01.-plineal-metodo-grafico-usil 5m4p1l

Araujo Cajamarca, Raul

1

En una carpintería se producen archivadores y escritorios. Para su fabricación un archivador requiere del uso de la máquina A durante 2 horas, de la máquina B por 1 hora y de la máquina C otra hora. Un escritorio requiere 1 hora de la máquina A, 2 horas de la B y 1 hora de la C. Además, las máquinas A, B y C pueden trabajar máximo 180, 160 y 100 horas/mes respectivamente. La utilidad por cada archivador es S/.40 y por cada escritorio es S/.60. ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual . Araujo Cajamarca, Raul

2


3

X2

R1

R2

X1

R3


4

5

Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible. Supuestos de la P.L.  Proporcionalidad  Aditividad  Divisibilidad  Certidumbre  Objetivo Único  No negatividad Araujo Cajamarca, Raul

6


7

Coeficientes objetivo Optimizar X 0  C1 X 1  C2 X 2  ......  Cn X n

Variables de decisión

Coeficientes tecnológicos

Coeficientes recurso

Sujeto a:

a11 X 1  a12 X 2  .....  a1n X n (, , )b1 a21 X 1  a22 X 2  .....  a2 n X n (, , )b2 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 X 1  am 2 X 2  .....  amn X n (, , )bm XAraujo >0 1,2,.....n Cajamarca, Raul

Condiciones técnicas o No negatividad

8

La fábrica de Hilados y Tejidos ACR SAC requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $40 el metro y el T’ se vende a $50 el metro. El costo de producción de un metro de T es $18 y de T’ es $25. Ayude a ACR SAC a planificar su producción de manera optima.(Z*=66142.86) Araujo Cajamarca, Raul

9


10


11

Simplex

Dos fases

Algebraico M grande

Programación lineal

Gráfico

Símplex revisado Karmarkar

Dual Símplex


12


13

Max. z=22x+25y

Vértice x y J 0.00 0.00 C 0.002,500.00 A 571.432,142.86 E 857.141,714.29 I 1,500.00 0.00


z

0.00 62,500.00 66,142.96 61,714.33 33,000.00

14

Para maximizar las utilidades se recomienda producir 571.4286 Metros de tela tipo T y 2142.857 Metro de tela tipo T’ diariamente, con ello la utilidad máxima a percibir será de U.M. 66,142.86


15


16

Transformaciones al modelo general de PL

Dado que el objetivo fundamental de la PL es el de optimizar una función lineal sujeta a una serie de restricciones lineales y variables nonegativas.

Dependiendo de la situación, resulta ventajoso efectuar ciertas manipulaciones al modelo general para expresarlo en formas equivalentes que sean más fáciles de comprender, solucionar o analizar. A continuación se presentan las transformaciones de mayor utilidad. Araujo Cajamarca, Raul 17

Transformaciones al modelo general de PL 1.- El objetivo puede cambiarse de maximización a minimización y viceversa.

La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización del negativo de tal función, f(x); complementariamente, la maximización una función g(x), es matemáticamente equivalente a la minimización del negativo de la misma, -g(x). Por ejemplo, Maximizar: X0 = 8X1 + 14X2 - 5X3 Es matemáticamente equivalente a Minimizar: X´0 = - X0 = -8X1 -14X2 +5X3 Araujo Cajamarca, Raul

18

Transformaciones al modelo general de PL 2.- El sentido de una desigualdad puede invertirse. Cuando una desigualdad se multiplica por (-1), su sentido puede invertirse. Si es “ < " cambia a “ > ", si es “ >" cambia a “ < ". Por ejemplo: 2X1 + 9X2 - 4X3 > 9

al multiplicarla por (-1), se convierte en -2X1 - 9X2 + 4X3 < -9


19


20

Por razones de competencia, entre impresoras y escáner, se tiene establecido que un pequeño comercio venda como máximo 100 unidades. Dispone de 60 impresoras y de 70 escáneres. Determina las impresoras y escáneres que debe vender para maximizar sus beneficios, sabiendo que le reportan unos beneficios unitarios de 25 $ y de 30 $. Respectivamente.


