Unidad Ii Modelacion Dinamica De Sistemas - Instrumentacion 4h536a

UNIDAD II. Modelación dinámica de sistemas de control Equipo 2. Materia: Instrumentación y control. Prof.: Ing. Víctor Manuel Cervantes Domínguez Integrantes:

• Cortés Espinoza Nelly Belem • Domínguez Rueda Joshua Aldebarán • Álvarez Hernández Aldo Salvador • Orozco Azcona Esteban

Objetivos de la instrumentación y control La Instrumentación y Control de Procesos Industriales es un campo de la ingeniería en el que la integración de tecnologías se enfoca en la optimización de procesos que el sector productivo requiera. Para lograr su objetivo, la Instrumentación y Control de Procesos Industriales se soporta en ramas de la ingeniería como la Automatización de Procesos, Sistemas de Control, Telemetría y Seguridad de Procesos.

2.1 Definiciones

2.1 Definiciones. Introducción a los sistemas de control. El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia debido a los avances en la teoría y la practica del control automático. Son muchas las áreas de la industria beneficiadas como por ejemplo las áreas espaciales, automotrices, médicas, etc. Ya que ya que un desempeño optimo de los sistemas dinámicos han mejorado la productividad y aligeran la carga de muchas operaciones manuales y repetitivas.

Control Es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un proceso o sistema. También se puede entender como la forma de manipular ciertas variables para conseguir que ellas u otras variables actúen en la forma deseada.

SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control es un ordenamiento de componentes físicos unidos o relacionados de tal manera que mandan, regulan un sistema o a otro, con lograr un funcionamiento predeterminado.

En todos estos sistemas los podemos representar mediante la siguiente representación:

Ingeniería de control Es un enfoque interdisciplinario para el control de sistemas y dispositivos. Combina áreas como eléctrica, electrónica, mecánica, química, ingeniería de procesos, teoría matemática entre otras.

Variable controlada Es la cantidad o condición que se mide y controla, por lo común la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir la desviación.

Variable manipulada Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

Sistema Es la combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado.

Planta Es el elemento físico que se desea controlar. La planta puede ser un motor, un horno, un sistema de navegación etc.

Señal de salida Es la variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, Temp.) También se le llama variable controlada.

Entrada

Son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema y que pueden cambiar como consecuencia de una interacción externa.

Sistemas de control Sistema de control realimentado o sistema de lazo cerrado: Es un sistema que mantiene una relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia comparándola y usando la diferencia como medio de control.

Sistemas de control de lazo cerrado: En ellos a señal de salida influye en la entrada. Esto se consigue mediante un proceso de realimentación (). La realimentación es la propiedad de un sistema en lazo cerrado por la cual la salida (o cualquier otra variable controlada) es comparada con la entrada del sistema, de forma que el proceso de control depende de ambas.

Sistema de control de lazo abierto: En estos sistemas de control la señal de salida no es monitoreada para generar una señal de control. En cualquier sistema de control de lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia.

Sistema de control en lazo o bucle abierto: En ellos la señal de salida no influye sobre la señal de entrada. La exactitud de estos sistemas depende de su programación previa. Es preciso se prever las relaciones que deben darse entre los diferentes componentes del sistema, a fin de tratar de conseguir que la salida alcance el valor deseado con la exactitud prevista.

Los sistemas en lazo cerrado presentan las siguientes ventajas y desventajas frente a los de lazo abierto:

ventajas

desventajas

• Más exactos en la obtención • Son significativamente más de los valores requeridos inestables. para la variable controlada. • Son más caros. • Menos sensibles a las • Al ser más complejos son perturbaciones. más propensos a tener • Menos sensibles a cambios averías, y presentan mayor en las características de los dificultad en su componentes. mantenimiento.

Sistemas lineales Un sistema lineal se define como aquel cuyo comportamiento puede describirse con un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer orden. También se denomina lineal si se aplica el principio de superposición

Función de transferencia La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como: “El cociente entre la transformada de Laplace de salida (Función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (Función de excitación) cuando las condiciones iniciales son cero”.

Señal de control Señal de control: Es la señal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal forma que se disminuye o elimine el error. Error: Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida real.

referencia

Señal de

Es el valor que se desea que alcancé la señal de salida.

Diagrama de bloques un diagrama a bloques de un sistema, es una representación grafica de las funciones que lleva acabo cada componente, así como también el flujo de señales.

Subdisciplinas (por tipo de teoría) • Control lineal (muy limitado, fácil de usar). • Control No lineal (para sistemas complejos, muy efectivo). • Control óptimo (busca la mejor solución sobre restricciones). • Control robusto (mejor desempeño ante perturbaciones).

