Vectorial 38212j

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA Facultad de Ciencias. Dpto. de Matem´ aticas C´ alculo Vectorial Ingenier´ıa. Profesor: Eduardo E. Kassir

JUSTIFICACION. El c´alculo vectorial optimiza modelos funcionales en los cuales el valor de una cantidad puede depender de dos o m´as valores, convirti´endolo en un instrumento matem´atico ideal que permite comprender, plantear y solucionar problemas a partir de modelos propios, como aquellos relacionados con: ´areas y vol´ umenes, trabajo, flujo de fluidos en tuber´ıas abiertas o cerradas, de campos magn´eticos y el´ectricos en la materia o en el vac´ıo, de campos gravitacionales, t´ermicos, de momentum, flujos de masa. OBJETIVOS. Generalizar los temas de c´ alculo diferencial e integral sobre funciones de varias variables utilizando las bases dadas por el c´alculo diferencial e integral de una variable, el ´algebra lineal y la geometr´ıa anal´ıtica. Adquirir formalmente un conjunto de conocimientos, habilidades y aptitudes, que el estudiante, la industria y la academia requiere para una futura generaci´on de ingenieros. Estas metas son la base del dise˜ no racional del curr´ıculo el cual esta fundamentado en: 1. Conocimiento t´ecnico y razonamiento. 2. Habilidades personales y profesionales. 3. Habilidades interpersonales. METODOLOGIA.

1. Presentaci´on de un problema o de una situaci´on problemica. 2. Desarrollo de la teor´ıa para la construcci´ on del modelo matem´atico. 3. Uso de la teor´ıa y la tecnolog´ıa para la soluci´on y simulaci´on del modelo. EVALUACION. 1. Primer parcial 30% 2. Segundo parcial 30% 3. Talleres de clase 20% 4. Proyectos 20%

PLANEACION DEL CURSO. I. Preliminares (a) Presentaci´ on y objetivos del curso. (b) Modelaci´on matem´ atica. (c) Herramientas computacionales (d) Proyecto: Edificaciones Emiratos Arabes

ss (e) Geometr´ıa del espacio vectorial Euclidiano El espacio vectorial Rn Rectas y planos Superficies Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas (f) Taller 1 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Un cilindro es una superficie cuya directriz es un circulo. B. La intersecci´ on entre dos superficies es una curva cerrada. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Cu´al de las siguientes ecuaciones no representa una superficie de revoluci´on. 2 2 A. z = e−x −y B. y = ln(x2 + z 2 ) C. x = yz D. sen2 x = y 2 + z 2 3. Cu´al de las siguientes curvas no es traza de la superficie z = x2 − y 2 A. Rectas B. Parabolas C. Hiperbolas D. Circulos Preguntas de completar 4. La superficie con ecuaci´ on 4x2 + y 2 + 4z 2 − 4y − 24z + 36 = 0 es: 5. La intersecci´ on entre las superficies x2 + y 2 = 1 y x2 + z 2 = 1 es:

Preguntas de estimaci´ on 6. Relacione la gr´ afica de cada cilindro con su directriz:

A. x = y 2 + 1

B. yz = 1

C. z =

√

x

7. Relacione la gr´ afica de la superficie con sus trazas:

A. Trazas xy

B. Trazas xz

C. Trazas yz

Preguntas abiertas 8. Halle la ecuaci´ on de la superficie que consta de los puntos P (x, y, z) tales que la distancia de P al eje y sea el doble de la distancia de P al plano xz 9. Encuentre una ecuaci´ on en coordenadas cilindricas y una ecuaci´on en coordenadas rectangulares equivalente a la ecuaci´ on ρsenφcosθ = 1. 10. Encuentre una ecuaci´ on en coordenadas rectangulares y una ecuaci´on en coordenadas esfericas equivalente a la ecuaci´ on r2 cos(2θ) + z 2 = 1.

II. Funciones vectoriales (a) Proyecto: Angry Bird

ss (b) Funciones vectoriales Dominio y gr´ afica Algebra de funciones vectoriales Derivada Vectores tangentes Integral Movimiento a lo largo de una curva. Lanzamiento de proyectiles. (c) Taller 2 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Si dos objetos se desplazan por el plano o por espacio siguiendo dos trayectorias r(t) y s(t) respectivamente que se intersectan, entonces colisionaran. B. Diferentes funciones vectoriales pueden representar la misma curva. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. La gr´afica de la funci´ on vectorial r(t) =< e−t cost, e−t sent, e−t > se encuentra en: A. Una esfera B. Un elipsoide C. Un paraboloide D. Un cono 3. Si la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio est´a determinada por r(t) =< 4t, 3cost, 3sent >, es correcto afirmar que: A. d(t) =< 2t2 , 3sent, −3cost > es su posici´on B. v(t) =< 4, −3sent, 3cost > es su velocidad C. a(t) =< 4, −3cost, −3sent > es su aceleraci´on D. 25 es su r´ apidez Preguntas de completar 4. Un vector tangente unitario a r(t) =< Z 5. Al evaluar la integral 0

1

√

t, t, t2 > en t = 1 es igual a:

4 2t j+ k dt se obtiene: 1 + t2 1 + t2

Preguntas de estimaci´ on 6. En la tabla dada se registra la posici´on de una part´ıcula que se desplaza por el espacio a lo largo de una curva suave. Estime la velocidad y la rapidez de la part´ıcula en t = 1. t x y z 0 2.5 6.7 4.3 1 2.8 7.2 3.6 2 3.1 8.5 2.6 7. La gr´afica muestra la trayectoria de una part´ıcula que se mueve con vector posici´on r(t) en el tiempo t. Estime la velocidad y la rapidez de la part´ıcula en t = 2.

