Vibraciones Mecanicas 1td2d

Apuntes Curso ME 566, Vibraciones Mecánicas Rodrigo Pascual J. Noviembre 2000

Índice G eneral

1

M otivación

2

P royectos del sem estre

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

1 3

Absorbedor de vibraciones . . Aislamiento de vibraciones . . Estudio de diseño, modelo EF Amortiguación . . . . . . . . Inestabilidad . . . . . . . . . . Efecto de precargas . . . . . . Análisis modal con arena . . .

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Sistem as con un grado de libertad

3.1

3.2

3.3 3.4

3 3 5 5 6 6 6 7

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 El resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 El amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Sistemas modelizables con un grado de libertad . . 3.1.5 Propiedades de un sistema con un grado de libertad Vibraciones libres f (t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Respuesta libre sin amortiguamiento c = 0 . . . . 3.2.2 Masa-resorte en compresión . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Respuesta libre con amortiguamiento c > 0 . . . . Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Vibraciones forzadas con excitación armónica . . . 3.4.2 Método del algebra compleja . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Vibraciones forzadas por movimiento de la base . 3.4.4 Aislamiento de vibraciones . . . . . . . . . . . . . i

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7 7 8 9 9 9 11 12 13 13 17 19 19 22 23 25

ii

ÍNDICE GENERA L

3.5

3.6

3.7

4

Función de Trasferencia y Función de Respuesta en Frecuencia . 3.5.1 Función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Función Respuesta en Frecuencia, FRF . . . . . . . . . Métodos para modelar sistemas exibles con 1 grado de libertad 3.6.1 Método de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibraciones forzadas -excitación arbitraria- . . . . . . . . . . . 3.7.1 Espectro en frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Método de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 29 30 35 36 36 37

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40 40 43 44 45 46 48 48 48 51 52 53 55 59 59 63 63 65

Análisis de Fourier

4.1 4.2

Introducción . . . . . . . . Análisis de Fourier . . . . 4.2.1 Nociones básicas . 4.2.2 Paso frecuencial . 4.2.3 Aliasing . . . . . . 4.2.4 Efecto de rendija . 4.2.5 Ruido . . . . . . . 4.2.6 Efecto de fuga . . 4.3 Discretización . . . . . . . 4.4 Componente DC . . . . . 4.5 Parámetros de adquisición 4.6 Espectros usuales . . . . . 4.6.1 Modulación . . . . 4.6.2 Ruido en la señal . 4.7 Unidades standard . . . . . 4.8 Tipo de valor mostrado . . 4.9 Valor RMS . . . . . . . . 4.10 Factor de Cresta . . . . . . 5

. . . . . . . . .

40

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Sistem as con dos gr ados de libertad

5.1 5.2 5.3

Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . Vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Vibraciones libres en sistemas no amortiguados Modos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Normalización de modos . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Propiedades de los modos propios . . . . . . .

67

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67 68 68 70 71 71

iii

ÍNDICE GENERA L

5.3.3

5.4 5.5

5.6 5.7 5.8 5.9 6

Sistem as continuos

6.1

6.2

7

Barras 6.1.1 6.1.2 6.1.3 Vigas 6.2.1 6.2.2

. . . . . . . . . . . . . . Barras en torsión . . . . Cuerdas . . . . . . . . . Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga de Euler Bernoulli Vibraciones forzadas . .

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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . Método de elementos nitos . . . . . . 7.3.1 Barra . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Ensamble . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Coordenadas locales y globales 7.3.4 Viga . . . . . . . . . . . . . . .

Cadena de m edición

8.1

72 74 74 75 75 76 76 77 77 78 79 79 79 80 84

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Sistem as con n grados de libertad

7.1 7.2 7.3

8

Obtención de modos propios y frecuencias naturales en sistemas amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ecuación del movimiento en vibraciones libres . . . . . . Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Método directo para respuesta estacionaria . . . . . . . . 5.5.2 Métodos de Integración directa en el tiempo . . . . . . . . 5.5.3 Método modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Método de desplazamientos modales . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Método de aceleraciones modales . . . . . . . . . . . . . Absorbedor de Vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimientos de cuerpo rigído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Amortiguamiento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . Obtención de la matriz de rígidez . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 87 87 89 91 91 94 96

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96 96 101 101 103 106 109 113

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.1.1 Transducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.1.2 Acondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

ÍNDICE GENERA L

8.2

9

8.1.3 Digitalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Registro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Sensores de desplazamiento sin o . . . . . . . . . 8.2.2 Sensores de desplazamiento con o . . . . . . . . . 8.2.3 Sensor de velocidad de bobina . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Acelerómetro piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.6 Saturación de acelerómetros . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7 Selección de acelerómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.8 Filtros [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.9 Filtros pasa-bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.10 Colectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M odelos sim ples de rotores

9.1 9.2

iv 114 114 114 114 114 116 116 118 118 118 121 123 123 126 128

Rotor rígido simétrico en descansos exibles . . . . . . . . . . . 128 Rotor exible en descansos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2.1 Rotor de Jeffcott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A E jem plo M atlab

132

B

133

E jem plo M atlab

C Algunas form ulas utiles

135

D De exión en vigas

136

E

M étodo de aceleraciónes modales

138

F

Tarea de elementos nitos

139

Índice de F iguras 2.1 2.2 2.3 2.4

Estructura con dos grados de libertad . Aislamiento de vibraciones . . . . . . Sistema con masa y rigidez distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

4 4 5 5

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

Sistema de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio del resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Barra sujeta a tracción/compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de amortiguador viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con elementos rigidos y exibles . . . . . . . . . . . . . Esquema de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medición del decremento logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta típica de un sistema super amortiguado . . . . . . . . . Ejemplo de sistema condicionalmente estable . . . . . . . . . . . Excitación armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta total del sistema a una excitación armonica . . . . . . . Amplitud de la respuesta estacionaria normalizada (c/r a Fko ) vs frecuencia normalizada (c/r a ! n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . Método del algebra compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema excitado por la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transmisibilidad FF0t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modo de deformación asumido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema masa resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señal temporal y su descomposición espectral . . . . . . . . . . .

7 8 8 9 9 10 11 16 17 18 19 20

3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23

v

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21 22 23 24 26 27 29 30 30 31 37

vi

ÍNDICE DE FIGURA S

3.24 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36

41 41 42 42 42 43 44 45 46 47 47 48 49 49 50 50 51 51 52 52 53 54 54 55 56 56 57 58 58 60 60 61 62 62 64 64

Vibración global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación tiempo-frecuencia . . . . . . . . . Espectro de la señal . . . . . . . . . . . . . . . . . Poder de diagnosis de un espectro . . . . . . . . . Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . Muestreo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestreo y espectro discretos . . . . . . . . . . . Resolución frecuencial pobre . . . . . . . . . . . . Frecuencia de muestreo pobre . . . . . . . . . . . Efecto de rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoja técnica de un acelerometro industrial . . . . . Componentes escondidas bajo el ruido . . . . . . . Efecto de truncación nulo . . . . . . . . . . . . . . Efecto negativo de truncación . . . . . . . . . . . Aplicación de ventanas . . . . . . . . . . . . . . . Conversión análogo-digital . . . . . . . . . . . . . Fondo de escala y rango dinámico . . . . . . . . . Rango dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rango dinámico y tipo de señal . . . . . . . . . . . Efecto de la componente DC . . . . . . . . . . . . Señal armónica simple . . . . . . . . . . . . . . . Señal periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señal transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impacto inicial en sierra circular . . . . . . . . . . Señal con modulación . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de modulación en ventilador . . . . . . . Modulación de fallas locales y distribuidas . . . . . Filtro envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proceso de demodulación . . . . . . . . . . . . . . Señal aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apliación de promedios . . . . . . . . . . . . . . . Señal impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señal representada en escala logarítmica . . . . . . La misma señal de gura 4.33 en formato bilineal . Valor RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tendencia de espectro vs tendencia del valor RMS

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vii

ÍNDICE DE FIGURA S

4.37 RMS insensible, CF efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Sistema con 2 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . Pendulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con modo de cuerpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . Viga empotrada con 2 masas concentradas . . . . . . . . . . . . Obtención experimental de la primera columna de K . . . . . . Obtención de la segunda columna de K . . . . . . . . . . . . . Obtención de la primera columna de la exibilidad estática H!=0

. . . . . . . .

67 70 74 79 81 81 82 82

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Barra empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condiciones iniciales de la cuerda . . . . . . . . . . . Factores de participación modal para el ejercicio dado . Primer modo de la cuerda o la barra . . . . . . . . . . Segundo modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Barra en tracción dinámica . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio de fuerzas para Viga de Euler . . . . . . . .

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84 88 88 89 89 89 90

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga Barra discretizada con 2 elementos nitos . . . . . . . . Estructura de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de coordenadas locales u y globales U . . . . . Funciones de forma para la viga . . . . . . . . . . . . .

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. . . . .

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97 105 106 107 110

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14

Sensor de desplazamiento sin o . . . . . . Esquema de un sensor de desplazamiento . . . . Aplicación como tacometro y sensor de posición Sensor de desplazamiento sin o . . . . . . Funcionamiento de un velocímetro . . . . . . . . Esquema de un acelerómetro trabajando al corte . Esquema de un acelerómetro . . . . . . . . . . . Esquema de acelerómetro I . . . . . . . . . . Resonancia de acuerdo al tipo de base . . . . . . Especi caciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Saturación de acelerómetros . . . . . . . . . . . Efecto ski slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de ltro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtro pasa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . .

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115 115 116 117 117 119 119 120 120 121 122 122 124 124

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

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viii

ÍNDICE DE FIGURA S

8.15 8.16 8.17 8.18

Tipos de ltros pasa-banda . Parámetros de calidad de un Colector Predict DCA-20 . . Uso del colector . . . . . . .

. . . . . ltro PB . . . . . . . . . . .

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. . . .

125 126 127 127

9.1 9.2 9.3

Rotor rígido simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Fuerza centrifuga ocasionada por el desbalance m ¢ e . . . . . . . 129 Respuesta al desbalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

D.1 Viga en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 F.1

Estructura bidimensional de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Índice de Tablas 3.1

Funciones de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1 4.2

Equivalencia dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidades dB standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 62

6.1

Condiciones para una viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

ix

C apítulo 1 M otivación Vibración es el termino que utilizamos para describir las oscilaciones de un sistema mecánico. Ella puede ser descompuesta en componentes, cada una de las cuales tiene una magnitud y una frecuencia asociadas. La frecuencia se de ne en termino de ciclos por unidad de tiempo. La magnitud se de ne en terminos de amplitud.Si la señal sigue un patron que se repite en el tiempo, hablamos de señal periodica. En caso contrario hablamos de señal compleja. Las vibraciones pueden ser descritas como deterministicas o como aleatorias. Las señales deterministicas permiten predecir con exactitud lo que pasara en el futuro proximo, a partir de lo que ha pasado anteriormente. Si es aleatoria, su valor solo puede ser estimado en forma estadistica. Las vibraciones tambien pueden ser clasi cadas como libres o forzadas. En el primer caso las vibraciones son causa de una perturbacion inicial, luego de la cual no entra energia al sistema. Veremos que podemos modelar un sistema como conservativo, vale decir en el cual no hay disipación de energía. Las estructuras reales siempre tienen algun nivel, a la cual llamaremos amortiguación. Ello induce respuestas transientes en el sistema, que desaparecen en el tiempo. Contrariamente, las vibraciones forzadas llegan a un estado estacionario (steady-state) debido a que entra tanta energia al sistema como la que sale por efectos de la amortiguación. Én general, la frecuencia a la cual la energia es entregada al sistema aparece en las respuestas del mismo. La respuesta está dada por la relación que hay entre la excitación y las propiedades del sistema. Recordemos tambien que las vibraciones pueden ser deseables o no en el funcionamiento de una máquina. Ejemplos de lo primero son los harneros. Sin embargo lo usual es lo contrario: las vibraciones implican cargas extras para un 1

CA PÍ TUL O 1. M OTI VA CIÓN

2

sistema asi como fatiga. El control de las vibraciones puede ser categorizado en 3 grupos: ² Reducción en la fuente: donde esta el balanceamiento de masas en movimiento (ventiladores, motores,..), balanceamiento de fuerzas magneticas (motores eléctricos), Reducción de juegos (en descansos). ² Aislación: podemos aislar una maquina que genera excesivas vibraciones de modo que no afecte la operación de otras, podemos aislar una máquina sensible a las vibraciones de un ambiente pleno de vibraciones. ² Reducción de la respuesta: alterando frecuencias naturales, incrementando la amortiguación, o añadiendo absorbedores dinámicos. Para poder analizar en profundidad es necesario conocer las caracteristicas modales del sistema. Esto es conocido como análisis modal experimental. Veremos que una vez identi cadas las frecuencias naturales y modos propios de una máquina o estructura esta información sera util para: ² Diagnosticar situaciones de vibración excesiva, ² Rediseñar componentes de estructuras, ² Predecir respuestas a situaciones de carga extremas, ² Estudiar efectos de modi caciones en el comportamiento dinámico de un sistema.

C apítulo 2 Proyectos del sem estre 2.1

A bsorbedor de vibraciones

La estructura de gura está vibrando a causa de las fuerzas transmitidas por las máquinas instaladas sobre él. En este caso en particular c/u tiene un nivel de desbalanceamiento que es nominal en su operación. Se debe buscar una solución que permita bajar signi cativamente el nivel de vibraciones, a niveles aceptables (establecer criterios). Se propone instalar absorbedores de vibración. Algunas condiciones presentes son: ² La rigidez de las lozas es mucho mayor que la de las vigas. La masa de las vigas es despreciable frente a la de las lozas junto con las máquinas, ² La frecuencia de los motores es diferente y cada una está muy cerca de una frecuencia natural del sistema en estudio. Se deben considerar constantes.

2.2

A islam iento de vibraciones

Se sabe que los ventiladores tienden a desbalancearse con el tiempo debido al desgaste y a la acumulación de particulas sobre las aletas. Debido a la criticidad de la máquina puede ser muy costoso el parar el proceso para para tomar medidas correctivas. Por otro lado, se debe asegurar la integridad de la estructura sobre la cual esté montado el ventilador y de otras máquinas, por lo que se propone diseñar una fundación que asegure que las vibraciones transmitidas por la máquina sean transmitidas en forma mínima a la estructura. 3

CA PÍ TUL O 2. PROY ECTOS DEL SEM ESTRE

Figura 2.1: Estructura con dos grados de libertad

??? Figura 2.2: Aislamiento de vibraciones

4


5

Figura 2.3: Sistema con masa y rigidez distribuida

Figura 2.4:

2.3

E studio de diseño, m odelo E F

Se ha diseñado una estructura compleja de muchos grados de libertad. Uno de los puntos incluye una fuente de vibración que posiblemente haga vibrar excesivamente algun componente electronico, por ejemplo. Construya un modelo numérico del sistema y establezca si la frecuencia de excitación (conocida y constante) coincide con alguna frecuencia natural. Compare los resultados con mediciones experimentales.

2.4

A m ortiguación

Veri que el efecto de distintos medios de amortiguación en la amplitud de las vibraciones. Realice un estudio parámetrico en función de la frecuencia de excitación. Estime el factor de amortiguación y compare las vibraciones libres del sistema real con las respuestas entregadas por el modelo téorico.


2.5

6

Inestabilidad

Un ejemplo de vibraciones autoexcitadas ocurre en las líneas eléctricas de transmisión. Repita el ejemplo de clase y el de Den Hartog [5] para veri carlo. Explique el fenomeno a través de un análisis de estabilidad.

2.6

E fecto de precargas

Las cargas estáticas que se aplican sobre un sistema son capaces de cambiar sus propiedades modales. Realice un estudio modal para una viga simplemente apoyada que sufre tracción axial estática (ver ref. [3]).

2.7

A nálisis m odal con arena

Una forma sencilla de obtener modos en placas delgadas (una tapa de violin por ejemplo) es el método de Chladni con arena.

C apítulo 3 Sistem as con un grado de libertad 3.1

Introducción

3.1.1

Com ponentes

Un sistema mecánico con un grado de libertad se esquematiza usualmente como se muestra en gura 3.1. Consta de los siguientes elementos: ² Inercia o masa m, concentrada en un bloque rigido ² Elemento elastico o resorte k; que no tiene masa ² Elemento disipador de energía, usualmente un amortiguador viscoso con constante c; ² Fuente de excitación, puede tratarse de una fuerza o momento o de un movimiento conocido del extremo libre del resorte.

