Supuestos Del Anova Completamente Al Azar 4o1w4b

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NOMBRES: KAORLI ALDAZ- CLAUDIO TORRES FECHA: 2014-05-07 TEMA: VERIFICACIÒN DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO DCA SUPUESTOS DEL ANOVA COMPLETAMENTE AL AZAR. Aditividad: Los factores o componentes del modelo estadístico son aditivos, es decir la variable respuesta es la suma de los efectos del modelo estadístico. Linealidad: La relación existente entre los factores o componentes del modelo estadístico es del tipo lineal. Normalidad: Los valores resultado del experimento provienen de una distribución de probabilidad Normal con media y variancia . Independencia: Los resultados observados de un experimento son independientes entre sí. Variancias Homogéneas (Homocedasticidad): Las diversas poblaciones generadas por la aplicación de dos o más tratamientos tienen varianciashomogéneas (variancia común). Verificación de los supuestos del modelo en el DCA.- Consideremos el modelo en el DCA.

El modelo es un modelo teórico que se supone describirá lo que ocurra en el experimento. Cuando se realiza el ANOVA y sólo si éste resulta significativo, entonces se procede estimar el modelo ajustado o modelo de trabajo dado por:

estimado del tratamiento i; los gorros indican que son estimadores, es decir, valores calculados a partir de los datos del experimento. El término del error desaparece del modelo estimado por el hecho de que su valor esperado, es igual a cero (E("ij) = 0). Como la media global se estima con Y y el efecto del tratamiento i con Y i Y, el modelo ajustado del DCA se puede escribir como:

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La respuesta predicha para cada observación es la media muestral del tratamiento correspondiente. El residual o residuo asociado a la observación Yij se define como la diferencia entre Yij y el valor predicho Yij por el modelo, es decir:

En el DCA los residuos se obtienen restando a cada valor observado la media muestral del tratamiento a que pertenece. Los N residuos eij representan una muestra aleatoria de la variable "ij:Los supuestos del modelo lineal en términos de los residuos, suponen que: 1. Los eij. siguen una distribución normal con media cero. 2. Los eij son independientes entre sí. 3. Los tratamientos tienen una varianza constante Pruebas gráficas.- Para comprobar cada supuesto existen pruebas analíticas y gráficas. Las pruebas gráficas se pueden aplicar razonablemente con pocos datos, cosa que no sucede con las pruebas analíticas; estas últimas pierden drásticamente su potencia con pocos datos. El inconveniente que tienen las gráficas es que no son “exactas”, aun así, proporcionan la evidencia suficiente en contra o a favor de los supuestos. Su uso requiere fuerte evidencia visual para concluir que el supuesto en cuestión no se cumple, requiere que la evidencia en contra de un supuesto esté soportada por más de dos puntos. Cuando es uno o dos los puntos que se salen del comportamiento esperado de las gráficas se puede tratar de un problema de puntos aberrantes, no de violación del supuesto en cuestión. En este caso debe investigarse la obtención de dichas mediciones atípicas, ya que ese tipo de puntos pueden afectar sensiblemente los resultados del análisis. Es mejor prevenir en lo posible que los supuestos no se violen, aplicando los tres principios básicos del diseño de experimentos: repetición, aleatorización y bloqueo. Es fácil encontrar situaciones en las que por no aplicar alguno de estos principios, no se cumple alguno de los supuestos del modelo. No aleatorizar el orden en que se corren las pruebas colleva a que no se cumpla el supuesto de independencia. NORMALIDAD.- Un procedimiento para verificar el cumplimiento del supuesto de normalidad de los residuos, consiste en graficar los residuos en papel o gráfica de probabilidad normal que se incluye casi en todos los paquetes estadísticos. Esta gráfica

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tiene las escalas de tal manera que si los residuos siguen una distribución normal, al graficarlos deben tender a estar alineados en una línea recta; si claramente no se alinean se concluye que el supuesto de normalidad no se cumple. El ajuste de los puntos a una recta no tiene que ser perfecto, dado que el análisis de varianza resiste pequeñas y moderadas desviaciones al supuesto de normalidad. Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad.- Consideremos una muestra aleatoria de datos X1; X2; :::; Xn que proceden de cierta distribución desconocida. Se quiere verificar si dichos datos fueron generados por un proceso normal mediante las hipótesis estadísticas:

Los pasos para la prueba de Shapiro-Wilks son: 1. Se ordenan los datos de menor a mayor. Denotemos los datos ordenados por X(1); X(2); :::; X(n). 2. De la tabla Shapiro-Wilks para este procedimiento, se obtienen los coeficientes a a1; a2; :::; ak, donde k es aproximadamente n=2. 3. Se calcula el estadístico W de…nido como:

Donde S2 es la varianza muestral 4. Si el valor W del estadístico es mayor que su valor crítico al nivel seleccionado en la tabla , se rechaza la normalidad de los datos. Normalidad de los efectos: se refiere a que las respuestas Yij deben poseer una distribución normal dentro de cada grupo de tratamiento. Para verificar su cumplimiento se plantean las hipótesis: Ho: La distribución de cada tratamiento es normal H1: La distribución de cada tratamiento no es normal La prueba que utilizamos en este caso es la de Shapiro-Wilk para muestras pequeñas y Kolmogorov-Smirnov para muestras grandes. Aunque la Prueba de Shapiro-Francia es

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equivalente a la de Kolmogorov-Smirnov. Se dice que existe normalidad en los datos cuando al ser graficados los residuos se observe claramente que tienden a estar colocados en la gráfica de tal modo que se presente una línea recta; si los puntos no se alinean claramente se puede concluir que no se cumple con este supuesto (los datos provienen de una población con distribución normal). El ajuste de los puntos no debe ser perfecto dado que el ANOVA resiste pequeñas desviaciones al supuesto de normalidad. Para obtener la gráfica de la normalidad se debe realizar lo siguiente: 1. Ordenar los N valores del menor al mayor y asignarles rangos de 1 a N. Sean ri , i =1,2,….,N, los rangos de los datos en orden creciente. 2. Calcular ( i-0,5)/N y luego sean Zi los valores tabulados de la distribución normal estándar con los valores calculados. 3. Graficar los residuos de los datos en el eje de las X y los Zi en el eje de las Y.

VARIANZA CONSTANTE. Predichos contra los residuos.- Se puede verificar el supuesto de que los tratamientos tienen la misma varianza es gra…cando los predichos contra los residuos vertical. Si los puntos en la grá…ca de residuos contra los predichos se distribuyen aleatoriamente en una banda horizontal (sin ningún patrón claro y contundente), entonces es señal de que se cumple el supuesto de que los tratamientos tienen igual varianza. Factor contra residuos.- Al graficar de niveles del factor contra residuos, si se cumple el supuesto de varianza constante, se espera que la amplitud de la dispersión de los puntos en cada nivel de factor tenderá a ser similar; y no se cumplirá el supuesto si hay diferencias fuertes en esta amplitud.

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Otra interpretación de la grá…ca de factor contra residuos es que cuando los tratamientos o niveles muestran una diferente dispersión de sus residuales correspondientes, es que el factor o los tratamientos tienen efecto signi…cativo sobre la variabilidad de la respuesta. Con base en esta información se podría buscar proponer un nivel de operación para dicho factor que minimice la dispersión y optimice la media. Cuando hay una evidencia contundente de que no se cumple el supuesto de varianza constante, se debe ver en qué sentido se ven afectadas las conclusiones que se obtienen con el ANOVA y las pruebas de rangos múltiples. Por ejemplo, si se aprecia que el mejor tratamiento también es el que tiene menor dispersión, entonces se debe mantener tal tratamiento como la elección correcta, y ver si es de interés investigar por qué la diferencia en variabilidad con algunos de los otros tratamientos. Pero si al que se había considerado el mejor tratamiento, es el que tiene la varianza más grande, entonces es difícil mantener a tal tratamiento como la elección correcta. En este caso se debe replantear la decisión y el análisis. Una forma de volver a hacer el análisis y reconsiderar la situación es transformar los datos u observaciones Yij de manera que se disminuyan las diferencias en dispersión, y se pueda ver más claramente lo que ha pasado en el experimento. Existe gran cantidad de transformaciones propuestas que logran lo anterior, entre las más frecuentes se encuentra la logarítmica y la raíz cuadrada. Así se hace la transfor- mación, se saca logaritmo a los datos u observaciones por ejemplo, y con los datos transformados se vuelve a hacer el análisis completo. Homogeneidad de las varianzas.- se refiere a que cada respuesta Yij debe poseer dentro de cada tratamiento una variación parecida o igual a la de otro tratamiento. Este supuesto puede ser probado postulando como hipótesis nula y alterna las siguientes: H0 : 12 22 32 ... k2 ( Los k tratamientos tienen igual varianza ). H1 : 12 22 32 ... k2 ( No todos los k tratamientos tienen igual varianza ). Para verificar el cumplimiento de este supuesto se utiliza la prueba de Bartlett o de Levene. La aplicación de estas pruebas debe conducir a un no rechazo de Ho para que exista la homogeneidad de varianzas. Si los puntos graficados de la manera indicada anteriormente se distribuyen en manera

