Sucesiones Y Series 56e68

<X1

n

n ak k;;: 1

lim lím

n-so« n-loOO

P. P.

Como P P ¡, f. OO • •dado dado (' e >>OO existe existe NN tal tal que que Como implica n n 3-~ NN implica

nn

n I I TIk=l k

1

l~

mínimo dede ¡ I <<mínimo

akak-PP

4

•

~

2

1

•

Entonces sisi n n ?::-). NN tenemos tenemos para p aratodo todo q:q: Entonces

- TI

1

n

<~. <.!El, 22

k= 1

p erocomo como peTO

I

nn ak w.? ¡PI IPI - JfJ_ 1 l k= ww - 2 2 . dividiendo lala desigualdad dividiendo

M

n

I ITk= 1

at ic

n

ak

sea oo sea

I

n-'-q TI'

k=n+l

uo

(U)

I ( (:1 ,; O)O)

ak

1

tí en e: sesetiene

em

n+q

n 1 ak _ 1 k= nk=l

El >> OO , • 2

=

at

(5) por por (5)

(5)

tlk -

11 <

¡;.

a1

Abora , supongamos supongamos la la condición condición (4), (4). entonces entonces :: Ahora, 1 +

esto es, es. la la sucesiÓn sucesiÓn esto

. co

m

para todo todo q, q, para

€

ak I¡ es es acotada acotada I¡ n" ak k=l1

#Nota •• oo sea sea

que existe existe que

una constante constante M M (( >> O) O) tal tal que que una n

In k=l

akl~·M

p ara todo todo n. n , para n

En la la desigualdad En

(4). multiplicando

por por

n i II TIIT 1 aak k i 1

se tíen tiene: e: se

******* * ******

#Nota Basta Basta escoger escoger una una cota cota MM como como sigue: sigue: _ n NN n Maximo 1¡ 1IIT ak!.n=l,2 N,;n;n j ak1(l+d .••. N, AlM =:= Máximo TI11 tlk ,n 1,2, ..... 1

l.

I f =1

II

ak1

el

11-

dX"

- kn 1_

"

1« In

n

k 1

! .(

(M •

se a () ()seO Il+q n+q

11

JI akak - rr 11I k=1 1 k= - k=

1

I << €M('M

ak 11

En ton ces ,lalasucesiÓn su ees ion 11 Entonces,

TI

k=1 ::: 1

P aratodo todo qq ).), ( (para

ak,.n=1,2.3 11 = 1,2,3, .",_ ••••

1 satisface lalacon condición dicióndede

Cauchy,• o osea sea que que existe existe elel límite: límite: n lim TI ak:= PP . , lim n-+oo k=l n-+oo 1 En laladesigualdad desigualdad (4), (4), tomando tomando límite límite cuando cuando q q__-e"",se oc ,se tiene: tiene: En

lim

croo

lim lim

ww

w

.

M

an+q

an_ +q_ 1 1 ~q_~oo ...:.-_ _________

1 x ••• x Cln + q - 1 "

at

..:: e

em

sed, o osea,

1 1.<;:

e

at ic

esta desigualdad desigualdad implica implica que que PP ,¡.¡ O O ya ya que que esta sea que que el el producto producto infinito infinito converge. converge •• sea

Observación Observación

,

l1li

E(

puede ser ser menor menor que que 1, 1, ()o puede

a1

.

Comparando la la condición condición de de Cauchy Cauchy para para la la serie yy la la . condición para . vl,nu .... L'-'u para Comparando c om el producto producto :: el 00

(Serie };"" L elan (Serie 11 n 00 00

(Produc to n TI aan (Producto 11 n

nótese que que OO es es el el elemento elemento neutro neutro de de la la adición. mientras que que 11 es es el el elemento nuetro nu etro de de la multiplicación. multiplicación. Si Si Pn es es el el producto parcial : elemento n

P

n

= k=l TI

ak =.alx

a2x",

x an

entonces entonces 227

es la la suma suma parcial parcial de de la sene serie es

LOO

(log a )

nn=l1

(6) (6)

n

Se ve ve inmediatamente que que Se

n" p/:O P f O sisi yy sólo sólo sisi PPn....

lo g P n '"= 5Sn n

lo g PP (n Ln-)-> occe ) ) • ,

...

00

sólo sisi elel producto infinito infinito sea que que lala serie (6) (6) converge sisi yysólo oosea

ni

an co.!!

verge . Se Se puede ver ver porqué porqué hemos hemos excluido excluido eli el límite OO en en caso caso de de lala co.!!. con. verge vergencia del del producto producto , , ya ya que que sisi P n ->....OO entonces entonces lala secrie serie (6) (6) didiwwE .) Aplicando verge (log (log OO NO NO EEXISTE.) Aplicando la la condición de de Cauchy aalala serie verge XI ST

w

«()) ,se , se tiene: tiene : (h) , .... .n+q 1.... k=n+l

log

ak

.