Figura 3.1: Sistema de un grado de libertad 7

CA PÍ TUL O 3. SISTEM A S CON UN GRA DO DE L IB ERTA D

8

f

f x2

x1

Figura 3.2: Equilibrio del resorte

f x

Figura 3.3: Barra sujeta a tracción/compresión

3.1.2

E l resorte

La deformación del resorte está descrita por la ley: k(x2 ¡ x1 ) = f (ver gura 3.2) E jem plo 1 La deformación de la barra de sección A y longitud l mostrada en

gura 3.3 está dada por: ¾ = E" lo que puede ser reescrito como: F x =E A l por lo tanto la constante del resorte equivalente está dada por: k=

EA x = F l


f

. x1

. x2

9

f

Figura 3.4: Esquema de amortiguador viscoso

Figura 3.5: Sistema con elementos rigidos y exibles

3.1.3

E l am ortiguador

El amortiguador viscoso mostrado en gura 3.4 sigue la sigiente ley: f = c(x_ 2 ¡ x_ 1 )

3.1.4

Sistem as m odelizables con un grado de libertad

Sistem as con cuerpos que pueden considerarse rigidos y con elem entos exibles

En gura 3.5 se aprecia un sistema de tal tipo. Sistem as exibles donde predom ina un m odo

3.1.5

Propiedades de un sistem a con un grado de libertad

Un balance de fuerzas del sistema de 1 g.d.l. ( gura 3.1) resulta en la ecuación mÄ x + cx_ + kx = f (t)


Excitación

Sistema Lineal

10

Respuesta

Figura 3.6: Esquema de un sistema lineal la que representa un sistema lineal. Ello implica que cumple las siguientes propiedades: ² Principio de superposición ®x (f ) = x(®f )

x(f1 + f 2) = x(f1 ) + x(f2 ) ² La respuesta steady-state a una excitación armonica de frecuencia !, es a la misma frecuencia !:Para:

f(t) = ®sen(!t) la respuesta es de la forma: x(t) = ¯sen(!t + Á) donde Á es el angulo de desfase entre la excitación f (t) y la respuesta x(t). E jem plo 2 Considere el sistema de gura 3.7. Su equilibrio está descrito por:

X

Mi = I Äµ

i

l I Äµ + mg senµ = 0 2


11

θ

Figura 3.7: Sistema con un grado de libertad El senµ se puede descomponer en la serie de Taylor: µ3 µ5 µ7 + ¡ ::: 3 5 7 Por lo que si los desplazamientos son pequeños se puede despreciar los terminos y asumir que: senµ = µ ¡

senµ ¼ µ y queda la ecuación linealizada del pendulo: µ ¶ l Ä I µ + mg µ=0 2

3.2

Vibraciones libres f (t) = 0

Se desea conocer la respuest de un sistema ante un desplazamiento inicial x(t = 0) = x(0) = x0

(3.1)

x(0) _ = x_ 0

(3.2)

o ante una velocidad inicial:


3.2.1

12

Respuesta libre sin am ortiguam iento c = 0

En este caso se tiene el problema de valores iniciales: mÄ x + kx = 0 bajo las condiciones 3.1 y 3.2. La solución general está dada por: x(t) = A cos(! n t) + B sin(! n t) con

r

k m Las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 3.1 y 3.2: x_ 0 x(t) = xo cos(! nt) + sin(! n t) !n que puede ser simplicada en !n =

x(t) = X0 sin(! nt + ') con X0 =

s

x20

+

µ

x_ 0 !n

(3.3)

(3.4)

¶2

xo x_ 0 Al derivar la ecuación 5.2 aparecen las expresiones para la velocidad y la aceleración: ³ ¼´ x(t) _ = ! nX0 sin ! nt + ' + 2 xÄ(t) = ! 2nX0 sin (! n t + ' + ¼) tan ' = ! n

Observación 1 La velocidad está adelantada en 90o respecto del desplazamiento. Observación 2 La aceleración está dealantada en 180orespecto del desplaza-

miento Observación 3 jx(t)j _ = ! n jx(t)j Observación 4 jÄ x(t)j = ! 2n jx(t)j

Observación 5 la frecuencia ! n solo depende del sistema (k; m). Al aumentar la

rigidez k tambien aumenta la frecuencia natural al aumentar la masa la frecuencia natural disminuye.


3.2.2

13

M asa-resorte en com presión

Retomando la solución (3.3) para un sistema masa resporte (en posición vertical) y recordando que la deformación estática xst del resorte ante el peso de la masa es: kxst = mg Sustituyendo: !n =

r

g xst

Veremos más tarde que esta formula tiene aplicación preactica en la base de máquinas que deben ser aisladas.

3.2.3

Respuesta libre con amortiguam iento c > 0

En este caso el problema de valores iniciales es: mÄ x + cx_ + kx = 0

(3.5)

con las condiciones 3.1 y 3.2. La solución general de 3.5 es de la forma: x = ert

(3.6)

Observación 6 Notese que r puede ser un numero complejo. En tal caso x tambi-

en lo será. Fisicamente la parte real de la solución x corresponderá al desplazamiento medible. Observación 7 Recordemos que eiµ = cos µ + i sin µ. Osea, para que el sistema

vibre debe tener raices con parte compleja no nula. Sustituyendo3.6 en 3.5: ¡

¢ mr 2 + cr + k x = 0

La que tiene la solución trivial x = 0. En otro caso: mr 2 + cr + k = 0

(3.7)


14

la que tiene la solución: r³ c ´2 c ¡ = ¡ + 2m r 2m ³ c ´2 c = ¡ ¡ ¡ 2m 2m

r1 r2

k m k m

(3.8)

Para que el sistema vibre, ri deben ser complejos. Ello implica: ³ c ´2 k > m 2m

La situación extrema ocurre cuando c = cc (amortiguamiento critico) donde cc = 2m! n con ! n de nida en 3.3. A n de normalizar las ecuaciones se de ne el factor de amortiguamiento como: »=

c cc

con lo que 3.8 se reescribe: r1 = ¡»! n + ! n r2 = ¡»! n ¡ ! n

q

q

»2 ¡ 1 »2 ¡ 1

Vibraciones libres con am ortiguam iento subcritico » < 1

Dado que las raices de la ecuación caracteristica 3.7 son complejas, las soluciones son del tipo: x(t) = e¡»! nt (A cos(! n t) + B sin(! nt)) las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 3.1 y 3.2: µ ¶ x_ 0 + x0»! n ¡»! nt x(t) = e xo cos(! dt) + sin(! dt) !d


15

donde la frecuencia natural amortiguada ! d es de nida por: q !d = !n 1 ¡ » 2 que puede ser simplicada en

x(t) = X0e¡»!n t sin(! dt + ') con X0 =

s

x20

tan ' = ! d

+

µ

x_ 0 + x0 »! n !d

xo x_ 0 + x0 »! n

(3.9) ¶2

Observación 8 El amortiguamiento implica que las vibraciones libres dismin-

uyen exponencialmente a 0 en el tiempo. Observación 9 La frecuencia de la vibración libre ! d es menor que la del sistema conservativo asociado (! n ). Observación 10 En general, » es menor al 20%, por lo que ! d ¼ ! n: E stim ación rápida del am ortiguamiento

Una forma sencilla de estimar el factor de amortiguamiento » es a través del decremento logaritmico, el cual se de ne como: µ ¶ Xn ± = ln Xn+1 donde Xn y Xn+1 corresponden a las maximas amplitudes entre el inicio y el n de un periodo cualquiera (ver gura xx). Para tales instantes sin(! dt + ') = 1, entonces: ³ ¡»! t ´ n e ± = ln ¡»! = »! n Td = p2¼» 2 n (t+Td ) e

1¡»

Observación 11 Td corresponde al periodo de la vibración:

Td =

2¼ !d


16

Figura 3.8: Medición del decremento logaritmico Observación 12 Para amortiguamiento bajo, ± ¼ 2¼» E jem plo 3 La rigidez de una viga empotrada a una carga aplicada en su extremo 3

bh libre es k = 3EI l 3 . Para vigas rectangulares: I = 12 . el modulo de elasticidad del acero es E = 207 ¢ 109 N=m2 , ½ = 7850Kg=m3 . La viga del ejemplo tiene las siguientes dimensiones: l = 0:28m, h = 1:6 ¢ 10¡3 m; b = 2:6 ¢ 10¡2 m. Las masa en el extremo (el sensor) es de 0.21 Kg, el cable, 0.12 Kg. Mida la frecuencia natural y el decremento logaritmico. Calcule el factor de amortiguamiento y compare con la frecuencia natural teorica.

Vibraciones libres con am ortiguam iento critico » = 1

Dado que en este caso la raiz r de la ecuación caracteristica 3.5 es real, no hay respuesta de tipo vibratorio. Ella está dada por: r1 = r2 = ¡»! n x(t) = e¡»!n t (A + Bt) e introduciendo las condiciones iniciales: x(t) = [x0(1 + ! n t) + x_ 0 ] e¡»! n t


17

100 90 80 70

posición (mm)

60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

tiempo (s)

Figura 3.9: Respuesta típica de un sistema super amortiguado Vibraciones libres con am ortiguam iento supercrítico

r1 ; r2 = ¡»! n § ! n x(t) = e

¡»!n t

q

»2 ¡ 1

µ q ¶ µ q ¶¸ 2 2 A sinh ! n » ¡ 1 + B cosh ! n » ¡ 1

Observación 13 El sistema tiende a su equilibrio. E jercicio 1 Un ejemplo clásico de un sistema super amortiguado son las puertas

autocerrantes. Constuya un modelo de una y mida el tiempo en que una puerta regresa a su equilibrio. Ajuste su modelo hasta obtener una buena correlación.

3.3

A nálisis de estabilidad

La forma general de la respuesta de un sistema regido por la ecuación: mÄ x + cx_ + kx = 0


18

m

k

k

L/2

Figura 3.10: Ejemplo de sistema condicionalmente estable es x(t) = Aest donde s = ¾ + j! Para que el sistema sea inestable, basta con que la parte real de s sea positiva. E jem plo 4 Dado el sistema de la gura 3.10, analizar su estabilidad.Del equi-

librio de momentos:

X

M = I Äµ

l l k sin µ cos µ + mgl sin µ = ml2 Äµ 2 2 cuya versión linealizada es: ml2 Äµ + (kl ¡ 2mg)µ = 0 entonces k¤ kl ¡ 2mg =¡ ¤ m 2ml basta con que kl ¡ 2mg < 0 para que la raiz r sea positiva lo que convierte al sistema en inestable. r2 = ¡

E jercicio 2 Construya un sistema similar al de la gura y veri que la conclusión

anterior.


19

Fo sin !t

Figura 3.11: Excitación armónica

3.4 3.4.1

Vibraciones forzadas Vibraciones forzadas con excitación arm ónica mÄ x + cx_ + kx = Fo sin !t

la respuesta del sistema está dada por: x(t) = Ae¡»! nt sin(! d t ¡ ') + X0 sin (!t ¡ Á) A y ' se determinan a partir de las condiciones iniciales. La respuesta estacionaria: X0 =

F0 r h k

1

1¡(

! !n

)

i 2 2

+[2» !!

n

]

2

(3.10)

2» !!n tan Á = ³ ´2 1 ¡ !!n Observación 14 La respuesta transiente desaparece en el tiempo (e¡»! nt ). Observación 15 La respuesta estacionaria tiene la misma frecuencia que la fuerza

excitadora (!) Observación 16 El angulo de desfase cuando ! = ! n es de 90o . Esta condición

es frecuentemente utilizada para identi car frecuencias naturales.


20

1.5

1

posición (mm)

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 0

2

4

6

8

10

tiempo (s)

Figura 3.12: Respuesta total del sistema a una excitación armonica Al derivar la ecuación 3.10 con respecto a la frecuencia de excitación se obtiene el valor máximo de la vibración y la frecuencia a la que ello ocurre: F0 1 p k 2» 1 ¡ » 2 q = ! n 1 ¡ 2» 2

Xomax = ! Xomax

(3.11)

Si el factor de amortiguamiento » es pequeño:

F0 1 k 2» ¼ !n

Xomax = ! Xomax

notese que Fk0 corresponde a la respuesta (estática) a una fuerza estática. Asi, es conveniente de nir el factor de ampli cación como Q=

1 2»

con lo que la ecuación 3.11, es normaliza respecto de la respuesta estática: Xomax = X!=0 Q

21


3

10

2

Respuesta normalizada

10

1

10

0

10

-1

10

-2

10

0

1

2 3 Frecuencia normalizada

4

5

Figura 3.13: Amplitud de la respuesta estacionaria normalizada (c/r a cuencia normalizada (c/r a ! n)

Fo k )

vs fre-

El grá co 3.13 muestra la amplitud de la respuesta estacionaria vs la frecuencia y para varios valores de amortiguamiento. Observación 17 Se aprecia que cuando la frecuencia de la excitación está cercana al de la frecuencia natural la respuesta tiende a crecer bastante. A este fenomeno de amplicación se le conoce como resonancia Observación 18 La condición de resonancia es comunmente culpable de altas

vibraciones en equipos y estructuras sujetas a cargas dinámicas. Observación 19 En el caso de un sistema conservativo (» = 0) si la frecuencia de

excitación coincide con la frecuencia natural el desplazamiento tiende al in nito. Observación 20 Notese que si la frecuencia de excitación es mucho mayor que la frecuencia natural del sistema la respuesta tiende a 0. Este es el principio de los sismografos, velocimetros de bobina, steady-cams, etc. Cabe la pregunta:¿Es la hipotesis de 1 grado de libertad aun valida?.


22

t=gt t=0 dx

Figura 3.14: Método del algebra compleja

3.4.2

M étodo del algebra com pleja

Este método facilita el calculo de la respuesta forzada estacionaria. Como sabemos que la respuesta estacionaria a una fuerza sinusoidal es de la forma: x(t) = x0 sin (!t + Áx ) ella tambien podria ser expresada como la parte imaginaria de un vector complejo x que gira con frecuencia ! (ver gura 3.14): x = x0 cos (!t + Áx ) + jx0 sin (!t + Áx ) = x0 ej!t+Áx ¡ ¢ Aplicando eñ mismo concepto a f = f0 sin !t + Áf : ¡ ¢ ¡ ¢ f = f0 cos !t + Áf + jf0 sin !t + Áf = f0 ej!t+Áf

y sustituyendo en la ecuación del movimiento: ¡ 2 ¢ ¡! m + j!c + k x = f

y despejando:

x=

1 f ¡! 2 m + j!c + k

(3.12)


23

xb x

Figura 3.15: Sistema excitado por la base Observación 21 Notese que cuando ! << ! n la respuesta tiene aproximada-

mente la amplitud de la respuesta estacionario F0 =k. Se habla entonces de la zona resorte donde el efecto de la masa y el amortiguador son despreciables. Observación 22 Cuando ! >> ! n el termino ! 2 m domina el denominador en

(3.12) y la respuesta es básicamente la de una masa: f = mÄ x con x Ä = ¡! 2 x. Hablamos entonces de la zona masica.

3.4.3

Vibraciones forzadas por m ovim iento de la base

Considerese el sistema de gura 3.15. En este caso no hay fuerzas externas pero se conoce el desplazamiento de la base xb . mÄ x + c(x_ ¡ x_ b ) + k(x ¡ xb ) = 0

(3.13)

O reordenando: mÄ x + cx_ + kx = cx_ b + kxb | {z } f¤

Si la exictación es de tipo armónico:

xb = Xb sin !t Entonces f ¤ (t) = c!Xb cos !t + kXb sin !t p ¢ ¡ = Xb c2 ! 2 + k2 sin !t + Áf ¤ | {z } F0¤

(3.14)


24

M m=0, l,d

Figura 3.16: Movimiento de la base y aplicando el resultado (3.10): p Xb c2! 2 + k 2 s X0 = k

1¡

³

! !n

1 ´2 ¸2

h i2 + 2» !!n

Los esfuerzos a que están sometidos los elementos conectores a la base dependen del movimiento relativo entre la base y la máquina. Es por ello que es conveniente reescribir la ecuación 3.13 como: mÄ xr + cx_ r + kxr = ¡mÄ x | {z }b

(3.15)

Carga efectiva

donde xr es el movimiento relativo entre base y máquina. E jem plo 5 Determine el esfuerzo a que está sometida la viga circular de di-

ametro d de la gura si la base se mueve segun la ley 3.14. Considere solo el movimiento estacionario.La rigidez de una viga empotrada a una fuerza aplicada en su extremo está dada por: 6EI l3 Para el caso estudiado la ecuación del movimiento (3.15) es: k=

mÄ xr + kxr = ¡mÄ xb 2 = m! Xb sin !t


Entonces xr = Xb

³

1¡ Y el esfuerzo máximo que sufre la viga: ¾ = kxr =

3.4.4

! !n

³

ld=2 I

6Ed=2 l2

25

´2

! !n

³

´2 sin !t

! !n

1¡

³

´2

! !n

´2 Xb

Aislam iento de vibraciones

El aislamiento de vibraciones puede tener 2 objetivos alternativos: aislar a la máquina de las vibraciones ambientales o reducir las vibraciones que la misma máquina genera en su entorno. Aislam iento del entorno

Sea una máquina que genera fuerzas de la forma: f = F0 sin !t Se desea que sus efectos sobre otras máquinas sean minimos. Se requiere especicar un elemento de rigidez y amortiguamiento para tal n. Sea fb la fuerza que aplica la máquina sobre su fundación: fb = kxr + cx_ r v u u u Fb = F0 u u t |

h i2 1 + 2» !!n ³ ´2 ¸2 h i2 ! ! 1 ¡ !n + 2» ! n {z Tr

}

(3.16)


Transmisibilidad

10

10

26

1

0

-1

10 -1 10

0

1

10 Frecuencia normalizada

Figura 3.17: Transmisibilidad

10

Ft F0

Observaciónp 23 La reducción de fuerzas transmitidas a la fundación se logra

solo si

! !n

>

2.

Observación 24 Los elementos aislantes con poca amortiguación som más efec-

tivos para aislar pero dado que la frecuencia excitadora es mayor que la frecuencia natural, ello implica que la máquina atravesará la resonancia tanto al partir como al detenerse. Si la amortiguación es insu ciente se pueden producir resonancias importantes (y grandes esfuerzos). Observación 25 Mientras mayor sea la razon

! !n

menor es la transmisibilidad. Ello implica que el diseñador busca minimizar la frecuencia natural con elementos elasticos con menor rigidez. La limitante aparece porque al ser baja la rigidez, la de exión estática puede ser demasiado importante.


Excitación

Sistema Lineal

27

Respuesta

Figura 3.18: Aislam iento de la m áquina

Considerese la situación descrita en la gura xx. Se desea que el movimiento de la máquina sea minimo. Especi que las caracteristicas del elemento aislante. v i2 u h u 1 + 2» !!n u X0 = Xb u (3.17) u ³ ´2 ¸2 h i2 t ! ! 1 ¡ !n + 2» ! n Notese que la expresión es similar a la de la ecuación 3.16.