21

La empresa de muebles Lima fabrica mesas y sillas de comedor. Cada silla necesita 20 pies de tabla (P. t.) y 4 horas de trabajo. Cada mesa, 50 p. t. y solo 3 horas de trabajo. El fabricante tiene 3300 p. t. de madera disponible y un equipo humano capaz de proporcionar 380 horas de trabajo. Por último, el fabricante ha determinado que hay una utilidad de $3 por cada silla vendida y $6 por cada mesa vendida. Para simplificar, supongamos que los materiales necesarios (como clavos o barniz) se tienen en cantidades suficientes. ¿Determine el plan óptimo de producción para la empresa, suponiendo que se vende todo objeto producido? Araujo Cajamarca, Raul

22

Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende a 2000 soles y 3000 soles por cada artículo, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniendo las siguientes restricciones: • El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de cuatro por día. • Cada minimesa requiere dos horas para su fabricación; cada minisilla, tres horas. La jornada laboral máxima es de diez horas. • El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 soles El utilizado en cada minisilla cuesta 200 soles, se dispone de 1200 soles diarias para material.(Z*=10000, sol. Inf.) Araujo Cajamarca, Raul

23


24

ACR SAC. Empresa dedicado a la exportación de pecanas peladas, exclusivamente de dos tipos:  Mahan  Merino Los cuales deben pasar necesariamente por cada uno de dos procesos con que cuenta la planta, cuyas tasas de producción se muestran en la tabla siguiente: Tipo de pecana

PROCESO(kilos/hora por trabajador) P1

P2

Mahan

10

6

Merino

5

8

Si en el proceso P1 se procesaran sólo pecanas Mahan se producirían 10 kilos por hora. Araujo Cajamarca, Raul

25

En cada proceso, P1 y P2 se cuenta con 4 y 5 trabajadores respectivamente quienes tienen sus propias máquinas de trabajo y laboran en un turno de 8 horas diarias. Los precios de entrega establecidos por kilo es de 40 y 60 soles para el tipo Mahan y Merino respetivamente, según demanda del mercado debe asegurase una producción mínima de 50 kilos diarios del tipo Mahan y además el tipo Merino no sea más del doble de la del tipo Mahan. Bajo estas condiciones se solicita determinar el plan óptimo de producción para la firma de compromiso. Araujo Cajamarca, Raul

26

Una pequeña empresa fabrica sillas, mesas y estanterías en dos locales. Un local produce diariamente 1, 3 y 5 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. El otro local produce diariamente 2 unidades de cada producto. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80, 160 y 200 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. Sabiendo que el coste de producción de cada articulo en cada planta es: COSTO DE PRODUCCION PLANTA P1 P2

SILLAS 1 3

MESAS ESTAnteria 2 3 2 1

¿Determine el plan óptimo de producción para la fabrica?. Araujo Cajamarca, Raul

27

Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2 y 2 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. de esmalte para su pintura y 14 y 10 horas de control de calidad. Araujo Cajamarca, Raul

28

Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de soles. El empresario dispone semanalmente de máximo, 3600 horas para ensamblaje, de máximo 8400 Kg. de esmalte y 20000 horas máximo, para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos 600 unidades.(Z*=34000) Araujo Cajamarca, Raul

29


30

ACR SAC. Es una empresa que se dedica a producción un material denominado XTRAM que es muy resistente para la industria metalmecánica, para su obtención debe pasar por dos máquinas, horno y mezcladora. Para la producción del XTRAIL se utiliza la mezcla liquida de dos tipos de minerales que son:  MIN001  MIN002 Araujo Cajamarca, Raul

31

Este material se encuentra en estado sólido y para mezclarlo debe estar en estado líquido, para ello debe ingresar a un horno a altas temperaturas en forma separada, al someterlo a altas temperaturas se pierde un porcentaje de estos minerales, como se muestra en la tabla siguiente: Minerales

% de pérdida

Disponible (kilos/día)

MIN001 MIN002

50% 20%

1800 1200


32

Una vez que sale del horno cada mineral se procede a mezclarlos en la máquina mezcladora obteniéndose finalmente el material denominado XTRAM en planchas solidas de 100 kilos cada uno.

Por otro lado las especificaciones técnicas indican que el material a producir esté compuesto de al menos con el 40% del mineral MIN001 y además se necesita obtener como mínimo 12 planchas diarias. Las capacidades de los hornos y mezcladoras no es problema. Ayude a ACR SAC a planificar su producción de manera óptima. Araujo Cajamarca, Raul

33

RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: -un aditivo para combustible y -una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Araujo Cajamarca, Raul

34

Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente se mezclan tres materia primas, según aparece en la siguiente tabla. NECESIDAD DE MATERIA PRIMA POR TONELADA

Producto Aditivo para disolvente

1 2ൗ 5 1ൗ 2

Materia Prima 2 0

3 3ൗ 5 3ൗ 10

1ൗ 5 Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.