M

I <<

at

(para nn ')-)- NN , , para para todo todo q> q> OO)) (, (para

oo

eml! at ic <

Entonces Emonces

< Para Para

t

€.

a1

pequeño , tenemos tenernos la la siguiente fórmula fórmula de de aproximación: aproximación: pequeño,

é

'=. 1

+, ,

. co

m

e' e '=; 1 • e ,

por lo lo tamo tanto se se tiene tiene :: por 1 -

< 1.;.

é

é

,

sea oo sea

Ian+. EJEMPLO EJEMPLO

1 x ..

• x an--:q -- 11 1\

< (

(CondiciÓn (CondiciÓn

(4»). (4).

60 60

En el el ejemplo En

57., hemos hemos visto visto que que el el producto producto 57

ge aa cero. cero. Observemos Observemos la la serie: serie: ge log ( 1 • _l_I) 1

11 4-

.

nnex.:

11

(

11_ _ 11-1 )) di1Jer- ;;-:-r diuer¡¡

--o ~: I1Nota.

desigualdad cOllocida conocida DeDelaladesigualdad

lo g(l·x) ( 1• x )<:'x <' • x

tieu e sesetíene: .... 11

".... 11=1 1

(O(O

<x

x

<1)1)

i

< .....v=

log (1 •._1_)' log (l· ) 11-,-1 /1 ... 1

_

';;==1 1

11

_L

== •

rI+l 11+

11=1

0Cl •

111

•

C()R()I. ARIO UHW1.ARIO

producto Si Siel elproducto

nI

converge entOnces entonces <:onverge

an

an

l im lim

1.

=

(7)(7)

n-vo:

Demostración

w

M

w,tomemos condición (4)(4) EnEnlalacondición w,tomemos

.

'a , 11+ 1 -

q q= =1 1

1

Fvidenremenre ,limlim a 4n Fvidememente, n

em

condición necesaria necesana para paralalaCOflverconver1 1eseslalacondición

1l--4'OC

gencia del producto (Ejemplos

= o. O.

l im an

00

56, 57) . En elcaso casodedelalaserie serie L al la 11=1 1

at ic

condición corresfXJndieme correspondiente fue fue condición n-e oc

•

at =

a1

Condición necesaria necesaria para paral,a co nuer- )') la converCondición g en ci a de de la la se serie(( gencia ne· La. n=1 n. n=l

.

(7) ,, es es conveniente conveniente escribir escribir los los factores factores del producto an De la la condición (7) De codel proaucto m (n === 1. 2. 2, 3. 3. • .••. )) en en la la forma forma (n 1, (n=1.2.3 •••• (n=1,2,3, •••

1 +

), ),

así. nUestro nuestro producto producto infinito infinito se se expresa expresa como: como: así, 00

TI

n=1

(8) (8)

(1 + un)

********* :tI. * * * * * * * * * *•••• * * ***

#11 Nota

lag ((11•- x)x)

= -- xx-_¿ •

22

•

_¿3 3

-x , << ·x.

229

convergencia del producto infinito infinito (8) (8) es es para la convergencia

y la condición necesaria

(9)

Convergencia Convergencia absoluta Dado un producto infinito infinito (8) (8) •, si el producto Dado un 00

TI

(1 (1 ++

n=I1 n=

(lO) (la)

lun 1)

y converge entonces entonces se se dice que el producto (8) (8) converge converge absolutamente, absolutamente, converge tenemos tenemos el siguiente siguiente teorema: teorema: TEOREMA

22

w

M

w La convergencia absoluta w

.

Demostración

n+

1)(1+

at

* desigualdad:·..1'lslla.

De De la la siguiente I(l+u

implica la convergencia del producto infinito.

u

n+

2) ••••

(1+u

em n+q

~ (1 +

1laa condiciÓn condiciÓn

de Cauchy para para el producto producto

11

) -

at ic

(11 )

a1

(lO)· condiciÓn (10)- implica implica la i acon di cion de Cau

chy para para el producto (8) (8) •••11

. co

m

• Nota _ 1

=

(1 +IA11)(1

+IAiP>••• ...

I

(1 ¡A q!) -- 1. (1 + +IAq!> 1. ..•

Observación La serie

L an converge converge si si converge converge la serie serie 2: 2: 1Ian I ,' mientras mientras que que

el el producto producto n Il (1 (1 ++ un)) converge converge si si converge converge el el producto producto n TI (1 (1 + +

lunIJ·). 11•

Correspondiente a la positivos. La, La . an ;;, Correspondiente la serie serie de de términos términos positivos, ;;. O O ,con,conn sideremos producto de la forma O "., sea P n el produg produf. sideremos el producto forma Il TI (1 (1 + urz.) uTl;) •, un ;:: :;::: sea fl ro parcial: to parcial: p p

n

entonces entonces

= Corno Corno un

¿

O

+'u n+ 1)'

P'(1

n

>

sea para rodo para todo n, n, entonces entonces 11 + uun +l ;:. 1 , o sea n +l ( p ara todo n) n} ,

esto esto es , la sucesión sucesión

wnI !P !Pni creciente, entonces entonces tenernos el siguiente siguiente r~ r~ w es creciente, w

sultado sult ado : 00

El producto producto infinito infinito

n TI

n=l n=l

.