3.5

3.5.1

Función de Trasferencia y Función de R espuesta en Frecuencia Función de transferencia

Se de ne como función de transferencia de un sistema lineal a la relación que hay entre la respuesta del sistema y la excitación aplicada al mismo, en el dominio de la transformada de Laplace, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero: H(s) =

1 1=m X(s) = = 2 2 F (s) ms + cs + k s + 2»! n s + ! 2n

(3.18)

Observación 26 Notese que la función de transferencia de nida en 3.18 utiliza

el desplazamiento como respuesta del sistema. Támbien se de nen la función de transferencia en velocidad (movilidad) y en aceleración (acelerancia).

CA PÍ TUL O 3. SISTEM A S CON UN GRA DO DE L IB ERTA D Tipo

Denom inación

Directa Flexibilidad Dinámica Movilidad Acelerancia . Inversa Rigidez Dinámica Impedancia Masa Efectiva

28

De nición

X/F V/F A/F F/X F/V F/A

Tabla 3.1: Funciones de Transferencia Observación 27 Támbien se han de nido funciones de transferencia inversa. El-

lo corresponde a la relación entre la excitación al sistema y la respuesta. Si se considera el desplazamiento se habla de rigidez dinámica si se usa la velocidad se de ne la impedancia si se utiliza la aceleración se habla de masa efectiva

3.5.2

Función Respuesta en Frecuencia, FRF

Se de ne como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una excitación armónica: H (!) =

X(!) = jH (!)j ejÁ(!) F (!)

Observación 28 El uso de la transformada de Laplace permite localizar los po-

los y ceros del sistema a n de estudiar su estabilidad. Observación 29 La FRF es facilménte obtenible experimentalmente.

Las FRF son representadas usualmente en las siguientes formas: ² Modulo vs frecuencia y fase vs frecuencias, conocidos como Diagramas de Bodé. ² Parte real vs parte imaginaria, conocido como Diagrama de Nyquist. ² Parte real vs frecuencia y parte imaginaria vs frecuencia. Usualmente los diagramas de Bodé utilizan escalas logartimicas para las ordenadas. Ello facilita la visulaización pues las FRFs usualmente incluyen varios

29


Figura 3.19: Viga simplemente apoyada ordenes de magnitud. Una forma estandard de escala logaritmica usa los decibeles (dB). Un dB se de ne como: dB = 20 log

X Xref

donde Xref es un valor de referencia. {agregar lo del curso de vibraciones} E jercicio 3 Leer el articulo [6]. Elabore un programa en MATLAB que permita

repetir los gra cos incluidos en el articulo. Conteste: Porque es útil medir las FRF?

3.6

M étodos para m odelar sistem as grado de libertad

exibles con 1

En caso de que un sistema tenga masa y rigidez distribuida en forma homogenea (lo que implica que tiene 1 grados de libertad) y se desee modelar con un solo grado de libertad (asumiendo las limitaciones de tal modelo a priori), es necesario suponer la forma en que el sistema se deformará. Dicha forma o modo de vibrar debe cumplir con las condiciones de isibilidad, vale decir que las restricciones geometricas a las que está sometido el sistema deben cumplirse. E jem plo 6 Se desea construir un modelo de la viga simplemente apoyada de la

gura 3.19:Una forma compatible de deformación es un semi-seno: ³ ¼x ´ y(x) = Y0 sin l

(3.19)

donde x es la posición medida desde un extremo y l es la distancia entre apoyos. Tal deformada se muestra en gura 3.20:Una forma alternativa es suponer una parabola: y(x) = Y0

xx¡l l l

(3.20)


30

Figura 3.20: Modo de deformación asumido

Figura 3.21: la que a simple vista es muy similar a lo mostrado en la gura 3.20. Una forma incompatible se muestra en gura. Al suponer una forma de vibrar, la deformación del sistema puede ser expresada como el producto entre una función que depende de la posición (la forma de vibrar) y otra que depende del tiempo: y(x; t) = Y (x)q(t) Observación 30 Notese que Y (x) ha sido asumida. q(t) es incognita.

3.6.1

M étodo de R ayleigh

Para conseguir V (t) que incluye la frecuencia natural del sistema. Se debe aplicar la siguiente igualdad: Energía cinética máxima = Energía Potencial Máxima

(3.21)

E jem plo 7 Determinar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado

en gura 3.22: y(t) = Yo sin ! nt y(t) _ = Yo! n cos ! n t 1 2 1 Ecmax = my_ max = mYo2 ! 2n 2 2


31

Figura 3.22: Sistema masa resorte 1 Epmax = kYo2 2 Según el método 1 1 mYo2 ! 2n = kYo2 2 2 por lo tanto ! 2n =

k m

(3.22)

E jem plo 8 Conseguir la frecuencia natural de la viga de gura 3.19 asumiendo

una deformación del tipo de nido en ecuación 3.19. Tratandose de un sistema conservativo de un grado de libertad q(t) toma la forma: q(t) = sin ! nt ver ecuación 5.2. Entonces: y(x; t) =

³ ¼x ´ Y0 sin | {z l }

sin ! n t

deformación máxima Y (x)

por lo que:

y(x; _ t) = ! n Y (x) cos ! n t la energía cinética máxima está dada por: Ecmax

1 = 2 1 = 2

ZM Zl

2 @m y_max

Y 2 (x)

m @x l


32

la energía potencial máxima: 1 Epmax = 2

Zl

EI

µ

@2y @x2

¶2

´2

@x

@x

Y usando la igualdad3.21 resulta

! 2n =

Rl

EI Rl

³

@2 y @x2

Y 2 (x) ml @x EI = ¼4 3 ml EI ¼ 97:4 3 ml En caso de utilizar la hipotesis de deformación 3.20 el resultado es: ! 2n = 120

EI ml3

lo que implica una estimación de la frecuencia natural 11% mayor que en el primer caso. Observación 31 Si la hipotesis de deformación coincide con el modo de vibrar

real, el método de Rayleigh entrega el valor exacto de la frecuencia natural. Si no es el caso, la estimación será siempre mayor que el valor real. Ello se explica porque los errores de la hipotesis añaden restricciones al movimiento del sistema, rigidizandolo. E jem plo 9 Estime la frecuencia natural del sistema mostrado en gura xx. Com-

pare resultados si se considera o no la masa m de la viga. Datos: ancho b = 10cm, espesor h = 1cm, E = 2:1E11 Pa, ½ = 7800 Kg/m3 , M = 20Kg, L1 = 1m, L2 = 12 L1 (L = 32 L1 ). Usando el método de Lagrange y asumiendo una deformación del tipo: y(x; t) = sin ! n t sin

¼x 3 para 0 < x < L1 L1 2


Se tiene que: ymax(x) = sin

¼x L1

2 y_max (x) = ! 2n sin2

¼x L1

y Epmax Ecmax

1 = 2 1 = 2

Z Z

3 2 L1

EI

0 3 2 L1

0

µ

2 y_ max

Derivando, µ

@2y @x2

¶2

=

µ

@ 2 ymax @x2

¶2

dx

¯ 1 m 2 ¯ dx + M y_max x= 32 L1 L 2

¼ L1

¶4

sin2

¼x L1

entonces Epmax

EI = 2

pero Z

3 2 L1

0

¼ L1

¶4 Z

3 2 L1

sin2

0

¼x dx L1

1 1 sin2 udu = ¡ cos u sin u + u 2 2

cambiando variables u = Z

µ

¼x L1 ,

du =

¼dx 3 L1 ; cos 2 ¼

=0

Z 3 ¼x L1 2 ¼ 2 sin sin udu dx = L1 ¼ 0 L1 1 3 = ¼ ¼ 22 3 = L1 4 2

entonces Epmax

µ ¶4 EI ¼ 3 = L1 2 L1 4 1 3¼ 4 EI = 2 4 L31

33


y µ ¶ Z 3 1 Ecmax 1 m 2 L1 2 ¼x 3 2 dx + = sin M sin ¼ ! 2n 2L 0 L1 2 2 1 1m3 L1 + M = 2µ L4 2 ¶ 1 3 L1 = m+M 2 4L igualando Epmax y Ecmax : ! 2n =

3¼ 4 EI 4 L31 3 L1 m 4 L

+M

evaluando para los valores dados (considerando la masa m de la viga): 3

10¡1 ¢ (10¡2 ) = 1750Nm2 12 m = 10¡1 ¢ 10¡2 ¢ 1:5 ¢ 7800 = 11:7Kg

EI = 2:1 ¢ 1011 ¢ entonces ! 2n

3¼ 4 4 1750 3 1 4 1:5 11:7 + 20

=

= 4946rad2 =s2

fn1 = 11:19Hz Si no se considera la masa de la viga: ! 2n

=

3¼ 4 4 1750

20 fn2 = 12:72Hz

= 6393rad2 =s2

osea un error ²% =

µ

¶ fn2 ¡ 1 100 = +13:7% fn1

34


3.6.2

35

M étodo de L agrange d dt

µ

@Ec @ q_

¶

+

@Ep = Qq @q

E jem plo 10

y(x; t) = Y (x)q(t) y(x; _ t) = Y (x)q(t) _ Y (x) = Y 0 sin

1 Ec = 2

ZM

¼x l

y_ 2 @m

Zl 1 m = Y 2 (x)V_ (t)2 @x 2 l 2 2 mY0 q_ = 4

Epmax

¶2 @2y @x EI @x2 Zl ³ 1 4 EI 2 ¼x ´2 = ¼ 4q Y 0 sin @x 2 l l EI¼ 4 q2 Y02 = 4l3

1 = 2

Zl

µ

Aplicando la ecuación 3.23 resulta: m qÄ + |{z} m¤

Y aprovechando el resultado 3.22:

EI¼4 q=0 l3 } | {z k¤

! 2n = ¼4

EI ml3

(3.23)


3.7

36

Vibraciones forzadas -excitación arbitraria-

Como se mencionó anteriormente, el tener un sistema que sigue la ecuación: mÄ x + cx_ + kx = f es un sistema lineal. Ello permite explotar el principio de superposición. Asi: ² la fuerza f es descompuesta usando una serie de Fourier, ² luego se considera cada componente separadamente para calcular la respuesta del sistema a ella (recordemos que cada componente es una excitación armónica) ² para nalmente sumar los aportes de cada componente.

3.7.1

E spectro en frecuencias

Una señal periodica, de periodo T0 puede ser expresada como: x(t) = a0 +

1 X

Xn sin (n2¼f0 t + 'n )

i=1

con

1 a0 = T0

Xn = tan 'n = an

bn

ZT0

x(t)dt

0

p

a2n + b2n

an bn

2 = T0

ZT0

x(t) cos (2¼nf0 t) dt

2 = T0

ZT0

x(t) sin (2¼nf0 t) dt

0

0

Una forma practica de analizar señales es provista por la representación de su contenido en frecuencias. Vease gura 3.23.


37

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo

Figura 3.23: Señal temporal y su descomposición espectral Observación 32 Notese que el espectro de una función periódica solo contiente

”rayas” a multiplos de la frecuencia f0 =

1 . T0

Observación 33 Una función no periódica puede ser considerada como una fun-

ción periódica de periodo in nito T0 = 1. En tal caso la separación entre las rayas tiende a cero y se habla de un espectro continuo.

3.7.2

M étodo de D uham el

Para determinar la respuesta de un sistema a una excitación arbitraria, támbien se puede descomponer la fuerza excitadora f (t) en una serie de impulsos seguidos, calcula respuesta a cada impulso y luego sumar cada respuesta parcial. Una fuerza de tipo impulso es una fuerza que se aplica durante un instante muy pequeño. El impulso se de ne como: Z I = f (t)dt Considerando la conservación del momentum: Z m¢x_ = f (t)dt La acción del impulso es comunicar una velocidad inicial x(0 _ +) =

I m


38

1

0.8

0.6

0.4

f(t)

0.2

0

-0.2

ε

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo

Figura 3.24: Impulso por lo que la respuesta del sistema será de la forma: x(t) =

I e¡»! nt sin(! dt) m !d

Respuesta im pulsional

Se de ne como la respuesta a un impulso unitario: h(t) =

e¡»!n t sin(! dt) m! d

Convolución

La contribución de un impulso aplicado en el instante t = ´ a la respuesta en el tiempo t es: x(t) = f (´)d´h(t ¡ ´) Si usa el principio de superposición, la respuesta total está dada por: Z t x(t) = f (´)h(t ¡ ´)d´ = f (t) ¤ h(t)

(3.24)

0

que es conocida como la integral de Duhamel. ¤ indica el producto de convolución.


39

Observación 34 La respuesta calculado con la ecuación 3.24 corresponde a la

transiente + la estacionaria. E jem plo 11 Calcule usando la convolución la respuesta de un sistema conserva-

tivo, en reposo inicial, y exitado por una fuerza f (t) = F0 sin !t

x(t) = =

Z

Z

t

f(´)h(t ¡ ´)d´

0 t

F0 sin !´ 0

1 sin(! n (t ¡ ´))d´ m! n

Usando sin A sin B = 21 [cos (A + B) ¡ cos (A ¡ B)],

µZ t ¶ Z t F0 x(t) = cos (!´ + ! n(t ¡ ´)) d´ + cos (!´ ¡ ! n (t ¡ ´)) d´ 2m! n 0 0 µ ¶ F0 =k ! = sin ! n t ³ ´2 sin !t ¡ !n ! 1 ¡ !n

E jercicio 4 Demuestre este resultado usando las ecuaciones ya estudiadas.

C apítulo 4 A nálisis de Fourier 4.1

Introducción

En el lado derecho de la gura 4.1 se aprecia la vibración que es medida en las máquinas. Ella es la suma de diversas causas, entre las que se encuentran el desbalanceamiento, el desalineamiento, las vibraciones de los engranajes, por ejemplo. Cada una de estos problemas genera señales periodicas cuya frecuencia es característica, lo que permite diagnosticarlas. Aparece entonces el problema de separar las diferentes frecuencias que aparecen en una misma señal (análisis espectral). La misma información pero en un grá co 3D es mostrada en gura 4.2. Se aprecia como cada componente de la señal medida puede ser descrita por un valor de amplitud y una frecuencia asociada. Finalmente, la señal es mostrada el dominio frecuencia ( gura 4.3):

4.2

A nálisis de Fourier

La herramienta matématica que permite la descomposición de una señal en sus componentes fundamentales es la transformada de Fourier. Ella puede ser continua para señales en t 2 (¡1; 1) o discreta para señales en t 2 (0; T ) En la vida real solo se mide durante un cierto periodo de tiempo [0; T ] y en forma discreta (vease gura 4.6).

40

41

CA PÍ TUL O 4. A NÁ L I SI S DE FOURIER

Desbalanceamiento

1

1

0

0.8 0.6

-1 0

0.05

+

0.1

0.15

0.2

0.4

Desalineamiento

1

0.2

=

0

0 -0.2

-1 0 1

0.05

0.1

+

0.15

0.2

-0.4

Engranajes

-0.6 -0.8

0

-1 -1 0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.05

Tiempo

0.1

0.15

Tiempo

A

Fr ec ue

nc ia

po

A

Ti em

ña lm

ed

id a

Figura 4.1: Vibración global

Se

0

Figura 4.2: Representación tiempo-frecuencia

0.2

42

Amplitud


Frecuencia Figura 4.3: Espectro de la señal

Figura 4.4: Poder de diagnosis de un espectro

Transformada de Fourier Señal temporal

Espectro

Figura 4.5: Transformada de Fourier

43


T 1

0.5

To

0

-0.5

-1 0

0.5

Tiempo

1

1.5

Figura 4.6: Muestreo discreto

4.2.1

Nociones básicas

La transformada continua de Fourier para la frecuencia ! se de ne como: Z 1 X(j!) = x(t)e¡j!t dt

(4.1)

¡1

y su inversa por: x(t) =

Z

1

X(j!)ej!tdf

¡1

Notese que X(j!) es una cantidad compleja. Observación 35 La formula 4.1 permite el uso de frecuencias positivas y nega-

tivas. Lo común que solo las frecuencias positivas tengan sentido físico. En tal caso se utiliza el espectro a un lado. Si la señal es muestreada N veces cada 4t segundos, entonces k-esima línea de la transformada discreta de Fourier está de nida por: N n 2 X X (k) = x(n)e¡j2¼k N , k = 1; ::; N=2 N n=1

X(0) =

N 1 X x(n) N n=1

44


f ∆f ∆f=1/T

Figura 4.7: Muestreo y espectro discretos Observación 36 Notese que la componente estática (f = 0) corresponde al valor

promedio. La frecuencia asociada a la k-esima línea es k=N. El paso entre líneas (paso frecuencial) está dado por: 4f =

1 T

Como se verá a continuación, hay una serie de parámetros que deben ser tomados en cuenta para utilizar adecuadamente el espectro de una señal.

4.2.2

Paso frecuencial

Consecuencia del tiempo de muestreo limitado y la discretización de la señal es que el espectro estará compuesto por un numero limitado de lineas, y la distancia entre cada una en frecuencia 4f está dada por: 4f =

1 T

donde T es el periodo de muestreo de nido por la gura 4.6. Notese que no tiene nada que ver con el periodo T0 de la señal. Mientras más corto es el periodo de muestreo, mayor será el paso en frecuencias. Ello puede suscitar problemas para el diagnostico como se indica en gura ?? , donde 2 componentes de frecuencias muy similares han sido confundidas por un paso frecuencial muy pobre. Al realizar un zoom sobre la banda frecuencia sospechosa se logra discriminar.