Base disolvente

La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas: Araujo Cajamarca, Raul

35

Materia Prima

Disponible (Toneladas)

1

20

2

5

3

21

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. RMC ha determinado que la contribución a la utilidad por tonelada de aditivo para combustible producida es de 40 dólares y por cada tonelada de base disolvente producido es de 30 dólares. Araujo Cajamarca, Raul

36

La istración de RMC, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qué decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas toneladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas de base disolvente produciría usted para el período actual de producción?.(Z*=1600) Araujo Cajamarca, Raul

37


38

La compañía ACR SAC utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con los siguientes componentes. Libra de componente por libra de producto utilizado Producto

Proteínas

Fibra

Costo(US$/LB)

Maíz

0.09

0.02

0.30

Semilla de soya

0.60

0.06

0.90


39

Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ayude a ACR SAC determinar la mezcla óptima diaria.


40

El Crecimiento de Los pollos depende de una sólida alimentación que cumpla los requerimientos nutritivos de los mismos . El cuadro 1 muestra las exigencias nutricionales mínimas de pollos de cría (1 a 21 días ) . Cuadro 01 ITEM

RACIÓN

Energía(Cal)

3050

Proteína(%)

22

Metionina(mg)

14


41

Para producir la ración balanceada se usará maíz y soya .El cuadro 2 muestra la composición nutritiva de estos dos insumos .Y el cuadro 3 presenta el precio por Kg. . de cada uno Cuadro 02 Composición nutritiva de maíz y soya

Ítem Energía(Cal./Kg.) Proteína(g/Kg.) Metionina(mg/kg)

Maíz 2900 180 8


Soya 2700 300 16

42

Cuadro 03: Precio del maíz y de la soya

PRODUCTO

Precio/Kg.

Maíz

0.15

Soya

0.24


43

Un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:

Alimento Maíz Harina de soya

Calcio 0.01 0.02

Libras por libra de alimento Proteína Fibra 0.09 0.02 0.60 0.06


Costo ($/lb.) 3.000 6.000

44

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:  Cuando menos 1% de calcio.  Por lo menos 30% de proteína  Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos que debe usar el granjero para mejorar la producción de cerdos.(Z*=381.17) Araujo Cajamarca, Raul

45

Un lago de montaña en un parque nacional tiene en la primavera de cada año dos especies de peces, s1 y s2. El peso promedio de cada pez en el lago es de 4 libras para s1 y 2 libras para s2. Se dispone de dos tipos de alimento, f1 y f2. Las necesidades promedio de un pez de especie s1 son de 1 unidad de f1 y 3 unidades de f2 diariamente. Las necesidades correspondientes de s2 son de 2 unidades de f1 y 1 unidad de f2. Si se cuenta con 500 unidades de f1 y 900 unidades de f2 por día,

¿Cómo debe ser la cantidad de peces de cada clase para maximizar el peso de pescado que se pueda producir?(Z*=1280) Araujo Cajamarca, Raul 46


47

Un parcelero de la ciudad de Ica cultiva trigo y maíz en su granja de 45 hectáreas. Puede vender a lo más 140 bultos de trigo y a lo más 120 bultos de maíz. Cada hectárea cultivada produce 5 bultos de trigo o 4 bultos de maíz. El trigo se vende a $30 el bulto y el maíz a $50 el bulto. Se necesitan 6 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de trigo y 10 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de maíz. Se pueden adquirir 350 horas de mano de obra a $10 la hora. Formule un modelo de programación lineal que le permita al parcelero programar la producción de maíz y Araujo trigo.(Z*=4250) Cajamarca, Raul 48

El director de servicio de agua en una ciudad encuentra una forma de proporcionar al menos 10 millones de galones de agua potable al día (mgd). El suministro puede ser proporcionado por el depósito local o por medio de unas tuberías desde una ciudad vecina. El depósito local tiene un rendimiento diario de 5 mgd, que no puede ser sobrepasado. La tubería no puede abastecer más de 10 mgd debido a su diámetro. Por otra parte, por acuerdo contractual, se bombearía como mínimo 6 mgd. Araujo Cajamarca, Raul

