Vectores 5l6315

Modulo 2 Vectores

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• Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente. • Dichas cantidades se llaman: ESCALARES • Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.

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• Otras cantidades físicas requieren para su completa determinación, que se añada una dirección a su magnitud. • Dichas cantidades se llaman VECTORES. • Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza, entre otras.

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• Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha. • Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella.

A

• El vector de la figura sería A . La magnitud o módulo del vector se indica por A , o simplemente A.

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• Si A  A  0 definiremos A como el vector nulo. • Igualdad de vectores: Sean A y B dos vectores, entonces A  B si y solo si tienen igual magnitud y dirección.

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A B

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• Vector opuesto: Sea A un vector. Se llama vector opuesto de A al vector que tiene la misma magnitud pero dirección opuesta que A . Se designa por  A .

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A A

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Suma de vectores   • Sean A y B dos vectores. • Se forma un tercer vector construyendo   un triángulo con A y B formando dos lados del triángulo, B a continuación de A .

A

B A B

• El vector que va desde el origen de A hasta el extremo de B es definido como el vector suma A B. Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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• Para calcular el módulo del vector suma se recurre al teorema del coseno:

S  A B 2 2 2 S  A  B  2 AB cos  • Además haciendo uso del teorema del seno:

S

B





 A

S A B   sen  sen sen Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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Sustracción de vectores • La diferencia de 2 vectores  A y B representada por A  B es un vector que sumado a B reproduce el vector A . A B

A  B  A  ( B ) Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

B

B

A

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Cuadro Resumen B  D

 D

B

A

 S

A

B

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Producto de un vector por un escalar • El producto de un vector A por un escalar m es un vector m  A con magnitud |m| veces la magnitud de A y con la misma dirección u opuesta que la de A , según si m es positivo o negativo.

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A 3A

2A

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Vector unitario • Es un vector que expresado en las unidades correspondientes, tiene magnitud uno. • Se acostumbra a representar por una letra con acento circunflejo:

nˆ

Vector unitario

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• Cualquier vector puede ser representado como el producto de un vector unitario aˆ en la dirección de A y la magnitud de A .

O sea:

A  Aaˆ

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Componentes de un vector • Cualquier vector puede siempre considerarse como la suma de dos o mas vectores, siendo el numero de posibilidades infinito. • A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den un vector A se les llama los componentes de A .

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Componentes cartesianas • Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá kˆ ser considerado como la iˆ  suma de 3 vectores en la Ax dirección X,Y,Z que se llamaran Ax , Ay , Az x respectivamente.

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z  Az

A ˆj

 Ay

y

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Es decir:

z

A  Ax  Ay  Az • Si se llaman iˆ, ˆj, kˆ a los tres vectores unitarios en las direcciones X, Y, Z respectivamente, entonces: 

 Ax  Ax iˆ  Ay  Ay ˆj  Az  Az kˆ

 Az

kˆ iˆ

Ax

A ˆj

 Ay

y

x

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• Por lo tanto un vector A en el espacio, podrá escribirse siempre en la forma:

 A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ

z  Az

A

kˆ • El modulo de A estaría dado iˆ  por: Ax

ˆj

 Ay

y

A A  A  A 2 x

2 y

2 z

x

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Producto punto o escalar entre vectores • El producto escalar de los vectores representado por el  símbolo A  B , se define como el producto de las magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los dos vectores. Se llama escalar, porque el resultado por definición es una magnitud escalar. Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

B

 A

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A  B  AB cos Obviamente:

    A B  B  A

B

 A Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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• De la definición se puede ver que:

iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0

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 A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ  B  Bx iˆ  B y ˆj  Bz kˆ

Si:

Entonces:

  A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz

Notese que:

  2 2 2 2 A  A  Ax  Ay  Az  A Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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Producto cruz o vectorial entre vectores • El producto vectorial de dos     vectores A y B representado por A B   el símbolo A  B ,es definido, como un vector cuyo módulo B es el producto de las   ˆ magnitudes de A y B con el seno n  del ángulo entre los dos A vectores.   A  B es perpendicular al • La dirección del vector     plano formado por A y B de tal manera que A, B y   A  B forman un sistema dextrógiro (regla de la mano derecha). Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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  A  B  ( ABsen   nˆ • En que n ˆ es un vector unitario que indica  la  dirección de A  B . Obviamente:   A B

nˆ

    A  B  B  A B



A Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

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De la definición sigue que:

 iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0

iˆ  ˆj  kˆ ˆj  kˆ  iˆ kˆ  iˆ  ˆj

kˆ

iˆ

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ˆj

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Si:

 A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ  B  Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ iˆ   A  B  Ax

ˆj Ay

kˆ Az

Bx

By

Bz

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