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aleatoria a lo largo de una banda, entonces es una clara señal de que los tratamientos tienen igual varianza. Por el contrario si se distribuyen dando a conocer algún patrón claro y contundente de “corneta o embudo” los datos no cumplirían con este supuesto. Otra gráfica que ayuda a la visualización del cumplimiento de este supuesto es cuando se grafica los niveles de un factor en el eje horizontal contra los residuos correspondientes a cada nivel del factor en el eje vertical, se cumple con el supuesto de igualdad de varianzas cuando la amplitud de la dispersión de los puntos en cada nivel del factor tienden a ser similares. Si existen diferencias fuertes entre esta amplitud es suficiente evidencia para que no se cumpla con el supuesto.

Un método analítico para comparar la igualdad de varianzas es el método de Bartlett. Prueba de Bartlett de homogeneidad de varianzas. - Cuando se tienen k poblaciones o tratamientos independientes, cada una con distribución normal:

Donde las varianzas son desconocidas. Se quiere probar la hipótesis de igualdad de varianzas dada por:

Mediante un DCA se obtienen k muestras aleatorias de tamaños ni (i = 1; 2; :::; k) de dichas poblaciones, de modo que el total de mediciones es N = n1 + n2 + ::: + nk. El estadístico de prueba para la hipótesis está dado por:

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La prueba de Bartlett es sensible a la falta de normalidad de las poblaciones de interés, por lo que debe comprobarse el cumplimiento de este supuesto. INDEPENDENCIA.- La suposición de independencia en los residuos puede verificarse si se grafica el orden en que se colectó un dato contra el residuo correspondiente, si se detecta una tendencia o patrón no aleatorio claramente definido, entonces es evidencia de que existe una correlación entre los errores y por lo tanto el supuesto de independencia no se cumple. Si el comportamiento de los puntos es aleatorio dentro de una banda horizontal, el supuesto se está cumpliendo. La violación de este supuesto generalmente indica deficiencias en la planeación y ejecución del experimento, puede ser una indicación de que no se aplicó en forma correcta el principio de aleatorización, o simplemente que, en la medidad en que el experimento se fue ejecutando fueron apareciendo factores que afectaron la respuesta observada. Por ello, en caso de tener problemas con este supuesto, las conclusiones que se pueden obtener del análisis son endebles, y por tanto es mejor revisar lo hecho y tratar de investigar por qué no se cumplió con ese supuesto de independencia, para reconsiderar la situación. Independencia de los errores de un tratamiento a otro: Es decir, se calculan los errores residuales para cada grupo de tratamiento a través de la fórmula:

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Las hipótesis son: Ho: Hay independencia de errores. H1: Hay dependencia de errores. El supuesto de independencia se verifica su cumplimiento utilizando la prueba de aleatoriedad o de las rachas que es una prueba del ámbito no paramétrico. Si al graficar en el eje horizontal el tiempo (orden de corrida) y en el eje vertical los residuos, se detectara un una tendencia o patrón no aleatorio claramente definido, entonces es evidencia de que existe una correlación entre los errores y por tanto el supuesto de independencia no se cumple. Por el contrario si el comportamiento de los puntos graficados se desplaza de modo aleatorio sobre una banda horizontal es evidencia de que se está cumpliendo con este supuesto. Una de las principales causas cuando no se cumple con este supuesto indica deficiencias en la planeación y ejecución del experimento, además que no se está utilizando de manera adecuada el principio de aleatorización.

Una prueba analítica para verificar la independencia entre residuos consecutivos es la prueba de Durbin-Watson, sin embargo existe el problema esta prueba no es capaz de detectar otros patrones de correlación entre residuos (no consecutivos) que también son violatorios del supuesto de independencia. ADITIVIDAD DE LOS EFECTOS: las respuestas de cada grupo de tratamiento es la suma de la media general más un efecto aleatorio asociado a la respuesta. El sistema hipotético es:

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DISEÑO EXPERIMENTAL Ho: Los efectos son aditivos. H1: Los efectos no son aditivos.

La prueba estadística apropiada es la Prueba de Tukey para la aditividad. Esta prueba debe conducir a un no rechazo de Ho para que el supuesto se cumpla. VOCABULARIO. NEMOTECNIA.- La mnemotecnia o nemotecnia es la técnica o procedimiento de asociación mental de ideas, esquemas, ejercicios sistemáticos, repeticiones, etc. para facilitar el recuerdo de algo. LINCOGRAFÌA. http://es.wikipedia.org/wiki/Mnemotecnia http://www.infinitumpage.mx/D6366948926/Dise%F1o%20de%20Experimentos.pdf

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