Definiciones Sistema. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para lograr cierto objetivo.

Proceso. Es el desarrollo natural de un acontecimiento, caracterizado por una serie de eventos o cambio graduales, progresivamente continuos y que tienden a un resultado final.

Definiciones Perturbaciones. Una perturbación es algún suceso que afecta Adversamente el desarrollo de algún proceso. Sistema de control realimentado. Es aquel sistema de control que utiliza alguna relación entre la variable de salida y alguna variable de referencia, como medio de control.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. Según su comportamiento: Sistema de control de lazo abierto

Se caracteriza por: •Ser sencillos y de fácil concepto. •Nada asegura su estabilidad ante una perturbación. •La salida no se compara con la entrada. •Ser afectado por las perturbaciones. Éstas pueden ser tangibles o intangibles. •La precisión depende de la previa calibración del sistema.

Sistema de control de lazo cerrado

Sus características son: •Ser complejos, pero amplios en cantidad de parámetros. •La salida se compara con la entrada y le afecta para el control del sistema. •Su propiedad de retroalimentación. •Ser más estable a perturbaciones y variaciones internas.

Tipos de Sistemas de Control.

Hechos por el hombre

naturales

Hechos por el hombre y naturales

LOS SISTEMAS HECHOS POR EL HOMBRE SE CLASIFICAN EN.

Por su causalidad

Casuales y no casuales

Según el número de entradas y salidas del sistema

Según la ecuación que define el sistema

• • • •

De una entrada y una salida o SISO De una entrada y múltiples salidas o SIMO De múltiples entradas y una salida o MISO De múltiples entradas y múltiples salidas o MIMO

Lineal y no lineal

Según las variables en :

tiempo continuo

tiempo discreto

De eventos discretos

Función de la evolución de las variables :

Estacionarios

no estacionarios

Según sea la respuesta del sistema

Estables

inestables

Si se comparan o no, la entrada y la salida

Sistema de lazo abierto

sistema de lazo cerrado

Según la posibilidad de predecir el comportamiento

sistemas deterministas

sistemas estocástico

2.2Modelos de procesos químicos El modelado de procesos implica la construcción de un modelo matemático mediante la descripción de sus relaciones físicas y químicas fundamentales.

¿Cómo obtener Modelos? Mediante razonamientos, usando leyes físicas, químicas, etc.

Mediante experimentación y análisis de datos.

Modelo matemático El modelo matemático de un proceso consiste en una serie de relaciones que se establecen para cada equipo que forma parte del sistema. Podemos establecer que en general para cada equipo un modelo consiste de una combinación de las siguientes expresiones: Balance de cantidad de movimiento Balance de materia Balance de energía Ecuaciones de diseño Relaciones termodinámicas y ecuaciones cinéticas Especificación de algunas variables o restricciones particulares

Proceso dinámico Nivel líquido

Apertura de la válvula

tiempo

tiempo

LA MODELIZACIÓN Y EL CONTROL DE LOS PROCESOS QUÍMICOS Modelos de entrada-salida (input-output). Ejemplos. Grados de libertad. Ejemplos. Grados de Libertad y Control de Procesos. Reducción de los Grados de Libertad. Ejemplos. Visión general del modelado con vistas a su control : Objetivos de Control, Perturbaciones, fenómenos físico-químicos.

Operación de un proceso Comparar Cambios Decidir

Respuestas Proceso

Actuar

Medir Respuesta dinámica

Operación manual o en lazo abierto

Simulación dinámica Estudia el comportamiento transitorio de un sistema. Simula su evolución temporal con distintos fines: Operación: Respuesta de procesos continuos ante perturbaciones Ajuste de controladores Maniobras y desviaciones anormales en el proceso, para estudios de seguridad y de emisiones Análisis de operabilidad y riesgo Validación de procedimientos de emergencia Entrenamiento de operadores Diseño: Sistema de control y controlabilidad Procedimientos de puesta en marcha y parada Procesos discontinuos

Simuladores orientados a ecuaciones Es la estrategia empleada para la simulación dinámica . Pasos para establecer la simulación : Las ecuaciones y variables de todos los modelos de unidades se definen individualmente . Las ecuaciones y variables conforman un sistema (grande) de ecuaciones no lineales . Se añaden especificaciones hasta que el sistema tiene grados de libertad CERO. El sistema de ecuaciones se resuelve de forma directa y simultánea.

SIMULACIÓN MEDIANTE ORDENADOR Y LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES

.

