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HA
Modélisation des solides déformables: TP2 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
Réalisé par : BENTIFOUR Oumaima MAÂLAL Mohammed Ayoub ZORGANE Mohammed
Encadré par : M. CHAABA
Date : 06/12/2017
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
2
Table de matière INTRODUCTION ................................................................................................................................................. 3 APPAREILLAGE ................................................................................................................................................... 3 1 - PARTIE THEORIQUE ....................................................................................................................................... 4 2 - PARTIE EXPERIMENTALE ............................................................................................................................... 6 2.1 Etude de la déformée .............................................................................................................................. 6 2.2 Etude des déformations radiale et circonférentielle de la membrane ................................................... 7 2.3 Etude des contraintes radiales et circonférentielles ............................................................................... 8 3- SIMULATION VIA ANSYS .............................................................................................................................. 10 CONCLUSION .................................................................................................................................................... 15
Liste des figures Figure 1: Appareillage ........................................................................................................................................ 3 Figure 2 : appareillage........................................................................................................................................ 3 Figure 3: Comparaison entre les courbes de la flèche théorique et expérimentale ......................................... 6 Figure 4: emplacement des jauges de déforaton (membrane) ......................................................................... 7 Figure 5 : comparaison entre les déformations radiales théorique et expérimentale ..................................... 7 Figure 6 : comparaison entre les déformations circonférentielles théorique et expérimentale ...................... 8 Figure 7 : comparaison entre les contraintes radiales théorique et expérimentale ......................................... 8 Figure 8 : comparaison entre les contraintes circonférentielles théorique et expérimentale ......................... 9
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
3
INTRODUCTION Les propriétés des élastomères (déformations, amortissement, leur résistance à la fatigue...) rendent leurs utilisations très intéressantes. Ces matériaux sont aujourd'hui de plus en plus utilisés notamment dans des secteurs de l'industrie tels que l'automobile ou l'aéronautique, et le bâtiment. Notre sujet traite la déformation d’un disque (plaque) soumis à une pression imposée, de faible valeur, mais générant des contraintes importantes. Les résultats obtenus après l’étude pratique de la plaque sont significatif pour plusieurs structures réelles telles que les dalles, planchers… Pour ce faire, nous allons effectuer une étude pratique, théorique et numérique en utilisant le modèle d’une plaque axisymétrique.