45

Figura 4.8: Resolución frecuencial pobre

4.2.3

Aliasing

Un problema que aparece a causa del muestreo discreto es el aliasing, vale decir cuando una componente a alta frecuencia es confundida con una de baja a causa de que la frecuencia de muestreo (la velocidad con la que se adquieren puntos de la señal temporal) sea muy baja. El efecto se muestra en gura ?? . Notese que en el caso superior hay su cientes puntos por cada periodo de la señal para que la transformada discreta de Fourier capte la componente real f0. En el caso de la parte inferior hay solo un punto por cada ciclo de la señal obviamente es imposible recuperar la frecuencia real y la que capta el algortimo de Fourier es al de la frecuencia fantasma fa = 1=Ta . Como solución al problema se deben tomar 2 medidas: ² Aplicar una frecuencia de muestreo fs que cumpla con el teorema de muestreo de Nyquist fmuestreo > ¸fmax donde ¸ es una constante mayor que 2 (usualmente se usa 2.56). ² Aplicar un ltro analogo pasa-bajos (o ”anti-aliasing”) que extraiga todas las componentes superiores a fmax. Observación 37 En la practica industrial, basta con con gurar la frecuencia

máxima de análisis del colector para que los ltros (análogos y digitales) se ajusten. Obviamente, al ltrar las componentes superiores se pierde la capacidad de detectar problemas que generen altas frecuencias.

46


Figura 4.9: Frecuencia de muestreo pobre

4.2.4

E fecto de rendija

Se tiene que 4f =

1 T

por lo que para poder mostrar una componente a f0 = f0 sea entero 4f

1 T0

es necesario que: (4.2)

Sea T = ®T0 donde ® es el numero de ciclos de la señal que son considerados. Entonces: f0 = 4f

1 T0 1 ®T0

=®

De aqui se ve que la condición 4.2 se cumple para ® entero. Tal situación ocurre en la parte superior de la gura 4.10. La amplitud real A es mantenida por el algoritmo de la transformada de Fourier. En caso de tomar ® = 1:5 ocurre la situación de la parte inferior de la gura: la componente ha sido dividida en 2 de menor amplitud (0:64A en este caso).

47


A

0.64A

Figura 4.10: Efecto de rendija

Figura 4.11: Hoja técnica de un acelerometro industrial

48

Aceleración


50 µg Frecuencia Figura 4.12: Componentes escondidas bajo el ruido

4.2.5

Ruido

Para el ejemplo de la gura 4.11, el solo el ruido eléctrico del sensor es de 50 ¹g (491 ¹m=s2 ), lo que implica que cualquier señal debajo de ese nivel no será distinguible. Además, no se ha tomado en cuenta el ruido de los otros componentes de la cadena de medición.

4.2.6

E fecto de fuga

El hecho de tomar un periodo discreto de la señal temporal [0; T ] implica en general que no se tomará un multiplo exacto del periodo propio de la señal T0 . Tal situación es descrita en guras 4.13 y 4.14. Para tratar el problema es necesario aplicar una ventana antes de aplicar el algoritmo discreto de Fourier. Gracias a ella se elimina la discontinuidad entre un periodo y otro de la señal y se logra que el intervalo [0; T ] sea támbien la frecuencia con la cual se repite la señal (a nes de la FFT), lo que disminuye el efecto de fuga.

4.3

D iscretización

La señal analógica es transformada en señal digital por el conversor analogodigital (ADC) el cual es caracterizado por el numero de bits n con que cuenta. Actualmente se utilizan usualmente los ADC de 16 bits. La señal pueden tomar 2n¡1 valores distintos (mas el signo).

49


Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 4.13: Efecto de truncación nulo

Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 4.14: Efecto negativo de truncación

50


Señal real T Señal adquirida × =

Ventana Señal de entrada para FFT

Figura 4.15: Aplicación de ventanas La frecuencia de muestreo indica la cantidad de puntos que puede generar por unidad de tiempo (en el caso de la gura 4.16 se crean 51200 puntos/s). Un parametro importante y que usualmente depende del es el fondo de escala que limita el voltaje aceptable para el conversor (en la gura, la señal debe estar en el rango [¡2:5; 2:5] V). Tomemos el caso mostrado en gura 4.18. La señal solo utiliza 0:5=5 = 10% del fondo de escala. Dado que el ADC es de 16 bits solo se aprovechan

Señal Analógica

ADC 16 bits 51.2 KHz +/- 2.5 Vpeak

Señal Digital

Figura 4.16: Conversión análogo-digital

51

CA PÍ TUL O 4. A NÁ L I SI S DE FOURIER +2.5V

+32768

+25G

-2.5V

-32768

-25G

Figura 4.17: Fondo de escala y rango dinámico +2.5V

0.5V

-2.5V

Figura 4.18: Rango dinámico 32768/10=3276 bits. Ello implica que el rango dinámico efectivo DR es: 3276 = 70 dB 1 Si hubiese utilizado el 100% del fondo de escala (lo que puede truncar la señal digital): DR = 20 log

32768 = 90 dB 1 La calidad de la conversión támbien depende del tipo de señal. Por ejemplo una señal de desplazamiento tiende a ”reducir” las componentes a alta frecuencia, por lo que estas componentes podran aprovechar muy pocos de los bits disponibles para ese nivel de señal. Por otro lado, el hecho de tener componentes grandes en baja frecuencia obliga a agrandar la escala ( gura 4.19). DR = 20 log

4.4

C om ponente D C

Aun si la parte dinámica de la señal es pequeña, es posible que el ADC se sature debido a la existencia de una componente DC en la señal (ver gura 4.20). Para

52

Amplitud


Velocidad

Rango Rango

Desplazamiento Frecuencia

Figura 4.19: Rango dinámico y tipo de señal 0.5V

+2.5V

+32768

-2.5V

-32768

DC

Figura 4.20: Efecto de la componente DC solventar tal situación se debe aplicar un ltro analogo DC antes del ADC.

4.5

Parám etros de adquisición

selecciona: ² Ancho de banda ² Numero de líneas ² Tipo de ventana. Supongamos que se tomó una frecuencia máxima de 5 KHz, con 3200 líneas. Se tiene entonces: ² Resolución en frecuencia: 5000 Hz = 1:5625 Hz/línea 3200 líneas

53

CA PÍ TUL O 4. A NÁ L I SI S DE FOURIER 1

1 0.8

0.8

0.6

0.2

A m plitud

Des plazam iento

0.4

0 -0.2

0.6

0.4

-0.4

0.2

-0.6 -0.8 -1 0

2

4

Tiempo (s)

6

0

0

0.5 1 F recuencia (Hz)

1.5

Figura 4.21: Señal armónica simple ² Nro. puntos en el tiempo: 3200 ¢ 2:56 = 8192 puntos ² frecuencia de muestreo: 5000 Hz ¢ 2:56 = 12800 Hz ² Tiempo de muestreo: 8192 = 0:64 s 12800 ² Resolución en tiempo: 1 = 7:8125E ¡ 5 s/punto 12800

4.6

E spectros usuales

Como se vio anteriormente la una señal armónica simple es caracterizada por una sola linea en el espectro ( gura 4.21). La señal periodica muestra una serie de líneas. La primera línea aparece a 1=T0 (T0 es el periodo de la señal), las siguientes aparecen a n=T0 , n = 2; 3; ::: ( gura 4.22).

54

CA PÍ TUL O 4. A NÁ L I SI S DE FOURIER 4

2

3 1.5

To

1

Amplitud

Desplazamiento

2

0 -1 -2

1

1/T o

0.5

-3 -4

0

5 Tiempo (s)

0

0

1 2 Frecuencia (Hz)

Figura 4.22: Señal periódica

Figura 4.23: Señal transiente Una respuesta transiente (usualmente provocada por un impacto) tiene un espectro similar al de la gura 4.23. En general aparecen varios valles y picos. Los picos corresponden en general a frecuencias naturales. Ello es un primer paso en la identi cación modal (§xx). Un ejemplo real se muestra en gura 4.24. En este caso, el sensor está colocado sobre uno de los descansos de una sierra circular. La señal temporal muestra la transiente generada por el impacto inicial de un trozo con la sierra. El espectro muestra el pico/valle asociado.


55

Figura 4.24: Impacto inicial en sierra circular

4.6.1

M odulación

Si el la señal transiente se repite en el tiempo (ver gura 4.25) se tiene una señal periodica que se repite cada T0 segundos. Ello ocurre usualmente cuando se produce un impacto de manera periodica. Lo especial en este caso es que la compontes armónica dominante aparece a la frecuencia del pico de la señal transiente. Ella está rodeada de las llamadas bandas laterales que están distantes n=T0 , n = 2; 3; :: Hz de la línea principal. En la gura 4.26 se muestra un ejemplo real de modulación. En este caso el peak de la transiente excitada está a 3023 Hz. Aparecen 2 bandas laterales a 28.1 Hz. Para está máquina ello corresponde a la frecuencia de paso de las bolas por la pista interior (BPFI) de uno de los rodamientos, lo que implica una picadura incipiente. El ejemplo anterior indica que más importante que la frecuencia de la alta frecuencia (transiente) es la tasa de repetición del evento. La gura ?? muestra patrones en el espectro para fallas distribuidas y locales respectivamente. A n de detectarlo más claramente, támbien se puede aplicar un ltro envolvente ( gura 4.28) que solo considera el evento a baja frecuencia. Como resultado del ltrado queda una señal periodica, cuyo frecuencia fundamental es la frecuencia de

56


1

0.5

T

0.45

0

0.4

0.5 Amplitud

Desplazamiento

0.35

0

0.3 0.25 0.2

1/T

0

0.15

-0.5 0.1 0.05

-1

0

0

700

0.05 Tiempo (s)

800

900

Frecuencia (Hz)

30 23.4,28.1

Figura 4.25: Señal con modulación

0.035 0.03

+

0.025 +

0.02 0.015 0.01 0.005 0 250 0

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

3400

3500

Figura 4.26: Ejemplo de modulación en ventilador


57

Figura 4.27: Modulación de fallas locales y distribuidas repetición del evento a alta frecuencia. El proceso se describe en gura ?? . La modulación corresponde al producto de la interacción entre fenomenos físicos. En el espectro ello se evidencia como la traslación de la señal moduladora (de menor frecuencia) como bandas laterales de la señal portadora (de mayor frecuencia). Causas usuales de modulación en sistemas mecánicos son: ² Rodamientos dañados las frecuencias asociadas a picaduras son moduladas por frecuencias naturales a alta frecuencia ² Engranajes frecuencias de engrane y frecuencias naturales ² Motores eléctricos frecuencia de rotación del motor o frecuencia de la línea y frecuencias de paso de ranura. Supongase que la señal portadora (alta frecuencia) es senoidal [2]: Xp (t) = Ap cos (! p t) La señal modulada (osea, la portadora modulada por una señal moduladora f(t)) se expresa como: Xm = [1 + ¹f (t)] Ap cos (! p t) donde ¹ es el indice de modulación.

58


Envolvente

Tiempo

Figura 4.28: Filtro envolvente

Figura 4.29: Proceso de demodulación


59

En el caso de que la señal moduladora sea senoidal: f (t) = cos(! m t) Entonces Xm = [1 + ¹ cos(! m t)] Ap cos (! p t) lo que se puede expresar como: Xm = Ap cos (! p t) +

¹Ap [cos (! p + ! m) t + cos (! p ¡ ! m) t] 2

lo que implica que el espectro de Xm mostrará componentes a ! p , ! p + ! m, !p ¡ !m . E jercicio 5 Simule una modulación en amplitud para diferentes tipos de señales

moduladoras (senoidal, cuadrada, sierra, periodica cualquiera, ruido blanco). Realice además un estudio de sensbilidad vs el indice de modulación. Remitase a ref. [2].

4.6.2

Ruido en la señal

Unna señal aleatoria en el tiempo no muestra patrones tal como se puede apreciar en gura 4.30. Ello es importante pues al aplica promedios sucesivos de espectros de una misma señal tiende a hacer disminuir las componentes asociadas a ruido aleatorio ( gura ?? ). Un tipo de señal importante para el análisis modal experimental es la señal impulsiva ( gura 4.32). Como se puede ver muestra un espectro plano. Si una estructura es excitada por un impulso inicial (un martillazo por ejemplo) la excitación contiene componentes en un rango ancho de frecuencias, lo que provocará respuestas támbien en un rango amplio. En ella se distinguirán las frecuencias naturales (§xx).

4.7

U nidades standard

Las amplitudes de cada componente en el espectro pueden ser mostradas en dos tipos de formato: lineal y logarítmico. El formato logarítmico es ventajoso para visualizar variables que tomen valores en varios ordenes de magnitud (el espectro

60


3

0.4

2

0.35 0.3 0.25

0

Amplitud

Desplazamiento

1

-1 -2

0.15 0.1

-3 -4

0.2

0.05 0

1 Tiempo (s)

2

0

0

50 Frecuencia (Hz)

Figura 4.30: Señal aleatoria

Figura 4.31: Apliación de promedios

61

CA PÍ TUL O 4. A NÁ L I SI S DE FOURIER x 10

1

-3

1 0.8

Amplitud

Desplazamiento

0.8 0.6

0.4

0.4

0.2

0

0.6

0.2

0

0.5 Tiempo (s)

1

0

0

500 Frecuencia (Hz)

1000

Figura 4.32: Señal impulsiva Y =Y ref 100 p p10 2 1 p 1= 2 1=10 1=100

dB 40 10 3 0 ¡3 ¡20 ¡40

Tabla 4.1: Equivalencia dB vibracional, por ejemplo). Su formato más común son los decibeles, que requieren el uso de un valor de referencia (Y ref ). Un dB se de ne como: dB = 20 log(Y =Y ref ) En tabla (4.1) se muestra una lista comparando razones con dB. E jem plo 12 Los VdB son usados para espectros de velocidad. Su valor de refer-

encia es 1e-6 mm/s. Entonces: 0 VdB = 10¡6 mm/s A continuación se presenta una lista de unidades standard en dB:

62


Tipo de señal Velocidad Aceleración Voltaje Voltaje Presión

Denominación VdB AdB DBV DBmV dB-SPL

Valor de referencia 10¡6 10¡3 1 1 105

Unidad mm/s mm/s2 V mV Pa

Tabla 4.2: Unidades dB standard 10

mm/s rms

10

10

10

10

10

2

0

-2

-4

-6

-8

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Hz

Figura 4.33: Señal representada en escala logarítmica

160

mm/s rms

140 120 100

80 60 40 20

50

10 0

1 50

200

250

30 0

3 50

4 00

4 50

500

Figura 4.34: La misma señal de gura 4.33 en formato bilineal

63


4.8

Tipo de valor m ostrado

A n de caracterizar la vibración global se han de nido tres tipos de medida: ² Peak, que caracteriza estados de sobrecarga e impactos ² Peak to Peak, usado cuando hay desplazamientos relativos ² RMS (Root Mean Square, raíz del valor medio al cuadrado), que es una forma de promedio que toma en cuenta toda la información registrada, y que es una estimación de la energía contenida en la señal. Observación 38 La norma ISO 2372 (severidad vibratoria) se basa en el valor

RMS.

4.9

Valor R M S

El valor RMS analogo es calculado desde la señal temporal directamente:

VRMS =

rP

2 i vi

N

donde vi es el valor de la señal adquirida en el instante ti N es el numero de puntos de la señal. El valor RMS digital es calculado como la norma del vector cuyas componentes son las amplitudes (RMS): sX 2 VRMS = vi;RMS i

Para el caso de una señal armónica de amplitud A (de 0 al peak), el valor RMS es A p . ver gura 4.35. 2 Dado que el valor RMS de la señal es en cierta forma un promedio, el cambio de alguna componente especrtal especi ca tiende a cambiar poco su valor aun si el cambio de la componente es importante. Un ejemplo se muestra en gura 4.36 para el caso de una caja reductora. El espectro superior indica la condición del equipo en el mes 1, el inferior, lo mismo pero 2 meses despues. Si bien la componente a 1X creció 20 dB, el valor RMS global solo se incrementó 10 dB.

64


1

1 0.8

0.8

0.6

peak

RMS

0.2

peak to peak

0 -0.2

peak

0.6 Amplitud

Desplazamiento

0.4

RMS

0.4

-0.4

0.2

-0.6 -0.8 -1 0

2

Tiempo (s)

4

6

0 0

0.5 1 Frecuencia (Hz)

1.5

Figura 4.35: Valor RMS

Figura 4.36: Tendencia de espectro vs tendencia del valor RMS


65

Figura 4.37: RMS insensible, CF efectivo

4.10

Factor de C resta

Un indicador más sensible de falla que el nivel RMs es el factor de crestas (crest factor,CF ) de nido por:

CF =

Vpeak VRMS

donde Vpeak es el valor maximopde la señal. Si la señal es senoidal, CF = 2. E jem plo 13 Obtenga el espectro de la señal y = sin 2¼f0 t, con f0 = 2 Hz (T0 =

1=f0 = 0:5s) muestreada con frecuencia fs = 20f0 puntos/s durante un periodo T = 10T0 . En Matlab: >>Ts=1/(20*2) %s/punto >>Tm=10*0.5 %periodo de muestreo >>t=0:Ts:Tm %vector tiempo


66

>>y=sin(2*pi*t) %vector señal >>plot(t,y),xlabel(’tiempo(s)’) >>ffty=fft(y) %FFT ”bruta” >>df=1/Tm %paso frecuencial >>n=length(y) %nro. puntos de la señal temporal >>f=[0:n-1]*df %vector frecuencia >>ffty=ffty/(n/2) %corrección de amplitud >>ffty(1)=ffty(1)/2 %corrección de amplitud componente estática >>ffty=ffty(1:n/2) f=f(1:n/2) %corrección frecuencias >>plot(f,ffty),xlabel(’Frecuencia (Hz)’),ylabel(’Amplitud’),title(’Espectro(y)’)

C apítulo 5 Sistem as con dos grados de libertad 5.1

E cuación del m ovim iento

Considerese el sistema de gura 5.1. Las ecuaciones del movimiento de tal sistema son: m1 x Ä 1 + (c1 + c2 )x_ 1 ¡ c2 x_ 2 + (k1 + k2 )x1 ¡ k2 x2 = f1 m2 x Ä 2 ¡ c2x_ 1 + c2 x_ 2 ¡ k2 x1 + k2 x2 = f2 Por conveniencia, ellas pueden ser reescritas en forma matricial: ¸½ ¾ ¸½ ¾ ¸½ ¾ ½ ¾ m1 0 xÄ1 c1 + c2 ¡c2 x_ 1 k1 + k2 ¡k2 x1 f1 + + = 0 m2 xÄ2 ¡c2 c2 x_ 2 ¡k2 k2 x2 f2 (5.1) y en forma simbólica: MÄ x + Cx_ + Kx = f

1

(5.2)

2

1

2

Figura 5.1: Sistema con 2 grados de libertad 67

CA PÍ TUL O 5. SISTEM A S CON DOS GRA DOS DE L IB ERTA D

68

Las matrices M, C, K son conocidas como matrices de masa, amortiguación, rígidez, respectivamente.