49

Finalmente, el agua del depósito cuesta $300 (dólares) por millón de galones y el agua abasto por tubería cuesta $500 por millón de galones. ¿Cómo podría el director minimizar los costos de suministro diario de agua?(Z*=6500)


50

Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto. Los planes de promoción para el próximo mes están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimada por unidad de publicidad se muestran a continuación: Audiencia por unidad de publicidad Coto por unidad de publicidad

TELEVISION 100,000

RADIO 18,000

PRENSA 40,000

2,000

300

600


51

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00. Se necesita determinar el plan óptimo para maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad.(Z*=1097458) Araujo Cajamarca, Raul

52

Resuelve los problemas: a)Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? b)Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta? c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo? d)ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar? a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €. b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €. c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €. Araujo d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de Cajamarca, beneficio deRaul 2.000 €.

53



Solución óptima única

X2

Solución óptima múltiple

R1

R2

R3

X1

Solución ilimitada Solución infactible Araujo Cajamarca, Raul

54

2X1 + 3X2 = 12 Maximizar z = 3X1 + 4X2

(-1)

2X1 + X2 = 8 (-1) 2X2 = 4

Sujeto a:

X2 = 2

2X1 + 3X2 < 12

2X1 + X2 = 8

2X1 + X2 < 8

2X1 +

X1, X2 > 0

2= 8 X1 = 3

Vértices

Región factible

A B C D

Coordenadas x1 x2 0 0 0 4 3 2 4 0

z 0 16 17 12

La solución óptima se presenta en el vértice C Araujo Cajamarca, Raul

55

Solución óptima múltiple ó alternativa Vértices

Máx. z = 2X1 + 3X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 < 30 - X1 + X2 < 5

A B C D E

Coordenadas x1 x2 5 0 0 5 3 8 10 10/3 10 0

z 10 15 30 30 20

X1 + X 2 > 5 X1

Puntos óptimos

< 10

X1, X2 > 0 La pendiente de la función objetivo es igual a la pendiente de alguna de sus restricciones

Región factible

mZ = mR1 -2/3 = -2/3


56

Solución ilimitada ó No Acotada Máx. Z = X1 + 2X2 Sujeto a: -2X1 + X2 < 4

X1 - 3X2 < 3 X1, X2 > 0

Coordenadas (0, 4) (-2 , 0)

Vértices A B E

Coordenadas x1 0 0 3

x2 0 4 0

z 0 8 3

(0, -1) ( 3, 0)


57

Solución Infactible Máx. z = X1 + 2X2

Sujeto a: X1 + 2X2 < 4 2X1 + 3X2 > 12 X1, X2 > 0 Coordenadas (0, 2) (4, 0) (0, 4) (6, 0)


58

Construcción de modelos de PL adicionales


59

Ejemplo 5.

La Compañía Paris es un pequeño fabricante de equipo y suministros para golf. El distribuidor de Paris cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, denominada modelo estándar, como para una bolsa de precio elevado, denominada modelo de lujo. El distribuidor sugiere que si Paris produce bolsas a un precio competitivo, comprará toda la producción durante los siguientes tres meses.


60

Los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura y la estimación de ganancias por bolsa se muestra en el cuadro siguiente: El director de manufactura estima que dispondrán de 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de bolsas de golf durante los siguientes tres meses. Araujo Cajamarca, Raul

61

Tiempo de Producción (horas/bolsa) Producto

Corte y Costura Teñido

Term.

Insp. y Empaq ue

Estándar De lujo

7/10 1

1/2 5/6

1 2/3

1/10 1/4

Horas Disp.

630

600

708

135

Ganan cia por Bolsa $10 $9

a) Si la compañía desea maximizar la contribución a la ganancia total, ¿Cuántas bolsas de cada modelo debería fabricar? b)¿Cuántas horas de tiempo de producción se programarán para cada operación? c) ¿Cuántas horas de tiempo de ocio se tendrán en cada Araujo Cajamarca, Raul 62 operación?