Preguntas abiertas 8. Encuentre una funci´ on vectorial que represente la curva intersecci´on entre el paraboloide y = x2 +z 2 y el cilindro parab´ olico z = x2 . 9. En el instante t = 0 una part´ıcula sale despedida de la superficie x2 + 3y 2 + 4z 2 = 7 por el punto (0, 1, 1), en una direcci´ on normal a la superficie a una velocidad de 5 unidades por segundo. ¿En que instante atraviesa la esfera x2 + y 2 + z 2 = 130? 10. Si la aceleraci´ on de una part´ıcula es a(t) = 2i + 6tj + 12t2 k, con velocidad y posici´on inicial v(0) = i y r(0) = j − k determine velocidad y posici´on de la part´ıcula en cualquier instante.

III. Campos escalares (a) Proyecto: Concentraci´ on de un f´ armaco en el torrente sangu´ıneo.

ss (b) Campos escalares Dominio y rango Gr´aficas y conjuntos de nivel Secciones transversales Algebra de campos escalares (c) Taller 3 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Es posible hallar la compuesta de dos campos escalares. B. Ning´ un campo escalar posee inversa. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 1 2. Para el campo escalar F (x, y) = p se puede afirmar que su dominio es igual a: 4 − x2 − y 2 A. R B. R2 C. {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 6= 4} D. {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 4} 3. Cuales de las siguientes superficies no son conjuntos de nivel del campo escalar F (x, y, z) = x2 + y2 − z2 A. Esferas hojas

B. Conos

C. Hiperboloides de una hoja

D. Hiperboloides de dos

Preguntas de completar 4. El rango del campo escalar F (x, y) = sen−1 (y − x2 ) es igual a: 5. Las curvas de nivel del campo escalar F (r, θ) =

cos(2θ) son: r2

Preguntas de estimaci´ on 6. En la tabla dada se registran los planes de telefon´ıa celular del operador KASSIR P (m, g) (en miles de pesos) m representa el n´ umero de minutos y g representa la cantidad de gigas en internet.

P 100 1.0 25 1.5 30 2.0 34 3.0 38 Determine dominio, rango y gr´ afica de P .

150 28 35 38 44

300 34 44 51 57

500 45 52 63 73

7. Si la cantidad de calor requerida H(T, w) (en calor´ıas por unidad c´ ubica metro de niebla) para despejar la neblina de un aeropuerto, depende de la temperatura del aire T (En o C), y la humedad de la niebla w (en gramos por c´ ubico Metro de niebla). A partir de las siguientes gr´ aficas de H Contra T con w fijo, estime H(t, w) para T = 0, 10, 20, 30, 40 y w = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4

Preguntas abiertas 8. A partir de F (x − y, x + y) =

x determine F (x, y), su dominio y su rango. y

9. Una cuerda de guitarra que vibra se tensa a lo largo del eje x, entre x = 0 y x = π, si el campo escalar F (x, t) = costsenx, determina el desplazamiento en un tiempo t, de un punto x de la cuerda. ¿Que representan las funciones F (x, 0), F (x, 1), F (0, t) y F (1, t)? 10. Para la funci´ on de producci´ on de Cobb-Douglas P (L, K) = 50L0.6 K 0.4 , donde L representa la cantidad de mano de obra (horas trabajadas en un a˜ no) y K representa al capital invertido (maquinaria, equipo y sedes, en miles de d´ olares), que ocurre si: A. Se duplica: la mano de obra. B. Se duplica el capital invertido C. Se duplica tanto la mano de obra como el capital invertido.

1. [IV.] Derivadas direccionales (a) Proyecto: Ola en el estadio

ss (b) Derivadas Derivadas Derivadas Derivadas

direccionales. parciales direccionales parciales de orden superior

(c) Taller 4 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Toda derivada parcial de un campo escalar F es derivada direccional. B. Si las derivadas parciales mixtas de un campo escalar F en un punto (a, b) existen entonces son iguales. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Las derivadas parciales del campo escalar F (x, y) = √ 1 1 √ A. Fx (x, y) = √ + y, Fy (x, y) = x + √ 2 y 2 x 1 1 √ B. Fx (x, y) = √ + y , Fy (x, y) = √ 2 y 2 x √ 1 1 C. Fx (x, y) = √ , Fy (x, y) = x + √ 2 y 2 x 1 1 D. Fx (x, y) = √ , Fy (x, y) = √ 2 y 2 x

