Teoria Das Estruturas Ii 1e661w

Teoria das estruturas II

Arthur Rosinski do Nascimento

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Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE

Nascimento, Arthur Rosinski do. N17t Teoria das estruturas II / Arthur Rosinski do Nascimento. – Uberaba: Universidade de Uberaba, 2016. 213 p. : il.

Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba. ISBN: 978-85-7777-568-2 1. Teoria das estruturas. 2. Estruturas estaticamente indeterminadas. I. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a Distância. II. Título. CDD 624.171

Sobre o autor Arthur Rosinski do Nascimento Possuo graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá (2011). Sou especialista em Gerenciamento de Projetos pela Universidade Estadual de Maringá (2013). Atualmente, estou cursando mestrado em Engenharia Civil, na área de Estruturas, pela Universidade estadual de Maringá (início em 2015).

Sumário Capítulo 1 Apresentação do método dos deslocamentos................9 1.1 Método dos deslocamentos.............................................................................. 11 1.1.1 Exemplo de aplicação 1 (MARTHA, 2010)............................................. 19

Capítulo 2 Método dos deslocamentos com simplificações de deslocabilidades................................................................................29 2.1 Simplificações de deslocabilidades.................................................................. 30 2.1.1 Exemplo de aplicação 2 (SUSSEKIND, 1987)....................................... 40 2.1.2 Exemplo de aplicação 3 (SORIANO, 2006)........................................... 48

Capítulo 3 Método dos deslocamentos aplicado em pórticos planos......59 3.1 Exemplos de aplicação em pórticos planos..................................................... 60 3.1.1 Exemplo de aplicação 4 (MARTHA, 2010)............................................. 60

Capítulo 4 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas..........81 4.1 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas............................................ 82 4.1.1 Incógnitas do problema........................................................................... 82 4.1.2 Número de incógnitas – Deslocabilidade interna................................... 83 4.1.3 Número de incógnitas – Deslocabilidade externa.................................. 84 4.1.4 Grandezas Fundamentais....................................................................... 84 4.1.5 Exemplo de aplicação 5 (MARTHA, 2010)............................................. 85 4.1.6 Exemplo de aplicação 6 (SUSSEKIND, 1987)....................................... 98

Capítulo 5 Método dos deslocamentos aplicados em barras inclinadas e barras com rigidez infinita..............................................115 5.1 Método dos deslocamentos aplicado a barras inclinadas............................... 116

5.1.1 Exemplo de aplicação 7 (MARTHA, 2010)............................................. 117 5.2 Método dos deslocamentos aplicado a barras infinitamente rígidas............... 127

Capítulo 6 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos..................................................................139 6.1 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos................................................................................................................. 140 6.1.1 Exemplo de aplicação 9 (OLIVEIRA JÚNIOR)....................................... 141 6.1.2 Exemplo de aplicação 10 (OLIVEIRA JÚNIOR)..................................... 152

Capítulo 7 Processo de cross...........................................................165 7.1 Processo de cross............................................................................................ 166 7.1.1 Exemplo de aplicação 11 (SORIANO, 2006).......................................... 178 7.1.2 Exemplo de aplicação 12 (SORIANO, 2006)......................................... 183

Capítulo 8 Introdução à análise matricial de estrutura – método da rigidez direta.......................................................................................189 8.1.1 Sistema de Coordenadas Generalizadas............................................... 191 8.1 Método da rigidez direta................................................................................... 191 8.1.2 Matriz de rigidez de uma barra no sistema local.................................... 192 8.1.3 Matriz de rigidez local no sistema global................................................ 195 8.1.4 Montagem da matriz de rigidez global.................................................... 198 8.1.5 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais...................................................................................... 203 8.1.6 Imposição de equilíbrio aos nós isolados............................................... 208 8.1.7 Consideração das condições de apoio................................................... 209 CONCLUSÃO......................................................................................................... 212 REFERÊNCIAS...................................................................................................... 213

Apresentação As estruturas hiperestáticas são estruturas indeterminadas utilizando-se somente as equações da estática. Portanto, a análise destas estruturas é feita utilizando técnicas mais elaboradas para que se possam calcular todas as variáveis do problema. O estudo das estruturas estaticamente indeterminadas é o conteúdo que vem na sequência das estruturas isostáticas e resistência dos materiais, pois os grandes métodos de análises de estruturas usam estruturas auxiliares isostáticas na qual é possível o cálculo das deformações para nas superposições de forças ou deslocamentos obter resultados da estrutura real. Desta forma, torna-se imprescindível que o leitor tenha conhecimentos básicos destas disciplinas. Os dois principais métodos de análise são o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. Este conjunto de capítulos tem a intenção de apresentar o segundo método apresentado anteriormente. Tal método, por sua simplicidade e única forma de solução, tem sido muito utilizado em análises de estruturas feitas tanto manualmente, quanto por computadores. Assim, a sequência dos assuntos abordados neste material está apresentada a seguir. O primeiro capítulo apresentará os principais conceitos na qual se baseia o Método dos Deslocamentos, sendo este, um método de análise de estruturas hiperestáticas.

O Capítulo II apresentará as simplificações permitidas nas estruturas para facilitar a análise manual, podendo assim, o engenheiro avaliar o comportamento das estruturas rapidamente mediante cálculos simples apresentando exemplos de vigas hiperestáticas resolvidas. O terceiro capítulo demonstrará um exemplo de análise pelo Método dos Deslocamentos de pórtico plano. O quarto capítulo exporá as considerações que devem ser feitas para a análise de estruturas do tipo grelha pelo Método dos Deslocamentos, utilizando-se de vários exemplos resolvidos para fixação do assunto. O quinto capítulo fará a análise de estruturas planas que possuem barras inclinadas ou com rigidez muito elevadas, podendo considerá-las rígidas. No Capítulo VI serão expostos exemplos de análise de estruturas hiperestáticas que estão submetidas a recalques de apoios. O Capítulo VII abordará o Processo de Cross, técnica de análise que utiliza os conceitos do Método dos Deslocamentos para o cálculo manual de estruturas sem o uso de equações de equilíbrio, consistindo em um método iterativo de análise estrutural. E no último capítulo, será exibido o Método da Rigidez Direta, ou Análise Matricial de Estruturas, desenvolvido para a implementação computacional que trata amplamente as estruturas hiperestáticas, com todos os seus graus de liberdade, sem a consideração das possíveis simplificações e com suas restrições de deslocamentos impostos pelos apoios.

Capítulo 1

Apresentação do método dos deslocamentos


Introdução Este capítulo foi desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha (2010) e Soriano (2006), feitas as devidas considerações do autor deste material. A análise estrutural é a etapa do projeto estrutural em que é feita a idealização do comportamento da estrutura. De uma maneira geral, ela tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos, e das correspondentes tensões, bem como a determinação dos deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada. As metodologias de cálculo são procedimentos matemáticos que resultam das hipóteses adotadas na concepção do modelo estrutural. As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura real podem ser dividas nos seguintes grupos: • Condições de equilíbrio; • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações; • Condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura. A imposição destas condições é a base dos métodos da análise estrutural, isto é, as formas como essas condições

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são impostas definem as metodologias dos chamados Métodos Básicos da Análise de Estruturas: Método das Forças e Método dos Deslocamentos. Este capítulo está direcionado para a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, por meio do Método dos Deslocamentos, e parte do princípio que você, aluno(a), tenha conhecimentos de análise de estruturas isostáticas e resistência dos materiais.

Objetivos • Revisar o conteúdo de análise de estruturas isostáticas pelo Princípio dos Deslocamentos Virtuais, a fim de, ao concluir a disciplina, o (a) aluno(a) poder ter condições de avaliar qualquer estrutura, seja ela isostática ou hiperestática; • Apresentar alguns conceitos fundamentais do Método dos Deslocamentos; • Organizar a metodologia para avaliação de uma estrutura hiperestática qualquer; • Compreender, mediante exemplos de cálculo o uso do Método dos Deslocamentos.

Esquema • Método dos Deslocamentos • Exemplo de aplicação 1

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1.1 Método dos deslocamentos A metodologia de análise do método consiste em “somar uma série de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para na superposição, restabelecer as condições de equilíbrio” (MARTHA, 2010, p.299).

Figura 1 – Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares Fonte: Martha (2010, p.300)

Na Figura 1, a configuração deformada elementar do caso (0) isola o efeito da solicitação externa (carregamento), sendo que essa configuração deformada é tal que os nós (extremidades das barras) da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos. A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga (barra horizontal) devida à carga

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uniformemente distribuída aplicada. As demais configurações deformadas mostradas nessa figura, dos casos (1) a (7), correspondem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados. A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 1 indica que a configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura. Com base nisso, a seguinte definição é feita: “Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura” (MARTHA, 2010, p.300). O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios. Esse modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico (SH). Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir as deslocabilidades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilidades, isto é, o apoio 1 impede a deslocabilidade D1, e assim por diante.

Figura 2 - Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da Figura 1 Fonte: Martha (2010, p.301)

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O sistema hipergeométrico é utilizado para isolar as diversas componentes cinemáticas da estrutura, isto é, isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades. A base da discretização do problema analítico-estrutural pelo método dos deslocamentos está na existência de soluções fundamentais para barras isoladas. Estas soluções baseiam-se no fato de que, conhecendo a configuração deformada de uma barra e a solicitação externa que atua em seu interior, é sempre possível determinar os esforços internos na barra e as forças e momentos que devem atuar em suas extremidades para mantê-la em equilíbrio isoladamente. A configuração deformada elementar de cada caso básico é imposta por meio de forças e momentos fictícios que atuam nas direções das deslocabilidades. O equilíbrio final da estrutura é garantido impondo-se, na superposição dos casos básicos, valores nulos para essas forças e momentos fictícios.

SINTETIZANDO No caso (0), as forças e momentos fictícios são os termos de cargas , que equilibram a estrutura na configuração deformada de engastamento perfeito. Nos casos (j), as forças e momentos fictícios são coeficientes de rigidez globais , que equilibram a estrutura em uma configuração deformada tal que a deslocabilidade e as demais são nulas.

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O ponto de partida para a determinação dos termos de carga no caso (0) é a situação de engastamento perfeito em que todas as deslocabilidades são mantidas fixas. O cálculo dos termos de carga é obtido mediante o Método das Forças ou por meio de tabelas de engastamento perfeito como a Tabela 1 a seguir, retirada de Pinheiro (2010). Mediante as reações de momento fletor, pode-se, a partir das equações de equilíbrio, realizar o cálculo das reações verticais.

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Tabela 1 – Momentos de engastamento perfeito

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Tabela 01 – Momentos de engastamento perfeito

Fonte: Pinheiro (2010, pp.6-7)

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Para a determinação dos coeficientes de rigidez globais dos casos (j), o ponto de partida é uma configuração deformada elementar conhecida de cada caso básico. O conceito adotado para se determinarem os coeficientes de rigidez globais de um caso básico é: dada uma configuração deformada de um modelo estrutural do qual se conhecem todas as deslocabilidades, é sempre possível determinar as forças e momentos que, atuando nas direções das deslocabilidades, equilibram o modelo na configuração deformada imposta (MARTHA, 2010, p.332).

Os coeficientes de rigidez globais de cada caso básico (j) são determinados a partir de coeficientes de rigidez locais associados à configuração deformada a que cada barra é submetida na imposição da configuração deformada do caso básico. Os coeficientes de rigidez locais são determinados a partir de soluções fundamentais para barras isoladas, determinadas pelo princípio dos deslocamentos virtuais, conforme ilustra a Figura a seguir.

Figura 3 - Coeficientes de rigidez local axial de uma barra isolada Fonte: Martha (2010, p.276)

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Figura 4 - Coeficientes de rigidez local à flexão de uma barra isolada sem articulação Fonte: Martha (2010, p.278)

Figura 5 - Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada Fonte: Martha (2010, p.285)

Figura 6 – Coeficientes de rigidez local à flexão de uma barra com articulação na esquerda Fonte: Martha (2010, p.281)

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As equações finais do Método dos Deslocamentos expressam o equilíbrio dos nós da estrutura nas direções das deslocabilidades. Por isso, é conveniente introduzir uma convenção de sinais para forças e momentos que facilite a definição de condições de equilíbrio. Isto vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores em quadros planos. Tabela 2 - Convenção de sinais adotada para quadros planos no Método dos Deslocamentos

Fonte: Martha (2010, p.308)

1.1.1 Exemplo de aplicação 1 (MARTHA, 2010) Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático sabendo que a relação entre a área e o momento de inércia das barras da estrutura é (A/I=2 m-2).

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Figura 7 – Exemplo 1.0 Fonte: Martha (2010, p.315)

O primeiro o é identificar as deslocabilidades dos nós da estrutura e definir o Sistema Hipergeométrico. A princípio, temos três nós a serem analisados, dois apoios e um encontro entre as duas barras. Os apoios são engastes e, portanto, não possuem nenhuma deslocabilidade. Já o nó que une a barra horizontal com a vertical, não tem nenhuma restrição quanto aos deslocamentos. Por se tratar de uma estrutura plana, este nó possui três deslocamentos, o horizontal, o vertical e a rotação, sendo identificados como deslocabilidades D1, D2 e D3, respectivamente, conforme Figura 8. Na mesma figura é apresentado o sistema hipergeométrico, no qual se busca impedir todos os deslocamentos possíveis com a inserção de apoios fictícios. O apoio de primeiro gênero horizontal impede a deslocabilidade D1, o vertical a D2 e a chapa rígida a D3.


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Os casos básicos utilizam o sistema hipergeométrico como estrutura auxiliar, por meio da qual os efeitos isolados são impostos.

Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0, D2=0 e D3=0. Nesse caso, as forças e os momentos que aparecem nos apoios fictícios são os termos de cargas.

Figura 9 – Exemplo 1.2 Fonte: adaptada de Martha (2010)

O primeiro índice do termo de carga β refere-se ao número de ordem da deslocabilidade. O segundo índice, ao número do caso (zero neste caso). Os sentidos de orientação dos termos de carga são sempre no sentido positivo, conforme Tabela 2 de convenção de sinal. O sentido correto é determinado pelo sinal do termo, conforme reação calculada. O cálculo do termo de carga é feito mediante a tabela de momento fletor para vigas engastadas (Tabela 1), seguida da aplicação das

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equações de equilíbrio. No caso (0) o carregamento da tabela de momentos, para as duas barras, corresponde à linha 9 da Tabela 1, fazendo a distância “a” igual a zero. A parte direita da Figura 9 apresenta os valores das reações em cada apoio. O valor do termo de carga é o somatório das reações na direção das deslocabilidades. Neste caso, o termo de carga é igual ao somatório das reações das duas barras que estão na direção da deslocabilidade D1 (horizontal). O mesmo raciocínio é seguido para obtenção do valor do , só que para a direção de D2 (vertical). O é o somatório dos momentos fletores no nó em que é aplicada a chapa (vínculo fictício), por tratar-se de um deslocamento do tipo rotação.

Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH


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O caso (1) isola o efeito da deslocabilidade D1, mantendo nulos os valores das outras. Conforme indicado na Figura 10, a deslocabilidade D1 é colocada em evidência. Considera-se um valor unitário para D1, sendo o efeito de D1=1 multiplicado pelo valor final que D1 deverá ter. O primeiro índice do coeficiente de rigidez global K refere-se ao número de ordem da deslocabilidade. O segundo índice, ao número do caso (um neste caso). O sentido de orientação dos termos de carga é sempre no sentido positivo, conforme tabela de convenção de sinal. O sentido correto é determinado pelo sinal do termo, conforme reação calculada. Os coeficientes de rigidez global são obtidos em funções de coeficientes de rigidez de barras isoladas. Estes termos são chamados de coeficientes de rigidez locais, calculados de acordo com as soluções fundamentais, conforme apresentado nas Figuras 11 a 14. Observa-se na Figura 10 como os coeficientes de rigidez locais das barras contribuem para os coeficientes de rigidez globais da estrutura. Por exemplo, a força K11, que deve atuar na direção global de D1 para dar configuração deformada onde D1=1, é obtida pela soma do coeficiente de rigidez axial EA/6 da barra horizontal com o coeficiente de rigidez transversal 12EI/(4³) da barra vertical. Vê-se também que em nenhuma das duas barras aparecem forças verticais no nó deslocado para dar a configuração deformada imposta. Assim, não há contribuição para o coeficiente de rigidez global K21, o que resulta em um valor nulo. De forma análoga, o coeficiente de rigidez global K31 recebe uma contribuição nula da barra horizontal, pois esta sofre apenas uma deformação axial, e uma contribuição do momento 6EI/42 vindo da barra vertical. Nos casos seguintes, os coeficientes de rigidez global são calculados de forma análoga.