5.2 5.2.1

Vibraciones libres Vibraciones libres en sistem as no am ortiguados

En este caso, la ecuación hoñogenea es de la forma: MÄ q + Kq = 0 cuya solución es: q = Q0est sustituyendo: ¡

¢ Ms2 + K q = 0

(5.3)

la solución (no trivial) del sistema se encuentra para los valores de s que satisfagan: ¡ ¢ det Ms2 + K = 0

E jem plo 14 Considere el caso de gura 5.1 con k1 = k2 , m1 = m2 . Entonces:

det

µ

ms2 + 2k ¡k ¡k ms2 + k

¸¶

=0

¡ 2 ¢¡ ¢ ms + 2k ms2 + k ¡ k2 = 0

k m k 2 s2 = ¡2:618 m Por lo que las frecuencias naturales son: r k ! 1 = 0:618 rm k ! 2 = 1:618 m s21 = ¡0:382


69

E jem plo 15 Encuentre las ecuaciones del movimiento (linealizadas) para el pen-

dulo doble mostrado en la gura xx m1 = m2 = m, L1 = L2 = L. Exprese las matrices de masa y rigidez. Tomando momentos c/r a la masa m1 y al pivote O, se obtiene: m2 L22 Äµ2 = ¡m2 gL2 sin µ2 ¡ m2 L1 L2 Äµ1 m1 L21 Äµ1 = ¡m1 gL1 sin µ1 ¡ m2 gL1 sin µ1 ¡ m2 L1 (L1 Äµ1 + L2Äµ 2) Linealizando sin µ ¼ µ para angulos pequeños, Äµ1 + Äµ2 + g µ2 = 0 L 1 Äµ1 + Äµ2 + g µ1 = 0 2 L o matricialmente: M = g K = L

1 1 1 21

¸

1 0 0 1

(5.4)

¸

Notese que el acoplamiento se da en la matriz de masa. E jem plo 16 Utilizando Lagrange: Fijando un nivel de energía potencia nula a

la altura del pivote: V = ¡m1 gL1 cos µ1 ¡ m2 g (L1 cos µ1 + L2 cos µ2) V = ¡m1 gL1 cos µ1 ¡ m2 g (L1 cos µ1 + L2 cos µ 2)

(5.5)

Para el calculo de la energía cinetica se debe considerar tanto la componente horizontal como la vertical de la velocidad: ³ ´2 ³ ´2 ¸ 1 _ _ T = m1 L1 µ1 sin µ1 + L1 µ1 cos µ1 + 2 ³ ´2 ³ ´2¸ 1 _ _ _ _ m2 L1 µ1 sin µ1 + L2 µ2 sin µ2 + L1 µ1 cos µ1 + L2 µ2 cos µ2 2

si los angulos son pequeños, ³ ´2 ³ ´2 ¸ 1 ³ ´2 ³ ´2 ¸ 1 _ _ _ _ _ _ T = m1 L1 µ1 µ1 + L1 µ1 + m2 L1 µ1 µ1 + L2 µ2 µ2 + L1 µ1 + L2 µ2 2 2

70


θ1 1

θ2

2

Figura 5.2: Pendulo doble

despreciando productos, ³ ³ ´2 1 ´2 1 Tlin = m1 L1 µ_ 1 + m2 L1 µ_ 1 + L2µ_ 2 2 2 Usando (5.5) y (5.6) se llega la sistema (5.4).

5.3

(5.6)

M odos propios

Los vectores que satisfacen la ecuación 5.3 son los llamados vectores propios. k en : E jem plo 17 Para el ejemplo anterior sustiyuyendo s21 = ¡0:382 m

q2 = 1:618q1 k y para s22 = ¡2:618 m :

q2 = ¡0:618q1 Observación 39 Notese que al sustituir una raiz si en (5.3) solo se obtiene 1

ecuación independiente. Para hallar los vectores propios es necesario añadir una condición de normalización arbitraria. Observación 40 Un modo propio puede ser multiplicado por cualquier constante y aun así cumplir con la ecuación característica.


5.3.1

71

Norm alización de m odos

1. Igualar la máxima componente a 1,max(qi ) = 1 ½ ¾ 1 q1 = 1:618 ½ ¾ ¡0:618 q2 = 1 2. Igualar una componente a 1, q1 = q2 =

½

½

1 1:618

¾

1 ¡0:618

¾

3. Igualar la normal del vector a 1,jqi j = 1 q1 = q2 =

½ ½

1 1:618

¾

1 ¡0:618

¾

4. Masa modal unitaria, qTi Mqi = 1 q1 q2

5.3.2

½ 1 = p m ½ 1 = p m

1:902 2:210 1:175 ¡:726

¾

¾

Propiedades de los m odos propios

Una propiedad muy importante de los modos propios es la llamada ortogonalidad con respecto a K y M: qTi Kqj = ± ij ° i qTi Mqj = ± ij ¹i

(5.7)


72

donde ± ij corresponde a la función delta de Kronecker: ½ 1 si i = j ± ij = 0 si i 6= j y ° i y ¹i corresponden a las rigidez modal y masa modal del i-esimo modo propio. Observación 41 Notese que tanto la rigidez modal como la masa modal depen-

den de la norma utilizada. Sin embargo su relación no depende de esta: ! 2i =

°i ¹i

De nition 1 Para nes operativos, se de ne la matriz modal como aquella que

ordena los modos propios en columnas: £ Q = q1 ¢ ¢ ¢

qn

¤

Observación 42 De acuerdo a lo anterior, QT KQ y QT MQ son matrices diag-

onales

5.3.3

O btención de m odos propios y frecuencias naturales en sistem as am ortiguados

Para resolver el problema ?? se extiende tal sistema utlizando la igualdad: Mx_ ¡ Mx_ = 0 con lo que queda el sistema con 2n incognitas: ¸½ ¾ ¸½ ¾ ½ ¾ C M x_ K 0 x f + = M 0 x Ä 0 ¡M x_ 0 lo que toma la forma [? ]: Ar + B_r = s con las matrices simétricas A = B =

K 0 0 ¡M ¸ C M M 0

¸


73

y los vectores de estado y de excitación: r = s =

½ ½

x x_ f 0

¾ ¾

El caso homogeneo Ar + B_r = 0 tiene la solución de la forma r = ye¸t lo que lleva al problema de valores propios Ay+¸By = 0 1

En la gura se muestra la representación esquematica de un automóvil. Si el vehiculo pesa 4000 Lb y tiene un radio de giro de 4.5 pies alrededor del centro de gravedad, encuentre las frecuencias y modos propios. Datos: k1 = 250 Lbf/pulg,k2 = 270 Lbf/pulg: E jercicio 6

mÄ x = ¡k1 (x ¡ l1 µ) ¡ k2 (x ¡ l2 µ) J Äµ = k11 (x ¡ l1 µ)l1 ¡ k2 (x ¡ l2 µ)l2 donde el momento de inercia del automóvil es: J = mk2 E jem plo 18 Considerese el sistema de la gura. Calcule modos propios y fre-

cuencias naturales. m1 xÄ = ¡k1(x ¡ rµ) J Äµ = k2 r 2 µ ¡ k1 (rµ ¡ x)r con J = 12 m2 r2 es le momento de inercia del cilindro. 1 ejemplo

17. cap 2, ref. [? ].

74


Figura 5.3:

5.4 5.4.1

C oordenadas m odales E cuación del m ovim iento en vibraciones libres

Para un sistema conservativo las vibraciones libres son combinaciones de cada modo propio: X (®i sin ! i t + ¯ i cos ! i t) qi (5.8) x(t) = i

y para sistemas amortiguados: x(t) =

X e¡»i ! it (®i sin ! i t + ¯ i cos ! i t) qi i

que ademas cumplen las condiciones iniciales: x(0) = x0 x(0) _ = x_ 0 E jercicio 7 Determine los x(t) del sistema dado si x(0) =

©

0 0

ªT

©

x1;0 0

ªT

, x(0) _ =


5.5

75

Vibraciones forzadas

5.5.1

M étodo directo para respuesta estacionaria

Si la excitación es de tipo armónico y es de interes la respuesta estacionaria, es como usar el método directo, que utiliza el algebra compleja: f = F0 ej!t x = X0 ej!t La sustitución de estas ecuaciones en 5.2 conduce a un sistema cuadrado de ecuaciones del tipo: Zx = f x = Hf con Z = ¡! 2M+j!C + K = H¡1 la matriz Z es conocida como matriz de rígidez dinámica. Su inversa es llamada matriz de exibilidad dinámica o matriz respuesta.Los elementos diagonales de H corresponden a las funciones respuesta directas (vale decir, del grado de libertad quu es excitado). Los demas elementos corresponden a las funciones respuesta de tansferencia. Observación 43 Notese que tanto Z como H dependen de !. E jem plo 19 Para el sistema en estudio, la respuesta a una excitación del tipo

f=

©

f1;0 0

ªT

ej!t es: x =f1;0

Para este caso, cuando ! = anula (antiresonacia).

8 < :

p

k¡m! 2 m2 (! 2 ¡! 21 )(!2 ¡! 22 ) ¡k m2 (! 2 ¡! 21 )(!2 ¡! 22 )

9 = ;

k=m la respuesta en el punto de excitación se


76

Observación 44 El sistema tiene tans frecuencias naturales como grados de lib-

ertad Observación 45 la respuesta tiende al in nito cuando ! ! ! 1 ; ! 2 . Esta condi-

ción se llama resonancia.

Observación 46 Notese que las antirresonancias son propiedades locales, las

resonancias son propiedades del sistema.

5.5.2

M étodos de Integración directa en el tiem po

En caso de que las respuestas transientes tambien sean de interes y el calculo de las bases modales sea muy caro omputacionalmente, es posible utlizar. Entre ellos encontramos el método de Newmark, el método HHT. El lector interesado es referido a la referencia [? ]. E jercicio 8 Programe el modelo del ejemplo de dos grados de libertad en Simulink.

Compare las frecuencias naturales obtenidas con las teóricas.

5.5.3

M étodo m odal

De acuerdo a la ecuación 5.8, toda deformación que sufra el sistema puede ser descrita como una combinación de sus modos propios. Gracias a la propiedad de ortogonalidad 5.7 es posible obtener rapidamente la respuesta de un sistema a una excitación dada. Para tal n, se introduce la siguiente transformación: x = Qz Aplicando tal transformación en la ecuación del movimiento 5.2 se obtiene: QT MQÄ z + QT KQz = QT f

¹Ä z + °z = QT f

(5.9)

el sistema 5.9 es un sistema de ecuaciones desacoplado, vale decir, que cada desplazamiento modal zi puede ser obtenido usando solo la i-esima ecuación. E jercicio 9 Resuelva utilizando el método modal el problema de vibraciones li-

bres del ejemplo 19.


5.5.4

77

M étodo de desplazam ientos m odales

En caso de estudiar un sistema que posee muchos grados de libertad, el calculo de la base modal completa Q implica calculos que pueden tomar mucho tiempo o que pueden sufrir de inestabilidad numérica. Es por ello que se asume que la respuesta va a estar dominada por una cierta cantidad de modos (usualmente los primeros). Entonces se usa: ~z x'x ~ = Q~ ~ solo dispone de n < N modos propios. donde Q

5.5.5

M étodo de aceleraciones m odales

Una forma de enriquecer la respuesta calculada con el método de los desplazamientos es añadiendo el efecto estático de los modos que no han sido calculados. Supongase que el sistema posee N grados de libertad y se han logrado calcular n modos. La respuesta exacta del sistema se puede escribir como: x = ¡K¡1 MÄ x + K¡1 f Si K¡1 existe (lo cual no es el caso cuando existen modos rigidos): £ ¤¡1 K¡1 M = -2

donde -2 es la matriz que contiene en su diagonal todas las frecuencias naturales del sistema (al cuadrado). Aproximando x Ä por -! 2 ~ x: h i¡1 2 ~2 x'^ x=! x ~ + K¡1f h i ~ 2 contiene solo las frecuencias de los modos usados en la aproxEn este caso -

imación. x ~ es la aproximación del método de los desplazamientos modales2. El lector interesado es referido a la referencia [4].

E jercicio 10 Veri que el metodo con 0,1 y 2 modos propios para el ejemplo de

estudio. 2

En apendice E se muestra un ejemplo en Matlab.


5.6

78

A bsorbedor de Vibraciones

Un problema de resonancia puede ser evitado o reducido de 3 maneras: 1. Eliminando la excitación (reduciendo la fuerza o aislando el sistema), 2. Cambiando la frecuencia natural (variando masa y/o rigidez), 3. Añadiendo amortiguamiento. Una forma alternativa considera el uso del aboserbedor de vibraciones que explota el concepto de antirresonancia. Supongase que inicialmente se dispone del sistema: m1 x Ä 1 + k1 x1 = f1 p Cuya frecuencia natural es ! 1 = k1 =mp 1 . Si se añade un segundo grado de libertad m2 , k2 con frecuencia natural ! 2 = k2 =m2 (cuando se ja un extremos del resorte) se obtiene un sistema como el mostrado en gura 5.1 y cuya ecuación del movimiento está indicada en la ecuación 5.1 con f2 = 0. La respuesta estacionaria a una fuerza f1 = F1 sin !t está dada por: ¡1 x = Z ½ f ¾ F1 f = 0

La solución es: F1 ³ x= k1 1 +

k2 k1

¡

!2 !21

1 ´³

1¡

!2 ! 22

´

¡

k2 k1

(

2

1 ¡ !! 2 2 1

)

Se ve que cuando ! = ! 2 el grado de libertad 1 pasa de moverse con amplitud F1 =k1 2 1 ¡ !!2 2

a 0: Observación 47 Notese que se impone solo una condición sobre la frecuencia natural ! 2 del sistema auxiliar. Hay in nitas posibilidades de m2, k2 que la cumplen. Observación 48 Las frecuencias ! 1 ; ! 2 corresponden a las frecuencias de los

sistemas principal y auxiliar por separado y no corresponden a las frecuencias naturales ! ¤1 , ! ¤2 del sistema acoplado.


79

1

1

2

Figura 5.4: Sistema con modo de cuerpo rigido

5.7

M ovim ientos de cuerpo rigído

Cuando un sistema es capaz de moverse sin acumular energía potencial, aparecen los llamados modos de cuerpo rigido que se caracterizan por una frecuencia natural igual a 0. E jem plo 20 Obtener los modos propios del sistema mostrado en gura 5.4. La

ecuación del movimiento es: MÄ x + Kx = 0 M = m K = k

1 0 0 1

¸

1 ¡1 ¡1 1

¸

De acuerdo a los resultados mostrados en apendice A: ½ ¾ :707 2 ! 1 = 0; q1 = :707 ½ ¾ k :707 2 ! 2 = 2 ; q2 = ¡:707 m

5.8 5.8.1

M odelos de A m ortiguam iento Am ortiguam iento proporcional

El amortiguamiento proporcional se de ne como: C = ®M + ¯K


80

tal modelo facilita bastante el trabajo de modelación (pues M y K están disponibles) y además produce modosde vibrar iguales a los del sistema conservativo asociados. Ello támbien implcia que son modos reales. Un modo real es aquel en que todos los grados de libertad alcanzan su máximo en el mismo instante. En caso de no ser así se habla de modos complejos. MÄ x + Cx_ + Kx = f

(5.10)

Utilizando la transformación modal: x = Qz Aplicando tal transformación en la ecuación del movimiento se obtienen las ecuaciones desacopladas: QT MQÄ z + QT CQ_z + QT KQz = QT f

¹Ä z + (®¹ + ¯°) z_ + °z = QT f

(5.11)

Observación 49 Cada ecuación en 5.11 está desacoplada del resto, con lo cual

la solución es fácil de obtener. Si el amortiguamiento es no proporcional, el utilizar este método implica despreciar el efecto de los terminos no diagonales de QT CQ. Lo que desacopla el sistema de ecuaciones-. E jem plo 21 Para el ejemplo de gura 5.1 considerese c1 = c2 = 0:2, k = m = 1.

La respuesta se encuentra en apendice B.