√

x+

√

y, son iguales a:

3. La derivada direccional del campo escalar F (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 en el punto P (1, −1, 0) en direcci´ on al punto Q(2, 1, 2) es igual a: A. 0

B. 2

C. −2

D. −6

Preguntas de completar Z

yz

4. Si F (x, y, z) =

costdt, entonces x2 +z 2

∂F = ∂z

5. La derivada direccional del campo escalar F (x, y) = x2 y + 2xy 4 , en el punto P (1, 2) en direcci´ on π dada por el ´ angulo θ = es igual a: 3

Preguntas de estimaci´ on 6. A partir de la tabla de los planes de telefon´ıa celular del operador KASSIR P (m, g) estime Pg (1.5, 150) y Pm (300, 2.0) P 100 150 300 500 1.0 25 28 34 45 1.5 30 35 44 52 2.0 34 38 51 63 3.0 38 44 57 73 7. A partir de las gr´ aficas de las secciones transversales de un campo escalar F estime Fx (0, 0) y Fy (0, 0)

Preguntas abiertas 8. Halle las derivadas parciales de F (x, y) =

√

xy en el origen.

9. Si el volumen comprendido entre dos esferas concentricas de radios r y R, con 0 < r < R est´ a 4π 3 3 (R − r ) determinado por V (r, R) = 3 A. Determine e interprete VR B. Determine e interprete Vr 1 10. Demuestre que el campo escalar F (x, y, z) = p , satisface la ecuaci´on de Laplace x2 + y 2 + z 2 Fxx (x, y) + Fyy (x, y) + Fzz (x, y) = 0

2. [V.] Diferenciabilidad (a) Proyecto: Brazo robotico

ss (b) Diferenciabilidad La diferencial Linealizaci´ on Gradiente Recta normal y plano tangente Derivadas direccionales m´ aximas y m´ınimas (c) Taller 5 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. La diferencial de un campo escalar es una transformaci´on lineal. B. El gradiente de un campo escalar F diferenciable de Rn en R es un campo vectorial G de Rn en Rn . Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Las derivadas direccionales de F (x, y) = senx + seny en cualquier punto (a, b) satisfacen: A. −1 ≤ F 0 ((a, b); v) ≤ 1 √ √ C. − 2 ≤ F 0 ((a, b); v) ≤ 2

B. −2 ≤ F 0 ((a, b); v) ≤ 2 D. 0 ≤ F 0 ((a, b); v) ≤ 2

3. Un vector tangente en el punto (1, 1, 2) a la curva intersecci´on entre el paraboloide z = x2 + y 2 y el elipsoide 4x2 + y 2 + z 2 = 9 es igual a: A. h2, 2, −1i

B. h10, 16, 12i

C. h10, −16, −12i

D. h8, 2, 4i

Preguntas de completar 4. La ecuaci´ on de la recta normal a la superficie determinada por z = x2 − y 2 en el punto (2, 1, 3) es: 5. La ecuaci´ on del plano tangente a la superficie yzexz = 8 en el punto P (0, −4, −2) es:

Preguntas de estimaci´ on 6. Estime el gradiente de F en (1, 1) a partir de sus curvas de nivel.

7. A partir de la gr´ afica del gradiente de un campo escalar F diferenciable en (2, 1) estime la derivada direccional F 0 ((2, 1); v)

Preguntas abiertas 8. Utilice la diferencial total para aproximar

2.012 − 1.052 22 − 12 − 2.01 + 1.05 2+1

9. Demuestre que el campo escalar  3 3  x y − xy , si (x, y) 6= (0, 0), F (x, y) = x2 + y 2  0, si (x, y) = (0, 0) no es diferenciable en el origen. 10. Un p´ajaro carpintero est´ a construyendo su nido en un ´arbol a una altura de 4 m. Si desde all´ı vuela en direcci´ on al punto (1, 0, 4) su temperatura aumenta a raz´on de 20o por m, si vuela en direcci´ on al punto (0,-1,4) su temperatura no cambia, si vuela en direcci´on al punto (0,0,3) su temperatura disminuye a raz´ on de 30o por m. ¿A que raz´on cambia su temperatura cuando vuela en direcci´ on al punto (−1, 1, 5)? Considere el ´arbol como el eje z y su base el origen (0, 0, 0).

3. [VI.] Regla de la cadena y derivaci´ on impl´ıcita (a) Proyecto: Recorrido por la Javeriana

ss (b) Regla de la cadena y derivaci´ on impl´ıcita Regla de la cadena Diagramas Derivada direccional a lo largo de una curva Derivaci´on impl´ıcita (c) Taller 6 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Existe la compuesta de campos escalares. B. Para hallar la derivada direccional de un campo escalar a lo largo de una curva se debe parametrizar la curva. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2 2 2 2 2. la√derivada √ direccional de F (x, y) = 2x y + 3xy a lo largo del c´ırculo x + y = 1 en el punto ( 2/2, 2/2) es igual a: √ √ √ √ 3 2 3 2 2 3 A. − B. −3 2 − C. 4 4 2

3. La ecuaci´ on igual a: x2 A. 2 z

1 1 1 ∂z + + = 1 define impl´ıcitamente a z como una funci´on de x,y, entonces es x y z ∂x B. −

z x

C. −

z2 x2

D. −

x2 z2

Preguntas de completar 4. Las ecuaciones x + y = uv y xy = u − v definen impl´ıcitamente a x y y como funciones de u y v dy entonces = du 5. Las ecuaciones x + y = uv y xy = u − v definen impl´ıcitamente a u y v como funciones de x y y dv entonces = dx

Preguntas de estimaci´ on 6. Con cu´ al diagrama se puede estimar la regla de la cadena para tres variables dependientes y dos variables independientes.

