(

21.

)

14.

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

= ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n)

25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x 26.

3

2

)

4m (a 2 + x − 1) + 3n ( x − 1 + a 2 ) = (a 2 + x − 1)(4m + 3n)

15. x (2a + b + c) − 2a − b − c

= x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1)

17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y ) 18.

)(

24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n)

a (a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b

16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3)

) (

5x (a 2 + 1) + (x + 1) (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(6x + 1)

(

) ( )( ) 10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a ) 11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1) 12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1) 13.

)(

23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2

(

2

) (

= (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b )

9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y

3

2

22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b )

a 2 + 1− b (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(1 − b)

(

2

(a + b − 1)(a + 1) − a 2

2

− 1 = (a 2 + 1)(a + b − 2)

27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3)

= ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a

(

)

(

) (

) ( )( ) 29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1) 30. x (a + 2) − a − 2 + 3 (a + 2) = (a + 2)(x + 2) 31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4) 28. 3x x − 1 − 2 y x − 1 + z x − 1 = x − 1 3x − 2 y + z

(

)(

) (

) (

)( ) = (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2)

32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2

(a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1)

)

EJERCICIO 91

9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby 2

1. a 2 + ab + ax + bx

2

2

2

= a (a + b) + x (a + b) = (a + b)(a + x )

= (1 − 2 x )(3a − b 2 )

3 2 11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx

3. ax − 2bx − 2ay + 4by

= (ax − 2bx ) − (2ay − 4by )

= (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx )

= (a − 2b)( x − 2 y )

= 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b)

= x (a − 2b) − 2 y (a − 2b)

4. a x − 3bx + a y − 3by 2

2

2

2

2

2

= (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 ) = x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b) = (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 )

5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4

= (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 ) = 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 ) = (1 + x 4 )(3m − 2n)

2 2 2 6. x − a + x − a x

= − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x ) = − a 2 (1 + x) + x ( x + 1) = ( x + 1)( x − a 2 )

= (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 ) = 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 ) = (a 2 + 1)(4a − 1)

8. x + x − xy − y 2

2

= 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax ) = (ax − b)(4a 2 − 3m) 12. 6ax + 3a + 1 + 2 x

= (6ax + 3a ) + (1 + 2 x )

= 3a (2 x + 1) + (2 x + 1) = (2 x + 1) (3a + 1)

3 2 13. 3x − 9ax − x + 3a

= (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a )

= x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1) = (3x 2 − 1)( x − 3a )

14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx 2

2

= (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx) = a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x )

= a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y )

7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a

2

= ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 ) = x (1 + x ) − y 2 ( x + 1) = ( x + 1)( x − y 2 )

2

2

2

= n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 )

= 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )

= (a − b)(m + n)

2

= (x 2 + y 2 )(3ab − 2)

= (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x)

= m (a − b) + n (a − b)

2

= (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x )

2 2 10. 3a − b + 2b x − 6ax

2. am − bm + an − bn = (am − bm) + (an − bn)

2

= (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 ) = 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 )

= (a 2 + ab) + (ax + bx )

17. n x − 5a y − n y + 5a x

= (2 x − 5 y )(a 2 − 3b)

15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3

= (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 ) = xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 ) = (2 x + y 2 )( xy + z 2 )

16. 6m − 9n + 21nx − 14mx

= (6m − 14mx ) − (9n − 21nx ) = 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x ) = (3 − 7 x )(2m − 3n)

= n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x ) = ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 ) 18. 1 + a + 3ab + 3b

= (1 + a ) + (3ab + 3b) = (1 + a ) + 3b (a + 1) = (1 + a )(3b + 1)

19. 4am − 12amn − m + 3n 3

2

= (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n) = 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n) = (m2 − 3n)(4am − 1)

20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay

= (20ax + 8ay) − (5bx + 2by ) = 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y) = (5x + 2 y )(4a − b)

21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab

= (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab) = (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3) = (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 ) = (3 − x 2 )(1 − 2ab)

3 2 22. a + a + a + 1

= (a 3 + a 2 ) + (a + 1)

= a 2 (a + 1) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)

23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2

= (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 ) = 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a ) = (a + x )(3a − 7b 2 )

24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1

= (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1) = 2a (m − n + 1) − (m − n + 1) = (2a − 1)(m − n + 1)

28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2

25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b

= (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b)

= − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 )

= 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2)

= − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 )

= ( x + y − 2)(3a − 2b )

= (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 )

29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y

26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2

= (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 )

= (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 )

= (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 )

= 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 )

= 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 )

= a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 )

27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b 3

2

2

2

= (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 ) 2

2

2

2

= 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b 2

2

2

= (3a − 1)(a − ab + 3b 2

2

)

2. a

2

3. x 2 4.

2

y + 2 y + 1 = ( y + 1) 2

2

2

(

)

(

7.

)

11. 12.

(

)

)

)

)

24. 1 +

16.

2

2

)

5 2

)

2 2

1 + 14 x y + 49 x y = (1 + 7 x y) 1 − 2a + a = (1 − a

2

2

2

2

2

2b b2  b  + =  1+  3 9  3

2

b4  2 b2  4 2 2 = a −  25. a − a b + 4  2

)

4

4 2

10

2

2

2

9b − 30a b + 25a = (3b − 5a

5

2

2

2

(

15.

2 29. a + 2a a + b + a + b

2

3 2

a 6 − 2a 3b3 + b6 = (a 3 − b3 )

2

(

2

2

2 2

13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y 14.

n2 n  + 2mn + 9m2 =  + 3m 3  9

2

2

2

2

28.

2

2 2

a 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9)

2

= a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x )

2

2

1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a

= (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x)

2

36 + 12m2 + m4 = (6 + m

10.

4

) ( ) 18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12 = (a + a + b) = (2a + b) 5 4 6 2 = (10 x − 3a y ) 30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a) 2 19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 ) = (2 − 1 + a ) = (1 + a) 2 2 2 4 4 20. a − 24am x + 144m x 31. 4m − 4m (n − m) + (n − m) 2 = (a − 12m2 x 2 ) = (2m − n + m) = (3m − n) 2 4 2 2 21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9 2 = (m − n + 3) 22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1) 33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y ) a a  − ab + b =  − b 23. 2  4 = (a + x − x − y ) = (a − y )

2

8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a 9.

2 3

2

4

2

2

2

16 + 40 x + 25x = (4 + 5x 2

4

2

5. a 2 − 10a + 25 = a − 5 6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x

2 3 2

= (7m3 − 5an2 )

2

2

4

)

)

4

17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4

( ) + 2ab + b = (a + b) − 2 x + 1 = ( x − 1) 2

2

2

= (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x)

EJERCICIO 92 1. a 2 − 2ab + b2 = a − b

30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x 2 3

= (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b 3

2

34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m) 2

6

3 2

2

= (m + n − a + m) = (2m + n − a) 2

2

2

( ) ( )( ) ( ) = (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3) 2

35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1

1 x 2 25x 4  1 5x 2  − + = −  26. 25 3 36  5 6  27. 16 x − 2 x y +

2

2

2

2

2

36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y ) 2 2 2 = (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y ) y2 

y4  3 =  4x −  16  4

2

2

EJERCICIO 93

(

)(

1. x 2 − y 2 = x + y x − y

)

( )( ) ( )( ) 4. 9 − b = (3 + b )(3 − b) 5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m) 6. 16 − n = (4 + n)(4 − n) 7. a − 25 = (a + 5)(a − 5) 8. 1 − y = (1 + y )(1 − y ) 9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3)

27.

x 2 y 2 z 4  x yz 2   x yz 2  − = +  −  100 81  10 9   10 9 

28.

x 6 4a 10  x 3 2a 5   x 3 2a 5  − = +   −  49 121  7 11   7 11 

2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1

3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2 2

2 4 29. 100m n −

2

2

30. a 2n − b 2n =

2

31. 4 x − 2n

2

2

10.

25 − 36 x 4 = (5 + 6 x 2 )(5 − 6 x 2 )

(

)(

11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab 12. 13. 14. 15. 16.

32.

)

a 2b8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c)

100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) a − 49b = (a + 7b 10

12

5

25x y − 121 = (5xy 2 4

2

)(a − 7b ) + 11 )(5xy − 11) 6

5

6

2

+ b n )(a n − b n )

n

1  n 1   n 1 =  2x +   2x −  9  3  3

6m

y 2 n  3m y n   3m y n  =  4x +   4x −  49  7 7

−

10 n 34. 49a −

b12 x  5n b 6 x   5n b 6 x  =  7a +   7a −  81  9   9 

2n 4n 35. a b −

1  n 2 n 1  n 2 n 1 = a b +  a b −  25  5  5

36.

17. 100m2 n 4 − 169 y 6

(a

a 4 n − 225b 4 = (a 2 n + 15b 2 )(a 2 n − 15b 2 )

33. 16 x

4 x 2 − 81y 4 = (2 x + 9 y 2 )(2 x − 9 y 2 )

1 8  1  1  x =  10mn 2 + x 4   10mn 2 − x 4   16 4  4 

1  1   1  − x 2n =  + x n   − x n   10   10  100

= (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 )

18.

a 2 m4 n 6 − 144 = (am2 n 3 + 12)(am2 n 3 − 12)

EJERCICIO 94

19. 196 x 2 y 4 − 225z12

= (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 )

(

20. 256a12 − 289b 4 m10

21.1 − 9a

b c d = (1 + 3ab c d 8

2 3

)(

) 2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a) 3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n ) 4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4) 5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z) 6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1) 7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y ) 2

)(1− 3ab c d ) − 1) 4

22.

361x14 − 1 = (19 x 7 + 1)(19 x 7

23.

1 1 1  − 9a 2 =  + 3a  − 3a 2 2  4

a2  a  a  = 1+  1−  24. 1 − 25  5   5  1 4x  1 2x   1 2x  − = +   −  16 49  4 7   4 7  2

25.

(

2

2

= (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 ) 2 4 6

)

1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a

a2 x6  a x3   a x3  − = +  −  26. 36 25  6 5   6 5 

2 3

4

2

2

2

2

2

8. ( x + 2a ) − 4 x 2 2

= ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x )

(

) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d ) 10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d ) 2

9. a + b − c + d 2

2

2

11. ( x + 1) − 16 x 2

25. (2a + b − c) − (a + b) 2

2

2

= (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b)

= ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x)

= (3a + 2b − c)(a − c)

12. 64m2 − (m − 2n)

2

(

) ( )( ) − ( y − x ) = (x + y − x )( x − y + x ) = ( y )(2 x − y )

= (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n)

26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z

(

27. x 2

) (

) (

2

)(

2

13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y

)

2

2

14. (2a − c) − (a + c)

28. (2 x + 3) − (5x − 1)

15. ( x + 1) − 4 x 2

29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x )

2

2

2

= (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x )

= (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c)

2

2

= (3x ) (2 z − 2 y − x )

16. 36 x 2 − (a + 3x )

2

= (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a )

30. (2 x + 1) − ( x + 4) 2

a 6 − (a − 1) = (a 3 + a − 1)(a 3 − a + 1)

18. (a − 1) − (m − 2)

= (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1)

19. (2 x − 3) − (x − 5)

2

23.

2

(

) ( 2

24. x − y − c + d

5

34. 36 (m + n) − 121(m − n) 2

16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3) 2

)

= (7 x − 3 y )(3x − 7 y )

m6 − (m2 − 1) = (m3 + m2 − 1)(m3 − m2 + 1) 5

)(

2

= (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y )

2

2

(

2

33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y )

) ( )( ) 21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9) 2

)

2

2

10

= (2a + 3x )( x + 2)

32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y

20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x

22.

2

= (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1)

(

= (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2)

(

31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1) 2

2

2

2

= (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3)

2

2

2

= ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x )

= ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x )

17.

2

2

) = (x − y + c + d )(x − y − c − d ) 2

2

= (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n) = (17m − 5n)(17n − 5m)

EJERCICIO 95 1. a 2 + 2ab + b 2 − x 2

2 2 4. a − 2a + 1− b

= (a − 1) − b 2

= (a + b ) − x 2

2

2

= (a − 1 + b)(a − 1 − b)

= (a + b + x )(a + b − x ) 2 2 2 2. x − 2 xy + y − m

= (x − y) − m 2

2 2 5. n + 6n + 9 − c

= (n + 3) − c2 2

2

= ( x − y + m)( x − y − m) 2 2 3. m + 2mn + n − 1

= (m + n) − 1 2

= (m + n + 1)(m + n − 1)

= (n + 3 + c)(n + 3 − c)

2 2 6. a + x + 2ax − 4

= (a + x ) − 4 2

= (a + x + 2)(a + x − 2)

2 2 7. a + 4 − 4a − 9b

10. 4 x 2 + 25 y 2 − 36 + 20 xy

= (a − 2) − 9b 2

= (2 x + 5 y ) − 36

8. x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 1

11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax

2

2

= (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6)

= (a + 3b − 2)(a − 3b − 2)

= (3x − 4a ) − 1

= (x − 2 y ) − 1

2

2

= (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1)

= ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1)

9. a 2 − 6ay + 9 y 2 − 4 x 2 = (a − 3 y ) − 4 x 2

12. 1 + 64a 2b 2 − x 4 − 16ab

2

= (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x)

= (8ab − 1) − x 4 2

= (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )

2 2 2 21. 9 x − a − 4m + 4am

2 2 2 13. a − b − 2bc − c

= a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 ) = a 2 − (b + c)

2

= (a + b + c)(a − b − c) 2 2 14. 1 − a + 2ax − x

= 1 − (a − 2ax + x 2

2

= 1 − (a − x )

)

2

= (1 + a − x)(1 − a + x ) 2 2 2 15. m − x − 2 xy − y

= m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = m2 − ( x + y)

2

= (m + x + y)(m − x − y ) 2 2 16. c − a + 2a − 1

= c2 − (a 2 − 2a + 1) = c2 − (a − 1)

2

= (c + a − 1)(c − a + 1) 2 17. 9 − n − 25 − 10n

= 9 − (n + 10n + 25) 2

= 9 − (n + 5)

2

= (3 + n + 5)(3 − n − 5) = − (n + 8)(n + 2) 18. 4a 2 − x 2 + 4 x − 4

= 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 4a 2 − ( x − 2)

2

= (2a + x − 2)(2a − x + 2) 19. 1 − a − 9n − 6an 2

2

= 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 ) = 1 − (a + 3n)

2

= 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 )

2 2 20. 25 − x − 16 y + 8 xy

= 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 ) = 25 − ( x − 4 y )

2

= (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y )

= (3x − 2 y ) − (a + 5b)

= 9 x 2 − (a − 2m)

2

2

2 2 2 31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x

2 2 2 2 22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b

= (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9)

= 16x 2 y 2 − (4a 2 − 12ab + 9b 2 )

= (a + m) − ( x + 3) 2

= 16x 2 y 2 − (2a − 3b)

2

2 4 2 2 32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b

2 2 23. − a + 25m − 1 − 2a

= ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 )

= 25m2 − (a 2 + 2a + 1)

= ( x + 1) − (b − 3a 2 ) 2

= 25m2 − (a + 1)

2

2 2 2 33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m

4 2 2 24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy

= (16a 2 − 24ax + 9 x 2 ) − (25m2 + 10m + 1)

= 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 )

= (4a − 3x) − (5m + 1) 2

= 49 x 4 − (5x − 3 y )

2

2 2 2 2 34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m 2 2 2 = − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100)

2

= (a − b) − (c + d )

= (3m − 10) − (a − cd )

2

2

= (a − b + c + d )(a − b − c − d )

2 2 2 2 35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab = (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )

= ( x + y) − (m − n)

2

= ( x + y + m − n)( x + y − m + n)

= (2a − 7b) − (3x + 5 y ) 2

2 2 2 2 27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a

= (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a 2

2

2

= (a + 2b) − ( x + a ) 2

2

= (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd )

2 2 2 2 26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n

2

2

= (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1)

= (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y ) 2 2 2 25. a − 2ab + b − c − 2cd − d

2

= ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 )

= (5m + a + 1)(5m − a − 1)

2

2

= (a + m + x + 3)(a + m − x − 3)

= (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b)

2

2

= (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b)

= (3x + a − 2m)(3x − a + 2m)

)

= (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y ) = (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 )

2

= (2a + 2b + x )(2b − x )

2 2 2 2 28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by

= (15a + 1) − (13b − c) 2

= (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c) 2 2 37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y

= ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 ) = ( x − 2a ) − ( y − 3b)

2

= ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b) 2 2 2 2 29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a

2

2 2 2 36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c

= (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a)

2

= (a + 3n + 1)(1 − a − 3n)

2 2 2 2 30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab 2 2 2 = (9 x − 12 xy + 4 y ) − (a + 10ab + 25b 2 )

= ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1) = ( x + 2) − ( y + 1) 2

2

= ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1) = ( x + y + 3)( x − y + 1)

38. a 2 − 16 − x 2 + 36 + 12a − 8 x = (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 ) = (a 2 + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16)

= (m + 3n) − ( x + 2a ) 2

2

= (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a )

= (a + 6) − ( x + 4) 2

2

= (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4) = (a + x + 10)(a − x + 2)

EJERCICIO 96

7. 4a + 3a b + 9b 4

2 2

+ 9a 2b 2 1. a 4 + a 2 + 1

+ a2

− a2

(a + 2a + 1) − a = (a + 1) − a = (a + a + 1)(a − a + 1) 4

2

2

2

= (m2 + n 2 ) − m2 n 2 2

−x

x + 4x + 4 − x 4

2

− 9 x2

2

= (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 ) 16. 49 + 76n 2 + 64n 4

+ 4x4 y4

+ 36n 2

− 4x4 y4

= (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4 2 2

+mn

= (a 2 + 3) − 4a 2

= (a 2 − b2 ) − a 2b 2

− 4x2

− 64 x 4 y 4

= (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4

)

2 2

4

2 2

2

− 16a b

2 2

12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4

+ 25x y 2

19. 4 − 108 x + 121x 2

− 25x y

2

= (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )

2

+ 64 x

2

4

− 64 x 2

2

36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2

4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2

= (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2

= (2 − 11x 2 ) − 64 x 2

2

2

= (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 ) 13. 81m + 2m + 1 8

4

+ 16m

4

− 16m

4

= (9m + 1) − 16m 4

2

= (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 )

4 2 4 8 20. 121x − 133x y + 36 y

81m + 18m + 1 − 16m 8

= ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1)

+ 64 x 4 y 4

= (5a + 7b

x − 2 x + 1− 4 x 2

2

− 16a b

49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4

2

2

8 4 4 8 18. 49 x + 76 x y + 100 y

25a + 70a b + 49b − 16a b

2

6. x 4 − 6 x 2 + 1

= (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 )

= (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 )

= (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 )

− 49 x 2 y 2

= (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2

2 2

2 2

2

a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2

4

2

+ 16a b 4

5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4

2

25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2

− m2 n 2

2 2

= (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3)

2

+ 49 x 2 y 2

2 2

11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4

2

− a 2b 2

)

2 2

4

= (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 )

− 4a 2

= ( x − 1) − 4 x

−m n

16m − 24m n + 9n − m n = (4m2 − 3n

+ a 2b 2

4

2 2

2 2

= (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7)

17. 25x − 139 x y + 81y

4

2 2

4

= (7 + 8n2 ) − 36n 2 2

= ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 ) 4

− 36n 2

49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2

x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4

10. 16m − 25m n + 9n

a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2

2

= (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4

8 4 4 8 9. x + 4 x y + 16 y

4 2 4. a + 2a + 9

2

4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4

= (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5)

= (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2)

2

8 4 4 8 15. 4a − 53a b + 49b + 25a 4b 4 − 25a 4b 4

= (2 x 2 − 5) − 9 x 2

4

2

+ 4x2

= (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10)

2

4

= ( x 4 + 2) − x 4

4

2

− 9a 2b 2

2

4

+ 4a 2

= (c2 − 10) − 25c2

)

4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2

8 4 3. x + 3x + 4

+ x

= (2a 2 + 3b

2 2

+ 9x2

= (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn)

8

c4 − 20c2 + 100 − 25c2

4

4 2 2 4 2. m + m n + n + m2 n 2 − m2 n 2

− 25c2

4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2

8. 4 x − 29 x + 25

2

m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2

+ 25c2

− 9a 2b 2

= (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 )

2

2

2

14. c4 − 45c2 + 100

4

4

4

4

= (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1)

+ x2 y4

− x2 y4

121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4 = (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4 2

= (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )

21. 144 + 23n 6 + 9n12

25. 1 − 126a b + 169a b 2 4

+ 49n 6

− 49n6

4 8

+ 100a 2b 4

− 100a 2b 4

144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6

1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4

= (12 + 3n

= (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4

)

6 2

2

− 49n 6

= (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 )

= (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 )

22. 16 − 9 c 4 + c8

+ c

4 4 2 2 26. x y + 21x y + 121

−c

4

+ x2 y2

4

− x2 y2

16 − 8c 4 + c8 − c4

x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2

= (4 − c4 ) − c4

= ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2

2

2

= (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 ) 23. 64a − 169a b + 81b 4

2 4

= ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11) 27. 49c + 75c m n + 196m n

8

+ 25a 2b4

8

− 25a 2b4

4

2 2

4 4

+ 121c4 m2 n2

− 121c4 m2 n 2

64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4

49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2

= (8a 2 − 9b

= (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2

)

4 2

2

− 25a 2b4

= (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 )

= (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 )

24. 225 + 5m2 + m4

28. 81a b − 292a b x + 256 x 4 8

+ 25m

2 4 8

− 25m

2

16

+ 4a b x

2

− 4a 2b 4 x 8

2 4 8

225 + 30m2 + m4 − 25m2

81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8

= (15 + m2 ) − 25m2

= (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8

2

2

= (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15)

= (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )

EJERCICIO 97 + 64 y 4

4 1. x

+ 16 x 2 y 2

− 16 x 2 y 2

+ 36a 2b 2

a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2

= ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2

= (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2

+ y8 + 4x4 y4

− 4x4 y4

4x + 4x y + y − 4x y 8

4

= (2 x + y 4

4

)

4 2

8

4

− 4x y 4

4

4 + 100 x + 625x − 100 x 4 2

4

= (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2)

+ 36m2n 2

− 36m2 n 2

4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2

( = (2m

= (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n 2

2

)

2 2

+ a 12

6. 64

+ 81n 4

8

= (2 + 25x 4 ) − 100 x 4

= (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 ) 4 4. 4 m

− 100 x 4

4

2

= ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 ) 8 2. 4 x

+ 100 x 4

− 36a 2b 2

x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2 2

+ 625x 8

5. 4

+ 324b 4

4 3. a

− 36m n

2 2

+ 6mn + 9n 2 )(2m2 − 6mn + 9n 2 )

+ 16a 6

− 16a 6

64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6 = (8 + a 6 ) − 16a 6 2

= (a 6 + 4a 3 + 8)(a 6 − 4a 3 + 8)

+ 4n 4

7. 1

+ 4n

+ y8

8. 64 x 8

− 4n

2

2

1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2 = (1 + 2n2 ) − 4n2 2

= (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1)

+ 16 x y 4

+ 64b 4

4 9. 81a

− 16 x y

4

4

+ 144a b

− 144a 2b 2

2 2

4

81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2

64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4

= (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2

= (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4

2

2

= (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 )

= (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 )

EJERCICIO 98

(

)( ) 2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2) 3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1) 5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1) 6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2) 7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4) 8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1) 10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3) 11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1) 12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1) 13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1) 14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2) 15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3) 16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2) 17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1) 18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3) 19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2) 20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1) 21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5) 22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4) 23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4) 24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4) 25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5) 26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1) 1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2

(

)(

)

27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3

(

)(

2

28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2

2

29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1

2

30. x 2

2

31. x 2

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

32. a 2

( )( ) + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7) − 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6) + 7a − 60 = (a + 12)(a − 5)

2 33. x − 17 x − 60 60 2

30 2 15 3 5

2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 3⋅ 1 = 3

5 ⇒ 20 − 3 = 17

= ( x − 20)( x + 3)

1

2 34. x + 8 x − 180 180 2

90 45 15

2 2 ⋅ 3⋅ 3 = 18 3 2 ⋅ 5 = 10 3 ⇒ 18 − 10 = 8

5

5

= ( x + 18)( x − 10)

1 2 35. m − 20m − 300 300 2

150 2 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30 75 3 2 ⋅ 5 = 10 25 5 ⇒ 30 − 10 = 20 5

5

= (m − 30)(m + 10)

1 2 36. x + x − 132 132 2

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 11⋅ 1 = 11

66 33

2 3

11

11 ⇒ 12 − 11 = 1

1

= ( x + 12)( x − 11)

)

2 37. m − 2m − 168 168 2

84 42 21

2 2 3

7

7

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 2 ⋅ 7 = 14 ⇒ 14 − 12 = 2

= (m − 14)(m + 12)

1 2 38. c + 24c + 135 135 3

45 15

3 3

3⋅ 3 = 9 3⋅ 5 = 15

5

5

⇒ 15 + 9 = 24

= (c + 15)(c + 9)

1

2 39. m − 41m + 400 400 2

200 2

2 4 = 16

100 2 50 2

52 = 25 ⇒ 25 + 16 = 41

25

5

5 1

5

= (m − 25)(m − 16)

2 40. a + a − 380 380 2

190 2

2 2 ⋅ 5 = 20

95

5

19 ⋅ 1 = 19

19

19 ⇒ 20 − 19 = 1

1

= (a + 20)(a − 19)

2 41. x + 12 x − 364 364 2 182 2 2 ⋅ 13 = 26

91 13 1

7 2 ⋅ 7 = 14 13 ⇒ 26 − 14 = 12

= ( x + 26)( x − 14)

2 42. a + 42a + 432 432 2

2 47. c − 4c − 320 320 2

2 45. x − 2 x − 528 528 2

216 2

2 3 ⋅ 3 = 24

108 2

2 ⋅ 32 = 18

264 2

2 3 ⋅ 3 = 24

160 2

2 ⇒ 24 + 18 = 42

132 2

2 ⋅ 11 = 22

80

2

2 ⇒ 24 − 22 = 2

40

2 ⇒ 20 − 16 = 4

54 27 9 3 1

3 = (a + 24)(a + 18)

66

3

33

3 = ( x − 24)( x + 22)

3

11

11

1

43. m − 30m − 675 675 3 225 5 3⋅ 5⋅ 3 = 45 45 3 3⋅ 5 = 15 15 3 ⇒ 45 − 15 = 30 2

2 46. n + 43n + 432 432 2

5 = (m − 45)(m + 15)

5

44. y 2 + 50 y + 336 336 3

112 2

3⋅ 7 ⋅ 2 = 42

2 =8 2 ⇒ 42 + 8 = 50

56

3

2

28 14

2 = ( y + 42)( y + 8)

7

7

22 ⋅ 5 = 20

20

2 = (c − 20)(c + 16)

10

2

5 1

5

2 48. m − 8m − 1. 008 1. 008 2

216 2

2 = 16

108 2

33 = 27

504

2

2 2 ⋅ 7 = 28

2 ⇒ 16 + 27 = 43

252

2

2 2 ⋅ 32 = 36

54

1

2 4 = 16

4

27

3 = (n + 16)(n + 27)

126

9

3

63

3 1

3

21

3

7 1

7

2 ⇒ 36 − 28 = 8

3 = (m − 36)(m + 28)

1 13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2

EJERCICIO 99 1. 2.

= ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a )

x + 5x + 4 = (x + 4)( x + 1) 4

2

2

2

14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3 2

x 6 − 6 x 3 − 7 = ( x 3 − 7)( x 3 + 1)

3. x 8 − 2 x 4 − 80 =

(x

4

(

− 10)(x 4 + 8)

)(

= (2 x − 3)(2 x − 1)

15. (m − n) + 5 (m − n) − 24 2

= (m − n + 8)(m − n − 3)

)

4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3

(

)( ) + 13(5x) + 42 = (5x + 7)(5x + 6)

5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3 2

6. (5x ) 2

8 4 16. x + x − 240 240 2

24 = 16 2 3⋅ 5 = 15 2 ⇒ 16 − 15 = 1

4 4 2 2 18. a b − 2a b − 99

99 3 3⋅ 3 = 9 33 3 11⋅ 1 = 11 11 11 ⇒ 11 − 9 = 2

= (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9)

1

2 19. c + 11cd + 28d

2

= (c + 7d )(c + 4d )

2 20. 25x − 5 (5x ) − 84 84 2

( )( ) 8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b) 9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4)

120 2

42 2

2 2 ⋅ 3 = 12

60 30

21 3

7 ⋅1 = 7

10. − x + 4 x + 5

5 1

7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a 2

2

2

15

2

= − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1)

11.

x + x 5 − 20 = (x 5 + 5)(x 5 − 4) 10

(

12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n

)(m − 7n)

3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15) 5

2 17. − y + 2 y + 15

= − ( y − 2 y − 15) 2

7 ⇒ 12 − 7 = 5

7

= (5x − 12)(5x + 7)

1

2 21. a − 21ab + 98b 98 2 2 ⋅ 7 = 14 2

49 7 7 ⋅1= 7 7 7 ⇒ 14 + 7 = 21

= − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1

= (a − 14b)(a − 7b)

27. − n 2 + 5n + 14

4 4 2 2 22. x y + x y − 132

= − (n − 5n − 14)

132 2 66 2

28. x + x − 930 930 2 6

= ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11)

1 2

93 31

= − (x − 2 x − 48) 4

2

= − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6) 24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65 25. a + 2axy − 440 x y 440 2 2

2

220 2

2 ⋅ 5 = 20

110 2

11⋅ 2 = 22

7 1

2

5

11

11

= (a + 22 xy )(a − 20 xy )

6 6 3 3 26. m n − 21m n + 104

31. a − a b − 156b

104 2 3

78 39

= (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8)

1

13

1. 2 x + 3 x − 2

= 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4 =

(2 x + 4)(2 x − 1) 2

= ( x + 2)(2 x − 1) 2. 3x − 5x − 2 2

= 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6

2 4. 5x + 13x − 6 = 25x 2 + 13 (5x ) − 30

(5x + 15)(5x − 2) = 5

= ( x + 3)(5x − 2) 2 5. 6 x − 5x − 6

= 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36

(3x − 6)(3x + 1) =

(6x − 9)(6x + 4) =

= ( x − 2)(3x + 1)

= (2 x − 3)(3x + 2)

3

3. 6x + 7 x + 2 2

= 36x + 7 ( 6x) + 12 2

(6x + 4)(6x + 3) = 2⋅ 3

= (3x + 2)(2 x + 1)

3⋅ 2

2 6. 12 x − x − 6

= 144 x 2 − 1(12 x) − 72

(12 x − 9)(12 x + 8) = 3⋅ 4

= (4 x − 3)(3x + 2)

3 3

3

3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9)

32 = 9 ⇒ 12 − 9 = 3

= (a + 11)(a − 10)

36. (7 x

4

)

2 2

+ 24(7 x 2 ) + 128

128 4 4 2 = 16 4 4⋅2 = 8 2 ⇒ 16 + 8 = 24

32

4

8 2

13 ⇒ 13 − 12 = 1

= (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 )

2 7. 4a + 15a + 9

= (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8)

1

2 10.20 y + y − 1 = 400 y 2 + 1(20 y ) − 20

= 16a 2 + 15( 4a ) + 36 =

27 9

= (m + 8abc )(m − 7abc)

2 ⋅ 3 = 12 13⋅ 1 = 13

2 3

2

2 2 2 2 35. m + abcm − 56a b c

2

1

EJERCICIO 100 2

2 2

2 2 ⋅ 3 = 12

54

1

156 2

2 =8 13⋅ 1 = 13 13 ⇒ 13 + 8 = 21

13

108 2

7 ⋅1= 7 ⇒ 15 − 7 = 8

= ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab) 4

2

5⋅ 3 = 15

30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2

1

2 2

7

= (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7)

⇒ 22 − 20 = 2

55

34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108

− 8 (4 x 2 ) − 105

105 5 21 3

2

= ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a )

= ( x 3 + 31)( x 3 − 30)

1 2 2

= (c + d − 13)(c + d − 5)

= (7a − x )( x + 3a )

33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2

2 ⋅ 5⋅ 3 = 30 3 31⋅ 1 = 31 31 ⇒ 31 − 30 = 1

29. (4 x )

2

= − ( x − 7a)(x + 3a )

3

465 5

23. − x + 2 x + 48 4

52 26

= − ( x 2 − 4ax − 21a 2 )

= − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1

33 11

32. − x 2 + 4ax + 21a 2

2

(4a + 12)(4a + 3)

=

4

= (a + 3)(4a + 3)

(20 y + 5)(20 y − 4) 5⋅ 4

= (4 y + 1)(5 y − 1)

2 8. 10a + 11a + 3

= 100a 2 + 11(10a ) + 30 =

(10a + 6)(10a + 5)

11.

8a 2 − 14a − 15

2⋅5

= 64 a 2 − 14 (8a) − 120

9. 12m2 − 13m − 35 = 144m2 − 13(12m) − 420

120 2 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 30 2 2⋅ 3= 6 15 3 ⇒ 20 − 6 = 14

= (5a + 3)(2a + 1)

4 ⋅ 7 = 28 5⋅ 3 = 15

420 105

4 5

21

3 ⇒ 28 − 15 = 13

5

7

7 =

1

1

(12m − 28)(12m + 15) 4⋅3

= (3m − 7)(4m + 5)

5 =

(8a − 20)(8a + 6) 4⋅ 2

= (2a − 5)(4a + 3)

12. 7 x − 44 x − 35 = 49 x 2 − 44 (7 x) − 245 2

245 5 49 7 1

7 7

7 ⋅ 7 = 49 5⋅1 = 5 ⇒ 49 − 5 = 44 =

(7 x − 49)(7 x + 5)

2 13. 15m + 16m − 15

= 225m2 + 16 (15m) − 225 225 5 45 5 5⋅ 5 = 25 9 3 3⋅ 3 = 9 3 3 ⇒ 25 − 9 = 16 =

= 400n − 9( 20) − 400 2

(15m + 25)(15m − 9) 5⋅ 3

= (3m + 5)(5m − 3)

200 2

2 4 = 16

100 2 50 2

52 = 25 ⇒ 25 − 16 = 9

25

5

5

5

= (4n − 5)(5n + 4)

= 441x 2 + 11(21x) − 42

(21x + 14)(21x − 3) 7⋅ 3

= (3x + 2)(7 x − 1) 19. 15m2 + m − 6 = 225m2 + 15m − 90 =

= 4a + 5 ( 2a ) + 4 2

(2a + 4)(2a + 1) =

(15m + 10)(15m − 9) 5⋅ 3

= (3m + 2)(5m − 3)

2

= (a + 2)(2a + 1) 2 15. 12 x − 7 x − 12

= 144 x 2 − 7 (12 x) − 144 144 2 72

2

36 18

2 2

9 3

3 3

180

2

90 45 9

2 5 3

3

3

2 ⋅ 32 = 18 5⋅ 2 = 10 ⇒ 18 − 10 = 8

32 = 9 ⇒ 16 − 9 = 7

= (5a − 6)(3a + 2)

1

21. 9 x + 37 x + 4 = 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36

(12 x − 16)(12 x + 9) = 4⋅3

= (3x − 4)(4 x + 3)

1

=

(9 x + 36)(9 x + 1) 9

= (x + 4)(9 x + 1) 2 22. 20n + 44n − 15 = 400n2 + 44 ( 20n) − 300 300 2

= 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9

150 2 2 ⋅ 5 = 50 75 5 2⋅ 3= 6 15 5 ⇒ 50 − 6 = 44

=

3

(9a + 9)(9a + 1) 9

= (a + 1)(9a + 1)

1

3

2 24. 2 x + 29 x + 90

180

2

90

2

45 15

3 32 = 9 3 ⇒ 20 + 9 = 29

5

5

1

22 ⋅ 5 = 20

=

(2 x + 20)(2 x + 9)

2 = (2 x + 10)(2 x + 9)

2 25. 20a − 7a − 40

= 400a 2 − 7 (20a ) − 800 800

4

200

4

50 10

5 52 = 25 5 ⇒ 32 − 25 = 7

2

2 =

42 ⋅ 2 = 32

(20a − 32)(20a + 25) 4⋅5

= (5a − 8)(4a + 5)

1

=

2 2 ⋅ 3 = 12

66

2

33 11

3 11⋅ 1 = 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1 =

1

(4n + 12)(4n − 11) 4

= (n + 3)(4n − 11)

2

2 16. 9a + 10a + 1

7⋅2

= (2m − 5)(7m + 2)

2 26. 4n + n − 33 (15a − 18)(15a + 10) = 16n2 + 4n − 132 = 3⋅ 5 132 2

2

24 = 16

(14m − 35)(14m + 4)

= 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180

1 2 18. 21x + 11x − 2

=

=

1

5⋅ 4

2

14. 2a + 5a + 2

140 2 70 2 5⋅ 7 = 35 35 5 2⋅2 = 4 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31

(20n − 25)(20n + 16) =

20. 15a − 8a − 12 = 225a 2 − 8 (15a ) − 180

2

2 23. 14m − 31m − 10 = 196m2 − 31(14m) − 140

400 2

7

= ( x − 7)(7 x + 5)

1

2 17. 20n − 9n − 20

(20n + 50)(20n − 6) 10 ⋅ 2

= (2n + 5)(10n − 3)

27. 30 x 2 + 13x − 10

= 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300 300 2 52 = 25

150 2 75

5

2 ⋅ 3 = 12

15

5

⇒ 25 − 12 = 13

3

3

=

1

2

(30 x + 25)(30x − 12) 5⋅ 6

= (6 x + 5)(5x − 2)

EJERCICIO 101

= − (10 x 2 + 7 x − 12)

2

= (6 x =

)

+ 5 (6 x 2 ) − 36

2 2

(6x

120 2 60 2

=

)

(5x

+ 4 (5x 3 ) − 60

3

+ 10)(5x 3 − 6) 5

3

= (10 x

)

(10 x =

4

+ 29 (10 x 4 ) + 100

+ 25)(10 x 4 + 4) 5⋅ 2

378 189

(6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126 2 3 2 ⋅ 7 = 14 7 3⋅ 3 = 9 3 ⇒ 14 − 9 = 5 =

3 = 27 ⇒ 56 − 27 = 29

3

=

21

3

= (3x − 8 y )(7 x + 9 y )

7

7

=

100 2

24 = 16

50

2 ⇒ 25 − 16 = 9

25

5 =

5

5

5⋅ 4

(6m − 18a )(6m + 5a ) 6

196

2

98 49 7

2 7 ⋅ 7 = 49 7 2⋅2 = 4 7 ⇒ 49 − 4 = 45 =

= (4 xy + 5)(5xy − 4)

1 2 2 6. 15x − ax − 2a

= (15x) − a (15x ) − 30a 2 2

(15x − 6a)(15x + 5a)

2

2

1

(14 x

2

− 49)(14 x 2 + 4) 7⋅2

= (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2) 2 11. 30a − 13ab − 3b 2

= 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2

(30a − 18b)(30a + 5b) = 6⋅ 5

= − (3a 2 − 13a − 30)

= − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90) =−

(3a − 18)(3a + 5) 3

= − (a − 6)(3a + 5) = (6 − a )(3a + 5) 8 4 14. − 6 x + 7 x + 5

= − (6 x 8 − 7 x 4 − 5)

(

)

= − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30 =−

2

(6 x

4

− 10)(6 x + 3) 2⋅ 3 4

= − (3x 4 − 5)(2 x 4 + 1) 15. 6a 2 − ax − 15x 2

2

= (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196

(20xy + 25)(20xy − 16)

− 35)(7 x 3 + 2) 7

= (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1)

= (m − 3a )(6m + 5a )

400 2 52 = 25

7⋅3

10. 14 x − 45x − 14

2

200 2

(21x − 56 y)(21x + 27 y)

63

4

= (20 xy) + 9 (20 xy) − 400

= (5x − 2a )(3x + a )

2 3

3

= 36m − 13 (6am) − 90a

2⋅3

3⋅ 5

2 ⋅ 7 = 56

2

(6ax + 14)(6ax − 9)

2 2 5. 20 x y + 9 xy − 20

2

3

1 2 2 9. 6m − 13am − 15a

= (3ax + 7)(2ax − 3)

=

= − (2 x + 3)(5x − 4)

756

2 2 4. 6a x + 5ax − 21

1

5⋅ 2

1. 512 2

= (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2)

126 63 21 3

]

− (10x + 15)(10x − 8)

= 441x 2 − 29 (21xy ) − 1.512 y 2

3. 10 x + 29 x + 10

3

13. − 3a 2 + 13a + 30

2 2 8. 21x − 29 xy − 72 y

4

4 2

[

(7 x

= ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2)

= (2 x + 3)(4 − 5x )

3

8

=

3

=

5⋅ 3 = 15

1

= (x + 2)(5x − 6) 3

]

2 2 3=8 5 ⇒ 15 − 8 = 7

30 15

2. 5x 6 + 4 x 3 − 12

= (5x

2

[

= (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2) 3 2

= (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70

2 = − (10x ) + 7 (10 x ) − 120

+ 9)(6 x 2 − 4) 3⋅ 2

2

12. 7 x 6 − 33x 3 − 10

7. − 10 x 2 − 7 x + 12

1. 6 x + 5x − 6 4

= (5a − 3b)(6a + b)

= 36a 2 − 6ax − 90 x 2 =

(6a − 10x)(6a + 9 x) 2⋅3

= (3a − 5x )(2a + 3x ) 2 2 2 16. 4 x + 7mnx − 15m n

= ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2 2

=

(4 x + 12mn )(4 x − 5mn) 4

= ( x + 3mn)(4 x − 5mn) 17.18a + 17ay − 15y 2 = (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2 2

2

270

2

135 27 9

5 33 = 27 3 5⋅ 2 = 10 3 ⇒ 27 − 10 = 17

3

3

1

=

(18a + 27 y)(18a − 10 y) 9⋅2

= (2a + 3 y )(9a − 5 y )

4 2 18. − 8 x + 2 x + 15

23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2

= − (8 x 4 − 2 x 2 − 15)

(

)

= − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120 2

(8x

=−

− 12)(8 x 2 + 10) 4⋅ 2

2

= − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5) = (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5) 19. − 25x + 5x + 6 8

(

= − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2

630 315

2 5

5⋅ 7 = 35

=−

63 21

3 3

2 ⋅ 32 = 18 ⇒ 35 − 18 = 17

7

7

=

(25x

4

− 15)(25x 4 + 10) 5⋅ 5

= (3 − 5x

4

)(5x

4

= − (20a 2 − 27ab + 9b 2 )

= (30 x =

)

(30x

5

= − (15a 2 − 16a + 4)

+ 2)

( ) (15a − 10)(15a − 6) =− = − (15a ) − 16 (15a ) + 60 2

− 91(30 x ) − 900 5

5⋅ 3

− 100)(30 x + 9) 10 ⋅ 3

= − (3a − 2)(5a − 2)

5

= (3a − 2)(2 − 5a )

= (3x − 10)(10 x + 3) 5

(

2 = − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2

22. − 15a + 16a − 4

10 5 20. 30 x − 91x − 30 5 2

= (4 x − 3y )(2 y − x )

2 2 24. − 20a + 27ab − 9b

2

4

2⋅ 3

5⋅ 6

)

= − (5x − 3)(5x + 2) 4

(6 y − 8x)(6 y − 3x)

)

= − (3 y − 4 x )(2 y − x )

(30m + 35a)(30m − 18a)

= − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150 =−

2

= (6m + 7a )(5m − 3a )

1

2

(

2 = (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2

4

= − (25x 8 − 5x 4 − 6)

= − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 )

2 2 21. 30m + 17am − 21a

180

2

90 45

2 5

2 2 ⋅ 3 = 12 5⋅ 3 = 15

9

3

⇒ 15 + 12 = 27

3

3

=−

)

(20a − 15b)(20a − 12b) 5⋅ 4

= − (4a − 3b)(5a − 3b)

1

= (4a − 3b)(3b − 5a )

5

EJERCICIO 102

(

)

1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1

(

2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x 2

(

12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x

3

3

)

(

(

4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a 5. 8 + 12a

2

3

)

6

2

2

x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = ( x 3 − 3 y 4 )

)

17.

3

3

3

2

3

(

) 7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b) 8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n) 3

15.

3

16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y

2 3

(

2

a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = (a 2 + b3 )

3

)

6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1 3

14.

3

+ 6a + a = (2 + a 4

3

13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto

3

3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n 2

)

3

3

9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto 10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto

(

)

11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b

3

4

+ 8 y5 )

3

3

(

64 x 9 − 240x 6 y 4 + 300 x 3 y 8

)

3

(1+ 6a b ) − 125 y = (4 x − 5 y ) 2 3 3

21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = 22.

(5x

a18 + 3a 12 + 3a 6 + 1 = (a 6 + 1)

20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an

3

3

216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = (6 − 7a 2 )

18. 125x 12 + 600 x 8 y 5 + 960 x 4 y10 + 512 y15 = 19.

)

12

3

4 3

EJERCICIO 103

(1+ 7n)(1− 7n + 49n ) 1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81) 2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x ) 3. x + y = (x + y)( x − xy + y ) 23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a ) 4. m − n = (m − n )(m + mn + n ) 24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y ) 5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1) 25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x ) 6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1) 26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n ) 7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1) 27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y ) 8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1) 28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y ) 9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x ) 29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 ) 10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 30. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9) 31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1) 12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y ) 32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b ) 13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b ) 33. x + y = ( x + y )( x − x y + y ) 14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a ) 34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b ) 15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25) 35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81) 16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m ) 36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b ) 17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b ) 37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z ) 18. x − b = ( x − b )( x + x b + b ) 38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n ) 19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y ) 39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x ) 3

2

3

2

3

3

3

3

20. 1 + 343n 3 = 3

2

3 3

2

6

2

3

2

2

6

12

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

4

2

2 3

3

4

3

6

2 4

3 3

2

4

4

4

6

8

2 4

4 4

8

8

4

12

2

6

2 2

4

3

9

2

12

2

2

3 6

6

2

4

5

4

2

9

6

2

2

12

3

6

2

3 3

2

9

2

3

6

6

3

2

12

4

3

6

9

12

2

3

2

2 2 2

6

2

8

4

3

3

3

6

6

2 4

2

3 3 3

2

6

4

3

9

9

3

3

4

9

3 6

4

3

2

3

3

3

2

3

2

2

3

6

3

2 2

9

2

3

2

2

2

3

2

4

8

2

6

3

4

3

4

4

2

2 4

2 3

6

8

)[( ) ( ) ] = (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1) 1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ] 6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ] = (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y ) = (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b ) 2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ] 7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ] = (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b ) = (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1) 3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ] = (2a + 1)(a + a + 1) = (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n ) 8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ] 4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4] = (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1) = (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4) = (a + 1)(7a − 4a + 1) (

EJERCICIO 104

)

(

3

2

5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( ) 14. ( x − y ) − ( x + y ) = [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ] = [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ] = (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y ) = ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y ) = (2 x + y )(13x − 5xy + y ) = − 2 y (3x + y ) 10. (2a − b) − 27 15. (m − 2) + (m − 3) = (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9] = [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ] = (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9) = (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9) 11. x − ( x + 2) = (2m − 5)(m − 5m + 7) 16. (2 x − y ) + (3x + y ) = [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ] = [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ] = ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4) = (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y ) = ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4) = (5x ) (7 x + 3xy + 3 y ) 12. (a + 1) + (a − 3) 17. 8 (a + b) + (a − b) = (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ] = [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ] = (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9) = (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b ) = (2a − 2)(a − 2a + 13) = (3a + b)(3a + 6ab + 7b ) 13. ( x − 1) − ( x + 2) 18. 64 (m + n) − 125 = [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ] = [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25] = ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4) = (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25) = − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1) 9. 27 x 3 − x − y

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

3

6

2

2

2

2

2

4

3

2

2

3

2

2

4

2

3

4

3

2

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

EJERCICIO 105

(a + 1)(a − a + a − a + 1) 2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1) 3. 1 − x = (1− x)(1 + x + x + x + x ) 1. a 5 + 1 =

4

3

2

5

4

3

2

5

4.a + b 7

2

3

10. 11.

243 − 32b5 = (3 − 2b)(81 + 54b + 36b 2 + 24b 3 + 16b 4 )

a 5 + b5c5 = (a + bc)(a 4 − a 3bc + a 2b2 c 2 − ab3c 3 + b4 c4 )

7 7 7 12. m − a x

4

= (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 )

7

3

2

5

9. x 7 + 128

15. a 7 + 2 .187

2

5

2

3

3

4

= (a + 3)(a 6 − 3a 5 + 9a 4 − 27a 3 + 81a 2 − 243a + 729)

(1− 2a)(1+ 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a ) + 32 y = (x + 2 y )(x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y )

16. 1 − 128a 7 =

4

= (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64)

− x 3 + x 4 − x5 + x 6 )

= ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 )

= (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 ) 4

2

14. x 7 − y 7

5. m7 − n 7

(a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81) 7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m ) 8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x )

(1+ x)(1− x + x

13. 1 + x 7 =

= (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 )

6. a 5 + 243 =

2

17.

x10

2

5

18. 1 + 128 x 4

2

8

3

6

4

4 2

5

2 3

6

4

= (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )

(a + 1)(a − a + 1) 19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my

EJERCICIO 106

(

18. a 6 + 1 =

)

1. 5a + a = a 5a + 1 2

3

( ) 3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b) = a (a + 1) − b(a + 1) = (a + 1)(a − b) 4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6) 5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y ) 6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4) 2

2. m + 2mx + x = m + x 2

2

2

2

6

21. 1 + a 7 =

2

2

(1+ a)(1− a + a

( = (1 + m)(1− m)

2

23. 1 − m2 24.

2

)

+ 9 y4 )

2

)

3

x 4 + 4 x 2 − 21 = ( x 2 + 7)( x 2 − 3)

25. 125a 6 + 1 =

7. 6 x 2 − x − 2

2

− a3 + a4 − a5 + a6 )

22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1

2

2

2

(

2

2

4

20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b

2

2

2

(5a + 1)(25a 2

4

− 5a 2 + 1)

2 2 2 26. a + 2ab + b − m

= 36 x 2 − 6 x − 12

= (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m)

(6x − 4)(6x + 3) =

2

(

3⋅ 2

27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b

= (3x − 2)(2 x + 1)

)

28. x 5 − x 4 + x − 1

(1+ x)(1− x + x ) = (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1) 9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1) 29. 6 x + 19 x − 20 = 36x + 19 ( 6 x ) − 120 10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m ) 120 2 11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b ) 60 2 2 ⋅ 3 = 24 8. 1 + x 3 =

2

3

5

4

4

2

5

5

3

2

4

2

4

3

2

2

2

2

3

2

4

2

3

12. 2 xy − 6 y + xz − 3z

= 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z)

(

13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b 14. 4 x + 3x y + y 4

2

2

+x y 2

)

−x y 2

2

30.

2

= (2 x + xy + y 15. x − 6 x y + y 8

4

4

+ 2x y 4

)(2 x

2

− xy + y

− 4x y 4

x − 2x y + y − 4x y 8

4

4

2

8

4

)

)

2 17. 15m + 11m − 14

= 225m2 + 11(15m) − 210

= (5m + 7)(3m − 2)

2

= ( x + y + a − b)( x + y − a + b)

16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5

3⋅ 5

2

2

= ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 )

(15m + 21)(15m − 10)

(1− m)(1+ m + m )

= ( x + y ) − (a − b)

2

=

6

= (x + 4)(6 x − 5)

= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 )

4

)(

(6x + 24)(6x − 5)

2 2 2 2 32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b

4

= (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4

(

=

25x 4 − 81y 2 = (5x 2 + 9 y)(5x 2 − 9 y)

31. 1 − m3 =

8

4

5⋅1 = 5 ⇒ 24 − 5 = 19

1

= (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 2

5

2

4

2

5

4

2

2

2 3

2

4x + 4x y + y − x2 y2 4

30 15

33.

21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n3 − 7m2 n = 7m2 n (3m3 − m2 n + mn 2 − 1)

(

) ( ) ( ) ( )( 35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y)

)

34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1 2

36. 1 − a 2b 4 =

2

(1+ ab )(1− ab ) 2

2

(

37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a 38.

)

2

x 6 + 4 x 3 − 77 = (x 3 + 11)( x 3 − 7)

(1+ 6x )(1− 6x + 36x ) 53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16)

39. 15x − 17 x − 4 4

2

= (15x =

)

(15x

2

52. 1 + 216 x 9 =

− 17 (15x ) − 60

2 2

2

3

− 20)(15x + 3) 5⋅ 3 2

(

)

55. 18ax

)

y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 (ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5 )

5 3

4 3

(

)

56. 49a 2b 2 − 14ab + 1 = 7ab − 1

[

) ( )( ) ( 58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c) − 6ab + 9b ) 59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3)

= (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b)

2

= (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a 2 + 25

+ 9x2

6

2

(

3

4 2 41. x + x

3

54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x

= (3x 2 − 4)(5x 2 + 1) 40. 1 + a − 3b

3

(

]

)(

2

2

2

2

2

2

3 2 61. 9a + 63a − 45a

2 60. 7 x + 31x − 20

− 9 x2

= 9a (a 2 + 7 − 5a )

= ( 7 x) + 31( 7 x) − 140 2

x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2 = (x 2 + 5) − 9 x 2 2

= (x + 3x + 5)(x − 3x + 5) 2

140 70

2 2

35 7

5 2 =4 7 ⇒ 35 − 4 = 31

2

42. a − 28a + 36 8

4

+ 16a 4

− 16a 4

7

2 4 64. 1 − 27b + b

+ 25b 2

343 + 8a 3 = (7 + 2a )(49 − 14a + 4a 2 )

( ) = ( x + 5y)( x − 3y )

) (

4

)(9a − 2bc ) 68. a 3

4

48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b

)

2

= (m2 + n 2 ) − m2 n 2 2

= (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 )

(3x

2

− 3x + 4 )

− x −a− x 2

= (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1)

2 49. 20 − x − x

70. 6m + 7m − 20 4

= − ( x 2 + x − 20)

4 2 69. x − 8 x − 240

= − ( x + 5)( x − 4)

240 60

= ( x + 5)(4 − x )

(

)(

)

15 5

50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6

2 2 2 2 51. a − d + n − c − 2an − 2cd

= (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d = (a − n) − (c + d )

2

= (a − n + c + d )(a − n − c − d )

2

)

1

− m2 n 2

m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2

67. 15x 4 − 15x 3 + 20 x 2 = 5x 2

)(

2

+ m2 n 2

c 4 − 4d 4 = (c2 + 2d 2 )(c 2 − 2d 2 )

66.

− 4b c = (9a + 2bc

4 2 2 4 65. m + m n + n

− 25b 2

= (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 )

= 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1) 3

2

2

= (6am + 3m) − (4an + 2n) = (3m − 2n)(2a + 1)

= (9 x 2 − 5 y )

= (1 − b 2 ) − 25b 2

45. x 2 + 2 xy − 15 y 2 46. 6am − 4an − 2n + 3m

2

⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2

1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2

44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y

(

= (a − 1)( x + 1)

63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y

= ( x + 5)(7 x − 4)

= (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6)

47. 81a

= a (x + 1) − ( x + 1)

(7 x + 35)(7 x − 4) =

2

2 8

= (ax + a ) − (x + 1)

2

1

= (a 4 − 6) − 16a 4

6

62. ax + a − x − 1

7 ⋅ 5 = 35

a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4

43.

)

57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8

4 4

4 ⋅ 5 = 20 3 4 ⋅ 3 = 12 5 ⇒ 20 − 12 = 8

= ( x 2 − 20)( x 2 + 12)

= (6m

2

)

2 2

+ 7 (6m2 ) − 120

120 4 30 3 10 5 2 2

4⋅2 = 8 5⋅ 3 = 15 ⇒ 15 − 8 = 7

1

=

(6m

2

+ 15)(6m2 − 8) 3⋅ 2

= (2m2 + 5)(3m2 − 4)

71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2

84.

= (3n − 2a )

2

a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 (a 6 − a 4 + a 2 + 1)

(

)

(

) ( ) (

) ( )(

)(

)

85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1

2 x + 2 = 2 (x + 1)

( )( ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2 74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3) = − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 ) 75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n ) = − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 ) 2 76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y) 2 1  1 2 88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a 89. x − x + =  x −  − − 8 a 22 a 21 3 9  3 77. = (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a ) = (8a ) − 22 (8a ) − 168 = m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a ) 90. 4a 2 n − b 4 n 168 4 = m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c) 42 2 3⋅ 2 = 6 = (2a n + b2 n )(2a n − b2 n ) 21 3 4 ⋅ 7 = 28 = (2a − 3b − c)(m + 1) 7 7 ⇒ 28 − 6 = 22 91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a ) (8a − 28)(8a + 6) 72.

2

2

(

)

86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n

(

73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1 2

2

3

2

2

2

3

3

2

2

2

2

=

1

= (2a − 7)(4a + 3)

(

78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab 79.

4a − 1 = (2a + 1)(2a − 1) 6

2 2 92. a + 9 − 6a − 16 x

4⋅ 2

3

2

)

2 2 93. 9a − x − 4 + 4 x

3

80. x − 4 x − 480 6

= (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3)

2

= 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2) 2

3

480 120 40 10 2

94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y

4 3 5⋅ 4 = 20 4 4 ⋅ 3⋅ 2 = 24 5 ⇒ 24 − 20 = 4 2

= (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1)

(

= (x − 24)( x + 20) 3

3

2

4 3 5

2

2

1

]

4 ⋅ 5 = 20 3⋅ 2 = 6 ⇒ 20 − 6 = 14 =−

1. 470

7

36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2

210

7

= (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2

30

5

6

6

= (a + 2b) − (m + 3n)

(8x − 20)(8x + 6) 4⋅2

= − (2 x − 5)(4 x + 3)

= (5 − 2 x )(4 x + 3)

98. 1 −

7 ⋅ 6 = 42 ⇒ 42 + 35 = 77

= (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 2

)

=

(49 x − 35)(49 x − 42) 7⋅7

2

4 8  2 4  2 4 a =  1+ a   1− a   3  3  9

7 ⋅ 5 = 35

1

= (7 x − 5)(7 x − 6)

= (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n)

= − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120 120 30 10

2

= (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 )

= 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 )

[

= ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470

− 36a 2b 2

2 2 2 2 97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b

= (6am − 3m) − (2a − 1 )

2

100. 49 x 2 − 77 x + 30

4

2

= a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 )

= (a − b)( x + y − 1) 82 6am − 3m − 2a + 1

2 2

+ 36a 2b2

= (ax + ay − a ) − (bx + by − b)

= − (8 x 2 − 14 x − 15)

)

96. 36a − 120a b + 49b 4

1 81. ax − bx + b − a − by + ay

83. 15 + 14 x − 8 x

)(

95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8

2 2 2 101. x − 2abx − 35a b

+ 36a 2b 2 − 36a 2b 2 x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2 2

99. 81a

+ 64b12

8

+ 144a 4b 6

81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6 = (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6 2

= ( x − ab) − 36a 2b 2 2

− 144a 4b 6

= ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab) = ( x + 5ab)( x − 7ab)

= (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )

(

)

2 2 2 116. 49a − x − 9 y + 6 xy

3

102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3

=−

103. (a − 2) − (a + 3) 2

2

2

= 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b)

(1+ 3x ) 106. a + 3a b − 40b = (a + 8b)(a − 5b) 107. m + 8a x = (m + 2ax )(m − 2axm + 4a x ) 2

3

3 3

2

= ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 )

108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y

[

= ( x 2 + 2) − ( y + 2 z ) 2

2

2

2

118.

2

]

119.

= − (3x − 4 y) − 1

120.

[

]

[

109. 1 + 11x + 24 x

2

2

(24 x + 8)(24 x + 3)

a 6 − 3a 3b − 54b 2 = (a 3 − 9b)(a 3 + 6b)

165 33

5 3

11 1

11

(

= (15 − x ) ( x + 11)

) − 9x y − c + 3xy)(a

111. a + b − c 2

2

= (a 2 + b 2

(

2 2

)

4 2 122. a + a + 1

+ a2

2

[

][

2

= (a 2 + 1) − a 2

+ b2 − c2 − 3xy)

]

= 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1

2

= (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1)

2

= (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1)

123.

x2 y6  x y3   x y3  − = +  −  4 81  2 9   2 9 

2

= (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7) 6

4

) + 5(a + 1 ) − 24 = (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a 2

2

2

115. 1 + 1. 000 x 6 =

2

8 xy y 2  + =  4x + 5 25 

y  5

2

+ 100 − 100

= (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 )

114. a + 1

124. 16 x +

4 4 2 2 125. a b + 4a b − 96

113. 100 x y − 121m 4

− a2

a 4 + 2a 2 + 1 − a 2

2 2

3

112. 8 a + 1 − 1

11⋅ 1 = 11 ⇒ 15 − 11 = 4

= − ( x − 15)( x + 11)

9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 (1 − 3x − x 3 )

(

5⋅ 3 = 15

8⋅ 3

= (3x + 1)(8 x + 1) 110.

a 5 + x 5 = (a + x )(a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 + x 4 )

= − ( x 2 − 4 x − 165)

= ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24 =

a 3 − 64 = (a − 4)(a 2 + 4a + 16)

121. 165 + 4 x − x 2

]

= − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1) = (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x )

2

= ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z)

2 2

= − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1 2

]

]

117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2

3 2

2

2

= (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y)

= (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn)

4

[

− 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2

= − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y )

104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn

105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 =

2

= − ( x − 3 y) − 49a 2

= (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5) 2

[ (x

a b + 4a b + 4 − 100 4 4

2

2

= (a 2b 2 + 2) − 100 2

2

+ 9)(a − 2)

(1+ 10x )(1− 10x 2

2 2

2

2

+ 100 x 4 )

= (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10) = (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)

126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx 2

3

2

= (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx)

130.

= 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b)

729 − 125x 3 y12 = (9 − 5xy 4 )(81 + 45xy 4 + 25x 2 y 8 )

(

)

= (1 + 3b − a )(7 y + 8a x ) 2

(

4 − a2

)(

)

2

2 128. 7 + 33m − 10m

[

= (2 + a − b)(2 − a + b)

]

2 = − (10m) − 33 (10m) − 70

(10m − 35)(10m + 2)

133. x − y + x − y 3

= (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1)

= − (2m − 7)(5m + 1) = (7 − 2m)(5m + 1) 2

[

3

= (x 3 − y 3 ) + (x − y )

5⋅ 2

134. a − b + a − b 2

129. 4 (a + b) − 9 (c + d )

+ 2ab − b 2

= 4 − (a − b)

2

= − (10m2 − 33m − 7)

− b2

= 4 − (a 2 − 2ab + b 2 )

= ( x + 26)( x − 15) 2

=−

) (

)

+ b2

13⋅ 2 = 26 5 5⋅ 3 = 15 13 ⇒ 26 − 15 = 11

1

2

4 − a 2 − b 2 + 2ab

2

65 13

) (

2 2 132. 4 − a + b + 2ab

4 2 127. x + 11x − 390 390 3

130

(

2

131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1

2

3

3

= (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 )

2

][

= (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

]

= 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d ) = (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d )

= (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 )

EJERCICIO 107 3 3 7. 3ax + 3ay

1. 3ax 2 − 3a

= 3a ( x + y

= 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1)

3

8. 4ab − 4abn + an 2

)

= x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1)

= (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y )

2 2

2

13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a

= 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1)

2

= ( x − 4)( x + 1) 2

2

3 2 2 14. 16 x − 48 x y + 36 xy

= ( x + 2)( x − 2)( x + 1)

= 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y)

2

4. 2a 3 − 2

= 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1)

5. a − 3a − 28a

= a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4)

15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3

= (a 3 − a 2 ) − (a − 1)

= (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 )

= a (a − 1) − (a − 1)

= x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y )

2

= (a − 1)(a − 1)

= (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y )

2

3 2 6. x − 4 x + x − 4

= (a − 1)(a + 1)(a − 1)

= (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4)

= x ( x + 1) − 4 ( x + 1)

2

3 2 10. a − a − a + 1

2

16. 5a 4 + 5a

2 11. 2ax − 4ax + 2a

= (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1) 2

= (x 3 − x) + (x 2 y − y)

9. x − 3x − 4 4

= 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b)

2

2

= a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n) 2

2

3

)

= 3a ( x + y )( x − xy + y

2 2 3. 2a x − 4abx + 2b x

= 2 x (a 2 − 2ab + b 2 )

12. x 3 − x + x 2 y − y 2

2. 3x 2 − 3x − 6

= 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1)

3

= 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1)

2

= 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)

2 17. 6ax − ax − 2a

27. 4 x 2 + 32 x − 36

= a (6 x − x − 2)

35. x − 3x 2 − 18 x 3

= 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144

2

= x (1 − 3x − 18 x 2 )

= a (36 x − 6 x − 12)

144

2

72

2

=

36 9

4 3

4 ⋅ 3⋅ 3 = 36 ⇒ 36 − 4 = 32

3

3

=

2

a (6 x − 4)(6 x + 3) 2⋅3

= a (3x − 2)(2 x + 1) 18. n 4 − 81

= (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9) 2

2

2

(

= (a + a + 2)(a − 2)(a + 1) 29. x − 25x − 54 6

= x ( x 2 − 6 x + 9 − 16)

]

30. a + a 6

= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)

3 2 22. m + 3m − 16m − 48

31. a b + 2a bx + abx − aby 3

= (m3 + 3m2 ) − (16m + 48)

[

= 3ab (m2 − 1)

3

)(

) (

2

= (a 2 − b 2 )(a + b − 1)

)

= 3ab (m + 1)(m − 1) 33. 81x y + 3xy 4

= (a + b)(a − b)(a + b − 1)

= 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 )

= 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 )

34. a 4 − a 3 + a − 1

= 2ax (4a 2 − 3b)

2

= (a 4 − a 3 ) + (a − 1)

= 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b)

= a 3 (a − 1) + (a − 1)

26. x − x + x − x 3

2

= x ( x − x + x − 1) 3

[

= (a − 1)(a 3 + 1)

2

] [

]

= x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1) 2

4

= 3xy (27 x 3 + y 3 )

25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x

4

]

)

2 32. 3abm − 3ab

= (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y )

(

2

2

2

= ab (a + x + y )(a + x − y )

3 2 2 3 23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y

24. a + b a − b − a − b

2

= ab (a + x ) − y 2

= (m + 3)(m − 4)(m + 4)

2

2

= ab (a + 2ax + x − y

= (m + 3)(m2 − 16)

2

2

2

= m2 (m + 3) − 16 (m + 3)

2

= − x (3x + 1)(6x − 1) = x (3x + 1)(1 − 6x )

2 36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b

= 2 x (3a − b) + 2b (3a − b) = (3a − b)(2 x + 2b) = 2 ( x + b )(3a − b)

= am (m2 − 7m + 12) = am (m − 4)(m − 3)

2 3 2 38. 4a x − 4a

= a (a 5 + 1)

= x ( x + 1)( x − 7)

]

3 2 37. am − 7am + 12am

= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2)

= x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4)

2

3

= ( x 3 − 27)(x 3 + 2)

= x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16)

− x (18 x + 6)(18 x − 3) = 6⋅ 3

= (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 )

2

2

= x ( x 2 − 6 x − 7)

2

)

2

2

3 2 21. x − 6 x − 7 x

[

4

= (a + a + 2)(a − a − 2)

= ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5)

= x ( x − 3) − 4 2

(4 x + 36)(4 x − 4)

= 4 ( x + 9)( x − 1)

28. a 4 − a + 2

20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax

[

2 = − x (18x ) + 3 (18x) − 18

= ( x + 9)(4 x − 4)

1

19. 8ax 2 − 2a

= 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1)

= − x (18 x 2 + 3x − 1)

22 = 4

= (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)

= 4a 2 ( x 3 − 1)

= 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) 3 3 39. 28 x y − 7 xy

= 7 xy (4 x 2 − y 2 )

= 7 xy (2 x − y )(2 x + y ) 2 40. 3abx − 3abx − 18ab

= 3ab ( x 2 − x − 6)

= 3ab ( x − 3)( x + 2) 41. x 4 − 8 x 2 − 128

128 4 32 4

4 ⋅ 4 = 16

8

4

4⋅ 2 = 8

2

2 ⇒ 16 − 8 = 8

1

= ( x 2 − 16)( x 2 + 8)

= ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8) 2 2 3 42. 18 x y + 60 xy + 50 y

= 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 ) = 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )

(

)(

)

( ) = (a + 1)( x − 2 xy + y ) = (a + 1)( x − y)( x − y )

2 2 43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1 2

3

2

2 3 2 52. 6a x − 9a − ax

= x ( x + 3 y)( x − y )

= a (6ax − 9a − x 2

2

2

2

= (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y) = x (a 2 − 4b2 ) + 2 y (a 2 − 4b 2 ) = (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y )

53. 64a − 125a

= 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2)

2 2 48. bx − b − x + 1

= (bx 2 − x 2 ) − (b − 1) = x 2 (b − 1) − (b − 1) = (b − 1)(x 2 − 1)

= 2 x 2 ( x + 7)( x − 4)

2 5 5

15 3 1

)

420 210

2 2

105 21 7 1

5 3 7

(30a − 75)(30a + 20)

3

= (2a − 5)(15a + 10)

15⋅ 2

= 5 (2a − 5)(3a + 2)

2m + 2

− x 2 y 2n

= 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27)

]

= ( x 3 − 27)(2 x + 5)

= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5) 60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2

= a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 )

[ = a [x (x

]

= a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ) + xy + y ) − 2 ( x + xy + y

2

2

2

= a (x − 2)( x + xy + y 2

(

)

2

)

2

)]

4

61. x + y − 1

[

][

]

= (x + y ) + 1 (x + y ) − 1 2

2

= ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1) 2

62. 3a 5 + 3a 3 + 3a

= a 3 (a 4 + 6a 3 − 55)

= 3a (a 4 + a 2 + 1)

= a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5) 56. 16a b − 56a b + 49ab 5

x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 ) 7

= (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135)

55. a 7 + 6a 6 − 55a 3

5⋅ 2 = 20

=

⇒ 35 − 3 = 32

2

2

5

3⋅ 1 = 3

4 3 59. 2 x + 5x − 54 x − 135

= 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3)

52 ⋅ 3 = 75 ⇒ 75 − 20 = 55

5⋅ 7 = 35

]

= x 2 ( x m + y n )( x m − y n )

7 ⋅5

2 50. 30a − 55a − 50 2 = ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500 1. 500 2

3

4

= x (x m + y n ) x (x m − y n )

(35x + 28)(35x − 15) =

= 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28)

375 75

2

⇒ 28 − 15 = 13

4 3 2 49. 2 x + 6 x − 56 x

750

)

2 2 ⋅ 7 = 28 3⋅ 5 = 15

= (b − 1)(x + 1)( x − 1)

2

= ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n )

[

= (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12)

2

= x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )

2 = 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420

= (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12)

4

7

=

= 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12)

2

2

7 1

4 3 2 54. 70 x + 26 x − 24 x

)

2

2

21

58. x 3

4

2 2

2

= a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a

= 5a 2 (9 x 4 − 4)

(

)

4

= a (64 − 125a

2 4 2 46. 45a x − 20a

47. a 4 − a − 12

2

4

4

) = − a (x − 3a )( x − 3a ) = a (3a − x )( x − 3a )

2

= (a 2 − 4b2 )( x + 2 y)

2

= − a (x − 6ax + 9a

45. a x − 4b x + 2a y − 8b y 2

2

2

2

= x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 )

6

2

2

44. x + 2 x y − 3xy 3

( ) ( ) 57. 7 x + 32a x − 15a x = (x − y )[9 ( x − y ) − 1] = x (7 x + 32a x − 15a ) = (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a 105 5 = (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1)

51. 9 x − y − x − y

3 3

= 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 ) 5

= ab (16a − 56a b + 49b 4

2 2

= ab (4a 2 − 7b 2 )

2

4

)

[

= 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2

[

= 3a (a + 1 ) − a 2

2

2

]

]

= 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 ) 2

2

EJERCICIO 108

9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy

= (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy)

1. 1 − a8

= (1+ a 4 )(1− a 4 )

= 9 x 3 (x + y) − x (x + y)

= (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 ) = (1+ a

4

= (9 x 3 − x )( x + y)

)(1+ a )(1+ a)(1− a)

= x (9 x − 1)( x + y )

2

2

= (a 3 + 1)(a 3 − 1)

[

400 4 42 = 16

100 5

]

17. a x − a y + 2ax − 2ay 2 3

= (x + y

= (a − b

4

) = [(a + b)(a − b)] = (a + b) (a − b) 2

2 2

2

2

3

= x (x + 2)(x + 1)( x − 1) 6. 2 x + 6 x − 2 x − 6 3

= (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a) = a 3 (a + 2) − a (a + 2)

2

= (a 3 − a )(a + 2)

2

= a (a 2 − 1)(a + 2)

= (2 x 3 − 2)( x + 3)

3

3 2

[

2 3

5

3 2

2 3

5

)

= (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b

= 3( x − 81)

2

15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2

= 3( x + 9)( x + 3)( x − 3) 2

4

= (a − 1) (a 2 + a + 1)

) = [(2 x + y )(2 x − y )] = (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y )

[

= 2 (4 x

2 2

=

2

)

2 2

2

2

= (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 )

[

= (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2

2

+ 3 (4 x ) − 4 2

2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1) 4

]

]

) = (m + 3)(m − 3)[(m + 9) − 9m ] = (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9) 2

2

2

= 2 (4 x + 3x − 1) 4

2

= (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81)

= (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 )

4

]

6 20. m − 729

= a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 )

7. 3x 4 − 243

2

2

= (a − 1)(a 2 + a + 1)

= (a − a b ) − (a b − b 5

= 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3)

8. 16 x − 8 x y + y

= (a 3 − 1)

= (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) 5

= 3( x + 9)(x − 9)

19. 1 − 2a 3 + a 6

2

14. a − a b − a b + b

2

= a (a + 1)(a − 1)(a + 2)

3

= (8 + x 3 )(8 − x 3 )

= 2 ( x 3 − 1)( x + 3)

2

3

= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1)

= 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3)

= (4 x − y

2

6 13. 64 − x

= (2 x + 6x ) − (2 x + 6)

2

2

2

3

2

4

2

= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)

2

4

4

2

2

2

2

6

3

= x (x + 2)( x − 1) 2

4

4

4 3 2 18. a + 2a − a − 2a

4

= (x − 8)(x + 1)

= x ( x 4 + x 2 − 2)

4

4

4

12. x − 7 x − 8

5. x + x − 2 x 5

2

4

3

= a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 )

)(x − y ) = (x + y ) (x + y )( x − y ) = (x + y )( x + y )( x + y )( x − y )

4. a − 2a b + b 4

3

= (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 )

= 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1)

2 2

3

= a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 )

4

8 8 = ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y 4

2

= (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 )

= 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1)

= ( x 2 − 25)( x 2 − 16)

1

2

3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1)

=

5 52 = 25 4 ⇒ 25 + 16 = 41

20 4

32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25 3

= (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3)

= 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12

3. x − 41x + 400

9

= (a 2 − 16 )(a 2 − 9 )

= 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3)

2

4

1

4 2 10. 12ax + 33ax − 9a

= (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)

4 2 = 16

36 3

= x (3x + 1)(3x − 1)( x + y )

6 2. a − 1

4

4 2 16 a − 25a + 144 144 4

2

2

21. x − x

= 2 ( x 2 + 1)(4 x 2 − 1) = 2 (x 2 + 1)(2 x + 1)(2 x − 1)

5

= x (x 4 − 1)

= x (x 2 + 1)(x 2 − 1)

= x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)

22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5

= (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 )

= (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 )

= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 )

= x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 ) = (x + y 3

3

)(x

−y

2

2

= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 )

)

= (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y) 4 3 2 2 3 4 23. a b − a b − a b + ab

= (a b − a b ) − (a b − ab 4

3 2

2

3

= a b (a − b) − ab (a − b) 3

4

3 2 28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a

= (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a )

)

29. a x + b y − b x − a y 2

24. 5a − 3.125 4

2

2

2

= 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5) 2

2

2

)

− 2 (a + 2a ) − 3 2

= (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4 2

2

=

{[(a + 2a) − 2 (a + 2a)+ 1]− 4} 2

2

= (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4) = (a + 1)

2

2

+ 2a + 1) − 4

[(a + 1) − 4]

]

2

= (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2) 2

= (a + 1) (a + 3)(a − 1) 2

26. a x + 2ax − 8a − 16a 2 3

3

2

= (a x + 2ax ) − (8a + 16a ) 2 3

2

) = x (a − b ) − y (a − b ) = (a − b )( x − y ) = (a + b)(a − b)( x + y )( x − y ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= (3bx 2 − 12b)(a + 1)

)

= 3b ( x 2 − 4)(a + 1)

= 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1) 2 35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30 2

= (3a 2 m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30)

2

= 3m (a 2 + 3a − 10) + 3 (a 2 + 3a − 10) = (3m + 3)(a 2 + 3a − 10)

3

2

= ax (a + 2) − 8a (a + 2) 3

= (ax − 8a )(a + 2) 3

= a ( x − 8)(a + 2) 3

= a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2)

= 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2)

30. x + x − 2 8

4

= (x + 2)(x − 1 ) 4

4

= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x 2 − 1)

3 2 3 3 2 36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6

= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1)

= (a 2 + 2a + 1)(a 2 + 2a − 3)

2

2

2

= (a 2 + 2a − 1 + 2)(a 2 + 2a − 1 − 2)

[(a

2

2

2

2

2

31. a + a − 9a − 9a 4

3

2

= (a + a ) − (9a + 9a ) 4

3

− 16)(16m2 − 9) 16

= 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1)

2

2

= (a 2 + 2a − 1) − 4

= (a + 1)

2

(16m

= (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b)

2

2

2

2

2

2

(

2

= x (a − b ) + y (b − a

= 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25)

25. a + 2a

2

= (a x − b x ) + (b y − a y

= 5 (a 4 − 625)

2

2

3 32 = 9 3 ⇒ 16 + 9 = 25

34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b

= 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2)

= ab (a + b)(a − b)(a − b)

9 3 1

= (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3)

= 5a ( x 2 − 1)(x + 2)

= ab (a 2 − b 2 )(a − b)

4

= (m2 − 1)(16m2 − 9)

= (5ax 2 − 5a )( x + 2)

= (a 3b − ab 3 )(a − b)

4 2 = 16

36

2

=

= 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2)

3

2

4 2 33. 16m − 25m + 9 2 2 = (16m ) − 25(16m2 ) + 144 144 4

6 6 27.1 − a b

2

= a (a + 1) − 9a (a + 1)

= (a 3 x 2 − 5a 3 x + 6a 3 ) + ( x 2 − 5x + 6) = a 3 ( x 2 − 5x + 6) + ( x 2 − 5x + 6) = (a 3 + 1)( x 2 − 5x + 6)

= (a + 1)(a 2 − a + 1)(x − 3)( x − 2)

(

) (

)(

2 2 2 2 2 37. x x − y − 2 x − 1 x − y

)

)[x − (2 x − 1) ] = ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1) = a (a − 9)(a + 1) = ( x + y)( x − y)( x − 1) = a(a + 3)(a − 3)(a + 1) 38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1) = a ( x + 1)(x − x + 1) + 3ax ( x + 1) 32. a x + a x − 6a − x − x + 6 = (x + 1)[a (x − x + 1) + 3ax ] = (a x + a x − 6a ) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax − ax + a + 3ax ) = a ( x + x − 6) − ( x + x − 6) = (x + 1)(ax + 2ax + a ) = (a − 1)( x + x − 6) = a ( x + 1)(x + 2 x + 1) = (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2) = a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1) = (x − y

3

2

= (a 3 − 9a )(a + 1)

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

EJERCICIO 109 1. x − xy 9

7 4 3 10. x + x − 81x − 81

4 3 2 2 2 2 2 6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b

= (x 7 + x 4 ) − (81x 3 + 81)

= (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 )

8

= x (x − y

= x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1)

= 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2)

) = 2 (a − a − 2)(a − b ) = x (x − y )( x + y ) = 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b) = x(x + y )(x − y )(x + y ) = x (x + y )(x + y )( x − y )( x + y ) 8

8

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

4

4

17 11. x − x

= x ( x16 − 1)

= ( x + 5x ) − (81x + 405x) 6

5

2

= x ( x 8 + 1)(x 8 − 1)

= x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5)

= x ( x 2 − 36)( x 2 − 4)

= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1)

= ( x 5 − 81x )( x + 5)

= x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 )

= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1)

= x ( x 4 − 81)( x + 5)

6 3 3 4 3 3. a + a b − a − ab

= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)

= x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5)

= (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 )

6 4 2 12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200

= x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5)

= a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 ) = (a 3 − a)(a 3 + b3 )

= (3x 6 − 75x 4 ) − (48 x 2 − 1. 200) = 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25)

8. 3 − 3a 6

= a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 )

= a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 )

= (3x 4 − 48)( x 2 − 25)

= 3 (1 − a 6 )

= 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5)

= 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 )

= 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 )

4. 4 x − 8 x + 4 2

2 2 2 3 2 2 9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax

= 4 ( x − 2 x + 1) 2

= 4 ( x − 1)( x − 1) 2

= (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1)

6 5 2 7. x + 5x − 81x − 405x

= x ( x 4 − 40 x 2 + 144)

4

= (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1)

4

3

4

= (x 4 − 81)(x 3 + 1)

2

4

2. x − 40 x + 144 x 5

2

2

= 4 ( x + 1) ( x − 1) 2

2

= 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 ) 2

7 6 5. a − ab

= (a 6 x 2 − x 2 ) + (a 6 x − x )

2

= x 2 (a 6 − 1) + x (a 6 − 1)

= (4ax − a )(a − x )

2

2

= (x 2 + x )(a 6 − 1)

= a (4 x − 1)(a − x )

2

2

= a (a 6 − b 6 )

= a (a 3 + b3 )(a 3 − b 3 )

= x (x + 1)(a 3 − 1)(a 3 + 1 )

= a (2 x + 1)(2 x − 1)(a − x )

2

= a (a + b)(a 2 − ab + b 2 )(a − b)(a 2 + ab + b2 )

= 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5)

6 2 2 6 13. a x − x + a x − x

= 4ax (a − x ) − a (a − x ) 2

2

= 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5)

= x (x + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)

(

)( ) = a (a − x )( x − 81)( x − 1) = a (a − x )( x + 9)(x − 9)( x + 1)(x − 1)

2 4 2 14. a − ax x − 82 x + 81 2

EJERCICIO 110 3 2 1. x + x − x − 1 1 1 −1 −1 +1

1

2

1

1 2

1

0

= (x 2 + 2 x + 1)(x − 1) = (x + 1) (x − 1) 2

3 2 2. x − 4 x + x + 6 1 − 4 1 6 −1

−1 5 − 6 1 −5 6

0

= ( x 2 − 5x + 6)( x + 1)

= ( x − 3)( x − 2)( x + 1)

3 2 3. a − 3a − 4a + 12 1 − 3 − 4 12 + 2

2 − 2 − 12 1 −1 − 6

0

= (a 2 − a − 6)(a − 2)

= (a − 3)(a + 2)(a − 2)

2

3 4. m − 12m + 16 1 0 − 12 16

2 1 2

+2

4 − 16 −8

0

= (m + 2m − 8)(m − 2) 2

= (m + 4)(m − 2)(m − 2) = (m + 4)(m − 2)

2

4 3 2 11. x − 4 x + 3x + 4 x − 4

2 x 3 − x 2 − 18 x + 9 2 − 1 − 18 9 6 15 − 9

5.

2

−3

5

1 −4

+3

0

= (2 x + 5x − 3)( x − 3) 5 −3 −6 3

2 −1

28

7

0

1 5

1

1 2 0 −2

0

1

1

−2

1

= (n + 3)(n − 2)(n − 1)

1 32 − 2 − 32

1 − 1 − 12

2

10. 6 x + 23x + 9 x − 18

9 − 18 − 3

− 18 − 15

0

= (6x + 5x − 6)( x + 3) 2

[

]

2 = ( 6 x ) + 5 ( 6 x) − 36 ( x + 3)

=

−2

− 34

−7

60

0

+4

60

− 8 − 60

− 2

8

− 15

0

= (8a − 2a − 15)(a + 2)(a − 4) 2

[

]

2 = (8a) − 2 (8a) − 120 (a + 2)(a − 4)

120

4

30

3 4 ⋅ 3 = 12

10

2

5 1

5 ⇒ 12 − 10 = 2

=

0

2

32

24

(6x + 9)(6x − 4)(x + 3) 3⋅ 2

1 0 − 27 − 14 120 2 4 − 46 − 120 1 2 − 23 − 60

18

5 −6

6

− 24

3

5⋅ 2 = 10

(8a − 12)(8a + 10)(a + 2)(a − 4) 4⋅2

= (2a − 3)(4a + 5)(a + 2)(a − 4)

4 2 14. n − 27n − 14n + 120

2

23

0

= (a − 4)(a + 3)(a − 1)(a + 2)

= ( x − 4) ( x + 2)

6

0

= (a 2 − a − 12)(a − 1)(a + 2)

0

= (x 2 − 8 x + 16)(x + 2) 3

1 − 14 −2 2

68 14 − 120

= (8a − 34a − 7a + 60)(a + 2)

8

= (a 3 + a 2 − 14a − 24)(a − 1)

9. x 3 − 6 x 2 + 32

1 − 8 16

0 − 13 − 12 − 1 −1 1 12

1 1 − 14 − 24

4 3 2 16. 8a − 18a − 75a + 46a + 120 8 − 18 − 75 46 120 − 2

− 16

1 0 − 15 − 10 24 + 1 1 1 − 14 − 24

= (n 2 + n − 6)(n − 1)

− 2 16

0

8 − 34 − 7

4 2 13. a − 15a − 10a + 24

0

0

0

= ( x − 4)(x + 3)( x − 2)( x + 1)

6 +1 1 −6

−6

7

−5

= ( x 2 − 3x + 7)( x + 4)( x + 5)

= ( x 2 − x − 12)(x − 2)( x + 1)

8. n − 7n + 6 1 0 −7

1

0 − 13 − 12

1 − 1 − 12

0

= ( x + 1)(x + 2)

1 − 6

0

2 −8 35 − 5 15 − 35

1 −3

= ( x 3 − 13x − 12)(x − 2)

3

1

35

0

1 − 2 − 13 14 24 + 2 2 0 − 26 − 24

2

1

1 2 −8

4 3 2 12. x − 2 x − 13x + 14 x + 24

x3 + 2x2 + x + 2 2 −2

3 140 − 4 32 − 140

1

= ( x − 2) ( x − 1)(x + 1)

+4

= (a + 5a + 7)(a − 4) 1

4

1 6 0 −4 −8

= ( x 3 + 2 x 2 − 8x + 35)(x + 4)

2

2

7.

0

= ( x 2 − 4 x + 4)( x − 1)( x + 1)

3 2 6. a + a − 13a − 28

20

1 −3 0 4

1 −4

0

= (2 x − 1)(x − 3)(x + 3)

4

4

1 − 3 0 4 −1 −1 4 −4

−3

1 1 − 13 − 28

1 −3 0

4 3 15. x + 6 x + 3x + 140

+1

= ( x 3 − 3x 2 + 4)( x − 1)

2

2

3 4 −4

= (2 x + 3)(3x − 2)( x + 3)

+2

0

= (n3 + 2n2 − 23n − 60)(n − 2) 2 − 23 −3 3

− 60

1 − 1 − 20

0

1

−3

60

= (n − n − 20)(n − 2)(n + 3) 2

= (n − 5)(n + 4)(n − 2)(n + 3)

17. x 4 − 22 x 2 − 75

1 0 − 22 0 5 25 15 1 5

3 15

− 75

+5

75 0

= ( x + 5x + 3x + 15)(x − 5) 3

2

1 5 3 15 − 5 − 5 0 − 15 1 0

3

0

= ( x + 3 )(x − 5)( x + 5) 2

21. 4 x 5 + 3x 4 − 108x 3 − 25x 2 + 522 x + 360

4 3 2 18. 15x + 94 x − 5x − 164 x + 60 15 94 − 5 − 164 60 + 1 15 109 104 − 60

15 109 104 − 60

−8

− 10

19

(15x + 25)(15x − 6)( x − 1)(x + 6)

4 23

1 0 − 21 16 108 − 144 2 4 − 34 − 36 144 72

+2

− 18

24

− 1 − 14 2

24 − 24

2

1 − 12

1

−1 −2

6

1

−3

− 16

−3

− 16

3 1

96

+6

−2

6 − 13 − 81 112 180 − 144 12 − 2 − 166 − 108 144 −1

− 83 − 54

72

+2

0

= (6x 4 − x 3 − 83x 2 − 54 x + 72)( x − 2)

6 − 19 − 26

24

−3

0

= (6x 3 − 19 x 2 − 26x + 24)( x − 2)( x + 3)

6

+3

0

= (a 2 − 16)(a + 1)(a + 2)(a − 3)

= (a + 4)(a − 4)(a + 1)(a + 2)(a − 3)

0

5 4 25. 2a − 8a + 3a − 12 2 − 8 0 0 3 − 12 + 4 8 0 0 0 12

2

0 0

0 3

0

= (2a + 3)(a − 4) 4

5 4 3 2 26. x + 2 x − 15x − 3x − 6 x + 45 1 2 − 15 − 3 − 6 45 + 3 3 15 0 − 9 − 45

0 − 3 − 15

1 5

0

1 5 0 −3 −5 0 0

− 15

1 0 0 −3

0

−5

15

x 6 + 6 x 5 + 4 x 4 − 42 x 3 − 113x 2 − 108 x − 36 = (n − n + 3)(n + 2)(n + 5)(n − 6) 27.

32 − 96 0

1

= ( x 2 − x + 1)( x + 1)( x − 5)( x + 5)

= ( x − 3)( x − 3)( x + 5)

0

48

48 0 − 48

0 − 16

3

6 − 1 − 83 − 54 72 − 18 57 78 − 72

− 22 16

1 −1

−5

5 5 −5

2

16

0

0

3

6

= (a 3 − 3a 2 − 16a + 48)(a + 1)(a + 2) 1

−1

1

− 18 18

112 96 − 1 22 − 16 − 96 96

0

5 4 3 2 23. 6x − 13x − 81x + 112 x + 180 x − 144

= (a 4 − a 3 − 22a 2 + 16a + 96)(a + 1)

1

9 − 18

+5

= ( x 4 + 5x 3 − 3x − 15)( x − 3)

2

−7 9 6 −6

1

0

0 − 23 − 6

1 − 1 − 22

−5

= (n − 7n + 9n − 18)(n + 2)(n + 5)

2

1

27 − 90 35 − 45 90

− 26

3

20. a − 23a − 6a + 112a + 96 −1

0

−7

1

+2

2

1

−2 −5

1

= ( x + 4)( x − 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2)

3

27 − 90

= (n4 − 2n3 − 26n 2 + 27n − 90)(n + 2)

= ( x 2 + x − 12)( x − 2)( x + 3)(x − 2)

5

− 2 − 26

1

0

= ( x + 4) ( x − 3) ( x + 3)( x − 2)

]

0 − 30 − 25 − 36 − 180 − 2 −2 4 52 − 54 180

1

−3

72 42 − 72

−4

5 3 2 22. n − 30n − 25n − 36n − 180

0

5

4 −5

1

= ( x + 5)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4)

−4

4

− 25 25

= ( x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5)( x + 1)( x − 5)

+4

]

[

= ( x 3 − x 2 − 14 x + 24)( x − 2)( x + 3)

1

1

= (4 x + 20)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) ÷ 4

= ( x 4 + 2 x 3 − 17 x 2 − 18x + 72)( x − 2)

− 14

0

2 = ( 4 x ) + 23( 4 x ) + 60 ( x + 2)( x − 3)( x − 4)

5 3 2 19. x − 21x + 16x + 108x − 144

1 −1

1 − 1 − 24 25 5 20 − 20

0

[

0

= ( x 4 − x 3 − 24 x 2 + 25x − 25)( x + 1)

2

= (3x + 5)(5x − 2)( x − 1)( x + 6)

3

15

0 − 25 1 0 − 25 − 1 −1 1 24 − 25 25

1 − 1 − 24 25 − 25

= (4 x + 23x + 15)( x + 2)( x − 3)( x − 4)

5⋅ 3

− 17

0

171 180 + 3 21 − 231 − 180

7 − 77 − 60 16 92 60

4

]

2 −3

180

= (4 x 3 + 7 x 2 − 77 x − 60)( x + 2)( x − 3)

2 = (15x ) + 19 (15x) − 150 ( x − 1)( x + 6)

1

171

7 − 77 − 60

4

0

1 2 − 17 − 18

1

196 − 342 − 360

10

12

= (15x 2 + 19 x − 10)( x − 1)( x + 6)

=

5 3 2 24. x − 25x + x − 25

−2

360

− 5 − 98

4

−6

[

522

= (4 x 4 − 5x 3 − 98x 2 + 171x + 180)( x + 2)

= (15x 3 + 109 x 2 + 104 x − 60)( x − 1)

15

− 25

4 − 5 − 98

0

15 109 104 − 60 − 90 − 114 60

3 − 108

4

− 19 − 26 24

6

5

24 + 4 20 − 24

− 6

]

2 = ( 6 x ) + 5( 6 x ) − 36 ( x − 2)( x + 3)( x − 4)

=

− 113 − 108 − 36 − 1 41

72

36

1 5 − 1 − 41

− 72

− 36

0

= ( x 5 + 5x 4 − x 3 − 41x 2 − 72 x − 36)( x + 1)

1 5 − 1 − 41 −1 − 4 5

− 72 − 36 − 1 36

36

1 4 − 5 − 36 − 36

0

= ( x 4 + 4 x 3 − 5x 2 − 36 x − 36)( x + 1)(x + 1)

1 4 − 5 − 36 − 36 − 2 − 2 − 4 18 36 1 2 − 9 − 18 0 = ( x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18)(x + 1) (x + 2) 2

0

= (6x 2 + 5x − 6)( x − 2)( x + 3)( x − 4)

[

1 6 4 − 42 −1 − 5 1

(6x + 9)(6x − 4)(x − 2)(x + 3)(x − 4) 3⋅ 2

= (2 x + 3)(3x − 2)( x − 2)( x + 3)( x − 4)

1 2 − 9 − 18 − 2 0 18 1 0 −9

−2

0

= ( x 2 − 9)(x + 1) (x + 2) 2

2

= ( x + 3)( x − 3)( x + 1) ( x + 2) 2

2

29. x 6 − 41x 4 + 184 x 2 − 144 1 0 − 41 0 184 0 − 144 1 1 − 40 − 40 144 144

6 4 3 2 28. a − 32a + 18a + 247a − 162a − 360

1 0 − 32 18 247 − 162 − 360 − 1 − 1 1 31 − 49 − 198 360 1 − 1 − 31 49 198 − 360

1 1 − 40 − 40 144 144

0

49 198 − 360 2 − 58 − 18 360

2

− 29 − 9

1 1

180

1 1 − 40 − 40 144 144 0 40 0 − 144 −1

+2

1 0 − 40

= (a 4 + a 3 − 29a 2 − 9a + 180)(a + 1)(a − 2)

1 4 − 17 − 60

= ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1)

+3

6 5 4 3 2 31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a − 144

= (a 3 + 4a 2 − 17a − 60)(a + 1)(a − 2)(a − 3) − 17 − 3

− 60

1 1

− 20

0

−3

1

−8

1

−6 −6

= (a 2 + a − 20)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)

56 − 480

1 − 4 − 14 63 − 36 3 − 3 − 51 36

+3

−1

0

1 −1

10 148 − 240

−2

0

= (2 x 4 − 16x 3 + 10 x 2 + 148 x − 240)(x + 1)(x + 2) − 16 10 148 − 240 4 − 24 − 28 240

2

2 − 12 − 14

120

+2

0

= (2 x 3 − 12 x 2 − 14 x + 120)(x + 1)(x + 2)(x − 2)

2 − 12 − 14 120 8 − 16 − 120 − 4 − 30

2

+4

0 +2

0 2

2

− 1 − 17 12 − 4 20 − 12 −5

3

(a − 3)

−4

0

= (a − 5a + 3)(a − 2)

2

2

(a − 3)(a + 4)

7 5 4 3 2 32. x − 20 x − 2 x + 64 x + 40 x − 128 1 0 − 20 − 2 64 40 0 − 128 + 2 2 4 − 32 − 68 − 8 64 128

1 2 − 16 − 34 − 4

32 64

0

= ( x 6 + 2 x 5 − 16 x 4 − 34 x 3 − 4 x 2 + 32 x + 64)( x − 2)

1 2 − 16 − 34 − 4 32 + 64 − 2 0 32 4 0 − 64 1 0

− 16 − 2

0 32

−2

0

= ( x − 16 x − 2 x + 32)( x − 2)( x + 2) 5

0

= (2 x − 4 x − 30)( x + 1)( x + 2)(x − 2)( x − 4) 2

[

12

= (a − a − 17a + 12)(a − 2)

1

2

− 17

3

2 − 12 − 22 168 56 − 480 − 4 32 − 20 − 296 480

3

− 6 − 6 91 − 162 72 2 − 8 − 28 126 − 72 0

= (2 x − 12 x − 22 x + 168 x + 56 x − 480)(x + 1)

2 − 16

72

2

− 36

1

4

− 162

3

= (a 4 − 4a 3 − 14a 2 + 63a − 36)(a − 2)(a − 2)

6 5 4 3 2 30. 2 x − 10 x − 34 x + 146 x + 224 x − 424 x − 480

146 224 − 424 − 480 22 − 168 − 56 480

4

1 − 4 − 14 63

= (a + 5)(a − 4)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)

5

91

= (a − 6a − 6a + 91a − 162a + 72)(a − 2) 1

2 − 12 − 22 168

6 103 − 344 396 − 144 + 2 2 − 12 − 12 182 − 324 144

5

60

2 − 10 − 34 −2 12

0

= ( x 2 − 36)( x 2 − 4)( x − 1)( x + 1)

0

1 4 −3

0 144

−1

= ( x 4 − 40 x 2 + 144)( x − 1)( x + 1)

0

1 1 − 29 − 9 180 3 12 − 51 − 180

0

= ( x 5 + x 4 − 40 x 3 − 40 x 2 + 144 x + 144)( x − 1)

= (a 5 − a 4 − 31a 3 + 49a 2 + 198a − 360)(a + 1)

1 − 1 − 31

+1

]

2 = ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) − 60 (x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)

(2 x − 10)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4) = 2

= (x − 5)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)

= 2 (x − 5)(x + 3)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4)

3

2

1 0 − 16 − 2 0 32 + 4 4 16 0 − 8 − 32 1 4

0

−2 −8

0

= ( x 4 + 4 x 3 − 2 x − 8)( x − 2)( x + 2)( x − 4) 1 4 0 −2 −8 −4 0 0 8 1 0

0 −2

−4

0

= ( x − 2)( x − 2)( x + 2)( x − 4)( x + 4) 3

EJERCICIO 111 7. 15a 2b3 c , 24ab2 x , 36b 4 x 2

1. a 2 x , ax 2 mcd ax 2

15 5 3 3 1

2

2. ab c , a bc mcd abc 3. 2x 2 y , x 2y 3 mcd x 2 y 4. 6a 2b 3 ,15a 3b 4 6 3 15 3 2

2

5

1 3⋅2 = 6

11. 42am2n , 56m3n2 x , 70m4n2 y 42 14 56 14 70 14

36 3 12 4 3 3 1

3

5

mcd 3 ⇒ 3b

3 2 2 5. 8am n, 20x m 8 2 20 2 4 2 10 2 2 2 5 5 1 1

3 2

18 6

3 24 3 8

3 4

2

2

2

2 2

2

1

1

75 5

mcd 2 = 4

4

⇒ 4m

1 1 1 7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 7 ⋅ 6 = 42

2 2 3 4 6. 18mn , 27a m n 18 3 27 3 6 3 9 3 2 2 3 3 1 1

32 ⋅ 2 = 18

4

mcd

5

5

6

33 = 27

⇒ 9mn2

2

2

225 15

15 5

3

3

1

13. 4a 2b , 8a 3b 2 , 2a 2bc ,10ab 3c 2 4 2 8 2 2 2 10 2 2 2 4 4 1 5 5

6

1

1

1

2 = 4 2⋅4 = 8 2

2 = 2 2 ⋅ 5 = 10

mcd 2 ⇒ 2ab

1

8 ⋅ 32 = 72

15 5

mcd 15 ⋅ 5 ⇒ 75a 3b 3

7 ⇒ 7 a 2b 3 c 4

1

mcd 3 = 9

150 10

15 ⋅ 5 = 75 15 ⋅ 5 ⋅ 2 = 150 15 ⋅ 5 ⋅ 3 = 225

3 4 4 2 2 3 4 5 7 10. 72x y z , 96x y z ,120x y z 72 8 96 8 120 8 9 3 12 3 15 3 3 3 4 4 5 5

2

5

1

9. 28a 2b 3c 4 , 35a 3b 4 c 5 , 42a 4b 5 c 6 28 7 35 7 42 7

2

15 5

1

mcd 3 ⋅ 2 ⇒ 6 xyz

22 ⋅ 5 = 20

5

mcd 14 ⇒ 14m2n

3 ⋅ 2 2 = 12 32 ⋅ 2 = 18 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24

2

4

12. 75a 4b 3c 2 ,150a 5b 7 x 2 , 225a 3b 6 y 2

12 4 1

4

2

8. 12x 2 yz 3 ,18 xy 2 z , 24 x 3 yz2

mcd 3 ⇒ 3a 2b 3

3

1 1 1 14 ⋅ 3 = 42 14 ⋅ 4 = 56 14 ⋅ 5 = 70

5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 32 ⋅ 4 = 36

1 3 ⋅ 5 = 15

23 = 8

24 3 8 4 2 2 1

14. 38a 2 x 6 y 4 , 76mx 4 y 7 , 95x 5 y 6 38 19 76 19 95 19 2

2

4

4

5

5

1 1 1 19 ⋅ 2 = 38 19 ⋅ 4 = 76 19 ⋅ 5 = 95

1

8 ⋅ 3 ⋅ 4 = 96 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120

mcd 19

⇒ 19 x 4 y 4

mcd 8 ⋅ 3 ⇒ 24x 2 y 2 z3

EJERCICIO 112 1. 2a 2 + 2ab = 2a (a + b)

4a 2 − 4ab = 2 2 a (a − b)

mcd

2. 6 x y − 6 x y = 2 ⋅ 3x y ( x − 1) 2

2

9 x 3 y 2 + 18 x 2 y 2 = 32 x 2 y 2 (x + 2)

12a b = 4 ⋅ 3 a b 3

2

mcd 4a b

3

2

4. ab + b = b (a + 1)

a + a = a (a + 1) 2

mcd a + 1

2

2

18a x y = 6 ⋅ 3 a x y 2

7.

3

4

2

6a x y − 18a xy = 6a xy 2

2

4

2

2

mcd 6a xy

4

4

8. 5a − 15a = 5a (a − 3) 2

(a − 3) a (a − 3)

a − 3a = a 3

mcd

2

2

2

4

3

4

(x − 3)

a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)

2

10axy 2 − 20 x 2 y 2 = 5⋅ 2 xy 2 (a − 2 x )

3

4a b − 8a b = 4a b (a − 2b) 2

2

30ax 2 − 15x 3 = 5⋅ 3x 2 (2a − x )

6.

10.

mcd

mcd 5x

2

3 2

mcd x ( x + 5)

mcd x ( x − 1)

mcd 3x 2 y 3.

ax 2 + 5ax = ax ( x + 5)

x 3 − x 2 = x 2 ( x − 1)

2a

3

9. 3x 3 + 15x 2 = 3x 2 ( x + 5)

2 5. x − x = x ( x − 1)

11.

(a − b)

m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )

3am + 3an = 3a (m + n) mcd m + n

( )( ) − 8 = ( x − 2)(x + 2 x + 4)

12. x 2 − 4 = x + 2 x − 2

x

3

mcd x − 2

2

13.

2ax 2 + 4ax = 2ax (x + 2)

21.

x 3 − x 2 − 6 x = x ( x 2 − x − 6) = x (x − 3)( x + 2)

(2 x

mcd x ( x + 2) 14.

4 x 4 − y 2 = (2 x 2 + y )(2 x 2 − y)

9 x 2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1)

(

4a 2 + 4ab + b2 = (2a + b)

9x3

2

2a 2 − 2ab + ab − b2 = (2a 2 − 2ab) + (ab − b 2 ) = 2a (a − b) + b (a − b) = (2a + b)(a − b)

2

2

25.

= 3⋅ 2 ( x − 4)( x + 1)

3 ( x − 4)

x ( x − 1)

mcd

x 4 − 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 9)

= x 2 ( x + 3)( x − 3)

x 4 − 5x 3 + 6x 2 = x 2 ( x 2 − 5x + 6) = x 2 ( x − 3)( x − 2) 2

(

a 4b − a 2b 3 = a 2b (a 2 − b 2 )

2x + y

( ) = 2a (a − 3b) a x − 9ab x = ax (a − 9b ) = ax (a + 3b)(a − 3b) mcd a (a − 3b) 19. ac + ad − 2bc − 2bd = (ac + ad ) − (2bc + 2bd ) = a (c + d ) − 2b (c + d ) = (a − 2b)(c + d ) 2c + 4cd + 2d = 2 (c + 2cd + d ) = 2 (c + d )

mcd

3 2 2 2 2 18. 2a − 12a b + 18ab = 2a a − 6ab + 9b 2

2

2

2

2x

2

mcd c + d

3a 2 m2 + 6a 2 m − 45a 2 = 3a 2 (m2 + 2m − 15)

= 3a (m + 5)(m − 3) 2

6am2 x + 24amx − 30ax = 6ax (m2 − 4m − 5)

= 3⋅ 2ax (m + 5)(m − 1)

ab (a + b)

2

2

( ) = 2 (x + 2)(x − 1) − 8x + 6 = 2 ( x − 4 x + 3) = 2 ( x − 3 )( x − 1) = 2 ( x + 1)( x − 1) 2 x − 2 = 2 (x − 1) mcd 2 ( x − 1) 2

3

2

ax 3 − 2ax 2 − 8ax = ax (x 2 − 2 x − 8)

28.

= ax ( x − 4)( x + 2)

ax − ax − 6a = a ( x − x − 6) 2

= a ( x − 3)( x + 2)

2

a x − 3a x − 10a x = a x (x − 3x − 10) = a 2 x ( x − 5)( x + 2) 2

3

2

2

2

mcd 3a (m + 5)

( ) = a b (a + b)(a − b)

2 2 27. 2 x + 2 x − 4 = 2 x + x − 2

2

2

)

3 2 2 3 2 2 26. a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b

= a (2 x + y )(2 x − y )

2

x 2 ( x − 3)

mcd

4ax 2 − ay 2 = a (4 x 2 − y 2 )

20.

4 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 ( x − 1)

x 4 − 6x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 6 x + 9) = x 2 ( x − 3)

8 x 3 + y 3 = (2 x + y )(4 x 2 − 2 xy + y 2 )

2

3x 2 − 3x = 3x ( x − 1)

2

mcd a + b

= 3( x + 5)( x − 4)

3

24. 2 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 ( x − 1)

a + a b = a (a + b) 3

3x 2 + 3x − 60 = 3( x 2 + x − 20)

mcd

2

ab + b 2 = b (a + b)

6x 2 − 18 x − 24 = 6 ( x 2 − 3x − 4)

17.

)( ) = 3x ( x + 1)(x + 1)(x − 1) − 9 x = 9 x ( x − 1) = 3 x( x + 1)( x − 1) mcd 3x ( x + 1)(x − 1)

2 23. a + ab = a (a + b )

2a + b

mcd

(

2

mcd 3x − 1

16.

)

22. 3x 5 − 3x = 3x x 4 − 1 = 3x x 2 + 1 x 2 − 1

9 x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1)

mcd

2

mcd 2 x 2 + y

2

15.

+ y) = (2 x 2 + y)(2 x 2 + y)

2

mcd

2

2

2

a ( x + 2)

(

) = 2a (n − 4)(n − 4) = 2a (n + 2) (n − 2) = 2an (n + 2)(n − 2) 2an − 8an = 2an (n − 4) = 2a (n + 2)(n − 2n + 4) 2a n + 16a = 2a (n + 8) mcd 2a (n + 2)

4 2 4 2 29. 2an − 16an + 32a = 2a n − 8n + 16 2

3

2 3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

( ) ( )( ) 2a − 6a + 4 = 2 (a − 3a + 2) = 2 (a − 2)(a − 1) 6a + 18a − 24 = 6 (a + 3a − 4) = 3⋅ 2 (a + 4)(a − 1) mcd 2 (a − 1) 4a − b = (2a + b)(2a − b) 31. 8a + b = (2a + b)(4a − 2ab + b ) 4a + 4ab + b = (2a + b) 30. 4a 2 + 8a − 12 = 4 a 2 + 2a − 3 = 2 2 a + 3 a − 1 2

39.

2

2

3a 2 − 6a = 3a (a − 2)

a − 4a = a (a 2 − 4) = a (a + 2)(a − 2) 3

a 2b − 2ab = ab (a − 2)

2

2

2

3

3

2

2

2a + b

2

3x 2 − x = x (3x − 1)

40.

27 x 3 − 1 = (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1)

9 x 2 − 6x + 1 = (3x − 1)

x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2)

32.

a−2

mcd

2

2

mcd

a 2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1)

2

3ax − a + 6 x − 2 = (3ax − a ) + (6 x − 2)

x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3)

= a (3x − 1) + 2 (3x − 1)

x 3 − 9 x 2 + 20 x = x ( x 2 − 9 x + 20) = x ( x − 5)( x − 4) 33.

a + a = a (a + 1)

mcd

2

3x − 1

a − 6a − 7a = a (a − 6a − 7) = a (a − 7)(a + 1) 3

2

2

a 6 + a = a (a 5 + 1)

= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)

a (a + 1)

mcd 34.

= (a + 2)(3x − 1)

x− 4

mcd

41.

x 3 + 27 = ( x + 3)( x 2 − 3x + 9)

a 4 − 1 = (a 2 + 1)(a 2 − 1) = (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1)

a 3 + a 2 + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)

2 x 2 − 6 x + 18 = 2 ( x 2 − 3x + 9)

= a 2(a + 1 ) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)

x 4 − 3x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 3x + 9)

a 3 x + a 2 x + ax + x = (a 3 x + a 2 x ) + (ax + x ) = a 2 x (a + 1) + x (a + 1)

x 2 − 3x + 9

mcd

35. x + ax − 6a = ( x + 3a)( x − 2a ) 2

= (a 2 x + x )(a + 1) = x (a 2 + 1)(a + 1)

2

x 2 + 2ax − 3a 2 = ( x + 3a )( x − a )

a 5 + a 3 + a 2 + 1 = (a 5 + a 3 ) + (a 2 + 1)

x 2 + 6ax + 9a 2 = (x + 3a )

2

= a 3 (a 2 + 1) + (a 2 + 1)

x + 3a

mcd

54 x 3 + 250 = 2 (27 x 3 + 125)

36.

18ax 2 − 50a = 2a (9 x 2 − 25)

= (a 3 + 1)(a 2 + 1) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 1)

= 2 (3x + 5)(9 x 2 − 15x + 25) = 2a (3x + 5)(3x − 5)

(a + 1)(a + 1) 2

mcd

18 x 2 + 60x + 50 = 2 (9 x 2 + 30 x + 25) = 2 (3x + 5)

2

mcd

2 (3x + 5)

(x

37.

2

[

x 2 − 4 x − 5 = (x − 5)( x + 1)

= 2 (m + n)

]

− 1) = (x + 1)(x − 1) 2

x+1

m + m n + mn + n = m2 (m + n) + n 2 (m + n) 3

a 2 x 3 − 8a 2 x 2 + 7a 2 x = a 2 x ( x 2 − 8 x + 7)

= a 2 x (x − 7)( x − 1)

ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x − 8)(x − 7) 4

3

2

mcd ax ( x − 7)

2

2

2

2

3

= (m2 + n 2 )(m + n)

4ax 2 − 28ax = 4ax ( x − 7)

38.

)

2

2

x 4 − 1 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) = (x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) mcd

(

42. 2m2 + 4mn + 2n 2 = 2 m2 + 2mn + n 2

2

m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )

m3 − mn 2 = m (m2 − n 2 )

= m (m + n)(m − n)

mcd m + n

( ) ( ) 46. = (a − 1)(a + a + 1) − 3a (a − 1) = (a − 1)(a + a + 1 − 3a ) = (a − 1)(a − 2a + 1) = (a − 1)(a − 1) a − 2a + 1 = (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) a − 4a + 3 = (a − 3)(a − 1)

2a 2 − am + 4a − 2m = (2a 2 − am) + (4a − 2m)

3 2 3 43. a − 3a + 3a − 1 = a − 1 − 3a a − 1

= a (2a − m) + 2 (2a − m)

2

= (a + 2)(2a − m)

2

2am − m = m2 (2a − m)

2

2

2

[

2 6a 2 + 5am − 4m2 = (6a ) + 5m ( 6a ) − 24m2

2

2

3

3

[

= (3a + 4m)(2a − m)

2

mcd a − 1

]

]

= (6a + 8m)(6a − 3m) ÷ 2 ⋅ 3

2

16a + 72am − 40m = 8 (2a 2 + 9am − 5m2 ) 2

2

[

]

2 = 8 (2a ) + 9m (2a ) − 10m

[

= 8 (a + 5m)(2a − m)

= 2 x (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9)

12a 2 x 2 − 42ax 2 − 90 x 2 = 6x 2 (2a 2 − 7a − 15)

[

[

2

]

mcd 2a − m

(

= 6 x (2a − 10)(2a + 3) ÷ 2 2

= 3⋅ 2 x (a − 5)(2a + 3) 2

32a x + 24a x − 36ax = 4ax (8a 2 + 6a − 9) 3

3

2

[

2 = 4ax (8a) + 6 (8a ) − 72

[

) ( ) = 6a (2 x − y) + 12b (2 x − y ) = (6a + 12b)(2 x − y) = 3⋅ 2 (a + 2b)(2 x − y ) 3a + 24b = 3(a + 8b ) = 3 (a + 2b)(a − 2ab + 4b ) + 9ab − 18b = 9(a + ab − 2b ) = 3 (a + 2b)(a − b) 12a + 24ab = 12a (a + 2b) = 4 ⋅ 3a (a + 2b) mcd 3 (a + 2b)

47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = 12ax − 6ay + 24bx − 12by

]

= 6 x ( 2a ) − 7 (2a ) − 30 2

]

= 8 (2a + 10m)(2a − m) ÷ 2

16a 3 x + 54 x = 2 x (8a 3 + 27)

44.

]

]

3

3

2

9a 2

= 4ax (8a + 12)(8a − 6) ÷ 4 = 22 ax (2a + 3) (8a − 6)

3

2

2

2

2

2

2

= 23 ax (2a + 3)(4a − 3)

32a 4 x − 144a 2 x + 162 x = 2 x (16a 4 − 72a 2 + 81)

( ) ( ) = (5a + 5 y)(a + x ) = 5(a + y)(a + x ) = 2 x [(2a + 3)(2a − 3)] 15a − 15ax + 15a y − 15x y = 15a (a + y ) − 15x (a + y) mcd 2 x (2a + 3) = (15a − 15x )(a + y ) = 15(a − x )(a + y) = 5⋅ 3(a + x )(a − x )(a + y) 20a − 20ay + 20a x − 20 xy = 20a (a + x) − 20 y (a + x) (xy + y ) = x y + 2 xy + y = (20a − 20 y )(a + x) = y ( x + 2 xy + y ) = y ( x + y) = 20 (a − y )(a + x) y − 2 xy − 3y = y ( x − 2 xy − 3 y ) = y ( x − 3 y)( x + y) = 5⋅ 4 (a + y)(a − y )(a + x) = ay ( x + y )( x − xy + y ) ax y + ay = ay ( x + y ) 5(a + y)(a + x ) mcd = 2 x (4a 2 − 9)

2

48. 5a 2 + 5ax + 5ay + 5xy = 5a a + x + 5 y a + x

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

45.

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

x2

2

3

3

4

2

2

3

3

x 2 y − y 3 = y (x 2 − y 2 ) mcd

y (x + y)

2

2

2

= y ( x + y )( x − y)

2

2

4 3 2 2 3 5. 8a − 6a x + 7a x − 3ax

EJERCICIO 113 1.

12 x 2 + 8 x + 1

2 x 2 − 5x − 3

− 12 x 2 + 30 x + 18 2 x 2 − 5x − 3

14ax − 7 x ÷ 7 x 2

15a − 18ax + 3x

− 3a + 3ax

; 3a − 4a x + ax 3

2

2

− 285x + 225x − 475x + 375 3

= a (3a 2 − 4ax + x 2 )

3a − 4ax + x 2

a− x

a− x

−a+ x

3x 2 + 5

− 285x

− 475x

3

− 225x

mcd

x 3 + 2 x2 − 2 x + 3 − x3 − x2 + x − 2

6 x − 4 x y − 3x y + 5xy − 2 y 2

3

2

2

21x − 14 x y + 63xy − 42 y 2

1

3x y + 61xy − 42 y

− 444 xy + 296 y − 3x 2 + 2 xy

2 x − 2 x + 2 (÷ 2 )

3x − 2 y

x2 − x + 1

− 3x + 2 y

2

21x − 17 xy + 2 y 2

3

(÷ y)

7

(÷ − 148 y)

2

3x − 2 y x

63xy − 42 y

x2 − x + 1

(÷ − y ) 2

3x 2 + 61xy − 42 y 2

2 y2

3x 2 + 61xy − 42 y 2

x

3

4

x

− 21x 2 + 427 xy + 294 y 2

x2 − x + 1

3

2x

2

2

21x 2 − 17 xy +

3x − 2 x 2 y + 9 xy 2 − 6 y 3 ( 7)

4

3

3

2

2

x3 + x 2 − x + 2

mcd

2

− 21x + 17 x y − 2 xy

2

1

3

2

3

x − x+1 − x3 + x2 − x

2

− 21x y + 17 xy − 2 y 3

3x 2 + 5

mcd

3

− 6 x + 4 x y − 18 x y + 12 xy a (a − x )

(÷ − 75)

1

4

4

2

x 3 + x2 − x + 2

95x − 375

2

3x 2 + 5

− 3x 2 − 5

4. (2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 6) ÷ 2

− x2 + x − 1

(÷ − 191)

2

2

1

x2 − x + 1

− 955

3x 2 + 5

(÷ − x)

1

285x 3 − 225x 2 + 475x − 375 5

7.

285x 3 − 225x 2 + 475x − 375

2

− 573x

2

3a

− ax + x 2

2

285x 3 − 798 x 2 + 475x − 1. 330

a− x

2

x

57 x − 45x + 95x − 75 (5) 3

2ax − 2 x 2 (÷ 2 x ) 3a 2 − 4ax + x 2

4

− 15x 4 + 42 x 3 − 25x 2 + 70 x

a− 2

= a (15a 2 − 18ax + 3x 2 ) − 15a 2 + 20ax − 5x 2

2

15x 4 + 15x 3 − 20 x 2 + 25x − 75 15x 3 − 42 x 2 + 25x − 70 (19)

3. 3(5a − 6a x + ax ) = 15a 3 − 18a 2 x + 3ax 2 2

3x 4 + 3x 3 − 4 x 2 + 5x − 15 (5)

− 12 x − 12 x + 16 x − 20 x + 60 3

− 15x 3 + 42 x 2 − 25x + 70 (− 1)

2

2

mcd a (2a − x )

12 x 4 − 3x 3 + 26 x 2 − 5x + 10

(÷ 2)

2

1

4

a− 2 1 mcd

3

− 2a + x

4 3 2 6. (12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a ) ÷ a

3a

5a − 10 a−2 −a+2

3ax

− 2ax 2 + x 3 ÷ − x 2 2a − x 2a − x

a −2

− 3a 2 + 6a

2a − x

− 6a 2 x + 3ax 2

(÷ − a )

3a − a − 10

3

6a x − 5ax 2 + x 3

2a

− a 2 + 2a

3

1

2

3a 2 − a − 10

2

2a 2 + 3ax − 2 x 2 ( 3x ) 4a

2

− 6a 2 x + 5ax 2 − x 3

mcd 2 x + 1

1

− 6a + 2a + 20a

= a (2a 2 + 3ax − 2 x 2 )

2

2

2

)

3

− 18a x + 15ax − 3x ÷ − 3

2x + 1

6a 3 − 3a 2 − 18a

3

6a 2 x + 9ax 2 − 6 x 3 6a 2 x − 5ax 2 + x 3

2. 3 (2a 3 − a 2 − 6a ) ; (6a 2 − 2a − 20) ÷ 2 3

2 2

x

2x + 1 − 2x − 1

2

− 8a − 12a x + 8ax

(÷ 2)

(÷ − 3)

− 6x − 3

2

3

2x + 1

− 2x2 − x

2

8a − 6a x + 7ax − 3x 3

6

38 x + 19

2

2a 3 + 3a 2 x − 2ax 2

;

= a (8a − 6a x + 7ax − 3x 3

2

(÷ 21y )

3x − 2 y 1

mcd 3x − 2 y

( (x

)

4 3 2 8. ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ; 4

+ 4 x − x − 4 x) ÷ x 3

(

x3 + 4 x2 − x − 4

− x4 − 4x3 + x2 + 4x

x

3x 2 + 9 x − 12

x 2 + 3x − 4

3m4 − 6m3 + 8m2 − 10m + 5

− 6m + 12m − 16m + 20m − 10 3

2

2

(÷ − 19)

− 19m + 38m − 19 2

3m − 6m + 8m − 10m + 5 4

1

3

m − 2m + 1

2

2

− 3m4 + 6m3 − 3m2

(÷ 3)

3m2

(÷ 5)

5m2 − 10m + 5 m − 2m + 1

m − 2m + 1

2

x

2

− m2 + 2m − 1

( ÷ − 2)

− 2 x2 − 6x + 8

2

6m − 12m3 − 3m2 + 18m − 9

x 2 + 3x − 4

− x 3 − 3x 2 + 4 x

3

4

x 3 + x 2 − 10 x + 8

x 3 + x 2 − 10 x + 8

;

− 6m + 8m − 10m + 5m) ÷ m 4

4

− x 3 − x 2 + 10 x − 8 (− 1)

− x 3 − x 2 + 10x − 8

(3m

5

x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 6 x − 8

x3 + 4x2 − x − 4

)

9. 3 2m4 − 4m3 − m2 + 6m − 3

2

mcd m2 − 2m + 1

1

x 2 + 3x − 4

− x − 3x + 4 2

mcd x 2 + 3x − 4

1

10. Factor común a

7 (3a 5 − 6a 4 + 16a 3 − 2a 2 + 5a )

; 3 (7a 5 − 14a 4 + 33a 3 + 4a 2 − 10a )

= 21a 5 − 42a 4 + 112a 3 − 14a 2 + 35a ; = 21a 5 − 42a 4 + 99a 3 + 12a 2 − 30a 21a 4 − 42a 3 + 112a 2 − 14a + 35 − 21a + 42a − 99a − 12a + 30 4

3

2

13a − 26a + 65 2

21a 4 − 42a 3 + 99a 2 + 12a − 30 1

(÷ 13)

21a − 42a + 99a + 12a − 30 a 2 − 2a + 5 4

2

3

− 21a 4 + 42a 3 − 105a 2 − 6a 2 + 12a − 30 a − 2a + 5

21a 2

(÷ − 6)

a − 2a + 5

2

2

mcd a (a 2 − 2a + 5)

− a 2 + 2a − 5 1

12. Factor común 2 : 2 x 3 + 2ax 2 + 2a 2 x + 2a 3 ; 10 x 3 + 4ax 2 + 10a 2 x + 4a 3

3 2 11. (45ax + 75ax − 18ax − 30a ) ÷ 3a ;

(24ax 4 (15x

3 3

+ 40ax 2 − 30ax − 50a ) ÷ 2a

+ 25x 2 − 6 x − 10) ; 5 (12 x 3 + 20 x 2 − 15x − 25)

60 x + 100 x − 24 x − 40 3

2

60 x + 100 x − 75x − 125 (÷ 5) 3

2

12 x + 20 x − 15x − 25 2

− 12 x 3 − 20 x 2 − 15x − 25 3x + 5 − 3x − 5

3x + 5 1

− 3 ax 2

− 3a 3

x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3

51x + 85 (÷ 17)

3

− 5x 3 − 5ax 2 − 5a 2 x − 5a 3 5

2

− 60 x − 100 x + 75x + 125 1 3

5x 3 + 2ax 2 + 5a 2 x + 2a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3

− x3

3x + 5

− a2 x ax

4 x2

x2 + a2

(÷ − 5)

−x −a 2

mcd a (3x + 5)

+ a3

2

2

(÷ − 3a )

x2 + a2 x

(÷ a )

x2 + a 2 1

mcd

2 (x 2 + a 2 )

7 6 + a4 + 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 ( a ) 16. a − a 7 6 5 3 2 − a + 2a − a −a +a a2

13. Factor común 3 :

9 x + 15ax + 3a x − 3a ; 3

2

2

3

12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 ( 3)

a 6 − a5 + a4 − a 3 + a 2 + 1

12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 − 12 x − 20ax − 4a x + 4a 3

2

+ 2a x + a

2

ax

2

2

3x + 5ax + a x − a 3

2

2

x + 2ax + a

2

−a

(÷ − a) mcd 3( x 2 + 2ax + a 2 )

+ 6b 3

− 12a + 18a b − 12ab + 6b 2

2

2

2

− 6a 3 + 3a 2b − 3ab 2 2a − ab + b 2 − 2a 2 + ab − b 2

(÷ − 3b)

3 4

2 5

15a + 20a n − 35an + 10n 2

2

3an − 2n 2 36a − 39an + 10n

2

− 36a 2 + 24an − 15an + 10n2 3a − 2n − 3a + 2n

3a − 2n 1

2

a

− 180a 2 + 195an − 50n 2

108 x − 216 x + 96 x

36a − 39an + 10n

(12)

2

− 225x 2 + 231x − 54 300 x 3 + 25x 2 − 375x + 150 − 300 x + 308 x − 72 x

(÷ n) 2

2

− 108 x − 9 x + 135x − 54 2

36a 2 n − 39an2 + 10n3 180a − 192an + 48n

a4 − a3 + 1

3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5x + 2 ( 9) 6

3

5

(÷ n) 3a − 2n 12a

(÷ − 5n) mcd 3a 2 n 2 (3a − 2n)

2

333x 2 − 447 x + 150

2

27 x 2 − 54 x + 24

2

36 x 3 + 3x 2 − 45x + 18 3

15a − 16an + 4n

3

− 15a 3 + 16a 2 n − 4an2 2

3

3

( ÷ − n)

− 15a 2 n + 16an2 − 4n 3

2

mcd

1

− 27 x + 54 x − 24 x 4

− 3a 3 − 4a 2 n + 7an2 − 2n 3 1

2

3

27 x 4 − 18 x 3 + 27 x 2 − 45x + 18

3a 3 − 11a 2n + 9an2 − 2n3 3a 3 + 4a 2 n − 7an2 + 2n3 (5)

3

(− 1)

− 27 x 2 + 54 x − 24 (− 1)

9a n + 12a n − 21a n + 6a n 3

a

−1

18 x 4 − 12 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 12 mcd 2ab (2a 2 − ab + b 2 ) − 18 x 4 + 12 x 3 − 18 x 2 + 30 x − 12

1

9a 5n2 − 33a 4 n 3 + 27a 3n 4 − 6a 2 n5 ; 4

a4 − a3 + 1

36ax 4 − 24ax 3 − 18ax 2 + 48ax − 24a

2a 2 − ab + b 2

15. Factor común 3a 2 n 2 : 5 2

1

(÷ 2 )

17. Factor común 2a : 6ax 4 − 4ax 3 + 6ax 2 − 10ax + 4a ;

3a

− 6a 2b + 3ab2 − 3b 3

a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1

a4 − a3 + 1

−a +a − 1

2a 2 − ab + b 2

6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3

a4 − a3 + 1 4

(÷ 12b)

3

+2

− a

4

− a4 + a3

6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3

3

24a b − 12ab + 12b 2

2

−a +a

a

(− 1)

− a+1

3

a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 5

a5 − a3 + a + 1

2

2a 4 − 2a 3

6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3

+1

−a −a

4

− a + 2a − a − a + 1 4

1

(− 1)

−a−1

− a3 + a + 1

5

14. Factor común 2ab : 8a 4b + 4a 3b 2 + 4ab 4 ; 12a 4b − 18a 3b2 + 12a 2b 3 − 6ab 4

3

+a

6

a6 − a5 + a 4 − a 3 + a2 + 1 −1

2

+ a3

a5

x + 2ax + a 2

12a 3 + 6a 2b

3

− a 5 + 2a 4 − a 3

2

3 (4a 3 + 2a 2b + 2b 3 )

4

a 6 − a5 + a4 − a3 + a 2

3x

− x 2 − 2ax − a 2 1

5

− a5

x 2 + 2ax + a 2

− ax 2 − 2a 2 x − a 3

+ a2 − a

−a +a −a +a −a

(÷ a)

3

a 6 − 2a 5 + a 4 6

4

3

− 3x 3 − 6ax 2 − 3a 2 x 2

3x 3 + 5ax 2 + a 2 x − a 3 3

( 4 x)

x2

(÷ 3)

12 x 3 + x 2 − 15x + 6 ( 25) 9

(÷ − 3) 75x 2 − 77 x + 18 (111) 4x

(÷ 3)

8 . 325x 2 − 8 .547 x + 1. 998 111x 2 − 149 x + 50 (2 . 628) − 8 . 325x 2 + 11.175x − 3 .750

75

2 . 628 x − 1. 752

291. 708 x 2 − 391.572 x + 131. 400 2 . 628 x − 1. 752 (÷ 876) − 291. 708 x 2 + 194 .472 x − 197 .100 x + 131.400 3x − 2 − 3x + 2

111x

(÷ − 65. 700)

3x − 2 1

mcd

2a (3x − 2)

3 2 2 3 3 2 2 3 2. 8 x + 6 x y − 3xy − y 2 x − x y − 2 xy + y − 8 x 3 + 4 x 2 y + 8 xy 2 − 4 y 3 4 4 3 2 3. ( x + x − x − x ) ÷ x ; 3 2 2 10 x 2 y + 5xy 2 − 5 y 3 (÷ 5 y ) 1. 2 x − 5x − 6 x + 9 2 x − 5x − 3 3 2 (2 x + 2 x − 2 x − 2) ÷ 2 2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 2 x 2 + xy − y 2 − 2 x 3 + 5x 2 + 3x x 3 2 2 x3 + x2 − x − 1 x3 + x2 − x − 1 − 2 x − x y + xy x

EJERCICIO 114

− 3x + 9

2 x 2 − 5x − 3

(÷ − 3)

− 2 x + 6x 2

2 x + xy − y 2

2x x − 3 ( x)

− x 3 + 3x 2

− 6 x − 3xy + 3 y

x − 5x + 6

2

x − 5x + 6

− 2 x + xy

x−3

− x2 + 2x x−3 − x+3

2x − y

(÷ − 3)

− 3x + 6

x−3 1

− 10 x + 7 x + 3

− 2x + y

17 x − 7 x − 10 − 170 x + 70 x + 100 2

− 49 x + 49

2x − y

17 x 2 − 7 x − 10

mcd 2 x − y

x−3

(÷ x 2 )

5. Factor

a 4 + 3a 3 x + a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 a 2 + 6ax + 8x 2 ( 3a ) − a − 6a x − 8a x 4

3

2

2

a

3a + 18a x + 24ax 2

3

3

− 3a 3 − 7a 2 x − 3ax 2 − 2 x 3 2

154a + 294ax − 28 x

− 154a 2 − 429ax − 242 x 2 − 135ax − 270x 2 14a 2 + 39ax + 22 x 2

− 4a − 8a x 3

2

3

(÷ − 135x)

a + 2x

− 41x + 41x

2

3x

x−1 41x

20 x − 20

a + 2x

(÷ 20)

− 4 x − 3x + 4 x

6

4

− 3 x + 3x 6

3

5

5

mcd

a + 2x

x−1 x−1 − x +1 1 0 x−1 3x

3x − 4 x − 3x + 4 x

a + 2x 1

41x 2 − 21x − 20 2

0

5

(÷ − 182)

− 182 x + 182

a + 2x a + 2x

− ax 2 − 2 x 3 (÷ − x 2 )

− a − 2x

41x 2 − 21x − 20

− 205x 2 + 105x + 100

− a − 2x 1

4a

8x

41x 2 − 21x − 20 205x 2 − 287 x + 82

(÷ 11x)

4a + 8a x − ax − 2 x 2

(− 1)

− 5x + 7 x − 2

2

11

14a

11ax + 22 x 2 2

2

a + 2x

− 14a 2 − 28ax

(14)

1

2

− 40 x 3 + 56 x 2 − 16 x

14a + 39ax + 22 x

2

8 x 3 − 3x 2 − x − 4 (5)

40 x 3 − 15x 2 − 5x − 20 5x 2 − 7 x + 2 ( 41)

(÷ x)

14a 2 x + 39ax 2 + 22 x 3

3

2

3a

2

2

− 8 x 3 + 3x 2 + x + 4 2

− 33a 3 − 63a 2 x + 6ax 2

3

8x3 − 8x2 + 6x − 6

11a + 21ax − 2 x

3

x

8 x − 3x − x − 4

3

(÷ x )

33a + 77a x + 33ax + 22 x 2

mcd x − 1

− 4 x − 4 4 x 3 − 4 x 2 + 3x − 3 ( 2 )

− 4 x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 3 x 2

1

11a 2 x + 21ax 2 − 2 x 3 3

2

x−1 1

2 (2 x 5 + 2 x 4 − 2 x 2 − 2 x )

3a + 7a x + 3ax + 2 x (11)

2

17 x

(÷ 10)

común x

4 x4 + 4 x3

2

(÷ − x)

− 3a 3 x − 7a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4

x −1 − x+1

10

(÷ − 49)

x−1

10 x − 10

4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4. 3a + 9a x + 4a x − 3ax + 2 x a + 3a x + a x − 3ax − 2 x 4 3 2 2 3 4 − 3a − 9a x − 3a x + 9ax + 6x 3

a 2 x 2 + 6ax 3 + 8 x 4

17 x 2 − 7 x − 10

170 x 2 − 119 x − 51

− 17 x 2 + 17 x mcd

x

2

(÷ y)

1

(− 1)

− 10 x 3 + 7 x 2 + 3x

x

2 xy − y 2

x

5

10 x 3 + 10 x 2 − 10 x − 10 10 x 2 − 7 x − 3 (17)

2x − y

2

2

2

3

2 x 2 + xy − y 2

(÷ 2)

2

− 5x − 5x + 5x + 5 3

− 4 xy + 2 y 2 (÷ − 2 y )

x 2 − 5x + 6 1

x 3 + x 2 − x − 1 (10)

5x 3 − 5x 2 + 2 x − 2

2 x 2 + xy − y 2

2

1

0

2

1

6 x 2 − xy − y 2

x2

2x − 6

2

0

2

x 2 − 3x + 5x − 6

2 x + xy − y

2

− 2 x 2 − xy + y 2

x −3 x 3 − 2 x 2 − 5x + 6

− x3 − x2 + x + 1

− 2 x 2 y − xy 2 + y 3 (÷ − y )

x−3

4

(3x ) 4

5

3

Continua.