5.9

O btención de la m atriz de rígidez

Una forma interesante de obtener la matriz de rigidez de un sistema se desprende de la observación: ½ ¾ ½ ¾ 1 k11 K = 0 k21 en otras palabras, al aplicar un desplazamiento unitario en algun grado de libertad (el gdl 1 en este caso) se obtienen las fuerzas internas elásticas que aparecen


81

Figura 5.5: Viga empotrada con 2 masas concentradas

1

Figura 5.6: Obtención experimental de la primera columna de K debido a ella, y que corresponden a la columna asociada al grado de libertad (la primera en el ejemplo). Otra manera de obtenerla es a través de la matriz de exibilidad estática: ½ ¾ ½ ¾ 1 f11 ¡1 K = 0 f21 donde F = K¡1 Osea, si una fuerza aplicada en un gdl de libertad dado, los desplazamientos de cada gdl rforman la columna asociada de la matriz de exibilidad. Luego de conseguir cada columna de F es posible obtener K. E jem plo 22 Obtener la matriz de rigidez de la viga empotrada mostrada en gura ?? . La masa de la viga es despreciable.

Usando las tablas de de exiones (mecánica de solidos) y aplicando una fuerza unitaria en el gdl 1: ½ ¾ ½ ¾ l3 2 H11 = H21 48EI 5


82

1

Figura 5.7: Obtención de la segunda columna de K

1

Figura 5.8: Obtención de la primera columna de la exibilidad estática H!=0 y luego en el gdl2: ½

H11 H21

¾

l3 = 48EI

½

5 16

¾

por lo que: H!=0

l3 = 48EI

2 5 5 16

¸

16 ¡5 ¡5 2

¸

e invirtiendo: 48EI K= 3 l

Observación 50 Para un sistema lineal, tanto la matriz de rigidez como la de

exibilidad son simetricas Observación 51 A cada elemento de la matriz de exibilidad se le llama coe ciente de in uencia . A los de la matriz de rigidez, coe cientes de r igidez.


83

Observación 52 Los coe cientes de rigidez en la diagonal de K deben ser pos-

itivos para que el sistema sea estable. Lo contrario implica que al aplicar una fuerza aparece una fuerza elastica que tiende a deformar aun mas el sistema. E jercicio 11 Consiga experimentalmente la matriz de rigidez para el caso de una

viga empotrada.

C apítulo 6 Sistem as continuos El estudio de este tipo de sistemas con masa distribuida permite justi car el engoque con masas concentradas estudiado previamente.

6.1

B arras

Supongase que se desea estudiar las vibraciones axiales de una barra homogenea ( gura 6.1)cuando es excitada por un desplazamiento inicial:Sea u(x; t) el desplazamiento axial de la sección ubicada a x distancia de un extremo. El equilibrio de una sección de largo in nitesimal dx es: X Fx = mÄ u N+

@N @ 2 u(x; t) dx ¡ N = ½Adx | {z } @t2 @x dm

Figura 6.1: Barra empotrada

84

(6.1)

85

CA PÍ TUL O 6. SISTEM A S CONTI NUOS

Pero ¾ = E² N @u(x; t) = E A @x Derivando y ordenando: @N @ 2u(x; t) = EA @x @x2

(6.2)

Sustituyendo (6.1) en (6.2) se obtiene la ecuación de la onda en una dirección: @2 u(x;t) @x2

=

1 @2 u(x;t) c2 @t2

(6.3)

donde c=

s

E ½

es la velocidad del sonido en el material. La solución general de la ecuación 6.3 toma la forma u(x; t) = f1 (x ¡ ct) + f2 (x + ct)

(6.4)

donde fi es una función arbitraria que satisface las condiciones inciales y de borde. Fisicamente, ambas son funciones que viajan en el sentido y contra el sentido de x con una velocidad c. La solución tal como se muestra en ecuación 6.4 es util en el estudio de fenomenos transientes. Sin embargo, para análisis en condiciones estacionarias es practico utilizar la solución de la forma: u(x; t) = U(x)f (t) de acuerdo al método de separación de variables. Reemplazando 6.5 en 6.3: c2 @ 2 U(x) 1 @ 2 f (t) = = cte = ¡! 2 2 2 U(x) @x f (t) @t @ 2 U(x) ! 2 + 2 U (x) = 0 @x2 c 2 @ f(t) + !2f = 0 2 @t

(6.5)


86

Entonces ! ! x + c2 cos x c c f (t) = c3 sin !t + c4 cos !t

Y (x) = c1 sin

(6.6)

Finalmente, ³ ! ! ´ u(x; t) = U(x)f(t) = c1 sin x + c2 cos x (c3 sin !t + c4 cos !t) c c

(6.7)

c1 ,c2 ,y las frecuencias naturales ! se consiguen utilizando las condiciones de borde. Como y(0; t) = y(l; t) = 0 entonces c1 sin

! ! i¼c !i l = 0 ¡! sin l = 0 ¡! ! i = , yi (t) = ci sin x c c l c c2 = 0

Y la solución general es la suma de todas las soluciones particulares: X³ !i ´ ci sin x (c3 sin ! i t + c4 cos ! i t) y(x; t) = c

(6.8)

Las constantes ci ,c3 ,c4 son obtenidas de las condiciones iniciales.

E jem plo 23 Para el caso de la barra empotrada-libre, exprese las frecuencias

naturales y la serie que representa sus vibraciones libres. Inicialemente se ha estirado el extremo en U0 unidades. La solución general es de la forma dada por ecuaciones (6.5) y (6.6). En el extremo libre la condicion de borde es: u(0; t) = 0 du (L; t) = 0 dx de (6.9) y (6.10), c2 = 0 !c cos = 0 L por lo que las frecuencias caracteristicas son de la forma: ¼c , i = 1; 2; ::: ! i = (2i ¡ 1) 2L

(6.9) (6.10)

87


6.1.1

B arras en torsión

T+

X

Mx = Ix Äµ

@ 2 µ(x; t) @T dx ¡ T = Ix @x @t2

(6.11)

para un eje circular masiso: Ix = J½

T = GJ

@µ @x

@2µ 1 @2µ = @x2 c2 @t2 s G c = ½

6.1.2

Cuerdas

Escribir la ecuación del movimiento de la cuerda de gura. Si la de exión de la cuerda es pequeña, puede asumirse que la tracción T no variará con la vibración. X Fy = mÄ y µ ¶ @µ @ 2 y(x; t) T µ+ dx ¡ T µ = ½dx (6.12) |{z} @t2 @x dm

@µ ½ @ 2 y(x; t) = @x T @t2

y como µ =

@y @x @2 y(x;t) @x2

con c =

q

(6.13)

T ½,

=

1 @2 y(x;t) c2 @t2

la velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda.

88


Figura 6.2: Condiciones iniciales de la cuerda 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

25

Figura 6.3: Factores de participación modal para el ejercicio dado Sea ½

2h xl para 0 x l=2 l 2h l¡x x l l para 2 y(x; _ 0) = 0 para 0 x l

y(x; 0) =

Introduciendo las condiciones iniciales en (6.8)=) c3 = 0{seguir desarrollo} 1 X y(x; t) = i=1

con ! i =

i¼c . l

¼ 8h i¼x sin i sin cos ! i t 2 2 |¼ i {z 2} | {z l }

participación modal

qi

Observación 53 Notese en gura 6.3 que los modos impares son preponderantes

en la solución.

89


Figura 6.4: Primer modo de la cuerda o la barra

Figura 6.5: Segundo modo

6.1.3

Respuesta forzada

E jem plo 24 Determine la respuesta estacionaria de una barra somentida a una

fuerza F0 sin !t en su extremo libre.La solución general toma la forma X³ !i ´ !i u(x; t) = U(x)f (t) = ci sin x + di cos x fi (t) c c Las condiciones de borde son: u(0; t) = 0 por lo que di = 0

F 0 sin !t

Figura 6.6: Barra en tracción dinámica

90


Figura 6.7: Equilibrio de fuerzas para Viga de Euler y en el extremo libre se tiene que: @u(l; t) =0 @x entonces ci

!i !i cos l = 0 c c

donde !i =

i¼c 2l

i = 1; 3; 5; :::

y la respuesta forzada es de la forma: u(x; t) = F0 sin !t | {z } f(t)

1 X

i=1;3;5;:::

8l(¡1)(i¡1)=2 ¼ 2EAi2 |

{z

1¡

1 ¼x ³ ´2 sin i 2l !


!i

}

91


6.2

Vigas

6.2.1

Viga de E uler B ernoulli

Las hipotesis aplicadas son que las deformaciones causadas por esfuerzos de corte son despreciables, lo mismo que las inercias a la rotación. X Fy = mÄ y µ ¶ @2y @µ p(x; t) + V ¡ V + dx = ½Adx 2 (6.14) | {z } @t @x dm

@V @x

= p(x; t) ¡ ½A

@2y @t2

(6.15)

X

MZ = 0 ¶ @M M + V dx ¡ M + dx = 0 @x µ

entonces @M =V @x

(6.16)

Sustituyendo (6.16) en (6.15): @2y @ 2M + ½A 2 = p(x; t) @x2 @t pero M = EI

@2y @x2

Sustituyendo EI

@ 2y @4y + ½A = p(x; t) @x4 @t2

E jem plo 25 La viga de Timoshenko considera la deformación por corte como la inercia de rotación. Suponiendo que la sección transversal permanece plana se obtiene:

92


@4y @ 2y @4y EI 4 + ½A 2 ¡ J 2 2 ¡ @t } | @x{z@t } | @x {z Euler 4

Inercia rotación 2

EI @ p Jm @ 4 y mEI @ y J @4p + + ¡ 2 2 2 2 4 |kAG @x @t{z kAG @x } |kAG @t {z kAG @t } Def. angular por corte

Efecto acoplado corte e inercia rot.

= p(x; t)

La solución (usando separación de variables) es: y(x; t) = Y (x)f(t) entonces: 1 @ 2 f(t) EI 1 @ 4 Y = ¡ = !2 4 2 ½A Y (x) @x f (t) @t @ 2 f (t) + ! 2 f (t) = 0 @t2 @4Y ½A 2 ¡ ! Y (x) = 0 @x4 EI Por lo que f(t) = A sin !t + B cos !t De niendo covenientemente: ¯4 =

½A 2 ! EI

Aparece la ecuación auxiliar r 4 ¡ ¯ 4 = 0 =) r1;2 = §¯ r3;4 = §j¯ Y (x) = c1 sin ¯x + c2 cos ¯x + c3 sinh ¯x + c4 cosh ¯x

(6.17)

93

CA PÍ TUL O 6. SISTEM A S CONTI NUOS Condición

Fuerzas y m om entos

Desplazamientos

Libre Apoyo simple Empotramiento

M = 0, V = 0 M =0

@2 y(;t) @x2 @2 y(;t) @x2

3

@ y = 0, @x 3 = 0 = 0, y = 0 y = 0, @y(;t) =0 @x

Tabla 6.1: Condiciones para una viga Finalmente, y(x; t) = (c1 sin ¯x + c2 cos ¯x + c3 sinh ¯x + c4 cosh ¯x) (A sin !t + B cos !t) Las constantes ci y las frecuencias naturales ! i se consiguen a partir de las condiciones de borde. E jem plo 26 Frecuencias naturales y modos propios de una viga simplemente

apoyada. Dado que: y(0; t) = 0 entonces c1 sin 0 + c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0 = 0

(6.18)

ademas @ 2y(0; t) =0 @x2 entonces ¯ 2 (¡c1 sin 0 ¡ c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0) = 0 de (6.18) y (6.19): c2 = c4 = 0 Identicamente aplicando las condiciones de borde en x = l: y(l; t) = 0 @ y(l; t) = 0 @x2 2

(6.19)

94


c3 = 0 y: c1 sin ¯l = 0 lo que tiene in nitas soluciones para ¯: ¯ i l = i¼ y usando (6.17) !i= y los modos propios están dados por

¡ i¼ ¢2 q EI l

½A

¢ ¡ qi (x) = sin i¼ xl

Observación 54 La relación entre la n-esima frecuencia y la siguiente es: E jercicio 12 Gra que los primeros 4 primeros modos.

(6.20) ¡ i+1 ¢2 i

E jercicio 13 Gra que las 10 primeras frecuencias naturales en escala semiloga-

ritmica.

6.2.2

Vibraciones forzadas

E jem plo 27 Determinar las vibraciones estacionarias de una viga simplemente

apoyada excitada por un a fuerza armonica puntual de amplitud F0 y frecuencia ! rad/s, aplicada a una distancia a de uno de sus extremos.Usando la base modal (6.20) los desplazamientos pueden ser descritos como: 1 X y(x; t) = ®i (t)qi (x): i=1

donde los modos propios qi (x) son de la forma 6.20. Usando el método de Lagrange: µ 2 ¶2 Z 1 1 @ y EI¼ 4 X 2 Ep = EI dx = ® (t) 2 @x2 4l3 i=1 i µ ¶2 Z 1 1 @y ½lA X 2 Ec = ½A dx = ®_ (t) 2 @t 4 i=1 i Qi = sin

i¼a f(t) l

95


donde Qi es la carga generalizada. Reemplazando: ® Äi +

i¼ 4 ´ 2 2 i¼a ®i = sin con i = 1; 2; 3; :: 4 l ½lA l

. y n = EI ½A Si f (t) = F0 sin !t la respuesta estacionaria está expresada por: y(x; t) = F0 sin !t | {z } f(t)

1 X 2 1 ½Al ! 2i i=1

|

1¡

³ a´ ³ x´ 1 sin i¼ sin i¼ ³ ´2 l | {z l } ! !i

{z


}

qi(x)

Obser vación 55 Notese el factor de ”premio” para los modos cuyas frecuencias

naturales están cercanas a las frecuencias naturales. Eso los hace dominar la combinación. Tambien hay un factor de castigo para los modos a altas frecuencias. Obser vación 56 La posición espacial es tambien relevante ¡ para ¢ participación ¡ ¢ de cada modo en la respuesta. Por ejemplo si a = l=2, sin i¼ al = sin i¼ 12 = 0 para todos los modos pares (i = 2; 4; :::). Se habla en este caso de que la fuerza es aplicada en un nodo de los modos afectados.(la carga solo excita los modos simetricos:1,3,5,..).

C apítulo 7 Sistem as con n grados de libertad 7.1

Introducción

Cuando los sistemas son complejos, es muy di cil o imposible en la practica encontrar soluciones para el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto (probablemente complejo) de excitaciones. Como un medio practico de resolución, Lord Rayleigh propusó inicialmente sustituir el problema inicial de 1 grados de libertad con uno de 1 gdl. Posteriormente Ritz extendió el método para utilizar varios grados de libertad. Posteriormente (años ’60) se comenzó a explorar el método de los elementos nitos, que puede ser considerado coom un aplicación particular del método de Rayleigh-Ritz. En terminos muy básicos consiste en subdividr el sistema en un numero nito de elementos de geometria simple, y que tienen un comportamiento estructural bien conocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de un set pequeño de funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento (nodos). Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una solución que puede ser muy cercana al valor exacto.

7.2

M étodo de R ayleigh-R itz

Este método expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinación de funciones dependientes de x que son ponderadas por una amplitud de-

96

CA PÍ TUL O 7. SISTEM A S CON N GRA DOS DE L IB ERTA D

97

Figura 7.1: Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga pendiente del tiempo: n X ni (x)qi (t) u(x;t) ==

(7.1)

i=1

Notese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuación anterior puede ser convenientemente escrita como: u(x;t) = N(x)q(t) donde N(x) ordena las funciones de forma: £ ¤ N(x) = n1 ¢ ¢ ¢ nn

y

8 > < q1 (t) .. q(t) = . > : q (t) n

9 > = > ;

A n de expresar la energía potencial se de nen los siguientes vectores: 8 9 8 9 ²1 > ¾1 > > > > > > > > > > > > > > > ² ¾ > > > > 2 2 > > > > < = < = ²3 ¾3 ²= ¾= ° 12 > ¾ 12 > > > > > > > > > > > > > > > ° ¾ > > > > 23 23 > > > > : ; : ; ° 31 ¾ 31

(7.2)


98

y el operador de diferenciación espacial D: 2

@ @ x1

D=4 0 0

0

@ @ x2 @ @ x1

0 0

@ @ x2

@ @ x3

0

0

0 @ @ x3 @ @ x2

@ @ x3

3T

0 5

@ @ x1

lo que nos permite expresar facilmente la deformación ²: ²(x;t) = Du(x;t) = DN(x)q(t) | {z } ´B(x)

La energía cinética puede ser expresada como: Z 1 ½u_ udV _ T = 2 V0

Usando 7.2: T

1 = 2 =

1 2

Z

ZV

T

½ (Nq) _ (Nq) _ dV ½q_ T NT NqdV _

V

1 T = q_ Mq_ 2 donde la matriz de masa se de ne por: R M = ½NT NdV

(7.3)

V

Observación 57 Una matriz de masa de nida por (7.3) es llamada consistente

pues utiliza las mismas aproximaciones usadas para de nir a la matriz de rigidez. Observación 58 El uso de matrices de masa no consistentes hace perder la garan-

tia de que las frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas1. 1

ver referencia [? ], pp. 270.