APPAREILLAGE Capteur de flèche Règle de changement du rayon
Pompe pour varier la pression
Affichage du rayon Figure 1: Appareillage
Jauges radiales Jauges circonférentielles Disque encastré
Figure 2 : appareillage
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
4
1 - PARTIE THEORIQUE 1) La déformation radiale et la déformation circonférentielle en fonction de la position en fonction de la position r : Déformation radiale : 𝑑𝑤
On a: 𝑢𝑟 = −𝑧 Donc 𝜀𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑢𝑟
= −𝑧
𝑑𝑟
𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
𝑝
Et on a 𝑤(𝑟) = 64 𝐷 (𝑅 2 − 𝑟 2 )2
𝑑𝑤
⟹
𝑑𝑟 𝑑𝑤
⟹ D’où :
𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
=
𝑑𝑟
−4 𝑝
((𝑅 2 − 𝑟 2 ) + 𝑟 (−2 𝑟)) 64 𝐷
𝑝
= 64 𝐷 2(−2𝑟)(𝑅2 − 𝑟 2 ) =
−4 𝑝 𝑟 (𝑅 2 −𝑟 2 )
⟹ ⟹ ⟹
On prend : 𝑧 =
64 𝐷 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
𝑒 2
3𝑝
𝑒
Donc : 𝜀𝑟 = 4 𝐸 𝑒 3 × 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) 𝟑𝐩
⟹
𝛆𝐫 = 𝟖 𝐄 𝐞𝟐 (𝟏 − 𝛝𝟐 )(𝐑𝟐 − 𝟑 𝐫 𝟐 )
Déformation circonférentielle : On a : 𝜀𝜃 = Donc 𝜀𝜃 = ⟹
𝜀𝜃 =
⟹
𝜀𝜃 =
⟹
𝑑𝑢𝜃 𝑑𝑟 𝑢𝑟
+
𝑢𝑟 𝑟 𝑒
= − 2𝑟 ×
𝑟 𝑒 𝑝(𝑅 2 −𝑟 2 )
32 𝐷 𝑒 𝑝(𝑅 2 −𝑟 2 ) 32
𝑢𝑟 = −𝑧
et
×
𝛆𝛉 (𝐫) =
𝑑𝑤 𝑑𝑟
, 𝑢𝜃 = 0
− 𝑝 𝑟 (𝑅 2 −𝑟 2 ) 16 𝐷
12 (1−𝜗 2 ) 𝐸 𝑒3
𝟑𝐩 (𝟏 − 𝛝𝟐 )(𝐑𝟐 − 𝐫 𝟐 ) 𝟖𝐄 𝐞𝟐
−4 𝑝
= 64 𝐷 (𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) =
−4 𝑝 12 (1−𝜗 2 ) 64 𝐸 𝑒 3 −3 𝑝
(𝑅 2 − 3 𝑟 2 )
= 4 𝐸 𝑒 3 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 )
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
2) La déformation radiale et la déformation circonférentielle en fonction de la position en fonction de la position r :
5
Loi de Hook : 1 2 𝜎𝑟 {𝜎 } = 𝐸 (1 − 𝜗 𝜗 𝜃 1 − 𝜗2 𝐸
𝜗 1 − 𝜗 2 ) ( 𝜀𝑟 ) 𝜀𝜃 1 2 1−𝜗
𝜗𝐸
La contrainte radiale : 𝜎𝑟 = 1−𝜗2 × 𝜀𝑟 + 1−𝜗2 × 𝜀𝜃 𝐸
3𝑝
𝜗𝐸
3𝑝
⟹
𝜎𝑟 = 1−𝜗2 8 𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 1−𝜗2 8𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 )
⟹
𝜎𝑟 = 8 𝑒 2 (
⟹
𝜎𝑟 = 8 𝑒 2 ((𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 𝜗(𝑅 2 − 𝑟 2 ))
3𝑝
(1−𝜗2 )(𝑅 2 −3 𝑟 2 ) 1−𝜗2
𝜗
+ 1−𝜗2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 ))
3𝑝
𝝈𝒓 =
Donc :
𝟑𝒑 (𝑹𝟐 (𝟏 − 𝝑) − (𝟑 + 𝝑)𝒓𝟐 ) 𝟖 𝒆𝟐
𝜗𝐸
𝐸
La contrainte circonférentielle : 𝜎𝜃 = 1−𝜗2 × 𝜀𝑟 + 1−𝜗2 × 𝜀𝜃 𝜗𝐸
3𝑝
𝐸
3𝑝
⟹
𝜎𝜃 = 1−𝜗2 × 8 𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 1−𝜗2 × 8𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 )
⟹
𝜎𝜃 = 8 𝑒 2 ((𝑅 2 − 3 𝑟 2 )𝜗 + 𝑅 2 − 𝑟 2 )
Donc :
3𝑝
𝝈𝜽 =
𝟑𝒑 (𝑹𝟐 (𝝑 + 𝟏) − 𝒓𝟐 (𝟏 + 𝟑𝝑)) 𝟖 𝒆𝟐
3)- L’expression de la déformée dans une direction donnée (paramétrée par un angle ) : D’après la relation du changement de base : 2 𝜀𝜑 {𝜀 } = (𝑚2 𝜑∗ 𝑛
𝜀𝜑 = 𝑚2 𝜀𝑟 + 𝑛2 𝜀𝜃 ⟹
𝑛2 ) { 𝜀𝑟 } 𝑚2 𝜀𝜃
𝜀𝜑 = cos(𝜑)2 𝜀𝑟 + sin(𝜑)2 𝜀𝜃
Avec m = cos(𝜑) Et n = sin(𝜑)
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
6
1+cos(2𝜑)
⟹
𝜀𝜑 =
⟹
𝜺𝝋 =
2
𝜀𝑟 +
1−cos(2𝜑) 2
𝜀𝜃
𝟏 𝟏 (𝜺𝒓 + 𝜺𝜽 ) + (𝜺𝒓 − 𝜺𝜽 ) 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝋) 𝟐 𝟐
2 - PARTIE EXPERIMENTALE 2.1 Etude de la déformée Tableau des résultats : point Flèches mesurées numéro Rayon pour p=0 (a) 0 1 0 -0.01 2 20 -0.02 3 40 -0.04 4 60 -0.05 5 80 -0.02 6 -80 -0.04 7 -60 -0.02 8 -40 0 9 -20 0 10 0
Flèches mesurées pour p=40kN/m² (b) 0.33 0.29 0.2 0.12 0 0.01 0.11 0.21 0.29 0.33
Flèches mesurées (b-a) 0.33 0.3 0.22 0.16 0.05 0.03 0.15 0.23 0.29 0.33
Flèches calculées 0.30120 0.27759 0.21253 0.12337 0.03904 0.03904 0.12337 0.21253 0.27759 0.30120
0.4 0.35 0.3
Flèche (mm)
0.25 0.2
Flèches mesurées (b-a)
0.15
Flèches calculées
0.1 0.05 0 -100 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Rayon (mm)
Figure 3: Comparaison entre les courbes de la flèche théorique et expérimentale
Erreur (Flèche) 0.02880 0.02241 0.00747 0.03663 0.01096 0.00904 0.02663 0.01747 0.01241 0.02880
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
2.2 Etude des déformations radiale et circonférentielle de la membrane Emplacement des jauges de déformation Point Rayon (mm) Type de numéro déformation 1 25 circonférentielle 2 25 radiale 3 50 circonférentielle 4 50 radiale 5 57.7 radiale 6 90 circonférentielle 7 90 Inclinée 45° 8 90 radiale Figure 4: emplacement des jauges de déforaton (membrane)
Tableau des résultats : (avec 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é𝑒 = Déformation Jauge Rayon mesurée sous 40 n°(a) kN/m² (x10^6) 1 25 305.7000 2 25 324.8000 3 50 536.2000 4 50 135.8000 5 58 120.4000 6 90 159.6000 7 90 -17.7000 8 90 -144.6000
Déformation mesurée sous 0 kN/m² (x10^6) 122.4000 161.3000 400.4000 67.9000 97.7000 112.0000 87.8000 77.8000
𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 2/2.15
Déformation mesurée (x10^6) 183.3 163.5 135.8 67.9 22.7 47.6 -105.5 -222.4
)
Déformation modifiée (x10^6) 170.5116 152.0930 126.3256 63.1628 21.1163 44.2791 -98.1395 -206.8837
Déformation calculée (x10^6) 179.5914 155.6459 143.6732 47.8911 0.2324 36.3972 -118.7698 -273.9368
Erreur (x10^6) 9.0798 3.5529 17.3476 15.2717 20.8839 7.8819 20.6303 67.0531
NB : Les déformations sous la pression de 0kN/m² sont différents de 0 soit à cause de l’état de surface de la plaque, ou bien la fatigue de la plaque. 200 150 100
Déformation radiale
7
50 0 -50 0
20
40
60
80
100
Déformation mesurée (x10^6) Déformation calculée (x10^6)
-100 -150 -200
-250 -300
Rayon (mm)
Figure 5 : comparaison entre les déformations radiales théorique et expérimentale
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
200 déformation circonférentielle (x10^6)
8
180 160 140 120 100
déformation mesurée(x10^6)
80
deformation calculée(x10^6)
60 40 20 0 0
20
40
60
80
100
Axis Title
Figure 6 : comparaison entre les déformations circonférentielles théorique et expérimentale
2.3 Etude des contraintes radiales et circonférentielles Tableau des résultats : Contrainte mesurée (MPa) sous p=40kN/m²
Rayon
25 50 90
rad 16.1340 8.1188 -14.8880
cir 17.0895 11.3956 -1.8578
Contrainte calculée (MPa) rad 16.6411 7.3796 -20.2815
cir 17.8834 12.3487 -4.1815
Erreur rad 0.5071 0.7392 5.3935
cir 0.7939 0.9531 2.3237
20.0000
Contrainte radiale (MPa)
15.0000 10.0000 5.0000 0.0000 -5.0000
0
20
40
60
80
100
Contrainte mesurée Contrainte calculée
-10.0000 -15.0000 -20.0000 -25.0000
Rayon (mm)
Figure 7 : comparaison entre les contraintes radiales théorique et expérimentale
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
20.0000 Contrainte circonférentielle (MPa)
9
15.0000 10.0000 Contrainte mesurée
5.0000
Contrainte calculée 0.0000 0
20
40
60
80
100
-5.0000 -10.0000
Rayon (mm)
Figure 8 : comparaison entre les contraintes circonférentielles théorique et expérimentale
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3- SIMULATION VIA ANSYS Dans cette partie, on va trouver les contraintes de la structuré étudié par un calcul numérique par le logiciel Ansys, On utilisera deux modélisation différentes : Type 1 : Poutre d’épaisseur e et de longueur L Type 2 : Shell 61, qui est une ligne de longueur L Quel que soit le type choisi, l’intégral du modèle est équivalent au système étudié.
Modèle 1 :
Afin de résoudre le problème à partir de ce modèle, on va procéder comme suit : 1. Spécification du modèle : On introduit le modèle étudié en spécifiant ses caractéristiques : Géométrie du corps élastique : On adopte la symétrie axiale (axisymétrique) ; Paramètres matériels : R=100mm ; e=3.18mm ; E=69 000 MPa ; v=0.33 ; Conditions aux limites : le modèle sera encastré dans ses extrémités : Encastrement total dans une extrémité (R=100mm) et encastrement seulement suivant x dans l’autre extrémité (R=0mm) ; Chargement : Pression extérieur au-dessous de la plaque P=0.04MPa
2. Maillage et solution : On fait maillage par élément fini et on resolut le systéme.
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
11 3. Exploitation des resultats : Le logciel nous permet d’exploiter les resultats suivants : La déformée de la structure :
On remarque que la déformation est nulle à l’extrémité du disque (R=100mm) et elle est maximal a au centre du disque (R=0mm) La déformée doit normalement être de l’autre coté (haut), Le logiciel a simulé la déformé du coté inverse comme affiché dans la figure. Et toutes les résultats vont se baser sur ce côté de déformation.
Le champ de déplacement :
Les vecteurs de déplacement sont nul à l’extrémité (R=100mm) et maximale (=0.301) au centre (R=0mm).
Valeurs des contraintes :
Valeurs des contraintes radiales
Les valeurs des contraintes varient de -29.318 MPa (R=100mm) à 19.747 MPa (R=0MPa)
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Valeurs des contraintes circonférentiels
Les valeurs des contraintes varient de -9.57 MPa (R=100mm) à 19.747 MPa (R=0MPa)
Valeurs des déformations :
Valeurs des déformations radiales
Les valeurs des contraintes varient de 0.37x10-3 (R=100mm) à -0.192x10-3 mm (R=0MPa).
F Valeurs des déformations circonférentiels
Les valeurs des contraintes varient de -0.127x10-5 (R=100mm) à -0.192x10-3 mm (R=0MPa).
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Valeurs calculés aux mêmes rayons du calcul théorique et expérimental :
En comparant avec les valeurs trouvés théoriquement, on peut remarquer qu’elles sont égaux.
Diagramme de distribution : o Des contraintes radiales :
o Des contraintes circonférentielles :
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14 o Des déformations radiales :
o Des déformations circonférentielles :
On remarque que les contraintes sont maximales à l’extrémité (R=100mm) et au centre (R=0mm), et qu’elles ne s’annulent pas à l’encastrement, car cette partie résiste aussi à la flexion. Alors que les déformations circonférentiels sont nulles à l’extrémité, car le déplacement est nulle. Et ceux radiales sont maximaux à cette extrémité.
Modèle 2 : On modélise le disque dans cette partie par une barre de longueur R=100mm et de largeur e=3.18mm
Les résultats trouvées sont les mêmes pour le premier modèle
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Le logiciel permet de voir les contraintes sur tout le système global (disque) :
CONCLUSION En comparant les résultats des trois parties : partie théorique, partie pratique et simulation, on remarque l’existence d’un écart entre les différents résultats, cet écart est généralement négligeable, sauf pour des cas particuliers où le problème réside dans la mesure à cause du fatigue de l’appareillage, notamment les jauges, ainsi que la plaque, qui malgré son élasticité, ne garde pas son état initiale après plusieurs essais.
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Réalisé par : BENTIFOUR Oumaima MAÂLAL Mohammed Ayoub ZORGANE Mohammed
Encadré par : M. CHAABA
Date : 06/12/2017
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Table de matière INTRODUCTION ................................................................................................................................................. 3 APPAREILLAGE ................................................................................................................................................... 3 1 - PARTIE THEORIQUE ....................................................................................................................................... 4 2 - PARTIE EXPERIMENTALE ............................................................................................................................... 6 2.1 Etude de la déformée .............................................................................................................................. 6 2.2 Etude des déformations radiale et circonférentielle de la membrane ................................................... 7 2.3 Etude des contraintes radiales et circonférentielles ............................................................................... 8 3- SIMULATION VIA ANSYS .............................................................................................................................. 10 CONCLUSION .................................................................................................................................................... 15
Liste des figures Figure 1: Appareillage ........................................................................................................................................ 3 Figure 2 : appareillage........................................................................................................................................ 3 Figure 3: Comparaison entre les courbes de la flèche théorique et expérimentale ......................................... 6 Figure 4: emplacement des jauges de déforaton (membrane) ......................................................................... 7 Figure 5 : comparaison entre les déformations radiales théorique et expérimentale ..................................... 7 Figure 6 : comparaison entre les déformations circonférentielles théorique et expérimentale ...................... 8 Figure 7 : comparaison entre les contraintes radiales théorique et expérimentale ......................................... 8 Figure 8 : comparaison entre les contraintes circonférentielles théorique et expérimentale ......................... 9
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INTRODUCTION Les propriétés des élastomères (déformations, amortissement, leur résistance à la fatigue...) rendent leurs utilisations très intéressantes. Ces matériaux sont aujourd'hui de plus en plus utilisés notamment dans des secteurs de l'industrie tels que l'automobile ou l'aéronautique, et le bâtiment. Notre sujet traite la déformation d’un disque (plaque) soumis à une pression imposée, de faible valeur, mais générant des contraintes importantes. Les résultats obtenus après l’étude pratique de la plaque sont significatif pour plusieurs structures réelles telles que les dalles, planchers… Pour ce faire, nous allons effectuer une étude pratique, théorique et numérique en utilisant le modèle d’une plaque axisymétrique.
APPAREILLAGE Capteur de flèche Règle de changement du rayon
Pompe pour varier la pression
Affichage du rayon Figure 1: Appareillage
Jauges radiales Jauges circonférentielles Disque encastré
Figure 2 : appareillage
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1 - PARTIE THEORIQUE 1) La déformation radiale et la déformation circonférentielle en fonction de la position en fonction de la position r : Déformation radiale : 𝑑𝑤
On a: 𝑢𝑟 = −𝑧 Donc 𝜀𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑢𝑟
= −𝑧
𝑑𝑟
𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
𝑝
Et on a 𝑤(𝑟) = 64 𝐷 (𝑅 2 − 𝑟 2 )2
𝑑𝑤
⟹
𝑑𝑟 𝑑𝑤
⟹ D’où :
𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
=
𝑑𝑟
−4 𝑝
((𝑅 2 − 𝑟 2 ) + 𝑟 (−2 𝑟)) 64 𝐷
𝑝
= 64 𝐷 2(−2𝑟)(𝑅2 − 𝑟 2 ) =
−4 𝑝 𝑟 (𝑅 2 −𝑟 2 )
⟹ ⟹ ⟹
On prend : 𝑧 =
64 𝐷 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2 𝑑2 𝑤 𝑑𝑟 2
𝑒 2
3𝑝
𝑒
Donc : 𝜀𝑟 = 4 𝐸 𝑒 3 × 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) 𝟑𝐩
⟹
𝛆𝐫 = 𝟖 𝐄 𝐞𝟐 (𝟏 − 𝛝𝟐 )(𝐑𝟐 − 𝟑 𝐫 𝟐 )
Déformation circonférentielle : On a : 𝜀𝜃 = Donc 𝜀𝜃 = ⟹
𝜀𝜃 =
⟹
𝜀𝜃 =
⟹
𝑑𝑢𝜃 𝑑𝑟 𝑢𝑟
+
𝑢𝑟 𝑟 𝑒
= − 2𝑟 ×
𝑟 𝑒 𝑝(𝑅 2 −𝑟 2 )
32 𝐷 𝑒 𝑝(𝑅 2 −𝑟 2 ) 32
𝑢𝑟 = −𝑧
et
×
𝛆𝛉 (𝐫) =
𝑑𝑤 𝑑𝑟
, 𝑢𝜃 = 0
− 𝑝 𝑟 (𝑅 2 −𝑟 2 ) 16 𝐷
12 (1−𝜗 2 ) 𝐸 𝑒3
𝟑𝐩 (𝟏 − 𝛝𝟐 )(𝐑𝟐 − 𝐫 𝟐 ) 𝟖𝐄 𝐞𝟐
−4 𝑝
= 64 𝐷 (𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) =
−4 𝑝 12 (1−𝜗 2 ) 64 𝐸 𝑒 3 −3 𝑝
(𝑅 2 − 3 𝑟 2 )
= 4 𝐸 𝑒 3 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 )
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2) La déformation radiale et la déformation circonférentielle en fonction de la position en fonction de la position r :
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Loi de Hook : 1 2 𝜎𝑟 {𝜎 } = 𝐸 (1 − 𝜗 𝜗 𝜃 1 − 𝜗2 𝐸
𝜗 1 − 𝜗 2 ) ( 𝜀𝑟 ) 𝜀𝜃 1 2 1−𝜗
𝜗𝐸
La contrainte radiale : 𝜎𝑟 = 1−𝜗2 × 𝜀𝑟 + 1−𝜗2 × 𝜀𝜃 𝐸
3𝑝
𝜗𝐸
3𝑝
⟹
𝜎𝑟 = 1−𝜗2 8 𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 1−𝜗2 8𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 )
⟹
𝜎𝑟 = 8 𝑒 2 (
⟹
𝜎𝑟 = 8 𝑒 2 ((𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 𝜗(𝑅 2 − 𝑟 2 ))
3𝑝
(1−𝜗2 )(𝑅 2 −3 𝑟 2 ) 1−𝜗2
𝜗
+ 1−𝜗2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 ))
3𝑝
𝝈𝒓 =
Donc :
𝟑𝒑 (𝑹𝟐 (𝟏 − 𝝑) − (𝟑 + 𝝑)𝒓𝟐 ) 𝟖 𝒆𝟐
𝜗𝐸
𝐸
La contrainte circonférentielle : 𝜎𝜃 = 1−𝜗2 × 𝜀𝑟 + 1−𝜗2 × 𝜀𝜃 𝜗𝐸
3𝑝
𝐸
3𝑝
⟹
𝜎𝜃 = 1−𝜗2 × 8 𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 3 𝑟 2 ) + 1−𝜗2 × 8𝐸 𝑒 2 (1 − 𝜗 2 )(𝑅 2 − 𝑟 2 )
⟹
𝜎𝜃 = 8 𝑒 2 ((𝑅 2 − 3 𝑟 2 )𝜗 + 𝑅 2 − 𝑟 2 )
Donc :
3𝑝
𝝈𝜽 =
𝟑𝒑 (𝑹𝟐 (𝝑 + 𝟏) − 𝒓𝟐 (𝟏 + 𝟑𝝑)) 𝟖 𝒆𝟐
3)- L’expression de la déformée dans une direction donnée (paramétrée par un angle ) : D’après la relation du changement de base : 2 𝜀𝜑 {𝜀 } = (𝑚2 𝜑∗ 𝑛
𝜀𝜑 = 𝑚2 𝜀𝑟 + 𝑛2 𝜀𝜃 ⟹
𝑛2 ) { 𝜀𝑟 } 𝑚2 𝜀𝜃
𝜀𝜑 = cos(𝜑)2 𝜀𝑟 + sin(𝜑)2 𝜀𝜃
Avec m = cos(𝜑) Et n = sin(𝜑)
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
6
1+cos(2𝜑)
⟹
𝜀𝜑 =
⟹
𝜺𝝋 =
2
𝜀𝑟 +
1−cos(2𝜑) 2
𝜀𝜃
𝟏 𝟏 (𝜺𝒓 + 𝜺𝜽 ) + (𝜺𝒓 − 𝜺𝜽 ) 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝋) 𝟐 𝟐
2 - PARTIE EXPERIMENTALE 2.1 Etude de la déformée Tableau des résultats : point Flèches mesurées numéro Rayon pour p=0 (a) 0 1 0 -0.01 2 20 -0.02 3 40 -0.04 4 60 -0.05 5 80 -0.02 6 -80 -0.04 7 -60 -0.02 8 -40 0 9 -20 0 10 0
Flèches mesurées pour p=40kN/m² (b) 0.33 0.29 0.2 0.12 0 0.01 0.11 0.21 0.29 0.33
Flèches mesurées (b-a) 0.33 0.3 0.22 0.16 0.05 0.03 0.15 0.23 0.29 0.33
Flèches calculées 0.30120 0.27759 0.21253 0.12337 0.03904 0.03904 0.12337 0.21253 0.27759 0.30120
0.4 0.35 0.3
Flèche (mm)
0.25 0.2
Flèches mesurées (b-a)
0.15
Flèches calculées
0.1 0.05 0 -100 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Rayon (mm)
Figure 3: Comparaison entre les courbes de la flèche théorique et expérimentale
Erreur (Flèche) 0.02880 0.02241 0.00747 0.03663 0.01096 0.00904 0.02663 0.01747 0.01241 0.02880
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
2.2 Etude des déformations radiale et circonférentielle de la membrane Emplacement des jauges de déformation Point Rayon (mm) Type de numéro déformation 1 25 circonférentielle 2 25 radiale 3 50 circonférentielle 4 50 radiale 5 57.7 radiale 6 90 circonférentielle 7 90 Inclinée 45° 8 90 radiale Figure 4: emplacement des jauges de déforaton (membrane)
Tableau des résultats : (avec 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é𝑒 = Déformation Jauge Rayon mesurée sous 40 n°(a) kN/m² (x10^6) 1 25 305.7000 2 25 324.8000 3 50 536.2000 4 50 135.8000 5 58 120.4000 6 90 159.6000 7 90 -17.7000 8 90 -144.6000
Déformation mesurée sous 0 kN/m² (x10^6) 122.4000 161.3000 400.4000 67.9000 97.7000 112.0000 87.8000 77.8000
𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 2/2.15
Déformation mesurée (x10^6) 183.3 163.5 135.8 67.9 22.7 47.6 -105.5 -222.4
)
Déformation modifiée (x10^6) 170.5116 152.0930 126.3256 63.1628 21.1163 44.2791 -98.1395 -206.8837
Déformation calculée (x10^6) 179.5914 155.6459 143.6732 47.8911 0.2324 36.3972 -118.7698 -273.9368
Erreur (x10^6) 9.0798 3.5529 17.3476 15.2717 20.8839 7.8819 20.6303 67.0531
NB : Les déformations sous la pression de 0kN/m² sont différents de 0 soit à cause de l’état de surface de la plaque, ou bien la fatigue de la plaque. 200 150 100
Déformation radiale
7
50 0 -50 0
20
40
60
80
100
Déformation mesurée (x10^6) Déformation calculée (x10^6)
-100 -150 -200
-250 -300
Rayon (mm)
Figure 5 : comparaison entre les déformations radiales théorique et expérimentale
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
200 déformation circonférentielle (x10^6)
8
180 160 140 120 100
déformation mesurée(x10^6)
80
deformation calculée(x10^6)
60 40 20 0 0
20
40
60
80
100
Axis Title
Figure 6 : comparaison entre les déformations circonférentielles théorique et expérimentale
2.3 Etude des contraintes radiales et circonférentielles Tableau des résultats : Contrainte mesurée (MPa) sous p=40kN/m²
Rayon
25 50 90
rad 16.1340 8.1188 -14.8880
cir 17.0895 11.3956 -1.8578
Contrainte calculée (MPa) rad 16.6411 7.3796 -20.2815
cir 17.8834 12.3487 -4.1815
Erreur rad 0.5071 0.7392 5.3935
cir 0.7939 0.9531 2.3237
20.0000
Contrainte radiale (MPa)
15.0000 10.0000 5.0000 0.0000 -5.0000
0
20
40
60
80
100
Contrainte mesurée Contrainte calculée
-10.0000 -15.0000 -20.0000 -25.0000
Rayon (mm)
Figure 7 : comparaison entre les contraintes radiales théorique et expérimentale
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
20.0000 Contrainte circonférentielle (MPa)
9
15.0000 10.0000 Contrainte mesurée
5.0000
Contrainte calculée 0.0000 0
20
40
60
80
100
-5.0000 -10.0000
Rayon (mm)
Figure 8 : comparaison entre les contraintes circonférentielles théorique et expérimentale
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
10
3- SIMULATION VIA ANSYS Dans cette partie, on va trouver les contraintes de la structuré étudié par un calcul numérique par le logiciel Ansys, On utilisera deux modélisation différentes : Type 1 : Poutre d’épaisseur e et de longueur L Type 2 : Shell 61, qui est une ligne de longueur L Quel que soit le type choisi, l’intégral du modèle est équivalent au système étudié.