M

23 TEOREMA TEOREMA 00

infinito El producto producto infinito 00

serie L si y sólo sólo si la serie

n= 1

Demostración Demostración

at

(1 (1 + un) un)

n_

converge ,ó diverge diverge a +00, +00 •. . (un ;:.O O )) converge,ó (un;;;'

em

at ic

(1 + >0O para para todo todo n •, converge converge (1 + un) un) , un .~ " n-1 n=l converge. u n converge.

a1

. co

de le. Je.stgul1ldad l a .le si g....aidad :

m P

se

n

tiene del producto infinito tiene qu,' :'a convergencia convergencia del producto infinito implica implica la la convergencia convergencia

de la serie. Por Por otra parte. tenemos desigualdad :#J:l.sil.¡¡ la serie. otra parte, tenemos la desigualdad :#.t:l.!J.J.a.

entonces entonces P

n S

en en

231

implica lala acotación acot acion dede lP!PnI. nI, oo

tanto, de la serie serie porlolo tan por to , lala convergencia de/a sea que que elelproducto producto infinito infinito converge' converge '. sea lIII # # Nota

> OO

SiSi x x ;;:. e

x

sese titiene: en e:

x2 x3 1 + x + - +_ +'" 21 3!

==

;:. 1+x, ?>l+x.

EJEMPLO 61 61 EJEMPLO 00ce

(i)

(1+n+1) TI~==1 (1+ n+

TI"" (1

.---=-~

ww

.

ge, ge. (iii)

TI

00

3

_!!_:__

rr

3

n==2 71 n3 +1 +1 n=2

00

00

1=

II

EJEMPLO EJEMPLO

62 62

'"

-1 Ixn

¡ 1 • -!

n=2

xn) n (1(1 ++ xn) nn=l1

00

at 2

00

Sean Sean

I

,

Ixln Ixln

Ixl <

an+1 demostrar que que demostrar

a1

Ixl <<

l ••11 1.

dos sucesiones sucesiones tales tales que que dos b

nn

lim lim

n->oo n.,,,,,

== bb > ::: > OO ,, bbn n

lim aa :::== OO,• lim ll11

n->oo 71-00

Como lim lim bb Como n....oo nn n-">oo

= bb >> O, O. bk

O

2convq: convez.

serie ya que que la serie 1 converge converge absolutam absolutamente ente ya

Solución

Tenemos Tenemos

1 (n+l)

. co

m

=== 11 ++2

1

converge absolutam absolutamente ya que que converge ente ya

at ic

converge si con verge si

lbnl íla121I yy lbnl

an

00

1

em

n3+ 1

","" 2 ~y- converge, 2 n + 1

la serie

io) iv)

M

+00,

ab sol ut amente ente ya ya que que converge wconverge absolutam

(n +

n'" 1

~oo _L .....1 n+1

divergeyaque ya que

1

71=

(tí)

1

tal que que existe mm tal existe para todo todo para

kk).;;;. mm •,

JI

11 k

h hk

b1

m-k- k "1

111_1

b

11 -~! -~! ~·11 -~!11

1

bbnz.;_n t m +1l ! J1 11+----

,-~!.

l----\

m~2

111 ll1

am= flI·+-f/ n a

a/l/+l

)

am.1-11+1

1lI- -

l. l. (la ssene ert e

:::: ~'"

oc

b ya tfue serie '\" ya que la la serie "'-"" k=. +k k=I 1 m m=-]:

hlll_k hlll_k

k '1 '1 /JI 1//

k

-

~-Il -c n

.::: -+

C'...:

Il/ego el producto pmduclo infillito: //leRO in jini to :

!l 11

k () sea

b

k

1ll.~~! 1 - _!!!_:_ ! 1 111 m-k• k

dilterge di ierge ,

I

lll .l _1 am

Clm_l {/I// - 1

I illl im 11 "r-.... ..r»; 11

al// a'll

ww

_11 _11 •._,11

w

('sto cs t c es ,.

M

1//11 /im

.

lim l im ela JI JI .'-.'--

El Eln 1C/() El<'ClUO

a

11 11

JI .",,• ......._ JI

at (J, 0,

1I /1

161

f) emos D «mo s trar tr ar

em• l1li

(1 ~ a) (11 _ _!!_ ) • . .. •• (1 ~ a)! _~ )..