16. 3x 3 , 6x2 , 9x 4 y2 mcm 18x 4 y2

Continuación. 3x 5 − 4 x 4 − 3x 3 + 4 x (÷ x )

5. 3x 5 − 3x 4 − 3x + 4 x + 3x − 4 x 5

4

3

1

3

3x 4 − 4 x 3 − 3x 2

+4

− 3x 4 − 9 x 3

+ 12 x 2

13x 3 + 39 x 2

x 3 + 3x 2 − 4 (13)

19. 18a 3 , 24b2 , 36ab 3 mcm 72a 3b 3

3x

20. 20m2n3 , 24m3n , 30mn2

(÷ − 1)

− 13x − 3x + 12 x + 4 3

18. 10m2 , 15mn2 , 20n3 mcm 60m2n3

(÷ x)

x + 3x − 4 x 4

13x 3 + 3x 2 − 12 x − 4 ( 3)

− 52

− 13x 3 − 3x 2 + 12 x + 4

17. 9a 2bx , 12ab 2 x 2 , 18a 3b 3 x mcm 36a 3b 3 x 2

1

36 x 2 + 12 x − 48 (÷ 12)

20 24 30 20 4 5

6 5

4

4

4 ⇒ mcm 120m3n3

1

1

1

6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120

39 x 3 + 9 x 2 − 36 x − 12 3x 2 + x − 4 − 39 x 3 − 13x 2 + 52 x − 4 x 2 + 16x − 12 3x + x − 4

13x

21. ab 2 , bc 2 , a 2 c 3 , b 3c 3 mcm a 2b 3c 3

(÷ − 4)

22. 2x 2 y , 8xy 3 , 4a 2 x 3 , 12a 3 mcm 24a 3 x 3 y 3

x − 4x + 3

2

2

− 3x 2 + 12 x − 9

23. 6a 2 , 9x , 12ay 2 , 18x 3 y mcm 36a 2 x 3 y 2

3

13x − 13 (÷ 13)

x2 − 4 x + 3 − x2 + x

24. 15mn2 , 10m2 , 20n3 , 25mn4 15 10 20 25 5

x−1 x

− 3x + 3 x−1

(÷ − 3)

x−1

− x+1

1

mcd

x ( x − 1)

52 ⋅ 3 ⋅ 22 = 300

3

2

4

5

5

3 1

2 2 1

4 4 2

1

3 ⇒ mcm 300m2n4 2 2

1

EJERCICIO 115 25. 24a 2 x 3 , 36a 2 y 4 , 40x 2 y 5 , 60a 3 y 6 2

2

2 2

1. a , ab mcm a b

24

2. x 2 y , xy 2 mcm x2 y2

12 18

20 30

2

3. ab c , a bc mcm a b c

6

9

10

15

3

4. a 2 x 3 , a 3bx 2 mcm a 3bx 3

2

3

10

5

5 ⇒ mcm 360a 3 x 3y 6

1

3

2

2

2 2

5. 6m2n , 4m3 mcm 12m3n 6. 9ax 3 y , 15x 2 y 5 mcm 45ax 3y 5

36 40 60

2

3

2

2

1

2

1

2 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360

2

1

7. a 3 , ab 2 , a 2b mcm a 3b2 8. x 2 y , xy 2 , xy 3 z mcm x2 y3 z 2

2

3

26. 3a 3 , 8ab , 10b 2 , 12a 2b 3 , 16a 2b 2

3 2

9. 2ab , 4a b , 8a mcm 8a b

3

8 10

12

16

2

10. 3x 2 y 3z , 4x 3 y3 z2 , 6x 4 mcm 12x 4 y 3z2

3

4

5

6

8

2

3

2

5

3

4

2

2 4 ⋅ 3⋅ 5 = 240

3

1

5

3

2

2

⇒ mcm 240a 3b 3

3

5

3

1

3

1

5

1

2

2 3

3

3 3

11. 6mn , 9m n , 12m n mcm 36m n 12. 3a 2 , 4b 2 , 8x 2 mcm 24a 2b2 x 2 13. 5x2 , 10xy , 15xy 2 mcm 30x2 y 2 14. ax 3 y2 , a 3 xy , a 2 x 2 y 3 mcm a 3 x 3 y3 15. 4ab , 6a 2 , 3b2 mcm 12a 2b2

1

5

EJERCICIO 116 2a = 2a

1.

13. 3a 2 − 6ab = 3a (a − 2b)

( x − 2) mcm 4a ( x − 2) 2. ab − b = b (a − b) 4x − 8 = 2

2

(

3. x y + xy = xy ( x + y )

mcm x 2 y ( x + y )

3a 2b 2 + 6ab 3 = 3ab 2 (a + 2b) 6a 2b 2 (a + 2b)

(

3 3 2 2 2 16. 9 x y + 9 xy = 3 xy x + y

9m = 32 m

6mn − 12mn = 2 ⋅ 3mn (n − 2)

⇒ 18 x 3 ( x 2 − 4) ( x − 3)

)

= x (2 x − 3 y)

2

2 x − 3x y = x 3 (2 x − 3 y) 4

( ) (x + 1)

17. x 2 y − xy = xy x − 1

x3 + x2 = x2

mcm a x (2 x − 3 y )

(

2

2

8m − 24 = 2 3 (m − 3)

⇒ 72 x 3 y 2 ( x − 5)

)

25.

n2 x 2 + n2 y 2 = n2 (x 2 + y 2 )

nx 2 + 2nxy + ny 2 = n (x 2 + 2 xy + y 2 ) = n (x + y)

2

24 = 23 ⋅ 3

36a 2 = 2 2 ⋅ 32 a 2

mcm 2 2 ⋅ 32 a 2 ( x − 3 y )

⇒ 36a ( x − 3 y )

2ax y + 5x y = x y (2a + 5) 2

3

mcm 12 x 2 y 3 (2a + 5)

12. mn 3 − mn 2 = mn 2 (n − 1)

an 3 = an3

⇒ 24m (m2 − 9)

mcm 2an3 (x + y ) ( x 2 + y 2 ) 2

19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1)

2

12 xy 2 = 22 ⋅ 3xy 2

2n = 2n

mcm 23 ⋅ 3m (m + 3)(m − 3)

10. 4ax − 12ay = 2 a ( x − 3 y )

(

26. 4 x 3 + 24 x 2 + 36 x = 2 2 x x 2 + 6 x + 9

2 a 2 b 2 = 2 a 2b 2

6 x − 18 = 2 ⋅ 3 ( x − 3)

mcm 6a b

2

2 x − 8 x + 8 x = 2 x ( x 2 − 4 x + 4) 3

2

= 2 x ( x − 2)

2

2

3

= 2 x ( x + 3)

2

2

x2 = x2 mcm x ( x + 2) ( x − 1) 2

2

)

2

2

(x + 1)(x − 3) 20. x + 4 x + 4 = ( x + 2) x + x − 2 x = x ( x + x − 2) = x ( x + 2)( x − 1) 2

2

32 ⋅ 2 3 x 3 y 2 ( x − 5)

mcm

2

(

2

2

8 x 3 = 23 x 3

18. 6m2 + 18m = 2 ⋅ 3m m + 3

mcm 10 (1 − 3b)

)

12 x y = 3 ⋅ 2 x y 2

⇒ 4 x y ( x − 1)

3x + 6 = 3 ( x + 2)

2

3

2 2 24. 9 x − 45x = 3 x x − 5

mcm 2 2 x 2 y ( x − 1)( x + 1) 2

3

a2 x2 = a2 x2 2

4 x = 22 x

⇒ 18mn (n − 2)

mcm 15 ( x + 2) 10 = 5 ⋅ 2 9. 5 − 15b = 5 (1 − 3b)

(

23. 4 x 3 − 12 x 2 y + 9 xy 2 = x 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2

mcm 5⋅ 2 ⋅ 32 x 2 y ( x 2 + y 2 )

15 = 5 ⋅ 3

mcm m2 n 2 (n − 1)

mcm 2 ⋅ 32 x 3 ( x + 2)( x − 2)( x − 3)

6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2

2 ⋅ 32 mn (n − 2)

m2 = m 2

= 3x ( x − 3)( x + 2)

6 x = 2 ⋅ 3x 3

⇒ 90 x 2 y ( x 2 + y 2 )

2

mn = mn

)

3x 3 − 3x 2 − 18x = 3x ( x 2 − x − 6)

10 = 5⋅ 2

2

3

= 32 x 2 ( x + 2)( x − 2)

3

⇒ 54a 3b 3 (a + 3b)

mcm 14 x (3x + 2 y )

2

3

mcm 2 ⋅ 33 a 3b3 (a + 3b)

2

3

3

18b3 = 2 ⋅ 32 b 3

6 x 2 + 4 xy = 2 x (3x + 2 y )

2

9 x 4 − 36 x 2 = 32 x 2 ( x 2 − 4)

9a 2 = 32 a 2

6a 2b = 2 ⋅ 3 a 2b

11.

(

15. 27a b + 81a b = 3 a b a + 3b

mcm 23 (1 + 2a ) = 8 (1 + 2a )

8.

22.

3 2

8 = 23

mcm

2

3

4

2 4. 4 + 8a = 2 (1 + 2a )

7.

⇒ 18a 2b ( x − 2 y )

mcm 5x y ( x − 1) 4

14 x = 7 ⋅ 2 x

2

x2 y3 = x2 y3

x y = x2 y 2

6.

)

xy 2 = xy 2

2

2

mcm 3 ⋅ 2a 2b ( x − 2 y ) 2

14. 5x 5 − 5x 4 = 5x 4 x − 1

mcm 3b (a − b)

mcm

6ab = 2 ⋅ 3ab

mcm 6a b (a − 2b)

2

5.

2

2

3b2 = 3b 2

9a 2 x − 18a 2 y = 32 a 2 ( x − 2 y )

x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y)

2a 2 = 2a 2 6ab = 2 ⋅ 3ab

2

2

21.

2

x 3 + x 2 − 6 x = x ( x 2 + x − 6)

= x ( x + 3)( x − 2)

8 x = 23 x 2 2

mcm 8 x 2 ( x + 3) ( x − 2) 2

2

)

6 x 3 + 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 (x + 1)

27.

28. ax − a + bx − b = a ( x − 1) + b ( x − 1) = (a + b)( x − 1)

2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 − x + 1)

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)

2

x + 1 = ( x + 1)( x − x + 1) 3

2

3x = 3x 3

4 xy 2 = 2 2 xy 2

3x − 3x 2 = 3x 2 ( x − 1)

3

3

mcm 2 ⋅ 3x 3 (x + 1)( x 2 − x + 1)

mcm 2 2 ⋅ 3 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) ⇒ 12 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) 2

⇒ 6 x 3 ( x + 1)(x 2 − x + 1)

29.

5ab 3 − 5b 4 = 5b 3 (a − b)

(

)

30. 14 x + 14 = 7 ⋅ 2 x + 1

12a − 24ab + 12b 2 = 2 2 ⋅ 3 (a 2 − 2ab + b 2 )

x + 2 x + 1 = ( x + 1)

2

2

2

= 2 2 ⋅ 3 (a − b)

7 x 2 + 7 = 7 ( x 2 + 1)

2

6a b = 2 ⋅ 3a b 2

2

2

28 x = 7 ⋅ 2 2 x

x 2 + 1 = (x 2 + 1 )

4b = 2 2 b 2 a = 2a

mcm 28 x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2

mcm = 5⋅ 2 2 ⋅ 3a 2b 3 (a − b) ⇒ 60a 2b 3 (a − b) 2

2

EJERCICIO 117

( ) 11. x + y = (x + y)(x − xy + y ) (x + y) = (x + y) = a (a + b) 3x + 3 = 3 ( x + 1) mcm ( x + y) ( x − xy + y ) a + a b = a (a + b) mcm 2 ⋅ 3 ( x − 1)( x + 1) 12. x − y = ( x − y )( x + xy + y ) mcm a (a + b) ⇒ 6 ( x − 1) (x − y) = (x − y) 7. 2bx + 6bx − 8b = 2b (x + 3x − 4) 2. 10 x − 40 = 5 ⋅ 2 (x − 4) = 2b ( x + 4)( x − 1) mcm ( x − y ) ( x + xy + y ) = 5 ⋅ 2 ( x + 2)(x − 2) 3ax + 12a = 3a ( x + 4) 13. 4 x − 7 x − 2 = ( 4 x) − 7 ( 4 x ) − 8 5x + 10 = 5 (x + 2) mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x − 1) = [(4 x − 8)(4 x + 1)] ÷ 4 mcm 5⋅ 2 (x + 2)(x − 2) ⇒ 6ab ( x + 4)( x − 1) = ( x − 2)(4 x + 1) ⇒ 10 (x − 4) 8. x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 3. x − 4 y = ( x + 2 y )( x − 2 y ) x − 25x = x ( x − 25) mcm ( x − 2)(4 x + 1)( x + 5) x + 2 x y = x (x + 2 y) = x ( x + 5)( x − 5) + a − 30 = (a + 6)(a − 5) a 14. mcm x ( x + 2 y )( x − 2 y ) mcm x ( x + 5)( x − 5)( x − 3) a + 3a − 18 = (a + 6)(a − 3) ⇒ x (x − 4 y ) mcm (a + 6)(a − 3)(a − 5) ⇒ x ( x − 25)( x − 3) 4. x − 6 x + 9 = ( x − 3) 15. x + 2 x − 15x = x ( x + 2 x − 15) 9. ( x − 1) = ( x − 1) 3a x − 9a = 3a ( x − 3) = x ( x + 5)( x − 3) x − 1 = ( x + 1)( x − 1) mcm 3a ( x − 3) x − 9 x + 5x − 45 = x ( x − 9) + 5 ( x − 9) mcm ( x + 1)( x − 1) = ( x + 5)( x − 9) 5. 4a − 12ab + 9b = (2a − 3b) 10. ( x + 1) = ( x + 1) = ( x + 5)( x + 3)( x − 3) 4a − 9b = (2a + 3b)(2a − 3b) x + 1= x + 1 mcm x ( x + 5)( x + 3)( x − 3) mcm (2a + 3b)(2a − 3b) mcm ( x + 1)( x + 1) ⇒ x ( x + 5)( x − 9 ) (

)

3 2 2 2 2 6. a + 2a b + ab = a a + 2ab + b

1. 6 x − 6 = 2 ⋅ 3 x − 1

3

3

2

3

3

2

3

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x 6 − 4 x 3 − 32 = ( x 3 − 8)( x 3 + 4)

16.

15x + 15 = 5⋅ 3 ( x + 1)

= ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)(x 3 + 4)

5x − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1)

ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 = ax 2 ( x 2 + 2 x + 4)

2

mcm 5⋅ 2 ⋅ 3( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) ⇒ 30( x 2 + 1)( x 2 − 1)

mcm ax 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x 3 + 4)

( ) ( )( ) 8 (x − y) = 2 (x − y ) mcm 2 ⋅ 3 ( x + y )( x − y ) ⇒ 24 ( x + y )( x − y ) 18. 5( x + y ) = 5 (x + y) 10 (x + y ) = 5⋅ 2 ( x + y ) mcm 10( x + y )( x + y) 19. 6a (m + n) = 2 ⋅ 3a (m + n) 4a b (m + n ) = 2 a b (m + n)(m − mn + n ) mcm 2 ⋅ 3 a b (m + n) (m − mn + n ) ⇒ 12 a b (m + n) (m − mn + n ) 20. ax (m − n) = ax (m − n) x (m − n ) = x (m − n)(m + mn + n ) mcm ax (m − n) (m + mn + n ) 2a + 2a = 2a (a + 1) 21. 3a − 3a = 3a (a − 1) a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1) mcm 2 ⋅ 3a (a + 1)(a − 1) ⇒ 6a (a − 1) 22. x + 2 x = x ( x + 2) x − 2 x = x ( x − 2) x − 4 = ( x + 2)(x − 2) mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x − 4) 2 2 2 17. 12 x − y = 2 ⋅ 3 x + y x − y 2

2

3

2

3

2

2

2

2

x 2 − xy = x ( x − y)

mcm x ( x + y)( x − y)(a − 2b) ⇒ x ( x 2 − y 2 )(a − 2b)

2

4a 2b + 4ab 2 = 2 2 ab (a + b)

2

2

27.

6a − 6b = 2 ⋅ 3 (a − b)

3

3

2

= ( x + y)(a − 2b)

x 2 + xy = x ( x + y)

2

3

3

26. ax − 2bx + ay − 2by = x (a − 2b) + y (a − 2b)

2

2

2

10 x 2 + 10 = 5⋅ 2 ( x 2 + 1)

25.

2

2

2

3

2

2

2

2

15a − 15b = 5⋅ 3(a − b 2 ) = 5⋅ 3 (a + b)(a − b) 2

2

2

mcm 2 2 ⋅ 3⋅ 5ab (a + b)(a − b) ⇒ 60ab (a 2 − b 2 )

( )( ) x − 125 = ( x − 5)( x + 5x + 25) 2 x + 10 = 2 ( x + 5) mcm 2 ( x + 5)(x − 5)(x + 5x + 25) 29. a b − 6a b + 9ab = ab (a − 6ab + 9b ) = ab (a − 3b) a − 2ab − 3b = (a − 3b)(a + b) ab + b = b (a + b) mcm ab (a − 3b) (a + b) 2m + 2mn = 2m (m + n) 30. 4mn − 4n = 2 n (m − n) 6m n − 6mn = 2 ⋅ 3mn (m − n ) = 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) 23. x + x − 2 = ( x + 2)( x − 1) mcm 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) ⇒ 12mn (m − n ) x − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1) 31. 20 ( x − y ) = 2 ⋅ 5 ( x + y)( x − y ) x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) 15( x − y) = 5⋅ 3 ( x − y ) mcm ( x + 2)( x − 1)( x − 3) 12 ( x + y ) = 2 ⋅ 3 ( x + y ) 24. 4 + 12a + 9a = (2 + 3a ) 3a + 14a + 8 = (3a ) + 14 (3a ) + 24 mcm 2 ⋅ 5⋅ 3 ( x + y ) ( x − y ) ⇒ 60 ( x + y ) ( x − y) = [(3a + 12)(3a + 2)] ÷ 3 = (a + 4)(3a + 2) 32. ax + 5ax − 14a = a ( x + 5x − 14) = a ( x + 7)( x − 2) 6a + 13a + 6 = (6a ) + 13(6a ) + 36 x + 14 x + 49 x = x ( x + 14 x + 49) = x ( x + 7) = [(6a + 9)(6a + 4)] ÷ 3⋅ 2 = (2a + 3)(3a + 2) x + 7 x − 18 x = x ( x + 7 x − 18) = x ( x + 9)( x − 2) mcm (a + 4) (2a + 3)(3a + 2) mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9) 3

2

3

3

3

2

2

3

3

3

2

3

3

2 28. x − 25 = x + 5 x − 5 3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

4

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 38. ( ) ( ) 16 + 8x 2 + x 4 = (4 + x 2 ) 2 2 2 = 3x ( x + 3)(x − 3) 3x − 27 x = 3x (x − 9) = (2 − x) (2 + x ) 16 − 8 x 2 + x 4 = (4 − x 2 ) 5x + 30 x + 45x = 5x ( x + 6 x + 9) = 5x ( x + 3) 16 − x 4 = (4 + x 2 )(4 − x 2 ) = (4 + x 2 )(2 + x)(2 − x) 2 2 2 mcm 2 ⋅ 3⋅ 5x (x + 3) ( x − 3) ⇒ 30 x ( x + 3) (x − 3) mcm (4 + x 2 ) (2 + x) (2 − x) 34. 3 − 3a = 3(1 − a ) = 3 (1 + a )(1 − a ) 39. 1 + a = 1 + a 6 + 6a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) (1 + a ) = (1 + a) 12 + 12a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) 1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 9 − 9a = 3 (1 − a ) mcm (1 + a ) (1 − a + a )(1 + a ) mcm 2 ⋅ 3 (1 + a )(1 + a )(1 − a ) 40. 8n − 10n − 3 = (8n) − 10 (8n) − 24 ⇒ 36 (1 + a )(1 − a ) = 36 (1 − a ) = [(8n − 12)(8n + 2)] ÷ 4 ⋅ 2 = (2n − 3)(4n + 1) 2 (3n − 2) = 2 (3n − 2) 35. 20n + 13n + 2 = ( 20n) + 13 ( 20n) + 40 135n − 40 = 5 (27n − 8) = 5 (3n − 2)(9n + 6n + 4) = [(20n + 8)(20n + 5)] ÷ 4 ⋅ 5 = (5n + 2)(4n + 1) 12n − 8 = 2 (3n − 2) 10n − 11n − 6 = (10n) − 11(10n) − 60 = [(10n − 15)(10n + 4)] ÷ 5⋅ 2 = (2n − 3)(5n + 2) mcm 5⋅ 2 (3n − 2) (9n + 6n + 4) mcm (2n − 3)(5n + 2)(4n + 1) ⇒ 20(3n − 2) (9n + 6n + 4) 41. 6a + ab − 2b = 36a + 6ab − 12b 36. 12mn + 8m − 3n − 2 = 4m (3n + 2) − (3n + 2) = [(6a + 4b)(6a − 3b)] ÷ 2 ⋅ 3 = (4m − 1)(3n + 2) = (3a + 2b)(2a − b) 48m n − 3n + 32m − 2 = 16m (3n + 2) − (3n + 2) (15a) + 22b (15a ) + 120b + + = 15 a 22 ab 8 b = (16m − 1)(3n + 2) = [(15a + 12b)(15a + 10b)] ÷ 3⋅ 5 = (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2) = (5a + 4b)(3a + 2b) 6n − 5n − 6 = (6n) − 5( 6n) − 36 10a + 3ab − 4b = (10a) + 3b (10a) − 40b = [(6n − 9)(6n + 4)] ÷ 3⋅ 2 = [(10a + 8b)(10a − 5b)] ÷ 2 ⋅ 5 = (2n − 3)(3n + 2) = (5a + 4b)(2a − b) mcm (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)(2n − 3) mcm (3a + 2b) (2a − b)(5a + 4b) ⇒ (16m − 1) (3n + 2)(2n − 3)

33. 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x = 2 x x 2 − 6 x + 9 = 2 x x − 3 4

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

4

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 3 2 3 2 37. 15a x + 16a x − 15a x = a x (15x + 16 x − 15) 2

5

2

[

]

2 = a 2 x 3 (15x ) + 16 (15x ) − 225

=a x 2

3

18 x + 60x + 50 x = 2 x (9 x + 30 x + 25) 2

[

= (3x + 2 y )(4 x − y )

15x + 13xy + 2 y = (15x ) + 13 y (15x ) + 30 y 2 2

]

2 = 2 x ( 9 x ) + 30 ( 9 x ) + 225

[

[

]

= (3x + 2 y )(5x + y )

20 x 2 − xy − y 2 = (20 x ) − y (20 x ) − 20 y 2 2

[

12ax 3 + 20ax 2 = 2 2 ax 2 (3x + 5)

= (4 x − y )(5x + y )

2

= 4a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3) 2

]

= (20 x − 5 y )(20 x + 4 y ) ÷ 5⋅ 4

2

mcm = 22 a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3)

]

= (15x + 10 y )(15x + 3 y ) ÷ 5⋅ 3

= 2 x (9 x + 15)(9 x + 15) ÷ 3⋅ 3 = 2 x (3x + 5)

2

2

2

[

]

= (12 x + 8 y )(12 x − 3 y ) ÷ 4 ⋅ 3

[(15x + 25)(15x − 9) ÷ 5⋅ 3]

= a 2 x 3 (3x + 5)(5x − 3)

3

2 2 2 42. 12 x + 5xy − 2 y = (12 x ) + 5 y (12 x ) − 24 y 2

4

mcm

(4 x − y)(5x + y)(3x + 2 y)

6b 2 x 2 + 6b 2 x 3 = 2 ⋅ 3b 2 x 2 (1 + x )

43.

( b (a

3a 2 x − 3a 2 x 2 = 3a 2 x (1 − x )

2

[ ] = b [a (a + b)] = a b (a − b)

x 4 + 8x − 4 x 3 − 32 = x 3 (x − 4) + 8 ( x − 4) 48.

2

m3 − 27n3 = (m − 3n)(m2 + 3mn + 9n2 ) m2 − 6mn + 9n2 = (m − 3n)

a 2 x 4 − 2a 2 x 3 − 8a 2 x 2 = a 2 x 2 ( x 2 − 2 x − 8)

2

m2 + 3mn + 9n 2 = (m2 + 3mn + 9n 2 )

= a 2 x 2 (x − 4)( x + 2)

mcm (m − 3n) (m2 + 3mn + 9n2 )(m + 3n)

2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 = 2 x 2 (x 2 − 2 x + 4)

= ( x 4 − 6 x 2 + 9) − 4 x 2

2

m2 − 9n2 = (m − 3n)(m + 3n)

= ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)(x − 4)

x 4 − 10 x 2 + 9 = ( x 4 − 10x 2 + 9 + 4 x 2 − 4 x 2 )

= a 2b (a + b)

2

2

mcm 2a 2 x 2 ( x + 2)(x 2 − 2 x + 4)( x − 4)

2

mcm a 2b 2 (a + b) (a − b)

⇒ 6a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 )

= ( x 3 + 8)( x − 4)

= ab2 (a − b)

2

a 2b − ab2 = ab (a − b)

mcm 2 ⋅ 3a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )

45.

2

2

a 4b 2 − a 2b 4 = a 2b 2 (a 2 − b 2 ) = a 2b 2 (a + b)(a − b)

1 − x 4 = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )

44.

) + ab)

2 47. a ab − b

2

EJERCICIO 118 1.

a2 a = ab b

10.

21mn3 x 6 3nx 4 = 28m4n2 x 2 4m3

= ( x − 3)( x + 1)( x + 3)( x − 1)

2.

2a 1 = 8a 2b 4ab

11.

42a 2c 3n 21n = 26a 4 c 5m 13a 2 c 2m

= ( x + 4 x + 4) − 1

x 2y 2 1 3. x 3 y 3 = xy

7x 3 y 4 z6 1 = 12. 34x 7 y 8z10 2x 4 y 4 z4

ax 3 a = 4. 4x 5 y 4x 2 y

13.

30x 6 y 2 2x 2 y 2 = 3 3 3 4 3 45a x z 3a z

14.

a 5b 7 1 = 3a 8b 9c 3a 3b2 c

15.

21a 8b10 c12 a 4b 9c10 = 63a 4bc 2 3

= ( x 2 − 3) − 4 x 2 2

= ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 + 2 x − 3) x + 4 x + 3 = ( x 2 + 4 x + 3 + 1− 1) 2

2

= ( x + 2) − 1 2

= ( x + 2 + 1)( x + 2 − 1) = ( x + 3)( x + 1)

x 2 − 4 x + 3 = ( x 2 − 4 x + 3 + 1 − 1) = ( x 2 − 4 x + 4) − 1

2 3

= ( x − 2) − 1

5.

2

= ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3)

x 3 − 9 x + x 2 − 9 = x 2 ( x + 1) − 9 ( x + 1) = ( x 2 − 9)( x + 1)

= ( x + 3)( x − 3)( x + 1)

(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) 1 − a = (1 − a )(1 + a + a ) 46. 1 − a = (1 − a ) 1 − a = (1 + a )(1 − a ) 1 − 2a + a = (1 − a ) mcm (1 − a ) (1 + a + a )(1 + a ) mcm

3

⇒ ( x 2 − 9)( x 2 − 1)

6m n = 2mn3 3m

9x 2 y 3 3 = 6. 24a 2 x 3 y 4 8a 2 xy

7.

2

8.

8m4n3 x 2 m3n = 24mn2 x 2 3 12x 3y 4 z5 3x 2 y 2 z4 = 32xy 2 z 8

2

2

2

2

2

9.

12a 2b3 1 = 60a 3b5 x 6 5ab 2 x 6

54x 9 y11z13 6 = 16. 63x10 y12 z15 7xyz2

17.

a 15a12b15 c 20 = 75a11b16 c 22 5bc 2

18.

75a7m5 3a 4 = 100a 3m12n3 4m7n3

EJERCICIO 119 3ab

3ab

3b

= 1. 2a 2 x + 2a 3 = 2 2a x + a 2a x + a

(

)

(

)

15. 2ax + ay − 4bx − 2by ax − 4a − 2bx + 8b

xy xy 1 2. 3x 2 y − 3xy 2 = 3xy x − y = 3 x − y ( ) ( ) 2ax + 4bx 2 x (a + 2b) 2 x = 3. 3ay + 6by = 3 y (a + 2b) 3 y

10a 2b 3c

5.

16.

x 2 − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1) = = x+1 x−3 x−3

4.

a 2b 3c

=

= = 80 (a 3 − a 2b) 8a 2 (a − b) 8 (a − b)

(x + 2)(x − 2) = x − 2 x2 − 4 6. 5ax + 10a = 5a 5a ( x + 2)

2

2

2

2

2

2

2

m −n 2

2

2

(a − x)

3

20.

a 3 − x3

2

2

(m − n) = m − n (m + n)(m − n) m + n 2

=

(a − x) (a − x) = = (a − x)(a + ax + x ) a + ax + x 3

2

2

2

2

2

[(a + 1)(1− a)] = (1− a) = + 2a + 1 a+1

(1− a )

2

2 2

22. 2 a

2

(

2 x 3 + 4 x 2 − 21x x (x + 4 x − 21) (x + 7)(x − 3) x + 7 = = = 12. x3 − 9x x ( x 2 − 9) (x + 3)(x − 3) x + 3 2 13. 6 x + 5x − 6

15x 2 − 7 x − 2

( 6 x ) 2 + 5 ( 6 x ) − 36 (15x) 2 − 7 (15x ) − 30

[(6x + 9)(6x − 4)]÷ 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2) = 2 x + 3 = [(15x − 10)(15x + 3)]÷ 5 ⋅ 3 (3x − 2)(5x + 1) 5x + 1 1 a3 + 1 a3 + 1 a3 + 1 = = = 14. a 4 − a 3 + a − 1 3 3 a (a − 1) + (a − 1) (a + 1)(a − 1) a − 1

)

2 4

x2 − y2

(x + y)(x − y) ( )( )

x+ y

= = 24. 3 x − y 3 x − y x 2 + xy + y 2 x 2 + xy + y 2

(a − 2b) a 2 − 4ab + 4b 2 a − 2b = = 3 3 a − 8b (a − 2b)(a 2 + 2ab + 4b2 ) a 2 + 2ab + 4b2 25. 2

2

2

a 2b 2 (a 2 − b 2 ) a b −a b a 2b 2 = = 23. a 4 − b4 (a 2 + b2 )(a 2 − b2 ) a 2 + b2 4 2

2

=

2

3

a 2 − a − 20 (a − 5)(a + 4) a + 4 = 21. a 2 − 7a + 10 = (a − 5)(a − 2) a − 2

2

11.

2

=

(m − n)

2

2

2

(x + y)(x − xy + y ) = x − xy + y (x + y) (x + y) ( x + y) 3

2

2

2

(a − 3b)(a + 2b) = (a − 3b)(a + 2b) = a + 2b ax (a − 3b) ax (a − 3b)

ax (a 2 − 6b + 9b 2 )

2

( 3x ) 2 − 4 ( 3x ) − 45

2

(2 x + y)(a − 2b) = 2 x + y (x − 4)(a − 2b) x − 4

a 2 − ab − 6b 2 a x − 6a 2bx + 9ab 2 x

x3 + y3

19.

(x − 3)(x − 2) [(3x − 9)(3x + 5)] ÷ 3 = (x − 3)(3x + 5) = 3x + 5 = (x − 3)(x − 2) x − 2 (x − 3)(x − 2) 15a b (n − 3m) 15a bn − 45a bm 3 = = 8. 10a b n − 30a b m 10a b (n − 3m) 2b (x + y)(x − y) = x − y x −y 9. x + 2 xy + y = x+ y ( x + y) 3xy ( x + 5) 3x y + 15xy 3xy = = 10. x − 25 (x + 5)(x − 5) x − 5

=

1 m2 + n 2 m2 + n 2 = = 2 2 17. m4 − n 4 2 2 2 2 (m + n )(m − n ) m − n 18.

2 7. 3x − 4 x − 15 x 2 − 5x + 6

=

x (a − 2b) − 4 (a − 2b)

3

=

b 3c

2 x (a − 2b) + y (a − 2b)

24a 3b + 8a 2b 2 36a 4 + 24a 3b + 4a 2b 2 =

8a 2b (3a + b)

4a (9a 2 + 6ab + b 2 ) 2

n3 − n 26. 2 n − 5n − 6 = 27.

n (n 2 − 1)

(n − 6)(n + 1)

8n3 + 1 8n 3 − 4n 2 + 2n

2b (3a + b)

(3a + b)

2

2

=

n (n + 1)(n − 1) n (n − 1) = (n − 6)(n + 1) n − 6

(2n + 1)(4n − 2n + 1) = 2n + 1 2n 2n (4n − 2n + 1 ) 2

=

=

=

2b 3a + b

2 28. a − (b − c) (a + b)2 − c2 2

(a + b − c)(a − b + c) = a − b + c = (a + b − c)(a + b + c) a + b + c 29. (a + b) − (c − d ) (a + c) − (b − d ) (a + b + c − d )(a + b − c + d ) = (a + b + c − d )(a − b + c + d ) 2

2

2

2

= =

40.

=

2

(4a )

− 15(4a 2 ) − 16

3 2 44. 15a b − 18a b 2 2 20a b − 24ab 2

4

2

2

41.

3

2

46.

x ( x + 4 xy + 16 y

x − 3xy

)

x (x − 3 y

35. x 4 − 6 x 2 y 2 + 9 y 4 = 2 x − 3y 2

(

2

)

)=

2

42.

m − 27

mn (m2 + 3m + 9)

(m − 3)(m

=

x = x 2 − 3y 2

3

2

=

+ 3m + 9)

=

a (125 + a 3 )

2a (a + 10a + 25) 2

(5 + a)(25 − 5a + a ) 2 (a + 5) 2

3 2 36. m n + 3m n + 9mn

=

=

= 2

2

mn m− 3

2 2 x 4 − 8 x 2 + 15 ( x − 5)( x − 3) x 2 − 5 = 2 = 4 37. x −9 (x + 3)(x 2 − 3) x 2 + 3 2 2 a 4 + 6a 2 − 7 (a + 7)(a − 1) a 2 + 7 = 2 = 38. 4 2 a + 8a − 9 (a + 9)(a 2 − 1) a 2 + 9

16a 2 x − 25x 12a 3 − 7a 2 − 10a

125a + a 4 3 2a + 20a 2 + 50a

2

2

2

2

2

x − 4y

2

2

(x − 4 y) = x ( x − 64 y ) ( x − 4 y) = x ( x − 4 y)( x + 4 xy + 16 y ) 2

2

2

2

x 5 − 64 x 2 y 3

3

3m + 8n m2 + mn + n 2

2

a − 10

2

2

2

2

2

2

2

2

( x − 4 y)

=

2

2

x 2 ( x − 6) x 2 x 3 − 6x 2 = 33. x 2 − 12 x + 36 = (x − 6)2 x − 6

2

2

2

2

a (4a 2 − 8ab) 4a 2 (a − 2b) 4a = = 32. x (3a 2 − 6ab) 3ax (a − 2b) 3x

3

2

3a b (5a − 6) 3a (a − 10)(a + 2) = = 4ab (5a − 6) 4b ([ 4a − 16)(4a + 1)] ÷ 4 = (a − 10)(a + 2) 45. 9 x − 24 x + 16 9 x − 16 x a − 4)(4a + 1) ( = (3x − 4) (a − 10)(a + 2) = x (9 x − 16) (a + 2)(a − 2)(4a + 1) = (3x − 4) 3x − 4 (a − 10)(a + 2) = = x (3x + 4)(3x − 4) x (3x + 4) (a − 2)(4a + 1) =

10a 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 5 (a + b) = 3 6a 2 (a 2 − ab + b 2 )

2

(m − n)(m + mn + n ) [(3m + 8n)(3m − 3n)] ÷ 3 = (m − n)(m + mn + n ) (3m + 8n)(m − n) = (m − n)(m + mn + n ) =

4a − 15a − 4 a 2 − 8a − 20

( 3m) 2 + 5n ( 3m) − 24n 2

2

(x + 5)(3x + 4) = x + 5 (3x + 4)(2 x + 3) 2 x + 3

2 2

10a 2 (a 3 + b 3 ) 31. 6a 4 − 6a 3b + 6a 2b2

=

[(3x + 15)(3x + 4)] ÷ 3 [(6 x + 8)(6x + 9)]÷ 2 ⋅ 3

4

2 3x 3 + 9 x 2 3x ( x + 3) 3x 2 = 30. x 2 + 6 x + 9 = (x + 3)2 x + 3

34.

m3 − n 3

(3x ) 2 + 19 ( 3x) + 60 = ( 6 x) 2 + 17 (6 x ) + 72

a + b− c+ d = a− b+ c+ d

=

2 2 43. 3m + 5mn − 8n

2 39. 3x + 19 x + 20 6 x 2 + 17 x + 12

a 2 − 5a + 25

=

=

2 (a + 5)

a 2 n2 − 36a 2 an 2 + an − 30a =

=

2

47.

a (n + 6)(n − 6)

=

n−5

[

x (4a + 5)(4a − 5)

2 a (12a ) − 7 (12a ) − 120

[

x (4a + 5)(4a − 5)

x (4a + 5)(4a − 5)

a (4a − 5)(3a + 2)

]

=

x(4a + 5)

a (3a + 2)

x (8 x 3 − y 3 )

x (4 x 2 − 4 xy + y 2 ) 2

(2 x − y)(4 x + 2 xy + y ) x (2 x − y ) 2

=

]

a (12a − 15)(12a + 8) ÷ 3⋅ 4

8 x 4 − xy 3 4x − 4x3 y + x2 y2 =

(n + 6)(n − 5) a (n − 6) =

a (12a 2 − 7a − 10)

4

a 2 (n 2 − 36)

a (n2 + n − 30)

x (16a 2 − 25)

2

2

4 x 2 + 2 xy + y 2 x (2 x − y )

53. 4a 2 − ( x − 3)

48. 3an − 4a − 6bn + 8b 6n2 − 5n − 4

=

2

3n (a − 2b) − 4 (a − 2b)

( 6n) 2 − 5 ( 6n) − 24

(3n − 4)(a − 2b) [(6n − 8)(6n + 3)]÷ 2 ⋅ 3 (3n − 4)(a − 2b) = a − 2b = (3n − 4)(2n + 1) 2n + 1 2

50.

+ 7 x )( x 2 − 7 x )

=

x 2 ( x + 7)( x − 7) x ( x + 7) = x+9 x ( x + 9)( x − 7)

=

x 3 (x − y) + (x − y )

55.

x 2 (x − y) − (x − y)

(x 3 + 1)(x − y)

51. 2 x + 6 x − x − 3

x 3 + 3x 2 + x + 3

2 x 2 ( x + 3) − ( x + 3) x 2 ( x + 3) + (x + 3)

(2 x − 1)(x + 3) = 2 x − 1 = (x + 1)(x + 3) x + 1

=

a (m + n)(a 2 − 4) a 2 (a − 6)(a + 2)

(m + n)(a + 2)(a − 2) a (a − 6)(a + 2) m + n)(a − 2) ( = a (a − 6) =

2x2 + 1

]

2

2x2 + 1

=

=

x (14 x 2 − 10)(14 x 2 + 7) ÷ 2 ⋅ 7

=

1 = x (7 x − 5)(2 x 2 + 1) x (7 x 2 − 5)

[

]

=

2x2 + 1

2

= 57.

=

a (1 − a ) + (1 − a ) 2

(a (a

2 2

− 1)(1 − a ) a 2 − 1 = 2 + 1)(1 − a ) a + 1

=

6 xy (2 x + y ) + (8 x 3 + y 3 )

=

− (8 x 2 − 2 x − 3) − (6x 2 − 5x − 4)

(8 x) 2 − 2 (8x ) − 24 (6 x) 2 − 5( 6x ) − 24

[(8x − 6)(8x + 4)] ÷ 2 ⋅ 4 [(6x − 8)(6x + 3)] ÷ 2 ⋅ 3

(4 x − 3)(2 x + 1) = 4 x − 3 (3x − 4)(2 x + 1) 3x − 4

(mn + 5)(mn − 2) = mn + 5 mn − 2 (mn − 2) 2

x 2 ( x + y ) − 4b 2 ( x + y)

(2b − x) ( x − 4b )(x + y) = (x − 2b) ( x + 2b)(x − 2b)(x + y) = (x − 2b) (x + 2b)( x + y) = 2

2

2

6 xy (2 x + y ) + (2 x + y )(4 x − 2 xy + y

[(6x + 3y)(6 x − 2 y)] ÷ 3 ⋅ 2 2

2

)

2

(2 x + y )(4 x + 4 xy + y ) = (2 x + y ) 3x − y (2 x + y )(3x − y ) 2

(x + 3)( x − 2) = x − 2 (x − 5)(x + 3) x − 5

2

(6 x ) 2 + y ( 6 x ) − 6 y 2

2

=

− ( x 2 − 2 x − 15)

3 2 2 2 62. x + x y − 4b x − 4b y 2 2 4b − 4bx + x

8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 6 x 2 + xy − y 2 =

− ( x 2 + x − 6)

2 2 + − 61. m n 3mn 2 10 4 − 4mn + m n 2

a 2 (1 − a ) − (1 − a )

=

2

a 2 (a 2 − 4a − 12)

=

x (14 x 2 ) − 3(14 x 2 ) − 70

2

am (a 2 − 4) + an (a 2 − 4)

=

2 3 56. a − a − 1 + a 2 a + 1− a3 − a

3 3 52. a m − 4am + a n − 4an a 4 − 4a 3 − 12a 2

=

6 − x − x2 15 + 2 x − x 2

4 + 5x − 6 x 2

3x (14 x 4 − 3x 2 − 5)

[

2

2 60. 3 + 2 x − 8 x

3(2 x 2 + 1)

2

2

4n 2 + 10n + 25 2n − 5

=

6x 2 + 3 5 42 x − 9 x 3 − 15x

=

x2 − x + 1 x−1

2

=

=

m+ n m+ n = a 2 − 2a + 1 (a − 1)2

=

2

=

3

2

3

(2n − 5)(4n + 10n + 25) (2n − 5)

2

(x − 1)(x − y) (x + 1)(x − x + 1) = (x + 1)(x − 1)

=

=

2

x4 + x − x3 y − y x3 − x − x2 y + y =

59.

(1− a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1+ a + a ) − 3a (1− a) (m + n)(1− a) = (1− a)(1− 2a + a )

x ( x 2 + 2 x − 63)

=

m (1 − a ) + n (1 − a )

=

8n 3 − 125 25 − 20n + 4n 2 2

2a − x + 3 = 2a + x + 3 m − am + n − an 54. 1 − 3a + 3a 2 − a 3

x 4 − 49 x 2 3 x + 2 x 2 − 63x

(x =

58.

2

=

49.

(2a + x) − 9 (2a + x − 3)(2a − x + 3) = (2a + x + 3)(2a + x − 3)

2

x − 2b

63.

x6 + x3 − 2 4 x − x3 y − x + y

(x + 2)(x − 1) x (x − y ) − ( x − y) (x + 2)(x − 1) = x + 2 = (x − 1)(x − y) x − y 64. (x − x − 2)(x − 9) (x − 2 x − 3)(x + x − 6) (x − 2)(x + 1)(x + 3)(x − 3) = 1 = (x − 3)(x + 1)(x + 3)(x − 2) 3

=

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2 2 65. (a − 4a + 4)(4a − 4a + 1) 2 2 (a + a − 6)(2a − 5a + 2) 2

2

2

−2 4 1 −2 −3 1 −2

= ( x + 2)( x + 2)(x − 1) 2

1 −1

x 3 + x 2 − 8 x − 12 1 1 − 8 − 12 −2 2 12 1 −1 − 6 0

−2

= ( x + 2)( x − 3)( x + 2) = ( x + 2) ( x − 3) 2

(x =

(x 4

3

− 3x)( x 3 − 1)

+ x 3 + x 2 )( x 2 − 1)

(x + 2) (x − 1) = x − 1 (x + 2) (x − 3) x − 3 2

67.

2

2

2

2

2

2

2

2

(x − y )(x + y) (x − y )(x + x y + xy + y ) (x + y )(x − y )(x + y) = ( x − y )[ x ( x + y ) + y ( x + y ) ] (x + y )(x + y) = x + y = (x + y )(x + y) x + y 6

3

6

3

3

1 −6

2

3

2

3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

2

2

2

2

(x + 2)(x − 1)(x

− x − 4)

x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 24 1 − 2 − 9 10 24 − 2 − 2 8 2 − 24 1 − 4 − 1 12 0

(x + 2)(x

− 4 x 2 − x + 12)

3

−1 12 − 3 − 12

3 1 −1

−4

3

0

(x + 2)(x − 3)(x − x − 4) (x + 2)(x − 1)(x − x − 4) = x − 1 ⇒ (x + 2)(x − 3)(x − x − 4) x − 3 2

= ( x − 2) ( x + 3)

x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20x − 12 1 − 2 − 7 20 − 12 2 2 0 − 14 1 0 −7 6

(x − 2)( x

1

0

3

12 0

− 7 x + 6)

−7

6

2

2 4 −6 1 2 −3 0

= ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 x − 3) = ( x − 2) ( x + 3)( x − 1) 2

(x − 2) (x + 3) (x − 2) (x + 3)( x − 1) 2

⇒

2

=

1 x −1

2

5 3 2 72. a − a − a + 1

= a 2 (a 3 − 1) − (a 3 − 1)

0

2

(4n + 4n − 3)(n + 7n − 30) (2n − 7n + 3)(4n + 12n + 9) [(4n) + 4 (4n) − 12](n + 10)(n − 3) = [(2n) − 7 (2n) + 6](2n + 3) (n + 10)(n − 3)[(4n + 6)(4n − 2)]÷ 2 ⋅ 2 = (2n + 3) [(2n − 6)(2n − 1)]÷ 2 ⋅ (n + 10)(n − 3)(2n + 3)(2n − 1) = n + 10 = (2n + 3) (n − 3)(2n − 1) 2n + 3 3

2

2 − 12

= ( x − 2)( x + 3)( x − 2)

x ( x + 1)

0 2

2

2

x −3

2

68.

2

= ( x − 2)( x + x − 6)

2

2

=

70. x − x − 8 x + 12 1 − 1 − 8 12

1

x ( x + x + 1)( x + 1)(x − 1) 2

1

2

3

2

x ( x 2 − 3)( x − 1)( x 2 + x + 1)

0

−4

1 −4

2

2

66.

6 −8 4

−3 4 −1 − 4

1

= ( x + 2) ( x − 1)

⇒

8 −2

(x + 2)(x 3 − 2 x 2 − 3x + 4)

= ( x + 2)( x 2 + x − 2)

2

0 −7 −2

1

= ( x + 2)( x 2 − x − 6)

(a − 2) (2a − 1) (a + 3)(a − 2)[(2a ) − 5(2a) + 4] (a − 2)(2a − 1) = + a 3 ( )[(2a − 4)(2a − 1)] ÷ 2 (a − 2)(2a − 1) = 2a − 1 = (a + 3)(a − 2)(2a − 1) a + 3 =

71. x 4 − 7 x 2 − 2 x + 8

3 2 69. x + 3x − 4 1 3 0 −4 −2 −2 −2 4 1 1 −2 0

= (a 2 − 1)(a 3 − 1)

= (a − 1) (a + 1)(a 2 + a + 1) 2

a − 2 a − 6a 3 + 8a 2 + 5a − 6 1 −2 −6 8 5 −6 1 1 −1 − 7 1 6 1 −1 − 7 1 6 0 5

4

(a − 1)(a

− a 3 − 7a 2 + a + 6)

4

1 −1 −7 1 6 1 0 −7 −6 1 0 −7 −6 0

(a − 1) (a 2

3

1

− 7a − 6)

0 −7 −6 −1 1 6 1 −1 −6 0 1

−1

(a − 1) (a + 1)(a − a − 6) = (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) (a − 1) (a + 1)(a + a + 1) ⇒ (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2) 2

2

2

2

2

=

a2 + a + 1

(a − 3)(a + 2)

2

(x − 3) = x − 3 9 − 6x + x 2 = 11. 2 x − 7 x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 4

EJERCICIO 120

2

4 ( x − 1) 4 − 4 x 4(1 − x ) 2 =− =− 1. 6 x − 6 = 3 6 ( x − 1) 6 ( x − 1) 2.

3.

a 2 − b2 12. b 3 − a 3

(a − b ) = − 1 a 2 − b2 2 2 =− b −a (a 2 − b2 ) 2

2

(m + n)(m − n) = (m + n)(m − n) = m + n = (n − m) (n − m)(n − m) (m − n)(m − n) m − n (x − 4)(x + 3) = − x + 3 x − x − 12 ( x − 4)( x + 3) = =− 16 − x (4 − x)(4 + x) (x − 4)(4 + x) 4 + x

(a + b)(a − b) (b − a)(b + ab + a ) (a + b)(a − b) = − =− (a − b)(b + ab + a ) b

=

m2 − n 2

2

2

3y − 6 x 5. 2mx − my − 2nx + ny =

13.

3 ( y − 2 x)

=

3 (2 x − y)

2x − 9x − 5 10 + 3x − x 2 2

2 (b − a ) − x (b − a )

3 ( x − 2)(a − b)

(2 − x)(b − a)

]

=

− 9(2 x ) − 10

=

(2 x − 10)(2 x + 1) = − (x − 5)(2 x + 1) = − 2 x + 1 =− (x − 5)( x + 2) ( x − 5)(x + 2) x + 2 8 − a3 7. 2 a + 2a − 8

(2 − a)(4 + 2a + a ) = − (a − 2)(4 + 2a + a ) = − a (a + 4)(a − 2) (a + 4)(a − 2) 2

2

=3

(a + x)(a − x) = (a + x)(a − x) = a + x (x − 3)(x − a) (3 − x)(a − x) 3 − x

3x (b − 2) (2 − b)(4 + 2b + b ) 3x (b − 2) 3x =− =− (b − 2)(4 + 2b + b ) 4 + 2b + b 2

2

(2 x − y) = − 2 x − y 4 x 2 − 4 xy + y 2 (2 x − y ) = =− 5 y − 10 x 5 5(y − 2 x) 5 (2 x − y ) 2

16.

(1 − a ) = − 1 − a ( ) (1 − a) 3

=−

a −1

2

2

2

17.

2 x 3 − 2 x 2 y − 2 xy 2 3 y 3 + 3xy 2 − 3x 2 y =

3m ( x − y) − n ( x − y)

2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3y ( y + xy − x 2 ) 2

− 3m ( y 2 − x 2 ) + n ( y 2 − x 2 )

(3m − n)(x − y) = (3m − n)(x − y) = x − y = 1 = (n − 3m)( y − x ) (3m − n)(x − y ) (x + y)(x − y) x + y 2

(1 − a)

3

3mx − nx − 3my + ny 10. ny 2 − nx 2 − 3my 2 + 3mx 2

2

3bx − 6 x 8 − b3

=

+ 2a + 4 a+4

(a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = a + 2 n (1 − a) − m (1 − a ) (n − m)(1 − a ) (m − n)(a − 1) m − n

=

(x − 2)(a − b)

(a + x)(a − x)

a2 + a − 2 8. n − an − m + am

9.

3 ( x − 2)(a − b)

x (x − a ) − 3( x − a)

15. 2

=

=

2

x 2 − 3x − 10

=

a+b + ab + a 2

a2 − x2 14. x − ax − 3x + 3a

2

[(2 x) =−

2

3x (a − b) − 6 (a − b)

3 = =− =− (2 x − y)(m − n) (2 x − y)(m − n) m − n

6.

2

3ax − 3bx − 6a + 6b 2b − 2a − bx + ax =

3( y − 2 x )

2 x (m − n) − y (m − n)

2

2

2

4.

2

2

2

18.

=−

2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 3 y ( x − xy − y 2 ) 2

(a − b) = (a − b) (b − a) (a − b) 3

3

2

2

=a−b

=−

2x 3y

2 x 2 − 22 x + 60 19. 75 − 3x 2

[(2 x) =

2

25.

]

− 22 (2 x) + 120

3(25 − x 2 )

=

(2 x − 12)(2 x − 10) = 3 (5 − x)(5 + x) 2 x − 12)( x − 5) 2 (6 − x)(5 − x) 2 (6 − x ) ( = = = 3(5 − x )(5 + x ) 3(5 − x)(5 + x) 3( x + 5) 20.

=

2 2

3n2 (2a − b2 )

(b

2

− 2a )

2

21.

26.

y 2 (2 x + 1) − x 2 (2 x + 1)

(2 x + 1)(x (2 x + 1)( y

2 2

− y2 )

(x −x ) (x 2

=−

=

3n2 (2a − b 2 )

(2a − b )(2a − b ) 2

2

=

3n 2 2a − b 2

2 2

− y2 ) − y2 )

= −1

30 x 2 y − 45xy 2 − 20 x 3 8 x 3 + 27 y 3

5x (6 xy − 9 y 2 − 4 x 2 )

(2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 5x (4 x − 6 xy + 9 y ) 5x =− =− (2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 x + 3y 2

2

2

2

2

2

n + 1 − n3 − n2

27. 3 n − n − 2n2 + 2

(x − y ) − z ( y + z) − x (x − y − z)(x − y + z) = ( y + z − x)( y + z + x) (z + y − x)( y − x − z) = y − x − z = (z + y − x)( y + z + x) x + y + z 2

=

2 x (x 2 − y 2 ) + (x 2 − y 2 )

=

6an − 3b n b 4 − 4ab2 + 4a 2 2

2 x 3 − 2 xy 2 + x 2 − y 2 2 xy 2 + y 2 − 2 x 3 − x 2

2

(n + 1) − n (n + 1) n (n − 1) − 2 (n − 1) (1− n )(n + 1) = (1− n )(n + 1) = n + 1 = (n − 2)(n − 1) (2 − n)(1− n ) 2 − n 2

2

=

2

2

2

2

2

2

(x − 2) (x + x − 12) 28. (2 − x)(3 − x) (2 − x) ( x + 4)(x − 3) = (2 − x)(3 − x) x − 2)( x + 4)(3 − x ) ( x − 2)( x + 4) ( = = 3− x (3 − x) 2

2

2

3a 2 − 3ab 22. bd − ad − bc + ac = =

2

3a (a − b)

2

d (b − a ) − c (b − a ) 3a (a − b)

=

3a (a − b )

(d − c)(b − a) (c − d )(a − b)

=

3a c− d

2

5x 3 − 15x 2 y 29. 90 x 3 y 2 − 10 x 5

(x − 5)

3

23. 125 − x 3

( x − 5) (5 − x)(25 + 5x + x ) (x − 5) (x − 5) =− =− (x − 5)(x + 5x + 25) x + 5x + 25

10 x 3 (9 y 2 − x 2 )

=

2 x (3y − x)(3 y + x)

3

=

2

3

2

2

2

(6x 2 − 13x + 6) = − 1 13x − 6 − 6 x 2 =− 24. 2 6 x − 13x + 6 6x 2 − 13x + 6

5x 2 ( x − 3y )

=

( x − 3y )

=−

x − 3y

=

−1

2 x ( x − 3 y)(3 y + x) 2 x (3 y + x)

(x − 1)(x − 8x + 16) 30. (x − 4 x)(1− x ) (x + 1)(x − 1)(x − 4)(x − 4) = (1− x)(4 − x) = 4 − x = x x ( x − 4)(1+ x)(1− x) x (1 − x) 2

2

2

2

EJERCICIO 121 1.

a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 a 4 − a 3 x − 2a 2 x 2 + 2ax 3

Factor común a

a 3 − a 2 x + ax 2 − x 3

3.

a 3 − a 2 x − 2ax 2 + 2 x 3

− a 3 + a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3

− 6x + 8x − 2 x − 6x + 6

1

a − a x − 2ax + 2 x 2

2

− a3 + a2 x + 2ax − 2 x 2

30 x − 40 x + 10 x + 30 x − 30 30 x 3 − 30 x 2 − 72 x + 72 (÷ 6)

= a − ax

−a +a x

a +x 2

a − a x − 2a x + 2ax 2

a − ax

2

− 5. 244 x 2 + 3. 084 x + 2 .160 1

3

437 x 2 − 257 x − 180

− x − 3x − 6x − 3x − 5

x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 1

x + 3x + 6x + 3x + 5 3

2

− x 4 − 3x 3 − 5x 2

x−1

− x − 3x − 5

⇒ 2ax − ax − ax − 2ax + 2a 3

2

− 2ax 4 + 2ax 3

x + 3x + 5 2

2

ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a + 2ax − 2a

mcd x + 3x + 5 2

x + 3x + 5 2

x2 − 1

− x 2 − 3x − 5

3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a − 3ax 4 + 3ax 3

− x 4 − 3x 3 − 5x 2 x 2 + 3x + 5 − x 2 − 3x − 5 Rta.

+ ax 3 − ax 2

x 2 + 3x + 5

3ax − 3a − 3ax + 3a

x2 + 1 =

ax − a 3x 3 − x 2 + 3

− ax 3 + ax 2

x 2 + 3x + 5 x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5

ax − a 2x 3 + x 2 − 2

− ax 3 + ax 2

1

3

− x 4 − 3x 3 − 5x 2

x2 − 1 x2 + 1

= ax − a 4

x2

⇒ x + 3x + 4x − 3x − 5

=

mcd = a (x − 1)

1

x 2 + 3x + 5

2

4

(÷ 180)

x−1

− x +1

x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 5

437 x

180 x − 180

− 2x 2 − 6x − 10 ÷ − 2 4

x−1

− 437 x 2 + 437 x

x 4 + 3x 3 + 4x 2 − 3x − 5 2. x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 2

(÷ − 1. 723)

− 1723x + 1723

a +x = 2 Rta. a − 2x2

x 4 + 3x 3 + 4 x 2 − 3x − 5

(− 12)

5. 244 x 2 − 3. 084 x − 2 .160 ( ÷ 12)

5 . 244 x 2 − 4 .807 x − 437

2

3

5x

2

a2 − 2x2 + 2a x − 2ax

4

12 x 2 − 11x − 1 ( 437)

− 437 x + 257 x + 180

2

− 2a 2 x 2 + 2ax 3 2

(÷ 3)

36 x − 33x − 3 − 60 x 3 + 55x 2 + 5x

− a4 + a3x 2

1

2

60 x 3 − 492 x 2 + 252 x + 180 3

( ÷ − 2)

5x 3 − 41x 2 + 21x + 15 (12)

5x − 5x 2 − 12 x + 12

2

− a 2 x 2 + ax 3 2

x

− 10 x 3 + 82 x 2 − 42 x − 30 3

− 5x 3 + 41x 2 − 21x − 15

a 2 x 2 − ax 3 3

2

− 30 x 4 + 30 x 3 + 72 x 2 − 72 x

2

a 2 − ax

4

3

mcd = a (a − x)

3

3

( 6)

5x − 5x − 12 x + 12

a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 4

1

2

4

a2 − 2x2 − 2ax 2 + 2 x 3

2

3

a− x

3

3

Factor común a

6 x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 6 (5)

6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 6 x + 6 4

3ax 2 − 3x 3 ÷ 3x 2 3

2ax 4 − ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a ( 3) 3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a (2)

2x 3 + x 2 − 2 Rta. 3x 3 − x 2 + 3

6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 (10) 4. 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 ( 6)

Continuación

60 x 3 − 54 x 2 + 66 x + 72 (÷ 6)

60 x 3 − 130 x 2 + 180 x − 80 − 60 x 3 + 54 x 2 − 66 x − 72 − 76 x 2 + 114 x − 152 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 − 10 x + 15x − 20 x 3

2

2 x − 3x + 4

−x + x y 4

1

− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3

(÷ − 38)

+ x3y − x2y 2 x 2 y 2 − xy 3

2 x 2 − 3x + 4

− x 2 y 2 + xy 3

(÷ 3)

2x 4 − 5x 3 y + 4x 2 y 2 − xy 3

2 x − 3x + 4 2

− 2 x 2 + 3x − 4

− 2x + 2x y 4

mcd = 2 x 2 − 3x + 4

1

6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8

+ 3x 3 y − 3x 2 y 2 x 2 y 2 − xy 3

3x − 2

− x 2 y 2 + xy 3

− 4 x 2 + 6x − 8 + 4 x 2 − 6x + 8

=

10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12

2 x 2 − 3x + 4

− 10 x + 15x − 20 x 3

5x + 3

2

6.

6a 5 − 3a 4 + 6a 3 + 6a 2 + 9

6 x − 9 x + 12

5.

− a

Rta.

3a − a + 3a + 4a Factor común x

− 2 x 3 + 5x 2 y − 4 xy 2 + y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3 − 2x3

1

(÷ y)

− y3

x2 y

x 2 − y 2 (5)

+ 2 xy 2

2x

− 5x 2 y + 6 xy 2 − y 3 − 5y 2

5x 2

6 xy − 6 y 5x 2 − 6 xy + y 2 − 5x 2 + 5xy − xy + y x− y − x+ y

x− y 1

(÷ − y)

5x 2 − 6 xy + y 2

− 5x 2 + 6 xy − y 2

1

2

+ 2a 2

+1

− a 4 − 3a 3 + 4a 2 − 3a + 5 − 3a + 6a − 3a + 6 3

2

a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5 − a 4 + 2a 3 − a 2 + 2a 5a − 5a + 5a − 5 a 3 − 2a 2 + a − 2 −1

2

−a

a2 + 1 − a2 − 1

1

(÷ − 3) a 3 − 2a 2 + a − 2

(÷ 5)

a3 − a2 + a − 1 1

(÷ − 1) a2 + 1 a

−1

2

a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5

a

2

3

−a

Continúa

3a

− a − 3a + 4a − 3a + 5 (− 1) a4

− a3

mcd x ( x − y ) = x 2 − xy

a 4 + 2a 2 + 1

− 3a

3

a3 − a2 + a − 1

(÷ − y)

+5

2

− 6a 3

− a

x− y 5x

2

− 3a 5

3

− a3 + a2 − a + 1

(÷ 6 y)

2

4

4

2 x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3

(÷ − 1)

2

5

x 4 − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 − xy 3 (2) 2 x 4 − 5x 3 y + 4 x 2 y 2 − xy 3

1

− 2a − 1

4

Rta.

6a 5 − 2a 4 + 6a 3 + 8a 2 + 10 (÷ 2)

− 6a 5 + 2a 4 − 6a 3 − 8a 2 − 10

− 6 x 2 + 9 x − 12 3x − 2 5x + 3

x 2 − xy + y 2 2x 2 − 3xy + y 2

2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 ( 3) 3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 (2)

2

=

x 2 − xy 2x 2 − 3xy + y 2

3

− 3x 3 y + 4x 2 y 2

2 x 2 − 3x + 4

− 6 x 3 + 9 x 2 − 12 x

x 2 − xy x 2 − xy + y 2

3

5x

6 x 2 − 9 x + 12 2

x 4 − 2x 3y + 2x 2 y 2 − xy 3

5.

(÷ − 1)

a2 + 1 1

mcd = a 2 + 1 Continúa

Continuación

Continuación

6. ⇒ 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3

− 2a 5

a2 +1

− 2a 3 −a

1− 2x − x 2 − 2x 3 + x 4

7.

2a 3 − a 2 + 3

− 1− x − x

+ 2a + 3

4

2

+ a4

+ 3x + 3x 2 + 3x 3 x 2 + x 3 + x4

− 3a 2 − 3

− x2 − x3 − x4

3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 − 3a

− 3a −a

=

a2 + 1 3a − a + 5

3

3

2

2

+ a4

3m3 + 3m2 n + mn + n 2

= m (3m2 + n) + n (3m2 + n)

− 5a 2 − 5

7.

2a 3 − a 2 + 3 3a 3 − a 2 + 5

1− x

2m3 + 2m2 n − mn 2 − n 3 m + n − 2m3 − 2m2 n

− x +x

1− 2 x − x − 2 x + x

4

2

− 1+ 2 x + x 2 + 2 x 3 − x4 1− 2 x − x − 2 x + x 2

3

+ mn2 + n3 1+ x + x

3 + 3x + 3x

3m + 3m n + mn + n 2

( 3)

3m2 + n

2

mn + n 2 − mn − n 2

2

3+ 2x + 2x − x 2

3

(÷ x ) 1+ x + x

− 3 − 3x − 3x 2

9.

2

−x +x

1+ x + x

3

4

+ 30 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 2

2

a

− 26a 2 + 2a 3

− 18a

3

4

3a 4 − 2a 2 + 5 − 3a + 2a − 5 4

− x 2 − x3 − x 4

Continúa

2

+ 65

3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30 − 3a 5

x 2 + x3 + x 4

3

(÷ − 1)

3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30

− 6a 5 + 36a 4 + 4a 3 − 24a 2 − 10a + 60 2 39a 4

− 2x − x 2 − x 3 + x 4 + 2 x + 2x + 2x

− 2a 2

+ 2a − 10a − 5a

4

6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5

2

1− 2x + x

2

Rta.

− 3a + 18a + 2a − 12a − 5a + 30

mcd = 1 + x + x 2 4

5

5

1+ x + x 2 1

+ 14a 4

− 6a − 3a + 4a 6

(÷ − x)

− x − x2 − x3

2m2 − n 2 3m2 + n

6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 ( 2) 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 6a 6

3

3

=

1

3

m+ n

− 3m − 3m n 3

(÷ − x)

3+ 2x + 2x − x

2

x + x2 + x3

2

2

2

1

− 3− 2x − 2x2 + x3

− 1− x − x

2m2 − n 2 − mn 2 − n 3

3

4

− 3x − 2 x 2 − 2 x 3 + x 4

⇒ 1− x

4

1

− 1− x − x 2

− 1− x − x 2

3

(÷ x)

x + x2 + x 3

= (m + n)(3m2 + n)

mcd = m + n

Rta. 3

1+ x + x 2

Rta.

= m (2m2 − n 2 ) + n (2m2 − n 2 ) = (m + n)(2m2 − n 2 )

+ a2 5a 2 + 5

=

1− 2x + x 2 1− 3x + x 2

3 2 2 3 8. 2m + 2m n − mn − n

+ 4a + 5

4

1− 3x + x 2

− 3x − 2x 2 − 2x 3 + x 4

+ a2 3a 2 + 3

5

1+ x + x 2

2

2

− 5a + 12a 2

− 30

(÷ 13) 3a 4 − 2a 2 + 5 a

(÷ − 6)

3a 4 − 2a 2 + 5 1

mcd = 3a 4 − 2a 2 + 5

Continúa

Continuación

6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5

9.

− 6a

+ 4a

5

3a 4 − 2a 2 + 5

− 10a

3

3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15

2a + 1

− 3a + 2a − 5a 6

4

3a 4 − 2a 2 + 5 a2 + 3

2

3a 4

− 2a 2

+5

9a 4 − 6a 2 + 15

− 3a 4

+ 2a 2

−5

− 9a 4 + 6a 2 − 15

=

2a + 1 a2 + 3

Rta.

5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 (3) (5)

10. 3x 6 − 6 x 4 + 11x 3 + 2 x − 4

15x 6 − 30x 4 + 63x 3 − 6x + 12 15x 6 − 30x 4 + 55x 3 + 10x − 20 (÷ 5)

− 15x 6 + 30x 4 − 55x 3 − 10 x + 20 1

(÷ 8)

8x 3 − 16x + 32 3x − 6x + 11x + 2 x − 4 6

4

x3 − 2x + 4

3

− 3x 6 + 6x 4 − 12 x 3

3x 3

(÷ − 1)

− x3 + 2 x − 4 x − 2x + 4 3

− x3 + 2x − 4

x3 − 2 x + 4 mcd = x 3 − 2 x + 4

1

5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 − 5x + 10x − 20x 6

4

x3 − 2x + 4

3x 6 − 6x 4 + 11x 3 + 2 x − 4

5x + 1

3

− 3x + 6 x − 12 x

3

6

4

x3 − 2x + 4 3x 3 − 1

3

x3 − 2x + 4

− x3 + 2 x − 4

− x3 + 2x − 4

+ x3 − 2x + 4

=

6 5 4 3 2 11. n − 3n − n + 3n + 7n − 21n

5x 3 + 1 3x 3 − 1

Rta.

= n5 (n − 3) − n3 (n − 3) + 7n (n − 3) = (n − 3)(n5 − n 3 + 7n)

n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n2 + 14n

= n5 (n + 2) − n3 (n + 2) + 7n (n + 2) = (n + 2)(n5 − n3 + 7n) n6 − 3n5 − n4 + 3n3 + 7n2 − 21n

− n6

+ n4 − 3n

+ 3n5 12.

− 7n2 + 3n

5

n5 − n 3 + 7n n− 3

− n6

− 21n

2n

− 3n3

+ 21n

− 2 n5

− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 10a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − 2a − 3a + 12a − 21a + 8 4

3

2

2a + 4a − 10a + 20a + 8a − 20a + 32 5

4

3

− 2a − 3a + 12a − 21a + 8a 6

5

+ n4

3

a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8

6

n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n 2 + 14n

4

3

2

2

5

− 7n2 − 2n

n5 − n3 + 7n n+ 2

3

+ 14n

+ 2n3

− 14n

a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 ( 2) a

(÷ − 1)

2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 (a ) a2

a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2a + 3a 4 − 12a 3 + 21a 2 − 8a 5

− 2a 5 − 4a 4 + 2a 3 − 32a 2 + 40a − 64 − a − 10a − 11a + 32a − 64 4

3

2

a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32 2

(− 1)

Continúa

=

n− 3 Rta. n+ 2

Continuación 5 4 12. a + 2a −

a 4 + 10a 3 + 11a 2 − 32a + 64 ( 2)

a 3 + 16a 2 − 20a + 32

− a 5 − 10a 4 − 11a 3 + 32a 2 − 64a

a

− 8a − 12a + 48a − 84a + 32 4

3

2

2a 4 + 20a 3 + 22a 2 − 64a + 128 − 2a 4 − 3a 3 + 12a 2 − 21a + 8

1

(÷ 17)

17a + 34a − 85a + 136 3

2

2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 − 2a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a − a − 2a 3

2

a + 2a − 5a + 8 3

(÷ − 4)

2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8

a 3 + 2a 2 − 5a + 8 2a

+ 5a − 8

(− 1)

a + 2a − 5a + 8

2

3

− a 3 − 2a 2 + 5a − 8

2

mcd = a 3 + 2a 2 − 5a + 8

1

a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 − a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 8a 4

a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 4

a4 + 1

− a 6 − 2a 5 + 5a − 8a 3

a + 2a − 5a + 8 3

2

2a

− a 3 − 2a 2 + 5a − 8

=

a4 + 1 a3 + 2

3

a3 + 2 + 4a − 10a + 16 2

− 2a 3 − 4a 2 + 10a − 16

Rta

EJERCICIO 122 5x 2x + y 10x 2 + 5xy ⋅ = 2 15. 2x + y 2x + y 4x + 4xy + y 2

a 2 2a 2a 3 ⋅ = 2 8. a + 2 2a 2a + 4a

3 2a 6a ⋅ = 2a 2a 4a 2 5 4a 20a ⋅ = 2. 9x 2 4a 36ax 2 m 2a 2am ⋅ = 3. ab 2 2a 2a 2b 2 1.

x+3 x−3 x2 − 9 ⋅ = 2 16. x + 1 x − 3 x − 2x − 3

3a a + b 3a 2 + 3ab ⋅ = 2 9. a + b a + b a + 2ab + b2

2 a 2 − a + 1 2a 2 − 2a + 2 = ⋅ 17. a + 1 a2 − a + 1 a3 + 1

x − 4 x + 2 x 2 − 2x − 8 ⋅ = 10. x + 3 x + 2 x 2 + 5x + 6

3x 3xy 2 9x 2 y 2 ⋅ = 4. 8y 3xy 2 24xy 3

2a a 2 2a 3 11. x + a ⋅ a 2 = a 2 x + a 3

4m n 4mn ⋅ = 5n2 n 5n3 2x + 7 3 6x + 21 ⋅ = 6. 5 3 15

x − y 2 2x − 2y ⋅ = 12. 6 2 12 5 x a + b 5ax + 5bx 13. a − b ⋅ a + b = a 2 − b 2

2x x 2x 2 ⋅ = 2 7. x −1 x x − x

14.

5.

18.

x −1 x +1 x2 −1 ⋅ = 2 19. x + 1 x + 1 x + 2x + 1 20.

6a 3 − 10a 2 2a 6a 3 10a 2 = − 2a 2a 2 = 3a − 5a

a + b 9ab 9a 2b + 9ab 2 ⋅ = 7a 2 9ab 63a 3b

x +1 x − 2 x2 − x − 2 ⋅ = 2 21. x + 5 x − 2 x + 3x − 10

x − 5 3x 3x 2 − 15x ⋅ = a 3x 3ax

EJERCICIO 123 1.

x − 2y 3xy 3x 2y − 6xy 2 ⋅ = 3x 3xy 9x 2 y

4.

2. 9x y − 6x y + 3xy 3xy 3

2 2

3

9x 3 y 6x 2 y 2 3xy 3 = − + 3xy 3xy 3xy = 3x 2 − 2xy + y 2

3.

x +3 2

x

− x2

x 3

3 =x+ x

10a 2 + 15a − 2 − 10a 2

5a 2a + 3

15a − 2 − 15a −2 2 = 2a + 3 − 5a

9x 3 − 6x 2 + 3x − 5

5.

− 9x

3x 3x − 2x + 1

3

2

11.

2x 3 − 7 x 2 + 6x − 8 2x 2 − x + 1 − 2x 3 + x 2 − x

− 6x 2

− 6x + 5 x − 8

+ 6x 2

6 x 2 − 3x + 3

3x

2x − 5 2x − 5 =x−3+ 2 2x − x + 1

− 3x −5 5 = 3x − 2x + 1− 3x 2

x 2 − 5 x − 16

6.

12.

x+2

− x 2 − 2x

2a 4 − 3a 3 + a 2 − 2a + 2a − 2a 4

x−7

3

− 2a 2 + a 2a 2 − 2a + 2

12x 2 − 6x − 2

− a +2 a−2 = 2a − a − 2 − 2 a − a +1

4x − 1

− 12x + 3x 2

2

3x

− 3x − 2 − 3x − 2 3x + 2 = 3x + = 3x − 4x − 1 4x − 1 a

+ 3b

3

13.

− x + 2x 4

− 3x − 4 3x + 4 =x −2− 2 x −2 2

4ab 2 + 3b 3 − 4ab 2 − 8b 3

14.

− 5b 3

= x − 1+

10.

− 3n − 10n + 3

15.

4x 2 + 5x + 6

8x 4 − 8x 4 − 10x 3 − 12x 2

−3 − 3x − 2 − 3x − 2

= x − 1−

= 2x 2 −

x2 − 3

− 3x 3 + 2x 2 y

3x − 2 y x 2 + 2 xy + 2y 2

16.

10x 3 + 12x 2 4x 2 + 5x + 6

6m5 + 3m4n − 6m

6 x 2 y + 2 xy 2

3m3 − mn2 + n3

+ 2m n − 2m n

5

3 2

2 3

2m2 + mn

3m4n + 2m3n2 − 2m2n3

− 6x 2 y + 4 xy 2 6xy 2 − 6y 3

− 3m4n

− 6 xy 2 + 4 y 3 − 2y

+ m2n3 − mn4 2m3n2 − m2n3 − mn4

3

2y 3 = x + 2xy + 2y − 3x − 2 y 2

2x 2

− 10x 3 − 12x 2

3x + 2

3 x 3 + 4 x 2 y + 2xy 2 − 6y 3

2

5n

3n2 + 10n − 3 = 5n − 2n2 − 3n + 1

x −1

x2 − 3

2

2

− x 2 − 3x + 1 x2

2n2 − 3n + 1

− 10n + 15n − 5n

5b 3 a + 2b 2

+ 3x

10n3 − 18n2 − 5n + 3 3

9. x − x − 6x + 1 x − 3 2

−4

2x 2

2a 2b + 4ab 2

= a 2 − 2ab + 4b 2 −

x2 − 2 x2 − 2

2

− 2 x 2 − 3x

a 2 − 2ab + 4b 2

− 2a 2b

− x3

x 4 − 4 x 2 − 3x

a + 2b

3

− a 3 − 2a 2b

3

2a 2 − a − 2

a 3 − a2 + a

−2 2 =x−7− x+2

8.

a2 − a + 1

2

− a3 − a2

− 7 x − 16 + 7 x + 14

7.

x−3

2

= 2m2 + mn +

2m3n2 − m2n3 − mn4 3m3 − mn2 + n3

EJERCICIO 124 4a a+2

1. a +

=

a (a + 2) + 4a a+ 2

a + 2a + 4a a + 6a a (a + 6) = = a+2 a+2 a+2

2. m − n −

=

n2 m

2

m

3. x + 5 −

=

(x =

m2 − mn − n2 m

=

2

a (a + b) + ab a+b

a 2 + ab + ab a 2 + 2ab = = a+b a+b

11.

=

2a + x − (a + x ) = a+ x =

2a + x − a − x a = a+ x a+ x

x 3 − 7 x 2 + 10 x − 3x 2 − 6 x x−2

=

x 3 − 10 x 2 + 4 x x−2

7ab 2 − b 3 2a − b

=

2x2 − 2 y2 x− y

=

2a 3 + 5a 2b − 5ab 2 + b 3 + 7ab 2 − b 3 2a − b

=

2a 3 + 5a 2b + 2ab 2 2a − b

2 (x 2 − y 2 ) x− y

2 ( x + y)( x − y ) x− y

16.

m− n

m − 3mn + 2n + 3mn m + 2n = m− n m− n 2

2

5ax − 6x 2 a + 2x

2

2a 2 − 4ax a + 2x

2

+ 3ab − b 2 )(2a − b) + 7ab 2 − b 3 2a − b

x3 + 2 − ( x + 1) x − x+1

=

(x

3

+ 2) + ( x 2 − x + 1)(− x − 1) x2 − x + 1

x3 + 2 − x3 − 1 1 = 2 x2 − x + 1 x − x+1

17. x + 3 −

(2a − 3x)(a + 2 x) − (5ax − 6x ) a + 2x

(a

2

=

(m − n)(m − 2n) + 3mn

2a 2 + ax − 6 x 2 − 5ax + 6 x 2 = a + 2x =

− 5x )( x − 2) − 3x ( x + 2) x−2

=

12. 2a − 3x −

=

2

=

2

2a + x 7. −1 a+ x

(x

3x ( x + 2) x−2

15. a 2 + 3ab − b 2 +

x− y

2

=

m3 + 8 − m 3 8 = m+ 2 m+ 2

− y2

3mn + m − 2n m− n

a− x

2x a− x−a− x =− = a− x a− x

2

= 2 x + 2 y = 2 (x + y)

=

(a − x) − (a + x)

x2 − y2 x− y

(x + y)(x − y) + x

− 2m + 4)(m + 2) − m3 m+ 2

2

x2 − y2 + x2 − y2 x− y

=

a

2

m3 m+ 2

=

=

2 5. 1 − a + a − 3

a+ x a− x

=

2

2

(m

14. x 2 − 5x −

x ( x − 2) x − 2x = x+2 x+2

=

ab 4. a + a + b

=

2

10. x + y +

x + 3x − 10 − 3 x + 3x − 13 = x−2 x−2

6. 1 −

− 3x )( x + 2) − ( x 2 − 6 x ) x+2

3

a (a − 3) + 1 − a 2 a a 2 − 3a + 1 − a 2 3a − 1 = =− a a

x 2 − 6x x+2

=

x − x − 6x − x + 6x = x+2

x−2

=

2

3

(x + 5)(x − 2) − 3 = =

x−1

2 9. x − 3x −

3 x−2

2

=

x2 + x − 2 − 3 x2 + x − 5 = = x−1 x−1

2

(m − n) m − n

(x + 2)(x − 1) − 3

=

2

=

13. m2 − 2m + 4 −

3 8. x + 2 − x−1

= = =

x3 − 2x2 + 1 x2 − 4x + 3

( x + 3)(x

2

− 4 x + 3) − ( x 3 − 2 x 2 + 1) x2 − 4x + 3

x3 − x2 − 9x + 9 − x3 + 2x2 − 1 x2 − 4x + 3

x 2 − 9 x + 8 ( x − 8)( x − 1) x − 8 = = x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) x − 3

18. 3a +

x − 27 19. x − 3 − x 2 − 6 x + 9

3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2

=

3a (a 2 − b 2 ) + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2

=

3a 3 − 3ab 2 + 3a 2b + 3ab 2 a 2 − b2

=

3a 2 (a + b) 3a 3 + 3a 2b = a 2 − b2 (a + b)(a − b) =

2 20. a − 3a + 5 +

3

= =

(x − 3)(x

2

− 6 x + 9) − (x − 27) x 2 − 6x + 9 3

x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 − x 3 + 27 x2 − 6x + 9 − 9 x + 27 x 2

=

(x − 3)

2

=

= =

− 9 x ( x − 3)

(x − 3)

2

=

3a 2 a−b

=

(a

2

2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2

− 3a + 5)(a 2 + a − 2) + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2

a 4 − 2a 3 + 11a − 10 + 2a 3 − 11a + 9 a2 + a − 2

(a − 1)(a + 1) (a + 2)(a − 1) (a + 2)(a − 1) (a + 1)(a + 1)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) a4 − 1

2

2

=

2

− 9x 9x = x − 3 3− x

=

a3 + a2 + a + 1 a+2

EJERCICIO 125 4. 3 x 1.

a 1 ; b ab

mcm = ab

ab ÷ b = a ab ÷ ab = 1

a a⋅a a = = b ab ab 1 1⋅ 1 1 a2 1 = = ⇒ , ab ab ab ab ab 2

2.

x 3 , 3 mcm = a 3b 2 2 ab ab a a 3b 2 ÷ ab 2 = a 2 a 3b 2 ÷ a 2b = ab 2

Rta.

x 4 , mcm = 6a 2 x 2a 3a 2 x 6a 2 x ÷ 2a = 3ax

1 3 5 3. 2x 2 , 4x , 8x 3 8 x 3 ÷ 2x 2 = 4 x

36 x 2 y 3 ÷ 6 x 2 = 6 y 3

36 x 2 y 3 ÷ 9 xy = 4 xy 2

36 x 2 y 3 ÷ 12 y 3 = 3x 2

3 2 7 y 7 y (6 y ) 42 y 4 1 1(4 xy ) 4 xy 2 = ; 2 = 2 3 = 2 3 ; 2 3 = 6x 36 x y 36 x y 9 xy 36 x y 36 x 2 y 3

6.

8 x 3 ÷ 4 x = 2x 2 8x 3 ÷ 8x 3 = 1 1 1⋅ 4x 4x = = 2x 2 8x 3 8 x 3 3 3x ⋅ 2x 2 6x 2 = = 3 4x 8x 3 8x 5 5 ⋅1 5 = = 8x 3 8 x 3 8x 3 4x 6x 2 5 ⇒ 3 , , 8x 8x 3 8x 3

2

5x 5x (3x 2 ) 15x 3 = = 12 y 2 36 x 2 y 3 36 x 2 y 3

mcm = 8x 3

a 3b 2 ÷ a 3 = b 2

3x 3x (a ) 3a x x x ( ab) abx 3 3 (b 2 ) 3b 2 = = 2 = 3 2 = 3 2 ; 2 = 3 2 = 3 2 ; ab ab ab ab ab ab a 3 a 3b 2 a 3b 2 2 2 3a x 3b abx ⇒ 3 2 , 3 2 , 3 2 Rta. ab ab ab 1 5x 5. 7 y mcm = 36 x 2 y 3 , , 6 x 2 9 xy 12 y 3 2

6a 2 x ÷ 3a 2 x = 2 x x ( 3ax ) 3ax 2 = = 2a 6a 2 x 6a 2 x 4 4⋅2 8 = = 3a 2 x 6a 2 x 6a 2 x 3ax 2 8 Rta. ⇒ 2 , 6a x 6a 2 x

,

⇒

a−1 5 a+2 mcm = 6a 2 , , 3a 6a a2 6a 2 ÷ 3a = 2a 6a 2 ÷ 6a = 1

15x 3 42 y 4 4 xy 2 Rta. 2 3 , 2 3 , 36 x 2 y 3 36 x y 36 x y

6a 2 ÷ a 2 = 6

a − 1 (a − 1) (2a) 2a 2 − 2a 5 5⋅ 1 5 = = = = ; ; 3a 6a 2 6a 2 6a 6a 2 6a 2

a + 2 (a + 2) 6 6a + 12 2a 2 − 2a 5 6a + 12 = ⇒ , , 2 = 2 2 a 6a 6a 6a 2 6a 2 6a 2 x− y x+ y 7. 2 mcm = 3x 2 y 2 , , 5 x y 3xy 2

Rta.

3x 2 y 2 ÷ x 2 y = 3 y 3x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = x

x − y ( x − y) (3y ) 3xy − 3y 2 x + y ( x + y ) x x 2 + xy = = = = ; ; 2 2 2 2 2 x y 3x y 3x y 3xy 2 3x 2 y 2 3x 2 y 2

Rta.

5=

5 (3x 2 y 2 ) 15x 2 y 2 = 3x 2 y 2 3x 2 y 2

⇒

x 2 + xy 15x 2 y 2 3xy − 3 y 2 , , 2 2 3x 2 y 2 3x y 3x 2 y 2

Rta.

1 m+ n m− n 8. , , 2m 5m3n 10n 2 10m3n 2 ÷ 2m = 5m2 n 2

2 3 , 5 x+1

11.

mcm = 10m n

3 2

(5x + 5) ÷ 5 = x + 1 (5x + 5) ÷ (x + 1) = 5 2 2 ( x + 1) 2 x + 2 3 3⋅ 5 15 = = = = ;

10m3n 2 ÷ 5m3n = 2n

m − n (m − n) ( 2n) 2mn − 2n 2 = = 5m3n 10m3n 2 10m3n 2 3 3 1(m ) 1 m = = 10n 2 10m3n 2 10m3n 2 5m3n 2 + 5m2 n 3 2mn − 2n 2 m3 ⇒ , , Rta. 3 2 3 2 10m n 10m n 10m3n 2

a + b a − b a 2 + b2 mcm = 6ab 2 9. 6 , 2a , 3b 2 6ab 2 ÷ 6 = ab 2 6ab ÷ 2a = 3b 2

5x + 5

5

10m3n 2 ÷ 10n 2 = m3

2 2 m + n (m + n) (5m n ) 5m3n 2 + 5m2 n 3 = = 3 2 2m 10m n 10m3n 2

2

mcm = 5x + 5

5x + 5

a − b (a − b) (3b = 2a 6ab 2

)

2

2

)

=

(a

− b 2 ) ÷ (a + b) = a − b

2

a (a − b) a 2 − ab a = 2 2 = 2 2 ; a+b a −b a −b

10.

13.

x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)

x 1 , 2 x2 − 1 x − x−2

x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)

3ab 2 − 3b 3 = ; 6ab 2

2

12a 2b 2 ÷ 4b 2 = 3a 2 12a b ÷ 2 = 6a b 2

2

mcm = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)

a 2b 2 + ab 3 ; 6ab 2

2a − b 3b − a a − 3b mcm = 12a 2b 2 , , 3a 2 4b 2 2 12a 2b 2 ÷ 3a 2 = 4b 2 2

= ( x 2 − 1)(x − 2)

= x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x − x + 2 3

2

− x3

+x − 2x

x −1

x − 2 x2 − x + 2 x2 − x − 2

2

3

x− 2

− x3 + x2 + 2x

2

+2

− x2 + x + 2

2x2

−2

x2 − x − 2

x ( x − 2) x2 − 2x x = 3 = 3 ; 2 x − 1 x − 2x − x + 2 x − 2x2 − x + 2

1( x − 1) x−1 1 = = x2 − x − 2 x3 − 2x2 − x + 2 x3 − 2x2 − x + 2

2

14.

x2 − 2x x−1 ; 3 x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x2 − x + 2 a−3

4 (a + 5)

[8 (a + 5)] ÷ [ 4 (a + 5)] = 2

2 2 a − 3b (a − 3b) 6a b 6a 3b 2 − 18a 2b 3 = = 2 2 2 12a b 12a 2b 2

4 (a + 5)

8ab 2 − 4b 3 9a 2b − 3a 3 6a 3b 2 − 18a 2b 3 Rta. , , 12a 2b 2 12a 2b 2 12a 2b 2

a−3

=

2 (a − 3)

8 (a + 5)

=

8 (a + 5) ÷ 8 = a + 5

2a − 6

8 (a + 5)

3a 3a (a + 5) 3a 2 + 15a = = 8 8 (a + 5) 8 (a + 5) ⇒

2a − 6

Rta.

3a mcm = 8 (a + 5) 8

,

3b − a (3b − a ) 3a 9a 2b − 3a 3 = ; 2 = 2 2 4b 12a b 12a 2b 2 2

x−1

2

⇒

2

2a − b (2a − b) 4b 8ab 2 − 4b 3 = ; 2 = 2 2 3a 12a b 12a 2b 2

⇒

− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = 1

2

a 2 − ab b , Rta. a 2 − b2 a 2 − b2

⇒

(a + b )(2a ) 2a 3 + 2ab2 2

2

(a

1b b b = = a 2 − b2 a 2 − b 2 a 2 − b 2

a +b = = 3b 2 6ab 2 6ab 2 3 2 2 3 2 3ab − 3b 2a 3 + 2ab 2 a b + ab ⇒ , Rta. , 2 2 6ab 6ab 6ab 2 2

Rta.

a b 2 2 12. a + b , a 2 − b 2 mcm = a − b

6ab 2 ÷ 3b 2 = 2a

a + b (a + b)(ab = 6 6ab 2

x + 1 5x + 5 5x + 5

2x + 2 15 ⇒ , 5x + 5 5x + 5

8 (a + 5)

,

3a 2 + 15a 8 (a + 5)

Rta.

;

15.

x2

3 (a − x)

x mcm = 6 (a − x) 6

,

19.

[a (a [a (a [a (a

[6 (a − x)] ÷ [3(a − x)] = 2 [6 (a − x)] ÷ 6 = a − x x2

x x (a − x ) ax − x 2 ; = = 6 6 (a − x ) 6 (a − x )

2x2

= 3 (a − x) 6 (a − x ) 2x2

⇒

6 (a − x )

ax − x 2

6 (a − x)

,

16. 3 , 2 , x + 3 x2 x x2 − x

mcm = x 2 ( x − 1)

2

2

2

2

x ( x − 1)

2x2 − 2x

x ( x − 1)

a (a − b

[8 (a [8 (a

2

2

(x (x

x ( x − 1)

] [8 (a − b )] ÷ (4a − 4b) = 2 (a + b)

2

2

8 (a − b

)

,

2a 2 + 2ab

8 (a − b 2

2

)

,

y

8 (a 2 − b 2 )

Rta.

2

+ xy) = y

x ( x + y) x x + xy = = xy xy ( x + y ) xy ( x + y ) 2

2

y y 3 3x = = ; x 2 + xy xy ( x + y ) xy + y 2 xy ( x + y ) x + xy

xy ( x + y )

,

y

xy ( x + y )

,

)

,

3x

a 2 + ab

a (a 2 − b 2 )

Rta.

3

mcm = x 2 − 1

− 1) ÷ ( x + 1) = x − 1

− 1) ÷ ( x − 1) = x + 1

(x

2

− 1) ÷ ( x 2 − 1) = 1

3x 2 − 3x x 3 + x 2 x3 , 2 , 2 Rta . 2 x −1 x −1 x −1

⇒

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xy ( x + y )

n (m + n) n mn + n2 = = 2 2 m − mn m (m − n ) m (m2 − n2 ) 2

2

⇒

2

2

m (m − n) m m2 − mn = = ; m2 + mn m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 )

a 2b − b 3

[xy (x + y)]÷ xy = x + y [xy (x + y)] ÷ (x [xy (x + y)] ÷ (xy + y ) = x

2

a (a − b 2

m 1 = ; m2 − n 2 m (m2 − n 2 )

3

2

a−b

[m (m − n )] ÷ (m − n ) = m [m (m − n )] ÷ (m + mn) = m − n [m (m − n )] ÷ (m − mn) = m + n

18. xy , x 2 + xy , xy + y 2 mcm = xy ( x + y) x

2

]

2 2 b b (a − b ) a 2b − b 3 = = 2 2 8 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 )

2

)

,

− b2 ) ÷ 8 = a 2 − b2 1 m n mcm = m (m2 − n2 ) , , 21. m2 − n 2 m2 + mn m2 − mn

2a (a + b) 2a 2 + 2ab a = = ; 4a − 4b 8 (a 2 − b 2 ) 8 (a 2 − b 2 )

2

2

2 x 2 x ( x + 1) x 3 + x 2 x3 x3 = 2 = 2 ; 2 = 2 x−1 x −1 x −1 x −1 x −1

Rta.

2

− b 2 ) ÷ (2a + 2b) = 4 (a − b)

4 (a − b)

− ab) = a + b

3x 3x ( x − 1) 3x 2 − 3x = 2 = 2 x+1 x −1 x −1

4 (a − b) 1 = ; 2a + 2b 8 (a 2 − b 2 )

⇒

+ ab) = a − b

3x x x 20. x + 1 , x − 1 , x 2 − 1

mcm = 8 (a 2 − b 2 )

1 a b 17. , , 2a + 2b 4a − 4b 8

2

2

x 2 + 3x

,

2

2

2

x + 3 x ( x + 3) x 2 + 3x = = x 2 − x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) ,

2

2a

⇒

2 2 2 (x − x) 2 x 2 − 2 x = = ; x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)

3x − 3

2

] − b )] ÷ (a − b )] ÷ (a 2

a (a + b) a a 2 + ab = = a − ab a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 )

3 3x − 3 = = ; x 2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)

2

2

− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = a

2

3( x − 1)

⇒

2

2 2a 1 a−b = = ; 2 a 2 − b 2 a (a 2 − b 2 ) a + ab a (a 2 − b 2 )

Rta.

[x (x − 1)] ÷ x = x − 1 [x (x − 1)]÷ x = x (x − 1) [x (x − 1)] ÷ (x − x) = x 2

2 1 a mcm = a (a 2 − b 2 ) , , a 2 − b 2 a 2 + ab a 2 − ab

Rta.

⇒

m

m (m − n 2

2

)

,

m2 − mn

m (m2 − n 2 )

n+1 n−1 n +1 , , 22. n − 1 n + 1 n2 − 1

,

n (m + n)

m (m2 − n 2 )

Rta.

2

(n (n

2

mcm = n 2 − 1

− 1) ÷ (n − 1) = n + 1

(n − 1) ÷ (n − 1) = 1 n + 1 (n + 1)(n + 1) (n + 1) n − 1 (n − 1) = = = ; 2

− 1) ÷ (n + 1) = n − 1

2

2

2

n−1

n −1 2

n −1 2

2

n+1

n −1 2

;

(n + 1) , (n − 1) , n2 + 1 Rta. n 2 + 1 n2 + 1 = 2 ⇒ 2 2 n −1 n −1 n −1 n2 − 1 n2 − 1 2

2

23.

a 2 − b 2 a 2 + b2 a 4 + b4 , , a 2 + b2 a 2 − b2 a 4 − b4

(a (a

4 4

mcm = a 4 − b 4

− b 4 ) ÷ (a 2 + b 2 ) = a 2 − b 2 − b ) ÷ (a − b ) = a + b 4

2

2

2

2 2 a 2 − b 2 (a − b ) 2 2 = 4 a +b a − b4

(a

2

4

27.

[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (a + 4) = (3a + 5)(3a − 5) [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (9a − 25) = a + 4 [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (3a − 5) = (a + 4)(3a + 5)

− b ) ÷ (a − b ) = 1 4

4

2

4

2 2 a 2 + b 2 (a + b ) ; 2 2 = 4 a −b a − b4

2

2

;

3 (3a + 5)(3a − 5) 3 27a 2 − 75 = = ; a + 4 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)

a 4 + b4 a 4 + b4 = a 4 − b 4 a 4 − b4

(a ⇒

− b2 ) (a 2 + b2 ) , 4 4 a −b a 4 − b4 2

2

2

2 (a + 4) 2a + 8 2 = = ; 9a 2 − 25 (a + 4) (3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)

a 4 + b4 Rta. a 4 − b4

3x x−1 1 24. x − 1 , x + 2 , x 2 + x − 2

5 (a + 4)(3a + 5) 5 15a 2 + 85a + 100 = = 3a − 5 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)

mcm = x 2 + x − 2

2 2

+ x − 2) ÷ ( x + 2 ) = x − 1

[(x + 2)(x [(x + 2)(x [(x + 2)(x

x − 1 ( x − 1) 1 1 = = ; 2 x + 2 x2 + x − 2 x + x − 2 x2 + x − 2 2

( x − 1) , 1 3x 2 + 6 x , 2 x + x−2 x2 + x − 2 x2 + x − 2

Rta.

26.

,

2x

10( x + 3)

⇒

,

2x − 1 3x + 1 4x + 3 , , 3x + 12 6 x + 24 x+ 4

x−1

10( x + 3)

29.

Rta.

mcm = 6( x + 4)

[6(x + 4)]÷ (x + 4 ) = 6 [6(x + 4)]÷ [3(x + 4 )]= 2 [6(x + 4)]÷ [6 (x + 4 )] = 1 2 x − 1 6 (2 x − 1) 12 x − 6 = = ; x + 4 6 ( x + 4) 6( x + 4)

12 x − 6

,

6x + 2

6( x + 4)

2

− 25)

Rta.

2

2

2

] + x − 6)] ÷ ( x + x − 6)] ÷ ( x

+ x − 6) ÷ ( x 2 − 4) = x + 3 2

2

(x + 1)(x + 3)

+ x − 6) = x + 2

+ 5x + 6) = x − 2

(x + 2) 3x − 6 x Rta. , (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) 2

x2 + 4x + 3

,

2

2

2

2

mcm = (a + 5)(a 2 − 7a + 12)

[(a + 5)(a [(a + 5)(a [(a + 5)(a

2

2

] − 7a + 12)] ÷ (a − 7a + 12)] ÷ (a

− 7a + 12) ÷ (a 2 + a − 20) = a − 3 2

− 7a + 12 ) = a + 5

+ 2a − 15) = a − 4 + − a 3 a 3) ( )( a+3 a −9 = = ; + a − 20 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 5a (a + 5) 5a 5a + 25 = = ; − 7a + 12 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 1)(a − 4) = a − 3a − 4 a+1 = + 2a − 15 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3) 2

2

2

2

2

a2

4x + 3 4x + 3 = 6x + 24 6( x + 4) 6( x + 4)

(a + 4)(9a

a+3 5a a+1 , 2 , 2 a 2 + a − 20 a − 7a + 12 a + 2a − 15

a2

3x + 1 2 (3x + 1) 6x + 2 = = ; 3x + 12 6 ( x + 4) 6( x + 4)

⇒

15a 2 + 85a + 100

3x ( x − 2 ) 3x 3x 2 − 6 x = = 2 x + 5x + 6 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)

x x−1 x−1 2x = = ; 5x + 15 10( x + 3) 10 x + 30 10( x + 3) 10( x + 3)

− 25)

,

2

x 5x ( x + 3) 5x 2 + 15 = = 2 10( x + 3) 10( x + 3)

5x 2 + 15

(a + 4)(9a

2

2

[10(x + 3)] ÷ 2 = 5(x + 3) [10(x + 3)] ÷ [5(x + 3)] = 2 [10(x + 3)] ÷ [10(x + 3)] = 1

⇒

2a + 8

(x + 2)(x + 2) = (x + 2) x+2 = ; x 2 + x − 6 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)

x−1

25. 2 , 5x + 15 , 10 x + 30 mcm = 10( x + 3) x

− 25)

,

x2 + 4x + 3 x+1 = = ; 2 2 x − 4 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)

2

x

(a + 4)(9a

2

x+1 x+ 2 3x mcm ( x + 2)( x 2 + x − 6) , , 28. 2 x − 4 x 2 + x − 6 x 2 + 5x + 6

+ x − 2 ) ÷ ( x 2 + x − 2) = 1

3 x 3x ( x + 2 ) 3x 2 + 6 x = = ; x − 1 x2 + x − 2 x2 + x − 2

⇒

27a 2 − 75

⇒

( x 2 + x − 2) ÷ ( x − 1) = x + 2 (x (x

2 5 a , , mcm = (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) a + 4 9a 2 − 25 3a − 5

2

2

a2 ,

4x + 3

6( x + 4)

Rta.

⇒

2

a2 − 9

5a 2 + 25

a 2 − 3a − 4

(a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) ,

,

Rta.

30.

a+1 2a 1 , , a3 − 1 a2 + a + 1 x − 1

2x − 3

mcm = a 3 − 1

3

3

3

2

2

2

2

a3 − 1 a3 − 1

a2 + a + 1

a3 − 1

2 (2 x − 3) 2x − 3 4x − 6 = = ; 6 x 2 + 7 x + 2 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)

a3 − 1

1 a + a+1 a + 1 2a 2 − 2 a 2 + a + 1 Rta. , , 3 = ⇒ 3 a −1 a−1 a3 − 1 a − 1 a3 − 1 2

6 (3x + 2) 18 x + 12 3 = = ; 2 x + 1 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)

mcm = 3 (x 3 − 1)

1 1 2 31. , , x − 1 x3 − 1 3

2 x − 1 (2 x − 1)(2 x + 1) 4x2 − 1 = = 6 x + 4 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)

[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3(x + x + 1) [3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3 [3(x − 1)] ÷ 3 = x − 1 3

2

3

3

3

⇒

3

2 1 3 ( x + x + 1) 3x 2 + 3x + 3 = = ; x − 1 3 ( x 3 − 1) 3 (x 3 − 1)

1 3 2 2 (x − 1) 2 x − 2 = = ; = x 3 − 1 3 (x 3 − 1) 3 3 (x 3 − 1) 3 (x 3 − 1) 3x 2 + 3 x + 3

3

3

2x3 − 2

3 ( x − 1) 3 (x − 1) 3 ( x 3 − 1) b 3 1 , , 32. 2a 2 + 2ab a 2 x + abx 4ax 2 − 4bx 2 3

,

mcm = 4ax (a − b 2

[4ax (a [4ax (a [4ax (a

,

3

2

2

Rta.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 1 3b ⋅ 2 + 5a 5a + 6b + = = 5a 2 3ab 15a 2b 15a 2b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4 (a − 1) + 2 ⋅ 2a + 3a + 4 4a − 4 + 4a + 3a + 4 11a = = 12 12 12 n 3 2 n ⋅ n + 3m + 2mn 3m + 2mn + n2 + = = 6. 2 + m mn m m2n m2n − + 1 x x 2 1 7. + 2 + 2x x 3ax 2

2

=

2

2

⇒

2

2

6ax 2 − 6bx 2

4ax (a − b 2

2

2

)

a+1

,

2

2

2

4abx − 4b2 x

4ax (a − b 2

2

3 (a + 1)

2

)

,

2

2

a 2 + ab

4ax 2 (a 2 − b2 )

Rta.

3ax (1 − x ) + 6a (x + 2) + 2 6ax 2 2 3ax − 3ax + 6ax − 12a + 2 9ax + 12a − 3ax 2 + 2 = = 6ax 2 6ax 2

, mcm = (a − 1) 33. a − 1 , (a − 1)2 (a − 1)3 1

3

=

(a − 1) ÷ (a − 1) = (a − 1) (a − 1) ÷ (a − 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ; a + 1 = (a + 1)(a − 1) = a − 1 ; 1 = a − 1 (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3 (a + 1) 3a + 3 (a − 1) , a − 1 , 3a + 3 Rta. = ⇒ (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) 3

2

3

2

3

3

2

2

3

2

3

2

3

3

3

3

8.

2a − 3 3x + 2 x − a 10 x (2a − 3) + 3a (3x + 2) + 6 ( x − a ) + + = 3a 10 x 5ax 30ax 20ax − 30 x + 9ax + 6a + 6 x − 6a = 30ax

2

3

)

=

2

2

) (

8a 2b + 3ab 2 ab (8a + 3b) 8a + 3b = = 15a 2b 2 15a 2b 2 15ab a − 1 2a 3a + 4 5. + + 3 6 12

2

2

20b

(

2

2

2.

60ab 4ab − 8b 2 + 3ab − 3a 2 − 3a 2 + 7ab − 8b 2 = = 60ab 60ab 2 2 5ab a + 3b + 3 a 2b − 4ab 2 a + 3b a b − 4ab + = 4. 3ab 5a 2b 2 15a 2b 2 5a 2b + 15ab 2 + 3a 2b − 12ab 2 = 15a 2b 2

2

2

x − 2 3x + 2 3 x − 2 + 2 3x + 2 3x − 6 + 6 x + 4 9x − 2 + = = = 4 6 12 12 12

15a

)

2

b gb g

1.

4b (a − 2b) + 3a (b − a ) 3. a − 2b + b − a =

)] ÷ (2a + 2ab) = 2 x (a − b) − b )] ÷ (a x + abx) = 4 x (a − b) − b )] ÷ (4ax − 4bx ) = a (a + b) 3[2 x (a − b)] 6ax − 6bx 3 = = ; 2a + 2ab 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) b [4 x (a − b)] 4abx − 4b x b ; = = a x + abx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) a (a + b) 1 a + ab = = 4ax − 4bx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) −b

2

4x − 6 18 x + 12 4x2 − 1 , , Rta. 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)

EJERCICIO 126

3

⇒

mcm = 2 (3x + 2)(2 x + 1)

[2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 7 x + 2) = 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (2 x + 1) = 2 (3x + 2) [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 4) = 2 x + 1

(a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ÷ (a + a + 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = a + a + 1 2a (a − 1) 2a − 2 a+1 a+1 2a = = = ; ; 3

2x − 1

3

34. 6 x 2 + 7 x + 2 , 2 x + 1 , 6 x + 4

3

=

29ax − 24 x x (29a − 24) 29a − 24 = = 30ax 30ax 30a

9.

3 x + 2 x2 + 2 + + 5 2x 6x2 =

12.

6 x 2 ⋅ 3 + 15x (x + 2) + 5(x 2 + 2)

x + 2 x2 − 2 2 − x3 + + 3x 5x 2 9x3 =

15x 2 ( x + 2) + 9 x ( x 2 − 2) + 5 (2 − x 3 )

45x 3 15x + 30 x + 9 x 3 − 18 x + 10 − 5x 3 = 45x 3 3 2 19 x + 30 x − 18 x + 10 = 45x 3

30 x 2 2 2 18 x + 15x + 30 x + 5x 2 + 10 = 30 x 2

3

2

2 38 x 2 + 30 x + 10 2 (19 x + 15x + 5) 19 x 2 + 15x + 15 = = 2 30 x 30 x 2 15x 2 1 b 2 − a 2 ab + b 2 x − y 2x + y y − 4x 13. + + 2 2 + + ab ab 3 ab 10. 12 15 30 ab 2 + a (b 2 − a 2 ) + b (ab + b 2 ) 5 (x − y) + 4 (2 x + y ) + 2 ( y − 4 x ) = = a 2b 3 60 2 2 ab + ab − a 3 + ab 2 + b 3 − a 3 + 3ab 2 + b 3 5 x − 5 y + 8 x + 4 y + 2 y − 8 x 5x + y = = = = a 2b 3 a 2b 3 60 60 a + 3b 2a − 3m 3 m − n n − a 2a − m + + 14. 11. + + ab am a mn na am + + − 3m) + 3bm m a b b a 3 2 ( ) ( a (m − n) + m (n − a ) + n (2a − m) = = abm amn am + 3bm + 2ab − 3bm + 3bm am + 2ab + 3bm 1 am − an + mn − ma + 2an − mn an = = = = = abm abm amn amn m

=

EJERCICIO 127 a − 1+ a + 1 2a 1 1 1. a + 1 + a − 1 = a 2 − 1 = a 2 − 1

6.

x + y x − y ( x + y)( x + y ) + ( x − y )( x − y) = + x− y x+ y x2 − y2

(x + y ) + (x − y) 2

2 1 + 2. x+ 4 x−3

=

2( x − 3) + x + 4 2 x − 6 + x + 4 3x − 2 = = 2 = 2 x 2 + x − 12 x + x − 12 x + x − 12

3.

4.

=

3 (2 x + 5) + 6 (1 − x ) 6 x + 15 + 6 − 6 x 21 = = (1 − x)(2 x + 5) (1− x)(2 x + 5) (1 − x)(2 x + 5)

x ( x + y) + x ( x − y) x + xy + x − xy 2x = = = 2 x2 − y2 x2 − y2 x − y2 2

2

2

m+ 3 m+ 2 5. m − 3 + m − 2

=

m2 + m − 6 + m 2 − m − 6

=

2m2 − 12

8.

x ( x − 1) + ( x + 1) x x+1 + = x 2 − 1 ( x − 1)2 (x − 1)2 (x + 1)

=

=

2 3x + = x − 5 x 2 − 25

x2 − x + x 2 + 2 x + 1

=

2 x2 + x + 1

(x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) 2 (x + 5) + 3x 2 x + 10 + 3x 5x + 10 2

x 2 − 25

=

x 2 − 25

2

=

x 2 − 25

x−y 1 3 x + 2y + x − y 4x + y 9. 3x − 2y + 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4 y 2

10.

(m − 2)(m + 3) + (m − 3)(m + 2) (m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2)

x + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 2 x 2 + 2 y 2 = 2 x2 − y2 x − y2 2

7.

x x + x− y x+ y

=

x2 − y2

2

3 6 + 1 − x 2x + 5 =

2

2 (m2 − 6)

2 2 x + a 3a 2 − x 2 ( x − 3a )( x + a ) + 3a − x + 2 2 = 2 2 x + 3a x − 9a x − 9a

(m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2)

=

x 2 + ax − 3ax − 3a 2 + 3a 2 − x 2 x 2 − 9a 2

=

− 2ax 2ax = x 2 − 9a 2 9a 2 − x 2

11.

a a 2 + 1− a 1+ a 2 =

12.

a (1 + a 2 ) + a (1 − a 2 ) 2

2 2 + a 2 − ab ab + b 2

a + a3 + a − a3

=

=

x + x 2 = x (1 + x)

2a 1− a 4

(1− a )(1 + a ) 2b (a + b) + 2a (a − b) = ab (a − b )

(1 − a )(1+ a ) 2

2

2

2

=

x − x 2 = x (1 − x)

1 − x = (1 + x)(1− x)

2

2ab + 2b 2 + 2a 2 − 2ab ab (a 2 − b 2 )

=

=

2a 2 + 2b 2

ab (a 2 − b 2 )

ab + a (3a − b) ab + 3a 2 − ab 3a 2 = = = 2 2 2 2 2 9a − b 9a − b 9a − b 2 a−b+ a+b 1 1 2a 2 = 2 = 14. a 2 − b 2 + a−b a+b a−b a+b a−b

(

3 x + y2 2

) (

)( ) ( )( 3(x + y) + 2 ( x + y ) 2 + = + x y ( ) (x + y )(x + y) 2

2

2

=

(x

=

2

=

)

2

=

2

2

+y

2

=

2

ax = ax ax − x = x (a − x )

=

+ y 2 )( x + y )

20.

2

17.

ax (a − x)

a 2 + 2a + 1 = (a + 1)

(a + 1)

2

= =

=

2 x + 4 = 2 ( x + 2) 2 x − 4 = 2 ( x − 2)

x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)

= = =

21.

3 (x − 2) + ( x − 1)( x + 2) + 2 ( x + 8) 2 ( x 2 − 4)

3x − 6 + x 2 + x − 2 + 2 x + 16 2 ( x 2 − 4)

(x + 2)(x + 4) = x + 4 = − 2 ( x 4) 2 (x + 2)( x − 2) 2 (x − 2)

x 2 + 6x + 8 2

=

2 (x + y) x− y

mcm = (a − 5)(a + 1)

2

+ a (a + 1) + (a + 5)(a − 5)

(a − 5)(a + 1)

2

a 2 + 2a + 1 + a 2 + a + a 2 − 25 2

2

2

x (a − x)

mcm = 2 (x 2 − 4)

(x + y )(x − y )

(a − 5)(a + 1) 3a + 3a − 24 3(a + a − 8) = = (a − 5)(a + 1) (a − 5)(a + 1)

2a

x−1 x+8 3 + + 2x + 4 2x − 4 x2 − 4

2 (x + y )

1 a a+5 + + a − 5 a 2 − 4a − 5 a 2 + 2a + 1 a − 5= a − 5

2

=

mcm = x 2 − y 2

2 2 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy 2 (x + 2 xy + y ) = 2 2 2 2 x −y x −y

a 2 − 4a − 5 = (a − 5)(a + 1)

mcm = ax (a − x )

x+ 2

x (1− x)

x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xy x2 − y2

2

2a 2

(x + 1)(x + 2) =

x (1− x)(1+ x)

x2 − y2

)(x + y)

ax (a − x )

ax (a − x )

=

2

x 2 + (a + x)(a − x ) + a 2 x2 + a2 − x2 + a2

x (1− x 2 )

(x − y )(x − y ) + (x + y )(x + y ) + 4 xy

2

=

2 + x 2 + 3x

=

x a+ x a + + a 2 − ax ax ax − x 2

a 2 − ax = a (a − x )

x (1 − x 2 )

2

5x 2 + 6 xy + 5y 2

(x

1 − x + 1+ x + x ( x + 3)

x− y x+ y 4 xy + + 19. x + y x − y x2 − y2

3x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2

=

16.

2

2

mcm = x (1− x 2 )

2

ab a 13. + 9a 2 − b 2 3a + b

15.

x+3 1 1 + + x + x 2 x − x2 1− x 2

18.

2

3 2 1 − 85a + + a 5a − 3 25a 2 − 9 = =

3 (25a 2 − 9) + 2a (5a + 3) + a (1 − 85a ) a (25a 2 − 9)

75a 2 − 27 + 10a 2 + 6a + a − 85a 2

x+1

x− 3

a (25a 2 − 9) x− 2

22. 10 + 5x − 10 + 2 = =

mcm = a (25a 2 − 9)

7a − 27

=

a (25a 2 − 9)

mcm = 10 ( x − 2)

(x + 1)(x − 2) + 2 (x − 3) + 5(x − 2)( x − 2) 10 ( x − 2) x 2 − x − 2 + 2 x − 6 + 5x 2 − 20 x + 20 10 ( x − 2)

=

6 x 2 − 19 x + 12 10 ( x − 2)

23.

x+5 x+ 4 x−3 + + x + x − 12 x 2 + 2 x − 15 x 2 + 9 x + 20

27.

2

x 2 + x − 12 = ( x + 4)( x − 3)

x2 − 4 1 3 + + x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1

x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)

x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) 2

=

x + 9 x + 20 = ( x + 5)( x + 4) 2

mcm = ( x + 5)( x + 4)( x − 3) = = =

=

( x + 5)(x + 5) + (x + 4)(x + 4) + (x − 3)(x − 3) ( x + 5)(x + 4)(x − 3) x 2 + 10 x + 25 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9 3x 2 + 12 x + 50

=

x 1 1− 2 x 2 + 3 + 24. x − 2 x − 8 x2 + 2x + 4

=

x − 8 = ( x − 2)( x + 2 x + 4) mcm = x − 8

25.

2

3

=

x + 2 x + 4 + 1 − 2 x + x ( x − 2) x3 − 8

=

− x2 + 2x + 5+ x2 − 2x 5 = 3 x3 − 8 x −8

2

a a+1 2 + + a + 1 (a + 1)2 (a + 1)3

mcm = (a + 1)

3

=

3

(a + 1) 3a + 6a + 3 3(a + 2a + 1) 3 (a + 1) = = = (a + 1) (a + 1) (a + 1)

2

x+1

2x

3

=

3 a+1

x−2 x− 3 2x − 1 + + 2 x 2 − 5x − 3 2 x 2 − 3 x − 2 x 2 − 5 x + 6

= =

1

26. 3x 2 + 11x + 6 + x 2 − 9 + 3x + 2

=

3x + 11x + 6 = ( x + 3)(3x + 2) 2

x − 9 = (x + 3)( x − 3)

(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x + 5)(x + 2) = x + 5 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 3)

mcm = ( x − 3)( x − 2)(2 x + 1)

3

3

x 2 + 7 x + 10

x 2 − 5x + 6 = (x − 3)( x − 2)

2a 2 + 4a + 2 + a 2 + a + a + 1 2

=

2 x 2 − 3x − 2 = ( x − 2)(2 x + 1)

(a + 1)

3

x 2 + 5x + 6 + 2 x + 4

2 x 2 − 5x − 3 = ( x − 3)(2 x + 1)

2 (a + 1) + a (a + 1) + a + 1

2

(x + 2)(x + 3) + x + 3 + x + 1 (x − 1)(x + 2)(x + 3)

29.

2

=

2 x ( x + 1) 2x2 + 2x 2x = = 3 x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1

mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)

( x + 5)(x + 4)(x − 3)

2

x 2 − 4 + x 2 − x + 1 + 3x + 3 x3 + 1

x+1 1 1 + 28. x − 1 + (x − 1)(x + 2) (x − 1)(x + 2)(x + 3)

(x + 5)( x + 4)( x − 3)

3

mcm = x 3 + 1

(x − 2)(x − 2) + (x − 3)(x − 3) + (2 x − 1)(2 x + 1) (x − 3)(x − 2)(2 x + 1) x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6x + 9 + 4 x 2 − 1

(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)

6 x 2 − 10 x + 12

(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)

2

3 x + 2 = 3x + 2 = =

2 x ( x − 3) + ( x + 1)(3x + 2) + x 2 − 9

(x

2

− 9)(3x + 2)

2 x 2 − 6 x + 3 x 2 + 5x + 2 + x 2 − 9

(x

2

− 9)(3x + 2)

6x − x − 7 2

=

mcm = ( x 2 − 9)(3x + 2)

(x

2

− 9)(3x + 2)

30.

a− 2 a+ 3 a+1 + + a−1 a+ 2 a− 3 = = =

mcm = (a − 1)(a + 2)(a − 3)

(a + 2)(a − 2)(a − 3) + (a − 1)(a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1)(a + 2) (a − 1)(a + 2)(a − 3) a 3 − 3a 2 − 4a + 12 + a 3 − a 2 − 9a + 9 + a 3 + 2a 2 − a − 2

(a − 1)(a + 2)(a − 3)

3a 3 − 2a 2 − 14a + 19

(a − 1)(a + 2)(a − 3)

EJERCICIO 128 7.

4 ( x − 1) − 3 ( x − 2) − 2 ( x + 3) 12 x+4 4 x − 4 − 3x + 6 − 2 x − 6 − x − 4 = = =− 12 12 12

x − 3 x + 2 2 ( x − 3) − (x + 2) 2 x − 6 − x − 2 x − 8 − = = = 4 8 8 8 8 a + 5b b − 3 2. − a2 ab b (a + 5b) − a (b − 3) ab + 5b 2 − ab + 3a 3a + 5b 2 = = = a 2b a 2b a 2b

=

1.

3.

2 1 2 ( 2m) − ( 3n) 4m − 3n − = = 3mn 2 2m2 n 6m2 n 2 6m2 n 2

4.

a − 3 4 − 3ab − 5ab 3a 2b3 =

8.

20a 2 12a − 4a − 2a − 4a 2 − 1 4a 2 − 2a − 1 = = 20a 2 20a 2

3ab2 (a − 3) − 5(4 − 3ab 2 )

9.

2 3

6 y ( y − 2 x ) − 5x ( x − 3 y ) 120 xy

=

6 y 2 − 12 xy − 5x 2 + 15xy 6 y 2 + 3xy − 5x 2 = 120 xy 120 xy

EJERCICIO 129

x − 3− x + 4

=

3 x − 1 x2 + 2x + 3 − − 5x 3x 2 15x 3

3x 2 ( 3) − 5x ( x − 1) − ( x 2 + 2 x + 3) 15x 3 2 2 9 x − 5x + 5x − x 2 − 2 x − 3 = 15x 3 =

2 3x 2 + 3x − 3 3 ( x + x − 1) x 2 + x − 1 = = 3 15x 15x 3 5x 3 1 2+ b 5 − − 10. 2a 3ab 6a 2b 3 3ab3 − 2ab 2 (2 + b) − 5 = 6a 2b 3 3 3ab − 4ab 2 − 2ab 3 − 5 ab 3 − 4ab 2 − 5 = = 6a 2b 3 6a 2b 3

=

mcm = m2 − n2

(m − n)(m − n) − (m + n)(m + n)

a 2 + ab = a (a + b)

1

(x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3)

m− n m+ n 2. m + n − m − n =

=

2

a+b b− a − 4. 2 a + ab ab + b 2

mcm = (x − 4)(x − 3)

1 1 − x−4 x−3

x − 3 − ( x − 4)

4a 2 (3) − 2a (2a + 1) − (4a 2 + 1) 2

2

=

=

3 2a + 1 4a 2 + 1 − − 5 10a 20a 2 =

15a b 3a 2b 2 − 9ab2 − 20 + 15ab2 3a 2b 2 + 6ab2 − 20 = = 15a 2b3 15a 2b 3 2a + 3 a − 2 − 5. 4a 8a 2 (2a + 3) − (a − 2) 4a + 6 − a + 2 3a + 8 = = = 8a 8a 8a y − 2 x x − 3y − 6. 20 x 24 y

1.

x −1 x − 2 x + 3 − − 3 4 6

=

mcm = ab (a + b)

b (a + b) − a (b − a ) ab (a + b)

m+ n m + n 2

=

ab + b 2 − ab + a 2 ab (a + b)

(m + n)(m + n) − (m

2

2

− = 5. m − n m2 − n 2

m2 − n 2

ab + b 2 = b (a + b)

;

=

=

+n

2

m2 − n 2

a 2 + b2

ab (a + b)

)

2mn m2 + 2mn + n2 − m2 − n 2 = 2 2 m2 − n 2 m −n

m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n 2 − 4mn 4mn = 2 = m2 − n 2 m − n 2 n2 − m2 6. 1 − 1 x + x2 = x x + 1 ; x − x2 = x 1− x x + x2 x − x2 1 − x 1 + x (1 − x)(1 − x ) − (1 + x )(1 + x) 3. − = mcm = x 1 − x 2 1 + x 1− x 1− x 2 1− x − 1+ x 1− x − 1− x − 2x −2 2 1 − 2 x + x 2 − 1− 2 x − x 2 − 4 x 4x = = = = = = = 2 = 2 x 1− x2 x 1− x 2 x 1− x 2 1− x x − 1 1− x 2 1− x 2 x 2 − 1 =

(

(

(

)

)

)

(

(

(

)

(

)

)

)

7.

a+ x

x

−

(a − x) a − x (a + x)(a + x) − x (a − x) = (a − x) (a + x) 2

2

13.

2

6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1) 4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1)

2

= 8.

a 2 + 2ax + x 2 − ax + x 2

(a − x) (a + x) 2

=

x+3 1 − 6x 2 + x − 2 4 x 2 − 4 x + 1

a 2 + ax + 2 x 2

(a − x) (a + x)

=

2

a +1 1 − 6a + 3 12a + 6

=

6a + 3 = 3 (2a + 1) ; 12a + 6 = 6 (2a + 1) mcm = 6 (2a + 1)

a−4 a+3 9. a 2 − 6a + 9 − a 2 + a − 12 a − 6a + 9 = (a − 3)

2 x 2 + 5x − 3 − 3x − 2

(3x + 2)(2 x − 1)

2

x+2

=

2x2 + 2x − 5

(3x + 2)(2 x − 1)

2

mcm = 8 (x 2 − 1)

2 (x − 1)( x − 1) − ( x + 2)( x + 1) 8 ( x 2 − 1)

2 x − 4 x + 2 − x 2 − 3x − 2

x2 − 7x

2

=

; a + a − 12 = (a + 4)(a − 3)

2

2

x−1

=

2

(2 x − 1)(x + 3) − (3x + 2) (3x + 2)(2 x − 1)

14. 4 x + 4 − 8 x − 8

2 (a + 1) − 1 2a + 2 − 1 2a + 1 1 = = = = 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6

2

mcm = (2 x − 1) (3x + 2)

2

2

mcm = (a − 3) (a + 4)

8 (x 2 − 1)

=

8 ( x 2 − 1)

2

(a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) = (a + 4)(a − 3)

15.

2

=

a 2 − 16 − a 2 + 9

(a + 4)(a − 3)

2

=

=

−7

(a + 4)(a − 3)

2

a 2 + 4ab − 3b 2 b − 10. a 2 − 9b 2 a + 3b

mcm = a − 9b 2

16.

2

a 2 + 4ab − 3b 2 − b (a − 3b) = a 2 − 9b 2 = =

a (a + 3b) a 2 + 3ab a = = a 2 − 9b 2 (a + 3b)(a − 3b) a − 3b

x x+1 − 11. 2 x − 1 ( x − 1)2 = =

2

− 3x − 1

(x + 1)(x − 1)

2

=−

2

mcm = (a − b) (a + ab + b 3

2

3

2

2

)

18.

2

2

2

a − 2ab + b − a − ab − b 2

2

(a − b) (a 3

2

2

+ ab + b

2

)

− 3ab

2

=

y

=

y (x − y)

=

1 x− y

mcm = a (a 2 − b2 )

ab − b (a − b) ab − ab + b 2 b2 = = 2 2 2 2 a (a − b ) a (a − b ) a (a 2 − b 2 )

; 4a 2 + 12a + 9 = (2a + 3)

2

=

(2a + 3)(2a − 3) − 3(a − 1) 3(2a + 3)

=

4a 2 − 9 − 3a + 3 4a 2 − 3a − 6 = 2 2 3(2a + 3) 3(2a + 3)

3x + 1

(x + 1)(x − 1)

(a − b) − (a + ab + b ) (a − b) (a + ab + b ) 2

=

=

y (x − y)

2

(x + 1)(x − 1) 2

x− x+ y

mcm = 3(2a + 3)

x ( x − 1) − ( x + 1)( x + 1)

(x + 1)(x − 1)

=

6a + 9 = 3(2a + 3)

mcm = ( x − 1) ( x + 1)

x2 − x − x2 − 2x − 1

y (x − y)

2a − 3 a−1 − 6a + 9 4a 2 + 12a + 9

2

1 1 − 12. 3 a − b3 (a − b)3 =

17.

x − (x − y )

b b − a 2 − b 2 a 2 + ab =

a 2 + 4ab − 3b 2 − ab + 3b 2 a 2 − 9b 2

mcm = y ( x − y )

1 x − xy − y 2 y

(a − b) (a 3

2

+ ab + b 2 )

2

x+1 x−1 − x2 + x + 1 x2 − x + 1 = =

mcm = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)

x + 1 − ( x − 1)

(x

2

+ x + 1)( x 2 − x + 1)

(x

2

+ x + 1)( x 2 − x + 1)

x + 1− x + 1

=

(x

2

2

+ x + 1)( x 2 − x + 1)

a −1 1 1 − − 19. 2 a + a 2a − 2 2 a + 2 =

=

3 x x 24. x 2 + x − 2 − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 5x + 6 x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)

2 (a − 1)(a − 1) − a (a + 1) − a (a − 1)

x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1)

2a(a − 1)

x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2)

2

2 (a − 2a + 1) − a − a − a + a 2

=

mcm = 2a(a − 1) 2

2

mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3)

2

2a(a 2 − 1)

=

2a 2 − 4 a + 2 − 2a 2 2a(a 2 − 1)

=− = −

2a(a 2 − 1)

2 (2a − 1)

25.