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O equilíbrio da estrutura é restabelecido quando se anulam os efeitos dos apoios fictícios do SH. A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados anteriormente, pode-se utilizar a superposição dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó interior. As resultantes de forças e momentos externos nesse nó devem ser nulas como feito a seguir.

Podem-se generalizar esses resultados, escrevendo uma equação de equilíbrio na direção da deslocabilidade Di, para uma estrutura com n deslocabilidades.

Esse sistema de equações resulta em soluções das deslocabilidades em função do EI.

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Reflita A configuração deformada final da estrutura é mostrada na Figura 13. Observa-se que os sinais dos deslocamentos e da rotação são consistentes: D1 é positivo (da esquerda para a direita), D2 é negativo (de cima para baixo) e D3 é negativo (sentido horário).


Uma vez determinados os valores das deslocabilidades, os diagramas finais de esforços da estrutura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos. Por exemplo, os momentos fletores finais (M) podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fletores (Mi) dos casos básicos:

Sendo que M corresponde ao momento real da estrutura no nó que se deseja calcular, o ao momento neste mesmo nó do caso (0) e os momentos e ao momento neste mesmo nó dos casos (1), (2) e (3), respectivamente.

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IMPORTANTE! Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos – esforços normais finais (N), esforços cortantes finais (Q) e momentos fletores finais (M) – de uma estrutura com n deslocabilidades:

Para que se possam aplicar as fórmulas anteriores, é preciso, em todos os casos básicos, calcular as forças e momentos atuantes em todos os nós da estrutura.

Considerações finais O Método dos Deslocamentos apresentado neste capítulo é um dos métodos de análises de estruturas hiperestáticas mais utilizados na engenharia. Como se pôde verificar, é fácil a identificação das incógnitas do problema. Estas são as deslocabilidades, ou graus de liberdade, dos nós da estrutura. Isto faz com que haja apenas um único conjunto solução para os problemas hiperestáticos, uma vez que, dependendo do tipo de estrutura, os graus de liberdade nos nós serão sempre os mesmos.

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Estruturas do tipo pórticos planos possuem três graus de liberdade por extremidade de barras. Já as treliças possuem dois graus de liberdade. Estruturas espaciais, seis graus de liberdade. Isto faz com que se torne fácil a montagem dos sistemas de equilíbrios que devem ser satisfeitos. Em contrapartida, estruturas complexas, com muitas ligações entre barras, haverá muitas incógnitas na solução do problema. Isto é uma das principais desvantagens do método. Porém, como será visto nos próximos capítulos, existem técnicas para que se possam reduzir as deslocabilidades da estrutura. Importante frisar que o Método dos Deslocamentos parte de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade, ou seja, há continuidade de deslocamentos, para, na superposição dos efeitos, retornar a condição de equilíbrio dos nós. Desta forma, esse método segue processos contrários ao aplicado no Método das Forças, sendo assim, métodos considerados duais na análise de engenharia.

Capítulo 2

Método dos deslocamentos com simplificações de deslocabilidades Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Como pode ser percebida, a análise de estruturas pelo Método dos Deslocamentos é feita a partir de um sistema hipergeométrico único em que são restringidas todas as deslocabilidades dos nós da estrutura. Não há outro sistema hipergeométrico que possa ser atribuído ao problema. Já no Método das Forças, há diversos sistemas principais que solucionam a análise. Devido a isto é que os programas computacionais utilizam o Método dos Deslocamentos nas análises automáticas. Entretanto, conforme os números de ligações entre barras aumentam, os números de incógnitas do problema a ser resolvido pelo Método dos Deslocamentos também aumentam, tornando os cálculos manuais muito trabalhosos. Assim, de forma a facilitar os cálculos manuais, sem provocar resultados muito divergentes e confiáveis, são adotadas algumas simplificações para conseguir reduzir o número de deslocabilidades de uma estrutura. No decorrer deste capítulo serão explicadas cada uma delas e apresentados vários exemplos de aplicação para melhor compreensão do assunto. Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha (2010), Sussekind (1987) e Soriano (2006), feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Apresentar todas as simplificações existentes que podem ser adotadas para auxiliar no cálculo manual de estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos; • Compreender a notável diferença de esforço de cálculo quando se considera, ou não, as simplificações possíveis; • Apresentar o conceito de contraventamento e como ele ajuda a identificar as deslocabilidades de uma estrutura; • Apresentar exemplos de aplicações da metodologia de cálculo para vigas contínuas.

Esquema • Simplificações de Deslocabilidades • Exemplo de aplicação 2 • Exemplo de aplicação 3

2.1 Simplificações de deslocabilidades A aplicação do método dos deslocamentos para a resolução manual de uma estrutura é muito trabalhosa devido ao número excessivo de incógnitas (deslocabilidades) que resulta da solução, mesmo para estruturas simples, e à complexidade na consideração de barras inclinadas. Para solução manual dos problemas de estruturas, são introduzidas simplificações no comportamento das barras com respeito às suas deformações. As simplificações adotadas são as seguintes:

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a. Eliminação dos trechos em balanços; b. Consideração de barras inextensíveis; c. Eliminação das deslocabilidades do tipo rotação de nós quando todas as barras adjacentes são articuladas no nó. A primeira simplificação é um macete de cálculo, visto que os trechos em balanços podem ser calculados como uma estrutura isostática engastada no ponto de contato com a estrutura.

Figura 14 – Separação do trecho em balanço de um pórtico plano Fonte: Martha (2010, p.333)

A segunda simplificação é muito adotada nas análises de estruturas, assim como o Método das Forças faz. Esta simplificação considera que as barras não se deformam axialmente. Isto quer dizer que os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na direção transversal ao eixo da barra, ou então que a distância, na direção do eixo indeformado, entre os dois nós extremos de uma barra não se altera quando esta se deforma transversalmente.

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Figura 14 – Redução do número de deslocabilidades para o pórtico da Figura 1 Fonte: Martha (2010, p.334)

Seja, então, a barra AB indicada na Figura 15, representando uma barra genérica de uma estrutura: devido aos esforços que solicitam a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’. A agem da posição AB para a posição A’B’ pode ser encarada como resultante das seguintes deformações, independentes umas das outras:

Figura 15 – Deslocamentos em uma barra genérica da estrutura Fonte: Sussekind (1987, p.2)

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Concluindo, basta conhecer os valores de , e para obtermos o diagrama de momentos fletores e, a partir dele, os demais diagramas solicitantes para uma barra de uma estrutura, já que a translação da barra não introduz qualquer esforço na mesma. A terceira simplificação pode ser adotada, pois uma rótula, na qual convergem duas barras, articula as seções adjacentes de ambas as barras, ou seja, o momento fletor em todas as extremidades em uma ligação rotulada é igual a zero. Assim, não é necessária a inserção do vínculo fictício do tipo chapa para impedir a rotação na ligação rotulada. Aqui faremos a seguinte classificação entre os tipos de deslocabilidades: a. Deslocabilidades internas: são do tipo rotação; b. Deslocabilidades externas: são do tipo translação; c. di: número de deslocabilidades internas; d. de: número de deslocabilidades externas. Seja a estrutura da Figura 16. Sabemos que as incógnitas do problema são as rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações.

Figura 16 – Exemplo teórico Fonte: Sussekind (1987, p.5)

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No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois o apoio de primeiro gênero impede a componente vertical e o engaste D, a componente horizontal (consideração de barras inextensíveis) de deslocamento. Assim, a única incógnita do nó C será sua rotação. Também o nó B não apresentará deslocamentos lineares, pois suas componentes vertical e horizontal serão impedidas, respectivamente, pelos engastes A e D (consideração de barras inextensíveis), de modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação. Concluindo, o número de incógnitas do problema é igual a dois, número de nós internos rígidos (não rotulados) da estrutura. Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura plana é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê-la. Em outras palavras, o número de deslocabilidades internas (di) de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente, os nós internos rotulados). Seja agora, a estrutura da Figura 17. Como todos os seus nós internos são rotulados, não precisamos conhecer as rotações das barras nestes nós (em outras palavras, não há deslocabilidades internas a considerar). Resta-nos analisar o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para conhecemos o número de incógnitas do problema. Iniciando esta análise pelo nó D, vemos que ele não terá componente vertical de deslocamento, devido a presença do engaste A (consideração de barras inextensíveis que despreza as deformações axiais); nada impede, no entanto, seu deslocamento na direção horizontal, que se constituirá na primeira incógnita do problema. Para caracterizar esta incógnita, indicaremos um apoio do primeiro gênero em D (ver parte

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direita da figura a seguir), mostrando que seria necessária a existência de mais um vínculo na estrutura para que o nó D não possuísse deslocabilidades lineares.

Figura 17 – Exemplo teórico Fonte: Sussekind (1987, p.6)

Tudo que foi feito para o nó D vale, também, para o nó G, que pode se deslocar na direção horizontal (o deslocamento vertical estando impedido pelo engaste C); para caracterizar esta nova incógnita, indicaremos um apoio de primeiro gênero em G, mostrando que seria necessária a existência de mais este vínculo na estrutura para que o nó C não possuísse deslocabilidades lineares. Assim, caso existissem os apoios adicionais de primeiro gênero (1) e (2) indicados na Figura 17, os nós D e G seriam indeslocáveis linearmente, o que acarretaria, também, a indeslocabilidade linear dos nós E e F, de acordo com os conceitos de contraventamento e as regras da triangulação, que são, segundo Martha (2010): 1. Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inextensíveis não alinhadas também fica fixo à translação; 2. Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma triangulação se comporta como um corpo rígido.

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Explicando o exemplo citado, como o nó E está ligado a dois nós fixos por duas barras inextensíveis (sendo o nó B fixo pelo engaste e o nó D fixo pelo engaste em A e pelo apoio fictício de primeiro gênero [1]), também fica fixo à translação. A mesma análise vale para o nó F que está ligado a dois nós fixos (E e G) por barras inextensíveis. Definiremos, então, que número de deslocabilidades externas (de) de uma estrutura é igual ao número de apoios do primeiro gênero que a ela precisamos acrescentar para que todos os seus nós fiquem sem deslocamentos lineares. Observações: a. No caso da estrutura da figura anterior, os nós D, E, F, G terão deslocamentos horizontais (que seriam, à primeira vista, as incógnitas do problema), mas apenas os deslocamentos dos nós D e G são incógnitas independentes (pois o deslocamento horizontal de E, por estar ligado a D por uma barra horizontal, será igual ao de D; e o deslocamento horizontal de F, por estar ligado a E e G, será função dos deslocamentos destes dois pontos e, portanto, em última análise, dos deslocamentos de D e G). Assim, o número de incógnitas independentes do problema (que é o número de deslocabilidades externas da estrutura) é apenas 2. b. É usual chamar-se às estruturas que possuem deslocabilidades externas de estruturas deslocáveis, e aquelas que não as possuem (mesmo tendo deslocabilidades internas) de estruturas indeslocáveis. Como as incógnitas do problema são as rotações dos nós internos rígidos da estrutura (traduzidas pelo valor di) e os deslocamentos

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lineares independentes de seus nós (traduzidos por de), dizemos que o número total de deslocabilidades d de uma estrutura (igual ao número total de incógnitas de sua resolução pelo método das deformações) é dado pela soma de seu número de deslocabilidades interna (di) e externa (de). Podemos, então, escrever:

Para melhor entender os conceitos do contraventamento, analisaremos os exemplos a seguir.

Figura 18 - SH de um pórtico com dois pavimentos sem barras diagonais Fonte: Martha (2010, p.343)

Da Figura 18 (pórtico com dois pavimentos sem contraventamento), sabe-se que o número de deslocabilidade interna é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente, os nós internos rotulados). Assim di é igual a 4, sendo representados pelos apoios fictícios no SH mostrado na parte direita da figura. Os engastes dos pilares da estrutura restringem somente o deslocamento vertical dos pilares, sendo assim necessário adicionar o apoio 5 para impedir o movimento horizontal do nó da esquerda do primeiro pavimento (o nó que tem a chapa 3). Isso faz com que, pela regra 1 do contraventamento (apresentada anteriormente), o nó da direita desse pavimento não tenha deslocamento. Isto é, o

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nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está ligado por duas barras inextensíveis e não alinhadas a dois nós fixos à translação (o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita), formando uma triangulação. Portanto, não é necessário inserir mais apoios fictícios nesse pavimento. Observe que o apoio 5 pode ser colocado tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o deslocamento horizontal desse pavimento (os nós do pavimento não têm deslocamentos verticais pois as colunas são inextensíveis). Por raciocínio análogo, no segundo pavimento do pórtico da Figura 18, é necessário adicionar apenas o apoio 6 para fixar os nós desse pavimento. Parte-se da condição de que os nós do primeiro pavimento já estão fixos. Outros exemplos são apresentados a seguir (com seus respectivos SH) e cabe ao leitor interpretá-los de acordo com as regras para determinação do número de deslocabilidades e as simplificações possíveis apresentadas até aqui.

Figura 19 - SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagonal no primeiro pavimento Fonte: Martha (2010, p.343)

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Figura 20 - SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagonal em cada pavimento Fonte: Martha (2010, p.343)

Figura 21 - SH de um pórtico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento Fonte: Martha (2010, p.344)

Figura 22 - SH de um pórtico com três painéis sem diagonais Fonte: Martha (2010, p.344)

Figura 23 - SH de um pórtico com três painéis e uma diagonal no central Fonte: Martha (2010, p.344)

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Figura 24 - SH de um pórtico com três painéis e duas diagonais Fonte: Martha (2010, p.344)

Figura 25 - SH de um pórtico com três painéis e três diagonais Fonte: Martha (2010, p.344)

2.1.1 Exemplo de aplicação 2 (SUSSEKIND, 1987) Calcular as deslocabilidades da estrutura a seguir. O primeiro o para a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos, é a identificação das deslocabilidades e a definição do sistema hipergeométrico (SH) com a inserção dos vínculos fictícios para impedir os deslocamentos possíveis em todos os nós.

Figura 26 – Exemplo 2.0 Fonte: Sussekind (1987, p.20)

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Assim, o SH é apresentado conforme a Figura 27. Para impedir as rotações que aparecem no nó B e C foram inseridas chapas rígidas nos mesmos. Já para o deslocamento horizontal que pode ocorrer na barra entre os nós B e C, foi inserido um apoio de primeiro gênero no mesmo sentido no nó C (poderia ter sido também inserido no nó B).


A diferença entre o sistema principal e a estrutura real é que existirá rotação dos nós B e C (às quais chamemos D1 e D2) e haverá um deslocamento horizontal de barra BC (ao qual chamemos D3). Assim, empregando o princípio da superposição de efeitos, poderíamos dizer que a resolução da estrutura real seria igual à soma dos quatro casos indicados nas figuras a seguir, representando a resolução da estrutura do sistema principal para os efeitos isolados do carregamento externo e de cada uma das deslocabilidades. Como desconhecemos os valores D1, D2 e D3, arbitramos um valor, por exemplo, unitário para estas deformações, devendo os efeitos assim obtidos serem multiplicados pelos valores corretos que serão encontrados para D1, D2 e D3 ao fim do problema.