7. A partir de la gr´ afica estime la derivada direccional de un campo escalar F a lo largo de la curva C en (1.5, 4).

Preguntas abiertas √ √ 8. Sea F un campo escalar, C1 y C2 dos curvas tales que: F 0 ((1, 1); C1) = 5, F 0 ((1, 1); C2) = 10 con C1: y = x2 y C2: y = x3 respectivamente. Halle la derivada direccional de F en (1, 1) a lo largo de y = x. 9. La ecuaci´ on cos(x + y) + cos(y + z) = 1 define impl´ıcitamente a z como funci´on de x,y halle

∂2z . ∂x∂y

√ 10. La ecuaci´ on F (xy, x2 + z 2 ) = 0, define impl´ıcitamente una superficie S de R3 , si se cumple que D1 F (1, 2) = 3 y D2 F (1, 2) = −2, halle la ecuaci´on del plano tangente y de la recta normal a S en P (1, 1, 3).

4. [VII.] M´ aximos y m´ınimos (a) Proyecto: Falabella

ss (b) M´aximos y m´ınimos M´aximos y m´ınimos absolutos y relativos Puntos criticos Puntos de silla Criterio del Hessiano Dominios cerrados y acotados (c) Taller 7 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. La matriz hessiana de un campo escalar F diferenciable es sim´etrica. B. Si un campo escalar F posee dos m´aximos relativos entonces posee por lo menos un m´ınimo relativo. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Suponga que (a, b) es un punto critico del campo escalar F y que Fxx (a, b) = 4, Fxy (a, b) = 3, Fyy (a, b) = 2, entonces por el crietrio del hesssiano se puede afirmar que en (a, b): A. Hay m´ aximo

B. Hay m´ınimo

C. Hay punto de silla

D. El criterio no decide.

3. Los valores m´ aximos y m´ınimos del campo escalar F (x, y) = x2 + xy + y 2 − 12x + 6, restringido al rect´angulo 0 ≤ x ≤ 9, −5 ≤ y ≤ 0 son: A. B. C. D.

El m´ aximo absoluto es 31 y ocurre en (0, −5), el m´ınimo absoluto es −42 y ocurre en (8, −4) El m´ aximo absoluto es 42 y ocurre en (0, 6), el m´ınimo absoluto es −42 y ocurre en (8, −4) El m´ aximo absoluto es 31 y ocurre en (0, −5), el m´ınimo absoluto es 6 y ocurre en (0, 0) F no tiene m´ aximos ni m´ınimos Preguntas de completar

4. El campo escalar F (x, y) =

p x2 + y 2 posee en (0, 0):

5. El n´ umero de puntos cr´ıticos del campo escalar F (x, y, z) = arctan(2x2 −y+5z) es:

Preguntas de estimaci´ on 6. A partir de las curvas de nivel del campo escalar F (x, y) = xy(x + 3)(y − 2), estime los puntos criticos de F . 7. A partir de las curvas de nivel del campo escalar F (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 2y + 5, estime los puntos cr´ıticos de F sobre la regi´ on R = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 4} Preguntas abiertas 8. Encuentre e identifique los puntos cr´ıticos del campo escalar F (x, y) = x2 y 2 9. Encuentre e identifique los puntos cr´ıticos del campo escalar F (x, y) = y 3 + 3x2 y − 3x2 − 3y 2 + 2 10. Determine los valores de k para que el campo escalar F (x, y) = x2 + kxy + y 2 en (0, 0) A. Posea m´ınimo B. Posea punto de silla C. El criterio no decida

5. [VIII.] M´ ultiplicadores de Lagrange (a) Proyecto: Las joyas de Tukankamon

ss (b) M´ ultiplicadores de Lagrange Restricciones Lagrangianos (c) Taller 8 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. En multiplicadores de Lagrange un campo escalar F de Rn en R posee a lo m´as n−1 restricciones. B. Utilizando el m´etodo de multiplicadores de lagrange para maximizar F (x, y) sujeto a G(x, y) = k significa que los vectores 5F (x, y) y 5G(x, y) son ortogonales. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. El volumen del m´ aximo paralelepipedo rectangular con tres aristas sobre los ejes positivos y uno de sus v´ertices en el plano 2x + 3y + 6z = 12 es igual a: A. 16 B. 16/9 C. 8 D. 8/9 3. Usted debe dise˜ nar una cubeta para fabricar hielo de costo m´ınimo que contenga 12 pulgadas c´ ubicas de agua, si la bandeja esta dividida en 12 compartimientos iguales de base cuadrada y el costo del material empleado es de U$1 por pulgada cuadrada. De que manera resolver´ıa este problema utilizando multiplicadores de Lagrange. A. B. C. D.