= −

2a − 1 1 − 2a = a (a 2 − 1) a (a 2 − 1)

=

=

6 (a 2 + 1)(a − 1) − 3 (a 2 + 1)(a + 1) − 2 (a 2 − 1)

=

6 (a 3 − a 2 + a − 1) − 3(a 3 + a 2 + a + 1) − 2a 2 + 2

=

22.

23.

3

x3

(x − 1)(x − 1) 3

2a + 2ab + 2b 2 = 2 (a 2 + ab + b 2 ) 2a − 2b = 2 (a − b)

mcm = 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

3a − 11a + 3a − 7 2

24 (a − 1) 4

= mcm = x ( x − y )

=

x (x − y)

=

y− x+ y− x x (x − y)

2 y − 2x

x (x − y)

=

2 ( y − x)

x (x − y)

=−

a − (a + b) − a a (a + b)

=

2 (x − y)

x (x − y)

−a−b

a (a + b)

x + y − (x − y) − 2 y x (x − y

2

)

2 x

=−

=

a+b

a (a + b)

x (x − y 2

2

)

=

2a + 2b − a 2 + b 2 − a 2 − ab − b 2 2 (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) 2b 2 − ab

2 (a − b)(a + ab + b 2

2

=

2b 2 − ab

) 2 (a

3

− b3 )

3a a−1 10a − 1 − − 2a 2 − 2a − 4 4a 2 + 8a − 32 8a 2 + 40a + 32

4a 2 + 8a − 32 = 4 (a 2 + 2a − 8) = 4 (a + 4)(a − 2)

8a 2 + 40a + 32 = 8 (a 2 + 5a + 4) = 8 (a + 4)(a + 1)

=−

mcm = 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)

1 a

mcm = x (x 2 − y 2 )

x− y− x+ y

2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

2

2a 2 − 2a − 4 = 2 (a 2 − a − 2) = 2 (a − 2)(a + 1)

mcm = a (a + b )

1 1 2y − − x 2 − xy x 2 + xy x 3 − xy 2 2

27. =−

2 (a 2 + b 2 ) − (a + b)(a − b) − (a 2 + ab + b 2 ) 2

y − (x − y) − x

a 1 1 − − a + ab a a + b

=

(x − 1)(x − 1)

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)

2

=

3x 2 − 6x + 3 − x 3 − x 2 − x − 2 x 2 − 2 x − 2 − 1 + 9 x

2

6a 3 − 6a 2 + 6a − 6 − 3a 3 − 3a 2 − 3a − 3 − 2a 2 + 2

1 1 y 21. x − xy − x − x − y

=

3

a 2 + b2 a+b 1 26. a 3 − b 3 − 2a 2 + 2ab + 2b 2 − 2a − 2b

24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)

2

=

(x − 1)(x − 1)

=−

24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)

3

3( x − 1) − (x + 2)(x 2 + x + 1) − (1 − 9 x) 2

mcm = 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)

=

x+ 2 3 1− 9 x − − mcm = ( x 3 − 1)( x − 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 (x 3 − 1)( x − 1) =

1 1 1 20. − − 4a + 4 8a − 8 12a 2 + 12

=

( x + 2)( x − 1)( x + 3)

x 2 + 3 x − 3x − 6 − x 2 + x x−6 = = 2 1 3 2 x x x x + − + + ( )( )( ) ( )(x − 1)(x + 3)

4a − 2

2a(a 2 − 1)

x ( x + 3) − 3 ( x + 2) − x ( x − 1)

0

x (x − y 2

2

)

=0

= = =

12a (a + 4) − 2 (a − 1)(a + 1) − (10a − 1)(a − 2) 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)

12a 2 + 48a − 2a 2 + 2 − 10a 2 + 20a + a − 2 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)

69a

8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)

a2 + 9x2 a 1 − 3 − 4a − 12 x a − 27 x 3 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )

28.

2a 2 − 3 a + 1 9a 2 − 14 29. 10a + 10 − 50 − 50a + 50

4a − 12 x = 4 (a − 3x )

10a + 10 = 10 (a + 1)

a 3 − 27 x 3 = (a − 3x)(a 2 + 3ax + 9a 2 )

50 = 50

2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) = 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )

50a + 50 = 50 (a + 1)

mcm = 4 (a 3 − 27 x 3 )

= = =

mcm = 50 (a + 1)

a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4 (a 2 + 9 x 2 ) − 2a (a − 3x)

=

4 (a 3 − 27 x 3 )

=

− 5a 2 + 9ax − 27 x 2

=

4 (a 3 − 27 x 3 )

4 (a − 27 x

3

)

=−

5a 2 − 9ax + 27 x 2 4 (a − 27 x 3

3

50 (a + 1)

10a − 15 − a − 2a − 1 − 9a 2 + 14 2

a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4a 2 − 36x 2 − 2a 2 + 6ax

3

5 (2a 2 − 3) − (a + 1)(a + 1) − (9a 2 − 14)

)

2

50 (a + 1)

− 2a − 2

50 (a + 1)

=−

2 (a + 1)

50 (a + 1)

=−

1 25

EJERCICIO 130 2 3 4x − 7 1. x − 3 + x + 2 − x 2 − x − 6 = = 2.

2 ( x + 2) + 3 ( x − 3) − (4 x − 7) 2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7

(x − 3)(x + 2)

=

4a − 2 + a + 12

x+2

(x − 3)(x + 2)

12 (a + 2)

=

mcm = 3x 2 (x 2 + 1)

3x 2 (x 2 + 1)

=

mcm = 4 (a 2 − 1)

4 (a − 1) 2

2

4 (a − 1) 2

=

3a − 3a + 10 2

=

mcm = ab (a + b)

b (a − b) + (a + b)(a + b) − a 2 ab (a + b)

ab − b 2 + a 2 + 2ab + b 2 − a 2 ab (a + b)

x− y x+ y 4 x2 6. x + y − x − y + x 2 − y 2

=

3ab

ab (a + b)

( x − y)(x − y) − ( x + y)( x + y) + 4 x x −y 2

=

3 a+b

mcm = x 2 − y 2 2

2

4 (a 2 − 1)

4 x (x − y) 4 x 2 − 4 xy 4x = = x2 − y2 ( x + y)( x − y) x + y

mcm = ax (a − x )

x 1 1 7. a 2 − ax + a + x =

4 (a + 3) + 2 (a − 1)(a − 1) + (a − 4)(a + 1) 4a + 12 + 2a − 4a + 2 + a − 3a − 4

=

=

3x 3 + x 3 + x − 3x 2 − 3 4 x 3 + x − 3x 2 − 3 = 3x 2 ( x 2 + 1) 3x 2 (x 2 + 1)

2

a−b a+b a + − a 2 + ab ab ab + b 2

x 2 − 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 + 4 x 2 = x2 − y2

3x 3 + x (x 2 + 1) − 3 (x 2 + 1)

a+ 3 a −1 a−4 + + 4. 2 − + a 1 2a 2 4a − 4 =

5 (a + 2)

5 = = = 12 (a + 2) 12 (a + 2) 12

x 1 1 + − x 2 + 1 3x x 2 =

1 x−3

=

mcm = 12 (a + 2)

5a + 10

5.

=

(x − 3)(x + 2)

a 1 a + 12 − + 3a + 6 6a + 12 12a + 24 =

3.

mcm = (x − 3)( x + 2)

=

x 2 + x (a − x ) + a (a − x ) ax (a − x )

x 2 + ax − x 2 + a 2 − ax ax (a − x )

=

a2

ax (a − x )

=

a

x (a − x )

x+1 x+4 x+5 8. x 2 − x − 20 − x 2 − 4 x − 5 + x 2 + 5x + 4

12.

x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4)

a − 1 a − 2 a 2 + 2a − 6 − + 3a + 3 6a − 6 9a 2 − 9

x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1)

=

mcm = ( x − 5)(x + 4)( x + 1)

=

x 2 + 5x + 4 = ( x + 4)( x + 1)

(x + 1)(x + 1) − (x + 4)(x + 4) + (x − 5)(x + 5) = (x − 5)(x + 4)(x + 1) = = =

=

x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 8 x − 16 + x 2 − 25

(x − 5)(x + 4)(x + 1)

(x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 10)(x + 4) = x − 10 (x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5) (x + 1)

= =

2 (2 x + 1)(2 x − 1) − 8 x 2 + 2 x (3 x + 2) 8 (3x + 2)(2 x − 1)

=

8 (3x + 2)(2 x − 1)

=

6x + 4 x − 2 2

8 (3x + 2)(2 x − 1) 3x 2 + 2 x − 1

=

11.

15.

8 (3x + 2)(2 x − 1) 4 (3x + 2)(2 x − 1) mcm = ax (a + x )

1 1 1 10. ax − a 2 + ax + a + x a + x − x + ax ax (a + x )

=

ax + a

=

=

(x − y)( x 2

(x

x+1

x (a + x )

2

3

2

)(x

− 4y 4y = x4 − y4 y4 − x4

3

2

(a + 6)(a + 2)(a − 4)

a + 2 + 2a + 12 − 3a + 12

(a + 6)(a + 2)(a − 4)

2

+y

2

−y

2

2

)(x

2

+y

3

2

)

2

26

(a + 6)(a + 2)(a − 4) mcm = xy ( x + y )

x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 xy ( x + y)

2

0

=

xy ( x + y )

=0

mcm = a 3 + 1

=

a 3 + (a + 1)(a + 3) − (a − 1)(a 2 − a + 1) a3 + 1

=

a 3 + a 2 + 4a + 3 − a 3 + a 2 − a + a 2 − a + 1 3a 2 + 2a + 4 = a3 + 1 a3 + 1

1 2x 3x 2 + 2 − 3 x−1 x −1 x −1 =

)

2

=

(x + y)(x + y) − x (x + 2 y) − y xy ( x + y )

mcm = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) 16.

−y

(x

3

=

=

a + 2 + 2 (a + 6) − 3 (a − 4)

a3 a+3 a−1 + − a + 1 a2 − a + 1 a + 1

+ y 2 ) − ( x + y)( x 2 + y 2 ) + 2 y ( x 2 − y 2 ) 2

5a

=

3

x + xy − x y − y − x − xy − x y − y + 2 x y − 2 y 3

=

2

a ( x + 1)

ax (a + x) ax (a + x )

1 1 2y − + x + y x − y x2 + y2

5a (a − 1)

=

18 (a − 1) 18 (a + 1)(a − 1) 18 (a + 1) 2

x + y x + 2y y − − xy xy + y 2 x 2 + xy

14.

8 x2 − 2 − 8 x 2 + 6x 2 + 4 x

=

5a 2 − 5a

mcm = (a + 6)(a + 2)(a − 4)

mcm = 8 (3x + 2)(2 x − 1)

=

18 (a 2 − 1)

a 2 + 8a + 12 = (a + 6)(a + 2)

16 x − 8 = 8 (2 x − 1)

2 (3x 2 + 2 x − 1)

6a 2 − 12a + 6 − 3a 2 + 3a + 6 + 2a 2 + 4a − 12

a 2 − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2)

6 x 2 + x − 2 = (3x + 2 )(2 x − 1)

=

18 (a 2 − 1)

a 2 + 2a − 24 = (a + 6)(a − 4)

12 x + 8 = 4 (3x + 2)

=

6 (a − 1)(a − 1) − 3 (a − 2)(a + 1) + 2 (a 2 + 2a − 6)

1 2 3 13. a 2 + 2a − 24 + a 2 − 2a − 8 − a 2 + 8a + 12

x 2 − 6 x − 40

2x + 1 x2 2x − + 9. 12 x + 8 6 x 2 + x − 2 16 x − 8

=

mcm = 18 (a 2 − 1)

3

(x + 1)(x

+ x + 1) + 2 x ( x 2 + x + 1) − 3x 2 ( x + 1)

(x − 1)(x 2

2

+ x + 1)

2

(x − 1)(x 2

x + 4x + 1

3

2

=

2

x + x + x + x + x + 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 3x 3 − 3x 2 3

=

2

mcm = ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1)

(x − 1)(x 2

2

+ x + 1)

2

+ x + 1)

a+b 1 3a 2 + 3 3 17. 2 2 − a − ab + b a + b a + b

(a + b)(a + b) − (a =

mcm = a 3 + b 3

1− x2 x2 6x − 2 − 9− x 9 + 6x + x2 9 − 6x + x2

22.

9 − x 2 = (3 + x )(3 − x ) ;

− ab + b 2 ) + 3a 2 3 a + b3

=

2

9 − 6 x + x 2 = (3 − x )

2

2

3a (a + b) 3a + 3ab 3a = = a 3 + b3 (a + b)(a 2 − ab + b2 ) a 2 − ab + b2

2 2x + 3 6 x + 12 18. x − 2 + x 2 + 2 x + 4 − x 3 − 8

= =

mcm = x 3 − 8

=

2 ( x 2 + 2 x + 4) + (2 x + 3)(x − 2) − (6 x + 12) x3 − 8

=

2 x 2 + 4 x + 8 + 2 x 2 − 4 x + 3x − 6 − 6x − 12 x3 − 8

=

4 x − 3x − 10 ( x − 2)(4 x + 5) 4x + 5 = = 2 x3 − 8 x3 − 8 x + 2x + 4

=

3x + 2 5x + 1 4x − 1 19. x 2 + 3x − 10 − x 2 + 4 x − 5 + x 2 − 3x + 2

=

x 2 + 3x − 10 = ( x + 5)(x − 2) ; x 2 + 4 x − 5 = ( x + 5)(x − 1) x 2 − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1);

= =

mcm = (x + 5)( x − 2)( x − 1)

2

18 ( x 2 − 1)

9 x 2 − 9 x − 6 x 2 − 12 x − 6 + 3x 2 − 6 x + 3 − 5x − 5 18 ( x 2 − 1)

2 6 x 2 − 32 x − 8 2 (3x − 16x − 4) 3x 2 − 16 x − 4 = = 18 ( x 2 − 1) 18 ( x 2 − 1) 9 ( x 2 − 1)

=

3

n (n − 1)

=

n2 − n + n 3 − 2n 2 + n − n − n3 + 3n2 − 3n + 1 2n 2 − 4n + 1 = 3 3 n (n − 1) n (n − 1)

(a

2

4a 2 + 4a − 8 − 7a − 2a 2 + 4a + 6 8 (a − 1) 2

2a + 5

4a − 1

− 25)(a + 5) 2

2

=

2a 2 + a − 2 8 (a 2 − 1)

mcm = 120 (2a + 1)

120 (2a + 1)

2 (4a − 1) 4a − 1 = = 120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 60 (2a + 1) 8a − 2

2

1

3

26. 2 x 2 + 5x + 3 − 2 x 2 − x − 6 + x 2 − x − 2 2 x 2 + 5x + 3 = (2 x + 3)( x + 1)

2 x 2 − x − 6 = (2 x + 3)( x − 2 )

2

x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)

mcm = (2 x + 3)( x + 1)( x − 2)

− 25)(a + 5) 4

=

120 (2a + 1)

2

a − 25 − a + 10a − 25 + a + 10a + 25

(a

8 (a 2 − 1)

2

2

4

4 (a + 2)(a − 1) − 7a − 2 (a − 3)(a + 1)

12a − 36 + 12a + 30 − 16a + 4

mcm = (a − 25)(a + 5) 4

2

4

mcm = 8 (a 2 − 1)

12 (a − 3) + 6 (2a + 5) − 4 (4a − 1)

a − 25 − (a − 5)(a − 5) + (a + 5)(a + 5) 4

=

=

3

4

a+2 a−3 7a − − 2a + 2 8a 2 − 8 4a − 4

=

mcm = n (n − 1)

mcm = 18 ( x 2 − 1)

9 x ( x − 1) − 6 ( x + 1)( x + 1) + 3( x − 1)( x − 1) − 5 ( x + 1)

=

3

1 a2 − 5 a2 + 5 21. 2 − + 4 2 a + 5 (a 2 + 5) a − 25 =

2

2

a−3

2

2

2

2

(3 + x) (3 − x)

24.

n (n − 1) + n (n − 1) − n − (n − 1)

4

2

− 6 x (3 + x )

25. 20a + 10 + 40a + 20 − 60a + 30

1 1 1 − 20. 2 + 3 − − n n 1 (n + 1) (n − 1)

=

2

9 − 54 x − 55x 2

(x + 5)(x − 2)(x − 1)

1

=

2

2

3x 2 − 3x + 2 x − 2 − 5x 2 + 10 x − x + 2 + 4 x 2 + 20 x − x − 5 2 x + 27 x − 5

2

2

(3 + x) (3 − x)

(3x + 2)(x − 1) − (5x + 1)(x − 2) + (4 x − 1)(x + 5) (x + 5)(x − 2)(x − 1)

(x + 5)(x − 2)(x − 1)

2

9 − x 2 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 6 x 3 − x 4 − 54 x − 36 x 2 − 6 x 3

2

=

mcm = (3 + x ) (3 − x )

;

5 x x+1 x−1 − + − 2 x + 2 3x − 3 6x + 6 18 x − 18

23.

2

=

2

(1− x )(9 − x ) − x (3 − x) = (3 + x) (3 − x)

a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + ab − b 2 + 3a 2 a 3 + b3 2

=

9 + 6 x + x 2 = (3 + x )

a + 20a − 25

(a

4

2

4

− 25)(a + 5) 2

= =

2 ( x − 2) − ( x + 1) + 3 (2 x + 3)

(2 x + 3)( x + 1)(x − 2)

2 x − 4 − x − 1+ 6x + 9

=

7x + 4

(2 x + 3)( x + 1)(x − 2) (2 x + 3)(x + 1)( x − 2)

a−1

a−2

mcm = (a − 2)(a + 3)(a − 1)

1

− + 27. a− 2 a+ 3 a−1

(a − 1) (a + 3) − (a − 2) (a − 1) + (a − 2)(a + 3) (a − 2)(a + 3)(a − 1) a − 2a + 1)(a + 3) − (a − 4a + 4)(a − 1) + a + a − 6 ( = (a − 2)(a + 3)(a − 1) 2

2

=

2

1.

2

mcm = m2 − n2

a 3 + 3a 2 − 2a 2 − 6a + a + 3 − a 3 + a 2 + 4a 2 − 4a − 4a + 4 + a 2 + a − 6

(a − 2)(a + 3)(a − 1)

x2 x2 x 2x 2x 2x − = + = + x − xy y − x x ( x − y) x − y x − y x − y

2.

7a 2 − 12a + 1

2

(a − 2)(a + 3)(a − 1)

mcm = x − y

2 + 3a 2 − 3a a 28. − − 2 − 3a 2 + 3a (2 − 3a )2 = = =

= =

x + 2 x 3x = x− y x− y 3.

(2 + 3a)(4 − 9a ) − (2 − 3a ) − a (2 + 3a ) (4 − 9a )(2 − 3a ) 3

8 − 18a 2 + 12a − 27a 3 − 8 + 36a − 54a 2 + 27a 3 − 2a − 3a 2

=

(4 − 9a )(2 − 3a ) 2

46a − 75a 2

4.

(4 − 9a )(2 − 3a) 2

2 (1 + a

2

2

2

2

5.

=

(2 − x)(1+ x) = 1+ x x (2 − x )( x + 2) x (2 + x)

10 (1 + a

2

2

2

2

=

a 2 + 2ab + b2 − a 2 a (a − b 2

2

)

=

2ab + b2 a (a 2 − b2 )

x−4 x x−4 x − = + x 2 − 2 x − 3 6 − 2 x ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)

)(1− a ) 2

=

)

(a + b)(a + b) − a a (a − b )

mcm = 2 ( x − 3)( x + 1)

2 − 2a + 2 a 2 − 2a 3 + 2 + 2 a + 2a 2 + 2 a 3 − 1 + a 2

10 (1 − a

x (4 − x 2 )

a+b a a+b a + = − a 2 − ab b 2 − a 2 a (a − b) a 2 − b 2

mcm = 10 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) =

)(1 − a) + 2 (1 + a )(1 + a ) − (1 − a ) 10 (1 + a )(1 − a )

4

2 + x − x2

mcm = a (a 2 − b2 )

2

5a 2 + 3

1 x 1 x + = − 2 x − x 2 x 2 − 4 x (2 − x) 4 − x 2

mcm = x (4 − x 2 )

2

1 1 1 + − 5 + 5a 5 − 5a 10 + 10a 2 =

=

mcm = (4 − 9a 2 )(2 − 3a )

2

29.

1 1 m m + = − m − n n2 − m2 m − n m2 − n2 m+n−m n = 2 2 = 2 2 m −n m −n

2

=

=

EJERCICIO 131

2 ( x − 4) + x ( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1) 1

=

2x − 8 + x2 + x

=

x 2 + 3x − 8

2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1)

1

1

1

+ = − 6. 2 x + 2 x − 8 (2 − x)( x + 3) ( x + 4)(x − 2) ( x − 2)( x + 3) mcm = ( x − 2)( x + 3)( x + 4)

x x 1 1 − + − 30. 3 − 3x 3 + 3x 6 + 6 x 2 2 − 2 x 2 3 − 3x = 3 (1 − x )

=

3 + 3x = 3 (1 + x )

;

6 + 6 x 2 = 6 (1 + x 2 ) ; 2 − 2 x 2 = 2 (1 − x 2 )

mcm = 6 (1 + x

2

2

(x − 2)(x + 3)(x + 4)

=

(x − 2)(x + 3)(x + 4) (2 − x)(x + 3)(x + 4)

4

2

2

2

4

= =

2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 + 2 x − 2 x 2 + 2 x 3 + x − x 3 − 3x − 3x 3 6 (1 − x 4 )

2x

x + 3− x − 4

=

)(1 − x ) = 6 (1 − x ) 2 (1 + x )(1 + x ) − 2 (1 + x )(1 − x ) + x (1 − x ) − 3x (1 + x ) = 6 (1 − x ) 2

x + 3 − ( x + 4) (x − 2)(x + 3)(x + 4)

−1

7.

1 2 7 1 2 7 + + = − + 2 x + 2 1 − x 4 x − 4 2 ( x + 1) x − 1 4 (x − 1)

mcm = 4 ( x 2 − 1) =

x

= 6 (1 − x 4 ) 3(1 − x 4 )

1

=

=

2 ( x − 1) − 8 ( x + 1) + 7 ( x + 1) 4 ( x 2 − 1)

2 x − 2 − 8x − 8 + 7 x + 7 4 ( x 2 − 1)

=

x− 3

4 ( x 2 − 1)

8.

1 2 a+1 + + 12. a − 3 (3 − a )(a − 2) (2 − a )(1 − a )

2a 3a 2a 2a 3a 2a + + = + − a + 3 a − 3 9 − a2 a + 3 a − 3 a2 − 9

1 2 a+1 − + a − 3 (a − 3)(a − 2) (a − 2)(a − 1)

mcm = a 2 − 9 =

2a (a − 3) + 3a (a + 3) − 2a a2 − 9

=

mcm = (a − 3)(a − 2)(a − 1)

=

2a 2 − 6a + 3a 2 + 9a − 2a 5a 2 + a = 2 a2 − 9 a −9

=

x + 3y 3y 2 x x + 3y 3y 2 x + 2 = + 2 − 2 − y+ x x − y y − x y + x x − y2 x − y

=

mcm = x 2 − y 2

=

9.

= =

(x + 3y)( x − y) + 3y x −y 2

2

+ x ( x + y)

2

13.

x 2 − xy + 3xy − 3 y 2 + 3 y 2 + x 2 + xy 2 x 2 + 3xy = 2 x2 − y2 x − y2

x

=

−

x− 3

+

=

x + 2x − x + 9 + x + 2x − 3

11.

2

1

2

(x + 3)(x + 2)(x − 1)

=

a+3

(3 − a)(a − 2)(a − 1)

2 1 2 x 2 x ( x + 1) − + 2 x−1 x3 − 1 x + x+1

=

2 x ( x 2 + x + 1) − 2 x 2 ( x + 1) + ( x − 1) x3 − 1

=

2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 3x − 1 = 3 x3 − 1 x −1

x+ 2

x + 4x + 6

(x + 3)( x + 2)(x − 1)

=

3 1 4 3 1 4 − − = − + 2a + 2 4a − 4 8 − 8a 2 2 (a + 1) 4 (a − 1) 8 (a 2 − 1)

x+1

4 x 2 + 6x + 3

=

=

=

12 (a − 1) − 2 (a + 1) + 4 8 (a − 1)

x+ 2 x+1 4 x 2 + 6x + 3 − + 3x − 1 2 x − 3 (2 x − 3)(3x − 1)

mcm = (2 x − 3)(3x − 1)

mcm = 8 (a 2 − 1)

=

−a−3

(a − 3)(a − 2)(a − 1)

14. 3x − 1 + 3 − 2 x + 6 x 2 − 11x + 3

2

=

(a − 3)(a − 2)(a − 1)

mcm = x 3 − 1

(x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 2) x + 2 mcm = ( x + 3)( x + 2)( x − 1) x ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) + ( x + 3)( x − 1) = (x + 3)(x + 2)(x − 1) 2

a 2 − 3a + 2 − a 2 + 1 + 2a − 6

2x 2 x3 + 2x2 1 + + 2 x−1 1− x 3 x + x+1 =

x x− 3 1 + + 10. 2 x + 2 x − 3 (1 − x)( x + 2) x + 2

(a − 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 1) + 2 (a − 3) (a − 3)(a − 2)(a − 1)

2

10 (a − 1) 12a − 12 − 2a − 2 + 4 10a − 10 5 = = = 8 (a 2 − 1) 8 (a 2 − 1) 8 (a − 1)(a + 1) 4 (a + 1)

(x + 2)(2 x − 3) − (x + 1)(3x − 1) + 4 x (2 x − 3)(3x − 1)

2

+ 6x + 3

2 x 2 − 3x + 4 x − 6 − 3x 2 + x − 3x + 1 + 4 x 2 + 6 x + 3

(2 x − 3)(3x − 1) (x + 2)(3x − 1) = x + 2 3x + 5x − 2 = = (2 x − 3)(3x − 1) (2 x − 3)(3x − 1) 2 x − 3 2

EJERCICIO 132 2a 2 6b2 12a 2b2 ⋅ = = ab 1. 3b 4a 12ab 2.

x 2 y 10a 3 9m 90x 2 ya 3m 6a 3y ⋅ ⋅ = = xm 5 3m2 x 3 15x 3m2

5x 2 4y 2 14m 14 ⋅ 5 ⋅ 4x 2my 2 8 ⋅ ⋅ = = 3. 7y 3 7m3 5x 4 49 ⋅ 5x 4m3 y 3 7x 2m2 y 4.

5 2a 3b 10 ⋅ 3ab 3 ⋅ ⋅ = = a b2 10 10ab2 b

2x 3 3a 2 5x 2 15 ⋅ 2a 2 x 5 2x 4 = ⋅ ⋅ = 5. 3 2 3 3 y 7xy 15a 15 ⋅ 7a xy 7ay 3 n2 7a 3m 5n4 7 ⋅ 3 ⋅ 5amn4 ⋅ ⋅ = = 6. 2 2 2 2 6m 10n 14ax 14 ⋅ 6 ⋅10am n x 8mx 7.

8.

x (2 x + 1) 2x2 + x 8 4 2x + = ⋅ = 6 4x + 2 3 2 (2 x + 1) 3 5x + 25 7 x + 7 5( x + 5) 7 ( x + 1) x + 1 ⋅ = ⋅ = 14 10 x + 50 14 4 10 ( x + 5)

9.

1 − x a 2 + a x 2 1 − x a (a + 1) x 2 ⋅ =x 21. a + 1 ⋅ x − x 2 ⋅ a = a + 1 ⋅ x (1 − x) a

m+ n n2 ⋅ mn − n 2 m2 − n 2 =

m+ n

n2

⋅

n (m − n) (m + n)(m − n)

xy − 2 y x + 2 xy + y ⋅ x 2 + xy x 2 − 2 xy 2

10.

= 11.

2

y ( x − 2 y)

=

n

(m − n)

2

=

n m − 2mn + n 2

22.

2

2

(x + y) = y (x + y) = xy + y x x x (x + y) x ( x − 2 y) ⋅

2

2

2

2

2

2

=

2

a 2 − ab + a − b 3 ⋅ 13. a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x (x − 2 y) (x − 2 y) ⋅ x x − 2 xy = = = x + 4 xy + y x ( x + 2 y) ( x + 2 y)( x − 2 y ) ( x + 2 y) 2 x ( x + 1) x ( x − 3) 2 x + 2 x x − 3x ⋅ = ⋅ =1 12. 2x x − 2x − 3 2x (x − 3)(x + 1)

2

2

2

m− n − x m

24. 2a + 2ab

x3 − x x ⋅ 2ax − 2ax a x + b2 x x + 1 3

2

2

⋅

2

2a (a 2 + b2 ) x ( x 2 − 1) x (a + 1)(a − b) ⋅ 3 = 1 = 1 = ⋅ ⋅ =1 2ax ( x − 1) x (a 2 + b2 ) x + 1 (a + 1)(a + 1) 6a (a − b) 2a (a + 1) 2a + 2a (x − y) ⋅ x + x + 1 = (x − y) ⋅ x + x + 1 = x − y 25. a − 5a + 6 ⋅ 6a ⋅ a − 25 3a − 15 a − a − 30 2a − 4 x−1 x − 1 (x − y) (x − 1)(x + x + 1) (a − 3)(a − 2) ⋅ 6a (a + 5)(a − 5) = ⋅ 2a − 2 a − 4a − 5 2 (a − 1) (a − 5)(a + 1) 3 (a − 5) (a − 6)(a + 5) 2 (a − 2) ⋅ = ⋅ 2a − 50 3a + 3 2 (a − 25) 3(a + 1) a (a − 3) a − 3a = = a − 1)(a − 5) ( a−1 a−1 a−6 a−6 = = = 3(a + 5)(a − 5) 3(a + 5) 3a + 15 x − 3xy − 10 y x − 16 y x − 6xy ⋅ ⋅ 26. x − 2 xy − 8 y x + 4 xy x + 2 y 3 ( x + 2) 2 x − 3x − 2 3x + 6 ( x − 2)(2 x + 1) ⋅ = ⋅ =1 6x + 3 x −4 3 (2 x + 1) ( x − 2)( x + 2) (x − 5y)(x + 2 y) ⋅ (x + 4 y)(x − 4 y) ⋅ x (x − 6 y) = x + 2y x − 4 y)( x + 2 y) x (x + 4 y ) ( y + 9 y + 18 5 y − 25 ( y + 6)( y + 3) 5 ( y − 5) ⋅ = ⋅ = y+6 y−5 y−5 5 y + 15 5( y + 3) (x − 5y)(x − 6 y) = x − 11xy + 30 y =

=

2

3

14.

( x − 4)(x + 2) ⋅ x (x + 4) (x − 4)( x + 4) x (x + 1) (x + 2)(x + 2) x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4) 1 = = x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)( x + 1) x + 1 (m + n) − x ⋅ (m − n) − x 23. (m + x) − n m + mn − mx (m + n + x)(m + n − x) ⋅ (m − n + x)(m − n − x) = (m + n + x)(m − n + x) m (m + n − x) ⋅

2

2

2

x 2 − 4 xy + 4 y 2 x2 ⋅ 2 x 2 + 2 xy x − 4y2

2

x ( x + 2)

=

2

2

x2 + 2x x2 − 2x − 8 x2 + 4x ⋅ 2 ⋅ x 2 − 16 x 3 + x 2 x + 4x + 4

2

2

2

2

2

3

2

2

2

15.

2

2

2

2

16.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

17.

2

18.

x + 2y

x + 2 x − 3x 2 x + 3x ⋅ 4 x 2 + 8x + 3 x 2 − x 3

= =

2

2

(2 x + 1)( x − 1)

=

(x + 2a) ⋅ 2a (x − 2a) ⋅ 6 (a + x) 3a ( x − 2a ) a ( x + 1) ( x + 2a )( x + a ) 4 ( x + 2a ) 4 x + 8a = = ax + a a ( x + 1) 2

=

x ( x + 3) x 2 + 3x = 2x + 1 2x + 1

x − 27 a 2 + a + 1 ⋅ a 3 − 1 x 2 + 3x + 9 3

19.

(x − 3)(x + 3x + 9) ⋅ a + a + 1 = x − 3 (a − 1)(a + a + 1) x + 3x + 9 a − 1 2

=

2

x + 2y

x 2 + 4ax + 4a 2 2ax − 4a 2 6a + 6 x ⋅ 2 ⋅ 27. ax + a x + 3ax + 2a 2 3ax − 6a 2

x ( x 2 + 2 x − 3) x (2 x + 3) ⋅ (2 x + 3)(2 x + 1) x ( x − 1) x ( x + 3)( x − 1)

2

2

2

a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b (a + 2b) 2 (a + 2b) 2 ⋅ = ⋅ = 20. 3 3 (a + 2b)3 3 (a + 2b)3 2

a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2 28. 2a 2 + 10a ⋅ a 2 − 36 ⋅ 2a + 18 ⋅ 2a + 22

(a + 9)(a − 9) ⋅ a + 11 ⋅ 2 (a − 6) ⋅ a (a + 5) 2a (a + 5) (a + 6)(a − 6) 2 (a + 9) 2 (a + 11) a (a − 9) a − 9a = = 4 (a + 6) 4a + 24 2

=

2

30. 29.

a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a ⋅ ⋅ a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8

(a + 5)(a + 2) ⋅ (a − 4)(a + 1) ⋅ a (a − 2a − 3) (a − 7)(a + 1) (a + 5)(a − 3) (a − 4)(a + 2) a (a − 3)(a + 1) a (a + 1) a + a = = = (a − 3)(a − 7) a − 7 a − 7

1 x 4 + 27 x x4 + x x2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ x − x + x x − 3x + 9 x x ( x + 3) x − 3 x ( x 3 + 27)

=

a  a   1.  a + b   a − b + 1  

a ab + a a (b + 1) = = b b b

a (b + 1) ab ⋅ = a2 b b+1

 2  1  2.  x − x + 1  x + x + 2    

(x + 2)(x − 1) ⋅ (x + 1) x+2

x+1

 x   1−   1+ 3.  a + x  

2

x+1 x2 − 9

12 x+1

(x + 2)(x + 1) − 12 x+1

x 2 + 3x + 2 − 12 x 2 + 3x − 10 ( x + 5)( x − 2) = = = x+1 x+1 x+1 10 − 3x ⇒ x−2+ x+5

(x − 2)(x + 5) + 10 − 3x = x x+5

⇒

(x + 5)(x − 2) ⋅ x+1

⇒ a+

ab a (a − b) + ab a 2 − ab + ab a2 = = = a−b a−b a−b a−b

⇒ 1−

b2 a 2 − b2 = a2 a2

a 2 a 2 − b 2 (a + b)(a − b) =a+b ⋅ = a−b a2 (a − b)

+ 3x − 10 + 10 − 3x x2 = + x 5 x+5

x 2 ( x − 2) x 3 − 2 x 2 x2 = = x+1 x+1 x+5

x y+ x = y y

⇒ 1+ ⇒ x−

x  a

 ab   b 2  a+   1−  a − b  a2  4. 

2

 x  x2    1+   x − 6.  y  x + y

= ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1

a+ x− x a x ⇒ 1− = = a+ x a+ x a+ x x a+ x ⇒ 1+ = a a a a+ x ⇒ ⋅ =1 a+ x a

⇒

=

x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1) 1 = = = x+2 x+2 x+2 x+2 2

⇒

=

=

x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) 2 ⇒ x− = = = x+1 x+1 x+1 x+1 ⇒ x+

− 3x + 9) ( x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⋅ ⋅ 2 2 2 1 3 9 x − x+ x − x+ (x − 9)(x + 3)

=

⇒ x+ 2−

a (b + 1) − a ab + a − a a ab = = ⇒ a− = b+1 b+1 b+1 b+1 ⇒

(x + 3)(x

2

 12   10 − 3x   x+ 2−   x− 2+  5.  x + 1  x+5 

EJERCICIO 133

⇒ a+

⋅

2

2

2

x ( x 3 + 1)

x ⋅ 2 x ( x − x + 1) x ( x 2 − 3x + 9) ( x + 3) ( x − 3)

=

⇒

x ( x + y) − x 2 x 2 + xy − x 2 x2 xy = = = x+ y x+ y x+ y x+ y

y + x xy ⋅ =x y x+ y

 ax + x 2   x  a+ x−   1+  a + 2x   a + x 7.  ax + x 2 a + 2x

⇒ a+ x−

(a + x)(a + 2 x) − (ax + x ) 2

=

a + 2x

a + 3ax + 2 x 2 − ax − x 2 a 2 + 2ax + x 2 (a + x ) = = a + 2x a + 2x a + 2x x a + x + x a + 2x ⇒ 1+ = = a+ x a+ x a+ x

2

2

=

(a + x)

2

⇒

a + 2x

⋅

a + 2x =a+ x a+ x

 mn   n3   m−   1+ 3  m+ n  m  9. 

 x 3 − 6x   8  x− 2   x + 1−  x − 25   x + 3 8.  2 3 x 3 − 6 x x (x − 25) − (x − 6 x ) ⇒ x− 2 = 2 x − 25 x − 25 x 3 − 25x − x 3 + 6 x − 19 x 19 x = 2 = x 2 − 25 x − 25 25 − x 2

= ⇒ x + 1−

=

x 2 + 4 x + 3 − 8 x 2 + 4 x − 5 (x + 5)( x − 1) = = x+3 x+3 x+3

(5 − x)(x + 3)

=

⇒

=

= =

⇒

2

2a 2 + 5ax + 2 x 2 − 14 x 2 2a 2 + 5ax − 12 x 2 (a + 4 x )(2a − 3x ) = = 2a + x 2a + x 2a + x

a  b  b2     1−   1+ 2 b   a   a − b2 

b+ a a −b a2 a2 a ⋅ ⋅ = = b a (a + b)(a − b) ab b  2  6  1 2+   3−   1+  x + 1  x + 2  x 12. 

a 2 + 5x 2 a + 4x

⇒ 2+

(a − x)(a + 4 x) + a

2

+ 5x 2

a + 4x

a 2 + 3ax − 4 x 2 + a 2 + 5x 2 2a 2 + 3ax + x 2 (a + x )(2a + x ) = = a + 4x a + 4x a + 4x

⇒

(a + 4 x)(2a − 3x) ⋅ (a + x )(2a + x) 2a + x

= (2a − 3x )(a + x ) = 2a 2 − ax − 3x 2

2

2

7.

3

1.

x xy 2x x y ÷ = ⋅ = 3y 2 y 3 3y 2 2x 6

2.

3a 2b 3a 2b 1 3 ÷ a 2b 3 = ⋅ = 2 5x 5x 2 a 2b3 5b 2 x 2 2

3.

4

2

4

a 2x 5 = 6a 2 x 3 ⋅ 2 = 30x 2 a x 5

15m2 20y 2 15m2 38a 3 x 4 3m2a 2 x 5. 19ax 3 ÷ 38a 3 x 4 = 19ax 3 ⋅ 20y 2 = 2y 2 11x 2 y 3 11x 2 y 3 1 x2 4 6. 7m2 ÷ 22y = 7m2 ⋅ 22y 4 = 14m2 y

3 ( x + 2 ) − 6 3 x + 6 − 6 3x 6 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+ 2

⇒ 1+

1 x+1 = x x

2 ( x + 2 ) 3x x + 1 ⋅ ⋅ =6 x+1 x+ 2 x

x − 1 2x − 2 x − 1 6 ÷ = ⋅ =1 3 6 3 2 ( x − 1)

ab (a + 3b) 3a 2 5a 3 3a 2 3b ⋅ = 8. a 2 + 6ab + 9b 2 ÷ a 2b + 3ab 2 = 5(a + 3b) (a + 3b)2 5a 3

an 5m 10m 5m 14an ÷ = ⋅ = 7n3 14an4 7n3 10m4 m2

2 3 4. 6a x ÷

2 ( x + 1) + 2 2 x + 4 2 ( x + 2) 2 = = = x+1 x+1 x+1 x+1

⇒ 3−

⇒

a + 4x

EJERCICIO 134

2

a b+ a = b b b a−b ⇒ 1− = a a b2 a2 ⇒ 1+ 2 2 = 2 a −b a − b2

2a + x

⇒ a− x+

)

⇒ 1+

19 x 2 − 19 x 19 x 2 − 19 x = 5x + 15 − x 2 − 3x 15 + 2 x − x 2

(a + 2 x )(2a + x) − 14 x

2

m2 (m + n)(m − mn + n ) m2 − mn + n2 ⋅ = m+ n m3 m

 11.  1 +

 14 x 2   a 2 + 5x 2   a + 2x −  a− x+  2a + x   a + 4x  10.  14 x 2 ⇒ a + 2x − 2a + x =

n3 m3 + n3 (m + n)(m − mn + n = = m3 m3 m3 2

19 x (x + 5)(x − 1) ⋅ x+3 25 − x 2 19 x (x − 1)

mn m (m + n) − mn m2 + mn − mn m2 = = = m+ n m+ n m+ n m+ n 2

⇒ 1+

(x + 1)(x + 3) − 8 8 = x+3 x+3 =

⇒

⇒ m−

9.

2 x 3 − x 5x 2 − 5x x (x − 1) 2 (x + 3) x + 1 ÷ = ⋅ = 2 2 x + 6x 2 x + 6 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x

1 2 10. a 2 − a − 30 ÷ a 2 + a − 42 =

1

(a − 6)(a + 5)

⋅

(a + 7)(a − 6) = 2

a+7

2 (a + 5)

20x 2 − 30 x 4 x − 6 5x (4 x − 6) x + 1 1 ⋅ = 11. 15x 3 + 15x 2 ÷ x + 1 = 15x 2 (x + 1) (4 x − 6) 3x

a 2 − 6a + 5 a 2 + 2a − 35 12. a 2 − 15a + 56 ÷ a 2 − 5a − 24

18.

(a − 5)(a − 1) ⋅ (a − 8)(a + 3) (a − 8)(a − 7) (a + 7)(a − 5) (a − 1)(a + 3) = a + 2a − 3 = (a − 7)(a + 7) a − 49

=

2

8 x 2 + 26 x + 15 6x 2 + 13x − 5 ÷ 16 x 2 − 9 9x2 − 1

(2 x + 5)(4 x + 3) ⋅ (3x + 1)(3x − 1) = 3x + 1 (4 x + 3)(4 x − 3) (2 x + 5)(3x − 1) 4 x − 3

x − 121x x − 11x ÷ x 2 − 49 x+ 7 3

14.

=

15.

2

+ 1)(a 2 − 1)

a (a + 1) 2

x 3 + 125

÷ 17. x 2 − 64

(a

7x2 + 7x + 7 x3 − 1 ÷ 2x − 2x + 2 7x3 + 7 2

(x − 1)(x + x + 1) ⋅ 7 (x + 1) 2 ( x − x + 1) 7 ( x + x + 1) (x − 1) ⋅ x + 1 x − x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x − 1 = ( )( ) 2 2 2 ( x − x + 1) 2

3

2

2

2

2

2

⋅

⋅

15x 2 + 7 x − 2 6 x 2 + 13x + 6 ÷ 25x 3 − x 25x 2 + 10 x + 1

=

2a − 1 1 = (2a + 1)(2a − 1) a 2 (ax 2 + 5) a 2 (2a + 1)

(a

2

2

21.

(x + 7) = x + 11 (x + 7)(x − 7) x (x − 11) x − 7

a 4 − 1 a 4 + 4a 2 + 3 ÷ 3a 3 + 9a a3 + a2 =

2

2

⋅

ax 2 + 5

2

(3x + 2)(5x − 1) ⋅ (5x + 1) = 5x + 1 = 5x + 1 = x (5x − 1)(5x + 1) (2 x + 3)(3x + 2) x (2 x + 3) 2 x + 3x

ax 2 + 5 a 3 x 2 + 5a 2 ÷ 4a 2 − 1 2a − 1 =

16.

20.

2

x ( x 2 − 121)

2

a (a + 9) a 2 − 6a a 2 + 3a − 54 a (a − 6) 1 ⋅ = 19. a 3 + 3a 2 ÷ a 2 + 9a = 2 a (a + 3) (a + 9)(a − 6) a + 3

2

=

(4 x − 3y) ⋅ 2 (16x + 12 xy + 9 y ) = 1 4 (4 x − 3y ) (4 x − 3 y)(16 x + 12 xy + 9 y ) 2 2

=

13.

16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 64 x 3 − 27 y 3 ÷ 16 x − 12 y 32 x 2 + 24 xy + 18 y 2

3a (a 2 + 3)

2

+ 3)(a 2 + 1)

=

3 (a − 1) a

22.

2mx − 2my + nx − ny ÷ 8m + 4n 3x − 3 y =

23.

x 3 − 5x 2 + 25x x 2 + x − 56

x 2 − 6x + 9 x 2 + 5x − 24 ÷ 2 4x2 − 1 2 x + 17 x + 8

(x − 3) ⋅ (2 x + 1)(x + 8) = x − 3 (2 x + 1)(2 x − 1) (x + 8)(x − 3) 2 x − 1 2

=

(x + 5)(x − 5x + 25) ⋅ (x + 8)(x − 7) (x + 8)(x − 8) x (x − 5x + 25) (x + 5)(x − 7) = x − 2 x − 35 = x − 8x x ( x − 8) 2

=

(2m + n)(x − y) ⋅ 1 = 1 3( x − y) 4 (2m + n) 12

2

24.

2a 2 + 7ab − 15b 2 a 2 − 3ab − 40b 2 ÷ 2 a 3 + 4a 2b a − 4ab − 32b 2

2

2

=

(a + 5b)(2a − 3b) ⋅ (a − 8b)(a + 4b) = 2a − 3b a (a + 4b) (a − 8b)(a + 5b) a 2

2

EJERCICIO 135  a   2a   1+  ÷  1+  a b + b   1.

a a + b + a 2a + b = = a+b a+b a+b 2a b + 2a ⇒ 1+ = b b b b 2 a + b b + 2a 2 a + b ⇒ ÷ = ⋅ = a+b b a + b b + 2a a + b ⇒ 1+

 2   x      2.  x − x + 1 ÷  x − x + 1 ⇒ x− ⇒ x− ⇒

x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 2 = = x+1 x+1 x+1

x ( x + 1) − x x 2 x = = x+1 x+1 x+1

x2 + x − 2 x2 x2 + x − 2 x + 1 x2 + x − 2 ÷ = ⋅ 2 = x+1 x+1 x+1 x x2

 1   1   6.  1 − 3  ÷  x + x − 1  x + 2 

 a2   2    ÷  1+  1− a + 1 + a   a 2 − 1 3. 

a 2 (1 − a )(1 + a) + a 1 − a 2 + a 2 1 = = ⇒ 1− a + = 1+ a 1+ a 1+a 1+ a

⇒ 1−

2 a2 − 1+ 2 a2 + 1 ⇒ 1+ 2 = = 2 a −1 a2 − 1 a −1

⇒ x+

2

⇒

1 a2 + 1 1 a2 − 1 a − 1 = ⋅ ÷ 2 = 1+ a a − 1 1 + a a 2 + 1 a 2 + 1

⇒ =

 2   3  x+  ÷x+  4.  x + 3  x + 4 ⇒ x+

x+4

(x + 2)( x + 4) = x = x ( x + 3)(x + 1) (x + 3)



x+ 4

2



b

b 

⇒ a+b+

(a + b)(a − b) + b = a − b + b = a b = a−b a−b a−b a−b 2

2

2

2

− x + 1)

x +2 3

⋅

(x + 1)(x − 1) = x 2 − 1 x−1 = x − x+1 x3 − 2 x3 + 2 2

x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) 1 = = = x+ 2 x+2 x+2 x+2

x 2 − 4 + 3 x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) 3 = = 2 = x2 − 4 x2 − 4 x − 4 ( x + 2)( x − 2 )

( x + 1)

( x + 1)(x − 1) (x + 2)(x − 2) ( x + 1) ⋅ (x + 2)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2) = x = x + 2 ( x + 1)( x − 1) x−1 2

⇒

+ 6x + 8 2 + 6x + 9 2

5.  a + b + a − b  ÷  1 − a + b  2

(x + 1)(x

⇒ 1+



2

2 − x + 1) x 2 − x + 1 ÷ x3 + 2 x−1

⇒ x+

( x + 1)(x + 2) ÷ (x + 3)( x + 1) ⇒ x+ 3

(x + 1)(x

2

x ( x + 4 ) + 3 x 2 + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1) 3 ⇒ x+ = = = x+4 x+4 x+ 4 x+4 x+3

x ( x − 1) + 1 x 2 − x + 1 1 = = x−1 x−1 x−1

 1   3  x+  ÷  1+ 2  x + 2  x − 4 7. 

x ( x + 3) + 2 x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) 2 = = = x+3 x+3 x+ 3 x+3

( x + 1)(x + 2) ⋅ =

2 1 x 3 + 2 − 1 x 3 + 1 ( x + 1)( x − x + 1) = 3 = 3 = 3 x +2 x +2 x +2 x +2 3

2

2

x+2

÷

2

2

− x−2 x−1

 n − 1 2n − 1  2 8.  n − n 2 + 2  ÷  n + 1 − n  ⇒ n−

b a+b−b a ⇒ 1− = = a+b a+b a+b

2 2n − 1 n (n + 2) − (2n − 1) n3 + 2n − 2n + 1 n3 + 1 = = = 2 n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2 n +2

2 n − 1 n (n + 1) − (n − 1) n3 + n − n + 1 n3 + 1 = = = n n n n n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n n ⇒ 2 ÷ = 2 ⋅ = n +2 n n + 2 n3 + 1 n2 + 2

a2 a a 2 a + b a (a + b) a 2 + ab ⇒ ÷ = ⋅ = = a−b a+b a−b a a−b a−b

⇒ n2 + 1−

EJERCICIO 136

64a 2 − 81b 2 ( x − 9) 8a 2 + 9ab ⋅ ÷ x 2 − 81 8a − 9b (x + 9)2 2

4.

3x 8y z2 2 3x 2 2x 2 ⋅ ÷ = ⋅ = 2 1. z 4 y 9x 3x 2 3 z 2

(8a + 9b)(8a − 9b) ⋅ (x − 9) ⋅ (x + 9) (x + 9)(x − 9) 8a − 9b a (8a + 9b) x ( − 9)(x + 9) = x − 81 = 2

2

=

2

5a  2a 5x  5a 2ab 2 2a 2b ÷ ⋅ = ⋅ = 2. b  b 2 4a 2  b 5x x

a

5. a + 1 3a − 3 a2 + a ⋅ ÷ 2 3. a − 1 2a + 2 a + a − 2 = =

a + 1 3 (a − 1) (a + 2)(a − 1) ⋅ ⋅ a − 1 2 (a + 1) a (a + 1) 3 (a + 2)(a − 1) 2a (a + 1)

=

3a 2 + 3a − 6 2a 2 + 2 a

a

x − x − 12 x − x − 56 x 2 − 5x − 24 ⋅ ÷ x 2 − 49 x 2 + x − 20 x+5 2

= 6.

2

(x − 4)(x + 3) ⋅ (x − 8)(x + 7) ⋅ x + 5 = 1 (x + 7)(x − 7) (x + 5)(x − 4) (x − 8)(x + 3) x − 7 a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42 ⋅ ÷ a 2 − 11a + 30 a 2 − 1 a 2 − 4a − 5 =

(a − 7)(a − 1) ⋅ (a + 6)(a − 6) ⋅ (a − 5)(a + 1) = 1 (a − 6)(a − 5) (a + 1)(a − 1) (a − 7)(a + 6)

2 x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 x ( x − 3)(x + 3x + 9) ( x + 10) x− 3 x− 3 ⋅ ÷ = ⋅ ⋅ = 7. 2 x + 7 x − 30 x 3 + 3x 2 + 9 x x−3 (x + 10)(x − 3) x (x 2 + 3x + 9) (x + 10)(x − 10) x − 10 2

(a + 1) ÷  a

2 + a 4 x + 8  a 2 + 1 a (a + 1) 4 (x + 2) a 2 + 1 3 (a − 2)(x − 3) x−3 x−3 ⋅  = ÷ ⋅ = ⋅ = = 8. 3a − 6  6a − 12 x − 3  3 (a − 2) 6 (a − 2) x − 3 3 (a − 2) 2a (a 2 + 1)( x + 2) 2a ( x + 2) 2ax + 4a 2

3

(3x + 2) = (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9 8 x 2 − 10 x − 3 4 x 2 − 9 8 x 2 + 14 x + 3 (2 x − 3)(4 x + 1) (2 x + 3)(2 x − 3) ⋅ ÷ = ⋅ ⋅ 9. 6 x 2 + 13x + 6 3x 2 + 2 x 9 x 2 + 12 x + 4 (2 x + 3)(3x + 2) x (3x + 2) (2 x + 3)(4 x + 1) x (2 x + 3) 2 x 2 + 3x 2

(a + b) (a − b)

2

10.

2

−c

(a + c)

2

− c2

⋅ 2

− b2

a + ab − ac 2

÷

2

a (a + b + c) a 2 + ab + ac a + b + c (a + b + c)(a + b − c) (a + b + c)(a − b + c) a2 = ⋅ ⋅ = = + + a2 a b c a − b− c a − b− c − + − − + − (a b c)(a b c) a (a b c)

2 a − 5a  a 2 + 6a − 55 ax + 3a  a (a − 5) b (b + 1)(b − 1)(a + 11) b (b − 1) b2 − b = ⋅ 2 ⋅ = 2 ÷ 2 2 = b+b ab + 11b  b (1 + b) a (a + 11)(a − 5)( x + 3) x+3 x+3  b −1 2

11. 12.

m3 + 6m2 n + 9mn 2 m3 + 27n 3 4m2 − n2 2 2 3⋅ 2 2 ÷ 2m n + 7mn + 3n 8m − 2mn − n 16m2 + 8mn + n2 m (m + 3n)

m (4m + n) (2m + n)(2m − n) ⋅ (4m + n) 4m + mn = = n (m + 3n)(2m + n) (2m − n)(4m + n) (m + 3n)(m − 3mn − 9n ) n (m − 3mn + 9n ) m n − 3mn + 9n 2

=

13.

(a

2

⋅

2

2

2

2

2

2

2

3

− ax )  a3 − a2 x 1 a2 − x2   2 2 ⋅ 3 2 ÷ 2 2 ⋅ 3 a + x a + a x  a + 2ax + x a + ax 2  2

2

(a =

− ax) a (a + x ) (a 2 + x 2 ) a (a − x ) 1 1 a 2 − ax ⋅ = 2 = = 2 2 ⋅ 2 2 a + x a (a + x ) a (a − ax)(a + x )(a − x ) a (a − x ) a 2 (a − x ) a

14.

(a

2

2

2

− 3a ) 27 − a 3 a 4 − 9a 2 ⋅ ÷ 2 2 2 9− a (a + 3) − 3a (a + 3a)2

=

2

2

(a

(3 − a)(9 + 3a + a ) ⋅ (a + 3a) = (a (3 + a)(3 − a) a + 3a + 9 (a − 3a)(a + 3a) 2

− 3a )

2

2

⋅

2

2

2

2

2

EJERCICIO 137 a ab − a b = b = a (b − 1) = a 1 b2 − 1 (b + 1)(b − 1) b + 1 1. b− b b 1 x3 − 1 2 2 x − x = x = ( x − 1)( x + x + 1) = x 2 + x + 1 2. 1 x−1 x−1 1− x x a b a 2 − b2 − b a = ab = (a + b)(a − b) = a − b 3. b a+b b b (a + b) 1+ a a 1 1 m+n + m n = mn = m + n 4. 1 1 n − m n − m − m n mn a−

6.

7.

8.

− 3a)(a 2 + 3a) a (a 2 − 3a )(a + 3) 3 = = a − 3a 2 3+ a a+3

x 2x + x 2 = 2 = 2 ( 3x ) = 2 x 4x − x 3x x− 4 4 x y x2 − y2 − (x + y)(x − y) = x − y y x xy = = y x+ y y y (x + y) 1+ x x 3 x2 + 4x + 3 x+ 4+ (x + 1)(x + 3) = x + 3 x= x = 5 x 2 − 4 x − 5 ( x − 5)( x + 1) x − 5 x− 4− x x 4 a 2 − 4a + 4 a− 4+ (a − 2)(a − 2) = a − 2 a= a = 2 a−2 (a − 2) 1− a a x+

5.

2

20 x 2 + 7 x − 6 x 14. 4 2 − 25 x

2a 2 − b 2 −b a 9. 4a 2 + b 2 +1 4ab 2 2a − b 2 − ab a = 4a 2 + b 2 + 4ab 4ab = =

=

(2a + b) 4b (a − b) 4ab − 4b = =

2

2a + b

3a 10b + 3a 2+ 3 5b = 5b = 10b 3a + 10b 5b 10. a+ 3 3 x2 a+ x a2 a2 − a+ x

a− x+

a2

a (a + x − 1)

=

1 a+ x−1

1 x−1 15. 1 1+ 2 x −1 x − 1+ 1 x ( x + 1) x + 1 x−1 = = = 2 x − 1+ 1 x2 x 2 x −1

a 2 (a − b) a 2 (a + b)

=

a−b a+b

5 x+ 3 17. 35 x + 5− x+ 3 x − 1−

=

(a + 7)(a + 1 ) a (a − 2) a − 2a = = 2

a+1 a+1 1 9 20 − + a a2 a3 13. 16 −a a 2 a − 9a + 20 a3 = 16 − a 2 a

( x + 4)(x − 2) = x + 4 ( x + 10)(x − 2) x + 10

7a + 9 a+3 18. 5a − 11 a − 4+ a+1

(a − 5)(a − 4) = a (4 + a )(4 − a ) 2

5− a a−5 =− 2 =− 3 = a + 4a 2 a 3 + 4a 2 a (a + 4)

a 2 + 5a + 6 − 7a − 9 a+3 = 2 a − 3a − 4 + 5a − 11 a+1

(a + 1)(a − 2a − 3) (a + 3)(a + 2a − 15) (a + 1)(a − 3)(a + 1) = (a + 3)(a + 5)(a − 3) (a + 1) = a + 2a + 1 = (a + 3)(a + 5) a + 8a + 15 2

2

2

(x

2

− x − 2) + x (2 x + 6) x ( x + 1)

x (3x − 1) (x − 1)(3x + 5x − 2) x (3x − 1) = = (x − 1)(3x − 1)(x + 2) x =

2

2

x + x−2

a b − a−b a+b 3. a + b a + a−b b

=

a+ 2−

=

=

x + 1 + 2 ( x − 1) x2 − 1

a (a + b) − b (a − b)

x2 + 2x − 8 x+ 3 = 2 x + 8 x − 20 x+ 3

a (a + 7)(a − 2)

a−5

1 2 + x−1 x+1 2. x − 2 2 x + 6 + x x+1

1+

=

14 a 8 7 1+ + 2 a a a 2 + 5a − 14 = 2 a a + 8a + 7 a2 =

4 x 2 + 3x 5x + 2

ab a 2 + ab − ab a+b a+b = 2 16. ab a − ab + ab a+ a−b a−b

a + 5−

12.

(2 + 5x)(2 − 5x)

a−

a2 − x2 + x2 a+ x = 3 a + a2 x − a2 a+ x 2

x (4 x + 3)(5x − 2)

=−

2

=

x 4 − 25x 2 x2

=

4b (a − b)(2a + b)

11.

x+1 x−1 1. 1 1 − x−1 x+1 x − 1+ x + 1 2 x ( x + 1) 2 x−1 = = =x +x 2 x + 1 − ( x − 1) x2 − 1 1+

(4 x + 3)(5x − 2)

4b (2a 2 − b 2 − ab) 4a 2 + b 2 + 4ab

2a + b

EJERCICIO 138

2

2

(a − b)(a + b)

b (a + b ) + a (a − b) b (a − b )

a 2 + ab − ab + b 2 a 2 + b 2 a+b a+b b = = = ab + b 2 + a 2 − ab a 2 + b 2 a + b b b x+ 3 − x+4 4. x − 1 − x+2

x+1 x+2 x−3 x+4

(x + 3)(x + 2) − (x + 1)( x + 4) (x + 4)(x + 2) = ( x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2) (x + 2)(x + 4) x 2 + 5x + 6 − x 2 − 5x − 4 x 2 + 3x − 4 − x 2 + x + 6 1 2 2 = = = 4 x + 2 2 (2 x + 1) 2 x + 1 =

m2 m2 − n2 + n m+ n 5. m − n n + n m

m2 (m + n) − n (m2 − n 2 )

=

n (m + n)

=

=

2

x2 + 2x + 1 − 2 x 2 x 5 + 2 x5 + 2 1− x 2

(x + 1)

(a + x)(b − x) − (b + x)(a − x) (a − x)(b − x) = 2 (b − x ) − 2 (a − x ) (a − x)(b − x) =

=

2

=

2 (x + 1)

(x + 1)(1− x) (x + 1) ⋅ (x + 1)(1 − x) = 2 ( x + 1) (x + 1) (1− x) = 2

2

a2 1 + b3 a 6. a b − a − b a−b

(x =

+ 2 x + 1)(1 − x )

a (a + 2b) + b (a − b) a + 2b b + a (a − b) a−b a = 11. a + b 3b (a + b)(a − b) + 3ab + a a−b a (a − b) =

(x + y) − (x − y) (x − y)(x + y) = (x + y) − x (x + 2 y ) x (x + y) 2

2

2

2

)(

)

)

(

)(

)

a 2 + 2ab + ab − b 2 a 2 − b 2 + 3ab

a 2 + 3ab − b 2 =1 a 2 + 3ab − b 2 7 12 1− + 2 x x 12. 16 x− x x 2 − 7 x + 12 x2 = x 2 − 16 x =

x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + 2 xy − y 2 x− y a + b a 2 − ab + b2 = x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy 2 ab = x a 2 − b2 4 xy a−b x− y = 2 a + b a 2 − ab + b 2 a−b y = ⋅ ab 2 a+b a−b x 4 xy x 4x2 4x2 a 2 − ab + b2 = ⋅ 2= = 2 = 2 x− y y y ( x − y) xy − y ab

(

a 2 = 2 a + ax + a 2 − ax a− x a a a− x a− x = 22 = ⋅ = 2a 2 2a 2 4a a− x

2

2

2 x2 − x3 + 2x − 2x2 + 1− x = 2 1+ x − x 2 − x 3 = 2

− ab + b2 ) ab 3 2 a − ab − b 2 + ab b (a − b)

)(

2bx − 2ax 2 x (b − a ) = =x 2b − 2a 2 (b − a )

2

b (a − b)

(

ab − ax + bx − x 2 − ab + bx − ax + x 2 2b − 2 x − 2a + 2 x

2a − a a a − 2 (a + x ) a + x 2a + 2 x = 10. a a a (a + x ) + a (a − x) + a− x a+ x (a − x)(a + x)

x+ y x− y − x− y x+ y 8. x + y x + 2 y − x x+ y

a 3 + b3 ab3 = a (a − b) − b (b − a )

=

2 x (1 − x 4 ) + 2 x 5 + 2 2

− mn + n2 ) m+ n = m2 − mn + n2 m m = m2 − mn + n2 ⋅ 2 =m m − mn + n2

(a + b)(a

1+ x2 + 2 x 1+ x 2

(1+ x )(1 − x )

m (m − n) + n2 nm m3 + m2 n − m2 n + n 3 m+ n = m2 − mn + n 2 m m3 + n 3 m+ n = 2 m − mn + n 2 m

(m + n)(m

a+ x b+ x − a− x b− x 9. 2 2 − a− x b− x

2x 1+ x2 7. 2 x5 + 2 2x + 1− x4 1+

(x − 4)( x − 3)

=

x

(x − 4)(x + 4) ( x − 4)(x − 3) ⋅ = x

=

x−3

x ( x + 4)

=

1

( x − 4)(x + 4)

x−3 x2 + 4x

a 2 b2 − b a 13. 1 1 b + + b a a2 a 3 − b3 = 2 ab 2 a + ab + b a 2b 3 a − b3 = 2 a + ab + b 2 a

2b + c a −b −c 17. c − 2b 1− a −b +c

= (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ⋅ = a (a − b) = a 2 − ab

a 1− a + 1− a a 18. 1 − a a − a 1− a

4 y2 x+ y 14. 5y 2 x − 3y − x+ y

a 2 + (1 − a )

2

=

(x − 2 y)(x + y) − 4 y

2

x+ y

(x − 3y)(x + y) − 5y

=

2

x+ y

=

(x − 3y)(x + 2 y) = x − 3y (x − 4 y)(x + 2 y) x − 4 y

=

6 ( x + 2) x+2 x−5

1 x x = = 1⋅ = x +1 x +1 20. 1+ 1 x + 1 x x

2 + 2a + 2 − 2a 4 1 =− =− a 2 − 2a − 2 − 2a 4a

1 1 − x+ y+ z x− y+ z 16. 1 1 − x− y+ z x+ y+ z

21.

1 1+

=

1 1−

1 x

x− y+ z− x− y− z

2y

1

1 x −1 x 1 = x 1+ x −1 1+

1 x − 1+ x x −1 1 x −1 x −1 = = 1⋅ = 2x − 1 2x − 1 2 x − 1 x −1 =

(x + y + z)(x − y + z) = − 2 y = − 1 = x+ y+ z− x+ y− z

a 2 + 1 − 2a + a 2 2 a 2 − 2a + 1 = 1 − 2a + a 2 − a 2 1 − 2a

1

2

2 x 2 = 2 1+ x+2 x 2 = 2x 1+ x+2 2 = x + 2 + 2x x+2 2 x + 2 2x + 4 = = 2⋅ = 3x + 2 3x + 2 3x + 2 x+2

x−5 x−5 =1 = = 11( x − 2) x + 7 x− 4+ + x 7 x−2 x+7

(1− a)(1+ a) 2 (1 − a ) − 2 (1 + a ) (1+ a)(1− a)

(x − y + z)(x + y + z)

1+

x+1 −

2 (1 + a ) + 2 (1 − a )

2+

2

23. 2

6 x + 12 x+2 x−5 19. 11x − 22 x− 4+ x−2 x+7

2 2 + 1− a 1+ a 15. 2 2 − 1+ a 1− a

=

(1 − a ) − a a (1 − a ) 2

x + 1−

x − xy − 6 y 2 x 2 − 2 xy − 8 y 2 2

=

a (1 − a )

1

1 x −1 3 1 = 1− 1 2+ x−3 3 1 = 1− 3 2+ x−3 1 = 1− 2x − 3 x−3 x−3 = 1− 2x − 3 x 2x − 3 − x + 3 = = 2x − 3 2x − 3

a − b − c + 2b + c a −b −c = a − b + c − c + 2b a −b+ c a+b a−b−c = a+b a−b+c a+b a −b+c a −b +c = ⋅ = a −b −c a +b a−b−c

a a 2 + ab + b2

x − 2y −

=

22. 1−

1+

24.

1+

1 x x2 x +1 1 = x x− 2 x + x − x2 x +1 1 = x x− x x +1 1 = x2 + x x− x 1 1 = 2 = = −1 x − x2 − x − x x x x−

x−

1

25.

a +1 1 a− a 1 1 1 1 1 a−1 a−1 = = = 2 = = 1⋅ 2 = = a+1 a a + a− 2− a a − 2 a2 − 2 + − − + a a a a a 1 2 1 ( ) ( )( ) a+ 2− 2 a+ 2− a −1 a + 2− a +1 a −1 a−1 a−1 a−1 ( )( ) a a + 2−

x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 = = = = = x−1 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x 2 + 2)( x + 1) x + 2 − x − 1 ( x + 2− x+ 2− 2 x + 2− 2 + − 2 x x−2 x + x− x+ 2 x +2 x2 + 2 x− x+1 x+1 x+1

26.

EJERCICIO 139

x2 − 2x + 1 9. x − 2 x 2 − x + 2 Para x → 1 3

x−2 1. x + 3 Para x → 2

2−2 0 = =0 2+3 5

(x − 1) x ( x − 2) − ( x − 2) (x − 1) = (x − 1)(x − 2) (x − 1) = = (x − 1)(x + 1)(x − 2) x 2

2

x−2 2. x − 3 Para x → 3

3−2 1 = =∞ 3−3 0

2

2

x2 − a2 3. x 2 + a 2 Para x → a

a2 − a2 0 = =0 a 2 + a 2 2a 2

x2 + y2 4. 2 2 Para x → y x −y

y 2 + y 2 2y 2 = =∞ y2 − y 2 0

5.

x −1 Para x → 2 3 x−2

2 −1 1 1 = = =0 3 3 ∞ 2−2 0

2

10.

2

1− 1 0 x−1 = = =0 − x − 2 12 − 1 − 2 − 2

a3 − 8 Para a → 2 a + 11a − 26 2

(a − 2)(a + 2a + 4) = a + 2a + 4 = 2 a + 13 (a + 13)(a − 2) 2

2

2

+ 2 ⋅ 2 + 4 12 4 = = 2 + 13 15 5

x2 − 9 6. x 2 + x − 12 Para x → 3

(x − 6)( x − 1) = x − 6 = 1− 5 = − 4 = ∞ x2 − 7x + 6 11. x 2 − 2 x + 1 Para x → 1 x − 1 1− 1 0 (x − 1)2

a −a−6 Para a → 3 7. 2 a + 2a − 15

12. 3 x − 7x + 6

(x + 3)(x − 3) = x + 3 = 3 + 3 = 6 (x + 4)(x − 3) x + 4 3 + 4 7 2

(a − 3)(a + 2) = a + 2 = 3 + 2 = 5 (a + 5)(a − 3) a + 5 3 + 5 8

8.

x 2 − 7 x + 10 Para x → 2 x − 2x2 − x + 2 3

(x − 5)(x − 2)

x 2 ( x − 2) − ( x − 2) =

Para x → 2

x 3 − 3x − 2 = 1 0 − 3 − 2 2 4 2 1 2 1

2

2

0

⇒ (x − 2)( x + 2 x + 1) 2

x3 − 7x + 6 = 1 0 − 7 6 2 4 −6 2 −3

1

(x − 5)(x − 2) = x − 5 = 2 − 5 = − 3 = − 1 (x − 1)(x − 2) x − 1 4 − 1 3 2

x 3 − 3x − 2

⇒ (x − 2)( x + 2 x − 3)

2

0

2

(x − 2)(x + 1) = (x + 1) = (2 + 1) = 9 (x − 2)(x + 2 x − 3) x + 2 x − 3 2 + 2 ⋅ 2 − 3 5 2

2

2

2

2

2

13.

x 2 − 16 x3 − 4x2 − x + 4

Para x → 4

19.

14.

2

2

4x2 − 4x + 1 4 x 2 + 8x − 5

Para x →

2

1 2

20.

15.

8x − 6x + 1 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4

Para x →

2

=

1 2

⇒ 8 x 2 − 6 x + 1 = (8 x ) − 6 (8 x ) + 8 2

21.

= (8 x − 4)(8 x − 2) = (2 x − 1)(4 x − 1)

⇒ 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 = 4 4

Para x → a 2

2

2

2

x3 − a3 a2 x − a3

(x − a)(x + ax + a ) a (x − a )

1

(2 x − 1) = 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 − 1 = 1 − 1 = 0 = 0 (2 x + 5)(2 x − 1) 2 x + 5 2 ⋅ 1 + 5 1 + 5 6 2

Para y → x

(x + y)(x − y) = x + y = x + x = 2 x = 2 y x x y (x − y)

( x − 4)( x + 4) = ( x − 4)(x + 4) = x + 4 = 4 + 4 = 8 x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − 1)( x − 4) x − 1 4 − 1 15 2

x2 − y2 xy − y 2

x 2 + ax + a 2 a 2 + a 2 + a 2 3a 2 = = 2 =3 a2 a2 a

x 3 − 3x + 2 2 x 3 − 6x2 + 6x − 2

12 − 15 4 − 4 − 16 16 − 4

⇒ x 3 − 3x + 2 1 0 −3 2 1 1 1 −2

−4

1 1 −2

1

0

= ( x + 4)(4 x 2 − 4 x + 1) = ( x + 4)(2 x − 1)

Para x → 1

= ( x − 1)( x 2 + x − 2)

0

= ( x − 1)( x + 2)( x − 1)

2

1 4⋅ − 1 2 x − 1)(4 x − 1) ( 1 4x − 1 2 ⇒ = = = =∞ (2 x − 1)2 (x + 4) (2 x − 1)(x + 4)  2 ⋅ 1 − 1  1 + 4 0  2 2  16.

x 3 − 9 x + 10 x − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 4

⇒ x 3 − 9 x + 10 1 0 − 9 10 2 4 − 10 1

2 −5

1

= ( x − 1)(2 x 2 − 4 x + 2) 2

0

⇒

22.

= (x − 2)( x 3 + x 2 − 9 x − 9)

(x − 2)(x + 2 x − 5) (x − 2)(x + x − 9 x − 9)

=

x2 + 2x − 5 22 + 2 ⋅ 2 − 5 3 1 = 3 2 = =− 2 x + x − 9 x − 9 2 + 2 − 9 ⋅ 2 − 9 − 15 5

2

3

Para x → a + ax + a 2 ) 2 = x + ax + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 x−a 2

a 2 − 2ab + b2 18. a 2 − ab

0

( x − 1) (x + 2) = x + 2 = 1 + 2 = 3 = ∞ (x − 1) (2 x − 2) 2 x − 2 2 ⋅1− 2 0 2

−9 −9

(x − a)(x

2

= ( x − 1) (2 x − 2)

⇒

x3 − a3 x−a

−4

= ( x − 1)( x − 1)(2 x − 2)

2

17.

⇒ 2 x 3 − 6 x 2 + 6x − 2 2 −6 6 −2 1 2 −4 2 2

= ( x − 2)( x 2 + 2 x − 5)

0

3

2

2

⇒ x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 1 − 1 − 11 9 18 2 2 2 − 18 − 18 1

Para x → 2

= ( x − 1) ( x + 2)

(a − b) = a − b = a − a = 0 a a a (a − b) 2

Para b → a

2

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6

Para x → 3

⇒ x4 − x3 − 7x2 + x + 6 1 −1 − 7 1 6 −2 −2 6 2 −6 1 − 3 −1

(x + 2)(x

3

3

0

− 3x 2 − x + 3)

1

−3 1

−1 3 −2 −3

1

−2

−3

1

0

= (x + 2)(x − 1)( x 2 − 2 x − 3)

= (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x + 1) Continúa

Continuación 4 3 2 22. ⇒ x − 3x − 3x + 11x − 6

1 − 3 − 3 11 − 6 − 2 − 2 10 − 14 6 1 −5

−3

7

Continuación 24.

0

1 −5 7 −3 1 −4 3 3

0

⇒

x + 1 3+ 1 4 = =2 = x − 1 3− 1 2

3x 3 − 5x 2 − 4 x + 4 23. x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 8 x − 4 Para x → 2 ⇒ 3x − 5x − 4 x + 4 2

3 −5 −4

4

25.

1

⇒ x + 2 x − 3x − 8 x − 4

1 4

4

5

0

(x − 2)(x 1

4

3

2

2

−2

2

−2 −4 −2 1

2

1

= ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 1)

(x − 2)(3x + x − 2) (x − 2)(x + 2)(x + 1) 2

⇒ = =

2

3x 2 + x − 2

(x + 2)(x + 1)

2

3⋅ 2 2 + 2 − 2

(2 + 2)(2 + 1)

2

1

=

12 1 = 36 3

3 2x + 3 2⋅ 4 + 3 = = 3 3x − 1 3⋅ − 1 4

⇒ x − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4) 2

⇒ x 4 − 2 x3 − 9 x2 + 2x + 8 1 −2 −9 2 8 1 1 − 1 − 10 − 8

1 4

0

Continúa

4

0

0

⇒ x 4 − 8 x 2 + 16 1 0 −8 0 16 − 2 − 2 4 8 − 16

2

16 − 2

0 8 0

0

0 8

2

0 − 16

1 −2 −4

(x + 2)(x

0

1 12 4

20

1 −2 −2

0

= ( x − 2)( x + 2) ( x 2 − 2 x + 5)

(x − 2)(x + 2)(x + 8) ⇒ (x − 2)(x + 2) (x − 2 x + 5) 3

2

(x + 2)(x

2

− 2 x + 5)

2 +8

⇒ =

28.

( x + 2) ( x + 2) ( x − 2) 2

x+ 2

=

2

− 2+ 2

(x − 2) (− 2 − 2) 2

2

=

0 =0 16

9 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 1 Para x → − 27 x 3 + 1 3 =

3x 2 (3x + 1) + (3x + 1) 27 x 3 + 1

=

+ 1)(3x + 1) (3x + 1)(9 x − 3x + 1)

=

3x 2 + 1 9 x 2 − 3x + 1

(3x

2

2

2

3

16 4 = = = (2 + 2)(22 − 2 ⋅ 2 + 5) 20 5

2

3

2

x3 + 8

0

2

+ x + 10) −2

0 1 10 − 2 4 − 10

4

= ( x + 2) ( x − 2)

0

0 3

−4 8 −2 8 −8 2

2

10

0

= ( x + 2) ( x − 4 x + 4)

2 1 12 20 − 2 − 2 0 − 2 − 20 0 1

8

− 2 x 2 − 4 x + 8)

3

1 −4

+ 2 x + x + 12 x + 20) 3

3

2

+ 2 x 3 + 8 x + 16)

1 −2 5

=

9 2 = 36 = 18 5 10 5 4

x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 Para x → − 2 x 4 − 8x 2 + 16

2

x 2 − 5x + 4

24. x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 Para x → 1

1 − 1 − 10 − 8

=

0 8 16 4

( x − 2)(x + 2)( x 1

(2 x + 3)(4 x − 3) (4 x − 3)(3x − 1)

= ( x + 2)( x + 4 x + 4) = ( x + 2)

−2

( x − 2) ( x 1

(8x + 12)(8x − 6)

(12 x − 9)(12 x − 4)

32

⇒ x 5 − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40 1 0 − 3 10 − 4 − 40 2 2 4 2 24 40 1

0

(8x)2 + 6 (8x) − 72 (12 x) 2 − 13(12 x) + 36

4 0 16

= ( x − 2)( x + 2)( x 3 + 8)

+ 4 x 2 + 5x + 2) 5

1

3 4

⇒ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 1 6 12 8 − 2 −2 −8 −8

⇒ x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 1 0 − 4 8 0 − 32 2 2

Para x →

=

2

x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 Para x → 2 x − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40

2

8 10

(x − 1)(x − 4) (x − 1)(x − 4)(x + 3x + 2)

( x − 2)(x

1 2 −3 −8 −4 2

=

5

1

0

3

0

2

= ( x − 2)(3x 2 + x − 2) 4

8

2

27.

2

2 −4

6

1 −2

3

12

3

1 1 1 = = x 2 + 3x + 2 12 + 3⋅ 1 + 2 6

=

(x + 2)(x − 1)(x − 3)(x + 1) (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x − 1)

3

⇒

4

= ( x − 1)( x − 4)( x 2 + 3x + 2)

1

= ( x + 2)( x − 1)( x − 3)( x − 1)

=

−8

4 1

= ( x + 2)( x − 1)( x 2 − 4 x + 3)

⇒

− x − 10 x − 8) 2

− 1 − 10

1

= ( x + 2)( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3)

1 −4

(x − 1)(x

3

8x 2 + 6x − 9

26. 12 x 2 − 13x + 3

=

 1 3 −  + 1  3 2

 1  1 9  −  − 3 −  + 1  3  3

4 4 = 3= 3 9

(x − 1)(x + 2) = x + 2 = 1+ 2 = 3 = 1 1 3 x 2 + x + 1− 3 x 2 + x − 2 − 3 = = Para x → 1 x−1 x −1 x3 − 1 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 12 + 1+ 1 3

29.



(

1   Para x → 2 x − 2

)

2 30. x + 3x − 10  1 +





(x + 5)(x − 2) xx −− 21  = (x + 5)(x − 1)⇒ (2 + 5)(2 − 1) = 7

EJERCICIO 140 1.

12 x 2 + 31x + 20 18 x 2 + 21x − 4

(12 x) 2 + 31(12 x) + 240 (18 x) 2 + 21(18x ) − 72

=

=

(12 x + 16)(12 x + 15) = (3x + 4)(4 x + 5) = 4 x + 5 = (18x + 24)(18x − 3) (3x + 4)(6x − 1) 6x − 1

=

2

3.

⋅

a3

a

(a + 1)(a − 1)

x ( x 2 + 3x + 9) x ( x − 27) 2

3

(x + y )

a+1 a+1 = 3 2 a 2 (a − 1) a − a

x 2 + 3x + 9

=

x (x − 3)(x + 3x + 9) 2

1 x (x − 3)

⇒

x ( x + y ) − x (x − y ) xy

=

x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − x 3 + 2 x 2 y − xy 2 4 x 2 y = = 4x xy xy

2

2

⇒

(a − 2b)(a + b) a (a + b ) − 2b (b + a ) (a − 2b)(a + b ) a + b = = = (a − 2b)(a + b) (a − 2b)(a + b) a + b 1 + 5a a − 5a + 1 + 5a a + 1 (a + 1)(a − a + 1) = = = a+ 2

2

2

6.

⇒

2

2

3

a2 − 5

a2 − 5

a−

2

2

3

a2 − 5

a + 5 a2 + a − a − 5 a2 − 5 = = a+1 a+1 a+1

(a + 1)(a

− a + 1) a 2 − 5 2 = a −a+1 ⋅ a −5 a+1 2

2

9 x − 3x 2 x 3 − 1 = x−3 x−1

( x − 1) (x − 3) − 3x (3 − x ) = (x − 1)(x

+ x + 1) x−1

2

2

2

2

x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 − 9 x + 3x 2 = x2 + x + 1 x−3

⇒

x3 − 2x2 − 2x − 3 2 = x + x+1 x−3

2

2

⇒

2

a2 − 5

x−3

2

⇒

2

2

x (x + y )( x − y ) = x ( x + y )⇒ x (x + y ) = x ( x + y ) x− y

2

⇒

a 4 − 2b 3 + a 2b 2 − 2a 2b 2

x (x 2 − y 2 ) = x (x + y) x− y

11. x 2 − 2 x + 1 −

a 4 − 2b 3 + a 2b (b − 2) 5. a 4 − a 2b − 2b 2 2

170 − x 2 x−5

4x 2 − 5xy + y 2 4x 2 5xy y 2 4x 5y y 2 = − + = − + 3x 3x 3x 3x 3 3 3x m−n− x m n x 1 1 1 = − − = − − 9. mnx mnx mnx mnx nx mx mn x 3 − xy 2 2 10. x − y = x + xy

2

−

=

=

x 3 − 29 x + 20 − x 3 + 29 49 − 29 x = x−5 x−5

8.

x (x − y ) xy

2

y

=

+ 5x − 4) − x 3 + 29 x−5

x 2 + 29 x − 170 + 170 − x 2 29 x = x−5 x−5 49 − 29 x 29 x 49 − 29 x x − 5 49 − 29 x ⇒ ÷ = ⋅ = x−5 x−5 x − 5 29 x 29 x

x 3 + 3x 2 + 9 x x 5 − 27 x 2 =

4.

=

2

=

 a 2 + 2a + 1  a 2 + 2a − 2a − 1 =  ÷  a3 a    

(a + 1)

(x − 5)(x

x + 34 +

2a + 1 1 2 1   2.  + 2 + 3  ÷  a + 2 − a a a   a 

=

x 3 − 29 x−5

7. x 2 + 5x − 4 −

( x − 3)( x

+ x + 1) 2 = x + x + 1 ⇒ x 2 + x + 1= x 2 + x + 1 x−3 2

a 4 − 5a 2 + 4

2 + 4a

12. a 3 + a 2 − 4a − 4 = a − 3 + 2a + 1

(a − 2)(a − 1)(a + 2)(a + 1) = 2a − 5a − 3 + 2 + 4a 2a + 1 (a − 2)(a + 1)(a + 2) 2a + 1)(a − 1) ( 2a − a − 1 ⇒ a − 1= ⇒ a − 1= ⇒ a − 1= a − 1 2

⇒

2

2a + 1

2a + 1

13.

16 − 81x 2 17. 72 x 2 − 5x − 12

1 1 2a + + a − b a + b a 2 − ab + b 2 =

a 3 + b 3 + (a − b)(a 2 − ab + b 2 ) + 2a (a 2 − b 2 )

(a

3

3

=

) (a − b)

3

(4 − 9 x)(4 + 9 x) (72 x − 32)(72 x + 27) (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − 9 x + 4 = (9 x − 4)(8x + 3) (4 − 9 x)(8x + 3) 8 x + 3

+ b 3 ) (a − b)

4a − 2a b

(a

3

 a

2

2

+ b 3 ) (a − b) a

4

 

1+ a  3

  14.  1 − a 2 − 1 − a 4  ⋅  1 − a + a 2 

1  x 2 3   x 6  −  ÷  + + + 18.  x x + 2 x + 3  x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 =

 a 2 (1 + a 2 ) − a 4   a 2 (1 − a ) + 1 + a 3    ⋅ =     1− a 4 a2    

=

 a 2 + a 4 − a 4   a 2 − a 3 + 1+ a 3  =  ⋅  a2   1− a4   =

(4 − 9 x)(4 + 9 x)

(72 x ) 2 − 5 (72 x ) − 864

=

2

(a

3

=

+b

3

a + b + a − 2a b + 2ab 2 − b 3 + 2a 3 − 2ab 2 3

=

3

x 2 + 5x + 6 − 2 x ( x + 3) + 3x ( x + 2) x ( x + 3) + x ( x + 2) + 6 ÷ x 2 + 5x + 6 x ( x 2 + 5x + 6) x 2 + 5x + 6 − 2 x 2 − 6x + 3x 2 + 6x x (x + 5x + 6) 2

1 a2 a2 + 1 ⋅ = 1− a 4 a 2 1− a2

 ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) a 2 ( x − 4)( x + 4)  2 x + 1 x + 4 ⋅ ⋅ 2 2  = =  ⋅  x  ( x − 4)( x + 3) x − 3  ( x + 3)(2 x + 1)  a x 

b b 1+ a−b a + 19. a − 3b b2 1− 2 2 − a−b a a−b+b b a−b = 2a 2 + 2a − 2b − a + 3b a −b a−b a2 a a−b = + a (a 2 − b 2 ) a + b a−b

3x 3 − x 2 − 12 x + 4 6x + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4

a 2b

4

⇒ 3x 3 − x 2 − 12 x + 4 3 − 1 − 12 4 − 2

=

− 6 14 − 4 3 −7

2

0

= ( x + 2)(3x − 7 x + 2) = ( x + 2)( x − 2)(3x − 1)

=

2

6 x 4 + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4 6 1 − 25 − 4 4 − 12 6 − 11

(x + 2)(6x 6

− 11 12

6

1

22 −3 3

0

− 11x 2 − 3x + 2)

−3

2

2

2 −2 −1

a 2b

a + a (a 2 − b 2 ) a + b

a 2b + a 2 (a − b) a 2b + a 3 − a 2b = a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 ) =

−2

6 −4 2

x 2 + 5x + 6 x + 3x + x 2 + 2 x + 6 2

2 x 2 + 5x + 6 1 1 = = ⋅ 2 x 2 x + 5x + 6 x

 x2 − 9 x − 3  a 2 x 2 − 16a 2  2 1  15.  x 2 − x − 12 ÷ x 2 + 3x  ⋅ 2 x 2 + 7 x + 3 ⋅  a 2 x + a 2 x 2 

16.

⋅

0

a (a 2 − b 2 )

=

1  x − 36 x  ÷ 2  ⋅ 3 x x − 4 2

20.

a2 a − b2 2

1 1 ⋅ 36 4 x− x− x x   1 (x + 6)( x − 6) ( x + 2)( x − 2) 1 1  ⋅ 2 =  ⋅  x − 36 ⋅ x 2 − 4 x x 3  x x

= ( x − 2) ( x + 2)(6x 2 + x − 1)

=

(x + 2)(x − 2)(3x − 1) = 1 ⇒ (x − 2)(x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) 2 x + 1

=

= ( x − 2)( x + 2)(2 x + 1)(3x − 1)

a3

(x + 6)(x − 6) ⋅ (x + 2)(x − 2) ⋅ 3x

x

x x ⋅ x 2 − 36 x 2 − 4

x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)

1 = 3x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 3

3a

+

(a − 2b)

2

21.

5 1 + a − 5b a − 2b

3a − 14ab + 10b a 2 − 4ab + 4b2 2

23.

1 1 1 − − + 3x − 9 6 x + 12 2 ( x − 3)2 =

2

=

3a 2 − 14ab + 10b 2

(a − 2b)

=

2

3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b

=

2

2

(a − 5b)(3a

9a − 42ab + 30b 2

=

(a − 5b)(3a

x+1 − x−1 22. x − 1 + x+1

2

2

2

− 14ab + 10b 2 )

=

3(3a − 14ab + 10b ) 3 = (a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) a − 5b 2

2

− 14ab + 10b2 )

=

2

2

2

(x − 1) + (x + 1) 2

2

⋅

x2 + 1

=

⋅

6 ( x − 3) ( x + 2) 2

7 x 2 + 13x − 27

6 ( x − 3) ( x + 2) 2

2a 2 b (a + b) 2 a+b 1 2a (a − b) b (a + b) b a ⋅ = 2 ⋅ ⋅ =1 = 2 ⋅ a 2 b a−b b (a + b) a (a − b) 2a b a−b

x + 2 x + 1− x + 2 x − 1 x + 1 4x x +1 1 ⋅ = ⋅ = x 2 − 2 x + 1+ x2 + 2 x + 1 4 x 2 2 ( x 2 + 1) 4 x 2

2 x 2 − 2 x − 12 − x 2 + 6 x − 9 − 3x − 6 + 6 x 2 + 12 x

a 2 − b 2 + a 2 + b 2 ab + b 2 a+b 1 = 2 ⋅ a ⋅ a − b 2 − a 2 + 2b 2 a − b b + 2a − b b a−b

x2 − 1

2

6 ( x − 3) ( x + 2) 2

a 2 + b2 b2 a+b b+ a 1 ⋅ ⋅ 24. 2a − b a 2 − 2b 2 a − b 1+ a+b− b a−b

a2 − b 2 (a − b) 2 x 2

2 ( x − 3)( x + 2) − ( x − 3) − 3( x + 2) + 6 ( x + 2)

a−b+

2

x2 − 1

x 1 1 1 − − 2 + x 2 − 6x + 9 3 ( x − 3) 6 ( x + 2) 2 ( x − 3)

2

x−1 x + 1 x2 + 1 2x ⋅ ÷ x + 1 2a 2 − 2b a 2 − b x−1

(x + 1) − (x − 1) =

2

9 x

2

(a − 2b) (a − 5b) 2

2

x − 6+

2

3a (a − 5b) + 5 (a − 2b) + (a − 2b)(a − 5b) =

1

2

2

EJERCICIO 141 1.

x 1 + 5= − x 6 3 x + 30 1 − 3x ⇒ = 6 3

x

x

5

mcm = 12

6 x + 24 − x = 2x − 15 6 x − x − 2x = − 15 − 24 3x = − 39 − 39 x= 3 x = − 13

x + 30 = 2 (1 − 3x )

x + 30 = 2 − 6 x x + 6 x = 2 − 30 7 x = − 28 − 28 x= 7 x=−4 3x 2x 1 − + = 0 mcm = 15 2. 5 3 5 9x − 10x + 3 = 0 −x=−3 x=3 1 1 1 1 mcm = 20x + − = 3. 2x 4 10x 5 10 + 5 x − 2 = 4x 5x − 4 x = − 10 + 2 x=−8

x

4. 2 + 2 − 12 = 6 − 4

5.

3x 1 5 3x − + 2x = − mcm = 20 4 5 4 20 15x − 4 + 40x = 25 − 3x 55x + 3x = 25 + 4 58x = 29

29 x= 58 1 x= 2 2 5 7 3 − = − + 1 mcm = 30x 6. 3x x 10 2x 20 − 150 = 21x − 45 + 30x − 130 + 45 = 51x − 85 =x 51 −5 =x 3

7.

x−4 −5=0 3 x − 4 − 15 = 0

mcm = 3

x − 19 = 0 x = 19

x + 2 5x = mcm = 12 12 2 12x − x − 2 = 30x 11x − 30x = 2 − 19x = 2

8. x −

x=−

2 19

5x − 1 3 = 4x − mcm = 15 3 5 15x − 25x + 5 = 60x − 9 − 10x − 60x = − 9 − 5 − 70x = − 14

9. x −

− 14 − 70 1 x= 5 x=

10. 10 x −

8x − 3 = 2 ( x − 3) mcm = 4 4

40 x − 8 x + 3 = 8 ( x − 3)

15. 4 −

48 − 20 x − 2 = 48 x − 48 x − 9 − 20 x + 46 = − 9 − 20 x = − 55 − 55 x= − 20 11 x= 4

x− 2 x−3 x− 4 − = mcm = 60 3 4 5

20 ( x − 2) − 15 (x − 3) = 12 ( x − 4) 20 x − 40 − 15x + 45 = 12 x − 48

1 1 1 16. 2 ( x − 1) − ( x − 3) = 3 ( x + 3) + 6

− 7 x = − 53

3x − 3 − 6x + 18 = 2 x + 6 + 1 − 3x + 15 = 2 x + 7

53 x= 7

− 5x = − 8

x−1 x− 2 x− 3 x−5 − − =− 12. 2 3 4 5 mcm = 60

x=

30 ( x − 1) − 20 ( x − 2) − 15( x − 3) = − 12 ( x − 5)

17.

30x − 30 − 20 x + 40 − 15x + 45 = − 12 x + 60

8 5

6x + 1 11x − 2 1 5 − − (5x − 2) = (6 x + 1) 6 3 9 4

72 x + 12 − 44 x + 8 − 45x + 18 = 180 x + 30

− 5x + 12 x = 60 − 55

− 17 x + 38 = 180 x + 30

7x = 5 5 x= 7

)

− 197 x = − 8 x=

7 − 5x = 1 mcm = 10 10

10 x − 10 (5x − 1) − (7 − 5x) = 10

18.

5x − 6 1 + ( x − 5) = − 5x 4 3 mcm = 12

24 x − 3(5x − 6) + 4 ( x − 5) = − 60 x 24 x − 15x + 18 + 4 x − 20 = − 60x 13x − 2 = − 60x 13x + 60x = 2 2 x= 73

8 197

4x + 1 1 13 + 2 x 1 = (4 x − 1) − − ( x − 3) 3 3 6 2

mcm = 6

2 (4 x + 1) = 2 (4 x − 1) − (13 + 2 x ) − 3( x − 3)

10 x − 50 x + 10 − 7 + 5x = 10 − 35x + 3 = 10 − 35x = 7 −7 x= 35 1 x= − 5 14. 2 x −

mcm = 36

12 (6 x + 1) − 4 (11x − 2) − 9 (5x − 2) = 30 (6 x + 1)

− 5x + 55 = − 12 x + 60

(

mcm = 6

3( x − 1) − 6 ( x − 3) = 2 ( x + 3) + 1

5x − 12 x = − 48 − 5

13. x − 5x − 1 −

mcm = 12

48 − 2 (10 x + 1) = 48 x − 3 (16 x + 3)

40 x − 8x = 8 x − 24 − 3 40 x − 16 x = − 27 − 27 x= 24 9 x= − 8 11.

10 x + 1 16 x + 3 = 4x − 6 4

8 x + 2 = 8 x − 2 − 13 − 2 x − 3x + 9 2 = − 6 − 5x 8 = − 5x −

19.

8 =x 5

2 (5x − 1) + 103 (10x − 3) = − 21 (x − 2) − 65 5

4 (5x − 1) + 3 (10x − 3) = − 5 ( x − 2) − 12 20x − 4 + 30x − 9 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x + 10 − 12 50 x − 13 = − 5x − 2 55x = 11 x=

1 5

mcm = 10

20.

3 x − 1 5x + 4 x + 2 2 x − 3 1 − − = − 2 3 8 5 10 mcm = 120

x 3x + 5 2 11 = 3 12 − 25. 10 − 6 4 60 − 3x − 5 47 x ⇒ = − 6 12 8

60 (3x − 1) − 40 (5x + 4) − 15 (x + 2) = 24 (2 x − 3) − 12 180x − 60 − 200 x − 160 − 15x − 30 = 48 x − 72 − 12

4 (55 − 3x ) = 94 − 3x

− 35x − 250 = 48 x − 84 − 83x = 166

220 − 12 x = 94 − 3x − 12 x + 3x = 94 − 220 − 9 x = − 126

x= − 2 21.

7x − 1 5− 2x 4x − 3 1+ 4x2 − = + 3 2x 4 3x mcm = 12 x

x=

28x 2 − 4 x − 30 + 12 x = 12 x 2 − 9 x + 4 + 16 x 2 8 x − 30 = − 9 x + 4 17 x = 34 x=2

1 26. 9 x − 2 − 7 x  − x

x 1  1+ 2 + 2 43 = 2 2

 2 − x  x + 2 11 ⇒ 9x − 2 − 7x  = +  2  4 4

2 2 x + 7 2 ( x − 4) 4 x 2 − 6 7 x 2 + 6 − − = 22. 3 5x 15x 3x 2 2 mcm = 15x

 2 − x  x + 13 ⇒ 9x − 2 − 7  =  2  4 36x − 8 − 28 + 14 x = x + 13

10 x 3 + 35x 2 − 6 x 3 + 24 x − 4 x 3 + 6x = 35x 2 + 30 30 x = 30

50 x − 36 = x + 13 49 x = 49 x=1

30 30 x=1 x=

mcm = 60

27.

mcm = 4

36x − 8 − 14 (2 − x) = x + 13

5x 2 (2 x + 7) − 6 x ( x 2 − 4) − x (4 x 2 − 6) = 5 (7 x 2 + 6)

3x 7 12 x − 5 2 x − 3 4 x + 9 7 − − − + + =0 8 10 16 20 4 80

mcm = 160

60 x − 112 − 10 (12 x − 5) − 8 (2 x − 3) + 40 (4 x + 9) + 14 = 0

8 (x + 1) = 15( x − 6)

60 x − 112 − 120 x + 50 − 16 x + 24 + 160 x + 360 + 14 = 0

8 x + 8 = 15x − 90 8 x − 15x = − 90 − 8 − 7 x = − 98 − 98 x= −7 x = 14 24.

− 126 −9

x = 14

4 x (7 x − 1) − 6 (5 − 2 x ) = 3x (4 x − 3) + 4 (1 + 4 x 2 )

2  x + 1 3  x − 6  23. 3  5  = 4  3 

mcm = 24

84 x + 336 = 0 84 x = − 336 − 336 84 x= −4 x=

3  2 x − 1 4  3x + 2  1  x − 2  1  −  −   + =0 5 6  3  4  5 3  5 mcm = 60 6 (2 x − 1) − 20 (3x + 2) − 4 ( x − 2) + 12 = 0

12 x − 6 − 60 x − 40 − 4 x + 8 + 12 = 0 − 52 x − 26 = 0 x= −

26 1 =− 52 2

28.

5x 3 x + 24 − ( x − 20) − (2 x − 1) = mcm = 68 4 17 34 85x − 12 ( x − 20) − 68 (2 x − 1) = 2 ( x + 24) 85x − 12 x + 240 − 136 x + 68 = 2 x + 48 − 63x + 308 = 2 x + 48 − 65x = − 260 − 260 x= − 65 x=4

29. 5 +

5x  x 1 x 2 1  =  2 −  − +  10 −  4 3 2 3 4  3

EJERCICIO 142 3 3 1. 5 + 2 x − 1 = 0

20 + x 1  4 − x  2 1  30 − 5x  =  − +   4 3 2  3 4  3  20 + x 4 − x 2 30 − 5x ⇒ = − + 4 6 3 12 mcm = 12 ⇒

3(2 x − 1) + 15 = 0 6 x − 3 + 15 = 0 6 x = − 12 x= −2

3 (20 + x ) = 2 (4 − x ) − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = 8 − 2 x − 8 + 30 − 5x 60 + 3x = − 7 x + 30 10 x = − 30 x=−3

5 (x + 2) 4 22 − x 8 − x 20 − 3x 30. + − = 3x − 20 − − 12 9 36 12 18

2.

mcm = 36

15x + 30 − 6 + x = 108 x − 720 − 24 + 3x − 40 + 6 x − 101x = − 808 x=8

x  x x    3 −  −  1−  = 7 −  x −        2 3 2 31. x 6 − x 3− x ⇒ − = 7− mcm = 6 2 3 2 3(6 − x ) − 2 (3 − x) = 42 − 3x

18 − 3x − 6 + 2 x = 42 − 3x 12 − x = 42 − 3x 2 x = 30 x = 15 5  x  3 32. (x + 3)( x − 3) − x − 4 =  x − 5  −  3x − 4  5 4 x 12 x − 3 ⇒ x2 − 9 − x2 − = − 4 5 4 41 16 x − 60 x + 15 ⇒− = 4 20 41 − 44 x + 15 ⇒− = mcm = 20 4 20 − 205 = − 44 x + 15 − 220 = − 44 x 5= x

144 x − 9 (13x + 1) = 4 (2 x + 4) − 18 144 x − 117 x − 9 = 8 x + 16 − 18 27 x − 9 = 8 x − 2 19 x = 7 7 x= 19

mcm = 16 x 2 − 1

8 x + 2 = 12 x − 3 − 4x = − 5 5 x= 4 5 1 2 3. x 2 − 1 = x − 1 mcm = x − 1 5 = x +1 4=x 4.

3 1 − =0 x + 1 x2 − 1

mcm = x 2 − 1

3 ( x − 1) − 1 = 0

3x − 3 − 1 = 0 3x = 4 4 x= 3 5x + 8 5x + 2 = 5. 3x + 4 3x − 4

mcm = (3x + 4)(3x − 4)

(3x − 4)(5x + 8) = (5x + 2)(3x + 4)

2

3x − 1 2  x + 2  1  33. 2 x −  2 x − 8  = 3  6  − 4 16 x − 3x + 1 2 x + 4 1 ⇒ 2x − = − mcm = 72 8 18 4

2 3 = 4x − 1 4x + 1

2 (4 x + 1) = 3(4 x − 1)

15( x + 2) + 16 − 22 + x = 108 x − 720 − 3(8 − x ) − 2 (20 − 3x ) 16 x + 24 = 117 x − 784

mcm = 5 (2 x − 1)

15x 2 + 4 x − 32 = 15x 2 + 26 x + 8 − 26 x + 4 x = 8 + 32 − 22 x = 40 40 x= − 22 20 x= − 11 6.

10x 2 − 5x + 8 =2 5x 2 + 9 x − 19

mcm = 5x 2 + 9 x − 19

10 x 2 − 5x + 8 = 2 (5x 2 + 9 x − 19) 10 x 2 − 5x + 8 = 10x 2 + 18 x − 38 − 5x − 18 x = − 38 − 8 − 23x = − 46 x=

− 46 − 23

x= 2

7.

1 1 1 + = mcm = 12 ( x 2 − 1) 3x − 3 4 x + 4 12 x − 12

4 ( x + 1) + 3 ( x − 1) = x + 1

13.

3x − 9 = 2 x − 8 + 8

7x − x = 0

3x − 2 x = 9 x=9

6x = 0 x= 0

mcm = 4 (4 x − 5)

x (4 x − 5) − 4 (x 2 − 8 x ) = 7 (4 x − 5)

14.

6 x − 1 3 ( x + 2) 1 + 3 x − = 18 5x − 6 9

30 x 2 − 41x + 6 − 54 x − 108 = − 26 x − 12 + 30 x 2 − 95x − 102 = − 26 x − 12 − 69 x = 90

x = 35

90 69 x = − 1 237 x= −

mcm = 10 (2 x − 1)

(2 x − 9)(2 x − 1) + 10 (2 x − 3) = 2 x (2 x − 1) 4 x 2 − 20 x + 9 + 20 x − 30 = 4 x 2 − 2 x − 21 = − 2 x

5 3 6 2 15. 1 + x − 1 − x − 1 − x 2 = 0 mcm = 1 − x 5 (1 − x ) − 3(1 + x) − 6 = 0

− 21 =x −2

10.

(3x − 1) x −1

5 − 5x − 3 − 3 x − 6 = 0 − 8x − 4 = 0 − 8x = 4

10 21 = x

2

=

18x − 1 2

mcm = 2 ( x − 1)

x= −

2 (9 x 2 − 6x + 1) = (x − 1)(18 x − 1) 18 x 2 − 12 x + 2 = 18x 2 − 19 x + 1 − 12 x + 19 x = 1 − 2 7x = − 1 1 x= − 7 2x + 7 2x − 1 mcm = (5x + 2) (5x − 4) 11. 5x + 2 − 5x − 4 = 0

(2 x + 7)(5x − 4) − (2 x − 1)(5x + 2) = 0

10x 2 + 27 x − 28 − 10x 2 + x + 2 = 0 28 x = 26 13 x= 14 (5x − 2)(7 x + 3) − 1= 0 mcm = 7 x 5x − 1 12. ( ) 7 x (5x − 1)

(5x − 2)(7 x + 3) − 7 x (5x − 1) = 0

35x 2 + x − 6 − 35x 2 + 7 x = 0 8x = 6 x=

mcm = 18 (5x − 6)

(6x − 1)(5x − 6) − 54 (x + 2) = 2 (1+ 3x)(5x − 6)

4 x 2 − 5x − 4 x 2 + 32 x = 28 x − 35 27 x = 28 x − 35 − x = − 35 2x − 9 2x − 3 x 9. + = 10 2x − 1 5

mcm = x 2 − 7 x + 12

3( x − 3) = 2 ( x − 4) + 8

4 x + 4 + 3x − 3 = x + 1

x x 2 − 8x 7 8. − = 4 4x − 5 4

3 2 8 = + x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12

3 4

16.

1 2

1+ 2 x 1 − 2 x 3x − 14 − =− 1+ 3x 1 − 3x 1− 9 x 2

mcm = 1 − 9 x 2

(1+ 2 x)(1− 3x) − (1− 2 x)(1+ 3x) = − 3x + 14 1− x − 6x 2 − 1− x + 6x 2 = − 3x + 14 − 2 x = − 3x + 14 x = 14 3x − 1 1 7 17. x 2 + 7 x + 12 = 2 x + 6 + 6 x + 24 ⇒ x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4) ⇒ 2 x + 6 = 2 ( x + 3)

⇒ 6 x + 24 = 6 ( x + 4)

6 (3x − 1) = 3( x + 4) + 7 ( x + 3) 18 x − 6 = 3x + 12 + 7 x + 21 18 x − 6 = 10 x + 33 8 x = 39 39 x= 8 x = 4 78

mcm = 6 ( x + 3)( x + 4)

18.

1

−

3

mcm = 2 ( x − 1) ( x + 1)

3

=−

(x − 1) 2 x − 2 2 x + 2 2 ( x + 1) − 3 ( x − 1)( x + 1) = − 3( x − 1) 2

2

24.

2

7 1 2 3 − = − 3 x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4 1 2 3 7 − = − x − 1 x − 2 2 x − 2 6 x − 12

2 x + 2 − 3x + 3 = − 3x + 6 x − 3 2 x + 5 = 6x − 3 − 4x = − 8 x=2 2

2

5x + 13 4 x + 5 x − = 19. 15 5x − 15 3

mcm = 6 ( x − 1)( x − 2)

mcm = 15 ( x − 3)

6 ( x − 2) − 12 ( x − 1) = 9 ( x − 2) − 7 ( x − 1) 6 x − 12 − 12 x + 12 = 9 x − 18 − 7 x + 7 − 6 x = 2 x − 11

(5x + 13)(x − 3) − 3(4 x + 5) = 5x (x − 3) 5x 2 − 2 x − 39 − 12 x − 15 = 5x 2 − 15x − 14 x − 54 = − 15x x = 54 2x − 1

x−4

2

20. 2 x + 1 − 3x − 2 = 3

mcm = 3 (2 x + 1)(3x − 2)

3 (2 x − 1)(3x − 2) − 3 ( x − 4)(2 x + 1) = 2 (2 x + 1)(3x − 2)

− 8 x = − 11 − 11 3 = 18 x= −8 1 2 1 12 2 25. x + 3 − 5x − 20 = 3x − 12 − x + 3 mcm = 15( x − 4)(x + 3)

18 x 2 − 21x + 6 − 6 x 2 + 21x + 12 = 12 x 2 − 2 x − 4 18 = − 2 x − 4 22 = − 2 x − 11 = x

4 x + 3 3x + 8 21. 2 x − 5 − 3x − 7 = 1

15( x + 3) − 30 ( x − 4) 2 15x + 45 − 30 x − 120 15x − 60 − 6 x − 18 = 2

15( x − 4) − 6 (x + 3) =

mcm = (2 x − 5)(3x − 7)

2 (9 x − 78) = 15x + 45 − 2 (30 x − 120)

(4 x + 3)(3x − 7) − (3x + 8)(2 x − 5) = (2 x − 5)(3x − 7) 12 x 2 − 19 x − 21 − 6 x 2 − x + 40 = 6 x 2 − 29 x + 35 − 20 x + 19 = − 29 x + 35 9 x = 16 16 x= 9 x = 1 79

22.

10 x − 7 3x + 8 5x 2 − 4 = − 15x + 3 12 20 x + 4

18 x − 156 = 15x + 45 − 60 x + 240 18 x − 156 = − 45x + 285 63x = 441 x=7 1 4 10 3 − = − 26. 6 − 2 x 5 − 5x 12 − 4 x 10 − 10 x mcm = 20 (1 − x )(3 − x )

mcm = 12 (5x + 1)

10 (1 − x ) − 16 (3 − x ) = 50 (1 − x ) − 6 (3 − x ) 10 − 10 x − 48 + 16x = 50 − 50 x − 18 + 6 x

4 (10 x − 7) = (3x + 8)(5x + 1) − 3 (5x 2 − 4)

6 x − 38 = − 44 x + 32

40 x − 28 = 15x 2 + 43x + 8 − 15x 2 + 12 40 x − 28 = 43x + 20 − 3x = 48 x = − 16 23.

4x − 1 x − 2 8x − 3 + = − 1 103 5 2x − 7 10

mcm = 10 (2 x − 7)

2 (4 x − 1)(2 x − 7 ) + 10 ( x − 2) = (8 x − 3)(2 x − 7 ) − 13 (2 x − 7) 16 x 2 − 60 x + 14 + 10 x − 20 = 16 x 2 − 62 x + 21 − 26 x + 91 − 50 x − 6 = − 88 x + 112 38 x = 118 118 38 x = 3 192 x=

1 2 3 2 13 − = − x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4

50 x = 70 7 5 x = 1 25 x=

27.

2 6x 2 2 − 2 = 3 9 x − 1 3x − 1

mcm = 3 (9 x 2 − 1)

2 (9 x 2 − 1) − 18 x 2 = 6 (3x + 1) 18 x 2 − 2 − 18 x 2 = 18 x + 6 − 2 = 18 x + 6 − 8 = 18 x 4 − =x 9

28.

5x 2 − 27 x 1 − = x−6 5x + 3 x

mcm = x (5x + 3)

x−2 2x − 5 x−2 33. x 2 + 8 x + 7 = x 2 − 49 − x 2 − 6 x − 7 ⇒ x 2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)

x (5x 2 − 27 x ) − (5x + 3) = x (5x + 3)(x − 6)

⇒ x 2 − 49 = ( x + 7)( x − 7)

5x 3 − 27 x 2 − 5x − 3 = 5x 3 − 27 x 2 − 18 x − 5x − 3 = − 18 x 13x = 3 3 x= 13 4x + 1 6 4x − 1 − = mcm = 16 x 2 − 1 29. 4 x − 1 16 x 2 − 1 4 x + 1

(4 x + 1)

2

⇒ x 2 − 6x − 7 = ( x − 7)(x + 1)

mcm = ( x + 7)( x − 7)(x + 1) = ( x 2 − 49)( x + 1)

(x − 2)(x − 7) = (2 x − 5)(x + 1) − (x − 2)(x + 7) x 2 − 9 x + 14 = 2 x 2 − 3x − 5 − x 2 − 5x + 14 − 9 x + 14 = − 8x + 9 − x= −5 x=5

− 6 = (4 x − 1)

2

16 x 2 + 8 x + 1 − 6 = 16 x 2 − 8 x + 1 16 x − 5 = 1 16 x = 6 3 x= 8  x − 1  x + 1  5x ( x − 1) 30. 3   + 2 =  x + 1  x − 4  x 2 − 3x − 4

4x + 5 2x + 3 2x − 5 34. 15x 2 + 7 x − 2 − 12 x 2 − 7 x − 10 − 20 x 2 − 29 x + 5 = 0 ⇒ 15x 2 + 7 x − 2 = (3x + 2)(5x − 1)

⇒ 12 x 2 − 7 x − 10 = (4 x − 5)(3x + 2) ⇒ 20 x 2 − 29 x + 5 = (4 x − 5)(5x − 1) mcm = (3x + 2)(5x − 1)(4 x − 5)

mcm = x 2 − 3x − 4

(4 x + 5)(4 x − 5) − (2 x + 3)(5x − 1) − (2 x − 5)(3x + 2) = 0

3( x − 1)( x − 4) + 2 ( x + 1) = 5x ( x − 1) 2

3x 2 − 15x + 12 + 2 x 2 + 4 x + 2 = 5x 2 − 5x − 11x + 14 = − 5x − 6 x = − 14 −7 x= −3 x = 2 13

16 x 2 − 25 − 10 x 2 − 13x + 3 − 6 x 2 + 11x + 10 = 0 − 2 x − 12 = 0 − 2 x = 12 x= −6

35.

3 ( x + 1) 7 3 2 − = − 2x + 1 x + 4 x + 1 2x2 + 9x + 4

mcm = (2 x + 1)( x + 4)( x + 1)

 x + 2  x−2  x 2 + 78  − 3 = 2 31. 2   x − 2  2 x + 3 2 x − x − 6

7 ( x + 4 )( x + 1) − 3 (2 x + 1)( x + 1) = 2 (2 x + 1)( x + 4 ) − 3 ( x + 1)

2

mcm = (x − 2)(2 x + 3)

7 x 2 + 35x + 28 − 6 x 2 − 9 x − 3 = 4 x 2 + 18 x + 8 − 3x 2 − 6 x − 3 26 x + 25 = 12 x + 5

2 ( x + 2)(2 x + 3) − 3( x − 2) = x 2 + 78 2

14 x = − 20 10 x= − 7 x = − 1 73

4 x + 14 x + 12 − 3x 2 + 12 x − 12 = x 2 + 78 2

26 x = 78 x= 3 32.

1 1 3 − = x 2 + 3x − 28 x 2 + 12 x + 35 x 2 + x − 20 ⇒ x + 3x − 28 = ( x + 7)( x − 4) 2

⇒ x 2 + 12 x + 35 = ( x + 7)( x + 5) ⇒ x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4)

mcm = ( x + 7)( x + 5)(x − 4) x + 5 − ( x − 4) = 3 ( x + 7) x + 5 − x + 4 = 3x + 21 9 = 3x + 21 − 12 = 3x − 4= x

(x + 3) (x − 3)

2

36.

2

=

x − 1 2 (7 x + 1) + x + 1 x2 − 2x − 3

mcm = (x − 3) ( x + 1) 2

(x + 3) (x + 1) = (x − 3) (x − 1) + 2 (7 x + 1)(x − 3) 2

2

x 3 + 7 x 2 + 15x + 9 = x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 + 14 x 2 − 40 x − 6 9 = − 15 − 40 x 24 = − 40 x 3 − =x 5

37.

12 ( x + 3) x− 4 x+1 − =− x+5 x− 2 (x + 5)2

mcm = ( x + 5) ( x − 2) 2

(x + 5)(x − 2)(x − 4) − (x + 5) (x + 1) = − 12 (x + 3)(x − 2) 2

x 3 − x 2 − 22 x + 40 − x 3 − 11x 2 − 35x − 25 = − 12 x 2 − 12 x + 72 − 57 x + 15 = − 12 x + 72 − 45x = 57 57 45 x = − 1 154 x= −

38.

x− 3 x−2 x+ 2 x+3 − = − x− 4 x− 3 x+1 x+ 2

mcm = ( x − 4)( x − 3)( x + 1)( x + 2)

(x − 3) (x + 1)(x + 2) − (x 2

2

− 4)( x − 4)( x + 1) = ( x + 2) (x − 4)( x − 3) − ( x 2 − 9)( x − 4)( x + 1) 2

x 4 − 3x 3 − 7 x 2 + 15x + 18 − x 4 + 3x 3 + 8 x 2 − 12 x − 16 = x 4 − 3x 3 − 12 x 2 + 20 x + 48 − x 4 + 3x 3 + 13x 2 − 27 x − 36 3x + 2 = − 7 x + 12 10 x = 10 x=1 39.

x+ 6 x+1 x−5 x − = − x+ 2 x− 3 x−1 x+ 4

mcm = ( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x + 4)

( x + 6)(x − 3)(x − 1)(x + 4) − ( x

2

− 1)( x + 2)( x + 4) = ( x − 5)( x + 2)( x − 3)( x + 4) − x ( x + 2)( x − 3)( x − 1)

x + 6 x − 13x − 66 x + 72 − x − 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 8 = x 4 − 2 x 3 − 25x 2 + 26 x + 120 − x 4 + 2 x 3 + 5x 2 − 6 x 4

3

2

4

− 60 x + 80 = 20 x + 120 − 80 x = 40 x= −

EJERCICIO 143

(

)

1. a x + 1 = 1

1 x + 1= a 1 − 1+ x + 1= − 1 a 1− a x= a

2.

(

)

2 4. 3 2a − x + ax = a + 9

7. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab)

6a − 3x + ax = a 2 + 9

ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab

x (a − 3) = a 2 + 9 − 6a

ax + x = a 2 − 1

x (a − 3) = (a − 3)

x (a + 1) = (a + 1)(a − 1)

2

x=a−3

5. a ( x + b) + x (b − a ) = 2b (2a − x) ax + ba + xb − ax = 4ab − 2bx xb + 2bx = 4ab − ab 3bx = 3ab 3ab x= 3b x= a

ax − 4 = bx − 2 ax − bx = 4 − 2

x (a − b) = 2

2 x= a−b

1 2

(x − a) − (x + a) 2

6.

2

x= a−1

(

3. ax + b = a − bx ax + bx = a 2 − b 2 2

x (a + b) = (a + b)(a − b) x= a−b

2

2

)

(

3

2

)

3

− a 2 x − 2b 2 x = − a 3 − 2b 3 a 2 x + 2b 2 x = a 3 + 2b 3

= a (a − 7 x )

x 2 − 2ax + a 2 − x 2 − 2ax − a 2 = a 2 − 7ax 3ax = a 2 a2 3a a x= 3

(

a −a x−b x+b =b x−b 3

− 4ax + 7ax = a 2 2

)

8. a 2 a − x − b 2 x − b = b 2 x − b

x (a 2 + 2b 2 ) = a 3 + 2b 3 x=

a 3 + 2b 3 a 2 + 2b 2

( x + a)( x − b) − ( x + b)( x − 2a) = b (a − 2) + 3a

x=

x 2 − bx + ax − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a − 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a

9.

x (3a − 2b) = 3a − 2b x=1

(

)

(

2

)

2 2 10. x + a = a + x − a a − 1 x 2 + a 2 = a 2 + 2ax + x 2 − a 2 + a

16.

(m + 4 x)(3m + x) = (2 x − m)

2

2

a = 2ax + a 2

2

2mx = − 3m2

a (a − 1) =x 2a a −1 =x 2

3m2 2m 3m x= − 2 x= −

11. m (n − x) − m (n − 1) = m (mx − a )

mn − mx − mn + m = m2 x − am − mx − m2 x = − am − m

− xm (1 + m) = − m (a + 1) x= 12.

+ m (15x − m)

3m + 13mx + 4 x = 4 x − 4mx + m2 + 15mx − m2 2

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2 2 2 2 17. a a − x − a a + 1 − b b − x − b 1 − b + a 1 + a = 0 a 3 − a 2 x − a 3 − a 2 − b3 + b2 x − b + b 3 + a + a 2 = 0

− a 2 x + b2 x − b + a = 0

x (b 2 − a 2 ) − (b − a ) = 0

a+1 m+ 1

x (b − a )(a + b) = b − a

x − a + 2 = 2ax − 3 (a + x ) − 2 (a − 5)

x (a + b) = 1

x − a + 2 = 2ax − 3a − 3x − 2a + 10

x=

x − a = 2ax − 5a − 3x + 8 x + 4a − 8 = 2ax − 3x 4 (a − 2) = 2ax − 4 x

(ax − b) = (bx − a)(a − x) − x (b − a ) + a 2

4 (a − 2) = 2 x (a − 2)

18.

2

2

2

1 a+b

+ b (1 − 2b)

a x − 2abx + b = abx + bx − a − ax − bx + a x + a 2 + b − 2b2 2

2= x

2

2

2

2

2

2

2

ax (1 − 3b) = b (1 − 3b)

13. a ( x − a ) − 2bx = b (b − 2a − x )

x=

ax − a 2 − 2bx = b 2 − 2ab − bx

b a

ax − bx = b2 − 2ab + a 2

x (a − b) = (b − a )(b − a )

(a − b)(b − a) x= −

(x + b) − (x − a ) − (a + b) 2

19.

2

2

2

2

2

2 x (b + a ) − 2a (a + b) = 0

x= a−b

2 ( x − a )(a + b) = 0

14. ax + bx = ( x + a − b) − (x − 2b)( x + 2a)

2 x = 2a

2

x=a

x (a + b) = x 2 + 2ax − 2bx + a 2 − 2ab + b2 − x 2 − 2ax + 2bx + 4ab x (a + b) = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b)

2

20.

(x + m)

3

− 12m3 = − ( x − m) + 2 x 3 3

x 3 + 3x 2 m + 3xm2 + m3 − 12m3 = − x 3 + 3x 2 m − 3xm2 + m3 + 2 x 3

x= a+b

(

2

2bx + 2ax − 2a 2 − 2ab = 0

x = − (b − a )

)

=0

x + 2bx + b − x + 2ax − a − a − 2ab − b = 0 2

a−b

(

2

) (

) (

15. x a + b − 3 − a a − 2 = 2 x − 1 − x a − b

ax + bx − 3 − a 2 + 2a = 2 x − 2 − ax + bx 2ax − 2 x = a 2 − 2a + 1 2 x (a − 1) = (a − 1)

2

x=

a−1 2

)

2 x 3 + 6 xm2 − 2 x 3 = 12m3 6 xm2 = 12m3 12m3 6m2 x = 2m x=

EJERCICIO 144 1.

m 1 2 − = x m m 2 m − x = 2x

mcm = mx

7.

x − 3a 2a − x 1 − =− a2 ab a

b (x − 3a ) − a (2a − x ) = − ab bx − 3ab − 2a 2 + ax = − ab bx + ax = 2ab + 2a 2

x (a + b) = 2a (a + b)

m = 3x 2

m2 =x 3 2.

x = 2a

a b 4a mcm = 2x + = x 2 x 2a + bx = 8a bx = 6a 6a x= b

3.

mcm = mn

n ( x + m) − m ( x + n) = m2 + n 2 − 2mn xn + mn − mx − mn = m2 − 2mn + n 2 2

x (n − m) = − (n − m)(m − n)

x 1− x 1 − = 2a a 2 2a

x = n− m

x−b x− a = 2− 9. a b

x (a + 2) = a + 2 x=

x = − (m − n)

mcm = 2a 2

ax − 2 + 2 x = a

a+2 a+2

x=1

mcm = ab

b ( x − b) = 2ab − a ( x − a ) bx − b 2 = 2ab − ax + a 2 bx + ax = a 2 + 2ab + b2 x (a + b) = (a + b)

2

m n n + = + 1 mcm = mx x m x m2 + nx = mn + mx

x=a+b 4x 3 − 3= − 10. 2a + b 2

mcm = 2 (2a + b)

m2 − mn = mx − nx

8 x − 6 (2a + b) = − 3 (2a + b)

m= x

8 x − 12a − 6b = − 6a − 3b 8 x = 6a + 3b

m (m − n) = x (m − n)

5.

x + m x + n m2 + n 2 − = −2 8. m n mn

x (n − m) = (m − n)

ax − 2 (1 − x ) = a

4.

mcm = a 2b

a − 1 1 3a − 2 + = a 2 x mcm = 2ax

3 (2a + b) 8 2a + 3x 2 (6 x − a ) 11. = mcm = ( x + a )(4 x + a ) x+a 4x + a x=

2 x (a − 1) + ax = 2a (3a − 2) 2ax − 2 x + ax = 6a 2 − 4a

3ax − 2 x = 2a (3a − 2)

(2a + 3x)(a + 4 x) = (2 x + 2a)(6x − a)

2a 2 + 11ax + 12 x 2 = 12 x 2 + 10ax − 2a 2 ax = − 4a 2

x (3a − 2) = 2a (3a − 2) x = 2a a − x b − x 2 (a − b) − = 6. a b ab mcm = ab

b (a − x ) − a (b − x ) = 2 (a − b)

ab − bx − ab + ax = 2 (a − b)

x (a − b) = 2 (a − b) x= 2

x = − 4a

2 ( x − c) 2 x + c = 12. 4 x − b 4 ( x − b)

mcm = 4 (4 x − b)( x − b)

8 ( x − c)( x − b) = (2 x + c)(4 x − b)

8 x − 8 xb − 8 xc + 8bc = 8 x 2 − 2 xb + 4 xc − bc − 6 xb − 12 xc = − 9bc 2

− 6 x (b + 2c) = − 9bc x=

3bc

2 (b + 2c)

13.

5x + a 5x − b 19. 3x + b = 3x − a

1 m 1 1 − = − mcm = xmn n x mn x 2 xm − m n = x − mn

(3x − a)(5x + a ) = (5x − b)(3x + b)

xm − x = m2 n − mn

15x 2 − 2ax − a 2 = 15x 2 + 2bx − b 2

x (m − 1) = mn (m − 1)

− 2ax − 2bx = a 2 − b 2

x = mn

14.

( x − 2b)(2 x + a) = 2 mcm = x − a a − 2b + x ( )( ) ( x − a)(a − 2b + x) ( x − 2b)(2 x + a) = 2 ( x − a)(a − 2b + x) 2 x 2 + ax − 4bx − 2ab = − 4bx + 2 x 2 − 2a 2 + 4ab ax = 6ab − 2a

2

− 2 x (a + b) = (a + b)(a − b) x=

(

2

2

2

2

4ax = 2ax + a 2b 2ax = a 2b ab x= 2

(x + m) = (x + n)(x − n) x + 2mx + m2 = x 2 − n 2 2

2mx = − m2 − n 2 m +n 2m

21.

2

x (2 x + 3b)( x + b) = 2 x 2 − bx + b 2 16. x + 3b

2 x − 3a 11a − 2= 2 x + 4a x − 16a 2

(2 x − 3a)(x − 4a) − 2 (x

x (2 x + 3b)( x + b) = ( x + 3b)(2 x − bx + b

2

mcm = x 2 − 16a 2 2

2

2

− 11ax + 44a 2 = 11a

)

− 11ax = 11a − 44a 2

− 11ax = 11a (1− 4a)

2 x 3 + 5x 2b + 3b 2 x = 2 x 3 + 5bx − 2b 2 x + 3b 3 2

3b 2 x + 2b 2 x = 3b 3 3b x= 5 3  x x  1  x x  5a + 13b 17.  +  =  −  + 4  b a 3  b a 12a

x = − (1 − 4a) x = 4a − 1

3  ax + bx  1  ax − bx  5a + 13b ⇒  =  + 4  ab  3  ab  12a 3ax + 3bx ax − bx 5a + 13b ⇒ = + mcm = 12ab 4ab 3ab 12a

x2 x+ a 1 22. x + a + a 2 + ax = a 2

a + x 2 = x 2 + 2ax + a 2 a − a 2 = 2ax

a (1 − a) =x 2a 1− a =x 2

9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b 2 5ax + 13bx = 5ab + 13b 2

x (5a + 13b) = b (5a + 13b) x=b 2

(x + a )(3x − a ) = 3 (x − b)

2

mcm = 3 (3x − a )

2

2

2ax + 6bx = a 2 + 3ab

2 x (a + 3b) = a (a + 3b) x=

a 2

2

23.

2 (a + x) 3(b + x ) 6 (a 2 − 2b2 ) − = b a ab

mcm = ab

2a (a + x) − 3b (b + x ) = 6 (a 2 − 2b2 )

+ 3ab − 3b 2

3x + 2ax − a = 3x − 6bx + 3b + 3ab − 3b 2

mcm = a (x + a)

a + x 2 = (x + a)

3 (3ax + 3bx ) = 4 (ax − bx ) + b (5a + 13b)

x + a (x − b) 3ab − 3b 2 = + 3 3x − a 9 x − 3a

− 16a 2 ) = 11a

2 x − 11ax + 12a − 2 x + 32a 2 = 11a 2

mcm = x + 3b

2

18.