Formulación: Variable de decisión: Xi = Número de bolsas de modelo i a fabricar por trimestre  i = 1, 2

Objetivo: z= Ganancia/trimestre Corte y teñido

Restricciones:

Corte

Tiempo disponible por trimestre

Terminado Inspección y empaque

Condiciones técnicas. X1, X2 > 0 Araujo Cajamarca, Raul

63

Modelo Matemático de Programación Lineal: Maximizar: Ganancia z = 10X1 + 9X2 $

=

Trimestre

$

Bolsa

Bolsa

Trimestre

Sujeto a: Hora

Bolsas

Bolsa

Trimestre

7/10X1 +

=

Horas Trimestre

X2 < 630 Corte y teñido

1/2X1 + 5/6X2 < 600 Costura

X1 + 2/3X2 < 708 Terminado 1/10X1 + 1/4X2 < 135 Inspección y empaque X1, X2Araujo > 0Cajamarca, Raul

64

Construcción de modelos de PL

Ejemplo 6.

Tom’s produce dos productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. Western Foods Salsa y México City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de: Tomates enteros 50%

 Salsa de tomate 30% y Pasta de tomate 20% La México City Salsa, tiene una consistencia más espesa. Araujo Cajamarca, Raul

65

Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate; el precio por libra de estos ingredientes es de $0.96, $0.64 y $0.56, respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. Araujo Cajamarca, Raul

66

Solución: Resumen de información relevante: 1 Libra=16 Onzas Peso de Lata(Onzas)

Onzas/Recipiente Salsa

Tomate E.

Salsa de T.

Pasta de T

Waster Foods Salsa

5

3

2

10

México City Salsa

5

3

2

10

Disp. MP(Lb)

280

130

100

Disp. MP(Onzas)

4480

2080

1600

Costo/Libra

0.96

0.64

0.56

Costo/Tarro

0.30

0.12

0.07


67

Resumen de información relevante:

Costo de cada tarro de cualquier producto Ingredientes Comp.(A) $/Libra(B)

Onz./Tarro(C)

1 Lb(D)

$/Tarro (A*B*C/D)

Tomate

50%

0.96

10

16 Onz.

0.30

Salsa

30%

0.64

10

16 Onz.

0.12

Pasta

20%

0.56

10

16 Onz.

0.07

Total Costo/Tarro

0.49

1 Libra=16 Onzas


68

Costo y Utilidad de un tarro por producto Detalles

Waster Foods Salsa

México City Salsa

Especias

0.10

0.10

Tarros Vacios

0.02

0.02

Etiquetado

0.03

0.03

Insumos

0.49

0.49

Total Costos

0.64

0.64

Precio de Venta

(1.64)

(1.93)

Utilidad

1.00

1.29


69

Utilidad = PV-[(CMPte)+(CMPst)+(CMPpt)+(Ce)+(Ct)+(Cet)]a

Donde: PV = Precio de venta CMPte = Costo de la materia prima (tomates enteros) CMPst = Costo de la materia prima (salsa de tomate) CMPpt = Costo de la materia prima (pasta de tomate) Ce = Costo de las especias Ct = Costo del tarro Cet = Costo del etiquetado.


70

Formulación: Variable de decisión: X1 = N° de recipientes a producir de Western Foods Salsa/periodo. X2 = N° de recipientes a producir México City Salsa / periodo

Objetivo: z= Utilidad /periodo

Restricciones: Materia Prima

Tomates enteros Salsa de tomate Pasta de Tomate


71

Modelo Matemático de Programación Lineal: Maximizar: Utilidad z= X1 + 1.29X2 $ Periodo

$

Recipiente

Recipiente

Periodo

=

Sujeto a: onzas

recipiente

recipiente

periodo

=

onzas periodo

5X1 + 5X2 < 4480 Tomates enteros 3X1 + 3X2 < 2080 Salsa de tomate

2X1 + 2X2 < 1600 Pasta de tomate X1, X2 > 0


72

Ejemplos adicionales


73

Ejemplo 1 BG Company fabrica camisas y blusas WD Stores. WD aceptará toda la producción que le proporcione BG. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado.

BG emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fabrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La tabla siguiente proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las dos prendas: Araujo Cajamarca, Raul

74

Prenda

Camisas Blusas

Minutos por unidad Utilidad por Corte Costura Empacad unidad ($) o

20 60

70 60

12 4

2.50 3.20

1.- Construir el modelo de PL. 2.- Solucionar el modelo con el método gráfico.


75

Solución: Variables de decisión: X1 = Número de camisas a fabricar por semana. X2 = Número de blusas a fabricar por semana.