Por su lado, la energía potencial se expresa como: Z U = W² dV

99

(7.4)

V

donde la densidad de energía de deformación es: 1 W² = ¾ T ² 2 y dado que para ¾ = |{z} H ² Hooke

la energía se expresa en terminos de ²: Z 1 U = ²T H²dV 2 V Z 1 qT BT HBqdV = 2 V

1 T = q Kq 2 donde la matriz de rigidez K se de ne por: R K = BT HBdV

(7.5)

V

El vector de carga g se calcula a partir de la energía potencial externa asociada a las fuerzas de cuerpo ¹ x y de super cie t: P = ¡ = ¡

Z V

Z V

T

T

x u dV ¡ ¹ T

Z S

x Nq dV ¡ ¹

= ¡q g

t T u dS

Z

t T Nq dS

S

(7.6)


100

con g=

Z

T

N ¹ x dV +

V

Z

NT t dS

S

lo que nos permite escribir la ecuación del movimiento: MÄ q + Kq = g E jem plo 28 B ar r a con empotr amiento. Expresemos las deformaciónes posibles

como: u(x;t) = u(x; t) =

x2 x q1(t) + 2 q2 (t) l l

entonces: N(x) =

£

x l 1 l

£ B(x) = H =E

x2 l2 2 lx2

¤

¤

Z = ½NT NdV

M

Z

=

V

½NT NAdx

l

T

N N=

x l x2 l2

M =½A

¸ l 3 l 4

£

x2 l2

x l

l 4 l 5

¸

¤

x2 l2 x3 l3

=

=m

1 3 1 4

1 4 1 5

x3 l3 x4 l4

¸

¸


y la matriz de rigidez

Z = BT HBdV

K =

Z

l

V

£

= EA

1 l

2 lx2

Z

1 l2 2x l3

l

EA = l

1 1 l

1 l 4 3

¤T

E

2x l 32 4 xl4

¸

£

¸

Con lo que el problema homogeneo queda: ¸½ ¾ 1 1 EA 1 q Ä 1 m 13 41 + 1 q Ä l 2 4 5 l

7.3 7.3.1

101

1 l 4 3

1 l

2 lx2

¤

Adx

dx

¸½

q1 q2

¾

=

½

0 0

¾

M étodo de elem entos nitos B arra

Considere la expresión de los desplazamientos en terminos de los dezplazamientos de ciertos puntos o nodos: 2 X ni (x)fi (t) u(x;t) = u(x; t) = i=1

en este caso los fi (t) son los desplazamientos de los extremos de la barra y las funciones ni (x) son las llamadas funciones de forma seleccionadas de tal manera que cumplan la siguiente condición: u(0; t) = f1 (t) u(l; t) = f2 (t) Para el caso de la barra se utlizó en este ejemplo una interpolación lineal entre los dos nodos: x n1(x) = 1 ¡ l x n2(x) = l


102

En forma similar al método de Rayleigh-Ritz, u(x;t) = Ne(x)qe(t) donde Ne(x) es la matriz de funciones de forma del elemento e y qe(t) es el vector de grados de libertad del elemento e. Las matrices de rigidez y masa del elemento e se de nen según 7.3 y 7.5. El vector de cargas elemental según 7.6. E jem plo 29 Para el caso de la barra estudiada:

£ Ne (x) = 1¡ £ 1 Be (x) = ¡l He =E

x l 1 l

x ¤l

¤

Z = ½NTe NedV

Me =

V

Z

½NTe NeAdx

l

" ¡ ¢2 ¡ ¢ 1 ¡ xl 1 ¡ xl ¢ ¡ x ¢2 = ½ ¡ 1 ¡ xl xl l l ¸ l l = ½A 3l 6l 6 3 ¸ m 2 1 = 6 1 2 Z

x l

#

Adx

Z = BTe HeBedV

Ke =

Z

l

V

£

¡ 1l

Z = EA

l

EA = l

1 l 1 l2 ¡ l12

¤T

E

£

¡ l12

1 ¡1 ¡1 1

1 l2

¸

¡ 1l ¸

dx

1 l

¤

Adx


g

= =

Z

Z

T

N x ¹ dV +

V

Z

NT t dS

S

T

N p(x; t) dx +

l

103

P1 (t) P2 (t)

¸

si la carga axial es uniformemente distribuida p(x; t) = p y se aplican cargas Pi en los extremos: ¸ Z ¤ £ P1 (t) x T x p dx + ge = 1¡ l l P2 (t) l ¸ ¸ pl 1 P1 (t) ge = + P2 (t) 2 1

7.3.2

E nsam ble

Si ordenamos todos los desplazamientos nodales en un vector q, podemos expresar los desplazamientos en cada elemento como: qe = Le q donde Le es el operador de localización, que corresponde a una matriz booleana con dimensiones dim(qe) £ dim(q). Por ejemplo: ¸ 0 1 0 ¢¢¢ 0 L2 = 0 0 1 ¢¢¢ 0 indica que el elemento 2 es de nido por los grados de libertad 2 y 3 del modelo completo.


104

Veiamos antes que: 1 = 2

T

= = =

1 2 1 2

Z

½u_ udV _

V0 n X e=1 n X

q_ Te Me q_ e T

(Leq) _ MeLeq_

e=1

1 T q_ 2

Ã |

n X e=1

!

LTe MeLe q_ {z

}

M

Similarmente para la energía potencial interna: Z U = ²T H²dV V

n 1X T q Keqe = 2 e=1 e ! Ã n 1 T X T Le Ke Le q = q 2 e=1 | {z } K

y para las cargas externas: g

=

=

Z

V n X

T

N x ¹ dV +

Z

NT t dS

S

LTe ge

e=1

E jem plo 30 Considere el ejemplo de la barra libre-libre de gura 7.2. Exprese

las matrices de masa y rigidez si se discretiza con 2 elementos. Masa de la barra M, largo L. Dado que hay dos elementos me = M=2, le = L=2.


105

Figura 7.2: Barra discretizada con 2 elementos nitos De acuerdo a anterior: me Me = 6

2 1 1 2

¸

EA ; le

1 ¡1 ¡1 1

¸

Consideraremos para el primer elemento los grados de libertad 1 y 2: ¸ 1 0 0 L1 = 0 1 0 Con lo que el aporte del primer elemento a la matrices globales es: LT1 K1 L1 =

1 0 0 0 1 0

¸T

LT1 M1 L1

1 0 0 0 1 0

¸T

=

EA L=2 M=2 6

1 ¡1 ¡1 1 2 1 1 2

¸

¸

1 0 0 1

1 0 0 0 1 0

Para el segundo elemento, L2 =

LT2 K2 L2 =

0 1 0 0 0 1

¸T

LT2 M2 L2

0 1 0 0 0 1

¸T

=

EA L=2 M=2 6

2 1 1 2

¸

2

¸

0 1 0 0 0 1

1 ¡1 ¡1 1

3 1 ¡1 0 EA 4 0 ¡1 1 0 5 = 0 L=2 0 0 0 2 3 ¸ 2 1 0 M=2 4 1 1 0 5 = 6 0 0 0 ¸

¸

0 1 0 0

0 1 0 0 0 1

3 0 0 0 EA 4 0 = 0 1 ¡1 5 1 L=2 0 ¡1 1 2 3 ¸ 0 0 0 M=2 4 = 0 2 1 5 6 0 1 2 ¸

2


106

Figura 7.3: Estructura de barras al sumar los aportes: 2

1 EA 4 ¡1 LTe KeLe = K = L=2 e=1 0 2 2 2 X M=2 4 T Le Me Le = M = 1 6 e=1 0 2 X

3 ¡1 0 2 ¡1 5 ¡1 1 3 1 0 4 15 1 2

Observación 59 Cuando algun grado de libertad es jado (qi = 0) el vector de localización de todo elemento que se conecte a él contendrá solo ceros en la columna asociada al gdl. Entonces, tanto la columna como la la asociada al gdl en K y M contendran solo elementos nulos y es necesario eliminarlas en los calculos. E jem plo 31 Si a la barra del ejemplo anterior se ja el grado de libertad 1, las

matrices quedan: EA 2 ¡1 K = ¡1 1 L=2 ¸ M=2 4 1 M = 1 2 6

7.3.3

¸

Coordenadas locales y globales

Considerese una estructura como la mostrada en gura (7.3), el ensamble en este caso debe considerar que los grados de libertad de cada elemento no coinciden


107

Figura 7.4: Sistemas de coordenadas locales u y globales U necesariamente con las coordenas cartesianas globales. Para ello es necesario de nir matrices de rotación (ver gura 7.4): ui = Ui cos ® + Vi sin ® loque puede escribirse simbolicamente como: 2 ¸ ¸ 6 cos ® sin ® 0 0 u1 6 = 0 0 cos ® sin ® 4 u2 | {z } | {z } qeL R |

U1 U2 U3 U4 {z

qeS

3 7 7 5 }

qeL y qeS representant los grados de libertad del elemento en los ejes locales y estructurales, respectivamente. Dado que la energía es invariante respecto del sistema de referencia: n n 1X T 1X T Ue = q KeLqeL = q KeS qeS 2 e=1 eL 2 e=1 eS

entonces KeS = RT KeLR E jem plo 32 Para el elemento de barra:

KeS =

cos ® sin ® 0 0 0 0 cos ® sin ®

¸T

EA l

1 ¡1 ¡1 1

¸

cos ® sin ® 0 0 0 0 cos ® sin ®

¸


con Maple (en Scienti c): 2 cos2 ® cos ® sin ® ¡ cos2 ® ¡ cos ® sin ® 2 EA 6 sin ® ¡ cos ® sin ® ¡ sin2 ® 6 KeS = cos2 ® cos ® sin ® l 4 sim: sin2 ®

108

3 7 7 5

Para el calculo de la energia cinetica en los ejes globales se debe añadir la energia por movimientos transversales al eje de la barra

MeS

3 0 1 0 ml 6 2 0 1 7 7 6 = 2 0 5 6 4 sim: 2 2

2

El proceso de ensamble de los elementos se puede organizar así: 1. Identi car los grados de libertad estructurales para formar el vector de desplazamientos estructurales q, 2. Se construye para cada elemento el vector de localización, 3. Se construyen las matrices elementales de rigidez y masa en las coordenadas globales, 4. Se ensamblan. En Matlab: > for i=1:n {rutina para actualizar locel y Ke} > K(locel,locel)=Ke > end 5. Se jan los grados de libertad (y se reducen las matrices).

(7.7)


7.3.4

109

Viga

Si las cargas estáticas de una viga corresponden a fuerzas y momentos, la deformada puede ser descrita de manera exacta por un polinomio cúbico: y(x) = a + bx + cx2 + dx3 que támbien puede ser descrito en términos de los desplazamientos en los nodos: a = y1 b = y2 y3 ¡ y1 y4 + 2y2 ¡ c = 3 l2 l2 y1 ¡ y3 y4 + y2 ¡ d = 2 l3 l2 con lo que (usando el cambio adimensional » = xl ) ¡ ¢ ¡ ¢ y(x) = 1 ¡ 3» 2 + 2» 3 y1 + » (1 ¡ »)2 y2 + 3»2 ¡ 2» 3 y3 + » 2 (» ¡ 1)y4 | {z } | {z } | {z } | {z } n2(»)

n1(»)

n3(»)

ue(x;t) = Ne(»)qe(t)

con

2

3 1 ¡ 3»2 + 2»3 6 » (1 ¡ »)2 7 7 Ne(») = 6 4 3» 2 ¡ 2» 3 5 » 2 (» ¡ 1) Ke =

Z

BT HBdV

V

¶T µ 2 ¶ d N d2 N = EI(») d» 2 d» d» 2 0 2 3 12 6l ¡12 6l EI 6 4l2 ¡6l 2l2 7 6 7 12 ¡6l 5 l3 4 sim 4l2 Z1

µ

n4(»)

CA PÍ TUL O 7. SISTEM A S CON N GRA DOS DE L IB ERTA D n1

110

n2

1

0.2

0.8 0.15 0.6 0.1 0.4 0.05 0.2

0 0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

n3

0.6

0.8

1

0.6

0.8

1

n4

1

0.2

0.8 0.15 0.6 0.1 0.4 0.05 0.2

0 0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

Figura 7.5: Funciones de forma para la viga Me =

Z

½NT NdV

V

= m

Z1 0

NT Nd» 2

3 156 22l 54 ¡13l m 6 4l2 13l ¡3l2 7 6 7 = 156 ¡22l 5 420 4 sim 4l2

Los terminos no diagonales son pequeños en general asi como las inercias asociadas a las rotaciones. Es practico utlizar la mtriz de masas concentradas (que corresponde a considerar la masa concentrada en los extremos de la viga): 2 3 1 7 m6 0 7 Me = = 6 5 1 2 4 0


111

E jem plo 33 Viga empotrada en ambos extremos. Los vectores de localización

son: locel1 = locel2 =

£

£

1 2 3 4 3 4 5 6

¤T

¤T

Siguiente el proceso 7.7, la matriz de rigidez sin jaciones es2: 2 12 6l ¡12 6l 2 6 4l ¡6l 2l2 6 EI 6 12 + 12 ¡6l + 6l ¡12 6l 6 6 3 4l2 + 4l2 ¡6l 2l2 l 6 4 12 ¡6l sim: 4l2

3 7 7 7 7 7 7 5

£ ¤T y el vector de grados de libertad jos es 1 2 5 6 entonces: ¸ EI 24 0 K= 3 8l2 l

Similarmente para la matriz de masa3: m M= 420

312

0 8l2

¸

Las frecuencias naturales del sistema (K; M ) son (para L = 2l): EI M L3 EI = 6720:0 M L3

! 21 = 516:92 ! 22

las que pueden ser comparadas con las frecuencias naturales exactas: EI M L3 EI = 3803:1 M L3

! 21 = 500:55 ! 22 2l

coresponde al largo del elemento. es la masa de elemento M = 2m

3m


112

Si aplicamos matriz de masas concentradas: m M= 2

2 0 0 0

¸

Con lo que las frecuencias naturales son aproximadas por: ! 21 = 384 ! 22 = 1

EI ML3

Notese que la primera frecuencia fue subestimada. E jercicio 14 Resuelva el mismo problema modelando con 3 elementos con y sin masas concentradas. Compare frecuencias naturales. E jercicio 15 Usando 2 elementos, calcule la respuesta a una fuerza f = F0 sin !t

aplicada en el centro de la viga.

C apítulo 8 C adena de m edición 8.1

Introducción

La cadena de medición considera todas las etapas por las que pasa la señal adquirida por el transductor. Estas son:

8.1.1

Transducción

el sensor transforma la señal desde su dominio natural (velocidad, aceleración,...) a señal eléctrica.

8.1.2

Acondicionam iento

la señal es tratada por: ² Filtro DC, a n de aprovechar el fondo de escala (si la componente estática no es interesante, contraejemplo: sensor de desplazamiento). ver §4.4. ² Ampli cador, las señales generadas por el transductor pueden ser muy pequeñas y no aprovechar el fondo de escala del ADC. ² Filtro Antialiasing, que evita que la señal digital absorba componentes no distinguibles a causa de la frecuencia de muestreo del ADC (ref. §4.2.3). ² Circuito de Integración, la señal integrada antes de ser digital. Se reduce el efecto de ski-slope:

113

CA PÍ TUL O 8. CA DENA DE M EDICIÓN

8.1.3

114

Digitalización

la señal análogica es convertida en señal digital (discreta) por el conversor analogodigital (ADC).

8.1.4

Procesam iento

la señal es ltrada digitalmente, decimada, integrada digitalmente, procesada por la transformada rápida de Fourier,etc. El ltro digital permite absoluta exibilidad, lo que no es el caso de un ltro análogo que usualmente tiene frecuencia de corte jas. La decimación permite reducir la frecuencia de muestreo, y con ello el numero de datos a procesar.

8.1.5

Registro

Se graban los datos. Cabe mencionar que el registro puede ser realizado antes de ser procesado. Es el caso de las grabadoras digitales DAT y colectores de datos (data loggers), que permiten realizar el análisis a posteriori (en batch).

8.2

Sensores

Existen varios tipos de transductores: de desplazamiento, velocidad, aceleración, laser doppler, strain gages,...

8.2.1

Sensores de desplazam iento sin o

este tipo de sensor mide la distancia relativa entre su punto de jación (caja del eje por ejemplo) y el eje. Su mecanismo de funcionamiento se basa en corrientes parásitas que se generan en una bobina ( gura 8.1). Para su funcionamiento, la señal generada por el sensor debe ser tratada por un oscilador demodulador (driver) que a su vez está alimentado por una fuente de poder. El driver proporciona voltaje de muy alta frecuencia a la bobina, lo que produce un campo magnetico que induce corrientes parasitas en el eje (siempre que sea metálico). Ello producirá variaciones de voltaje en la bobina (modulado), que son proporcionales a la distancia al eje (en un cierto rango , usualmente 2-3 mm). Este tipo de sensor se aplica para medir movimientos relativos eje/descanso tanto dinámicos como estáticos.

115


Bobina

Figura 8.1: Sensor de desplazamiento sin o

Figura 8.2: Esquema de un sensor de desplazamiento Sensibilidad depende de material del eje Los espectros medidos con este tipo de sensor son validos en el rango:0-1000 Hz. Una de sus ventajas es que mide desde la componente DC, lo que es usado para veri car posición axial de ejes. Támbien puede ser aplicado como sensor de fase (ver gura 8.3). El uso de 2 sensores permite establecer la orbita que sigue el eje (grá co de Lissajous). Su montaje se di culta pues es necesario perforar las carcasas, la necesidad de tener una rugosidad del eje minima (<0.4 a 0.8 ¹m según la norma API 670) y la redondez del eje. En máquinas con descansos axiales se utlizan los sensores de desplzamiento para evaluar el desgaste del descanso.


116

Figura 8.3: Aplicación como tacometro y sensor de posición Las parte de la señal asociada a imperfecciones en la super cie es llamada runout mecánico. La parte de la señal asociada a diferencias en la conductividad eléctrica del eje es llamada runout eléctrico. Ellas pueden ser sustraidas al medir a giro lento. Por supuesto se necesitará una referencia (un sensor de fase). La longitud asi como el blindaje del cable que va desde el sensor al driver in uye en el nivel de ruidos de la señal. Es comun usar cables blindados de hasta 5 u 8 m. E jercicio 16 Construya un modelo (Simulink) para veri car el efecto del runout

mecánico en la señal. Construya una curva radio vs angulo c/r a la chaveta. Asuma que el centro de gravedad del eje tiene una orbita circular. Compare orbitas y espectros reales y ”medidos”.