= a (2 x + ab)

x + 2ax + a − x + 2ax − a = 2ax + a 2b 2

2

x= −

mcm = ( x − a )( x + a ) 2

mcm = (m + x )(x − n)

2

)

( x + a ) − (x − a )

x = 2 (3b − a)

x+ m n+ x = x − n m+ x

b− a 2

a 2 x + ab 20. x + a − x − a = x−a x+a x2 − a2

ax = 2a (3b − a)

15.

mcm = (3x + b)(3x − a )

2

2a 2 + 2ax − 3b 2 − 3bx = 6a 2 − 12b2 2ax − 3bx = 4a 2 − 9b2

x (2a − 3b) = (2a − 3b)(2a + 3b) x = 2a + 3b

(

) (

1 )( ) (2mn − 3m n) n nm (n − x ) − n (m − n)(m + x) = n − (2mn

2 24. m n − x − m − n m + x = n −

2

mcm = n

2

3

2

− 3m2 n)

mn 2 − mnx − m2 n + mn2 − mnx + n2 x = n 3 − 2mn2 + 3m2 n − 2mnx + n 2 x = − 4mn2 + 4m2 n + n3 nx (n − 2m) = n (n2 − 4mn + 4m2 ) x (n − 2m) = (n − 2m)

2

x = n − 2m

EJERCICIO 145 x → N º buscado 1. 3x = 2 x − 11 x− 8

8 x − 3x = 8 (2 x − 11) 5x = 16x − 88 − 11x = − 88 − 88 x= − 11 x=8

2. x → N º buscado x+

5x = 3x − 14 6

6 x + 5x = 6 (3x − 14) 11x = 18 x − 84 − 7 x = − 84 x=

− 84 −7

x = 12

3. x → N º que se resta 6x 22 − x = 11 + 5

5(22 − x) = 55 + 6x

110 − 5x = 55 + 6 x − 11x = − 55 x=5 4. x → Nº que tiene diferencia 5 7 x − x = 30 mcm = 8 4 8 10x − 7x = 240 3x = 240 x = 80 5. x → Nº buscado 3 1 x − 17 = x − x mcm = 30 5 6 30x − 510 = 18 x − 5x − 510 = − 17 x 30 = x

6. x → N º buscado x 3 1  1 + x − 49 = 2  x − x 6 5 8 12  x 3 x mcm = 120 ⇒ + x − 49 = 5 8 6 24 x + 45x − 5. 880 = 20 x

49 x = 5 .880 x = 120 7. x → Edad de A 3x → Edad de B 5 3x  3x  x+ − 4= 2   5 5 5x + 3x − 20 = 6 x

10. x → Lo que tenia 1  1 x −  x + x = 39 mcm = 24 3 8  24 x − 8 x − 3x = 936 13x = 936 x = 72 bs. 11. x → Nº buscado x mcm = 3 3x − 48 = 3 9x − 144 = x

8x = 144 x = 18 12. x → Nº buscado

2 x = 20 x = 10 años → Edad de A 3⋅ 10 30 ⇒ = = 6 años → Edad de B 5 5 8. x → Lo que tiene A

7x → Lo que tiene B 8  7x  x + 90 = 2   mcm = 8  8 8 x + 720 = 14 x − 6 x = − 720 x = $ 120 → Tiene A 7 ⋅ 120 ⇒ = $ 105 → Tiene B 8 9. x → Long. pieza 3x = 40 mcm = 5 x− 5 5x − 3x = 200 2x = 200 x = 100 m

x + 30 2 8x − 38 = x + 60 7x = 98 x = 14 4x − 19 =

mcm = 5

mcm = 2

13. x → Nº buscado x = x − 10 mcm = 2 2 160 − x = 2x − 20 − 3x = − 180 x = 60 80 −

14. x → Nº buscado 7x 4x −2= mcm = 40 8 5 35x − 80 = 32 x 3x = 80 80 3 x = 26 23 x=

15. x → Ancho del buque 8x 9 8x 56 = 9 504 = 8x 504 =x 8 63 Pies = x

800 − 744 =

EJERCICIO 146 1.

x → N º menor

x → N º menor

2.

x + 1→ N º mayor 4 ( x + 1) = x− 4 5 4x + 4 = x− 4 5

3.

x + 1→ N º mayor

3 ( x + 1) 7x − 17 = mcm = 40 5 8

35x − 680 = 24 ( x + 1)

x − 81 =

− x = − 24

13x = 1. 612

x = 24 → N º menor

x = 124 → N º menor

⇒ x+1

⇒ x+1

= 64 + 1 = 65→ N º mayor

= 124 + 1 = 125

⇒ x+1

mcm = 20

20 x − 1. 620 = 15x − 8 (x + 1)

11x = 704 x = 64 → N º menor

4 x + 4 = 5x − 20

3x 2 (x + 1) − 4 5

20 x − 1. 620 = 15x − 8 x − 8

35x − 680 = 24 x + 24

4 x + 4 = 5 ( x − 4)

x → N º menor x + 1→ N º mayor

x → N º mayor

= 24 + 1 = 25 → N º mayor 4.

x → N º menor

5.

x + 1 → N º mayor

3( x + 1) 1 1 x − 8= mcm = 660 (x + 1) + 33 5 20

132 ( x + 1) + 20x − 5. 280 = 99 (x + 1) 132 x + 132 + 20x − 5.280 = 99 x + 99

152 x − 99 x = 5.148 + 99 53x = 5. 247 x = 99 → N º menor

2 x → N º menor 2 x + 2 → N º mayor

(2 x + 2)

2

x + x + 1− 25 =

2x 5

5(2 x − 24) = 2 x

10 x − 120 = 2 x 8x = 120 x = $ 15 → Gane ayer ⇒ x + 1 = 15 + 1 = $ 16 → Gane hoy 9.

x → Tiene B x + 1 → Tiene A x − 8=

4 ( x + 1)

− 4 mcm = 5 5 5x − 40 = 4 x + 4 − 20

8 x = 320 x = 40 ⇒ 2 x = 2 ⋅ 40 = 80 → N º menor

5x − 4 x = 40 − 16

⇒ 2 x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor

8.

x → Gane ayer x + 1 → Gane hoy

− ( 2 x ) = 324

4 x 2 + 8 x + 4 − 4 x 2 = 324

⇒ x + 1 = 99 + 1 = 100 → N º mayor

7.

6.

2

x = $ 24 → Tiene B ⇒ x + 1 = 24 + 1 = $ 25 ⇒ Tiene A

x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor x x+1 x+ 2 + + =9 20 27 41

mcm = 22 .140

1.107 x + 820 ( x + 1) + 540 ( x + 2) = 199 . 260

1.107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1. 080 = 199 . 260 2 . 467 x = 197 . 360 x = 80 → N º menor ⇒ x + 1 = 80 + 1 = 81 → N º medio ⇒ x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor

x → N º menor x + 1 → N º medio

10.

x + 2 → N º mayor

3x 5 ( x + 2 ) + − 31 = x + 1 mcm = 30 5 6

18 x + 25 ( x + 2) − 930 = 30 x + 30 18 x + 25x + 50 − 930 = 30 x + 30 43x − 30 x = 880 + 30 13x = 910

x = 70 x → N º menor ⇒ x + 1 = 70 + 1 = 71

→ N º medio

⇒ x + 2 = 70 + 2 = 72 → N º mayor

x → N º menor x + 1 → N º medio x + 2 → N º mayor

3( x + 1) 3x 1 − − 1 = ( x + 2) mcm = 770 7 10 11

330 ( x + 1) − 231x − 770 = 70 ( x + 2) 330 x + 330 − 231x − 770 = 70 x + 140 29 x = 580

x = 20 → N º menor ⇒ x + 1 = 20 + 1 = 21 → N º medio ⇒ x + 2 = 20 + 2 = 22 → N º mayor

11.

x → Edad B x + 2 → Edad A x − 2 → Edad C

12.

x + 1 → Edad C

7 ( x + 2) x + x − 2 − 12 = 8

17 ( x − 1) (x + 1) − x = 5 − 4 5 ( x + 2 x + 1) − 5x = 17 ( x − 1) − 20 2

8 (2 x − 14) = 7 ( x + 2)

2

16 x − 112 = 7 x + 14 9 x = 126

2

mcm = 5

2

5x + 10 x + 5 − 5x = 17 x − 17 − 20 − 7 x = − 42 2

x = 14 → Edad B

2

x = 6 → Edad B ⇒ x − 1 = 6 − 1 = 5 → Edad A ⇒ x + 1 = 6 + 1 = 7 → Edad C

⇒ x + 2 = 14 + 2 = 16 → Edad A ⇒ x − 2 = 14 − 2 = 12 → Edad C

EJERCICIO 147 x → N º mayor 1. 59 − x → N º menor x−5 =2 59 − x

x → Edad B x − 1 → Edad A

3.

x → N º mayor x − 44 → N º menor

5.

2 x − 40

3(260 − x )

x−2 =3 x − 44

2 x − 40 = 1.560 − 6 x

x − 2 = 3x − 132 − 2 x = − 130

x − 5 = 118 − 2 x 3x = 123

8 x = 1. 600 x = 200 → Parte mayor

x = 65 → N º mayor ⇒ x − 44 = 65 − 44 = 21 → N º menor

x = 41 → N º mayor ⇒ 59 − x = 59 − 41 = 18 → N º menor

⇒ 260 − x

6. x → N º mayor 2. 436 − x → N º menor

x → N º mayor 4. x − 56 → N º menor

x − 73 =2 436 − x

x − 8 = 3 ( x − 56)

x − 73 = 872 − 2 x 3x = 945 x = 315 → N º mayor ⇒ 436 − x = 436 − 315 = 121 → N º menor

= 260 − 200 = 60 → Parte menor x → Parte de A 196 − x → Parte de B 3x − 16 8 =1 196 − x 5 3x − 128 5 ⋅ =1 8 196 − x

x−8 =3 x − 56

x − 73 = 2 (436 − x )

=2

2 x − 40 = 6 (260 − x )

x − 2 = 3 ( x − 44)

x − 5 = 2 (59 − x )

x → Parte mayor 260 − x → Parte menor

5 (3x − 128) = 8 (196 − x )

x − 8 = 3 x − 168 − 2 x = − 160 x = 80 → N º mayor ⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor

15x − 640 = 1.568 − 8 x 23x = 2 . 208 x = 96 soles → Parte de A ⇒ 196 − x = 196 − 96 = 100 soles → Parte de B

EJERCICIO 148 1. x → Ganó el 1er día x → Ganó el 2º día 2 x → Ganó el 3 er día 4 x x x + + = 175 mcm = 4 2 4 4 x + 2 x + x = 700 7 x = 700 x = $ 100 → Ganó el 1er día x 100 = = $ 50 → Ganó el 2º día 2 2 x 100 ⇒ = = $ 25 → Ganó el 3 er día 4 4 ⇒

2.

x → Perdió miercoles

3. x → Tiene A

3 x → Perdió jueves 5 1 x → Perdió viernes 2 3 1 x + x + x = 252 mcm = 10 5 2 10x + 6x + 5 x = 2 . 520 21x = 2 . 520 x = $ 120 → Perdió miercoles 3 ⇒ ⋅120 = $ 72 → Perdió jueves 5 1 ⇒ ⋅120 = $ 60 → Perdió viernes 2

2 x → Tiene B 3 2 x → Tiene C 5 2x 2 x + = 248 mcm = 15 x+ 3 5 15x + 10x + 6x = 3 . 720 31x = 3 . 720 x = 120 suc. → Tiene A 2 ⇒ ⋅ 120 = 80 sucres → Tiene B 3 2 ⇒ ⋅ 120 = 48 sucres → Tiene C 5

4.

x → Edad A 3 x → Edad B 5 9 x → Edad C 40 3x 9x + = 73 mcm = 40 x+ 5 40 40x + 24x + 9x = 2 . 920 73x = 2 . 920

x = 40 40 años → edad de A 3 ⇒ ⋅ 40 = 24 años → edaddeB 5 9 ⇒ ⋅ 40 = 9 años → edadde C 40 er 5. x → 1 día 1 x → 2º día 3 1 x → 3º día 9 1 x → 4º día 27 1 1 1 x+ x+ x+ x = 120 mcm = 27 3 9 27 27x + 9x + 3x + x = 3 . 240 40x = 3 . 240 x = 81 Km. 81 Km. → 1er día 1 ⇒ ⋅ 81= 27 Km. → 2º día 3 1 ⇒ ⋅ 81= 9 Km. → 3º día 9 1 ⇒ ⋅ 81= 3 Km. → 4º día 27 6.

x → 1ª semana 11 x → 2ª semana 10 121 x → 3ª semana 100 1. 331 → 4ª semana 1.000

Continuación 6. 1. 000 Km. → 1ª semana 11 ⇒ ⋅1. 000 = 1.100 Km. → 2ª semana 10 121 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 210 Km. → 3ª semana 100 1. 331 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 331Km. → 4ª semana 1. 000

7. x → 1ª Persona

;

x → 2 ª Persona 2 x → 4 ª Persona 40

x → 3ª Persona ; 8 x → 5ª Persona 400 x x x x x+ + + + = 330 .500 mcm = 400 2 8 40 400 400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x = 132 ' 200 . 000 661x = 132 ' 200 . 000 x = 200 . 000 colones 200 . 000 colones → 1ª Persona x 200 . 000 ⇒ = = 100 . 000 colones → 2 ª Persona 2 2 x 200 . 000 ⇒ = = 25 . 000 colones → 3ª Persona 8 8 x 200 . 000 ⇒ = = 5. 000 colones → 4 ª Persona 40 40 x 200 . 000 ⇒ = = 500 colones → 5ª Persona 400 400

8.

x → Re c. en barco 4 x → Re c. en tren 9 5 x → Re c. en avión 18 4 x 5x + = 9 . 362 mcm = 18 x+ 9 18 18x + 8x + 5x = 168 . 516 31x = 168. 516

11 121 1. 331 x = 5 . 436 Km. x+ x+ x = 4 . 641 mcm = 1. 000 10 100 1. 000 5 . 436 Km. → Re c. en barco 1. 000x + 1.100x + 1. 210x + 1. 331x = 4' 641. 000 4 4 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 2 . 416 Km. → Re c. en tren 4 . 641x = 4' 641. 000 9 9 x = 1. 000 Km. 5 5 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 1. 510 Km. → Re c. en avión 18 18 Continúa x+

EJERCICIO 149 1. x → Tenía al principio 5. x → Aves en la granja 8. x → Tenía al principio 4 x 2 ( x − 20) x → Palomas x − − 15 = 30 mcm = 2 = 10 mcm = 3 x − 20 − 5 2 3 4 x 2x − x − 30 = 60 3x − 60 − 2 ( x − 20) = 30 Re sto x− x= 5 5 x = 90 3x − 60 − 2 x + 40 = 30 x 3 3 Tenía al principio $ 90 → ⋅ = x → Gallinas x − 20 = 30 5 4 20 x = 50 4 x 3x − = 4 mcm = 20 x− $ 50 → Tenía al principio 5 20 x → Tenía al principio 2. 20x − 16x − 3x = 80 9. x → Tenía al principio x x x = 80 3 − = 21 mcm = 4 x − x + 1. 300 = x + 100 2 4 80 → Aves en la granja 4 2x − x = 84 mcm = 4 4 4 ⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas x = 84 4 x − 3x + 5 . 200 = 4 x + 400 5 5 84 Q. → Tenía al principio 3 3 − 3x = − 4 . 800 ⇒ ⋅ 80 = 12 → Gallinas x= 3. x → Tengo ahora 20 20 x = 1. 600 4 → Gallos 4 ( x + 7) 1. 600 suc. → Tenía al principio = 20 mcm = 5 x + 7− 6. x → Tenía al principio 5 4 x 5x + 35 − 4 (x + 7) = 100 x− x= → quedó 5 5 5x + 35 − 4 x − 28 = 100 2 x 2 x + 7 = 100 ⋅ = x → Perdí 10. x → Tenía al principio 3 5 15 x = 93 3 x 4 2 → quedó x− x= x− x− x − 8 = 0 mcm = 15 $ 93 → Tengo ahora 4 4 5 15 → x Tenía al principio 4. 2 x x 15x − 12x − 2x − 120 = 0 ⋅ = → Libros 2x 3 3 4 6 120 = x = x → quedó x− 5 5 3 x 2 120 soles → Tenía al principio x − x − = x − 38 5 3 1 4 6 5 ⋅ x = x → prestó 7. x → Tenía al principio 6 5 2 mcm = 60 5 Luego x− x + 42 = x + 2 mcm = 12 60x − 45x − 10x = 24x − 2 . 280 12 2 1 − 19x = − 2 . 280 12x − 5x + 504 = 12x + 24 x − x − x = 500 mcm = 10 5 2 x = 120 − 5x = − 480 10x − 4x − 5x = 5 . 000 $ 120 → Tenía al principio x = 96 x = 5 . 000 $ 96 → Tenía al principio 5 . 000 bs. → Tenía al principio

EJERCICIO 150 1.

x → Edad actual A 3x → Edad actual B 1 x − 15 = (3x − 15) mcm = 6 6 6x − 90 = 3x − 15 3x = 75 x = 25 años → Edad actual A ⇒ 3x = 25⋅ 3 = 75 años → Edad actual B

2.

x → Edad actual B 3x → Edad actual A 3x + 20 = 2 ( x + 20)

3x + 20 = 2 x + 40 x = 20 años → Edad actual B ⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60 años → Edad actual A

3.

x → Edad actual A 9 x − 5 = ( x + 5) mcm = 11 11 11x − 55 = 9 x + 45 2 x = 100 x = 50

8.

3( x − 15) mcm = 8 8 8 x − 320 = 3x − 45 5x = 275 x = 55 55 años → Edad padre ⇒ x − 25 = 55 − 25 = 30 años → Edad hijo x − 25 − 15 =

50 años → Edad actual A 4.

x → Edad actual A

2 ( x − 6) = x + 24

2 x − 12 = x + 24 x = 36 36 años → Edad actual A 5.

x → Edad hijo 3x → Edad padre 2 ( x + 16) = 3x + 16

2 x + 32 = 3x + 16 16 = x 16 años → Edad hijo ⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre

6. x → Edad padre 2 x → Edad hijo 5

2 ( x − 8) 2 x = − 8 mcm = 35 7 5 10 x − 80 = 14 x − 280 200 = 4 x

50 = x 50 años → Edad padre ⇒

2 2 x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo 5 5

7. x → Edad actual de A 65 − x → Edad actual de B

5( x + 10) mcm = 12 12 900 − 12 x = 5x + 50 850 = 17 x 50 = x 50 años → Edad actual de A ⇒ 65 − x = 65 − 50 = 15 años → Edad actual de B 65 − x + 10 =

x → Edad padre x − 25 → Edad hijo

9.

2 x → Edad padre hace 10 años x → Edad hijo hace 10 años 2 x + 10 → Edad actual padre x + 10 → Edad actual hijo 3 ( x + 10 + 10) 2 4 x + 40 = 3x + 60

2 x + 10 + 10 =

mcm = 2

x = 20 ⇒ 2 x + 10 = 2 ⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed . act . padre ⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed . act . hijo

10. x + 18 → Edad de A x → Edad de B

5( x − 18) mcm = 2 2 2 x = 5x − 90 90 = 3x 30 = x 30 años → Edad de B ⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A x + 18 − 18 =

11. 3x → Edad A x → Edad B 3x − 4 + x − 4 = x + 16 4x − 8 = x + 16 3x = 24 x=8 8 años → Edad B ⇒ 3x = 3 ⋅ 8 = 24 años → Edad A

x → Tiene A 2 x → Tiene B 3 x → Tiene B 2 7 2 x → Tiene A x + 22 = ( x − 22) mcm = 15 3 5 4 ( x + 20) 10 x + 330 = 21x − 462 2 x − 20 = mcm = 5 5 792 = 11x 10 x − 100 = 4 x + 80 72 = x $ 72 → Tiene A 6 x = 180 2 2 ⇒ x = ⋅ 72 = $ 48 → Tiene B x = 30 3 3 30 soles → Tiene B 7. x → Tiene B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 30 = 60 soles → Tiene A 4 x → Tiene A x → Tiene B 5 4 x x + 13 = x − 5 mcm = 5 → Tiene A 5 2 x 4x + 65 = 5x − 25 x − 24 = + 24 mcm = 2 2 90 = x $ 90 → Tiene B 2x − 48 = x + 48 4 4 ⇒ x = ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A x = 96 5 5 96 colones → Tiene B 8. x → Tiene A x 96 x ⇒ = = 48 colones → Tiene A → Tiene B 2 2 2 x → Tiene A x 1 + x = x + 5 mcm = 6 2 x → Tiene B 2 3 3x + 2x = 6x + 30 3 2 x − 6) = x + 6 mcm = 5 ( 5x = 6x + 30 5 6 x − 18 = 5x + 30 30 = x $ 30 → Tiene A x 30 x = 48 ⇒ = = $ 15 → Tiene B 2 2 $ 48 → Tiene A 9. x → Empezaron A y B ⇒ 2 x = 2 ⋅ 48 = $ 96 → Tiene B 3 x → Tiene A x − x = x − 24 mcm = 5 5 3 x → Tiene B 5x − 3x = 5x − 120 5 − 3x = − 120 3 9 x + 30 = (x − 30) mcm = 5 x = 40 5 5 40 balboas → Empezaron A y B 3x + 150 = 9 x − 270 x Empezaron A y B 10. 420 = 6 x

EJERCICIO 151 1.

2.

3.

4.

6.

70 = x $ 70 → Tiene A 3 3 ⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B 5 5 5. x → Tiene A yB x + 30 x − 30 = mcm = 2 2 2x − 60 = x + 30 x = 90 90 suc. → Tiene A yB

x x

x

Le queda B

parte de lo queda B B2

5 3 4 4

x

4.

x → Numerador

x → Numerador

5.

2 x + 1→ Deno min ador x−4 1 = 2x + 1 3

2 x + 6 → Deno min ador 4 x + 15 = 2x + 6 − 1 3

3 ( x − 4) = 2 x + 1

 x  x = 3  −2 x + 1+ 4  x + 1

x + 15 4 = 2x + 5 3

3x − 12 = 2 x + 1 x = 13 13 → Numerador 2 ⋅ 13 + 1 = 27 → Deno min ador 13 → Fracción 27

3x + 45 = 8 x + 20 25 = 5x 5= x 5 → Numerador

x → Numerador

5 → Fracción 16

3x − 1→ Deno min ador 11 x+8 = 3x − 1 + 4 12 x + 8 11 = 3x + 3 12

3x x = −2 x+5 x+1

3 ( x + 15) = 4 (2 x + 5)

2 ⋅ 5 + 6 = 16 → Deno min ador 7.

x → Numerador x + 1→ Deno min ador

6.

8.

x → Numerador x − 22 → Deno min ador x x − 15 − = 3 mcm = x − 22 x − 22 x − 22

mcm = (x + 5)( x + 1)

x ( x + 1) = 3x (x + 5) − 2 (x + 5)(x + 1) x 2 + x = 3x 2 + 15x − 2 x 2 − 12 x − 10 x = 3x − 10 10 = 2 x 5= x 5 → Numerador 5 + 1 = 6 → Deno min ador 5 → Fracción 6

x − ( x − 15) = 3 ( x − 22)

12 ( x + 8) = 33( x + 1)

15 = 3x − 66

12 x + 96 = 33x + 33

81 = 3x

63 = 21x

27 = x

3= x 3 → Numerador

27 → Numerador

3 ⋅ 3 − 1 = 8 → Deno min ador

27 − 22 = 5 → Deno min ador

3 → Fracción 8

27 → Fracción 5

EJERCICIO 155 1.

x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas

10 ( x + 2) + x

10 x + 20 + x 11x + 20 → El Número 11x + 20 2 ( x + 1)

=7

11x + 20 = 14 ( x + 1) 11x + 20 = 14 x + 14 6 = 3x 2= x 2 → cifra de unidades 2 + 2 = 4 → cifra de decenas 42 → N º buscado

2.

x → cifra de unidades x − 4 → cifra de decenas

10 ( x − 4) + x

3.

x → cifra de unidades 2 x → cifra de decenas

10 x − 40 + x 11x − 40 → El Número

10 ( 2 x ) + x − 9 21x − 9 → N º dis min uido en 9

11x − 40

21x − 9 =6 3x 21x − 9 = 18x

2 ( x − 2)

=4

11x − 40 = 8 x − 16 3x = 24 x=8 8 → cifra de unidades 8 − 4 = 4 → cifra de decenas 48 → N º buscado

3x = 9 x= 3 63 → N º buscado

4.

x → cifra de unidades x + 1 → cifra de decenas

10 ( x + 1) + x 3 (11x + 10)

33x + 30 → N º multip.* 3 33x + 30 = 21(2 x + 1) 33x + 30 = 42 x + 21 9 = 9x 1= x 1 → Cifra de unidades 1 + 1 = 2 → Cifra de decenas 21 → N º buscado 5.

x → cifra de unidades 7 − x → cifra de decenas

10 (7 − x ) + x + 8

78 − 9 x → N º aumentado en 8 78 − 9 x

2 (7 − x )

=6

78 − 9 x = 12 (7 − x ) 78 − 9 x = 84 − 12 x 3x = 6 x=2

52 → N º buscado 6.

x → cifra de unidades x + 2 → cifra de decenas

10 (x + 2) + x

11x + 20 → El Número 11x + 20 − 27 = 10 x 11x − 7 = 10 x x= 7 7 → cifra de unidades 7 + 2 = 9 → cifra de decenas 97 → N º buscado 7. x → cifra de unidades

2 x → cifra de decenas 10 ( 2 x) + x − 4 21x − 4 → N º dis min en 4 21x − 4 = 20 2x − x 21x − 4 = 20x x=4 84 → N º buscado

EJERCICIO 156 1. x → Días trabaj. juntos 1 1 1 + = mcm = 6x 3 6 x 2x + x = 6 3x = 6 x=2

Continuación 4. 8x + 2x + 5x = 12 15x = 12

12 15 4 x= 5 x=

2 días → Hacen la obra 2. x → Tiempo en llenar depósito 4 de día hacen la obra 1 1 1 5 mcm = 20x + = 10 20 x 5. x → Tiempo en llenar depósito 2x + x = 20 1 1 1 1 + + = mcm = 60x 3x = 20 5 6 12 x 20 12x + 10x + 5x = 60 x= 3 27x = 60 x = 6 23 60 x= 6 23 min. → En llenar depósito 27 x = 2 29 3. x → Hacen obra juntos 1 1 1 1 + + = 4 6 12 x 3x + 2x + x = 12

mcm = 12 x

6 x = 12 x=2 2 días → Hacen obra juntos 4. x → Hacen obra juntos 1 1 1 1 + + = 1 21 6 2 25 x 2 1 5 1 mcm = 12x + + = 3 6 12 x

2 29 min → Llenar el depósito 6. x → Tiempo en llenar depósito 1 1 1 1 mcm = 40x + − = 4 8 20 x 10x + 5x − 2x = 40 13x = 40 40 x= 13 x = 3 131

3 131 min. → Llenar el depósito

Continúa

EJERCICIO 157 1.

ABCD = x AB = 5 X BC = 12 CD = 30 x = 5 + 30 +

x 12

x 12 12x = 420 + x 11x = 420 420 2 x= = 38 11 11 x = 35 +

2.

3.

5.

AB = x BD = 15

ABCD = x

AB = x

AB = 10 x BC = 12 CD = 15

BD = 30

AC = 50 X CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 50 + mcm = 12 12 12x + 180 = 600 + x 11x = 420 420 x= 11 2 x = 38 11

AC = 40 CD =

x 12

ABCD = AB + BC + CD x + 15 12 x x = 25 + 12 mcm = 12 x = 10 +

AB + BD = AC + CD x mcm = 12 12 12x + 360 = 480 + x x + 30 = 40 +

12x = 300 + x

11x = 120

11x = 300 300 x= 11 3 x = 27 11

120 11 x = 10 10 11 x=

4.

6.

AB = x BD = 45 AC = 50 x CD = 12 AC + CD = AB + BD x = x + 45 mcm = 12 50 + 12 600 + x = 12x + 540 60 = 11x 60 =x 11 5 5 11 =x

x 12 BC = 30 AB =

ABC = x ABC = AB + BC x + 30 mcm = 12 12 12x = x + 360 x=

11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11

ABC = x AB = 20 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11

7.

8.

10.

ABCD = x

ABCD = x AB = 30 x BC = 12 CD = 15 ABCD = AB + BC + CD x x = 30 + + 15 mcm = 12 12 12x = 360 + x + 180 11x = 540 540 x= 11 1 x = 49 11

AB = x BD = 15 AC = 30 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 30 + 12 x x− = 15 mcm = 12 12 12x − x = 180 11x = 180 180 x= 11 4 x = 16 11

AB = 15 x BC = 12 CD = 5

ABC = x AB = 50 x BC = 12 ABC = AB + BC x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 9.

ABCD = AB + BC + CD x +5 x = 15 + 12 x x = 20 + mcm = 12 12 12x = 240 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11

11.

AB = x BD = 15 AC = 35 x 12 AB + BD = AC + CD x x + 15 = 35 + 12 12x + 180 = 420 + x 11x = 240 240 x= 11 9 x = 21 11 CD =

ABCD = x AB = 40 x BC = 12 CD = 10 ABCD = AB + BC + CD x x = 40 + + 10 12 x x = 50 + mcm = 12 12 12x = 600 + x 11x = 600 600 x= 11 6 x = 54 11 Continúa

11. Continuación

EJERCICIO 158

1.

x → N º mayor x − 6 → N º menor x 3 − 10 = ( x − 6) mcm = 8 8 2 4 x − 80 = 3x − 18 x = 62 → N º mayor 62 − 6 = 56 → N º menor

AB = x BD = 10 AC = 40 x CD = 12 AB + BD = AC + CD x x + 10 = 40 + 12 x = 30 x− 12 mcm = 12 12x − x = 360 11x = 360 360 x= 11 8 x = 32 11

3. x → Nº buscado x+6 +5 8 x + 46 → Cociente sumado 5 8 x + 46 8 = x + 46 → Nueva sum ÷ en 2 2 16 x + 46 =4 16 x + 46 = 64 x = 18 → Nº buscado

2. x → Le dió A a B 11 120 − x = 90 + x mcm = 10 10 1. 320 − 11x = 900 + 10 x

(

)

420 = 21x 20 = x $ 20 → Le dió A a B

4. x → Persona favorecida 5 x → Persona que recibió menos 7 5 x + x = 48 . 000 mcm = 7 7 7x + 5x = 336 . 000 12x = 336 . 000 x = 28 . 000

28 . 000 soles → Pers. favorecida 5 ⋅ 28 . 000 = 20 . 000 7 20 . 000 soles → Pers. que rec .men.

5.

x → Parte mayor 84 − x → Parte menor 1 1 x = (84 − x ) 10 4

mcm = 20

2 x = 5(84 − x ) 2 x = 420 − 5x 7 x = 420 x = 60

60 → Parte mayor 84 − 60 = 24 → Parte menor 6.

7.

x → Parte mayor 120 − x → Parte menor 3 120 − x = x mcm = 5 5 600 − 5x = 3x 600 = 8x 75 = x → Parte mayor 120 − 75 = 45 → Parte menor

9.

x → Edad de A 2 x → Edad de B 5 2 2 4 ⋅ x= x → Edad de C 3 5 15 4 2 x+ x+ x = 25 mcm = 15 5 15 15x + 6x + 4x = 375 25x = 375 x = 15 15 años → Edad de A 2 ⋅15 = 6 años → Edad de B 5 4 ⋅15 = 4 años → Edad de C 15

12. Continuación

7x 3 21x ⋅ = → Vr. total vta. 4 2 8 de todos los lib. Luego 21x 51x − = 54 mcm = 40 8 40 105x − 51x = 2 .160 54x = 2 .160 x = 40 7x 7 ⋅ 40 = = 70 4 4 70 → Total libros comprados

10. x → Costo auto x 8 . 000 + = x + 2 . 000 mcm = 3 3 24 . 000 + x = 3x + 6 . 000 13. x → Sueldo mensual 18 . 000 = 2x

x 3 7 + x = x → mensual 2 8 8 7  15x − 15  x = 300 mcm = 8 8  120 x − 105x = 2 . 400 15x = 2 . 400 x = 160 $ 160 → Sueldo mensual

9 . 000 = x 9 . 000 bs → Costo auto

11. x → Libros compre 7x 5x − = 8 mcm = 2 2 2 7x − 5 x = 16 2x = 16 x = 8 → Lib. compre

8. x → Lo que tenía 12. 1 x → Gastó en ropa 5 3 x → Gastó en libros 8 1 3 x − x − x − 102 = 0 mcm = 40 5 8 40x − 8x − 15x − 4 . 080 = 0 17x = 4 . 080 x = 240 1 ⋅ 240 = $ 48 → Gastó en ropa 5 3 ⋅ 240 = $ 90 → Gastó en libros 8

x → Cierto N º de libros 3x → Vr. cierto N º de libros 4 3x  7  21x 3 → Vr. del N º  = 4  10 40 4 de lib. ant . 3x 21x 51x + = → Vr. total de 4 40 40 lib. compré x+

3x 7 x = → total lib. comp. 4 4 Continúa

x → 1ª parte 5x → 2ª parte 6 3 5x 1 ⋅ = x → 3ª parte 5 6 2 1 1 1 ⋅ x = x → 4ª parte 3 2 6 5x 1 1 + x + x = 150 x+ 6 2 6 mcm = 6 6x + 5x + 3x + x = 900 15x = 900 x = 60 60 → 1ª parte 5 ⋅ 60 = 50 → 2ª parte 6 1 ⋅ 60 = 30 → 3ª parte 2 1 ⋅ 60 = 10 → 4ª parte 6

14.

18. x → Edad actual B 22. x → libros que compró x 5x x → Libros más x+ = → Edad actual A 4 4 4 400 320 1 x = − 10 = x − 10 mcm = 40 5x x 4 10 4 10 x − 400 = 4 x − 40 320 400 6 x = 360 = −2 mcm = x x x x = 60 320 = 400 − 2x 60 años → Edad actual B 2x = 80 ABC = x 60 x = 40 = 15 años → Edad actual A AB = 45 4 40 libros → compró x BC = 400 12 = $ 10 → Pagópor c / u 19. x → N º mayor 40 ABC = AB + BC x − 1 → N º menor x x → Suma repartida 23. 2 1 x = 45 + mcm = 12 x 2 − x − 1 − 43 = x−1 12 x 11 − 30 → Re cibió A 12x = 540 + x 2 1 2 2 − + − − = − 2 1 43 1 x x x x 11x = 540 3x 11 + 20 → Re cibió B 540 7 1 x= 2 x − 44 = x−1 11 x 3x 11 − 30 + + 20 + 30 = x 1 x = 49 11 2 7 11 2 x − 44 = x − 1 mcm = 14 15. x → Edad A 22 x − 484 = x − 1 7 x + 6 x + 280 = 14 x x − 10 → Edad B 21x = 483 280 = x 3 x = 23 x − 10 − 15 = x − 15 mcm = 4 4 280 23 → N º mayor − 30 = $ 110 → Re c. A 4 x − 40 − 60 = 3x − 45 2 23 − 1 = 22 → N º menor 4 x − 100 = 3x − 45 3 ( 280) + 20 = $ 140 → Re c. B x = 55 7 → x Vr . sortija 20. 55 años → Edad A x → Lib. comprad. 24.  3. 000 + x  7  = 1.500 + x mcm = 12 55 − 10 = 45 años → Edad B 6 x   12 → Vr. de x lib. 5 16. x → Puede hacerla A 21. 000 + 7 x = 18 . 000 + 12 x x 2x 1 1 1 → Re sto x− = 3. 000 = 5x mcm = 60x + = 3 3 10 x 6 600 = x 2x 9 3x 6x + 60 = 10x ⋅ = → Vr. vta resto 600 sucres → Vr. sortija 3 4 2 60 = 4 x 3x 6x 15 = x − = 9 mcm = 10 x → Nº personas 21. 2 5 15 días → Puede hacerla A 1 6x 15x − 12x = 90 x+ x= → Nº más de pers. 17. x → Parte mayor 5 5 3x = 90 650 − x → Parte menor 120 100 x = 30 = x 6x x = 650 − x − 50 30 → Libros comprados 5 5 25. x → Fortuna 100 120 x = − 2 mcm = x = 600 − x mcm = 5 x x x x x 5 x − − − = 2 . 500 100 = 120 − 2x x = 3 . 000 − 5x 2 4 6 mcm = 12 2x = 20 6x = 3 . 000 12x − 6x − 3x − 2x = 30 . 000 x = 10 x = 500 x = 30 . 000 10 personas → Se repartió $ 500 → Parte mayor 30 . 000 colones → Fortuna ⇒ 650 − 500 = 150 → Parte menor

(

(

)

(

(

)

)

)

(

)

(

)

(

)

30. 26. x → sueldo anual 3x x x x− − − = 810 5 8 20 mcm = 40 40x − 24 x − 5x − 2x = 32 . 400 9x = 32 . 400 x = 3 . 600 3 . 600 balboas → sueldo anual 27. x → Ahorros 3x 5x 5x − = → Le quedaba x− 8 12 24 3 5x x ⋅ = 5 24 8 5x x − = 400 mcm = 24 24 8 5x − 3x = 9 . 600 2x = 9 . 600 31. x = 4 . 800

$ 4 . 800 → ahorros 28. x → Parte mayor

350 − x → Parte menor 3x 17 = x− 350 − x − (350 − x) 5 15 mcm = 15 5. 250 − 15x − 9 x = 15x − 5. 950 + 17 x − 24 x − 32 x = − 11. 200 − 56 x = − 11. 200 x = 200 200 → Parte mayor 350 − 200 = 150 → Parte menor

29.

x → Suma repartida $ 15 → Re cibió A x − 15 = B + C x − 15 − C = B C= A+ B

180 = x $ 180 → Suma recibida

2 2 33. x + 2 x + 1= x + 111 2 x = 110

3 x → N º piezas de 20 ctvs 4 2 3x x ⋅ = → N º piezas de 10 ctvs 3 4 2 3 0 ,10 x = 9 , 60 x + (0 , 20 x) + 4 2 mcm = 4 4 x + 0 , 6 x + 0 , 2 x = 38 , 4 4 , 8 x = 38 , 4

x = 55 55 → hom bres en el lado del 1er cuadrado

(55) + 36 2

= 3. 061 → Homb. en la tropa 34. x → Lo que tenía 5x x x− − 20 = + 16 8 4 mcm = 8 8x − 5x − 160 = 2x + 128

x=8 8 → Pesos 3 ⋅ 8 = 6 → piezas de 20 ctvs 4 8 = 4 → piezas de 10 ctvs 2

x = 288 $ 288 → tenía

x → Capital primitivo 35. 1 x → 1er año 5 x 4x x− = → Le quedaba 5 5 3 4x 6x ⋅ = → 2º año 10 5 25 4x 6x 26x + = → Tenia al term. 5 25 25 el 2º año 3 26x 78x ⋅ = → 3er año 5 25 125 x 6x 78x x− + + = 13 . 312 5 25 125 125x − 25x + 30x + 78x = 1' 664 . 000 208x = 1' 664 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 Q. → Capitalprimitivo

C = 15 + ( x − 15 − C)

C= x − C 2C = x x C= 2 2 x x 15 + 15 + ⋅ + = x 3 2 2 x x 30 + + = x 3 2 180 + 2 x + 3x = 6 x

Continuación

x → Pesos

32. x → Edad de A 2 x − 10 = x + 5 mcm = 3 3 3x − 30 = 2 x + 10

(

)

x = 40 40 años → Edad de A 33. x → Cant . hom bres en el lado del 1er cuadrado mcm = 6 2 x + 36 → Hombres en la tropa

(x + 1)

2

= x 2 + 36 + 75 Continúa

x → Empezó a jugar 2 x − 60 → Le quedaba − 180 3 (2 x − 60) = 6x 10 10  6 x − 180 7 x − =0 x + x − 60 −   10  8 mcm = 40 80 x − 2 . 400 − 24 x + 720 − 35x = 0 21x = 1. 680 x = 80 80 Lempiras → Empezó a jugar

36.

x → Cifra unidades x + 5 → Cifra decenas

10 ( x + 5) + x − 18 = 6 ( x + 5 + x) 10 x + 50 + x − 18 = 12 x + 30 2= x 2 → Cifra unidades 2 + 5 = 7 → Cifra decenas 72 → N º buscado

37. x → Unidades 9 − x → Decenas

10 (9 − x ) + x − 27 = 10 x + 9 − x 90 − 10 x + x − 27 = 10 x + 9 − x 54 = 18 x 3= x 3 → Unidades 9 − 3 = 6 → Decenas 63 → N º buscado

38.

x → Mangos que había 2 x − 12 x → Quedaban x− − 4= 3 3 1  2 x − 12  2 x + 42   + 6= 3 3  9 2 x + 42 9 + 9 = x + 102 2 9 x  2 x + 42   x + 102  x− − 4−   − =0  9   9  3 mcm = 9 9 x − 3x − 36 − 2 x − 42 − x − 102 = 0 3x = 180 x = 60 60 → Mangos había

39. x → Ganó c / u 7 80 + x = 50 + x mcm = 10 10 560 + 7 x = 500 + 10 x

(

)

60 = 3x 20 = x $ 20 → Ganó c / u 40.

x → Pluma fuente 3 x → Lapicero 5 5 (x − 0 , 20) = 53 x + 0 , 30 6 mcm = 30 25x − 5 = 18 x + 9 7 x = 14 x=2 $ 2 → Costo la pluma 3⋅ 2 = $ 1, 20 → Costo lapicero 5

41. x → Tenía el lunes antes de

x x+4 + 2= → Lunes 2 2  x + 4 x − 4 x− = → Quedaba  2  2 x−4 2 + 2 = x + 4 → Martes 2 4 x − 4  x + 4  x − 12 → Quedaba − =  4  2 4 x − 12 4 + 2 = x + 4 → Miercoles 2 8 Continúa

Continuación 41. x − 12 −  x + 4  = 0

 8  4 2 x − 24 − x − 4 = 0

mcm = 8

x − 28 = 0 x = 28 ⇒ $ 28 → Tenía el lunes antes de 42. x → Capital primitivo 3x − 12 . 000 x − 6 . 000 = → Tenía 2 2 3 x − 12 . 000 3x − 36 . 000 2 − 6 . 000 = → 2º año 2 4 3x − 12 . 000 3x − 36 . 000 9 x − 60 . 000 + = → Tenía 2 4 4 9 x − 60 . 000 9 x − 108 . 000 4 − 6 . 000 = → 3º año 2 8 9x − 60 . 000 9x − 108 . 000 + = 32 . 250 mcm = 8 4 8 18x − 120 . 000 + 9x − 108 . 000 = 258 . 000 27x = 486 . 000 x+

x = 18 . 000 $ 18 . 000 → Capital primitivo

43. x → Pr ecio traje $ 15 → Pr ecio bastón 3x s + 15 = 4 x + 15 − 5 = 2s x + 10 → Pr ecio sombrero 2 3x x + 10 + 15 = mcm = 4 2 4 2x + 20 + 60 = 3x 80 = x

$ 80 → Pr ecio traje 80 + 10 = $ 45 → Pr ecio sombrero 2 44. x → Espacio recorrido por perro y conejo Perro Conejo sup uesto 2 5 Pr egunta ? 50 2 ⋅ 50 Luego: → Saltos del perro con respecto a la ventaja 5 Perro Conejo sup uesto 3 8 Pr egunta 8x Luego: 3

x

?

→ Saltos que avanza el conejo al ser alcanzado

Continúa

Continuación 44.

sup uesto

46.

Perro Conejo 2 5

Pr egunta ? x 5x → Saltos que da el perro Luego : 2 para alcanzar al conejo Entonces: 8x 2 ⋅ 50 5x − = mcm = 6 3 5 2 16x − 120 = 15x x = 120 5 ⋅120 = 300 → Saltos del perro 2 para alcanzar el conejo 45. x → Espacio recorrido por perro y liebre Perro Liebre sup uesto 3 4

Pr egunta ? 60 3 ⋅ 60 → Saltos del perro con Luego: 4 respecto a la ventaja Perro Liebre sup uesto 5 8 Pr egunta ? x 8x → Saltos que avanza la Luego: 5 liebre al ser alcanzada Perro Liebre sup uesto 3 4 Pr egunta ? x 4x → Saltos que da el perro Luego: 3 para alcanzar a la liebre Entonces : 8x 3 ⋅ 60 4x − = 5 4 3 8x 4x − 45 = mcm = 15 5 3 24x − 675 = 20x 4x = 675 x = 168 , 75 4 ⋅168 , 75 = 225 → Saltos del perro 3 para alcanzar la liebre

AB = x AC = 50 x CD = 12 BD = 6 AB + BD = AC + CD x x + 6 = 50 + 12 x x− = 44 mcm = 12 12 12x − x = 528 11x = 528 528 x= 11 x = 48 47. x → Aporta A 3 x → Aporta B 4 x 4x → 1er año A x− = 5 5 3x 3x + 12 . 000 + 3. 000 = → 1er año B 4 4 4 x + 8 . 000 4x + 1. 600 = → 2º año A 5 5 3x + 12 . 000 1  3x + 12 . 000  −   mcm = 36  4 9 4

27 x + 108 . 000 − 3x − 12 . 000 36

24 x + 96 . 000 3 (8 x + 32 . 000) = 36 36 8 x + 32 . 000 → 2º año B 12 Entonces : 4 x + 8 . 000 8 x + 32 . 000 = mcm = 60 5 12 48 x + 96 . 000 = 40x + 160 . 000 8 x = 64 . 000 x = 8 . 000 8 . 000 bs → Aportó A 3⋅ 8 . 000 = 6 . 000 bs → Aportó B 4

50. Buey → $ 80 P + 80 = 2C

48. x → Años para que la edad del padre sea = a la suma de sus hijos 60 + x = 16 + x + 14 + x 60 + x = 30 + 2x 30 = x 30 años → Edad del padre sea igual a la suma de sus hijos

C + 80 =

13 P 2

Luego: P + 80 =C 2 13 P P + 80 + 80 = mcm = 2 2 2 P + 80 + 160 = 13 P 240 = 12 P 20 = P $ 20 → Costo el perro 20 + 80 =C mcm = 2 2 20 + 80 = 2C

49. x → Km. recorridos x x + = 12 mcm = 50 50 10 x + 5 x = 600 6x = 600 x = 100 100 → Km. recorridos

100 = 2C 50 = C $ 50 → Costo el caballo

EJERCICIO 159 1. a = 30m v = 8m s v ' = 5m s 30 ⋅ 8 x= 8−5 240 x= 3 x = 80m 2. a = 160 Km v = 50 Km h

v ' = − 30 Km h x=

160 ⋅ 50

50 − (− 30)

8 . 000 x= 80 x = 100 Km. 3. a = 200 Km v = 90 Km h

v ' = 40 Km h 200 ⋅ 90 90 − 40 Continúa

x=

Continuación 18 . 000 50 x = 360 Km de A

3. x =

5. a = 550 Km v = 100 Km

h Km v ' = − 120

De B. Como la dis tan cia entre A y B es 200 Km

x=

Entonces B recorrió 360 Km − 200 Km = 160 Km

4. a = 80 Km v = 90 Km

h

v ' = 70 Km h 80 ⋅ 90 90 − 70 7 . 200 x= 20 x = 360 Km El tiempo empleado x=

en encontrarse será . 360 Km = 4 horas 90 Km h

h

De A. 550 ⋅ 100

100 − (− 120)

55 . 000 220 x = 250 Km Como los trenes pasan por A y B a las 8 am x=

Entonces De A. x = 250 Km v = 100 Km h Tiempo empleado para los 250 Km. es 250 Km 100 Km h

= 2 , 5 horas

2 , 5 horas → 2 h 30 min. Luego : 8 am + 2 h 30 min = 10 : 30 10 : 30 am → Se encuentran

6. a = 70 Km v = 9 Km h

7. A y B dis tan tes 29 Km ⇒ 29 21 Km − 2 12 Km = 27 Km

v ' = − 5 Km h x → Dis tan cia recorrida por A al encontrarse 70 ⋅ 9 x= 9 − (− 5)

a = 27 Km v = 5 Km h v ' = − 4 Km

630 14 x = 45 Km → A Como A recorrió 45 Km Entonces B 70 Km − 45 Km = 25 Km → B 9. a = 186 Km v=v v'= − v x=

x=

8. Re corrido tren de c arg a en 3 horas es

1 2

x=

Km (3 h) = 126 Km h a = 126 Km

42

v = 60 Km h v ' = 42 Km h

h

27 ⋅ 5

5 − (− 4)

x=

135 9 x = 15 Km Luego A recorre x=

7 . 560 18 x = 420 Km x=

420 Km → Alcanza el tren de

15 Km + 2 12 Km = 17 21 Km B recorre

186 v

v − (− v )

pasajeros al de c arg a El tiempo empleado es:

29 21 Km − 17 21 Km = 12 Km

186v x= 2v x = 93 Km.

126 ⋅ 60 60 − 42

420 Km = 7 horas 60 Km h

EJERCICIO 162 1. b = 10 cm h = 8 cm b ⋅h A= 2 10 cm ⋅ 8 cm A= 2 A = 40 cm2

4. v = 9 m s

2

2

π = 3 ,14 C = 2π ⋅ r C = 2 ⋅ 3 ,14 ⋅ 5m C = 10m ⋅ 3 ,14 C = 31, 4 m

2

a 2 = 16m2 + 9m2 a = 25m

(8 m)

2

2

A=

A = 3 ,14 ⋅ 25m2 8. r = 5m

2

d 2

A = 3 ,14 (5m)

2

a = 25m2 a = 5m

2 A = 32 m2

9. h = 9m

r = 2m π = 3 ,14

6. a = 13 m

c = 5m

3. t = 15 s

b2 = a 2 − c2

v = 9ms e= v⋅t

(

e = (15 s) 9 m s e = 135 m

)

2

b = 169m − 25m 2

p v 8 , 24 g D= 8 cm3 D=

D = 1, 03 g

cm3

11. L = 4m 2

3 4 ( 4m) 2 3 A= 4 A = 4m2 3 A=

L

A = 6 , 92m2

h⋅π ⋅r 3 2 9m ⋅ 3 ,14 ( 2m) v= 3 v = 12m2 ⋅ 3 , 14 2

b = (13m) − (5m) 2

2

A = 78 , 5m2

a 2 = ( 4m) + ( 3m)

2

V = 8 cm3

A = π ⋅r2

c = 3m

a =b +c

2. d = 8 m

10. P = 8 , 24 g

π = 3 ,14

5. b = 4 m 2

A=

7. r = 5m

e = 108 m e 108 m t= ⇒ t= v 9ms t = 12 s

2

2

2

b 2 = 144m2 b = 144m b = 12m

2

v=

v = 37 , 68m2

12. N = 6

S = 180 (6 − 2) !

S = 180 ( 4) !

S = 720

!

EJERCICIO 163 8. V = Vo − a ⋅ t

1. e = v ⋅ t e v= Rta t e t= Rta v

V + a ⋅ t = V0 Rta a ⋅ t = V0 − V

 b + b ' A= h    2 

2.

2 A = h (b + b ') 2A = h Rta b+ b' 3. e = 1 a ⋅ t 2 2 2e = a ⋅ t 2 2e = a Rta t2

t=

V0 − V Rta a

Rta

f ⋅ p ' = p ( f − p ') f ⋅ p' =p f − p'

10. a = b + c 2

a 2 − c 2 = b Rta a2 − b2 = c2 a − b = c Rta 2

14.

11. V = a ⋅ t V = t Rta a V a= Rta t 12.

6. a = b + c − 2bx a 2 − b 2 − c 2 = − 2bx 2

a2 − b2 − c2 =x 2b 2 2 2 b +c −a = x Rta 2b

7. V = Vo + a ⋅ t

V − a ⋅ t = V0 Rta V − V0 = a ⋅ t V − V0 =a t

Rta

V − V0 =t a

Rta

1 1 1 = − f p' p p '⋅ p f ⋅ p− f ⋅ p' = f ⋅ p '⋅ p f ⋅ p '⋅ p

15.

p'=

p⋅ f Rta p+ f Continúa

V2 2a 2ae = V 2 e=

2ae = V Rta

1 2 a⋅t 2 2e = 2V0 ⋅ t + a ⋅ t 2 e = V0 ⋅ t +

2e − a ⋅ t 2 = V0 2⋅ t

20.

u = a + (n − 1) r

u − (n − 1) r = a Rta u − a = (n − 1) r

u− a = n−1 r u− a + 1= n r u− a+ r = n Rta r u − a + r = nr

Rta

1 e = V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2 2e = 2V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 2e + a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t 2e + a ⋅ t 2 = V0 2⋅t

u − a = nr − r

u − a = r (n − 1)

Rta

a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t − 2e 2V ⋅ t − 2e a= 0 2 t

p'=

p '(p + f )= p⋅ f

19.

2e − a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t

p ' ⋅ p = f ( p − p ')

f ( p − p ') p f ⋅ p f ⋅ p' − p'= p p f ⋅ p' p'= f − p f ⋅ p' =f p'+ p p '⋅ p + f ⋅ p ' =f p

Rta

e d e 2 v = d v 2 ⋅ d = e Rta e d = 2 Rta v

2

c ⋅ t ⋅r 100 100 I = c ⋅ t ⋅ r 100 I = c Rta t ⋅r 100 I = t Rta r⋅c 100 I = r Rta c⋅t I=

18. E = I ⋅R E = R Rta I E = I Rta R

13. v =

a2 − c2 = b2

2

17.

p '⋅ p + f ⋅ p ' =f 12. p p' ⋅ p f ⋅ p ' + =f p p f ⋅ p' =f p'+ p f ⋅ p' = f − p' p

9. D = P V DV = P

2

A = r Rta π

−

V0 − V t

P Rta D P = VD Rta

2 5. A = π ⋅ r A 2 =r π

2

a=

V=

1 4. A = a ⋅ l ⋅ n 2 2A = a ⋅ l ⋅ n 2A = a Rta l ⋅n 2A = l Rta n⋅ a 2A = n Rta l⋅ a

2

Continuación

u− a =r n−1

16.

V=

u = a Rta r n −1 u n−1 =r a

h ⋅π ⋅ r 2 3

3V = h Rta π ⋅r 2 3V 2 =r π ⋅h 3v = r Rta π ⋅h

u = a ⋅r n − 1

21.

2 (V0 ⋅ t − e) a= Rta t2

Rta

n −1

22.

u = r Rta a

Q t Q = I⋅ t I=

Q =t I

Rta Rta

EJERCICIO 164 1.

x − 5 < 2x − 6 − 5 + 6 < 2x − x 1< x 1 → Lim. inf erior de x

2. 5x − 12 > 3x − 4 5x − 3x > 12 − 4 2x > 8 x>4 4 → Lim. inf eror de x 3.

x − 6 > 21− 8x x + 8x > 21+ 6 9x > 27 x>3 3 → Lim. inf erior de x

(

)(

)

(

)(

)

8. x + 2 x − 1 + 26 < x + 4 x + 5

6 x 2 + 7 x + 2 > 6 x 2 + 13x − 5 2 + 5 > 13x − 7 x 7 > 6x 7 >x 6

9. 3 ( x − 2) + 2 x ( x + 3) > (2 x − 1)( x + 4)

3x − 6 + 2 x 2 + 6 x > 2 x 2 + 7 x − 4 9x − 6> 7x − 4

14.

9x − 7x > − 4 + 6 2x > 2

(

x>1

) (

)(

x 2 + 5x + 6 − 12 > x 2 + 2 x

) (

5x − 2 x > 6

)

3x > 6

6 x 2 + 6 − 6 x 2 + 8 x + 8 < 15x + 63

x>2

8 x + 14 < 15x + 63 8 x − 15x < 63 − 14

15.

− 7 x < 49 7 x > − 49

5 x > + 10 3 3 6x − 5 > x + 30

(

)(

) (

)(

6x − x > 30 + 5 5 x > 35

15x − 5 − 20 < 6 x + 2 15x − 6 x < 25 + 2

)

9 x < 27

x 2 + x − 20 < x 2 − 5x + 6

x< 3

5x + x < 20 + 6 6 x < 26

x>7

x 5x < +2 4 2 12x − 16 + x < 10x + 8 12x + x − 10x < 16 + 8 3x < 24 x <8 3x − 4 +

5 20 2 − < 3 x + 1 9 x 2 − 1 3x − 1

5(3x − 1) − 20 < 2 (3x + 1)

x> −7 11. x − 4 x + 5 < x − 3 x − 2

x+ 3 4 x − > 3 x+2 3

(x + 2)(x + 3) − 12 > x ( x + 2)

10. 6 x 2 + 1 − 2 x − 4 3x + 2 < 3 5x + 21

5. 2x −

2x + 1 2x + 5 > 3x − 1 3x + 2

(3x + 2)(2 x + 1) > (2 x + 5)(3x − 1)

x 2 + x − 2 + 26 < x 2 + 9 x + 20 24 − 20 < 9 x − x 4 < 8x 1 <x 2

4. 3x − 14 < 7x − 2 − 14 + 2 < 7x − 3x − 12 < 4x −3<x

6.

13.

16.

26 6 13 x< 3

x<

1 1 1 > − x2 + x x 2 − x x2 − 1 x − 1> x + 1− x x>2

17. x → Nº s. enteros x x 12. + 15 > + 1 2 3 2 3 2 3 2 4 x − 12 x + 9 + 4 x − 28 x < 4 x − 24 x + 48 x − 32 2 2 2x + 90 > 3x + 6 x −1 − 7> x − 2 7. − 12 x − 48 x < − 9 − 32 90 − 6 > 3x − 2x 2 2 − 60x < − 41 x − 2x + 1− 7 > x − 4 x + 4 84 > x − 6 − 4 > − 4x + 2x 60x > 41 Nº s. enteros menores − 10 > − 2 x 41 x> que 84 Rta 60 10 < 2 x

(

)

(

(2 x − 3)

2

+ 4 x 2 ( x − 7) < 4 ( x − 2)

3

)

5< x

EJERCICIO 165 1. x − 3 > 5 y 2x + 5 > 17 2x + 5 > 17 x−3>5 2x > 12 x>5+3 x>8 x>6 x > 8 Rta

y 2x + 9 > 3x 2. 5 − x > − 6 − x> −6−5 −x>−9 x < 11 x <9 x < 9 Rta

3. 6x + 5 > 4x + 11 4 − 2x > 10 − 5x 2x > 6 3x > 6 x>3 x>2 x > 3 Rta

4. 5x − 4 > 7x − 16 y 8 − 7x < 16 − 15x 12 > 2x 8x < 8 x <1 6>x x < 1 Rta 5.

8. ( x − 1)( x + 2) < ( x + 2)( x − 3) y

− 3< x < − 2

7.

x−1 x− 5 < x+ 4 x−1

(x − 1) < (x − 5)(x + 4) 2

x 2 + 5x + 6 > x 2 + 6 x − 16 22 > x

x 2 − 2 x + 1< x 2 − x − 20 21< x 21< x < 22

5 x > 20 x>4

4 < x < 6 Rta

EJERCICIO 166 3.

Rta

10. x → Nº s. enteros x 3x − 6 > + 4 y 4x + 8 < 3x + 15 2 6x − 12 > x + 8 x<7 5x > 20 x>4 4 < x < 7 Luego son 5 y 6 Rta

x x 2 − 1> − 1 21 y 2x − 3 35 > x + 4 3 5 3x − 12 > 4x − 18 10x − 18 > 5x + 2

x = Ky 1. x = Ky 2. 9 = K6 2 = K3 9 2 =K =K 6 3 3 2 x = ⋅8 24 = y 2 3 x = 12 3 ⋅ 24 =y 2 36 = y

Rta

y

(x + 2)(x + 3) > (x − 2)(x + 8)

2x − 3 < x + 10 y 6x − 4 > 5x + 6 2x − x < 10 + 3 6x − 5x > 6 + 4 x < 13 x > 10 10 < x < 13 Rta

18 − 12 > 4 x − 3x 6>x

x+ 2 x− 2 > x+8 x+3

9.

120 < 20x 6<x x > 20 Rta

6.

x 2 + 8 x + 15 > x 2 + 7 x + 12 x> − 3

x<−2

x x 3 − 3 > + 2 y 2x + < 6 x − 23 25 2 4 5 2x − 12 > x + 8 10x + 3 < 30x − 117 x > 20

(x + 3)(x + 5) > (x + 4)(x + 3)

x2 + x − 2 < x2 − x − 6 2x < − 4

A = KBC 30 = K (2)(5) 30 =K 10 3= K A = 3(7)( 4) A = 84

4. x = KYZ

4 = K ( 3)(6) 4 =K 18 2 =K 9 10 = Ky9 2 10 = y9 9 10 = 2 y 5= y

K B K 3= 5 15 = K

5. A =

K 7 15 A= = 2 71 7 A=

K A 1 K = 3 1 2 1 = 2K 3 1 =K 6 1 1 1 1 = 6 ⇒ = 12 A 12 6A ⇒ 6A = 12 ⇒ A = 2

6. B =

K 11. A → Area del 12. Ap → Area piramide KB K y 9. x = K y 2 − 1 10. x = 2 cuadrado 8. x = −1 y a → apotema C Z 2 → d Diagonal = − K 48 5 1 K → perim. de la b. pb K 12 4K 9= 2 8= 3= 2 Ap = Kapb − 3 1 = A Kd 3 8 48 = K 25 − 1 2 2 8 = 4K m2 = K (12m)(80m) 480 24 = 4 K K 18m = K ( 6m) 48 = 9 =K 2 =K 480m2 = K (960m2 ) 6 =K 8 24 18m2 =K 2⋅7 72 = K 7 ⋅6 480m2 2= K 36m2 A= 10 = =K 14 960m2 Z 72 1 x = 2 72 − 1 x= 2 = K A =1 1 42 5 −1 2 =K Z= x = 2 ⋅ 48 2 10 1 2 72 1 A = (10m) x = 96 x= Z = 4 51 Ap = ( 6m)( 40m) 2 24 2 100m2 x=3 240m2 A= Ap = 2 2 A = 50m2 Ap = 120m2

7. A =

( ( (

) ) )

(

)

(

)

(

)

13. Vp → Vol. piramide

h → Altura Ab → Area base Vp = KhAb

96m3 = K ⋅ 8m (36m2 ) 96m = K (288m 3

3

)

14. Ao → Area circulo

r → Radio

15. Lo → Long. circunf. r → Radio

Ao = Kr 2 616 cm = K (14cm) 2

2

616 cm2 =K 196 cm2 22 =K 7 22 Ao = (7 cm)2 7 Ao = 22 ⋅ 7 cm2

1 =K 3 1 Vp = ⋅ 12m (64m2 ) 3 768m3 Vp = 3 Vp = 256 m3

Ao = 154 cm2

16.

Lo = Kr 44cm = K ⋅ 7cm 44 =K 7 44 r 66cm = 7 462 cm = 44r 462 cm = r 44 10 21 cm = r

K y2 K 4= 2 6 36 ⋅ 4 = K 144 = K x=

9= y2 =

144 y2

144 9

144 9 12 y= ± 3 y= ±4 y=±

EJERCICIO 167 1. A = KB 10 = K 5 2 = K ⇒ A = 2B 2. e → Espacio V → Velocidad t → Tiempo e = KVt Si K = 1⇒ e = Vt 3. Ar → Area rombo D → Diag mayor D ' → Diag menor A = KDD '

24 cm = K ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm 2

24 cm2 = K ⋅ 48 cm2 1 =K 2 1 A = DD ' 2 KB 4. A = C 3B K=3 ⇒A= C C = Kr 5. 132 cm = K ⋅ 21cm 132 cm =K 21cm 44 =K 7 44 C= r 7

6. C → Espacio ( h)

t → Tiempo h → Altura (e) e= K⋅t

2

19 , 6 m = K ( 2s) 19 , 6 m =K 4s2 m 4 ,9 2 = K s e = 4 ,9 t2 7. F =

2

KmV 2 r

8. y → Función x → Vble. indep. y = 2x + 3 9. L → Lado de un cuad. inscrito en un circulo r → Radio L = K ⋅r

K= 2 L= 2⋅ r 10. y → Función x → Vble. indep.

x2 y= +2 2

11. y =

5 − 2x 3

12. F → Fuerza de atracc. m → Masa cuerpo1 m ' → Masa cuerpo 2

d → Dis tan cia K ⋅m ⋅m ' F= d2 13. h → Altura ∆ A → Area del ∆ B → Base K⋅A h= B K ⋅ 20 cm2 10 cm = 4 cm 10 cm = K ⋅ 5 cm 2 =K 2A h= B 14. W → Energ. cinetica m → Masa V → Velocidad W = KmV 2 1 2 1 W = mV 2 2

K=

15. B → Area base piramide V → Volumen h → Altura

K 16. x = y

K 17. x = 2 y

K 5 10 = K

K 22 12 = K

2=

KV h K ⋅ 400 100 = 12 1. 200 = K ⋅ 400 3=K 3V B= h B=

x=

10 y

KB C K ⋅ 24 3= 4 12 = K ⋅ 24 1 =K 2 1 B 2 A= C B A= 2C

18. A =

3=

x=

12 y2

EJERCICIO 173 1. x + y = 5 y=5−x 5 − x → Entero y + Para que y sea entero y + el mayor valor que podemos dar a x es 4 . Por tan to las soluciones enteras y + son:

x =1 x=2 x=3 x=4

y=4 y=3 y=2 y =1

2. 2x + 3y = 37 2x = 37 − 3y 37 − 3y x= 2 36 1 2y y + − − x= 2 2 2 2 1− y x = 18 − y + 2 1− y x − 18 + y = 2 1− y → Entero 2 3 − 3y → Entero 2 2 1 2y y + − − 2 2 2 2 1− y → Entero 1− y + 2 Continúa

2. Continuación

3. Continuación

1− y =m 2 1 − y = 2m

x − 14 + y =

− y = 2m − 1 y = 1 − 2m

⇒ 2 x + 3 (1 − 2m) = 37 2 x + 3 − 6m = 37 2 x = 34 + 6m

2 (17 + 3m) 2 x = 17 + 3m x=

y = 1 − 2m → m entero x = 17 + 3m m = 0 y = 1 x = 17 sol m= 1 y = − 1 → no m= −1 y = 3 m= − 2 y = 5 m= − 3 y = 7

x = 14 sol x = 11 sol x = 8 sol

m = − 4 y = 9 x = 5 sol m = − 5 y = 11 x = 2 sol m = − 6 y = 13 x = − 1 → no 3. 3x + 5y = 43 3x = 43 − 5y 43 − 5y x= 3 42 1 3y 2y + − − x= 3 3 3 3 1− 2y x = 14 − y + 3 Continúa

1− 2 y 3

1− 2 y → Entero 3 2− 4y → Entero 3 2 3 y 1y − − 3 3 3 2− y − y+ 3 2− y =m 3 2 − y = 3m − y = 3m − 2 y = 2 − 3m 3x + 5(2 − 3m) = 43

3x + 10 − 15m = 43 3x = 33 + 15m

3(11+ 5m) 3 x = 11 + 5m x=

y = 2 − 3m x = 11+ 5m m= 0 x = 11 m= 1 x = 16 m= − 1 x = 6 m= − 2 x = 1 m= − 3 x = − 4

y = 2 sol y = − 1 → No y = 5 sol y = 8 sol → No

4. x + 3 y = 9 x = 9 − 3y 9 − 3y → Entero 3 − y → Entero

3− y = m − y = m− 3 y = 3− m

x + 3(3 − m) = 9 x + 9 − 3m = 9 x = 3m y = 3− m x = 3m m= 0 x = 0 m= 1 x = 3 m= 2 x = 6

y = 3 → No y=2 sol y=1 sol

m = 3 x = 9 y = 0 → No m = 4 x = 12 y = − 1 → No 5. 7 x + 8 y = 115 7 x = 115 − 8 y

115 − 8 y 7 112 3 7 y y + − − x= 7 7 7 7 3− y x = 16 − y + 7 x=

3− y → Entero 7 24 − 8 y → Entero 7 24 7 y y − − 7 7 7 24 − y − y+ 7 24 − y =m 7 24 − y = 7m − y = 7m − 24 y = 24 − 7m

7 x + 8 (24 − 7m) = 115 7 x + 192 − 56m = 115 7 x − 56m = − 77

7 (8m − 11) x= 7 x = 8m − 11

Continúa

5. Continuación

y = 24 − 7m x = 8m − 11 m=0 x = − 11 → No m =1 x = − 3 → No m=2 x = 5 y = 10 sol m = 3 x = 13 y = 3 sol m = 4 x = 21 y = − 4 → No m = − 1 x = − 19 → No

x=

25 1 5 y − − 5 5 5

1 x + = 5− y 5 5− y = m − y = m− 5 y = 5− m

x + 25 − 5m = 24

136 − 15x y= 7 133 3 14 x x + − − y= 7 7 7 7 3− x y = 19 − 2 x + 7 3− x y − 19 + 2 x = 7 3− x → Entero 7 24 − 8x → Entero 7 24 7 x x − − 7 7 7 24 − x − x+ 7 24 − x =m 7 24 − x = 7m − x = 7m − 24 x = 24 − 7m

15(24 − 7m) + 7 y = 136 360 − 105m + 7 y = 136 − 105m + 7 y = − 224

7 (15m − 32) 7 y = 15m − 32 y=

x = 24 − 7m y = 15m − 32 m= 0

x = 24 y = − 32

→ No

m= 1

x = 17 y = − 17

→ No

m= 2

x = 10 y = − 2

m= 3

x= 3

m= 4

x= −4

m = − 1 x = − 31

x = 24 + 1 − 1 − 5 y

x + 5(5 − m) = 24

6. 15x + 7 y = 136 7 y = 136 − 15x

y = 13

7. x + 5 y = 24 x = 24 − 5 y

→ No sol

→ No → No

x = 31 y = − 47 → No

x = 5m − 1 y = 5− m x = 5m − 1 m= 0

x = − 1 → No

m= 1

x=4

y= 4

sol

m= 2 m= 3

x=9 x = 14

y=3 y= 2

sol sol

m= 4

x = 19

y=1

sol

m= 5

x = 24

y= 0

→ No

m= 6

x = 29

y = − 1 → No

m= − 1 x = − 6

→ No

8. 9x + 11y = 203 9x = 203 − 11y 203 − 11y x= 9 198 5 9y 2y + − − x= 9 9 9 9 5 − 2y x = 22 − y + 9 5 − 2y x − 22 + y = 9 5 − 2y → Entero 9 25 − 10y → Entero 9 18 7 9y y + − − 9 9 9 9 7−y 2−y+ 9 7−y =m 9 7 − y = 9m − y = 9m − 7 y = 7 − 9m Continúa

10. 8 x + 13 y = 162 8x = 162 − 13 y

8. Continuación 9 x + 11(7 − 9m) = 203 9 (14 + 11m) 9 x = 14 + 11m x= y = 7 − 9m x = 14 + 11m m= 0 m= 1

x = 14 x = 25

y= 7 sol y = − 2 → No y = 16 sol

m= − 1 x = 3

m = − 2 x = − 8 → No

9. 5x + 2 y = 73 2 y = 73 − 5x

73 − 5x 2 72 1 4 x x + − − y= 2 2 2 2 1− x y = 36 − 2 x + 2 1− x y − 36 + 2 x = 2 1− x =m 2 1− x = 2m − x = 2m − 1 y=

x = 1 − 2m

5(1− 2m) + 2 y = 73 5 − 10m + 2 y = 73 y=

2 (34 + 5m)

2 y = 34 + 5m x = 1− 2m y = 34 + 5m m= 0

x=1

m= 1

x= −1

162 − 13y 8 160 2 8 y 5y + − − x= 8 8 8 8 2 − 5y x = 20 − y + 8 2 − 5y x − 20 + y = 8 2 − 5y → Entero 8 10 − 25 y → Entero 8 10 24 y y − − 8 8 8 10 − y − 3y + 8 10 − y =m 8 10 − y = 8m − y = 8m − 10 y = 10 − 8m x=

9 x + 77 − 99m = 203

y = 34 sol → No

m= − 1 x = 3

y = 29 sol

m= − 2 x = 5 m= − 3 x = 7 m= − 4 x = 9

y = 24 sol y = 19 sol

m = − 5 x = 11

y=9

sol

m = − 6 x = 13

y=4

sol

m = − 7 x = 15

y = − 1 → No

y = 14 sol

8 x + 13(10 − 8m) = 162

8x + 130 − 104m = 162

8 (4 + 13m) 8 x = 4 + 13m

11. Continuación

10 2 5x x + − − 5 5 5 5 2− x 2− x+ 5 2− x 2− x+ 5 2− x =m 5 2 − x = 5m − x = 5m − 2 x = 2 − 5m

7 (2 − 5m) + 5 y = 104 14 − 35m + 5 y = 104

5 (18 + 7m) 5 y = 18 + 7m y=

x = 12 − 5m y = 18 + 7m m= 0

x=2

y = 18 sol

m= 1

x= −3

→ No

m= − 1

x= 7

y = 11 sol

m= − 2

x = 12

y=4

m= − 3

x = 17 y = − 3 → No

sol

x=

y = 10 − 8m x = 4 + 13m m= 0 x= 4 y = 10 sol m= 1 x = 17 y = 2 sol m= 2 x = 30 y = − 6 → No m = − 1 x = − 9 → No 11. 7x + 5y = 104 5y = 104 − 7x 104 − 7x y= 5 100 4 5x 2x y= + − − 5 5 5 5 4 − 2x y = 20 − x + 5 4 − 2x y − 20 + x = 5 4 − 2x → Entero 5 12 − 6x → Entero 5 Continúa

12. 10 x + y = 32 y = 32 − 10 x

y = 32 + 2 − 2 − 10 x 30 2 10 x + − 10 10 10 2 y = 3+ − x 10 2 y − = 3− x 10 3− x = m y=

− x = m− 3 x = 3− m

10 (3 − m) + y = 32 30 − 10m + y = 32 y = 2 + 10m m= 0

x= 3

m= 1

x=2

y=2 y = 12

sol

m= 2

x=1

y = 22

sol

m= 3

x= 0

y = 32 → No

m= 4

x= −1

m= − 1

x=4

sol

→ No y = − 8 → No

13. 9 x + 4 y = 86 4 y = 86 − 9 x

16. 10 x + 13 y = 294 10 x = 294 − 13 y

14. Continuación 9 x + 11(45 − 9m) = 207

86 − 9 x 4 84 2 8x x = + − − y 4 4 4 4 2− x y = 21 − 2 x + 4 2− x y − 21+ 2 x = 4 2− x =m 4 2 − x = 4m y=

9 x + 495 − 99m = 207

9 (11m − 32) 9 x = 11m − 32 x=

y = 45 − 9m x = 11m − 32 m= 0

x = − 32 → No

m= 1 m= 2

x = − 21 → No x = − 10 → No

m= 3

x=1

y = 18 sol

9 (2 − 4m) + 4 y = 86

m= 4 m= 5

x = 12 x = 23

y = 9 sol y = 0 → No

18 − 36m + 4 y = 86

m= 6

x = 34

y = − 9 → No

− x = 4m − 2 x = 2 − 4m

y=

4 (17 + 9m)

m = − 1 x = − 43

→ No

4 y = 17 + 9m

10 x + 13 (28 − 10m) = 294

x = 2 − 4m m= 0

x=2

y = 17 sol

m= 1

x = − 2 → No

m= − 1

x= 6

y= 8

m= − 2

x = 10

y = − 1 → No

sol

14. 9x + 11y = 207 9x = 207 − 11y 207 − 11y x= 9 198 9 9y 2y x= + − − 9 9 9 9 9 − 2y x = 22 − y + 9 9 − 2y x − 22 + y = 9 9 − 2y → Entero 9 45 − 10y → Entero 9 45 9y y − − 9 9 9 45 − y =m 9 45 − y = 9m − y = 9m − 45 y = 45 − 9m Continúa

294 − 13 y 10 290 4 10 y 3 y + − − x= 10 10 10 10 4 − 3y x − 29 + y = 10 4 − 3y → Entero 10 28 − 21y → Entero 10 28 20 y y − − 10 10 10 28 − y − 2y + 10 28 − y =m 10 28 − y = 10m − y = 10m − 28 y = 28 − 10m x=

10 x + 364 − 130m = 294

15. 11x + 12 y = 354 11x = 354 − 12 y

354 − 12 y x= 11 352 2 11y y + − − x= 11 11 11 11 2− y x = 32 − y + 11 2− y x − 32 + y = 11 2− y =m 11 2 − y = 11m − y = 11m − 2 y = 2 − 11m

11x + 12 (2 − 11m) = 354 11x + 24 − 132m = 354 x=

11(30 + 12m) 11

x = 30 + 12m y = 2 − 11m m= 0

x = 30 y = 2

m= 1

x = 42 y = − 9 → No

sol

m = − 1 x = 18 y = 13

sol

m= − 2 x = 6

sol

y = 24

m = − 3 x = − 6 → No

10 (13m − 7) 10 x = 13m − 7 x=

y = 28 − 10m → No m= 0 x = − 7 m=1 x = 6 y = 18 sol m = 2 x = 19 y = 8 sol m = 3 x = 32 y = − 2 → No m = − 1 x = − 20 → No 17. 11x + 8y = 300 8y = 300 − 11x 300 − 11x y= 8 296 4 3x 8x y= + − − 8 8 8 8 4 − 3x y = 37 − x + 8 4 − 3x y − 37 + x = 8 4 − 3x → Entero 8 12 − 9x → Entero 8 Continúa

Continuación

18. Continuación y = 192 − 21m m = 0 x = − 195 → No m = 7 x = − 20 → No m=8 x = 5 y = 24 sol m = 9 x = 30 y = 3 sol m = 10 x = 55 y = − 18 → No m = − 1 x = − 220 → No

12 8x x − − 17. 8 8 8 12 − x =m 8 12 − x = 8m − x = 8m − 12 x = 12 − 8m

11(12 − 8m) + 8 y = 300 132 − 88m + 8 y = 300

8 (21 + 11m) y= 8 y = 21 + 11m

x = 12 − 8m m= 0 m= 1

x = 12 x=4

y = 21 y = 32

m= 2 m= − 1

x= −4 x = 20

→ No y = 10 sol

m= − 2

x = 28

y = − 1 → No

sol sol

18. 21x + 25 y = 705 21x = 705 − 25 y

705 − 25 y 21 693 12 21y 4 y + − − x= 21 21 21 21 12 − 4 y x = 33 − y + 21 12 − 4 y → Entero 21 192 − 64 y → Entero 21 192 63 y y − − 21 21 21 192 − y − 3y + 21 192 − y =m 21 192 − y = 21m − y = 21m − 192 y = 192 − 21m x=

21x + 25 (192 − 21m) = 705 21x + 4 .800 − 525m = 705

21(25m − 195) 21 x = 25m − 195 x=

Continúa

19. 3x − 4 y = 5 3x = 5 + 4 y

5+ 4y x= 3 2 3 3y y + x= + + 3 3 3 3 2+ y x = 1+ y + 3 2+ y x − 1− y = 3 2+ y =m 3 2 + y = 3m y = 3m − 2

3x − 4 (3m − 2) = 5 3x − 12m + 8 = 5

3 (4m − 1) 3 x = 4m − 1 x=

y = 3m − 2 m = 1 x = 3 y = 1 sol m = 2 x = 7 y = 4 sol m = 3 x = 11 y = 7 sol 20. 5x − 8y = 1 5x = 1+ 8y

x=

1+ 8y 5

1+ 8y → Entero 5 2 + 16y → Entero 5 2 15y y + + 5 5 5 2+y 3y + 5 2+y =m 5 Continúa

20. Continuación

2 + y = 5m y = 5m − 2

5x − 8 (5m − 2) = 1 5x − 40m + 16 = 1

5 (8m − 3) 5 x = 8m − 3 x=

y = 5m − 2 m= 1

x=5

m= 2 m= 3

x = 13 y = 8 sol x = 21 y = 13 sol

y= 3

sol

21. 7 x − 13 y = 43 7 x = 43 + 13 y

43 + 13 y 7 42 1 7 y 6 y + + + x= 7 7 7 7 1+ 6 y x = 6+ y + 7 1+ 6 y x − 6− y = 7 1+ 6y → Entero 7 6 + 36 y → Entero 7 6 35 y y + + 7 7 7 6+ y 5y + 7 6+ y =m 7 6 + y = 7m y = 7m − 6 x=

7 x − 13(7m − 6) = 43

7 x − 91m + 78 = 43

7 (13m − 5) 7 x = 13m − 5 x=

y = 7m − 6 y=1 sol m= 1 x = 8 m = 2 x = 21 y = 8 sol m = 3 x = 34 y = 15 sol

22. 11x − 12 y = 0 11x = 12 y

12 y 11 11y y + x= 11 11 y x− y= 11 y =m 11 y = 11m x=

11x − 12 (11m) = 0 11x − 132m = 0 x = 12m y = 11m m = 1 x = 12 y = 11 sol m = 2 x = 24 y = 22 sol m = 3 x = 36 y = 33 sol 23. 14 x − 17 y = 32 14 x = 32 + 17 y

32 + 17 y 14 28 4 14 y 3 y + + + x= 14 14 14 14 4 + 3y x= 2+ y+ 14 x=

4 + 3y → Entero 14 20 + 15 y → Entero 14 14 6 14 y y + + + 14 14 14 14 6+ y 1+ y + 14 6+ y =m 14 6 + y = 14m y = 14m − 6

24. 7 x − 11y = 83 7 x = 83 + 11y

83 + 11y 7 77 6 7 y 4 y + + + x= 7 7 7 7 6+ 4y x = 11 + y + 7 6+ 4y x − 11− y = 7 6+ 4y → Entero 7 12 + 8 y → Entero 7 7 5 7y y + + + 7 7 7 7 5+ y 1+ y + 7 5+ y =m 7 5 + y = 7m y = 7m − 5 x=

7 x − 11(7m − 5) = 83 7 x − 77m + 55 = 83

7 (11m + 4) 7 x = 11m + 4 x=

y = 7m − 5 m = 1 x = 15 y = 2 sol m = 2 x = 26 y = 9 sol m = 3 x = 37 y = 16 sol

25. 8x − 13y = 407 8x = 407 + 13y 407 + 13y x= 8 400 7 8y 5y + + + x= 8 8 8 8 7 + 5y x = 50 + y + 8 14 x − 17 (14m − 6) = 32 7 + 5y 14 x − 238m + 102 = 32 x − 50 − y = 8 14 (17m − 5) 7 + 5y x= → Entero 14 8 x = 17m − 5 35 + 25y → Entero y = 14m − 6 8 m = 1 x = 12 y = 8 sol 32 3 24y y + + + m = 2 x = 29 y = 22 sol 8 8 8 8 m = 3 x = 46 y = 36 sol Continúa

25. Continuación 3+ y 4 + 3y + 8 3+ y =m 8 3 + y = 8m

y = 8m − 3

8 x − 13 (8m − 3) = 407 8 x − 104m + 39 = 407

8 (13m + 46) 8 x = 13m + 46 x=

y = 8m − 3 m = 1 x = 59 y = 5 sol m = 2 x = 72 y = 13 sol m = 3 x = 85 y = 21 sol 26. 20 y − 23x = 411 20 y = 411 + 23x

411 + 23x 20 400 11 20 x 3x + + + y= 20 20 20 20 11 + 3x y = 20 + x + 20 11 + 3x y − 20 − x = 20 11 + 3x → Entero 20 77 + 21x → Entero 20 60 17 20 x x + + + 20 20 20 20 17 + x 3+ x + 20 17 + x =m 20 17 + x = 20m x = 20m − 17 y=

20 y − 23 (20m − 17) = 411

20 y − 460m + 391 = 411 y=

20 (23m + 1) 20

x = 20m − 17 y = 23m + 1 m = 1 x = 3 y = 24 sol m = 2 x = 23 y = 47 sol m = 3 x = 43 y = 70 sol

27. 5 y − 7 x = 312 5 y = 312 + 7 x

312 + 7 x 5 310 2 5x 2 x + + + y= 5 5 5 5 2 + 2x y = 62 + x + 5 2 + 2x y − 62 − x = 5 2 + 2x → Entero 5 6 + 6x → Entero 5 5 1 5x x + + + 5 5 5 5 1+ x 1+ x + 5 1+ x =m 5 1 + x = 5m x = 5m − 1 y=

5 y − 7 (5m − 1) = 312 5 y − 35m + 7 = 312

5 (7m + 61) 5 y = 7m + 61 y=

x = 5m − 1 m = 1 x = 4 y = 68 m = 2 x = 9 y = 75 m = 3 x = 14 y = 82

EJERCICIO 174 1. x → Billetes $ 2 y → Billetes $ 5

2x + 5y = 42 2x = 42 − 5y 42 − 5y x= 2 40 2 3y 2y + − − x= 2 2 2 2 2 − 3y x = 20 − y + 2 2 − 3y x − 20 + y = 2 2 − 3y → Entero 2 Continúa

1. Continuación

2. Continuación y = 1− m m=0 x = 7 y = 1 sol m =1 x = 9 y = 0 → No m = − 1 x = 5 y = 2 sol

2 2y y − − 2 2 2 2− y − y+ 2 2− y =m 2 2 − y = 2m

m = − 2 x = 3 y = 3 sol m = − 3 x = 1 y = 4 sol m = − 4 x = − 1 → No

− y = 2m − 2

1 de $ 5 y 4 de $ 10

y = 2 − 2m

3 de $ 5 y 3 de $ 10

2 x + 5 (2 − 2m) = 42

5 de $ 5 y 2 de $ 10

2 x + 10 − 10m = 42

2 (5m + 16) 2 x = 5m + 16 x=

y = 2 − 2m m= 0

x = 16

y=2

m= 1

x = 21

y=0

m= 2 m= −1

x = 26 x = 11

y = − 2 → No y = 4 sol

sol → No

m= − 2 x = 6

y=6

sol

m= − 3 x =1

y=8

sol

m = − 4 x = − 4 → No 1 de $ 2 y 8 de $ 5 6 de $ 2 y 6 de $ 5 11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó 16 de $ 2 y 2 de $ 5 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 10

5x + 10 y = 45 5x = 45 − 10 y 45 − 10 y x= 5 40 5 5 y 5 y + − − x= 5 5 5 5 5 − 5y x = 8− y + 5 x − 8 + y = 1− y 1− y = m − y = m− 1 y = 1− m 5x + 10 (1 − m) = 45 5x + 10 − 10m = 45

5 (2m + 7) 5 x = 2m + 7 Continúa x=

7 de $ 5 y 1 de $ 10 3. 5x + 3 y = 62

3y = 62 − 5x 62 − 5x y= 3 60 2 3x 2 x + − − y= 3 3 3 3 2 − 2x y = 20 − x + 3 2 − 2x y − 20 + x = 3 2 − 2x → Entero 3 10 − 10 x → Entero 3 9 1 9x x + − − 3 3 3 3 1− x 3 − 3x + 3 1− x =m 3 1− x = 3m − x = 3m − 1 x = 1 − 3m

5(1 − 3m) + 3 y = 62 5 − 15m + 3 y = 62

3(5m + 19) 3 y = 5m + 19 y=

x = 1 − 3m m= 0 x = 1 y = 19 sol → No m= 1 x= −2 m= − 1 x = 4 y = 14 sol m= − 2 x = 7 y = 9 sol m = − 3 x = 10 y = 4 sol 1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ; 10 y 4

4. x → Sombreros y → Pares de zapatos

5. x → Metros de lana y → Metros de seda

8 x + 15 y = 340 8 x = 340 − 15 y 340 − 15 y x= 8 336 4 8 y 7 y + − − x= 8 8 8 8 4 − 7y x = 42 − y + 8 4 − 7y − + = x 42 y 8 4 − 7y → Entero 8 28 − 49 y → Entero 8 24 4 48 y y + − − 8 8 8 8 4− y 3− 6y + 8 4− y =m 8 4 − y = 8m − y = 8m − 4 y = 4 − 8m 8 x + 15(4 − 8m) = 340 8 x + 60 − 120m = 340

8 (15m + 35) 8 x = 15m + 35 x=

y = 4 − 8m m = 0 x = 35 y = 4 sol m= 1 x = 50 y = − 4 → No m = − 1 x = 20 y = 12 sol m= − 2 x = 5 y = 20 sol m = − 3 x = − 10 → No 5 sombreros y 20 pares de zap. 20 sombreros y 12 pares de zap. 35 sombreros y 4 pares de zap.

1, 50x + 2 , 50 y = 42 → Si multiplico por 2 la ecuación inicial no se altera . Luego 3x + 5y = 84 3x = 84 − 5y 84 − 5y x= 3 81 3 3y 2 y − x= + − 3 3 3 3 3− 2 y x = 27 − y + 3 3− 2 y x − 27 + y = 3 3− 2y → Entero 3 15 − 10 y → Entero 3 12 3 9 y y + − − 3 3 3 3 3− y 4 − 3y + 3 3− y =m 3 3 − y = 3m − y = 3m − 3 y = 3 − 3m

6. x → niños y → adultos

0 , 45x + y = 17 (20) 9 x + 20 y = 340 9 x = 340 − 20 y 340 − 20 y x= 9 333 7 18 y 2 y + − − x= 9 9 9 9 7 − 2y x = 37 − 2 y + 9 7 − 2y x − 37 + 2 y = 9 7 − 2y → Entero 9 98 − 28 y → Entero 9 90 8 27 y y + − − 9 9 9 9 8− y 10 − 3 y + 9 8− y =m 9 8 − y = 9m − y = 9m − 8 y = 8 − 9m 9 x + 20 (8 − 9m) = 340

9 x + 160 − 180m = 340

9 (20m + 20) 9 x = 20m + 20

3x + 5(3 − 3m) = 84

x=

3x + 15 − 15m = 84

3(5m + 23) 3 x = 5m + 23 x=

y = 3 − 3m m= 0 x = 23 y = 3 sol m= 1 x = 28 y = 0 → No m = − 1 x = 18 y = 6 sol m = − 2 x = 13 y = 9 sol m= − 3 x = 8 y = 12 sol m= − 4 x = 3 y = 15 sol m = − 5 x = − 2 → No 3m de lana y 15m de seda 8m de lana y 12m de seda 13m de lana y 9m de seda 18m de lana y 6m de seda 23m de lana y 3m de seda

y = 8 − 9m m = 0 x = 20 y = 8 sol m=1 x=0 y = − 1 → No m= −1 x= 0 y = 17 → No m = − 2 x = − 20 → No 20 niños y 8 adultos 7. x → Caballos y → Vacas

460 x + 440 y = 41. 000 (÷ 20) 23x + 22 y = 2 . 050 22 y = 2 . 050 − 23x 2 . 050 − 23x y= 22 2 . 046 4 22 x x + − − y= 22 22 22 22 Continúa

7. Continuación 4− x y = 93 − x + 22 4− x =m 22 4 − x = 22m − x = 22m − 4

8. Continuación

y = 3m − 1 m = 0 x = − 1 → No m = 1 x = 4 y = 2 sol Los Nº s son 4 y 2

x = 4 − 22m

23 (4 − 22m) + 22 y = 2 . 050 92 − 506m + 22 y = 2 . 050

22 (23m + 89) 22 y = 23m + 89 y=

x = 4 − 22m m= 0 m= 1 m= − 1

x = 4 y = 89 sol x = − 18 → No x = 26 y = 66 sol

m = − 2 x = 48 y = 43 sol m = − 3 x = 70 y = 20 sol m = − 4 x = 92 y = − 3 → No 4 caballos y 89 vacas 26 caballos y 66 vacas 48 caballos y 43 vacas 70 caballos y 20 vacas 8.

3x + 3 = 5 y + 5 3x − 5 y = 2 3x = 2 + 5 y 2 + 5y x= 3 2 + 5y → Entero 3 4 + 10 y → Entero 3 3 1 9y y + + + 3 3 3 3 1+ y 1 + 3y + 3 1+ y =m 3 1 + y = 3m y = 3m − 1 3x − 5 (3m − 1) = 2 3x − 15m + 5 = 2

3 (5m − 1) 3 x = 5m − 1 Continúa x=

9. x → Monedas de 0 , 25 y → Monedas de 0 ,10

0 , 25x + 0 ,10 y = 2 ,10 (100) 25x + 10 y = 210 10 y = 210 − 25x 210 − 25x y= 10 200 10 20 x 5x + − − y= 10 10 10 10 10 − 5x y = 20 − 2 x + 10 2− x y − 20 + 2 x = 2 2− x =m 2 2 − x = 2m − x = 2m − 2 x = 2 − 2m 25(2 − 2m) + 10 y = 210 50 − 50m + 10 y = 210

10 (5m + 16) 10 y = 5m + 16 y=

x = 2 − 2m m= 0 x=2 m= 1 x=0 m= − 1 x = 4 m= − 2 x = 6 m= − 3 x = 8 m = − 4 x = 10 2 mon. de 0 , 25 4 mon. de 0 , 25 6 mon. de 0 , 25 8 mon. de 0 , 25

y = 16 sol → No y = 11 sol y = 6 sol y = 1 sol y = − 4 → No y 16 mon. de 0 ,10 y 11 mon. de 0 ,10 y 6 mon. de 0 ,10 y 1 mon. de 0 ,10

EJERCICIO 175 21. x + 1= 0 x = −1

23. x − y = 2 x=0 y=−2 x=2 y=0

y−4=0 y=4

3x + y = 18 x = 0 y = 18 x=6 y=0

con

Escala 1:2

+ 3x

y=

18

(-1 ,4)

y=4

x=-1

(5,3)

0

y x-

2 =

0 Intersección → (− 1 , 4) 22. 3x = 2y 3x − 2 y = 0 x =1

con

y = 1 21

x+y=5 x=0 y=5 x=5

y=0

Intersección

24. 2x − y = 0

→ (5 , 3) 5x + 4y = − 26

con

x=0

y = − 6 21

x=−2

y=−4

3x =

2x -

2y

y=

0

x =1 y = 2

4y = 6 -2

(-2,- 4)

5

(2,3)

+

y=

Intersección

5x

x+

0

0

→ (2 , 3)

Intersección → (− 2 , − 4)

25. 5x + 6y = − 9 x = 0 y = − 1 21

4x − 3y = 24

con

x=0 y= −8

x=3 y=−4

x=3

y=−4

27. 3x + 8y = 28 x=4 y=2 x=0

5x − 2y = − 30 x=0 y = 15

con

y = 3 21

x=−2

y = 10

Escala 1:2

=

-9

2y =

6y

-30

0 +

5x -

5x

3x +

8y =

28

4x

-3 y

=

(- 4 ,5 )

24

(3,-4)

0

Intersección →

con

6x − 7y = − 9 x=2 y=3 x=−5 y=−3

Intersección → 28. y − 4 = 0 y=4

7x + 2y = 22 x = 0 y = 11 x=2 y=4

con

= -7 y 6x

= 2y

x+5=0

(− 4 , 5)

+ 7x

-9

22

0

(2 ,4 )

26. x + 5 = 0 x=−5

(3 , − 4)

y-4=0

(-5,-3)

0

Intersección →

(− 5 , − 3)

Intersección →

(2 , 4)

29. 6x = − 5y 6x + 5y = 0 x=5 y=−6

con

4x − 3y = − 38 x = − 2 y = 10 x =1 y = 14

30. 5x − 2y = − 14 x=0 y=7 x=−2 y=2

8x − 5y = − 17 x =1 y=5 x=−4 y=−3

con

Escala 1:2

0

6x = -5 y

5y =

5x -

(-5 ,6)

-17

-14

38

2y =

y -3

-

8x -

4x

=

0

(-4 ,-3 )

Intersección

→ (− 5 , 6)

Intersección

→

(− 4 , − 3)

EJERCICIO 176 1. x + 6 y = 27 ; 7 x − 3 y = 9 x = 27 − 6 y 7 x = 9 + 3 y

9 + 3y 7 9 + 3y 27 − 6 y = 7 x=

7 (27 − 6 y ) = 9 + 3y

189 − 42 y = 9 + 3 y 180 = 45 y 4= y x + 6 ( 4) = 27 x + 24 = 27 x=3 sol : x = 3 y = 4

2. 3x − 2 y = − 2 ; 5x + 8 y = − 60 3x = − 2 + 2 y 5 x = − 60 − 8 y

x= −

2 − 2y 60 + 8 y x= − 3 5 2− 2y 60 + 8 y − =− 3 5

5 (2 − 2 y ) = 3 (60 + 8 y ) 10 − 10 y = 180 + 24 y − 170 = 34 y − 5= y

3 x − 2 (− 5) = − 2 3x + 10 = − 2 3x = − 12 x= −4 sol : x = − 4

y= −5

2x − y = − 4 3. 3x + 5 y = 7 ; − y = − 4 − 2x 5 y = 7 − 3x y=

7 − 3x y = 4 + 2x 5 7 − 3x = 4 + 2x 5

7 − 3x = 5(4 + 2 x) 7 − 3x = 20 + 10 x − 13 = 13x − 1= x

2 (− 1) − y = − 4 − 2− y= − 4 − y= −2 y=2 sol : x = − 1 y = 2

; 9 x + 8 y = 13 4. 7 x − 4 y = 5 7x = 5+ 4 y 9 x = 13 − 8 y x=

5+ 4 y 7

x=

9 (5 + 4 y ) = 7 (13 − 8 y )

13 − 8 y 9

x=

45 + 36 y = 91 − 56 y 92 y = 46 46 1 = y= 92 2  1 9 x + 8   = 13  2

x=

12 (11y − 87) = 15 (27 − 5 y)

y=

y=

4 (7 − 9 x) = 16 ( 3x )

3x 4

28 − 36 x = 48x 28 = 84 x 28 1 = x= 84 3 4 y − 1= 0 4y = 1 1 y= 4 1 1 sol : x = y= 3 4

8 (11y − 29) = 14 (13y − 30) 88 y − 232 = 182 y − 420 188 = 94 y 2= y 13(2) − 8 x = 30 26 − 8 x = 30 − 8x = 4 1 x= − 2 1 sol : x = − y=2 2

12 x + 5 (7) = 27

1. 449 =7 207

12 x + 35 = 27 12 x = − 8 x= −

8 2 =− 12 3

2 3

y=7

sol : x = −

8. 7 x + 9 y = 42 9 y = 42 − 7 x

y=

6. 14 x − 11y = − 29 ; 13 y − 8 x = 30 14 x = 11y − 29 − 8 x = 30 − 13y

11y − 29 x= 14

27 − 5 y 12

132 y − 1. 044 = 405 − 75 y 207 y = 1. 449

; 4 y − 3x = 0 5. 9 x + 16 y = 7 16 y = 7 − 9 x 4 y = 3x 7 − 9x 16

11y − 87 15

− 12 x − 5 y = − 27 12 x = 27 − 5 y

9 x + 4 = 13 9x = 9 x=1 1 sol : x = 1 y = 2

y=

7. 15x − 11y = − 87 15x = 11y − 87

13 y − 30 x= 8

42 − 7 x 9

12 x + 10 y = − 4 10 y = − 4 − 12 x 4 + 12 x y= − 10

10 (42 − 7 x ) = − 9 (4 + 12 x ) 420 − 70 x = − 36 − 108x 38 x = − 456 x = − 12

12 (− 12) + 10 y = − 4 − 144 + 10 y = − 4

10 y = 140 sol : x = − 12

y = 14 y = 14

9. 6 x − 18 y = − 85 ;

24 x − 5 y = − 5

− 18 y = − 6 x − 85 6 x + 85 y= 18

5 (6 x + 85) = 18 (5 + 24 x )

− 5 y = − 5 − 24 x 5 + 24 x y= 5

30 x + 425 = 90 + 432 x 335 = 402 x

EJERCICIO 177 1. x + 3 y = 6 ; 5x − 2 y = 13 x = 6 − 3y

5 (6 − 3 y ) − 2 y = 13

30 − 15 y − 2 y = 13 − 17 y = − 17 y=1

335 5 = x= 402 6  5 6   − 18 y = − 85  6

x + 3 (1) = 6 x + 3= 6 x=3 sol : x = 3 y = 1

5 − 18 y = − 85 − 18 y = − 90 y=5 5 sol : x = y=5 6

2. 5x + 7 y = − 1 ; − 3x + 4 y = − 24 5x = − 1 − 7 y

1+ 7 y x= − 5  1+ 7 y  3  + 4 y = − 24  5  3 + 21y + 4 y = − 24 5 3 + 21y + 20 y = − 120 41y = − 123 y= −3

4. x − 5 y = 8 ; − 7 x + 8 y = 25 8 y = 25 + 7 x

y=  25 + 7 x   =8 x − 5  8 

8 x − 5(25 + 7 x ) = 64 8x − 125 − 35x = 64 x= −7

− 3x − 12 = − 24 − 3x = − 12 x=4 sol : x = 4 y = − 3

sol : x = − 7 y = − 3

32 x − 9 (8 − 3x ) = − 308 32 x − 72 + 27 x = − 308 59 x = − 236 x=−4

3 (− 4) + 4 y = 8

− 12 + 4 y = 8 4 y = 20 y=5 sol :

x= −4

y=5

11 + 18 y 10  11 + 18 y   − 9y = − 5 − 16   10  x=−

− 7 − 5y = 8 − 5 y = 15

8 − 3x y= 4  8 − 3x  8x − 9   = − 77  4 

6. 10 x + 18 y = − 11 ; 16 x − 9 y = − 5 10 x = − 11 − 18 y

− 27 x = 189

− 3x + 4 (− 3) = − 24

3. 3x + 4 y = 8 ; 8 x − 9 y = − 77 4 y = 8 − 3x

25 + 7 x 8

y= −3

− 16 (11 + 18 y) − 90 y = − 50

5. 15x + 11y = 32 ; 7 y − 9 x = 8

− 176 − 288 y − 90 y = − 50 − 378 y = 126

7 y = 8 + 9x 8 + 9x y= 7  8 + 9x   = 32 15x + 11  7 

105x + 11(8 + 9 x) = 224

105x + 88 + 99 x = 224 204 x = 136 136 2 = x= 204 3  2 15   + 11y = 32  3 10 + 11y = 32 11y = 22 y= 2 2 sol : x = y=2 3

y= −  1 10 x + 18  −  = − 11  3 10 x − 6 = − 11 10x = − 5 x= − sol : x = −

1 2

1 2

y= −

1 3

126 1 =− 378 3

8. 32 x − 25 y = 13 ; 16 x + 15 y = 1

16 x = 1 − 15 y

7. 4 x + 5 y = 5 ; − 4 x − 10 y = − 7

10 y = 7 − 4 x 7 − 4x y= 10

 7 − 4x  4x + 5  =5  10 

x=

1 − 15 y 16

9. 11x − 13y = − 163

; − 8x + 7 y = 94 11x = − 163 + 13y 163 − 13y x= − 11  163 − 13y  8  + 7 y = 94  11 

 1 − 15 y   − 25 y = 13 32   16  2 (1 − 15 y ) − 25 y = 13 2 − 30 y − 25 y = 13 2 − 55 y = 13

8 x + 7 − 4 x = 10 4x = 3 3 x= 4

− 55 y = 11 y= −

 3 4   + 5y = 5  4

8 (163 − 13y ) + 77 y = 1. 034

1 5

1. 304 − 104 y + 77 y = 1. 034 − 27 y = − 270

 1 16 x + 15  −  = 1  5

3 + 5y = 5

y = 10 11x − 13(10) = − 163 11x − 130 = − 163 11x = − 33

16 x − 3 = 1

5y = 2 2 y= 5 3 2 sol : x = y= 4 5

16 x = 4 x= x=

sol :

1 4

1 1 y= − 4 5

x= − 3 x= − 3 y = 10

sol :

EJERCICIO 178 1.

6x − 5y = − 9 4 x + 3y = 13

( 2)

(− 3)

3.

− 12 x − 9 y = − 39 − 19 y = − 57

31x

y= 3 4 x + 9 = 13 4x = 4 x=1

y= −1

7 x − 15 (− 1) = 1

7 x + 15 = 1 7 x = − 14 x=−2 sol : x = − 2 y = − 1

= 217 x= 7

10 x − 3 (− 2) = 36

10 x = 30 x=3 sol : x = 3 y = − 2

sol : x = 7 y = − 5 4.

9 x + 11y = − 14 6 x − 5 y = − 34 36 x + 44 y = − 56 − 36 x + 30 y = 204 74 y = 148 y=2 6 x − 5 (2) = − 34 6 x − 10 = − 34 6 x = − 24 x= −4 sol : x = − 4 y = 2

(− 5)

− 28 y = 56 y= −2

− 4 y = 20 y= −5

sol : x = 1 y = 3

− 57 y = 57

2x + 5y = − 4 10 x − 3 y = 36 − 10 x − 25 y = 20

3(7) − 4 y = 41 21 − 4 y = 41

4 x + 3( 3) = 13

7 x − 15 y = 1 − 7 x − 42 y = 56

5. 10 x − 3 y = 36

11x + 6 y = 47 (2) 9 x − 12 y = 123 22 x + 12 y = 94

12 x − 10 y = − 18

2. 7 x − 15 y = 1 − x − 6 y = 8 ( 7)

3x − 4 y = 41 ( 3)

( 4)

(− 6)

6.

11x − 9 y = 2 13x − 15y = − 2 55x − 45 y = 10 − 39 x + 45 y = 6 = 16

16x

x=1 11(1) − 9 y = 2 11 − 9 y = 2 − 9y = − 9 y=1 sol : x = 1

y=1

(5)

(− 3)

7.

18 x + 5y = − 11 ( 2)

(− 3)

12 x + 11y = 31 36 x + 10 y = − 22 − 36 x − 33 y = − 93 y=5

− 14 x + 12 y = − 19 ( 6)

24 x − 17 y = 10

84 x − 98 y = 140 − 84 x + 72 y = − 114

x= − 2 y=5

9x + 7y = − 4

(− 11)

11x − 13y = − 48 ( 9) − 99 x − 77 y = 44 99 x − 117 y = − 432 − 194 y = − 388 y=2

12 x = 6 1 x= 2 1 sol : x = y= −1 2 10. 15x − y = 40 (8)

29 y = − 58 y= −2

36x − 11(− 2) = − 14 36 x + 22 = − 14 36 x = − 36 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2

19 x + 8 y = 236

− 161y = 644 y= −4

= 556

12 x − 17 (− 4) = 104

15 (4) − y = 40

9 x + 14 = − 4 9 x = − 18

12 x + 68 = 104 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = − 4

60 − y = 40 − y = − 20

x= −2

y = 20

sol : x = − 2 y = 2

15x + 19 y = − 31 (− 4) 60 x − 85 y = 520 − 60 x − 76 y = 124

120x − 8 y = 320

x=4

9 x + 7 ( 2) = − 4

12 x − 17 y = 104 (5)

12.

19 x + 8 y = 236

139 x

sol : x = 4

(− 3)

72 x − 22 y = − 28 − 72 x + 51y = − 30

12 x + 14 = 20

18 x + 25 = − 11 18 x = − 36

36x − 11y = − 14 (2)

11.

12 x − 14 (− 1) = 20

18 x + 5(5) = − 11

8.

12 x − 14 y = 20 ( 7)

− 26 y = 26 y= −1

− 23 y = − 115

sol : x = − 2

9.

y = 20

EJERCICIO 179 1.

8x − 5 = 7 y − 9 8x − 7 y = − 9 + 5 8x − 7 y = − 4 6x = 3y + 6

x − 3 = 3y − 7 x − 3y = − 4

6x − 3y = 6 8x − 7 y = − 4 6x − 3y = 6 24 x − 21y = − 12 − 24 x + 12 y = − 24 − 9 y = − 36 y=4 6 x − 3 ( 4) = 6 6 x − 12 = 6 6 x = 18 x=3 sol : x = 3 y = 4

3. 3 ( x + 2) = 2 y

2. x − 1 = y + 1 x− y= 2

x− y = 2

(3)

( − 4)

x − 3y = − 4

(− 1)

x− y = 2 − x + 3y = 4 2y = 6 y=3 x − 3= 2 x=5 sol : x = 5 y = 3

2 ( y + 5) = 7 x

3x + 6 = 2 y

2 y + 10 = 7 x

3x − 2 y = − 6 3x − 2 y = − 6 ;

7 x − 2 y = 10 7 x − 2 y = 10

3x = − 6 + 2 y 6− 2y x= − 3

7 x = 10 + 2 y 10 + 2 y x= 7

− 7 (6 − 2 y ) = 3(10 + 2 y ) − 42 + 14 y = 30 + 6 y 8 y = 72 y=9 7 x − 2 ( 9) = 10 7 x − 18 = 10 7 x = 28 x=4 sol : x = 4 y = 9

4.

x − 1 = 2 ( y + 6) x − 1 = 2 y + 12 x − 2 y = 13 x = 13 + 2 y

6. Continuación

8. Continuación

− 5 y = − 40

 30  − 2x + 7  −  = − 6  89 

y=8

− 178 x − 210 = − 534

x − 2 (8) = − 10

x + 6 = 3 (1 − 2 y)

x + 6 = 3− 6y x + 6y = − 3 x = − 3− 6y 13 + 2 y = − 3 − 6 y − 3 − 6 y − 2 y = 13 − 8 y = 16 y= −2

x − 16 = − 10

− 178 x = − 324

x=6

x=

sol : x = 6 y = 8 73 sol : x = 1 89

7. ( x − y ) − (6 x + 8 y) = − (10 x + 5 y + 3)

x − y − 6 x − 8 y = − 10 x − 5 y − 3 − 5x − 9 y = − 10 x − 5 y − 3

x − 2 (− 2) = 13

5x − 4 y = − 3

(x + y) − (9 y − 11x) = 2 y − 2 x

x + 4 = 13 x=9 sol : x = 9 y = − 2

x + y − 9 y + 11x = 2 y − 2 x 12 x − 8 y = 2 y − 2 x

5. 30 − (8 − x ) = 2 y + 30

14 x − 10 y = 0

(5)

5x − 4 y = − 3

30 − 8 + x = 2 y + 30 x − 2y = 8

14 x − 10 y =

5x − 29 = x − (5 − 4 y )

(− 2)

0

25x − 20 y = − 15

5x − 29 = x − 5 + 4 y

− 28x + 20 y = 0

4 x − 4 y = 24

− 3x

x− y=6 x − 2y = 8

(− 1)

− 4 y = − 28 y=7

y=−2

x − 2 (− 2 ) = 8

(

x=4 sol : x = 4 y = − 2

6. 3x − (9 x + y ) = 5 y − (2 x + 9 y)

3x − 9 x − y = 5 y − 2 x − 9 y − 4 x + 3y = 0

4 x − (3y + 7) = 5 y − 47 4 x − 3 y − 7 = 5 y − 47 4 x − 8 y = − 40 x − 2 y = − 10 − 4 x + 3y = 0 x − 2 y = − 10 ( 4) − 4 x + 3y = 0 4 x − 8 y = − 40

) (

)

8. 5 x + 3 y − 7 x + 8 y = − 6

x+4=8

Continúa

5x + 15y − 7 x − 8 y = − 6 − 2x + 7 y = − 6

7 x − 9 y − 2 ( x − 18 y) = 0

7 x − 9 y − 2 x + 36 y = 0 5x + 27 y = 0 − 2x + 7y = − 6 5x + 27 y = 0

(− 9)

2x − y = 0 18 x − 4 y = − 10 − 18 x + 9 y = 0

10. 3x − 4 y − 2 (2 x − 7) = 0

sol : x = 5 y = 7

− y=2

10 ( y − x) = 11y − 12 x

10 y − 10 x = 11y − 12 x 2x − y = 0 18 x − 4 y = − 10

2x + 2 = 0 2x = − 2 x= −1 sol : x = − 1 y = − 2

25 − 4 y = − 3

− x+ y =−6

2 x + 10 = 4 y − 16 x 18 x − 4 y = − 10

2 x − (− 2) = 0

= − 15

5 (5) − 4 y = − 3

x − 2y = 8

9. 2 ( x + 5) = 4 ( y − 4 x )

5 y = − 10 y= −2

x=5

x− y =6

324 73 = 1 89 178 30 y= − 89

(5) ( 2)

− 10 x + 35y = − 30 10x + 54 y = 0 89 y = − 30 30 y= − 89 Continúa

3x − 4 y − 4 x + 14 = 0 − x − 4 y = − 14 x + 4 y = 14

5 ( x − 1) − (2 y − 1) = 0 5x − 5 − 2 y + 1 = 0 5x − 2 y = 4 x + 4 y = 14 5x − 2 y = 4

( 2)

x + 4 y = 14 10x − 4 y = 8 11x

= 22 x= 2

2 + 4 y = 14 4 y = 12 y=3 sol : x = 2 y = 3

11. 12 (x + 2 y ) − 8 (2 x + y ) = 2 (5x − 6 y )

12. x ( y − 2) − y ( x − 3) = − 14

12 x + 24 y − 16 x − 8 y = 10 x − 12 y − 4 x + 16 y = 10 x − 12 y − 14 x + 28 y = 0 − x + 2y = 0

xy − 2 x − xy + 3 y = − 14 − 2 x + 3 y = − 14

y ( x − 6) − x ( y + 9) = 54

20 ( x − 4 y ) = − 10

xy − 6 y − xy − 9 x = 54 − 9 x − 6 y = 54

20 x − 80 y = − 10 2x − 8y = − 1

3x + 2 y = − 18 − 2 x + 3 y = − 14 ( 3)

− x + 2 y = 0 ( 2) 2x − 8y = − 1

3x + 2 y = − 18 ( 2) − 6 x + 9 y = − 42

− 2x + 4 y = 0 2x − 8y = − 1

6 x + 4 y = − 36 13 y = − 78

− 4y = −1 1 y= 4  1 − x + 2  = 0  4 − 4x + 2 = 0 − 4x = − 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 4

y=−6

− 2 x + 3(− 6) = − 14 − 2 x − 18 = − 14 − 2x = 4 x=−2 sol : x = − 2

y= −6

EJERCICIO 180 1.

3x + y = 11 2 3x + 2 y = 22

2.

y =7 2 2 x + y = 14 x+

3x + 2 y = 22 ;

2 x + y = 14

3x = 22 − 2 y

2 x = 14 − y

22 − 2 y x= 3

14 − y x= 2

2 (22 − 2 y ) = 3 (14 − y ) 44 − 4 y = 42 − 3 y − y=−2

5x − y=9 12 5x − 12 y = 108

3y = 15 4 ; 4 x − 3 y = 60 ;

5x = 108 + 12 y 108 + 12 y x= 5  108 + 12 y  4  − 3 y = 60   5

4 (108 + 12 y ) − 15 y = 300 432 + 48 y − 15 y = 300 33 y = − 132 4 x − 3 (− 4) = 60

y=2 2 x + 2 = 14

4 x + 12 = 60 4 x = 48

2 x = 12

x = 12

x=6 sol :

x=6

sol : y=2

x−

x = 12

y= −4

y= −4

3.

x y x + =5 ; 3 y − = 26 7 3 14 3x + 7 y = 105 ; 42 y − x = 364 3x + 7 y = 105 − x + 42 y = 364 3x + 7 y = 105 − 3x + 126 y = 1. 092 133 y = 1.197 y= 9 3x + 7 (9) = 105 3x + 63 = 105 3x = 42 x = 14 sol : x = 14 y = 9

(3)

4.

x y y x = = −1 ; 5 4 3 3 y= x− 3 4 x = 5y x− y= 3 4 x − 5y = 0 4 x − 5y = 0 x − y= 3

7.

11 x y x y − 59 − =− + = ; 8 5 10 5 4 40 5x − 8 y = − 44 ; 8 x + 10 y = − 59 8 x + 10 y = − 59 ( 4)

8 x − 5( 4) = − 4 8x − 20 = − 4 8x = 16 x= 2

25x − 40 y = − 220

sol : x = 2 y = 4

5x − 8 y = − 44 (5)

(− 4)

4 x − 5y = 0 − 4 x + 4 y = − 12

32 x + 40 y = − 236 = − 456

57 x

− y = − 12 y = 12 x − 12 = 3 x = 15 sol : x = 15 y = 12 3x 1 − y= 2 ; 5 4 12 x − 5 y = 40

− 40 − 8 y = − 44 − 8y = − 4

5y 2 4 x = 5y 4 x − 5y = 0

(− 1)

12 x − 5y = 40

8.

− 7y 8

2 x 3y 1 5x − =1 ; y− = 2 6. 3 4 8 6 8 x − 9 y = 12 ; 3 y − 20 x = 48 8 x − 9 y = 12

(3)

8 x − 9 y = 12 − 60 x + 9 y = 144 = 156 x= −3

8 (− 3) − 9 y = 12

− 24 − 9 y = 12 − 9 y = 36 y= −4 sol : x = − 3 y = − 4

(5)

(− 6)

60 x + 25 y = − 30 − 60 x + 42 y = 432

x=

196 + 21y 4

67 y = 402 y= 6 10 x − 7 (6) = − 72 10 x − 42 = − 72 10 x = − 30 x= − 3 sol : x = − 3 y = 6

− 28 y = 1.568 + 168 y − 196 y = 1. 568

4 (5) − 5 y = 0 20 − 5y = 0 − 5y = − 20 y= 4 sol : x = 5 y = 4

− 52 x

1 2

− 28 y = 8 (196 + 21y )

x=5

− 20 x + 3 y = 48

10 x − 7 y = − 72 y=

1 3y x y + =0 ; =7 x− 7 8 7 4 8 x + 7 y = 0 ; 4 x − 21y = 196 8x = − 7 y 4 x = 196 + 21y x=

= − 40

12 x + 5 y = − 6

1 2

sol : x = − 8

4 x − 5y = 0 − 12 x + 5y = − 40 − 8x

12 x + 5y = − 6 5x 7 y − = − 12 3 6 10 x − 7 y = − 72

5 (− 8) − 8 y = − 44

2x =

4 x − 5y = 0

10. 12 x + 5 y + 6 = 0

x= −8

y= 5.

9. Continuación

y= −8

− 7 (− 8) 8 x= 7 sol : x = 7 y = − 8 x=

9.

2x + 1 y = 5 4

; 2 x − 3y = − 8

4 (2 x + 1) = 5 y 8x + 4 = 5y 8x − 5y = − 4 2 x − 3y = − 8

(− 4)

8x − 5y = − 4 − 8 x + 12 y = 32 8x − 5y = − 4 7 y = 28 y=4 Continúa

x 11. = 3 ( y + 2) 5

x = 15( y + 2) x = 15 y + 30 224 y + 3x = 5 5 y + 15x = 224 15x = 224 − y 224 − y x= 15

15 (15 y + 30) = 224 − y 225 y + 450 = 224 − y 226 y = − 226 y= −1

x = 15(− 1) + 30

x = − 15 + 30 x = 15 sol : x = 15 y = − 1

12.

1 x y x y 13 − =− − = ; 5 6 30 3 20 12 6x − 5y = − 1 ; 20 x − 3y = 65

15.

(− 5)

20 x − 3y = 65 18 x − 15y = − 3

3y = 24 y=8 x = 2 (8) − 9

y=5

x= 7

sol : x = 4 y = 5

sol : x = 7 y = 8

x− 3 y− 4 − =0 ; 3 4

x− 4 y+ 2 + =3 2 5

4 ( x − 3) − 3( y − 4) = 0 ; 5( x − 4) + 2 ( y + 2) = 30 4 x − 12 − 3 y + 12 = 0 4 x − 3y = 0

16.

; 5x − 20 + 2 y + 4 = 30 5x + 2 y = 46

5x + 4 y = − 1

x

23y = 184 y=8

y=8

18 ( x − 1) − 12 ( y − 1) = − 13 18 x − 12 y = − 7 18 x − 12 y = − 7

(− 4)

18x − 12 y = − 7 − 8 x + 12 y = 12

2 x − 3y = − 3

x+ y x− y = 6 12

;

2 (x + y) = x − y ;

y= −1

x= 3

− 3y = − 4

sol : x = 3 y = − 1

y=

y=

4 3

2x = y+3 3

2 x = 3 ( y + 3)

2x + 2 y = x − y ; 2 x = 3y + 9 x + 3y = 0 ; 2 x − 3y = 9 x = − 3y

x = − 3 (− 1)

 1 2   − 3y = − 3  2

sol :

; 2 x + 2 − 3y − 3 = − 4

17.

− 6 y − 3y = 9 − 9y = 9

1 2

4 3 1 x= 2

x+1 y+1 2 − =− 3 2 3

2 (− 3 y) − 3 y = 9

=5 x=

=−9

− 36 + 3y = − 3 3y = 33 y = 11 sol : x = − 9 y = 11

x−1 y−1 13 − =− ; 2 3 36

10x

(− 3)

4 (− 9) + 3y = − 3

3(8) x= 4 x=6

2 x − 3y = − 3

( 4)

16x + 12 y = − 12 − 15x − 12 y = 3

15y + 8 y = 184

14.

3y + 3 1 + 5x y= − ; 4 4 4 x = − 3y − 3 ; 4 y = − 1 − 5x 4 x + 3y = − 3 4 y + 5x = − 1 x= −

4 x + 3y = − 3

3y 4

 3y  5   + 2 y = 46  4

sol : x = 6

2x − 8 = y − 2 2x − y = 6

4 y − 18 − y = 6

6 ( 4) − 5 y = − 1 − 5 y = − 25

x=

;

x− 4 y− 2 = 5 10

2 (2 y − 9) − y = 6

= − 328 x= 4

13.

x + 1= 2 y − 8 x − 2y = − 9 x = 2y − 9

− 100 x + 15y = − 325 − 82 x

;

x + 1 = 2 ( y − 4) ; 2 ( x − 4 ) = y − 2

( 3)

6x − 5y = − 1

x+1 y− 4 = 10 5

y−3 =6 5 15x − y + 3 = 30

18. 3x −

20.

15x − y = 27

xy − 4 y = xy − 6 x 6x − 4 y = 0 5 11 − =0 x− 3 y−1

3x − 4 x − 2 y = − 28 + 2

27 + y 15

x + 2 y = 26

5 ( y − 1) − 11( x − 3) = 0

3x − y 3 y − x − = y − 13 8 6

x−2 =9 3y − 7 21y − x + 2 = 63

5 y − 5 − 11x + 33 = 0 11x − 5 y = 28

3 (3x − y ) − 4 (3 y − x ) = 24 ( y − 13)

− x + 21y = 61

13x − 15 y − 24 y = − 312

− x = 61 − 21y

x + 2y =

27 + y = 15 (21y − 61)

26

30 x − 20 y = 0 − 44 x + 20 y = − 112

− 13x − 26 y = − 338

− 314 y = − 942

− 14 x

13x − 39 y = − 312

y=3

− 65 y = − 650

27 + 3 15 x=2 sol : x = 2

x + 2 (10) = 26 x + 20 = 26

y=3

x=6

x+ y y− x 7 − = 6 3 24

sol : x = 6 y = 10

4 (x + y) − 8 ( y − x) = 7

4 x + 4 y − 8 y + 8x = 7 12 x − 4 y = 7 x x− y 5 + = 2 6 12

6x + 2 x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5 8x − 2 y = 5

(− 2 )

12 x − 4 y = 7 − 16 x + 4 y = − 10 − 4x

=−3 x=

3 4

 3 12   − 4 y = 7  4 9− 4y = 7 − 4y = − 2

sol :

12 −

3x − 2 y = 3y + 2 6

72 − 3x + 2 y = 6 (3 y + 2)

6 x + 2 ( x − y) = 5

12 x − 4 y = 7

21.

1 y= 2 3 1 x= y= 4 2

− 3x + 2 y − 18 y = 12 − 72 3x + 16 y = 60 5 y − 3x = x− y 3

5 y − 3x = 3 ( x − y )

− 3x − 3x + 5 y + 3 y = 0 6x − 8 y = 0 3x + 16 y = 60 6x − 8 y = 0

( 2)

3x + 16 y = 60 12 x − 16 y = 0 15x

= 60 x=4

6 (4) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : x = 4 y = 3

= − 112 x=8

11(8) − 5 y = 28 − 5 y = 28 − 88 − 5 y = − 60 y = 12 sol : x = 8 y = 12

y = 10

x=

(− 4)

11x − 5 y = 28

(− 13)

13x − 39 y = − 312

27 + y = 315 y − 915

(5)

6x − 4 y = 0

13x − 39 y = − 312

x = 21y − 61

19.

22. y ( x − 4) = x ( y − 6)

x − 2 − 2 ( y − x ) = 4 ( x − 7)

15x = 27 + y x=

x−2 y− x − = x−7 4 2

23.

3 ( x + 3 y ) 21 = 5x + 6 y 17

51( x + 3 y) = 21(5x + 6 y) 51x + 153 y = 105x + 126 y − 54 x + 27 y = 0 2x − y = 0 4x − 7 y =−2 2y + 1

4 x − 7 y = − 2 (2 y + 1) 4x − 7 y = − 4 y − 2 4 x − 3y = − 2 2x − y = 0

(− 2)

4 x − 3y = 2 − 4x + 2 y = 0 4 x − 3y = − 2 y=2 2x − 2 = 0 2x = 2 x=1 sol : x = 1 y = 2

24.

7 7 =− 2 x − 3y + 6 3x − 2 y − 1

26.

7 (3x − 2 y − 1) = − 7 (2 x − 3 y + 6)

x− y= −1 6 10 = x− y+ 4 y+ 2

5x − 8 y = − 14

98 x

x − y = − 1 (− 8)

− 8x + 8 y = 8 5x − 8 y = − 14

− y= −3 y= 3 sol : x = 2 y = 3

x+ y+1 3 = x+ y−1 4

4 ( x + y + 1) = 3( x + y − 1) 4 x + 4 y + 4 = 3x + 3 y − 3 x+ y= − 7 8x − 6 y = 0 x + y = − 7 (6) 8x − 6 y = 0 6 x + 6 y = − 42 14 x

= − 42 x= −3 − 3+ y = − 7 y= − 4

sol : x = − 3 y = − 4

x + y − 1 = − 15 ( x − y + 1) x + y − 1 = − 15x + 15 y − 15

27.

16 x − 14 y = − 14

(3)

8x − 7 y = − 7 10 x − 7 y = 7

= 49

10 x − 7 y = 7

1 2

− 8x + 7 y = 7

1 − 6y = − 1 2 1 − 12 y = − 2 − 12 y = − 3 1 y= 4 1 1 sol : x = y = 2 4

=−6 x=2 2− y= −1

x + y = − 7x + 7 y

10x − 7 y = 7 x+ y−1 = − 15 x− y+1

2 x − 12 y = − 2 96 x + 12 y = 51

x=

− 3x

8x − 6 y = 0

20 x − 14 y = 14

x − 6 y = − 1 ( 2) 32 x + 4 y = 17

x + y = − 7 (x − y)

17 x − 17 y − 17 = − 3x − 3 y − 3

8 y − 8 x − 24 x − 12 y = − 17 32 x + 4 y = 17

6 y + 12 = 10 x − 10 y + 40 − 28 = 10 x − 16 y − 14 = 5x − 8 y

x+ y =−7 x− y

17 ( x − y − 1) = − 3( x + y + 1)

8 ( y − x ) − 12 (2 x + y ) = − 17

6 ( y + 2) = 10 ( x − y + 4)

25.

x 3 y 33 − 8= − 4 2 4 x − 32 = 6 y − 33 x − 6y = − 1 y − x 2x + y 17 − =− 3 2 24

21x − 14 y − 7 = − 14 x + 21y − 42 35x − 35y = − 35

x− y−1 3 =− x+ y+1 17

28.

x− 2 y−7 = x+ 2 y−5

( y − 5)(x − 2) = ( y − 7)(x + 2) xy − 2 y − 5x + 10 = xy + 2 y − 7 x − 14 2 x − 4 y = − 24 x − 2 y = − 12 x = − 12 + 2 y x+1 y− 3 = x−1 y−5

( y − 5)(x + 1) = (x − 1)( y − 3)

xy + y − 5x − 5 = xy − 3x − y + 3 − 2x + 2 y = 8 − x+ y=4 x= y−4 − 12 + 2 y = y − 4 y=8 x = 8− 4 x=4 sol : x = 4 y = 8

(− 1)

8x − 7 y = − 7

2x

= 14 x= 7

10 ( 7) − 7 y = 7 − 7 y = − 63 y=9 sol : x = 7 y = 9 29.

6x + 9 y − 4 2 = 4x − 6y + 5 5

5 (6 x + 9 y − 4) = 2 (4 x − 6 y + 5) 30x + 45 y − 20 = 8 x − 12 y + 10 22 x + 57 y = 30 2 x + 3y − 3 6 = 3x + 2 y − 4 11

11(2 x + 3y − 3) = 6 (3x + 2 y − 4) 22 x + 33 y − 33 = 18x + 12 y − 24 4 x + 21y = 9 22 x + 57 y = 30 4 x + 21y = 9 44 x + 114 y = 60 − 44 x − 231y = − 99 − 117 y = − 39 y=

1 3

 1 4 x + 21  = 9  3 4x + 7 = 9 4x = 2 1 x= 2 1 1 sol : x = y= 2 3

( 2)

(− 11)

30.

3x + 2 y =−9 x + y − 15

32.

23(3x + 4 y ) = − 30 ( x − 6 y )

3x + 2 y = − 9 ( x + y − 15)

69 x + 92 y = − 30x + 180 y

3x + 2 y = − 9 x − 9 y + 135 12 x + 11y = 135

99 x − 88 y = 0

37 (9 x − y ) = − 63(3 + x − y )

32 x − 15 y + 15 = − 24 32 x − 15y = − 39

333x − 37 y = − 189 − 63x + 63 y 396 x − 100 y = − 189

(− 3)

9x − 8y =

96 x + 88 y = 1. 080 − 96x + 45y = 117

396 x − 100 y = − 189 − 396 x + 352 y =

133 y = 1.197 y= 9

9x = − 6

sol : x = x−

−2 3

−2 −3 y= 3 4

4x + 1 2 y − 5 = 9 3

9 x − (4 x + 1) = 3(2 y − 5) 9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15 5x − 6 y = − 14 3 y + 2 x + 18 = y− 7 10 70 y − 10 (3 y + 2) = 7 ( x + 18)

y + 62 − 2 (1 − x ) = 80 y − 2 + 2 x = 18

(− 1)

2 x + 17 y = − 940 − 2 x − y = − 20 16 y = − 960 y = − 60 2 x − 60 = 20 2 x = 80 x = 40 sol : x = 40

33.

70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126 − 146 = 7 x − 40 y 7 x − 40 y = − 146 5x − 6 y = − 14 − 35x + 200 y = 730 35x − 42 y = − 98 158 y = 632 y= 4 5x − 6 ( 4) = − 14 5x = − 14 + 24

y = − 60

x= 2 sol : x = 2 y = 4

+ by = b 2 + 2b 2 y + by = b 2 + 2b

y (2 + b) = b (b + 2) 2x + b = b + 2 2x = 2 x=1 sol : x = 1

9x + 6 = 0

2 x + 5 − 17 (5 − y ) = − 1. 020

y + 62 − (1 − x ) = 40 2

2bx

y=b

 − 3 9x − 8  =0  4 

2x + 5 − (5 − y ) = − 60 17

2 x − 85 + 17 y = − 1. 025 2 x + 17 y = − 940

(− 44)

2bx + by = b 2 + 2b bx − y = 0 − 2bx + 2 y = 0 − 2bx + 2 y =0

−3 y= 4

x=

20

0

252 y = − 189

12 x + 11(9) = 135 12 x = 135 − 99 12 x = 36 x=3 sol : x = 3 y = 9

2x + y =

0

2x + y = b + 2

2.

396 x − 100 y = − 189

(8)

32 x − 15 y = − 39

2 x + y = 20 2 x + 17 y = − 940

x =a a +y=a +b y=b sol: x = a y = b

9x − y 63 =− 3+ x − y 37

32 x − 15( y − 1) = − 24

31.

1. x + y = a + b ; x − y = a − b x+y=a+b x−y=a−b

9x − 8y = 0

4 x 5( y − 1) − = −1 3 8

12 x + 11y = 135

EJERICIO 181

3x + 4 y 30 =− 23 x − 6y

(− 5) ( 7)

y=b

3. 2x − y = 3a ; x − 2y = 0 − 2x + 4y = 0 2x − y = 3a − 2x + 4y = 0

3y = 3a y=a 2x − a = 3a 2x = 4a x = 2a sol: x = 2a y = a 4. x − y = 1− a ; x + y = 1+ a x − y = 1− a x + y = 1+ a

=2 x =1 1+ y = 1+ a y=a sol: x = 1 y = a 2x

x x 5. a + y = 2b ; b − y = a − b x + ay = 2ab ; x − by = ab − b 2 = 2ab x + ay −x

+ by = b 2 − ab

=0 abx − b2 y − abx − aby = − a − b − b 2 y − aby = − (a + b) − yb (b + a ) = − (a + b)

y (a + b) = b (b + a ) y=b x + ab = 2ab x = ab sol : x = ab y=b

− yb = − 1 ⇒ y =

ax = 1 ⇒ x = sol : x =

abx + b 2 y = 2ab 2

− mnx + n y

y (b − a ) = a (b − a 2

2

y = m− n − mny = m3 + mn 2

m2 x m2 x + n 2 x

= m3 + mn 2 + m2 n + n 3

x (m2 + n 2 ) = (m + n)(m2 + n 2 ) x = m+ n

x+ y=a+b

sol : x = m + n

− ax − ay = − a 2 − ab ax + by = a 2 + b 2

10.

− ab

2

= a 2 + b2

by − ay =

m2 n + n 3

x (m2 + n 2 ) = m (m2 + n 2 ) + n (m2 + n 2 )

x + b = 2b x=b sol : x = b y = a

b 2 − ab

y (b − a ) = b (b − a )

y = m− n

x y + = 2m ; m n 2 xn + ym = 2m n xmn + ym2 − xmn

mx − ny = m3 − mn 2 xmn − n2 y = m3n − mn 3 =

2m3n

+ n y = mn − m3n 2

3

ym2 + yn2 = mn3 + m3n

y=b

y (m2 + n2 ) = mn (n2 + m2 )

x+b=a+b x=a sol : x = a

+ mn 2

n 2 x + mny =

− ay = − a

y = mn y=b

− n3

y (m2 + n 2 ) = (m2 + n 2 )(m − n)

)

a ( x + b) = 2ab

ax + by

− m2 n

y (m2 + n 2 ) = m2 (m − n) + n 2 (m − n)

ax + ba = 2ab

− ax

=

n 2 y + m2 y = m3 − m2n + mn 2 − n 3

y= a

7.

mnx + m2 y = m3 + mn 2

3

+ m2 y = m3

mnx 2ab 2

2

2

2

b2 y − a 2 y = − a 3 + ab 2

nx + my = m2 + n 2

;

mnx − n y = m n + n

− a 2 y = − a 3 − ab 2 2

1 1 y= a b

2

− abx − a 2 y = − a 3 − ab 2 − abx

1 a

2 2 9. mx − ny = m + n

x y a 2 + b2 + = a b ab bx + ay = a 2 + b 2 =

1 b

 1 ax − b   = 0  b

x y + =2 b a ax + by = 2ab

abx + b2 y

x+ y=

abx − b 2 y = 0

ay + by = b 2 + ab

6.

a+b ab abx + aby = a + b

ax − by = 0 ;

8.

xn + m n = 2m n 2

2

xn = m2 n ⇒ x = m2 sol : x = m2 y = mn

11. x + y = a

− a x − a y = − 2a c 2

ax + ay = a

2

ax − by = a (a + b) + b − ax − ay

− 2a 2 c

2

3

− 2a 2 y = 2 a 3 − 2 a 2 c − 2a 2 y = 2a 2 (a − c)

= − a2 − by = a + ab + b

− ay − by =

2

− y= a− c y = c− a x + c − a = 2c x− a= c ⇒ x= c+ a sol : x = a + c y= c− a

ab + b2

− y (a + b) = b (a + b) − y=b y= −b x−b= a

15.

x= a+b x= a+b

ax − by = 0

;

b 2 ax − b 3 y = 0

y= −b

− b ax + a by 2

a 2by − b 3 y = a 2 − b 2

− ny = m

mx

−n

2

by (a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2 by = 1 1 y= b

2

= − m2 + mn

my − ny =

mn − n 2

 1 ax − b   = 0  b

y (m − n) = n (m − n) y=n x − n = m− n x=m sol : x = m

13.

x y + =0 a b bx + ay = 0 − abx

y=n

x 2 y 2b − a + = b a ab ax + 2by = 2b2 − a 2 2

;

− a2 y = 0

abx + 2b2 y

= a 2 − b2

2

12. x − y = m − n mx − my = m2 − mn

a 2 − b2 ab a 2by − b 2ax = a 2 − b 2 ay − bx =

− b3 y = 0

b 2 ax

− mx + my

; a 2 x − a 2 y = 2a 3

2

a x − a y = 2a 2

2

sol :

2

− a2 x − a2 y = 2

ax − by = a 2 + ab + b 2 ax

; a 2 ( x − y ) = 2a 3

x + y = 2c

14.

= 2b 3 − a 2b

2b2 y − a 2 y = 2b 3 − a 2b

y (2b 2 − a 2 ) = b (2b 2 − a 2 )

2

ax = 1 1 x= a 1 1 sol : x = y= a b x y 16. + =a+b ; b2 a 2 a 2 x + b 2 y = a 3b2 + a 2b 3 ;

bx = − ab x= −a sol : x = − a y=b

x − y = ab 2 − a 2b a x − a 2 y = a 3b2 − a 4b 2

− a 2 x − b2 y

= − a 3b2 − a 2b3 − a y = a 3b2

2

2

a x

− b2 y − a 2 y =

− a 4b − a 2b 3 − a 4b

− y (a 2 + b 2 ) = − a 2b (b2 + a 2 ) − y = − a 2b

y=b x b + =0 a b bx + ab = 0

x − y = ab (b − a )

y = a 2b 2

x ab =a+b + b2 a 2 3 x + b = ab2 + b3 x = ab2 sol : x = ab 2 y = a 2b

m3 − n 3 nx + my = m + n ; mx − ny = 17. mn m2 nx + m3 y = m3 + m2 n m2 nx − mn2 y = m3 − n 3 − m nx − m y 2

3

bx + b 2 + ay − ab = a 2 + ab

2

− mn2 y = m3

m2 nx

b ( x + b) + a ( y − b) = a (a + b)

=−m −m n

3

− m y − mn y = 3

2

− ym (m + n ) = − n (m + n 2

abx + ab2 + a 2 y − a 2b = a 3 + a 2b

− n3 − m n− n

2

2

2

2

− abx − ab 2 − a 2 y = − a 3 − 2a 2b x−a y−a a+b − =− b a a

3

)

a ( x − a ) − b ( y − a ) = − b (a + b)

ym = n y=

x+b y−b a+b + = a b b

19.

ax − a 2 − by + ba = − ba − b 2

n m

abx − a 2b − b 2 y + b 2 a = − b 2 a − b 3

 n nx + m   = m + n  m

abx − a 2b − b 2 y = − 2b 2 a − b 3 − abx − ab 2

nx + n = m + n

−a b

abx

nx = m

− a2 y

ab 2 + a 2b + a 3 + b3 = a 2 y + b 2 y

b 2 (a + b) + a 2 (b + a ) = y (a 2 + b 2 )

(b

ax + bx − ay + by = ab − b

b ( x + b) + a 2 = a (a + b)

2

2

bx + b 2 + a 2 = a 2 + ab

bx = ab − b 2 ⇒ bx = b (a − b) ⇒ x = a − b

− ax + bx + ay + by = − b 2 + 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2

sol : x = a − b y = a + b

+ 2by = − 2b2 + 4ab

2b ( x + y ) = 2b (2a − b) x + y = 2a − b ax − bx − ay − by = b2 − 3ab ax + bx − ay + by = − b + ab 2

− 2ay

=

− 2ab

20.

x y 1 + = a + b a + b ab

− a 2by = − a 2

a bx + ab y 2

− y= − a y=a sol :

x= a−b y=a

=

2

ab 2 y − a 2by =

− ab

a2 + b2 b 2 − ab

ayb (b − a ) = b (b − a ) ayb = b ay = 1

x− y= −b

a−b− y= −b

2

− a 2bx

x + y = 2a − b

x=a−b

a 2bx + ab 2 y = a 2 + b 2

− a bx − a by = − a − ab 2

2a (x − y ) = − 2ab

= 2 (a − b)

x y a 2 + b2 + = 2 2 b a a b

;

abx + aby = a + b 2

x− y= −b

2x

+ a 2 )(a + b) = y (a 2 + b 2 )

x+b a+b−b a+b + = a b b

ax − bx − ay − by = b2 − 3ab

(a + b) x − (a − b) y = ab − b

2

a+b= y

18. (a − b) x − (a + b) y = b2 − 3ab

2ax

− 2b 2 a − b 3

2

− ab 2 − a 2b − a 2 y − b 2 y = − a 3 − 2a 2b − 2b 2 a − b 3

m x= n m n sol : x = y= n m

2bx

= − a 3 − 2a 2b −b y=

2

y=

1 a

 1 abx + ab   = a + b  a abx + b = a + b abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x = sol : x =

1 b

y=

1 a

1 b

EJERCICIO 182 1.

1 2 7 2 1 4 + = + = ; x y 6 x y 3 2 4 7 − − =− x y 3 2 1 4 + = x y 3 −3 = −1 y 3=y 2 1 4 + = x 3 3 6 + x = 4x 6 = 3x ⇒ 2 = x sol: x = 2 y = 3

2.

3 2 1 2 5 23 ; − = + = x y 2 x y 12 6 4 − + = −1 x y 6 15 23 + = x y 4 19 19 = y 4 4=y 3 2 1 − = x 4 2 6−x= x 6 = 2x 3=x sol: x = 3 y = 4

3.

5 4 7 6 + =7 ; − =4 x y x y 15 12 + = 21 x y 14 12 − =8 x y 29 x

= 29 1= x

5 4 + =7 1 y 5y + 4 = 7 y 4 = 2y 2=y sol: x = 1 y = 2

4.

12 5 13 18 7 19 ; + =− + =− x y x y 2 2 36 15 39 − − = x y 2 36 14 38 + =− x y 2 1 1 = y 2 −2=y 36 − 7x = − 19x 12x = − 36 x=−3 sol: x = − 3 y = − 2 −

9 3 5 4 5. + = 27 ; + = 22 x y x y 3 1 + =9 x y 12 4 − − = − 36 x y 5 4 + = 22 x y 7 − x

6. Continuación

4 11 + = 50 x 1 4 4 + 44 = 50 x 4 + 44x = 50x 4 = 6x 2 =x 3 2 1 sol: x = y= 3 4 7.

41 x

1 =x 2

6 8 4 11 6. x − y = − 23 ; x + y = 50 12 16 − + = 46 x y 12 33 + = 150 x y 49 = 196 y 1 =y 4 Continúa

= − 41

− 1= x 7 15 − − =−4 1 y − 7y − 15 = − 4y − 15 = 3y −5=y sol: x = − 1 y = − 5

= − 14

5 4 4 + = 22 ⇒ 10 + = 22 1 y y 2 10y + 4 = 22y 4 = 12y 1 =y 3 1 1 sol: x = y= 2 3

9 10 7 15 + = − 11 ; − =−4 x y x y 27 30 + = − 33 x y 14 30 − =−8 x y

8.

1 3 3 1 5 4 − = + =− ; 2x y 4 3 x 2y 1 3 3 − = 2x y 4 1 5 2 − − = 2x 4 y 3 −

17 17 = 4 y 12 − 12 = 4 y

− 3= y 1 5 4 + =− 3 x 2 (− 3) 6 − 5x = − 8 x 3x = − 6 x= −2 sol : x = − 2 y = − 3

2

1

11

1

3

4

9. 5x − 3 y = − 45 ; 10 x − 5 y = 5 −

2 1 11 + = 10 x 6 y 90 2 6 8 − = 10 x 5 y 5

3 7 2 1 8 103 10. x − 3 y = 3 ; 4 x + y = 84 3 7 1 − = 4 x 12 y 6 3 24 309 − − =− 4x 84 y

31 31 = 30 y 18 − 18 = 30 y 3 − =y 5 1 3 4 = + 10 x  3 5 5   5 3 + 30 x = 24 x −

− 295 − 295 = 12 y 84 y=7 3 7 2 − = x 3 ( 7) 3 9 − x = 2x

6x = − 3 ⇒ x = − x=−

sol :

1 1 1 1 + =a ; − =b x y x y 1 1 + = a x y 1 1 − + =−b x y

12.

sol : x = 3 y = 7

1 3 y=− 2 5

13.

2 2 = a−b ⇒ =y y a−b 1 1 − =b 2 x a−b

2 3b 2 − 3a a b − = + =2 ; x y a x y 2a 3ab − = 2 − 3a x y 2a 2b − − =−4 x y

2 − x (a − b) = 2bx

2 − ax + xb = 2bx − ax = bx − 2 − ax − bx = − 2 x (a + b) = 2 ⇒ x = sol : x =

2 a+b

3 1 107 6 1 14 + = + = ; 10 x 3y 60 5x 4 y 5 3 2 107 + = 5x 3 y 30 3 1 7 − − =− 5x 8 y 5 13 13 = 24 y 6 1 =y 4 6 1 14 + = 5x  1 5 4   4 6 + 5x = 14 x

9 = 3x 3= x

1 2

11.

b (− 3a − 2) = − 3a − 2 y b= y a b + =2 x b a + x = 2x a= x sol : x = a y = b

6 = 9x 2 =x 3 2 1 sol : x = y= 3 4 2 2 m+ n m n 14. x + y = mn ; x − y = 0 2n 2n m + n + = x y m 2m 2n − = 0 x y 2 (m + n) m + n = x m 2m = x m n − =0 2m y y − 2n = 0 y = 2n sol : x = 2m y = 2n

2 2 y= a+b a−b

EJERCICIO 183 4 1. 2

5 3

2 2. 3 3.

5

−2 −8

2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21= − 11

6.

9 − 11 9 ⋅ 7 − (− 11)(− 3) = 63 − 33 = 30 −3 7

5

4

3

9

5 −2

5(− 8) − (− 3)(− 2) = − 40 − 6 = − 46

5.

−2

7 4.

7

5 −3

4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2

− 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 = − 6 − 20 = − 26

7.

7 (− 2) − 9 ⋅ 5 = − 14 − 45 = − 59

8.

− 15 − 1 13 12 − 1 13 − 9

2

− 15⋅ 2 − 13(− 1) = − 30 + 13 = − 17

12 (− 9) − (13) (− 1) = − 108 + 13 = − 95

10 3 9. 17 13 10 ⋅13 − 3 ⋅17 = 130 − 51= 79 11.

8 −3

2 8 (0) − 2 (− 3) = 0 + 6 = 6 0

10.

12.

−5

−8

− 19 − 21

(− 5)(− 21) − (− 8)(− 19) = 105 − 152 = − 47

31 − 85 31⋅ 43 − (− 85)(− 20) = 1. 333 − 1. 700 = − 367 − 20 43

EJERCICIO 184 4. 15x − 44y = − 6 − 27x + 32y = − 1

1. 7x + 8y = 29 5x + 11y = 26

29 8 26 11 319 − 208 111 = = =3 x= 7 8 77 − 40 37 5 11 7 5 y= 7 5

29 26 182 − 145 37 = = =1 8 37 37 11

sol: x = 3

y =1

2. 3x − 4y = 13 8x − 5y = − 5

−4 − 5 − 65 − 20 − 85 = = =−5 −4 − 15 + 32 17 −5

3 8 y= 3 8

13 − 5 − 15 − 104 − 119 = = = −7 −4 17 17 −5 y= −7

3. 13x − 31y = − 326 25x + 37y = 146

− 326 − 31 146 37 x= − 31 13 25 37 x=

− 12 . 062 + 4 . 526 − 7 . 536 = = −6 481+ 775 1. 256

13 25 y= 13 25

x=

− 192 − 44 − 236 1 = = 480 − 1.188 − 708 3

15 − 6 − 27 − 1 y= 15 − 44 − 27 32 − 15 − 162 − 177 1 = = − 708 − 708 4 1 1 sol: x = y= 3 4 y=

13 −5 x= 3 8

sol: x = − 5

− 6 − 44 −1 32 x= 15 − 44 − 27 32

− 326 146 − 31 37

1. 898 + 8 .150 10 . 048 = =8 y= 1. 256 1. 256 sol: x = − 6 y = 8

5. 8x = − 9y 8 x + 9y = 0

7 2x + 5 + 3y = 2 4x + 10 + 6y = 7 4 x + 6y = − 3 0 −3 x= 8 4 x=

9 6 9 6

0 + 27 27 9 = = = 2 41 48 − 36 12 4

8 4 y= 8 4

0 −3 9 6

− 24 − 0 − 24 = =−2 12 12 1 sol: x = 2 4 y=−2 y=

6. ax − by = − 1 ax + by = 7

−1 − b 7 b x= a −b a b x=

− b + 7b 6b 3 = = ab + ab 2ab a −1 7 −b b

a a y= a a

7a + a 8a 4 = = 2ab 2ab b 3 4 sol: x = y= a b y=

7. 3x − ( y + 2) = 2 y + 1

3x − y − 2 = 2 y + 1 3x − 3 y = 3 x− y=1

5 y − ( x + 3) = 3x + 1 5 y − x − 3 = 3x + 1 − 4 x + 5y = 4 −1

1 x=

5 5+ 4 =9 x= −1 5− 4 −4 5

4

1

1 1 −4 4 4+ 4 =8 y= y= 1 −1 1 −4 5 sol : x = 9

y=8

8. ax + 2y = 2 ax − 3y = − 1 2 ax − 6y = − 2

2 a a − 2 − 2a − 2a − 4a 1 = = = y= 2 a − 8a − 8a 2 a −6

9.

− 12 x + 5 y − 7 = 0

x=

y = − 12

2 3a 3 + a 2 − 2a 2 a (3a − 1) = =a x= 3a 2 − a a (3a − 1)

1

a2

y=

6a − 3a − 1 a (3a − 1)

sol : x = a

3a − 1 1 = a (3a − 1) a

y=

1 a

x+ y =4 x− y

14.

x + y = 4 ( x − y)

mx + 4 y = 2 (m + 1)

x + y = 4x − 4 y − 3x + 5 y = 0

−2

x− y−1 1 = x+ y+1 9

9 ( x − y − 1) = x + y + 1

20 + 4 (m + 1) 4 (6 + m) = =2 12 + 2m 2 (6 + m)

6 (m + 1) − 5m 2 (6 + m)

sol : x = 2

9x − 9 y − 9 = x + y + 1 8 x − 10 y = 10 4 x − 5y = 5

5

0

m 2 (m + 1) y= −2 3 4 m y=

=

5

y= −1

63

3. 604 + 2 . 479 =7 y= 869 sol : x = 5 y = 7

12. 3x − 2 y = 5

3

a2

37

− 67

sol : x = − 1

x=

a2 a

2 . 331 + 2 . 014 4 . 345 = =5 2 .142 − 1. 273 869 34

56 − 60 − 4 = = −1 y= 40 − 36 4

a

63

− 67 106 y= 34 − 19

2 (m + 1) 4 x= −2 3 4 m

x + ay = 2 a x + a 2 y = 2a

2a a

x=

5

− 25 + 21 − 4 = = −1 40 − 36 4

5

10. 3x + ay = 3a + 1

3a + 1

− 67

7 5 8 −3

− 12

− 19

106 63 x= 34 − 19

8 −5

sol: x = − 8

3

37

− 12 x + 5y = 7

− 12 7 y= 8 −3

1 y= 3

63 y − 4 x − 1 = 63x + 105 − 67 x + 63 y = 106

5 y − 25 − 12 x + 18 = 0

− 12

4x + 1 = 3x + 5 21

63 y − (4 x + 1) = 21(3x + 5)

5 ( y − 5) − 6 (2 x − 3) = 0

− 48 2 0 − 2 96 − 0 96 = = =−8 x= 3 2 − 6 − 6 − 12 3 −2

1

3y −

y − 5 2x − 3 − =0 6 5

x=

2a x= 3

34 x − 19 y = 37

8x − 3y = − 5

x y + =−4 4 6 3x + 2y = − 48 x y − =0 8 12 3x − 2y = 0

2y + 3 = y+2 17

34 x − 2 y − 3 = 17 y + 34

8x − 3 y + 25 = 20

−5 −3

3 − 48 3 0 0 + 144 = = − 12 y= 3 2 − 12 3 −2

2x −

34 x − (2 y + 3) = 17 ( y + 2)

8 x + 16 − 3 y + 9 = 20

1 1 y= 2 a

3a + 1

13.

8 ( x + 2) − 3 ( y − 3) = 20

2 2 −2 −6 − 12 + 4 −8 1 = = = x= 2 a − 6a − 2a − 8a a a −6

sol: x =

x+2 y−3 5 − = 3 8 6

11.

5

5 −5 0 − 25 − 25 = = =5 x= − 3 5 15 − 20 − 5 4 −5 =

1 y= 2

1 m+ 6 = 2 (6 + m) 2

−3 0 y=

4 5 − 15 − 0 = =3 −3 5 −5 4 −5

sol : x = 5

y= 3

x + 9 y + 21 16. x − 9 = y + 39

(x + 9)( y + 39) = ( x − 9)( y + 21)

15. x − y = 2b

xy + 39 x + 9 y + 351 = xy + 21x − 9 y − 189 18 x + 18 y = − 540

x y + =2 a+b a−b

x (a − b) + y (a + b) = 2 (a 2 − b 2 )

x=

2 (a 2 − b2 ) a + b

( y + 11)( x + 8) = ( y + 19)(x − 8)

−1 a+b

1 a−b

xy + 8 y + 11x + 88 = xy − 8 y + 19 x − 152 − 8 x + 16 y = − 240

2b (a + b) + 2 (a 2 − b2 ) 2a (b + a) = = b+ a 2a a+b+ a−b 1

y=

x + 8 y + 19 = x − 8 y + 11

−1

2b

x=

x + y = − 30

− x + 2 y = − 30 − 30 − 30 x= 1 −1

2b

a − b 2 (a 2 − b2 ) −1 1 a−b

1 2 − 60 + 30 − 30 = = = − 10 1 2+1 3 2

1 − 30 − 1 − 30 − 30 − 30 − 60 = = = − 20 y= 1 1 3 3 2 −1

a+b

2 (a 2 − b 2 ) − 2b (a − b) 2a (a − b) = =a−b 2a 2a sol : x = a + b y = a − b y=

sol : x = − 10

y = − 20

EJERCICIO 185 1. x − y = 1 x = 0 y = −1 y=0 x= 1

x+y=7 x=0 y=7 y=0 x=7

2. x − 2y = 10

2x + 3y = − 8

x=0 y=−5

x=0

y=0

y=0 x=−4

x = 10

y = − 2 23

x + y = 7 =

1

+ 3y

(4,3)

2x

x

-y

=

x

= y -2

10

-8

(2,-4)

sol :

x=4

y=3

sol :

x=2

Y=-4

3. 5x − 3y = 0 x=3 y=5

5. 3x + 4 y = 15

7 x − y = − 16 x = 0 y = 16

x=5 x=1

5x

= y -3

3x +

0

4y =

15

(1,3)

7x y=

-16

y = 0 x = − 2 27 Escala 1:2

2x + y = 5 x= 0 y=5 x= 2 y=1

y= 0 y=3

+ 2x y=

(-3,-5)

5

sol : x = - 3 4. 3x = − 4y 3x + 4y = 0 x=4 y=−3

3x +

sol :

5x − 6y = 38 x=−2 y=−8 y=−3 x=4

x=1

0

5x + 2y = 16

5x

4 x + 3 y = 10 x=−2 y=6 x=1 y=2

x=2 y=3 x=4 y= −2

(4,-3)

= y -6

y= 3

6. 5x + 2 y = 16

10 = 3y + 4x

4y =

y=-5

38

sol : x = 4

(4,-2)

y=-3

sol : x = 4

y=-2

y−4=x+2 −x+y=6 x=0 y=6 x= −6 y=0

9.

x y 1 3x − 2y = − 1 − =− 2 3 6 x=3 y=5 ; x=−3 y=−4 x y 7 + =− 4 x + 3y = − 7 3 4 12 x = −1 y = −1 ; x = − 4 y = 3

4x

-2 y

=

-1

7. x + 8 = y + 2 x−y= −6 x=0 y=6 x= −6 y=0

+ x

2

(-1,-1)

sol : x = - 1

sol : Equivalentes

3x y 8. 5 + 4 = 2 12 x + 5 y = 40 x= 0 y=8 x=5 y= −4

3x

-7

=

=

-4 y

2

3y

8

+ y

+

+ x

=

x − 5 y = 25 x=0 x=5

y=−5 y= −4

10. x + 3y = 6

y=-1

3x + 9y = 10

x=0 y=2

x = 0 y = 1 91

x=6 y=0

x = 3 31 y = 0

+ 12x = 5y

x+

3y =

6

40

3x +9y =10

(5,-4) 25 x - 5y =

sol : x = 5

y=-4

sol : Incompatibles

11. 2x + 3y = − 13 x = − 2 y = − 3 ; x = − 5 y = −1 6x + 9y = − 39 x = − 2 y = − 3 , x = − 5 y = −1

13. x + y = 9 x=6 y=3 ; x=4 y=5 x − y = −1 x = 0 y =1 ; x = 2 y = 3 x − 2y = − 6 x=0 y=3 ; x=2 y=4

(4,5)

-1 3

-1

3y =

-6

x+

=

-3 9

-y

9y =

= 2y x-

x

6x +

2x +

y=

9

sol : Equivalentes

x−2 y−3 12. − =4 2 3

3 ( x − 2) − 2 ( y − 3) = 24

y− 2 x− 3 11 + =− 2 3 3

3( y − 2) + 2 ( x − 3) = − 22

3x − 6 − 2 y + 6 = 24

3 y − 6 + 2 x − 6 = − 22

3x − 2 y = 24

2 x + 3 y = − 10

x= 6 y= − 3 x= 4

sol : x = 4

x=4 y= −6

y= − 6

y=5

14. x + y = 5 x=0 y=5 ; x=2 y=3 3x + 4y = 18 x=2 y=3 ; x=−2 y=6 2x + 3y = 13 x = 2 y = 3 ; x = 5 y =1

x= −2 y= − 2

x+ 4y = 18 y =

5

+

2y =

2x

24

3x +

3y 0 -1

3x -

=

(2,3) 2x +

(4,-6)

sol : x = 4

y=-6

sol : x = 2

y=3

3y =

13

EJERCICIO 186

15. 2x + y = − 1 x = 0 y = −1 ; x = −1 y =1 x − 2y = − 13 x=−5 y=4 ; x=−3 y=5 3x − 2y = − 19 x=−5 y=2 ; x=−3 y=5

1. x + y + z = 6 x − y + 2z = 5

x − y − 3z = − 10 x+ y+ z = 6 x − y + 2z = 5

-1 y= + 2x

2 x + 3z = 11 x+ y+ z = 6 x − y − 3z = − 10

(-3,5)

− 2z = − 4 x− z= − 2 2 x + 3z = 11 x − z = − 2 ( 3)

-1 9

3 -1

2 x + 3z = 11 3x − 3z = − 6

3x

-2 y

=

x

y= -2

2x

=5 x=1

5x

sol : x = - 3

2 (1) + 3z = 11 2 + 3z = 11 3z = 9 z= 3 1+ y + 3 = 6 y+ 4= 6 y=2

y=5

2y − x = − 4 4 x − 5y = 7 16. x − y = 1 x = 0 y = −1 x = 0 y = − 2 x = − 2 y = − 3 x =1 y = 0 x = 2 y = −1 x = 3 y =1

sol : x = 1 y = 2 z = 3 2. x + y + z = 12

x

-y

=

y= -5 4x

(-2,-3)

1 2y 7

-x

=

-4

2x − y + z = 7 x + 2y − z = 6 x + y + z = 12 2x − y + z = 7 3x

+ 2 z = 19

2 x − y + z = 7 ( 2) x + 2y − z = 6 4 x − 2 y + 2z = 14 x + 2y − z = 6 5x

+ z = 20 3x + 2 z = 19 5x + z = 20

(− 2 )

3x + 2 z = 19 − 10 x − 2 z = − 40 − 7x sol : x = - 2

y=-3 Continúa

= − 21 x= 3

2. Continuación 5( 3) + z = 20

4. Continuación

15 + z = 20 z=5

x − 4 y + 3z = 26

6x + 3y − 9z = − 3 x − 3 y − 2 z = − 12

3 + y + 5 = 12 y + 8 = 12

7x

y= 4 sol : x = 3 y = 4 z = 5 3. x − y + z = 2 x+ y+ z= 4 2x + 2 y − z = − 4 x− y+ z = 2 x+ y+ z =4

5x − 2 y + z = 24 (2) 2 x + 5 y − 2 z = − 14

− 11z = − 15

7 x − 11z = − 15

− 15x + 6 y − 3z = − 72 x − 4 y + 3z = 26

x− 2= −1 x=1

− 14 x + 2 y

+ z= 0

4x + z = 0

5. 2 x + 3 y + z = 1 6 x − 2 y − z = − 14

2 x − 2 y + 2z = 4 2x + 2 y − z = − 4 x + z = 3 (− 1)

12 x + y = 34 (− 2)

− 24 x − 2 y = − 68 − 14 x + 2 y = − 46 − 38 x 12 (3) + y = 34 36 + y = 34 y= −2

3 − 4 (− 2) + 3z = 26

3x + y − z = 1

=−3 x= −1

5x + 4 y

3 + 8 + 3z = 26 3z = 15 z=5 sol : x = 3 y = − 2 z = 5

=2

2 x + 3y + z = 1

− 1+ z = 3 z= 4 − 1− y + 4 = 2 − y + 3= 2 − y= −1 y=1 sol : x = − 1 y = 1 z = 4 4. 2 x + y − 3z = − 1

6 x − 2 y − z = − 14 8x + y

= − 13 5x + 4 y = 2 8 x + y = − 13

x − 3 y − 2z = − 12 3x − 2 y − z = − 5

(− 4 )

5x + 4 y = 2

7. 4 x + 2 y + 3z = 8 3x + 4 y + 2 z = − 1

2 x − y + 5z = 3

4 x + 2 y + 3z = 8 (− 2)

− 32 x − 4 y = 52 − 27 x

3x + 4 y + 2 z = − 1

= 54

− 8 x − 4 y − 6z = − 16 3x + 4 y + 2 z = − 1

x= − 2

2 x + y − 3z = − 1 (2) 3x − 2 y − z = − 5

8 (− 2) + y = − 13 − 16 + y = − 13 y= 3

4 x + 2 y − 6z = − 2 3x − 2 y − z = − 5

2 (− 2) + 3( 3) + z = 1

− 7z = − 7 x− z= −1

5+ z = 1

Continúa

= − 114 x=3

2 x + 3y + z = 1

4x + z = 0

= − 46

− 14 x + 2 y = − 46

3x + y − z = 1

− x− z= − 3

= 34

x − 4 y + 3z = 26

− 4z = − 8 z= 2

2 (1) + y − 3 (2) = − 1 2 + y − 6= − 1 y− 4= −1 y= 3 sol : x = 1 y = 3 z = 2

7x

12 x + y

5x − 2 y + z = 24 (− 3)

− 7 x + 7z = 7 7 x − 11z = − 15

x − y + z = 2 ( 2) 2x + 2 y − z = − 4

3x

10x − 4 y + 2 z = 48 2 x + 5 y − 2 z = − 14

x − z = − 1 (− 7)

+ 2z = 6 x+ z= 3

2x

4x

6. 5x − 2 y + z = 24 2 x + 5 y − 2 z = − 14

2 x + y − 3z = − 1 (3) x − 3y − 2 z = − 12

− 4+ 9+ z=1 z= − 4 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4

− 5x

− 4 z = − 17

5x + 4 z = 17 4 x + 2 y + 3z = 8 2 x − y + 5z = 3 (2) 4 x + 2 y + 3z = 8 4 x − 2 y + 10z = 6 8x

+ 13z = 14 Continúa

10. Continuación

9. 2 x + 4 y + 3z = 3 10 x − 8 y − 9z = 0

7. Continuación

8 x + 13z = 14 (− 5)

4 x + 4 y − 3z = 2

5x + 4 z = 17 (8)

2 x + 4 y + 3z = 3 ( 3) 3x + 5 y

− 40x − 65z = − 70 40 x + 32 z = 136

6 x + 12 y + 9z = 9 10x − 8 y − 9z = 0

z= −2

16 x + 4 y 10 x − 8 y − 9z = 0

5x + 4 (− 2) = 17

5x − 8 = 17 5x = 25

=9

− 2 x − 20 y

4 x + 3(− 6) = 2

=−6

x + 10 y = 3 16x + 4 y = 9 (5)

sol : x = 5 y = − 3 z = − 2

x + 10 y = 3 (− 2)

80 x + 20 y = 45 − 2 x − 20 y = − 6

8. 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 10 x + 5 y + 3z = 21 6 x + 3 y + 2 z = 12 9 x − y + 4 z = 37 ( 3) 6 x + 3 y + 2 z = 12 27 x − 3 y + 12 z = 111 33x

+ 14 z = 123

45x − 5 y + 20z = 185 10 x + 5 y + 3z = 21 + 23z = 206 33x + 14 z = 123 (5) 55x + 23z = 206

165x + 70z = 615 − 165x − 69 z = − 618

7 x + 3 y − 4 z = − 35

4y = 1 1 y= 4  1  1 2   + 4   + 3z = 3  2  4 1 + 1+ 3z = 3 3z = 1

1 1 sol : x = y= 2 4

1 3 1 z= 3

10. 3x + y + z = 1

x=5

6 (5) + 3 y + 2 (− 3) = 12 30 + 3 y − 6 = 12 3 y + 24 = 12 3 y = − 12 y= −4 sol : x = 5 y = − 4 z = − 3

7 x + 3 y − 4 z = − 35 − 3x − 3 y + 18z = 81 4x

+ 14z = 46

2 x + 7 z = 23 3x − 2 y + 5z = 38

+ 11z = 12

15x

4 x − y + 5z = − 6 (2) 6 x + 2 y − 3z = 33 8x − 2 y + 10z = − 12 6 x + 2 y − 3z = 33 14 x

+ 7z = 21 2x + z = 3 15x + 11z = 12

2 x + z = 3 (− 11)

15x + 11z = 12 − 22 x − 11z = − 33 − 7x

= − 21 x=3

2 ( 3) + z = 3 z= − 3

x + y + 2z = − 17 3x + y + z = 1 x + 2y − z = 1 =2

x + 2 y − z = 1 ( 2) x + y + 2 z = − 17 Continúa

12 − y − 15 = − 6 − y − 3= − 6 − y= −3 y= 3 sol : x = 3 y = 3 z = − 3

x + y − 6z = − 27 (2) 13. 9 x + 4 y − 10z = 6 3x − 2 y + 5z = 38 6 x − 8 y + 5z = − 1 2 x + 2 y − 12z = − 54 12 x + 12 y − 15z = 10 5x

− 7 z = − 16 2 x + 7 z = 23 5x − 7 z = − 16 7x

x + 2y − z = 1

4 x + 3y

12 x − 3y + 15z = − 18 3x + 3 y − 4z = 30

x + y − 6z = − 27 (− 3) 4 ( 3) − y + 5(− 3) = − 6

z=

z= − 3

33x − 42 = 123 33x = 165

x + y − 6z = − 27

 1 16   + 4 y = 9  2

(− 3)

33x + 14 (− 3) = 123

1 2

8+ 4y = 9

9 x − y + 4 z = 37 (5) 10 x + 5 y + 3z = 21

55x

x=

4 x − 18 = 2 4 x = 20 x=5 5 − 6 + 2z = − 17 2z = − 16 z= −8 sol : x = 5 y = − 6 z = − 8

11. 7 x + 3 y − 4 z = − 35 3x − 2 y + 5z = 38

= 39

78 x

(− 4)

− 11y = 66 y= −6

10x − 8 y − 9z = 0

10 − y − 10 = 3 − y=3 y= −3

4 x − y + 5z = − 6 (3) 3x + 3y − 4 z = 30

( 3)

12 x + 9 y = 6 − 12 x − 20 y = 60

− 12 x − 12 y + 9z = − 6

2 (5) − y + 5(− 2) = 3

2

3x + 5 y = − 15

4 x + 4 y − 3z = 2 (− 3)

x=5

3x + 3y − 4 z = 30 6 x + 2 y − 3z = 33

= − 15 4 x + 3y =

10x − 8 y − 9z = 0

− 33z = 66

12. 4 x − y + 5z = − 6

2 x + 4 y − 2z = 2 x + y + 2 z = − 17

= 7 x=1

2 (1) + 7 z = 23 7 z = 21 z=3 1 + y − 6 (3) = − 27 y − 17 = − 27 y = − 10 sol : x = 1 y = − 10 z = 3

6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 2)

12 x + 12 y − 15z = 10 − 12 x + 16 y − 10z = 2 12 x + 12 y − 15z = 10 28 y − 25z = 12 9 x + 4 y − 10z = 6 6 x − 8 y + 5z = − 1

( 2)

(− 3)

18 x + 8 y − 20z = 12 − 18 x + 24 y − 15z = 3 32 y − 35z = 15 Continúa

13. Continuación

28 y − 25z = 12 32 y − 35z = 15

(− 8) ( 7)

− 224 y + 200z = − 96

14. Continuación

10 x − (− 2) + z = 10

 1 10   − (− 2) + z = 10  5 2 + 2 + z = 10 z= 6

224 y − 245z = 105 − 45z = 9 z= −

1 5

 1 28 y − 25  −  = 12  5 28 y + 5 = 12 28 y = 7 1 4  1   1 6x − 8   + 5 −  = − 1  4   5

sol : x =

6x = 2 1 x= 3 1 1 1 sol : x = y= z= − 3 4 5

1 y= − 2 z= 6 5

15. x + y = 1 y+ z= −1

z+ x= −6 x+ y

= 1

y + z = − 1 (− 1)

y=

6x − 2 − 1 = − 1

17. y + z = − 8 2x + z = 9

x+ y =1 − y− z=1 x x− z= 2 x+ z= −6

− z= 2

19. 3z − 5x = 10 5x − 3 y = − 7

3y − 5z = − 13 − 5x + 3z = 10 − =−7 5 x 3 y 2 x + z = 9 (− 1) − 3y + 3z = 3 y+ z= −8 − y+ z=1 − 2x − z= − 9 3y − 5z = − 13 − 2 x + y = − 17 − y + z = 1 ( 3) − 2 x + y = − 17 3 y − 5z = − 13 2 x + 3y = − 3 − 3 y + 3z = 3 4 y = − 20

3y + 2 x = − 3 y+ z= −8

y= −5 − 5+ z = − 8 z= − 3 2x − 3= 9 2 x = 12 x= 6 sol : x = 6 y = − 5 z = − 3

− 2 z = − 10 z= 5 − y + 5= 1 − y= −4 y= 4

5x − 3( 4) = − 7 5x − 12 = − 7 5x = 5 x=1 sol : x = 1 y = 4 z = 5

=−4 x= −2 − 2+ y=1 18. 3x − 2 y = 0 y=3 3 y − 4 z = 25 14. 5x + 3 y − z = − 11 3+ z = − 1 z − 5x = − 14 10 x − y + z = 10 z= −4 3 y − 4z = 25 20. 15x + 2 y − z = − 7 sol : x = − 2 y = 3 z = − 4 ( ) − 5x + z = − 14 4 5x + 3 y − z = − 11 10 x − y + z = 10 16. x + 2 y = − 1 3 y − 4z = 25 2y + z = 0 − 20 x + 4 z = − 56 = −1 15x + 2 y x + 2 z = 11 10 x − y + z = 10 − 20 x + 3y = − 31 = −1 x + 2y 15x + 2 y − z = − 7 − 20 x + 3y = − 31 ( 2) 2 y + z = 0 (− 1) = 3 25x + y 3x − 2 y = 0 ( 3) + = −1 x y 2 15x + 2 y = − 1 − 40 x + 6 y = − 62 − 2y − z = 0 25x + y = 3 (− 2) 9x − 6y = 0 − z= −1 x 15x + 2 y = − 1 − 31x = − 62 x − z = − 1 (− 1) − 50 x − 2 y = − 6 x= 2 x + 2 z = 11 − 35x =−7 3 ( 2) − 2 y = 0 − x+ z = 1 1 6− 2y = 0 x= x + 2 z = 11 5 − 2y = − 6 3z = 12  1 y=3 15   + 2 y = − 1  5 z= 4 3 ( 3) − 4z = 25 3+ 2 y = − 1 x− 4= −1 ⇒ x= 3 − 4 z = 16 2y = − 4 3+ 2 y = − 1 z= − 4 y= −2 2y = − 4 ⇒ y = − 2 sol : x = 2 y = 3 z = − 4 Continúa sol : x = 3 y = − 2 z = 4 2x

x − 2y = 0 y − 2z = 5 x+ y+ z=8 x + y+ z=8 x − 2y

= 0 (− 1)

x+ y+ z=8 − x + 2y

=0

3y + z = 8 3y + z = 8 ( 2) y − 2z = 5 6 y + 2z = 16 y − 2z = 5 7y

= 21 y=3

x − 2 ( 3) = 0 x − 6= 0 x=6 6 + 3+ z = 8 z= −1 sol : x = 6 y = 3 z = − 1

21. 5x − 3z = 2 2z − y = − 5 x + 2 y − 4z = 8

x + 2 y − 4z = 8 − y + 2 z = − 5 ( 2) x + 2 y − 4z = 8 − 2 y + 4 z = − 10 x 5 (− 2) − 3z = 2

=−2

− 10 − 3z = 2 − 3z = 12

23. Continuación

24. Continuación

x−y+z=3 x + y − z =1

6 − 2y + 18 = 0 − 2y + 24 = 0 − 2y = − 24 y = 12 sol: x = 6 y = 12 z = 18

=4 x=2

2x

2−y+5=3 −y+7=3 −y=−4 y=4 sol: x = 2 y = 4 z = 5

z= −4

2 (− 4 ) − y = − 5 − 8− y = − 5 − y=3 y=−3

sol: x = − 2 y = − 3 z = − 4 22. 2 x − z = 14 4 x + y − z = 41

3x − y + 5z = 53 4 x + y − z = 41

24.

x y z + − =3 2 2 3 3x + 3 y − 2 z = 18 x y z + − = −5 3 6 2 2 x + y − 3z = − 30 x y z − + =0 6 3 6 − x 2y + z = 0 3x + 3 y − 2 z = 18 (2)

3x − y + 5z = 53

x − 2 y + z = 0 (3)

+ 4 z = 94

7x

6 x + 6 y − 4 z = 36 3x − 6 y + 3z = 0

7 x + 4 z = 94 2 x − z = 14 (4) 7 x + 4 z = 94 8 x − 4 z = 56 15x

= 150 x = 10

2 (10) − z = 14 20 − z = 14 − z= −6 z=6 4 (10) + y − 6 = 41 y + 34 = 41 y=7 sol: x = 10 y = 7 z = 6 23. x + y − z = 1 z+x−y=3 z−x+y=7 z+x−y=3 z−x+y=7

2z = 10 ⇒ z = 5 Continúa

9x

− z = 36

2 x + y − 3z = − 30 (2) x − 2y + z = 0 4 x + 2 y − 6z = − 60 x − 2y + z = 0 − 5z = − 60 x − z = − 12 9 x − z = 36

5x

x − z = − 12

(− 1)

9 x − z = 36 − x + z = 12 = 48 x=6 6 − z = − 12 − z = − 18 z = 18

8x

Continúa

25.

x y z + + = 21 3 4 3 4 x + 3 y + 4 z = 252 x y z + − =0 5 6 3 6 x + 5 y − 10z = 0 x y z + − =3 10 3 6 3x + 10 y − 5z = 90 6 x + 5 y − 10z = 0

(− 2)

3x + 10 y − 5z = 90 − 12 x − 10 y + 20z = 0 3x + 10 y − 5z = 90 − 9x

+ 15z = 90 − 3x + 5z = 30

4 x + 3 y + 4 z = 252 3x + 10 y − 5z = 90

(10)

(− 3)

40 x + 30 y + 40z = 2 . 520 − 9 x − 30 y + 15z = − 270 + 55z = 2 . 250

31x

− 3x + 5z = 30

(− 11)

31x + 55z = 2 . 250 33x − 55z = − 330 31x + 55z = 2 . 250 64 x

= 1. 920 x = 30

− 3 ( 30) + 5z = 30 − 90 + 5z = 30 5z = 120 z = 24 6 (30) + 5 y − 10 (24) = 0 180 − 240 + 5 y = 0 5 y = 60 y = 12 sol : x = 30 y = 12 z = 24

y+ z =4 3 3x − y − z = 12 x+ z = 10 y− 8 8 y − x − z = 80

10 ( y − z ) = 3 (x + 2) 10 y − 10z = 3x + 6 3x − 10 y + 10z = − 6

y− x =5 2 2 z − y + x = 10

2 x − 5 y − 2 z = − 20 (5) 3x − 10 y + 10z = − 6

3x − y − z = 12 (− 1)

10 x − 25 y − 10z = − 100

− x + 8 y − z = 80 − x + 8 y − z = 80 = 68

5x − 2 y = 28

− 2 x + 16 y − 2 z = 160

− 149 x

x − y + 2 z = 10

(2)

(− 35)

= − 1.192 x=8

5 (8) − 2 y = 28

= 170

(− 4 )

40 − 2 y = 28 − 2 y = − 12 y=6

− 4 x + 9 y = 68 4 x − 60 y = − 680

2 (8) − 5 (6) − 2 z = − 20

− 51y = − 612 y = 12

16 − 30 − 2 z = − 20 − 2z = − 6

− 4 x + 9 (12) = 68 − 4 x + 108 = 68 − 4 x = − 40 x = 10 3 (10) − 12 − z = 12 30 − 12 − z = 12 18 − z = 12 z=6 sol : x = 10 y = 12 z = 6 27.

= − 106

26 x − 70 y = − 212 − 175x + 70 y = − 980

x − y + 2 z = 10

− x + 15 y = 170

13x − 35 y 13x − 35 y = − 106

− x + 8 y − z = 80 (2)

− 4 x + 9 y = 68

x+ y y+4 = 7 5

5 ( x + y ) = 7 ( y + 4) 5x + 5 y = 7 y + 28 5x − 2 y = 28 x− z y−4 = 5 2

2 ( x − z ) = 5 ( y − 4)

2 x − 2 z = 5 y − 20 2 x − 5 y − 2 z = − 20 Continúa

− x − 3y + 3z = − 22 (5) 5x − y − 5z = 22 − 5x − 15 y + 15z = − 110 − 16 y + 10z = − 88 − 8 y + 5z = − 44 − 8 y + 5z = − 44 8 y − 7z = 36 − 2z = − 8 z= 4

3x − 10 y + 10z = − 6

− 3x + y + z = − 12

− x + 15y

5x − y − 5z = 22

y− z x+2 = 3 10

z−

− 4x + 9 y

28. Continuación

27. Continuación

26. x −

z= 3 sol : x = 8 y = 6 z = 3 28.

z+ 4 = x−6 2 2 y − z − 4 = 2 x − 12 − 2x + 2 y − z = − 8 x−7 = y−5 z− 3 3z − x + 7 = 3 y − 15 − x − 3 y + 3z = − 22 y+2 = z+ 4 x− 5 5x − y − 2 = 5z + 20 5x − y − 5z = 22 − 2x + 2 y − z = − 8 y−

− x − 3 y + 3z = − 22 (− 2) − 2x + 2 y − z = − 8 2 x + 6 y − 6z = 44

8 y − 7z = 36 Continúa

8 y − 7 (4) = 36 8 y − 28 = 36 8 y = 64 y=8 − x − 3(8) + 3(4) = − 22 − x − 12 = − 22 x = 10 sol : x = 10 y = 8 z = 4 29.

y− z =3 2 2x − 2 y + y − z = 6 2x − y − z = 6 x− y x− z − =0 2 4 2x − 2 y − x + z = 0 x − 2y + z = 0 y− z − x= −5 2 y − z − 2 x = − 10 2x − y − z = 6 − 2 x + y − z = − 10 x− y+

− 2z = − 4 z= 2 x − 2y + z = 0 2x − y − z = 6

(− 2 )

x − 2y + z = 0 − 4 x + 2 y + 2 z = − 12 − 3x

+ 3z = − 12

− 3x + 3(2) = − 12 − 3x + 6 = − 12 − 3x = − 18 x=6 Continúa

29. Continuación

31.

6 − 2y + 2 = 0 − 2y + 8 = 0 − 2y = − 8 y=4 sol: x = 6 y = 4 z = 2

30.

1 + x 1 x 1 + x 1 − x

1 y

3 x

=5

=

5

1 − =−6 z 1 1 − = −1 y z 1 1 − = −1 y z 1 1 + = 7 y z 2 y

(− 1)

3 2 + = 2 x y 2 2 3 − − =− 2 y z

1 + = 6 (− 1) z 1 y

3 2 + = 2 x y 2 2 3 + = y z 2

2 1 = 2 z 3 2 1 ( 2) − = x z 2 1 4 4 + = x z 3 6 4 − =1 x z 1 4 4 + = x z 3 7 7 = 3 x x=3

3 2 + =2 3 y 2 1+ = 2 y 2 =1 y 2= y 3 2 1 − = 3 z 2 2 1 1− = z 2 2 1 − =− 2 z 4= z sol : x = 3 y = 2 z = 4

=6 1 =y 3

1 1 + =5 x 1 3 1 + 3= 5 x 1 =2 x 1 =x 2 1 1 + =6 1 z 2 1 2+ = 6 z 1 =4 z 1 =z 4 1 1 1 sol : x = y = z= 2 3 4

−

32.

1 4 2 + + =−6 x y z 3 2 4 + + = 3 (− 2) x y z 1 4 2 + + =−6 x y z 6 4 8 − − − =−6 x y z 5 6 − − = − 12 x z Continúa

32. Continuación 1 4 2 + + = − 6 (5) x y z

6 5 6 − − = 31 (4) x y z 5 20 10 + + = − 30 x y z 24 20 24 − − = 124 x y z 29 14 − = 94 x z 5 6 − − = 12 (− 7) x z 29 14 − = 94 (3) x z 35 42 + = 84 x z 87 42 − = 282 x z 122 = 366 x 122 = 366 x 1 =x 3 5 6 − = − 12 1 z 3 6 − 15 − = − 12 z 6 − =3 z − 2= z −

1 4 2 + + =−6 1 y −2 3 4 3 + − 1= − 6 y 4 = −8 y 1 − =y 2 1 1 sol : x = y= − z= −2 3 2

EJERCICIO 187 1. 1

2

1 1 1

3 0 2

4 2 1

1

3

4

1 2 1 −3 −1 4 1 2 1 −3

3 −1 −8

−3

−2 3

8.

5 −2 3

⇒ − 15 − 8 − 6 + 6 − 12 − 10 = − 45

−7

3

3 2 −1 − 3

5 4

3 2 3 2 −1 − 3

5 5 4

⇒ − 45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10 = 0

4

1

9. 5

2

3

2 −3 1 2 −3 4

0 7 1

6 3 5

1 4 2

2 5 3

2 −3

0

6

1

2

3. − 3

⇒ 63 + 4 + 0 + 3 + 0 − 56 = 14 4. 2 5 3 −4 6 2 2 5

−1

3 −4

3

⇒ 25 + 72 + 12 − 9 − 40 − 60 = 0 10. 12

5

10

8 −6 9 7 4 −2 12 5 10

3 4 −1

8 −6

9

⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80 = 847

⇒ − 32 − 6 + 90 − 24 − 12 − 60 = − 44 5.

−8

5

⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 = − 171

⇒6 +0+ 8− 3−0− 4 =7 2.

2

−3 −7 4 0 5 2

7.

1

5 −1 − 6 −2 5 3

11. − 9 7

3 −5

−4 −3

3 4 2 5 −1 − 6 −2 5 3

4 −9 7

6 3 −5

1 −4 −3

⇒ 50 + 48 − 9 + 90 − 60 − 4 = 115

⇒ 45 − 168 − 36 − 80 − 162 − 21= − 422

6. 4

1

5

3 12 4

2 3 1

−6 2 5

3

2

−6

⇒ 16 + 45 − 72 − 120 + 72 − 6 = − 65

12.

11 − 5 − 12 3 − 13 1

7 8 9

11 − 5 − 12 3

7 8

⇒ 297 − 84 + 520 + 273 − 88 − 540 = 378

EJERCICIO 188

2. Continuación

1. x + y + z = 11 x − y + 3z = 13 2x + 2y − z = 7

x=

11 13 7 11 13 x= 1 1 2 1 1 x=

1 1 −1 3 2 −1 1 1 −1 3 1 1 3 −1 2 −1 1 1 3 −1

11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12 = =2 1+ 2 + 6 + 2 − 6 + 1 6 1 11 1 13

1 3 −1

y= 2 7 1 11 1 13

− 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11 = = −1 3 − 4 − 1− 1− 2 − 6 − 11

y=

1 1 −6 2 1 −1 z= 1 −2 −6 1 1 −6 2 1 −1 − 6 + 24 − 1+ 6 − 2 + 12 33 = =−3 − 11 − 11 sol: x = − 1 y = − 2 z = − 3 z=

3. 2 x + 3 y + 4 z = 3

2 x + 6 y + 8z = 5 4x + 9 y − 4z = 4

1 3

− 13 + 7 + 66 − 26 − 21+ 11 24 = =4 6 6 1 1 11 1 − 1 13 z= 2 2 7 1 1 11 1 − 1 13 − 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30 = =5 6 6 sol: x = 2 y=4 z=5

x=

z=

2. x + y + z = − 6 2x + y − z = − 1 x − 2y + 3z = − 6

−6 −6 −1 x= 1 2 1 1 2

1

1 −1 3 1 −1

− 3 − 12 + 6 + 1− 6 + 36 22 = = −2 − 11 − 11

y=

−6 −1

−6 −1 −6 −6 −1

1 2 y= 1 1 2

3 5 4 3 5

3 4 6 8 9 −4 3 4 6 8

2 2 4 2

3 4 6 8 9 −4 3 4

2

6

2 2

1

1 −1 −2 3 1 1 1 −1 1 1 1 −1 3 −2 1 1 1 −1

8

− 72 + 180 + 96 − 96 − 216 + 60 − 48 1 = x= = − 48 + 72 + 96 − 96 − 144 + 24 − 96 2

y= 4 2 2 y=

3 5

4 8

4 −4 3 4 5 8

− 40 + 32 + 96 − 80 − 64 + 24 − 32 1 = = − 96 − 96 3

2 2 z= 4 2 2

3 6 9 3 6

3 5 4 3 5

48 + 54 + 60 − 72 − 90 − 24 − 24 1 = = − 96 − 96 4 1 1 1 sol : x = y= z= 2 3 4 z=

4. 4x − y + z = 4 2x + 2y − z = 2 6x − 2y + 3z = 12

4 2 12 4 2 x= 4 2 6 4 2 x=

5. Continuación

x=

−1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1 −1 1 2 −1 −2 3 −1 1 2 −1

24 − 4 + 12 − 24 − 8 + 6 6 1 = = 24 − 4 + 6 − 12 − 8 + 6 12 2

4 4 1 2 2 −1 y = 6 12 3 4 4 1 2 2 −1

66 + 25 − 104 − 260 − 11+ 60 − 224 = =−2 6 + 15 + 16 + 40 − 1+ 36 112

1 11 3 5 y = 4 − 26 1 11 3 5

− 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99 − 336 = =−3 112 112 1 4 11 3 −2 5 1 − 26 z= 4 1 4 11 3 −2 5 y=

52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560 = =5 112 112 sol: x = − 2 y=−3 z=5 z=

6. 7x + 10y + 4z = − 2

24 + 24 − 24 − 12 + 48 − 24 36 = =3 y= 12 12 4 −1 4 2 2 2 z = 6 − 2 12 4 −1 4 2 2 2

5x − 2y + 6z = 38 3x + y − z = 21 −2

10 38 − 2

21 −2 x=

96 − 16 − 12 − 48 + 16 + 24 60 = =5 12 12 1 sol: x = y=3 z=5 2 z=

5. x + 4y + 5z = 11 3x − 2y + z = 5 4x + y − 3z = − 26

11

4

5 1 −3 5 1

5

5 −2 1 − 26 1 − 3 11 4 5 5 −2 1 x= 1 4 5 3 −2 1 4 1 −3 1 4 5 3 −2 1 Continúa

x=

1 10

4 6 −1 4

38 − 2

6

7 5

10 −2

4 6

3

1

−1

7 5

10 −2

4 6

− 4 + 152 + 1. 260 + 168 + 12 + 380 1. 968 = =8 14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50 246 7

−2

4

5

38

6

y= 3 7

21 −2

−1

5

38

6

y=

4

− 266 + 420 − 36 − 456 − 882 − 10 − 1. 230 = =−5 246 246 7 10 − 2

5 z= 3

−2

7 5

10 −2

1

38 21 −2 38

− 294 − 10 + 1. 140 − 12 − 266 − 1. 050 − 492 z= = =−2 246 246 sol : x = 8 y=−5 z=−2

8. Continuación

7. 4x + 7y + 5z = − 2 6x + 3y + 7z = 6

x=

x − y + 9z = − 21 −2

7 6 3 − 21 − 1 −2 7 6 3 x= 4 7 6 3 −1 1 4 7 6 3 x=

− 54 − 30 − 1. 029 + 315 − 14 − 378 − 1.190 = =5 − 238 108 − 30 + 49 − 15 + 28 − 378

4 6 y= 1 4 6 y=

5 7 9 5 7 5 7 9 5 7

−2 6 − 21 −2 6

5 7 9 5 7

216 − 630 − 14 − 30 + 588 + 108 238 = = −1 − 238 − 238

4 7 6 3 z = 1 −1 4 7 6 3

− 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602 = =−2 15 + 12 − 240 + 16 − 54 − 50 − 301

y=

8x + 3y − 5z = − 33 − 22 32 − 33 − 22 32 x= 3 2 8 3 2

−5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6 −5 2 −1 6 3 −5 −5 2 −1 6

Continúa

−5 −1 3 −5 −1

3 2 z= 8 3 2

− 22 32 − 33 − 22 32

99 − 132 − 1. 280 − 176 − 288 − 330 − 2 .107 = =7 − 301 − 301 sol: x = − 2 y=6 z=7 z=

9. x + y + z = 3 x + 2y = 6 2x + 3y = 6

x=

− 252 + 12 + 42 + 6 + 24 + 882 714 z= = =−3 − 238 − 238 sol: x = 5 y = −1 z= −3 8. 3x − 5y + 2z = − 22 2x − y + 6z = 32

2 6 −5 2 6

− 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220 − 1. 806 = =6 − 301 − 301

−2 6 − 21 −2 6

− 22 32 − 33 − 22 32

3 2 y= 8 3 2

3

1

1

6 6 3

2 3 1

0 0 1

6

2

0

1 1

1 2

1 0

2 1

3 1

0 1

1

2

0

0 + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6 = =−6 x= 0+3+0−4+0+0 −1 1

3

1

1 y= 2

6 6

0 0

1 1

3

1

6

0

y=

0 + 6 + 0 − 12 + 0 + 0 − 6 = =6 −1 −1 1 1

1 2

3 6

z= 2 1

3 1

6 3

1

2

6

12 + 9 + 12 − 12 − 18 − 6 − 3 =3 = z= −1 −1 sol : x = − 6

y=6

z=3

10. 3x − 2y = − 1 4x + z = − 28 x + 2y + 3z = − 43

−1 − 28 − 43 −1 − 28 x= 3 4 1 3 4 x=

−2 0 2 −2 0 −2 0 2 −2 0

11. Continuación x=

0 1 3 0 1 0 1 3 0 1

0 + 0 + 86 + 0 + 2 − 168 − 80 = = −5 0 + 0 − 2 + 0 − 6 + 24 16

3 −1 4 − 28 y = 1 − 43 3 −1 4 − 28

x y z − + =1 3 4 4 4 x − 3y + 3z = 12

x=

3

−4 3

−4 3 −6

4

−3

3

3 −1

−6 −4

4 1

−3

3 −6

Continúa

3

1

6

−6

− 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 − 408 = =8 y= − 51 − 51 4 1

−3 3

12 6

z= 4 4

−1 −3

0 12

1

3

6

0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 − 204 = =4 z= − 51 − 51 x= 6

y=8

z=4

x + y = 2z + 3 ; 3 x + 3y = 6z + y ; x + 3y − 6z = 9 9 1 44 9 1 x= 1 1 4 1 1

y= 3 −6

1 4

3

0 12

3 −1 −1 3 −1 3 −1 −1 3 −1

x − y =1

; ;

y + 11 4 4x + 4z = y + 44 4x − y + 4z = 44

−6 0 4 −6 0 −6 0 4 −6 0

− 36 + 6 + 0 − 264 + 0 − 12 − 306 = =9 − 4 + 6 + 0 − 24 + 0 − 12 − 34

1 1 y= 4 1 1

x + 3y − 6z = 6 x y z − − =0 2 8 2 4x − y − 4z = 0 3

y= 4 4

x=

x y + − z=1 6 2 2x + 6 y − 12z = 12

−1 −3

−6

12.

0 − 8 + 56 + 0 + 168 − 344 − 128 = =−8 16 16 sol: x = − 5 y=−7 z=−8

0 12 6

6

3 0 1

z=

−3

12

sol :

− 252 + 0 − 1+ 0 + 129 + 12 − 112 = = −7 16 16 −1 3 −2 4 0 − 28 z= 1 2 − 43 −1 3 −2 4 0 − 28

12 6

4 1

0 1

y=

11.

− 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 − 306 = =6 − 48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12 − 51

9 1 44 9 1

−6 0 4 −6 0

4 − 264 + 0 + 24 + 0 − 36 − 272 = =8 − 34 − 34

1 1 z= 4 1 1

3 −1 −1 3 −1

9 1 44 9 1

− 44 − 9 + 12 + 36 + 1− 132 − 136 = =4 − 34 − 34 sol: x = 9 y=8 z=4 z=

x+z=

EJERCICIO 191 1. x + 2y + z = 8 Plano

ABC

2x + 2y + z = 9 x + 2y + z = 8

Plano DEF

2 x + 2y + z = 9

3x + 3y + 5z = 24 Plano GHI

3x + 3y + 5z = 24

Para y = 0 z = 0

x=8

Para y = 0 z = 0 x = 4 21

Para y = 0 z = 0 x = 8

Para x = 0 z = 0

y=4

Para x = 0 z = 0 y = 4 21

Para x = 0 z = 0 y = 8

Para x = 0 y = 0

z=8

Para x = 0 y = 0 z = 9

Para x = 0 y = 0 z = 4 45

D

A

G

N

3

R

1

M

C F

2

B E

H

Sol : x = 1

y= 2 z = 3

I

Q

2. x + y + z = 5 Plano ABC

x+y+z=5

3x + 2y + z = 8 Plano DEF 3x + 2y + z = 8

2x + 3y + 3z = 14 Plano GHI 2x + 3y + 3z = 14

Para y = 0 z = 0

x=5

Para y = 0 z = 0 x = 2 23

Para y = 0 z = 0 x = 7

Para x = 0 z = 0

y=5

Para x = 0 z = 0 y = 4

Para x = 0 z = 0 y = 4 23

Para x = 0 y = 0

z=5

Para x = 0 y = 0 z = 8

Para x = 0 y = 0 z = 4 23

D

A G Q

N

3

1

F

1 M

R E H B

sol : x = 1

y=1

z=3

C

I

3. 2 x + 2 y + 3z = 23 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 23

2 x + 3y + 2 z = 20 Plano DEF

4 x + 3 y + 2z = 24

2 x + 3 y + 2 z = 20

Plano GHI

4 x + 3 y + 2 z = 24

Para y = 0 z = 0

x = 11

1 2

Para y = 0 z = 0 x = 10

Para y = 0 z = 0 x = 6

Para x = 0 z = 0

y = 11 12

Para x = 0 z = 0 y = 6 23

Para x = 0 z = 0 y = 8

Para x = 0 y = 0

z = 7 23

Para x = 0 y = 0 z = 10

Para x = 0 y = 0 z = 12

G

D

Q A

N

5

I M 2

E

R

2

H

B

sol : x = 2

y=2

z=5

F

C

4. 2 x + 2 y + 3z = 24 Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 24

4 x + 5y + 2z = 35 Plano DEF

3x + 2 y + z = 19

4 x + 5 y + 2 z = 35

Plano GHI

3x + 2 y + z = 19

Para y = 0 z = 0

x = 12

Para y = 0 z = 0 x = 8 43

Para y = 0 z = 0 x = 6 13

Para x = 0 z = 0

y = 12

Para x = 0 z = 0 y = 7

Para x = 0 z = 0 y = 9 12

Para x = 0 y = 0

z=8

Para x = 0 y = 0 z = 17

1 2

Para x = 0 y = 0 z = 19 M

G D

M

Q

M

M

M

A

M

M

N

4 I

3

F

M

C

M

M 3

M M

R M E M

M

H

M B M

sol : x = 3

y=3

z=4

5. 3x + 4y + 5z = 35

Plano

ABC

2x + 5y + 3z = 27 3x + 4y + 5z = 35

2x + y + z = 13

2x + 5y + 3z = 27

Plano DEF

Plano GHI 2x + y + z = 13

Para y = 0 z = 0

x = 11 23

Para y = 0 z = 0 x = 13 21

Para y = 0 z = 0 x = 6 21

Para x = 0 z = 0

y = 8 34

Para x = 0 z = 0 y = 5 25

Para x = 0 z = 0 y = 13

Para x = 0 y = 0

z=7

Para x = 0 y = 0 z = 9

Para x = 0 y = 0 z = 13

G

D Q

A

M

3 C

I 2 4 N

R

E

B

H

sol : x = 4

y=2

z=3

F

6. 4x + 3y + 5z = 42 Plano ABC 4x + 3y + 5z = 42

3x + 4y + 3z = 33 2x + 5y + 2z = 29 Plano DEF 3x + 4y + 3z = 33 Plano GHI 2x + 5y + 2z = 29

Para y = 0 z = 0

x = 10 21

Para y = 0 z = 0 x = 11

Para y = 0 z = 0 x = 14 21

Para x = 0 z = 0

y = 14

Para x = 0 z = 0 y = 8

Para x = 0 z = 0 y = 5 45

Para x = 0 y = 0

z = 8 25

Para x = 0 y = 0 z = 11

1 4

Para x = 0 y = 0 z = 14 21

G

D

A

R M

5 C N

3 2 Q

H

E

B

sol : x = 2

y=3

z=5

F

I

5. x → Cifra decenas y → Cifra unidades

10 x + y − 17 =5 x+ y

10 x + y − 17 = 5( x + y ) 5x − 4 y = 17 10 x + y − 2 = 19 y−2

10 x + y − 2 = 19 ( y − 2) 10 x − 18 y = − 36 5x − 9 y = − 18 5x − 4 y = 17

5x − 9 y = − 18 (− 1) 5x − 4 y = 17 − 5x + 9 y = 18 5 y = 35 ⇒ y = 7 5x − 4 (7) = 17 5x − 28 = 17 5x = 45 ⇒ x = 9 sol : 97 6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades

10 x + y + 9 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 10 y + x − 1 =6 7 x + 10 y = 43 x− y = −1

(− 1)

x + 10 y = 43 − x+ y = 1 x + 10 y = 43 11y = 44 ⇒ y = 4 x− 4= −1 ⇒ x= 3 sol : 34 7. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+ y= 9

10 ( x + 1) + y − 1 = 10 y + x 10 x + 10 + y − 1 = 10 y + x 9x − 9 y = − 9 x− y= −1 x+ y= 9 x− y= −1 2x = 8 ⇒ x = 4 4+ y= 9 ⇒ y= 5 sol : 45

EJERCICIO 199 1. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 10 cts.

x +

y=

(− 10)

78

20 x + 10 y = 1.130 − 10 x − 10 y = − 780 20 x + 10 y = 1.130 10 x

= 350 x = 35

35 + y = 78 y = 43 sol : 35 Mon. de 20 cts. 43 Mon. de 10 cts. 2. x → Monedas de $ 5 y → Monedas de $ 4

x + y = 91 (− 4)

5x + 4 y = 404 − 4 x − 4 y = − 364 5x + 4 y = 404

x+

y =

700

(− 15)

= 7 .500 x = 300 300 + y = 700 y = 400 sol : 300 adultos y 400 niños 4. x → Monedas de 20 cts. y → Monedas de 25 cts.

(− 20)

− 20 x − 20 y = − 880 20 x + 25 y = 995 Continúa

x + 2 y = 419

y = 132 x + 132 = 287 x = 155 sol : 155 Billetes de $ 1 132 Billetes de $ 2

(− 3)

− 3x − 3 y = − 102 3x + 7 y = 174

25x

20 x + 25 y = 995

(− 1)

− x − y = − 287 x + 2 y = 419

x + y = 34

− 15x − 15 y = − 10 .500 40 x + 15 y = 18 . 000

y = 44

x + y = 287

3x + 7 y = 174

40 x + 15 y = 18 . 000

x +

5. x → Billetes de $ 1 y → Billetes de $ 2

6. x → Libros de 3 col. y → Libros de 7 col.

= 40 x 40 + y = 91 y = 51 sol : 40 Mon. de $ 5 51 Mon. de $ 4 3. x → N º de adultos y → N º de niños

4. Continuación 5y = 115 y = 23 x + 23 = 44 x = 21 sol: 21 Monedas de 20 cts. 23 Monedas de 25 cts.

4 y = 72 y = 18 x + 18 = 34 x = 16 sol : 16 libros de 3 col. 18 libros de 7 col. 7. x → N º de trajes y → N º de sombreros

x +

y=

54

(− 45)

375x + 45 y = 6 . 720 − 45x − 45 y = − 2 . 430 375x + 45 y = 6 . 720 = 4 . 290 x = 13 13 + y = 54 ⇒ y = 41 sol : 13 trajes 41 sombreros 330 x

EJERCICIO 200 1. A − 1 = B + 1 A− B= 2

4. A − 10 = 2 ( B − 10)

A − 2 B = − 10

A + 1 = 3 ( B − 1)

A − 3B = − 4 A− B = 2

3 ( A + 10) = B + 10 4

3 ( A + 10) = 4 (B + 10)

(− 1)

3 A − 4 B = 10

A − 3B = − 4

A − 2 B = − 10 (− 2)

− A+ B = − 2 A − 3B = − 4

3 A − 4 B = 10 − 2 A + 4 B = 20 3 A − 4 B = 10

− 2B = − 6 B=3 A − 3= 2 A=5 sol : A → $ 5 B → $ 3

2 ( A − 2) = B + 2 2A− B= 6

B = 20 sol : A → 30 Años B → 20 Años 5.

8 A + 6 = ( B + 6) 5

2A− B = 6

5 ( A + 6) = 8 ( B + 6)

− A+ B= 4 2A− B= 6

5 A − 8 B = 18

= 10 A 10 − B = − 4 − B = − 14 B = 14 sol : A → 10 soles B → 14 soles

− 4 A + 8 B = 24 5 A − 8 B = 18 = 42

A

B = 24 sol : A → 42 Años

P− J = 6

4 ( J − 3) = P + 3 P − 4 J = − 15

(− 1)

P − 4 J = − 15 − P+ J = − 6 P − 4 J = − 15 − 3J = − 21 J=7

B → 24 Años 6.

A − 5=

3 (B − 5) 2

9y 5

3 ( x + 4) = y + 4 5 3x + 12 = 5 y + 20 3x − 5 y = 8 5x − 9 y = 0 ( 3)

3x − 5 y = 8 (− 5) 15x − 27 y = 0 − 15x + 25y = − 40 y = 20 9 x = (20) 5 x = 9 ( 4) x = 36 sol : 36 Años → tiene el hom bre 20 Años → tiene la esposa

5 ( A + 35) = B − 35 17 5 A + 175 = 17 B − 595 5 A − 17 B = − 770 A− B =

50

2 ( A − 5) = 3( B − 5)

5 A − 17 B = − 770

2 A − 3B = − 5 7 ( A + 10) = B + 10 9

− 5 A + 5 B = − 250

7 ( A + 10) = 9 ( B + 10) 7 A − 9 B = 20

(− 3)

P − 7 = 6 ⇒ P = 13

2 A − 3B = − 5

sol : Pedro → $ 13

7 A − 9 B = 20 Continúa

Juan → $ 7

B = 25 sol : A → 35 Años B → 25 Años

8. A − 25 = B + 25 A − B = 50

42 − 2 B = − 6 − 2 B = − 48

P − 3= J + 3

6

(− 4 )

A − 2B = − 6 5 A − 8 B = 18

3. P → Pedro J → Juan

P− J =

A − 6 = 2 ( B − 6) A − 2B = − 6

(− 1)

A − B= −4

= 35

A

2 ( 35) − 3B = − 5 70 − 3B = − 5

x=

30 − 2 B = − 10 − 2 B = − 40

2. B − 2 = A + 2 A− B = − 4

7 A − 9 B = 20

7. x → Edad Hombre y → Edad Esposa

= 30

A

6. Continuación − 6 A + 9 B = 15

(− 5)

5 A − 17 B = − 770 − 12 B = − 1. 020 B = 85 A − 85 = 50 A = 135 sol : A → 135 Lempiras B → 85 Lempiras

9. x → Edad padre y → Edad hijo 1 ( x − 6) = y − 6 5 x − 6 = 5 y − 30 x − 5y = − 24 2 ( x + 9) = y + 9 5 2 x + 18 = 5y + 45 2 x − 5y = 27

10. P + 15 = 5 ( J − 15) P − 5 J = − 90

3 ( P − 20) = J + 20 3 P − J = 80

P − 5 J = − 90 (− 3) 3P − J =

− x + 5y = 24 2 x − 5y = 27

80

− 3 P + 15 J = 270 3 P − J = 80

x − 5y = − 24 (− 1)

2 x − 5y = 27

11.

B B   + 60 = 4  B − − 60   2 2 2 A + B + 120 = 8B − 4 B − 480 2 A + B + 120 = 4 B − 480 2 A − 3B = − 600 B + 80 − 310 = A − 80 B − 230 = A − 80 A − B = − 150 2 A − 3B = − 600 A+

14 J = 350

A − B = − 150

J = 25

(− 2)

2 A − 3B = − 600 − 2 A + 2 B = 300

3 P − 25 = 80 3 P = 105

P = 35 = 51 x sol : 35 cts. → tenia Pedro 51 − 5 y = − 24 25 cts. → tenia Juan − 5 y = − 75 y = 15 sol : 51 Años → Edad padre 15 Años → Edad hijo

B = 300 A − 300 = − 150 A = 150 cts. sol : $ 1, 50 → tiene A $ 3 → tiene B

12. x → Edad de Enrique y → Edad hermana 3 x − 6 = ( y − 6) 2 2 x − 12 = 3 y − 18 2 x − 3y = − 6 4 ( x + 6) = 5 ( y + 6) 4 x + 24 = 5 y + 30 4 x − 5y = 6

2 x − 3 y = − 6 (− 2 ) 4 x − 5y = 6 − 4 x + 6 y = 12 4 x − 5y = 6 y = 18 2 x − 3 (18) = − 6 2 x − 54 = − 6 2 x = 48 x = 24 sol : 24 Añ. → Ed . Enrique 18 Añ. → Ed . herm.

EJERCICIO 201 1. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua x − y → Veloc. bote contra la corriente 10 =1 x+y x + y = 10 4 =1 x−y x−y=4 x + y = 10 x−y= 4

= 14 x=7 7−y=4 y=3 sol: 7 Km 2x

2. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. del rio x + y → Veloc. bote a favor del agua

x − y → Veloc. bote contra agua 28 7 = x+y 4 7x + 7y = 112 x + y = 16 24 =3 x−y 3x − 3y = 24 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 x = 12 12 − y = 8 y=4 sol: 12 Km 2x

h → Veloc. bote agua tranq.

3 Km h → Veloc. del rio

h → Bote

4 Km h → Rio

3. x → Tiempo ida y → Tiempo vuelta

x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 x + y = 5 (8) 12 x − 8 y = 0 8 x + 8 y = 40 20 x

= 40 x=2

12 ( 2) − 8 y = 0 − 8 y = − 24 y=3 sol : 2h → Tiempo ida 3h → Tiempo vuelta

4. x → Veloc. bote agua tranq. y → Veloc. rio x + y → Veloc. bote a favor

de la cte x − y → Veloc. bote en contra de la cte 40 5 = x+y 2 5x + 5y = 80 x + y = 16 40 =5 x−y 5x − 5y = 40 x−y=8 x + y = 16 x−y= 8 = 24 ⇒ x = 12 12 − y = 8 ⇒ y = 4 sol: 12h → Veloc. bote 4h → Veloc. rio 5. x → tiempo ida y → tiempo vuelta 2x

x+ y=6 20 40 = x y 40 x − 20 y = 0 2x − y = 0 x+ y=6 2x − y = 0 3x

=6

6. x → tiempo ida y → tiempo vuelta

⇒ x=2

z → Pr ecio kilo fríjoles 5x + 3 y + 4z = 1, 18 4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46 5x + 3 y + 4z = 1, 18

(− 3)

4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 4) Continúa

z → N º menor x+ y z − 1= 3 3z − 3 = x + y x + y − 3z = − 3 x + y + z = 37 y − z = x − 13 x − y + z = 13

2 x + 2 y = 10 3x − 2 y = 0 5x

= 10

x=2 2+ y = 5 y=3 sol : 2h → tiempo ida 3h → tiempo vuelta Entonces 32 Km = 16 Km h → Veloc. rio abajo 2h

x + y + z = 37 x + y − 3z = − 3

− 4 z = − 40 z = 10 x + y + z = 37 x − y + z = 13 2x

h → Veloc. bote

6 Km h → Veloc. rio 2. Continuación

− 15x − 9 y − 12 z = − 3 , 54 16 x + 20 y + 12 z = 5 , 80 x + 11y

= 2 , 26

4 x + 5 y + 3z = 1, 45 2 x + y + 2 z = 0 , 46

+ 2 z = 50

2 x + 2 (10) = 50 2 x = 30 x = 15 15 + y + 10 = 37 y + 25= 37 y = 12 sol: 15 , 12 , 10

= 20

x = 10 10 + y = 16 y= 6 sol :10 Km

(− 1)

− x − y − z = − 37 x + y − 3z = − 3

12 Km = 4 Km h → Veloc. rio arriba 3h Luego x → Veloc. bote y → Veloc. rio x + y = 16 x− y= 4

sol : 2h → tiempo ida 4h → tiempo vuelta 2. x → Pr ecio kilo azúcar y → Pr ecio kilo café

1. x → N º mayor y → N º medio

x + y = 5 ( 2) 3x − 2 y = 0

2x

2 ( 2) − y = 0 − y= −4 ⇒ y=4

EJERCICIO 202

x+ y=5 8 12 = x y 12 x − 8 y = 0 3x − 2 y = 0

( 2)

(− 3)

8 x + 10 y + 6z = 2 , 90 − 6 x − 3 y − 6z = − 1, 38 Continúa

2. Continuación

2. Continuación = 1, 52 2x + 7 y

x + 11y = 2 , 26

(− 2)

2 x + 7 y = 1, 52 − 2 x − 22 y = − 4 , 52 2 x + 7 y = 1, 52 − 15 y = − 3 1 5 y = 0,2 y=

Continúa

2 x + 7 (0 , 2) = 1 , 52 2 x + 1 , 4 = 1 , 52 2 x = 0 , 12 x = 0 , 06

2 (0 , 06) + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 0 , 12 + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46 2 z = 0 , 14 z = 0 , 07 sol : 6 cts. → Kilo Az. 20 cts. → Kilo café 7 cts. → Kilo fríjoles

3. x → Cifra centenas y → Cifra decenas

z → Cifra unidades x + y + z = 15

2 x + 2 y − 3z = 0 99 x − 99 z = 99 x− z=1

(− 2)

2 x + 2 y − 3z = 0 − 2 x − 2 y − 2 z = − 30 0

− 5z = − 30 z=6 x − 6= 1 x=7 7 + y + 6 = 15 y + 13 = 15 y= 2

sol : 726

4. x → N º mayor y → N º medio

= 135 x = 45 2 x + 6 y + 9 z = 702 3x

8

2 x + 6 y + 9 z = 702 18 x − 9 y − 9 z = 72 = 774

Continúa

x + y + z = 6 ( 31) 59 x − 31y + z = 0 31x + 31y + 31z = 186 59 x − 31y + z = 0 + 32z = 186 45x + 16z = 93

(− 45)

( 9)

x y z + + = 15 8 9 5 45x + 40 y + 72 z = 5. 400 z + x = 65 x + y + z = 110 + z = 65 (− 1)

x

45x + 16z = 93

x + y + z = 110 −x − z = − 65

− 45x + 45z = 90 45x + 16z = 93

y = 45 45x + 40 y + 72 z = 5. 400

61z = 183 z=3 x − 3= − 2 x=1 1+ y + 3= 6 y+ 4= 6 y=2 sol : 123

y+ z 2 2x − 8 = y + z 2x − y − z = 8 x + y + z = 127 2x − y − z = 8

20 x − 3 y

z → Cifra unidades x+ y+ z= 6 sol: 80! , 55! , 45! 100 x + 10 y + z = 41 x+ y 100 x + 10 y + z = 41x + 41y 59 x − 31y + z = 0 7. x → N º de vacas 100 x + 10 y + z + 198 = 100z + 10 y + x y → N º de caballos 99 x − 99z = − 198 z → N º de terneros x− z= − 2 x + y + z = 110

x − z =−2

x− 4=

= 160 x = 80 80 − z = 35 z = 45 80 + y + 45 = 180 y + 125 = 180 y = 55 2x

5. x → Cifra centenas y → Cifra decenas

90x

z → N º menor x + y + z = 127 z y x + + = 39 2 3 9 2 x + 6 y + 9 z = 702

2x − y − z =

z − 20 = x − y x − y − z = − 20 x + y + z = 180 x − y − z = − 20

900 − 3 y = 774 − 3 y = − 126

z = 40 sol: 45 , 42 , 40

100 x + 10 y + z − 99 = 100z + 10 y + x

2 x + 2 y − 3z =

6. Continuación

20 (45) − 3 y = 774

y = 42 45 + 42 + z = 127

3z 2 2 x + 2 y = 3z x+ y=

x + y + z = 15

4. Continuación

6. x → Angulo mayor y → Angulo medio z → Angulo menor x + y + z = 180 x − 35 = z x − z = 35 Continúa

x

+ z =

65 (− 45)

45x + 40 y + 72 z = 5. 400 − 45x − 45z = − 2 . 925 40 y + 27 z = 2 . 475 40 (45) + 27 z = 2 . 475 1. 800 + 27z = 2 . 475 27 z = 675 z = 25 x + 45 + 25 = 110 x + 70 = 110 x = 40 sol : 40 vacas ; 45 caballos ; 25 terneros

8. x → Cifra centenas y → Cifra decenas

z → Cifra unidades x + y + z = 10 x+ y− 4= z x+ y− z= 4 x + z − 6= y x− y+ z= 6 x + y + z = 10

x + y − z = 4 (− 1) x + y + z = 10 − x− y+ z= − 4 2z = 6 z= 3 x + y + z = 10 + 2 z = 16 x+ z=8

A 2 A − 2C = 0 A − 10 = B C=

A − B = 10 A + B + C = 140 = 10 A− B 2A

+ C = 150

100z + 10 y + x =

3. 993x − 660 y − 10 . 659 z = 0 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0 100 x = 300 x=3 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0

2 A + C = 150 ( 2)

x

x=5 5 + y + 3 = 10

= 300 A = 60

sol : 523 11.

9. x → Angulo mayor y → Angulo medio

z → Angulo menor x + y + z = 180 x + y = 135 y + z = 110 x + y + z = 180 y + z = 110

(− 1)

x + y + z = 180 − y − z = − 110 = 70 x 70 + y = 135 y = 65 70 + 65 + z = 180 135 + z = 180 z = 45 sol : 70! , 65! , 45!

y

+

z

= 6 (220) 0

220 x + 220 y + 220z = 1. 320 1.551x

− 3. 333z = 1. 320

1.551( 3) − 3. 333z = 1. 320 4 . 653 − 3. 333z = 1. 320 z=1 3 + y + 1= 6 y+ 4= 6 y=2

A − 1= C + 1 A− C= 2 B − 1= C B− C=1 A + 5 = 2C A − 2C = − 5 − C= 2 A B− C= 1 A + B − 2C = 3 A + B − 2C = 3 A

+

1. 331x − 220 y − 3.553z =

A − 2C = 0 4 A + 2C = 300 A − 2C = 0 5A

41(100 x + 10 y + z )

107 10 . 700z + 1. 070 y + 107 x = 4 .100x + 410 y + 41z

B = 50 sol : A → 60bs. B → 50bs. C → 30bs.

x + 3= 8

y=2

12. x + y + z = 6

2 ( 60) + C = 150 C = 30 60 + B + 30 = 140

x− y+ z= 6 2x

10. A + B + C = 140

− 2C = − 5 (− 1)

A + B − 2C = 3 −A + 2C = 5 =8 B 8− C =1 C= 7 A− 7= 2 A= 9 sol : A → $ 9 B → $8 C → $ 7

sol :

321

13. A − 2 = B + 2 A− B= 4

B − 1= C + 1 B− C= 2 8 A= C 5 5 A − 8C = 0 =4 A− B B−C= 2 A

−C= 6

A− C = 6

(− 8)

5 A − 8C = 0 − 8 A + 8C = − 48 5 A − 8C = 0 − 3A

= − 48 A = 16 16 − B = 4 B = 12 12 − C = 2 C = 10 sol : A → 16Q B → 12Q C → 10Q

14. x → Cifra centena y → Cifra decena

15.

z → Cifra unidades 100 x = 400 x= 4 x+ y+ z= 9

16 (100x + 10 y + z ) 49 4 . 900z + 490 y + 49 x = 1. 600 x + 160 y + 16z 1.551x − 330 y − 4 .884z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 517 x − 110 y − 1. 628z = 0 100z + 10 y + x =

x +

+

y

= 9 (110)

z

5A

517 x − 110 y − 1. 628z = 0 110 x + 110 y + 110z = 990

5 A − 7C =

627 ( 4) − 1.518z = 990 2 .508 − 1.518z = 990 − 1.518z = − 1.518 z=1 4 + y + 1= 9 y + 5= 9 y=4 sol : 441

15. Continuación

C = 10 5 A − 7 (10) = 5 5 A = 75 A = 15 2 (15) + B − 10 = 32 B + 20 = 32 B = 12 sol : 15 , 12 10

− 7C = 5 3 A − B − 6C = − 27 A + B − 3C = − 3 4A

− 1.518z = 990

627 x

2 A + B = C + 32 2 A + B − C = 32 B + 2C = A + 9 3 B + 6C = 3 A + 27 3 A − B − 6C = − 27 A+ B = C−1 3 A + B = 3C − 3 A + B − 3C = − 3 2 A + B − C = 32 3 A − B − 6C = − 27

5

− 9C = − 30

(− 4)

4 A − 9C = − 30 (5)

− 20 A + 28C = − 20 20 A − 45C = − 150 − 17C = − 170

EJERCICIO 203 1. x → Ancho y → L arg o

2 ( x + y ) = 18

4 y = 5x 5x − 4 y = 0 x + y = 9 ( 4) 5x − 4 y = 0 4 x + 4 y = 36 5x − 4 y = 0 9x

= 36

x=4 4+ y= 9 y=5 sol : 5m ⋅ 4m 2.

A = 2B A − 2B = 0 A − 12 = B + 12 A − B = 24 Continúa

2. Continuación A − 2B = 0

3. Continuación

A − B = 24

− 3x + 2 y = 25

(− 1)

x + y = 25 ( 3)

0

3x + 3 y = 75

− A + B = − 24

− 3x + 2 y = 25

A − 2B =

B = 24 A − 24 = 24 A = 48 sol : A → 48 balboas B → 24 balboas 3. x → Ancho y → L arg o

(x + 1)( y + 1) = 26 + xy

xy + x + y + 1 = 26 + xy x + y = 25

(x + 2)( y − 3) = 19 + xy

xy − 3x + 2 y − 6 = 19 + xy − 3x + 2 y = 25 Continúa

5 y = 100 y = 20 x + 20 = 25 x=5 sol : 20m ⋅ 5m 4. x → Pr ecio carro y → Pr ecio caballo z → Pr ecio arreos x + y + z = 200 x + z = y + 20 x − y + z = 20 y + z = x + 40 x − y − z = − 40 Continúa

4. Continuación x + y + z = 200 x − y − z = − 40

= 160 x = 80 x + y + z = 200 x − y + z = 20

2x

2x + 2z = 220 x + z = 110 80 + z = 110 z = 30 80 + y + 30 = 200 y + 110 = 200 y = 90 sol:$ 80 → Costo carro $ 90 → Costo caballo $ 30 → Costo arreos

5. x → 1er Número y → 2º Número

z → 3er Número x + y = z + 18 x + y − z = 18 x + z − 78 = y x − y + z = 78 y + z = x + 102 x − y − z = − 102 x + y − z = 18 x − y + z = 78 = 96 x = 48 x − y + z = 78 x − y − z = − 102

7 (0 , 3) + 6 y = 4 , 8

x − y = 25 x + y = 55 2x

2 ,1 + 6 y = 4 , 8 6y = 2 , 7 y = 0 , 45

= 80 x = 40

40 − y = 25 y = 15 sol: 40 Km h → Veloc. del pájaro tranq.

6. x → Cifra decenas y → Cifra unidades x+y=6 10x + y − 36 = 10y + x 9x − 9y = 36 x−y=4 x+y=6 x−y=4

= 10 x=5 5+ y =6 y =1 sol: 51 2x

7. x → Veloc. pájaro y → Veloc. viento x + y → Veloc. pájaro a favor

x − y → Veloc. pájaro contra 55 =1 x+y x + y = 55 25 =1 x−y Continúa

− 5 y = − 90 y = 18

xy = ( x + 5)( y − 2) xy = xy − 2 x + 5 y − 10

2 x − 5y = − 10

xy = ( x − 5)( y + 4) xy = xy + 4 x − 5 y − 20

(− 1)

2 x − 5 y = − 10 = − 30 x = 15

2 (15) − 5 y = − 10 30 − 5y = − 10 − 5y = − 40 y=8 sol : 15 → Libros compró $ 8 → cos tó c / u 9. x → Pr ecio kilo café y → Pr ecio kilo té

7 x + 6y = 4 ,8

(− 9)

8 x + 9 y = 6 , 45 (6)

− 63x − 54 y = − 43 , 2 48 x + 54 y = 38 , 7 − 15x

= − 4 ,5 x = 0,3 Continúa

x + 18 = 50 x = 32 sol : 32 → trajes de $ 40 18 → trajes de $ 35 11. x → Numerador

− 4 x + 5 y = − 20 − 2x

50 (− 40)

− 40 x − 40 y = − 2 . 000 40 x + 35 y = 1. 910

8. x → N º de libros y → Pr ecio de c / u

4 x − 5 y = 20

10. x → trajes de $ 40 y → trajes de $ 35

40 x + 35 y = 1. 910

viento

4 x − 5y = 20 2 x − 5 y = − 10

sol : 30 cts. → Costo kilo café 45 cts. → Costo kilo té

x + y =

15 Km h → Veloc. del

2x

2x − 2y = − 24 x − y = − 12 48 − y = − 12 y = 60 48 + 60 − z = 18 108 − 18 = z 90 = z sol: 48 , 60 , 90

9. Continuación

7. Continuación

y → Deno min ador x −1 1 = y 3 3x − 3 = y 3x − y = 3 x 1 = y−2 2 2x = y − 2 − 2x + y = 2 3x − y = 3 − 2x + y = 2 x

=5

3 (5) − y = 3 − y = − 12 y = 12 12. x → 1a bolsa

y → 2a bolsa x + y = 200 x − 15 = y + 15 x − y = 30 Continúa

sol :

5 12

12. Continuación x + y = 200 x − y = 30

15. x → N º de personas y → Pr ecio c / u

17. Continuación 5x − 6y = 0

xy = ( x + 10)( y − 5)

= 230 x = 115 115 + y = 200 y = 85

xy = xy − 5x + 10 y − 50 5x − 10 y = − 50 x − 2 y = − 10

sol: 115 soles → 1a bolsa

xy = xy + 5x − 6 y − 30 5x − 6 y = 30 5x − 6 y = 30

2x

85 soles → 2a bolsa 13. x → Pr ecio caballo y → Pr ecio coche

x + 20 = 3 y x − 3 y = − 20 3x 20 + y = 5 3x = 100 + 5 y 3x − 5 y = 100

x − 3 y = − 20 (− 3)

3x − 5 y = 100 − 3x + 9 y = 60 3x − 5 y = 100 4 y = 160 y = 40 x − 3 ( 40) = − 20 x = 100 sol : 100 soles → Costó el caballo 40 soles → Costó el coche 14. x → Cifra decenas y → Cifra unidades

10 x + y = 6 ( x + y) 10 x + y = 6 x + 6 y 4 x − 5y = 0

10 x + y − 9 = 10 y + x 9x − 9 y = 9 x− y=1 4 x − 5y = 0 x − y =1

(− 5)

4 x − 5y = 0 − 5x + 5 y = − 5 −x

= −5 x=5

5− y = 1 y= 4

sol : 54

xy = ( x − 6)( y + 5)

x − 2 y = − 10

(− 3)

5x − 6 y = 30 − 3x + 6 y = 30 = 60 x = 30

2x 30 − 2 y = − 10 − 2 y = − 40

y = 20 sol : 30 → Personas 20 bs. → c / u

− 6x + 6y = − 60 −x

= − 60 x = 60

60 − y = 10 y = 50 sol: $ 60 → gané ayer $ 50 → gané hoy er 18. x → 1 nùmero y → 2º nùmero

x 3 = y 5 x − 10 1 = y − 10 2 5x − 3 y = 0

2 x − y = 10 (− 3)

5x − 3 y = 0 − 6 x + 3 y = − 30

16. A + B = 1. 080

2A B = B− 5 4 20 A − 8 A = 20 B − 5B 12 A − 15B = 0 4 A − 5B = 0

−x

A−

A + B = 1. 080 (5) 4 A − 5B = 0 5 A + 5B = 5. 400 4 A − 5B = 0 9A

= 5. 400 A = 600

600 + B = 1. 080 B = 480 sol : A → 600 sucres B → 480 sucres 17. x → gané ayer y → gané hoy

y + 10 = x 5x y= 6 5x − 6 y = 0 5x − 6 y = 0 x − y = 10 Continúa

= − 30 x = 30

2 (30) − y = 10 60 − y = 10 y = 50 sol : 30 , 50

19. A + 4 = B − 4 A− B= −8

9 ( A − 4) 5 5B + 20 = 9 A − 36 9 A − 5B = 56 B+ 4=

A − B = − 8 (− 5)

9 A − 5B = 56 − 5 A + 5B = 40 9 A − 5B = 56 = 96 A = 24 24 − B = − 8 B = 32 sol : A → 24 lempiras B → 32 lempiras 4A

(− 6)

20. A − 20 = 2 ( B − 20)

A − 2 B = − 20 9 (B + 30) 7 7 A + 210 = 9 B + 270 A + 30 =

7 A − 9 B = 60 A − 2 B = − 20

(− 7 )

7 A − 9 B = 60

21. Continuación 12 + y = 16 y=4

sol: 12 Km h → Veloc. bote 4 Km h → Veloc. rio 22.

− 7 A + 14 B = 140 7 A − 9 B = 60 5B = 200 B = 40 A − 2 ( 40) = − 20

A − 2 B = 15 (− 5)

A − 80 = − 20

5 A − 9 B = 90 − 5 A + 10 B = − 75

A = 60 sol : A → 60 Años B → 40 Años 21. x → tiempo ida y → tiempo vuelta x+y=3 4 8 = x y 8x − 4y = 0 2x − y = 0 x+y=3 2x − y = 0 3x

=3 x =1

A B − 2= 9 5 5 A − 90 = 9 B 5 A − 9 B = 90 2 B = A − 15 A − 2 B = 15 5 A − 9 B = 90

B = 15 A − 2 (15) = 15 A − 30 = 15 A = 45 sol : A → 45 Años B → 15 Años 23.

5A − 4B = 4 7 A − 2 = 6B 7 A − 6B = 2

2y = 10 y=5 x+5=6 x =1 sol: 15

25. x → L arg o y → Ancho

2 ( x + y ) = 58

2 x + 2 y = 58 x + y = 29

(x + 2)( y − 2) = xy − 46

xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 46 − 2 x + 2 y = − 42 x − y = 21 x + y = 29 x − y = 21 2x

= 50 x = 25

25 + y = 29 y=4 sol : 25 m ⋅ 4m

5 A − 4 B = 4 (6)

(− 4)

7 A − 6B = 2

Si 1h → tiempo de ida 2 h → tiempo de vuelta Entonces 16 Km = 16 Km h → Veloc. a favor 1h 16 Km = 8 Km h → Veloc. en contra 2h Luego x → Veloc. del bote y → Veloc. delrio x + y = 16 x−y= 8

− 28 A + 24 B = − 8

= 24 x = 12 Continúa

−x+y=4 x+y=6

5A − 4 = 4B

1+ y = 3 y=2

2x

24. Continuación

30 A − 24 B = 24 2A

= 16 A= 8

26. x → L arg o y → Ancho 2 x + 2 y = 56

x + y = 28

( y − 2)(x + 2) = xy

5(8) − 4 B = 4 40 − 4 B = 4 − 4 B = − 36 B= 9 sol : A → 8 Km B → 9 Km 24. x → Cifra decenas

y → Cifra unidades y−x=4 10x + y + 10y + x = 66 11x + 11y = 66 x+y=6 Continúa

xy + 2 y − 2 x − 4 = xy 2x − 2 y = − 4 x− y= −4 x + y = 28 x− y= − 4 2x

= 24 x = 12

12 + y = 28 y = 16 sol : 16 m ⋅ 12 m

EJERCICIO 204 1. m = 6 n = 3 3 3 3

A6 = 6 ⋅ 5 .... (6 − 3 + 1) A6 = 6 ⋅ 5⋅ 4 A6 = 120

2. P5 = 5!

P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P5 = 120

9. P 5 − 1 = P 4

P4 = 4 !

P 3 = 3!

P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2

P 3 = 3⋅ 2

P4 = 24

P 3 =6

10. P 6 = 6! P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P6 = 720

3. m = 7 n = 5

A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 5 + 1) = P5 5! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7 6 5 4 3 5 C7= 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 . 520 2 5 C7= 120 5 C 7 = 21 5

5

C7=

4. m = 6

n= 2

A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 2 + 1)

2 2

A 6 = 6⋅ 5

2

A 6 = 30

5. m = 5 n = 3

A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)

3 3

A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3

3

A 5 = 60

6. m = 12 n = 5

16. P 5 − 2 = P 3

11. Siendo el 1º P 6 = 6!

P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

17. m = 5 n = 3 3

A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)

3

A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3

3

A 5 = 60

18. P 11− 1 = P 10

P6 = 720

P 10 = 10!

sin lugar fijo P 7 = 7!

P 10 = 3 . 628 . 800

P 10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

P 7 = 7P 6 P 7 = 7 ⋅ 720 P 7 = 5 . 040 12. En un banco P 6 = 720

En una mesa redonda P 6 −1 = P 5 P 5 = 5! P 5 = 120

A 12 12 ⋅ 11.... (12 − 5 + 1) = 13. m = 9 n = 3 P5 5! 3 A 9 = 9 ⋅ 8 ....(9 − 3 + 1) 12 ⋅11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8

19. m = 8 n = 3

C8=

3

C8=

3

C 8 = 4⋅7⋅2

3

C 8 = 56

5

C 12 = C 12 =

5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1

5

C 12 = 3⋅11⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4

5

C 12 = 792

7. P 7 = 7! P 7 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2

P 7 = 5 . 040 8. m = 7 n = 4

A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 4 + 1) = P4 4!

4 4

C7=

4

C7=

4

C 7 = 7 ⋅5

4

C 7 = 35

7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1

3

A 9 = 9 ⋅ 8⋅ 7

3

A 9 = 504

14. P 4 − 1 = P 3

P 3 = 3!

8⋅ 7 ⋅ 6 3⋅ 2

20. m = 6

n= 3

5

A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 3 + 1)

5

A 6 = 6 ⋅ 5⋅ 4

5

A 6 = 120

5

5

A 8 8 ⋅ 7 .... (8 − 3 + 1) = P3 3!

3 3

21. Palabras dist int as

P 8 = 8! P 8 = 8⋅7 ⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2 P 8 = 40 . 320

P 3 =6 15. m = 5 n = 3

Vocales fijas P 5 = 5!

P 5 = 120 A 5 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1) = P3 3! 22. P 5 − 1 = P 4 ⋅ ⋅ 5 4 3 3 C5= 3⋅ 2 P 4 = 4! 3 C 5 = 5⋅ 2 P 4 = 4 ⋅3⋅2 3 P 4 = 24 C 5 = 10 3

3

C5=

EJERCICIO 205 1.

(4a 2 )2 = 16a 4 (

11.

)

3

2. − 5a = − 125a 3

12.

( )

2

4 2

2 3 3

6.

(4a b c ) = 64a b c

6 9 12

(− 6x y ) = 36x y 8. (− 7ab c ) = − 343a b c 4 5 2

7.

8 10

3 4 3

9.

3 9 12

(a mbn )x = a mxbnx

10.

(− 2 x y z ) = 16x 3 5 6 4

3 4

2

2

4

 2ab 2  16a 4b8  = 81m12  3m3 

15.

20.  −

8 4 12

5

2

6 9

2 3 4 3

 3x 2  9x4  = 19.  −  4 y  16 y 2

9 3

(a 2b3c)m = a 2mb3mcm

13.

(− 6a b) = 36a b 5. (− 2 x y ) = − 8 x y 2

3

3

(− m nx ) = m n x 14. (− 3a b) = − 243a b

3

3. 3xy = 27 x 3 y 3 4.

(− 3m n) = − 27m n

10 5

(7 x y z ) = 49 x 5 6 8 2 2

5

 2m3n  32m15n5  = 243x 20  3x 4 

21. 

10 12 16

y z

2

 3a 3b 2  9a 6b 4  = 22.  − 4  16 

 x x  = 2 16.  −  2y 4y 2

8m  2m  17.  − 2  = − 6  n  n 3

4

 mn2  m4 n8  = 3  81 

3

23.  −

5

 a 2b 4  a 10b 20  =− 2  32 

3

12 20 24

y z

 ab2  a 3b 6  = 18.  125  5 

24.  −

EJERCICIO 206 7. ( xy − a b )

5 4 1. (a + 7b )

2 2 2

2

= a 10 + 2a 5 (7b 4 ) + 49b8 = a + 14a b + 49b 10

(

5 4

2. 3x − 5xy 4

8

)

3 2

= 9 x 8 − 2 (3x 4 ) (5xy 3 ) + 25x 2 y 6 = 9 x 8 − 30 x 5 y 3 + 25x 2 y 6

(

3. a b − a 2 3

)

5 2

= a 4b 6 − 2a 2b 3 (a 5 ) + a 10 = a 4b 6 − 2a 7b 3 + a 10

(

4. 7 x − 8 x y

)

= 49 x − 2 (7 x 5 )(8x 3 y 4 ) + 64 x 6 y 8 10

(

)

2 3 2

5. 9ab + 5a b

= 81a 2b4 + 2 (9ab 2 )(5a 2b 3 ) + 25a 4b 6 = 81a 2b4 + 90a 3b5 + 25a 4b 6

(

2 3

)

3 2 2

6. 3x y − 7 x y

2

 x 2y 8.  2 + 3  =

2 2

4 4

2 x2  x  2y 4y + 2    +  2  3  4 9

 3a 2b  −   5  2

=

2

= 9 x 4 y 6 − 2 (3x 2 y 3 )(7 x 3 y 2 ) + 49 x 6 y 4 = 9 x 4 y 6 − 42 x 5 y 5 + 49 x 6 y 4

=

 a 5   3a 3b 7  9a 6b14 a10 − 2   + 81 49  9 7 

a10 2a 8b 7 9a 6b14 − + 81 21 49 2  2m4 5n 3  12.  5 − 4  =

2 2

4m8 25n 6 − m4 n 3 + 25 16 2  x y2  13.  +  3 4 =

4

9a 3a b 4b − + 16 5 25

 5x 3 3xy 2  +   10.  6 5 

 2m4   5n 3  25n 6 4m8 − 2  + 25 16  5  4 

=

2

 3a 2   2b 2  4b 4 9a 4 − 2  + 16  4   5  25 4

2

=

2

x 2 2 xy 4 y 2 = + + 4 3 9

= 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8 2

=

= x y − 2a b xy + a b 2

9.  4

3 4 2

5

= x 2 y 2 − 2 (xy )(a 2b 2 ) + a 4b 4

 a 5 3a 3b 7   −  11.  9 7 

2

=

 5x 3   3xy 2  9 x 2 y 4 25x 6 + 2  + 36 25  6  5 

=

25x 6 9 x2 y4 + x4 y2 + 36 25

2 4 x2  x  y  y + 2    +  3   4  16 9

x 2 xy 2 y 4 + + 9 6 16 2  2 x 3y  −  14.   3 5 =

=

2 4x2  2 x   3y  9 y − 2    +  3   5  25 9

=

4 x 2 4 xy 9 y 2 − + 9 5 25

 a 3 4a 2   +  15.  8 7b  =

2

 5x 7 3 y 6   5x 7   3 y 6  9 y12 25x14 2 −  = −  4  + 36 y 8  6 y 4 10 x 2   6 y   10 x 2  100 x 4

17. 

 a 3   4a 2  16a 4 a 6 a 5 16a 4 a6 + 2   = + + +  8   7b  49b 2 64 7b 49b 2 64

 3 2x4  16.  2 x − 3  =

2

=

25x 14 x 5 y 2 9 y12 − + 36 y 8 2 100 x 4

2

 3a 6 4a 2   3a 6   4a 2  16a 4 9a12 − 5 = − 2  + 9b  64  8   9b5  81b10  8

2

18. 

4 8 9 9 4 x8  3   2x  4x = 2 − 2x3 +  + 2 − 2  2x  3  4x 9 4x 9

=

9a12 a 8 16a 4 − + 64 3b5 81b10

EJERCICIO 207

(2a + 3b) = 8a + 3(4a )(3b) + 3 (2a ) (9b ) + 27b = 8a + 36a b + 54ab + 27b 2. (4a − 3b ) = 64a − 3 (16a )(3b ) + 3 ( 4a ) (9b ) − 27b = 64a − 144a b + 108ab − 27b 3. (5x + 6 y ) = 125x + 3 (25x ) (6 y ) + 3 (5x ) (36 y ) + 216 y = 125x + 450 x y + 540 x y + 216 y 4. (4 x − 3xy ) = 64 x − 3 (16 x ) (3xy ) + 3(4 x ) (9 x y ) − 27 x y = 64 x − 144 x y + 108 x y − 27 x y 5. (7a − 5a b ) 3

1.

3

2 3

2

2

3

3 3

3

2 3

4

2 3 3

2

2

3

2

6

4

9

6

3

4

3

2

2

6

6

3

2

2 4

2

3

9

3 6

3

2 2

6

4

4 3

9

7 2

6

2 6

5 4

9

3 6

= 343a12 − 3 (49a 8 )(5a 2b 3 ) + 3 (7a 4 )(25a 4b 6 ) − 125a 6b 9 = 343a12 − 735a10b 3 + 525a 8b 6 − 125a 6b 9

(a + 9a x ) = a 7. (8 x − 7 x y ) 5 4 3

8

6.

4

24

+ 3 (a 16 )(9a 5 x 4 ) + 3(a 8 )(81a 10 x 8 ) + 729a15 x12 = a 24 + 27a 21 x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x12

2 4 3

= 512 x12 − 3(64 x 8 )(7 x 2 y 4 ) + 3(8 x 4 )(49 x 4 y 8 ) − 343x 6 y12 = 512 x12 − 1. 344 x10 y 4 + 1.176 x 8 y 8 − 343x 6 y12

8.

(3a b − 5a b ) 2

3 2 3

= 27a 6b 3 − 3 (9a 4b2 )(5a 3b2 ) + 3 (3a 2b)(25a 6b 4 ) − 125a 9b 6 = 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b5 − 125a 9b 6

4 6 3 2 2 4 6  a 2   2b 2  1 2b 2  a 3  a   4b  8b a a b 2ab 8b = + + + a+ +  + 3    = + 3    2   9  27 8 3  8 2 3 27  4 3  2 3

9. 

 3a 2   16b4  64b 6 27a 6 27a 4b 2 36a 2b 4 64b 6  9a 4   4b 2   3a 2 4b 2  27a 6 = − + − − 3 − −   + 3   = 5  64 64 20 25 125  4   25  125  16   5   4 3

10. 

 5a 2b 3b 4  11.  6 − 10  =

 25a 4b 2   3b 4   5a 2b   9b8  27b12 125a 6b 3 5a 4b 6 9a 2b 9 27b12 125a 6b 3 − 3 = − + −   + 3  − 216 216 8 40 1. 000  36   10   6   100  1. 000

 7 x5 4 y6  12.  8 − 7  =

3

3

 49 x10   4 y 6   7 x 5   16 y12  64 y 18 343x15 21x10 y 6 6 x 5 y 12 64 y18 343x15 − 3 = − + +   + 3  + 512 512 16 7 343  64   7   8   49  343

 x 2   3 y   x   9 y 2  27 y 3 x 3  x 3y  x3 9 27 y 27 y 3 + + 6 + 2  = 3 + 3 2   2  + 3   4  + 6 = 3 + 13.  x 8y 4 y 2 x3 x  2 y x  8y  4y   x   2y  x  3

 2a 2   25  125 8a 6 6a 4 15a 2 125  4a 4   5   2a 2 5  8a 6 = − + − − 3 − 3 =  −   3  + 3 14.   5   4b 6  8b 9 125 5b 3 2b 6 8b 9  5 2b  125  25   2b  3

 

15.  4 x − 4

 9 x 2  27 x 3  3x  3x  144 x 9 108 x 6 27 x 3 12 12 8 4 + − 9 6  − 9 = 64 x − 3  = 64 x − 3 (16 x )  3  + 3 (4 x )  y  y y3 y6 y y   y  3

4 6 3 2 3 6  3a 4b 2  27a 3  9a 2   4b 2   3a   16b  64b 27a 27a 72ab 64b +  =  + 3   + = + + 16.  3 + 3 2  3 +  2b   25  125 8b 8b 5 25 125  2b 5   4b   5  3

4 5 8 10  7 4 5  343  49  4 5  7  8 10 12 15 343 147 x y 21x y −x y  = − 3  x y + 3  x y − x y = − + − x12 y15 8  512  64   8 512 64 8

17. 

3

 m6   6n 2   m3   36n4  216n 6 m9 m4 n 2 18n 4 216n6  m3 6n 2  m9 = − + − − 3   2  + 3   4  − − 2 = 18.  216 2 m6 m m6  6 m  216  36   m   6   m 

EJERCICIO 208 1. x 2 − 2 x + 1

= x 4 + 4 x 2 + 1+ 2 x 2 (− 2 x) + 2 x 2 (1) + 2 (− 2 x) (1) = x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 3 + 2 x 2 − 4 x = x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1

2. 2 x 2 + x + 1

= 4 x 4 + x 2 + 1+ 2 (2 x 2 )( x ) + 2 (2 x 2 ) (1) + 2 ( x)(1) = 4 x 4 + x 2 + 1 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2 x + 1

( )

( )

3. x 2 − 5x + 2 = x 4 + 25x 2 + 4 + 2 (x 2 ) − 5x + 2 ( x 2 )( 2) + 2 − 5x ( 2) = x 4 + 25x 2 + 4 − 10 x 3 + 4 x 2 − 20 x

(

)

(

= x 4 − 10 x 3 + 29 x 2 − 20 x + 4

)

4. x 3 − 5x 2 + 6 = x 6 + 25x 4 + 36 + 2 ( x 3 ) − 5x 2 + 2 (x 3 ) (6) + 2 − 5x 2 ( 6) = x 6 + 25x 4 + 36 − 10 x5 + 12 x 3 − 60 x 2

(

)

= x 6 − 10x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60x 2 + 36

(

)

5. 4a 4 − 3a 2 + 5 = 16a 8 + 9a 4 + 25 + 2 (4a 4 ) − 3a 2 + 2 (4a 4 ) (5) + 2 − 3a 2 (5)

= 16a + 9a + 25 − 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a 4 − 30a 2 + 25 8

4

6

4

2

8

6

( ) ( )( )

( )

6. x + 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 ( x) 2 y + 2 ( x) − z + 2 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz 7. 3 − x 3 − x 6

= 9 + x 6 + x12 + 2 (3) (− x 3 ) + 2 (3) (− x 6 ) + 2 (− x 3 )(− x 6 ) = 9 + x 6 + x12 − 6 x 3 − 6 x 6 + 2 x 9 = x12 + 2 x 9 − 5x 6 − 6 x 3 + 9

(

)

(

)

8. 5x 4 − 7 x 2 + 3x = 25x 8 + 49 x 4 + 9 x 2 + 2 (5x 4 ) − 7 x 2 + 2 (5x 4 ) ( 3x) + 2 − 7 x 2 ( 3x)

= 25x + 49 x + 9 x − 70x + 30 x − 42 x = 25x − 70x + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2 8

4

2

6

5

3

8

6

(

)

(

9. 2a 2 + 2ab − 3b 2 = 4a 4 + 4a 2b 2 + 9b 4 + 2 (2a 2 ) ( 2ab) + 2 (2a 2 ) − 3b 2 + 2 ( 2ab) − 3b 2

)

= 4a + 4a b + 9b + 8a b − 12a b − 12ab = 4a + 8a b − 8a b − 12ab 3 + 9b4 4

2 2

4

3

2 2

(

3

)

4

3

2 2

(

)

10. m3 − 2m2n + 2n 4 = m6 + 4m4 n 2 + 4n8 + 2 (m3 ) − 2m2 n + 2 (m3 )(2n 4 ) + 2 − 2m2n (2n 4 )

= m6 + 4m4 n2 + 4n8 − 4m5n + 4m3n4 − 8m2 n5 = m6 − 4m5n + 4m4n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 11.

2 a c a2 c2 c2 ac bc  a  a  c  c a −b+ = + b 2 + + 2   (− b) + 2     + 2 (− b)   = + b 2 + − ab + −  2  2   4  4 4 2 4 4 16 16 4 2

12.

2 5 x2 25  x  25 2 x 50 y x  x   5  5 x − 5y + = + 25 y 2 + + 2   (− 5y ) + 2     + 2 (− 5 y)   = + 25 y 2 + − 2 xy + −         3 25 9 5 5 3 3 25 9 3 3 5

=

x2 2x 50 y 25 − 2 xy + + 25 y 2 − + 25 3 3 9

2 4 4 2  2  2 13. x − x + 2 = x + x 2 + 4 + 2  x  − x + 2  x   2  + 2  2  − x = x + x 2 + 4 − x 3 + 2 x − 4 x

2

3

4

 2

9

( )

 3

 2   3

( )

4

9

3

3

x4 5x 2 4 x 4 = − x3 + − + 4 3 3 9 14.

2 2 a 1 x a2 1 x2 2x  a   1  a  x  1   x  a 1 x 2a − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −    = 2 + + 2 − + 2−  x   3  x  a  3  a  x 9 a 3x x 3 a x2 9 a2 3a

= 15.

 3a 2   a   3a 2   4  3a 2 a 4 9a 4 a 2 16  a   4 − + = + + + 2  −  + 2    + 2 −     2   5     4 2 5 16 4 25  4  2  4  5 =

16.

a 2 2a 2 x x 2 19 − − + + x 2 3x 3a a 2 9

9a 4 a 2 16 3a 3 6a 2 4a 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 + + − + − = − + − + 16 4 25 4 5 5 16 4 20 5 25

2  a 2   3  a 2   b2  a 2 3 b2 a 4 9 b 4  3  b  − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −     5  9  4 5 9 16 25 81  4   5   4 9

=

a 4 9 b 4 3a 2 a 2b 2 2b 2 a 4 3a 2 a 2b 2 9 2b 2 b 4 + + − + − = − + + − + 16 25 81 10 18 15 16 10 18 25 15 81

(

)

(

)

(

)

17. x 3 − x 2 + x + 1 = x 6 + x 4 + x 2 + 1 + 2 (x 3 ) − x 2 + 2 (x 3 )( x ) + 2 x 3 + 2 − x 2 ( x) + 2 − x 2 + 2 x

= x + x + x + 1 − 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 x = x − 2 x + 3x − x 2 + 2 x + 1 6

4

2

5

4

3

3

2

6

5

4

3 2 18. x − 3x − 2 x + 2

= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 + 2 (x 3 )(− 3x 2 ) + 2 ( x 3 ) (− 2 x) + 2 (x 3 )(2) + 2 (− 3x 2 )(− 2 x) + 2 (− 3x 2 ) (2) + 2 (− 2 x) (2) = x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 − 6x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 + 12 x 3 − 12 x 2 − 8 x = x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16x 3 − 8 x 2 − 8 x + 4

4 2 19. x + 3x − 4 x + 5

= x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 2 (x 4 )(3x 2 ) + 2 (x 4 ) (− 4 x ) + 2 (x 4 ) (5) + 2 (3x 2 )(− 4 x) + 2 (3x 2 )(5) + 2 (− 4 x ) (5) = x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 6 x 6 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 30 x 2 − 40 x = x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25

20. x 4 − 4 x 3 + 2 x − 3

= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 + 2 (x 4 )(− 4 x 3 ) + 2 (x 4 )( 2 x) + 2 (x 4 )(− 3) + 2 (− 4 x 3 ) (2 x) + 2 (− 4 x 3 )(− 3) + 2 ( 2 x ) (− 3) = x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 − 8 x 7 + 4 x5 − 6x 4 − 16 x 4 + 24 x 3 − 12 x = x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9

21. 3 − 6a + a − a 2

3

= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 + 2 (3) (− 6a ) + 2 (3) (a 2 ) + 2 (3) (− a 3 ) + 2 (− 6a )(a 2 ) + 2 (− 6a )(− a 3 ) + 2 (a 2 ) (− a 3 ) = 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 − 36a + 6a 2 − 6a 3 − 12a 3 + 12a 4 − 2a 5 = a 6 − 2a 5 + 13a 4 − 18a 3 + 42a 2 − 36a + 9

22.

x3 2x − x2 + +2 2 3  x3   x3   2x   x3  x6 4x2  2x   2x  = + x4 + + 4 + 2   (− x 2 ) + 2     + 2   ( 2) + 2 (− x 2 )   + 2 (− x 2 )(2) + 2   (2)    3  3 4 9  2  2 3  2 =

x6 4x2 2x4 4x3 8x x 6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x + − + +4 + x4 + + 4 − x5 + + 2x3 − − 4x2 + = − x5 + 3 3 9 3 4 9 3 3 3 4

23.

a 3 2a 2 3a 1 − + − 2 3 4 2  a 3   2a 2   a 3   3a   a3   a 6 4 a 4 9a 2 1 = + + + + 2   −  + 2    + 2   − 4 9 16 4  2 3   2 4  2 =

 2a 2   3a   2a 2   1  1  3a   1   + 2 −    + 2−   −  + 2   −   4   2 2  3  4  3   2

a 6 4a 4 9a 2 1 2a 5 3a 4 a 3 2a 2 3a a 6 2a 5 43a 4 3a 3 59a 2 3a 1 + + + − + − − a3 + − = − + − + − + 4 9 16 4 3 4 2 3 4 4 3 36 2 48 4 4

24. x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2

= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 + 2 ( x 5 ) (− x 4 ) + 2 ( x 5 )( x 3 ) + 2 ( x 5 ) (− x 2 ) + 2 ( x 5 ) ( x ) + 2 ( x 5 ) (− 2) + 2 (− x 4 ) ( x 3 ) + 2 (− x 4 )(− x 2 ) + 2 (− x 4 ) ( x ) + 2 (− x 4 )(− 2) + 2 ( x 3 ) (− x 2 ) + 2 ( x 3 ) ( x ) + 2 ( x 3 ) (− 2) + 2 (− x 2 ) ( x) + 2 (− x 2 )(− 2) + 2 ( x) (− 2)

= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 − 2 x 9 + 2 x 8 − 2 x 7 + 2 x 6 − 4 x 5 − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 2 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x = x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8 x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4

EJERCICIO 209

( )2 ( x) + 3(x 2 )2 (1) + 3( x)2 (x 2 ) + 3( x)2 (1) + 3(x 2 ) + 3( x) + 6 (x 2 )( x)(1)

1. x 2 + x + 1 = x 6 + x 3 + 1 + 3 x 2

= x 6 + x 3 + 1 + 3x 5 + 3x 4 + 3x 4 + 3x 2 + 3x 2 + 3x + 6 x 3 = x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1

( )2 (− x) + 3(2 x 2 )2 (− 1) + 3(− x)2 (− 1) + 3(− x)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (− x)

2. 2 x 2 − x − 1 = 8 x 6 − x 3 − 1 + 3 2 x 2

+ 6 (2 x 2 )(− x)(− 1)

= 8x 6 − x 3 − 1 − 12 x 5 − 12 x 4 − 3x 2 + 6x 4 + 6 x 2 − 3x + 12 x 3 = 8x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1 3. 1 − 3x + 2 x

2

2 = 1 − 27 x 3 + 8 x 6 + 3(1) (− 3x ) + 3(12 )(2 x 2 ) + 3(− 3x ) (1) + 3(− 3x) (2 x 2 ) + 3(2 x 2 ) (1) + 3(2 x 2 ) (− 3x) 2

2

2

2

+ 6 (1) (− 3x ) (2 x 2 )

= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 − 9 x + 6x 2 + 27 x 2 + 54 x 4 + 12 x 4 − 36 x 5 − 36x 3 = 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36x 5 + 8 x 6 2 4. 2 − 3x + x

2 2 = 8 − 27 x 3 + x 6 + 3 (2) (− 3x ) + 3 (2) (x 2 ) + 3(− 3x ) (2) + 3(− 3x ) (x 2 ) + 3( x 2 ) (2) + 3 (x 2 ) (− 3x) + 6 (2) (− 3x) (x 2 ) 2

2

2

2

= 8 − 27 x 3 + x 6 − 36 x + 12 x 2 + 54 x 2 + 27 x 4 + 6x 4 − 9 x 5 − 36 x 3 = x 6 − 9 x5 + 33x 4 − 63x 3 + 66x 2 − 36 x + 8 5. x 3 − 2 x 2 − 4

= x 9 − 8 x 6 − 64 + 3( x 3 ) (− 2 x 2 ) + 3 (x 3 ) (− 4) + 3 (− 2 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 2 x 2 ) (− 4) + 3 (− 4) ( x 3 ) + 3 (− 4) (− 2 x 2 ) 2

2

2

2

2

2

+ 6 (x 3 )(− 2 x 2 )(− 4)

= x 9 − 8 x 6 − 64 − 6 x 8 − 12 x 6 + 12 x 7 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 + 48 x 5 = x 9 − 6 x 8 + 12 x 7 − 20 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 − 64 4 2 6. x − x − 2

= x12 − x 6 − 8 + 3 (x 4 ) (− x 2 ) + 3 (x 4 ) (− 2) + 3 (− x 2 ) ( x 4 ) + 3 (− x 2 ) (− 2) + 3 (− 2) (x 4 ) + 3 (− 2) (− x 2 ) 2

2

2

2

2

2

+ 6 (x 4 )(− x 2 )(− 2)

= x12 − x 6 − 8 − 3x10 − 6 x 8 + 3x 8 − 6 x 4 + 12 x 4 − 12 x 2 + 12 x 6 = x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8

3 7. a +

2  a2  a2 a a6 a3 a 2 2 a  − = a9 + − + 3(a 3 )   + 3 (a 3 )  −  + 3    3 2 3 8 27  2  2

2

2

2  a2   a   a   −  + 3  −  (a 3 )  3 2   3

(a ) + 3  3

2 2  a2   a   a  a  + 3  −    + 6a 3    −   3  2   2   3

= a9 +

a 6 a 3 3a 8 3a 7 a 5 a 5 a 4 3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 − + − a7 + − + + − a6 = a9 + − − + + − 8 27 2 4 4 3 6 2 4 8 12 6 27 2

2 2 2 2  x2   x  x2 x x6 x3  x  x   x 2 x  − + 2= − + 8 + 3    −  + 3 (x 2 )2 2 (2) + 3  −    + 3  −  (2) + 3 (2)   8.  3  2   3 2 3 8 27  2   3  2

 x2   x  x 2 + 3 ( 2)  −  + 6    −  ( 2)  3  2   3 =

x6 x3 x 5 3x 4 x 4 2 x 2 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 − + 8− + + + + 6x 2 − 4 x − 2 x 3 = − + − + − 4x + 8 8 27 4 2 6 3 8 4 3 27 3

3 2 9. a − a + a − 1

= a 9 − a 6 + a 3 − 1 + 3 (a 3 ) (− a 2 ) + 3 (a 3 ) ( a ) + 3 (a 3 ) (− 1) + 3 (− a 2 ) (a 3 ) + 3 (− a 2 ) ( a ) 2

2

2

2

2

+ 3 (− a 2 ) (− 1) + 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 (− a 2 ) + 3a 2 (− 1) + 3 (− 1) (a 3 ) + 3 (− 1) (− a 2 ) + 3(− 1) (a ) 2

2

2

2

+ 6 (a 3 ) (− a 2 ) (a ) + 6 (a 3 )(− a 2 )(− 1) + 6 (a 3 )( a ) (− 1) + 6 (− a 2 )( a ) (− 1)

= a 9 − a 6 + a 3 − 1 − 3a 8 + 3a 7 − 3a 6 + 3a 7 + 3a 5 − 3a 4 + 3a 5 − 3a 4 − 3a 2 + 3a 3 − 3a 2 + 3a − 6a 6 + 6a 5 − 6a 4 + 6a 3 = a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1

(

) ( ) ( ) (x ) + 3(− 2 x ) ( x) + 3 (− 2 x ) (− 3) + 3x (x ) + 3x (− 2 x ) + 3x (− 3) + 6 (x ) (− 2 x )( x ) + 6 ( x ) (− 2 x )(− 3) + 6 (x )( x ) (− 3) + 6 (− 2 x )( x ) (− 3) + 3 (− 3) ( x ) + 3 (− 3) (− 2 x ) + 3(− 3) x

3 2 9 6 3 3 2 3 3 2 10. x − 2 x + x − 3 = x − 8 x + x − 27 + 3 (x ) − 2 x + 3 (x ) ( x) + 3 ( x ) − 3 + 3 − 2 x 2

2 2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

3

2 2

3

2

2

3

2

3

2

2

2

= x 9 − 8 x 6 + x 3 − 27 − 6 x 8 + 3x 7 − 9 x 6 + 12 x 7 + 12 x 5 − 36x 4 + 3x 5 − 6 x 4 − 9 x 2 − 12 x 6 + 36 x 5 − 18 x 4 + 36 x 3 + 27 x 3 − 54 x 2 + 27 x = x 9 − 6 x 8 + 15x 7 − 29 x 6 + 51x 5 − 60 x 4 + 64 x 3 − 63x 2 + 27 x − 27 3 2 11. x − 4 x + 2 x − 3

= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 + 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) + 3(x 3 ) (2 x) + 3(x 3 ) (− 3) + 3 (− 4 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 4 x 2 ) (2 x ) 2

2

2

2

2

+ 3 (− 4 x 2 ) (− 3) + 3 (2 x ) (x 3 ) + 3 (2 x) (− 4 x 2 ) + 3 (2 x) (− 3) + 3(− 3) (x 3 ) + 3(− 3) (− 4 x 2 ) 2

2

2

2

2

2

+ 3 (− 3) (2 x ) + 6 (x 3 ) (− 4 x 2 ) (2 x ) + 6 (x 3 )(− 4 x 2 )(− 3) + 6 (x 3 )(2 x ) (− 3) + 6 (− 4 x 2 ) (2 x ) (− 3) 2

= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 − 12 x 8 + 6 x 7 − 9 x 6 + 48 x 7 + 96 x 5 − 144 x 4 + 12 x 5 − 48 x 4 − 36 x 2 + 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x − 48 x 6 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3 = x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27

(

)

(

) ( ) + 3(− x ) (2 x ) + 3(− x ) (− x ) + 3(2 x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (− x ) + 3(− x ) (− x ) + 3 (− x ) (2 x ) + 6 (− x ) (2 x ) + 6 (2 x )(− x ) + 6 (− x )(− x ) + 6 (− x ) (2 x ) (− x )

12. 1 − x 2 + 2 x 4 − x 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 + 3 − x 2 + 3 (2 x 4 ) + 3 − x 6 + 3 − x 2 4 2 2

4 2

4

4 2

2

4

6

2 2

6 2

6

2

2

6

6 2

2

4

2 2

4

2

6 2

6

= 1 − x 6 + 8 x12 − x18 − 3x 2 + 6 x 4 − 3x 6 + 3x 4 + 6 x 8 − 3x10 + 12 x 8 − 12 x10 − 12 x14 + 3x12 − 3x14 + 6 x16 − 12 x 6 − 12 x10 + 6x 8 + 12 x12 = 1 − 3x 2 + 9 x 4 − 16x 6 + 24 x 8 − 27 x10 + 23x12 − 15x14 + 6 x16 − x18

6

4

EJERCICIO 210 4⋅ 3 2 2 6⋅ 2 3 4 x ( 2) − x (2) + (2) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16 2 3 4 ⋅ 3 2 2 6⋅ 2 4 3 4 4 3 a (3) + a ( 3) + ( 3) = a 4 + 12a 3 + 54a 2 + 108a + 81 2. (a + 3) = a + 4a (3) + 2 3 5⋅ 4 3 2 10 ⋅ 3 2 3 10 ⋅ 2 5 5 4 ( 2) x − ( 2) x + (2) x 4 − x 5 = 32 − 80 x + 80x 2 − 40 x 3 + 10 x 4 − x 5 3. (2 − x ) = ( 2) − 5 ( 2) x + 2 3 4

(

)

4 3 1. x − 2 = x − 4 x ( 2) + 4

(

4. 2 x + 5 y

)

4

6⋅ 2 4⋅ 3 2 3 4 ( 2 x) 2 (5y ) + (2 x) (5y ) + (5 y) = 16 x 4 + 160 x 3 y + 600x 2 y 2 + 1. 000xy 3 + 625y 4 2 3 6 6 ⋅ 5 4 2 15⋅ 4 3 3 20 ⋅ 3 2 4 15⋅ 2 5 6 a − 3 = a 6 − 6a 5 ( 3) + a (3) − a ( 3) + a (3) − a (3) + (3) 2 3 4 5 = a 6 − 18a 5 + 135a 4 − 540a 3 + 1. 215a 2 − 1. 458a + 729 6 15⋅ 2 6⋅ 5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 6 5 ( 2a ) 4 b 2 − ( 2a ) 3 b 3 + ( 2a ) 2 b 4 − ( 2a )b5 + b 6 2 a − b = ( 2a ) − 6 ( 2a ) b + 2 3 4 5 = 64a 6 − 192a 5b + 240a 4b 2 − 160a 3b 3 + 60a 2b 4 − 12ab 5 + b 6 ⋅ ⋅ 5 5⋅ 4 2 3 5 4 (x ) (2 y 3 )2 + 103 3 (x 2 )2 (2 y 3 )3 + 104 2 (x 2 )(2 y 3 )4 + (2 y 3 )5 x 2 + 2 y 3 = (x 2 ) + 5(x 2 ) (2 y 3 ) + 2 = x10 + 10x 8 y 3 + 40 x 6 y 6 + 80 x 4 y 9 + 80 x 2 y12 + 32 y15 6 6 ⋅ 5 3 4 2 15⋅ 4 3 3 3 20 ⋅ 3 3 2 4 15⋅ 2 3 6 5 (x ) (1) + 3 (x ) (1) + 4 (x ) (1) + 5 (x )(1)5 + (1)6 x 3 + 1 = (x 3 ) + 6 (x 3 ) (1) + 2 = x18 + 6x15 + 15x12 + 20 x 9 + 15x 6 + 6 x 3 + 1 5 5⋅ 4 10 ⋅ 3 10 ⋅ 2 5 4 ( 2a ) 3 ( 3b) 2 − ( 2a ) 2 ( 3b) 3 + ( 2a )( 3b) 4 − ( 3b)5 2a − 3b = ( 2a ) − 5 ( 2a ) ( 3b) + 2 3 4 = 32a 5 − 240a 4b + 720a 3b 2 − 1. 080a 2b 3 + 810ab 4 − 243b5

= ( 2 x) + 4 ( 2 x) (5 y) + 4

5.

(

6.

(

7.

(

8.

(

9.

(

3

)

)

)

)

)

(

4 3 10. x − 5 y

)

6

⋅ ⋅ ⋅ 6⋅5 4 4 (x ) (5 y 3 )2 − 153 4 (x 4 )3 (5 y 3 )3 + 204 3 (x 4 )2 (5y 3 )4 − 155 2 (x 4 )(5y 3 )5 + (5y 3 )6 2 = x 24 − 30 x 20 y 3 + 375x16 y 6 − 2 .500 x12 y 9 + 9 . 375x 8 y 12 − 18 . 750 x 4 y 15 + 15. 625 y18 = (x 4 ) − 6 (x 4 ) (5 y 3 ) + 6



y

5

6

11.  2 x − 2 

6⋅5  y  15⋅ 4  y  20 ⋅ 3  y  15⋅ 2  y  y 6 5  y (2 x ) 4   − ( 2 x) 3   + (2 x ) 2   − ( 2 x)   +   = (2 x ) − 6 (2 x )   +  2 2  2  2  2  2  2 3 4 5 2

= 64 x 6 − 96 x 5 y + 60 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 +  

12.  3 −

5

3

4

5

6

15 2 4 3 5 y 6 x y − xy + 4 8 64 2

3

4

2 5⋅ 4 3  x 2  10 ⋅ 3 2  x 2  10 ⋅ 2  x 2   x 2  x2  5 4  x  ( 3)   − ( 3)   + ( 3)   −    = ( 3) − 5 ( 3)   + 3 3 4  3 2  3  3  3  3

5

10 6 5 8 x10 x + x − 3 27 243 6⋅5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 13. (2m − 3n ) = (2m ) − 6 (2m ) (3n ) + (2m ) (3n 4 )2 − 3 (2m3 )3 (3n 4 )3 + 4 (2m3 )2 (3n 4 )4 2 15⋅ 2 − (2m3 )(3n 4 )5 + (3n 4 )6 5 = 64m18 − 576m15n 4 + 2 .160m12 n 8 − 4 . 320m9 n12 + 4 .860m6n16 − 2 . 916m3n 20 + 729n 24 = 243 − 135x 2 + 30 x 4 −

(

)

2 14. x − 3

7

7 ⋅ 6 2 5 2 21⋅ 5 2 4 3 35⋅ 4 2 3 4 35⋅ 3 2 2 5 21⋅ 2 2 (x ) (3) − 3 (x ) (3) + 4 (x ) (3) − 5 (x ) (3) + 6 (x )(3) 6 − (3)7 2 = x14 − 21x12 + 189 x 10 − 945x 8 + 2 . 835x 6 − 5.103x 4 + 5.103x 2 − 2 .187

= ( x 2 ) − 7 (x 2 ) (3) + 7

 

6

5

15.  3a −

2

3

4

2  b 2  10 ⋅ 3  b 2  10 ⋅ 2  b2   b2  b2  5⋅ 4 5 4 b  (3a ) 3   − (3a )2   + (3a )   −    = (3a ) − 5 (3a )   + 3 3 4  3  3  3  3  3 2

= 243a 5 − 135a 4b 2 + 30a 3b4 −

(

2 2 16. x + 2 y

5

10 2 6 5 8 b10 ab + ab − 3 27 243

7⋅6 2 5 21⋅ 5 35⋅ 4 (x ) (2 y 2 )2 + 3 (x 2 )4 (2 y 2 )3 + 4 (x 2 )3 (2 y 2 )4 2 35⋅ 3 2 2 21⋅ 2 + (x ) (2 y 2 )5 + 6 (x 2 )(2 y 2 )6 + (2 y 2 )7 5 = x14 + 14 x12 y 2 + 84 x10 y 4 + 280 x 8 y 6 + 560 x 6 y 8 + 672 x 4 y10 + 448 x 2 y 12 + 128 y14

) = (x ) 7

2 7

+ 7 ( x 2 ) (2 y 2 ) + 6

17. x 3 − 1 8 = ( x 3 )8 − 8 ( x 3 )7 (1) + 8 ⋅ 7 ( x 3 )6 (1) 2 − 28 ⋅ 6 ( x 3 )5 (1) 3 + 56 ⋅ 5 ( x 3 )4 (1) 4 − 70 ⋅ 4 ( x 3 )3 (1)5

(

)

 

y 2

2 3 4 56 ⋅ 3 3 2 6 28 ⋅ 2 3 7 8 + (x ) (1) − 7 (x )(1) + (1) 6 = x 24 − 8 x 21 + 28x18 − 56x15 + 70 x12 − 56x 9 + 28x 6 − 8 x 3 + 1 9

 y  2

18.  x 2 −  = ( x 2 ) − 9 ( x 2 )   + 9

8

y y y 9⋅8 2 7  y 36 ⋅ 7 84 ⋅ 6 126 ⋅ 5 (x )  2  − 3 (x 2 )6  2  + 4 (x 2 )5  2  − 5 (x 2 )4  2  2 2

(

 x2 2 y2  20.  2 + 3 

7

8

9

7⋅6 21⋅ 5 35⋅ 4 (2m3 )5 (n 4 )2 − 3 (2m3 )4 (n 4 )3 + 4 (2m3 )3 (n 4 )4 2 35⋅ 3 21⋅ 2 − (2m3 )2 (n4 )5 + 6 (2m3 )(n4 )6 − (n4 )7 5 = 128m21 − 448m18n 4 + 672m15n8 − 560m12 n12 + 280m9 n16 − 84m6n 20 + 14m3n 24 − n 28

) = (2m ) 7

4

9 16 21 63 10 4 63 8 5 21 6 6 9 4 7 9 2 8 y9 x y + 9 x14 y 2 − x12 y 3 + x y − x y + x y − x y + x y − 2 2 8 16 16 32 256 512

= x18 − 19. 2m3 − n 4

3

y y 126 ⋅ 4 2 3  y  84 ⋅ 3 2 2  y  36 ⋅ 2 (x )  2  − 7 (x )  2  + 8 (x 2 ) 2  −  2  6 6

+

5

3 7

− 7 (2m3 ) (n 4 ) + 6

5

5

4

3

2

2

3

4

 x2   x 2   2 y 2  5⋅ 4  x 2   2 y 2  10 ⋅ 3  x 2   2 y 2  10 ⋅ 2  x 2   2 y 2   2 y 2  =   + 5   +     +     +    +  3  2  3  4  2 3   3   2  2  3  2  2  3  =

x10 5x 8 y 2 5x 6 y 4 20 x 4 y 6 40 x 2 y 8 32 y10 + + + + + 32 24 9 27 81 243

15 ⋅ 4  1  5a  20 ⋅ 3  1  5a   1 5a   1  1  5a  6 ⋅ 5  1  5a   −  =   − 6    +     −     +      5  5  2  21.  5 2  2  5  2  3  5  2  4  5  2  6

6

5

4

15 ⋅ 2  1  5a   5a      +  5  5  2   2  5

− =

2

3

3

6

3a 3a 2 5a 3 375a 4 1. 875a 5 15 . 625a 6 1 − + − + − + 2 16 16 64 15.625 625 20

2

4

5

5

EJERCICIO 211 NOT A: T riángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio NOTA: Triángulo

1 1

1

1

2

1 1 6

1

7

1 1 1

9

36

10

(

45

1

21

70

7

56

126

)

6

35

84

252

1

28

126

210

1

15

35 56

120

5

20

84

1

10

15

28

4

10

21

8

1

6

5

1

3

4

1

1

3

8

210

9

120

45

1. a + 2b = a 6 + 6a 5 ( 2b ) + 15a 4 (2b) + 20a 3 ( 2b) + 15a 2 ( 2b) + 6a (2b) + (2b) 6

2

3

1

36

4

5

1 10

1

6

= a 6 + 12a 5b + 60a 4b 2 + 160a 3b 3 + 240a 2b 4 + 192ab5 + 64b 6

(

2. 2m2 − 3n 3

) = (2m ) − 5(2m ) (3n ) + 10 (2m ) (3n ) 5

2 5

2 4

2 3

3

3 2

− 10 (2m2 ) (3n 3 ) + 5 (2m2 )(3n 3 ) − (3n 3 ) 2

3

4

5

= 32m10 − 240m8n 3 + 720m6n 6 − 1. 080m4 n 9 + 810m2 n12 − 243n15

(

3. x 2 + y 3

) = (x ) + 6 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y ) 6

2 6

2 5

3 2

2 4

3

+ 20 (x 2 ) ( y 3 ) + 15( x 2 ) ( y 3 ) + 6 (x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 ) 3

3

4

2

5

6

= x12 + 6 x10 y 3 + 15x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y 18

(

4. 3 − y

)

7 7

= ( 3) − 7 (3) ( y 7 ) + 21(3) ( y 7 ) − 35 (3) ( y 7 ) + 35( 3) ( y 7 ) − 21(3) ( y 7 ) + 7 ( 3) ( y 7 ) − ( y 7 ) 7

6

2

5

3

4

4

3

5

2

6

7

= 2 .187 − 5.103 y 7 + 5.103 y14 − 2 .835 y 21 + 945y 28 − 189 y 35 + 21y 42 − y 49

(

5. 2 x 3 − 3 y 4

)

6

= (2 x 3 ) − 6 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 20 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 6 (2 x 3 )(3 y 4 ) + (3 y 4 ) 6

5

2

4

3

3

2

4

5

6

= 64 x18 − 576 x15 y 4 + 2 .160 x12 y 8 − 4 . 320 x 9 y12 + 4 .860 x 6 y16 − 2 . 916 x 3 y 20 + 729 y 24 5

5

4

 x2   x2   x2   x2  + y 3  =   + 5   y 3 + 10    2   2  2  2

6. 

= 6

3

(y )

3 2

 x2  + 10    2

2

(y )

3 3

 x2  4 5 + 5  ( y 3 ) + ( y 3 )  2

x10 5x 8 y 3 5x 6 y 6 5x 4 y 9 5x 2 y12 + + + + + y15 32 16 4 2 2 6

5

4

2

3

3

2

4

5

 a 3  a   a   3  a   3  a   3  a   3  a   3   3  −  =   − 6     + 15     − 20     + 15     − 6     +   7.  3 b   3  3  b  3  b  3  b  3  b  3  b  b =

(

8. 1 − x 4

6

a 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729 − + − 3 + − 5 + 6 729 27b 3b 2 b b4 b b

)

8

= (1) − 8 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 70 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 8 (1) (x 4 ) + (x 4 ) 8

7

6

2

5

3

4

= 1 − 8 x 4 + 28 x 8 − 56 x12 + 70 x16 − 56 x 20 + 28 x 24 − 8 x 28 + x 32

4

3

5

2

6

7

8

7

2

3

 2 3  2  2  3  2  3  2  3  2  3 9.  3x − 2 y  =  3x  − 7  3x   2 y  + 21 3x   2 y  − 35 3x   2 y  + 35  3x   2 y  7

6

5

5

4

6

 2  3  3  2  3 − 21    + 7     −    3x   2 y   2 y   3x   2 y  2

=

3

4

7

128 224 56 70 105 567 1. 701 2 .187 − + − + − + − 2 .187 x 7 243x 6 y 9 x 5 y 2 3x 4 y 3 2 x 3 y 4 8 x 2 y 5 32 xy 6 128 y 7

7

2

3

2 2 2 2  2 m2   2   2  m   2  m   2  m   2  m  −  =   − 7     + 21    − 35     + 35      m  2   m  2   m  2   m  2   m 2   m 7

6

5

4

3

4

10. 

5

6

7

2 2 2 2  2  m   2  m   m  − 21    + 7     −    m  2   m  2   2 

=

(

128 224 168 35m5 21m8 7m11 m14 − 70m2 + − + − 7 − 4 + m m m 2 8 32 128

) ( ) + 8 (x ) mn + 28 (x ) (mn) 8

11. x + mn = x 3

3 8

3 7

3 6

2

5 4 3 + 56 ( x 3 ) (mn) + 70(x 3 ) ( mn) + 56 (x 3 ) ( mn) 3

4

5

6 7 8 + 28( x 3 ) (mn) + 8 (x 3 ) (mn) + ( mn) 2

= x 24 + 8 x 21mn + 28 x18m2 n2 + 56 x15m3n 3 + 70 x12 m4 n 4 + 56 x 9 m5n5 + 28 x 6m6n 6 + 8 x 3m7 n 7 + m8n8 9

2

3

4

2 2 2 2 2  b2  9 8b  7 b  6b  5b  4b  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  −  = −   +   −   +   −   3 3 9 3 36 3 84 3 126 3 126 3 12.  3  3  3  3  3  3 6

7

8

2 2  b2   b2  3b  2 b  + 84(3)   − 36(3)   + 9(3)   −    3  3  3  3

 13.  1 −

5

9

= 19 . 683 − 19 . 683b 2 + 8 . 748b 4 − 2 . 268b6 + 378b8 − 42b10 +

28b12 4b14 b16 b18 − + − 9 27 243 19 . 683

2

5

10

3

4

1 10 9  1 8  1 7  1 6  1 5  1 4  1  = (1) − 10 (1)   + 45(1)   − 120 (1)   + 210(1)   − 252 (1)   + 210 (1)    x  x  x  x  x  x x 7

8

9

 1  1 3  1 2  1 − 120 (1)   + 45(1)   − 10 (1)   +    x  x  x  x = 1−

(

14. 2 m2 − 5n 5

10

10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 + − + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 x x x x x x x x x2 x3

) = (2m ) − 6 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n ) 6

6

2 6

2 5

2 4

5

5 2

− 20 (2m2 ) (5n5 ) + 15 (2m2 ) (5n 5 ) 3

3

2

4

− 6 (2m2 )(5n 5 ) + (5n 5 ) 5

6

= 64m12 − 960m10n5 + 6 . 000m8n10 − 20 . 000m6n15 + 37 . 500m4 n 20 − 37 . 500m2 n 25 + 15. 625n 30  

15.  4 −

x5   4

7

2

3

4

5

6

5 5 5 5 5  x5   x 5  7 6 x  5 x  4 x  3 x  2 x  = ( 4) − 7 ( 4)   + 21( 4)   − 35 (4)   + 35 ( 4)   − 21( 4)   + 7 ( 4)   −    4  4  4  4  4  4  4

= 16 . 384 − 7 .168 x 5 + 1. 344 x10 − 140 x15 +

35x 20 21x 25 7 x 30 x 35 − + − 4 64 1. 024 16 . 384

7

EJERCICIO 212

(

1. x − y

=

)

5

(

)

6

donde r = 4

(

2 5. a − 2b

(

)

(

(

9. a 2 + b

)

=

=

donde r = 10

)

6

donde r = 6

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 b ( 2a )8 −5  −   2 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5

6 −1

 b5  = 56 (8a 3 )  −   32 

= − 14a 3b5 donde r = 8

)

2 11

= − 330 x 4 y 14

(

2 10. 1 − x

)

12

donde r = 9

9 −1 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 12 − 8 (1) (− x 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8

= 5. 005a 12b 9

(

8

= 330 x 4 (− y14 )

6

15⋅ 14 ⋅ 13⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 2 15 − 9 10 −1 = (a ) (b) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9

2 11. 2a − b

b 2

8 −1 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 11− 7 ( x ) (− y 2 ) = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7

= 210 ( x 8 ) (64 y 6 )

15

 

donde r = 5

8. x − y

donde r = 5

6.  2a − 

= 2 . 016a 10b 4

donde r = 7

= 13. 440 x y

9

11

= 330 x 4

= 126 (a 10 )(16b 4 )

7 −1 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 10 − 6 = (x ) (− 2 y) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6

8

)

)

11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 11− 4 (1) ( x)5 −1 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4

9 ⋅ 8⋅ 7 ⋅ 6 2 9−4 = (a ) (− 2b)5−1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4

= − 4 . 320 x 3 y 3

7. x − 2 y

(

3. 1 + x

donde r = 4

= − 2 . 240a 4b 3

= 20 (27 x 3 ) (− 8 y 3 )

10

7

= 35a 4 (− 64b 3 )

4 −1 6 ⋅ 5⋅ 4 (3x )6 − 3 (− 2 y ) 1⋅ 2 ⋅ 3

2

)

7 ⋅ 6⋅ 5 7−3 4 −1 (a ) (− 4b) = 1⋅ 2 ⋅ 3

2 5⋅ 4 ( x )5− 2 (− y ) = 10 x 3 y 2 1⋅ 2

4. 3x − 2 y

=

(

2. a − 4b

donde r = 3

= 495x 16

(

12. 3x 2 − y 2

donde r = 6

6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 6 −1 ( 2a ) 6 −5 (− b 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5

=

)

8

donde r = 5

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 8− 4 5−1 (3x ) (− y 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4

= 70 (81x 8 )( y 8 )

= 6 ( 2a ) (− b10 )

= 5 . 670 x 8 y 8

= − 12ab10

EJERCICIO 213 1.

4a 2b 4 = ± 2ab 2

2.

25x6 y8 = ± 5x3 y4

3.

3

27a b = 3ab

4.

3

− 8a 3b6 x12 = − 2ab 2 x 4

3 9

5

− 243m5n15 = − 3mn3 81x6 y8 z20 = ± 9x3 y4 z10

10.

3

3

4 5

12.

4

81a b

16a 8b16 = ± 2a 2b 4

13.

6

64a12b18 c 30 = ± 2a 2b 3 c 5

64x y

= ± 8x y

6.

4

7.

5

x15 y 20z25 = x 3 y 4 z5

14.

8.

3

− 64a 3 x 6 y18 = − 4ax 2 y 6

15.

9a 2 3a =± 2 25x 4 5x

16.

17.

3

12

24

= ± 3a b

3 6

18.

5

19.

4

49a 2nb 4n = ± 7a nb 2n 5

− x5ny10 x = − xny2 x

20.

7

x 2m xm =± 4n 121y 11y 2n

21.

−

27a 3 3a =− 3 64x 9 4x

22.

3

−

−

a 5b10 ab 2 =− 3 15 32x 2x

23.

9

a18 a2 = 3 9 27 b c bc

24.

10

1. 000x9 y18 = 10x 3 y6

11.

8 10

5.

9.

a8 a2 =± 4 12 81b c 3bc 3 128 2 = x14 x 2

125x 9 5x 3 =− 216m12 6m4

x 20 x2 =± 3 30 1. 024y 2y

EJERCICIO 214 1.

16 x 2 − 24 xy 2 + 9 y 4

4 x − 3y 2

(8x − 3y ) (− 3y )

− 16 x 2

2

2

− 24 xy 2 + 9 y 4 24 xy − 9 y 2

= − 24 xy 2 + 9 y 4

4

0 2.

25a 4 − 70a 3 x + 49a 2 x 2 5a 2 − 7ax

(10a

− 25a 4

2

− 7ax )(− 7ax )

− 70a x + 49a x 3

= − 70a 3 x + 49a 2 x 2

2 2

70a x − 49a x 3

2 2

0 3.

x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1

(2 x

− x4

2

− 2 x)(− 2 x)

− 4 x 3 + 6x 2 4x − 4x 3

= − 4 x3 + 4 x 2

2

2x2 − 4x + 1

(2 x

2

− 4 x + 1) (1)

− 2x + 4x − 1

= 2 x2 − 4 x + 1

2

0 4.

4a 4 + 4a 3 + 5a 2 + 2a + 1

2a 2 + a + 1

(4a

− 4a 4 4a + 5a 3

2

+ a)(a) = 4a 3 + a 2

2

− 4a 3 − a 2 4a 2 + 2a + 1

(4a

2

+ 2a + 1) (1)

− 4a − 2 a − 1

= 4a 2 + 2a + 1

2

0 5.

n4 − 10n3 + 29n2 − 20n + 4

n2 − 5n + 2

(2n

− n4 − 10n + 29n 3

2

− 5n)(− 5n) = − 10n3 + 25n 2

2

10n3 − 25n 2 4n 2 − 20n + 4 − 4n + 20n − 4 2

0

(2n

2

− 10n + 2) ( 2) = 4n2 − 20n + 4

6.

x 6 − 10 x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60 x 2 + 36

x 3 − 5x 2 + 6

(2 x

− x6

3

− 5x 2 )(− 5x 2 )

− 10 x 5 + 25x 4 10 x − 25x 5

= − 10 x 5 + 25x 4

4

(2 x

12 x 3 − 60 x 2 + 36

3

− 10 x 2 + 6) ( 6)

− 12 x 3 + 60 x 2 − 36

= 12 x 3 − 60 x 2 + 36

0 7.

16a − 24a + 49a − 30a + 25 8

6

4

4a 4 − 3a 2 + 5

2

(8a

− 16a 8

− 3a 2 )(− 3a 2 )

4

− 24a 6 + 49a 4

= − 24a 6 + 9a 4

24a 6 − 9a 4

(8a

40a 4 − 30a 2 + 25

4

− 6a 2 + 5) (5)

− 40a 4 + 30a 2 − 25

= 40a 4 − 30a 2 + 25

0 8.

x + 4 xy − 2 xz − 4 yz + 4 y 2 + z 2

x + 2y − z

2

−x

(2 x + 2 y)(2 y)

2

4 xy − 2 xz

+ 4y

− 4 xy

= 4 xy + 4 y 2

2

− 4y

2

− 2 xz − 4 yz

+ z2

2 xz + 4 yz

−z

(2 x + 4 y − z)(− z) = − 2 xz − 4 yz + z 2

2

0 9.

x + 2 x − 5x − 6 x + 9 12

9

6

x6 + x3 − 3

3

(2 x

− x12

6

2 x 9 − 5x 6

+ x 3 ) (x 3 ) = 2x9 + x6

− 2x9 − x6

(2 x

− 6x 6 − 6x 3 + 9

6

+ 2 x 3 − 3) (− 3)

6x 6 + 6x 3 − 9

= − 6x6 − 6x3 + 9

0 10.

25x 8 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2

5x 4 − 7 x 2 + 3x

(10x

− 25x 8

4

− 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 70 x

− 49 x

6

= − 70 x 6 + 49 x 4

4

− 42 x 3 + 9 x 2

30 x 5 − 30 x

− 7 x 2 ) (− 7 x 2 )

+ 42 x − 9 x

5

3

0

2

(10x

4

− 14 x 2 + 3x) ( 3x) = 30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2

4a 4 + 8a 3b − 8a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4

11.

2a 2 + 2ab − 3b 2

(4a

− 4a 4

+ 2ab) (2ab)

2

8a b − 8a b 3

= 8a 3b + 4a 2b 2

2 2

− 8a 3b − 4a 2b 2

(4a

− 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4

2

+ 4ab − 3b 2 ) (− 3b 2 )

12 a 2b 2 + 12ab 3 − 9b 4

= − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4

0 x 6 − 2 x 5 + 3x 4 − x 2 + 2 x + 1

12.

x3 − x2 + x + 1

(2 x

− x6

3

− x 2 ) (− x 2 )

− 2 x 5 + 3x 4

= − 2 x5 + x4

2 x5 − x 4

(2 x

2x4 − x2 + 2 x

3

− 2 x 2 + x) ( x)

2x3 − 2 x4 − x2

= 2x4 − 2x3 + x2

2x3

− 2x2 + 2x + 1

− 2x3

+ 2x2 − 2x − 1

(2 x

3

− 2 x 2 + 2 x + 1 ) (1) = 2x3 − 2x2 + 2x + 1

0 13.

x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 − 8x + 4

x 3 − 3x 2 − 2 x + 2

(2 x

− x6

3

− 3x 2 ) ( − 3 x 2 )

− 6 x 5 + 5x 4 6x − 9 x 5

= − 6x5 + 9 x 4

4

(2 x

− 4 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2

3

− 6 x 2 − 2 x) (− 2 x )

4 x 4 − 12 x 3 − 4 x 2

= − 4 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2

4 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x − 4

(2 x

3

− 6 x 2 − 4 x + 2) ( 2) = 4 x 3 − 12 x 2 − 8x + 4

0 14.

x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25

x 4 + 3x 2 − 4 x + 5

(2 x

− x8 6 x 6 − 8x 5 + 19 x 4 − 6x 6

(2 x

− 9x4 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 8x

+ 24 x − 16 x

5

3

+ 30 x 2 − 40 x + 25

− 10 x 4

− 30 x 2 + 40 x − 25 0

+ 3x 2 ) (3x 2 ) = 6 x 6 + 9 x 4

4

+ 6 x 2 − 4 x ) (− 4 x) = − 8 x 5 − 24 x 3 + 16 x 2

2

4

10 x

4

(2 x

4

+ 6 x 2 − 8 x + 5) (5) = 10 x 4 + 30 x 2 − 40 x + 25

15.

x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9

x4 − 4x3 + 2x − 3

(2 x

− x8 − 8x 7 + 16 x 6

(2 x

8x 7 − 16x 6

4

− 4 x 3 ) (− 4 x 3 ) = − 8 x 7 + 16 x 6

4

− 8x 3 + 2 x) ( 2 x )

4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 16 x 5

− 4x

4

− 6x + 24 x

= 4 x 5 − 16x 4 + 4 x 2

2

3

− 12 x + 9

6 x 4 − 24 x 3

+ 12 x − 9

4

(2 x

4

− 8x 3 + 4 x − 3) (− 3) = − 6 x 4 + 24 x 3 − 12 x + 9

0 16.

9 − 36a + 42a − 18a + 13a − 2a + a 2

3

4

5

6

3 − 6a + a 2 − a 3

(6 − 6a)(− 6a) = − 36a + 36a

−9 − 36a + 42a 2

(6 − 12a + a )(a ) = 6a

36a − 36a 2

2

6a − 18a + 13a 2

3

2

− 12a 3 + a 4

4

(6 − 12a + 2a

− 6a 2 + 12a 3 − a 4

2

− a 3 ) (− a 3 )

− 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6 6a − 12a + 2a − a 3

2

2

4

5

= − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6

6

0

9 x − 24 x + 28 x − 22 x + 12 x 2 − 4 x + 1 6

17.

5

4

3

3x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1

(6x

− 9x6 − 24 x 5 + 28 x 4

(6x

24 x 5 − 16 x 4

3

3

− 4 x 2 ) (− 4 x 2 ) = − 24 x 5 + 16 x 4

− 8 x 2 + 2 x) ( 2 x )

12 x 4 − 22 x 3 + 12 x 2

= 12 x 4 − 16 x 3 + 4 x 2

− 12 x 4 + 16 x 3 − 4 x 2 − 6x 3 + 8x 2 − 4 x + 1

(6x

3

− 8x 2 + 4 x − 1) (− 1)

6x − 8x + 4 x − 1 3

= − 6x3 + 8x2 − 4 x + 1

2

0 18.

16 x − 40x + 73x − 84 x + 66x 2 − 36 x + 9 6

5

4

3

4 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3

(8x

− 16 x 6 − 40x 5 + 73x 4

(8x

40 x 5 − 25x 4

3

3

48 x 4 − 84 x 3 + 66 x 2

− 5x 2 ) (− 5x 2 ) = − 40 x 5 + 25x 4

− 10 x 2 + 6 x) ( 6 x) = 48x 4 − 60 x 3 + 36x 2

− 48 x 4 + 60 x 3 − 36 x 2 − 24 x 3 + 30x 2 − 36 x + 9 24 x 3 − 30 x 2 + 36 x − 9 0

(8x

3

− 10x 2 + 12 x − 3)

(− 3) = − 24 x 3 + 30 x 2 − 36x + 9

19.

m6 − 4m5n + 4m4 n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8

m3 − 2m2 n + 2n 4

(2m

− m6

3

− 2m2 n) (− 2m2 n)

− 4m5n + 4m4 n 2

= − 4m5n + 4m4 n 2

4m n − 4m n 5

4 2

(2m

4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 − 4m n + 8m n − 4n 3 4

2 5

3

− 4m2 n + 2n 4 ) (2n 4 ) = 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8

8

0 20.

9 x 6 − 6 x 5 y + 13x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 − 8 xy 5 + 4 y 6

3x 3 − x 2 y + 2 xy 2 − 2 y 3

(6x

− 9x6 − 6x y + 13x y 5

4

− x 2 y )(− x 2 y) = − 6 x 5 y + x 4 y 2

3

2

(6x

6x5 y − x 4 y 2

3

− 2 x 2 y + 2 xy 2 ) (2 xy 2 )

12 x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4

= 12 x 4 y 2 − 4 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4

− 12 x 4 y 2 + 4 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4

(6x

− 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6

3

− 2 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 ) (− 2 y 3 )

12 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 + 8 xy 5 − 4 y 6

= − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6

0

21.

16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 − 4ab5 + b 6

4a 3 − 3a 2b + 2ab2 − b 3

(8a

− 16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2

(8a

24a 5b − 9a 4b 2

3

− 3a 2b)(− 3a 2b) = − 24a 5b + 9a 4b 2

3

− 6a 2b + 2ab 2 ) (2ab 2 )

16a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4

= 16a 4b 2 − 12a 3b 3 + 4a 2b 4

− 16a b + 12a b − 4a b 4 2

3 3

2 4

(8a

− 8a 3b3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6

3

− 6a 2b + 4ab 2 − b 3 ) (− b 3 )

8a 3b 3 − 6a 2b 4 + 4ab5 − b 6

= − 8a 3b 3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6

0 22.

36x 8 − 36x 6 y 2 + 48x 5 y 3 − 15x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 6 x 4 − 3x 2 y 2 + 4 xy 3 − 2 y 4

(12 x

− 36x 8 − 36 x y + 48 x y − 15x y 6

2

5

3

4

(12 x

− 9x 4 y4

36x 6 y 2

48 x 5 y 3 − 24 x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28x 2 y 6 − 48x y 5

+ 24 x y − 16 x y

3

3

− 24 x 4 y 4 4

24 x y

− 3x 2 y 2 )(− 3x 2 y 2 ) = − 36x 6 y 2 + 9 x 4 y 4

4

4

4

5

2

(12 x

6

+ 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 − 12 x y + 16xy − 4 y 2

0

6

4

7

8

− 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 ) (4 xy 3 ) = 48 x 5 y 3 − 24 x 3 y 5 + 16x 2 y 6

4

− 6 x y + 8xy 3 − 2 y 4 ) (− 2 y 4 ) 2

2

= − 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8

23.

25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 5a 3 − 4a 2 x + ax 2 − 2 x 3

(10a

− 25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2

(10a

40a 5 x − 16a 4 x 2 10a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4

− 4a 2 x)(− 4a 2 x ) = − 40a 5 x + 16a 4 x 2

− 8a 2 x + ax 2 ) (ax 2 ) = 10a 4 x 2 − 8a 3 x 3 + a 2 x 4

3

(10a

− 10a 4 x 2 + 8a 3 x 3 − a 2 x 4

3

3

− 8a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 )(− 2 x 3 )

− 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6

= − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6

20a 3 x 3 − 16a 2 x 4 + 4ax 5 − 4 x 6 0

24.

4a 8 − 12a 7 + 17a 6 − 16a 5 + 14a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 2a + 1

2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a + 1

− 4a 8 − 12a + 17a 7

(4a

4

− 3a 3 )(− 3a 3 ) = − 12a 7 + 9a 6

(4a

4

− 6a 3 + 2a 2 ) (2a 2 )

6

12a 7 − 9a 6 8a 6 − 16a 5 + 14a 4

= 8a 6 − 12a 5 + 4a 4

− 8a 6 + 12a 5 − 4a 4

(4a

− 4a 5 + 10a 4 − 10a 3 + 5a 2 4a − 6a + 4a − a 5

4

3

− 6a 3 + 4a 2 − a )(− a )

4

= − 4a 5 + 6a 4 − 4a 3 + a 2

2

4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1 − 4a 4 + 6a 3 − 4a 2 + 2a − 1

(4a

4

− 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1) (1) = 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1

0

25.

x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4

x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2

(2 x

− x10 − 2 x 9 + 3x 8 2 x9 − x8 2 x − 4 x + 5x 8

7

− x 4 )(− x 4 ) = − 2 x 9 + x 8

5

(2 x

5

− 2 x 4 + x 3 ) (x 3 ) = 2 x 8 − 2 x 7 + x 6

(2 x

5

− 2 x 4 + 2 x 3 − x 2 )(− x 2 )

6

− 2 x8 + 2 x 7 − x 6 − 2 x 7 + 4 x 6 − 8 x5 + 7 x 4

= − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x5 + x 4

2 x 7 − 2 x 6 + 2 x5 − x 4 2 x 6 − 6 x 5 + 6 x 4 − 6 x 3 + 5x 2

(2 x

5

− 2 x 6 + 2 x5 − 2 x4 + 2 x 3 − x 2 − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4 4 x5 − 4 x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x − 4 0

− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + x) ( x ) = 2 x 6 − 2 x5 + 2 x 4 − 2 x 3 + x 2

(2 x

5

− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 2)(− 2) = − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4

EJERCICIO 215 x4 5x 2 4 x 4 − x3 + − + 4 3 3 9

1.

−

x2 2 − x+ 2 3

x4 4

(x − x3 +

2

− x ) (− x ) = − x 3 + x 2

5x 2 3 2  2 2x2 4x 4  2 − +  x − 2x +    =  3  3 3 3 9

x3 − x2 2x2 4x 4 − + 3 3 9 2x2 4x 4 − + − 3 3 9 0

a 2 2a 19 2 x x 2 − + − + x 2 3x 9 3a a 2

2.

−

a 1 x − + x 3 a 2a 1  2a 1   1   −  −  = − +  x 3  3 3x 9

a2 x2 −

2a 19 + 3x 9 2a 1 − 3x 9

2x x2  2a 2 x   x   − +    = 2− +  x 3 a  a 3a a 2

2x x2 + 3a a 2 2x x2 −2 + − 3a a 2 0 2−

a2 ac bc c2 − ab + b2 + − + 4 4 2 16

3.

−

a2 4

a c − b+ 2 4

(a − b) (− b) = − ab + b

2

− ab + b 2 c   c  ac bc c2   a − 2b +    = − +  4   4  4 2 16

ab − b2 ac bc c2 − + 4 2 16 ac bc c2 − + − 4 2 16 0

9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 − + − + 16 4 20 5 25

4.

−

3a 2 a 4 − + 4 2 5  3a 2 a   a  3a 3 a 2 +  −  −  = − 4 4  2 2  2

9a 4 16 −

3a 3 29a 2 + 4 20 3a 3 a2 − 4 4

 3a 2 4   4  6a 2 4a 16 −a+    = − +  5  5  5 5 25  2

6a 2 4a 16 − + 5 5 25 6a 2 4a 16 − + − 5 5 25 0

a 4 a 3b 3a 2b 2 b4 + + − ab 3 + 16 2 4 4

5.

−

 a2  a 3b 2 2 +a b  + ab ( ab) = 2  2 

a4 16 a 3b 3a 2b 2 + 2 4 a 3b 2 2 − −a b 2 −

 a2 b 2   b2  a 2b 2 b4  + 2ab −   −  = − − ab 3 + 2 2 4 4  2

a 2b 2 b4 − ab 3 + 4 4 a 2b 2 b4 3 + ab − 4 4 0

x2 2x 25 50 y + − 2 xy + − + 25 y 2 25 3 9 3

6.

−

a2 b2 + ab − 4 2

x 5 + − 5y 5 3  2 x 5  5 2 x 25 +  +  =  5 3   3 3 9

x2 25 2x 25 − 2 xy + 3 9 2x 25 − − 3 9 − 2 xy 2 xy

50 y  2 x 10  + 25 y 2  + − 5 y (− 5 y ) = − 2 xy −  5 3  3 50 y + 25 y 2 3 50 y + − 25 y 2 3 0 −

x 4 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + − + 9 3 15 5 25

7.

−

x2 y2 − 2 xy + 3 5  2x2  4x3 y  − 2 xy (− 2 xy ) = − + 4x2 y2 3 3  

x4 9 −

4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 + − 3 15 5 3 4x y − 4x2 y2 3

 2 x2 y 2   y 2  2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − 4 xy +    = − +  5 5 15 5 25  3

2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 − + 25 15 5 2 2 3 2 x y 4 xy y 4 − + − 15 5 25 0

a 4 3a 2 9 a 2b2 2b 2 b 4 − + + − + 16 10 25 18 15 81

8.

−

a 2 3 b2 − + 4 5 9  a 2 3  3 3a 2 9 −  −  = −  + 10 25  2 5  5

a4 16 −

3a 2 9 + 10 25 3a 2 9 − 10 25

 a 2 6 b 2   b 2  a 2b 2 2b 2 b 4 − +  = − +   2 5 9   9  18 15 81 a 2b 2 2b 2 b4 − + 18 15 81 a 2b 2 2b 2 b 4 − + − 18 15 81 0

9.

x2 + 4x + 2 −

4 1 + y x2

x + 2−

1 x

(2 x + 2) (2) = 4 x + 4

− x2 4x + 2

  2x + 4 − 

− 4x − 4 4 + y 4 2+ − y

− 2−

0

1 x2 1 x2

1   − x 

1 4 1  = − 2− + 2 x x x

x 2 10 x 79 20 4 − + − + 2 9 3 3 x x

10.

−

10 x  2x  + 25  − 5 (− 5) = −  3  3

x2 9 −

11.

−

x 2 − 5+ x 3

10 x 79 + 3 3 10 x − 25 3 4 20 4 − + 3 x x2 4 20 4 − + − 2 3 x x 0

2   2  4 20 4  2x  − 10 +    = − + 2  3 x  x 3 x x

a4 30 9 − 5a 2 + 28 − 2 + 4 a a 4

a2 3 − 5+ 2 a 2

a4 4

(a

2

− 5)(− 5) = − 5a 2 + 25

− 5a 2 + 28 3 3 30 9  2  a − 10 + 2   2  = 3 − 2 + 4  a a  a a

5a 2 − 25 30 9 + a2 a4 30 9 −3 + 2 − 4 a a 0 3 −

a 4 2a 3 a 2 2ax x2 + + 2− − 2+ 2 a 9 3x x 3

12.

−

a2 a x + − 3 x a  2a 2 a   a  2 a 3 a 2 +  =  + x   x  3x x 2  3

a4 9 2a 3 a 2 + 3x x 2 3 2a a 2 − − 3x x 2

 2 a 2 2a x   x  x2 2ax + −  −  = − − 2+ 2  x a  a a  3 3 −

x2 2ax − 2+ 2 a 3 x2 2ax + 2− 2 a 3 0

9a 2 3a 65 x 4 x 2 − + − + x 2 2 x 16 3a 9a 2

13.

−

3a 1 2 x − + x 4 3a 3a 1  6a 1   1  +  −  −  = −  x 4  4 2 x 16

9a 2 x2 −

3a 65 + 2 x 16 3a 1 − 2 x 16

x 4x2  6a 1 2 x   2 x   − +    = 4− + 2  x 2 3a   3a  3a 9a

x 4x2 + 3a 9a 2 x 4x2 − 4+ − 3a 9a 2 0 4−

9 x 4 + 30 x 2 + 55 +

14.

50 25 + x2 x4

− 9x4

3x 2 + 5 +

(6x

2

5 x2

+ 5) (5) = 30 x 2 + 25

30x 2 + 55 − 30 x 2 − 25

5 5 50 25  2  6 x + 10 + 2   2  = 30 + 2 + 4  x x  x x

50 25 + x2 x4 50 25 − 30 − 2 − 4 x x 0 30 +

4a 2 2a 19 5x 25x 2 − + − + 25x 2 5x 12 3a 9a 2

15.

−

2a 1 5x − + 5x 2 3a 2a 1  4a 1   1   −  −  = − +  5x 2   2  5x 4

4a 2 25x 2 −

2a 19 + 5x 12 2a 1 − 5x 4 4 5x 25x 2 − + 3 3a 9a 2 4 5x 25x 2 − − + 3 3a 9a 2 0

5x   5x  4 5x 25x 2  4a  − 1+    = − +  5x 3a   3a  3 3a 9a 2

x 4 x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 y 4 − + + + 16 4 20 5 25

16.

−

x 2 xy y 2 − − 4 2 5  x 2 xy   xy  x3 y x2 y2  −  −  = − + 4 4  2 2 2

x4 16 −

x 3 y 3x 2 y 2 + 4 20 x3 y x2 y2 − 4 4 −

 x2 y2   y2  x 2 y 2 xy 3 y 4 + +  − xy −   −  = − 5 5 10 5 25  2

x 2 y 2 xy 3 y 4 + + 10 5 25 3 2 2 xy y 4 x y − − 10 5 25 0

4a 2b 2 2ab 21 7 xy 49 x 2 y 2 − + − + 49 x 2 y 2 7 xy 20 5ab 25a 2b 2

17.

−

 4ab 1   1  2ab 1 + −  −  = −  7 xy 4  7 xy 2   2 

4a 2b 2 49 x 2 y 2 −

2ab 21 + 7 xy 20 2ab 1 − 7 xy 4 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2 4 7 xy 49 x 2 y 2 − + − 5 5ab 25a 2b 2 0

9a 2 x 2 6ax 23 4mn 4m2 n 2 + − + 2 2 − 25m n 25mn 75 45ax 81a 2 x 2

18.

−

2ab 1 7 xy − + 7 xy 2 5ab

 4ab 7 xy   7 xy  − 1+    5ab   5ab   7 xy =

4 7 xy 49 x 2 y 2 − + 5 5ab 25a 2b 2

3ax 1 10mn − + 5mn 5 45ax 6ax 1  6ax 1  1 −  −  = − +   5mn 5  5 25mn 25

9a 2 x 2 25m2n 2 −

6ax 23 + 25mn 75 6ax 1 − 25mn 25 20 4mn 4m2n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2 20 4mn 4m2n 2 − + − 75 45ax 81a 2 x 2 0

 6ax 2 10mn   10mn  − +     5mn 5 45ax   45ax  =

20 4mn 4m2 n 2 − + 75 45ax 81a 2 x 2

x6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x − x5 + + − + +4 4 3 3 9 3

19.

x3 2x − x2 + +2 2 3

x6 4

−

(x − x5 +

3

− x 2 )(− x 2 ) = − x 5 + x 4

5x 4 3 2x   2x  2x4 4x3 4 x2  3 − +  x − 2x2 +    =  3 3 3 3 9

x5 − x 4 2 x 4 2 x 3 32 x 2 + − 3 3 9 2x4 4x3 4x2 − + − 3 3 9

8x 4x   3 + 2 (2) = 2 x 3 − 4 x 2 + + 4  x − 2x2 +   3 3

8x +4 3 8x − 2x3 + 4x2 − − 4 3 0 2x3 − 4x2 +

1 3a 59a 2 3a 3 43a 4 2a 5 1a 6 − + − + − + 4 4 48 2 36 3 4

20.

1 3a 2a 2 a 3 − + − 2 4 3 2 3a 9a 2  3a   3a   1−   −  = − +     4 4 4 16

1 4

−

−

3a 59a 2 + 4 48 3a 9a 2 − 4 16

 3a 2a 2   2a 2  2a 2 4a 4 + − a3 +  1−  = 2 3  3  3 9 

2a 2 3a 3 43a 4 − + 3 2 36 2a 2 4a 4 3 − + a − 3 9 −

 3a 4a 2 a 3   a 3  + −  −   1− 2 3 2 2 

a 3 3a 4 2a 5 a 6 + − + 2 4 3 4 a 3 3a 4 2a 5 a 6 − + − 2 4 3 4 0

=−

EJERCICIO 216 1.

3

8 − 36 y + 54 y 2 − 27 y 3

2 − 3y 3(2) = 12

−8

2

− 36 y + 54 y 2 − 27 y 3

3 (2) (− 3 y) = − 36 y 2

36 y − 54 y 2 + 27 y 3

3 (2) (− 3 y) = 54 y 2

0

(− 3 y )

2

3

= − 27 y 3

a 3 3a 4 2a 5 a 6 + − + 2 4 3 4

2.

3

64a 6 + 240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6

4a 2 + 5b 2 3 (4a 2 ) = 48a 4 2

− 64a 6

3 (4a 2 ) (5b 2 ) = 240a 4b 2 2

240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6

3 (4a 2 )(5b 2 ) = 300a 2b 4 2

− 240a 4b 2 − 300a 2b 4 − 125b 6

(5b2 )3 = 125b 6

0 3.

3

x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1

x2 + x + 1 3 ( x 2 ) = 3x 4 2

− x6

3 ( x 2 ) ( x ) = 3x 5 2

3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3

3 (x 2 )(x 2 ) = 3x 4

− 3x 5 − 3x 4 − x 3 3x 4 + 6 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1

x3 = x3 3 ( x 2 + x ) = 3x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 2

− 3 x 4 − 6 x 3 − 6 x 2 − 3x − 1

3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 4 + 6 x 3 + 3x 2 2

0

3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 2 + 3x 2

(1)3 = 1 4.

3

8 x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1

2x2 − x − 1 3 (2 x 2 ) = 12 x 4 2

− 8x 6

3 (2 x 2 ) (− x ) = − 12 x 5 2

− 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3

3 (2 x 2 )(− x ) = 6 x 4 2

12 x 5 − 6 x 4 + x 3

(− x)

3

− 12 x 4 + 12 x 3 + 3x 2 − 3x − 1

= − x3

12 x − 12 x − 3x + 3x + 1 4

3

2

3 (2 x 2 − x ) = 12 x 4 − 12 x 3 + 3x 2 2

0

3 (2 x 2 − x ) (− 1) = − 12 x 4 + 12 x 3 − 3x 2 2

3 (2 x 2 − x )(− 1) = 6 x 2 − 3x 2

(− 1)

3

5.

3

1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6

= −1

1 − 3x + 2 x 2 3 (1) = 3

−1

2

3 (1) (− 3x ) = − 9 x

− 9 x + 33x 2 − 63x 3

2

3 (1) (− 3x ) = 27 x 2 2

9 x − 27 x 2 + 27 x 3 6 x 2 − 36 x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6 − 6 x + 36 x − 66 x + 36 x − 8 x 2

3

4

0

5

(− 3x)

3

= − 27 x 3

6

3 (1 − 3x ) = 3 − 18 x + 27 x 2 2

3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 6 x 2 − 36 x 3 + 54 x 4 2

3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 12 x 4 − 36 x 5 2

(2 x 2 )3 = 8 x 6

6.

3

x 6 − 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3 + 66 x 2 − 36x + 8

x 2 − 3x + 2 3 ( x 2 ) = 3x 4 2

− x6

3 ( x 2 ) (− 3 x ) = − 9 x 5 2

− 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3

3 (x 2 ) (− 3x ) = 27 x 4 2

9 x 5 − 27 x 4 + 27 x 3

(− 3x) = − 27 x 3

6 x 4 − 36x 3 + 66x 2 − 36 x + 8

3

− 6 x + 36 x − 66 x + 36x − 8 4

3

2

3 ( x 2 − 3x ) = 3x 4 − 18x 3 + 27 x 2 2

0

3 ( x 2 − 3x ) (2) = 6 x 4 − 36x 3 + 54 x 2 2

3 ( x 2 − 3x ) (2) = 12 x 2 − 36 x 2

( 2) 3 = 8 7.

3

x 9 − 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6 + 48x 5 − 48x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64

x3 − 2 x2 − 4 3 ( x 3 ) = 3x 6 2

− x9

3( x 3 ) (− 2 x 2 ) = − 6 x 8 2

− 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6

3( x) (− 2 x 2 ) = 12 x 7

6 x8 − 12 x 7 + 8x 6

2

3

(− 2 x ) = − 8x 2 3

− 12 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64

6

12 x 6 − 48x 5 + 48 x 4 − 48x 3 + 96x 2 + 64 3( x 3 − 2 x 2 ) = 3x 6 − 12 x 5 + 12 x 4 2

0

3( x 3 − 2 x 2 ) (− 4) = − 12 x 6 + 48x 5 − 48x 4 2

3( x 3 − 2 x 2 )(− 4) = 48x 3 − 96 x 2 (− 4)3 = − 64 2

8.

3

x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8

x4 − x2 − 2 3 ( x 4 ) = 3x 8 2

− x12

3( x 4 ) (− x 2 ) = − 3x10 2

− 3x10 − 3x 8 + 11x 6

3 ( x 4 )(− x 2 ) = 3x 8 2

3x10 − 3x 8 + x 6 − 6 x 8 + 12 x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8

(− x ) = − x 2 3

6

6 x 8 − 12 x 6 − 6 x 4 + 12 x 2 + 8 0

3 ( x 4 − x 2 ) = 3 x 8 − 6 x 6 + 3x 4 2

3 ( x 4 − x 2 ) (− 2) = − 6x 8 + 12 x 6 − 6 x 4 2

3 ( x 4 − x 2 )(− 2) = 12 x 4 − 12 x 2 2

(− 2) = − 8 3

9.

8x 6 − 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3 + 33x 2 − 9 x + 1

3

2 x 2 − 3x + 1 3(2 x 2 ) = 12 x 4 2

− 8x 6

3 (2 x 2 ) (− 3x) = − 36 x 5 2

− 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3

3 (2 x 2 ) (− 3x ) = 54 x 4 2

36 x 5 − 54 x 4 + 27 x 3

(− 3x) = − 27 x 3

12 x 4 − 36 x 3 + 33x 2 − 9 x + 1

3

− 12 x 4 + 36 x 3 − 33x 2 + 9 x − 1 3 (2 x 2 − 3x ) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2 2

0

3(2 x 2 − 3x) (1) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2 2

3(2 x 2 − 3x) (1) = 6 x 2 − 9 x 2

(1) 3 = 1 10.

3

27a 6 − 135a 5 + 117a 4 + 235a 3 − 156a 2 − 240a − 64

3a 2 − 5a − 4 3(3a 2 ) = 27a 4 2

− 27a 6

3(3a 2 ) (− 5a ) = − 135a 5 2

− 135a 5 + 117a 4 + 235a 3

3(3a 2 ) (− 5a ) = 225a 4 2

135a 5 − 225a 4 + 125a 3

(− 5a)

3

− 108a 4 + 360a 3 − 156a 2 − 240a − 64

= − 125a 3

108a 4 − 360a 3 + 156a 2 + 240a + 64 0

3 (3a 2 − 5a ) = 27a 4 − 90a 3 + 75a 2 2

3(3a 2 − 5a ) (− 4) = − 108a 4 + 360a 3 − 300a 2 2

3(3a 2 − 5a ) (− 4) = 144a 2 − 240a 2

(− 4) = − 64 3

11.

3

a 6 − 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3 + 15a 2b 4 − 6ab5 + b 6

a 2 − 2ab + b 2 3(a 2 ) = 3a 4 2

− a6

3 (a 2 ) (− 2ab) = − 6a 5b 2

− 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3

3 (a 2 )(− 2ab) = 12a 4b 2 2

6a 5b − 12a 4b2 + 8a 3b 3 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 15a 2b4 − 6ab5 + b6

(− 2ab) = − 8a b 3

3 3

− 3a 4b2 + 12a 3b3 − 15a 2b 4 + 6ab5 − b6 0

3(a 2 − 2ab) = 3a 4 − 12a 3b + 12a 2b2 2

2 3 (a 2 − 2ab) (b) = 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 12a 2b 4 2

3 (a 2 − 2ab) (b 2 ) = 3a 2b 4 − 6ab5 2

(b2 )3 = b6

12.

3

x 6 − 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3 + 210 x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6

x 2 − 3xy + 5y 2 3 ( x 2 ) = 3x 4 2

− x6

3(x 2 ) (− 3xy) = − 9 x 5 y 2

− 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3

3( x 2 ) (− 3xy) = 27 x 4 y 2 2

9 x 5 y − 27 x 4 y 2 + 27 x 3 y 3

(− 3xy) = − 27 x y 3

15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 210x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6

3

3

− 15x 4 y 2 + 80 x 3 y 3 − 210x 2 y 4 + 225xy 5 − 125 y 6 3( x 2 − 3xy) = 3x 4 − 18 x 3 y + 27 x 2 y 2 2

0

3 ( x 2 − 3xy ) (5y 2 ) = 15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 135x 2 y 4 2

3 ( x 2 − 3xy ) (5 y 2 ) = 75x 2 y 4 − 225xy 5 2

(5y ) = 125y 2 3

13.

3

a12 − 3a10 + 15a 8 − 25a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64

6

a4 − a2 + 4 3 (a 4 ) = 3a 8 2

− a 12

3(a 4 ) (− a 2 ) = − 3a 10 2

− 3a 10 + 15a 8 − 25a 6

3 (a 4 ) (− a 2 ) = 3a 8 2

3a10 − 3a 8 + a 6

(− a ) = − a 2 3

12a 8 − 24a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64

6

− 12a 8 + 24a 6 − 60a 4 + 48a 2 − 64 3(a 4 − a 2 ) = 3a 8 − 6a 6 + 3a 4 2

0

3 (a 4 − a 2 ) (4) = 12a 8 − 24a 6 + 12a 4 2

3 (a 4 − a 2 ) (4) = 48a 4 − 48a 2 2

(4) 3 = 64

14.

3

a 9 − 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8x 9

a 3 − 3a 2 x + 2 x 3 3(a 3 ) = 3a 6 2

− a9

3(a 3 ) (− 3a 2 x ) = − 9a 8 x 2

− 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3

3(a 3 )(− 3a 2 x ) = 27a 7 x 2 2

9a 8 x − 27a 7 x 2 + 27a 6 x 3 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8 x 9 − 6a x + 36a x − 54a x − 12a x + 36a x − 8 x 6 3

5 4

4 5

3 6

0

2 7

(− 3a x) = − 27a x 2

3

6 3

9

3 (a 3 − 3a 2 x) = 3a 6 − 18a 5 x + 27a 4 x 2 2

3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 2

3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 2

(2 x 3 )3 = 8 x 9

15.

3

a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1

a3 − a2 + a − 1 3 (a 3 ) = 3a 6 2

− a9

3(a 3 ) (− a 2 ) = − 3a 8 2

− 3a 8 + 6a 7 − 10a 6

3 (a 3 ) (− a 2 ) = 3a 7 2

3a 8 − 3a 7 + a 6

(− a ) = − a 2 3

3a 7 − 9a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3

6

− 3a 7 + 6a 6 − 6a 5 + 3a 4 − a 3 3 (a 3 − a 2 ) = 3a 6 − 6a 5 + 3a 4 2

− 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 9a 3 − 6a 2 + 3a − 1

3 (a 3 − a 2 ) (a ) = 3a 7 − 6a 6 + 3a 5 2

3a 6 − 6a 5 + 9a 4 − 9a 3 + 6a 2 − 3a + 1

3 (a 3 − a 2 ) (a 2 ) = 3a 5 − 3a 4

0

(a 3 ) = a 3

3(a 3 − a 2 + a ) = 3a 6 + 3a 4 + 3a 2 − 6a 5 + 6a 4 − 6a 3 2

3(a 3 − a 2 + a ) (− 1) = − 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 6a 3 − 3a 2 2

3(a 3 − a 2 + a )(− 1) = 3a 3 − 3a 2 + 3a 2

(− 1)

3

16.

3

x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27

= −1

x 3 − 4 x2 + 2 x − 3 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) = − 12 x 8

3 ( x 3 ) = 3x 6 2

− x9

3(x 3 )(− 4 x 2 ) = 48x 7 2

− 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 12 x − 48x + 64 x 8

7

2

(− 4 x ) = − 64 x 2 3

6

6

3 (x 3 − 4 x 2 ) = 3x 6 − 24 x 5 + 48 x 4 2

6 x 7 − 57 x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3

3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 6 x 7 − 48x 6 + 96 x 5 2

− 6x 7 + 48 x 6 − 108 x 5 + 48 x 4 − 8x 3 − 9 x 6 + 72 x 5 − 180 x 4 + 171x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27

3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 12 x 5 − 48x 4

9 x 6 − 72 x 5 + 180 x 4 − 171x 3 + 144 x 2 − 54 x + 27

2

(2 x ) = 8 x 3 3

0 3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) = 3x 6 + 48 x 4 + 12 x 2 − 24 x 5 + 12 x 4 − 48 x 3 2

3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) (− 3) = − 9 x 6 − 144 x 4 − 36 x 2 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3 2

3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x )(− 3) = 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x 2

(− 3) = − 27 3

EJERCICIO 217 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 − + − + − 4x + 8 8 4 3 27 3

3

1.

−

x2 x − +2 2 3 2

 x 2  3x 4 3  = 4  2

x6 8 −

2

x 5 5x 4 55x 3 + − 4 3 27

 x2   x  x5 3   −  = − 4  2   3

x5 x 4 x3 − + 4 6 27

 x2   x  2 x4 3   −  = 6  2   3 3

x3  x −  = −  3 27

3x 4 20x 2 − 2x3 + − 4x + 8 2 3 −

3x 4 20 x 2 + 2x3 − + 4x − 8 2 3 2

 x 2 x  3x 4 x2 − x3 + 3 −  = 4 3  2 3

0

2

 x2 x  3x 4 2x2 − 2x3 + 3  −  ( 2) = 2 3  2 3  x2 x  2 3  −  ( 2) = 6 x 2 − 4 x  2 3

( 2) 3 = 8

2.

3

a9 +

3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 − − + + − 2 4 8 12 6 27

a3 +

a2 a − 2 3

3(a 3 ) = 3a 6 2

− a9

2 3a 8 2a  3(a 3 )   =  2 2

3a 8 a 7 7a 6 − − 2 4 8

2

 a 2  3a 7 3(a )   = 4  2 3

−

3

 a2  a6   =  2 8

3a 8 3a 7 a 6 − − 2 4 8 − a7 − a6 +

a5 a 4 a 3 + − 12 6 27

2

 a2  3a 4 3  a 3 +  = 3a 6 + 3a 5 + 4 2  2

 a2   a a5 3 a 3 +   −  = − a 7 − a 6 −   2 3 4  a5 a 4 a 3 a + a − − + 12 6 27 7

6

2  a 2   a  a5 a 4 3 a 3 +   −  = +   2 3 3 6  3

0

a3  a −  = −  3 27

x3 9x2 60 36 8 − + 15x − 45 + − 2 + 3 x x x 8 4

3

3.

x 2 − 3+ x 2 2

2  x  3x 3  =  2 4

−

 x 3   2

x3 8 −

2

(− 3) = − 94x

2

2 27 x  x 3   (− 3) =  2 2

9x2 + 15x − 45 4

(− 3)

3

= − 27

2  x  3x − 9 x + 27 3  − 3 = 2  4 2

2

9 x 27 x − + 27 4 2 3x 60 36 8 − 18 + − 2 + 3 x x x 2

54  x   2  3x 3  − 3   = − 18 +  2   x 2 x 2

6 36  x   2 3  − 3   = − 2  2   x x x 2

−

3x 60 36 8 + 18 − + 2 − 3 x x x 2 0

a 3 3a 2 15a 5 15b 3b2 b3 − + − + − + 8b 3 4b 2 8b 2 8a 4a 2 8a 3

3

4.

−

8  2   = 3  x x 3

a b − 1+ 2b 2a 2

2  a  3a 3  = 2  2b  4b

a3 8b 3 −

 a 3   2b 

3a 2 15a 5 + − 4b 2 8b 2

2

(− 1) = − 34ab

2 2

3a 2  a 3   (− 1) =  2b  2b 3a 2 3a − +1 4b2 2b

(− 1)

3

= −1

3a 3 15b 3b 2 b3 − + − + 8b 2 8a 4a 2 8a 3 2

2  a  3a 3a 3 − 1  = 2 − + 3  2b  4b b

−

3a 3 15b 3b2 b 3 + − + − 8b 2 8a 4a 2 8a 3

2

 a   b  3a 3 3b 3 − 1    = − +  2b   2a  8b 2 2a 2

0

2  a   b  3b 3b 3 − 1    = − 2  2b   2a  8a 4a 3

b3  b   = 3  2a  8a

8a 3 2a 2 a 13 x x2 x3 + − − 2− 3 − 2 + 27 x 3x 18 x 24 36a 6a 27a 3

3

5.

2a 1 x − − 3x 2 3a 2  2 a  4a 3  = 2  3 x  3x 2

−

2a 2  2a   1  3   −  = − 2  3x   2  3x 2

8a 3 27 x 3 −

2

a  2a   1  3   −  =  3x   2  2 x

2a 2 a 13 + + 3x 2 18 x 24

3

1  1 −  = −  2 8 a 2a 2 1 − + 3x 2 2 x 8 −

x2 x3 4a 2 x + − − 2− 9 x 3 36a 6a 27a 3

2

2  2a 1  4a 2a 3 + 3 −  = 2 −  3 x 2  3x x 4 2

4a 2 x  2a 1   x  + − 3 −   −  = −  3x 2   3a  9 x 3 4a x x2 x3 4a 2 − + + 2+ 9 x 3 36a 6a 27a 3 0

8a 3 4a 2 3a 27b 27b2 27b3 + 4+ + + 3 + 2 + 27b 3b b 8a 16a 2 64a 3

3

6.

−

2

2  2a 1   x  2 x x − 2 3 −   −  =  3x 2   3a  9a 6a

3

x3  x −  = −  3a  27a 3

2a 3b + 1+ 3b 4a 2

2  2 a  4a 3  = 2  3b  3b

8a 3 27b 3

−

2

4a 2 3a + +4 3b2 b

4a 2  2a  3   (1) = 2  3b  3b

4 a 2 2a − −1 3b2 b

 2 a  2 2a 3   (1) =  3b  b

a 27b 27b2 27b3 + 3+ + + b 8a 16a 2 64a 3 a 27b 27b2 27b3 − − 3− − − b 8a 16a 2 64a 3

(1) 3 = 1 2

2  2a  4a 4a +3 3  + 1 = 2 +  3b  b 3b 2

0

9b  2a   3b  a 3  + 1   = + 3 +  3b   4a  b 4a 2

9b 27b 2  2a   3b  3 + 1   = +  3b   4a  8a 16a 2 3

27b 3  3b    =  4a  64a 3

EJERCICIO 218 1

2

1. x 3 =

3

4

2

8. 3x 7 y 5 z 7 = 3 7 x 2

x

3 5

1

2. m = 5 m3

5

4 5

5. a b =

= a

= bc abc

4

b

4

6.

= 8mn

= x x =x x

5

y

4

5

5

y

5 6

11. 4a b c = 4a

z

y

4

4

n

7. 2a b = 2 a 5

= 4a

z

23

23

b

7

2 5

3 5

7 6

4

5

6

y 6 = 3x 2 y 5

5

c

b

6

21. 5a

b

13.

a4

14.

b

a5 = a

24.

x7 = x 3

8

n

m 3

bn = 3a 2 b 3 1

m

9

n8 = 3m 6 n 5

5

23. 3 am

7 3

7

22. 3 6 m7

5 2

3

x 2 y 3z9 = 5ax 5 y 5 z 5

5

c5

4 5

5

5

2

b b b 6 c5 3

3

20. 2 4 ab 3c 5 = 2a 4 b 4 c 4

5

3 3

= 4a 2 b 2

z

= 2 5 a 4 b2 b2 b = 2b 2

b5 = a 2 b 3

3

19. 3 x 7

2

12. 5m n x = 5 5 m2n3 x 4

5 2

a3

1

7 3

2

= x3

2 3

5

3

18.

= 8m 3 n3n3n2

b

2

4 5

m = m3 5

10. 8mn = 8m 3 n8

3

b 2b

= b 5 a4 3 1 1 x2y4z5

1 3

17. 2 4 x 5 = 2x 4

3

8 3

a

5

x = x2

= 4 ab 4bc 4 c 3

=x y 5

1

15. 16.

4

3 2

z2

7

3

4.

7

9. a 4 b 4 c 4 = 4 ab 5 c 7

3. 4a 4 = 4 4 a 3 1 xy 2

y4

5

n

a

3

x

r

b3 c x = a m b n c r

EJERCICIO 219 −

3.

a − 4b

1 − 2

a 4b 1 − −2 3

4.

3x y

=

1 2

3

=

1

1 a

=

x2y 3 −

5.

1

=

1

4

x2

−

3 5

=

−

1 2 5

14.

5a

1 − 3

b

3 − 4

4a

7a b c

−

−

2 3

=

=

3 5

c− 1 =

1

1 2

−4 2

4x 2 y

17.

2a b 2a c 2a c = = 3 a − 4 c − 1 a 2b 3 b

y

m n

4x 2 y

c2

2

4b

15. 5 1 3

3

a b4c

1 a 3a 2 x 2 x 2

y

=

7

3a 2 x 4

3

4

9 2

2 3

4a a c 7b2 4a c 7b 2

1 2 x3

b 2 c2 4x 3 3

1

1 2

−

=

1 7

18.

2 3

2m − 5n− 7 2 = a 2m3n− 4 a 2m3m5n− 4n7 2 = 2 8 3 amn

−

3

−

2

3a 4 b 5 c4

3m− 4n 2 3m3n 2 n4 3n 2 13. = = 8m− 3n− 4 8m4 8m

a2c 6. a b c = b

8.

3

y

1 4

x − 1y − 2z − 3 a 2b5 c 8 12. − 2 − 5 − 8 = a b c xy 2 z3

3

2 −1

7.

11. b

1

m 2 n− 5 =

−2 −3

1

a 2 x− 2 16. 3a 3 x 2 y − 1 =

1 x2 = 9. −2 2x 2 3 5 10. x − 1y − 5 = 3xy

a2 2 −3 1. a b = 3 b 3 −5 2. 3x = 5 x

1

3a 2mn

19.

−

2

a 4b 5 = 3c 4

1 3 − 2 4

3

= 3a 2a 3mm 2 nn 4

a − 3m n

3

7

= 3a 5m 2 n 4 −

2

x 3y 20.

2

x yz

−

1 4

−

1 2

= 2

1

1

z2

z2

2 3

x x yy

1 4

=

8

5

x3y4

EJERCICIO 220 9.

2

1. 2.

a 1 = b 2 a − 2b 2 3x − 1 3 = 2 y2 xy

10.

4mn2 4 = −1 − 2 3 3. x3 m n x 4.

5.

11.

a − 1b − 3 1 = 3 3ab 3 2 − 3

3c 7

7c

2 3

5x

1 4

2

y

3a 5

1 x 2 y− 2

17. 1

b 3c − 2 =

2 3

2

a c b

3x − 1y y3

−

1 2

3

=

xy 3 y

1 2

7x − 5 y

−

18.

xy

3 4

1 − 3

= a 4b 3 1

3

=

a − 4b

3a 5 x 5 y 4 = 7 1

1 −3

2m2

7 2

19.

3m− 3n a3

2 1 − 2 2

9m n

−

1 4

=

m 1 = 7. 5 5m3

1

= a3x − 2y 2

20.

1 − x2y 2

3a 2b3 = 3a 2ab 3 x − 1 = 3a 3b3 x − 1 a − 1x

21.

14.

3a = 3ab − 2 b2

3xy 2z3 2 2 3 3 2 4 6 22. − 1 − 2 − 3 = 3xxy y z z = 3x y z x y z

16.

x

−

1 2

−

1

− m− 2n− 1x 2 − 2 4 −1 5 2 23. − 4 − 5 − 2 = m m n n x 2 x m n x

1

4

3a − 2b3 3 = 2 4 −3 c4 a c b

1

2m2m3n 4 2m5n 4 = 3 3

2 = 2a − 1 a

x 2y 2 2 2 3 15. − 2 = x yy = x y y

−3

8.

2 − 3

3

1

=

13.

2 −

a

1 2 y2

1

1

2x 4 = 6. 5y 2

−

2m− 2n 2 = 12. 9

3

=

x

= 4x 2 y − 2 y

1

3

= m2n4 x 2

2

EJERCICIO 221

1.

x

−

1 2

1

=

1 2.

a

−

1 2

b

5

3.

5a 7 b

=

1 2

x

=

2 3

1

a 3

1 2

b

1 3

=

3x 4.

5.

x

=

1 2

−

x

2 − 5

−

1 2

3 4

2m n =

6.

4x

1 3

=

y

−

1

3

=

4

3

2 n 2 5

=

a = 4a 2

=

1 2

x

a a4x

4a 3 5

4 7

−

3 2

=

1 2

=

2

4 a a a

a b

2

2

−

4 3

1

=

3

 a 14.   b

4a a 1 = = 5

x

=3

4 3

−

3 2

−

3 2

4a

2 n

10. x

2 − 3

y z

−

y3 2

=

4

3

x 3z7 11.

3

5

=

2

1

x − 2m − 3n

−

2 5

1

= 2

3

xmn

4 x

2 3

2 3

= x y = x 5

3

5

3 3

y

=

1 x3 x

3

b2

=

1 2

1 x3x

3

a2 b 2b

=

a

a 2a

=

b b a a

1

3

m

x 3

1

2

=x

4

a 2a 4 x

1 2

3

4

5

9.

b

x2

x

2

−2

2 5

5

y3

x2

7

=

1 1 1  − 21  3 − 6 15.  x  = x = 1 = 6 x x6

z4 1

2

xm

1 1 1  − 21  = 12.  a  = 3 = 3 a a a a2

3 5

n

2

16.

a− 3 = a

−

3 2

=

1 3

a2

3

3 x5

7.

=

3

3

a2

2

5 7 a5

=

1 3

m 1

b

 23  13.  x 

3

= =

a 3

5 7 a5

3

3 2

1

−

−

−

x4

=

2

b −1

8.

x

3a

2

17.

2 x − 3 y − 4 = 2x

−

3 2

y

−

4 2

=

2 3 2

x y2

18.

2

2

a3

a3

=

x− 5 3

x 2

3 m 19.

20. a

3 5 4

−

=a

5 2

3m

=

5 4 n− 3

−

5

5n

b− 3 =

2 3

b

−

1 22.

23.

−

2 3

24.

a

−

3 5

=

3y 2 x

−1 3

n

=

2 3

−3

3 b4

7

7 2

b

−

6 2

= a 2 b3

33.  8   27 

−

1 3

=

8

2 3

x −

1 2

=m n

−

3 3

1

=

 25   36 

−

34. 

1 2

3

 32   35.   243

−

1 5

=

 27 

36.  − 64 

5 92

9

=

2 3

(

29. − 27

)

= 3

1

)

2 5

2

− 27

3

5

 16    81

− 32

38. 

= − 2⋅− 2 = 4 −

3 2

=

1 49 3

= =

1 49 2

−

5 4

=

49

2

1 1 = 49 ⋅ 7 343

4 4

16 2 = 81 3

3

(− 27) 64 − 27

3 3

64 − 27

5

43. 9 2 ⋅ 27

−

1 3

=

814 4 81 4 4

16 16 81⋅ 3 243 = = = 7 19 32 16 ⋅ 2 32

=

=

44. 243

5

3

8 42

4

= 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 32

2

16 4 4

=

1 4

42. 8 3 ⋅ 4 2 = 3 8

642

81

=

16 4 81

5 4

4

1 4

2 3

1 3 37. − 3 = 9 = 729 9

2

−

1

=

3

3

)

 81 =   16

4⋅4 16 = = = 1 79 − 3⋅ − 3 9

= 5 (− 32) = 5 − 32

31. 49

=

= 3 (− 27)

= − 3⋅ − 3 = 9

(

64

41. (5

1 1 −4 16

2 3

− 27

5

= 3 − 27 30. − 32

1

=

1 = = = 2 2 243 9 9 9 81 9 2 3

9

252 25 9 ⋅ 3 27 = = 25⋅ 5 125

2435

3

1

92

=

1

1

=

3

252

1 2

1 4

1

92

=

1 2

32 5 5 243 3 1 = 5 = =12 32 2 −

3 2

3

25 36 6 1 = = =15 25 5

1 2

= 81 4 81 = 9 ⋅ 3 = 27 5 2

)

27 3 1 = =12 8 2

36

=

−

 25 =   9

3 7 −2 9

40. (2

1 3

3

27. 81 = 81 81

−

243 5 243 − 32 5 − 32

3⋅ 3 9 = = 2 41 − 2⋅ − 2 4

=

27 3

=

2

28. 9

5

=5

1

3y 2

26. 8 3 = 3 82 = 3 64 = 4 1 2

2

− 32 5

3

=x2

2 = (16) (16) = 16 16 = 64

3 4

2435

=

16 4 = 81 9 16 ⋅ 2 32 = = 81⋅ 3 243

(16) 3

25. 16 =

2

2 5

92 92 9

m n 3 2

−

 32  39.  − 243

42 42 4

=

1 a

1 2

3 4

4

y− 4 m

3m n 5

1

=

a− 7 b− 6 3x

−

2 3

=

3 5

a 21. x 2 x − 1 = x2 x

3 4

45  4 2 32.   =  9 95

5 x2

=

3 4

−

2 3

7 5

−

1 5

95 3

27

92

92 3

9

= 81

3

⋅128 7

128 3 243

= =

7

128 7 128 7 128 3

2⋅2⋅2 8 = = 2 23 3 3

EJERCICIO 222 1

1

1

6. a 2 x 3 + a

1. a − 2 + a − 1b 2 + x 0 para a = 3 b = 4

−

1 2

x

−

1 3

1

+

−

a x

1

= 3− 2 + 3− 1 ⋅ 4 2 + x0

1

1

−

1

−

1 2

1

+ x2 y −3 + x0 y 3 1 2

para x = 4 y = 1

3 3 3 + 34 37 = + 16 + 1 = + 17 = = = 18 12 2 2 2 4

7.

1 3 a −4 − 2 4 para a = 4 b = 16 −1 + a b b 1 3 4−4 − −3 = 2 (4) ⋅ 16 + −1 + 4 2 ⋅ 16 4 16 2 16 4 = 3 ⋅ 16 + 4 + 4 4 4 (16) 2 ⋅ 16

− 3. 2a b + 3

3 4

4.

1 − 2

2 16

x +x y y −2

1 − 3

1 2 4

= 16

− x0 y0 +

x y

4 3

para x = 16 y = 8

−3

3

8+

3 4

3− 2 −1 −3 + 3( 3) ⋅ 162 ( 2) − 16−1

1 2

1

+ 16 4 + 1

16 ⋅ 2 −1

16 3 256 2 + ⋅ − + 4 16 + 1 32 3 2 3 32 16

16 1 + 32 − + 2 + 1 9 18 16 1 32 + 630 − 1 661 = + 35 − = = = 36 13 18 9 18 18 18 =

8.

2 1 x0 x −2 3 5 + y0 0 + x − y + y −1 3y

para x = 8 y = 32

2 1 1 8− 2 + 8 3 − 32 5 + −1 + 1 3(1) 32

9. a

−

1 3

1

−

b

1 8

x y 0 −2 para x = 81 5. −1 + 0 + 2 x + x y x y

3− 2

1 32 2 = + 3 (2 3 ) − 5 32 + 2 + 1 3 8 1 2 1 1 1 2 + 18 + 3 23 = + 2 − 2 + + 1= + 3 + = = = 3 56 3 2 3 2 6 6

1 16 1 − 1 + 3 = 512 + − 1 + 1 4⋅ 2 8 8 8 = 512

0

=

=

1 1 16 16 − − 2 ⋅ 8 3 − 160 ⋅ 80 + 4 − 2 + 16 8 83 1 16 = 4 162 4 16 ⋅ 82 + − 1+ 3 16 3 8 (83 )8

= 4 ⋅ 2 ⋅ 64 +

+ 3 (1)

1 4

1 a −2 a −2 −1 2 − 3 − 1 + b 4 + c0 −1 + 3a b c b b 2 c −1 para b = 16 c = 2 a = 3

=

1 1 1 8 + 1 + 4 13 + + = = 2 16 4 16 16

3 4

=

1 −

1

−3

1 1 + + 2 16

1

1 + 4 16 ⋅ 8 + 3 16 3 8 1 1 = 8+ + 16 + 3 = 27 + = 27 18 4⋅2 8 = 16

= 3 ( 4) + 4 2 (1) + 1 (1) 3

=

para a = 16 x = 8

16 ⋅ 8−1

1 1 4 + +1 32 3 1 2 1+ 6 + 9 16 = + + 1= = = 1 79 9 3 9 9 −

+ 3x 0 −1

= 16 2 ⋅ 8 3 + 16 2 ⋅ 8 3 +

=

2. 3x

1 4

= 27 y=3

3 1 3− 3 = −1 + + 2 (1) + 814 ⋅ 3− 2 81 1 4 1 812 4 81 = 81 + 3 + 2 + 3 32 1 9⋅3 1 1 = 83 + + = 83 + + 3 = 86 + = 86 271 27 9 27 27

−

1 3

4 − 5

−

+ a 0b −

2

3

1

a b5 −

a 1 4 − 5

+ (1) 243 −

−

2 3

para a = 27 b = 243 2

3

27 ⋅ 2435 −

243 =

3

1 5 5 4 2 − (3 ) + 243 − 3 5 (35 ) − 27

1 2 = − 34 + 243 − 3 ( 3) − 32 3 1 1 = + 162 − 27 − 9 = + 126 = 126 13 3 3

1 27

3

(33 )2

−

2 3

EJERCICIO 223 2

3

2

3

7. 3m 5 m− 5 = 3m 5 − 5 = 3m− 5

2. a − 2a − 3 = a − 2 − 3 = a − 5

8. 2a 4 a − 2 = 2a 4 − 2 = 2a 4

3. x 3 x − 3 = x3 − 3 = x0 = 1

9. x − 2 x − 3 = x − 2 − 3 = x − 3

1 2

1 +1 2

4. a a = a 1

1

1

3

1

3

1

1

3

1

3 2

=a

1

3

1

1

1

2

1

1

7

4

1

5

1

1

1

3

2

1

1

1

1

1

3

2

1

1

4

1

2

1

2

3

3

17. m− 3 n 3 m− 3 n 3 = m− 3 − 3 n 3 + 3 = m− 3 n 3 = m− 1n

12. a − 1b − 2 ab 2

4

1

16. a − 2 b 4 a 2 b 4 = a − 2 + 2 b 4 + 4 = a 0b 4 = b

11. 4a − 2a − 2 = 4a − 2 − 2 = 4a − 2

6. a 4 a 4 = a 4 + 4 = a 4 = a

1

15. a 3b − 1a − 2b − 2 = a 3 − 2b − 1− 2 = ab − 3

2

1

3

1

14. 3a 2b 2 2a − 2b − 2 = 3 ⋅ 2a 2 − 2b 2 − 2 = 6a 0b0 = 6

10. 3n2n− 3 = 3n2 − 3 = 3n 3

5. x 2 x 4 = x 2 + 4 = x 4

1

13. x − 3 y 2 x − 2 y − 2 = x − 3 − 2 y 2 − 2 = x − 5 y 0 = x − 5

1

1. x 2 x − 3 = x 2 + b− 3g= x − 1

3

3

5

5

18. 2a − 1b 4 ab − 2 = 2a − 1+ 1b 4 − 2 = 2a 0b − 4 = 2b − 4

= a − 1+ 1b − 2 + 2 = a 0b 0 = 1

EJERCICIO 224 2

2. x − 1+ x 2

1. a − 4 + 3a − 2 + 2

a a

−4

−a

−8

−2

+ 3a

−6

a a

+ 2a

3

−4

−6

+ 3a

−2

+a

1

−

3

5.

2a − a + 2a 1

1

2 3

3a − 5

1

− 2 −1

−a b

− 2 −1

a b b

−

4 3

6.

4

2

x3

− 2x 3

3

1

2 3

−

2 3

x2 − 2 5

−

2 3

+ 2a + 8a

−

4 3

−

4 3

+x 3

+ 10a

1 4

−

1 2

1

x 4 + 2x 4 − x 4 3

4 − 3

+1

−

x 4 + 2x 4 − x 1

−

1

− 8a

− 8a − 2

1

− 2 x 4 − 4 x 4 + 2x

−2

−

1 4

−

1 4

−

1 4

1

x 4 + 2x 5

1

− 4x 4 + 4x

−x −x

x − 3y − 2 − x − 5y − 4 + x − 7y − 6

b − 3 + a − 1b − 2 + a − 2b − 1

−3

2

8. x − 1y − 1 + x − 3 y − 3 + x − 5 y − 5

− a − 3b − 1 + a − 4

−a b

2 3

1

x 3 + 2x 3 + 1

x4

7. a 2b − 1 + a + b

−1 − 2

− 4a

− 4a

1

2a + a 4 − a 2 + 3a 4 − 2

a b

2 3

+ 1 − 2a

1 4

− 2a 2 + a 4 − 2

−2 −2

−

3a − 6 + 6a

1 2

−

− 2 + 2a

2 3

1

3

2 a3

3+a

1 4

2a − a 4 + 2a 2 3 4

2

x 4 + x 2 − 2 + 3x − 2 − x − 4

+2

1

1

2

− 2x − 4 x 3 − 2x 3

−1 + x− 2 − x− 4

+2

−2

1 3

−

x 3 + 2x + x 3

2x 2 − 2 + 2x − 2

4. 2a 4 − a 2 + 2a 4

a4 + 1 −a

4

x4 − x 2 + 1

+ 2a − 4

− a − 6 − 3a − 4 − 2a − 2 −8

1

x3 − 2 + x

x2 + 2 − x − 2

+1

1

3. x + 2x 3 + x 3

−2

− 2 −1

+a b

x − 4y − 3 + x − 6y − 5 + x − 8 y − 7 −a +a

−3

−3

− x − 6 y − 5 − x − 8 y − 7 − x − 10 y − 9 −4

+a b −4

+a b

+ x − 8 y − 7 + x − 10 y − 9 + x − 12 y − 11 x − 4y − 3

+ x − 8y − 7

+ x − 12 y − 11

−

3 4

−

3 4

1

3

−

9. a 4 b − 3 + a 4 b − 2 − a 1 2

−1

a b − 2 + 3a 5 4

1 2

−

1 4

14. 2x − 3 + x − 1 + 4x − 2

b−1

x − 1 − 2x − 2 + x − 3

b

2 − 3x − 1 + x − 2 + 4 x − 3

3 4

1 4

− 4x − 1 + 6x − 2 − 2x − 3 − 8x − 4

a b− 4 + a b − 3 − a b − 2 3

1

− 2a 4 b − 3 − 2a 4 b − 2 + 2a 1 a 4 b− 2

3 5 a 4 b− 4

3 − a 4 b− 3

1 4 b−1 −

+5

10. a − 1 + 2

a− 2 + 2

1

3

−

1

−

1

+ 2b − 2

3

+ 2b − 2

1

2

−2+a5 −a

3

3

3

4x + 3x 2 y 1 3

3

1 2

2 3

1

2 3

7 3

1 3

2 3

− x y2

2 − 2m

x + 3a x + 2a x x − 2a x 2 + a x − 3ax

1 a5

−

1 3

−

1 5

−

1 5

+a − 2a

+a

−

−

+a+a

3 5

3 5

−

2 3 1

2 5 3

4 3

2 3

5 3

4 3

4 3

2

4

2m + 4m 3

4

5

2 3

2

13. 5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1

1

18. x

3 3 4y2

+ 3x

−

5 1 4y2

− 3x

15a 3 − 9a 2 + 12a − 6

x − 2 y 2 + 3x −1

−

1 1 1 4y−x4y2

−

3 4

−

−x

3 3 2y2

3 3 − − 3x 2 y 2

− 25a + 15 − 20a − 1 + 10a − 2 − 19a + 17 − 24a + 10a

+ 2 + 4m

−

x

−1

−

1 3

−

1 3

+ 2m 3 + 6 + 4m

3a + 2 − 5a − 1 10a − 6a + 8 − 4a

1

− 2m 3 − 6m 3 − 4

4 3

− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3

15a + a

2 5

+ 2m

5 3

+ 2a x 2 − 4a x + 2ax − 6a x

2

5

− m− 1n 2

1

2 3

7

5

2m + 6m 3 + 4m 3

4 3

+ 3a x − 6ax + 3a x − 9a x

2

1

1 5

2

5 3

x3

−

−

2

1 3

1 3

−

17. m + 3m 3 + 2m 3

1 3

2 3

1

1

12. x − 2a x + a x − 3a 4 3

3

− 6a 5

1 2

2 3

−

1

−

4x 2 y 2 − x 2 y + xy 2 − x 2 y 2 5 2

1

+ 2a 5 − a 5

4x 2 − x 2 y 2 + x 2 y − xy 2 3

3

1

3 3

1

− 2a 5 − 4a 5 + 2a

1

1

3

+ m2n − n2

16. a 5 + 2a 5 − a

x2 + y2

3

1

3

m2

+ a − 1b − 1 1

1

3

+ m 2 n − n 2 + m 2 n2 − m− 1n 2

11. 4x 2 − x 2 y 2 + xy − x 2 y 2

5

1

1

1

− 2a − 1b − 1 − 2

1

3

+ mn 2 − m 2 n + n 2 − m 2 n2 1 3 − − a 2b 2

3 1 − 2b 2

1

m2 + n2 + m 2n 3

+ a − 1b − 1 + 2

1

1

m 2 − mn 2 + m 2 n − n 2

1 3 − − a 2b 2

3

1

15. m − m 2 n 2 + n − m 2 n 2

3 − a 4

+ 2a − 1b − 1

3 1 − − a 2b 2

−

2 − 7 x − 1 + 9x − 2 − x − 3 − 7 x − 4 + 4x − 5

3 4

+ b− 1

3 1 − − a 2b 2

a− 2 + a

3a

−

+ 2b − 1

1 1 − − a 2b 2

−

−

+ 2x − 2 − 3x − 3 + x − 4 + 4 x − 5

1 4 b−1

1 − a 4 b−1 −

1 1 − − a 2b 2

a− 1 −

+ 3a

−

−

1 1 − 4y 2

− x − 1y − 9x − 1y + 3 x

−

1 1 2y2

−

1 1 2y2

− x − 1y − 3x

−2

x

−2 2

y

−1

− 11x y

+1 +1

2 −1

3 −3

19. x y + 5x y −3 3

20. a

4 −5

+ 2x y

−

2 1 3b 2 2

−2

3a 3 b

x − 1y 2 + 5 + 2xy − 2

3 + 6a

− 1− 5xy − 2 − 2x 2 y − 4

+ a

+ 3xy − 2 + 15x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6 x − 1y 2 + 4

1 2

−

x y − x y + 3x − 1y − 1

+ 2a

−

2 3

−

2 3

−

4 3 3 b − a − 2b 2

+ 1+ a

−

2 3

1

b 2 − 3a 1 b2

a 3 + 7a

2 3

−

−

4 3

−

4 3

+ 2a

+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6

1

b2

−

b 3

b − a − 2b 2

4 3b +

1

3

3

+ a − 2b 2 − a

b2

−

8 3 b2

−

8 3

2a − 2b 2 − a

b2

EJERCICIO 225 1. a 2 ÷ a − 2 = a 2 − b− 2 g= a 2 + 2 = a 4 2. x

−3

÷x =x 2

1 2

3. m ÷ m

1 − 4

−3−2

=m

=x

1  1 − −  2  4

1 1 + 4

= m2

 7

7

7

5

12. a − 3 ÷ a − 4 = a − 3 −  − 4  = a − 3+ 4 = a − 4

−5

13. x − 2 y − 1 ÷ x − 3 y − 2 = x − 2 + 3 y − 1+ 2 = xy

3

= m4

1

1

1

1

2

1

4. a 2 ÷ a 5 = a 2 − 5 = a − 3

14. a 2 b 3 ÷ ab = a 2 − 1b 3 − 1 = a − 2 b − 3

5. x − 3 ÷ x − 7 = x − 3 − b− 7g= x − 3 + 7 = x 4

15. a 2b − 3 ÷ a − 1b = a 2 + 1b − 3 − 1 = a 3b − 4

1 2

6. a ÷ a = a 2

1 −1 2

1

=a

7. x − 3 ÷ x − 3 = x 2 5

8. a ÷ a 9. m

−

3 4

1 − 5

=a

1 2

2  1 − −  5  5

÷m =m

10. a ÷ a = a 2

11. 4 x 5 ÷ 2 x

3 1 − 4 2

1 −1 3 =

−

1 5

a

−

1

1

2

1

1

1

16. x − 2 y − 3 ÷ x − 2 y − 1 = x − 2 + 2 y − 3 + 1 = x 0 y 3 = y 3

=x

=a

2 1 − + 3 3

2 1 + 5 5

−

=m

=x

=a

−

1 3

3

3

1

3

3

1

3

3

5

3

17. m 4 n− 4 ÷ m− 2 n 4 = m 4 + 2 n− 4 − 4 = m 4 n− 2

3 5

2 −2 18. 8 x y 5 ÷ 4 xy

5 4

1

2 3

−

1 5

2

= 1

1

1

3

8 − 2 −1 5 + 5 = 2x − 3 y 5 x y 4 1

7

19. a 3 b ÷ a − 4 b − 3 = a 3 + 4 b1+ 3 = a 12 b 4

2 1 3 4 5 −  − 5  + x = 2x 5 5 = 2x 5 2 2

=

2

1

2  1 − − −  3  3

−

1 3

1 − 2

1

20. x − 4 y − 5 ÷ x2 y − 1 = x − 4 − 2 y − 5 + 1 = x − 6 y − 4

EJERCICIO 226 2. 1.

x − 8 + 2x − 6 −x

−8

+x

−6

3x

−6

+ x− 2 + 2 x− 4 − x− 2 +1

−x

−4

− x

−4

x + x

2x

− 2x

−2

+ 3x

−2

+2

2

− 2a 3

4

2

2

1

− a 3 − 2a − a 3

a3 −2+a

− 2a − 3a 3 2

+2

− 2x − 4 + 2x − 2 − 2

1

+ 2a + 4a 3 + 2a 3 2

1

a 3 + 2a 3 + 1 2

1

+ 1 a + 2a 3 + a 3

2

−2

− 3x − 6 + 3x − 4 − 3x − 2 −4

−4

4

a3

1

− a 3 − 2a 3 − 1

−

1 3

3.

3

m4 + m2 − 2 + 3m− 2 − m− 4 m2 − 1+ m− 2

4.

m2 + 2 − m − 2

− m 4 + m2 − 1 2m − 3 + 3m 2

1

1

1

2x + x 4 − x 2 + 3x 4 − 2 3

x 4 + 1− x

1

3

− 2x − 2x 4 + 2x 2

−2

3

− 2m2 + 2 − 2m− 2

1

−

1 4

1

1

2x 4 − x 2 + 2x 4 1

− x 4 + x 2 + 3x 4

− 1 + m− 2 − m− 4

3

1

1

+ x4 +x2 − x4

+ 1 − m− 2 + m− 4

1

1

2x 2 + 2x 4 − 2 1

1

− 2x 2 − 2x 4 + 2

2

5.

3m 3 − 5

+ 10m

2 3

− 3m − 1+ 4m

4 3

− 8m− 2

3+m

2 − 3

− 6 + 4m + 6 + 2m

2 − 3 2 − 3 −

2 3

−

2 3

6m − 6m

7.

−

−

2 3

2 3

− 4m

m − 2 + 2m + 10m − 8m

− 2m

4 3

6.

2 − 3

4 − 3

4 3

−

4 3

5

1

− 4a 4 + 4a

a4 5

3

− 8m− 2 + 8m− 2

1

+ a 4 − 2a

4x − 2 + x − 1 − 3 + 2x x − 3 − 2x − 2 + x − 1

− 8 x − 4 + 2x − 3 + 7 x − 2 − 7 x − 1 8x − 4 + 2x − 3 − 6 x − 2 + 4 x − 1 4 x − 3 + x − 2 − 3x − 1 + 2 − 4 x − 3 − x − 2 + 3x − 1 − 2

a

−

1

1

− a −12b −11 + a −10b − 9 − a −8b − 7 −10 − 9

b

− a −10b − 9 + a − 8b − 7 − a − 6b − 5 a − 8b − 7 − a − 6b − 5 + a − 4b − 3 − a − 8b − 7 + a − 6b − 5 − a − 4b − 3

3 4

a − 7b − 6 − a −5b − 4 + a − 3b − 2 a −5b − 5 + a − 3b − 3 + a −1b −1

1

a2 −2+a 3

− a 4 + 2a

+ a − 4b − 3

−

−

1 2

1

a 4 + 2a 4 − a 1

3

+ a − 8b − 7

−a

1

− 2a 4 + 4a 4 − 2a

− 4x − 5 − x − 4 + 3x − 3 − 2x − 2

1 4

− a 4 + 2a 4 − a 4 3

4 x − 5 − 7 x − 4 − x − 3 + 9x − 2 − 7x − 1 + 2

−12 −11 8. a b

−

2a 4 − 5a 4 + 4a

4 − 3

−

+ 2m

−

−

−

−

1 4 1 4

1 4

1 4

−a +a

−

−

3 4

3 4

−

1 4

m − 4n

9.

+ m− 2n− 1

+ n− 3

m− 4 − m− 3n− 1 + m− 2n− 2

− m− 4n + m− 3 − m− 2n− 1

n + m + m2n− 1

m− 3 − m− 3 + m− 2n− 1 − m− 1n− 2 m− 2n− 1 − m− 1n− 2 + n− 3 − m− 2n− 1 + m− 1n− 2 − n− 3

10.

a 2 − 19a + 17 − 24a − 1 + 10a − 2 3a + 2 − 5a − 1

15a 3 +

5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1

− 15a 3 − 10a 2 + 25a − 9a 2 + 6a + 17 + 9a 2 + 6a − 15 12a + 2 − 24a − 1 − 12a − 8 + 20a − 1 − 6 − 4a − 1 + 10a − 2 + 6 + 4a − 1 − 10a − 2

11.

5

3

a 4 b− 4 − a 4 b − 3 5

+ 5a

3

−

1 4 b− 1 −

3a

−

1

3

1

−

1 4 b− 1

3

1

−

1 4 b−1

− a 4 b − 3 + 2a 4 b − 2 − 3a 1

− a 4 b − 2 + 2a 1

+ a 4 b − 2 − 2a

− x− 2 + x

−

3 1 − 2y 2

+ x − 1y − 1

−

3 1 − 2y 2

− x − 1y − 1

−

3 1 − 2y 2

−

3 1 − 2y 2

2x − 2x

− 2x − 1y − 1 + 2x

−

1 4 b−1 −

3a

−

1 4 b−1 +

3a

−

3 4

−

3 4

+ 2y − 2

1 2b

1

x−1 − x

−

x − 1 + 2x

+ 2x − 1y − 1 − 2x 2x − 1y − 1 − 2x

−

a 4 b− 3 + a 4 b− 2 − a

a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2 + 5a

x− 2 + x

1

a 2 b − 1 − 2 + 3a 3

− a 4 b − 4 + 2a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2

12.

3 4

−

1 3 − 2y 2

−

1 3 − 2y 2

1 − 2

y

3 − 2

+ 2y − 2 − 2y − 2

1 1 − 2y 2 −

−

+ y−1

1 1 − 2y 2

+ 2y − 1

1 4 b− 1

1

13.

− 6m 5

m 3

+m

−

3 5

3

1

2

− m − 2m 5 + m 5 3

1

m 5 + 2m 5 − m m5 − 2 −m

−

−

1 5

2

14.

2 5

2x + 4 x 3 2

2

1 5

2m + 4m − 2m 1

− m 5 − 2m 1

+ m 5 + 2m

−

−

1 5 1 5

2

−m

−

−

3 5 3 5

1

− 2 x 3 − 6 − 4x

1

1

− x 2 y2

1

x2 + y2

1

3

1

1

3

4x 2 − x 2 y 2 − xy − x 2 y 2

1

− x2 y 2 3

+ x2y 2 − x 2 y 3

− x2y 3

3

+ x 2 y − xy 2 3

1

− xy 2 − x 2 y 2 3

1

+ xy 2 + x 2 y 2

7

4

7

4

5

2

− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3

x3 1

2

5

2

5

2

5

4

4

+ 2a 3 x 2 + 4a 3 x 3 + 6ax 3 2

5

4

4

a 3 x 3 − ax 3 − 3a 3 x 2

5

1

2

2

2

2

1

x − 2a 3 x 3 + a 3 x 3 − 3a

− 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 − 7ax 3 1

4

x 3 + 2a 3 x + 3a 3 x 3 1

− x 3 − 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 1

1

1

1

1

1

2x 3 + 6 + 4 x

− 4 x 2 − 4x 2 y 2

16.

2 − 2x

+ 2x 3 + 6 x 3 + 4 +m

4

4

− a 3 x 3 − 2ax 3 − 3a 3 x 4

4

5

2

− 3ax 3 − 6a 3 x − 9a 3 x 3 4

4

5

2

+ 3ax 3 + 6a 3 x + 9a 3 x 3

2

−

1 3

−

1 3

1

x + 3x 3 + 2x 3

1

− 2x 3 − 4x 3 + 2

1 − 5

4x 2 + 3x 2 y 2 5

1 3

1

3 5

5

−

− 2x − 6x 3 − 4 x 3

− 2m 5 − 5m 5

15.

+ 2 + 4x

−

1 3

+ 2x

−

2 3

3

17.

1

a2 3

3

5

+ a 2b − b 2

− a − 1b 2

1

1

1

a2 +b2 +a

1

1

− a 2 − ab 2 − a 2 b

1 2b

1

a − a 2b2 + b − a

1

3

− ab 2

−b2

1

−

1

−

1 3 2b 2

3

+ ab 2 + a 2 b + b 2 1

a 2b 1

3

− a 2b − b2 − a

−

1 2 b2

−

1 2 b2

− a − 1b 2

−

1 2 b2

+ a − 1b 2

3

−b2 −a 3

+b2 +a

18.

m− 2 n 2

5

5

− 11m−1n −

3

3

−

3

3

−

+1

3

3

−

1

1

−

− m − 2n 2 − 3m 2 n 2 + m−1n

5

1

−

3

−

1

m 4 n 2 − 3m 4 − m 4 n

− 3m 2 n 2 − 10 m−1n −

3

3

−

1

1

+ 3m 2 n 2 + 9 m −1n − 3m 2 n 2 −

1

1

−

1

1

− m−1n − 3m 2 n 2 + 1 + m−1n + 3m 2 n 2 − 1 19.

x − 1y 2 + 4

+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6

− x − 1y 2 + 1 − 3xy − 2

x − 3 y 3 − x − 2 y + 3x − 1y − 1 x 2 y − 1 + 5 x 3 y − 3 + 2x 4 y − 5

5 − 3xy − 2 + 13x 2 y − 4 − 5 + 5xy − 2 − 15x 2 y − 4 2xy − 2 − 2x 2 y − 4 + 6x 3y − 6 − 2xy − 2 + 2x 2 y − 4 − 6x 3 y − 6

20.

3 + 7a −3−a

−

2

1

3

b2

−

2 3

−

2 3

−

2 3

6a − 6a

1

b2 −a

3

+ a − 2b 2 − a 4 3

−

1

b2 − a

4 3

−

4 3

1

− 3a + 3a

−

8 3

2

b2

b

−

b 2 − 2a

−

4 3

4 − 3

3a 3 b a

3

b + a − 2b 2 3

b − 2a − 2b 2 3

b − a − 2b 2 − a 3

b + a − 2b 2 + a

−

8

−

8

3

3

b2 b2

1

m 4 n 2 + 3m 4 n − m 4 n 2

−

2 3

−

1 2

+ 1+ a

1

b 2 + 2a

−

4 3

−

2

1

3

b2 3

b − a − 2b 2

−

1 2

EJERCICIO 227 2

(a ) = a = a 3 2. (a − 2b −1 ) = a − 2 ⋅3 b −1⋅3 = a − 6b − 3 −1 2

1.

−1⋅ 2

7.

−2

2

8.

1 2 2 2 1  21 13  ⋅2 ⋅2 2  2a b  = 2 a 2 b 3 = 4a 2 b 3 = 4ab 3  

9.

(a − 3b−1 )4 = a − 3⋅4b−1⋅4 = a −12b− 4

2

3.

6 3  23  ⋅2 3  a  = a2 = a2 = a  

4.

3 9  43  ⋅3  x  = x4 = x4  

5.

3 6 3  43  ⋅2  m  = m4 = m4 = m2  

1 2 1  − 4 14  ⋅2  x y  = x − 4 ⋅2 y 4 = x − 8 y 4 = x − 8 y 2  

6

3

10.

2 1 12 6  23 − 21  ⋅6 − ⋅6 − 4 3  x y  = x 3 y 2 = x 3 y 2 = x y−   5

2

11.

2 10  25 − 3  ⋅5 5 35 15 2 15  3a b  = 3 a 5 b − ⋅ = 243a 5 b − = 243a b −   3

3

2 6  − 23  − ⋅3 − 3 = a 3 = a−2 6.  a  = a  

12.

1 1 3 3 3  − 21 − 13  − ⋅3 − ⋅3 − − −  2m n  = 2 3 m 2 n 3 = 8m 2 n 3 = 8m 2 n −1  

EJERCICIO 228  

1

1

 

2

 

1

 

2

 

1

 

1

   

1

 

 

2

7.  4 x 3 − y

1.  a 2 + b 2  =  a 2  + 2  a 2   b 2  +  b 2  1

−

1 2

2

2

  43   3  −1  −1  =  x  − 2 x4  y 2 +  y 2         3

1

 

3

1

 

2

 

3

 

2

 

3

 

1

   

1

 

 

2

3

1

 

−

1 2

2

2

1−

(

− − 4. a b − a b 2 3

3

1 2

1

+ 4 m2 = m − 1 + 4 m 2 + 4 m 2

)

2





(

−2

+ b

( )

) = (a ) 2

−2 2

−

2

    − 2 (a − 1 )  3b  +  3b      −

3 4

+ 9b

−

1

= a − 4 + 2a − 2b 2 + b

3 − 4

2

−1

−

3 4

+ mn − 2

3

2

1

(

3

x 2 − 3 y −1 3

2

3

1 2

= a + 3a 3 b 3 + 3a 3b 3 + b 10.

3 2

 1  1 + 2 (a − 2 )  b 2  +  b 2     

3

1

2

n 4 + mn − 2

2

2

3 − 4

= a − 2 − 6a −1b 6. a

1

1 2

= m − 4 n 2 − 2m 2 n

3

= a − 4b6 − 2ab + a 6b − 4 5.  a − 1 − 3b  = a −1

2

 1  1  1  1  1  1 =  a 3  + 3  a 3   b 3  + 3 a 3   b 3  +  b 3            

= a − 4b 6 − 2a − 2 + 3b 3− 2 + a 6b − 4 2

−2+

 13 13  9.  a + b 

2 2

2

1

= m − 4 n 2 − 2m

= (a − 2b 3 ) − 2 (a − 2b 3 )(a 3b − 2 ) + (a 3b − 2 )

3 − 4

+ y −1

2

  −1  −1 2 + 2m =  m 2  + 2 ( 2m)  m 2  + ( 2m)      = m− 1 + 4m

 

1

1 2

1 1  1   1     =  m− 2 n 4  − 2  m− 2 n 4   m 2 n − 1  +  m 2 n − 1        

2

= x 2 − 2x 4 y 3 + y 3 3.  m

1

−

−2 −1 8.  m n 4 − m 2 n 

2.  x 4 − y 3  =  x 4  − 2  x 4   y 3  +  y 3  3

3

= x 2 − 2x 4 y

= a + 2a 2 b 2 + b

2

)

3

2

 2  2  2 2 3 =  x 3  − 3  x 3  (3 y −1 ) + 3  x 3  (3y −1 ) − (3 y −1 )       4

2

= x 2 − 9 x 3 y −1 + 27 x 3 y − 2 − 27 y − 3

3

3

2

2

3

3 4 3 2 9  23  23   23   − 23   23   − 23   − 23  −  − − 2 2 3 2 3 −3 2 11.  m + 4n  =  m  + 3  m   4n  + 3  m   4n  +  4n  = m + 12m n + 48m n + 64n              3

2

3

1 1 1 1 3  −4  − 21  −  −  −  − −4 3 −4 2  −4  − 12 −8 − 2 − 4 −1 2 2 2 2 12.  2a − 3b  = (2a ) − 3 (2a )  3b  + 3 (2a )  3b  −  3b  = 8a − 36a b + 54a b − 27b        

13.

(

x−

3

2

2

3

3 1 1 2  1  1  1  1  1  1 y =  x 2  − 3  x 2   y 3  + 3  x 2   y 3  −  y 3  = x 2 − 3xy 3 + 3x 2 y 3 − y           

)

3

3

4

4

3

2

2

3

4

3 2 4 1 8  12 23   12   12   23   12   23   21   23   23  2 2 3 3 2 2 3 14.  a + b  =  a  + 4  a   b  + 6  a   b  + 4  a   b  +  b  = a + 4a b + 6ab + 4a b + b                  4

2

3

1 1 1  − 2 − 13   − 13  −2 4 −2 3  − 3  −2 2  − 3  −2  − 3  15.  x − y  = ( x ) − 4 ( x )  y  + 6 ( x )  y  − 4 ( x )  y  +  y            −

1

= x −8 − 4 x − 6 y 3 + 6x − 4 y  

1

16.  x 3 + y

−

3 4

5

5

2 3

− 4 x − 2 y −1 + y

4

−

3

4 3 2

2

3

4

  13   1   −3  1   −3  1   −3  1   −3  −3  =  x  + 5  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 5  x 3   y 4  +  y 4                      5

4

= x 3 + 5x 3 y 17.

−

4

−

3 4

+ 10 xy

5

−

3 2

2

+ 10 x 3 y

9 4

−

4

1

+ 5x 3 y − 3 + y

3

−

15 4

2

2

3

4

1 5    1  1  1  1  1  1  1  1  1 m − 3 n =  m 2  − 5  m 2   n 3  + 10  m 2   n 3  − 10  m 2   n 3  + 5  m 2   n 3  −  n 3                    

(

)

5

1

3

2

1

4

5

5

5

= m 2 − 5m2 n 3 + 10m 2 n 3 − 10mn + 5m 2 n 3 − n 3

(

18. a − 2 m 2

)

6

2

3

4

5

1 1 1 1      1  1 3 2 6 5 4  = (a 2 ) − 6 (a 2 )  2m 2  + 15 (a 2 )  2m 2  − 20 (a 2 )  2m 2  + 15(a 2 )  2m 2  − 6 (a 2 )  2m 2  +  2m 2              1

5

3

= a12 − 12a10m 2 + 60a 8m − 160a 6m 2 + 240a 4 m2 − 192a 2 m 2 + 64m3

(

19. x − 3 + 4 y

) = (x ) + 5(x )  y 5

−3 5

−3 4

1 4

2

3

4

1 1 1      1 −3 3  −3 2  −3   + 10 (x )  y 4  + 10 (x )  y 4  + 5(x )  y 4  +  y 4          

1

1

3

5

5

= x −15 + 5x −12 y 4 + 10x − 9 y 2 + 10 x − 6 y 4 + 5x − 3 y + y 4

(

20. a

−2

+ 3a −1 + 2) = (a − 2 ) + (3a −1 ) + (2) + 2 (a − 2 )(3a −1 ) + 2 (a − 2 )( 2) + 2 (3a −1 )(2) 2

2

2

2

= a − 4 + 9a − 2 + 4 + 6a − 3 + 4a − 2 + 12a −1 = a − 4 + 6a − 3 + 13a − 2 + 12a −1 + 4 2

2

2

2

1  12 41  21   41   − 41   12   41   12   − 41   41   − 41  −  4 21.  x − x + 2 x  =  x  +  − x  +  2 x  + 2  x   − x  + 2  x   2 x  + 2  − x   2 x  1

= x + x 2 + 4x  

22.  a

−

1 2

2

−

1 2

3

1

3

1

1

− 2x 4 + 4x 4 − 4 = x − 2x 4 + x 2 + 4x 4 − 4 + 4x

2

2

−

1   −1  1  −1  −1  1  1 2 + 3 + a 2  =  a 2  + ( 3) +  a 2  + 2  a 2  ( 3) + 2  a 2   a 2  + 2 (3)  a 2             

= a −1 + 9 + a + 6a

−

1 2

1

1

+ 2 + 6a 2 = a + 6a 2 + 11 + 6a

−

1 2

+ a −1

1 2

6

 

3

 

1

2

 

3

2

 

 

 

1

2

 

3

 

 

1

 

 

3

 

1

 

23.  m + 2m 4 − 3m 2  = ( m) 2 +  2m 4  +  − 3m 2  + 2 ( m)  2m 4  + 2 ( m)  − 3m 2  + 2  2m 4   − 3m 2  3

7

3

5

7

3

5

= m2 + 4m 2 + 9m + 4m 4 − 6m 2 − 12m 4 = m2 + 4m 4 − 2m 2 − 12m 4 + 9m 2

2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24.  a 2 b − 3 − 2 + a − 2 b 3  =  a 2 b − 3  + − 2 2 +  a − 2 b 3  + 2  a 2 b − 3  − 2 + 2  a 2 b − 3   a − 2 b 3  + 2 − 2  a − 2 b 3 







( )





2 −1 3

2 − 3





1 1 − 2 3

( )



1 1 − 2 3



2 − 3



( )



1 1 − 2 3

1 − 2



2 −1 3

1 3

= ab + 4 + a b − 4a b + 2 − 4a b = ab − 4a b + 6 − 4a b + a b

 

1 2

 

1 4

3

 

1 2

 

3

 

1

 

3

 

( )

3

1

2

   

1

 

 

1

2

2

2

 1  1  1  − 1) + 3  x 4   x 2  + 3  x 4  (− 1) (       

25.  x + x − 1 =  x  +  x 4  + − 1 + 3  x 2   x 4  + 3  x 2 

1 1    1  1 2 2 + 3(− 1)  x 2  + 3 (− 1)  x 4  + 6 x 2   x 4  (− 1)        3

3

5

1

1

1

3

3

5

3

1

= x 2 + x 4 − 1 + 3x 4 − 3x + 3x − 3x 2 + 3x 2 + 3x 4 − 6 x 4 = x 2 + 3x 4 − 5x 4 + 3x 4 − 1 2 2 2 2 2 26.  a 3 − 2 + a − 3  =  a 3  + − 2 3 +  a − 3  + 3  a 3  3



3





3

( )





2





2



(− 2) + 3 a

2 2   − 23   2 2 −    a  + 3 (− 2)  a 3  + 3(− 2)  a 3         2

2 3

2

  2      −2   + 3  a   a  + 3  a  (− 2) + 6  a 3  (− 2)  a 3            2 − 3

2 3

2 − 3

4

2

2

= a 2 − 8 + a − 2 − 6a 3 + 3a 3 + 12a 3 + 12a 4 3

2 3

= a 2 − 6a + 15a − 20 + 15a  

1

1

1

 

3

 

1

 

3

 

1

 

3

 

2 − 3

1

 

− 6a 3

4 − 3

 

−

2 3

+ 3a

−

2 3

− 6a

−

4 3

− 12

+ a −2 1

2

   

1

 

 

1

2

   

1

 

 

1

2

   

1

 

27.  m 6 + 2m 3 + m 2  =  m 6  +  2m 3  +  m 2  + 3  m 6   2m 3  + 3  m 6   m 2  + 3  2m 3   m 6  2

2

2

 1  1  1  1  1  1  1  1  1 + 3  2 m 3   m 2  + 3  m 2   m 6  + 3  m 2   2m 3  + 6  m 6   2m 3   m 2                  1

3

2

5

5

7

7

4

= m 2 + 8m + m 2 + 6m 3 + 3m 6 + 12m 6 + 12m 6 + 3m 6 + 6m 3 + 12m 3

4

7

5

2

1

= m 2 + 6m 3 + 15m 6 + 20m + 15m 6 + 6m 3 + m 2

EJERCICIO 229

1.

x − 4 + 6 x − 3 + 13x − 2 + 12 x −1 + 4

x − 2 + 3 x −1 + 2

(2 x

− x −4 + 6 x − 3 + 13x − 2 − 6x −3 − 9 x −2 4 x − 2 + 12 x −1 + 4 − 4 x − 2 − 12 x −1 − 4

(2 x

−2

−2

+ 3x −1 ) (3x −1 ) = 6 x − 3 + 9 x − 2 + 6 x −1 + 2 ) ( 2 ) = 4 x − 2 + 12 x −1 + 4

1

2.

−

1

m + 6m 2 + 11 + 6m 2 + m−1

1

m2 + 3 + m

−

1 2

1  21   2m + 3 ( 3) = 6m 2 + 9  

−m 1

6m 2 + 11 1 1  21 −   −   2m + 6 + m 2   m 2    

1

− 6m 2 − 9 −

1

−

2 + 6m 2 + m−1 −

1

= 2 + 6m 2 + m−1

1

− 2 − 6m 2 − m−1

4

3.

2

1

9a 3 − 6a + 25a 3 − 8a 3 + 16

2

1

3a 3 − a 3 + 4  23 13   13   6a − a   − a    

4

− 9a 3 2

2

− 6a + 25a 3

= − 6a + a 3

2

+ 6a − a 3 2

1

2

1

24a 3 − 8a 3 + 16 − 24a 3 + 8a 3 − 16

7

4.

3

5

a 2 + 4a 4 − 2a 2 − 12a 4 + 9a

1  23   6a − 2a 3 + 4 (4)   2

1

= 24a 3 − 8a 3 + 16

3

1

a + 2a 4 − 3a 2

3    3  2a + 2a 4   2a 4    

− a2 7

3

7

3

7

+ 4a 4 − 2a 2

3

= 4a 4 + 4a 2

− 4a 4 − 4a 2 3

5

3

5

− 6a 2 − 12a 4 + 9a + 6a 2 + 12a 4 − 9a

3 1 1     2a + 4a 4 − 3a 2   − 3a 2     3

5

= − 6a 2 − 12a 4 + 9a

mn

5.

− mn

−

2 3

−

2 3

1

−

1

−

1

1

2

1

− 4m 2 n 3 + 6 − 4m 2 n 3 + m−1n 3

−

1

−

1

1

m2 n 3 − 2 + m 2 n 3  21 − 13   2m n − 2 (− 2)  

1

−

1

1

−

1

1

− 4m 2 n 3 + 6

−

1

= − 4m 2 n 3 + 4

+ 4m 2 n 3 − 4 −

1

1

2

−

1

1

2

1 1  12 − 13   −1 1 −  2m n − 4 + m 2 n 3   m 2 n 3    

2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3

4

6.

3

2

1

−

− 2 + 4m 2 n 3 − m−1n 3

1

2

= 2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3 1

a 5 − 8a 5 + 10a 5 + 24a 5 + 9

2

1

a 5 − 4a 5 − 3 1 1  25    2a − 4a 5   − 4a 5    

4

− a5 3

2

3

2

3

− 8a 5 + 10a 5

2

= − 8a 5 + 16a 5

+ 8a 5 − 16a 5 2

1

2

1

− 6a 5 + 24a 5 + 9 + 6a 5 − 24a 5 − 9 7.

3

a − 3 − 6a

−

5 2

3 2

−

+ 21a − 2 − 44a

−

1

+ 63a −1 − 54a 2 + 27

1  25   2a − 8a 5 − 3 (− 3)   2

1

= − 6a 5 + 24a 5 + 9 a − 1 − 2a

−

1 2

+3

3(a −1 ) = 3a − 2 2

− a −3 − 6a

−

5 2

−

5

+ 21a − 2 − 44a

−

−

3 2

+ 6a 2 − 12a − 2 + 8a

1 5 2 −  − 3(a −1 )  − 2a 2  = − 6a 2  

3 2

2

1  −  3(a −1 )  − 2a 2  = 12a − 2  

−

3

−

3 2

−

1

−

1

9a − 2 − 36a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27 − 9a − 2 + 36a

3

1 3  −  −  − 2a 2  = − 8a 2  

− 63a −1 + 54a 2 − 27 2

3 1  −  − 3  a −1 − 2a 2  = 3a − 2 − 12a 2 + 12a −1   2

1 3  −  − 3  a − 1 − 2a 2  (3) = 9a − 2 − 36a 2 + 36a −1   1 1  −  − 2 3  a − 1 − 2a 2  (3) = 27a −1 − 54a 2  

(3)3 = 27

8.

3

4

2

−

2

−

4

2

x 2 − 6 x 3 + 15x 3 − 20 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2

x3 − 2+ x

2 3

−

2

4  2 3  x 3  = 3x 3  

− x2

4  2 3  x 3  (− 2 ) = − 6 x 3   2

4

2

4

2

− 6x 3 + 15x 3 − 20

2  2 2 3  x 3  (− 2) = 12 x 3  

+ 6 x 3 − 12 x 3 + 8 2

−

2

−

2

−

2

−

(− 2 ) = − 8

4

3

3x 3 − 12 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2 4

− 3x 3 + 12 − 15x 3 + 6 x 3 − x − 2 2

4 2  2  3  x 3 − 2 = 3x 3 − 12 x 3 + 12   2 2  2   −2  − 3  x 3 − 2  x 3  = 3x 3 − 12 + 12 x 3     2

 2  3  x 3 − 2  

2

2 4  − 23  − −  x  = 3x 3 − 6 x 3  

 − 23  −2 x  = x   3

3

9.

3

5

a 2 + 3a 4

−a

3

1

1

1

− 5a 4 + 3a 4 − 1 a 2 + a 4 − 1 2

 1 3  a 2  = 3a  

3 2

5

+ 3a 4 5

3

2

5  1  1 3  a 2   a 4  = 3a 4    

1

− 5a 4 + 3a 4

 1 3 a 2   

3

− 3a 4 − 3a − a 4

3

1

3

1

− 3a − 6a 4 + 3a 4 − 1

2

 41   a  = 3a   3

3  14   a  = a4  

+ 3a + 6a 4 − 3a 4 + 1 2

3 1  1 1 3  a 2 + a 4  = 3a + 6a 4 + 3a 2   2

3 1  1 1 3  a 2 + a 4  (− 1) = − 3a − 6a 4 − 3a 2   1 1  1 1 2 3  a 2 + a 4  (− 1) = 3a 2 + 3a 4  

(− 1) = − 1 3

EJERCICIO 230

2ax −1 19 2 xa −1 + − + x 2a − 2 3 9 3

a2 x−2 −

1.

1 ax −1 − + a −1 x 3 1  1    2ax −1 −   −   3  3 

− a 2 x −2 2ax −1 19 + 3 9 −1 2ax 1 + − 3 9

−

2−

2a − 1 x 2 − 2 +x a 3

− 2+

2a − 1 x − a −2 x2 3

x 2 − 4 + 2 x −1 + 4 x − 2 − 4 x − 3 + x − 4

2.

2    2ax −1 − + a −1 x (a −1 x)   3 = 2−

(2 x − 2 x )(− 2 x ) = − 4 + 4 x −1

− 4 + 2 x −1 + 4 x − 2

(2 x − 4 x

− 4x −2

+4 2 x −1 − 2x

− 4 x−3 + x −4

−1

−3

+ 4x − x

− 10a + 4 + 25a − 2

+ 20a − 4a

m4 − 5m2 + 28 − 30m− 2 + 9m− 4 4 −

− 5a −1 )(− 5a −1 )

= − 10a + 25a − 2

−3

−4

2

−2

(2a

− 20a − 3 + 4a − 4

+4

+ x − 2 )(x − 2 )

a 2 − 5a −1 + 2a − 2

(2a − 25a

−2

= 2 x −1 − 4 x − 3 + x − 4

− a4 + 10a

−1

−1

−4

a 4 − 10a + 4 + 25a − 2 − 20a − 3 + 4a − 4

4.

2a − 1 x + a −2 x2 3

x − 2 x −1 + x − 2

− x2

3.

2ax −1 1 + 3 9

=−

m4 4 − 5m2 + 28 + 5m2 − 25 3 − 30m− 2 + 9m− 4 − 3 + 30m− 2 − 9m− 4

−4

2

− 10a −1 + 2a − 2 ) (2a − 2 )

= 4 − 20a − 3 + 4a − 4

m2 − 5 + 3m− 2 2

(m

2

− 5)(− 5) = − 5m2 + 25

(m

2

− 10 + 3m− 2 )(3m− 2 ) = 3 − 30m− 2 + 9m− 4

4 x 2 y − 2 2 xy − 1 19 5x −1 y 25x − 2 y 2 − + − + 25 5 12 3 9

5.

−

2 xy − 1 1 5x −1 y − + 5 2 3  4 xy − 1 1   1  2 xy −1 1 −  −  = − +  2  2 5 4  5

4 x2 y −2 25 2 xy −1 19 + 5 12 2 xy −1 1 + − 5 4 −

 4 xy −1 5x − 1 y   5x − 1 y  − 1+    3  3   5

4 5x − 1 y 25x − 2 y 2 − + 9 3 3 −1 4 5x y 25x − 2 y 2 − + − 3 3 9 2ax a 4 2a 3 x − 1 + + a2 x −2 − − 2 + a −2 x2 9 3 3

6.

−

4 5x −1 y 25x − 2 y 2 = − + 3 3 9

a2 + ax − 1 − a −1 x 3  2a 2  2a 3 x − 1 + ax −1  (ax −1 ) = + a 2 x −2  3  3 

a4 9 2a 3 x − 1 + a2 x−2 3 2a 3 x − 1 − − a2 x−2 3

 2a 2  + 2ax −1 − a − 1 x (− a −1 x )   3  2ax − 2 + a −2 x2 3 2ax + + 2 − a −2 x2 3 −

9m4 + 30m2 + 55 + 50m− 2 + 25m− 4

7.

=−

3m2 + 5 + 5m− 2

(6m

− 9 m4 + 30m2 + 55 30 + 50m− 2 + 25m− 4 −2

− 30 − 50m − 25m

+ 5)(5) = 30m2 + 25

2

(6m

− 30m2 − 25

2

+ 10 + 5m− 2 )(5m− 2 )

= 30 + 50m− 2 + 25m− 4

−4

4a 2b2 x − 2 y − 2 2abx −1 y −1 21 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2a − 2b − 2 − + − + 49 7 20 5 25

8.

−

2ax − 2 + a −2 x2 3

2abx −1 y −1 1 7a −1b −1 xy − + 7 2 5  4abx −1 y −1 1   1   −  −  7 2  2 

4 a 2b 2 x − 2 y − 2 49 −

2abx −1 y −1 21 + 7 20 −1 −1 2abx y 1 − 7 4 4 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2 a − 2b − 2 − + 5 25 5 4 7 xya −1b −1 49a − 2b − 2 x 2 y 2 − + − 5 5 25

= −

2abx −1 y −1 1 + 7 4

 4abx −1 y −1 7a −1b −1 xy   7a −1b −1 xy   − 1+   7 5 5    =

4 7a −1b −1 xy 49a − 2b − 2 x 2 y 2 − + 5 5 25

ab

9.

− ab

−

2 3

−

2 3

1

−

1

1

−

− 4a 2 b 3 + 6 − 4b 3 a

1 2

2

1

+ a −1b 3

−

1

−

1 1

a 2b 3 − 2 + a 2b 3 1 1  21 − 13  −  2a b − 2 (− 2) = − 4a 2 b 3 + 4  

1

−

1

1

−

1

− 4a 2 b 3 + 6 1 1  21 − 13   −1 1 −  2a b − 4 + a 2 b 3   a 2 b 3    

+ 4a 2 b 3 − 4 −

1 1

2

−

1 1

2

−

2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3

1 1

2

= 2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3

− 2 + 4a 2 b 3 − a −1b 3 a 4b 4 + 6a 2b 2 + 7 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4

10.

a 2b 2 + 3 − a − 2b − 2

− a 4b 4

(2a b

+ 3) (3) = 6a 2b 2 + 9

(2a b

+ 6 − a − 2b − 2 )(− a − 2b − 2 )

2 2

+ 6a 2b 2 + 7 − 6a 2b 2 − 9

2 2

− 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4 −2 −2

= − 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4

−4 −4

+ 2 + 6a b − a b 2

1

1

−

1

−

1

xy 3 − 8 x 2 y 3 + 18 − 8 x 2 y 3 + x −1 y

11.

−

2 3

1

1

−

1

x2 y3 − 4+ x 2 y

−

1 3

1 1  21 13   2 x y − 4 (− 4) = − 8 x 2 y 3 + 16  

2

− xy 3 1

1

1

1

− 8 x 2 y 3 + 18 1 1 1 1  12 13 − −   − −   2x y − 8 + x 2 y 3   x 2 y 3    

+ 8 x 2 y 3 − 16 −

1

−

1

−

2 3

−

1

−

1

−

2 3

2 − 8 x 2 y 3 + x −1 y − 2 + 8 x 2 y 3 − x −1 y

−

1

−

1

= 2 − 8x 2 y 3 + x −1 y

−

2 3

EJERCICIO 231 7. 3 81x 3y 4 = 3 92 ⋅ x2 xy 4 = 3 ⋅ 9xy 2 x = 27xy 2 x

18 = 2 ⋅ 32 = 3 2

1.

2. 3 48 = 3 3⋅ 2 4 = 3⋅ 2 2

3 = 12 3

16 = 3 2 ⋅ 23 = 2 3 2

3.

3

4.

13 1 1 128 = 3 26 ⋅ 2 = ⋅ 22 2 2 2

3

2 =2 3 2

5. 2 4 243 = 2 4 34 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 4 3 = 6 4 3 6.

8.

50a 2b = 2 ⋅ 52 a 2b = 5a 2b

9.

1 1 2 2 108a 5b7 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a 4ab 6b 2 2 2 = ⋅ 3a 2b 3 3ab = 3a 2b3 3ab 2 3 3 2 3⋅5 3 n 5m = 3n3 5m 125mn6 = 5 ⋅ 5mn6 = 5 5 5

10. 2a 44a b c = 2a 2 ⋅ 11a ab bc c 3 7 9

2

2

6

8

= 2 ⋅ 2a ⋅ ab 3c 4 11abc = 4a 2b3c4 = 11abc

= 2 3 2 3 ⋅ 2 x 2 y 6 y = 2 ⋅ 2y 2

12.

2 3

3

2 3

=

3

2x 2 y = 4 y 2 3 2x 2 y

27m2n8 3

3 3 375a 8b 5x 3a 2 3 ⋅ 5a 2 3 2 3 3 3 = 3a b = 5 ⋅ 3a 6 a 2b = x 5x 5x 14 14 4 4 3 4 4 4 81a b = 3 a b = a b =a b 20. 3 3 3

19.

11. 2 3 16x 2 y 7

33 m2n6n2 =

2⋅3 2 n 3

m2n2 = 2n2 3 m2n2

3

13. 5a 3 160x 7 y 9 z13

14.

3

9a + 18b = 9 (a + 2b) = 32 (a + 2b) = 3 a + 2b

22.

3a 3b2 − 3a 2b 2 = 3a 2b2 (a − 1) = ab 3 (a − 1) = ab 3a − 3

20 xz = 10ax 2 y 3 z 4

3

4

5b

15. 3 4 5x 8 y14 z16 = 3 4 5x 8 y12 y 2 z16 = 3x 2 y 3z 4 16.

2 5

5

=

2 5

23.

20xz

80a 4b 5c12 = 4 24 ⋅ 5a 4b4bc12 = 2abc 3

4

4

5y 2

2 5 x 2 y10 y =

5

x2y =

4y 2 5

5

= 2 2 ⋅ 2 xy 4 ( x + 2) = 2 y 2 2 x ( x + 2) = 2 y 2 2 x 2 + 4 x

2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 = 2 ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 2 ( x − y) = ( x − y ) 2 2

25.

2⋅2 2 y 5

8 x 2 y 4 + 16 xy 4

24.

32 x 2 y11 5

3a 2b

21.

= 5a 3 2 3 ⋅ 20x 6 xy 9 z12 z = 5 ⋅ 2ax 2 y 3 z 4

3

x2y

(a − b)(a − b ) = (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b) (a + b) = (a − b) 2

2

2

17. 2xy 3 128x 2 y 8

2am2 + 4amn + 2an 2

26.

= 2xy 3 26 ⋅ 2x 2 y 6 y 2

a+b

= 2a (m2 + 2mn + n 2 ) = 2a (m + n) = (m + n) 2a 2

= 2 ⋅ 22 xyy 2

3

2x 2 y 2 = 8xy 3

3

1 27a 3m7 18. 3a 3am 3 1 3 2 ⋅ 3a 2 am6m = = 3a 3a

2x 2 y 2

9a 3 − 36a 2 + 36a

27.

= 32 a (a 2 − 2a + 4) 3am = m3 3am

= 3 a (a − 2) = 3 (a − 2) a = (3a − 6) a 2

EJERCICIO 232 1.

1 1⋅ 5 5 1 5 = = = 5 5⋅5 52 5

2.

3 3⋅2 6 1 = = = 8 8⋅2 24 22

6=

1 6 4

3 ⋅ 22 a 2 y 3 ⋅ 2a = 34 y 4 2 ⋅ 32 y 2

3 7. 2

4a 2 3 = 27y 3 2

8. 5

9n 32 ⋅ 5mn 5 ⋅ 3 =5 = 3 5m 5 2 m4 5m2

3y =

5mn =

3 m2

a 3y 2

3y

5mn

1 2 ⋅1 2 2 3. 2 2 = 2 2 ⋅ 2 = 2 2 2 = 2 2 = 2

5a 3 a 5 ⋅ 6a 3 6 =6 4 2 2 = 2 30a 2a = 30a 9. 6 2 24x 2 ⋅3 x 2 ⋅ 3x 2x

1 1⋅ 6 6 3 1 4. 3 6 = 3 6 ⋅ 6 = 3 6 2 = 6 6 = 2 6

10.

1 1 2 1 2⋅3 1 6 1 5. 2 3 = 2 3 ⋅ 3 = 2 32 = 2 ⋅ 3 6 = 6 6

11. 5 3

6.

a2 = 8x

a2 x a = 2 2 ⋅ 2x 2 2x

x a = 2 2x

2x a = 2x 22 4x

12.

3

3

2 3 2 ⋅ 32 1 3 18 = = 3 33 3 1 =5 5

3

52 5 = 53 5

3

52 = 3 25

8 23 ⋅ 3x 2 3 3x =3 3 3 = 2 9x 3 x 3x

2 13. 2b

14.

2 3

3

15. 2xy

125 = 2b2 4b5

3

53 ⋅ 2b 2 ⋅ 5b 2 = 23 b6 2b 2

3

3

2b = 5 3 2b

27 x 2 2 3 3 ⋅ 4ab 2 x 2 2⋅3 = 3 = 2 4 16a b 3 2 6 a 3b 6 3 ⋅ 22 ab 2

81a 2 = 2xy 4x 3 y

4

3

1 2ab 2

4ab 2 x 2 =

3

4ab 2 x 2

34 ⋅ 22 a 2 xy 3 2 ⋅ 3xy 4 2 3 = 4a xy = 3 4 4a 2 xy 3 24 x 4 y 4 2xy

4

EJERCICIO 233 1

2 4

1 2

8.

8

2

1

9.

10

1.

4

9 = 3 =3 =3 = 3

2.

6

4 = 6 22 = 2 6 = 2 3 = 3 2

3.

9

27 = 3 = 3 = 3 = 3 3

4.

8

2

4

9

3

3 9

1 3

4 8

1 2

4

5. 3 12 64 = 3 12 26 = 3 ⋅ 2 6.

4

1

12

10. 6 12

32x10 y15 3

= 10 25 x10 y15 = 2 2 xy 2 = x 2y 3 = x 2y 2 y = xy 2y

16 = 2 = 2 = 2 = 2 8

64m6n18 1

1 2

= 3⋅2 = 3 2

11.

=

12

6

343a 9 x12 1

25a b

2 4

2 4

1 2

1 2

3

3

= 6 73 a 9 x12 = 7 2 a 2 x 2 = x 2 7a 3 = x 2 7a 2a = ax 2 7a

1 2

= 4 52 a 2b 2 = 5 a b = 5 a b = 5ab 1 3

1

26 m6n18 = 2 2 m 2 n 2 = 2mn3 = 2mn2n = n 2mn

2 2 2 4

1

81x 4 y 8 = 8 34 x 4 y 8 = 3 2 x 2 y = y 3x

1 3

15

12.

2 3

m10n15 x 20 2

7. 5 6 49a 2b 4 = 5 6 72 a 2b 4 = 5 ⋅ 7 a b = 5 3 7ab 2

4

= m 3 nx 3 = n 3 m2 x 4 = n 3 m2 x 3 x = nx 3 m2 x

EJERCICIO 234 1. 2 3 = 22 ⋅ 3 = 12 2. 3 5 = 32 ⋅ 5 = 45 3.

5a b = (5a) b = 25a b 2

8.

4m 3 2m2 = 3 ( 4m) (2m2 ) = 3 (64m3 )(2m2 ) = 3 128m5

9.

2a 4 8ab3 = 4 ( 2a) (8ab3 ) = 4 (16a 4 )(8ab3 ) = 4 128a 5b3

2

3

4

(

)

a = a+b

(

)

2x = x+1

10. a + b

2

1 2 1  1 = 2 =   ⋅2 = 4.  2 2 4 2 5.

3a 2a = ( 3a ) ⋅ 2a = 9a (2a ) = 18a

6.

5x 2 y 3 = (5x 2 y ) 3 = (25x 4 y 2 ) 3 = 75x 4 y 2 12. (x − 1)

7.

ab 2 3 a 2b

2

2

2

2

2

4

11. x + 1

2

(a + b)

2

(x + 1) 2 x = 2

x+1

=

3

(x − 1) (x − 2) = x−1

3.

5 = 5 = 125 6

1. 3

3

6

2= 2 = 4 6

2

6

2. 4

a 2 + ab

2x2 + 2x

x 2 − 3x + 2

12

36 =

12

729

4

4 =

12

256

8 =

12

3

4=

12

=4 3

4

8=

12

3

(x + 1)2 x =

3=

2= 2 =4 4 2

(a + b)(a) =

(x − 1)(x − 2) =

EJERCICIO 235 4

=

x−2 x−1 2

= 3 (ab 2 ) (a 2b) = 3 (a 3b 6 )(a 2b) = 3 a 5b 7

(a )

a+b

3

512

2=

12

26 =

12

64

3

3=

12

3 =

12

81

4

5 =

12

53 =

6

7=

12

72 =

4.

6.

12

49

= ( 5x )

= 125x

3

6

(4 x y)

2

4x2 y =

6

7a 3b

3

2ab

15 5 = (2ab)

5

3a 2 x

=

4

6

8.

125

3

15

7.

9.

12

6

5x

5.

4

3

6

2

10

7x3 =

20

(7 x 3 )2 = 20 49 x 6

15

15

11.

15

8a 2 x 3 = 12 (8a 2 x 3 ) = 512a 6 x 9 3

12

2

= x12

(5m )

7 2

= 3 a 12 18

(x 5 )2

18

= 4 x10 18

10 5 = (2m)

2m

12.

3 5 a3x4 = 3

10

= 32m5 10

(a x )

3 4 2

= 3 a 6 x8 10

= 2 10 x 7 y 2

2 10 x 7 y 2

= 25m14 18

3 = 6 33 = 6 27

4. 3

5

2 = 6 22 = 6 4

6

32

3

5.

4 5

7 = 7 3 = 343 12

10

Luego el orden es: 4 7 ,

6

= 6 52 = 6 25 = 6 32

Luego el orden es: 6 32 , 3 , 3 5

2

12 12 2 15 = (15) = 225

15

3 =

20

=

20

15 =

20

4

35 =

20

243

=

20

256

15 =

20

225

4

4 2

Luego el orden es: 5 4 ,

6 6 3. 11 = (11) = 1. 331 3

6.

43 = ( 43) = 6 1.849 6

6

18

5 = 6 53 = 6 125

12

(5x 2 )3 = 4 12 125x 6

12

3

18

12

18 3 3 a 2 = 3 (a 2 )

4 9 x5 = 4

3a5m4 = 12 (3a 5m4 ) = 9a10m8

(x )

12

1 6 3 1 18 3 3 1 18 9 b = (b ) = 2 b 2 2

= 5a 3 x 2

18

= 2 a4

12

4 5x 2 = 4

= 27a 6 x 3

5a 3 x 2

x2 =

= 2 a4

a

4

(3a 2 x)3

2 6

3

12 6 3 2b = 3 (2b) = 3 64b 6

15

Luego el orden es: 5 ,

3

(2b2 )4 = 20 16b8

= 32a 5b5

5m7 =

4

20

12

9

6

2b2 =

20

10. 2

EJERCICIO 236

2.

5

= 6 7a 3b

2 y 3 = 18 (2 y 3 ) = 18 8 y 9

3

20 5 3a = (3a) = 243a 5

3

= 6 16 x 4 y 2

6

1.

4

2

3 6 9

3

Luego el orden es : 43 , 11

2=

18

6

2 =

18

64

3=

18

3

3 =

18

27

9=

18

9 =

18

81

2

Luego el orden es: 9 9 ,

4

3

3,

2 ,

10

6

15

3

EJERCICIO 237

(

)

1. 7 2 − 15 2 = 7 − 15

2= −8 2

(

2. 4 3 − 20 3 + 19 3 = 4 − 20 + 19

3.

)

3 = 3 3 4.

5 − 22 5 − 8 5 = (1 − 22 − 8) 5 = − 29 5

2 − 9 2 + 30 2 − 40 2 = (1 − 9 + 30 − 40) 2 = − 18 2

5.

3 1 1  3 1  3− 2 2− 2= −  2=  2= 2  4 2  4  4 2 4

6.

3 2 3   3 − 5 3 − 3 =  − 1 3 =  3  3= − 5   5  5 5

1 3 7. 2 5 − 5+ 5 2 4 1 3 9   8 − 2 + 3 = 2− +  5=  5  5=   2 4 4  4 1 1 3+5 3− 3 8. 4 8 1 41 1  2 + 40 − 1 3 =  + 5−  3 =   3= 4   8 8 8

(

9. a b − 3a b + 7a b = a − 3a + 7a

)

b = 5a b

(

10. 3x y + a − x

)

y − 2x

y

= (3x + a − x − 2 x) y = a

(

)

11. x − 1

y

3 + (x − 3) 3 + 4 3

= ( x − 1 + x − 3 + 4) 3 = 2 x 3

12.

1 3

3

2 −

2 3

3

2+2

1 2  =  − + 2 3 3  13.

3 5

3

2 −

1 4

3

3

(

2

 1 − 2 + 6 2=   3 

2 +

2 14. x 3 a − a − 2 x

3

)

1 6 3

3

3

2=

5 3

3

 36 − 15 + 10  2 =    60

2 3

2 =

31 3 2 60

a 2 + (2a − 3x ) 3 a 2

= ( x − a + 2 x + 2a − 3x ) 3 a 2 = a 3 a 2

EJERCICIO 238 4. 1.

45 =

3 ⋅5 = 3 5 2

− 27 = − 32 ⋅ 3 = − 3 3

− 4 2 ⋅5 =

− 4 ⋅ 2 3 5 = − 32 5

3 80 =

3 24 ⋅ 5 =

3⋅ 2 2 5 = 12 5

− 5 800 = − 5 24 ⋅ 2 ⋅ 52 = − 5⋅ 22 ⋅ 5 2 = − 100 2

Entonces:

Entonces:

= 3 5− 3 3−2 5

= 105 2 − 100 2 − 32 5 + 12 5

175 =

52 ⋅ 7 = 5 7

243 =

34 ⋅ 3 = 9 3

= (105 − 100) 2 + (− 32 + 12) 5 = 5 2 − 20 5 1 1 2 12 = 2 ⋅3 = 3 5. 2 2 1 1 2 − 18 = − 3 ⋅2 = − 2 3 3 3 4 3 48 = 2 ⋅3 = 3 3 4 4 1 1 2 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 6 6 Entonces:

− 63 = − 32 ⋅ 7 = − 3 7 − 2 75 = − 2 52 ⋅ 3 = − 10 3 Entonces: = 5 7 + 9 3 − 3 7 − 10 3

= 3 + 3 3 − 2 + 2 = (1 + 3) 3 = 4 3

= (5 − 3) 7 + (9 − 10) 3 = 2 7 − 3 6. 3.

7 ⋅ 3⋅ 5 2 = 105 2

− 4 320 =

6

− 20 = − 2 2 ⋅ 5 = − 2 5

= (3 − 2) 5 − 3 3 = 5 − 3 3 2.

7 450 = 7 32 ⋅ 52 ⋅ 2 =

80 =

24 ⋅ 5 =

22 5 = 4 5

− 2 252 = − 2 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 = − 12 7 3 405 =

3 34 ⋅ 5 =

3⋅ 32 5 = 27 5

− 3 500 = − 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 5 = − 3⋅ 2 ⋅ 5 5 = − 30 5 Entonces: = 4 5 + 27 5 − 30 5 − 12 7

= (4 + 27 − 30) 5 − 12 7 = 5 − 12 7

3 3 4 22 ⋅ 3 176 = 2 ⋅ 11 = 11 = 3 11 4 4 4 2⋅3 2 2 2 − 45 = − 3 ⋅5 = − 5= −2 5 3 3 3 1 1 6 23 320 = 2 ⋅5 = 5= 5 8 8 8 1 1 2 5 275 = 5 ⋅ 11 = 11 = 11 5 5 5 Entonces: = 3 11 + 11 − 2 5 + 5

= (3 + 1) 11 − (2 + 1) 5 = 4 11 − 5

7.

1 1 147 = 3⋅ 7 2 = 3 10. 7 7 1 1 2 2 − 700 = − 2 ⋅5 ⋅ 7 = − 2 7 5 5 1 1 1 28 = 22 ⋅ 7 = 7 10 10 5 1 1 6 2 .187 = 3 ⋅3 = 9 3 3 3 Entonces : 1 = 3+9 3−2 7 + 7 5 1  = (1 + 9) 3 +  − 2 +  7  5 = 10 3 −

1 = 3

8.

−

1 = 2

9 7 5

5 3 = 3 5 1 − 2 −5

5 15 1 15 = 3 52 3

3 = 4

13.

25ax 2 = 49b =

1 3 1 3 − =− 2 22 4

2 1 =− 2 22 2

72 b = 7 b

− 9ax 2 = − 32 ax 2 = − 3x a entonces :

1 15 1 = −5 2 2 = − 15 15 3 ⋅5 3

= 5 x a − 3x a + 7 b = (5x − 3x ) a + 7 b

1 3 1 = 3 2 2 = 3 3 12 2 ⋅3 2

= 2x a + 7 b Entonces: 1 1 1 1 = 15 − 15 − 3+ 3 3 3 4 2 2 = 2m n 14. 2 m n 1  1 1 2 2 2 3 =− +  3= − 9m n = − 3 m n = − 3m n  4 2 4 16mn2 =

3 1 = 3 32 3

52 ax 2 = 5x a

24 mn2 = 4n m

− 4mn2 = − 22 mn2 = − 2n m 11. 5 128 =

−

3 3 1 = = 3 4 22 2 Entonces:

Entonces :

5 2 6 ⋅ 2 = 40 2

= 2m n − 3m n + 4n m − 2n m = (2m − 3m) n + (4n − 2n) m

1 1 1 3 1 = − =− 3 3 3 3 32 9

= − m n + 2n m

− 5 98 = − 5 7 2 ⋅ 2 = − 35 2 1 = 27 Entonces:

1 1 1 = 3+ 3− 2 3 2 2 1  1 1 =  +  3− 2  3 2 2 5 1 = 3− 2 6 2

3 1 3 = 34 9 6 15. a 320 x = a 2 ⋅ 5x = 8a 5x

= 40 2 − 35 2 −

1 1 3+ 3 9 9

− 7 5a 2 x

= (40 − 35) 2 = 5 2

= − 7a 5x

− (a − 4b) 5x

Entonces : = 8a 5x − 7a 5x − (a − 4b) 5x

9 = 5

32 ⋅ 5 3 5 = 52 5

−

1 = 6

−

−

1 5 1 =− =− 5 20 2 2 ⋅ 52 10

9.

6 1 =− 6 62 6

6= 6 Entonces: 3 1 = 5− 5 10

1 5− 6+ 6 6

3 1  1  =  −  5 +  − + 1 6  6   5 10  1 5 = 5+ 6 2 6

12.

= (8a − 7a − a + 4b) 5x = 4b 5x

2 700 = 2 2 2 ⋅ 52 ⋅ 7 = 20 7 − 15 4

5 1 = − 15 2 2 = − 5 3 ⋅5 45 5 = 16

1 − 56 = 7 Entonces:

4

5 = 5 24

7 − 56 2 = − 8 7 7

= 20 7 − 8 7 −

16.

9 x − 9 = 32 ( x − 1) = 3 x − 1 4 x − 4 = 22 ( x − 1) = 2 x − 1 −5 x−1 Entonces:

5+

= (20 − 8) 7 = 12 7

5

= 3 x−1+ 2 x−1− 5 x −1 = (3 + 2 − 5) x − 1 = 0

17.

2 a 4 ( x + 3 y ) = 2a 2 x + 3 y

2 a 4 x + 3a 4 y =

EJERCICIO 239

− a 2 9 x + 27 y = − a 2 32 ( x + 3 y ) = − 3a 2 x + 3 y

− 4a + 4 =

(a + 1)

= 3 a +1− 2 a+1+

(a − b)

a+b = a−b

a+1

(a + 1)

2

3

−

= a+1

a 2 − b2

(a − b)

2

= a 2 − b2

− (a + b)

a−b a 2 − b2 = − a 2 − b2 = − (a + b) a+b (a + b)2

(2a − 2b)

1 = 2 (a − b) a−b

1. 029 =

3

73 ⋅ 3 = 7 3 3

3

53 ⋅ 5 = − 5 3 5

625 = −

3

= (2 − 5) 3 5 + 7 3 3 = 7 3 3 − 3 3 5 2 3 250 = 2 3 53 ⋅ 2 = 10 3 2 − 4 3 24 = − 4 3 23 ⋅ 3 = − 8 3 3 − 6 3 16 = − 6 3 23 ⋅ 2 = − 12 3 2 3

a−b

(a − b)

2

=2 a− b

2 .187 =

3

36 ⋅ 3 = 9 3 3

Entonces: = 10 3 2 − 12 3 2 + 9 3 3 − 8 3 3 = (10 − 12) 3 2 + (9 − 8) 3 3 =

= a 2 − b 2 − a 2 − b2 + 2 a − b = 2 a − b

5 3 48 = 5 3 2 3 ⋅ 6 = 10 3 6

3

5.

81 =

3

3

3− 2 3 2

33 ⋅ 3 = 3 3 3

− 3 3 375 = − 3 3 5 3 ⋅ 3 = − 15 3 3

− 3 3 3. 645 = − 3 3 36 ⋅ 5 = − 27 3 5 − 2 3 384 = − 2 3 2 6 ⋅ 6 = − 8 3 6 4 3 1. 715 =

23 ⋅ 5 = 2 3 5

= 2 3 5 − 53 5 + 7 3 3

3.

entonces :

4.

3

Entonces :

a + 1 = (3 − 2 + 1) a + 1 = 2 a + 1

(a − b)

40 =

3

2.

− 22 (a + 1) = − 2 a + 1

Entonces :

19.

=33 2 −23 2 −23 3 = 3 2 −23 3

3a a+1 = 3 a+1 a

1 = (a + 1) a+1

33 ⋅ 2 = 3 2

Entonces:

= (2a 2 − 3a 2 + 5a 2 ) x + 3 y = 4a 2 x + 3 y a+1 = a2

3

− 3 16 = − 3 23 ⋅ 2 = − 2 3 2

= 2a 2 x + 3 y − 3a 2 x + 3 y + 5a 2 x + 3 y

3a

54 =

− 3 24 = − 3 23 ⋅ 3 = − 2 3 3

Entonces :

18.

3

1.

52 a 4 ( x + 3 y ) = 5a 2 x + 3 y

25a 4 x + 75a 4 y =

3

686 =

3

73 ⋅ 2 = 7 3 2

2 3 648 = 2 3 2 3 ⋅ 33 ⋅ 3 = 12 3 3

4 3 7 3 ⋅ 5 = 28 3 5

Entonces :

Entonces:

= 10 3 6 − 8 3 6 − 27 3 5 + 28 3 5

= 3 3 3 + 12 3 3 − 15 3 3 + 7 3 2 = 7 3 2

= (10 − 8) 3 6 + (− 27 + 28) 3 5 = 2 3 6 + 13 13 3 24 = 2 ⋅3 = 3 3 6. 2 2 2 2 − 3 54 = − 3 33 ⋅ 2 = − 2 3 2 3 3 33 33 3 375 = 5 ⋅3 = 3 3 3 5 5 1 1 − 3 128 = − 3 2 6 ⋅ 2 = − 3 2 4 4 Entonces: = 3 3 + 33 3 − 2 3 2 − 3 2

= (1 + 3) 3 + (− 2 − 1) 2 = 4 3 − 3 2 3

3

3

3

3

5

7.

33 33 3 625 = 5 ⋅5 = 3 3 5 5 5 3 3 − 3 192 = − 3 2 6 ⋅ 3 = − 6 3 3 2 2 13 1 1. 715 = 3 7 3 ⋅ 5 = 3 5 7 7 3 3 − 3 1.536 = − 3 2 9 ⋅ 3 = − 3 3 3 8 8 Entonces : = 3 3 5+

3

5−6 3 3−3 3 3

= (3 + 1) 3 5 + (− 6 − 3) 3 3 = 4 3 5 − 9 3 3

3

8. 3

1 = 4

3

1 = 3

3

2 13 2 = 23 2

3 ( ) − 4 − 81 = − 4 (− 3) ⋅ 3 = 12 3 − − 375 = − (− 5) ⋅ 3 = 5 3 3

12. 3 3 − 24 = 3 3 − 2 ⋅ 3 = − 6

9 13 9 = 33 3

2 2 1 =− 3 3 =− 3 2 27 3 3 Entonces: 1 1 1 = 3 2− 3 2+ 3 9 2 3 3 13 1 1  1 1 3 9= 3 2+ 3 9 = −  2+  2 3 3 6 3 −

1 9 = 63 3 3 = 24 2 ⋅3

63

9.

−2

3

1 = 25

3

5 =−2 64

3

3

3

10. 7

3

3

= − 6 3 3 + 12 3 3 + 5 3 3

= (− 6 + 12 + 5) 3 3 = 11 3 3

3 − 10 3 − 40 = − 10 3 (2) (− 5) = − 20 3 − 5

5 13 5 = 53 5

3 − 2 3 − 54 = − 2 3 ( 3) (− 2) = − 6 3 − 2

3

1 = 2

3

Entonces : = 16 3 − 5 − 20 3 − 5 − 6 3 − 2 + 24 3 − 2 = (16 − 20) 3 − 5 + (− 6 + 24) 3 − 2

3

= − 4 3 − 5 + 18 3 − 2

9

= 11.

= 3a

− 20 3

3

3

2

2 − 4b 3 2 + (4b − 3a ) 3 2

3

250b = a

−

3

3

3ab

3

53 2b = 5a

= −b

3

− 5 2a b = − 5a 3

3

2b

3a 3

2b

3

3b 3a Entonces :

2 73 = 2 23 8

5a

3

2b − 5a

3

2b − b 3 3a + 3b

= (− b + 3b) 3 3a = 2b

Entonces: 13 7  1 7 2+ 3 2= +  3 2=  8 8 8 8

3

15. a

3

1 5 = − 20 3 3 3 = − 2 3 5 200 2 ⋅5

=2 3 5−2 3 5+

3

= (3a − 4b + 4b − 3a ) 3 2 = 0

23 3 3 ⋅5 = 2 3 5 3 13 2 13 = 2 2 26 8 7 4

2 3

Entonces :

13 1 3  1 1 4+ 3 4+3 7−3 7= +  3 4= 3 4  4 2 4 2 4

1 = 4

6

3

(4b − 3a)

3

7 4

3

− b 128 = − b 2 ⋅ 2 = − 4b 2 3

4 13 = 4 23 2

2 3 135 = 3 13 1 = 2 32

3 3 2a 3 = 3a

14.

7 7 = − 23 3 = − 3 7 8 2 Entonces:

−2

9 3 3 ( 2) (− 2) = 24 3 − 2

3 3 − 1. 024 =

5 1 =− 3 5 23 ⋅ 23 2

4 13 = 4 26 4

3

6 4 3 (2) (− 5) = 16 3 − 5

4 3 − 320 =

13.

1 7 = 73 3 = 3 7 49 7 1 = 16

3

Entonces:

9

Entonces: 1 1 = 3 2 − 3 5+ 3 9 5 2 3  1 1 =  −  3 5+ 3 9 = − 3 5+  5 2 10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

3a

3

3a

EJERCICIO 240 9. 3 6 ⋅ 14 ⋅ 2 35 = 6 2 . 940 = 6 22 ⋅ 72 ⋅15 = 84 15

3 ⋅ 6 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2

1.

2. 5 21⋅ 2 3 = 10 63 = 10 32 ⋅ 7 = 30 7 3.

1 2 1 1 2 14 ⋅ 21 = 294 = 7 ⋅6 = 6 2 7 7 7

4.

3

12 ⋅ 3 9 = 3 108 = 3 33 ⋅ 4 = 3 3 4

11. 3 3 45 ⋅

53 15 ⋅12 3 50 = 10 3 750 = 10 3 53 ⋅ 6 = 50 3 6 5. 6 6. x 2a ⋅

x 1 5a = 10a 2 = x 10 a a

7. 5 12 ⋅ 3 75 = 15 900 = 15 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450 8.

3 4

3

9a 2 ⋅ 8

3

3ab = 6

3

27a 3b = 6a

3

1 2 3 21 ⋅ 42 ⋅ 22 2 3 7 1 1 2 2 2 = 19 . 404 = 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅11 = 6 11 7 7

10.

33 b = 18a

3

13 15 ⋅ 4 6

12.

5 6

7 3 ⋅ 8 5

13.

2 2 3 a x⋅ x 2

3

20 = 2 3 13 . 500 = 2

3

5 3 ⋅ 33 ⋅ 4 = 30

4

4 1 1 1 2 1 = = = 2 7 2 2 2 22 4 x 3 = a x

1 3 = a3 x

ax 3 = ax a 2 ax

1 x 2 2x 2xy 2 14. 3 y 2 ⋅ 6 y = 2 y 3 = 2 y 4 = y 2

b

3

2xy

EJERCICIO 241 2− 3

1.

2 = 4− 6

2 5 +3 3

5 5 −8 7

2 25 + 10 15

35 25 − 55 35

+ 3 15 + 15 9

− 56 35 + 88 49

7 5 +5 3

= 2 25 + 13 15 + 15 9

= 35 25 − 111 35 + 88 49

2 3

= 10 + 13 15 + 45

= 175 − 111 35 + 616

=

= 791− 111 35

= 2− 6 2.

= 14 15 + 10 9 = 14 15 + 30

6.

2 3+ 5−5 2

3.

(

= 4 2 32 ⋅ 5 + 52 ⋅ 3 − 5 30

(

= 4 6 5 + 5 3 − 5 30 2− 3 2 +2 3 6

+2 6 −2 9 = 4 + 6 −2 9 = 2+ 6 −6 =

2+ 3+ 5

9.

3 7 −2 3

2− 3 4 + 6 + 10

15 21 − 10 9

= 8 45 + 4 75 − 20 30

4 −

55 + 13 15

5 3 +4 7

4 15

4.

7 5 − 11 7

8.

5 +5 3

5.

6 −4

)

− 8 21

)

= 7 21 − 10 9 + 12 49 = 7 21 − 30 + 84

= 4

+ 10 − 9 − 15

= 2

+ 10 − 3 − 15

10.

a −2 x

2 −3 3+ 5 2 + 2 3− 5

3 a + x

4 − 3 6 + 10

3 a 2 − 6 ax

+2 6

+ ax − 2 x 2 = 3 a − 5 ax − 2 x 2

= 3a − 5 ax − 2x

− 9 − 15

= 10 − 15 − 1

= 7 21 + 54 7.

− 6

+ 12 49

2

− 6 9 + 2 15 − 10

+ 3 15 − 25

= 4− 6

− 6 9 + 5 15 − 25

= 2 − 6

− 18 + 5 15 − 5

= 5 15 − 6 − 21

11.

a+1+ a−1

15.

2 3− 6+ 5

a+1+ 2 a−1

3 + 6 +3 5 2 9−

18 +

(a + 1)

2

15

+ 2 18

− 36 + + 6 15

+ a2 − 1 + 2 a2 − 1 + 2

30

− 3 30 + 3 25

(a − 1)

2

= a + 1 + 3 a 2 − 1 + 2a − 2

= 2 9 + 3 ⋅ 2 + 7 15 − 36 − 2 30 + 3 25 2

= 3a + 3 a 2 − 1 − 1

= 6 + 3 2 + 7 15 − 6 − 2 30 + 15 = 7 15 + 3 2 − 2 30 + 15

12.

16. 2 x + 2 − 2

x+2−3

a + a+1 2

( x + 2)

=2

( x + 2)

a + 2 a+1

2

− 2 x+ 2 −6 x+2+6

a2 + a2 + a + 2 a2 + a + 2

(a + 1)

2

−8 x+ 2 + 6

= 2x + 4 − 8 x + 2 + 6

(a + 1)

2

= a2 + 3 a2 + a + 2

2

= 2 x + 10 − 8 x + 2

= a + 3 a 2 + a + 2a + 2 = 3a + 3 a 2 + a + 2

13.

17. 3 a − 2 a + x

2 a +3 a+ x

2 a −3 a−b

6 a 2 − 4 a 2 + ax

3 a + a−b 6 a 2 − 9 a 2 − ab

+ 9 a 2 + ax − 6

(a + x) (a + x)

2

2 a 2 − ab − 3

(a − b)

= 6 a 2 + 5 a 2 + ax − 6

= 6 a 2 − 7 a 2 − ab − 3

(a − b)

= 6a + 5 a 2 + ax − 6a − 6 x

2

2

2

= 5 a 2 + ax − 6 x

= 6a − 7 a 2 − ab − 3a + 3b = 3a + 3b − 7 a 2 − ab

a+ x − a− x

18. 14.

a+ x − 2 a− x

1− x + x 2

(a + x)

2 x + 1− x 2

2

2 x 1− x 2 + 2 x2 x 1− x 2

+

(1− x )

2 2

=

(a + x)

2

−

a2 − x2

− 2 a2 − x2 + 2

(a − x)

− 3 a2 − x2 + 2

(a − x)

= 3x 1 − x 2 + 2 x 2 + 1 − x 2

= a + x − 3 a 2 − x 2 + 2a − 2 x

= 3x 1 − x 2 + x 2 + 1

= 3a − x − 3 a 2 − x 2

2

2

EJERCICIO 242

5.

3

2 x 2 = 6 (2 x 2 ) = 6 4 x 4

6

x3 ⋅ 6 4x4 = 6 4x7

2

6

6

= x 6 4x 2. 3 2ab = 3 4 ( 2ab) = 3 4a b 2

4

2 2

3 4 4a 2b2 ⋅ 4 4 8a 3 = 12 4 32a 5b 2 4

2

2

= 6 81x 4 y 2 81x 4 y 2 ⋅ 6 81x 5 = 6 6 . 561x 9 y 2 = 6 36 ⋅ 32 x 6 x 3 y 2 = 3x 6 9 x 3 y 2

(a 2b2 )4

12

= a 8b8 12

2 4 3a 3b = 2 12 (3a 3b)

3

=2 12

ab ⋅2 8 8

12

12

12

244 .140 . 625x10 y 9

=

12

512 x 10 y 9 = 5 12 x 10 y 9

27a b

7.

27a b = 2 27a b 12

9 3

17 11 3

= 2 27a12 a 5b11 = 2a

12

EJERCICIO 243

2.

4 6 2 3

2 3a

=

1 5

4.

5 3xy

5 11

27a b

=

1 5

25 x 5 ⋅

= 10

15 . 625x 4

10

10

2 4 x 2 ⋅ 10

1 16 x 2

25 ⋅ 2 4 x 2 x 5 24 x 2 5

1

= 25 x 5 = ( 2 x ) 10 = ( 2 x) 2 = 2 x 10

3

2 2b 2 6  2b  2 8b 3 =   = 6 3 3 a 3  a 3 a

9.

4m2 =

1 1  1 =6   =6 3  2x  2x 8x

=

3 6 35 4 37

2 = 6 (x 2 ) = 6 x 4

=

36 1 4 9

6

2

x − 3 6 4 6 x 6 8x ⋅ x = = 6 8 8 2 16 = 8x 2

3a 1 3 = a 5

1 3xy 4 2 = 3. 3 6 x 4 75x 2 y 3

3

6 =2 2 3

=2

10 a

15. 625x 4

3

9 3

2

10

=

12

1.

2 2

12

4 x = 10 (2 2 x ) = 2 4 x 2

5

(125x )

12

10

2 15 (4m2 )5 2 3 3 3 a2 3  a2  3 a4 6  2 15 5 10 =  = 6 4 4 2 2 2 = 4 m 8 4b 8 2 b  8 2 b 3 3 3 4 35 3 15 2 4 3 2 6 2 b 36 a (4 m n) 16m4 n = ⋅ 4 4 3 a 3 8 24 b4 3 15 6 12 3 = 4 m n 1 a 1 6 25 ab5 1 4 32ab5 = 6 = = 4 2b 4 2 6 b 6 8b 2 15 5 10 3 15 6 12 3 4 m ⋅ 4 m n 3 4 3 1 1 1 6  1 16 1 1 15 11 22 3 =   = 4 m n 10. 2 3 2  3 = 2 33 2 1 15 22 22 3 2 = 2 m n 3 3 1 3 6  1 3 1 2 =   = 6 4   2 9 2 9 2 3 1 = 15 215 ⋅ 2 7 m15m7 n 3 2 16 1 36 1 6 15 15 3 ⋅ 4 ⋅ 243 = m 2 7 m7 n 3 = m 128m7 n 3 2 3 2 3

9 x 2 y = 6 (9 x 2 y )

a 2b 2 =

12

10 5 2 x = ( 2 x ) = 25 x 5

8.

15 . 625x 6 y 9 ⋅

6. 3

= 24a 4 2ab 2

3

3 3

2

12

2

= 12 2 ⋅ 2a ab 4

4

6

125x 2 = =

= 4x x

3

(25x y )

12

= 12 15. 625x 6 y 9

6

4.

25x 2 y 3 =

x = 6 x3

1.

3.

4

3xy 2 = 3y x 3 75x 2 y 3 1 1 2 2 = 25xy 2 = 5 xy = y x 3xy 5 5

3 3 16a 5 5.

3

4 2a

2

3 6 34 4 36 1 4 1 2 1 1 = ( 3) 6 = ( 3) 3 = 3 32 = 3 9 4 4 4 4 =

=

3 4

3

5 1 15 6 2 = 6. 10 2 60 3 3 4x a 3 x 2 7.

2 3

2 a x

= 2x

16a 5 3 3 3 3 = 8a = 2a 2 4 4

3

23 a 3 =

3 a 2

1 2 =1 3=1 3 =1 3 2 4 4 4 22 8 3 a 3x2 a ax = 2x = 2x = 2 ax a 2x3 x x2

2a 3 2 x 6ax 2 3 = 8. a 3 3 3a x 3x 2

3

13 3 9. 1 3 6

x2 x2 1 = 2x 2 3 = 2x 2 3 3 = 2x 3 x 2 3 x x x

1 2 6 = 3 1 3 3

1 2 =2 3 3 =2 1 2 3

3

3 ⋅ 22 3 = 12 23

EJERCICIO 244 1.

3

1 1 1 3 2 x = 6 (2 x) = 6 23 x 3 4. 2 2 2 16 3 3 2 x 1 25 x 5 1 2 =2 6 = 2 6 6 6 = 6 32 x 5 16 4 4 2x 2 x x 2 x 4

2 = 6 22 2 = 6 23

=

6

22

6

3

2

=6

22 6 1 6 25 1 6 32 = = = 23 2 26 2

5.

9 x = 6 (32 x ) = 6 36 x 3 = 3 6 x 3 3

2. 3

3x 2 = 6 (3x 2 ) = 6 9 x 4

(5m2n)5 = 15 55 m10n5

3

5m2 n =

5

15 m3n 2 = (m3n 2 ) = m9 n 6

15

3

2

15

=

55 m10 n 5

= 15

15

15

55 m 15 55 mn14 1 15 = = 3 .125mn14 n n15 n

m9 n 6 34 x 5 1 6 x3 1 5 6 6 = 6 4 =3 =3 = 3 6 6 = 81x 12 3 4 5 2 3 4 5 2 2 6 8 10 12 4 3x x 9x 9x4 6. 6 18 x y z = (3 ⋅ 2 x y z ) = 3 ⋅ 2 x y z 9x

36 x3

3.

6

(2 3 a 3b)4 = 12 212 a12b 4 = 2a 12 b4 3 12 12 4 4a 2 = (4a 2 ) = 2 6 a 6 3

8a 3b =

3x 2 y 2 z 3 = 12 (3x 2 y 2 z 3 ) = 12 33 x 6 y 6 z 9 3

4

12

12

=

12

=

2a b 4 12

7.

26 a 6

= 2a

2 6 a 6b 4 12 4 2 4 2 4 = 2 ⋅2 a a b 212 a 12

12

4

= 12 12 y 2 z

3

m 9 27m3 9

27m2

4

1

6

33 x 6 y 6 z 9

=m 9 m

2 4 2 2 6 3 6 8. 5 4ab = 5 (2 ab) = 5 2 a b

2

= ( 2ab) 3 ⋅ (2a ) 6 = 3 2ab ⋅ 6 2a 2 ⇒ 3 2ab = 6 (2ab) =

12

3m4 = 9 (3m4 ) = 9 27m12 = m 9 27m3

3

=

= ( 2ab) 12 ⋅ ( 2a ) 12 1

34 ⋅ 2 2 x 6 y 8 z10

4

2

4

1 1 1 3 2a 2 = 6 (2a 2 ) = 6 2 3 a 6 10 10 10 46 4 2 2 2 ab 2b 2 2a 2 b 2 8 6 = 5 =8 6 4 =8 6 = 2a 2 b 2 1 6 3 6 a a6 a 2 a 10

4a 2b 2

= 6 4a 2b 2 ⋅ 6 2a = 6 8a 3b 2

EJERCICIO 245

(4 2. (2 3. (5 4. (2

) 3) = 2 7) = 5 4) = 2 2

2 = 4 2 2 2 = 16 ⋅ 2 = 32

1.

2

2

3

2

32 = 4 ⋅ 3 = 12

2

2

5.

6.

(3

3

)

2a 2b = 34 3 (2a 2b) = 81 3 23 ⋅ 2 ⋅ a 3a 3a 2b3b = 162a 2b 2a 2b 4

( 8x ) = 4

3

2

4

4

(2 x )

3 3 2

1

= 2 x ( 2 x) 2 = 2 x 2 x

72 = 25⋅ 7 = 175

2 3

24 = 4 3 23 ⋅ 2 = 8 3 2

2

= 4 2 4 ⋅ 22 x 4 x 2 = 2 x 4 22 x 2 = 2 x ( 2 x ) 4

7.

( 81ab ) = 5

3

3

5

(34 ab3 )3 = 5 35 ⋅ 35 ⋅ 32 a 3b5b4 = 9b 5 9a 3b4

( 18 ) = 18 = (18) = (18) = 18 = 3 ⋅ 2 = 3 9. (4a 2 x ) = ( 4a) ( 2 x ) = 16a ( 2 x ) = 32a x 10. (2 x + 1) = 2 ( x + 1) = 4( x + 1) = 4 x + 4 11. (3 x − a ) = 3 ( x − a ) = 9 ( x − a ) = 9 x − 9a 3

6

8.

3 6

3

6

2

2

2

(

= 43

6

2

16.

2

17.

18.

(4

a3 19.

1 2

)

15.

(

(

x +1− 4 x

=

(x + 1)

2

2

− 2 ⋅ 4 x + 1 x + 42 x 2

a + 1− a −1

= 2 − 2 6 + 3= 5− 2 6

=

(a + 1)

(a − 1)

2

− 2 a +1 a −1+

(

)

)

2

(2 x − 1) + 2 ⋅ 2 2 x − 1 2 x + 1 + (2 x + 1) = 4 (2 x − 1) + 4 4 x − 1 + 2 x + 1 2

= 22

= 32 + 8 6 + 3 = 35 + 8 6 5− 7 = 5 − 2 5 7 + 7

2

2

20. 2 2 x − 1 + 2 x + 1

2 + 3 = 4 2 2 2 + 2 ⋅ 4 2 3 + 32

2

)

= a + 1 − 2 a 2 − 1 + a − 1 = 2a − 2 a 2 − 1

2

)

2

)

(

2

2 − 3 = 22 − 2 2 3 + 32

2

(x − 1)

2

= x + 1 − 8 x 2 + x + 16 x = 17 x + 1 − 8 x 2 + x

= 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 a

14.

)

x + x − 1 = x2 + 2 x x − 1 +

= 2x + 2 x2 − x − 1

3

3 6

(

(

= x + 2 x2 − x + x − 1

= 64 6 36 a 6a 3b 6b 6

13.

2

2

)

6

)

7 − 6 = 52 7 2 − 2 ⋅ 5⋅ 6 7 + 62 = 175 − 60 7 + 36 = 211 − 60 7

(32 a 3b4 )3

= 192ab 2

(5

2

2

2

9a 3b 4

6

2

2

2

2

12. 4

1 2

2

2

2

= 8x − 4 + 4 4 x2 − 1 + 2 x + 1

= 5 − 2 35 + 7 = 12 − 2 35

= 10 x − 3 + 4 4 x 2 − 1

EJERCICIO 246 1.

8.

1

2

a = a = (a) 6 = a 3 = 3 a 2

3

2

6

3

1

2.

3

8 = 8 = ( 2) 6 = ( 2) 2 = 2

3.

4

81 = 3 = ( 3) 8 = ( 3) 2 = 3

6

8

5.

7.

1

3

12

9.

35 3 =

10.

4

3

6

2

2 6

2

6

3

35 ⋅ 3 = 36 = (3) 10 = (3) 5 = 5 33 = 5 27 10

4

2

1

1

2 ⇒ ab = 4 ( ab) = 4 a 2b 2

1 3

= 4 a 2b 2

1 2

2 2 = 3 2 2 ⋅ 2 = 6 2 3 = ( 2) = ( 2) = 2 2

5

= ab ⋅ 4 b

3 6

4

1

a 4b 6 = 8 a 4b 4b 2 = ( ab) 8 (b) 8 = ( ab) 2 (b) 4

4a = 2 a = (2a ) = (2a ) = 3 2a 2

3

27a 3 = 33 a 3 = (3a) 12 = (3a) 4 = 4 3a

3a = 4 3a

4.

6.

4

4

3 4

b=

10

11.

5 3

12.

3

1

25a 2 = 8 52 a 2 = (5a) 8 = (5a ) 4 = 4 5a

4

4

a 2b 3

2

x10 = 15 x10 = x 15 = x 3 = 3 x2

(a + b)

2

= 6 (a + b) = (a + b) 6 = (a + b)3 = 3 a + b 2

2

1

EJERCICIO 247 1

1. 2.

3 5 2

⋅ ⋅

3 3 2 2

= =

3 32 5 2 22

= =

3 3 5 2 2

5

3 5 3 5 3 5 3 5 ⋅ = = = 3. 4 ⋅5 20 4 5 5 4 52 2a

4.

2ax

⋅

2ax 2ax

=

2a 2ax 22 a 2 x 2

=

2a 2ax = 2ax

5. 2ax x

3

4a 1

6.

3

9x

2

⋅

⋅

3 3

2a 2a

3

2

3x

3

3x 2

= =

5 3 2a 3

3

3

2 a

3

3x 2

3

33 x 3

= =

5 3 2a 2a 3

3x 2 3x

3 7.

4

9a

⋅

4 4

6 8.

5 3 3x x

9.

4

27x

2

⋅

32 a 3 2

3 a

=

3

3

3 x

3

32 x 2

⋅

2

4 4

2

3x 2 3x

2

3 4 32 a 3 4

=

=

4

3 a 3

=

4

2

6 3 x

2

=

5 3 33 x 3 x 4 3x 2 4

4

3 x

=

4

3 4 9a 3 4 9a 3 = a 3a 3

2

3

10.

6 9x 2 9x = 15x 5x

1 5

8a

4

⋅

5

22 a

5

2

2 a

=

5 5

4a 5

2 a

5

=

5

4a 2a

2

mn 5n2 mn 5n2 mn 5n mn 5n ⋅ = = = 11. 3mn 3m 3 mn mn 3 m2n2

2

1

x 4 3x 2 4 3x 2 = 3x 3

12.

4

5a 25x

3

⋅

4

52 x

4

2

4

=

5 x

25x 4

4

5a 5 x

4

=

4

25x 25ax

EJERCICIO 248

1.

3 − 2 1− 2 3 − 3 2 − 2 + 22 3 − 4 2 + 2 5 − 4 2 ⋅ = = = =4 2 −5 1− 2 −1 1+ 2 1− 2 1− 22

2.

5 + 2 3 4 + 3 20 + 5 3 + 8 3 + 2 32 20 + 13 3 + 6 26 + 13 3 ⋅ = = = =2+ 3 16 − 3 13 4− 3 4+ 3 4 2 − 32 2 − 5

3.

2+ 5

7 +2 5

4.

7− 5

2 − 5

⋅

2 − 5 7+ 5

⋅

7+ 5

22 − 2 2 5 + 52

=

2 − 5 2

=

2

=

2 − 2 10 + 5 7 − 2 10 2 10 − 7 = = 2−5 3 −3

7 + 35 + 2 35 + 2 52 2

72 − 52

=

7 + 3 35 + 10 17 + 3 35 = 7−5 2

5.

2 − 3 5 2 2 − 5 2 22 − 10 − 6 10 + 3 52 4 − 7 10 + 15 19 − 7 10 ⋅ = = = 8−5 3 2 2+ 5 2 2− 5 2 2 22 − 5 2

6.

19 5 2 +4 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3 ⋅ = = = 50 − 48 2 5 2 − 4 3 5 2 + 4 3 5 2 2 2 − 4 2 32 3 2

⋅

7 2 +6 3

=

21 22 + 18 6

=

42 + 18 6 42 + 18 6 21+ 9 6 = =− 98 − 108 5 − 10

7.

7 2 −6 3 7 2 +6 3

8.

4 3 − 3 7 2 3 − 3 7 8 32 − 12 21 − 6 21 + 9 7 2 24 − 18 21 + 63 87 − 18 21 6 21 − 29 ⋅ = = = = 12 − 63 − 51 17 2 3+3 7 2 3−3 7 2 2 32 − 32 7 2

9.

5 2 − 6 3 4 2 + 3 3 20 22 + 15 6 − 24 6 − 18 32 40 − 9 6 − 54 − 14 − 9 6 14 + 9 6 ⋅ = = = =− 2 2 2 2 32 27 5 5 − 4 2 −3 3 4 2 +3 3 4 2 −3 3 7 + 3 11

5 7 − 4 11

10. 5 7 + 4 11 ⋅ 5 7 − 4 11 = 11.

5 7 2 − 4 77 + 15 77 − 12 112 5 2 7 2 − 4 2 112

=

35 + 11 77 − 132 − 97 + 11 77 = = 97 − 11 77 175 − 176 −1

5 + 2 7 − 2 10 7 5 − 2 50 + 7 2 − 2 20 ⋅ = 7 + 2 10 7 − 2 10 7 2 − 2 2 10 2 =

12.

7 2 22 − 6 2 3 2

7 5 − 2 5 2 ⋅ 2 + 7 2 − 2 22 ⋅ 5 49 − 40

=

7 5 − 10 2 + 7 2 − 4 5 3 5 − 3 2 5− 2 = = 9 9 3

9 3 − 3 2 6 + 6 54 3 + 9 18 − 18 2 − 3 12 ⋅ = 6− 6 6+ 6 62 − 62 =

54 3 + 9 3 2 ⋅ 2 − 18 2 − 3 2 2 ⋅ 3 36 − 6

=

54 3 + 27 2 − 18 2 − 6 3 48 3 + 9 2 16 3 + 3 2 = = 30 30 10

13.

a+ x

⋅

2 a− x

2 a+ x 2 a− x =

2 a 2 − ax + 2 ax − x 2 2

a −

2

2

x − x−1 14.

x + x−1 =

=

x

=

2

x+2 − 2

2a + ax − x 4a − x

=

=

x − x−1

(x − 1)

2

x2 − 2 x x − 1 +

(x − 1)

x − 2 x2 − x + x − 1 x − ( x − 1)

= a − a+1

15.

a + a+1 =

a − a +1

⋅

x + 2 + 2 2x + 4 + 2 x + 4 + 2 2x + 4 = x+ 2− 2 x a

(a + 4)

a+4−

a

a+4−

a

−2 a+4

(a + 4)

2

a + a2

− a2

a + 4 − 2 a 2 + 4a + a 2a + 4 − 2 a 2 + 4a = 4 a + 4− a =

(a + 1)

(a + 1)

a+b− a−b

18.

2

a− 2 a + a + a+1

a+b + a−b

(a + b)

2

a − (a + 1)

=

a + 2 − a 2 + 4a 2

2a + 1 − 2 a + a = 2 a 2 + a − 2a − 1 −1

=

⋅

a+b− a−b a+b− a−b

−2 a+b

a−b+

(a + b)

(a − b)

2

2

=

⋅

2

a2 − 2 a a + 1 + a2 −

2 + 22

− 22

a − a +1

2

=

2

2

= 2 x − 1− 2 x 2 − x

x+2 + 2

( x + 2)

a+4 + a =

x+2 + 2

⋅

+2 x+2

a+4−

17.

2

x2 −

( x + 2)

2

x − x−1

⋅

x+2 + 2

16.

−

a + b − 2 a 2 − b2 + a − b a+b− a+b

(a − b)

2

2

=

2a − 2 a 2 − b 2 a − = 2b

a 2 − b2 b

EJERCICIO 249

( (

) )

2+ 3 + 5 3 ⋅ 2 + 3− 5 2 + 3 + 5

1.

= =

(

6 + 9 + 15

) ( ) 2

= =

(

)

3 + 6 + 15 3 + 6 + 15 2 6 6 6 + 2 36 + 2 90 6 6 + 12 + 6 10 6 6 + 2 + 10 2 + 6 + 10 = ⋅ = = = = 2 24 24 4 2 + 2 6 + 3− 5 2 6 2 6 2 6

( )

2 ⋅ 2 + 3+ 6

2.

2

2+ 3 − 5

(

( (

) 3) −

2+ 3 − 6 2+

6

2 + 6 − 12

) ( 6) 2

2+ 3 −

2

2 + 6 − 2 3 2 + 6 − 2 3 2 6 + 1 4 6 + 2 + 12 + 6 − 4 18 − 2 3 5 6 + 14 − 12 2 − 2 3 = ⋅ = = 2 23 2 + 2 6 + 3− 6 2 6−1 2 6+1 2 6 −1

( )

3.

( (

) )

2+ 3 − 5 2− 3 ⋅ 2+ 3+ 5 2+ 3 − 5 =

3+ 5 ⋅ 2 + 3+ 5

4.

4 − 3 − 2 5 + 15

(2 + 3) − ( 5) 2

=

2

=

1 − 2 5 + 15 4 + 4 3 + 3− 5

=

=

1 − 2 5 + 15 2 − 4 3 ⋅ 2+ 4 3 2− 4 3

=

= = =

2 − 4 3 − 4 5 + 8 15 + 2 15 − 4 45

(

22 − 4 3

=

=

2

2 − 4 3 − 4 5 + 10 15 − 12 5 − 44

(

)= 2

2 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1 44 6+ 3+ 2 ⋅ 6+ 3− 2

5.

)

( (

=

3 + 8 5 − 5 15 − 1 22

) )

=

6+ 3 + 2 6+ 3 + 2

) ( 2) 2

2

6+ 3 −

) 3) −

2+ 3 − 5 2+

5

6 + 10 + 3 − 5

(

) ( 5) 2

2

2+ 3 −

10 + 6 − 2 2 + 2 6 + 3− 5 10 + 6 − 2 2 6 ⋅ 2 6 2 6 2 60 + 2 36 − 4 6

(2 6 )

2

4 15 + 12 − 4 6 24

(

4 15 + 3 − 6 24 2− 5 ⋅ 2 + 5 − 10

6.

6 + 3 + 2 + 2 18 + 2 12 + 2 6

(

( (

)=

( (

15 + 3 − 6 6

) 5) +

2 + 5 + 10 2+

=

2 − 5 + 20 − 50 2 + 2 10 + 5 − 10

10

=

11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 6 + 2 18 + 3 − 2

=

=

11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 2 18 − 7 ⋅ 2 18 + 7 2 18 − 7

2 5 − 5 2 − 3 2 10 + 3 ⋅ 2 10 − 3 2 10 + 3

=

4 50 + 6 5 − 10 20 − 15 2 − 6 10 − 9 40 − 9

=

22 18 − 77 + 12 36 − 42 2 + 8 54 − 28 3 + 4 108 − 14 6

(2

)

20 2 + 6 5 − 20 5 − 15 2 − 6 10 − 9 31 5 2 − 14 5 − 6 10 − 9 = 31

2

18 − 49

=

66 2 − 77 + 72 − 42 2 + 24 6 − 28 3 + 24 3 − 14 6 72 − 49

=

24 2 − 4 3 + 10 6 − 5 23

=

EJERCICIO 250 2

1.

2+ 3

2− 3

⋅

2− 3

=

2− 6 2− 6 = 6 −2 = −1 2−3

3.

2 + 5 1+ 5 ⋅ 1− 5 1+ 5 =

3

2.

3 −2 5 =

⋅

3 +2 5 3 +2 5

3 + 2 15 3 + 2 15 3 + 2 15 = =− 3 − 20 − 17 17

2+2 5 + 5 +5 7+3 5 7+3 5 = =− 1− 5 −4 4 2+ 5

4.

2− 5 =

⋅

2+ 5 2+ 5

2 + 2 10 + 5 7 + 2 10 7 + 2 10 = =− 2−5 −3 3

5.

2 3− 7

5 2 +3 3 3 2 +4 3 ⋅ 3 2 −4 3 3 2 +4 3

7.

3− 7

6 − 2 21 − 21 + 7 13 − 3 21 3 21 − 13 = = 3−7 −4 4

=

6.

3− 7

⋅

3+ 7

=

6 + 2 5 2 6 + 5 12 + 5 30 + 10 22 + 5 30 ⋅ = = 24 − 5 19 2 6− 5 2 6+ 5

30 + 29 6 + 36 66 + 29 6 66 + 29 6 = =− 18 − 48 − 30 30

7 − 2 11 2 7 − 11 14 − 5 77 + 22 36 − 5 77 ⋅ = = 28 − 11 17 2 7 + 11 2 7 − 11

8.

EJERCICIO 251 1.

6. 15 −

x−8=2

(

)

3

7 x − 1 = 12

2

3=

3

7x − 1

x − 8= 4

33 =

(

7x − 1

x − 8 = 22

3

x + 10 − x + 19 = − 1

9.

(

) (

2. 5 − 3x + 1 = 0

5 = 3x + 1

3

5 = x + 19 52 =

25 = 3x + 1 24 = 3x 8= x

7.

x + x+ 7 =7

(

)

32 =

)

9 x 2 − 5 = (3x − 1)

2

9 x − 5 = 9 x − 6x + 1 2

− 6 = − 6x 1= x x2 − 2x + 1 = 9 − x

( x − 1)

2

11.

( ) x

8.

) ( 2

4 x − 11 = 7 2 x − 29

= 9− x

x − 1= 9 − x 2 x = 10 x=5

2

(

2

2

5x − 19 − 5x = − 1

(

) ( 2

5x − 19 =

)

5x − 1

2

5x − 19 = 5x − 2 5x + 1 − 20 = − 2 5x

) ( 2

3x − 5 = 9 − 3x − 14

10 = 5x 100 = 5x

)

2

20 = x

3x − 5 = 81 − 18 3x − 14 + 3x − 14 − 72 = − 18 3x − 14 4 =

)

4 x − 11 = 49 (2 x − 29)

3x − 5 + 3x − 14 = 9

2

5.

(

9= x

9 x 2 − 5 = 3x − 1

2

)

4 x − 11 = 98 x − 1. 421 1. 410 = 94 x 15 = x

3= x

9 x 2 − 5 − 3x = − 1

(

)

− 6= − 2 x

2

x + 19

4 x − 11 = 7 2 x − 29

1= 7 − 2 x

5x − 2 = 23 5x − 2 = 8 5x = 10 x=2

4.

) (

x+ 7 = 7− x

2

7 = 49 − 14 x

5x − 2 = 2 3

3

10.

2

x + 7 = 49 − 14 x + x

3. 7 + 3 5x − 2 = 9

(

(

25 = x + 19 6= x

5 = (3x + 1)

3

2

− 10 = − 2 x + 19

2

2

x + 19 − 1

x + 10 = x + 19 − 2 x + 19 + 1

)

27 = 7 x − 1 28 = 7 x 4= x

x = 12

)

2

x + 10 =

(

3x − 14

16 = 3x − 14 30 = 3x 10 = x

)

2

12.

x − 2 + 5 = x + 53

(

) ( 2

x− 2 +5 =

x + 53

x − 2 + 10 x − 2 + 25 = x + 53 10 x − 2 = 30 x−2=3 x− 2= 9 x = 11

)

2

13.

9 x − 14 = 3 x + 10 − 4

(

) ( 2

9 x − 14 = 3 x + 10 − 4

18.

)

2

9 x − 14 = 9 ( x + 10) − 24 x + 10 + 16

9 x + 7 − x − 16x − 7 = 0

(

(− 2

5 = x + 10 25 = x + 10 15 = x

) ( 2

x+8−4

16 x − 7

)

2

)

9 x 2 + 7 x = (6 x − 14) 2

2

4 (9 x 2 + 7 x ) = 36x 2 − 168 x + 196 36 x 2 + 28x = 36 x 2 − 168 x + 196 196 x = 196 x =1

x − 16 − x + 8 = − 4 x − 16 =

2

− 2 9 x 2 + 7 x = 6 x − 14

− 120 = − 24 x + 10

(

) (

x =

9 x + 7 − 2 9 x 2 + 7 x + x = 16 x − 7

− 14 = 90 − 24 x + 10 + 16

14.

9x + 7 −

)

2

x − 16 = x + 8 − 8 x + 8 + 16 − 40 = − 8 x + 8 25 = x + 8 5x − 1 + 3 = 5x + 26

(

) ( 2

5x − 1 + 3 =

5x + 26

(

) ( 2

9 x + 10 − 2 x + 3 =

2

13x + 22 − x + 2 = 4 9 x 2 + 37 x + 30

)

12 x + 24 = 4 9 x 2 + 37 x + 30 3x + 6 =

6 5x − 1 = 18

(3x + 6)

2

5x − 1 = 3

9 x 2 + 37 x + 30

(

=

9 x 2 + 37 x + 30

)

2

9 x 2 + 36x + 36 = 9 x 2 + 37 x + 30 36 − 30 = 37 x − 36 x 6= x

5x − 1 = 9 5x = 10 x= 2

13 − 13 + 4 x = 2 x

(13 − 2 x ) = ( 2

13 + 4 x

)

2

169 − 52 x + 4 x = 13 + 4 x

20.

− 52 x = − 156 x=3 x=9 17.

)

2

5x − 1 + 6 5x − 1 + 9 = 5x + 26

16.

x− 2

9 x + 10 − 4 9 x 2 + 37 x + 30 + 4 ( x + 3) = x − 2

17 = x 15.

9 x + 10 − 2 x + 3 = x − 2

19.

5= x + 8

(

) (

x− 4 + x+ 4 = 2 x−1

x − 4 + 2 x − 16 + x + 4 = 4 ( x − 1)

)

2

2

2 x + 2 x − 16 = 4 x − 4 2

(2

)

x 2 − 16 = (2 x − 4) 2

(

) ( 2

18 x − 8 =

2x − 4 + 2 2x + 1

)

2

4 x 2 − 64 = 4 x 2 − 16x + 16 − 80 = − 16 x 5= x

2

18 x − 8 = 2 x − 4 + 4 4 x 2 − 6x − 4 + 4 (2 x + 1) 18 x − 8 = 10 x + 4 4 x 2 − 6x − 4

x− 4 + x+4 = 2 x−1 2

18 x − 8 − 2 x − 4 − 2 2 x + 1 = 0

8x − 8 = 4 4 x 2 − 6x − 4 2 x − 2 = 4 x2 − 6x − 4

(2 x − 2)

2

=

(

4 x2 − 6x − 4

4 x 2 − 8x + 4 = 4 x2 − 6x − 4 − 2x = − 8 x=4

)

2

21.

8 x + 9 − 18 x + 34 + 2 x + 7 = 0

(

) ( 2

8x + 9 + 2 x + 7 =

18 x + 34

)

2

x − a + x + a = 4 x − 2a

24.

8 x + 9 + 2 16 x 2 + 74 x + 63 + 2 x + 7 = 18 x + 34

(

) ( 2

x− a + x+ a =

10 x + 16 + 2 16 x + 74 x + 63 = 18 x + 34 2 16 x + 74 x + 63 = 8 x + 18

2 x 2 − a 2 = 2 x − 2a

16 x + 74 x + 63 = 4 x + 9 2

2

)

x2 − a2 = x − a

+ 74 x + 63 = (4 x + 9)

(

2

16 x 2 + 74 x + 63 = 16 x 2 + 72 x + 81 2 x = 18 x=9

(

) ( 2

x−2 − x−5 =

4 x − 23

)

x − 2 − 2 x 2 − 7 x + 10 + x − 5 = 4 x − 23

(

x 2 − 7 x + 10

)

(

) (

x+6+2 x+9 =

9 x + 70

x + 6 + 4 x 2 + 15x + 54 + 4 ( x + 9) = 9 x + 70

26.

)

4 x 2 + 15x + 54 = 4 x + 28 x 2 + 15x + 54 = x + 7

(

)

2

x 2 + 15x + 54 = x 2 + 14 x + 49 x= −5

2

2

x + 4a − x + 2 a − 1 = 1

(

) ( 2

x + 4a − 1 =

x + 2a − 1

2a + 2 = 2 x + 4a a + 1 = x + 4a

(a + 1) = ( 2

x + 4a

a 2 + 2a + 1 = x + 4a a 2 − 2a + 1 = x

(a − 1)

2

x + 15x + 54 = ( x + 7) 2

)

x + 4 a − 2 x + 4 a + 1 = x + 2a − 1 2

5x + 42 + 4 x 2 + 15x + 54 = 9 x + 70

2

x + 2b

2

2

2

2

2

x + 6 − 9 x + 70 = − 2 x + 9

23.

) (

x − 4ab =

( x ) = (a + b) x = (a + b)

2

64 − 16 x + x = x − 7 x 10 54 = 9 x 6= x 2

(

x =b+ a

− x + 8 = x 2 − 7 x + 10 =

x − 4ab = − 2b + x

4b x = 4b 2 + 4ab

− 2 x + 16 = 2 x 2 − 7 x + 10

(8 − x)

2

x − 4ab = x − 4b x + 4b 2

2 x − 7 − 4 x + 23 = 2 x 2 − 7 x + 10

2

2

2ax = 2a 2 x=a

25.

2

) = (x − a)

x2 − a2

x 2 − a 2 = x 2 − 2ax + a 2

x − 2 − x − 5 = 4 x − 23

22.

2

2 x + 2 x 2 − a 2 = 4 x − 2a

2

( 16x

)

x − a + 2 x 2 − a 2 + x + a = 4 x − 2a

2

2

4 x − 2a

=x

)

2

)

2

EJERCICIO 252 10 x

x + x+5=

1.

6 = x+8− x x+8

5.

) ( 2

x 2 + 5x = 10 − x 2

2

(

)

x 2 + 8 x = ( x + 2) 2

x= 4 55 4 x − 11

4 x − 11 + 2 x = 2

x=1 8 = x+9 x− 3+ x+9

6.

(x − 3)(x + 9) + 8 = (x + 9)

2

+ 2 x (4 x − 11) = 55

x 2 + 6 x − 27 + 8 = x + 9

4 x − 11 + 2 4 x 2 − 11x = 55

(

2 4 x 2 − 11x = 66 − 4 x

)

x 2 + 6 x − 27 = ( x + 1) 2

)

4 x 2 − 11x = (33 − 2 x) 2

2

4 x 2 − 11x = 1. 089 − 132 x + 4 x 2 121x = 1. 089 x=9

x= 7

x+4 x + 11 = x−2 x −1

7.

(

x+4

)(

) (

x −1 =

( x − 4)

=

(

x−2

)

2

18 = 6 x

x2 − x2 − 7x = 4 2

)(

x + 11

x + 3 x − 4 = x + 9 x − 22 2

4 x

x − x− 7 =

3.

2

x 2 + 6 x − 27 = x 2 + 2 x + 1 4 x = 28

4 x 2 − 11x = 33 − 2 x

(

2

x 2 + 8x = x2 + 4 x + 4 4x = 4

25x = 100

(4 x − 11)

− x ( x + 8)

x 2 + 8x = x + 2

)

x 2 + 5x = 100 − 20x + x 2

2.

2

6 = x + 8 − x 2 + 8x

x 2 + x 2 + 5x = 10

(

(x + 8)

6=

x − 7x 2

3= x

)

( 3) = ( x )

2

2

2

9= x

x 2 − 8 x + 16 = x 2 − 7 x 16 = x

2 x + 6 − 4x − 3 =

8. .

2 4.

(

)(

x−2

x−2 x +1 = x+4 x + 13

) (

x + 13 =

)(

x +1

x =5

( x)

2

= 52

x = 25

(x + 6)(4 x − 3) − (4 x − 3) = 9 2 4 x + 21x − 18 − (4 x − 3) = 9 2

2

x+4

x 2 + 11 x − 26 = x 2 + 5 x + 4 6 x = 30

9 4x − 3

)

2 4 x 2 + 21x − 18 − 4 x + 3 = 9

(2

)

4 x 2 + 21x − 18 = (4 x + 6) 2

2

4 (4 x 2 + 21x − 18) = 16x 2 + 48 x + 36 16 x 2 + 84 x − 72 = 16 x 2 + 48 x + 36 36 x = 108 x= 3

x −2 2 x −5 = x + 2 2 x −1

9.

(

)(

) (

x + 14 − x − 7 =

10.

(x + 14)(x − 7) − (x − 7) = 6 x + 7 x − 98 − ( x − 7) = 6 2

)(

x − 2 2 x −1 = 2 x −5

x+2

)

2

2 x − 5 x + 2 = 2 x − x − 10 2

6 x−7

2

x 2 + 7 x − 98 − x + 7 = 6

12 = 4 x

(

3= x

)

x 2 + 7 x − 98 = ( x − 1) 2

2

x 2 + 7 x − 98 = x 2 − 2 x + 1 9 x = 99

(3)2 = ( x )

2

9= x

x = 11

EJERCICIO 253 1.

− a 2 = a 2 (− 1) = a − 1 = a i

7.

− 12 = 22 ⋅ 3(− 1) = 2 3 − 1 = 2 i 3

2.

− 2 = 2 (− 1) = 2 − 1 = 2 i

8.

− 7 = 7 (− 1) = 7

9.

− 27 = 32 ⋅ 3(− 1) = 3 3 − 1 = 3i 3

( ) 4. − 81 = 9 (− 1) = 9 − 1 = 9 i 5. − 6 = 6 (− 1) = 6 − 1 = 6 i 6. 3 − b = 3 b b (− 1) = 3b (− 1) = 3b 3. 2 − 9 = 2 32 − 1 = 6 − 1 = 6 i 2

4

2 2

2

2

i

(− 1) =

7i

10.

− 4m4 = 2 2 m2 m2 (− 1) = 2m2 − 1 = 2 i m2

11.

−

12.

− a 2 − b2 = − 1(a 2 + b 2 ) = − 1 a 2 + b2 = i a 2 + b 2

1 1 1 1 = 2 (− 1) = −1= i 16 4 4 4

EJERCICIO 254 1.

−4=

22 (− 1) = 2 i

− 16 = 42 (− 1) = 4 i = 2 i + 4 i = 6i

4.

3 − 64 = 3 82 (− 1) = 24 i − 5 − 49 = − 5 72 (− 1) = − 35i 3 − 121 = 3 11 (− 1) = 33i

7.

2

− 2 − 45 = − 2 32 ⋅ 5(− 1) = − 6 5 i

= 24 i − 35i + 33i = 22 i 2.

− 25 =

52 (− 1) = 5i

− 81 =

9 2 (− 1) = 9 i

− − 49 = − 72 (− 1) = − 7 i = 5i + 9 i − 7 i = 7 i 3.

2 − 9 = 2 32 (− 1) = 6 i 3 − 100 = 3 102 (− 1) = 30 i = 6 i + 30 i = 36 i

( ) − a = a a (− 1) = a i − a = a a (− 1) = a i = 2a i + a i + a i = i (2a + a + a ) − 18 = 3 ⋅ 2 (− 1) = 3 2 i 6. − 8 = 2 ⋅ 2 (− 1) = 2 2 i 2 − 50 = 2 5 ⋅ 2 (− 1) = 10 2 i

3 − 125 = 3 52 ⋅ 5(− 1) = 15 5 i

2 2 5. 2 − a = 2 a − 1 = 2a i 4

2

6

4

2

2

2

3

= 6 5 i − 6 5 i + 15 5 i = 15 5 i

2

3

2

3 − 20 = 3 22 ⋅ 5 (− 1) = 6 5 i

3

8.

− a4 =

a 4 (− 1) = a 2 i

4 − 9a 4 = 4 32 a 4 (− 1) = 12a 2 i

2

− 3 − 4a 4 = − 3 2 2 a 4 (− 1) = − 6a 2 i

2

= a 2 i + 12a 2 i − 6a 2 i = 7a 2 i

2

= 3 2 i + 2 2 i + 10 2 i = 15 2 i

EJERCICIO 255 − 16 ⋅ − 25

1.

(

−1

= 20 (− 1)

)

2

= 6 35

= 9 − 1⋅ 7 − 1

( − 1)

= 15 (− 1)

= − 63

= 60 9 4

)

2

= 60 ⋅ 3⋅ 2 (1) = 360

(

)

2

−1

= 960 (− 1)

= 6 4 72 = 12 ⋅ 7 (− 1)

2

− 3⋅ − 2

−4+ −9

12.

− 25 − − 16

= 7 − 1⋅ 2 − 1 ⋅ 3 − 1

= 3 − 1⋅ 2 − 1

3

10

e− 1j = 42 e − − 1j = 42

( − 1)

2

= 6 (− 1)

( − 1) + 15( − 1) − 8 ( − 1) − 12 ( − 1) 2

2

2

2

10 (− 1) + 7 (− 1) − 12 (− 1)

= − 42 − 1

=− 6

2

= 15 xy

− 49 ⋅ − 4 ⋅ − 9

8.

( − 1)

= − 15 xy (− 1)

= − 84

= − 960

= − 10 − 7 + 12 = − 5

= − 42 i

14. 2 − 2 + 5 − 3

−2 +3 −5

−2−4 −3

2 −2 −6 −5 2 4

= − 15 xy

( ) −1

4

= − 5 x − 1⋅3 y − 1

= 2 7 − 1⋅3 4 7 − 1

= 30 − 1 ⋅ 32 − 1

( − 1)

11. − 5 − x ⋅ 3 − y

7. 2 − 7 ⋅ 3 − 28

= 5⋅ 6 − 1 ⋅ 4 ⋅ 8 − 1

13.

= 2 3 − 1⋅ 3 3 − 1⋅ 2 2 − 1⋅5 2 − 1

= − 15

3. 5 − 36 ⋅ 4 − 64

= 6

(

−1

− 12 ⋅ − 27 ⋅ − 8 ⋅ − 50

10.

= 3 − 1 ⋅ 25 3 − 1 = 5 32

= 63 (− 1)

4.

= − 30 i

− 3 ⋅ − 75

2

= 960

= − 30 − 1

= − 6 35 6.

( − 1) 100 (− − 1)

=3

2

= 6 35 (− 1)

− 81 ⋅ − 49

= 63

( − 1)

−1

3

= 3 2 ⋅ 5⋅ 10

= 2 5 − 1⋅ 3 7 − 1

= − 20 2.

= 2 − 1 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 10

5. 2 − 5 ⋅ 3 − 7

= 4 − 1⋅5 − 1 = 20

− 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ − 10

9.

( − 1) + 6 10 ( − 1) − 6 10 ( − 1) − 18 2

2

2

4 (− 1) − 90 (− 1)

2 4 25

( − 1)

( − 1) + 5 6 ( − 1) − 8 6 ( − 1) − 20 9 ( − 1) 2

2

2

2

4 (− 1)

= − 4 + 90 = 86

− 3 6 (− 1)

2

− 60 (− 1)

= − 4 + 3 6 + 60 = 56 + 3 6

EJERCICIO 256 − 16 1.

−4

=

4 −1 2 −1

=2

− 10 2.

−2

=

10 − 1 2 −1

=

10 = 5 2

− 81 3.

−3

=

9 −1 3 −1

=

9 3

=

9 3 9

=

9 3 =3 3 3

− 90 4.

−5

=

− 150 5.

−3

3 10 − 1

=

5 −1 5 6 −1 3 −1

=3

=5

7.

10 =3 2 5

6.

5 −4

=

60 − 1 10 − 1

−6

− 315 8.

6 =5 2 3

−7 − 27

4

9.

10 − 36

2 − 18

=6

−3

4

4

10.

4

=

− 300 − 12

6 −1

7 −1

4

27 − 1

4

=

3 −1 4

6 2

=

3 35 − 1

=

=

6 2 −1

6

=3

6 12

=

36

6 22 ⋅ 3 6

=2 3

35 =3 5 7 2

=4

1

27 4 = 9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3 3

300 − 1

4

=

12 − 1

2

=4

1

300 4 = 25 = 4 5 2 = 5 4 = 5 2 = 5 12

EJERCICIO 257 1. 2 + 3 − 1

4. 5 +

−1

7. 2 + − 2

5 − 2 −1

7 + 2 −1

4− − 3

7+

9 + 7 −1

−1

7+ i

6+

21+ 10 − 1

( 6+ ( 6+

21+ 10 i 2. − 4 − 5 − 1 5.

− 2 + 8 −1 − 6 + 3 −1 − 6 + 3i

3 − 2i 5 − 8i − 10 + 13 i

6.

8 + 7 −1

)

)

2− 3 i

− 4 + − 16

) ( 2)+ ( 2)+ ( 2)+ (

(3 + (3 + (3 + (3 +

1 − i 4 + 3i

5 + 2 + 7i

20 − 4 i

2 i − 3i

)

2− −9

2 + 5i

20 − 4 − 1

2 −1− 3 −1

7+ −5

8.

− 2 + 3i

3. 12 − 11 − 1

(

2 +

)

5 − 1 − 9 − 1 + 16 − 1 5 i − 3i + 4 i

) 5 + 1)i

)

5i + i

EJERCICIO 258

(

) (

= (7 + 7) + (− 2 + 2) − 1

) ( ) = (9 + 9) + (i − i ) 3

(

) (

= (− 5 − 5) + (− 3 + 3) − 1 = − 5⋅ 2 = − 10

(

) (

4. − 7 − 5 − 1 + − 7 + 5 − 1

= (− 7 − 7) + (− 5 + 5) − 1 = − 7⋅2 = − 14

)

= (8 + 8) + (− 3 + 3) 2 − 1 = 8⋅ 2 = 16

= 9⋅ 2 = 18

)

) (

5. 8 − 3 − 2 + 8 + 3 − 2

3. 9 + i 3 + 9 − i 3

= 7⋅2 = 14 2. − 5 − 3 − 1 + − 5 + 3 − 1

(

(

)

1. 7 − 2 − 1 + 7 + 2 − 1

)

6.

( =

) ( 2 − i 3) 2 ) + (i − i ) 3

2+i 3 +

(

2+

=2 2

EJERCICIO 259

(

) (

)

5. (15 − 4

1. 3 − 2 − 1 − 5 + 3 − 1

3− 2 − 1

)(

(

8+ 4 −1 5 + 14 − 1

(

)(

3. − 1 − − 1 − − 7 − 8 − 1

− 1−

+ 7+8 −1

)

− 3 − 6i

( ( (

8 + 130 − 1

)

8 + 130 i

) (

)

(

2 + − 25 − 1 − 6 i

4− 7 −1

2 + (− 5i − 6 i )

− 5+ 3 − 1

2−

(

2−

)(

)

7− − 3

)

(

15 + − 7 − 1 − 3 − 1

( 15 − (

2 + (− 11i )

− 1− 4 − 1

) 3) + (− 11i ) 3) − 11i

2 − 3 + (− 5i − 6 i )

8− − 7

− 3 − 6i

)

)

3+ 6 −1

10. 8 − − 7 − − 7 + − 3

5 − − 25

4. 4 − 7 − 1 − 5 − 3 − 1

)(

2 −5 −1 −

− 3 + 50 − 1

(

)(

(

9.

)

)

5− 3 i

2 − 5i

7. 5 − − 25 − 3 + 6 i

6+ 7 − 1

(

)(

5i − 3i

11 + 80 − 1

−1

6 + 7i

( 2+( 2+

6. 11 + 80 − 1 − 3 − 50 − 1

− 3 + 10 − 1 5 + 14 i

2+ 5 −1− 3 −1

7 + 3i

)

)

− 2− − 3

7+ 3 −1

2. 8 + 4 − 1 − 3 − 10 − 1

)(

4+ −5

− 8+ 7 − 1

− 2−5 −1

(

(

8. 4 + − 5 − 2 + − 3

)

15 − 4 − 1

− 5− 3 − 1 − 2 − 5i

)(

− 1 − 8− 7 − 1

15 + − 7 i − 3 i

2 − 11i

− 1− 4 i

)

)

)

7+ 3 i

EJERCICIO 260

(

)(

1. 2 − − 1 − 2 + − 1

(

)

)(

3. − 3 − 7 − 1 − − 3 + 7 − 1

− 3− 7 − 1 + 3− 7 − 1

2− −1− 2− −1 = (2 − 2) + (− 1 − 1) − 1

= (− 3 + 3) + (− 7 − 7) − 1

= − 2 −1

= − 7⋅2 − 1

= − 2i

= − 14i

(

) (

2. 7 + 3 − 1 − 7 − 3 − 1

)

(

)

5.

(

)(

2+ −3 −

)

2 + − 3− 2 + − 3 =

(

)

2 − 2 + (1 + 1) 3 − 1

= 2 3 −1 = 2 3i

(

) (

6. − 5 − 4 − 2 − − 5 + 4 − 2

)(

4. − 5 + − 2 − − 5 − − 2

)

− 5−4 −2+ 5−4 −2

− 5+ − 2 + 5+ − 2

− 5−4 −2

= (7 − 7) + (3 + 3) − 1

= (− 5 + 5) + (1 + 1) 2 − 1

+ 5− 4 − 2

= 6 −1

= 2 2 −1

= 6i

=2 2i

7+ 3 −1− 7+ 3 −1

2− −3

−8 − 2 = − 8 2 −1 = −8 2i

)

EJERCICIO 261

EJERCICIO 262

1. 3 − 4 − 1

5. 3 + − 2

5− 3 − 1

5− − 2

= 1− i 2

15 + 5 2 − 1

15 − 20 − 1 − 9 − 1 + 12

( )( )

1. 1 − i 1 + i

( − 1)

2

− 3 2 −1− 2 2

= 1−

( − 1)

15 + 2 2 − 1 − 4 (− 1)

15 − 29 i − 12 3 − 29 i

15 + 2 2 i + 2

= 1+ 1= 2

(

[

− 8 − 1 − 14

3.

− 4 2 −1− 2 3

( − 1)

2

(

(20 + 6 ) + (5

3. 7 − − 4

( − 1)

6+

35 − 10 i + 21i + 6 41 + 11i

( 8.

(

)( = (2 3) − (4 i ) 2

)

[

( )] = 12 − [16 (− 1)]

( − 1)

2

) (

11 + − 25

(

(

−1

)

2

( = 25 − ( = 25 −

)

15 + 2 i

5 + 15 i + 2 15 i + 6 (− 1) 5 + 3 15 i − 6 3 15 i − 1

−2

)

)

2

)

2

2 −1

[ ( − 1) ]

5+ − 3

+ 2 5 3 −1+ 2 9

)(

5. 5 − − 2 5 + − 2

2

= 25 − 2

[

]

= 25 − 2 (− 1)

25 + 5 3 − 1

88 − 11 9 − 1

2

= 12 + 16 = 28

15 i + 2 i − 10

6 − 10 +

)

2

= 4 (3) − 16 − 1

5+ 2 − 3

4. 8 − − 9

+ 8 25 − 1 − 9 25

(

2

4. 2 3 + 4 i 2 3 − 4 i

6 + 15 i + 4 i + 10 (− 1)

35 − 10 − 1 + 21 − 1 − 36 (− 1)

2

= 2 + 25 = 27

)

3−4 2 i

+ 2 2 −1+ 5 2

2

)( 2 + 5i) = ( 2 ) − (5i ) 2 − 5i

( )] = 2 − [25(− 1)]

6 + 3 5 −1

35 − 5 4 − 1

88 − 33i + 40 i − 15 (− 1)

)

(

[

3+ −2

5+ − 9

]

= 2 − 25 − 1

2 + −5

7.

+ 7 9 −1− 4 9

( − 1)

2

20 + 5 3 − 4 2 i + 6

− 12 − 29 i + 14 2 − 29 i

)

2

20 + 5 3 i − 4 2 i − 6 (− 1)

− 12 − 29 − 1 − 14 (− 1)

88 + 7 i + 15 103 + 7 i

= 9 + 4 = 13

20 + 5 3 − 1

− 12 − 21 − 1

(

= 9 − 4 (− 1)

5− − 2

− 3− 2 − 1

)

2

= 32 − 2 − 1

17 + 2 2 i

4+ 7 −1

)(

2. 3 + 2 − 1 3 − 2 − 1

6. 4 + − 3 2.

2

= 1 − (− 1)

2

15 − 29 − 1 + 12 (− 1)

( − 1)

( − 1)

2

= 25 + 2 = 27

(

)( = 81 − ( − 5 ) = 81 − ( 5 − 1) = 81 − [5 (− 1)]

6. − 9 − − 5 − 9 + − 5 2

2

= 81 + 5 = 86

)

EJERCICIO 263 1.

1+ − 1 1+ − 1 ⋅ 1− − 1 1+ − 1 =

2.

4.

( − 1) = 1 + 2 i − 1 = 2 i = i 1+ 1 2 1 − ( − 1) 2

1+ 2 − 1 +

8 − 5i 7 − 6 i 56 − 83i + 30 i 2 56 − 83i − 30 26 − 83i ⋅ = = = 7 + 6 i 7 − 6i 49 − 36 i 2 49 + 36 85

(

2

3+ − 1 3+ − 1 ⋅ 3− − 1 3+ − 1 =

=

9 + 6 − 1 + (− 1) 9 + 6 i − 1 8 + 6 i 4 + 3i = = = 2 9+1 10 5 9− −1

( )

6.

5− 3 − 1 3− 4 − 1 ⋅ 3. 3+ 4 − 1 3− 4 − 1 =

15 − 29 − 1 + 12 (− 1) 15 − 29 i − 12 3 − 29 i = = 2 25 9 − 16 (− 1) 9− 4 −1

(

)

]

2

)

20 + 21 3 i − 12 8 + 21 3 i = 73 25 − (− 48)

2+2 −5 4 2+ −5 ⋅ 4 2 − −5 4 2 + −5 =

[

( ) (− 1)

4 + − 3 5 + 4 − 3 20 + 21 3 − 1 + 4 3 2 5. 5 − 4 − 3 ⋅ 5 + 4 − 3 = 25 − 4 3 − 1

=

4

( 2 ) + 9 2 5 − 1 + 2 ( 5) (− 1) 16 ( 2 ) − ( 5 − 1) 2

2

2

2

8 + 9 10 i − 10 9 10 i − 2 = 32 + 5 37

EJERCICIO 265 1.

3 x 2 − 5x + 2 = 0 5x 2 x2 − + =0 3 3 5x 2 x2 − =− 3 3 5x 25 25 2 2 x − + = − 3 36 36 3 2 5 25 − 24  x−  =  6 36 x−

5 1 =± 6 6 5 1 x= ± 6 6

5+ 1 =1 6 5− 1 4 2 = = x2 = 6 6 3 2 2. 4 x + 3x − 22 = 0 3x 22 x2 + = 4 4 3x 9 11 9 2 x + + = + 4 64 2 64 2 3 352 + 9  x+  =  8 64 Continúa x1 =

2. Continuación

3 361 =± 8 64 3 19 x=− ± 8 8 − 3 + 19 16 x1 = = =2 8 8 22 11 − 3 − 19 x2 = =− =− 8 8 4 x+

3.

x 2 + 11x = − 24 121 121 x 2 + 11x + = − 24 4 4 2 11 121 − 96  x+  =  2 4 11 25 =± 2 4 11 5 x= − ± 2 2 − 11 + 5 − 6 x1 = = =−3 2 2 − 11 − 5 − 16 x2 = = = −8 2 2 x+

x 2 = 16 x − 63

4.

x − 16 x = − 63 2

x 2 − 16 x + 64 = 64 − 63

(x − 8)

2

=1

x − 8= ±1 x = 8±1 x1 = 8 + 1 = 9 x2 = 8 − 1 = 7 2 5. 12 x − 4 − 9 x = 0

− 9 x 2 + 12 x = 4 9 x 2 − 12 x = − 4 12 x 4 =− 9 9 4x 4 4 4 2 + = − x − 3 9 9 9 2 2   x−  = 0  3 x2 −

x− x1 = x2 =

2 3

2 =0 3

2 6. 5x − 7 x − 90 = 0

x=

7 ± 7 2 − 4 (5) (− 90)

10.

− 7 x + 12 x + 64 = 0 2

2 (5)

7 ± 49 + 1. 800 10 7 ± 1.849 7 ± 43 = x= 10 10 7 + 43 50 = =5 x1 = 10 10 36 7 − 43 =− = − 3 53 x2 = 10 10

x=

6x − x − 222 = 0 1 ± 1 + 4 (6)( 222) 2 (6) 2

x + 11 = 10 x 2 10 x 2 − x − 11 = 0 x=

1 ± 12 − 4 (10) (− 11) 2 (10)

1 ± 1 + 440 20 1 ± 21 x= 20 1 + 21 22 = = 1 101 x1 = 20 20 1 − 21 − 20 = = −1 x2 = 20 20

2 (− 7)

x= =

2 176 ± (176) − 4 (64)(121)

2 ( 64)

176 ± 30 .976 − 30 . 976

128 176 3 = 18 x1 = x2 = 128

8 x + 5 = 36 x 2

14.

− 36 x + 8 x + 5 = 0 2

2 − 8 ± (8) − 4 (− 36) (5)

x=

x=

8.

− 12 ± (12) − 4 (− 7) (64)

− 12 ± 1. 936 x= − 14 − 12 ± 44 x= − 14 − 12 + 44 32 =− = − 2 27 x1 = − 14 14 − 12 − 44 − 56 = =4 x2 = − 14 − 14

6 x 2 = x + 222

1 ± 5. 329 12 1 ± 73 x= 12 1 + 73 74 = = 6 16 x1 = 12 12 1 − 73 − 72 = =−6 x2 = 12 12

64 x 2 − 176 x + 121 = 0

− 12 ± 144 + 1. 792 x= − 14

2

x=

176x = 121 + 64 x 2

13.

2

x=

7.

12 x − 7 x 2 + 64 = 0

x 2 = 15x − 56

11.

x 2 + 15x + 56 = 0 x=

2 − 15 ± (15) − 4 (1)(56) 2 (1)

− 15 ± 225 − 224 2 − 15 ± 1 x= 2 − 15 + 1 − 14 = =−7 x1 = 2 2 − 15 − 1 − 16 = = −8 x2 = 2 2 x=

2 (− 36)

− 8 ± 64 + 720 x= − 72 x=

− 8 ± 784 − 72

x=

− 8 ± 28 − 72

x1 =

− 8 + 28 20 5 =− =− − 72 72 18

x2 =

− 8 − 28 − 36 1 = = − 72 − 72 2

x=

9. 49 x 2 − 70 x + 25 = 0

x=

2 70 ± (70) − 4 (49)( 25) 2 ( 49)

70 ± 4 . 900 − 4 . 900 98 70 5 x1 = x2 = = 98 7 x=

2 12. 32 x + 18 x − 17 = 0

− 18 ± (18) − 4 ( 32) (− 17)

15. 27 x 2 + 12 x − 7 = 0

2

x=

2 ( 32)

− 18 ± 324 + 2 .176 x= 64 − 18 ± 2 .500 x= 64 − 18 ± 50 x= 64 − 18 + 50 32 1 = = x1 = 64 64 2 − 18 − 50 − 68 = = − 1 161 x2 = 64 64

x=

2 − 12 ± (12) − 4 (27) (− 7)

2 ( 27)

− 12 ± 144 + 756 x= 54 − 12 ± 900 x= 54 − 12 + 30 18 1 = = x1 = 54 54 3 − 12 − 30 − 42 7 = =− x2 = 54 54 9

17. 8 x 2 − 2 x − 3 = 0

15x = 25x 2 + 2

16.

25x 2 − 15x + 2 = 0

x=

2 15 ± (15) − 4 ( 25)( 2) x= 2 ( 25)

x=

2 2 ± ( 2) − 4 (8) (− 3)

2 x + x − 105 = 0 2

2 (8)

2 ± 4 + 96 16 2 ± 100 x= 16 2 ± 10 x= 16 2 + 10 12 3 = = x1 = 16 16 4 2 − 10 − 8 1 = =− x2 = 16 16 2

50 15 ± 25 x= 50 15 + 5 20 2 = = x1 = 50 50 5 15 − 5 10 1 = = x2 = 50 50 5

2 − 1 ± (1) − 4 ( 2) (− 105)

x=

x=

15 ± 225 − 200

105 = 2 x 2 + x

18.

2 ( 2)

− 1 ± 1 + 840 4 − 1 ± 841 x= 4 − 1 ± 29 x= 4 − 1 + 29 28 = =7 x1 = 4 4 − 1 − 29 − 30 = = − 7 21 x2 = 4 4 x=

EJERCICIO 266 x (x + 3) = 5x + 3

1.

(

x 2 + 3x = 5 x + 3 x 2 + 3x − 5 x − 3 = 0

x=

(− 2)

2

2.

x=

2 − 9 ± (9) − 4 (1) (− 22)

2 (1)

9 ± 169 x= 2 − 9 + 13 4 = =2 x1 = 2 2 − 9 − 13 − 22 = = − 11 x2 = 2 2

2

2

25x 2 + 100 x + 100 = x 2 − 14 x + 49 − 81

9 x + 1= 2 x 2 + x − 9

24 x 2 + 114 x + 132 = 0

x=

4 x 2 + 19 x + 22 = 0

8±

(− 8)

2

− 4 (2) (− 10)

x=

2 ( 2)

x=

(2 x − 3) − (x + 5) 2

4.

2

= − 23

4 x 2 − 12 x + 9 − x 2 − 10x − 25 + 23 = 0 3x 2 − 22 x + 7 = 0 22 ± (22) − 4 (3)(7) 2 (3) 2

x=

22 ± 400 6 22 ± 20 x= 6 22 + 20 42 = =7 x1 = 6 6 22 − 20 2 1 x2 = = = 6 6 3

2 − 19 ± (19) − 4 ( 4)( 22) 2 ( 4)

− 19 ± 361 − 352 8 − 19 ± 3 x= 8 − 19 + 3 − 16 = =−2 x1 = 8 8 − 19 − 3 − 22 = = − 2 43 x2 = 8 8

8 ± 64 + 80 x= 4 8 ± 12 x= 4 8 + 12 20 = =5 x1 = 4 4 8 − 12 − 4 = = −1 x2 = 4 4

9 x − 6 = − x 2 + 16 x 2 + 9 x − 22 = 0

25(x + 2) = (x − 7) − 81

5.

0 = 2 x − 8 x − 10

2 (1)

3 (3x − 2) = (x + 4)(4 − x )

)

2

− 4 (1)(− 3)

2 ± 4 + 12 x= 2 2± 4 x= 2 2+ 4 6 = =3 x1 = 2 2 2− 4 − 2 = = −1 x2 = 2 2

)(

9 x + 1 = 3x 2 − 15 − x 2 + x + 6

x2 − 2x − 3= 0 2±

) (

3. 9 x + 1 = 3 x 2 − 5 − x − 3 x + 2

(

) (

)

(

)

6. 3x x − 2 − x − 6 = 23 x − 3

3x − 6 x − x + 6 = 23x − 69 2

3x 2 − 30 x + 75 = 0 x 2 − 10 x + 25 = 0

x=

x=

10 ±

(− 10)

2

− 4 (1)( 25)

2 (1)

10 ± 100 − 100 2 10 x1 = x2 = = 5 2 x=

(

) (

)

(

)

7. 7 x − 3 − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5x x + 2

(x + 4) − (x − 3) 3

10.

7 x − 21 − 5x 2 + 5 = x 2 − 5x 2 − 10x

21x 2 + 21x − 252 = 0

− x + 17 x − 16 = 0

− x 2 − x + 12 = 0

2

2 − 17 ± (17) − 4 (− 1)(− 16)

x=

2 (− 1)

− 17 ± 225 x= −2

x1 =

− 17 + 15 − 2 = =1 −2 −2

x2 =

− 17 − 15 − 32 = = 16 −2 −2

(x − 5) − (x − 6) = (2 x − 3) 2

8.

1±

(− 1)

− 4 (− 1) (12)

2

2 (− 1)

1 ± 49 x= −2 1± 7 x= −2 1+ 7 8 = =−4 x1 = −2 −2 1− 7 − 6 = =3 x2 = −2 −2

− 17 ± 15 −2

x=

2

2

− 118

(x + 2) − (x − 1) = x (3x + 4) + 8 3

11.

x 2 − 10 x + 25 − x 2 + 12 x − 36 = 4 x 2 − 12 x + 9 − 118 2 x − 11 = 4 x − 12 x − 109

6 x 2 + 5x + 1 = 0

4 x − 14 x − 98 = 0 2

x=

2 x − 7 x − 49 = 0 2

x=

7±

(− 7)

− 4 ( 2) (− 49)

− 5 ± 25 − 24 12 − 5+ 1 − 4 1 = =− x1 = 12 12 3 − 5− 1 − 6 1 = =− x2 = 12 12 2

7 ± 441 4 7 + 21 28 = =7 x1 = 4 4 7 − 21 − 14 = = − 3 12 x2 = 4 4 x=

9.

(5x − 4) − (3x + 5)(2 x − 1) = 20x (x − 2) + 27 2

12.

2

2

2 − 5 ± (5) − 4 ( 6)(1) 2 ( 6)

x=

2 ( 2)

(5x − 2) − (3x + 1)

− x 2 − 60 = 0

25x 2 − 40 x + 16 − 6 x 2 − 7 x + 5 = 20 x 2 − 40 x + 27 19 x 2 − 47 x + 21 = 20 x 2 − 40 x + 27

25x − 20 x + 4 − 9 x − 6 x − 1 − x − 60 = 0 2

2

2

− x2 − 7x − 6 = 0

15x − 26 x − 57 = 0 2

x=

26 ±

(− 26)

2

− 4 (15) (− 57)

2 (15)

26 ± 676 + 3. 420 x= 30 26 ± 64 x= 30 26 + 64 90 = =3 x1 = 30 30 26 − 64 − 38 = = − 1 154 x2 = 30 30

3

x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 − x 3 + 3x 2 − 3x + 1 = 3x 2 + 4 x + 8

2

2

= 343

x 3 + 12 x 2 + 48x + 64 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 343 = 0

7 x − 16 − 5x 2 = − 4 x 2 − 10x

x=

3

x= x=

7±

(− 7 )

2

− 4 (− 1)(− 6)

2 (− 1)

7 ± 49 − 24 −2

7 ± 25 −2 7 + 5 12 = =−6 x1 = −2 −2 7−5 2 = = −1 x2 = −2 −2 x=

EJERCICIO 267

(

)

(− 3) ± (− 3) 2

4

(

)(

−2

) (

)

8. x − 2 x + 2 − 7 x − 1 = 21

x 2 − 4 − 7 x + 7 − 21 = 0

5x − 5x − 4 x + 14 x + 8 = 0 2

2

x= −

) (

5. 5x x − 1 − 2 2 x 2 − 7 x = − 8

2 1. x − 3x + 2 = 0

2

x 2 − 7 x − 18 = 0

x2 + 9x + 8 = 0

3 9 ± −2 2 4

x=−

( 9) 2 9 ± −8 2 4

(− 7) ± (− 7) x= −

3 1 ± 2 4 3 1 4 x1 = + = = 2 2 2 2 3 1 2 x2 = − = = 1 2 2 2

x=−

9 81 ± −8 2 4

x=

9 49 ± 2 4 9 7 −2 = −1 x1 = − + = 2 2 2 9 7 − 16 = −8 x2 = − − = 2 2 2

x=

x= x=

(− 2) ± (− 2)

2

2

4

− (− 15)

x1 = 1 + 4 = 5 x2 = 1 − 4 = − 3

2

2

x = 19 x − 88

(− 19) ± (− 19) 4

19 361 ± − 88 2 4

19 9 ± 2 4 19 3 22 = 11 x1 = + = 2 2 2 19 3 16 x2 = − = = 8 2 2 2 x=

x 2 + 4 x = 285

4.

x 2 + 4 x − 285 = 0

( 4) 4 ± − (− 285) 2 4 2

x= −

x = − 2 ± 4 + 285 x = − 2 ± 289 x1 = − 2 + 17 = 15 x2 = − 2 − 17 = − 19

(x − 1)

2

7.

− (− 65)

2

x − 2 x + 1 + 11x + 199 = 3x − x + 4 x − 4 2

2

x 2 + x − 2 − 2 x 2 − 5x + 12 − x + 14 = 0 − x 2 − 5x + 24 = 0 x 2 + 5x − 24 = 0

x − 5x − 204 = 0 2

x=

(− 5) ± 2

(5) 4

− (− 204)

5 25 ± + 204 2 4

5 841 ± 2 4 5 29 34 = = 17 x1 = + 2 2 2 5 29 − 24 = − 12 x2 = − = 2 2 2 x=

− (− 11)

10. ( x − 1)( x + 2) − (2 x − 3)( x + 4) − x + 14 = 0

x 2 + 9 x + 200 = 2 x 2 + 4 x − 4

x= −

4

x = 5 ± 36 x1 = 5 + 6 = 11 x2 = 5 − 6 = − 1

2

2

)

x = 5 ± 25 + 11

+ 11x + 199 = 3x 2 − (x − 2)

2

(− 10) ± (− 10)

2

x= −

x1 = 4 + 9 = 13 x2 = 4 − 9 = − 5

− 88

) (

2

x 2 − 10x − 11 = 0

x= 4± 9

2

2

4

)(

2 x − x − 3x + 10 = 7 x + 21

x = 4 ± 16 + 65

x 2 − 19 x + 88 = 0

x=

(

2

x − 8 x − 65 = 0

2

3.

7 49 ± + 18 2 4

2

(− 8) ± (− 8) x= −

− (− 18)

9. 2 x 2 − x − 2 x + 5 = 7 x + 3

x 2 − 7 x − 6 − x − 59 = 0

x = 1± 4

4

7 121 ± 2 4 7 11 18 x1 = + = = 9 2 2 2 7 11 − 4 =−2 x2 = − = 2 2 2

x 2 − (7 x + 6) = x + 59

6.

x = 1 ± 1 + 15

x= −

2

x=−

2. x 2 − 2 x − 15 = 0

x= −

2

x= −

(5) 5 ± − (− 24) 2 4

x= −

5 25 ± + 24 2 4

2

5 121 ± 2 4 5 11 6 x1 = − + = = 3 2 2 2 5 11 − 16 =−8 x2 = − − = 2 2 2 x= −

EJERCICIO 268 1.

x2 x 3 − = mcm = 10 5 2 10 2 x 2 − 5x = 3

4.

x=

(− 5)

5±

5 ± 25 + 24 4 5± 7 x= 4 5 + 7 12 = =3 x1 = 4 4 5− 7 − 2 1 = =− x2 = 4 4 2

x= x=

x=

− 4 (8) (− 26)

5.

(− 21) ± (− 21)

2

4

21 81 ± 2 4 21 9 30 = 15 x1 = + = 2 2 2 21 9 12 x2 = − = = 6 2 2 2 x=

− 90

5 1 − = 1 mcm = x + 2 x x+2

5x + 10 − x = x + 2 x x − 2 x − 10 = 0 2

(− 2) ± (− 2)

2

x=−

2

4

− (− 10)

x=

2 − 6 ± (6) − 4 (14) (− 20)

2 (14)

− 6 ± 1.156 − 6 ± 34 = x= 28 28 − 6 + 34 28 = =1 x1 = 28 28 − 6 − 34 − 40 = = − 1 73 x2 = 28 28 8.

1 1 1 − = x− 2 x−1 6

mcm = 6 ( x − 2)( x − 1)

6 ( x − 1) − 6 ( x − 2) = ( x − 2)( x − 1) 6 x − 6 − 6x + 12 = x 2 − 3x + 2 6 = x 2 − 3x + 2 0 = x 2 − 3x − 4

x1 = 1 + 11 x2 = 1 − 11 15 11x + 5 − = −1 x x2

4

− (− 4)

3 9 ± +4 2 4

x=

mcm = x 2

15x − (11x + 5) = − x 2 x2 + 4x − 5= 0

( 4) 4 ± − (− 5) 2 4 2

x= −

2

x=

x = 1 ± 11

6.

(− 3) ± (− 3)

2

x= −

3 25 3 5 ± = ± 2 4 2 2 3 5 8 x1 = + = = 4 2 2 2 3 5 −2 = −1 x2 = − = 2 2 2

x = 1 ± 1 + 10

x − 3x = 18 ( x − 5)

x 2 − 21x + 90 = 0

14 x 2 + 6x − 20 = 0

2

2

x 2 − 3x = 18 x − 90

23x 2 + 30x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15

 2 5  1 +  − 1 = x + 2 mcm = x  x

2 (8)

2

− 13 ± 169 + 2 . 432 −8

− 13 − 51 − 64 = =8 x2 = −8 −8

x2 x − = 3 (x − 5) mcm = 6 6 2

x= −

2 (− 4)

− 13 ± 51 8 − 13 + 51 38 = = − 4 43 x1 = −8 −8

3 ± 9 + 832 x= 16 3 ± 29 x= 16 3 + 29 32 = =2 x1 = 16 16 3 − 29 − 26 = = − 1 85 x2 = 16 16 3.

2 − 13 ± (13) − 4 (− 4)(152)

x=

13 3 2. 4 x − = mcm = 2 x x 2 8 x 2 − 26 = 3x 2

8 x 2 + 8 x + 15x 2 + 22 x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15

− 4 x + 13x + 152 = 0

x=

(− 3)

8x ( x + 1) + (5x − 1)(3x + 5) = 3(3x + 5)( x + 1)

2

2 ( 2)

3±

8x 5x − 1 + = 3 mcm = (3x + 5)( x + 1) 3x + 5 x + 1

5x − 20 + 8 x − 40 − 4 x 2 + 212 = 0

− 4 ( 2) (− 3)

8 x 2 − 3x − 26 = 0

7.

5( x − 4) + 8 ( x − 5) = 4 (x 2 − 53)

2 x 2 − 5x − 3 = 0 2

1 (x − 4) + 25 (x − 5) = 15 (x 2 − 53) 4 mcm = 20

9. 1 −

2x − 3 x − 2 = x+5 10

10 ( x + 5) − 10 (2 x − 3) = ( x + 5)( x − 2) 10x + 50 − 20x + 30 = x 2 + 3x − 10 − 10x + 80 = x 2 + 3x − 10

x= − 2± 4+5 x= − 2±3 x1 = − 2 + 3 = 1 x2 = − 2 − 3 = − 5

mcm = 10 ( x + 5)

0 = x 2 + 13x − 90 x= −

(13)2 13 ± − (− 90) 2 4 Continúa

9. Continuación

x= −

13 169 ± + 90 2 4

12.

(

)

mcm = 12 (x − 1)

12 (4 x 2 ) − 3 (x − 1)(1 − 3x ) = 4 ( x − 1) ( 20 x )

13 529 ± 2 4 − 13 23 x= ± 2 2 − 13 23 10 x1 = + = =5 2 2 2 − 13 23 − 36 x2 = − = = − 18 2 2 2 x= −

10. x − 13 = 5 − 10 5x + 3 x x2

4 x 2 1 − 3x 20 x − = x−1 4 3

48 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 3 = 80 x 2 − 80 x − 23x 2 + 68 x + 3 = 0 x=

2 − 68 ± ( 68) − 4 (− 23) ( 3)

2 (− 23)

− 68 ± 4 . 624 + 276 − 68 ± 4 . 900 − 68 ± 70 = = x= − 46 − 46 − 46 − 68 + 70 − 68 − 70 − 138 2 1 = =− = =3 ; x2 = x1 = − 46 − 46 − 46 − 46 23

mcm = x 2

x ( x − 13) = 5x 2 − 10 (5x + 3) x 2 − 13x = 5x 2 − 50 x − 30

− 4 x 2 + 37 x + 30 = 0 − 37 ± ( 37) − 4 (− 4) ( 30) 2

x= x=

13.

6 (2 x − 1)(3x − 1) − 6 x ( 2 x ) − 7 x (2 x − 1) = 0

2 (− 4)

− 37 ±

6 (6 x 2 − 5x + 1) − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0

1. 369 + 480 −8

36 x 2 − 30 x + 6 − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0

37 ± 1.849 x= −8 − 37 ± 43 x= −8 − 37 + 43 6 3 = =− x1 = −8 −8 4 − 37 − 43 − 80 = = 10 x2 = −8 −8 11.

x x−2 5 − = 2 x−2 x

2 x − 2 (x − 4 x + 4) = 5x − 10 x 2

2

2 x 2 − 2 x 2 + 8 x − 8 = 5x 2 − 10 x 0 = 5x − 18 x + 8 2

x=

− (− 18) ±

(− 18)

2

x=

2 23 ± ( 23) − 4 (10)( 6) 2 (10)

23 ± 529 − 240 23 ± 289 23 ± 17 = = 20 20 20 23 + 17 40 23 − 17 6 3 = = 2 ; x2 = = = x1 = 20 10 20 20 20 x=

14.

5x − 8 7 x − 4 = x−1 x+2

(x + 2)(5x − 8) = (7 x − 4)(x − 1) 5x 2 + 2 x − 16 = 7 x 2 − 11x + 4 0 = 2 x 2 − 13x + 20

− 4 (5)(8)

2 (5)

18 ± 324 − 160 10 18 ± 164 x= 10 x=

18 ± 2 2 ⋅ 41 18 ± 2 41 9 ± 41 = = 10 10 5 9 + 41 9 − 41 ; x2 = x1 = 5 5 x=

10 x 2 − 23x + 6 = 0

mcm = 2 x ( x − 2)

2 x ( x ) − 2 ( x − 2)( x − 2) = 5x (x − 2) 2

3x − 1 2x 7 − − = 0 mcm = 6 x (2 x − 1) 2x − 1 6 x

x=

2 13 ± (13) − 4 ( 2)( 20) 2 ( 2)

13 ± 169 − 160 13 ± 9 13 ± 3 = = 4 4 4 13 + 3 16 13 − 3 10 5 = = 4 ; x2 = = = = 2 12 x1 = 4 4 4 4 2 x=

15.

x + 3 5x − 1 − =0 2x − 1 4x + 7

18.

mcm = (2 x − 1)(4 x + 7)

40 − 48 ( x − 1) = 29 ( x 2 − 1)

(x + 3)(4 x + 7) − (5x − 1)(2 x − 1) = 0

40 − 48 x + 48 = 29 x 2 − 29

4 x 2 + 19 x + 21 − 10 x 2 + 7 x − 1 = 0

− 29 x 2 − 48 x + 117 = 0

− 6 x 2 + 26 x + 20 = 0 3x 2 − 13x − 10 = 0 x=

13 ±

(− 13)

2

mcm = 8 ( x 2 − 1)

5 6 − = 3 85 x2 − 1 x + 1

x=

− 4 ( 3) (− 10)

− (− 48) ±

(482 ) − 4 (− 29)(117) 2 (− 29)

48 ± 2 . 304 + 13. 572 48 ± 126 = − 58 − 58 48 + 126 174 48 − 126 − 78 10 = = − 3 ; x2 = = = 1 29 x1 = − 58 − 58 − 58 − 58

2 ( 3)

x=

13 ± 169 + 120 13 ± 289 13 ± 17 = = 6 6 6 13 + 17 30 13 − 17 − 4 2 = = 5 ; x2 = = =− x1 = 6 6 6 6 3 x=

19.

1 1 1 16. 4 − x − 6 = x + 1

x − 1 x + 1 2x + 9 + = x+1 x−1 x+ 3

(x − 1)( x − 1)(x + 3) + ( x + 1)(x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)( x + 1)(x − 1) (x − 2 x + 1)(x + 3) + (x + 2 x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)(x − 1)

mcm = 6 (4 − x )( x + 1)

6 (x + 1) − (4 − x )(x + 1) = 6 (4 − x )

mcm = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)

2

2

2

x + 3x − 2 x − 6 x + x + 3 + x + 3x + 2 x + 6 x + x + 3 = 2 x − 2 x + 9 x 2 − 9 3

2

2

3

2

6 x + 6 + x − 3x − 4 = 24 − 6 x

2

3

2 x 3 + 6x 2 + 2 x + 6 = 2 x 3 + 9 x 2 − 2 x − 9

2

0 = 3x 2 − 4 x − 15

x 2 + 3x + 2 = 24 − 6 x x 2 + 9 x − 22 = 0

x=

( 9) 9 ± − (− 22) 2 4 2

x= −

x+ 4 x+ 2 1 − = x + 5 x + 3 24

mcm = 24 ( x + 5)( x + 3)

x=

20.

24 ( x + 3)( x + 4) − 24 ( x + 2)( x + 5) = ( x + 5)( x + 3)

24 x + 168 x + 288 − 24 x 2 − 168 x − 240 = x 2 + 8 x + 15 2

2 ( 3)

4 ± 16 + 180

4 ± 196 4 ± 14 = = 6 6 6 4 + 14 18 4 − 14 − 10 = = 3 x2 = = = − 1 23 x1 = 6 6 6 6

9 9 81 169 − 9 13 ± + 22 = − ± = ± 2 4 2 4 2 2 − 9 13 4 − 9 13 − 22 + = = 2 ; x2 = − = = − 11 x1 = 2 2 2 2 2 2 x= −

17.

2 4 ± ( 4) − 4 ( 3) (− 15)

3 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 2) 3x 2 − 3 x − 6 − x 2 − 3 x − 2 = x 2 − 4

48 = x + 8 x + 15 2

2 x 2 − 6x − 8 = x2 − 4

0 = x 2 + 8x − 33

(8) 8 ± − (− 33) 2 4

x 2 − 6x − 4 = 0

2

x= −

x = − 4 ± 16 + 33 = − 4 ± 49 = − 4 ± 7 x1 = − 4 + 7 = 3 ;

x2 = − 4 − 7 = − 11

mcm = ( x + 2)( x − 2)( x + 1)

3 1 1 − = x+ 2 x− 2 x+1

(− 6) ± (− 6)

2

x= −

2

x1 = 3 + 13

4

;

− (− 4) = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13

x2 = 3 − 13

11. Continuación

EJERCICIO 269 1.

x − x − 6= 0

20x 2 − 27 x = 14

7.

2

(x − 3)(x + 2) = 0 x1 = 3

x2 = − 2

20 x 2 − 27 x − 14 = 0

(20 x )2 − 27 (20 x ) − 280 = 0

2.

5⋅ 4

(x + 9)(x − 2) = 0 x1 = − 9

x2 = 2 8 x − 65 = − x 2

3.

x + 8x − 65 = 0 2

(x + 13)(x − 5) = 0 x1 = − 13

108 2 54 2

22 ⋅ 3 − 32

27 3

12 − 9 = 3

9

3

3

3

(4 x − 24)(4 x − 3) = 0 4

( x − 6)(4 x − 3) = 0 x − 6= 0

(x + 12)(x − 9) = 0 x1 = − 12

5⋅ 6

2x + 7x − 4 = 0

( 2 x) 2 + 7 ( 2 x) − 8 = 0

(2 x + 8)(2 x − 1) = 0 2

(x + 4)(2 x 1) = 0 x+ 4= 0

2 x − 1= 0

x1 = − 4

x2 =

5x − 3 = 0

13.

6x = − 5 5x = 3 −5 3 x1 = x2 = 6 5 9. 60 = 8 x 2 + 157 x

(x + 9)(x − 8) = 0

(6x + 15)(6x − 4) = 0 3⋅ 2

(2 x + 5)(3x − 2) = 0 2x + 5= 0 3x − 2 = 0 5 2 1 x1 = − = − 2 2 x2 = 2 3

2

3 ( x + 2) − (2 x − 5) = 9

(x + 20)(8x − 3) = 0

2

3x 2 + 12 x + 12 − 2 x + 5 − 9 = 0

x + 20 = 0 x1 = − 20

8x − 3 = 0 8x = 3 3 x2 = 8 10. x ( x − 1) − 5 (x − 2) = 2 x 2 − x − 5x + 10 − 2 = 0

3x 2 + 10 x + 8 = 0

(3x ) + 10 (3x ) + 24 = 0 2

(3x + 6)(3x + 4) = 0 3

( x + 2)(3x + 4) = 0 x+ 2= 0 x1 = − 2

x 2 − 6x + 8 = 0

(x − 4)(x − 2) = 0 x−4=0 x1 = 4 11.

(x − 2) − (2 x + 3)

2

= − 80

x 2 − 4 x + 4 − 4 x 2 − 12 x − 9 + 80 = 0 − 3x 2 − 16 x + 75 = 0 3x 2 + 16 x − 75 = 0

( 3x) 2 + 16 (3x) − 225 = 0

(3x + 25)(3x − 9) = 0 3

Continúa

3x + 4 = 0 3x = − 4 x2 =

x− 2= 0 x2 = 2 2

2x − 5 = 3 mcm = 3 3

14. ( x + 2) −

8

6 x 2 + 11x − 10 = 0

( 6x ) 2 + 11( 6 x) − 60 = 0

x + 9= 0 x − 8= 0 x1 = − 9 x2 = 8

(8x + 160)(8x − 3) = 0

1 2

x+2 74 mcm = x + x= x x x + 2 + x 2 = 74 x 2 + x − 72 = 0

(8 x)2 + 157 (8x) − 480 = 0

6x 2 = 10 − 11x

6.

4x = 3 3 x2 = 4

(6x + 5)(5x − 3) = 0 6x + 5 = 0

x2 = 9

2

4x − 3 = 0

x1 = 6

8 x 2 + 157 x − 60 = 0

1

5.

4 x 2 − 27 x + 18 = 0

(30x + 25)(30x − 18) = 0

x = 108 − 3x x + 3x − 108 = 0

6 9 4 − =− mcm = 3x 2 3 x2 x 18 − 27 x = − 4 x 2

(4 x ) 2 − 27 ( 4 x ) + 72 = 0

(30 x) 2 + 7 (30 x) − 450 = 0

2

2

x2 = 3

7 2 x1 = = 1 43 x2 = − 4 5 2 8. 7 x = 15 − 30 x 30x 2 + 7 x − 15 = 0

x2 = 5

4.

x − 3= 0

3x = − 25

12.

(4 x − 7)(5x + 2) = 0

x + 7 x − 18 = 0 2

3x + 25 = 0 25 = − 8 13 x1 = − 3

(20x − 35)(20x + 8) = 0

x + 7 x = 18 2

(3x + 25)(x − 3) = 0

15.

−4 = − 1 13 3

3x + 15 x + x= mcm = 4 ( x − 2) 4 x−2

4 x + 4 x ( x − 2) = (3x + 15)( x − 2) 4 x + 4 x 2 − 8 x = 3x 2 + 9 x − 30 x 2 − 13x + 30 = 0

(x − 10)(x − 3) = 0 x − 10 = 0 x1 = 10

x − 3= 0 x2 = 3

16.

6 4 5 − = x − 4 x 12

mcm = 12 x (x − 4)

4x − 1 2x + 1 19. 2 x + 3 = 6 x + 5

72 x − 48 ( x − 4) = 5x ( x − 4)

(6x + 5)(4 x − 1) = (2 x + 1)(2 x + 3)

72 x − 48 x + 192 = 5x 2 − 20 x

24 x 2 + 14 x − 5 = 4 x 2 + 8 x + 3

5x 2 − 44 x − 192 = 0

20 x 2 + 6 x − 8 = 0

(5x ) 2 − 44 (5x) − 960 = 0

10 x 2 + 3x − 4 = 0

(5x − 60)(5x + 16) = 0

(10 x ) 2 + 3 (10 x ) − 40 = 0

(10x + 8)(10x − 5) = 0

5

(x − 12)(5x + 16) = 0 x − 12 = 0 x1 = 12

2⋅5

5x + 16 = 0 5x = − 16 − 16 = − 3 15 x2 = 5

(5x + 4)(2 x − 1) = 0

(x − 2) − (x − 3) 3

17.

3

5x + 4 = 0 5x = − 4 −4 x1 = 5

= 37

x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 37 = 0 3x 2 − 15x − 18 = 0

20.

( 3x) 2 − 15( 3x) − 54 = 0

(3x − 18)(3x + 3) = 0

3x + 2 9 x + 14 = 5− mcm = 12 x 4 12 x 3x (3x + 2) = 60 x − (9 x + 14) 9 x 2 + 6 x = 60 x − 9 x − 14

3x − 18 = 0 3x + 3 = 0 3x = 18 3x = − 3 x1 = 6 x2 = − 1 x−1 x+3 − 2= mcm = 3 ( x + 1) 18. x+1 3

9 x − 45x + 14 = 0 2

(9 x ) 2 − 45(9 x ) + 126 = 0

(9 x − 42)(9 x − 3) = 0 3⋅ 3

(3x − 14)(3x − 1) = 0

3 ( x − 1) − 6 ( x + 1) = ( x + 3)(x + 1)

3x − 14 = 0 3x = 14 14 x1 = 3 x1 = 4 23

3x − 3 − 6 x − 6 = x + 4 x + 3 2

x + 7 x + 12 = 0 2

(x + 4)(x + 3) = 0 x+ 4= 0 x1 = − 4

2 x − 1= 0 2x = 1 1 x2 = 2

x + 3= 0 x2 = − 3

3x − 1 = 0 3x = 1 1 x2 = 3

EJERCICIO 270 2 2 1. x + 2ax − 35a = 0

(x + 7a)(x − 5a) = 0 x + 7a = 0

x − 5a = 0

x1 = − 7a

x2 = 5a

10 x 2 = 36a 2 − 37ax

2.

10 x + 37ax − 36a 2 = 0 2

x=

2 − 37a ± ( 37a ) − 4 (10) (− 36a 2 )

2 (10)

− 37a ± 2 .809a − 37a ± 53a = 20 20 − 37a + 53a 16a 4a = = x1 = 20 20 5 − 37a − 53a − 90a − 9a = = x2 = 20 20 2 2

x=

a 2 x 2 + abx − 2b 2 = 0

3.

(a 2 x)

2

+ ab (a 2 x) − 2a 2b2 = 0

(a x + 2ab)(a x − ab) = 0 2

2

a 2 x + 2ab = 0 a 2 x = − 2ab − 2ab x1 = 2 a 2b x1 = − a

a 2 x − ab = 0 a 2 x = ab ab x2 = 2 a b x2 = a

89bx = 42 x 2 + 22b 2

4.

42 x − 89bx + 22b2 = 0 2

x=

− (− 89b) ±

(− 89b) − 4 (42) (22b2 ) 2

2 ( 42)

x 2 − 2ax = 6ab − 3bx

9.

x 2 + 3bx − 2ax − 6ab = 0

x ( x + 3b) − 2a ( x + 3b) = 0

(x + 3b) (x − 2a) = 0

89 ± 4 . 225b 2 89b ± 65b = x= 84 84 89b − 65b 24b 2b = = x1 = 84 84 7 89b + 65b 154b 11b = = x2 = 84 84 6

x + 3b = 0 x1 = − 3b

(

) 3x (2 x − m) + 2n (2 x − m) = 0 (2 x − m)(3x + 2n) = 0

2 10. 3 2 x − mx + 4nx − 2mn = 0

x 2 + ax = 20a 2

5.

2x − m = 0 2x = m

x + ax − 20a 2 = 0 2

(x + 5a)(x − 4a) = 0 x + 5a = 0 x1 = − 5a

x − 4a = 0 x2 = 4a

x1 =

2 2 2 6. 2 x = abx + 3a b

11.

2 x 2 − abx − 3a 2b2 = 0

(2 x − 3ab)(2 x + 2ab) = 0 2

(2 x − 3ab)(x + ab) = 0

2

b x + 2abx − 3a = 0

(b x)

2

2

2

2

+ 2ab (b x ) − 3a b = 0 2

2

b⋅b

(bx + 3a) (bx − a ) = 0 bx + 3a = 0 bx − a = 0 bx = − 3a bx = a a 3a x1 = − x2 = b b x 2 + ax − bx = ab

8.

x + ax − bx − ab = 0 2

x (x + a) − b ( x + a) = 0

( x − b) (x + a) = 0

x− b= 0 x1 = b

x+ a= 0 x2 = − a

2

x+ a=0 x2 = − a

abx 2 − x (b − 2a ) = 2

2

abx 2 + 2ax − bx − 2 = 0

ax (bx + 2) − (bx + 2) = 0

(bx + 2)(ax − 1) = 0

2 2

(b x + 3ab)(b x − ab) = 0 2

(x − a ) − b (x + a) = 0 (x + a)( x − a) − b (x + a) = 0 (x − a − b)(x + a) = 0

abx 2 − bx + 2ax − 2 = 0

b x + 2abx = 3a 2

2n 3

x 2 − a 2 − bx − ab = 0

12.

x2 = − ab

7.

x2 = −

x− a− b= 0 x1 = a + b

x + ab = 0 x = − ab

2

3x + 2n = 0 3x = − 2 n

m 2

2

(2 x) 2 − ab ( 2 x ) − 6a 2b2 = 0

2 x − 3ab = 0 2 x = 3ab 3ab x1 = 2

x − 2a = 0 x2 = 2a

bx + 2 = 0

ax − 1 = 0

bx = − 2

ax = 1

−2 x1 = b

x2 =

1 a

2 2 2 13. x − 2ax + a − b = 0

x=

2 − (− 2a ) ± ( 2a ) − 4 (a 2 − b 2 )

2

2a ± 4a − 4a 2 + 4b 2 2a ± 2b = 2 2 2a + 2b 2 (a + b) = =a+b x1 = 2 2 2

x=

x2 =

2a − 2b 2 (a − b) = =a−b 2 2

(

)

14. 4 x x − b + b2 = 4m2

4 x − 4bx + b2 − 4m2 = 0 2

x= x= x=

− (− 4b) ±

(− 4b)

2

x 2 + xm3 − 2 xm2 − 2m5 = 0

− 4 (4) (b2 − 4m2 )

x ( x + m3 ) − 2 m2 ( x + m3 ) = 0

2 ( 4)

(x + m )(x − 2m ) = 0 3

4b ± 16b 2 − 16b2 + 64m2

x + m3 = 0

8

4b + 8m 4 (b + 2m) b + 2m = = 8 8 2

6x 2 − 2bx − 15ax + 5ab = 0

2 x (3x − b) − 5a (3x − b) = 0

(3x − b)(2 x − 5a) = 0

2 2 2 15. x − b + 4a − 4ax = 0

3x − b = 0

x 2 − 4ax − b2 + 4a 2 = 0

(− 4a)

2

− 4 (− b 2 + 4a 2 )

2

4a ± 16a 2 + 4b 2 − 16a 2 4a ± 2b = 2 2 4a + 2b 2 (2a + b) = = 2a + b x1 = 2 2

x2 = 2m2

3

2 20. 6 x − 15ax = 2bx − 5ab

4b − 8m 4 (b − 2m) b − 2m = = x2 = 8 8 2

− (− 4a ) ±

2

x − 2m 2 = 0

x1 = − m

4b ± 64m2 4b ± 8m = 8 8

x1 =

x=

x 2 + m2 x (m − 2) = 2m5

19.

2 x − 5a = 0

3x = b

2 x = 5a

b x1 = 3

x2 =

5a 2

x=

x2 = 16.

4a − 2b 2 (2a − b) = = 2a − b 2 2

2 21. 3x + a − x = 0 mcm = 4a 4 2 2a 3ax + 2a 2 − 2 x 2 = 0

2 x 2 − 3ax − 2a 2 = 0

( 2 x ) − 3a ( 2 x ) − 4a 2 = 0 2

x 2 − (a + 2) x = − 2a

(2 x − 4a)(2 x + a ) = 0

x 2 − ax − 2 x + 2a = 0

x (x − a) − 2 (x − a) = 0

2

(x − 2a )(2 x + a) = 0

(x − a)(x − 2) = 0

x−a= 0 x1 = a

17.

x − 2a = 0

x− 2= 0 x2 = 2

x1 = 2a

2x + a = 0 2x = − a x2 = −

x 2 + 2 x (4 − 3a ) = 48a

a 2

x 2 + 8 x − 6ax − 48a = 0

x ( x + 8) − 6a ( x + 8) = 0

(x + 8)(x − 6a) = 0

x + 8= 0 x − 6a = 0 x1 = − 8 x2 = 6a

x 2 − 2 x = m2 + 2 m

18.

x 2 − m2 − 2 x − 2m = 0

(x + m)( x − m) − 2 (x + m) = 0 (x − m − 2)(x + m) = 0 x − m− 2 = 0 x1 = m + 2

x + m= 0 x2 = − m

22.

2 x − b 2bx − b 2 = 2 3x

3x (2 x − b) = 2 (2bx − b2 ) 6 x 2 − 3bx − 4bx + 2b 2 = 0

3x (2 x − b) − 2b (2 x − b) = 0

(2 x − b)(3x − 2b) = 0

2x − b = 0 2x = b

3x − 2b = 0 3x = 2b

b 2

x2 =

x1 =

2b 3

a + x a − 2x 23. a − x + a + x = − 4

mcm = a 2 − x 2

(a + x)(a + x) + (a − 2 x)(a − x) = − 4 (a

2

− x2 )

a 2 + 2ax + x 2 + a 2 − 3ax + 2 x 2 = − 4a 2 + 4 x 2 6a 2 − ax − x 2 = 0 x 2 + ax − 6a 2 = 0

(x + 3a)( x − 2a) = 0 x + 3a = 0

x − 2a = 0

x1 = − 3a

x2 = 2a

26.

2x − b x 2x − = b x + b 4b

mcm = 4b (x + b)

4 (2 x − b)( x + b) − 4bx = 2 x ( x + b) 8 x 2 + 4bx − 4b 2 − 4bx = 2 x 2 + 2bx 6 x 2 − 2bx − 4b2 = 0 3x 2 − bx − 2b2 = 0

( 3x) − b ( 3x ) − 6b2 = 0 2

(3x − 3b)(3x + 2b) = 0 3

(x − b)(3x + 2b) = 0 x2 a2 = x − 1 2 (a − 2)

24.

x−b= 0 x1 = b

3x + 2b = 0 3x = − 2b

2 (a − 2) x 2 = a 2 ( x − 1) x (2a − 4) = a x − a 2

2

x2 = −

2

2b 3

x (2a − 4) − a 2 x + a 2 = 0 2

− (− a 2 ) ±

x= x= x=

2 2

− 4 (2a − 4) (a 2 )

2 (2a − 4)

EJERCICIO 271

a 2 ± a 4 − 8a 3 + 16a 2 2 (2a − 4)

2 1. 3x = 48

a 2 ± a 2 (a 2 − 8a + 16)

x 2 = 16

4a − 8 a ± a (a − 4) 2

x=

(− a )

4 (a − 2)

a + a − 4a 2

x1 =

2

4 (a − 2)

=

a 2 ± a 2 − 4a 4 (a − 2)

2a − 4 a 4 (a − 2)

2

4 (a − 2)

= 2

a − ( a − 4a ) 2

x2 =

2

2

=

=

2a (a − 2) a = 4 (a − 2) 2

a 4a = 4 (a − 2) a − 2

x = 16 x=±4

4. 9x 2 − a 2 = 0

9x 2 = a 2 x2 =

2. 5x 2 − 9 = 46

a2 9 a x=± 3 x=

5x 2 = 55 x 2 = 11 x = 11 x = ± 11

a2 9

(

)(

)

5. x + 5 x − 5 = − 7

2 1 25. x + = + 2a mcm = ax x a ax 2 + 2a = x + 2a 2 x ax 2 − x + 2a − 2a 2 x = 0

x (ax − 1) − 2a (ax − 1) = 0

(ax − 1)(x − 2a) = 0

ax − 1 = 0 ax = 1 x1 =

1 a

x − 2a = 0 x = 2a x2 = 2a

3. 7x 2 + 14 = 0

x − 25 = − 7

x2 + 2 = 0

x 2 = 18

x =−2 2

2

x = 18

x= −2

x = 32 ⋅ 2

x = 2 −1

x= ±3 2

x=± 2 i

(

)(

)

6. 2 x − 3 2 x + 3 − 135 = 0 11.

4 x − 9 − 135 = 0 2

2x − 3 x − 2 = x − 3 x −1

x 2 = 36

2 x 2 − 5x + 3 = x 2 − 5x + 6

x = 36

x2 − 3 = 0

x= ± 6

(

)(

) (

mcm = (x − 3)( x − 1)

(2 x − 3)(x − 1) = (x − 2)(x − 3)

4 x = 144 2

x2 = 3

)

2

7. 3 x + 2 x − 2 = x − 4 + 8 x

x= ± 3

3x 2 − 12 = x 2 − 8 x + 16 + 8 x 2 x 2 − 28 = 0

12.

2 x 2 = 28 x 2 = 14

x 2 − 5 4x 2 − 1 14x 2 − 1 + − =0 3 5 15 2 2 2 5x − 25 + 12x − 3 − 14x + 1= 0 3x 2 − 27 = 0

x = ± 14

3x 2 = 27

1  1 1  8.  x + 3  x − 3 = 3 x2 −

(

x2 = 9 x= 9 x=±3

1 1 − =0 9 3 4 x2 = 9 4 x= ± 9 2 x= ± 3

)(

) (

)(

13. 2 x − 3 −

x2 + 1 =−7 x−2

mcm = x − 2

2 x (x − 2) − 3( x − 2) − ( x 2 + 1) = − 7 (x − 2) 2 x 2 − 4 x − 3x + 6 − x 2 − 1 = − 7 x + 14

)

x 2 + 5 = 14

9. 2 x − 1 x + 2 − x + 4 x − 1 + 5 = 0

x2 = 9

2 x 2 + 3x − 2 − x 2 − 3 x + 4 + 5 = 0

x= 9 x= ±3

x2 + 7 = 0 x2 = − 7 x= 7 −1 x= ± 7i 10.

x2 = 1 x= 1 x= ±1

EJERCICIO 272

x ( x − 5) = 0

x1 = 0 x − 5 = 0 x2 = 5

mcm = 4 x 2 − 1

4x2 = 4

4 =x ±2=x

x 2 − 5x = 0

3 =2 4x2 − 1

12 x 2 − 6 = 8x 2 − 2

4 = x2

x 2 = 5x

3−

3(4 x 2 − 1) − 3 = 2 (4 x 2 − 1)

5 1 7 − = mcm = 12x 2 2x 2 6x 2 12 30 − 2 = 7x 2 28 = 7x 2

1.

14.

2.

4 x 2 = − 32 x 4 x 2 + 32 x = 0 4 x ( x + 8) = 0

4x = 0 x + 8 = 0 x1 = 0 x2 = − 8

3. x 2 − 3x = 3x 2 − 4 x

0 = 2x2 − x

0 = x (2 x − 1) 0 = x1 0 = 2 x − 1 1= 2 x ⇒

1 =x 2 2

5x 2 + 4 = 2 ( x + 2)

4.

(x − 3) − (2 x + 5) 2

5.

− 3x 2 − 26 x = 0

5x − 2 x = 0 2

2 x (2 x − 1) = 0

x (3x + 26) = 0

x (5x − 2) = 0

x1 = 0

5x − 2 = 0 5x = 2 2 x2 = 5

2x = 0 2x − 1= 0 x1 = 0 2x = 1 1 x2 = 2

3x + 26 = 0 3x = − 26 − 26 = − 8 23 x2 = 3

7. (4 x − 1)(2 x + 3) = ( x + 3)( x − 1)

8.

8 x 2 + 10 x − 3 = x 2 + 2 x − 3

x+1 x+ 4 − =1 x−1 x− 2

mcm = ( x − 1)(x − 2)

(x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2)

7 x 2 + 8x = 0

x 2 − x − 2 − x 2 − 3 x + 4 = x 2 − 3x + 2

x (7 x + 8) = 0 x1 = 0

x2 x − 9 3 − = mcm = 12 6. 3 6 2 2 4 x − 2 x + 18 = 18

= − 16

x 2 − 6 x + 9 − 4 x 2 − 20 x − 25 + 16 = 0

5x 2 + 4 = 2 x + 4

x1 = 0

2

0 = x2 + x

7x + 8 = 0 7x = − 8

0 = x (x + 1) x1 = 0

8 7 x2 = − 1 71 x2 = −

x + 1= 0 x2 = − 1

EJERCICIO 273 1. x + 4 x + 1 = 5

4x + 1 = 5− x

(

)

4 x + 1 = (5 − x ) 2

2

4 x + 1 = 25 − 10x + x 2 0 = x 2 − 14 x + 24

0 = (x − 12)(x − 2)

5x − 1 + x + 3 = 4

3.

(

2.

2 x − x − 1 = 3x − 7

2 5x 2 + 14 x − 3 = 14 − 6 x

(7 − x)

=

(

)

5x 2 + 14 x − 3 = (7 − 3x) 2

2

5x 2 + 14 x − 3 = 49 − 42 x + 9 x 2 0 = 4 x − 56 x + 52 2

0 = x 2 − 14 x + 13

7− x= x−1 2

2

5x − 1 + 2 5x 2 + 14 x − 3 + x + 3 = 16

x − 12 = 0 x1 = 12 → Re chazo sol extraña x− 2= 0 x2 = 2 → sol que satisface

)

5x − 1 + x + 3 = 16

(x − 1)

2

49 − 14 x + x = x − 1 2

x 2 − 15x + 50 = 0

(x − 10)(x − 5) = 0 x − 10 = 0

x1 = 10 → Re chazo sol extraña x − 5= 0 x2 = 5 → sol que satisface

0 = ( x − 13)( x − 1) x − 13 = 0 x1 = 13 → Re chazo por sol extraña x − 1= 0 x2 = 1 → sol que satisface

6. Continuación

2 x − x+5=1

4.

(2 x ) = (1 + 2

x+5

7 x 2 − 24 x − 16 = 0

)

2

(7 x) − 24 (7 x) − 112 = 0 2

(7 x − 28)(7 x + 4) = 0

4 x = 1+ 2 x + 5 + x + 5 3x − 6 = 2 x + 5

(3x − 6) = (2 2

x+5

7

(x − 4)(7 x + 4) = 0

)

2

x − 4 = 0 ⇒ x1 = 4 → sol factible 7x + 4 = 0 4 7 x = − 4 ⇒ x2 = − → sol inisible 7

9 x − 36x + 36 = 4 x + 20 2

9 x 2 − 40x + 16 = 0

(9 x) − 40 (9 x) + 144 = 0 2

(9 x − 36)(9 x − 4) = 0

5x − 1 − 3 − x = 2 x

7.

(

9

(x − 4)(9 x − 4) = 0 x− 4= 0 x1 = 4

5.

→ sol que satisface

2

4 (2 x − 1) = 2 10 x 2 − 2 x

4 → Re chazo por sol extraña 9

) ( 2

2x − 1 = 3− x + 3

(4 x − 2)

2

)

)

( 6 x ) − 14 (6 x ) + 24 = 0

(6x − 12)(6x − 2) = 0 6

(x − 2)(6x − 2) = 0

36 (x + 3) = 169 − 26 x + x 2

x− 2= 0 x1 = 2 → sol factible 6x − 2 = 0 6x = 2

36 x + 108 = 169 − 26 x + x 2 0 = x 2 − 62 x + 61

0 = (x − 61)(x − 1) x − 61 = 0 x1 = 61 → Re chazo por sol extraña x − 1= 0 x2 = 1 → sol que satisface

x2 =

3x + 1 + 5x = 16 x + 1

8.