Objetivo: z = Utilidad por semana

Restricciones: Departamento corte Tiempo disponible por

Departamento costura

departamento a la semana

Departamento empaque


76

Modelo matemático de PL: Maximizar z = 2.50X1 + 3.20X2 $

=

semana

$

camisas

camisa

semana

+

$

blusas

blusas

semana

Sujeto a: Cálculo del tiempo disponible por semana

25

35

5

obreros

obreros

obreros

8

8

8

horas

5

días

= 1000

horas

día-obrero

semana

semana

horas

días

horas

5

= 1400

día-obrero

semana

semana

horas

días

horas

día-obrero

5

=

semana Araujo Cajamarca, Raul

200

Departamento corte Departamento costura Departamento empaque

semana 77

20X1 + 60X2 < (1000)(60)

minutos

camisas

camisa

semana

+

Departamento corte

minutos

blusas

blusas

semana

70X1 + 60X2 < (1400)(60) 12X1 + 4X2 < (200)(60)

=

horas

minutos

semana

hora

Departamento costura Departamento empaque

X1, X2 > 0


78

Resumen del modelo: Maximizar z= 2.50X1 + 3.20X2 Sujeto a:

20X1 + 60X2 < 60,000

Departamento corte

70X1 + 60X2 < 84,000


12X1 + 4X2 < 12,000


X1, X2 > 0


79

Método Gráfico: Paso 1. Representar las variables de decisión en un eje coordenado XY. (Condiciones técnicas) X2

Blusas

X1 Araujo Cajamarca, Raul

Camisas

80

Paso 2. Calcular las coordenadas de intersección los ejes para cada restricción y representarlas en el primer (X1, X2) (X1, X2) cuadrante. 20X1 + 60X2 =60,000

(0, 1000)

70X1 + 60X2 = 84,000

(0, 1400)

12X1 + 4X2 = 12,000

Región Factible

(3000, 0) (1200, 0)

(0, 3000) (1000, 0) Intersección con los ejes

(-1)

20X1 + 60X2 = 60,000 (-1) 70X1 + 60X2 = 84,000 50X1

= 24,000 X1 = 480

20(480) + 60X2 < 60,000 X2 = 840 Araujo Cajamarca, Raul

81

Método Gráfico: Paso 3. Calcular las alternativas de solución (cada vértice de la región factible)

Vértices

X1

X2

z

A

0

0

0

B

0

1,000

3,200

C

480

840

3,888

D

1,000

0

2,500

Esta es la solución óptima


82

Método Gráfico: Paso 4. Calcular las variables de holgura para cada restricción de la solución óptima. Primero se transforman a igualdades todas las restricciones. 20X1 + 60X2 + s1 70X1 + 60X2 12X1 + 4X2

= 60,000 + s2

= 84,000 + s3

= 12,000

Segundo se sustituyen los valores obtenidos para X1 y X2 de la solución óptima y se despeja la variable de holgura de cada restricción. 20X1 + 60X2 + s1

= 60,000

Departamento corte

20(480) + 60(840) + s1 = 60,000 9600 + 50400 + s1 = 60,000 60000 + s1 = 60,000 s1 = 0


83

70X1 + 60X2 + s2

= 84,000


70(480) + 60(840) + s2 = 84,000 33,600 + 50,400 + s2 = 84,000 84,000 + s2 = 84,000

s2 = 0

12X1 + 4X2 + s3

= 12,000

12(480) + 4(840) + s3

= 12,000


5,760 + 3,360 + s3 = 12,000 9,120 + s3 = 12,000 s3 = 2,880


84

Interpretación de los resultados del modelo. BG Company, deberá fabricar 480 camisas y 840 blusas, con este plan de producción logrará obtener una utilidad de $3,888 por semana Si BG Company lleva acabo este programa de producción consumirá las 1000 horas/semana que dispone en el departamento de corte. Así, como también, consumirá sus 1400 horas/semana del departamento de costura. Sin embargo, en el departamento de empacado de las 200 horas/semana disponibles solo utilizará 152 horas/semana, como consecuencia se tendrá un ocio de 48 horas/semana, lo que equivale a 1.2 obreros ociosos y solo trabajarían 3.8 obreros/semana en promedio. Araujo Cajamarca, Raul

85

(Hillier-Liberman, 2001, pp. 24-108) (WayneL. Winston, 2004, pp. 49-126) Raul Araujo Cajamarca

86

01.-plineal-metodo-grafico-usil 5m4p1l

Overview 5o1f4z

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