¡¡m lim

2

11 ~,....... 11·*""-.:

at ic

(1 ,_!!__) (1 ,~) 11

SOTA .\iOTA

P:1l HIl C!l el C!jercicio ejercicio 82 hemos hemos uisto ui sto que: que:

.

( 1 -'-'- a)( a)( 1 ... -'- ~ ) • lim 1im

-

a1

O ) • ( a -, " O

. co

L ..

n--~('<.;;,

m

•

111

El HRClC/O ERClClO

162

Demostrar que C!l siguiC!nte producto producto COIl/lC!rge Demostrar el siguiente co n uerge absolutamente: ab sol ut amen te :

drJlld
x c!s qlli er núm C!TO rC!a¡ es cual cualquier número real •. •.

Solución Solución

Sea 1 ., 1

U

(1 ,....:!..) ([".2:..)e 11 11

C! -X/Ii

-X/ll

11 11

233

en ton c e s I

=

u11

de la desigualdad

pero.

1

Oxf1I (1.2)e ' 11

:!iJ:j_gj_g_

•

1.

o se

(si

que

tiene

x

un

"-

n

t?

o

1)

2 (para 11 mayor

2

,.

que

¡x!

).

oc

.... ] 11/1

/:'1/ tOI/C(!S la EulOtices la serie serie ;f ;!

converge, co n uer ge ,

1 ;\IOTA J.. Sea Sea

r!I e/

/ (t)

, 1t •: (1 ,-t

I 'ato r

w/)tw) e-e' t w lIt)

de de

min iuiwo imo t.alo r m

,. lo to do do

M

. eses

7?

s n , t-r:

i g(l)

a ti.

at

/(0) / (O) =, = O,

por lo tanto. el/ e que t an to . se ti tien

=

c;;

em

¡( 1 . (!·t)) t12.

g(tJ g( t) /0 ;/ O

",i si

,

at ic

}- .1 .1 . t :/

,'JOTA. 2 ----

l: z an do el el símbolo slm bol o () O te11C:'mos t eu em o s til i zando L' !i/i -XiiI -x/»

(1 (1

COII!O Como

.. x

l

ee

//

..-x/»¡ .,,:/;¡

.;

,:"" ~""-

2:.)) e ...&

(1 (1

11 //

X //

1:'11 1:'1/2 )

/(1)":;' O !¡ara liara j( t) ;) O

O.g(-IJ «.».»

a1

O • O.

. co

m

.

x )) 1 1 11 • 2:ti//

()(()(~)1 2 )

o

11 //

2

O( l/u 1./,/)) cO/ll'erge ("()//l'erg<.: ah sol u tament e , entonces en ton ce s se ¡ielle tiene que el pro· proO( absolutamente.

ducto dado ducto

LjI:'UClun 1:] f:"JU.I('{()

crJIIl'erg<' cOlll'l'rg
ab soln t ameut e . .• • absolutamente

/(, !() ¡3

f)eJIIostrrtr que que el e l si gu fJ"lI/os/rar

I! 11" ' /1

Sug<,re//cia

O(

o

cero. oo sea sea que que cero.

(1 •, t)t) ee' tt !! entol/ces •. 11 11 •• (1 en to u c e s grO)

g'(t)ft) .; 2 z t¡ -. tte'! g'

r( f' 1t)t) = = 1t e t

o.

elltonces e 11 lo 11 c e s

igual

t. t.

Sea Sea

,7ft

111 11

1!

i e n le t e producto pro du cto cOlluerge con uerg e absollltaJlli?/lte: absol ut amen t e :

l( 1 1{1

x _ )) ee -_.\_. ce . JI11

..x/»

\ .

( l'

(1 4----=:'-) ..¡__x__ ) ¡¡1.~ 1.2:. + O(~)! (1 O(~)! 12 n ee + nn 11 11

1 + O(~), 0(--:2)' 11 • 11 +

n ti

164 EJ ERClClO ERClCIO 164 oc

L

Sea Sea

(ck ~~ O O para todo k, k, s>O s>O )

k=l

U/la demostrar una serie serie convergente, convergente, demostrar que que la la siguiente serie también también converge: converge: ente serie ex:

v ..... =1 k=l

(s . t + 1)( s . t + 2) ••• i s- t + k )k t

<<

(O ~ .:S tt (O

5+1) • s+1),

Solución (s· t + 1)( s· t -'-2) ••• (s· t -1-k) k t (5+ 1)(5-1-2) ••• (s+k)

ww

w

.

M

... ¡ ¡._t_t/logk 1- __tl I ... jlI s+k S5-,-2 2 s+k

jl._t_H1.

