Vigas Curvas 3c725

Universidade Federal de Pernambuco - UFPE Departamento de Engenharia Mecânica - DEMEC Centro de Tecnologia e Geociências - CTG

Estudo Dirigido 1 Barras Curvas

PROFESSOR: Carlson Verçosa ALUNO: André Luiz Gomes Moz

Março/2016

Universidade Federal de Pernambuco - UFPE Departamento de Engenharia Mecânica - DEMEC Centro de Tecnologia e Geociências - CTG

Estudo Dirigido 1 Barras Curvas Trabalho da disciplina de Mecânica dos Sólidos 2, ministrada pelo professor Carlson Verçosa, referente ao primeiro Estudo Dirigido e solicitado no dia 08/03/2016, realizado pelo aluno André Luiz Gomes Moz da Turma MM

Março/2016

SUMÁRIO 

INTRODUÇÃO

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PLANO DE TRABALHO

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ESTUDO DIRIGIDO 1. CARACTERIZAÇÃO E APLICAÇÃO 2. DIMENSIONAMENTO E FORMULAÇÃO 3. ANÁLISE DOS MOMENTOS E TENSÕES 3.1 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA 3.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE 3.3 ENCONTRANDO O RAIO 3.4 CALCULO DO MOMENTO 3.5 CÁLCULO DA TENSÃO

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CONCLUSÃO

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REFERÊNCIAS

INTRODUÇÃO Este trabalho tem por objetivo aprofundar e conceituar o nosso conhecimento a cerca do estudo sobre as barras curvas, suas aplicações no ramo industrial, sua definição geométrica, a análise das tensões presente assim como sua formulação e parâmetros.

PLANO DE TRABALHO 1. Caracterizar uma “barra curva” ou “viga curva”, mostrar sua existência no campo da engenharia e parque industrial e ilustrar este tópico com esses elementos (pesquisar na internet). 2. Mostrar a geometria de uma viga curva (seus elementos) e deduzir fórmulas: σ x=

−M ❑ y A . e .(R− y )

e σ x=

−M ❑(r −R) (mais usada). A . e .r

identificando seus elementos (parâmetros) e fazendo considerações sobre os sinais do momento e da localização do ponto onde se deseja calcular a tensão e o sinal de

σx

referido ponto. Mostrar gráfico de

Observar na formula de

σx

σx

e y.

a influência de se calcular o valor de ‘e’ com

grande precisão. Apresentar as fórmulas para o cálculo de R e rg e também ‘e’. 3. Apresentar os valores (expressão) de R para as seções transversais mostradas na fig. 4.79 (pág 278) 4. Ilustrar com o exemplo 4.10 e 4.11 e o Prob. Resolvido 4.11 5. Anexar solução dos problemas propostos na Lista de Exercicios.

ESTUDO DIRIGIDO 1. Definição Geral de Barras Curvas Vigas ou Barras curvas são elementos estruturais muito utilizados no contexto industrial que possuem eixos curvos sujeitos a flexão. Esse tipo de estrutura é concebido tanto por motivos estéticos quanto funcionais, sendo usualmente utilizadas para projetos de edifícios, pontes e viadutos. As vigas com o traçado curvo têm como característica a solicitação pelo esforço torçor, exigindo critérios específicos de dimensionamento para garantia plena da segurança.

Figura 1: Ponte Juscelino Kubitschek localizada em Brasília

Figura 2: Aplicabilidade estética com uso de Vigas Curvas

2. Análise Geométrica e Formulação As expressões desenvolvidas para a flexão elástica de vigas retas têm como base a consideração que as deformações variam linearmente a partir do eixo neutro. Para o caso de vigas curvas esta consideração não é válida, sendo por isso necessário obter outras expressões que descrevam corretamente a distribuição das tensões devidas a flexão.

Parâmetros: R - raio correspondente ao eixo neutro; r - raio correspondente ao centróide da secção; r - raio de um ponto arbitrário ou elemento de área infinitésimal na secção

Consideremos a viga curva representada acima, cuja secção transversal é constante e possui um eixo de simetria perpendicular à direção do momento aplicado M. Assume-se também que o material é homogéneo isotrópico e com um comportamento linear elástico. Como no caso das vigas retas assume-se que as secções transversais se mantém planas após a aplicação do momento fletor. Se isolarmos uma parcela de comprimento r dθ da viga, esta tende a deformarse por forma a que cada secção transversal irá rodar de um ângulo δθ/ 2 e a sua variação de comprimento será 2 δθ/ 2 (R − r). A deformação normal ε será δθ(R−r ) dada por ε = r dθ .