Simulación mediante ordenador. Soluciones numéricas de Ecuaciones Algebraicas. Integración numérica de Ecuaciones Diferenciales. Linealización de Sistemas con una variable. Concepto de variable desviada. Linealización de Sistemas con varias variables

Control de procesos

CONFIGURACIONES DE CONTROL PARA PROCESOS MULTIVARIABLES (MIMO).

Etapas para el diseño del Sistema de Control. Elección de los lazos de control. Ejemplos. Configuraciones de Control Alternativas. Ejemplos. Procedimiento Sistemático para la determinación de todas las Configuraciones de Control posibles.

Refrigerante PT

Diseño

PC

TT LT

R Alimentación

LC

F FC

TC

FT

D

TC FT

FC

Vapor

TT

V

LT FT FC

Como queremos que funcione

Operación

Como debe de funcionar

B

LC

Control automático Hacer que funcione automáticamen te de la forma deseada

INTERACCIÓN Y DESACOPLAMIENTO DE LAZOS DE CONTROL

Interacción de Lazos de Control. Emparejamiento entre variables Controladas y Manipuladas. Ganancia relativa y selección de lazos de control. Ejemplos. Diseño de Lazos de Control no interactivos. Desacoplamiento y Desacopladores. Desacoplamiento parcial y desacoplamiento por inversión del modelo

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL PARA UNA PLANTA QUÍMICA COMPLETA Diseño y control de un proceso químico. Ejemplos. Inicio y parada de una planta química. Seguridad en las operaciones de una planta. Protección medioambiental. Optimización de la operación de una planta

EL CONTROL MEDIANTE ORDENADOR. EL CONTROL DIGITAL

Características del control digital. Instrumentación para el Control Digital : U. Memorias. Periféricos. Interfaces. Muestreadores. Retenedores y Conversores AnalógicoDigitales y Digitales-Analógicos. Lazos de Control mediante ordenador. Control de Supervisión. Software para sistemas decontrol mediante ordenador

Cuantificación ventajas control

Control e Instrumentación PT PC TT

R

F TC

TC FC

TT

V

LT FT FC LC

El control del proceso se lleva a cabo desde salas de control usando sistemas de control distribuido

FC

2.3 LINEALIZACION DE SISTEMAS Modelo dinámico Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y permiten reproducir su comportamiento.

Objetivo de Linealizacion procesos: 1) obtener representaciones o soluciones lineales aproximadas de las funciones o sistemas no lineales 2) entender el comportamiento de un sistema no lineal al ser perturbado alrededor de una solucion o punto de operacion nominal.

2. LINEALIZACIÓN Linealización es el proceso matemático que permite aproximar un sistema nolineal a un sistema lineal.

Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por las siguientes razones: 1.

Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una solución del comportamiento del sistema valida solo para valores específicos de los parámetros y de las variables de entrada

2.

2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.

3. VARIABLES DE DESVIACIÓN Se define la variable de desviación, X (t), como la diferencia entre el valor de la variable o señal x(t) y su valor en el punto de operación.Matemáticamente se define:

X t   xt   x

donde

X(t): variable de desviación. x(t): variable absoluta correspondiente : el valor de x en el punto de operación (valor base)

x 3

Linealidad / No linealidad Los sistemas lineales se representan por ecuaciones lineales, pudiendo ser tanto ecuaciones estáticas como ecuaciones dinámicas

Los sistemas no lineales se representan por ecuaciones no lineales, pudiendo ser tanto ecuaciones estáticas como ecuaciones dinámicas

La no linealidad del sistema implica que la aplicación de la misma señal en dos puntos de operación diferentes genera respuestas diferentes. En la siguiente transparencia se simula un sistema no-lineal al que le aplicamos dos entradas distintas. Se observa que

1. No se cumple la propiedad de aditividad: la suma de las salidas individuales es distinta, tanto en los aspectos dinámicos como estáticos, a la salida que se obtiene si se le aplica la señal de entrada suma de las antes consideradas.

2. No se cumple la propiedad de homogeneidad, si nos fijamos en la relación entre las respuestas y1(t) e y2(t) ante las entradas x1(t) y x2(t). Como consecuencia podemos decir que el sistema es NO LINEAL.

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Considérese la ecuación diferencial de primer orden:

dxt   f xt   k dt

f xt  es una función no-lineal de x, y k es una constante. Expandiendo la función no-lineal f xt  en series de Taylor alrededor del Donde

punto

x

, se obtiene:



 



 



2 df x 1 d2 f x f xt   f x  xt   x  xt   x 2 dx 2! dx 3 1 d3 f x  xt   x  ... 3 3! dx

 

6



Esta expansión se evalúa en el punto

x.