5+1

at

em

!l-

nk j=l1

l( 1 __ 1(1·

Ss

t_)

e'/ j

1

e'

te

el O(

s]

fil1ito: infinito: 163,I el el producto in 163

ejercicio Del ejercicio

n" I(l(l1.__ t_) n"" ;=1 $+¡ i= 1 si ]

t1jj I1 eet/

at ic l/k)

a1

.

converge al al límite límite LL f.-1 cO O ,, converge

om

entonces: entonces:

(s - t + 1) •••

( s- t + k) k t (s + 1)( 5+ 2) ••• ( s + k)

f O

L· ( k -H'" )

•

•• 111

Ahora, consideremos el el producto: producto : 00 00

TIn

,

nn=l1

t

I

x x + O(~) (1) 11 +_x_ ~ +---n+OL 12 nn C-l-n c-l-n

Como Como .lim un

(1 - un (1un) )

(Un;

O ) , iim n-vxs

un

= o. O.

(12) (12)

= oO ,supongamos ,supongamos para para mayor mayor sencillez sencillez que que

n->=

ara todo todo ppara

n

=

11 '"

I, 2, 3, '•.., . 1,2.3,

235 235

Sea producto parcial parcial : Sea P n el producto ( 11 • u ) n

P Pn = (1 • u 1)(1 1)(1 •• u 2)

entonces entonces

o sea sea que la sucesión sucesión 1P ¡Pn

11 es decreciente, decreciente, e inferiormente inferiorrnenre acotada acotada por

O ímite : O •, luego existe existe eli el límite:

= =

llim im P n1I~'= nn

P •.

~¡.{'>0

Fl 1J Ímitc imite P puede ser ser cero, cero, entonces entonces tenemos tenemos el siguiente siguiente resultado: resultado: ---->---

~. .'

ex; oc

ww

rr n

(1. (l. u ) n Il n= =1

El producto

w cerO _

diverge a c ero , verge , oO diverge

_.

.

--

L-_ ....•......... .. ~_.~._... ~._~ '---

M

(u n > O (u ;/ :/ O

)7 ,' _+ -+

TEOREMA TEOREMA

ce

nn "" (I. (l. n=l 11=1

producm infinito infinito El producto

"

serie Y sólo si la sene

e. m u un n

" '>»

;// ;

";;= ";;=11

[)(,!JIostraciÓn DemostraciÓn (¡)

2:. un

Si la serie

O O para para rodo todo n

at ic

"" u converge. converge. 11 11 N

SI

11--).0..:: l1~C'>oC

at

u ) n

O )) concon= = O

l im un para todo para todo n11 ,, lim

an1

conuerge producto conuerge entonces entonces el producto

,, converge

00 00

(1 (1

=r-:

+ un) convel-

. co

sea que el producto pruducto dado converge absolutamente. ge (Teorema (Teorema 23), 23). o sea converge absolutamente. (¡í t ii))

Sielproduclo Si el pro du cto

"No t a . m p' 1" .> Il un) entonces / O Il00(1. (l. un) collt'erge--, converge 'Nota --. enton ces eXlste ext ste 00

tal que n

I1 (1. uk) kool

= (1 -

(para todo 11) n ) •, (para

u 1)

•• N la

**_0_ N la la desigualdad: desigualdad: De la ~ I-r-Uk':'::

( para para todo todo

~

k) k)

tf!llemos: tenemos: Jl 11

n

k=l k=l

1

11

(1 (1 +- uk)

entonces producto en ton c es el producto

~/' "

rr'" n" (1

n=1 1· uk

k

n

TI

k=l

(1 - uk)

P •,

+ uk) uk) converge. converge. del del teorema teorema 23 se se tiene tiene que

ce

saje la lasi?TÍe

x : llk converge converge'l1li '.

*l:iEJ.E_ lim

u Il

11-~c-..::

, ento n c essupollemos supo ne mo que s queunU/I o ,o entol/ces

<

paratodo todo¡¡.11. para

Nota

se a, , paratodo todoO O;.. " x x ' 1 1, o, o 1 1paTa sea

1•

1 ~.x ~

1·1 x- x• •

¡;¡]:'!EMPLO El! PLO 6)63 (¡)

(1_-1-1) (/.¡¡) ""n" 1]=1(/-

n

11=1

(1-~1 .....".1 conuerge eonuerge yayaque que W¡(ji! [1'"[1'" /1=1(1. - ......... (1l .• 1) 11

1

(11 •

ww

w

.

M

oc ~ 11

~.

11=1 1

at

(U"

(~)

11

=

2:""

que O o yayaque

(a)

at si a ic a1

converge

a:::,-l.

-1. di uerg e si si a;:::- J.

converge si a,·1, n = (1 a) 1/ 1Z~ 1 11

a + 1- 1

a.¡. 1- 2

1

2

(-l)l1¡J-(a+1)¡p-

>

a ... 1-n n

a+11

2 i)i)

)

em

Solución Solución a

1)

. x.

165 165

Demostrar que quela la serie serie Demostrar

+;)..; •

" _..!..-..._.,. ..? con ver ge . (1/. 1)- converge.

(l.(1 • .s: JI

( 1aJ(1. . aH 1. a !!_)( 1 • !!.. ) (¡ii) limlim (l. ( iiiJ 2l . 3) ...

EfERCICIO ERe/CIO El

". ~._1_ - 1/ .~ 1

a ceroyayaque' qUf! divergea cero

f/-

•••

. co

\1_ a+1 a+11• • ¡l1 n11

m

aa .'" •-11•• Evidentemente se se líene: tiene: Evidentemente (para torkJ todo nn grcmde) grande) (para

yy

lim

nn

(1 _ a + 1 )

lim (1 n->e<:J k = 1 n->oo =1

k

oc

n

k=l =1

(l.

oo ,,

por lolo tanto. tanto, la la seTÍe serie 2,2: an converge converge condicionalmente condicionalmente por

237 237

ii)

ael <:< •• 11 ••

on

lim

nn" 00

(1. a+ 1) (1.

k=11

k

(1. a+ 1) (1. k

k=l k=1

entonces entonces la serie serie diverge .

iW ii i)

= • 11 ..

C! el '" •

2. (.1

la serie

díverge. diverge •

•

11

EJ ERClCJO E RUeJO

166 166

Verificar Verijicar la sigui ente ente identidad: iden tidad :

ww

( 2..) (Zl .• L.)(l. ...E..)(1.L)

11

22

M

(l (1 .• ...L) -L)

w

.

n11

at

x( x' 1)(x' 2) ++ • 33 !!

1,x-rx{x-1)

11

2!

••

-r- (. (.1)11 -r

11

em

Vemo D'emo slrar str ar que que el el produ cto diverge divC'rge cuando cuando

(x-n+ 1). 1).

x(x' 1) .,. !

nn ....00 oc para todo todo x diferente di jeren t e de de , ••)0

at ic

.

cero, cero. mi mi entras entras que que la la serie serie converge converge para todo todo xx .> O O • SoluciÓn

Sea Sea ¡(x) I(x)

x· 1)( x· 2) 1 •. xx + + x(x- 1) _ x( x(x· 1)(x·2) 1· 2! 3 !! 2!

-r."

-r ,. '"

,.¡,. (.

Para Para todo k natural natural ((kk .;¡:; ~ n) n ) se tiene: tiene:

¡(k) f( k) ==

=

1· 1· k

u»: 1) k(k·l)(k· 2) -'+ +--- . ....;...._....:....:.;..:...._2_)

(1 • l)k

i- ••• ...

2 !!

= ,0_o

a1

.+ (_l)Tl

11-

1) x( )...• 1) •• (x· n-+-1)

n! n !

. co

m

(.1)k + (.

3!

k( k· 1) ••• k!

(desarrollo (de sarroll o binomial). binomial).

en/Ol/ce enton e ess 5(' se lÍen fíen ee ::

I( [i x) x)

.~ =

donde VV

V • V (1 (1.1-)(

11-•

;)

es una constante. con s t ant e ,

•"". •.

(1. (1. :~ ))

Reemplazcmdo Reempl azando x

=O

tenemos: tenemos:

1

¡(O) feO) '"=

=

11

D, D •

por lo tanto. deseada. tanto. obtenemos obtenemos la identidad identidad deseada, Evidentemente el Evidentemente el producto ...E) nOC(l(l •• ...!..) kk k= 11

' ddizverge zu erge aa cero cero ya ya que

O) O)

(x> (x

,,_x

",_x ¿. ~ kk '"= +00. + 00 ,

Por Por otra otra parte parte tenemos: tenemos:

.

((.l)k

x(x·

(x· k + 1)

1)".

k !

= (.

(. 1) k+1( x. 1)( x. 2)-;.

1)k (x. 1) ( x· 2) • .. (x· k ,. 1) (k. 1) !

ww

w

enton ces: entonces:

.

11 •

2:lOO

l. x.,.

M

(: 1)k x (x·

k= 11 ·Y...

l. x ,

11 • xx

100

.

(k 2) (k 3~ 2)

at

1) •• ~ (x • k + 1) 1) k !

r(-l)k(x.l) ... (x-k+ (k· 1) !

em 1) _

k = 2' k=

4-

(x· (x· 1) 1) •

lim kk_,oo ....oo

at ic

(.1)k+1(x. 1) k !

sea que que la la serie serie converge converge aa cero. cero. oo sea Si x < O. O , el el producto Si

(x - k + 1)(x· k)

k !

..

a1 O

,(x-k) x-k)!

((x> x

O),) • O

. co

infinito diverge diverge aa c.., oo.• yy la la serie serie m también también diver diver

ge aa +"" + DO '. '. ge

Del teorema teorema 23 yy 24, 24, es es fácil ver ver la la convergencia oo divergencia divergencia de de Un un producto infinito infinito de la la forma: forma: producto <'<J

u) TIn"" ((11•• u)

DO

n

12=1

(1

+ u)

n

comparándolo con con la la serie serie comparándolo

óó

2:1

nn=l1 un

n¡¡

(con un un ;:; O O ) (con

((un un ),jO)O) ,pero • pero este este método método NO NO puede

ser ser generalizado.

239

64 64

F.MPLO EJF.MPLO

Sea

TI

1

<Xi

)

(1.;.

n=1

fl

P 211

2n

k 1

(1 + .(-1) -

k=l

)

k

a

1)( J +'-31 )) ... ••• (1 (1 +2_l_1)( 10 .L)( 10 = ( 1 -'-ii»¡

=

22

no

4.

66

2!J_

3

55

2n 11 2n·

-~ 22 4

o

en tOTl ce s entonces

ww

l im PP2n lim 2n

w

]1-"'" ll--l-OC

TTambién: (1m biill : lím l im

n

M O(

at

em

-t

(1 + (1 +

)(1 "'" _~)

-y2 k

-v2k -t- 1

11

__

2n ~ 1

,I

at ic

infinito CONVERGE in finito CON VERGE aal.

1)= 1 11=1

_r-A-

11

o

211 2n

65

Sea Sea

(1 -

211

211 2n

1. !

11-.0.; n-~;:;...;

por lo tanto, tanto, el el producto EJEMPLOo

4

1_)I l in: n (11 , ''''-----''' li m PPn'

P 2n ", 1 217-d

11-4CQ fl-><XJ

.

(1 __1_) (1.-1_)

.1.)

2

(:!!_n

(.1)11.1 1 ). ). 0

"V 11 't/n

((1 1_ _ _1_)(1 .1 )( 1

<

{2k;1 12k -t- 1

a1

,--'-= \1 1 ) 2k + 1

1-

. co

m

entonces tenemos: tenemos: entollces 2n +1 +1

n fkl__2 11 {1 k=2

(o

+-

1)k- 11

(k

!¡ '"= TI D

( j= 1 i=

(11 - _¡;;-7"

-y2)

< < va ya que 2. 2. _1_ 2j 2; t+ 11

--

=

_¡__

1

71 11

)(

TIn

1 +.'-.) -y2) + 1 n11

1 ) ( l . _.:......-) (1.

j= j= 11

--+

O (11->=)

2j + 1

infinito D/VERGE D/VE RGE a cero. cero. + 0ce0 ,, por lo tanto tanto el producto producto infinito

En los ejemplos 64 y 65, 65, las dos series

i

LOO

00

L

n=l n=I

(.l)n-l

n=n=1 1

·.In

convergencondicionalmente. condicionalmence ,sin sinembargo embargoelelproducto productodel delejemplo ejemplo 64convel conve.r convergen producto del ejemplo 65 diverge.. (Ver (Verlos los ejercicios adicionales adicionales gegey yelelproducto 171, ,172 172YY17~). 171,). 171 EJERClClO 167 167 EJERCICIO Investigar lalaconvergencia convergencia o o divergencia dede 1 n" 111 1• --n(- 1)11-1 l.

I.

n

n=2 n=2 Sugeren cia P2n

=-t

EJERCICIO 168 CIClO 168

->

1 2 2w -

ww

.

M

P2

n

2n

x--

2n+ 1

->

11

'.'.

2"

at

em

Investigar lala convergencia o odivergencia divergencia dede Investigar

11,"" ¡ ,l. -~"",,=-1 1,. n=2 n Sugerencia (1 •

)(1

<

(1.

at ic

-=~)(1

a1

•

11

. co

m

•

¡ l

f

I

241 241

EJERCICIOS EJERCICIOS

EJERCICIO EJERCICIO Sea Sea

cial cial

SS

n

ADICIONALES (Producto infinito) ADICIONALES (Producto infinito)

169

Loo r"'" aan n n=l n=l n = = rL a k= 1 k

S O). si la S (S'¡' (S'¡' O), si la SWlta SU11ta PI1:TPIlT-

una serie convergente tm a serie convergente a

es diferente para todo demostrar que diferente de cero cero para todo n°, n, demostrar

al al

l]

n"" [1 n

+ ~] S Sn-1 n- 1

OO

n=2 n=2

converge converge a S • Solución Solución p p

n

ww ak n n (1 (1 + w - )] al al TI +koo2 k=2 Sk_l Sk_l

.

n

n TI

al al

k=2 k=2

M

Sk Sk_l Sk_l

at

EJERCICIO EJERCICIO

(¡) (i)

TI D

2

Solución Sol ución (i) (i)

[

k=2 k=2

Sk_l Sk_1

em

at ic

S 00) ••• II1II S (n-. (n->oo)

ro

Hall ar el producto producto Hall 00 00

-+ ->

Sk_¡ + +ak Sk.¡

S n a al- l al al

Snn a al- l SI 51

entonces entonces se tiene: ti en e : Pn Pn

n

TI n

al al

total total de

_ 1 )] 11 + _1 '?l t'l •- 2

S n

,,

a1

. co

m

(u)

(Aplicar (Aplic ar el el ejercicio e;er cicio 169.)