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Figura 28 – Exemplo 2.2 Fonte: adaptada de Sussekind (1987)

No caso (0) – parte “a” da Figura 28 – temos a resolução de duas vigas biengastadas AB e BC para o carregamento externo, cujos momentos de engastamento perfeito em B e em C, indicados na

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figura a seguir, representam a ação das chapas 1 e 2 sobre a estrutura do sistema principal para que os nós B e C não girem, dando momentos resultantes em B e C, respectivamente, iguais a:


Devido ao carregamento externo e aos momentos de engastamento perfeito que existem nas barras, aparecerão as reações de apoio FA e FB1 na barra 1 e FB2 e FC2 na barra 2; as reações FA, FB2 e FC2 irão para os apoios que a estrutura possui, indo a reação FB1 para o apoio do primeiro gênero fictício (3) indicado no sistema principal. No caso, então, teríamos:

Nas partes “b” e “c” da Figura 28 (caso (1) e caso (2), respectivamente), temos a resolução do sistema principal para rotação unitária de um de seus nós. Aparecerão nestes nós, conforme sabemos, momentos iguais à sua rigidez local, indo para os outros nós da barra momentos iguais ao produto desta rigidez pelo coeficiente

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de transmissão. Assim, para o caso (1) – parte “b” da Figura 28 – temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir, quando D1=1, a partir do qual obtemos:


Para o caso (2) – parte “c” da Figura 28 – temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir, quando D2=1, a partir do qual obtemos:

Figura 31 – Exemplo 2.6 Fonte: o autor

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Para o caso (3) – parte “d” da Figura 28 – temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir, quando D3=1, a partir do qual obtemos:


Voltando, agora, ao esquema da Figura 28 que resolve a estrutura a partir do conhecimento dos valores de D1, D2 e D3, vemos que, como não existem na estrutura dada as chapas 1 e 2 e o apoio

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do primeiro gênero 3 colocados no sistema principal, estes valores de D1, D2 e D3 têm que ser tais que não existam ações estáticas finais das chapas e do apoio adicional do primeiro gênero sobre a estrutura do sistema principal, pois, assim, o mesmo reproduzirá, fielmente o comportamento estático e elástico da estrutura dada. Assim, devemos ter que o momento final exercido pelas chapas sobre os respectivos nós deve ser nulo, bem como deve ser nula a força exercida pelo apoio fictício do primeiro gênero sobre a barra BC (isto é, não existem cargas momento aplicadas em B e C e não existe carga horizontal aplicada à estrutura dada em C). Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, o seguinte sistema de equações de compatibilidade estática do sistema principal adotado com a estrutura dada, é obtido:

Deste sistema calcula-se o D1, D2 e D3. Observações: a. O trabalho de resolução de uma estrutura pelo método das deformações, conforme ilustra o exemplo anterior, é o trabalho de resolução de um sistema n x n de equação lineares, sendo n o número total de deslocabilidades da estrutura dada. b. O sistema de equações anterior pode ser escrito na forma matricial:

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Ou mais simplificadamente:

Ao vetor { }, onde a ação do agente solicitante externo se faz sentir, chamamos vetor dos termos de carga. A matriz [K], quadrada e simétrica, por força do teorema de Betti, chamamos matriz de rigidez (pois transforma deslocamentos em forças ou rotações em momentos, conforme o caso), sendo função, apenas, do sistema principal adotado (independendo completamente do agente solicitante externo). A resolução de uma estrutura pelo método das deformações é dada pela inversão de sua matriz de rigidez multiplicado pelo vetor dos termos de carga.

Roteiro para o Método dos Deslocamentos: 1. Escolha do sistema principal (obtido bloqueando-se as deslocabilidades internas com chapas rígidas e as deslocabilidades externas com apoios adicionais do primeiro gênero). 2. Resolução do sistema principal para o agente solicitante externo, obtendo-se o vetor { }, e para cada uma das deformações incógnitas Di, com o valor arbitrado inicialmente igual a 1, obtém-se a matriz [K]. 3. Cálculo das deformações (incógnitas) Di, pela expressão:

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4. Obtenção dos efeitos finais pela expressão genérica:

Onde E é o efeito que se deseja calcular (momento, esforço normal ou cortante).

2.1.2 Exemplo de aplicação 3 (SORIANO, 2006) Faz-se a determinação dos diagramas de esforços seccionais da viga representada na Figura 33, em que E=2,1.107kN/m².

Figura 33 – Exemplo 3.0 Fonte: Soriano (2006, p.144)

Determinação das deslocabilidades Inicialmente, podemos simplificar o balanço de três metros à esquerda da viga. Para fazer isto, precisa-se obter um sistema de forças e momentos equivalentes a ele. Percebe-se, facilmente, que a força vertical de 50kN pode ser transferida ao nó que apoia o balanço juntamente

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com um momento fletor gerado por ela neste mesmo ponto, tendo valor de 150kN.m (50kN vezes o braço de alavanca de 3m). Assim, a viga simplificada é apresentada na Figura 34.


As deslocabilidades são obtidas conforme apresentado anteriormente, sendo as deslocabilidades internas (di) igual ao número de nós internos rígido (com exceção dos extremos apoiados) e as deslocabilidades externas (de) igual ao número de apoios de primeiro gênero necessário para que os nós fiquem sem deslocamentos lineares. Então, como só temos um nó interno rígido (os outros dois são extremos e com apoios) di=1 – existe uma rotação D1 no apoio interno a viga – precisando inserir uma chapa rígida neste ponto para impedir o deslocamento existente. Em contrapartida, não é necessário inserir apoios de primeiro gênero nos nós da estrutura, pois o apoio de segundo gênero à esquerda restringe todos os deslocamentos horizontais da viga (uma vez que as barras são inextensíveis) e os apoios verticais restringem os deslocamentos verticais em seus nós. Assim, define-se o sistema hipergeométrico (SH) conforme a Figura 35.

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Definido o SH é preciso resolvê-lo para todos os casos básicos, conforme segue:

Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH Neste caso, considera-se que todas as deslocabilidades Di são nulas, fazendo atuar no SH somente o carregamento real. A inserção de chapas rígidas nos nós restringe as rotações fazendo-os trabalhar como se houvesse um engaste neste ponto. A configuração da viga no caso (0) é ilustrada conforme figura a seguir. Os momentos e reações verticais estão indicados conforme sentido positivo de cada um.

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O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 9 e 16 com a viga que apresenta apoio fixo à esquerda e engaste à direita da Tabela 1). Cada carregamento gera um momento diferente no ponto do engaste na viga 1. Assim, Mb1 é calculado como segue:

O sinal negativo indica que o momento atua no sentido contrário ao adotado inicialmente. A reação horizontal no apoio A é igual a zero. Assim, para o cálculo das reações verticais A e B1, basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 1.

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O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 com a viga que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da Tabela 1).

Para o cálculo das reações verticais B2 e C, basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 2.

A viga apresentada a seguir mostra o resumo dos momentos fletores calculados anteriormente. Ressalta-se aqui que o sinal positivo refere-se a momentos que atuam no sentido anti-horário.


O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de engastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa fictícia 1. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,

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Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). Com este deslocamento, as barras 1 e 2 da viga sofrem uma deformação conforme apresentado na Figura 38.


O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.


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O caso básico destacado anteriormente refere-se às situações em que a viga é apoiada do lado esquerdo (representado pela rótula) e engastado do lado direito. A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido anti-horário (positivo). Desta solução, comparando com o trecho 1 da viga, percebe-se que o momento da figura anterior é igual ao momento Mb1, a reação da esquerda corresponde ao Va e a da direita igual ao Vb1. Assim, temos:

O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as mesmas equações definidas nas soluções básicas utilizadas no cálculo do Mb1. Deve-se ter atenção agora, pois o engaste está do lado esquerdo e o apoio (rótula) do lado direito. Assim, basta rotacionar o caso básico 180° que a rotação ficará à direita ainda no sentido positivo. A reação vertical à esquerda ficará para cima e à direita para baixo conforme Figura 49 (os valores continuam os mesmos).


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Assim,

O coeficiente de rigidez global K11 é numericamente igual à força/ momento para impor D1=1 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. Como o deslocamento é uma rotação, somam-se os momentos de engaste perfeito que foi calculado no apoio B. Assim,

Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, a seguinte equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotado.

Assim,

Cálculo das reações de apoio Para o cálculo das reações, basta aplicar a seguinte fórmula:

Assim,

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O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores, são os valores das reações obtidas no caso (0). O segundo valor entre parênteses são os valores das reações obtidos no caso (1) somados e multiplicados pelo valor D1. A partir destas reações, consegue-se obter os diagramas, uma vez que não há reações que não foram calculadas.


Podem-se obter os diagramas de momento fletor e esforço cortante e normal pela mesma equação que foi utilizada no cálculo das reações, porém com os valores destes esforços nos nós calculados nos casos básicos do método.

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Considerações finais A possibilidade da adoção de técnicas para redução das deslocabilidades torna o Método dos Deslocamentos uma forma fácil e rápida para análises manuais de estruturas. Ou seja, o principal problema do método, que é o grande número de incógnitas, pode ser minimizado reduzindo o esforço de cálculo de quem fará o estudo. A consideração de barras inextensíveis, ou seja, a não consideração dos efeitos da deformação das barras para os esforços axiais, não é um conceito exclusivo do Método dos Deslocamentos. Isso também é feito no Método das forças, no qual, em cálculos manuais para pórticos planos, por exemplo, despreza-se a componente da integral dos esforços normais virtuais que multiplicam os deslocamentos relativos internos reais, por ser insignificante quando comparado com os efeitos da integral do momento fletor. Importante observar também que todas as simplificações devem ser analisadas antes de serem utilizadas. Por exemplo, estruturas atirantadas, cujos cabos se deformam muito ao esforço axial, o conceito de barra inextensível não deve ser adotado para este elemento. Outra observação importante é que o conceito de barras inextensíveis é apenas uma simplificação e não uma verdade absoluta. Por exemplo, um pórtico contraventado, como o da Figura 19, não quer dizer que não sofrerá deslocamentos horizontais, mas sim que, como as barras sofrem pouca deformação longitudinal, a estrutura terá um deslocamento horizontal muito pequeno a ponto de poder ser desprezada esta translação. Outro exemplo que pode ser apresentado aqui, que explica o que foi dito no parágrafo anterior, é que grandes coberturas

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metálicas são contraventadas em vários vãos e não somente em um. Isto porque as barras se deformam axialmente e, se somado à contribuição de cada deslocamento das barras ao longo dos seus eixos, este deslocamento acumulado poderá ter grandes proporções. Assim, para concluir, uma análise bem feita dependerá muito dos conhecimentos técnicos e teóricos de cada engenheiro para que tenha resultados fiéis à situação real que está se modelando.

Capítulo 3

Método dos deslocamentos aplicado em pórticos planos Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Em uma análise de estruturas é preciso adotar modelos estruturais que idealizam o comportamento de estruturas reais. Por exemplo, podemos analisar um prédio por meio de vigas contínuas, nas quais as reações de apoios são transferidas aos pilares até os carregamentos serem transmitidos às fundações. Outra forma de analisar um prédio é através de pórticos planos, compostos por vigas e pilares representados por elementos de barras contidas em um mesmo plano. Este pórtico recebe carregamento direto de solicitações externas ou então de reações de vigas que se apoiam neste pórtico. Há ainda a possibilidade de se analisar o prédio por meio de pórticos espaciais, composto por barras distribuídas nos três eixos do espaço. A concepção do modelo estrutural é uma tarefa muito difícil nas análises de estruturas e são baseadas em diversos fatores como geometria, comportamento dos materiais, tipos de ligações entre barras, tipos de solicitações etc. A adoção de pórticos planos como modelo estrutural é frequentemente utilizada em construções de pequeno porte. Assim, este capítulo tornase importante, pois explica como aplicar o Método dos Deslocamentos nas análises de pórticos planos hiperestáticos. Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Martha (2010), feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do tipo pórtico espacial; • Utilizar as simplificações para os cálculos dos esforços internos pelo Método dos Deslocamentos; • Identificar as deslocabilidades externas mediante exemplos de aplicação em pórticos planos; • Compreender os efeitos das deslocabilidades externas quando assumem valores iguais a 1 nos casos básicos.

Esquema • Exemplos de Aplicação em Pórticos Planos • Exemplo de aplicação 4

3.1 Exemplos de aplicação em pórticos planos 3.1.1 Exemplo de aplicação 4 (MARTHA, 2010) Calcule os diagramas de esforços internos o pórtico plano a seguir. Considere o módulo de elasticidade igual a E e momento de inércia igual a I.


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Determinação das deslocabilidades Parada obrigatória As deslocabilidades internas (di) são iguais ao número de nós internos rígidos (com exceção dos extremos apoiados) e as deslocabilidades externas (de) igual ao número de apoios de primeiro gênero necessário para que os nós fiquem sem deslocamentos lineares.

O único nó rígido da estrutura é o que une as três barras (di=1), existindo neste, uma rotação D1. Desta forma, torna-se necessário inserir uma chapa rígida neste ponto para impedir tal deslocamento. Os nós do engaste são nós fixos. O nó da rótula, por estar ligado ao engaste por uma barra inextensível não se desloca verticalmente, porém, nada impede deste deslocar-se no sentido horizontal. Apesar de o nó que une as três barras estar ligado a um engaste por uma barra inextensível, este apoio, tampouco o de segundo gênero, é capaz de impedir o deslocamento horizontal do mesmo. O deslocamento vertical deste nó é impedido pelo engaste e pelo apoio de segundo gênero. Assim, a única deslocabilidade externa é o deslocamento horizontal (D2) da barra entre a rótula e o nó que une as três barras (de=1), sendo necessária a inserção de um apoio de primeiro gênero nesta direção em algum destes dois nós. Optou-se por inserir o apoio de segundo gênero no nó da rótula, definindo assim o sistema hipergeométrico (SH).

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Definido o SH é preciso resolvê-lo para todos os casos básicos, conforme segue: Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH Neste caso, considera-se que todas as deslocabilidades Di são nulas, fazendo atuar no SH somente o carregamento real. A inserção de chapas rígidas nos nós restringe as rotações fazendo-os trabalhar como se houvesse um engaste neste ponto. A configuração do pórtico no caso (0) é ilustrada conforme Figura 44. Os momentos e as reações estão indicadas conforme sentido positivo de cada um.

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O cálculo do momento MA1 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 com a viga que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da Tabela 1). Assim, MA1 é calculado como segue:

O sinal positivo indica que o momento atua no sentido adotado inicialmente. A reação horizontal no apoio A é igual a zero. Assim, para o cálculo das reações em A e B1, basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 1.

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Como não há carregamento na barra 2 e na 4, não há momentos e reações nos nós deste trecho. Resta, então, o cálculo da barra 3. O cálculo dos momentos da barra 3 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 com a viga biengastada da Tabela 1 – como a carga distribuída de 12kN/m está para a esquerda o apoio C da tabela corresponde ao apoio C da estrutura e o nó D da tabela o D da estrutura). Assim,

Para o cálculo das reações C3 e D, basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 3.

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O pórtico apresentado a seguir mostra o resumo das reações calculadas anteriormente.


O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de engastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa 1. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,

Já o termo de carga é igual ao somatório das reações que estão na direção da deslocabilidade D2. Assim,

O sinal negativo indica que ambas as reações estão direcionadas para a esquerda.

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Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). Com este deslocamento, as barras 2, 3 e 4 do pórtico sofrem uma deformação conforme apresentado na figura a seguir.


Pela Figura 46 é necessário calcular os coeficientes de rigidez global nas barras 2, 3 e 4 que sofreram deslocamentos com a rotação do nó C, como indicado. Assim, serão apresentados a seguir os cálculos de cada barra separadamente. O cálculo da barra 2 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado a seguir.


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O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é apoiada do lado esquerdo (representado pela rótula) e engastado do lado direito. A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido anti-horário (positivo) no engaste. Percebe-se que o momento da figura anterior é igual ao momento MC2, a reação da esquerda corresponde ao VB2 e a da direita igual ao VC2. Assim, temos:

O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado na Figura 48.


