Teorema De Bayes 72176b

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TEOREMA DE BAYES Estudiante de ingenieríaelectrónica VIsemestre Jhon Alexander Díaz Acevedo. Universidad de Cundinamarca Colombia/Cundinamarca/Fusagasugá [email protected].

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1. INTRODUCCIÓN Todo comenzó cuando dos sacerdocios se enfrentaban en conflicto, en la época en donde la ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación. Uno de estos personajes estaba dedicado al modelamiento del carácter mediante la religión y el otro el sacerdote Thomas Bayes a la educación del intelecto mediante la ciencia. Entonces Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote y como matemático, estaba afectado por las relaciones causa ± efecto.Tanto el teorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de él derivado han producido una revolución en nuestro tiempo. 2. EL TEOREMA La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidadescondicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. Apartir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calculaun conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas queuna modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado sucesoha ocurrido.[1] La fórmula de Bayes sirve para el cálculo de las probabilidades conocidas P(Ak/B), en donde los sucesos Akde un sistema completo {A1, A2,«, An} de sucesos con respecto un suceso B de probabilidad

positiva (k=1, 2,«, n), a partir de las probabilidades P(Ai) y de las probabilidades conocidas (P/Ai) (i=1, 2,«, n). [2] Se supone el evento A1, A2,«, Anque forma una partición en el espacio muestralS. Todos los eventos Ai son mutuamente excluyentes yX i=1Ai= S. Sea Botro evento: S B = (A1 A2 ... An) B Las intersecciones excluyentes. [3]

AiB

son

mutuamente

El comportamiento de este análisis en donde se encuentran un conjunto de probabilidades A y las intersecciones que hay entre ellas teniendo en cuenta un punto central B, se puede observar a continuación en la figura 1.

Figura 1. Gráfica concerniente al teorema de Bayes.

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c c Entonces la fórmula para la ley de Bayes sería la siguiente: (1)

En forma más general y simplificada y haciendo uso de la notación de la referencia [2], en donde · es igual a en la referencia [3], siendo en este caso unsigno para la sumatoria, la formula queda de la siguiente manera: (2)

Teniendo en cuenta lo anterior se hace un poco confuso como funciona este teorema, es por ello que a continuación se mostrarandos ejemplos muy sencillos de cómo se debe utilizar la formula en determinado caso, además se hace necesario la utilización del diagrama de árbol (el cual no se explica en este documento ya que se asume que hay un conocimiento previo de este).

Ejemplos:

cc Tenemos tres urnas: ccon 3 bolas rojas y 5 negras, c con 2 bolas rojas y 1 negra y ccon 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

! cc Llamamos "= "sacar bola roja" y #= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos "co #ara cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es $%&"'. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

c(cc El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

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c c Ë. Conclus ones El teorema de Bayes resulta algo sencillo ya que solo hay que tomar la variable principal de la que se quiere saber la probabilidad y dejarla en el numerador teniendo en cuenta los parámetros de la formula, luego se hace la sumatoria de todas las variables que se tienen en el problema y se dejan en el denominador, de esta manera la división resultante es la probabilidad que se quiere saber. Las aplicaciones con el teorema de bayes son casi infinitas, ya que con esta fórmula se pueden hacer muchos ejercicios en donde se necesita hallar la probabilidad de un aspecto en general, además teniendo en cuenta el diagrama de árbol esta tarea se vuelve muy sencilla.

V l ografía [1] Universidad Nacional De La Patagonia, teorema de Bayes, disponible en la página de internet: www.economicasunp.edu.ar/02-EGrado/materias/.../ ayes.pdf [2]GertMaibaun, Teoría de probabilidades y estadística matemática, editorial pueblo y educación, 1987, capítulo 3, pág. 49. [3] presentación, Teorema de Bayes, disponible en la página de internet: www.icesi.edu.co/~jjmora/pdfs/bayes.pdf