Teorema De Los Ejes Perpendiculares 62x9

TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES Este teorema establece que, para un sistema rígido plano, el momento de inercia respecto de un eje perpendicular al sistema, es igual a la suma de los momentos de inercia contenidos en el plano de sistema y concurrente con el primero. La demostración es fácil. Consideremos un cuerpo plano situado sobre el plano coordenado XY (Figura 7.5); el momento de inercia respecto al eje OZ, Izz, vendrá dado, de acuerdo con

2

I eje=∫ δ dm

, por:

I zz =∫ ( y 2+ x 2 )dm=∫ y 2 dm+∫ x 2 dm Donde

(x , y )

(1)

son las coordenadas del elemento de masa dm. Ahora bien, por estar

el cuerpo sobre el plano XY, la primera integral del último miembro de (1) es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje OX, Ixx, en tanto que la segunda corresponde al momento de inercia respecto del eje OY, Iyy, de modo que la ecuación anterior se reduce a: I zz =I xx + I yy Lo que demuestra nuestra proposición. Momento Polar de Inercia El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por J. Momento polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par. Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión y es necesario para calcular el desplazamiento. Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.

Limitaciones El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complejo que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria. Definición El momento polar de Inercia de un área con respecto a un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano. J zz =I xx + I yy TEOREMA DE STEINER El teorema de Steiner, también llamado de los ejes paralelos, establece que el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje cualquiera (Ieje), es igual a la suma de su momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por su centro de masas (ICM) y el producto de la masa del sistema (m) por la distancia entre ambos ejes al cuadrado (d2). I eje=I CM +m d 2

Para su demostración, procederemos como sigue. El momento de inercia de un sólido rígido, respecto de un eje viene dado por elemento de masa

dm

2

I eje=∫ δ dm , donde

δ

es la distancia del

al eje (Figura 7.6). Si O es un punto cualquiera del eje, y

denotamos por u a un versor característico de la dirección del mismo, entonces: δ =|r ×u|

Siendo r el vector posición de Figura 7.6 '

r=r + R

dm

(2)

respecto de O. Por otra parte, de acuerdo con la (3)

Donde

r

'

es el vector de posición de

dm

respecto del centro de masas, y

R , el

vector de posición de este punto respecto de O. (4)

De acuerdo con (2) y (3), se tiene: 2

2

δ=[( r ' + R)×u ] =[ ( r ' × u ) +(R × u)] =(r × u)2 +(R× u)2+2 ( r ' ×u ) ∙( R ×u)

Llevando (4) a

2

I eje=∫ δ dm , y considerando nuevamente la Figura 7.6, se infiere:

δ ¿ ¿ ¿2 ¿ I eje=∫ ¿

(5)

El primer término del segundo miembro de la ecuación anterior, es el momento de inercia del sistema respecto de un eje paralelo al dado, por el centro de masas; el 2 2 segundo término, y dado d es constante vale md , siendo m la masa total del sistema (

∫d m

) y el último término es nulo, dado que:

∫ (r ' ×u) dm=[∫ r ' dm] ×u y

∫ r ' dm=r CM ∙ m Por definición de centro de masas, siendo

r CM

el vector de posición de este punto en

el referencial considerado, ahora bien, en dicho referencial, el centro de masas coincide r CM =0 con el origen de coordenadas, por lo que , quedando así completada la demostración, y por consiguiente, la validez de: I eje=I CM +m d 2