Minimizar Minimizar Minimizar Minimizar

F (x, y, z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 2y y xyz = 12 F (x, y, z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 3y y xyz = 12 F (x, y, z) = xyz sujeto a 2xy + 2xz + 2yz = 12 F (x, y, z) = xyz sujeto a xy + 3xz + 7yz = 12 Preguntas de completar

4 La distancia m´ınima en el plano xy entre la recta y = 2x + 2y la par´abola x = y 2 es igual a:

5. La distancia m´ as corta desde el punto (4,0,0) al cono z =

p x2 + y 2 es igual a:

Preguntas de estimaci´ on 6. A partir de las curvas de nivel del campo escalar F , estime los puntos cr´ıticos de F sujeto a G(x, y) = 8.

7. A partir de las curvas de nivel del campo escalar F (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 2y + 5 sujeto a x2 + y 2 = 4, estime los m´ aximos y m´ınimos de F . Preguntas abiertas 8. Kassir Postal Service recibe paquetes en forma de caja rectangular, tales que la suma de su largo y el per´ımetro de una secci´ on transversal perpendicular al largo es a lo m´as 96 cent´ımetros. Encuentre las dimensiones del paquete con m´aximo volumen que se puede enviar. 9. Determine las dimensiones del cilindro circular de m´aximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio 16. 10. Maximice F (x1 , x2 , ..., xn ) =

n Y i=1

xi sujeto a

n X i=1

xi = 1

6. [IX.] Integrales dobles (a) Proyecto: Tuber´ıas

ss (b) Integrales dobles Integral doble en regiones rectangulares Teorema de Fubini Integral doble en regiones generales (c) Taller 9 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. La partici´ on de una regi´ on rectangular R son rect´angulos de lados M x y M y. B. Los limites de integraci´ on de la primera integral, de una integral doble siempre son n´ umeros reales. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 1 Z x2

Z 2. Al cambiar el orden de integraci´ on en

dydx se obtiene: 0

Z

1 Z y2

A.

Z dxdy

0

1Z y

B.

y

y2

0

ZZ 3. El valor de la integral R

π A. 4

x

Z dxdy

x2

Z

C.

1

Z dxdy

x

0

1Z

√

y

D.

dxdy 0

y

x2 − y 2 dA sobre la regi´on rectangular R = [0, 1] × [0, 1] es igual a: x2 + y 2

π B. − 4

C. 0

D. F no es integrable en R.

Preguntas de completar Z 4 Suponga que igual a:

Z

R

Z G(x, y)dydx = −2, entonces

F (x, y)dydx = 3 y R

5F (x, y) − 3G(x, y)dydx es R

5. El valor promedio de F (x, y) = 3x + 2y sobre la regi´on Ω acotada por la par´abola y = x2 y la recta y = 1, es igual a:

Preguntas de estimaci´ on 6. Estime el volumen de un mont´ıculo de arena que se encuentra definido en una regi´on rectangular R = [0, 1] × [0, 1], utilizando sumas de Riemann y extremos izquierdos registrados en la siguiente tabla. 0.00 0.25 0.50 0.75 0.00 0.1 0.2 0.1 0.3 0.25 0.2 0.5 0.4 0.4 0.50 0.4 0.2 0.0 0.1 0.75 0.1 0.3 0.1 0.1 7. Considere la regi´ on en el primer cuadrante acotada por las gr´aficas de x + y = 1, x + y = 3, y = 0, Z Z x = 0. Aproxime la integral doble (2x + y − 1)dA utilizando una suma de Riemann y las Rk Ω

que se muestran en la figura. Elija como puntos muestra (x∗ , y ∗ ) los puntos extremos derechos de cada Rk .

Preguntas abiertas Z

1Z 1

8. Evalue la integral 0

ex/y dydx

x

9. Para√la suma de integrales grafique la regi´on de integraci´on e invierta el orden, Z 1/ 2 Z √4−y2 Z √2 Z √4−y2 F (x, y)dxdy + F (x, y)dxdy √ √ 0

1−y 2

1/ 2

y

10. Halle la masa de una lamina cuadrada de lado 1 si su densidad en cada punto (x, y) es igual a δ(x, y) = |x − y|.

7. [X.] Cambio de coordenadas en integrales dobles (a) Proyecto : Rociador

ss (b) Cambio de coordenadas en integrales dobles Jacobiano Cambio de coordenadas en integrales dobles Integrales dobles en coordnadas polares (c) Taller 10 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. El cambio de coordenadas en integrales dobles no esta determinado por un campo escalar: B. El jacobiano de un cambio de coordenadas es un n´ umero real diferente de cero: Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Cu´al de las integrales dobles en coordenadas polares representa el ´area de la regi´on sombreada.

ss Z

3π/4 Z 1

A. π/4

√ 1/ 2senθ

Z rdrdθ

3π/4 Z 1

B.