Definindo k = δθ/ θ , que é constante para um dado elemento, simplificamos a k (R−r) equação afim de obtermos: ε = . Ao contrário do caso das vigas r retas, aqui verifica-se que as deformações normais não variam linearmente com r (têm uma variação hiperbólica). Aplicando agora a Lei de Hooke, a (R−r ) tensão é dada por: σ =Ek r , onde esta formulação é igualmente parabólica. O próximo o do nosso estudo é determinar a posição do eixo neutro e relacionar a distribuição de tensões com o momento fletor M. Para a obtenção da posição do eixo neutro, R, vamos obrigar que a força resultante da distribuição de tensões ao longo da seção seja zero, o que equivale à: ∫σdA=0. Dessa forma, temos:

Em que R é o raio correspondente ao eixo neutro medido do centro de curvatura da viga e r é um raio arbitrário medido do mesmo centro. A integral no denominador varia de acordo com o perfil da seção transversal de cada barra, e pode ser resumido na seguinte tabela:

Para obter a relação entre a distribuição de tensões e o momento M aplicado, vamos impor que o momento interno resultante seja igual ao momento em torno do eixo neutro da distribuição de tensões. A tensão σ , atuando num elemento de área dA, dá origem a uma força dF = σ dA e a um momento em torno do eixo neutro igual a dM = y σ dA .Integrando agora entorno de toda a seção temos: M = ∫ y σ dA . Dado que y = R − r, chegamos à

Uma vez que, pela definição de centróide, ř = (∫rdA)/A ⇒ ∫rdA = ř A, e por outro lado sabendo que ∫ dA/r = A/R , podemos escrever M = E.k.A.(ř-R). Com isso: M (R−r) σ= A r (ř−R) . Dado que y = R − r e definindo e = ř - R (distância do eixo neutro ao eixo que a no centróide), podemos escrever a expressão de My M (R−r ) σ= σ = duas formas: ou A e ( y−R) Ar e Estas duas equações podem ser usadas para o cálculo das tensões normais numa viga curva que apresentam uma distribuição hiperbólica, como se exemplifica na figura abaixo:

3. Alguns Exemplos Aqui, veremos a aplicação do conteúdo anteriormente abordado através dos exemplos 4.10 e 4.11 e do problema resolvido 4.11, ambos retirados do livro texto da disciplina. EX. 4.10: Uma barra curva retangular apresenta um raio médio de 150 mm e uma seção transversal de largura b=60mm e altura de h=36mm. Determine a distância “e” entre a linha do centroide e a linha neutra da seção transversal.

Solução: De partida, sabemos que e = ř – R. Logo, devemos encontrar a distância ř (distância do centro de curvatura ao centroide da seção transversal) e posteriormente a distância R (distância do centro de curvatura á linha neutra) para assim obtermos o solicitado. # Inicialmente definiremos duas distâncias r1 e r2 sendo o raio interno e externo da barra, respectivamente.

# Agora, calculamos R através de:

# De posse de ř e R em mãos, voltamos a e = ř – R e encontramos que: R: e = 0.893 mm

Obs: Para obter “e” com boa precisão foi preciso calcular o valor de R para 4 algarismos significativos.

EX. 4.11: Para a barra do exemplo 4.10, determine as maiores tensões de tração e compressão, sabendo que o momento fletor na barra é M=900 N m. Solução: Analisando a barra do exemplo 4.10, verificamos que a maior tensão de tração se dá na fibra correspondente a r = r2 (raio externo), e a maior tensão de compressão na fibra correspondente a r = r1 (raio interno). Assim, podemos obter o valor das tensões máximas utilizando as fórmulas desenvolvidas previamente no estudo aqui presente. # Primeiramente, devemos definir alguns valores: ¿ M =900 N ∙m

¿ A=bh=( 65 mm ) ( 40 mm )=2600 mm 2

¿ R=149,107 mm

¿ e=0,893 mm # Com os valores em mãos, aplicaremos a fórmula para obter os valores das tensões máximas: TRAÇÃO (r = r2) 

COMPRESSÃO (r = r1) 

PR. 4.11: Um componente de máquina tem uma seção transversal em forma de T e está submetido a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão de compressão issível é de 50MPa, determine a maior força P que pode ser aplicada ao componente.

# Primeiramente, encontramos o centroide da seção transversal:

# Calculado o centróide, devemos obter o valor de R e a expressão para o momento M em função da carga P: M=d*P=(50mm+60mm)P=0,11*P (m)

# Com os valores de ř e R, podemos calcular “e”: e = ř - R = 0,00439m # Com todos os valores definidos, podemos substituir os dados na fórmula para a tensão e igualar esta a tensão máxima issível, considerando que a maior tração de compressão se dará em r = 0.03m. Com isso, obtemos o valor de P:

CONCLUSÃO Ao final do estudo, evidencia-se a importância e a necessidade de aprofundarmos os nossos conhecimentos acerca das aplicações e da maneira como podemos solucionar problemas que envolvam carregamentos por flexão em barras com perfil curvo. Uma análise prévia mais cautelosa atrelada a uma precisão maior nos cálculos pode fazer a diferença em situações que envolvam este tipo de solicitação. As Vigas Curvas estão presentes em nosso cotidiano nas mais diversas aplicações como pontes, discos, molas curvas, grampos, viadutos, etc. E, por isso, se faz de extrema relevância um estudo mais detalhado acerca deste tema.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995; 2. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000; 3. < https://web.fe.up.pt/~ldinis/mecsol16.pdf>; 4. ; 5. ;