La aproximación lineal, consiste en eliminar todas las derivadas de orden dos y mayores, entonces el valor aproximado de la función será:

df x  xt   x f xt   f x   dx

El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la magnitud del termino:



1 d2 f x 2 xt   x  I 2 2 dx Por lo tanto la aproximación lineal, dada en la ecuación, es satisfactoria cuando x es muy cercano a x , pues en ese caso el valor del termino " I " es muy pequeño.

7

Geométricamente, la aproximación es una línea recta que pasa por el punto de operación, generalmente corresponde al valor de estado estacionario, entonces:

x0  x , X 0  0 Por lo tanto: d n X 0

dt

n

0

para n  1,2,3...

por el punto x, f x, con pendiente df x  / dx y es por definición tangente a la curva en el punto de operación. Por lo tanto, la aproximación es exacta solo en el punto de operación.

8

La aproximación linealizada, correspondiente a la ecuación original, resulta ser: dxt  df x   f x   X t   k dt dx

Si las condiciones iniciales son:

x0  x , dx0 / dt  0,

X 0  0, entonces : 0  f x  k

Finalmente, la ecuación inicial, se ha transformado en: df t  df x   X t  dt dx

Puede observarse de la ecuación anterior, que los términos constantes en la ecuación linealizada quedan eliminados cuando el valor base es la condición inicial de estado estacionario.

9

La aproximación lineal es tangente a la función no lineal en el valor base, x

Línea Tangente

f x(t )

1

x

Función No Lineal

f (x )

x 10

df dx

x(t )

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

Considérese la función no-lineal de dos variables

.

Si es el valor en estado estable de x(t) y f xt , yt es el valor en estado x estable de y(t) . La expresión lineal eny serie de Taylor alrededor del punto x, y  esta dada por:

           f x, y   f x, y  xt   xyt   y .... y(t )  y   



2 f x, y f x, y  2 f x, y f xt , yt   f x, y  xt   x  yt   y  xt   x 2 x y 2!x 2

2

2

2!y 2

11

xy

La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de orden superior a partir del termino de segundo orden. Entonces la expansión lineal de la función no-lineal f xt . yt , toma la forma:

 

 



 

f x, y f x, y f xt , yt   f x, y  xt   x  yt   y x y donde:

f x, y  f x, y  y se evaluan en el punto x, y  x y

12



2. 4 Sistemas de primer orden

Diagrama de bloques de un sistema. Es una representación grafica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. En este diagrama todas las variables del sistema son enlazadas entre si a través de bloques funcionales. Elementos

Función de Transferencia

Características: Modelo matemático de los sistemas. Relación entre la salida y la entrada de un sistema. Modelado utilizando la transformada de Laplace.

En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g(s).

De modo que.

Ejemplo. Esquema de control usando la función de transferencia

Sistemas de primer orden Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:

En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

Ejemplo. Un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le extrae el mismo caudal:

sal

sal

sal

sal

in

in sal

in

Respuesta de sistemas El estudio de la respuesta de un sistema consiste entonces en determinar la respuesta (y) que produce un sistema ante una entrada (u) cualquiera. La respuesta de un sistema dependerá entonces de la ecuación y de la excitación que se le aplica Algunos tipos de

respuestas son: o impulso

o escalón

o Rampa

Diagrama de bloques de un sistema. Es una representación grafica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. En este diagrama todas las variables del sistema son enlazadas entre si a través de bloques funcionales. Elementos

En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

Ejemplo. Un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le extrae el mismo caudal:

sal

sal

sal

sal

in

in sal

in

Respuesta de sistemas El estudio de la respuesta de un sistema consiste entonces en determinar la respuesta (y) que produce un sistema ante una entrada (u) cualquiera. La respuesta de un sistema dependerá entonces de la impulso ecuación y de la oexcitación que se le aplica Algunos tipos de respuestas son:

o escalón

o Rampa

2. 5 Sistemas de segundo orden

Sistema de segundo orden Los sistemas de segundo orden se pueden describir mediante una ecuación diferencial normalizada de segundo orden.

El sistema de segundo orden es muy importante para el diseño de controladores, ya que habitualmente, la mayor parte de los sistemas pueden ser aproximados a un sistema de orden dos.

Función de transferencia La función transferida de un sistema de segundo orden es:

Donde: 𝜔𝑛 = Frecuencia natural 𝜁= Coeficiente de amortiguamiento

Servomotor Motor eléctrico que puede ser controlado tanto en velocidad como en posición

Clasificación de los sistemas de segundo orden



Sobreamortiguado ( > 1)

s   n   n  2 1

s 



Críticamente amortiguado ( = 1)



s   n

s



Subamortiguado (0 <  < 1) n  

d

s 

s

s   n  j n 1   

c o s 

2

Subamortiguado

Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado