Teorija Betonskih Konstrukcija 6m2b2r

•

U područijima gde se uvodi sila, na dužini 1.5b i na mestima preklapanja podužne armature, razmak zatvorenih uzengija iznosi:

•

U seizmički aktivnim zonama sa svake strane čvora na dužini 1m, razmak zatvorenih uzengija je maksimalno:

•

Na ostalim delovima stuba moguće je usvojiti eu = 15  20cm

6

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25 •

U stubovima sa više od četiri podužne šipke, dodaju se posebne uzengije

•

Ako je procenat armiranja visok armatura se može grupisati u uglovima stuba sa najviše do 5 šipki

7

15

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75 •

Uprošćeni postupak – uvođenje “dopunskog ekscentriciteta”

•

Uvodi se momenat koji se inače ne dobija statičkim proračunom

•

Kritični presek:

•

Nu i Mu=Nu·Δe (mali i veliki ekscentricitet) Δe – dopunska ekscentričnost Δe = e0 + eφ + eII eII – ekscentricitet po teoriji II reda e0=li /300 – usled nepravilnosti pri izvođenju elemenata konstrukcija

16

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75 eφ – ekscentricitet usled tečenja (dolazi do povećanja krivine)

αE – koeficijent Ojlerove sile NE – Ojlerova sila izvijanja

Iid – idealizovani presek •

Samo stalno opterećenje utiče na tečenje!

•

Ako je Ng /Ng+p ≤ 0.2 ili λi ≤ 50 uticaj tečenja se može zanemariti

8

17

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75 eII – uticaj bočne deformacije (teorija II reda)

b – dimenzija u ravni u kojoj se vrši izvijanje Nu Mu=Nu·Δe Δe = e0 + eφ + eII

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

18

•

Sprečeno bočno širenje => pored napona pritiska u pravcu podužne ose, javljaju se i naponi pritiska u poprečnim pravcima!

•

Unutar spiralne armature beton se nalazi u troosnom stanju napona pritisaka i

9

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi •

U troosnom stanju napona (svi naponi pritisci!) nosivost i deformabilnost betona je značajno veća nego u jednoosnom stanju napona

•

U proračun sile loma uvodi se samo spiralom obuhvaćena površina poprečnog preseka Abs (jezgro); beton izvan spirale je u jednoosnom naponskom stanju!

•

Doprinos spiralne armature povećanoj nosivosti betona:


19

20

Pretp.: umesto spirale zatvoren cilindrični sud pun tečnosti

Visina - V=1 Debljina zida - δ Pritisak tečnosti – pc

•

Sila zatezanja u cilindru:

σvc – granica razvlačenja čelika cilindra ac – površina preseka cilindra visine V=1

•

Sila pritiska u pravcu ose cilindra Nc:

10


21

Beton nije tečnost => postoji unutrašnje trenje => javiće se bočne deformacije ν·εb (ν – Poasonov koeficijent) => radijalni (bočni) pritisak: ν·pc , a ne pc

•

Ako je as površina poprečnog preseka šipke spirale, a es rastojanje-hod spirale, onda se između debljine zida cilindra δ i površine spiralne armature as može uspostaviti relacija:

•

δ je fiktivna debljina zida cilindra dobijena “razmazivanjem” šipke spiralne armature po cilindričnoj površi

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

22

Ako se uvede oznaka: Onda: •

Granična sila (loma) centrično pritisnutog spiralno armiranog elementa:

•

Ako se za ν usvoji 0.25:

•

Ako uvedemo

=>

11


Prema PBAB-u spiralno armirani stubovi samo za λi=li/imin ≤ 50

•

Za proračun imin usvaja se ceo betonski presek

•

Procenat armiranja podužnom armaturom se usvaja u granicama

23

0.6 % ≤ μ ≤ 3.0 % •

Procenat armiranja spiralnom armaturom obično u granicama μs = (2-3)·μ

•

Prečnik šipke spiralne armature 6 mm ≤ Øs ≤ 16 mm

•

Hod spirale:

•

Najmanje 6 šipki podužne armature

•

MB ≥ 20 ; d ≥ 20 cm

•

Dužina preklopa spiralne armature je min 30 Øs (bar oko 2 podužne šipke), a krajevi spiralne armature treba da se upuste u betonsku masu min 20 Øs

24

2. Centrično zategnuti elementi • • • •

Celokupnu silu zatezanja prihvata armatura Beton ima svrhu zaštite armature od korozije i požara Dimenzije ovakvih elemenata se određuju samo iz uslova da se pravilno smesti armatura Armatura se raspoređuje simetrično unutar preseka, sa minimalnim horizontalnim razmakom od 5cm

12

25

3. Ekscentrično zategnuti elementi •

Kada ekscenrična sila Z deluje između armatura u preseku, presek se računa po malom ekscentricitetu a2 Z

Zu

ya2

Aa2

y b2

Gb

Aa1 

ya1

y b1

e

v

Zau1

Zu ya2  e  v ya1  ya2

a1

Aa1

u

Zau2

d

Mu

a2

"2"

Aa  Aa1  Aa2 

"1" b

a1 = 10‰

Aa2 

Zu y e  a1 v y a1  y a2

13

1

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA - Granična stanja nosivosti Snežana Marinković

Semestar: V

ESPB: 6

1. Centrično pritisnuti elementi 2. Centrično zategnuti elementi 3. Mali ekscentricitet - Ekscentrično zategnuti elementi 4. Elementi opterećeni momentima savijanja 5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet 6. “T” preseci 7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije 8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska 9. Moment nosivosti 10.Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona

2

1

3

4. Elementi opterećeni momentima savijanja Podsetnik: • •

•

Naponska stanja Ia i Ib karakteriše odsustvo prslina u betonu pa je ceo betonski presek aktivan Faza IIa - Prekoračenjem čvrstoće pri zatezanju betona dolazi do pojave prslina, a napon pritiska u betonu odstupa neznatno od pravolinijske raspodele. Faza IIb - Povećanjem opterećenja prsline dolaze do neutralne linije, a dijagram pritiska u betonu se znatno krivi

2

11

4. Elementi opterećeni momentima savijanja •

Proračun se zasniva na fazi IIb

a

Zau

a

Gb Aa

h-x

d

h

Mu

z=×h

x=s×h

Dbu

a  10 ‰

b

• • • • •

×x

b  3.5 ‰ b  f B

Uslov ravnoteže momenata: Spoljašnjie sile: granični moment Spreg unutrašnjih sila: sila pritiska u betonu, Dbu, sila zatezanja u armaturi, Zau Uslov ravnoteže normalnih sila: Sila pritiska u betonu, Dbu, sila zatezanja u armaturi, Zau

12

4. Elementi opterećeni momentima savijanja

a

Zau

a

Gb Aa

h-x

d

h

Mu

z=×h

x=s×h

Dbu

b

•

×x

b  3.5 ‰ b  f B

a  10 ‰

Ako je pritisnuta površina betona oblika pravougaonika onda imamo slučaj čistog savijanja pravougaonog preseka!

6

13

4. Elementi opterećeni momentima savijanja • 1.

Zavisno od dilatacija u betonu i armaturi, postoje tri vrste loma: Lom po betonu, kada je εb = 3.5‰; 0 ≤ εa <10‰ Napon u betonu

h-x

Zau a

Gb Aa

a

d h

Mu

z=×h

x=s×h

Dbu

×x

bb = 3.5 ‰ b = f B

b

10 ‰ aa  10

b fB

•

PODSETNIK: RADNI DIJAGRAM BETONA! b [‰] 2.0

3.5

14


Zavisno od dilatacija u betonu i armaturi, postoje tri vrste loma:

2.

Lom po armaturi, kada je 0 ≤ εb <3.5‰; εa = 10‰ Napon u betonu:

3.

Simultani lom, kada je εb = 3.5‰; εa = 10‰

7

15


Uslov ravnoteže normalnih sila:

• Uslov ravnoteže momenata oko težišta zategnute armature:

• •

Kompatibilnost dilatacija => Statička visina? Količina zategnute armature?

16

4. Elementi opterećeni momentima savijanja bbb

•

αb – koeficijent punoće naponskog dijagrama:

ffBBB

b [‰] 2.0 2.0 2.0

•

Koeficijent armiranja:

•

Mehanički koeficijent armiranja:

b [‰] b [‰]

3.53.5

8

17


Uslov ravnoteže momenata oko težišta zategnute armature:

•

Nakon integracije i sređivanja izraza:

h-x

d

h

Mu

z=×h

x=s×h

Dbu

Gb Aa

×x

b  3.5 ‰ b  f B

a

a

Zau

b

a  10 ‰

18

4. Elementi opterećeni momentima savijanja

z=×h

x=s×h

Dbu

•

Krak unutrašnjih sila:

Bezdimenzionalni koeficijent kraka unutrašnjih sila:

a b

•

•

Zau

a

Gb Aa

h-x

d

h

Mu

b  f B

×x

b  3.5 ‰

a  10 ‰

Bezdimenzionalni koeficijent k:

9

19

4. Elementi opterećeni momentima savijanja • I.

Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Slobodno dimenzionisanje 1.

Mi (i = g, p, Δ) – POZNATO

2.

Č (GA, RA), MB, b (25-50 cm) – USVAJA SE

3.

Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SE Barem jedna od dilatacija mora dostići graničnu vrednost! εb = 3.5‰;

3‰≤ εa <10‰

lom po betonu

0‰≤ εb < 3.5‰;

εa =10‰

lom po armaturi

εb = 3.5‰;

εa =10‰

simultani lom

20



Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SE Od izbora dilatacija zavisi visina preseka d! ...Kako? Od odnosa dilatacija zavisi visina pritisnute zone x Veće x => veće Dbu => veće Zau (iz uslova ravnoteže normalnih sila) => što su sile u spregu veće potreban je manji krak da bi spreg bio jednak Mu! => manji krak sila z => manja visina preseka d!

Zau a

a

Gb Aa

h-x

d

h

z=×h

x=s×h

Dbu

×x

b = 3.5 ‰ b = f B

b

a  10 ‰

10

21



4. 5.

Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SE Usvajanje εb =3.5‰ (lom po betonu) => najmanje d, ali krti lom! Optimalno εb =3.5‰; 7‰≤ εa <10‰ Koeficijenti sigurnosti γui – ODREĐUJU SE ZAVISNO OD εa Koeficijenti i - ODREĐUJU SE IZ TABLICA

22



Statička visina h – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

7.

Potrebna površina armature – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

8.

Usvaja se prečnik i broj šipki armature i armatura se raspoređuje u preseku Voditi računa o razmacima šipki i debljini zaštitnog sloja! Proračun težišta armature (a) => visina preseka d = h+a

11

23

4. Elementi opterećeni momentima savijanja • II.

Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje 1. 2. 3.

Mi (i = g, p, Δ), b, d – POZNATO Č (GA, RA), MB – USVAJA SE Granični momenat savijanja – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

4.

(koeficijenti sigurnosti se računaju pretpostavljajući εa ≥3‰) Težište armature, a – USVAJA SE (a≈0.1d) => h = d-a

5.

Koeficijent k – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

6. 7.

(provera da li je εa ≥3‰) Potrebna površina armature – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA Usvaja se prečnik i broj šipki armature i armatura se raspoređuje u preseku Voditi računa o razmacima šipki i debljini zaštitnog sloja! Proračun težišta armature (a) => kontrola u odnosu na pretpostavljeno a

24


Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje Šta ako je εa <3‰? Malo εa i veliko x! Ako je εa malo iz RDČ => σa malo Veliko x => veliko Dbu => potrebna velika sila Zau => zbog malog σa potrebna je velika površina armature Aa! S obzirom da je εa <3‰ potrebna je interpolacija koeficijenata sigurnosti! b = 3.5 ‰ b = f B

h-x

d

Zau

 a [M Pa] v a

a

a

Gb Aa1

×x

Dbu

z=×h

x-a2

Dau

h

Aa2

x=s×h

a2

14

a2

b

a1  3 ‰

 a [‰ ]  a v

10

12

25


Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje Šta ako je εa <3‰? => “dvostruko armiranje” => Računsko određivanje armature u pritisnutoj zoni Mbu – moment koji može da prihvati jednostruko armiran presek uz εa =3‰; εb =3.5‰

k* je vrednost pri εa =3‰; εb =3.5‰

b = 3.5 ‰

a2

Razliku momenata ΔMu prihvata spreg Dau i ΔZau

Aa1

Zau a

a

A*a1

Mu h-a2

Gb

Dau

a2

h-x

d

h

Pretpostavlja se:

x=s×h

Aa2

b

a1  3 ‰

26


Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje

a

Aa1 A*a1 b

Dau

h-a2

Mu

Zau a

Gb

a2

h-x

d

h

Preporuka:

x=s×h

Aa2

a2

b = 3.5 ‰

a1  3 ‰

13

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki

27

ekscentricitet (složeno savijanje) • • •

Preseci opterećeni ekscentričnom normalnom silom (N ili Z) Napadna tačka sile je u osi simetrije preseka Neutralna linija se nalazi u poprečnom preseku

Nu

Nu

z=×h

Zau a1

Aa1

b

Dbu

×x

Dau h - a2

x-a2 a2

x=s×h

a2

h

Aa1

a1

a1

Gb

yb1

Gb

yb1

Aa2

yb2 d

d

Mu Nu

h

yb2

e

Aa2

h-x

b  3.5 ‰ b  f B

a1  10 ‰

b


28

ekscentricitet (složeno savijanje) • • •

Statički uticaja: Ni, Mi = Ni٠e Granični uticaji: Uslovi ravnoteže normalnih sila:

•

Uslovi ravnoteže momenata savijanja u odnosu na težište zategnute armature

a1

×x a1

d

Dbu

Zau

Aa1 b

Dau

z=×h

h-x

a2

h - a2

x=s×h

Gb

x-a2 a2

Aa2 h

yb2

b  3.5 ‰ b  f B

yb1

• NAPOMENA: Znak uz normalnu silu Mu je plus u slučaju norm. Nu sile pritiska, a minus u slučaju norm. sile zatezanja

a1  10 ‰

14


29

ekscentricitet (složeno savijanje) •

Dolazi se do izraza analognih onima za presek opterećen na čisto savijanje!

•

Umesto Mu u izrazima figuriše Mau Mau = Mu + Nu(d/2 – a1) Mau = Mu - Zu(d/2 – a1) Moguće je koristiti iste tablice za dimenzionisanje! U izrazu za armaturu dodaje se član (-Nu / σv ), odnosno (+Zu / σv ) Slobodno i vezano dimenzionisanje

• • •


30

ekscentricitet (složeno savijanje) • I.

Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Slobodno dimenzionisanje => d nepoznato => iterativan postupak! U prvom koraku – pretp. Mau = Mu

Drugi korak:

Kada se postigne dovoljna tačnost (dII≈dI±1cm) NAPOMENA: Znak uz normalnu silu je minus u slučaju norm. sile pritiska, a plus u slučaju norm. sile zatezanja

15


31

ekscentricitet (složeno savijanje) • II.

Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje

•

POZNATO:

•

USVAJA SE:


32

ekscentricitet (složeno savijanje) • II.

Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja: Vezano dimenzionisanje Ako je εa <3‰ => “dvostruko armiranje” => Računsko određivanje armature u pritisnutoj zoni Mabu– moment koji može da prihvati jednostruko armiran presek uz εa =3‰; εb =3.5‰

16

1


Semestar: V

ESPB: 6

1. Centrično pritisnuti elementi 2. Centrično zategnuti elementi 3. Mali ekscentricitet - Ekscentrično zategnuti elementi 4. Elementi opterećeni momentima savijanja 5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet 6. “T” preseci 7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije 8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska 9. Moment nosivosti 10.Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona

2

1

3

6. ’’T’’ presek Podsetnik: •

Nosač T poprečnog preseka čini armiranobetonska greda (rebro), koja je u svom pritisnutom delu monolitno vezana sa pločom

4

6. ’’T’’ presek Podsetnik: •

Normalne napone pritiska prihvataju rebro i sadejstvujući deo ploče na širini koja se naziva sadejstvujuća aktivna širine ploče b

2

5

6. ’’T’’ presek Podsetnik:

•

Aktivna širina ploče na kojoj se vrši osrednjavanje napona – b je određena pravilnikom BAB 87 kao:

•

Za slučaj nesimetričnog T preseka aktivna širina se uzima kao:

6

6. ’’T’’ presek • Ako je neutralna linija u rebru i B ≥ 5b => zanemaruju se normalni naponi pritiska u rebru (mala greška) Pretpostavlja se da sila pritiska Dbpu deluje u srednjoj ravni ploče Odn. u ploči je konstantan napon pritiska σbs kome odgovara dilatacija εbs Velika pritisnuta površina => εb≈0.5-1.5‰ => εa=10‰ (lom po armaturi)

Dbpu

z=h-d p/2

Dbu

h d

Gb Aa

Zau

a

a

Zau

d p/2

bs

z=×h

bs

b  f B

x0 d p/2

dp

x

b  3.5 ‰

×x

B 5b

b

a = 10 ‰

3

7

6. ’’T’’ presek I.

Slobodno dimenzionisanje:

•

Ako se σbs usvoji =>

•

Provera: x0 > dp/2 ? Ako jeste => “T” presek!

(0.3fb≤ σbs ≤ 0.75fb)

z=h-d p/2

d p/2

Dbpu

x0 d p/2

bs

bs

h d

•

b  3.5 ‰

dp x

B 5b

Gb Zau

a

Aa b

a = 10 ‰

8

6. ’’T’’ presek

•

Provera:

b  3.5 ‰ bs

bs

Dbpu

d

h

z=h-d p/2

dp x

B 5b

d p/2

Slobodno dimenzionisanje:

x0 d p/2

I.

Gb Zau

a

Aa b

a = 10 ‰

4

9

6. ’’T’’ presek II. •

Vezano dimenzionisanje POZNATO:

•

•

RDB =>

Ako je x0 > dp/2 onda je “T” presek

10

6. ’’T’’ presek II. • •

Vezano dimenzionisanje Praktičniji pristup: pretpostaviti neutralnu liniju u ploči! Dimenzioniše se pravougaoni presek Bxd

• • •

Preko koeficijenta s se određuje položaj neutralne linije: x=sh ≤ dp? Ako jeste, presek je pravougaoni Bxd U svakom slučaju mora se obezbediti minimalna količina armature! (u odnosu na širinu rebra b!)

•

Za GA μmin=0.25%; Za RA μmin=0.20%

5

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti

11

elementi. Dijagrami interakcije. • • •

Slučaj naprezanja karakterističan za stubove Ekscentricitet normalne sile je mali, ceo presek je pritisnut; simetrično armiranje! Granične dilatacije se kreću od εb1=0‰ i εb2=3.5‰ do εb1=εb2=2‰

b = 2b ‰

yb2

Dbu Dbu

a1

yb1

x

d

h

Nu Gb

3 7d

Dau2 Dau2

Aa2

e

N Nuu

b =bf= B fB

Aa1

Dau1 Dau1

b


12

elementi. Dijagrami interakcije. • •

Konstruisanje: usvojen oblik i dimenzije preseka, raspored i količina armature, mehaničke karakteristike betona i čelika, stanje graničnih dilatacija u preseku Ispisivanje uslova ravnoteže => Mu, Nu • Najčešće u bezdimenzionalnom obliku:

• Posebni dijagrami za različite odnose a/d i različite mehaničke karakteristike betona i čelika

6

ZATEZANJE

13

PRITISAK

2

b2 a2

3.5

b a

a'

c

d

C

e f

g h

“c” 10‰

a1 b1

3

v

0

2

3.5

“b” “a”

ZATEZANJE

2

b2 a2

d

3

v

0

3.5

C

e f g

a1 b1

14

PRITISAK

h

2

3.5

“d” “f”

“h”

7


15

elementi. Dijagrami interakcije.

16

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska •

Provera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna ako je zadovoljen bar jedan od sledećih uslova:

gde je: e1 – ekscentricitet eksploatacione normalne sile pritiska po teoriji I reda u srednjoj trećini dužine izvijanja d – odgovarajuća dimenzija poprečnog preseka (u pravcu ekscentriciteta e1)

li/3

P p

li

li/3 li

8

17


Za stubove koji su deo nepomerljivog sistema i koji imaju linearnu promenu momenata po teoriji I reda: => uslov se zamenjuje uslovom

•

Stub A:

•

Stub B: g, p M2

M2 A

B

M1

18

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska • •

Ako nijedan od navedenih uslova nije zadovoljen mora se dokazati stabilnost vitkog elementa na izvijanje Za oblast umerene vitkosti dozvoljavaju se približni postupci Metoda dopunske ekscentričnosti:

o

ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju e0

o

Ekscentricitet usled vremenskih deformacija (tečenja i skupljanja) betona eφ može se zanemariti (eφ = 0)ako su zadovoljena sva tri uslova: u suprotnom, uticaj tečenja i skupljanja računa se uvođenjem eφ:

e1g – ekscentricitet normalne sile od stalnog opterećenja =Mg/Ng e0 – ekscentricitet usled netačnosti izvođenja

9

19


Ekscentricitet po teoriji II reda:

•

Ukupni ekscentricitet:

•

Nu, Mu = Nu · e

=> mali ili veliki ekscentricitet!

20

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina

Aa1

a1

Zau

a1

b

N  0 : M

a1

Dbu

z=×h

d

Dau

×x

a2

b

h - a2

x-a2 a2

x=s×h

Gb

b

h

Mu=? Nu

Aa2

h-x

y b2

Poznato: b, d(h), Aa1, Aa2, MB, Č i Nu; Mu = ?

y b1

•

a1

Dbu  Dau  Zau  Nu  s

 0 : Dbu  z  Dau  h  a2   Mau  Mu  Nu  y b1  a1 

10


21

Dbu  b  s  b  h  fB b 

3  b  2 3  b

b 

b  6  b  za b  2‰ 12

za 2‰  b  3.5‰

b  3.5‰ s  0.259  1s a1   b s s  0.259 

a1  10‰ s b   a1 1s


22

simultani lom x=0.259×h

b = 3.5 ‰

b  3.5‰ a1  10‰

h

s Aa1

s

b b  a1

3.5 7   0.259 3.5  10 27

a1 = 10 ‰

11

23

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina > 3.5 ‰

lom po betonu

b = 3.5 ‰ x=0.4×h

0.259×h

s  0.259 b  3.5‰ a1 

1s  b s

s  0.4  0.259  b  3.5‰

Aa1

a1 

1  0.4  3.5  5.25‰ 0.4

a1 = 5.25 ‰ 10 ‰

24

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina lom po armaturi x=0.167×h

0.259×h

3.5 ‰

b = 2 ‰

s  0.259 a1  10‰ b 

s  a1 1s

s  0.167  0.259  a1  10‰

Aa1

b 

0.167  10  2‰ 1  0.167

a1 = 10 ‰ > 10 ‰

12

25

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina a Dau  Aa2  a2

v

a 2  a 2  Ea  v

2 

N  0 :

a2 h

Dbu  Dau  Zau  Nu  0 

x-a2 a2

b

Zau  Aa1  a1 a1  a1  Ea  v

10‰

x = s×h

a 2

a v

x  a2 s  2   b   b x s

a2

s

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina •

Praktičan postupak – iterativan

•

Pretpostavi se s => Dbu, Dau, Zau => ΣN = 0 => Dbu + Dau - Zau - Nu < 0 => povećati s u II iteraciji Dbu + Dau - Zau - Nu > 0 => smanjiti s u II iteraciji

•

Kada se sračuna s, mogu se sračunati sve unutrašnje sile (Dbu, Dau, Zau) kao i z (poznato je εa i εb)

26

ΣMa1 = 0 => Dbu·z + Dau·(h-a2) = Mau za poznato Nu: Mu = Mau - Nu·(yb1-a1)

13

b

z=×h

x=s×h

Dbu

y b1

Gb

h-x

d

h

y b2

Mu=? Nu

27

Aa1

a1

a1

Zau a1

b

N  0 :

M

a1

×x

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) – pravougaona pritisnuta površina b

Dbu  Zau  Nu  s

 0 : Dbu  z  Mau  Mu  Nu  y b1  a1 

28


N  0 :

Aa1  1  b  h 

fB Nu  v v

 + 1 = b  s  Aa1 v Nu  k bhfB 2

M

a1

0:

h M au =    b  f B k  2

h d  Mu = Mau  Nu  y b1  a1      b  f B  Nu    a1  k  2 

14

29

10. Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona – primena blok dijagrama napona pritiska u betonu

y

dy

Mu

b(y)

0.8 x x

Abp

y

xT

Gb

b  ×f B

b

xT

b(y)

Dbu

h-x

zb

d

h

NEUTRALNA LINIJA

b1

M

a1

Zau

a1

a1

a1

Aa1 a1

 0 : Dbu  zb  M au  s

30

10. Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona – primena blok dijagrama napona pritiska u betonu b(y)

y x

Dbu 

  ( y ) b( y ) dy b

y 0

b 

b b(y) y

y

x

dy

b

fB  4   b    b 4  b  fB

b(y)

Dbu

0   b  2‰ 2‰   b  3.5‰

15

31

10. Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona – primena blok dijagrama napona pritiska u betonu

Abp

xT

0.2 x 0.8 x

dy

Gb

b  ×f B

b

y

x

b(y)

Dbu

y x

Dbu 

  ( y ) b( y ) dy b

y 0

Dbu   b  Abp    fB  Abp

32

10. Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona – primena blok dijagrama napona pritiska u betonu •

PBAB 87, član 82:

16

33

10. Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona – primena blok dijagrama napona pritiska u betonu •

Da bi se primena blok dijagrama proširila i na slučajeve εb < 3 ‰, konstruisan je dijagram koeficijenta α u zavisnosti od dilatacije εb

•

Preporuka: Kriva 1 se koristi kada se širina pritisnute zone povećava od neutralne linije ka najjače pritisnutom vlaknu (npr. trapez). Kriva 2 se koristi kada se širina pritisnute zone smanjuje idući ka najjače pritisnutom vlaknu (npr. krug)

Abp

Dbu NEUTRALNA LINIJA

b(0.8x)

h-x

zb

h

Mu d

34

xT x

Gb

0.8 x

PRIMER: Vezano dimenzionisanje trapeznog b2 preseka b  ×f B b

b1

M

a1

a1

Zau a1

a1

Aa1 a1

 0 : Dbu  zb  Mau  Mu  Nu  y b1  a1   s

N  0 :

Dbu  Zau  Nu  Aa1 

Dbu  Nu v

17

35

PRIMER: Proračun momenta loma kružnog preseka Aap   ×f   Dbu

a1

x

NEUTRALNA LINIJA

b

Dau

r

Zau

a3

SISTEMNA LINIJA

h-x

D = 2r

Nu

a 

Da = 2r a

Mu

q

0.8x

0.8x x

a

Abp

B

a2

b

b

a

a

ra

a,max.

Aaz

N  0 : M  0 :

v

Dbu  Dau  Zau  Nu  s

Dbu  a1  Dau  a2  Zau  a3  Mu

PRIMER: Proračun momenta loma kružnog preseka   ×f 



B

r

b  arc cos

Dbu

Dbu

NEUTRALNA LINIJA

b

D = 2r

b

0.8x

Abp

0.8x x

b

36

r  0.8 x r

 sin 2 b      fB  Abp  0.95  fB  r   b  2   2

18

37

4.5

PRIMER: Proračun momenta loma kružnog preseka

Da = 41

50

URØ8/20

12RØ19 Aa = 34.02 cm2 (12 RØ19)

4.5

Da = 50 – 2×4.5 = 41 cm

aa 

Aa 34.02 cm 2   26.41   Da   0.41 m

38

PRIMER: Proračun momenta loma kružnog preseka Aap   q

Dau

N.L.

h-x

r–x

Da = 2r a

a

x

x

a

b

r

Zau

a

a

ra

Aaz

a,max.

Dau  Aap  q  aa  a  Da  q

Zau  Aaz  v  aa    a   Da  v

v

a  arc cos

r x ra

19

1


Semestar: V

ESPB: 6

2

1. Centrično pritisnuti elementi 2. Centrično zategnuti elementi 3. Mali ekscentricitet - Ekscentrično zategnuti elementi 4. Elementi opterećeni momentima savijanja 5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet 6. “T” preseci 7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije 8. Elementi opterećeni transverzalnim silama 9. Elementi opterećeni momentima torzije

1

3

8. Elementi opterećeni momentima torzije • • • •

Torzija nastaje usled dejstva momenta Mt oko podužne ose nosača: Obrtanje koje nastaje usled torzije izaziva smičuće napone u nosaču (podužne i poprečne!) Smičući naponi izazivaju glavne napone zatezanja pod uglom od 45º u odnosu na podužnu osu Kada glavni naponi zatezanja prekorače čvrstoću betona pri zatezanju dolazi do pojave dijagonalnih (“spiralnih”) prslina 2

1

MTu

8. Elementi opterećeni momentima torzije

2

5

8. Elementi opterećeni momentima torzije •

Granična nosivost punih preseka neznatno veća od gr. nosivosti šupljih preseka: 2

1

MTu

• •

U proračunu se pun presek aproksimira šupljim – sandučastim tankozidnim Uslov ravnoteže momenata torzije:

•

Uz pretpostavku ravnomernog rasporeda napona po debljini iz Brendt-ove formule:

d d0

d d0

a

a

δ0

a

a

8. Elementi opterećeni momentima torzije

Ab 0  b0 xd0 Ob 0  2 xb0  d0 

b0  b  2a

d 0  d  2a

0 

d m minb0 , d0   8 8

3

7


Ako je nije potrebna računska armatura za prihvatanje uticaja od uticaja momenata torzije!

•

Ako je prekoracen τr

•

U ovom slučaju se deo momenta torzije može poveriti betonu! => redukcija MTu => redukovan računski moment torzije MTRu

potrebna je računska armatura u području gde je

MTRu = MTu – MTbu

•

Ako je prihvata armatura!

•

Slučaj

ne vrši se redukcija momenata torzije, sve uticaje

nije dozvoljen!

8


Nakon pojave prslina, sile zatezanja u kosim štapovima rešetke prihvataju uzengije i podužna armatura! Proračunski model: prostorna rešetka sa promenljivim nagibom pritisnutih betonskih dijagonala.

4


Površina poprečne armature (uzengija zatvorena po kraćoj strani preseka):

aau(1) •

Površina ukupne podužne armature:

• • •

Obo – obim srednje linije ekvivalentnog tankozidnog preseka Ugao θ je nagib pritisnutih dijagonala (bira se, 25º-55º) U slučaju kada je mora se ispoštovati minimalna površina uzengija!

Aap

10


Simultano dejstvo transverzalnih sila i momenata torzije: => superpozicija nominalnih napona

Tu Mt

MTu

T

5

11


Sa i

•

se poredi ukupni smičući napon !

Kada je

, a ne komponente

redukcija transverzalnih sila i momenata torzije:

8. Elementi opterećeni momentima torzije Za transverzalne sile:

m

+

m=2,4….

Za momente torzije:

m

+

m=2 samo!

Šta je zajedničko?

UZENGIJE

6

8. Elementi opterećeni momentima torzije au(1)  au(1,T)  au(1,)M T

 b T 1  M TRu au(1)   Ru  tg eu  m v ctg 2 Ab 0 v  m=4:

au(1,)T 

T b Ru 1 e  A  eu m v ctg u

au(1,)MT 

M TRu tg  eu  B  eu 2 Ab 0 v

au(1,)spolja   A  B   eu

au(1,)unutra  A  eu

14

8. Elementi opterećeni momentima torzije • •

Simultano dejstvo momenata savijanja i momenata torzije: => neophodna je kontrola glavnog napona pritiska u pritisnutoj zoni preseka! Glavni napon pritiska:

•

Izbegava se mogućnost krtog loma po betonu – koeficijenti sigurnosti pri proračunu MTu kao za εa ≥ 3 ‰

•

Međusobni razmak šipki uzengija i podužne armature se ograničava na:

7

1

BETONSKE KONSTRUKCIJE DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA - Granična stanja upotrebljivosti Snežana Marinković

Semestar: V

ESPB: 6

2

1. GSU - Uvod 2. Uticaj vremenskih deformacija betona 3. Proračun napona 4. Proračun prslina 5. Proračun deformacija

1

3

1. GSU - uvod •

Dimenzionisanjem prema GSN ne stiče se uvid u ponašanje konstrukcije u eksploataciji. Osim nosivosti, tokom upotrebnog veka konstrukcije neophodno je zadovoljiti i druge zahteve:

•

• • •

Trajnost – dokaz graničnog stanja prslina Funkcionalnost, izgled – dokaz graničnog stanja deformacija

Pored toga, dokazuje se i granično stanje napona. Naponi u betonu se ograničavaju da bi se izbegle podužne prsline i veliko tečenje. Naponi u armaturi se se ograničavaju da bi se izbegle neprihvatljivo velike prsline i deformacije. Naš PBAB87 ne zahteva ograničenje veličine napona u eksploataciji! Proračun se sprovodi sa eksploatacionim vrednostima opterećenja! (γui=1). Dokazuje se da su veličine napona, prslina i ugiba manje ili najviše jednake propisanim graničnim vrednostima.

• •

4

1. GSU - uvod b1

b1

Zb

a

Aa

h-x

b

a b2

b2  f bzs

2x/3

Db z

d

Gb

2(d-x)/3 2x/3

x=s×h

Db

h

M

b1

Za

Neisprskali presek

Za Isprskali presek

Za nivo napona u eksploataciji (≤0,4fbk), beton se ponaša približno linearno. Važe pretpostavke: 1. Bernoulli – dijagram dilatacija po visini preseka je linearan 2.

Hook – σb =

Ebεb i σa = Eaεa , za kratkotrajna opterećenja

3.

Zanemaruje se nosivost betona na zatezanje u preseku sa prslinom

4.

ε b = εa

2

1. GSU - uvod

6

2. Uticaj vremenskih deformacija betona •

Dva bitna efekta koja utiču na stanje napona, prslina i ugiba AB elemenata: •

•

•

Skupljanje

efekat smanjenja zapremine koji nastaje usled isparavanja vode tokom procesa vezivanja cementa; prinudna deformacija koja ne zavisi od napona Tečenje efekat porasta deformacija pri konstantnom opterećenju; ‘prinudna deformacija’ koja zavisi od napona

Oba efekta su dugotrajna (smatra se da su procesi završeni tek nakon oko 30 godina odn. 10 000 dana)

3

2. Uticaj vremenskih deformacija betona • •

Naponi u betonu i armaturi u presecima AB elemenata su promenljivi kroz vreme Razmatraju se dva različita slučaja: •

Kratkotrajno opterećenje (povremena opterećenja) naponi se računaju za t = 0 (početni naponi)

•

Dugotrajno opterećenje (stalna opterećenja) naponi se računaju za t = 0 (početni naponi) t→∞ (konačni naponi)

2. Uticaj vremenskih deformacija betona početna dimenzija elementa

•

Skupljanje u najvećoj meri zavisi od: • • •

relativne vlažnosti dimenzija elementa sastava i kvaliteta betona

Slobodno skupljanje nearmiranog betona

σb = 0

“Slobodno” skupljanje armiranog betona

εas pritisak εbz zatezanje

Skupljanje nije isto što i pad temperature! Sprečeno skupljanje armiranog betona

εas = 0 εbz = εs zatezanje

4

9


Tečenje u najvećoj meri zavisi od: • starosti i čvrstoće betona u trenutku nanošenja opterećenja • odnosa napona u betonu i čvrstoće pri pritisku • dužine trajanja opterećenja • relativne vlažnosti • dimenzija poprečnog preseka elementa

2. Uticaj vremenskih deformacija betona σb σ0=σb=const

0

t0

t1

t∞ t

εb εb∞ povratna elastična dilatacija povratna dilatacija tečenja

dilatacija tečenja

εb,tec

nepovratna dilatacija tečenja

εb

εb,el

elastična dilatacija konačna dilatacija skupljanja

dilatacija skupljanja

εs 0

t0,s t0

t

t1

t∞ t

5


Koeficijent tečenja:

 (t , t 0 )  • •

•

 b,tec (t , t0 )  b , el (t0 )

Naponi σb ≤ (0,3 – 0,4) fbk, linearna teorija tečenja: postoji linearna zavisnost između napona u betonu i dilatacija tečenja, odnosno dilatacije tečenja su proporcionalne sa trenutnim, elastičnim dilatacijama dilatacije tečenja od priraštaja napona u različitim trenucima vremena se mogu sabirati, važi zakon superpozicije


Iz pretpostavke o proporcionalnosti trenutnih elastičnih dilatacija i dilatacija tečenja, sledi da veza napona i dilatacija u betonu koje zavise od napona (elastične i dilatacije tečenja), pri konstantnom jednoaksijalnom naponu, ima oblik:

 b (t , t 0 )   s (t , t 0 , s )  • • • •

 b (t 0 ) Eb (t0 )

1   (t , t0 )

εb(t,t0) – ukupna dilatacija betona u intervalu t-t0 εs(t,t0,s) – dilatacija skupljanja u intervalu t-t0,s σb(t0) – napon u betonu, konstantan u intervalu t-t0 Eb(t0) – moduo elastičnosti betona u trenutku opterećenja t0

U PRAKSI se usvaja: t0 = t0,s

6

2. Uticaj vremenskih deformacija betona

• a:  b (t , t0 )   s (t , t0, s ) 

 b (t0 ) Eb (t0 )

n

1   (t , t0 )  

 b ( j )

j 1

Eb ( j )

1   (t, j )

• b:  b (t , t0 )   s (t , t0, s ) 

 b (t0 ) Eb (t0 )

t

1   (t , t0 )   d b ( )1   (t , ) t0

Eb ( )


Umesto integralne veze napona i dilatacija u betonu, prema našem Pravilniku, dozvoljeno je koristiti sledeću algebarsku vezu:

 b (t , t0 )   s (t , t0, s ) 

•

 b (t0 ) Eb (t0 )

1   (t , t0 )   b (t )   b (t0 ) 1   (t , t0 ) (t , t0 ) Eb (t0 )

χ(t,t0) – koeficijent starenja betona Ova metoda se zove METODA KORIGOVANOG EFEKTIVNOG MODULA ELASTIČNOSTI BETONA - AAEMM

7

2. Uticaj vremenskih deformacija betona

• •

Koeficijent starenja zavisi od istorije napona, promene modula elastičnosti betona i zakona tečenja (koeficijenta tečenja) Za uobičajene starosti betona i uobičajene istorije opterećenja Pravilnik preporučuje da se za konačne vrednosti koeficijenta starenja mogu koristiti vrednosti:

 (t , t0 )  0,75  0,85


Fizička suština AAEM postupka:

 b (t , t0 )   s (t , t0, s )  •

 b (t )   b (t0 ) Eb* (t )

Eb (t0 ) 1   (t , t0 )

Korigovani efektivni modul elastičnosti betona:

Eb* (t )  •

Eb,ef (t0 )



Efektivni modul elastičnosti betona:

Eb,ef (t0 )  •

 b (t0 )

Eb (t0 ) 1   (t , t0 ) (t , t0 )

Koeficijentom starenja se u stvari koriguje efekat tečenja usled promene napona u betonu u toku vremena. Kako promena napona nastaje kasnije (ne u t0), u većoj starosti betona, njoj odgovara smanjeni koeficijent tečenja.

8

3.1 Proračun napona t = 0

a

d/2

d

d/2

a

3.1.1 Centrični pritisak

 N  0  Db  Da  N  0

3.1 Proračun napona t = 0  N  0  Db  Da  N  0

Ab b  Aa a  N   b ( Ab  Aa a )  N b  a Ea a Ea    n   a  n b  b Eb b Eb

 b ( Ab  nAa )  N

b 

N N   b  b Eb Ab  nAa Ai

 a  n b Ai –

a 

b Ea

površina idealizovanog preseka:

neto beton + (n)•(armatura) ≈ bruto beton + (n)•(armatura)

3.1.2 Centrično zatezanje, σb ≥ fbz trivijalno, sami!

9


h-x

x/3 a1

a1

yb1 a1

zb=h – x/3

h d

h – a2

x yb2

e ea1

x – a2 a2

ea2

3.1.3 Složeno savijanje (M,N) – veliki ekscentricitet (presek sa prslinom)

1

 N  0  Db  Da  Z a  N

2

x   M a  0  Db  h    Da h  a2   M a  M  N  yb1  a1  3 

3.1 Proračun napona t = 0 x s Db   bb  Eb b bh 2 2

 x  sh 

Aa1 A a E ;  2  a 2 ; 2  2 ; n  a bh bh h Eb 1 s s  2  a1   b ; a 2  b s s

1 

s  2  b  2bh s 1 s Z a   a1 Aa1  Ea a11bh  nEb  b 1bh s Da   a 2 Aa 2  Ea a 2  2bh  nEb

yb1  yb 2  ea1  e 

d 2

d M d  a1    a1 2 N 2

ea 2  e 

d M d  a2    a2 2 N 2

10

3.1 Proračun napona t = 0 1

N  0

2

Ma  0

e e e  e  e  s 3  3 a1  1 s 2  6n a1 1  a 2 2  s  6n a1 1  a 2 2 2   0 h h  h   h   h 

2

Ma  0

b 

Ma s   b  b 2 Eb bh J IIb  n 2 s   2 1   2 

J IIb 

s2  s  1   2  3

 a1  n b

za pravougaonu pritisnutu površinu

1 s    a1  a1 s Ea

 a 2  n b

Ako deluje sila zatezanja: N=-Z

s  2    a2  a2 s Ea

3.1 Proračun napona t = 0 3.1.4 Čisto savijanje (M) – presek sa prslinom •

N=0, Ma=M. Izraz za određivanje neutralne linije se dobija direktno iz sume normalnih sila:

s 2  2n1   2 s  2n1   2 2   0 •

Važe isti izrazi za napone i dilatacije. 3.1.5 Složeno savijanje (M,N) – mali ekscentricitet (presek bez prsline)

•

Naponi se računaju sa geometrijskim karakteristikama idealizovanog preseka (beton + (n)•(armatura)), Otpornost materijala. Pogledati Priručnik PBAB87, knjiga 1.

11

KOMENTAR

3.1 Proračun napona t=0 •

U principu, bez obzira na tip naponskog stanja, postojanje prslina i vreme, naponi u betonu i armaturi se mogu sračunati primenom osnovnih jednačina teorije elastičnosti (Otpornost materijala), vodeći računa da je: • presek spregnut od dva različita materijala, pa se geometrijske karakteristike računaju za IDEALIZOVAN presek: • neto beton + (n) • (armatura) ≈ bruto beton + (n) • (armatura) • aktivan presek u preseku sa prslinom čine pritisnuti beton i sva armatura

 1, 2 

N M  Ai Wi


1 

Aa1 A ; 2  a 2 bh bh

2 

dp a2 E ;  ; n  a h h Eb

ea1 

M  yb1  a1 N

ea 2 

M  yb 2  a2 N

a1

yb1

d

h

x

a2 e yb2

ea1

dp

ea2

3.1.6 T-presek – pritisnuta površina oblika slova T

M a  M  N  yb1  a1 

J Ib 

B s 2  B  s   2    1 b 2 b  2

2

J IIb 

B s 2  s   B  s     s  2   1      1 1   b 2  3  b 3   2 

12

3.1 Proračun napona t = 0 •

Čisto savijanje (N=0):

 n1   2 s  J Ib  n1   2 2   0 •

Složeno savijanje (M,N):

e e e e  e   n a1 1  a 2  2  s  J IIb  a1 J Ib  n a1 1  a 2  2 2   0 h h h  h   h  jednačina se rešava probanjem, iterativno!

•

Važe isti izrazi za napone i dilatacije.

•

Ukoliko se neutralna linija nalazi u ploči (s≤δ), proračun napona se sprovodi za pravougaoni presek B/d, za koji se računaju i koeficijenti armiranja μ1 i μ2 .

3.2 Proračun napona t → ∞ •

Važe iste pretpostavke kao za GSU, osim što se za vezu između napona i dilatacija u betonu u toku vremena koristi algebarska veza AAEM metode. Ovde je prikazana u inkrementalnom obliku:

 b t   Eb t  b t    b, sl t ,t0 

 b , sl t , t0    b t0  t , t0    s t , t0  •

gde su εb,sl(t,t0) slobodne, nesprečene dilatacije betona usled nesprečenog tečenja i skupljanja betona u intervalu (t-t0), a Eb* korigovani efektivni modul elastičnosti betona:

Eb* (t )  •

Eb (t0 ) 1   (t , t0 ) (t , t0 )

a Δσb(t) i Δεb(t) promene napona i dilatacija u betonu od skupljanja i tečenja :

 b t    b t    b t0 

 b t    b t    b t0 

13

3.2 Proračun napona t → ∞ • • •

Promene napona od tečenja i skupljanja se računaju na idealizovanom aktivnom preseku. Geometrijske karakteristike idealizovanog aktivnog preseka su promenljive u toku vremena. Primer:

Ai t   Ab  n Aa  Ab  n1   t , t0  t , t0 Aa

Ai (t0 )  Ab  nAa

3.2 Proračun napona t → ∞ Centrični pritisak εTb,0

εbTa,sl εTb,0 Na/2

Tb Ta

N

N

Tb Ta

Na/2

εTb,t

εTb,t Na/2

Ni

*

Ni*=Na

Tb

N

Ta

Tb

N

Ta

Na/2

14

3.2 Proračun napona t → ∞ σb d/2

a

σa

d/2

d

t=0

a

σa Ai  Ab  n Aa

n 

 b t   

Ea  n1   t , t0  t , t0  Eb

 a t   n

N a  Ea Aa bTa , sl t ,t0   bTa , sl t , t0    Tb t0  t , t0    s t , t0 

Ni

Ni Ai N i N a  Ai Aa

 b t    b t0    b t 

 Na

 a t    a t0    a t 

3.2 Proračun napona t → ∞

xσ(t0)

xσ(t)

d

xε(t)

Složeno savijanje (M,N) – presek sa prslinom i bez prsline

• • •

U toku vremena, naponi u betonu se smanjuju, a naponi u armaturi se povećavaju, naročito u pritisnutoj armaturi. Neutralne linije za dilatacije i napone se u toku vremena razdvajaju. U praksi se uvodi aproksimacija: xσ(t0)=xσ(t), inače je problem geometrijski nelinearan. Za izvođenje i konačne izraze pogledati Priručnik PBAB87, knjiga 1.

15

1

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA - Granična stanja upotrebljivosti Snežana Marinković

Semestar: V

ESPB: 6

2

1. GSU - Uvod 2. Uticaj vremenskih deformacija betona 3. Proračun napona 4. Proračun prslina 5. Proračun deformacija

1

3

4. Proračun prslina •

Niska čvrstoća betona na zatezanje => neizbežna pojava prslina. Uzroci pojave prslina su veoma različiti. Mi ćemo se baviti proračunom naponskih prslina.

•

Proračun prslina se vrši zbog kontrole njihove širine.

•

Osnovni razlozi za ograničavanje širine prslina: • • • • •

Sprečavanje ulaska tečnosti i gasova kroz prsline radi Zaštite armature od korozije (pored zaštitnog sloja odgovarajuće debljine i kompaktnosti) Zaštite betona od korozije Obezbeđenja vodonepropustljivosti konstrukcija u kojima se skladište tečnosti i gasovi Obezbeđenja prihvatljivog estetskog izgleda isprskalih elemenata (psihološki efekat)


Proračunom prema graničnom stanju prslina se dokazuje da karakteristična širina prslina apk(t) nije veća od granične vrednosti širine prslina apu:

apk(t) ≤ apu •

Karakteristična širina prslina:

apk(t) = 1,7apm •

•

gde je apm srednja širina prslina

Ovako sračunata karakteristična vrednost obezbeđuje da verovatnoća, da stvarna širina pojedinih prslina neće biti veća od karakteristične vrednosti, iznosi 95%.

2


Proračun se zasniva na idealizovanom stanju prslina: • • • • •

•

sve prsline su upravne na osu elementa sve prsline se prostiru po celoj visini zategnute zone sve prsline su jednake širine apm (srednja širina) međusobno rastojanje svih susednih prslina je jednako i jednako je srednjem rastojanju prslina lpm slika prslina je stabilizovana

Srednja širina prslina apm predstavlja izduženje zategnute armature, relativno u odnosu na okolni zategnuti beton, na dužini jednakoj lpm :

l  l  l l a pm t   l pm am, R t 



4

9

4. Proračun prslina 4.1 Srednje rastojanje prslina •

Zatega opterećena centričnom silom zatezanja Dostizanje čvrstoće betona na zatezanje u nekom preseku => otvaranje prve prsline U tom preseku silu Zr prihvata samo armatura! Udaljavanjem od prsline, preko napona prianjanja, sila se iz armature prenosi na okolni beton Na rastojanju lp je ponovo homogeno naponsko stanje odn. postoje uslovi za otvaranje nove prsline!

•

• •

•

10


Na dužini lp sila zatezanja iz armature se prenosi na okolni zategnuti beton putem napona prianjanja τp: lp

Abz f bz    p ( n ) dx 0

•

Usvajanjem osrednjene vrednosti napona prianjanja τpm => srednje rastojanje između prslina lp

Abz fbz   pm n   dx   pm n l pm 0

l pm

k1 

f A f Abz  f A  A  bz bz  bz  bz bz  k1k 2 bz  2  pm n  pm Aa1  4  pm Aa1 4 n 4

f bz

 pm

- koef. koji zavisi od kvaliteta athezije

5

4. Proračun prslina k2 – koeficijent koji zavisi od oblika dijagrama napona zatezanja neposredno pred pojavu prsline

1  0.25  zatezanje 4 0.5 k2   0.125  savijanje 4 prslina

Abz,ef

prslina

k2 

Abz  Abz , ef l pm  k1k 2

•

Abz , ef Aa1

  k1k2

 1z ,ef

Pored toga, eksperimenti su pokazali da je potrebno obuhvatiti i uticaj: • •

zaštitnog sloja betona međusobnog razmaka šipki armature

12


Konačan izraz:

e    l pm  2 a0     k1k2 10  1z ,ef  • • • • •

a0 eΦ k 1, k 2 Φ μ1z,ef

debljina zaštitnog sloja betona uključujući debljinu uzengije osovinsko rastojanje šipki armature koeficijenti prečnik šipke koeficijent armiranja u odnosu na efektivnu površinu zategnutog betona (=Aa1/Abz,ef)

6

4. Proračun prslina

hbz,ef

an

7,5Φ

Efektivna površina zategnutog betona

Abz ,ef  bbz , ef hbz ,ef bbz , ef  b

n

Abz ,ef   b j h j j 1

b j  15

h j  15

hbz , ef  an  7.5  d  xrI d-xrI - visina zategnutog betona neposredno pred pojavu prsline

14

4. Proračun prslina 4.2 Srednja širina prslina

•

Dilatacija zategnute armature na dužini lpm je promenljiva (zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona) i kreće se između dve granične vrednosti:

•

εa I –

dilatacija u preseku bez prsline

•

εaII –

•

dilatacija u preseku sa prslinom Srednja dilatacija zategnute armature:

 am  1    aI   aII

7

15


Koeficijent raspodele ς:

  II   1  1 2  arII a

2

   0, 4  

Z  Z r (M  M r )

 0

 arII  aII

Zr, Mr – sila zatezanja, odnosno moment savijanja koji izazivaju pojavu prsline u preseku

Z  Z r (M  M r )

- napon u zategnutoj armaturi, u kritičnom preseku, neposredno po otvaranju prsline, u preseku sa prslinom - napon u zategnutoj armaturi, u kritičnom preseku, od eksploatacionog opterećenja


Za čisto savijanje:

Za čisto zatezanje: 2

2

 Zr    0,4 Z 

 Mr    0,4 M 

  1  1 2 

  1  1 2 

•

Za složeno savijanje se koristi izraz sa prethodnog slajda (približan za ovaj slučaj).

•

Određivanje uticaja u preseku u trenutku pojave prsline

•

Za čisto savijanje:

σbp M

Aa2

 bz 

Mr  f bzs Wi ,1

M r  fbzsWi ,1  f bzsWb ,1 Ti

0,4   f bzs  0,7 fbzm  0,6  4   1 d 

Aa1

σbz

d – visina preseka (m)

8


Za čisto zatezanje:

σbz

 bz 

A/2 d

Z

Z r  f bz Ai  f bz Ab

Ti

f bz  0,7 fbzm

A/2

•

Zr  fbz Ai

Za složeno savijanje:

σbp M N

Aa2

  bz 

Nr M r    fbzs Ai Wi ,1

  N  N  M r  Wi ,1  fbzs  r   Wb ,1  f bzs  r  Ai  Ab   

Ti Aa1

σbz

Iz ovog izraza može se jednoznačno odrediti samo jedna veličina. Obično je to Mr, za pretpostavljenu Nr.

18


Relativna srednja dilatacija zategnute armature:

 am, R t    am t    bzI t 

 am, R t   1    aI   aII  1    aI

 bzI  1    aI

 am, R t    aII t 

 am  1    aI   aII •

Srednja širina prslina:

a pm t    aII t l pm •

Karakteristična širina prslina:

apk(t) = 1,7apm •

Ovako sračunata širina prsline mora biti manja od granične vrednosti!

apk(t) ≤ apu

9


Granične širine prslina apu (mm) prema PBAB87:

Agresivnost sredine Slaba Srednja Jaka

• • •

Stalno i dugotrajno promenljivo 0,2 0,1 0,05

Trajanje uticaja Stalno, dugotrajno i kratkotrajno promenljivo 0,4 0,2 0,1

Slaba – za elemente u untrašnjosti objekata koji nisu izloženi vlazi, atmosferskim i korozivnim uticajima Srednja – za elemente koji su izloženi vlazi, atmosferskim i slabijim korozivnim uticajima Jaka – za elemente koji su izloženi jačim korozivnim uticajima, tečnim ili gasovitim, uključujući neposredni uticaj morske vode i vazduha u blizini mora

20

5. Proračun deformacija • • •

Deformacije odnosno ugibi elemenata su bitni za izgled i funkcionisanje konstrukcije. Bitan je i uticaj deformacija na nekonstruktivne elemente – pregradne zidove, ispune, fasadne obloge i dr. Proračunom prema graničnom stanju deformacija (ugiba) se dokazuje da maksimalni ugib vmax(t) nije veći od granične vrednosti ugiba vu:

vmax(t) ≤ vu •

Granične (dopuštene) vrednosti ugiba: • • •

•

L/300 za proste i kontinualne grede L/150 za konzole L/750 za kranske staze

Moguće rešenje je izvođenje nosača sa nadvišenjem u oplati

10

21

5. Proračun deformacija •

Glavni razlozi zbog kojih je nemoguće precizno izračunati deformacije: • • • • •

•

Krutost koju pružaju oslonci je moguće samo proceniti Nemoguće je predvideti tačan intenzitet i trajanje opterećenja Stvarne vrednosti karakteristika materijala su nepoznate Doprinos krutosti koju pružaju nekonstruktivni elementi je nemoguće tačno odrediti i uglavnom se zanemaruje I najvažnije, krutost AB elementa i vremenske deformacije betona

Osnova za određivanje deformacija – princip virtualnog rada:

vt    l

M 1 M dx   M dx    m t M dx EI l rm t  l

M – dijagram momenata savijanja od spoljašnjeg opterećenja M - dijagram momenata savijanja od jedinične sile koja po položaju, pravcu i smeru odgovara traženom ugibu

22


Srednja krivina AB elemenata u trenutku vremena t:

1 rm t 

  m t  

d m t  dx

d m t   bm t   bm t    am t    dx y h

11

23

5. Proračun deformacija Srednja krivina u vremenu t: 1/rmt=κm(t)

•

Srednja krivina u vremenu t (zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona) i kreće se između dve granične vrednosti:

•

κI(t)

– krivina u preseku bez prsline

•

κII(t)

•

– krivina u preseku sa prslinom Srednja krivina u vremenu t:

 m t   1    I t    II t 

5. Proračun deformacija 5.1 Proračun krivine elementa izloženog čistom savijanju Početna srednja krivina κm(t0) yb

yb

Aa2

Aa2 M

Tb TiI Ta

Aa1

TiI, AiI,JiI,κI

M

TbII TiII Tb Ta Aa1

TiII, AiII,JiII,κII

12

5. Proračun deformacija  I t0  

M Eb t0 J iI

 II t0  

M Eb t0 J iII

b 

M Eb t0 J b

 I t0   k aI  b

 II t0   kaII  b

Preko koeficijenata kaI i kaII se uvodi uticaj armature:

•

k aI  •

Jb J iI

kaII 

Jb J iII

Početna srednja krivina κm(t0) je onda:

 m t0    I t0 

M  Mr

 m t0   1    I t0    II t0 

M  Mr

5. Proračun deformacija Srednja krivina u trenutku vremena t: κm(t) •

Krivina AB elementa u trenutku vremena t se određuje kao zbir početne krivine i promene krivine od tečenja i skupljanja betona, za naponska stanja I i II:

 II t    II t0    II t 

 I t    I t0    I t  •

Krivina AB elementa u trenutku vremena t za naponsko stanje I:





 I t   k aI 1  kI  t , t0   b  k sI •

 s t , t0  d

Krivina AB elementa u trenutku vremena t za naponsko stanje II:





 II t   kaII 1  kII  t , t0   b  k sII

 s t , t0  d

• gde je d visina poprečnog preseka a kaI, kaII, kφI, kφII, ksI i ksII koeficijenti

13


Preko koeficijenata kφI i kφII se uvodi uticaj tečenja betona: n J a  Aa ya 2  yiI2 ya 2  yi2I I Ji n kII  1   II J a  Aa ya 2  yiII2 ya 2  yi2II Ji kI  1 







•







Preko koeficijenata ksI i ksII se uvodi uticaj skupljanja betona : n n ksI   I Aa d ya 2  yi2I k sII   II Aa d ya 2  yi2II Ji Ji



•











Konačno, srednja krivina u toku vremena t, κm(t):

 m t    I t 

M  Mr

 m t   1    I t    II t 

M  Mr

5. Proračun deformacija 5.2 Proračun ugiba stanje I

stanje II

stanje I

•

vt     m t M dx

Δljk Mr

Ugib u vremenu t:

l

M

•

ς

Podela AB elementa na delove, numerička integracija (trapezno pravilo):



6l

vt     m , j 2M j  M k    m, k M j  2 M k  l jk

κm(t)

•

Tačnost je veća ako je finija podela

•

Približne metode

jk

M

14

5. Proračun deformacija 5.2.1 Bilinearna metoda •

Zasniva se na pretpostavci da je koeficijent raspodele ς konstantan duž raspona elementa i jednak onom koji se dobija za kritični presek:

 b  1  1 2 • •

•

M rD MD

Momenti MrD i MD su moment pojave prslina odnosno moment savijanja u kritičnom preseku. Kritični presek je presek u kome je maksimalni moment savijanja. Za proste i kontinualne grede to je presek u sredini polja, a za konzole presek u uklještenju. Time se u stvari uvodi pretpostavka da su momenti savijanja M i momenti pojave prslina Mr konstantni duž elementa i da iznose:

M  M rD M D M r  M rD


Ugib je onda:

vt   v I t 

M  Mr

vt   1   b v t    b v II t  I

•

M  Mr

Ako se uvede i pretpostavka da su koeficijenti ka, kφ i ks konstantni duž elementa (opravdano ako armatura ne varira znatno duž grede), izrazi za ugibe za naponska stanja I i II mogu da se napišu u obliku:





v I t   k aI 1  kI  t , t0    b M dx  k sI

 s t , t0 

l





v II t   kaII 1  kII  t , t0    b M dx  k sII l

d

 M dx l

 s t , t0  d

 M dx l

15


Ako se uvedu oznake:

  b M dx  vb l

 M dx   s l

l2 8

gde je • vb – početni ugib neisprskalog elementa konstantne krutosti Eb(t0)Ib • δs – koeficijent koji zavisi od statičkog sistema elementa •

Onda su konačni izrazi za ugib u vremenu t i naponska stanja I i II:





v I t   kaI 1  kI  t , t0  vb  k sI  s



l2  s t , t0  8d



v II t   kaII 1  kII  t , t0  vb  k sII  s

l2  s t , t0  8d

32

5. Proračun deformacija 5.2.1 Metoda Bransona •

Element je od homogenog materijala sa efektivnim momentom inercije:

Ib - mom. inercije betonskog popr. preseka IiII - mom. inercije idealizovanog preseka u fazi II Mr - mom. pojave prslina M - mom. savijanja od opterećenja za koje se računa ugib

16

33


Ugib u trenutku t = 0: k – koef. koji zavisi od statičkog sistema elementa

•

Povećanje ugiba kroz vreme (samo za stalno opterećenje!):

•

Ugib u proizvoljnom trenutku t:

5. Proračun deformacija 5.3 Superpozicija •

•

Ugib u trenutku vremena t, v(t), je nelinearna funkcija momenta savijanja, a time i opterećenja koji izazivaju taj moment, na delu elementa koji je isprskao. Princip superpozicije ne važi.

vt q1  q2   vt q1   vt q2  •

Ugib treba računati za odgovarajuće kombinacije opterećenja a ne za pojedinačna opterećenja.

17


•

U praksi opterećenje je kombinacija kratkotrajnog (p) i dugotrajnog opterećenja (g). Kod kratkotrajnih opterećenja uticaj tečenja i skupljanja se ne uzima u obzir. Preporučuje se da se ugib za merodavnu kombinaciju opterećenja sračunava kao zbir početnog, trenutnog ugiba usled ukupnog opterećenja (g+p) i prirasta ugiba u toku vremena od dugotrajnog opterećenja (g).

vt   vg  p t0   vg t   vg t0 

18

1

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA LOKALNI NAPONI PRITISKA KRATKI ELEMENTI Snežana Marinković

Semestar: V

ESPB:6

1. Lokalni naponi pritiska •

2

Kada se na armiranobetonski element prenosi sila pritiska preko male površine bo x do, javljaju se unutar elementa, u jednom užem područiju, znatni naponi pritiska u pravcu delovanja sile i naponi zatezanja upravno na pravac delovanja sile

1

1. Lokalni naponi pritiska •

Ukupna sila zatezanja (sila cepanja) može se približno odrediti iz izraza:

 d  Z u  0.3Pu 1  0  d   •

Pu  pu b0 d0

Lokalni naponi pritiska f0 ne smeju prekoračiti vrednost datu izrazom:

f0  f B • • •

Ab1  1.6 fbk Ab 0

fB - računska čvrstoća betona pri pritisku Abo – lokalno opterećena površina Ab1 – površina na koju se prenosi opterećenje

2. Zglobovi • •

3

4

Kontrola lokalnih napona pritiska se vrši kod zglobova ramovskih konstrukcija i ležišta mostova Redukcijom poprečnog preseka se omogućava prenošenje samo normalnih i transverzalnih sila

2

2. Zglobovi • •

5

Za prihvatanje sile cepanja u stubovima i temeljima, postavlja se armatura U stubu (uzengije):

As  0.3

Nu  d0  1   d 

v 

•

U temelju (češljevi): N  d  At  0.3 u 1  0'   v  dt 

•

Vertikalna armatura u “vratu” zgloba:

Av  0.8  1.0 %b0d 0 

( 8  10)

3. Kratki elementi •

6

Elementi kod kojih je krak sila od mesta uklještenja a manji ili jednak statičkoj visini h

a 1 h •

Opterećeni su koncentrisanim silama koje potiču od drugih elemenata konstrukcije ili od opreme

3

7


Potrebna površina armature za prihvatanje momenata savijanja u preseku u uklještenju određuje se iz izraza: M Pu a Aa  u  z v 0.85h v

•

Površina potrebne kose armature za prihvatanje glavnih napona zatezanja, u slučaju da je armatura postavljena pod uglom od 45o, određuje se izrazom: P Aak  u v 2

•

Ukoliko je a znatno manje od h, za prihvatanje glavnih napona zatezanja postavlja se horizontalne armatura čija površina se određuje iz izraza: P Aah  u

v


8

Armiranje kratkih elemenata je prikazano na skici

4

Teorija Betonskih Konstrukcija 6m2b2r

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Teorija Betonskih Konstrukcija 6m2b2r

Env 13670 1 2006 Izvedba Betonskih Konstrukcija 1n6h1f

Teorija Konstrukcija (stabilnost I Dinamika) - Prokofjev Smirnov 45i5k

Dinamika Konstrukcija 46641

Metali Teorija 1d363k

Teorija Izbora 392de

More Documents from "Igor" 4h5f

Teorija Betonskih Konstrukcija 6m2b2r

6g3p1u

Resistores 4z4m6j

6g3p1u

Trend Micro Imsva 8.5 Bpg 3f4yy

6g3p1u