Z rdrdθ

π/4

0

3π/4 Z 1

C.

Z drdθ

π/4

0

3π/4 Z 1

D. π/4

√ 1/ 2cosθ

rdrdθ

3. El jacobiano de la transformaci´ on T (x, y) = [xy 2 , xy] para una regi´on Ω situada en el primer cuadrante del plano xy es igual a: A.

1 xy 2

B. −xy 2

C.

1 3xy 2

D. 3xy 2 .

Preguntas de completar 4. El jacobiano de la transformaci´ on inversa de T (u, v) =

u v

, uv es igual a

5 El ´area encerrada por las curvas r = θ y r = 2θ para 0 ≤ θ ≤ 2π es igual a:

Preguntas de estimaci´ on 6. Estime la masa de un plato semicircular de radio 3 utilizando la densidad en algunos puntos del plato registrados en la siguiente tabla. 0 π/2 π 1 1.2 1.7 2.3 2 2.4 2.7 3.2 3 3.1 3.5 3.8 7. Utilice los valores de F en laZ partici´on dada de la regi´on Ω acotada por x2 + y 2 ≤ 16 para estimar el valor de la integral doble F (x, y)dA Ω

Preguntas abiertas 8. Halle la poblaci´ on total dentro de un radio de 5 kil´ometros del centro de la ciudad (ubicada en el origen), suponiendo que la densidad de poblaci´on es F (x, y) = 2500(x2 + y 2 )0.2 personas por kil´ometro cuadrado. 9. Utilice una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen debajo del paraboloide z = x2 + y 2 sobre el c´ırculo x2 + y 2 = 2x. 10. La funci´ on T (u, v) = [u + v, 2uv] transforma el tri´angulo Ω∗ de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1) en una regi´on Ω del plano xy, determine la gr´afica de Ω y halle su ´area.

8. [XI.] Integrales triples (a) Proyecto: Heladeria Kassir

ss (b) Integrales triples Integral triple en regiones rectangulares Integral triple en regiones generales Cambio de coordenadas en integrales triples Integral triple en coordenadas cilindricas Integral triple en coordenadas esf´ericas (c) Taller 11 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). Z Z Z 1. A. La integral triple

dV determina el volumen de Φ: Φ

B. La regi´ on de integraci´ on de una integral tiple siempre es un s´olido: Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. La integral triple de F (x, y, z) sobre la regi´on acotada por los planos coordenados y el plano 2x + 3y + 4z = 12 es igual a: Z 6 Z 4 Z 3−x/2−3y/4 Z 6Z 4Z 3 A. F (x, y, z)dzdydx B. F (x, y, z)dzdydx Z

0 0 0 6 Z 4−3x/2 Z 3−x/2−3y/4x

C.

Z F (x, y, z)dzdydx

0

0

0

0 0 0 6 Z 4+3x/2 Z 3+x/2+3y/4

D.

F (x, y, z)dzdydx 0

0

0

3. El valor de la integral triple de F (x, y, z) = x + y + z sobre la regi´on acotada por el paraboloide z = x2 + y 2 y el plano z = 2, es igual a: A. π B. 2π C. 3π D. 4π Preguntas de completar 4. La integral triple en coordenadas cil´ındricas que representa el volumen com´ un a las esferas 2 2 2 2 2 2 x + y + z = 1 , x + y + (z − 1) = 1, es: 5 La integral triple en coordenadas esf´ericas que representa p el volumen acotado superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = z e inferiormente por el cono z = x2 + y 2 , es:

Preguntas de estimaci´ on 6. Estime la integral del campo escalar F sobre el paralelepipedo rectangular R = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1], considerando la partici´ on de R en ocho paralelepipedos Ri donde i determina el octante. R 1 2 3 4 5 6 7 8 F(x,y,z) 3.5 1.4 0.6 -2.1 2.7 -3.0 1.7 -4.3 7. Z Estime una integral triple que determine V de un s´olido tal que Z 1 Z 2πelZvolumen 1 1 Z 2π Z π rdzdrdθ ρ2 senφdφdθdρ < V < 0

0

0

0

0

0

Preguntas abiertas Z Z Z F (x, y, z)dV como una integral iterada en las seis formas distintas

8. Exprese la integral Ψ

posibles, si Ψ es el s´ olido acotado por las superficies y = x2 , z = 0, y + 2z = 4. Z Z Z 9. Calcule (x + y + z)(x + y − z)(x − y − z)dV sobre la regi´on s´olida Ω acotada por x + y + z = 0, Ω

x + y − z = 0, x − y − z = 0, 2x − z = 1, utilizando un cambio de coordenadas adecuado. 10. Halle la masa del s´ olido que se encuentra en el primer octante y esta acotado por las superficies xy = 1, xy = 2, xz = 1, xz = 2, yz = 1 y yz = 2 . Si su densidad en cada punto (x, y, z) es igual a δ(x, y, z) = xyz.