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O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é bi engastada. A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido anti-horário (positivo) no engaste de baixo. Assim,

O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado na Figura 49.


O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é apoiada em uma extremidade e engastada em outra.

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A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido anti-horário (positivo) no engaste. Assim,

O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e reações calculados no Caso (1).


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IMPORTANTE! Uma informação importante a ser explicada neste exemplo, é que todas as reações calculadas (coeficientes de rigidez locais, ou reações de engaste perfeito) que estiverem nas direções dos apoios reais da estrutura, devem ser transferidas com valor e sentido calculados para estes apoios.

Por exemplo, a reação vertical VB2 calculada na barra 2, por estar na direção do apoio vertical do engaste da barra 1, foi transferida para este apoio, sendo mantido o sentido e módulo. Como outro exemplo, a reação VC2 calculada também na barra 2, por estar nas direções dos apoios verticais do engaste da barra 3 e do apoio de segundo gênero da barra 4, foi transferida com o mesmo sentido, porém, com o módulo dividido em 2 (por tratar-se de dois apoios). O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à força/momento para impor D1=1 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. No nó em que foi inserida a chapa rígida somase os momentos de engaste perfeito. No nó em que foi inserido o apoio de primeiro gênero fictício, somam-se as reações que foram calculadas no sentido orientado pelo apoio. Assim,

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Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (da esquerda para a direita). Com este deslocamento, as barras 1, 3 e 4 do pórtico sofrem uma deformação conforme apresentado na figura a seguir.


Pela Figura 51 é necessário calcular os coeficientes de rigidez global nas barras 1, 3 e 4 que sofreram deformações com o deslocamento horizontal da barra 2 para a direita, como indicado. Assim, serão apresentados a seguir os cálculos de cada barra separadamente. A barra 2 sofreu somente deslocamento horizontal de corpo rígido, não gerando esforços internos. O cálculo da barra 1 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.

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O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que o pilar é rotulado em cima e engastado em baixo. O deslocamento horizontal sofrido nesta solução básica está no sentido positivo, da esquerda para a direita na rótula. Assim, temos:

O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.

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O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a barra é bi engastada. O deslocamento sofrido nesta solução básica está no sentido positivo (da esquerda para a direita) no engaste de baixo. Assim,

O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.

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O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a barra é apoiada em uma extremidade (inferior) e engastada em outra (superior). O deslocamento sofrido ocorre no engaste e para a esquerda. Devido o deslocamento da barra 4 ser para a direita, conforme apresentado na estrutura do Caso (2), todos os sentidos apresentados na figura anterior deverão ser invertidos. Assim,

O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e reações calculados no Caso (2).

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O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à força/momento para impor D2=1 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. No nó em que foi inserida a chapa rígida somase os momentos de engaste perfeito. No nó em que foi inserido o apoio de primeiro gênero fictício, somam-se as reações que foram calculadas na direção do apoio. Assim,

Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, a seguinte equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotada.

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Assim,

Cálculo das reações de apoio

RELEMBRANDO Para o cálculo das reações, basta aplicar a seguinte fórmula:

Reações no engaste da barra 1:

O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores são os valores das reações obtidas no caso (0). O segundo valor entre

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parênteses são os valores das reações obtidas no caso (1) multiplicados pelo valor D1. O terceiro valor entre parênteses são os valores das reações obtidas no caso (2) multiplicados pelo valor D2. Reações no engaste da barra 3:

Reações no apoio da barra 4:

A partir destas reações, consegue-se obter os diagramas, uma vez que não há reações que não foram calculadas.

a. Diagrama de momento fletor

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b. Diagrama de esforço cortante

c. Diagrama de esforço normal Figura 56 – Exemplo 4.14 Fonte: o autor

Uma forma alternativa de construir os diagramas de esforços é utilizando a fórmula do cálculo das reações, mas para o esforço que se deseja conhecer em cada nó.

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Por exemplo, para saber o momento fletor, esforço cortante e esforço normal no nó C da barra 4, faz-se como apresentado a seguir:

O momento é positivo no sentido anti-horário. O diagrama de momento fletor indica qual lado da seção está tracionando, conforme indicado no diagrama anterior.

O esforço cortante é positivo, conforme convenção de sinais, quando tende a girar a barra no sentido horário.

O esforço normal é positivo, conforme convenção de sinais, quando tende a sair da barra, tracionando a mesma. O mesmo deve ser feito para cada nó até completar todos os diagramas.

Considerações finais A diferença entre os exemplos apresentados no Capítulo II e neste Capítulo é a presença das deslocabilidades externas. A identificação dos graus de liberdade em vigas contínuas é feita facilmente, uma vez que os únicos deslocamentos são as rotações nos nós internos. Quando se tem barras contidas em um plano, deve-se atentar para as possíveis deslocabilidades externas.

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A presença de barras rotuladas e engastadas em um plano irá configurar as linhas deformadas nos elementos estruturais. É preciso que se resolvam diversos exercícios para compreender e fixar a metodologia de cálculo para estes tipos de estruturas. Um fato que é preciso ter muita atenção é a transferência das forças reativas nas coordenadas locais aos apoios, pois são por meio delas que são calculadas as reações de apoio da estrutura real. Um ponto importante a se destacar aqui, é como calcular os coeficientes de rigidez dos casos básicos nas direções das deslocabilidades externas. Quando se tem somente uma deslocabilidade externa, o cálculo do coeficiente de rigidez na direção desta deslocabilidade pode ser feito somando-se as forças reativas nas barras que estão na mesma direção e alinhadas com o apoio fictício, ou então fazendo-se o equilíbrio de forças que estão atuando nos apoios reais na direção desta deslocabilidade. Agora, quando se tem mais de uma deslocabilidade externa, os coeficientes de rigidez nas direções destas, só podem ser calculados somando-se as forças reativa nas barras que estão na mesma direção e alinhadas com os apoios fictícios.

Capítulo 4

Método dos deslocamentos aplicado em grelhas Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Conforme descrito no início do capítulo anterior a definição do modelo estrutural é uma das etapas mais importantes do projeto e análise estrutural. Lá, foram descritas algumas possibilidades de modelagem para a análise de um prédio. Um modelo muito utilizado para a representação do comportamento real da estrutura é o modelo de grelhas. As grelhas são estruturas planas, ou seja, todos os elementos estruturais estão contidos no mesmo plano, porém o carregamento que solicita a estrutura possui a direção normal (perpendicular) a este plano. Uma grelha pode representar um conjunto de vigas de todo o pavimento e que estão apoiadas simplesmente nos pilares. Sendo assim, este capítulo torna-se importante, pois fornece ao aluno mais uma alternativa diferente para a análise de estruturas hiperestáticas. Para que se possam compreender os cálculos desenvolvidos neste capítulo, o(a) aluno(a) deve conhecer o comportamento de grelhas isostáticas, cálculo de momentos fletores e torçores, transmissão de momentos nos nós rígidos de ligação entre barras etc. A única diferença encontrada neste capítulo em relação ao que já foi apresentado até o momento, é o aparecimento

dos coeficientes de rigidez à torção que só aparece em estruturas tridimensionais e em grelhas. Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha (2010) e Sussekind (1987) feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Identificar as deslocabilidades em modelos estruturais do tipo grelha; •

Compreender a solução fundamental que relaciona a torção em torno do eixo de uma barra e calcular os coeficientes de rigidez à torção;

• Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do tipo grelha.

Esquema • Método dos Deslocamentos Aplicados a Grelhas • • • • • •

Incógnitas do problema Número de incógnitas – deslocabilidade interna Número de incógnitas – deslocabilidade externa Grandezas fundamentais Exemplo de aplicação 5 Exemplo de aplicação 6

4.1 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas 4.1.1 Incógnitas do problema No caso de estruturas espaciais, precisaremos conhecer a rotação e o deslocamento linear resultantes de cada extremidade das barras que compõem a estrutura. Esta rotação será dada por suas componentes nos eixos x, y e z e o deslocamento linear por suas

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componentes nos eixos x, y e z em um total de 6 incógnitas por nó da estrutura espacial, nos casos mais gerais. Por hipótese, uma barra de grelha não tem solicitações axiais, apresentando efeitos de flexão e cisalhamento transversais ao plano e efeito de torção. A figura a seguir mostra a convenção adotada para os eixos locais e para as deslocabilidades locais de uma barra de grelha. As deslocabilidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas duplas indicam rotações.

Figura 57 – Deslocabilidades em nós de uma grelha Fonte: Martha (2010, p.286)

Para as grelhas (supostas situadas no plano xy e carregadas na direção z), precisaremos conhecer as rotações em x e y e o deslocamento linear em z, em um total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais.

4.1.2 Número de incógnitas – Deslocabilidade interna Para o caso de estruturas espaciais, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo do número de nós internos, rígidos, que a estrutura possui, pois que, para cada um deles, precisamos conhecer suas componentes de rotação em torno de cada um dos eixos coordenados.

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Para o caso de grelhas, o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos, rígidos, que ela possui, pois, supondo a grelha situada no plano xy, não haverá componente de rotação em torno do eixo z.

4.1.3 Número de incógnitas – Deslocabilidade externa Este número de incógnitas independentes é traduzido pelo número de apoios do primeiro gênero que precisamos acrescentar à estrutura para torná-la sem deslocabilidades lineares na direção do eixo z (direção dos eixos das forças).

4.1.4 Grandezas Fundamentais Considere a imposição de uma rotação por torção ϕA na extremidade esquerda de uma barra isolada, enquanto a rotação na outra extremidade é mantida nula (ϕB=0), tal como mostra a figura a seguir. Também considere a imposição de uma rotação ϕB na extremidade da direita, mantendo ϕA nula. São utilizadas setas duplas para representar rotações e momentos torçores. Os momentos torçores TA e TB que atuam nas extremidades da barra para impor essas configurações deformadas também estão indicados na figura a seguir com seus sentidos positivos. Como não existe carregamento no interior da barra, o momento torçor é constante ao longo da barra.

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Figura 58 – Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada Fonte: Martha (2010, p.285)

Define-se genericamente o parâmetro Kϕ como o coeficiente de rigidez à torção:

4.1.5 Exemplo de aplicação 5 (MARTHA, 2010) DICAS A aplicação do método dos deslocamentos em grelhas segue a mesma metodologia do que está apresentado até o momento, inclusive as simplificações possíveis de serem adotadas. Uma observação a ser feita é que as considerações de barras inextensíveis para as barras das grelhas não têm efeito algum, pois não há translações possíveis no plano de atuação da estrutura, uma vez que todos os carregamentos estão aplicados perpendicularmente a este plano.

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Como visto anteriormente, cada nó da grelha que não tem restrição aos deslocamentos, tem três deslocabilidades, sendo duas internas, referentes aos deslocamentos do tipo rotação nos eixos x e y (supondo xy o plano da estrutura) e uma externa (deslocabilidade no eixo z). Desta forma, para impedir tais deslocabilidades é necessário a inserção de duas chapas rígidas fictícias (na direção das rotações) e um apoio de primeiro gênero (na direção da translação sobre o eixo z). Assim, para exemplificar a aplicação do método dos deslocamentos em grelhas, é apresentada a situação a seguir.

Figura 59 – Exemplo 5.0 Fonte: adaptada de Martha (2010, p.383)

As deslocabilidades existentes na estrutura anterior são duas rotações nos nós internos na direção do eixo X e duas rotações, também nos nós internos na direção do eixo Y. Considerando que os apoios de primeiro gênero externos são rotulados, são desprezadas as rotações existentes nos mesmos (por simplificação). Como não há (por definição de grelhas) cargas nas direções dos eixos X e Y, não há deslocamentos translacionais nas direções dos mesmos e rotações na direção do eixo Z. Desta forma, o Sistema Hipergeométrico e as deslocabilidades existentes estão indicados na Figura 60.

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Figura 60– Exemplo 5.1 Fonte: Martha (2010, p.383)

Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Como todas as cargas atuantes na estrutura estão sobre os eixos das barras, não aparecerão momentos torçores nas mesmas. As reações de momento estão apresentadas na Figura 61.


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RELEMBRANDO Para o cálculo do β10 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1. Para o cálculo do β20 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2. Para o cálculo do β30 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3. Para o cálculo do β40 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4. Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida.

Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH A deslocabilidade D1 (rotação em torno do eixo X) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a AB e tem como solução básica a barra a seguir.

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Assim, as reações das soluções fundamentais são:

A segunda barra a ser considerada é a barra BC.


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A terceira barra a ser considerada é a barra BE. A rotação D1 em torno do eixo X flete as barras AB e BC como mostrado anteriormente, mas torce a barra CB. Desta forma, a solução fundamental para esta barra é a seguinte:


Assim,

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O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuando na direção da rotação φ. As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade D1. Desta forma, apresenta-se na Figura 65 os valores até aqui calculados.


O coeficiente de rigidez global K11, K21, K31 e K41 são numericamente iguais à força/momento para impor D1=1 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. Assim,

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RELEMBRANDO Para o cálculo do K11 é somado todos os momentos (fletores e torçores) que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1. Para o cálculo do K21 é somado todos os momentos (fletores e torçores) que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2. Para o cálculo do K31 é somado todos os momentos (fletores e torçores) que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3. Para o cálculo do K41 é somado todos os momentos (fletores e torçores) que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4. Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida.

Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH A deslocabilidade D2 (rotação em torno do eixo X) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra semelhantemente ao que foi calculado no caso (1), tendo os coeficientes de rigidez locais apresentados na Figura 66.

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Caso (3) – Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D3 (rotação em torno do eixo Y) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a BE e tem como solução básica a barra a seguir.

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Figura 67 – Exemplo 5.8 Fonte: o autor Assim, as reações das soluções fundamentais são:

A barra AB não sofre influência da deslocabilidade D3=1, pois o apoio no nó A não oferece resistência à rotação por tratar-se de apoio simples, não possuindo assim, coeficientes de rigidez locais. A segunda barra a ser considerada é a BC e tem como solução básica a barra a seguir.

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As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade D3. Desta forma, apresentam-se na Figura 69 os valores até aqui calculados no caso (3).


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Caso (4) – Deslocabilidade D4 isolada no SH A deslocabilidade D4 (rotação em torno do eixo Y) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra semelhantemente ao que foi calculado no caso (3), tendo os coeficientes de rigidez locais apresentados na Figura 70.


O coeficiente de rigidez global K14, K24, K34 e K44 são numericamente iguais à força/momento para impor D2=1 ao sistema principal e é

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obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. Assim,

Equações de equilíbrio Após os cálculos dos coeficientes de rigidez globais de cada caso, é necessário resolver as equações de equilíbrio para obter os valores das deslocabilidades D1 a D4. O sistema de equações de equilíbrio é o apresentado a seguir.

Substituindo pelos valores calculados:

Como solução, temos os seguintes valores:

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Os diagramas de momentos fletores e torçores da grelha são mostrados na Figura 71.


4.1.6 Exemplo de aplicação 6 (SUSSEKIND, 1987) Obter os diagramas de momentos fletores e torçores para a grelha da figura a seguir, cujas barras têm, todas, EI = 5 X 104 t.m² e GJ = = 4 X 104 t.m².

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Sistema Hipergeométrico (SH) Na Figura 73, é indicado o sistema hipergeométrico, obtido colocando-se chapas rígidas fictícias para impedir todas as componentes possíveis de rotação dos nós internos da grelha. Na mesma figura, é indicado também os sentidos que consideraremos positivos para rotações em torno dos eixos x e y.


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Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0, D2=0, D3=0 e D4=0. O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de momento fletor para vigas engastadas apresentadas anteriormente. Como todas as cargas atuantes na estrutura estão sobre os eixos das barras, não aparecerão momentos torçores nas mesmas. As reações de momento estão apresentadas na figura a seguir.


Portanto,

Para o cálculo do β10 foi somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1.

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Para o cálculo do β20 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2. Para o cálculo do β30 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3. Para o cálculo do β40 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4. Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida.

Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH A deslocabilidade D1 (rotação em torno do eixo Y) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a CD (ou barra 3) e tem como solução básica a barra a seguir.


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A segunda barra a ser considerada é a barra BC (ou barra 2 torcida pela deslocabilidade 1).



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O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuando na direção da rotação φ. As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade 1.



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Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH A deslocabilidade D2 (rotação em torno do eixo Y) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a AB (ou barra 1) e tem como solução básica a barra a seguir.



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A segunda barra a ser considerada é a barra BC (barra 2 torcida pela deslocabilidade 2).




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Caso (3) – Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D3 (rotação em torno do eixo X) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a BC (ou barra 2) e tem como solução básica a barra a seguir.

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A segunda barra a ser considerada é a barra CD (barra 3 torcida pela deslocabilidade 3).


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Caso (4) – Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D4 (rotação em torno do eixo X) é aplicada isoladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra, como segue. A primeira barra a ser considerada é a BC (ou barra 2) e tem como solução básica a barra a seguir.


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A segunda barra a ser considerada é a barra AB (barra 1 torcida pela deslocabilidade 4).



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O coeficiente de rigidez global K14, K24, K34 e K44 são numericamente

iguais à força/momento para impor D4=1 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício. Assim,

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Equações de equilíbrio Após os cálculos dos coeficientes de rigidez globais de cada caso, é necessário resolver as equações de equilíbrio para obter os valores das deslocabilidades D1 a D4. O sistema de equações de equilíbrio é o apresentado a seguir.

Substituindo pelos valores calculados:

Como solução, temos os seguintes valores:

Os diagramas de momentos fletores e torçores da grelha são mostrados na Figura 87.

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Tais diagramas podem ser calculados pela equação:

Ou então, podem ser calculadas as reações de apoio, também pela mesma equação, e a partir delas, obter os diagramas de momentos.

Considerações finais Deste capítulo pode-se concluir várias coisas. A primeira delas é o fato de, por definição, grelhas só receberem carregamentos perpendiculares ao plano das barras, não aparecerão deslocabilidades nas direções dos eixos que formam o plano da estrutura. Porém, todos os nós que não têm restrições às translações terão uma deslocabilidade no sentido de atuação das forças. Outra situação a se concluir, também se refere à definição de grelhas. O fato das cargas só poder atuar perpendicularmente ao plano

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das barras, aparecerá momentos nas duas direções que formam o plano. Assim, todos os nós internos da estrutura deverão ter suas rotações bloqueadas com a inserção de chapas rígidas em todas as direções das barras que concorrem nestes nós. Deve-se ficar atento(a) no cálculo dos termos de cargas e coeficientes de rigidez, para não somar coeficientes de rigidez locais que estão atuando em outras direções. A regra da mão direita ajuda a identificar as direções das rotações e momentos, sejam eles torçor ou fletor. Uma dica importante é o fato dos momentos torçores atuarem na direção axial das barras e os momentos torçores, perpendiculares a elas. Compreendendo estas situações, a solução de grelhas não difere praticamente em nada do que já vem sendo trabalhado em vigas e pórticos.

Capítulo 5

Método dos deslocamentos aplicados em barras inclinadas e barras com rigidez infinita Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Até o momento foram apresentados diversos exemplos de estruturas reticuladas representadas por vigas, pórticos e grelhas estando as barras sempre nos eixos horizontais e verticais. Uma análise pode-se tornar mais trabalhosa quando houver na composição da estrutura barras inclinadas. Foi visto que as deslocabilidades estão sempre nos eixos globais da estrutura, sendo estes na horizontal ou vertical. Nos casos básicos do Método dos Deslocamentos, as deslocabilidades são liberadas uma a uma com valor unitário. Quando uma translação é liberada em um nó de uma barra inclinada, este deslocamento possui componente tanto no eixo longitudinal da barra quanto perpendicular a ela. Portanto, irão aparecer vários coeficientes de rigidez locais em coordenadas locais que precisam ser somados ao comportamento global da estrutura. Desta forma, este capítulo vem apresentar uma metodologia de análise para estruturas que apresentem barras inclinadas, muito comuns em projetos com arquitetura moderna. Na segunda parte do capítulo serão apresentados os cálculos necessários quando há alguma barra rígida na estrutura. Entende-se por barra rígida um material que tenha uma rigidez muito elevada em relação às outras, ou seja, ela não se deforma com a ação dos esforços internos.

Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha (2010) e Sussekind (1987) feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Aprender como calcular as componentes de deslocamentos nas direções dos eixos longitudinais e transversais às barras inclinadas; • Aprender como projetar os coeficientes de rigidez locais nas direções globais da estrutura; • Entender como se comporta uma barra rígida quando esta sofre deslocamentos nos casos básicos e como esta barra deslocada influencia nas barras deformáveis que estão ligadas a ela; • Aplicar as rotinas de cálculo do Método dos Deslocamentos em estruturas que possuem barras inclinadas e barras com rigidez infinitas.

Esquema • Método dos Deslocamentos Aplicado a Barras Inclinadas • Exemplo de aplicação 7 • Método dos Deslocamentos Aplicado a Barras Infinitamente Rígidas • Exemplo de aplicação 8

5.1 Método dos deslocamentos aplicado a barras inclinadas O cálculo dos momentos e reações de apoio para as barras da estrutura no caso (0) devem ser feitas decompondo as forças em componentes perpendiculares às barras e no eixo longitudinal das mesmas, podendo assim, aplicar as fórmulas apresentadas na Tabela 1 (momentos de engastamento).

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IMPORTANTE! O cálculo dos coeficientes de rigidez globais dos casos básicos continua sendo feito somando-se os valores dos coeficientes de rigidez locais das barras que são mobilizadas na configuração deformada imposta em cada caso. Entretanto, para uma barra inclinada, a imposição de uma deslocabilidade na direção horizontal ou vertical acarreta deformações axiais e transversais combinadas. Por outro lado, esforços axiais e transversais na barra inclinada devem ser projetados para as direções horizontal e vertical para compor um coeficiente de rigidez global.

5.1.1 Exemplo de aplicação 7 (MARTHA, 2010) Todas as barras da estrutura do exemplo têm as mesmas propriedades elásticas e de seção transversal. O material adotado tem módulo de elasticidade E=1,2 ⋅ 107kN/m2. A seção transversal das barras tem área A=1,2 ⋅ 10-2m2 e momento de inércia I=1,2 ⋅ 10-3 m4. A solicitação externa é uma carga uniformemente distribuída q = 5kN/m aplicada na barra horizontal.


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O objetivo desta seção é apresentar a metodologia de análise estrutural do Método dos Deslocamentos aplicado para barras inclinadas mediante um exemplo simples. Para isto, não será levado em conta a simplificação que considera as barras inextensíveis. Se tal simplificação fosse adotada, a única deslocabilidade existente no exemplo seria a D3 e que geraria resultados finais satisfatórios. Assim, os nós dos apoios, por serem engastados, não possuem nenhuma deslocabilidade. O nó interno, que liga a barra inclinada com a horizontal, possui três deslocabilidades, conforme apresentado na Figura 89, estabelecendo o Sistema Hipergeométrico conforme segue:


Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0, D2=0 e D3=0. O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de momento fletor para vigas engastadas apresentada anteriormente. A barra AB (ou barra 1) não apresenta carregamento e, portanto, as reações de apoios são iguais a zero. A barra BC (ou barra 2)

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corresponde a uma viga bi engastada, de comprimento 6m, cujas reações são apresentadas a seguir na Figura 90.


Pelas equações de equilíbrio calcula-se as reações verticais.

, portanto

O termo de carga é igual ao somatório das forças (reações) na direção da deslocabilidade 1. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,

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Já o termo de carga é igual ao somatório dos momentos fletores no nó em que foi inserida a chapa 3. Assim,

Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (esquerda para direita).


O caso básico (1) da solução da estrutura da Figura 91 está detalhado na Figura 92. Observa-se, nessa figura, que o deslocamento horizontal D1 = 1 imposto, quando projetado nas direções dos

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eixos locais da barra inclinada, tem uma componente axial igual a cosθ e uma componente transversal igual a senθ, sendo θ o ângulo que a barra inclinada faz com o eixo horizontal da estrutura. Dessa forma, a barra inclinada é mobilizada tanto axialmente quanto transversalmente.


Com esses deslocamentos da barra 1, axial e transversal, é possível determinar os valores dos momentos e forças que atuam em suas extremidades mediante os coeficientes de rigidez locais das soluções fundamentais para barras isoladas (soluções fundamentais para a barra AB, ilustrados na Figura 93). Estes valores estão apresentados na Figura 94.


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RELEMBRANDO Os coeficientes de rigidez global K11, K21 e K31 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade. Portanto, os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K11 e K12, respectivamente.

Assim,

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Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (de baixo para cima).


As projeções nas direções dos eixos locais da barra inclinada do deslocamento vertical D2 = 1 resultam em uma componente axial igual a senθ e em uma componente transversal igual a cosθ.


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Com esses deslocamentos da barra 1, axial e transversal, é possível determinar os valores dos momentos e forças que atuam em suas extremidades por meio dos coeficientes de rigidez locais das soluções fundamentais para barras isoladas (soluções fundamentais para a barra AB, ilustrados na Figura 97). Estes valores estão apresentados na Figura 98.



Os coeficientes de rigidez global K12, K22 e K32 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade. Portanto, os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K12 e K22, respectivamente.

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Assim,

Caso (3) – Deslocabilidade D3 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 3. Assim, D3=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário).


A imposição da deslocabilidade 3 igual a um não proporciona translação do ponto B em nenhuma das direções. Assim, o cálculo dos coeficientes de rigidez local torna-se simples como apresentado a seguir.

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Os coeficientes de rigidez global K13, K23 e K33 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade. Portanto, os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K13 e K23, respectivamente. Assim,

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Equações de equilíbrio

Com a resolução deste sistema, podem-se obter os valores das deslocabilidades D1, D2 e D3, e a partir delas, os diagramas e reações.

5.2 Método dos deslocamentos aplicado a barras infinitamente rígidas Reflita Na análise de um prédio para cargas laterais (de vento, por exemplo), pode-se considerar que o conjunto de lajes e vigas de um pavimento do prédio forma um diafragma rígido quando o pórtico se desloca lateralmente. Em outras palavras, em situações especiais o pavimento pode ser considerado como um elemento infinitamente rígido em comparação com as colunas do prédio (elementos estruturais que têm deformações transversais por flexão).

Considerando que as colunas do pórtico da Figura 101 são inextensíveis, os nós do pavimento do pórtico só podem se deslocar na direção horizontal. Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido. Portanto, o único movimento que a viga infinitamente rígida pode ter é o deslocamento horizontal como mostrado

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Figura 101 – Pórtico com uma viga infinitamente rígida Fonte: adaptada de Martha (2010)

Pode haver situações em que a barra infinitamente rígida esteja na posição dos pilares. Nestas situações, a análise deve ser feita como apresentado na Figura 102. Se o pilar estiver engastado, então o mesmo não sofrerá qualquer rotação.

Figura 102 – Pórtico com um pilar infinitamente rígido Fonte: adaptada de Martha (2010)

Várias opções poderiam ser encontradas para impedir a deslocabilidade D1, por exemplo, inserir apoio de primeiro gênero na direção da viga horizontal, ou então inserir uma chapa rígida no apoio de segundo gênero na qual se apoia o pilar com rigidez infinita.

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5.2.1 Exemplo de aplicação 8 (SUSSEKIND, 1987) Obter o diagrama de momentos fletores para o quadro da Figura 103. Considerar EI=6t.m². A barra com espessura mais grossa e hachurada, é a barra com rigidez infinita.


Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Tendo a barra AB inércia infinita fica impedida as rotações dos nós A e B; desta forma, a única deslocabilidade interna será a rotação do nó C. Externamente, a estrutura tem uma deslocabilidade, que é o deslocamento horizontal da barra AB. Assim sendo, o sistema hipergeométrico é o da Figura 104. Levando em conta a simplificação que as barras são inextensíveis, o ponto C torna-se indeslocável pelos engastes em D e E.

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Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0, D2=0 e D3=0. O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de momento fletor para vigas engastadas apresentadas anteriormente. A única carga da estrutura estará atuando na barra AB, conforme apresentado na Figura 105.


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Portanto, a única reação que ocorrerá na estrutura é a horizontal no ponto B e será igual a 3t no sentido da direita para a esquerda. A figura que ilustra todas as reações e momentos calculados no caso (0) é a Figura 106.


O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,


Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário).

132

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Neste caso será analisada barra por barra identificando em cada uma delas os coeficientes de rigidez locais. A primeira barra a ser analisada será a barra AC, conforme ilustra a Figura 107.


Análise da barra CE (barra 4):


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133

Análise da barra CD (barra 3):


A Figura 110 ilustra os momentos que foram calculados até o momento para o caso (1).

134

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Os coeficientes de rigidez global K11 e K21 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade. Assim,

Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (da esquerda para a direita).

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135

Neste caso será analisada barra por barra identificando em cada uma delas os coeficientes de rigidez locais. A primeira barra a ser analisada será a barra BE, conforme ilustra a Figura 111.


Análise da barra AC.

136

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A Figura 113 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso (2).


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Com a resolução deste sistema, obtêm-se os valores das deslocabilidades D1 e D2, e a partir delas, o diagrama de momento fletor.

Os momentos finais estão ilustrados pela Figura 114.


138

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Tais diagramas podem ser obtidos mediante a equação a seguir.

Ou então, calcular as reações de apoio e, a partir delas, obter os diagramas e esforços.

Considerações finais Talvez, as maiores dificuldades nos cálculos do Método dos Deslocamentos apareceram em estruturas com barras inclinadas e/ou infinitamente rígidas. O maior problema em situações com barras inclinadas foi projetar os deslocamentos, impostos em cada caso básico, nas direções locais das barras, e, depois, projetar os coeficientes de rigidez locais nos eixos globais da estrutura. Nos problemas em que há presença de barras rígidas, a grande dificuldade estava em definir as deslocabilidades e na interpretação das deformadas em cada caso básico. Uma barra rígida pode impedir tanto uma deslocabilidade interna, quanto uma externa, assim, deve ser feita uma análise minuciosa na definição do Sistema Hipergeométrico. Outro ponto destacado quando se tem barras rígidas nas estruturas, estava na identificação das deformações das barras nos casos básicos. A ligação das barras deformáveis com as rígidas é que estabelecem como será a linha elástica das vigas e pilares. Isto é muito importante para saber quais situações fundamentais deverão ser utilizadas nos cálculos dos coeficientes de rigidez locais. Diante do exposto, somente a resolução de vários exercícios poderá fazer com que o(a) aluno(a) consiga fixar e compreender o comportamento das estruturas com estas configurações.

Capítulo 6

Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Muitas vezes, somos solicitados para verificar situações em que houve algum recalque de apoios em estruturas, chamados de deslocamentos prescritos, que podem gerar esforços internos adicionais nos elementos da construção. Quando uma estrutura é isostática, por exemplo, uma viga engastada, que sofreu um deslocamento prescrito vertical no seu apoio, não haverá acréscimo de esforços interno, pois como a extremidade livre não é restringida por nenhum apoio, toda a estrutura irá se deslocar no sentido do recalque, ou seja, houve somente um deslocamento de corpo rígido. A mesma análise pode ser feita para uma viga bi apoiada, porém a viga sofrerá uma rotação, uma vez que os apoios são considerados ligações rotuladas. Entretanto, quando se consideram estruturas hiperestáticas com recalques, devido às restrições de deslocamentos impostas pelos apoios, a estrutura fica impedida de se deslocar nas direções dos vínculos, provocando deformações na estrutura e em contrapartida tensões internas. Os esforços internos inerentes dos recalques de apoios podem atingir valores tão altos, combinados com os carregamentos externos, que podem levar a estrutura ao colapso. Devido a isto, que o assunto deste capítulo torna-se importante.

Neste capítulo será apresentado alguns exemplos de aplicação que demostram como deve ser feita a análise de estruturas submetidas a recalques de apoio utilizando-se do Método dos Deslocamentos. Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Sussekind (1987) e apostila do professor Oliveira Júnior da PUC de Goiás, disciplina de Teoria das Estruturas II, feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Aplicar a rotina de cálculo do Método dos Deslocamentos às estruturas que sofreram deslocamentos prescritos; • Compreender como os deslocamentos prescritos deformam as barras das estruturas no caso (0); • Compreender que esforços internos são acrescidos à estrutura que sofre deslocamento prescrito.

Esquema • Método dos Deslocamentos Aplicados a Estruturas com Deslocamentos Prescritos • Exemplo de aplicação 9 • Exemplo de aplicação 10

6.1 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos O deslocamento prescrito pode ser linear ou de rotação e, como qualquer outra ação externa, pode ter seu efeito considerado no caso (0) por meio dos cálculos dos coeficientes de rigidez locais para cada barra utilizando as soluções fundamentais apresentadas anteriormente.

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141

No caso de rotação, esses coeficientes são facilmente determinados a partir dos coeficientes de rigidez de flexão de barra que foi definido como igual ao momento para provocar rotação unitária em uma de suas extremidades da barra, mantidos os demais deslocamentos de extremidades nulo. No caso de deslocamento linear, desprezando as deformações do esforço normal (barras inextensíveis), não é possível utilizar diretamente o referido procedimento. Tem-se que determinar os deslocamentos ortogonais relativos de cada barra associado ao deslocamento prescrito linear e introduzir no caso (0) os esforços provocados por esses deslocamentos ortogonais.

Reflita Quando não for possível a identificação imediata desses deslocamentos ortogonais, utiliza-se o gráfico de Williot. Sussekind (1987), nos volumes II e III, apresenta uma metodologia para o uso deste gráfico.

6.1.1 Exemplo de aplicação 9 (OLIVEIRA JÚNIOR) O apoio C da viga contínua a seguir sofre um recalque para baixo igual a 10 cm. Trace os diagramas de esforços internos para o pórtico, considerando que as barras AB, BC e CD possuem, respectivamente, rigidez à flexão EI=10.000kN.m², EI=20.000kN.m² e EI=25.000kN.m². Todas as barras são inextensíveis.

142

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Figura 115 – Exemplo 9.0 Fonte: adaptada de Oliveira Júnior (2016)

Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico A identificação das deslocabilidades para um caso de recalque de apoio se dá da mesma forma que vem sendo feito até o momento, ou seja, definindo as deslocabilidades internas e externas. Como o apoio A e D é do terceiro gênero, não há nenhuma deslocabilidade nestes. Já os nós B e C, são apoios de segundo e primeiro gênero, portanto, permite a deslocabilidade do tipo rotação, e, por considerar as barras inextensíveis, estas deslocabilidades são as únicas da estrutura. Desta forma, define-se o Sistema Hipergeométrico conforme Figura 116.


Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0 e D2=0.

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Como na viga não há carregamento, o único efeito externo a ser calculado na estrutura é o deslocamento prescrito do nó C de 10cm para baixo. Os efeitos são calculados de acordo com os deslocamentos ortogonais relativos de cada barra associado ao deslocamento prescrito linear. Assim, devido os nós B e D serem fixos (com a inserção dos apoios fictícios) as únicas barras que serão afetadas pelo recalque em C, e são calculadas conforme segue. Cálculo da barra BC.


Cálculo da barra CD.

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Resumo das reações e momentos do caso (0).


O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 1. Assim,

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145

Já o termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 2. Assim,

PARADA OBRIGATÓRIA Se houvesse carregamento atuando na estrutura, deveriam ser calculados os momento e reações para o caso de engastamento perfeito e somado seus valores aos calculados para o recalque nos termos de cargas.

Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo a solicitação externa e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). A primeira barra a ser analisada será a barra AB, conforme ilustra a Figura 120.


146

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Análise da barra BC (barra 2):




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Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se toda a solicitação externa e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). A primeira barra a ser analisada será a barra BC, conforme ilustra a Figura 123.


148

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149



Com a resolução deste sistema, obtêm-se os valores das deslocabilidades D1 e D2, e a partir delas, os diagramas e reações.

Os diagramas e reações finais são obtidos pela equação a seguir.

Cálculo dos momentos fletores:

150

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Em resumo, os valores são apresentados na Figura 135.


RELEMBRANDO Lembrando que os momentos são positivos no sentido anti-horário. Verificar tabela de convenção de sinais apresentada no primeiro capítulo. Assim, o diagrama final fica configurado conforme Figura 127.


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151

Cálculo dos esforços cortantes:

Em resumo, os valores são apresentados na Figura 128. Lembrando que os momentos são positivos no sentido anti-horário.


Assim, o diagrama final fica configurado conforme Figura 129.


152

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6.1.2 Exemplo de aplicação 10 (OLIVEIRA JÚNIOR) O apoio E do pórtico plano a seguir sofre um recalque igual a 2 cm da esquerda para a direita. Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços internos para o pórtico considerando que as barras possuem rigidez à flexão EI=12000kN.m² e são inextensíveis.


Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Como o apoio A e C é do terceiro gênero, não há nenhuma deslocabilidade nestes nós. O apoio E é de segundo gênero, porém está em uma extremidade sendo considerado rotulado, não precisando assim considerar a deslocabilidade do tipo rotação. As barras 2 e 4, entre os nós B e E, tem o deslocamento horizontal travado pelo apoio em E. Já os nós B e D, tem o deslocamento vertical travado pelos engastes A e C, respectivamente, porém, nada impede destes nós rotacionarem. Portanto, as únicas deslocabilidades são as rotações no nós B e D. Desta forma, define-se o Sistema Hipergeométrico conforme Figura 131.

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153


Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carregamento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no SH com D1=0 e D2=0. Como na viga não há carregamento, o único efeito externo a ser considerado na estrutura é o deslocamento prescrito do nó E de 2cm da esquerda para a direita. Os efeitos são calculados de acordo com os deslocamentos ortogonais relativos de cada barra associado ao deslocamento prescrito linear. Como todas as barras são inextensíveis, em específico as barras 2 e 4, as mesmas somente sofrerão deslocamento de corpo rígido, não gerando esforços internos nas mesmas. Mas devido os nós A e C serem fixos as barras que serão afetadas pelo recalque em E são as barras 1 e 3, e são calculadas conforme segue. Cálculo da barra AB (barra 1):

154

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Cálculo da barra CD.


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155

Resumo das reações e momentos do caso (0).


O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 1. Assim,

Já o termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 2. Assim,

156

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Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se todo a solicitação externa e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). A primeira barra a ser analisada será a barra AB, conforme ilustra a Figura 135.


Análise da barra BD (barra 2):

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157




Os coeficientes de rigidez global K11 e K21 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade.

158

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Assim,

Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso, desconsidera-se toda a solicitação externa e faz-se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). A primeira barra a ser analisada será a barra BD, conforme ilustra a Figura 138.


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Análise da barra DE (barra 4):


159

160

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161


Com a resolução deste sistema, obtêm-se os valores das deslocabilidades D1 e D2, e a partir delas, os diagramas e reações.

Os diagramas e reações finais são obtidos pela equação a seguir.

Cálculo das reações:

A partir destas reações podem-se desenhar todos os diagramas de esforços interno, como mostrados nas Figuras 142, 143 e 144, respectivamente, momento fletor, esforço cortante e esforço normal.

162

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163

Tais diagramas podem ser obtidos mediante a equação a seguir.

Ou então, calcular as reações de apoio e, a partir delas, obter os diagramas e esforços.

Considerações finais Recalque de apoio é uma das principais causas de patologias em concreto armado, junto com falhas de projetos e corrosões de armaduras, por isso a importância do estudo destas situações. Quando se trata de estruturas hiperestáticas – a maioria dos casos – os deslocamentos prescritos nos apoios, pelo fato dos deslocamentos de corpo rígido estar restringidos pelos vínculos, provocarão o acréscimo dos esforços internos na estrutura e, consequentemente, o aumento nas tensões normais e tangenciais, podendo levar ao colapso. Após verificar os exemplos de aplicação apresentados neste capítulo, percebe-se, que os deslocamentos prescritos atuam no caso (0), considerando-o uma solicitação externa. Como não são forças, deixa-se de utilizar as tabelas de engastamento perfeito e usam-se as soluções fundamentais para os cálculos das forças e momentos reativos para o cálculo dos termos de cargas. Somente a situação descrita no parágrafo anterior difere as situações com recalques das estruturas normais. Os casos básicos são calculados da mesma forma que vêm sendo calculado até este capítulo. Portanto, todas as conclusões feitas nos outros capítulos, também valem para este.

Capítulo 7

Processo de cross


Introdução Este processo é baseado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para estruturas sem deslocabilidades externas (do tipo translação), isto é, ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação. Apesar desta limitação, o método criado por Hardy Cross na década de 1930 ainda é utilizado hoje para o cálculo de estruturas. O processo possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns. O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto grau de hiperestaticidade. Neste processo não se tem a resolução explícita de um sistema de equações de equilíbrio, como apresentado pelo Método dos Deslocamentos dos capítulos anteriores, obtendo-se em procedimentos de aproximações sucessivas os momentos fletores nas extremidades das barras. O Processo de Cross é facilmente implementado em planilhas do tipo Excel, portanto, os alunos que possuírem o domínio deste software possuirão consigo uma ferramenta poderosa para auxiliar as análises de estruturas, na qual rapidamente poderão solucionar diversos tipos de problemas.

Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Sussekind (1987), Martha (2010) e Soriano (2006), feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Definir o que é o Processo de Cross; • Apresentar os principais conceitos do Processo de Cross; • Identificar as principais diferenças com o Método dos Deslocamentos; • Compreender o Processo de Cross com a resolução de exemplos de aplicações.

Esquema • Processo de Cross • Exemplo de aplicação 11 • Exemplo de aplicação 12

7.1 Processo de cross Para entender o processo é preciso a compreensão da distribuição de momentos fletores em um nó. Para isto, partiremos do exemplo a seguir para as discussões sobre o assunto.

Figura 145 – Aplicação de um momento externo em um nó com rotação liberada Fonte: adaptada de Sussekind (1987)

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167

Seja o nó A da estrutura, representada na Figura 145, submetido à ação de uma carga momento M. Devido à atuação deste momento M, o nó irá girar de um ângulo D1, aparecendo então, na extremidade das barras 1, 2, 3 e 4 os momentos de módulos iguais (conforme a definição de rigidez de uma barra em um nó) a:

Sendo Ki os coeficientes de rigidez a rotação para a barra i.

RELEMBRANDO De acordo com as soluções fundamentais para barras isoladas, quando uma extremidade engastada sofre uma rotação, têm-se as seguintes situações apresentadas na Figura 146 (rotação no engaste à direita).

a. barra bi engastada

b. barra rotulada em uma extremidade Figura 146 – Soluções fundamentais de uma barra com rotação em uma extremidade Fonte: o autor

168

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Assim, tem-se que os coeficientes de rigidez à rotação apresentados anteriormente são iguais a:

Em resumo, para barras sem articulação e para barras com articulação oposta à extremidade que sofre o giro é . Evidentemente, devemos ter, por compatibilidade estática do esquema da Figura 145:

Daí, obtemos:

Identificando o termo entre parêntesis como a soma dos valores dos coeficientes de rigidez à rotação em A de todas as barras concorrentes neste nó, e à qual chamaremos simplificadamente, , podemos escrever:

Substituindo este valor nas primeiras equações apresentadas neste capítulo, temos:

Ou seja:

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IMPORTANTE! Da expressão anterior, podemos tirar a seguinte conclusão: “Uma carga-momento aplicada num nó de uma estrutura totalmente indeslocável irá se distribuir, entre as diversas barras concorrentes neste nó, segundo parcelas proporcionais à rigidez, neste nó, de cada uma destas barras” (SUSSEKIND, 1987, p. 182).

A relação (simbolizando a fração do momento atuante no nó que irá para a barra i) denominaremos coeficiente de distribuição de momentos para a barra i, escrevendo-se, então:

O que também nos permite escrever:

Evidentemente, a soma dos coeficientes de distribuição de momentos em tomo de um nó é igual a 1. Assim, temos os valores de momentos redistribuídos conforme ilustra a Figura 147.

Figura 147 – Momentos fletores finais nas extremidades das barras da estrutura Fonte: adaptada de Martha (2010)

170

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Da Figura 146, percebe-se, na parte “a”, que o momento fletor na extremidade que não sofreu a rotação é igual à metade do momento na outra extremidade. E que na parte “b” o momento na rótula é igual a zero. Define-se, então, o coeficiente de transmissão de momento da barra i:  Coeficiente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articulação.  Coeficiente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articulada. Da multiplicação destes coeficientes com os momentos no nó A é que são obtidos os momentos apresentados nas extremidades opostas a este nó na Figura 147. Discutiremos agora mais um caso (SUSSEKIND, 1987), o qual nos será, por meio dele, enunciar um roteiro para resolução de qualquer estrutura externamente indeslocável pelo processo de Cross. Seja resolver a viga de inércia constante da Figura 148, devido ao carregamento indicado.

Figura 148 – Viga contínua Fonte: adaptada de Sussekind (1987)

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171

Em se tratando de uma estrutura com duas deslocabilidades internas - rotação dos nós B e C - o sistema hipergeométrico é o da Figura 149, no qual bloqueamos as rotações existentes nestes nós com as chapas 1 e 2 surgindo nele, então, os momentos de engastamento perfeito indicados na mesma figura (calculados pelas fórmulas apresentadas na tabela de momentos de engastamento do Capítulo I).

Figura 149 – Sistema principal e momentos de engastamento perfeito Fonte: adaptada de Sussekind (1987)

Pensando, em se adotar um procedimento análogo ao do exemplo estudado anteriormente, calculemos os coeficientes de distribuição de momentos em torno dos nós B e C. Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 150. Os cálculos destes coeficientes para os nós são:

Figura 150 – Coeficientes de distribuição Fonte: adaptada de Sussekind (1987)

Agora será apresentado o raciocínio a ser adotado nos exercícios do Processo de Cross.

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Figura 151 – Momentos finais obtidos pelo Processo de Cross Fonte: o autor

O processo mostrado na Figura 151 inicia no Estágio 0, que corresponde a uma situação de engastamento perfeito. Os valores dos momentos fletores iniciais nas barras são determinados com base nas equações de engastamento perfeito. Observa-se que existe desequilíbrio de: no nó B. e no nó C,

Estagio 1) O primeiro nó é equilibrado, com a liberação da rotação na chapa 1.

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DICAS No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado.

O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas equilibrantes:

Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes, será transmitido ao nó C (que está engastado, pois não foi liberada a rotação da chapa 2) um momento igual a 0,5 X (+9,6) = +4,8t.m. (Para o nó A, não é transmitido qualquer momento, por se tratar de um nó rotulado). O nó B, com os momentos de 5,4t.m e 9,6t.m está equilibrado e colocaremos então, um traço abaixo dos mesmos para caracterizar o equilíbrio. O esquema atual será, então, o da Figura 152 que transcreveremos para a Figura 151.

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Figura 152 – Estágio 1 (equilíbrio do nó B) Fonte: o autor

Estágio 2) Estando equilibrado o nó B (Figura 152), voltamos a colocar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo; a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada, pois o nó C não está em equilíbrio. Para conseguirmos, agora, o equilíbrio do nó C, liberamos a rotação da chapa 2, ficando o mesmo submetido a uma carga-momento de (16 + 4,8 - 9) = +11,8t.m . Esta será equilibrada por momentos iguais a:

Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Como nas extremidades B e D estão impedidas as rotações (pois, nesta fase, estamos liberando, apenas, a rotação da chapa 2), nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão, ti (iguais no caso, a + 0,5). Assim sendo, o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 153, transcrito na Figura 151.

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Figura 153 – Estágio 2 (equilíbrio do nó C) Fonte: o autor

Estágio 3) Tendo ficado equilibrado, agora, o nó C (Figura 153), voltamos a colocar a chapa 2, impedindo novas rotações do mesmo. O esquema da Figura 153 nos mostra, entretanto, que o nó B ficou desequilibrado. Para equilibrá-lo, liberamos, mais uma vez a rotação da chapa 1, ficando o nó submetido a uma carga-momento de (-3,363 t.m), que é equilibrada por momentos iguais a:

Para o nó C da barra 2, será transmitido um momento igual a (+2.152 X 0,5) = +1,076t.m e ficamos, então, com o esquema da Figura 154, no qual o nó B foi, mais uma vez, equilibrado.

Figura 154 – Estágio 3 (equilíbrio do nó B) Fonte: o autor

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Estágio 4) Estando equilibrado o nó B (Figura 154), voltamos a colocar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo; a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada, pois o nó C não está em equilíbrio. Para conseguirmos, agora, o equilíbrio do nó C, liberamos a rotação da chapa 2, ficando o mesmo submetido a uma carga-momento de +1,076t.m. Esta será equilibrada por momentos iguais a:

Como nas extremidades B e D estão impedidas as rotações (pois, nesta fase, estamos liberando, apenas, a rotação da chapa 2), nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão, ti (iguais no caso, a + 0,5). Assim sendo, o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 155, transcrito na Figura 151.

Figura 155 – Estágio 4 (equilíbrio do nó C) Fonte: o autor

Assim, faz-se sucessivamente o equilíbrio de cada nó separadamente, sempre bloqueando as rotações dos outros, como foi feito nos Estágios 3 e 4, até obter a precisão que se deseja.

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177

Para a obtenção dos momentos finais, devemos fazer a superposição (soma) de todos os momentos que apareceram nas diversas fases do equilíbrio da viga, o que pode ser feito, diretamente, na Figura 151, somando-se os valores indicados em coluna, obtendose os valores finais apresentados na última linha. Pela convenção de sinais apresentada no Capítulo I destacada na Figura 156, podemos obter o diagrama de momento fletor como ilustrado na Figura 166.

Figura 156 – Convenção de sinais para momento fletor Fonte: adaptada de Martha (2010)

Figura 157 – Diagrama de momento fletor Fonte: Sussekind (1987, p.195)

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7.1.1 Exemplo de aplicação 11 (SORIANO, 2006) Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico da Figura 158, já definido seu sistema Hipergeométrico.

Figura 158 – Estrutura do exemplo 11 Fonte: Soriano (2006, p.245)

Pensando, em se adotar um procedimento análogo ao do exemplo estudado anteriormente, calculemos os coeficientes de distribuição de momentos em torno dos nós D e E. Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 159, com seus respectivos momentos de engastamento perfeito calculado a partir da Tabela 1 (apresentada no Capítulo I). Os cálculos destes coeficientes para os nós são:

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Figura 159 – Coeficientes de distribuição Fonte: Soriano (2006, p.245)

Observa-se que existe desequilíbrio de: no nó D, e no nó E,

No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado, neste caso o nó D. O primeiro nó é equilibrado, com a liberação da rotação na chapa 1. O equilíbrio do nó D resulta nas seguintes parcelas equilibrantes:

180

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Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes, será transmitido aos nós A, B e E (que estão engastados, pois não foi liberada a rotação da chapa 2) momentos iguais a 0,5X(+21,33)=+10,66kN.m, 0,5X(+42,67)=+21,33kN.m e 0,5X(+42,67)=+21,33kN.m, respectivamente. O nó D, com os momentos de 21,33kN.m, 42,67kN.m e 42,67kN.m está equilibrado e colocaremos então, um traço abaixo dos mesmos para caracterizar o equilíbrio. O esquema atual será, então, o da Figura 160.

Figura 160 – Estágio 1 (equilíbrio do nó D) Fonte: Soriano (2006, p.246)

Estando equilibrado o nó D (Figura 160), voltamos a colocar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo; a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada, pois o nó E não está em equilíbrio. Para conseguirmos, agora, o equilíbrio do nó E, liberamos a rotação da chapa 2, ficando o mesmo submetido a uma carga-momento de (-53,33+21,33)=-32,0kN.m. Esta será equilibrada por momentos iguais a:

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181

Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Como nas extremidades D e C estão impedidas as rotações (pois, nesta fase, estamos liberando, apenas, a rotação da chapa 2), nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão, ti (iguais no caso, a +0,5). Assim sendo, o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 161.

Figura 161 – Estágio 2 (equilíbrio do nó E) Fonte: Soriano (2006, p.246)

Uma vez realizados o equilíbrio e a transmissão anteriores, o ponto D fica desequilibrado em momento igual a +8kN.m que deve ser equilibrado em -8,0X0,4=-3,2kN.m pela barra 2 e 3 e em -8,0X0,2=-1,6kN.m pela barra 1, valores estes que são transmitidos às extremidades opostas das barras em função de seus coeficientes de transmissão. O equilíbrio de momentos e as respectivas transmissões continuam até

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que se atinja convergência de momentos nos nós D e E, com a precisão julgada adequada, como representado na Figura 162.

Figura 162 – Equilíbrio completo de momentos Fonte: Soriano (2006, p.247)

Uma vez que se atinja convergência desejada, somam-se as parcelas de momentos nas extremidades das diversas barras para obter os momentos fletores finais nessas extremidades como mostra a Figura 162. Esses momentos e o correspondente diagrama estão representados na Figura 163.

Figura 163 – Momentos Fletores finais Fonte: Soriano (2006, p.247)

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183

7.1.2 Exemplo de aplicação 12 (SORIANO, 2006) Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico da Figura 164 pelo Processo de Cross, sabendo que E=2,1x107kN/m², o momento de inércia para barras horizontais é I=10-2m4, e as demais barras têm I=1,4x10-2m4.

Figura 164 – Pórtico do exemplo 14 Fonte: Soriano (2006, p.249)

Substituindo o balanço pelo seu efeito estático tem-se o modelo representado na parte esquerda da Figura 165. Na parte direita dessa mesma figura, está representado o correspondente sistema hipergeométrico do método dos deslocamentos, com a indicação dos momentos de engastamentos perfeito calculados por meio das fórmulas apresentadas na Tabela 1 do Capítulo I.

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Figura 165 – Modelo de análise do sistema hipergeométrico Fonte: adaptada de Soriano (2006, p.249)

Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 166, com seus respectivos momentos de engastamento perfeito calculado a partir da Tabela 1 (apresentada no Capítulo I). Os cálculos destes coeficientes para os nós são:

Figura 166 – Coeficientes de distribuição e momentos de engastamento perfeito Fonte: adaptada de Soriano (2006)

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Observa-se que existe desequilíbrio de: no nó B, e no nó C,

No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado, neste caso o nó B. O primeiro nó é equilibrado, com a liberação da rotação na chapa 1. O equilíbrio do nó B resulta nas seguintes parcelas equilibrantes:

Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes, será transmitido ao nó C (que está engastado, pois não foi liberada a rotação da chapa 2) momento igual a 0,5X(-27,413)=-13,706kN.m.

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O nó B, com o momento de -27,413kN.m, -27,4137kN.m, -23,041kN.m e -28,800kN.m está equilibrado e colocaremos então, um traço abaixo dos mesmos para caracterizar o equilíbrio. Estando equilibrado o nó B, voltamos a colocar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo; a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada, pois o nó C não está em equilíbrio. Para conseguirmos, agora, o equilíbrio do nó C, liberamos a rotação da chapa 2, ficando o mesmo submetido a uma carga-momento de (-13,706-106,667+44,8+100)=+24,427kN.m. Esta será equilibrada por momentos iguais a:

Inverte-se sempre o sinal do momento desequilibrado para equilibrar o nó. Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente. Como na extremidade B C estão impedidas as rotações (pois, nesta fase, estamos liberando, apenas, a rotação da chapa 2), nela aparecerão momentos iguais ao produto do momento equilibrante pelo coeficiente de transmissão, ti (iguais no caso, a +0,5). Uma vez realizados o equilíbrio e a transmissão anteriores, o ponto B fica desequilibrado em momento igual a -5,96kN.m que deve ser equilibrado em 5,96X0,257=1,532kN.m pela barra 2 e 1, em 5,96X0,216=1,287kN.m pela barra 3 e em 5,96X0,279= 1,609kN.m, valores estes que são transmitidos às extremidades opostas das barras em função de seus coeficientes de transmissão. O equilíbrio de momentos e as respectivas transmissões continuam até que se

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atinja convergência de momentos nos nós D e E, com a precisão julgada adequada, como representado na Figura 167.

Figura 167 – Equilíbrio completo de momentos Fonte: Soriano (2006, p.250)

Uma vez que se atinja convergência desejada, somam-se as parcelas de momentos nas extremidades das diversas barras para obter os momentos fletores finais nessas extremidades como mostra a Figura 167. Esses momentos e o correspondente diagrama estão representados na Figura 168.

Figura 168 – Momentos Fletores finais Fonte: Soriano (2006, p.250)

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Importante atentar para a convenção de sinais apresentadas no Capítulo I para o desenho do diagrama de momentos fletores. A partir destes resultados, pode-se facilmente calcular as reações de apoio para a estrutura.

Considerações finais Diante dos exercícios expostos nota-se a grande facilidade dos cálculos realizados mediante o Processo de Cross. O processo resume-se em definir os coeficientes de distribuição de momentos e o cálculo dos momentos de engastamento perfeito. O desenvolvimento do problema se faz com simples multiplicações para equilíbrio dos momentos nos nós. Devido a isto, o Processo de Cross torna-se útil nas análises de estruturas, que muitas vezes exige uma solução manual para verificação de algum resultado, uma vez que, facilmente, consegue-se solucionar um problema sem a necessidade de montagem de um sistema de equações de equilíbrio cheio de variáveis. Se for estudada uma estrutura indeslocável com muitos nós internos, as incógnitas do problema serão todas as deslocabilidades internas. A solução dele seria feita calculando-se os inúmeros casos básicos e os respectivos coeficientes de rigidez. Ao final, seria necessária a montagem de um sistema composto por n equações quando houver n deslocabilidades. Já Processo de Cross, em um mesmo gráfico seria possível solucionar o mesmo problema, com menos esforço de cálculo.

Capítulo 8

Introdução à análise matricial de estrutura – método da rigidez direta Arthur Rosinski do Nascimento

Introdução Neste capítulo, será apresentado o Método da Rigidez Direta, um procedimento que fornece a base para a maioria dos programas de computador utilizados para analisar estruturas. O método pode ser aplicado em quase todos os tipos de estrutura, por exemplo, treliças, vigas contínuas, pórticos indeterminados, placas e cascas. Quando é aplicado em placas e cascas (ou outros tipos de problemas que podem ser subdivididos em elementos bidimensionais e tridimensionais), o método é chamado de método dos elementos finitos. Este capítulo subsidiará uma transição dos métodos clássicos de análise manual, como o Método dos Deslocamentos ou o Método das Forças, para a análise por computador, que segue um conjunto de instruções programadas. Antes dos computadores, as equipes de engenheiros podiam demorar vários meses para produzir uma análise aproximada de um pórtico espacial tridimensional altamente indeterminado. Atualmente, entretanto, uma vez que o engenheiro especifique as coordenadas dos nós, o tipo de nó (articulado ou fixo), as propriedades das barras e a distribuição das cargas aplicadas, o programa de computador pode produzir uma análise exata em poucos minutos. A saída do computador especifica as forças em todas as barras, as reações e os

componentes de deslocamento de nós e apoios. Assim, este capítulo vem apresentar uma metodologia altamente confiável, baseada no Método dos Deslocamentos, para análises de estruturas que podem ser implementadas em computadores para a análise estrutural. Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Martha (2010) feitas as devidas considerações do autor deste material.

Objetivos • Apresentar o Método da Rigidez Direta; • Compreender os principais conceitos da análise matricial de estruturas; • Comparar o Método da Rigidez Direta com o Método dos Deslocamentos; • Organizar o raciocínio para a montagem das matrizes de rigidez global da estrutura, assim como a montagem dos vetores de deslocamentos e forças nodais; • Entender como é feito o cálculo das reações de apoio pelo Método da Rigidez Direta.

Esquema • Método da Rigidez Direta • • • • •

Sistema de coordenadas generalizadas Matriz de rigidez de uma barra no sistema local Matriz de rigidez local no sistema global Montagem da matriz de rigidez global Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais • Imposição de equilíbrio aos nós isolados • Considerações das condições de apoio

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8.1 Método da rigidez direta 8.1.1 Sistema de Coordenadas Generalizadas Uma das características mais marcantes do método dos deslocamentos é a soma de contribuições de coeficientes de rigidez locais das barras para compor os coeficientes de rigidez globais da estrutura. Entretanto, para poder efetuar a soma de coeficientes de rigidez locais de várias barras, é preciso que esses coeficientes estejam definidos no mesmo sistema de eixos. Ocorre que os coeficientes de rigidez locais se referem a direções dos eixos locais da barra. Para somar os coeficientes de rigidez locais deve-se projetá-los previamente para um sistema de eixos único. Coordenadas generalizadas são direções associadas aos graus de liberdade (ou deslocabilidades) de uma barra ou de uma estrutura. As coordenadas generalizadas globais são as direções utilizadas para definir os graus de liberdade globais (da estrutura). As coordenadas generalizadas locais (do elemento de barra) são as direções utilizadas para definir as deslocabilidades locais. Para uma barra, as coordenadas generalizadas locais podem estar associadas tanto às direções dos eixos locais (ou do sistema local) quanto às direções dos eixos globais (ou do sistema global). A Figura 169 ilustra a diferença entre os sistemas de coordenadas locais e globais.

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Figura 169 – Sistema de coordenadas Fonte: Martha (2010, p.422)

8.1.2 Matriz de rigidez de uma barra no sistema local RELEMBRANDO : coeficiente de rigidez de barra no sistema local: força ou

momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isolada, na direção da deslocabilidade , para equilibrá-la quando a deslocabilidade é imposta (com valor unitário), isoladamente, em uma das suas extremidades. A Figura 170, no seu topo, a configuração deformada de uma barra isolada e o conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades da barra, paralelamente a seus eixos locais, para equilibrá-la nessa configuração. Essas forças e momentos são definidos como:

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: força generalizada de barra no sistema local: força ou momento que

atua na direção da deslocabilidade

de uma barra quando ela é isolada.

Figura 170 – Coeficientes de rigidez para viga bi engastada Fonte: adaptada de Martha (2010)

A superposição de configurações deformadas elementares mostrada na Figura 170 resulta em uma relação entre cada força nodal generalizada e as deslocabilidades da barra. Por exemplo, a força total é obtida pela soma das forças axiais na extremidade esquerda da barra, resultando em: . Analogamente, a força total é obtida pela soma das forças transversais na extremidade esquerda da barra, resultando em:

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. Generalizando para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra, pode-se escrever a seguinte relação matricial:

A Equação anterior também pode ser escrita de uma forma condensada:

Sendo,  vetor das forças generalizadas de barra no sistema local: conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra (nas direções dos eixos locais) para equilibrá-la quando isolada.  matriz de rigidez de uma barra no sistema local: matriz dos coeficientes de rigidez locais nas direções dos eixos locais.  vetor das deslocabilidades de barra no sistema local: conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos locais.

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8.1.3 Matriz de rigidez local no sistema global O objetivo desta seção é definir outra versão da matriz de rigidez da barra. Esta versão relaciona forças e momentos que atuam nas extremidades da barra, nas direções das coordenadas generalizadas globais, com deslocamentos e rotações das extremidades nas mesmas direções, como apresentado na Figura 171, para uma barra com inclinação arbitrária dada pelo ângulo θ.

Figura 171 – Forças generalizadas e deslocabilidades no sistema global Fonte: Martha (2010, p.422)

 deslocabilidade local (de barra) no sistema global: deslocamentos, na direção de um dos eixo globais X ou Y, ou rotação em extremidade de uma barra. Os índices 1 e 4 estão relacionados com deslocabilidades horizontais, isto é, na direção do eixo global X. Os índices 2 e 5 são usados para as deslocabilidades na direção do eixo vertical Y, e os índices 3 e 6 referem-se às rotações nas extremidades. força generalizada local (de barra) no sistema global: força ou momento que atua na direção da deslocabilidade de uma barra para equilibrá-la quando ela é isolada.

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coeficiente de rigidez local (de barra) no sistema global: força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isolada, na direção da deslocabilidade , para equilibrá-la quando a deslocabilidade é imposta (com valor unitário), isoladamente, em uma das suas extremidades. De maneira análoga ao que foi feito na seção anterior, temos a seguinte relação matricial:

A Equação anterior também pode ser escrita de uma forma condensada:

Sendo,  vetor das forças generalizadas de barra no sistema global: conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra (nas direções dos eixos globais) para equilibrá-la quando isolada.  matriz de rigidez de uma barra no sistema global: matriz dos coeficientes de rigidez locais nas direções dos eixos globais.

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 vetor das deslocabilidades de barra no sistema global: conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos globais. É possível formular uma transformação da matriz de rigidez no sistema local de uma barra genérica, com qualquer inclinação, para a matriz no sistema global. Para tanto, é preciso relacionar as deslocabilidades da barra no sistema local com as deslocabilidades no sistema global, como segue.

Figura 172 – Deslocabilidades no sistema local e global Fonte: Martha (2010, p.424)

Com base na figura anterior, pode-se obter as deslocabilidades locais em função das globais:

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Essas relações podem ser representadas de forma condensada: , sendo o vetor das deslocabilidades da barra no sistema local e uma matriz de transformação por rotação:

A matriz é ortogonal, ou seja, . Por causa disso, podemos obter as deslocabilidades do sistema global da seguinte forma:

Uma análise semelhante pode ser feita para obtermos as forças generalizadas do sistema global da seguinte forma:

Com base nestas equações, podemos chegar na seguinte relação, muito importante para a montagem da matriz de rigidez global.

8.1.4 Montagem da matriz de rigidez global O método dos deslocamentos determina a matriz de rigidez global de um modelo por superposição de casos básicos. Em cada caso

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199

básico, é imposta uma configuração deformada que isola o efeito de um grau de liberdade global. Pode-se dizer que esse procedimento faz a montagem da matriz de rigidez global por coluna, pois a j-ésima coluna da matriz de rigidez global corresponde ao conjunto de forças e momentos que atua nas direções das coordenadas generalizadas globais para equilibrar a estrutura quando se impõe uma configuração deformada com grau de liberdade . A matriz de rigidez global é montada, considerando todos os graus de liberdade, inclusive os que podem estar com restrições de apoio. O procedimento característico do método da rigidez direta é o da montagem da matriz por barra. Tais procedimentos montam a matriz de forma direta, somando as contribuições das matrizes de rigidez das barras, uma de cada vez, o que será explicado a seguir. Este raciocínio pode ser generalizado da seguinte forma: os coeficientes da matriz de rigidez de uma barra contribuem apenas para os termos da matriz de rigidez global associados às coordenadas generalizadas globais dos nós inicial e final da barra. A Figura 174 mostra um exemplo para explicar como é feito o relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais. As matrizes de rigidez locais das barras no sistema global são ilustradas para esquerda, com o índice da barra identificando cada matriz. Nos desenhos representativos das matrizes, somente os coeficientes da rigidez locais não nulos são mostrados. Na parte superior direita da mesma figura são identificadas as barras e as deslocabilidades sequenciais em coordenadas generalizadas globais em cada barra.

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A barra 1 possui as deslocabilidades 1, 2, 3, 7, 8 e 9. Como a matriz de rigidez global é montada por coluna e cada coluna corresponde ao conjunto de forças e momentos que atua nas direções das coordenadas generalizadas globais para equilibrar a estrutura quando se impõe uma configuração deformada com grau de liberdade , então serão avaliadas somente as colunas 1, 2, 3, 7, 8 e 9. As linhas correspondem ao coeficiente de rigidez da barra 1 nas coordenadas globais, quando a deslocabilidade

.

Assim, quando , devemos preencher a coluna 1 da matriz de rigidez da barra 1. Impondo-se esta deslocabilidade no valor unitário, é necessário avaliar, quais rigidezes locais em coordenadas globais aparecerão. Esta análise é feita de acordo com as soluções fundamentais. No caso de , a solução fundamental apresentada no Capítulo I é:

Figura 173 – Solução fundamental Fonte: Martha (2010, p.278)

Percebe-se que quando é imposto este deslocamento, teremos coeficientes de rigidez local em coordenada global nas direções das deslocabilidades . Desta forma, as linhas 1, 3, 7 e 9 da coluna 1 devem ser preenchidas com os valores dos coeficientes de rigidez apresentados na figura anterior, em coordenadas generalizadas globais.

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Esta análise é feita para cada deslocabilidade da barra 1, preenchendo assim a matriz de rigidez da barra 1. Concluída a barra 1, faz-se os mesmos procedimentos para as demais barras.

Figura 174 – Matrizes de rigidez local e global Fonte: Martha (2010, p.428)

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Em uma etapa de inicialização, a matriz de rigidez global é criada com todos os coeficientes nulos. Em seguida, a contribuição de cada uma das barras, uma de cada vez, é somada na matriz . Ao final, depois de todas as barras terem sido consideradas, a matriz de rigidez global está completa. Outro exemplo é apresentado a seguir para um pórtico plano.

Figura 175 – Montagem da matriz de rigidez global Fonte: Martha (2010, p.430)

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PARADA OBRIGATÓRIA 1. Considerando ngl o número de graus de liberdade por nó, no caso de pórtico plano ou grelha, ngl=3; para treliças (como as rotações nodais não são levadas em conta), ngl=2; e em pórtico espacial (em que cada nó tem potencialmente três componentes de deslocamento e três componentes de rotação), ngl=6; 2. As coordenadas generalizadas globais são numeradas seguindo a ordenação da numeração dos nós; 3. A matriz está sendo montada para a estrutura solta no espaço, isto é, nenhum nó tem restrição de apoio e todos os graus de liberdade do modelo estão sendo considerados. Dessa forma, a dimensão da matriz (quadrada), que é igual ao número total de graus de liberdade, é n=nn.ngl, sendo nn o número de nós.

8.1.5 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais O comportamento do modelo estrutural é representado por parâmetros associados aos nós, que são os pontos de discretização. Todas as solicitações desse modelo discretizado são convertidas em cargas nodais combinadas, que consideram os efeitos dos carregamentos atuantes no interior das barras e as cargas nodais propriamente ditas. Para generalizar: • Cargas nodais propriamente ditas são as cargas nodais que, no carregamento original da estrutura, atuam diretamente sobre os nós da discretização;

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• Cargas equivalentes nodais são as cargas nodais que são provenientes do engastamento perfeito dos elementos de barra com sentidos invertidos; • Cargas nodais combinadas é resultado da combinação das cargas nodais propriamente ditas com as cargas equivalentes nodais; • Força nodal generalizada global ( ) é a componente de força ou momento que atua na direção do grau de liberdade , resultante da superposição de cargas nodais combinadas e componentes de reação de apoio; • Vetor das forças nodais generalizadas globais ( ) é o conjunto de todas as forças nodais generalizadas globais. As cargas nodais combinadas e as reações de apoio formam o vetor das forças nodais generalizadas do modelo. A dimensão desse vetor é a dimensão da matriz de rigidez global completa, isto é, o número de termos é igual a n=nn.ngl. O procedimento se dá em duas etapas. A Figura 176 ajuda-nos a entendê-las.

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Figura 176 – Transformação das reações de engastamento perfeito das barras para o sistema global Fonte: Martha (2010, p.432)

Na primeira etapa, as reações de engastamento perfeito das barras carregadas, nos seus sistemas locais são transformadas para o sistema global (como apresentado na figura anterior). Genericamente, as reações de engastamento de uma barra solicitada externamente são agrupadas em um vetor: • Vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no seu sistema local ( ) é o conjunto de forças e momentos que atua nas extremidades de uma barra (nas direções dos eixos locais) para equilibrá-la quando há uma solicitação externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas.

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As reações de engastamento no sistema local podem ser convertidas para o sistema global da seguinte maneira:

• Vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no seu sistema global ( ) é o conjunto de forças e momentos que atua nas extremidades de uma barra (nas direções dos eixos globais) para equilibrá-la quando há uma solicitação externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas. Na segunda etapa do procedimento de montagem das cargas nodais combinadas no vetor as reações de engastamento das barras carregadas, no sistema global, são convertidas para as cargas equivalentes nodais, com sentidos invertidos. • Vetor das cargas equivalentes nodais de uma barra no sistema global ( é o conjunto de forças e momentos que atua nos nós adjacentes a uma barra (nas direções dos eixos globais), resultante do transporte do carregamento que atua no interior da barra. As cargas equivalentes nodais correspondem a reações de engastamento perfeito da barra carregada transportadas para os nós, com sentidos invertidos.

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Figura 177 – Formação das cargas nodais combinadas Fonte: Martha (2010, p.434)

• Vetor das cargas nodais propriamente ditas no sistema global ( ) é o conjunto de forças e momentos externos que atua diretamente sobre os nós (nas direções dos eixos globais). De maneira informal, pode-se escrever a seguinte expressão para a montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças nodais generalizadas globais:

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8.1.6 Imposição de equilíbrio aos nós isolados O método da rigidez direta é apenas uma roupagem diferente para o método dos deslocamentos. A relação , fornece o conjunto de forças generalizadas locais que atua nas extremidades da barra (nas direções dos eixos globais) para equilibrá-la em uma dada configuração deformada com valores arbitrários para as deslocabilidades do vetor . Essas forças generalizadas representam o efeito dos nós sobre a barra. O efeito da barra sobre seus dois nós é igual, mas com sentido invertido (ação e reação). Pode-se, então, definir como o vetor das deformações de uma barra sobre seus nós no sistema global. O somatório das contribuições de de todas as barras, resulta em:

Sendo o vetor dos efeitos das deformações de todas as barras de um modelo sobre os nós no sistema global. Portanto, , na qual graus de liberdade globais do problema discreto.

é o vetor dos

Para garantir o equilíbrio de forças e momentos, temos: 

Esse sistema representa o equilíbrio de todos os nós da estrutura, inclusive os s por apoio, nas direções de todos os graus de liberdade. Alguns termos do vetor são conhecidos (restrições de apoio). Os termos correspondentes a estes do vetor são desconhecidos (reações de apoio).

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8.1.7 Consideração das condições de apoio A multiplicação entre matrizes apresentadas na seção anterior resulta em um sistema de equações semelhantes ao apresentado no método do deslocamento, porém com solução indeterminada. Para que se possam calcular as reações de apoios e, obter então, os diagramas de esforços internos, pode seguir a seguinte metodologia de cálculo, subdividindo a equação em dois sistemas: e

Nessas equações, o subscrito “l” se refere a livre, e o “f” se refere a fixo. O particionamento do sistema permite a identificação dos seguintes valores:  vetor dos graus de liberdade globais livres: são as incógnitas do problema (desconhecidas);  vetor das cargas nodais combinadas nas direções dos graus de liberdade livres (conhecidas);  vetor dos graus de liberdade globais fixo: são os valores impostos pelas restrições de apoio (conhecidos); em geral, são nulos, a não ser para recalques de apoio (conhecidos);  vetor das forças nodais generalizadas nas direções dos graus de liberdade fixos: são as componentes de reações de apoio (desconhecidas).

210

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Assim, a primeira das duas equações anteriores, pode ser escrita como:

O lado direito desta equação tem valores conhecidos e corresponde exatamente ao sistema obtido pelo método dos deslocamentos, que só considera deslocabilidades globais livres . A solução desse sistema resulta na determinação dessas deslocabilidades. Reflita As restrições de deslocamentos (translacionais e rotacionais) são dadas pelas condições de apoio do modelo. Por exemplo, um apoio de primeiro gênero restringe a translação na direção que está orientado. Um apoio de segundo gênero restringe as translações na direção que está orientada e perpendicular a ela. E um engaste, restringe a rotação e as duas translações possíveis. Desta forma, as deslocabilidades dos nós coincidentes com os apoios, devem ser nulos, conforme a restrição gerada pelos mesmos, a não ser que hajam deslocamentos prescritos (recalques) nestas direções.

Nas situações em que não há recalques, o termo geralmente corresponde a um valo nulo. Assim, as deslocabilidades livres são obtidas pelo sistema:

Calculados os valores de

, a segunda, das duas equações citadas

anteriormente, fornece diretamente os valores das reações de apoio:

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A partir das reações de apoio mas de esforços.

211

podem-se obter todos os diagra-

Considerações finais O Método da Rigidez Direta se faz importante para entender como são calculadas, de forma generalizada, as estruturas nos computadores e, também, por ser fundamental o seu entendimento para o Método dos Elementos Finitos, sendo este uma técnica mais refinada para as análises estruturais. Seus conceitos são praticamente idênticos aos apresentados no Método dos Deslocamentos, porém tratados de forma matricial e mais generalizada, sem tratar as restrições nos apoios como uma forma de reduzir as deslocabilidades ou graus de liberdade. A grande dificuldade deste método está na montagem da matriz de rigidez global, em que é preciso realizar as conversões de coordenadas locais para globais para somar cada uma das contribuições nas direções das deslocabilidades. Percebe-se que as condições de contorno dos vínculos só são levadas em consideração depois de realizada a montagem do equilíbrio dos nós. Sendo esta uma das diferenças com o Método dos Deslocamentos. As situações de recalques de apoios, também são inseridas depois da montagem do equilíbrio dos nós. O Método da Rigidez Direta possui uma única forma de solução para a análise de estruturas, sendo este o principal motivo deste método ser utilizado nas programações dos softwares de análises computacionais.

212

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CONCLUSÃO A grande maioria das estruturas de engenharia são estaticamente indeterminadas. Assim, a sua compreensão e entendimento é fundamental para todos os engenheiros. Os principais métodos de análise destas estruturas são o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. O objeto de estudo deste livro foi o Método dos Deslocamentos. Neste, foram abordadas várias situações básicas de análises, que foram escolhidas para que o(a) aluno(a) conseguisse visualizar o problema e a metodologia dos cálculos para chegar à solução do problema. Ao final da disciplina foram abordados os conceitos básicos para uma análise matricial de estruturas, que são utilizadas para implementação em programações computacionais. Hoje em dia, praticamente todos os escritórios de projetos fazem o uso dos softwares para análises das estruturas com a finalidade de otimização do tempo. Porém, os softwares são apenas uma ferramenta de auxílio para análise e dimensionamentos estruturais e não devem ter suas saídas como verdades absolutas, pois como todas as máquinas, elas são íveis de erros. Grandes falhas de engenharia ocorrem pela falta de verificação e alta confiança dos engenheiros nos resultados dos programas computacionais. Um bom engenheiro estrutural deve sempre duvidar das soluções apontadas pelos softwares e realizar algumas verificações manuais. Assim, a aplicação do Método dos Deslocamentos tem grande utilidade nestas verificações, para que se possa verificar os esforços e deslocamentos nas estruturas que forem necessárias.

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Referências LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010. MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. MOREIRA, D. F. Análise matricial de estruturas. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1977. OLIVEIRA JÚNIOR, L. A. Teoria das estruturas II: Método dos deslocamentos e Processo de Cross (apostila). Pontifícia Universidade Católica de Goiás. Goiânia, 2012. PINHEIRO, L. M et al. Tabelas de vigas: deslocamentos e momentos de engastamento perfeito. Universidade de São Paulo (EESC). São Carlos, 2010. SORIANO, H. L. Análise de estruturas: Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural: Método das Deformações e Processo de Cross. 7. ed. Volume III. Rio de Janeiro: Globo, 1987. ______. Curso de análise estrutural: deformação em estruturas e Método das Forças. 4. ed. Volume II. Rio de Janeiro: Globo, 1987.

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