Taller Calculo 3 Abril.docx r6c17

Ejercicio 1: Desarrollar los siguientes ítems: i.

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 determinar utilizando los criterios de la primera y segunda derivada, los puntos máximos, mínimos, las concavidades y los intervalos donde la función es creciente o decreciente.

Máximos y mínimos: 𝑑𝑓 = 3𝑥 2 − 6𝑥 = 0 𝑑𝑥 𝑥(3𝑥 − 6) = 0 𝑥 =0𝑦𝑥 =2 𝑓(0) = 4 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓(2) = 23 − 3 ∗ 22 + 4 = 0 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 Concavidades: 𝑑2 𝑓 = 6𝑥 − 6 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑓 (0) = −6 < 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑓 (2) = 12 − 6 = 6 > 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑑𝑥 2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 𝑑𝑓 (−1) = 3(−1)2 − 6(−1) = 9 → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑓 (1) = 3(1)2 − 6(1) = −6 → 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑓 (3) = 3(3)2 − 6(3) = 9 → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 (−∞, 0) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (0,2) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (2, ∞) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 ii.

Siga los siguientes pasos

- Graficar la función anterior usando Geogebra.

- Tomar un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los resultados encontrados en el ítem i. (máximos, mínimos, puntos de inflexión e intervalos positivos o negativos de la función)

- Verifique que los resultados del ítem i. se ajustan a la gráfica realizando en Geogebra.

La primera derivada es cero en 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2 La primera derivada es 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎: (−∞, 0) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎: (0,2) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎: (2, ∞) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

La segunda derivada es negativa en 𝑥 = 0 𝑦 positiva en 𝑥 = 2 La segunda derivada cambia de signo en 𝑥 = 1, es decir el punto de inflexión es 𝑥 = 1 Ejercicio 2: Desarrollar los siguientes ítems: i.

Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 determinar utilizando los criterios de la primera y segunda derivada, los puntos máximos, mínimos, las concavidades y los intervalos donde la función es creciente o decreciente.

Máximos y mínimos: 𝑑𝑓 = 6𝑥 2 − 6𝑥 = 0 𝑑𝑥 𝑥(6𝑥 − 6) = 0 𝑥 =0𝑦𝑥 =1 𝑓(0) = 3 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓(2) = 2 ∗ 23 − 3 ∗ 22 + 3 = 2 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

Concavidades: 𝑑2 𝑓 = 12𝑥 − 6 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑓 (0) = −6 < 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑓 (2) = 24 − 6 = 18 > 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑑𝑥 2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 𝑑𝑓 (−1) = 6(−1)2 − 6(−1) = 12 → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑓 (0.5) = 6(0.5)2 − 6(0.5) = −1.5 → 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑓 (3) = 6(3)2 − 6(3) = 36 → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑥 (−∞, 0) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (0,1) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (1, ∞) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

ii.

Siga los siguientes pasos.

- Graficar la función anterior usando Geogebra. - Tomar un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los resultados encontrados en el ítem i. (máximos, mínimos, puntos de inflexión e intervalos positivos o negativos de la función)

- Verifique que los resultados del ítem i. se ajustan a la gráfica realizando en Geogebra.

La primera derivada es cero en 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1

La primera derivada es 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎: (−∞, 0) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎: (0,1) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎: (1, ∞) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

La segunda derivada es negativa en 𝑥 = 0 𝑦 positiva en 𝑥 = 1 La segunda derivada cambia de signo en 𝑥 = 0.5, es decir el punto de inflexión es 𝑥 = 0.5

Paso 4 – Métodos de derivación Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, G. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 109-125). Desarrollar los siguientes ejercicios de cálculo de derivadas. Ejercicio 1. Complete la igualdad según el método de derivación.

a) 𝑓 ′ (𝑥) ± 𝑔′ (𝑥) b) 𝑓’(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥)

c)

𝑓′ (𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) (𝑔(𝑥))

2

d) 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔′(𝑥) Ejercicio 2. Derivar las siguientes funcione aplicando los métodos de derivación paso a paso.

a)

1 2√cos(𝑥)(𝑥 2 +1)

∗ [−𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) ∗ (𝑥 2 + 1) + cos(𝑥 ) ∗ 2𝑥]

b) 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) ∗ −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1 𝑥

c) 𝑒 ∗ (−

d)

1 𝑥2

)

−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)∗𝑒 2𝑥 −2 cos(2𝑥)∗𝑒 2𝑥 𝑒 4𝑥