2 15x 2 + 5x = 8 x

) ( ) 2

2

x − 3 + 2x + 1 = 2 x

( 15x

x − 3 + 2 2 x − 5x − 3 + 2 x + 1 = 4 x 2

)

2

4 (2 x 2 − 5x − 3) = x 2 + 4 x + 4 8 x 2 − 20 x − 12 = x 2 + 4 x + 4 Continúa

2

)

2

+ 5x = ( 4 x )

2

15x 2 + 5x = 16x 2

2 x 2 − 5x − 3 = ( x + 2) 2

1 → sol inisible 3

3x + 1 + 2 15x 2 + 5x + 5x = 16 x + 1

x − 3 + 2x + 1 − 2 x = 0

(2

2

6 x 2 − 14 x + 4 = 0

2

(

( 10x

2

x + 3 = (13 − x ) 2

=

− 2x

16 x 2 − 16 x + 4 = 10 x 2 − 2 x

2

x − 13 = − 6 x + 3

(6

)

8 x − 4 = 2 10 x 2 − 2 x

2x − 1 + x + 3 = 3

(

3− x

− 2 10 x 2 − 2 x = − 8 x + 4

2x − 1= 9 − 6 x + 3 + x + 3

6.

2

5x − 1 − 2 10 x 2 − 2 x + 2 x = 3 − x

9x − 4 = 0 9x = 4 x2 =

) (

5x − 1 − 2 x =

0 = x − 5x 2

0 = x ( x − 5) x1 = 0 → sol isible x − 5= 0 x2 = 5 → sol isible

)

2

2x + 4x − 3 = 3

9.

2 x = x+7 +

12.

2x + 4x − 3 = 9

(

)

2

(2

4 x − 3 = 81 − 36 x + 4 x 2

3x − 2 x − 225 = 0

( 3x ) − 2 (3x ) − 675 = 0 2

(3x − 27)(3x + 25) = 0

x− 7= 0

3

x1 = 7 → Re chazo por

(x − 9)(3x + 25) = 0

sol inisible

x − 9 = 0 ⇒ x1 = 9 → sol aceptada 25 → sol inisible 3x + 25 = 0 ⇒ x2 = − 3

x − 3= 0 x2 = 3 → sol aceptada

x+ x+8 = 2 x

13.

x + x + 8 = 4x

6 =5 x+ 3

(

)

2

x+ 3

9x2 − x − 8 = 0

)

2

( 9 x ) − 1(9 x) − 72 = 0 2

x2 − 7x + 6 = 0

(9 x − 9)(9 x + 8) = 0

(x − 1)(x − 6) = 0

9 x − 1 = 0 ⇒ x1 = 1 → sol aceptada

x − 1= 0 x1 = 1 → sol isible x − 6= 0 x2 = 6 → sol isible

4 =5 x

x+

8 → sol rechazada 9 6 − x + x + 7 − 12 x + 1 = 0

9 x + 8 = 0 ⇒ x2 = − 14.

(

) ( 2

6− x + x + 7 =

)

12 x + 1

2

6 − x + 2 42 − x − x 2 + x + 7 = 12 x + 1

( x) + 4= 5 x (x + 4) = (5 x )

2 42 − x − x 2 = 12 x − 12

2

2

2

x + 8 = 9x2

2

2

11.

)

x + 8 = ( 3x )

x + 3 + 6= 5 x + 3

(x + 9) = (5

)

+8

2

4 x + 28 x = x 2 + 30x + 225

0 = ( x − 7)( x − 3)

(

x2 + 7x

2

2

0 = x 2 − 10 x + 21

x+3+

2

2

0 = 4 x 2 − 40 x + 84

10.

( x + 7) = ( x + 15)

2 x2 + 7x =

4 x − 3 = (9 − 2 x ) 2

8 x+7

2

x 2 + 8 x + 16 = 25x

(

42 − x − x 2

x − 16 = 0 x1 = 16 → sol isible x − 1= 0 x2 = 1 → sol isible

2

2

42 − x − x 2 = 36 x 2 − 72 x + 36 0 = 37 x 2 − 71x − 6

x 2 − 17 x + 16 = 0

(x − 16)(x − 1) = 0

) = (6x − 6)

( 37 x ) 2 − 71( 37 x) − 222 = 0

(37 x − 74)(37 x + 3) = 0 37

(x − 2)(37 x + 3) = 0 x − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 → sol aceptada 37 x + 3 = 0 37 x = − 3 ⇒ x2 = −

3 → sol inisible 37

EJERCICIO 274 2 11. x − 4x + 3 = 0 x y

0

3

1

0

2

−1

3

0

−1

0 1 2 3 −1

8

sol : x 1 = 1 x 2 = 3 2 12. x − 6x + 8 = 0 x y

0

8

1 2

3 0

3

−1

4

0

sol : x 1 = 2

13. x 2 − 2x − 3 = 0 x y

−3 −4 −3 0 0

sol : x 1 = -1 x 2 = 3 2 14. x + 4x + 3 = 0 x y

0 3 −1 0 − 2 −1 −3 0 1 8

x2 =4

sol: x1 = − 3

x2 = − 1

2 15. x = 6 − x

x + x−6=0 x y 2

−6

0

1 −4 2 0 3 6 −1 − 6 −3 0

17. x 2 + 8x + 16 = 0 x y 0

16

−2

4

−4 −6

0 4

sol : x 1 = x 2 = -4 sol : x 1 = -3

x2 = 2

16. x = 2x − 1 2

x 2 − 2x + 1= 0 x y 0 1 2 3 −1

1 0 1 4 4

sol : x1 = x 2 = 1

2 18. x − 4 = 0 x y

1 −3 2 0 3 5 −1 − 3 −2 0 −3 5 0 −4

sol : x 1 = -2 x 2 = 2

19. x 2 = 3x + 10

x 2 − 3x − 10 = 0 x y 0 − 10 3 − 10 5 0 −1 − 6 −2 0

21. 2x 2 − 9x + 10 = 0 x y

0 1 2 3 4

10 3 0 1 6

sol : x 1 = -2 x 2 = 5

sol : x 1 = 2 20. x 2 − 4 x = − 4

x 2 − 4x + 4 = 0 x y 0 4 1 1 2 0 3 1 −1 9

sol : x 1 = x 2 = 2

x 2 = 2 21

22. 2x 2 − 5x − 7 = 0 x y

0 1 3 4 −1

−7 − 10 −4 5 0

sol : x 1 = -1

x 2 = 3 21

EJERCICIO 275 1.

x + (9 − x ) = 53 2

x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 53 2 x − 18 x + 28 = 0 2

x − 9 x + 14 = 0 2

(x − 7)( x − 2) = 0

x1 = 7 x2 = 2 7 → N º mayor 9 − 7 = 2 → N º menor

x → N º positivo 3x → Otro Número 5 x 3   x   = 2 .160  5 3x = 10 .800 2

x 2 = 3. 600 x = ± 3. 600 x1 = 60 x2 = − 60 60 → N º positivo 3 ( 60) = 36 → Otro Número 5

3.

x → Edad de A x − 3 → Edad de B x 2 + (x − 3) = 317 2

x 2 + x 2 − 6 x + 9 = 317 2 x 2 − 6x − 308 = 0 x 2 − 3x − 154 = 0

(x − 14)(x + 11) = 0 x1 = 14

x2 = − 11

14 años → Edad de A 14 − 3 = 11 años → Edad de B 4.

x 2 − 9 = 8 ( x − 2)

x → N º mayor 9 − x → N º menor 2

2.

5. x → N º buscado

x → Un Número 3x → El otro Número

(3x) 2 − x 2 = 1.800 9 x 2 − x 2 = 1.800

(x − 7)( x − 1) = 0 x1 = 7

16 x 2 + x 2 = 860 . 625

x2 = 1

17 x 2 = 860 . 625

7 → N º buscado

x 2 = 50 . 625

6. x + 1 → N º mayor x → N º menor

(x + 1)

2

x = ± 50 . 625 x1 = 225

− 57 = 3x

x 2 + 2 x + 1 − 57 = 3x x 2 − x − 56 = 0

225 sucres → Costo arreos

(x − 8)(x + 7) = 0

x1 = 8 x2 = − 7 8 → N º menor 8 + 1= 9 → N º mayor

(x − 7 + x)(x − 7) = 184 (2 x − 7)(x − 7) = 184

Area = x ( x + 4)

2 x 2 − 21x + 49 = 184

= x2 + 4x Doble del area = 2 x 2 + 8 x 2

+ 8x

3(15) = 45→ El otro Número

(2 x) − 21(2 x ) − 270 = 0

(2 x − 30)(2 x + 9) = 0 (x − 15)(2 x + 9) = 0

x 2 − 4 x − 32 = 0

(x − 8)(x + 4) = 0

x1 = 8 x2 = − 4 8m + 4m = 12m → L arg o 8m → Ancho 8. x → N º sa cos comp. 1. 000 bs. → cos to cada saco x 1. 000 1. 000 = −5 x + 10 x

1. 000 x = ( x + 10)1. 000 − 5x ( x + 10) 103 x = 103 x + 104 − 5x 2 − 50 x x + 10 x − 2 . 000 = 0

15 → Un Número

2 x 2 − 21x − 135 = 0 2

x 2 + 12 x + 32 = 2 x 2 + 8 x

x = 225 x = ± 225 x2 = − 15

10. x − 7 → N º menor x → N º mayor

7. x + 4 → L arg o x → Ancho

(x + 8)(x + 4) = 2 x

2

(x + 50)(x − 40) = 0

x1 = − 50

x2 = − 225

4 ( 225) = 900 900 sucres → Costo caballo

5x 2 + 50 x − 104 = 0

x1 = 15

x → Costo arreos

( 4 x ) 2 + x 2 = 860 . 625

x2 − 8x + 7 = 0

8 x 2 = 1.800 2

9. 4 x → Costo caballo

x 2 − 9 = 8 x − 16

x2 = 40

40 → N º sa cos comp. 1. 000 bs. = 25 bs. → cos to cada saco 40

9 2 15 → N º mayor 15 − 7 = 8 → N º menor x1 = 15

11.

x2 = −

x → Edad de A 23 − x → Edad de B x (23 − x) = 102

23x − x 2 = 102 x 2 − 23x + 102 = 0

(x − 17)(x − 6) = 0 x1 = 17 x2 = 6 17 años → Edad de A 6 años → Edad de B

12. x → N º de libros 180 → Costo c / u x 180 180 = +1 x− 6 x

180 x = 180 ( x − 6) + x ( x − 6) 180 x = 180x − 1. 080 + x 2 − 6x 0 = x 2 − 6 x − 1. 080

16. x → Re lojes comp. 192 → Costo cada reloj x 192 3x = x 4 768 = 3x 2

20. x → Tiempo de recorrido 240 240 + 20 = x x−2

240 (x − 2) + 20 x ( x − 2) = 240x

240x − 480 + 20 x 2 − 40 x = 240 x

256 = x 2

20 x 2 − 40 x − 480 = 0

± 256 = x x1 = 16 x 2 = − 16

x 2 − 2 x − 24 = 0

(x − 6)(x + 4) = 0 16 → Re lojes comp. = 6 x x x1 = 36 x2 = − 30 1 2 =−4 192 = → Costo cada reloj $12 → 6 horas Tiempo de recorrido 36 → Libros 16 180 17. x → Libros comp. = $ 5 → Costo c / u x → Caballos comp. 21. 36 150 2 000 . → Costo cada lib. → Pr ecio cada caballo x x 13. x → N º de filas 150 150 2 . 000 2 . 000 + 80 180 + 1= + 60 = → N º soldados cada fila x x−5 x x−2 x 0 = ( x − 36)( x + 30)

2 . 000 x − 4 . 000 + 60 x 2 − 120 x = 2 . 080 x

150 x − 750 + x − 5x = 150 x 2

0 = x + 8 x − 180 2

0 = ( x + 18)( x − 10) x1 = − 18 x2 = 10 10 → N º de filas 180 = 18 → N º soldados 10 cada fila 14. x → Costo del reloj x2 x % de x = 100 x2 + x = 75 100 x 2 + 100 x = 7 .500

x 2 + 100 x − 7 .500 = 0

(x + 150)(x − 50) = 0

x1 = − 150 x2 = 50 50 soles → Costo del reloj 15. x → Pers. comp. 1. 200 − 194 = x x 1. 200 − 194 x = x 2

x 2 + 194 x − 1. 200 = 0

(x + 200)(x − 6) = 0

x1 = − 200

2 . 000 ( x − 2) + 60 x ( x − 2) = 2 . 080 x

150 (x − 5) + x ( x − 5) = 150 x

180 − 8= x x 180 − 8 x = x 2

x2 = 6

6 → Pers. comp. el auto

60 x 2 − 200 x − 4 . 000 = 0

x 2 − 5x − 750 = 0

3x 2 − 10 x − 200 = 0

(x − 30)(x + 25) = 0

x1 = 30 x2 = − 25 30 → Libros comp. 150 = $ 5 → Costo cada lib. 30 18. x → Libros comp. 200 − 10 = x x 200 − 10x = x 2 x 2 + 10 x − 200 = 0

(x + 20)(x − 10) = 0 x1 = − 20 x2 = 10 10 → Libros comp. 19. x → Plumas comp. 24 → Pr ecio c / u x 24 24 − 1= x x+4

( 3x ) − 10 ( 3x ) − 600 = 0 2

22.

(3x − 30)(3x + 20) = 0 (x − 10)(3x + 20) = 0

20 3 10 → Caballos comp. 2 . 000 = $ 200 → Pr ecio c / caballo 10 x1 = 10

x → N º menor x + 1 → N º int ermedio x + 2 → N º mayor x + 2 3x = x + 1 10

10 ( x + 2) = 3x ( x + 1) 10 x + 20 = 3x 2 + 3x

0 = 3x 2 − 7 x − 20 0 = (3x ) − 7 (3x) − 60 2

24 ( x + 4) − x ( x + 4) = 24 x

0 = (3x − 12)(3x + 5)

24 x + 96 − x 2 − 4 x = 24 x x 2 + 4 x − 96 = 0

(x + 12)(x − 8) = 0 x1 = − 12 x2 = 8 8 → Plumas comp.

24 = $ 3 → Pr ecio c / u 8

x2 = −

0 = ( x − 4)(3x + 5)

−5 3 4 → N º menor 4 + 1 = 5 → N º int ermedio 4 + 2 = 6 → N º mayor x1 = 4

x2 =

23.

x → Un Nº. 180 → El otro Nº. x 180 x =1 1 4 x 180 5 = x2 4 720 = 5x 2 144 = x 2

26. Continuación x 2 − 10 x − 704 = 0

x1 = 32 x2 = − 22 32 → N º mayor

(150 + x)(x − 5) = 150x

150 x − 750 + x − 5x = 150 x 2

x 2 − 5x − 750 = 0

(x − 30)( x + 25) = 0

x ⋅ x = 9 (20 − x)(20 − x ) x = 9 (400 − 40 x + x

(x + 190)(x − 90) = 0

x1 = − 190

x2 = 90 90 Q. → Costo del caballo 26. x → Nº mayor 352 → Nº menor x x 10 =2+ 352 352 x x x2 10x =2+ 352 352 x 2 = 704 + 10x Continùa

)

x = 3. 600 − 360x + 9 x 2 0 = 8 x 2 − 360 x + 3. 600 0 = x 2 − 45x + 450

0 = (x − 30)(x − 15)

90 x − x 2 + 3x = 90 x − 270 x 2 − 3x − 270 = 0

(x − 18)(x + 15) = 0

x1 = 18 x2 = − 15 18 → Personas que van 90 = $ 5 → Valor c / u 18 31. x → N º buscado 84 − 5= x x 84 − 5x = x 2

x1 = 30 x2 = 15 15m → Long. pieza mayor 20 − 15 = 5m → Long. pieza menor x → Tiempo en horas 28. 200 → Veloc. del tren x 32. 200 200 = + 10 x x−1 200 (x − 1) = 200 x + 10 x ( x − 1)

200 x − 200 = 200 x + 10 x 2 − 10 x

150 = 5 ctvs. → Costo c / naranja 30 25. x → Costo del caballo x2 + x = 171 100 2 x + 100x = 17 .100

x + 100 x − 17 .100 = 0

2

2

x1 = 30 x2 = − 25 30 → N º naranjas comp.

2

90 x − x ( x − 3) = 90 ( x − 3)

352 = 11 → N º menor 32 x → Long. pieza mayor 27. 20 − x → Long. pieza menor 2

0 = 10 x 2 − 10 x + 200 0 = x − x + 20 2

0 = (x − 5)( x + 4) x1 = 5

x → Personas que van 90 → Valor c / u x 90 90 − 1= x−3 x

(x − 32)(x + 22) = 0

± 144 = x x1 = 12 x 2 = − 12 12 → Un Nº. 180 = 15 → El otro Nº. 12 x → N º naranjas comp. 24. 150 → Costo c / naranja x  150   + 1 ( x − 5) = 150  x 

30.

x2 = − 4

x 2 + 5x − 84 = 0

(x + 12)(x − 7) = 0 x1 = − 12 x2 = 7 7 → N º buscado

x → Edad actual A x − 6= x + 6

(x − 6) = ( 2

x+6

)

2

x 2 − 12 x + 36 = x + 6 x 2 − 13x + 30 = 0

(x − 10)(x − 3) = 0

x1 = 10 x2 = 3 10 años → Edad actual A

200 x → Libros comp. = 40 Km h → Veloc. del tren 33. 5 40 29. x → Dias trabj. → Pr ecio de c / libro x 84 x − 2 → N º de plumas → Valor del jornal x 40 40 84 84 = −1 − 1= x x−2 x x+2 40 ( x − 2) = 40 x − x ( x − 2) 84 ( x + 2) − x ( x + 2) = 84 x 40 x − 80 = 40 x − x 2 + 2 x 2 84 x + 168 − x − 2 x = 84 x x 2 − 2 x − 80 = 0 x 2 + 2 x − 168 = 0 (x − 10)(x + 8) = 0 (x + 14)(x − 12) = 0 x1 = 10 x2 = − 8 x1 = − 14 x2 = 12 → 10 Libros comp. 12 → Dias trabj. 84 = 7 col → Valor del jornal 12

40 = $ 4 → Pr ecio c / libro 10

EJERCICIO 276 2 1. 3x + 5x − 2 = 0

b − 4ac = 5 − 4 ( 3) (− 2) = 25 + 24 = 49 2

2 7. 2 x − 9 x + 7 = 0

b 2 − 4ac = (− 9) − 4 (2)( 7) = 81 − 56 = 25 2

2

Re ales y desiguales , racionales

Re ales y desiguales , racionales

2 2. 2 x − 4 x + 1 = 0

b 2 − 4ac = (− 4) − 4 (2)(1) = 16 − 8 = 8

8. 36 x 2 + 12 x + 1 = 0

b 2 − 4ac = (12) − 4 ( 36)(1) = 144 − 144 = 0

2

2

Re ales y desiguales , irracionales 2 3. 4 x − 4 x + 1 = 0

b 2 − 4ac = (− 4) − 4 ( 4)(1) = 16 − 16 = 0

Re ales e iguales 9. 4 x 2 − 5x + 3 = 0

b 2 − 4ac = (− 5) − 4 ( 4)( 3) = 25 − 48 = − 23

2

2

Re ales e iguales

Im aginarias

2 4. 3x − 2 x + 5 = 0

b 2 − 4ac = (− 2) − 4 ( 3)(5) = 4 − 60 = − 56

2 10. x + x − 1 = 0

b 2 − 4ac = (1) − 4 (1) (− 1) = 1 + 4 = 5

2

2

Im aginarias

Re ales y desiguales , irracionales

2 5. x − 10 x + 25 = 0

b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1)( 25) = 100 − 100 = 0

2 11. 5x − 7 x + 8 = 0

b 2 − 4ac = (− 7) − 4 (5)(8) = 49 − 160 = − 111

2

2

Re ales e iguales

Im aginarias

2 6. x − 5x − 5 = 0

b 2 − 4ac = (− 5) − 4 (1) (− 5) = 25 + 20 = 45

2 12. x − 10 x − 11 = 0

2

Re ales y desiguales , irracionales

b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1) (− 11) = 100 + 44 = 144 2

Re ales y desiguales , racionales

EJERCICIO 277 2 1. x + x − 6 = 0

4. Continuación

Suma 2 + (− 3) = − 1

 1 Pr oducto − 3   = − 1  3

Si son raices

5. 5x 2 − 11x + 2 = 0 11x 2 x2 − + =0 5 5 1 9 Suma 2 − = 5 5 No son raices

Pr oducto 2 (− 3) = − 6

2. x 2 − 4x − 5 = 0

Suma 1+ 5 = 6 No son raices 2 3. 2 x − x − 1 = 0 x 1 x2 − − = 0 2 2 1 1 Suma 1 − = 2 2 1  1 Pr oducto 1 −  = −  2 2 Si son raices

4. 3x 2 + 8x − 3 = 0 8x x2 + − 1= 0 3 1 8 Suma − 3 + = − 3 3 Continúa

Si son raices

6. 4 x 2 + 17 x + 4 = 0

17 x + 1= 0 4 1 17 Suma − 4 − = − 4 4  1 Pr oducto − 4  −  = 1  4 Si son raices x2 +

7. 5x 2 + 24x − 5 = 0 24 x2 + x − 1= 0 5 Continúa

7. Continuación 1 26 Suma − 5 − = − 5 5 No son raices 8. x 2 + 3x − 28 = 0

Suma 4 − 7 = − 3

Pr oducto 4 (− 7) = − 28

Si

son raices

2 9. 6 x + x − 2 = 0 x 1 x2 + − = 0 6 3 1 2 1 − =− Suma 2 3 6 1  1  2 Pr oducto    −  = −  2   3 3 Si son raices

2 10. 8x − 2x − 3 = 0 1 3 x2 − x − = 0 4 8 1 3 1 Suma − =− 2 4 4 No son raices

EJERCICIO 278 1. Suma 3 + 4 = 7

Pr oducto 3(4) = 12 Luego x 2 − 7 x + 12 = 0

2. Suma − 1 + 3 = 2 Pr oducto − 1( 3) = − 3

Luego x 2 − 2 x − 3 = 0 3. Suma − 5 − 7 = − 12

Pr oducto − 5(− 7) = 35 Luego x 2 + 12 x + 35 = 0

4. Suma − 10 + 11 = 1

Pr oducto − 10 (11) = − 110 Luego x 2 − x − 110 = 0

1 3 = 2 2  1 1 Pr oducto 1   =  2 2 3x 1 + =0 Luego x 2 − 2 2 2 ⇒ 2 x − 3x + 1 = 0

5. Suma 1 +

1 11 6. Suma − 2 − = − 5 5  1 2 Pr oducto − 2  −  =  5 5 x 2 11 + =0 Luego x 2 + 5 5 2 ⇒ 5x + 11x + 2 = 0 2 7 = 3 3  2 Pr oducto 3  −  = − 2  3 7x −2=0 Luego x 2 − 3 2 ⇒ 3x − 7 x − 6 = 0

7. Suma 3 −

3 7 =− 2 2  3 Pr oducto − 2  −  = 3  2

8. Suma

−2−

7x + 3= 0 Luego x + 2 2 ⇒ 2x + 7x + 6 = 0 2

1 1 0− = − 3 3  1 Pr oducto 0  −  = 0  3

16. Suma

1 3 1 + = 2 4 4 3  1   3 Pr oducto  −    = −  2  4 8

9. Suma −

x 3 − =0 4 8 3 ⇒ 4x2 − x − = 0 2 ⇒ 8x 2 − 2 x − 3 = 0

Luego x 2 −

10. Suma − 5 +

Pr oducto

2 33 =− 7 7 10  2 − 5  = −  7 7

33x 10 − =0 Luego x + 7 7 2 ⇒ 7 x + 33x − 10 = 0 2

5 13 = 3 3  5 Pr oducto 6  −  = − 10  3

11. Suma 6 −

13 x − 10 = 0 3 ⇒ 3x 2 − 13x − 30 = 0 Luego x 2 −

1 17 =− 8 8  1 1 Pr oducto − 2  −  =  8 4 17 1 Luego x 2 + x+ =0 8 4 ⇒ 8 x 2 + 17 x + 2 = 0

12. Suma − 2 −

13. Suma 18 − 52 = − 34

Pr oducto 18 (− 52) = − 936 Luego x 2 + 34 x − 936 = 0

14. Suma − 15 − 11 = − 26

Pr oducto − 15 (− 11) = 165 Luego x 2 + 26 x + 165 = 0

15. Suma 0 + 2 = 2

Pr oducto 0 ( 2) = 0 Luego x 2 − 2 x = 0

x =0 3 2 ⇒ 3x + x = 0 Luego x 2 +

17. Suma 5 − 5 = 0

Pr oducto 5 (− 5) = − 25 Luego x 2 − 25 = 0

1 1 − =0 2 2 1  1  1 Pr oducto    −  = −  2  2 4

18. Suma

1 =0 4 2 ⇒ 4 x − 1= 0 Luego x 2 −

19. Suma 7 + 7 = 14

Pr oducto 7 ( 7) = 49 Luego x 2 − 14 x + 49 = 0

11 13 = 3 3 88  11 Pr oducto 8  −  = −  3 3 13 88 2 =0 Luego x − x− 3 3 ⇒ 3x 2 − 13x − 88 = 0

20. Suma 8 −

5 9 16 − =− 6 2 3  5   9  15 Pr oducto  −   −  =  6  2  4

21. Suma −

16 15 x+ =0 3 4 ⇒ 12 x 2 + 64 x + 45 = 0 Luego x 2 +

11 2 73 + =− 2 7 14 11  11  2  Pr oducto  −    = −  2   7 7

22. Suma −

73 11 x− =0 14 7 ⇒ 14 x 2 + 73x − 22 = 0 Luego x 2 +

23. Suma 2a − a = a

Pr oducto 2a (− a) = − 2a 2 Luego x 2 − ax − 2a 2 = 0

2b b 5b 28. Suma 1 + 2 + 1 − 2 = 2 + =− 26. Suma b + a − b = a 3 4 12 2 Pr oducto 1 + 2 1 − 2 = − 1  2b   b  − b Pr oducto b (a − b) = ab − b2 Pr oducto  −    =  3   4 6 Luego x 2 − 2 x − 1 = 0 Luego x 2 − ax + ab − b2 = 0 2 b 5b Luego x 2 + x− = 0 29. Suma 2 + 5 + 2 − 5 = 4 12 6 a b 3a − 2b ⇒ 12 x 2 + 5bx − 2b2 = 0 27. Suma − = Pr oducto 2 + 5 2 − 5 = − 1 2 3 6 m m  a   b  − ab Luego x 2 − 4 x − 1 = 0 25. Suma m − = Pr oducto    −  = 2 2  2   3 6 m2  m − a b ab 3 2 30. Suma 3 + − 1 + 3 − − 1 = 6 2 Pr oducto m  −  = − =0 Luego x − x−  2 2 6 6 Pr oducto 3 + − 1 3 − − 1 = 10 m m2 ⇒ 6 x 2 − (3a − 2b) x − ab = 0 Luego x 2 − x − =0 2 2 Luego x 2 − 6 x + 10 = 0 ⇒ 2 x 2 − mx − m2 = 0 24. Suma −

(

)(

(

)(

(

)(

)

)

)

EJERCICIO 279 2 1. x − 11x + 30 = 0

3 x − 1= 0 2 2 2 x − 3x − 2 = 0 x2 −

6.

(x − 6)(x − 5) = 0 x1 = 6

x2 = 5

(2 x ) 2 − 3 (2 x ) − 4 = 0

(2 x − 4)(2 x + 1) = 0 (x − 2)(2 x + 1) = 0

2. x 2 + 33x + 260 = 0

(33) 33 ± − 260 2 4 2

x= −

x1 = 2

− 33 1. 089 − 1. 040 ± x= 2 4 − 33 49 ± x= 2 4 − 33 7 ± x= 2 2 33 7 − 26 + = = − 13 x1 = − 2 2 2 − 33 7 − 40 − = = − 20 x2 = 2 2 2

( 3x ) + 22 (3x ) + 72 = 0

(3x + 18)(3x + 4) = 0 (x + 6)(3x + 4) = 0

x1 = − 6

x1 = − 42

x2 = − 7

2 5. x − 6 x − 247 = 0

(x − 19)(x + 13) = 0 x1 = 19

x2 = − 13

4 3

x 3 − =0 4 8 8x 2 − 2 x − 3 = 0 x2 −

8.

2 4. x + 49 x + 294 = 0

(x + 42)(x + 7) = 0

x2 = −

(8 x )2 − 2 (8 x) − 24 = 0

(8x − 6)(8x + 4) = 0 (4 x − 3)(2 x + 1) = 0

x1 =

3 4

x2 = −

( 7 x ) 2 + 95 (7 x) − 294 = 0

(7 x + 98)(7 x − 3) = 0 (x + 14)(7 x − 3) = 0

x1 = − 14

2

(x + 18)(x − 17) = 0 x2 = 17

1 2

22 x2 + x + 8= 0 3 2 3x + 22 x + 24 = 0

7.

2 3. x + x − 306 = 0

x1 = − 18

x2 = −

95 x − 6= 0 7 2 7 x + 95x − 42 = 0 x2 +

9.

1 2

10.

x2 =

3 7

10 x + 1= 0 3 2 3x + 10 x + 3 = 0 x2 +

x=

2 − 10 ± (10) − 4 ( 3)( 3)

2 ( 3)

− 10 ± 64 − 10 ± 8 = 6 6 − 10 + 8 − 2 1 = =− x1 = 6 6 3 − 10 − 8 − 18 = =−3 x2 = 6 6 31 3 =0 x2 − x+ 11. 40 20 40x 2 − 31x + 6 = 0 x=

(40 x )2 − 31( 40 x) + 240 = 0

(40x − 16)(40x − 15) = 0 (5x − 2)(8x − 3) = 0

x1 =

2 5

x2 =

3 8

x 5 − =0 6 9 2 18 x + 3x − 10 = 0 x2 +

12.

11 =0 4 4 x 2 − 4 x − 11 = 0

17. x 2 − x −

(18 x) 2 + 3 (18x ) − 180 = 0

(18x + 15)(18x − 12) = 0 (6x + 5)(3x − 2) = 0 −5 6

x1 =

x2 =

x= x=

2 3

7 3 x− =0 20 10 20 x 2 − 7 x − 6 = 0

x2 −

13.

(20 x ) − 7 (20 x ) − 120 = 0 2

(20x − 15)(20x + 8) = 0 (4 x − 3)(5x + 2) = 0 3 4

x1 =

x2 =

−2 5

4 x2 = − 5 59 1 x − x+ = 0 72 6 72 x 2 − 59 x + 12 = 0 2

(72 x )2 − 59 (72 x ) + 864 = 0

(72 x − 32)(72 x − 27) = 0 (9 x − 4)(8x − 3) = 0 4 9

x2 =

x=

− (− 2 ) ±

3 8

)

(

)

x2 =

4 − 8 3 4 1 − 2 3 1− 2 3 1 = = = − 3 8 8 2 2

2 − 12 ± (12) − 4 ( 9) (− 59)

2 ( 9)

x=

− 12 ± 2 . 268 − 12 ± 22 ⋅ 34 ⋅ 7 − 12 ± 18 7 = = 18 18 18

x1 =

− 12 + 18 7 6 − 2 + 3 7 − 2 + 3 7 2 = = =− + 7 18 18 3 3

x2 =

− 12 − 18 7 − 6 2 + 3 7 − 2 − 3 7 2 = = =− − 7 18 18 3 3

(

)

(

)

(x − 2a)(x + a) = 0 x1 = 2a

x2 = − a

2 2 20. x + 7bx + 10b = 0

(x + 5b)(x + 2b) = 0

(− 2)

2

2 (1)

x1 = − 5b

− 4 (1) (− 4)

2 ± 20 2 ± 2 5 = 2 2

(

)

(

)

2 − 2 5 2 1− 5 = = 1− 5 2 2

x2 = − 2b

mx m2 − =0 2 9 18x 2 − 9mx − 2m2 = 0 x2 −

21.

2 + 2 5 2 1+ 5 = = 1+ 5 x1 = 2 2 x2 =

(

2 2 19. x − ax − 2a = 0

2 16. x − 2 x − 4 = 0

x=

4 ± 64 ⋅ 3 4 ± 8 3 = 8 8

4 + 8 3 4 1+ 2 3 1+ 2 3 1 = = = + 3 8 8 2 2

x=

(5x − 25)(5x + 4) = 0 (x − 5)(5x + 4) = 0

x1 =

− 4 (4) (− 11)

2 ( 4)

x1 =

(5x )2 − 21(5x ) − 100 = 0

15.

2

4 59 x− =0 3 9 9 x 2 + 12 x − 59 = 0

21x − 4= 0 5 2 5x − 21x − 20 = 0

x1 = 5

(− 4)

18. x 2 +

x2 −

14.

− (− 4) ±

(18x )2 − 9m (18x) − 36m2 = 0

(18x − 12m)(18x + 3m) = 0 (6x − 4m)(6x + m) = 0

x1 =

4m 2m = 6 3

x2 = −

m 6

EJERCICIO 280

x=

− (− 16) ±

(− 16)

2

− 4 ( 63)

2 16 ± 4 16 ± 2 = x= 2 2 16 + 2 18 = =9 x1 = 2 2 16 − 2 14 = =7 x2 = 2 2 x 2 − 16 x + 63 = (x − 9)(x − 7) 2 2. x + 24 x + 143 = 0

x=

− 24 ±

x=

2 − 5 ± (5) − 4 (12) (− 2)

[

2 (12)

=

4

][

]

x=

− 4 (12)(12)

2 (12)

25 ± 49 25 ± 7 = 24 24 25 + 7 32 4 = = x1 = 24 24 3 25 − 7 18 3 = = x2 = 24 24 4 4  3  12 x 2 − 25x + 12 = 12  x −   x −   3  4 =

12 (3x − 4)(4 x − 3) 12

= (3x − 4)(4 x − 3)

12 (4 x − 1)(3x + 2) 12

2 9. 8 x + 50 x + 63

− (− 155)

x 2 − 26 x − 155 = (x − 31)(x + 5)

2 (5)

2 ( 2)

− 1 ± 49 − 1 ± 7 = x= 4 4 − 1+ 7 6 3 = = x1 = 4 4 2 − 1− 7 8 =− =−2 x2 = 4 4 3  2 x 2 + x − 6 = 2  x −  ( x + 2)  2  2 x − 3 = 2  ( x + 2)  2  = (2 x − 3)( x + 2)

2 50 ± (50) − 4 (8)(63) 2 (8)

− 50 ± 484 − 50 ± 22 = 16 16 7 − 50 + 22 − 28 = =− x1 = 16 16 4 − 50 − 22 72 9 =− =− x2 = 16 16 2 7 9    8 x 2 + 50 x + 63 = 8  x +   x +   4  2 x=

= (4 x + 7)(2 x + 9)

= (5x + 1)(x + 8)

2 4. 2 x + x − 6 = 0 2 − 1 ± (1) − 4 (2) (− 6)

x=

2 − 41 ± (41) − 4 (5)(8)

− 41 ± 1.521 − 41 ± 39 = x= 10 10 − 41 + 39 2 1 =− =− x1 = 10 10 5 − 41 − 39 − 80 = = −8 x2 = 10 10 1  5x 2 + 41x + 8 = 5  x +  (x + 8)  5

x = 13 ± 324 = 13 ± 18 x1 = 13 + 18 = 31 x2 = 13 − 18 = − 5

x=

2

x=

6. 5x 2 + 41x + 8

2 3. x − 26 x − 155 = 0

2

(− 25)

= (4 x − 1)(3x + 2)

= (x + 11)(x + 13)

( 26) 2

− (− 25) ±

 4 x − 1  3x + 2  = 12     4  3 

x 2 + 24 x + 143 = x − (− 11) x − (− 13)

(− 26) ±

x=

− 5 ± 121 − 5 ± 11 = x= 24 24 − 5 + 11 6 1 = = x1 = 24 24 4 − 5 − 11 − 16 2 = =− x2 = 24 24 3 1 2   12 x 2 + 5x − 2 = 12  x −   x +   4  3

(24) 2 − 4 (143)

2 − 24 ± 4 − 24 ± 2 = x= 2 2 − 24 + 2 − 22 = = − 11 x1 = 2 2 − 24 − 2 − 26 = = − 13 x2 = 2 2

x= −

2 8. 12 x − 25x + 12

5. 12 x 2 + 5x − 2 = 0

2 1. x − 16 x + 63 = 0

7. 6 x 2 + 7 x − 10

x=

2 − 7 ± (7) − 4 (6) (− 10)

2 10. 27 x + 30 x + 7

2 (6)

− 7 ± 289 − 7 ± 17 = 12 12 − 7 + 17 10 5 = = x1 = 12 12 6 − 7 − 17 − 24 = =−2 x2 = 12 12 5  6x 2 + 7 x − 10 = 6  x −  ( x + 2)  6 x=

= (6 x − 5)(x + 2)

x=

2 − 30 ± ( 30) − 4 (27)(7) 2 (27)

− 30 ± 144 − 30 ± 12 = 54 54 18 1 − 30 + 12 =− =− x1 = 54 54 3 − 30 − 12 42 7 =− =− x2 = 54 54 9 1 7   27 x 2 + 30 x + 7 = 27  x +   x +   3  9 x=

= (3x + 1)(9 x + 7)

14. Continuación

2 11. 30 x − 61x + 30

− (− 61) ±

x=

(− 61)

2

− 4 (30)(30)

2 (30)

61 ± 121 61 ± 11 = x= 60 60 61 + 11 72 6 = = x1 = 60 60 5 61 − 11 50 5 = = x2 = 60 60 6 5 6   30x 2 − 61x + 30 = 30  x −   x −   5  6 = (5x − 6)(6 x − 5)

2 12. 11x − 153x − 180

− (− 153) ±

x=

(− 153)

2

2 (11)

− 4 (11) (− 180)

= ( x − 15)(11x + 12)

1 1 1 25 ± − (− 6) = − ± 2 4 2 4 1 5 4 x1 = − + = = 2 2 2 2 1 5 6 x2 = − − = − = − 3 2 2 2 x= −

x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3)

6 − x − x 2 = (2 − x )(3 + x )

15. 15 + 4 x − 4 x 2

x=

2 − 4 ± ( 4) − 4 (15) (− 4)

2 (− 4)

(− 9) − 4 (− 2)(5) 2 (− 2) 2

9 ± 121 9 ± 11 = −4 −4

9 + 11 20 = =−5 −4 −4 9 − 11 − 2 1 = = x2 = −4 −4 2 Continúa x1 =

− 4 ± 256 −8

x=

− 4 + 16 12 3 = =− −8 −8 2 − 4 − 16 − 20 5 = = x2 = −8 −8 2 x1 =

 15 + 4 x − 4 x 2 = − 4  x + 

3   x− 2 

5  2

= − (2 x + 3)(2 x − 5) = (3 + 2 x)(5 − 2 x )

2 16. 4 + 13x − 12 x

12 x 2 − 13x − 4 x=

− (− 13) ±

(− 13)

2

2 (12)

− 4 (12) (− 4)

x=

13 ± 361 24

x=

55 ± 5. 041 144

13 + 19 32 4 = = 24 24 3 13 − 19 − 6 1 = =− x2 = 24 24 4 4  1  12 x 2 − 13x − 4 = 12  x −   x +   3  4 = (3x − 4)(1 + 4 x )

4 + 13x − 12 x = (4 − 3x )(1 + 4 x ) 2

2 17. 72 x − 55x − 7

2

− (− 9) ±

x= x=

= ( x + 5)(1 − 2 x )

x1 =

2 13. 6 − x − x x2 + x − 6

14. 5 − 9 x − 2 x

1  2

= − ( x + 5)(2 x − 1)

153 ±

31. 329 153 ± 177 = 22 22 153 + 177 330 = = 15 x1 = 22 22 153 − 177 24 12 =− =− x2 = 22 22 11 12   2 11x − 153x − 180 = 11( x − 15)  x +   11 x=

 5 − 9 x − 2 x 2 = − 2 ( x + 5)  x − 

x=

− (− 55) ±

(− 55)

2

− 4 (72) (− 7)

2 ( 72) 55 + 71 126 7 = = x1 = 144 144 8 55 − 71 − 16 1 = =− x2 = 144 144 9 7  1  72 x 2 − 55x − 7 = 72  x −   x +   8  9 = (8 x − 7)(9 x + 1)

21. 18 x 2 + 31x − 49 18. 6 + 31x − 30 x

x=

2

2 − 31 ± ( 31) − 4 (− 30) (6)

2 (− 30)

− 31 ± 1. 681 − 60 − 31 + 41 10 1 = =− x1 = − 60 − 60 6 − 31 − 41 − 72 6 = = x2 = − 60 − 60 5 x=

6 1   6 + 31x − 30 x 2 = − 30  x +   x −   6  5 = − (6 x + 1)(5x − 6) = (1 + 6 x)(6 − 5x )

x=

2 − 31 ± (31) − 4 (18) (− 49)

2 (18)

− 31 ± 4 . 489 x= 36 − 31 + 67 36 = =1 x1 = 36 36 − 31 − 67 − 98 49 = =− x2 = 36 36 18 49   18 x 2 + 31x − 49 = 18 ( x − 1)  x +   18  = ( x − 1)(18x + 49)

22. 6 x − ax − 2a 2

x=

− (− a ) ±

2

(− a )

− 4 ( 6) (− 2a 2 )

2

2 ( 6)

=

a ± 49a 2 12

a + 7a 8a 2a = = 12 12 3 a − 7a − 6a 1 = =− a x2 = 12 12 2 2  a  6 x 2 − ax − 2a 2 = 6  x − a  x +   3  2 x1 =

19. 10 x 2 + 207 x − 63

x=

2 − 207 ± ( 207) − 4 (10) (− 63)

2 (10)

− 207 ± 45. 369 20 − 207 + 213 6 3 = = x1 = 20 20 10 − 207 − 213 − 420 = = − 21 x2 = 20 20

= (3x − 2a )(2 x + a )

x=

3  10 x 2 + 207 x − 63 = 10  x −  ( x + 21)  10  = (10 x − 3)( x + 21)

2 20. 100 − 15x − x

2 2 23. 5x + 22 xy − 15 y

x=

− 22 y ±

(22 y)

2

2 (5)

− 22 y ± 784 y 2 − 22 ± 28 y = 10 10 − 22 y + 28 y 6 y 3 = = y x1 = 10 10 5 − 22 y − 28 y 50 y x2 = =− = − 5y 10 10 3y   5x 2 + 22 xy − 15 y 2 = 5  x −  ( x + 5 y )  5 x=

= (5x − 3 y )( x + 5 y )

x 2 + 15x − 100

(15) 15 ± − (− 100) 2 4 2

x= −

− 4 (5) (− 15 y 2 )

− 15 625 ± 2 4 − 15 25 10 + = =5 x1 = 2 2 2 − 15 25 − 40 − = = − 20 x2 = 2 2 2 x=

x 2 + 15x − 100 = ( x − 5)( x + 20)

− x 2 − 15x + 100 = − ( x − 5)( x + 20) = (5 − x)(20 + x)

24. 15x − 32mx − 7m 2

x=

− (− 32m) ±

2

(− 32m)

2

2 (15)

− 4 (15) (− 7m2 )

32m ± 1. 444m2 32m ± 38m = x= 30 30 32m + 38m 70m 7m = = x1 = 30 30 3 m 32m − 38m − 6m = =− x2 = 30 30 5 m  7m   2 2 15x − 32mx − 7m = 15  x +   x −   5  3 = (5x + m)(3x − 7m)

EJERCICIO 282

(x

2

+ 1)( x 2 − 1) = 0

x 2 + 1= 0

x 2 − 1= 0

x2 = − 1

x2 = 1

x= ± −1

x= ± 1

x= ±i

x= ±1

2. x 3 + 1 = 0

(x + 1)(x

− x + 1) = 0

2

x + 1= 0 x1 = − 1 x2 − x + 1= 0

(− 1) ± (− 1)

2

x= −

2

4

−1

3 −1 1 3 1 ± − = ± 2 4 2 2

x=

1 i 3 1+ i 3 + = 2 2 2 1 i 3 1− i 3 = x3 = − 2 2 2 x2 =

3. x 4 = 81

8. Continuación

(x − 9)(x + 9) = 0 (x − 3)(x + 3)(x + 9) = 0 2

2

2

x − 3= 0 x1 = 3

x + 3= 0 x2 = − 3

x2 = − 9 x= ± 9 −1 = ± 9i x4 = − 3i

4. x 4 − 256 = 0

(x − 16)(x + 16) = 0 (x + 4)(x − 4)(x + 16) = 0 2

2

2

x+ 4= 0 x1 = − 4

− 2 x + 4) = 0

x+ 2= 0 x1 = − 2 x − 2x + 4 = 0 2

− (− 2) ± x= 2

(− 2)

( 3) 2 −3 ± −9 2 4

x=

27 − 1 − 3 3 3i −3 ± = ± 2 2 2 4

− 3− 3 3 i 2 x 2 − 3x + 9 = 0

2

x3 =

−4

4

x=

x− 4= 0 x2 = 4

2 3 −1 12 2 = 1± = 1+ i 3 − (− 3) − 3) ( 4 2 ± −9 x= 2 4 x2 = 1 + i 3 x3 = 1 − i 3 27 − 1 3 3 3 i 3 6. x 4 − 625 = 0 = ± x= ± 2 2 2 4 2 2 (x − 25)(x + 25) = 0 3+ 3 3 i 3− 3 3i x5 = x6 = (x + 5)(x − 5)(x 2 + 25) = 0 2 2 x + 5= 0 x − 5= 0 x1 = − 5 x2 = 5 3 2 9. x = 8 x + 25 = 0 x3 − 8 = 0

x 2 = − 25

(x − 2)(x

x = ± 25 − 1 = ± 5i x3 = 5 i

(x + 4)(x

2

x+ 4= 0 x1 = − 4

x=

(− 4 )

2

x 2 = − 16 x = ± 16 − 1 = ± 4 i x4 = − 4 i

x = − 1± 3 i

− 4 (1)(16)

x2 = − 1 + 3 i

2 (1)

4 ± 16 − 64 2 4 + − 48 4 + 4 = x2 = 2 4 − − 48 4 − 4 = x3 = 2

x3 = − 1 − 3 i

x=

3 −1 = 2 + 2 3i 2 10. x 4 = 64 3 −1 x 4 − 64 = 0 = 2 − 2 3i 2 x2 − 8 x2 + 8 = 0

(x − 27)(x + 27) = 0 (x − 3)(x + 3x + 9)(x + 3)(x 3

(

x + 3x + 9 = 0 2

Continúa

x + 3= 0 x2 = − 3

)(

x2 = 8

3

x − 3= 0 x1 = 3

( 2) 2 −2 ± −4 2 4

x = − 1± 3 − 1

x 2 − 4 x + 16 = 0

6 8. x − 729 = 0

+ 2 x + 4) = 0

x2 + 2 x + 4 = 0

− 4 x + 16) = 0

− (− 4 ) ±

2

x− 2= 0 x1 = 2

x4 = − 5 i

2

x 2 + 16 = 0

− 3 + 3 3i 2

x4 =

x = 1± −

x=

x + 9= 0 2

x3 = 3i

2

3 7. x + 64 = 0

x 4 − 81 = 0

x3 = 4 i

( ) (x + 2)(x

5. x 3 + 8 = 0

1. x 4 − 1= 0

2

− 3x + 9) = 0

x = 22 ⋅ 2

)

x2 = − 8 x= 8 −1

x= ±2 2 x= ±2 2 i x1 = 2 2

x3 = 2 2 i

x2 = − 2 2 x4 = − 2 2 i

EJERCICIO 283 4 2 6. x + 16 x − 225 = 0

4 2 1. x − 10 x + 9 = 0

(x − 9)( x − 1) = 0 (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) = 0 2

2

x + 3= 0 x1 = − 3 x + 1= 0 x3 = − 1

x − 3= 0 x2 = 3 x − 1= 0 x4 = 1

4 2 2. x − 13x + 36 = 0

(x

− 4)( x − 9) = 0

2

2

x2 − 4 = 0 x2 − 9 = 0 x2 = 4

x2 = 9

x= ± 4 x= ± 9 x1 = 2 x3 = 3 x2 = − 2 x4 = − 3

(x (x

2 2

(x − 25)(x − 4) = 0 (x + 5)(x − 5)( x + 2)(x − 2) = 0 x − 5= 0

x1 = − 5

x2 = 5

x+ 2= 0

x − 2= 0

x3 = − 2

x4 = 2

4. x − 61x + 900 = 0 4

2

2

− 36)(x 2 − 25) = 0

x 2 − 36 = 0

x3 = 5 i

x 2 = 25

x = ± 36 x = ± 25 x1 = 6 x3 = 5 x2 = − 6 x4 = − 5 5. x 4 + 3x 2 − 4 = 0

(x (x

2 2

+ 4)( x 2 − 1) = 0

+ 4)( x + 1)( x − 1) = 0

x + 1= 0 x1 = − 1

x − 1= 0 x2 = 1

x + 4= 0 2

7. x − 45x − 196 = 0 2

(x − 49)(x + 4) = 0 (x + 7)(x − 7)(x + 4) = 0 2

x = 4 − 1 = ± 2i x4 = − 2 i

(9 x )

(9 x − 36)(9 x − 4) = 0 (x − 4)(9 x − 4) = 0 (x + 2)(x − 2)(9 x − 4) = 0 2

x+ 7= 0 x1 = − 7

x − 7= 0 x2 = 7

x2 + 4 = 0

x+ 2= 0 x1 = − 2

x4 = − 2 i

8. x 4 − 6 x 2 + 5 = 0

2

− 5)( x 2 − 1) = 0

− 5)( x + 1)( x − 1) = 0

x + 1= 0 x1 = − 1

x − 1= 0 x2 = 1

x2 − 5= 0 x2 = 5 x= ± 5 x3 = 5

x4 = − 5

9. 4 x 4 − 37 x 2 + 9 = 0

(4 x )

2 2

− 37 (4 x 2 ) + 36 = 0

(4 x − 36)(4 x − 1) = 0 (x − 9)(4 x − 1) = 0 2

2

2

2

x − 9 = 0 4 x − 1= 0 2

2

1 x= ± 4

x =9 2

x1 = 3 x2 = − 3

x− 2= 0 x2 = 2

9x2 − 4 = 0 x= ± x3 =

2 3

4 9 x4 = −

2 3

11. 25x 4 + 9 x 2 − 16 = 0 2

x = 4 − 1 = ± 2i

2

2

25(x 2 ) + 9 x 2 − 16 = 0

x2 = − 4

(x (x

2

2

2

x3 = 2 i

− 40 (9 x 2 ) + 144 = 0

2 2

2

x= ± 9

x2 = − 4 x3 = 2 i

x4 = − 5 i

4

10. 9 x 4 − 40 x 2 + 16 = 0

2

x = ± 25 − 1

x 2 − 25 = 0

x 2 = 36

x − 3= 0 x2 = 3

x 2 + 25 = 0

2

x + 5= 0

(x

+ 25)( x + 3)(x − 3) = 0

x + 3= 0 x1 = − 3

4 2 3. x − 29 x + 100 = 0 2

+ 25)( x − 9) = 0 2

1 2 1 x4 = − 2 x3 =

x2 =

2 − 9 ± ( 9) − 4 ( 25) (− 16)

2 (25)

− 9 ± 1. 681 − 9 ± 41 = 50 50 − + 9 41 32 16 = = x2 = 50 50 25 16 4 4 x= ± x = x2 = − 25 1 5 5 − − − 9 41 50 = = −1 x2 = 50 50 x = ± − 1 x3 = i x4 = − i x2 =

4 2 12. 4 x + 11x − 3 = 0

(4 x 2 )2 + 11(4 x 2 ) − 12 = 0

(4 x + 12)(4 x − 1) = 0 (x + 3)(4 x − 1) = 0 2

2

2

2

x2 + 3 = 0 x2 = − 3 x = ± − 3 = ± 3 −1= ± 3i x1 = 3i

x2 = − 3i

4x2 − 1= 0

(2 x + 1)(2 x − 1) = 0 2 x + 1= 0 x3 = −

1 2

2 x − 1= 0 x4 =

1 2

(

2 2 13. (2 x + 1) − ( x − 3) = 80 4 2 4 x + 4 x + 1 − x 4 + 6 x 2 − 9 = 80 2

(3x )

(3x (3x (3x

+ 10 (3x ) − 264 = 0

(3x − 3)(3x + 1) = 0 (x − 1)(3x + 1) = 0 (x + 1)(x − 1)(3x + 1) = 0 2

+ 22)( x − 4) = 0 2

x+ 2= 0

x + 1= 0 x1 = − 1

x2 = 2

3x + 22 = 0 2

x2 = x= ±

x=

3

x3 =

22 3 i 66 ⋅ = 3 3 3 22 3 − i 66 ⋅ = 3 3 3

x4 = − i

(x

3

x3 − 8 = 0

x 3 + 1= 0

x3 = 8

x3 = − 1

x= 3 8

x= 3 −1

x1 = 2

x2 = − 1

(x − 8) = 0 (x − 2)(x + 2 x + 4) = 0

(x

3

+ 27)( x 3 + 3) = 0

x 3 + 27 = 0

x3 + 3= 0

x 3 = − 27

prob.9)

x=

3

− 27

x=3 −3

x= − 3

x4 = − 1 − 3 i 3

2

x5 =

1+ 3 i 2

x6 =

1− 3 i 2

i 3 i 3 ⋅ = 3 3 3 i i 3 3 ⋅ =− 3 3 3

4 2

− 25)( x 4 − 16) = 0

+ 5)(x 2 − 5)( x 2 + 4)( x 2 − 4) = 0

x2 − 5= 0

x= − 3 3

x2 − 4 = 0

x= ± 5

x= ± 4 x= ±2

10 5 5. x − 33x + 32 = 0

(x

5

− 32)( x5 − 1) = 0

3. 8 x + 15x − 2 = 0 3

(8x )

3 2

+ 15 (8 x ) − 16 = 0

(8x + 16)(8x − 1) = 0 (x + 2)(8x − 1) = 0 3

x3 + 2 = 0 x =−2 3

x= 3 −2 x= −3 2

3

8x 3 − 1 = 0 1 x= 8 1 x= 2

x5 − 1= 0

x = 5 32 x=2

3

3

(x + 1) = 0 (x + 1)(x − x + 1) (ver ejerc. 282 prob.2)

3

x 5 − 32 = 0 6

3

x3 = − 1 + 3 i

i

x3 = − 3

2

(ver ejerc. 282

=±

(x (x

3

x2 + 2x + 4 = 0

3

4. x 8 − 41x 4 + 400 = 0 6 3 2. x + 30 x + 81 = 0

− 8)( x 3 + 1) = 0

−1

x4 = −

EJERCICIO 284 6 3 1. x − 7 x − 8 = 0

x − 1= 0 x2 = 1

3x 2 + 1 = 0

− 22 3 22 − 1

x3 = i

2

2

x− 2= 0

x1 = − 2

2

2

+ 22)( x + 2)( x − 2) = 0

2

2

(3x 2 )2 − 2 (3x 2 ) − 3 = 0

2

2

2

3x 4 − 2 x 2 − 1 = 0

2

+ 22)(3x − 12) = 0

2

)

3x + 2 x = 4 x − 12 + 13 4

3x 4 + 10 x 2 − 88 = 0 2 2

) (

2 2 2 14. x 3x + 2 = 4 x − 3 + 13

2

x= 5 1 x=1

−4 −2 6. x − 13x + 36 = 0

(x

−2

− 9)( x − 2 − 4) = 0

x −2 − 9 = 0 x

−2

=9

x −2 − 4 = 0 x −2 = 4

1 1 =9 =4 x2 x2 1 1 = x2 = x2 9 4 1 1 ± =x ± =x 9 4 1 1 1 1 x1 = ; x2 = − ; x3 = ; x4 = − 3 3 2 2

− 10 −5 8. x = 242 x + 243

7. x

−6

−3

+ 35x = − 216

x

(x

x − 6 + 35x − 3 + 216 = 0

(x

−3

+ 27)( x − 3 + 8) = 0

−3

−5

x + 8= 0

x − 3 = − 27 1 = − 27 x3 1 =x − 27

1 =−8 x3 1 =x −8

1 x= − 3

− 242 x − 243 = 0 − 243)(x −5 + 1) = 0

x −5 + 1 = 0

−5

x −3 = − 8

3

3

−5

x − 5 − 243 = 0

−3

x + 27 = 0

3

−10

5

−5

x = 243

x = −1

1 = 243 x5 1 =x 243

1 = −1 x5 1 =x −1

5

1 3 = −5 3 x 16 x 11. x=

1 x= − 2

x= −1

x3 − 9x 2 + 8 = 0

9.

 23   23   x − 8  x − 1 = 0    3

x 2 − 1= 0

x3 = 8

x3 = 1

x = 64

x3 = 1

3

x = 3 64 x= 4 1

1

 21  1   3x − 15   3x 2 − 1  = 0   

 12   21   x + 3  x − 2 = 0    1 2

1 2

x=−3

x=2

x = (− 3)

x = ( 2)

x=9

x=4

2

2

EJERCICIO 285 5 + 24

2 m = (8) − 28

m = (5) − 24 2

5+ 1 5− 1 + 2 2

=

8 − 60

32 − 700

4.

2 m = (8) − 60

2 m = (32) − 700

m= 4

m = 324 = 18

m= 2 =

8+ 2 8− 2 − 2 2

= 5− 3

=

32 + 18 32 − 18 − 2 2

= 25 − 7 = 5− 7

1

x = ( 2)

4

x=

4

1 16

11 + 2 30

7.

11 + 120 2 m = (11) − 120 = 1

14 + 8 14 − 8 + 2 2

=

11 + 1 11 − 1 + 2 2

= 6+ 5 84 − 18 3

13 + 88 2 m = (13) − 88

 1 x=   2

x = 16

8. 6.

24 x =1

x=2

4

= 11 + 3

= 7 +1

= 3+ 2 2.

=

2 x 4 − 1= 0

x4 = 2

m = 64 = 8

8+ 6 8− 6 + 2 2

1

x4 − 2 = 0

2 m = (14) − 132

m= 6

m= 1

14 + 132

5.

m = 36

m= 1

=

8 + 28

3.

 41   41   x − 2  2 x − 1 = 0    1

1 2

3x − 15 = 0 3x − 1 = 0 15 1 x= x= 3 3 2  1 2 x = (5) x=   3 1 x = 25 x= 9

1 2

x + 3= 0 x − 2 = 0

1.

 41   41   2 x − 4  2 x − 1 = 0   

 1 9 x − 16  3x 2  + 15 = 0  

x + x2 − 6= 0

1

1  1 4 x 2 − 5 2 x 4  + 4 = 0  

3x − 16 x + 5 = 0 10. x + x = 6

x=1

12. 2 x 2 − 5x 4 + 2 = 0

1 2

1 2

3

x2 − 8= 0

84 − 972 2 m = (84) − 972

m = 81 = 9

m = 6 . 084 = 78

13 + 9 13 − 9 = + 2 2

=

= 11 + 2

= 81 − 3 = 9 − 3

84 + 78 84 − 78 − 2 2

21 + 6 10

9.

21 + 360

253 − 25. 200

2 m = (21) − 360

m = ( 253) − 25. 200 2

m = 81 = 9

28 + 14 3

10.

293 − 19 .800 m = ( 293) − 19 .800 2

28 + 14 28 − 14 + 2 2

293 + 257 293 − 257 − 2 2

=

14 − 4 6

16.

m = 100 = 10

m=

= 22 ⋅ 3 − 2 = 2 3 − 2

m= 4 = 2

55 + 1. 800

=

1 1 1 2 1 3 + = + 2 3 2 2 3 3

=

7+1 7−1 + 2 2

2

73 − 5. 040

m=

= 45 − 28 = 3 5 − 2 7

2 m = ( 7) − 48 = 1

= 4 + 3= 2+ 3

73 − 12 35

73 + 17 73 − 17 − 2 2

7 + 48

1 1 2+ 3 2 3

1  3 m=   −  4 2

m = 289 = 17

7+ 4 3

20.

3 1 − 4 2

17.

2 m = ( 73) − 5. 040

=

5 1 − 6 6 2

=

m = 1. 225 = 35

6+ 2 6− 2 + 2 2

= 4 + 2 = 2+ 2

=

m = (55) − 1. 800

=

1 1 = 36 6

55 + 30 2

2

13.

6+ 4 2 2 m = (6) − 32

5 1 + 6 6+ 2

= 45 + 10 = 3 5 + 10

9 7 − 16 16 2

6 + 32

2  5 m=   −  6 3

= 12 − 2

55 + 35 55 − 35 + 2 2

1 1 2 1 + = + 2 16 2 4

2

14 + 10 14 − 10 = − 2 2

=

=

19.

5 2 + 6 3

2

12.

=

9 7 + 16 16 + 2

= 275 − 18 = 5 11 − 3 2

14 − 96 m = (14) − 96

49 7 = 256 16

m = 66 . 049 = 257

= 21 + 7 11.

m=

293 − 30 22

15.

m = 196 = 14 =

2

= 225 − 28 = 15 − 2 7

28 + 588 2 m = ( 28) − 588

1  9 m=   −  16  8

253 + 197 253 − 197 − 2 2

=

9 1 + 16 8

18.

m = 38 . 809 = 197

21 + 9 21− 9 + = 15 + 6 2 2

=

253 − 60 7

14.

8+ 2 7

21.

8 + 28

1 1 = 16 4

2 m = (8) − 28

=

3 1 + 4 4− 2

=

1 1 2 1 − = − 2 4 2 2

3 1 − 4 4 2

m = 36 = 6 =

8+ 6 8− 6 + 2 2

= 7 +1

10 + 2 21

22.

24 − 2 143

24.

10 + 84

9 + 72

24 − 572

m = (10) − 84

2 m = ( 24) − 572

2 m = (9) − 72

m = 16 = 4

m= 4 = 2

m= 9 = 3

2

=

10 + 4 10 − 4 + 2 2 18 + 6 5

24 + 2 24 − 2 − 2 2

=

= 7+ 3 23.

9+ 6 2

26.

=

= 6+ 3

= 13 − 11 30 − 20 2

25.

18 + 180

9+ 3 9− 3 + 2 2 98 − 24 5

27.

98 − 2 . 880

30 − 800

m = (18) − 180

2 m = ( 30) − 800

2 m = ( 98) − 2 . 880

m = 144 = 12

m = 100 = 10

m = 6 . 724 = 82

18 + 12 18 − 12 = + 2 2

=

= 15 + 3

= 20 − 10 = 2 5 − 10

2

30 + 10 30 − 10 − 2 2

=

98 + 82 98 − 82 − 2 2

= 90 − 8 = 3 10 − 2 2

EJERCICIO 286 Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula: u = a + (n - 1) r donde: u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de términos ; r es la razón de cambio. 1. a = 7 n = 9 r = 10 − 7 = 3

1 3 1 1 7 21 7 7 n = 12 r = − = 15. a = n = 27 r = − = 2 4 2 4 2 4 2 4 1  1  1 11 13 7  7  7 91 98 = = 3 41 u = + 26   = + u = + 11  = + = = 49  4 2 4  4 2 2 2 4 2 2 2 5 2 1 7 1 7 4 12. a = n = 17 r = − = 16. a = n = 36 r = − = − 3 6 3 6 9 3 9 9 u = 9 + 47 (3) = 9 + 141 = 150 2 1  7 4   4. a = 3 n = 63 r = 17 − 10 = 7 u = + 16   u = + 35  −   6  9 3 9 ( ) u = 3 + 62 7 = 3 + 434 = 437 2 8 10 7 140 133 1 u= + = = 33 u= − =− = − 14 79 5. a = 11 n = 12 r = 6 − 11 = − 5 3 3 3 9 9 9 u = 11 + 11(− 5) = 11 − 55 = − 44 3 11 3 1 13. a = n = 25 r = 17. a = 2 n = 15 r = 1 − 2 = − 9 − = 6. a = 19 n = 28 r = 5 − 12 = − 7 8 24 8 12 7 8 7 56 3 u = 19 + 27 (− 7) = 19 − 189 = − 170  1 2  9 u = + 24   u = + 14  −   12   56  8 7 7. a = 3 n = 13 r = − 5 − (− 1) = − 4 3 19 2 126 110 u = 3 + 12 (− 4) = 3 − 48 = − 45 u = + 2 = = 2 83 u= − =− = − 1 27 28 8 8 7 56 56 = = = − = − a 8 n 54 r 0 8 8 8. 1 7 1 13 3 14 3 1 18. a = − n = 21 r = − + =− u = 8 + 53 (− 8) = 8 − 424 = − 416 14. a = n = 19 r = − = 3 8 3 24 5 15 5 3 9. a = − 7 n = 31 r = 1 − (− 3) = 4 1  13  3  1 u = + 18   u = − + 20  −   24   3 3 5 u = − 7 + 30 (4) = − 7 + 120 = 113 1 39 121 3 20 109 10. a = − 8 n = 17 r = 12 − 2 = 10 1 u= + = = 10 12 u= − − =− = − 7 154 3 4 12 5 3 15 u = − 8 + 16 (10) = − 8 + 160 = 152

u = 7 + 8 (3) = 7 + 24 = 31 2. a = 5 n = 12 r = 10 − 5 = 5 u = 5 + 11(5) = 5 + 55 = 60 a 3. = 9 n = 48 r = 15 − 12 = 3

11. a =

1 9 1 14 27 14 1 n = 13 r = − + = − 2 22. a = n = 41 r = − =− 4 4 4 5 10 5 10 1 1 97 14  1 = − 24 41 u = − + 12 (− 2) = − − 24 = − u= + 40  −  4 4 4

19. a = −

24. a = − 4 n = 19 2 10 r= − + 4= 3 3  10  u = − 4 + 18    3

 10  5 14 6 − 4 = − = − 1 15 u= u = − 4 + 60 = 56 5 5 3 3 3 9 25. a = 3 n = 39 23. a = − n = 26 r = + = 5 17 5 10 5 10 11 35 11 3 r = − − 3= − − =− n = 33 r = 21. a = 4 4 3 9  3 12 3 4 u = − + 25    17    5 10 11 61 u = 3 + 38  −   3  11  4 + 32  −  = − 24 = − = − 20 13 u= 3 45 219  4 3 3 3 u= − + = = 21 109 323 317 5 2 10 =− = − 158 21 u = 3− 1 5 1 5 n = 19 r = − + = 3 6 2 6 49 5 5  1 u = − + 18   = − + 9 = = 8 16  2 6 6 6

20. a = −

2

2

EJERCICIO 287 Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:

a = u − (n − 1) r

r=

u− a n−1

n=

u− a+ r r

Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ; a es el primer término de la progresión.

2 n = 15 7  2 a = 20 − (14)    7 a = 20 − 4 = 16

1. u = 20 r =

2. u = − 18 n = 32 r = 3

a = − 18 − (31)( 3) a = − 18 − 93 = − 111 3. u = 1 n = 9 r = 1 − 3 = 1 4 4  1 a = 1− (8)   = 1 − 2 = − 1  4

25 n= 7 3 Se plantea la ecuación para encontrar la razón 25 − 2r = 7 3 25 − 2r = 7 − 3 4 − 2r = − 3

4. u =

Continúa

4. Continuación

4 2 = 6 3 25  2 − ( 6)   a=  3 3 25 12 13 − = = 4 13 a= 3 3 3 5. a = 3 n = 6 u = 8 8−3 5 r= = =1 6 −1 5 6. a = − 1 n = 10 u = − 4 r=

r=

− 4 − (− 1) 3 1 =− =− 10 − 1 9 3

1 3 n = 17 u = − 2 8 3 1 7 − − − 7 8 2 r= = 8 =− 17 − 1 16 128

7. a =

8. a = 5 n = 18 u = − 80 − 80 − 5 − 85 r= = =−5 18 − 1 17 9. a = − 42 n = 92

u = 1. 050

1. 050 − (− 42) 1. 092 = = 12 r= 92 − 1 91

10. a = 4 u = 30 r =6−4=2 30 − 4 + 2 28 n= = = 14 2 2 11. a = 5 u = 18 1 16 r= −5= 3 3 1 18 − 5 + 3 n= 1 3 1 40 13 + 3 n= = 3 = 40 1 1 3 3 12. a =

26 5

u = 18

26 4 = 5 5 26 4 18 − + 5 5 n= 4 5 22 68 18 − 5 = 5 = 68 = 17 n= 4 4 4 5 5 r=6−

EJERCICIO 288 1. r = 19 − 15 = 4

a = 15

n=8

u = 15 + (7) 4 u = 15 + 28 = 43 s=

(15 + 43)8

2 s = (58)(4) = 232 2. a = 31 n = 19 r=7

u = 31 + (18) 7 u = 31 + 126 = 157 s=

(31 + 157)(19)

2 3. 572 = 1. 786 s= 2 3. a = 42 n = 24 r = − 10 u = 42 + (23) (− 10) u = − 188 s=

(42 − 188) (24) 2

s = (− 146) (12) = − 1. 752

4. a = − 10 n = 80 r = 4

u = − 10 + ( 79)( 4)

u = − 10 + 316 = 306 s=

(− 10 + 306)(80)

2 s = ( 296)( 40) = 11.840 5. a = 11 n = 60 r = − 10 u = 11 + (59) (− 10) u = 11 − 590 = − 579

(11 − 579)(60) s= 2

s = (− 568) ( 30) = − 17 . 040

6. a = − 5 n = 50 r = − 8 u = − 5 + ( 49) (− 8) u = − 5 − 392 = − 397

(− 5 − 397)(50) s= 2

s = (− 402 ) ( 25) = − 10 . 050

1 1 n= 9 r= 2 2 1  1 u = + (8)    2 2 1 9 u= + 4= 2 2  1 9  +  ( 9)  2 2 s= 2 45 s = = 22 12 2

7. a =

3 1 n = 14 r = 10 10 3  1 u = + (13)    10  10 3 13 8 u= + = 10 10 5  3 8  +  (14)  10 5 s= 2 133 s= = 13 103 10

8. a =

3 3 n = 19 r = 4 4 3  3 u = + 18    4 4 3 27 57 = u= + 4 2 4  3 57  19  +  4 4  s= 2 19 (15) 285 = = 142 12 s= 2 2

9. a =

2 3 n = 34 r = − 5 11 2  3 u = + 33  −   11 5 2 43 u= − 9= − 5 5  2 43 34  −  5 5 s= 2 1. 394 = − 139 25 s= − 10

10. a =

7 4 n = 11 r = 3 5 47 7 47 − 35 4 r= − = = 15 3 15 5 7  4 u = + 10    5 3

11. a =

7 31 + 8= 3 3  7 31 11 +  3 3 s= 2 418 = 69 23 s= 6

u=

13 n = 46 4 73 13 8 2 r= − = = 20 4 20 5 13  2 u = + 45    5 4

12. a =

13 85 + 18 = 4 4  13 85 46  +   4 4 s= 2 4 . 508 = 563 21 s= 8

u=

13. a = − 2 n = 17 r =

1 9 + 2= 4 4

 9 u = − 2 + 16   = − 2 + 36 = 34  4 s=

17 (− 2 + 34) = 17 (16) = 272 2

14. a = − 5 n = 12

r=−

37 3 + 5= 8 8

7  3 u = − 5 + 11  = −  8 8 7  12  − 5 −   8 s= 2 141  47  = − 35 41 s = 6 −  = −  8 4

EJERCICIO 289 1. u = 11 a = 3 n = 5 11− 3 8 r= = =2 5 −1 4 ⇒3+2=5 5+2=7 7+ 2=9 Luego ÷ 3. 5. 7. 9. 11. 2. u = − 5 a = 19 m = 7 − 5 − 19 − 24 r= = = −3 7 +1 8

⇒ 19 − 3 = 16 16 − 3 = 13 13 − 3 = 10 10 − 3 = 7 7−3=4 4 − 3 =1 1− 3 = − 2 Luego ÷ 19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. − 2. − 5. 3. u = − 73 a = − 13 n = 7 − 73 + 13 − 60 r= = = − 10 7 −1 6

⇒ − 13 − 10 = − 23 − 23 − 10 = − 33 − 33 − 10 = − 43 − 43 − 10 = − 53 − 53 − 10 = − 63 Luego ÷ − 13. − 23. − 33. − 43. − 53. − 63. − 73. 4. u = 53 a = − 42 m = 4 53 + 42 95 r= = = 19 4 +1 5

⇒ − 42 + 19 = − 23 − 23 + 19 = − 4 − 4 + 19 = 15 15 + 19 = 34 Luego ÷ − 42. − 23. − 4. 15. 34. 53. 5. u = − 9 a = − 81 n = 7 − 9 + 81 72 = = 12 r= 7 −1 6

⇒ − 81+ 12 = − 69 − 69 + 12 = − 57 − 57 + 12 = − 45 − 45 + 12 = − 33 − 33 + 12 = − 21 Luego ÷ − 81. − 69. − 57. − 45. − 33. − 21. − 9.

6. u = 3 a = 1 m = 3 3 −1 2 1 r= = = 3 +1 4 2

1 3 = 2 2 3 1 + =2 2 2 1 5 2+ = 2 2 3 5 Luego ÷ 1. . 2. . 3. 2 2 ÷ 1. 1 21 . 2. 2 21 . 3. ⇒ 1+

7. u = 12 a = 5 n = 6 12 − 5 7 r= = 6 −1 5

7 32 = 5 5 32 7 39 + = 5 5 5 39 7 46 + = 5 5 5 46 7 53 + = 5 5 5 32 39 46 53 . . . . 12. Luego ÷ 5. 5 5 5 5 ÷ 5. 6 25 . 7 45 . 9 51 . 10 53 . 12. ⇒5+

8. u = 3 a = − 4 m = 5 3+4 7 r= = 5 +1 6 7 17 ⇒−4+ =− 6 6 5 17 7 − + =− 6 6 3 5 7 1 − + =− 3 6 2 1 7 2 − + = 2 6 3 2 7 11 + = 3 6 6 17 5 1 2 11 Luego ÷ − 4. − . − . − . . . 3. 6 3 2 3 6 1 2 ÷ − 4. − 2 56 . − 1 23 . − . . − 1 56 . 3. 2 3

1 3 a= n=7 8 4 1 3 5 − − 5 8 4 r= = 8 =− 7 −1 6 48 3 5 31 ⇒ − = 4 48 48 31 5 13 − = 48 48 24 13 5 7 − = 24 48 16 7 5 1 − = 16 48 3 1 5 11 − = 3 48 48 3 31 13 7 1 11 1 . . . . . . Luego ÷ . 4 48 24 16 3 48 8

9. u =

11. Continuación 13 19 5 − = 48 144 36 5 19 1 − = 36 144 144 2 77 29 13 5 1 1 Luego ÷ . . . . . .− . 3 144 72 48 36 144 8 12. u = − 5 a = − 2 m = 7 3 −5+2 r= =− 7 +1 8

3 19 =− 8 8 19 3 11 − − =− 8 8 4 11 3 25 − − =− 4 8 8 25 3 7 − − =− 8 8 2 7 3 31 − − =− 2 8 8 31 3 17 − − =− 8 8 4 17 3 37 − − =− 4 8 8 Luego ÷ − 2. − 2 38 . − 2 34 . − 3 81 . − 3 21 . − 3 78 . − 4 41 . − 4 58 . − 5. ⇒−2−

10. u = 3 a = − 1 m = 6 3 +1 4 r= = 6 +1 7 4 3 ⇒ − 1+ = − 7 7 3 4 1 − + = 7 7 7 1 4 5 + = 7 1 7 7 7 a= n = 10 13. u = − 10 2 5 4 9 + = 7 1 6 7 7 7 − − − 2 10 2 9 4 13 r= = 5 =− + = 10 1 9 15 − 7 7 7 1 2 11 13 4 17 ⇒ − = + = 2 15 30 7 7 7 11 2 7 3 1 5 9 13 17 − = Luego ÷ − 1. − . . . . . . 3. 30 15 30 7 7 7 7 7 7 7 2 1 3 1 5 − = ÷ − 1. − . . . 1 27 . 1 67 . 2 73 . 3. 30 15 10 7 7 7 1 2 1 − =− 1 2 10 15 30 11. u = − a= n= 7 8 3 1 2 1 − − =− 1 2 19 30 15 6 − − − 19 1 2 3 r = 8 3 = 24 = − − − =− 7 −1 6 144 6 15 10 2 19 77 3 2 13 ⇒ − = − − =− 3 144 144 10 15 30 77 19 29 13 2 17 − = − − =− 144 144 72 30 15 30 29 19 13 Luego − = 72 144 48 1 11 7 1 1 1 3 13 17 7 . . .− .− .− .− .− .− . ÷ . Continúa 2 30 30 10 30 6 10 30 30 10

EJERCICIO 290 1. a = 7 n = 20 r = 7 u = 7 + (19)( 7)

11. Continuación. 7. 32 → N º normal de dientes en la boca

u = 7 + 133 = 140

de un adulto

s=

u = 10 + (31)(2) = 72

(7 + 140)(20)

2 s = 147 ⋅ 10 = 1. 470 2. a = 5 n = 80 r = 5 u = 5 + ( 79)(5)

u = 5 + 395 = 400

(5 + 400)(80) s=

2 s = 405⋅ 40 = 16 . 200 3. a = 9 n = 43 r = 10 u = 9 + ( 42)(10)

u = 9 + 420 = 429 s=

(9 + 429)(43)

2 s = 219 ⋅ 43 = 9 . 417 4. a = 2 n = 100 r = 2 u = 2 + (99)(2)

u = 2 + 198 = 200 s=

(2 + 200)(100)

2 s = 202 ⋅ 50 = 10 .100 5. a = 9 n = 100 r = 2 u = 9 + ( 99)(2)

u = 9 + 198 = 207 s=

(9 + 207)(100)

2 s = 216 ⋅ 50 = 10 .800 6. a = 8 n = 50 r = 3 u = 8 + (49)(3)

u = 8 + 147 = 155 s=

(8 + 155)(50)

2 s = 163⋅ 25 s = 4 . 075 ÷ 100 s = $ 40 , 75

a = 10

n = 32 r = 2

(10 + 72) (32) s= 2 s = 1. 312 ÷ 10 s = $ 131, 20

8. a = 77

n = 72 r = 11

x 3x + x+ = 2 . 400 2 2 x + 2 x + 3x = 4 .800 6 x = 4 .800

⇒

x = 800 El 1º año ahorro →

x 800 = = 400 sucres 2 2

Para el 2º año x 800 = = 400 2 2 u = 400 + (1)( 400) = 800 sucres a = 400 n = 2

r=

u = 77 + (71)(11) = 858

Para el 3º año a = 400 n = 3 r = 400

s=

u = 400 + ( 2)(400) = 1. 200 sucres

(77 + 858) (72)

2 s = 935⋅ 36 = 33. 660 9. n = 5⋅ 12 = 60 a=2 r=3 u = 2 + (59)( 3) u = 2 + 177 = 179 s=

(2 + 179)(60)

2 s = 181⋅ 30 = 5. 430 bs. 10. a = 600 r = 25 Si n = 8

u = 600 + ( 7)( 25) u = 775 ÷ 100 Avanzó 7 , 75 m en el 8º segundo s → Dis tan cia recorrida en 8 seg. s=

(600 + 775)(8)

2 s = 1. 375⋅ 4 s = 5 . 500 ÷ 100 = 55 m 11. s = 2 . 400 n = 3 x → Ahorro el 2º año x → Ahorro el 1º año 2 x x r=x− = 2 2 Luego el 3º año Ahorro: x 3x x+ = 2 2 Continúa

12. 2º y 4º = 22 3º y 7º = 34

El tér min o medio entre el 2º y el 4º es el 3º por tan to es una progresión impar. Luego el duplo del 3º tér min o es 22 x → 3er tér min o 2x = 22 x = 11 Luego 11 → 3er tér min o Como 3º + 7º = 34 11+ 7º = 34 7º = 23 23 → es el 7º tér min o Interpolación para conocer el 4º tér min o ÷ 11 . . . 23 Donde n = 5 a = 11 u = 23 23 − 11 12 r= = =3 5 −1 4 4º tér min o → 3º + r = 11+ 3 = 14 2º tér min o → 22 − 4º = 22 − 14 = 8 13. n = 32 a = 5 u = 5 + (31)(3)

r=3

u = 5 + 93 = 98 s=

(5 + 98) 32

2 s = 103⋅ 16 = $ 1. 648

14. a = 50

r = − 5 12

n =8

 11 u = 50 + ( 7)  −   2

17. a = 500 u = 1. 900

r = 200

21. a = 51 r = 2

u = 813

813 − 51 + 2 764 = = 382 n= 2 2

1. 900 − 500 + 200 n= 200 n = 8 años

100 − 77 23 = = 11 21 Km (813 + 51)( 382) 2 2 s= 2 23  18. n = 11 a = 1.180 u = 6 .180  50 +  8 s = (864)(191) = 165. 024   2 6 .180 − 1.180 = 246 Km s= r= 2 11− 1 15. 3º y 10º tér min os son 22. 5º → 31 9º → 59 5 . 000 = $ 500 r= equidis tan tes a los int erpolando 10 extremos 1º y 12º,Luego n = 5 a = 31 u = 59 la suma de estos extremos 19. n = 5 u = 3. 000 r = − 300 59 − 31 28 = =7 r= es igual a las suma de a = 3. 000 − ( 4) (− 300) 5 −1 4 los tér min os equidis tan tes 10º térm. → 59 + 7 = 66 a = 3. 000 + 1. 200 = 4 . 200 soles 3º + 10º = 1º + 12º 11º térm. → 66 + 7 = 73 como 1º + 12º = 53 21 12º térm. → 73 + 7 = 80 20. a = 161 r = 322 n = 5 ⇒ 3º + 10º = 53 21 u = 161 + (4)( 322) = 1. 449 16. n = 11 a = − 2 u = − 52 23. n = 3 a = 12 . 500 u = 20 . 500 (1. 449 + 161)(5) s= − 52 − (− 2) 50 a + u = 12 .500 + 20 .500 2 = − = −5 r= 11− 1 10 a + u = 33 . 000 (1. 610) (5) s= 2º térm. → − 2 − 5 = − 7 Luego 2 (2º term.) = 33 . 000 2 3º térm. → − 7 − 5 = − 12 8 . 050 2º term. = 16 . 500 colones = 4 . 025 s= 4º térm. → − 12 − 5 = − 17 2 = 4 . 025 ÷ 10 = 402 , 5 pies 5º térm. → − 17 − 5 = − 22 6º térm. → − 22 − 5 = − 27 u=

8. a = − 3 n = 6

EJERCICIO 291 1. a = 3 n = 7

r = 6 ÷ 3= 2 u = 3 (2 u = 3 (2

7 −1 6

)

)

u = 3⋅ 64 = 192 1 n=8 3 r = 3 ÷ 1= 3

2. a =

1 8 −1 (3 ) 3 6 u = 3 = 729 3. a = 8 n = 9 1 r = 4 ÷ 8= 2   1  9 −1  u = 8     2   u=

8 1 1 u= 8 = 5 = 2 2 32

4. a = 1 n = 6

4 5 2 ⋅ = 25 2 5   2  6 −1  u = 1     5   r=

u=

25 32 = 55 3 .125

1 n= 6 2 1 2 r = ⋅2= 5 5 6−1  1  2  u =    2  5 

6. a =

u=

5. a = 3 n = 7

2 r = 2 ÷ 3= 3   2  7 −1  u = 3      3  u=

2 6 64 = 35 243

7. a =

24 16 = 55 3 .125

9 4

n= 8

4 4 r = 3⋅ = 9 3 7 9  4   u =    4  3  u=

4 6 4 . 096 = = 16 208 243 35 243

r = 6 ÷ (− 3) = − 2

[

u = − 3 (− 2 )

5

]

u = − 3 (− 32) = 96

9. a = 3 n = 9

r = − 1÷ 3 = −

1 3

 1  u = 3  −     3  1 1 u= 7 = 3 2 .187 5 10. a = n= 5 6 1 6 3 r= ⋅ = 2 5 5 4 5   3  u =    6  5  8

u=

33 27 = 2 ⋅ 53 250

3 n=5 5 3  5 5 r= −  = − 2  3 2

3 n=8 4 1 2 r = (− 2 ) = − 3 3 7 3  2   u =  −   4  3 

r = 1 ÷ (− 4) = −

1 4

 1   u = 16   −    4   1 1 u= − 5 = − 4 1. 024 7

u= −

3 n = 10 4 1  4 1 r= − −  = 4  3 3

13. a = −

12. a =

11. a = 16 n = 8

14. a = −

4 3  5     −   5 2  3⋅ 53 375 = − 23 167 u= − 4 = − 2 16

9 3   1      4 3  1 1 u= − =− 4 ⋅ 38 26 . 244

u= −

25 32 =− 36 729

u= −

EJERCICIO 292 1 1 u= n= 7 2 64 1 1 6 26 64 2 a= = 6 =1 6 = 1 2  1   26  2

1. r =

2. r =

2 64 u= 3 2 .187

4. a = 2 u = 64

64 = 2

r=5 5. a =

n= 9

r=

1 3

6

5

n=6

26 5 5 = 2 =2 2

u = 243

1 512

8. a = 8 u =

r=

1 1 1 1 512 = 6 =6 6 =± 8 4 . 096 4 4

6

n=7

243 6 = 729 = 6 36 = ± 3 1 3

64 26 6 8 2 .187 37 = 2 ⋅ 3 = 3 = 3 6. a = − 5 u = 640 n = 8 a= 8 a= 8 8 7 2 2 ⋅3 22 4  2   640  3 38 r=7 −5 32 125 2 3. r = ⋅ = 625 16 5 r = 7 − 128 = 7 − 27 = − 2 32 u= n= 6 729 3 u= n=6 625 7. a = 2 2 5 32 2 3 4 25 ⋅ 55 a = 6255 = 5 5 = 5 4 = 5 1 1 2 2 ⋅5 r=5 2 =5 =  2 729   243 3 5  5 5 2

n= 7

9. a =

r=

625 16

4

u=1

n= 5

1 16 4 24 2 =4 = =± 625 625 54 5 16

10. a =

r=7

27 64

u= −

2 n=8 81

2 81 27 64

−

r=7 −

2 ⋅ 2 6 7 27 2 = − 7 =− 3 4 ⋅ 33 3 3

EJERCICIO 293 1. a = 6 n = 5

1 r = 3÷ 6= 2  1 4   1 3 u = 6    = 6   =    16  8 2    3  1     −6  8  2  s= 1 −1 2 93 93 = 11 85 s = − (− 2 ) = 16 8

2. a = 4 n = 6 r = − 8÷ 4= − 2

[

u = 4 (− 2)

5

]

u = 4 (− 32) = − 128 − 128 (− 2) − 4 − 2−1 252 = − 84 s= −3 s=

3. a = 12 n = 7

1

4. a = n = 10 1 4 3 1 r = ⋅4 = 2   1 6  4  1  2 = u = 12     = 12   729  243 1   3  r = 4 ÷ 12 =

 4   1     − 12  243  3 s= 1 −1 3 8 . 744  3  s= − −  729  2  s=

26 . 232 1.446 = 17 1.458 = 17 241 243 1. 458

u= s=

[2 ] = 128 9

4

128 (2) −

1 4

2−1 1. 023 = 255 43 s= 4

9 n= 8 4 3 4 2 r= ⋅ = 2 9 3 7 9   2   25 u =    = 5 4   3  3

7. a = − 6 n = 10

5. a =

r = − 3 ÷ (− 6) =

s=

− 6 . 305 (− 3) 2 . 916

18 . 915 1.419 473 = 6 2 .916 = 6 972 2 . 916 1 n= 7 6. a = − 10 1 r = (− 10) = − 2 5 1 64 32 =− u= − (− 2)6 = − 10 10 5 32 1 − (− 2) + 10 s= 5 − 2−1 129 129 = − 4 103 s = 10 = − −3 30 s=

[

1 2

 1  9  3 u = − 6    = − 8 2  2   3  1 − 8  +6 2  2 s= 1 −1 2 3 . 069 6 .138 253 = − 11 256 s = 512 = 1 − 512 − 2

25  2  9  − 35  3  4 s= 2 −1 3 28 − 38 s = 6 2 (− 3) 3 ⋅2

]

8. a = 2

3 n= 6 2 3 2 r = 1÷ = 2 3 5 3  2 2 4 16 u=   = 4 =   2 3 3 81

9. a =

n=8

1 2  1 7  1 1 u = 2  −   = − 6 = − 2 64  2   r = − 1÷ 2 = −

1  1 −  −2 64  2  s= 1 − −1 2 255 510 128 21 s= = = 1 126 384 = 1 64 3 384 2 −

16  2  3  − 81  3  2 s= 2 −1 3 179 − 1 486 17 s= = 4 162 1 − 3 = a 9 n= 6 10. r = 1 ÷ (− 3) = −

1 3

5

1 1  1 u= 9 −  = − 3 = −  3 3 27 1  1 −  − 9 27  3 s= 1 − −1 3 728 − s = 81 4 − 3 2 .184 240 20 = 6 324 = 6 27 s= 324 −

EJERCICIO 294 1. a = 5 u = 3 .125

r=4

n= 5

3 .125 = 25 ± 5 5

5 (± 5) = ± 25

± 25 (± 5) = 125

125 (± 5) = ± 625 ÷ ÷ 5: ± 25:125: ± 625: 3 .125 2. a = − 7 u = − 224 m = 4

− 224 5 r=5 = 32 = 2 −7 − 7 ⋅ 2 = − 14 − 14 ⋅ 2 = − 28 − 28 ⋅ 2 = − 56 − 56 ⋅ 2 = − 112 ÷ ÷ − 7 : − 14 : − 28: − 56 : − 112: − 224

3. a = 128 u = 2 n = 7

2 6 1 1 = =± 128 26 2  1 128  ±  = ± 64  2 r= 6

 1 ± 64  ±  = 32  2  1 32  ±  = ± 16  2  1 ± 16  ±  = 8  2  1 8 ±  = ± 4  2 ÷ ÷ 128 : ± 64 : 32 : ± 16:8: ± 4 : 2

9 16 u= n= 6 2 27 16 25 2 r = 5 27 = 5 5 = 9 3 3 2 9  2   =3 2  3

4. a =

 2 3  = 2  3  2 4 2  =  3 3 4  2 8  = 3  3 9 9 4 8 16 ÷ ÷ : 3: 2 : : : 2 3 9 27 8 16 1 ÷ ÷ 4 2 : 3: 2 : 1 13 : : 9 27

2 .187 m= 6 64 2 .187 7 7 64 = 7 3 = 3 r= 2 27 2  3 2  = 3  2

5. a = 2

u=

6. a =

4 9

u=

27 256

n= 6

7. a = 8 u =

27 35 3 256 r=5 =5 5 = 4 4 4 9 4  3 1  = 9  4 3

 3 9 3  =  2 2

1  3 1  = 3  4 4

9  3  27  = 2  2 4

1  3 3  = 4  4  16

27  3  81  = 4  2 8

3  3 9  = 16  4  64 4 1 1 3 9 27 : ÷÷ : : : : 9 3 4 16 64 256

81  3  243  = 8  2  16 243  3  729  = 16  2  32

25 : 34 11 ÷ ÷ 2 : 3: 4 21 : 6 43 : 10 81 : 15 163 : 22 32 64

1 32

m= 7

1 1 1 32 r= =8 8 =± 8 2 2  1 8 ±  = ± 4  2 8

 1 ± 4±  = 2  2  1 2±  = ±1  2  1 1 ± 1 ±  =  2 2 1  1 1 ±  = ± 2  2 4 ±

1 ± 4

1 1 = 2 8

1  1 1 ±  = ± 8  2 16 ÷ ÷ 8 : ± 4 : 2 : ± 1:

EJERCICIO 295 3 1  4 1 −2 2 r=   = 5. a = 1 1 1 = 4 4  3 3 3. a = − 5 r = ⋅ = −5 5 2 2 4 3 3 5 25 − −5 2 2 8 s= = =− s= = = = 2 23 4 = 4 = 9 =11 s = 2 3 1 3 3 8 3 1 2 8 1− 1− 1− 5 5 4 4 3 3 = − 8 31 1 1 1 1 1 6 2. a = r = ⋅ 2 = 2 6 3 8  1  2 6. a = 6 r = 7 ⋅ 6 = 7 a 4 r = − = − − =   4. 1 1 3  4 3 1 1 3 2 2 7 −4 −4 = = s= 6 6 s= = = = 1 61 1 2 4 = = − 12 s= 6 1 6 1− 2 1 1 − 3 3 1− 7 7 3 3 1. a = 2 r =

1 1 1 1 1 :± : : ± : 2 4 8 16 32

2 1 1 ⋅ =− 5 2 5 2 2 10 2 s= = = =13 1 6 6 1+ 5 5

7. a = 2 r = −

−6 3 = − 14 7 98 − 14 − 14 =− s= = 3 4 4 1− 7 7 = − 24 21

8. a = − 14 r =

EJERCICIO 296

1.

6 6 6 ! + + 10 100 1. 000 6 6  10  1 r=  = 10 100  6  10 6 6 6 2 10 10 = = = s= 1 9 9 3 1− 10 10

a=

2.

12 12 12 ! + + 100 10 . 000 1. 000 . 000 12 12  100  1  = r= 100 10 . 000  12  100 12 12 12 4 100 100 = = = s= 1 99 99 33 1− 100 100

a=

3.

159 159 ! + 1. 000 1. 000 . 000 a=

159 159  103  1  = 3 r= 10 106  159  103

159 159 3 3 159 53 10 s= = 10 = = 1 999 999 333 1− 3 3 10 10

32 32 32 4. + + ! 100 10 . 000 1. 000 . 000 32 32  100  1 a= r=  = 100 10 . 000  32  100 32 32 32 s = 100 = 100 = 99 99 1 1− 100 100

5.

144 144 144 ! + + 103 106 109 144 144  103  1 a= 3 r= 6  = 10 10  144  103 144 144 3 3 144 16 10 = 10 = = s= 1 999 999 111 1− 3 3 10 10

3 5 5 6. 10 + 100 + 1. 000 ! a=

5 100

r=

8.

5  100  1  = 1. 000  5  10

5 5 5 1 100 100 = = = s= 1 9 90 18 1− 10 10 3 1 64 16 = s= + = 10 18 180 45 18 1 1 ! + + 7. 100 103 104 1 1 1 a = 3 r = 4 ⋅103 = 10 10 10 1 1 3 3 1 s = 10 = 10 = 1 9 900 1− 10 10 18 1 163 s= + = 100 900 900

3 18 18 ! + + 10 103 105 18 18  103  1 a= 3 r= 5  = 10 10  18  100

18 18 103 = 103 = 1 1 99 55 1− 100 100 3 1 175 7 s= + = = 10 55 550 22 18 18 18 ! + + 9. 2 + 100 104 106 18 18  100  1 a= r= 4  = 100 10  18  100 s=

18 18 2 100 100 s= = = 99 11 1 1− 100 100 2 24 s= 2+ = 11 11

EJERCICIO 297 1. a = 2 Para

r=2 saber

cuanto

gano el sábado → n = 6

u = 2 (25 ) = 64 Lempiras

Para saber cuanto gané de lunes a sábado utilizo S

para los 6

primeros

tér min os de

la progresión. ÷ ÷ 2 : 4 : 8!

Donde a = 2 r = 2 u = 64

64 ( 2) − 2 = 126 Lempiras s= 2−1 2. n = 20 r = 2

u = 1(2

19

a=1

) = 524 . 288

524 . 288 ( 2) − 1 2−1 s = 1. 048 .575 ÷ 100 s = $ 10 . 485 , 75 s=

3. n = 8 r =

a=

1 3

u=1

1 1 = 2 .187 balboas 7 = 1  1   2 .187  3

4. n = 9 → Im par Como es una sucesión impar

6. a =

los tér min os equidis tan, luego y último tér min o es igual al producto entre el 3º y el 7º tér min o.

5. n = 5

u=

2 u = 160 n = 5 3 160 160 = 810 a= 4 = 16  2   81  3

7. r =

8 81

4 2 = 81 9 Se encuentra la razón 3er tér min o =

 2 160   − 810  3 s= 2 −1 3 2 .110 − 3 = $ 2 .110 s= 1 − 3

para n = 3 , entre el 3º y 5º tér min o. 8 36 2 81 = = r= 2 81 3 9 2 3 1 ⋅ = → 2º tér min o 9 2 3 1 3 1 ⋅ = → 1º tér min o 3 2 2

n=4

1 1 1 32 r=3 =3 = 1 8 2 4 1 1 ⋅2 = → 6º tér min o 32 16

la multiplicación del primer

Entonces la respuesta es : 1 = 216

1 1 u= 4 32

8. a = 59 . 049 u = 100 . 000 n = 6 r=5

100 . 000 5 10 5 10 = = 59 . 049 95 9

9. r =

1 3

a = 24 . 300

10. n = 15 a = 1

n= 6

u = ( 3) = 4 . 782 . 969

5

24 . 300  1 = 100 u = 24 . 300   =  3 243

s=

 1 72 . 800 100   − 24 . 300 −  3 72 . 800 3 = = 36 . 400 bs. = s= 1 2 2 − −1 3 3

EJERCICIO 298

(

1. Log 532 ⋅ 0 ,184

)

= 2 , 72591 + 1 , 26482 = 1, 99073 ⇒ 10 1,99073 = 97 , 888

= 1, 858434 + 2 , 022276 = 1, 88071 ⇒ 101, 88071 = 75 , 981873 ≅ 75 , 982

10. Log 9 .114 − Log 0 , 02 = Log 9 .114 + Co log 0 , 02

2. Log191, 7 + Log 432 = 2 , 28262 + 2 , 63548 = 4 , 9181 ⇒ Anti log 4 , 9181= 82 . 814 , 4

= 3 , 959709 + 1, 698970 = 5 , 658679 ⇒ Anti log 5 , 658679 = 455 . 699 , 97 ≅ 455.700

3. Log 0 , 7 + Log 0 , 013 + Log 0 , 9 = 1, 84510 + 2,11394 + 1, 95424 = − 2 , 08672 − 2 , 08672

4 . 782 . 969 ( 3) − 1 14 . 348 . 906 = = $ 7 .174 . 453 3− 1 2

9. Log 0 , 72183 − Log 0 , 0095 = Log 0 , 72183 + Co log 0 , 0095

= Log 532 + Log 0 , 184

⇒ 10

r=3

14

10 11. Log 2 = 10 (log 2)

= 10 (0 , 301029)

= 3 , 010299 Anti log 3 , 010299 = 1. 024

(

= 0 , 00819

= 3 (1,176091)

= 3 (− 1) + 3 (0 , 176091)

4. Log 7 , 5 + Log 8 ,16 + Log 0 , 35 + Log10 . 037 = 0 , 875061+ 0 ,911690 + 1, 544068 + 4 , 001603 = 4 − 1+ 2 , 332422 = 5 , 332422 ⇒ 10 5 , 332422 = 214 . 991, 85

)

12. Log 0 , 153 = 3 log 0 ,15

= − 2 , 471727 10

− 2 , 471727

= 0 , 00337499 ≅ 0 , 003375

13. Log 18 , 654 = 4 (log 18 , 65)

= 4 (1, 270678)

≅ 214 . 992

= 5 , 082715

5. Log 3 , 2 + Log 4 , 3 + Log 7 , 8 + Log103 , 4 + Log 0 , 019

Anti log = 0 , 505149 + 0 , 633468 + 0 , 892094 + 2 , 014520 + 2, 278753 = 2 , 323988 ⇒ Anti log 2 , 323988 = 210, 857 14. Log 2 ⋅ 0 , 084 6. Log 95 ,18 − Log 7 , 23 = 1, 978317 − 0 , 859138 = 1,119179 ⇒ Anti log 1,119179 = 13 ,15767031≅ 13 ,1577

(

= Log 8 ,125 + Co log 0 , 9324 = 0 , 940220 ⇒ 100 , 940220 = 8 , 714063 ≅ 8 , 7141 8. Log 7 . 653 , 95 − Log12 , 354 = log 7 . 653 , 95 + Co log 12 , 354

= 3 , 883885 + 2, 908192 = 2 , 792077 ⇒ Anti log 2 , 792077 = 619 , 55

)

≅ 120 . 980 , 5

2

= log (0 , 168)

2

= 2 (log 0 , 168)

= 2 ( 1 , 225309)

= 2 (− 1) + 2 (0 , 225309)

7. Log 8 ,125 − Log 0 , 9324

= 0 , 909823 + 0 , 030397

5 , 082715 = 120 . 980 , 4916

= − 1, 549382 = 2 , 450618 10

− 1, 549382

= 0 , 028223963 ≅ 0 , 028224

Anti log 2 , 450618 = 0 , 028224

6 15. Log 7 , 2 = 6 (log 7 , 2)

= 6 (0 , 857332)

= 5 , 143994 Anti log 5 , 143994 = 139 . 313 , 75

log 3 0 , 477121 = = 0 , 238560 2 2 Anti log 0 , 238560 = 1, 7320483 ≅ 1, 73205

16. Log 3 =

log 2 0 , 301029 = = 0 ,100343 3 3 100 ,100343 = 1, 259921

log 63 1, 799340 = = 0 , 359868 5 5 100 , 359868 = 2 , 290172

19. Log 5 63 =

17. Log 3 2 =

log 5 0 , 698970 = = 0 ,174742 18. Log 5 = 4 4 Anti log 0 ,174742 = 1, 495348 ≅ 1, 49535

log 815 2 , 911157 = = 0 , 415879 7 7 Anti log 0 , 415879 = 2 , 605431

20. Log 7 815 =

4

EJERCICIO 299 1. Log 515 + log 78 ,19 + co log 6 ,13

9. 35 ⋅ 0 , 2 4 = 5 log 3 + 4 log 0 , 2

= 5 (0 , 47712) + 4 (1 , 30103)

= 2 , 711807 + 1, 893151+ 1, 212539 = 3 , 817497 → Anti log 3 , 817497 = 6 . 568 , 96 ≅ 6 . 569

= 2 , 38561 − 2 , 79588

2. Log 23 , 054 + log 934 ,5 + co log 8 .164

= − 0 , 41027 → 10− 0 , 41027 = 0 , 3888

= 1, 36275 + 2 , 97058 + 4,0881

* En la tabla se busca 1 , 58973

= 0 , 42143 → Anti log 0 , 42143 = 2 , 63894

⇒ Anti log 0 , 58973 = 0 , 3888

3. Log 8 ,14 + log 9 , 73 + co log 0 , 6 + co log 7 , 8

= 0 , 91062 + 0 , 98811+ 0 , 22185 + 1 ,10791

10.

= 1, 22849 → Anti log 1, 22849 = 16 , 923461≅ 16 , 9235 4. Log 513 , 4 + log 9 ,132 + co log 85 , 3 + co log10 , 764

= 2 , 71046 + 0 , 96057 + 2 , 06905 + 2 , 96802 = 0 , 7081 → Anti log 0 , 7081= 5 ,10622

→ Anti log 0 , 66757 = 4 , 651199 ≅ 4 , 6512

5. Log 53 , 245 + log 4 . 325 , 6 + co log 32 , 815 + co log 91, 79

= 1, 72628 + 3 , 63605 + 2 , 48392 + 2 , 03721 = 1, 88346 → Anti log 1, 88346 = 76 , 4645

11.

6. Log 32 , 6 + log 841, 9 + co log 0 , 017 + co log 732 ,14

= 1, 51322 + 2 , 92526 + 1, 76955 + 3 ,135406 = 3 , 343436 → Anti log 3 , 343436 = 2 . 205 ,139151

12. 8 log 3 + 5 co log 5 , 6

= 8 (0 , 47712) + 5 (1 , 25181)

7. Log 95 , 36 + log 0 ,14 + co log 83 , 7 + co log 2 , 936

= 3 , 81696 − 3 , 74095 = 0 , 07601 → Anti log 0 , 07601 = 1,19127 ≅ 1,1913

= 1, 97937 + 1 ,14613 + 2 , 07727 + 1 , 53224 = − 1, 26499 → Anti log − 1, 26499 = 0 , 054326 El signo negativo se anula puesto que se encuentra en el numerador y en el deno min ador luego la respuesta es positiva

1 1 3 log 2 + log 3 + log 5 5 2 4 1 1 3 = (0 , 30103) + (0 , 47712) + (0 , 69897) 5 2 4 = 0 , 060206 + 0 , 23856 + 0 , 5242275 = 0 , 82299 → Anti log 0 , 82299 = 6 , 65257 ≅ 6 , 6526

Como existe un signo negativo en la operación entonces este afecta el resultado total , luego la respuesta final es ≅ − 2 . 205 ,14

1 2 log 5 + log 3 2 3 1 2 = (0 , 69897) + (0 , 47712) 2 3 = 0 , 349485 + 0 , 31808 = 0 , 66757

13. 7 log 0 , 53 + 3 co log 2 , 5

8. Log 7 , 2 + log 8 ,135 + co log 0 , 003 + co log 9 .134 , 7

= 0 , 85733 + 0 , 91036 + 2 , 52288 + 4 , 03930 = 0 , 32987 → Anti log 0 , 32987 = − 2 ,137333 ≅ − 2 ,13734

= 7 (1 , 72428) + 3(1 , 60206) = − 1, 93004 − 1, 19382 = − 3 ,12386 → 10− 3,12386 = 0 , 000751865

* En la tabla se busca 4 , 87614

14.

2 5 log 3 + co log 2 5 3 2 5 = (0 , 47712) + ( 1 , 69897) 5 3 = 0 ,190848 − 0 , 501717

21.

= − 0 , 310869 → 10− 0 , 310869 = 0 , 488799 ≅ 0 , 4888 * En la tabla se busca 1 , 68914 Log 7 , 86 + Log 8 ,14 15. 2 0 , 89542 + 0 , 91062 = 2 1, 80604 = 2 = 0 , 90302 → Anti log 0 , 90302 = 7 , 9987 16.

Log 932 , 5 + Log 813 , 6 + Log 0 , 005 2 2 , 96965 + 2 , 91041+ 3 , 69897 = 2 3 , 57903 = 2 = 1, 78952 Anti log 1, 78952 = 61, 59138

17.

Log 93 , 7 + Log104 , 2 + co log 8 , 35 + co log 7 , 3 2 1, 97174 + 2 , 01787 + 1 , 07831+ 1 ,13668 = 2 2 , 2046 = = 1,1023 → Anti log 1,1023 = 12 , 656174 2

18.

3 3 log 0 , 0316 + co log 0 ,1615 2 2 3 = (2 , 49969 + 0 , 79183) 2 3 = (− 0 , 70848) = − 1, 06272 = 2 , 93728 2 10−1, 06272 = 0 , 086552 Anti log 2 , 93728 = 0 , 08655625

22.

3 2 log 3 + co log 5 4 3 3 2 = (0 , 47712) + (1 , 30103) 4 3 = 0 , 35784 − 0 , 46598 = − 0 ,10814 = 1 , 89186 Anti log 1 , 89186 = 0 , 77958

23.

Log15 + Co log 4 7 1,17609 + 1 , 39794 7 0 , 57403 = = 0 , 082 7 Anti log 0 , 082 = 1, 20782 =

24.

Log 5 + Co log 3 5 0 , 69897 + 1 , 52288 = 0 , 04437 5 Anti log 0 , 04437 = − 1,10756 =

Log 23 , 725 + Log 9 ,182 + Log 7 ,184 6 Log 5 + Co log 8 25. 3 5 1, 37521+ 0 , 96294 + 0 , 85637 6 = = 0 , 69897 + 1 , 09691 3 5 3 ,19452 6 = = 1, 06484 Anti log 1, 06484 = − 11, 610207 = − 0 , 20412 = − 0 , 24494 = 1 , 75506 3 5 log 1 , 75506 = 0 , 568926 ≅ 0 , 56893 Anti Log12 . 316 + Log 0 , 25 + co log 931, 8 + co log 0 , 07

(

)

( (

19.

4 4 , 09047 + 1 , 39794 + 3 , 03068 + 1,15490 = 4 1, 67399 = = 0 , 41849 → Anti log 0 , 41849 = 2 , 621125 4

20.

Log 56 . 813 + co log 22 .117 5 4 , 75446 + 5 , 65527 5 0 , 40973 = = 0 , 081946 → Anti log 0 , 081946 = 1, 20766 5 =

26.

)

)

Log 3 + Co log 5 Log 5 + Co log 7 + 2 3 =

3 (0 , 47712 + 1 , 30103) + 2 (0 , 69897 + 1 , 15490) 6

3 (− 0 , 22185) + 2 (− 0 ,14613) = 6 − 0 , 6655 − 0 , 29226 = 6 − 0 , 95781 = = − 0 ,159635 = 1 , 840364 6 10 − 0 ,159635 = 0 , 6924126 Anti log 1 , 840364 = 0 , 69241

27.

Log 2 Log 3 Log 0 , 2 + + 7 5 3

2 log 0 , 75 + log 39 , 162 + co log 0 , 07 + co log 3 , 89 29. 15 (0 , 30103) + 21(0 , 47712) + 35 (1 , 30103) 2 = 105 2 (1 , 87506) + 1, 59286 + 1, 15490 + 1 , 41005 = 4 , 51545 + 10 , 01952 − 24 , 46395 2 = 105 1, 90793 = = 0 , 953965 = 8 , 99425 ≅ 8 , 9943 − 9 , 92898 2 = = − 0 , 094562 = 1 , 905438 105 Anti log 1 , 905438 = 0 , 8043369 ≅ 0 , 80434 3 log 0 , 2 + 2 log 0 , 3 + 4 co log 0 , 05 + co log 3 , 25 Log 32 ,14 Log 59 , 3 Co log 317, 6 30. 28. + + 2 2 3 4 + 3 1 30103 2 1 47712 , , ( ) ( ) + 4 (1, 30103) + 1 , 48812 6 (1, 50705) + 4 (1, 77305) + 3 (3 , 49812) = = 2 12 − 3 + 0 , 90309 − 2 + 0 , 95424 + 5 , 20412 − 1 + 0 , 48812 9 , 0423 + 7 , 0922 − 7 , 50564 = = 2 12 1 54957 , 8 , 62886 = = 0 , 774785 = = 0 , 71907 2 12 Anti log 0 , 774785 = 5 , 95366 Anti log 0 , 71907 = 5 , 2368483 ≅ 5 , 23685

EJERCICIO 300 2 2 1. 36 = 2 ⋅ 3 Log 36 = 2 log 2 + 2 log 3

= 2 (0 , 301030) + 2 (0 , 477121)

= 0 , 60206 + 0 , 954242 Log 36 = 1, 556302 2. 75 = 3⋅ 5 Log 75 = log 3 + 2 log 5 2

= 0 , 477121 + 2 (0 , 698970)

= 0 , 477121 + 1, 39794 Log 75 = 1, 875061 3. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Log 30 = log 2 + log 3 + log 5 = 0 , 301030 + 0 , 477121+ 0 , 698970 Log 30 = 1, 477121 4 4. 48 = 2 ⋅ 3 Log 48 = 4 log 2 + log 3

= 4 (0 , 301030) + 0 , 477121

= 1, 20412 + 0 , 477121 Log 48 = 1, 681241 3 5. 120 = 2 ⋅ 3⋅ 5 Log 120 = 3 log 2 + log 3 + log 5

= 3(0 , 30103) + 0 , 477121 + 0 , 69897

= 0 , 90309 + 1,176091 Log 120 = 2 , 079181

2 6. 98 = 7 ⋅ 2 Log 98 = 2 log 7 + log 2

= 2 (0 , 845098) + 0 , 30103

= 1, 690196 + 0 , 30103 Log 98 = 1, 991226 3 7. 343 = 7 Log 343 = 3 log 7

= 3 (0 , 845098)

Log 343 = 2 , 535294 Log 0 , 343 = 1 , 535294 2 2 8. 225 = 5 ⋅ 3 Log 225 = 2 log 5 + 2 log 3

= 2 (0 , 69897) + 2 (0 , 477121) = 1 , 39794 + 0 , 954242 = 2 , 352182

Log 22 , 5 = 1, 352182 9. 196 = 2 2 ⋅ 7 2

Log 196 = 2 (log 2 + log 7)

= 2 (0 , 30103 + 0 , 845098) = 2 (1 , 146128)

= 2 , 292256 Log 1 , 96 = 0 , 292256

3 10. 875 = 5 ⋅ 7 Log 875 = 3 log 5 + log 7

= 3 (0 , 69897) + 0 , 845098 = 2 , 09691 + 0 , 845098 = 2 , 942008

5 = 2 ,5 2 2 25 = 5

2 21 =

13.

Log 25 = 2 (0 , 69897)

2 31 =

16.

7 3

7 3 = log 7 + co log 3

Log 2 31 = log

= 1, 39794

= 0 , 845098 + 1 , 522879

Log 2 12 = 0 , 397940

= 0 , 367977 14. 1 21 = 3 = 1, 5 143 11. 2 . 025 = 3 ⋅ 5 2 13 = 17. 11 Log 2 . 025 = 4 log 3 + 2 log 5 15 = 3 ⋅ 5 143 Log 13 = log = 4 (0 , 477121) + 2 (0 , 69897) Log15 = log 3 + log 5 11 = 0 , 477121+ 0 , 698970 = 1, 908484 + 1, 39794 = log 143 + co log11 = 1,176091 = 3 , 306424 = 2 ,155336 + 2 , 958607 Log1 21 = 0 ,176091 Log 202 , 5 = 2 , 306424 Log 13 = 1,113943 6 7 12. 448 = 2 ⋅ 7 15. 225 1 25 = = 1, 4 18. 25 = 5 Log 448 = 6 log 2 + log 7 9 14 = 7 ⋅ 2 225 = 6 (0 , 30103) + 0 , 845098 Log 25 = log Log14 = log 7 + log 2 9 = 1, 80618 + 0 , 845098 = 0 , 845098 + 0 , 30103 = log 225 + co log 9 = 2 , 651278 = 1,146128 = 2 , 352183 + 1 , 045757 Log 44 , 8 = 1, 651278 Log1 25 = 0 ,146128 Log 25 = 1, 397940

Log 0 , 875 = 1 , 942008 4

2

EJERCICIO 301

4. 9 x = 0 , 576

1. 5 = 3

Log 9 x = log 0 , 576

x

Log 5 = log 3 x log 5 = log 3

x log 9 = 1 , 76042

x

x (0 , 69897) = 0 , 477121 x=

x (0 , 95424) = 1 , 76042

1 , 76042 x= 0 , 95424 − 0 , 23958 x= 0 , 95424 x = − 0 , 2510689 x ≅ − 0 , 25107

0 , 477121 = 0 , 6826 0 , 69897

2. 7 = 512 x

Log 7 x = log 512 x log 7 = log 512 2 , 70927 x= = 3 , 205864 0 , 845098 x ≅ 3 , 2059 x 3. 0 , 2 = 0 , 0016

Log 0 , 2 x = log 0 , 0016 x log 0 , 2 = log 0 , 0016

x +1 5. 3 = 729

Log 3x +1 = 729

(x + 1) log 3 = log 729 (x + 1)(0 , 477121) = 2 , 86273

Log 23 x + 1 = log 128

(3x + 1) log 2 = 2 ,10721 (3x + 1)(0 , 30103) = 2 ,10721 3x + 1 = 7 3x = 6 x=2 2 x −1 = 2 .187 8. 3 Log 32 x −1 = log 2 .187

(2 x − 1) log 3 = 3 , 33985 (2 x − 1)(0 , 477121) = 3 , 33985

x + 1 = 6 , 00944 x = 6 , 00944 − 1 x = 5 , 00944 ⇒ x ≅ 5

x (1 , 30103) = 3 , 20412 x −2

3 , 20412 6. 5 = 625 1 , 30103 Log 5x − 2 = log 625 −3 0 , 20412 (x − 2) log 5 = 2 , 79588 + x= − 0 , 69897 − 0 , 69897 2 , 79588 x− 2= x = 4 , 29203 − 0 , 29203 0 , 69897 x= 4 x − 2 = 4⇒ x = 6 x=

3 x +1 = 128 7. 2

2 x − 1= 7 2x = 8⇒ x = 4 9. 112 x = 915

Log112 x = log 915 2x log11= 2 , 96142 2 , 96142 1, 04139 2x = 2 , 84372

2x =

x = 1, 42186

EJERCICIO 302 1. a = 3

u = 48

r =6÷3=2

2 . 048 8 4 r= = 81 6 3 2 . 048 Log + Co log 6 81 n= 4 Log 3 Log 2 . 048 + Co log 81+ Co log 6 n= Log 4 + Co log 3

4. a = 6 u =

Log 48 + Co log 3 n= +1 Log 2 1, 68124 + 1 , 522879 +1 0 , 30103 1, 204119 n= +1 = 4 +1 = 5 0 , 30103 n=

n=

243 3 r= 16 2 Log 243 16 + Co log 2 +1 n= 3 Log 2 Log 243 + co log16 + co log 2 n= +1 Log1, 5

2. a = 2

3 , 31133 + 2 , 09151+ 1 , 22184

0 , 60206 + 1 , 522879 0 , 62468 n= +1 0 ,124939 n = 4 , 999879 + 1 n = 5 , 999879 n ≅6

u=

2 , 38461+ 2 , 79588 + 1 , 69897 +1 0 ,176091 0 , 87946 + 1 = 4 , 994 + 1 n = 5 , 994 n ≅ 6 n= 0 ,176091

+1

n=

625 5 r = = 2,5 8 2 625 Log + Co log 2 8 +1 n= Log 2 , 5

5. a = 2 u =

3. a = 4 u = 512 r = 8 ÷ 4 = 2 Log 512 + Co log 4 n= +1 Log 2

n=

Log 625 + Co log 8 + Co log 2 +1 Log 2 , 5

2 , 79588 + 1 , 09691+ 1 , 69897 +1 0 , 39794 1, 59176 +1 = 4 +1 = 5 n= 0 , 39794

2 , 70927 + 1 , 39794 +1 0 , 30103 2 ,10721 n= +1 = 7 +1 = 8 0 , 30103

n=

n=

EJERCICIO 303 1. c = 500

r = 0 , 06

t=3

C = 500 (1 + 0 , 06)

2. c = 3 . 500

r = 0 , 07

t=5

C = 3.500 (1 + 0 , 07)

3

5

C = 500 (1, 06)

3

Log C = Log 500 (1 , 06)

Log C = Log 500 + 3 log 1 , 06

Log C = 2 , 69897 + 3 (0 , 02531) Log C = 2 , 7749 Anti log 2 , 7749 = $ 595 , 51

C = 8 .132 (1 + 0 , 09)

10

Log C = Log 3.500 (1, 07)

5

3

3. c = 8 .132 r = 0 , 09 t = 10

Log C = Log 3.500 + 5 Log 1, 07 = 3 , 54407 + 5(0 , 02938)

= 3 , 54407 + 0 ,1469 Log C = 3 , 69097 Anti log 3 , 69097 = 4 . 908 , 94 soles

Log C = Log 8 .132 (1, 09)

10

= Log 8 .132 + 10 Log 1, 09 = 3 , 91020 + 10 (0 , 03743)

= 3 , 91020 + 0 , 3743 Log C = 4 , 2845 Anti log 4 , 2845 = 19 . 253 , 070 bs.

4. c = 930

r = 0 , 035 t = 7

8. c = 800

C = 930 (1 + 0 , 035)

7

t=4

r=

0 , 03 = 0 , 015 2

C = 800 (1 + 0 , 015)

4

Log C = Log 930 (1, 035)

7

Log C = Log 800 (1 + 0 , 015)

4

= Log 930 + 7 Log 1, 035

= Log 800 + 4 log 1, 015

= 2 , 9684829 + 7 (0 , 0149403)

= 2 , 90309 + 4 (0 , 00647)

= 2 , 9684829 + 0 , 01045821 Log C = 3 , 073065 Anti log 3 , 073065 = $ 1.183 , 2186

5. C = 12 . 318 t = 6 17 4 , 25 = 4 , 25 ⇒ = 0 , 0425 r = 4 41 = 4 100

C = 12 . 318 (1 + 0 , 0425)

= 2 , 90309 + 0 , 02588 Log C = 2 , 92897 Anti log C = $ 849 , 09

9. c = 900

t=

12 =4 3

r=

C = 900 (1 + 0 , 01)

0 , 04 = 0 , 01 4

4

Log C = Log 900 + 4 log 1 , 01

= 2 , 954242 + 4 (0 , 004321)

6

Log C = Log 12 . 318 (1, 0425)

6

= Log 12 . 318 + 6 Log 1, 0425 = 4 , 0905402 + 6 (0 , 018076)

= 4 , 0905402 + 0 ,108456 Log C = 4 ,1989962 Anti log 4 ,1989962 = $ 15.812 , 34204

= 2 , 954242 + 0 , 017284 = 2 , 971526 Anti log 2 , 971526 = $ 936 , 54 10. r = 0 , 05

c=

C = 972 , 60 972 , 60

t=4

(1 + 0 , 05)

4

Log c = log 972 , 6 + 4 co log 1, 05 6. C = 24 .186 t = 7 11 5,5 = 0 , 055 r = 5 21 = = 5 , 5 ⇒ 2 100

C = 24 .186 (1 + 0 , 055)

7

Log C = Log 24 .186 (1, 055)

7

= Log 24 .186 + 7 log 1, 055

= 4 , 383564 + 7 (0 , 0232524) = 4 , 383564 + 0 ,1627668 Log C = 4 , 5463308 Anti log 4 , 5463308 = 35.182 , 83244 sucres

t=5 7. C = 54 . 293 15 3 , 75 = 3 , 75 ⇒ = 0 , 0375 r = 3 43 = 4 100 Log C = Log 54 . 293 (1, 0375)

= 2 , 987934 + 4 (1 , 978811) = 2 , 987934 − 0 , 084756

Log c = 2 , 903178 Anti log 2 , 903178 = $ 800 ,16 11. C = 1. 893 , 5 t = 6 9 4 ,5 = 0 , 045 r = 4 21 = = 4 , 5 ⇒ 2 100 1. 893 , 5 c= (1 + 0 , 045)6

Log c = log 1.893 , 5 + 6 co log 1 , 045 = 3 , 277265 + 6 ( 1 , 980883)

= 3 , 277265 − 0 ,114702 = 3 ,162563 Anti log 3 , 162563 = $ 1. 454 , 02 12. C = 54 .198 ,16

5

= Log 54 . 293 + 5 log 1, 0375 = 4 , 734743 + 5(0 , 015988) = 4 , 734743 + 0 , 07994 = 4 , 814683 Anti log 4 , 814683 = $ 65. 265 , 399

c=

r = 0 , 08 t = 7

54 .198 ,16

(1+ 0 , 08)

7

Log c = log 54 .198 ,16 + 7 co log 1, 08

= 4 , 733984 + 7 (1 , 966576)

= 4 , 733984 − 0 , 233968 Log c = 4 , 500016 Anti log 4 , 500016 = 31. 623 , 9 ≅ 31. 624 Q.

16. c = 6 . 354

13. c = 600 r = 0 , 03 C = 695 , 56 Log 695 , 56 − Log 600 t= Log1, 03 2 , 842334 − 2 , 778151 t= 0 , 012837 0 , 064183 t= = 4 , 9998 ≅ 5 años 0 , 012837 14. c = 1. 215 C = 1. 709 , 61 r = 0 , 05

t= t=

t = 4 C = 7 .151, 46 Log 7 .151, 46 − Log 6 . 354 4 3 , 854394 − 3 , 803047 = 4

Log (1 + r ) =

Log (1 + r ) = 0 , 012836

Anti log 0 , 012836 = 1, 03 1 + r = 1, 03

Log 1. 709 , 61− log 1. 215

r = 0 , 03 ⇒ 3 %

Log (1 + 0 , 05)

3 , 232897 − 3 , 084576 0 , 021189

17. c = 900

r = 0 , 05

C = 900 (1 + 0 , 05)

1 t = 2 + = 2 , 33333 3

2 , 33333

0 , 148321 = 7 años t= 0 , 021189 15. c = 800 t = 4 C = 1. 048 , 63 log 1. 048 , 63 − log 800 Log (1 + r ) = 4 3 , 020622 − 2 , 903089 Log (1 + r ) = 4 0 , 117533 = 0 , 029384 Log (1 + r ) = 4 Anti log 0 , 029384 = 1, 07

Log C = Log 900 + 2 , 33333 log 1 , 05

= 2 , 954242 + 2 , 33333(0 , 0211892)

= 2 , 954242 + 0 , 049441 = 3 , 003683 Anti log 3 , 003683 = 1. 008 , 52 Los int ereses producidos represen tan la diferencia entre la suma inicial y lo que se ha convertido ⇒ Intereses producidos = 1. 008 , 52 − 900

1 + r = 1, 07 r = 0 , 07 ⇒ 7 %

= $ 108 , 52

EJERCICIO 304

1. c = 40 . 000 r = 0 , 05

t = 10

40 . 000 (0 , 05)(1, 05)

10

a=

(1, 05) − 1 Log (1, 05) = 10 Log 1, 05 = 10 (0 , 0211892) 10

10

= 0 , 211892 Anti log 0 , 211892 = 1, 62889 Log a = log 40 . 000 + log 0 , 05 + log 1 , 62889 + co log 0 , 62889 = 4 , 602059 + 2 , 69897 + 0 , 211892 + 0 , 2014253 = 3 , 7143463 Anti log 3 , 7143463 = $ 5.180 , 21

2. c = 85. 000 r = 0 , 03 t = 12

5. c = 3 . 000 r = 0 , 06 t = 5 a = 3 . 000 ⋅ 0 , 237396 a = 712 ,188 ≅ 712 , 19 bs.

85. 000 (0 , 03)(1 + 0 , 03)

12

a=

(1+ 0 , 03) − 1 Log (1, 03) = 12 log 1, 03 = 12 (0 , 012837) 12

12

= 0 ,154044 Anti log 0 , 154044 = 1, 425761 Log a = log 85. 000 + log 0 , 03 + log 1 , 425761 + co log 0 , 425761 = 4 , 929418 + 2 , 477121 + 0 ,154044 + 0 , 370834 = 3 , 931417 Anti log 3 , 931417 = 8 .539 , 2 soles

3. c = 600 . 000 r = 0 , 05

(1, 06)

5

−1

180 (1 , 338226) a= 0 , 338226 240 , 88068 0 , 338226 a = 712 ,1885367 ≅ 712 , 19 bs. a=

NOTA: 0 , 237396 → Vr. que aparece en la tabla de int erés compuesto decreciente para el 6% en 5 años. 1 , 338226 → Vr . que aparece en la tabla de int erés compuesto para el 6% a 5 años.

t = 20

600 . 000 (0 , 05)(1 + 0 , 05)

20

a=

3 . 000 (0 , 06)(1 , 06)

5

a=

(1 + 0 , 05) − 1 Log (1, 05) = 20 log 1, 05 = 20 (0 , 0211892) 20

20

= 0 , 423784 Anti log 0 , 423784 = 2 , 65328 Log a = log 600 . 000 + log 0 , 05 + log 2 , 65328 + co log 1 , 65328 = 5 , 778151 + 2 , 69897 + 0 , 423784 + 1 , 781653 = 4 , 682558 Anti log 4 , 682558 = $ 48 .145 , 75

4. c = 5 ' 000 . 000

r = 0 , 06

t = 30

5 ' 000 . 000 (0 , 06)(1 + 0 , 06)

30

a=

(1+ 0 , 06)

30

−1

Log (1, 06) = 30 log 1, 06 30

= 30 (0 , 025306)

= 0 , 75918 Anti log 0 , 75918 = 5 , 7435 log a = log 5 ' 000 . 000 + log 0 , 06 + log 5 , 7435 + co log 4 , 7435 = 6 , 69897 + 2 , 778151 + 0 , 75918 + 1 , 323901 = 5 , 5602 Anti log 5 , 5602 = 363. 245 , 2 bs.

6. c = 12 . 000 r = 0 , 07 t = 12 a = 12 . 000 ⋅ 0 ,125902 a = 1. 510 , 824 bs.

7. c = 350 . 000

r = 4 21 % t = 3

a = 350 . 000 ⋅ 0 , 363773 a = 127 . 320 , 55 sucres

8. c = 425 . 000 r = 6% t = 10 a = 425 . 000 ⋅ 0 ,135868 a = 57 . 743 , 9 soles 9. c = 90 . 750 r = 5% t = 25 a = 90 . 750 ⋅ 0 , 070952 a = 6 . 438 , 894 bs. 10. c = 73 . 550 r = 5 21 % t = 30 a = 73 . 550 ⋅ 0 , 068805 a = 5 . 060 , 60775 ≅ 5 . 060 , 61 bs. 11. c = 473 . 000 r = 3 21 %

t=9

a = 473 . 000 ⋅ 0 ,131446 a = 62 .173 , 958 ≅ 62 .173 , 96 sucres

12. c = 45. 800 r = 4% a = 45.800 ⋅ 0 , 057830

t = 30

a = 2 . 648 , 614 soles 45. 800 (0 , 04)(1, 04)

30

a=

(1, 04) − 1 Log (1, 04) = 30 log 1, 04 = 30 (0 , 017033) 30

30

= 0 , 51099 Anti log 0 , 51099 = 3 , 243321 Log a = Log 45.800 + log 0 , 04 + log 3 , 243321 + co log 2 , 243321 = 4 , 660865 + 2 , 60206 + 0 , 510989 + 1 , 649108 = 3 , 423022 Anti log 3 , 423022 = 2 . 648 , 61 soles

EJERCICIO 305 1. c = 30 . 000 r = 0 , 06 t = 9 30 . 000 (0 , 06) i= (1+ 0 , 06)10 − (1+ 0 , 06)

Log (1, 06) = 10 log 1 , 06 10

= 10 (0 , 02531) = 0 , 2531

Anti log 0 , 2531 = 1 , 791018 Log i = Log 30 . 000 + log 0 , 06 + co log 0 , 731018

3. c = 200 . 000 r = 0 , 05

i=

(1, 05) − 1, 05 Log (1, 05) = 41log 1 , 05 = 41(0 , 0211892)

Anti log 3 , 391344 = $ 2 . 462 , 38

2. c = 90 . 000 r = 0 , 04 t = 20

i=

90 . 000 (0 , 04)

(1, 04)

21

− 1, 04

En la tabla de int erés compuesto (1, 04) = 2 , 278768 21

Log i = Log 90 . 000 + log 0 , 04 + co log 1, 238768 = 4 , 95424 + 2 , 60206 + 1 , 90701 = 3 , 4633 Anti log 3 , 4633 = 2 . 906 , 03 sucres

41

41

= 0 , 868757 Anti log 0 , 868757 = 7 , 391915 Log i = Log 200 . 000 + log 0 , 05 + co log 6 , 341915 = 5 , 30103 + 2 , 69897 + 1 ,19777

= 4 , 477121 + 2 , 778151 + 0 ,136072 = 3 , 391344

200 . 000 (0 , 05)

t = 40

= 3 ,19777 Anti log 3 ,19777 = $ 1. 576 , 79

4. c = 40 . 000 r = 0 , 06 t = 25

i=

40 . 000 (0 , 06)

(1, 06) − 1, 06 (1, 06) → 4 , 549383 26

26

Log i = log 40 . 000 + log 0 , 06 + co log 3 , 489383 = 4 , 60206 + 2 , 778151 + 1 , 457251 = 2 , 837462 Anti log 2 , 337462 = $ 687 , 79