8.2.2

Sensores de desplazam iento con o

Tecnología en desuso. Valida hasta 10-12 Km.

8.2.3

Sensor de velocidad de bobina

Este tipo de sensor genera una señal de voltaje cuando el iman de masa m (sostenida con un resorte k muy exible) se muede con respecto a una bobina que es solidaria a la super cie a medir. La fuerza electromotriz e generada es proporcional a la velocidad relativa. Si pla frecuencia de la vibración es varias veces superior a la frecuencia natural 2¼ k=m Hz, la masa estára practicamente ja con respecto de un observador inercial. Dado que la señal es autogenerada, no se necesita acondicionamiento. El rango lineal de los velocimetros es 10-1500 Hz. Sobre esta frecuencia aparecen otras frecuencias naturales del sistema masa resorte.


Figura 8.4: Sensor de desplazamiento sin o

Figura 8.5: Funcionamiento de un velocímetro

117


118

E jercicio 17 Construya un velocimetro. Con el uso de un shaker estime su sensi-

bilidad y rango lineal.

8.2.4

Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer)

En este caso, dentro de la misma carcasa del sensor se ha puesto un acelerómetro piezoelectrico (ver §8.2.5) y un circuito integrador. Se requiere una fuente de voltaje. Su rango lineal es similar al de un acelerometro y por tanto es mucho mayor que el de un velocimetro de bobina.

8.2.5

Acelerómetro piezoeléctrico

Es el tipo de sensor más usado actualmente. El principio de funcionamiento se basa en que los materiales piezoeléctricos (quarzo por ejemplo) generan micro voltaje al ser deformados. En la gura 8.6 se muestra un montaje de acelerometro industrial. El material piezoelectrico está jo a la carcaza del sensor y sostiene una masa (funciona como una viga empotrada). Este tipo de con guración trabaja al corte. Hay otros tipos que funcionan por compresión (ver gura 8.7). La señal generada tiene un valor muy bajo en voltaje y una alta impedancia, por lo que no puede ser usada directamente por los instrumentos clasicos. A n de resolver el problema se utiliza un ampli cador que puede estar incluido en la misma carcasa del acelerometro (I, Integrated Circuit Piezoelectric). En caso de ser externo es un llamado ampli cador de carga. Debido a su naturaleza, la señal de aceleración es muy pequeña para bajas frecuencias. Ello limita usualmente el rango inferior del acelerometro a 1-2 Hz. La primera frecuencia natural del sistema limita el rango superior Operan bajo la primera frec. nat. En gura ?? se muestra la in uencia del tipo de sujeción en la frecuencia natural. De lo anterior un rango lineal tipico es 2-5000 Hz. Los ”probe tips” se usan con colectores de datos para areas de di cil accesso o carcasas no metalicas (aluminio). No deben uarse para mediciones bajo 10 Hz. La frecuencia de resonancia está en el rango 800-1500 Hz.

8.2.6

Saturación de aceleróm etros

Un rango de medición usual para un acelerometro industrial es de 50g. Si este valor es superado, el sensor producirá señales erroneas. Vease por ejemplo la


Figura 8.6: Esquema de un acelerómetro trabajando al corte

Figura 8.7: Esquema de un acelerómetro

119


Figura 8.8: Esquema de acelerómetro I

Figura 8.9: Resonancia de acuerdo al tipo de base

120


121

Figura 8.10: Especi caciones gura 8.11 donde la señal está truncada. Ello incrementrará las componentes a baja frecuencia en la señal y producirá el efecto ski-slope que se ve en el espectro ( gura 8.12).

8.2.7

Selección de acelerómetros

² Rango de frecuencias ² Amplitud de vibración mínima ² Amplitud de vibración máxima ² Rango de temperaturas ² Condiciones ambientales ( uidos, gases, quimicos) ² Método de montaje ² Restricciones físicas El rango de frecuencias depende de los elementos a monitorear. Ejemplos:


Figura 8.11: Saturación de acelerómetros

Figura 8.12: Efecto ski slope

122


123

² Rodamientos - 20-40 veces la velocidad del eje ² Cojinetes - 10-20 veces la velocidad del eje ² Engranajes - 3.5 veces la frecuencia de engrane ² Motores eléctricos - 3.5 veces la frecuencia de las barras. Lá amplitud mínima de la vibración solo se considera para equipos de baja velocidad, la señal física debe ser al menos 5 veces el ruido del ampli cador. La amplitud máxima no debe superar el nivel de saturación del sensor. Para un acelerometro industrial típico de 100 mV/g este valor es de 50-80g. Para el montaje, se debe evitar la posibilidad de capturar resonancias de la caja o punto de jación. Se aconseja usar puntos duros cerca de los rodamientos.

8.2.8

Filtros [1]

Los ltros pueden ser divididos en 4 tipos según la parte del espectro que dejen pasar o detengan: ² Filtro pasa-bajos ² Filtro pasa-altos ² Filtro pasa-bandas ² Filtro para-pandas.

8.2.9

Filtros pasa-bandas

Un ltro pasa-banda ideal solo deja pasar las componentes espectrales que estén el intervalo [f1 ,f2] ( gura 8.14). En la practica, las componentes fuera de este intervalo pasarán pero de manera atenuada. Miestras mas alejadas estén del intervalo mayor será el nivel de atenuación. El ancho de badna de un ltro puede ser expresada de 2 maneras: 1. El ancho de banda a -3 dB (o media potencia) 2. El ancho de banda de ruido efectivo


Figura 8.13: Tipos de ltro

Figura 8.14: Filtro pasa-banda

124


125

Figura 8.15: Tipos de ltros pasa-banda El ancho de banda a -3 dB y el ancho de banda de ruido efectivo son practicamente identicos para la mayoria de los ltros. Los ltros pasa-banda pueden ser clasi cados en: 1. Filtros con ancho de banda constante donde el ancho de banda es constante e independiente de la frequencia central del ltro 2. Filtros con ancho de banda relativo donde el ancho de banda es especi cado como un porcentaje de la frecuencia central por lo que a mayor frecuencia mayor es el ancho de banda. Observación 60 Los ltros con ancho de banda constante tienen ancho de banda

iguales si el espectro es mostrado con el eje en frecuencias lineal los ltros con ancho de banda relativo tienen ancho de banda iguales si el espectro es mostrado con el eje en frecuencias logaritmico. E jem plo 34 Un ltro de 1/1 octavas es un ltro con ancho de banda relativopde

70%. Por ejemplo, si la frecuencia central es 2 Hz, el ancho de banda será 2 Hz y entonces: p p f1 = 2 ¡ 2=2 = 2 p p 5 2 f2 = 2 + 2=2 = 2 Se dice que el ltro es de 1 octava porque f 2 = 2f1 . Una octava corresponde a un facto de 2 en la escala de frecuencia osea, al doble o la mitad de la frecuencia central.


126

Figura 8.16: Parámetros de calidad de un ltro PB Observación 61 Otros ltros muy usados son el de un tercio de octava (23%) y

el de una decada (f2 = 10f1 ). La calidad de un ltro puede ser especi cada de diferentes maneras: 1. El factor de calidad (Q-factor). Muy usado para describir la respuesta en una zona de resonancia de una estructura mecánica (que actua como un ltro PB para las excitaciones) 2. Factor de forma. Usado para especi car la calidad de un ltro con ancho de banda constante. 3. Selectividad de octavas. Usado para ltros con banda de ancho relativo. Se especi ca en octavas ( gura 8.16). Como regla general, los ltros con banda de ancho constante son usados para medidas de vibraciones. Ello se debe a que en las vibraciones aparecen comunmente componentes harmonicas que son más faciles de mostrar en un escala lineal de frecuencias. Los ltros con ancho de banda relativo son más usados en acústica.

8.2.10

Colectores

Los ADC actuales son de 16 bits, frecuencia máxima 40 KHz, Rutas son con guradas desde software en PC desktop, señal tacometro, 1,2 canales de adquisición. Entre las marcas que dominan el mercado se tiene CSI,Predict,Bently Nevada, Entek IRD, Bruel & Kjaer, Diagnostic Instruments, Framatome, Schenck.


Figura 8.17: Colector Predict DCA-20

Figura 8.18: Uso del colector

127

C apítulo 9 M odelos sim ples de rotores 9.1

R otor rígido sim étrico en descansos exibles

Considerese el rotor de gura 9.1 que consta de un eje rígido de masa despreciable y un disco de masa M que tiene un desbalanceamiento m situado a una distrancia e del centro del eje. El centro de gravedad se ubica en el punto G. El eje gira con frecuencia ! rad/s y está soportado por descansos elasticos con constantes kx y kx respectivamente. Las vibraciones trnasversales de tal sistema pueden ser modelados con el sistema de ecuaciones: Mx Ä + kx x = me! 2 cos !t M yÄ + kx y = me! 2 sin !t Observación 62 Note como crece rapidamente la fuerza excitadora con la fre-

cuencia. El sistema está desacoplado por lo que la solución es la dos sistemas de 1 grado de libertad:

Kx Ky/2

Ky/2

Figura 9.1: Rotor rígido simétrico 128

G

Ky

CA PÍ TUL O 9. M ODEL OS SI M PL ES DE ROTORES

129

meω2

Figura 9.2: Fuerza centrifuga ocasionada por el desbalance m ¢ e

(!=! x )2 cos !t 1 ¡ (!=! x )2 (!=! y )2 y(t) = Y0 sin !t = e sin !t 1 ¡ (!=! y )2 p p donde ! x = kx =M y ! x = kx =M son las frecuencias naturales en los ejes horizontal y vertical respectivamente. Cuando la frecuencia de rotación ! tiende a cero tambien lo hace la vibración ( gura 9.3). Al pasar por la frecuencia natural se producen grandes amplitudes. Luego la amplitud tiende asintoticamente a tener amplitud e (el rotor gira sobre G). La orbita que describe el centro del eje es eliptica: x(t) = X0 cos !t = e

x2(t) = cos2 !t X02 y 2 (t) = sin2 !t Y02 = 1 ¡ cos2 !t

(9.1)

(9.2)

130

CA PÍ TUL O 9. M ODEL OS SI M PL ES DE ROTORES 10

10

4

2

x/e 10

10

0

-2

7 6 5 4 3 2 1 0 10

-4

0

1

2

3

4

5

6

7

w/wx Figura 9.3: Respuesta al desbalance Sustituyendo (9.1) en (9.2): x2(t) y 2 (t) + =1 X02 Y02 En caso de que kx = ky la orbita es circular. Si de nimos µ(t) como el angulo donde se ubica el centro del eje se tiene que: 2

(!=!x ) e 1¡(!=! 2 cos !t ! 2x ¡ ! 2 y x) tan µ = = (!=! )2 = 2 tan !t x !y ¡ !2 e 1¡(!=!y )2 sin !t y

Dependiendo de la velocidad de giro !, el eje puede girar en sentido contrario a la rotación. Se dice que tiene giro hacia atras (backward whirl).

131

CA PÍ TUL O 9. M ODEL OS SI M PL ES DE ROTORES

9.2 9.2.1

R otor

exible en descansos rígidos

Rotor de Jeffcott

Considera un disco de masa M situado al centro de un eje sin masas y descansos rígidos. El eje tiene una rígidez lateral k. Como el sistema es simétrico en los planos vertical y horizontal, ! x = ! y = !n . Considerando un nivel de amortiguamiento, las ecuaciones del movimiento del centro del eje son: M xÄ + cx_ + kx = me! 2 cos !t M yÄ + cy_ + ky = me! 2 sin !t

(9.3)

Notese que secinsidera rigidez simetrica en ambos planos. Si de nimos r = x + iy se puede expresar como: M rÄ + cr_ + kr = me! 2 ej!t cuya solución es r = R0 ej(!t¡Á) R0 = e s

1¡

³

2» !!n tan Á = ³ ´2 1 ¡ !!n

³ ! !n

! !n

´2

´2¸ 2

+

h

2» !!n

i2

Cuando ! ' ! n se producen grandes amplitudes y se habla de velocidad crítica. Las ecuaciones 9.3 son iguales a las de una viga simplemente apoyada que recibe excitación en dos direcciones (con EIx = EIy ). Sin embargo es conveniente recordar que: el modelo de viga no toma en cuenta la rigidización que ocurre por el efecto giroscopico. En una viga se producen de exiones dinamicas lo que induce mecanismos de disipación de energía y fatiga. En el caso de un rotor, este gira como una viga de ectada sin cambiar su curvatura dinámicamente.

Apéndice A Ejem plo M atlab » K=[1 -1 -1 1] » M=[1 0 0 1] » [Q,Omega2]=eig(K,M) Q= 0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 Omega2 = 00 0 2.0000 »

132

Apéndice B Ejem plo M atlab » K=[2 -1 -1 1] » M=eye(2,2) » C=.2*K » A=[K O O -M] » B=[C M M O] » [Q,V]=eig(A,-B) Q= 0.4435 - 0.0574i 0.0897 - 0.4381i 0.4471 - 0.0114i 0.0213 + 0.4467i -0.2741 + 0.0355i -0.0555 + 0.2708i 0.7234 - 0.0185i 0.0345 + 0.7228i -0.0244 + 0.7232i -0.7230 - 0.0286i -0.0100 + 0.2762i 0.2747 - 0.0302i 0.0151 - 0.4470i 0.4469 + 0.0177i -0.0162 + 0.4469i 0.4445 - 0.0489i V= -0.2618 + 1.5967i 0 0 0 0 -0.2618 - 1.5967i 0 0 0 0 -0.0382 + 0.6169i 0 0 0 0 -0.0382 - 0.6169i » Notese que los modos contienen numeros complejos. Si son normalizados, se veri ca que corresponden a modos normales. Como ejemplo tomemos el primer vector r1 con raiz ¸ = ¡0:2618 + 1:5967i: 8 9 0:4435 ¡ 0:0574i > > > > < = ¡0:2741 + 0:0355i r1 = ¡0:0244 + 0:7232i > > > > : ; 0:0151 ¡ 0:4470i 133

134

A PÉNDICE B . EJEM PL O M ATL A B

Dividamos por su primer elemento: 8 0:4435 ¡ 0:0574i > > < 1 ¡0:2741 + 0:0355i r1 = ¡0:0244 + 0:7232i 0:4435 ¡ 0:0574i > > : 0:0151 ¡ 0:4470i

9 > > =

8 > > <

1 ¡0:6118 = > > ¡0:2618 + 1:5967i > ; > : 0:1618 ¡ 0:9868i

por lo que q1 =

½

1 ¡0:6118

¾

y veri quemos que el tercer y cuarto elemento de r1 corresponden a ¸ 1 q1 : ½ ¾p½ ¾ 1 ¡0:2618 + 1:5967i ¸1 q1 = ¡0:2618 + 1:5967i = ¡0:6118 0:1618 ¡ 0:9868i

9 > > = > > ;

Apéndice C A lgunas form ulas utiles d cos x = ¡ sin x dx d sin x = cos x dx Para µ pequeño: cos µ ¼ 1 sin µ ¼ µ

135

Apéndice D D e exión en vigas

136

A PÉNDICE D. DEFL EX I ÓN EN V I GA S

Figura D.1: Viga en voladizo

137

Apéndice E M étodo de aceleraciónes m odales %metodo de aceleraciones modales %sistema K=[2 -1 -1 1] M=eye(2,2) [Q,V]=eig(K,M) w1=sqrt(V(2,2)) %primera frecuencia natural en rad/s w=0.9*w1 %frecuencia excitadora f=[1 0]’ %fuerza excitadora %respuesta por metodo directo Z=K-w^2*M %rigidez dinamica x=inv(Z)*f %rta exacta por metodo directo %respuesta aprox por metodo modal con un solo modo mu=Q’*M*Q %masas modales gamma=Q’*K*Q %rigidez modal fm=Q’*f %proyección de f en la base modal a=fm(2)/(gamma(2,2)-w^2*mu(2,2)) %participacion del modo asociado a la 1era frecuencia natural xx=a*Q(:,2) %aproximacion con un modo errorxx=norm(xx-x)/norm(x) macxx=((x’*xx)/norm(x)/norm(xx))^2 %%respuesta aprox con metodo de aceleraciones modales xxx=(w/w1)^2*xx+inv(K)*f errorxxx=norm(xxx-x)/norm(x) macxxx=((x’*xxx)/norm(x)/norm(xxx))^2

138

Apéndice F Tarea de elem entos nitos Las barras de la estructura poseen rigidez EA y masa por unidad de longitud ½A. 1. Exprese las matrices de masa y rigidez 2. Calcule las frecuencias naturales si ½AL = EA = L = 1 3. Represente gra camente los modos propios de la estructura 4. Calcule la respuesta forzada estacionaria si se aplica una excitación puntual en el nodo 5, en la dirección vertical, de la forma: f (t) = 5 sin (0:9! 1 t) donde ! 1 corresponde a la primera frecuencia natural. Represente gra camente. 5

4 7

1

1

2

L

5

L

6

9

8

2

L

6

3

3

L

Figura F.1: Estructura bidimensional de barras 139

4

Bibliografía [1] Machine Condition Monitoring Using Vibration Analysis. Number BA 705913. Bruel & Kjaer. [2] Spectrum analysis amplitude and frequency modulation. Technical Report 150-1, Agilent Technologies, 1996. [3] R.D. Blevins. Formulas for Natural Frequency and Mode Shape. Van Nostrand Reinhold. [4] R.R. Craig. Structural Dynamics. [5] J.P. Den Hartog. Transmission line vibration due to sleet. Transtactions of the American Institute of Electric Engineers, pages 1074–1086, 1932. [6] D.J. Ewins. Measurement and application of mechanical impedance data. Journal of the Society of Environmental Engineers, pages 3–9, December 1975.

140

Vibraciones Mecanicas 1td2d

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