Trabalh F. Exponencial 2u1k42

Função exponencial – aplicações. 1) O valor de um automóvel daqui a t anos é dado pela lei v (t) = 40.000(0,8)t. Daqui a quantos anos o valor desse automóvel será menor que R$ 20.480,00? R: 3 anos. 2) (Acafe-SC) Atualmente, o valor de um sítio é R$ 200.000,00. Estima-se que daqui a t anos o valor do sítio seja de 200(2 t) milhares de reais. Após 3 anos, a valorização do sítio (aumento de valor) em relação ao preço atual, em milhões de reais, será de: R: 1,4 milhões de reais. 3) (Microbiologia) A função n(t) = 1000.20,2t indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é o número de horas decorridas. a) Qual é o número de bactérias 10 horas depois do início do experimento? b) Após quanto tempo haverá 64.000 bactérias? R: a) 4000 bactérias

b) 30 horas.

4) Para analisar o efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria, cientistas fizeram experimentos expondo uma população desse micro-organismo ao remédio, verificando o tempo necessário para que fosse exterminada. Ao final, verificou-se que a população da bactéria d dias após a exposição ao remédio poderia ser estimada por meio da função p(d) = 6000(1/4)d. Dois dias após a exposição ao remédio, a população da bactéria reduziu-se a quantos por cento da população inicial? R: 6,25%. 5) O tabagismo favorece o desencadeamento de uma série de doenças que podem levar ao óbito. Estima-se que no mundo morram anualmente cerca de 4,9 milhões de pessoas em decorrência do tabagismo, sendo 200 mil somente no Brasil. Ao fumar, a nicotina, presente nos cigarros, é rapidamente absorvida pelos pulmões, chegando em poucos segundos à circulação sanguínea e ao cérebro. A quantidade de nicotina presente no corpo de uma pessoa reduz pela metade a cada duas horas; quando os neurônios sentem falta dessa substância, provocam agitação, nervosismo e falta de concentração, o que leva a pessoa a fumar novamente, repetindo o ciclo. A cada cigarro

consumido, o organismo absorve aproximadamente 1 mg de nicotina. Considerando que a função que representa a quantidade y de nicotina (em mg) presente no corpo de uma pessoa t horas após o consumo, desconsiderando-se a quantidade inicial é: y = 2- t/2, calcule a quantidade desta substância presente no organismo proveniente do consumo de um cigarro, após 4 horas. R: 1/4 ou 0,25 mg. 6) Alguns fornos elétricos contém um dispositivo que controla a temperatura em seu interior. Assim, o aparelho desliga automaticamente quando chega à temperatura desejada e torna a ligar quando há certa perda na temperatura. Um forno elétrico que possui esse dispositivo tem sua temperatura T calculada em função do tempo t que o forno está ligado, em minutos, pela função: T(t) = 300 – 265(0,3)t/10. DADOS:

√3

√ 10

= 1,73 e

= 3,16

Qual é a temperatura interna desse forno elétrico 5 minutos após ser ligado? E após 20 minutos? R: a) 154,92°C

b) 276,15°C

7) Certa empresa utiliza a função n(t) = 600 – 200(0,6) t para estimar o número de peças produzidas mensalmente por um funcionário com t meses de experiência. a) Quantas peças serão produzidas em um mês por um funcionário com 4 meses de experiência? b) Estima-se que a produtividade de um funcionário com dois meses de experiência aumente quanto por cento se comparada com o mês em que foi contratado? R: a) 574 peças

b) 32%.

8) (Microbiologia) Uma pesquisa sobre o número de indivíduos de uma cultura de bactérias ao longo de seis meses, obteve os seguintes resultados: b0 = 5000 (b0 = população inicial de bactérias), b6 = 15000 (população após seis meses). Sabendo-se que o número de bactérias b em função do tempo, pose ser calculado pela fórmula f(b) = 5000(

√6 3

)t, onde t representa o

tempo em meses, calcule o número de bactérias após 3 meses. R: 8650 bactérias.

9) (Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão da metade do volume acumulado a cada hora. Daí, se k é o volume da substância no organismo, pose-se utilizar a função f(t) = k(1/2) t/2, para estimular a sua eliminação depois de um tempo t, em horas. Neste caso, o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é: R: 12 anos. 10) (UFSC) Um estudo de impacto ambiental provocado pelo desmatamento de uma região prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei n(t) = n0.4-t/5, em que n0 (n0> 0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início do desmatamento e n(t) é a quantidade t anos depois. Determine o tempo necessário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza à oitava parte da população no início do desmatamento. R: 7,5 anos.