9. [XII.] Integrales de l´ınea (a) Proyecto: Gol de James

ss (b) Integrales de l´ınea Integral de l´ına de campos escalares Campos vectoriales Integral de l´ına de campos vectoriales (c) Taller 12 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Para calcular una integral de l´ınea a lo largo de una curva, la curva se debe parametrizar. B. La integral de l´ınea de un campo vectorial a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a cero.

Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 2. Si C es una curva plana parametrizada por medio de r(t) = hf (t), f (t)i, con f (0) = 0, f (1) = 1 y Z 0 f (t) continua en [0, 1], entonces (x + y 2 )dS es igual a: C √ 5 5 2 A. 0 B. 1 C. D. 6 6 3. El flujo de F(x, y) = hx − y, xi a lo largo de la circunferencia x2 + y 2 = 1 es igual a: A. π

c. −2π

B. 2π

D. 0

Preguntas de completar 4. La longitud de la h´elice circular r(t) = hcost, sent, ti para 0 ≤ t ≤ 4π, es igual a: Z 5 El valor de la integral C

< x, y, z > dr donde C es el segmento de recta desde (1, 1, 1) hasta x2 + y 2 + z 2

(5, 5, 5) es igual a: Preguntas de estimaci´ on

6. Z Las figuras muestran un campo vectorial F y una curva C. Determine si la integral de l´ınea F (x, y)dr, es positiva, negativa o cero. C

7. Estime la circulaci´ on de F a lo largo de la curva C.

Preguntas abiertas 8. Halle el ´ area debajo de la superficie z = xy sobre la porci´on de la par´abola y = x2 , para −1 ≤ x ≤ 2. 9. Halle la masa del un alambre cuya forma es la curva C intersecci´on entre el cilindro x2 + y 2 = 4 y el plano x + z = 4, cuya densidad en cada punto (x, y, z) es igual a δ(x, y, z) = y. 10. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y, z) = (yz, xz, xy), para mover una part´ıcula a lo largo del tri´ angulo de v´ertices (0, 0, 0), (1, 1, 1) y (−1, −1, −1) en ese orden.

10. [XIII:] Campos conservativos y teorema de Green (a) Proyecto : Nairo Quintana

ss (b) Campos conservativos y teorema de Green Campos conservativos Potencial Teorema fundamental del c´ alculo Teoremas de campos conservativos Teorema de Green Corolario de Green (c) Taller 13 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. El teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea esta definido solamente para campos vectoriales. B. Utilizando el teorema de Green se puede hallar el ´area encerrada por cualquier curva plana.

Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. 1 1 2. El potencial del campo vectorial F (x, y) = y + , x + es igual a: x y A. ϕ2xy + lnx + lny + c

B. ϕxy + ln(x + y) + c x2 + y 2 D. ϕ + ln(x + y) + c 2

C. ϕxy + lnx + lny + c Z 3. La integral de l´ınea

(x4 + 4)dx + xydy donde C es el borde de la cardioide r = 1 + cosθ es

C

equivalente a: Z 2π Z 1+cosθ A. rsenθdrdθ Z0 2π Z0 1+cosθ C. rdrdθ 0

Z

2π

Z

1

B. Z 02π D.

0

0

r2 senθdrdθ

Z 01+cosθ

r2 senθdrdθ

0

Preguntas de completar Z (4x + 2y − z)dx + (2x − 2y + z)dy + (−x + y + 2z)dz a lo largo

4. El valor de la integral de l´ınea C

de una curva C de extremos (0, 0, 0) y (2, 1, 3) es igual a:

5 El ´area de la regi´ on encerrada por la deltoide x = 2cost + cos2t, y = 2sent − sen2t, con 0 ≤ t ≤ 2π es igual a: Preguntas de estimaci´ on 6. Determine si el campo vectorial dado es conservativo o no.

Z [seny, xcosy]dr sobre la curva dada.

7. Estime la integral C

Preguntas abiertas 8. Encuentre los valores de a, b y c de manera de el campo vectorial F(x, y, z) = hx + 2y + az, bx − 3y − z, 4x + cy + 2zi sea conservativo. 9. Calcule la circulaci´ on del campo vectorial F(x, y) = [2tan−1 (y/x), ln(x2 + y 2 )] a lo largo de la frontera de la regi´ on R = {(r, θ)|1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π} 10. Compruebe on acotada √ el teorema de Green para el campo vectorial F(x, y) = hxy, xyi, sobre la regi´ por y = 1 − x2 y y = 0.