Modèle 1 :
Afin de résoudre le problème à partir de ce modèle, on va procéder comme suit : 1. Spécification du modèle : On introduit le modèle étudié en spécifiant ses caractéristiques : Géométrie du corps élastique : On adopte la symétrie axiale (axisymétrique) ; Paramètres matériels : R=100mm ; e=3.18mm ; E=69 000 MPa ; v=0.33 ; Conditions aux limites : le modèle sera encastré dans ses extrémités : Encastrement total dans une extrémité (R=100mm) et encastrement seulement suivant x dans l’autre extrémité (R=0mm) ; Chargement : Pression extérieur au-dessous de la plaque P=0.04MPa
2. Maillage et solution : On fait maillage par élément fini et on resolut le systéme.
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
11 3. Exploitation des resultats : Le logciel nous permet d’exploiter les resultats suivants : La déformée de la structure :
On remarque que la déformation est nulle à l’extrémité du disque (R=100mm) et elle est maximal a au centre du disque (R=0mm) La déformée doit normalement être de l’autre coté (haut), Le logiciel a simulé la déformé du coté inverse comme affiché dans la figure. Et toutes les résultats vont se baser sur ce côté de déformation.
Le champ de déplacement :
Les vecteurs de déplacement sont nul à l’extrémité (R=100mm) et maximale (=0.301) au centre (R=0mm).
Valeurs des contraintes :
Valeurs des contraintes radiales
Les valeurs des contraintes varient de -29.318 MPa (R=100mm) à 19.747 MPa (R=0MPa)
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12
Valeurs des contraintes circonférentiels
Les valeurs des contraintes varient de -9.57 MPa (R=100mm) à 19.747 MPa (R=0MPa)
Valeurs des déformations :
Valeurs des déformations radiales
Les valeurs des contraintes varient de 0.37x10-3 (R=100mm) à -0.192x10-3 mm (R=0MPa).
F Valeurs des déformations circonférentiels
Les valeurs des contraintes varient de -0.127x10-5 (R=100mm) à -0.192x10-3 mm (R=0MPa).
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13
Valeurs calculés aux mêmes rayons du calcul théorique et expérimental :
En comparant avec les valeurs trouvés théoriquement, on peut remarquer qu’elles sont égaux.
Diagramme de distribution : o Des contraintes radiales :
o Des contraintes circonférentielles :
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14 o Des déformations radiales :
o Des déformations circonférentielles :
On remarque que les contraintes sont maximales à l’extrémité (R=100mm) et au centre (R=0mm), et qu’elles ne s’annulent pas à l’encastrement, car cette partie résiste aussi à la flexion. Alors que les déformations circonférentiels sont nulles à l’extrémité, car le déplacement est nulle. Et ceux radiales sont maximaux à cette extrémité.
Modèle 2 : On modélise le disque dans cette partie par une barre de longueur R=100mm et de largeur e=3.18mm
Les résultats trouvées sont les mêmes pour le premier modèle
Modélisation des solides déformables TP1 : Déformation d’une membrane élastique sous pression imposée
15
Le logiciel permet de voir les contraintes sur tout le système global (disque) :
CONCLUSION En comparant les résultats des trois parties : partie théorique, partie pratique et simulation, on remarque l’existence d’un écart entre les différents résultats, cet écart est généralement négligeable, sauf pour des cas particuliers où le problème réside dans la mesure à cause du fatigue de l’appareillage, notamment les jauges, ainsi que la plaque, qui malgré son élasticité, ne garde pas son état initiale après plusieurs essais.
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