11) (UFAL) Devido à desintegração radioativa, uma massa m0 (massa inicial) de carbono 14 é reduzida a uma massa m em t anos. As duas massas estão relacionadas pela fórmula: m = m0.2(-t/5400) . Nessas condições, em quantos anos 5 gramas da substância serão reduzidos a 1,25 gramas? R: 10800 anos. _____________________________________________________________________________ 12) (UFABC-SP) Uma das consequências da concentração urbana é o trânsito caótico e o agravamento da poluição ambiental. Com apenas 0,01% do território brasileiro, a cidade de São Paulo concentra 12% de todos os veículos existentes no país. Em São Paulo, a lentidão no trânsito é medida em quilômetros. Em uma determinada via de fluxo estão sendo realizadas inúmeras obras visando à diminuição dos congestionamentos. Um engenheiro do departamento de trânsito prevê que o nº de km de lentidão no trânsito dessa via irá diminuir segundo a lei n(t) = n0.4-t/3 , em que n0 é o número de km de lentidão no início das obras e n(t) é o número de km de lentidão t anos depois. Determine o tempo necessário para que o nº de km de lentidão seja reduzido à metade daquele existente no início das obras. R: 1,5 ano ou 18 meses. 13) Chama-se meia -vida de uma substância radioativa o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Tomemos hoje 16 gramas de uma substância radioativa, cuja meia-vida é de cinco anos. A massa dessa substância é uma função do tempo, contado a

partir de hoje, dada por M(n) = 16.2-n/5. Se daqui a n anos sua massa for 2-111 gramas, qual o valor de n? R: 575 anos 14) (UERJ) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2.105(1,6)t B(t) = 4.105(0,4)t Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000. a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2000. b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. c) Mostre que, em 1 de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. R: a) A = 200 000; B = 400 000

b) Seis meses

15) (UFPB) O total de indivíduos na enésima geração, de duas populações P e Q, é dado, respectivamente, por P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando P(n)/Q(n) ≥ 1024, a população Q estará ameaçada de extinção. Com base nestas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a partir de que geração? R: a partir da 10ª geração. 16) Uma pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma espécie de certo animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número desses animais seguia a fórmula matemática N =N0.3-0,05t, com t em anos (t ≥ 0). a) Calcule em quantos anos a população desses animais será reduzida à terça parte; b) Qual era o número de animais quando a pesquisa foi iniciada, sabendo que após 80 anos restam apenas 12 exemplares. R: a) 20 anos

b) 972 animais

17) Determinado imóvel foi avaliado em R$75.000,00 e, a partir daí, valoriza-se exponencialmente de acordo com a função V(t) =

75(1,1)t, em que t representa o tempo (em anos) e v é o valor do imóvel (em milhares de reais). Qual será o valor do imóvel após 3 anos da avaliação? R: R: R$ 99 825, 00 18) (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N(t) = 1200.2 0,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? R: 12h 30min. 19) (UEPG-PR) Certa população de insetos cresce de acordo com a expressão N = 500.2t/6, sendo t o tempo em meses e N o nº de insetos na população após o tempo t. Neste contexto, indique as afirmações corretas: a) O número inicial de insetos é de 500. b) Após 3 meses o número de insetos será maior que 800. c) Após 1 ano o número total de insetos terá quadruplicado. d) Após 6 meses o número de insetos terá dobrado. OBS.: as afirmações devem ser demonstradas através de cálculos. R: d 20) Certa instituição financeira disponibiliza cartão de crédito a seus clientes e aplica taxa de juros de 12% ao mês sobre todo capital C com pagamento em atraso. Desse modo, após n meses o cliente deve pagar à instituição um montante M, que pode ser calculado por M(n) = C(1,12)n. a) Ao fazer uma compra de R$ 900,00 com o cartão de crédito, que valor será cobrado pela instituição financeira caso haja um atraso no pagamento de: a) 2 meses?

b) 3 meses?

R: a) R$ 1 128, 96

b) R$ 1 264, 43

21) (Ufan) A população P(t) de uma metrópole, em milhões de habitantes, é dada por P(t) = 5.2ct, com t sendo o número de anos, contados a partir de 2000 (ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2000), e c uma constante real. Se a população da metrópole em 2008 é de 10 milhões de habitantes, qual o valor de c?