11. [XIV.] Integrales de superficie (a) Proyecto: Restaurante K 338

ss (b) Integrales de superficie (c) Taller 14 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Si S es una superficie parametrizada por medio de una funci´on r(u, v) constante, entonces S es un plano. B. Si S es una superficie parametrizada por medio de una funci´on r(u, v) diferenciable entonces ∂r ∂r × es normal a la superficie S. ∂u ∂v Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. p 2. Una representaci´ on par´ ametrica de la superficie z = x2 + y 2 es la funci´on vectorial: A. r(u, v) = [u, v, u + v] B. r(u, v) = [cosu, senu, v] C. r(u, v) = [ucosv, usenv, u] D. r(u, v) = [ucosv, usenv, u2 ] 3. La funci´ on vectorial r(u, v) = [u, v, uv], representa: A. Un paraboloide B. Un cono C. Un plano

D. Un cilindro

Preguntas de completar 4. El punto de la superficie r(u, v) =< u2 + v 2 , u + 3v, −5v > donde su plano tangente es paralelo al plano 5x − 6y − 2z = 7, es: 5 El producto vectorial fundamental de r(u, v) = [u2 , v 2 , 2u+3v] es igual a:

Preguntas de estimaci´ on 6. Estime el ´ area de la porci´ on de superficie S que se encuentra sobre la regi´on rectangular R = 0 1 0 0 2 [0, 1] × [0, 2] si S pasa por los siguientes puntos. 1 1 3 2 2 4 Z Z 7. Estime el valor de la integral F (x, y, z)dS utilizando una suma de Riemann sobre la porci´ on 2

S

del cilindro x + y 2 = 4 con −1 ≤ z ≤ 1 suponga que F es continuo en S y que F (2, 0, 0) = 3, F (−2, 0, 0) = 5, F (0, 2, 0) = 1 y F (0, −2, 0) = 2.

Preguntas abiertas 8. Halle el ´ area de la porci´ on del paraboloide z = xy que se encuentra dentro del cilindro x2 + y 2 = 1.

9. Halle la masa de una lamina cuya forma est´a dada por el helicoide r(u, v) =< ucosv, usenv, v >, p con 0 ≤ v ≤ 2π y 0 ≤ u ≤ 2, si la densidad en cada punto (x, y, z) es δ(x, y, z) = 1 + x2 + y 2 . 10. Halle el flujo de F(x, y, z) = hx, y, zi a trav´es de la parte del plano 2x + 3y + z = 6 que se encuentra en el primer octante.

12. [XV.] Teorema de Stokes y teorema de Gauss (a) Proyecto 12. Globo

ss (b) Teorema de Stokes y teorema de Gauss Rotacional Divergencia Teorema de Stokes Teorema de Gauss (c) Taller 15 Preguntas de falso (F) o verdadero (V). 1. A. Si F es un campo vectorial diferenciable tal que 5 × F(x, y, z) = h0, 0, 0i entonces F es conservativo. B. La divergencia de un campo vectorial F diferenciable es un campo vectorial. Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta. Z

ydx + zdy − xdz donde C es la curva intersecci´on entre el cilindro x2 + y 2 = 2y y el

2. La integral C

plano y = z, es equivalente a: 2π

Z

1

Z

A. 2

Z rdrdθ

0

2π

Z

B. 2

0

1

drdθ 0

2π

Z

2senθ

Z

C. 2

0

Z rdrdθ

0

2π

Z

D. 2

0

2senθ

drdθ 0

0

Z Z [x, y, z] · NdS donde N es un vector normal unitario a S y S es la frontera del solido

3. La integral S

acotado por las superficies z = 10 − x2 − y 2 y z = 2 + x2 + y 2 es equivalente a: Z

2π

Z

2 Z 10−r2

A. 3

Z dzdrdθ

0

Z C. 3 0

0 2π

√

Z √

2 Z 10−r2

rdzdrdθ 0

10 Z r2

Z

−r2

Z

B.

2+r2

dzdrdθ 2

2π

2+r2

0 2π

Z

2 Z 10−r2

D. 3

rdzdrdθ 0

0

2+r2

Preguntas de completar 4. La circulaci´ on del campo vectorial F(x, y) = [0, −z, 2y] a lo largo del circulo que se encuentra en el plano x + y + z = 8, de radio 4 y centro en (2, 3, 3) es igual a: 5 El flujo del campo vectorial F(x, y, z) = [2x, −2y, 2z] a trav´es del solido que se encuentra en el primer octante y esta acotado por los planos z = 4 − x − y y z = 2 − x − y es igual a:

Preguntas de estimaci´ on Z Z Z Z 6. Estime la relaci´ on que existe entre 5 × F(x, y, z) · NdS y 5 × F(x, y, z) · NdS H

P

7. Un s´olido tiene la forma de la figura dada, su base en el plano xy es un cuadrado unitario, cuatro lados est´ an en los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 y la parte superior es una superficie arbitraria cuya identidad es desconocida. Sea F(x, y, z) = [x, −2y, z + 3] y suponga que el flujo hacia afuera de F por el lado A es 1 y por el lado B es -3, estime el flujo por la parte superior.

Preguntas abiertas 8. Encuentre los valores de a, b y c de manera de el campo vectorial F(x, y, z) = hx + 2y + az, bx − 3y − z, 4x + cy + 2zi sea conservativo. 9. Compruebe el teorema de Stokes para el campo vectorial F = x i + yj + xyzk, a trav´es de la porci´ on del plano 2x + y + z = 2 que se encuentra en el primer octante. 10. Comprobar el teorema de Gauss para el campo vectorial F(x, y, z) = (x + z)i + (y + z)j + (x + y)k sobre el s´ olido acotado por 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 1 y 0 ≤ x ≤ 2