R: 1/8 22) Na lei n(t) = 15000(3/2)t + k, sendo k uma constante real, está representada a população n(t) de um pequeno município terá daqui a t anos, contados a partir de hoje. Sabendo que a população atual do município é de 10.000 habitantes, determine: a) o valor de k. b) a população do município daqui a 3 anos. R: a) -1

b) 33 750 habitantes.

23) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: N(t) = 200.2at, em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. a) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine o valor da constante a. b) Determine o número de bactérias após 12 horas da realização do almoço. R: a) 2/3

b) 51 200 bactérias.

24) (PUC-MG) De acordo com os dados de uma pesquisa, a população de uma região de Minas Gerais, vem decrescendo em função do tempo, contado em anos, segundo a equação P(t) = 8000.2-0,25t, em que P é a população no ano t e 8000 é o atual número de habitantes dessa região. Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo necessário para que a população dessa cidade fique reduzida a 2000 habitantes, é igual a: R: 8 anos. 25) Ao tomar uma xícara de café, uma pessoa ingere cerca de 100 mg de cafeína. O nível de cafeína no corpo decresce a uma taxa de 19% por hora, a partir do instante em que o café foi tomado, obedecendo à equação Q(t) = 100(0,81)t, em que t é medido em horas e Q, a quantidade de cafeína, é medida em miligramas. Nessas condições, o tempo necessário para que o nível de cafeína no corpo atinja 72,9 mg, em horas, é igual a: R: 1h 30min

26) (Microbiologia) A relação P = 64000(1 – 2-0,1t) descreve o crescimento de uma população de microrganismos, sendo P o número de microrganismos e t o número de dias após o instante zero. Determine a população de microrganismos quando o tempo é igual a 60 dias. R: 63000 ou 63.103 microrganismos

27) (Crescimento populacional) Estima-se que a população de uma cidade aumente de acordo com alei P(t) = 15000(1,035)t, sendo t o tempo em anos e P(t) o número de habitantes após t anos. Adotando (1,035)10 =

√ 2,

determine a população dessa cidade

daqui a 120 anos. R: R: 960 000 habitantes. 28) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 +i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante final da aplicação? R: R$ 280 985, 60. 29) (UEL-Pr) Inicia-se a criação de certa espécie de peixe em um lago. Estudos indicam que o número N de peixes, decorrido m meses, é dado pela fórmula: N = 5.103 – 5.102.20,1m. Assim, nesse lago, em 30 meses, haverá aproximadamente: R: 1000 peixes. 30) Um a fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: S(p) =

11 2/3 100 .p , onde p é a massa da pessoa em

quilogramas. Considere uma criança de 8 kg e determine: a) a área da superfície corporal da criança. b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal triplicar. R: a) 0,44 m2

b) p = 41,56 kg aproximadamente.

31) (FGV-SP) Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse indivíduo. Um exemplo de curva de aprendizagem é dado pela expressão Q = 700 – 400e-0,5t, onde: Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; t = meses de experiência; e = 2,718. a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com quatro meses de experiência deverá produzir mensalmente, aproximadamente? b) E um funcionário, sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? R: a) 645,14 peças

b) 300 peças.

32) (Uespi- PI) – Um botânico após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função f(t) = 0,7 + 0,04(3)0,14t, com t representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t), a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é: R: 50 dias. 33) (UFPA) Uma das práticas mais prazerosas da relação humana – o beijo – pode ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo que o número de bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela expressão N(b) = 500.2b, para que o número de bactérias seja de 32000 você terá de dar: R: 6 beijos. 34) (Vunesp-SP) Uma lagoa tem sofrido as conseqüências da poluição do ambiente e os pescadores reclamam, há muito tempo, da diminuição da quantidade de peixes. Após anos de denúncias, a prefeitura contratou, na última década, um pesquisador que vem acompanhando o desenvolvimento da vida aquática e da quantidade de peixes na lagoa. Após terminar suas experiências, ele conclui que a quantidade n de peixes poderia ser calculada pela fórmula n(t) =10000 – 3t/3 -2, sendo t o tempo em anos, medido a partir desse exato momento. De acordo com esse pesquisador, o número de peixes será igual a 9271 daqui a: R: 24 anos. 35) (UEL-Pr) Inicia-se a criação de certa espécie de peixe em um lago. Estudos indicam que o número N de peixes, decorrido m

meses, é dado pela fórmula: N = 5.103 – 5.102.20,1m. Assim, nesse lago, haverá aproximadamente 4000 peixes para m igual a: R: 10 meses.

36) (FGV-SP) Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse indivíduo. Um exemplo de curva de aprendizagem é dado pela expressão Q = 700 – 400e-0,5t, onde: Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; t = meses de experiência; e = 2,718. a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com dois meses de experiência deverá produzir mensalmente, aproximadamente? b) E um funcionário, sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? R: 552,83 peças

b) 300 peças.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------37) A expressão N(t) = 1300.30,5t determina o número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de uma pesquisa. Quanto tempo após o início dessa pesquisa esta cultura terá 35100 bactérias? R: 6 horas. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------38) (Afet-PB) Um produto estragado causou mal-estar nos frequentadores de um restaurante. Uma investigação revelou a presença de uma bactéria, que se multiplica segundo a lei: n(t) = 300.2k.t , onde n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra do produto t horas após o início do almoço e k é uma constante real. Sabendo-se que após 3 horas do início do almoço, o número de bactérias era 1200, qual o valor da constante k? R: k = 2/3. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

39) (Finanças) Uma aplicação financeira obedece a regra M(t) = 50000(1,1)t, em que M(t) é o montante final após t meses. Determine o montante final após: a) 3 meses b) 6 meses c) 1 ano R: a) R$ 66 550, 00 c) R$ 156 921, 86

b) R$ 88 578, 05

40) (UFPB) O valor de certo imóvel, em reais, daqui a t anos é dado pela função V(t) =1000(0,8)t. Daqui a dois anos, esse imóvel sofrerá, em relação ao valor atual, uma desvalorização de: R: R$ 360, 00 41) (Física) Um equipamento retira ar de um tanque de acordo com a lei A(t) = A0. (o,9)t, em que A(t) é o volume de ar no tanque após t minutos e A0 é o volume inicial de ar contido no tanque. Determine o volume de ar que restará num tanque de 10 m3, 5 minutos após o equipamento ser ligado. R: 5,9 m3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------42) Um conjunto de sofás foi comprado por R$ 2000,00. Com o tempo, por descuido do comprador, o Sol foi queimando o tecido do sofá, que perdeu a cor original. Um comerciante do ramo informou ao comprador que em uma situação desse tipo a cada ano o sofá perde 20% do valor que tinha no ano anterior. Sabendo que essa desvalorização pode ser calculada pela fórmula V(t) = 2000.(1 – 0,2)t, calcule o valor do sofá após quatro anos de uso. R: R$ 819, 20 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------43) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função f(t) = 0,7 + 0,04. (3)0,14t, com t representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t), a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo

necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é: R: 50 dias. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

44) Imagine que a população de uma cidade cresça à uma taxa de 5% ao ano. Nessa taxa, já estão computados os índices de mortalidade, natalidade, migrações, etc. ita que a população atual dessa cidade seja de 100 000 habitantes e que a mesma pode ser calculada pela fórmula P(x) = 100 000. 1,05x, (x = tempo em anos), qual será a população da cidade daqui a 3 anos? R: 115 762,5 habitantes, aproximadamente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------45) De acordo com os dados de uma pesquisa, a população de certa região de Minas Gerais vem crescendo em função do tempo, em anos, segundo a equação: P(t) = 8000.20,25t, em que P é a população no ano t e 8000 é atual número de habitantes dessa região. Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo necessário para que a população dessa cidade fique reduzida a 2000 habitantes é igual a: R: 8 anos.

46) Na lei N(t) = 15 000(3/2) t + k, sendo k uma constante real, está representada a população N(t) que um pequeno município terá daqui a t anos, contados a partir de hoje. Sabendo que a população atual do município é de 10 000 habitantes, determine:  

O valor de k; A população do município daqui a 3 anos.

R: k = -1

33 750 habitantes.

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47) As leis seguintes representam as estimativas de valores (em milhares de reais) de dois apartamentos A e B (adquiridos na mesma data), ados t anos da data da compra:

 

Apartamento A: V = 2t + 1 + 120 Apartamento B: V = 6.2t-2 + 248

a) Por quais valores foram adquiridos os apartamentos A e B, respectivamente? b) Quanto valerá cada um daqui a 8 anos? R: a) A = R$ 122 000, 00 b) A = R$ 632 000, 00

B = R$ 249 500, 00 B = 632 000, 00

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48) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual. V(t) = V0 . (0,64)t/2 itindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. R: R$ 25 600, 00. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------