Sea Sea aann

= = 2x=n

entonces entonces

n-1 n-1

rLk=l k=l

Sn_l Sn.1 ::: =

2"k Z'k

=

= 1 1

-

1 ---, ---"'1 i

1" - 2 P

1"-1 p-

luego: luego: 1 l/P _ 1 1 1 1/1" _ 2'" 2" fT:z Il2 ¡1 1 + (P. (1"- 2) I/ P p1 I -- 2" 2' ll2 TI2 ¡¡ 1 + P •_ 2 1 I 00

00

00

r¡

(1/1") (lIP)

11

1 •

sea o osea

1

00

IT{l+--1=2. ¡ =. 2 . 2!1+ zn. 2 (ii) (¡i)

Sea

=_1_ nin c L)

anan

Sea

entonces entonces 1

:::

1 n·1 11.-1 =I l k= 1k(k k(k+ + k=l 1) 1)

n·1 11.-1

1

1

1 1 1---1 I lk=l1 -k - -k+1 1

k=l

k

-

11

k+l

1:::..!!....:....L

n

n

luego

1

00

1/n(n+1) l!n(n+l)

00

_ 1

TI {l + 2" IJl1+--- 1) 22 (11.(n - 1) InIn

1

00

+-2-! ¡ !1 1+-..,...-2 IT 2I n •1 1¡ 1 n in + 1)= 1 1.. , 1

00

ww

w

sea: o osea: 00

TI

2

M

at

! 1+-+--:! n - 1

EJERCIClO CIClO 171 171 Sea Sea

.

l

2.2. ID

•

em

at ic

oo loo (a )2 una serie serie convergente convergente, I (a)2 una

n= 11 nn n=

finito: finito:

00 00

rr í111 ++ aann 11 rrn=l n= 1

I

demostrar que que el el producto producto inindemostrar

00

converge si si converge

l

a n= 11 n n=

diverge aa cero cero si si diverge

a1 00 00

converge,e, diverge aa +"" +00 si l converg si In=l 11 1 00 l a diverge aa -- "". a diverge 11n= 11 nn (loO.

verge aa ++"", yy . anco didiverge 00,

m

Solución Para mayor mayor sencillez sencillez suponemos qr:e qu_e lanl lanl Para suponemos En la la desigualdad desigualdad sigui ente: ente: *.f'i2.1!l En

oo << uu

lo g (1 (1++ u) u) <e •- lag

-t

u

2

<<

si u > O) (siu>O) 2

u (si << 2T;;; reemplazando uu reemplazando

am+l'

. ...

am+2 .. ' • • ••

para todo todo nn •, 11 para

_1

< u <

O)

,

sucesivamente se obtiene: obtiene: sucesivamente se

243 243

,

:~ -¡

o

<: (am+l+ am-+2+'"

+a m+q ) -lcg

1(1+a m+J)(l+a m+~ ... (.1+d m+q

n

donde donde

Inl! Inf!I,

,\

11+ + ak ,' kk = 1,2,3, 1,2,3, ... ...

1,

l. l.

o sea: sea: q '" ,4, - 1og n q (1 2..qq aa kk-lag (1 + + am-,-k) kk=11 m+ k"'l k=l m+

o0<

Como Como la la serie serie :í: 2.. (an)2

ww

M

converg e, dado converge, w

2.. 00

k =1 =1

.

(a

m+k

)2

(13):: de (13)

<

O O

1

am-tk

.

log

(( 13) 13)

2A

> O O existe existe m In tal que

ff

at

< 2 ,\f Aé •

q

n

/ 1 ,,--

k=l 1

l

em

(L (1 -t+ a

at ic k) )

m+

<<

Eé

De acuerdo el producto acuerdo con la condiciÓn con di cion de Cauchy, Cauchy, el

(p C11' a ledo te do

a1

converge converge

infinito

sólo sí si la serie serie 2 2.. ar71] converge. producto diverge a +"" +00 converge. El producto y sólo la 00 respectivamente,). la serie serie diverge a +"'" +00 (ó (ó '·00 res p ecti uam en te s ) •

•

l1li

• Nota

iJ i)

u

> O.

S ea Sea

f[Iu) (u) = ~u2.u • u + lo lagg (1 + +u) u)

entonces entonces 1(0) :::: O feO) '= O ,

tanto, se se tiene tiene que por lo tanto, porla ii) iiJ

u

O. < O.

Sea Sea

[Iu) ¡(u)

o. > O. 2

(u)= _l. _u_. g (u) =.J.. 2

1+ u

•

uu + lo g (1 + u) •,

entonces entonces O •, g •, (u) g (O) = a g i u) por tanto se tiene tiene que que g(u) por lo tanto

> a O ).

si si

O. u < O.

q) q). •

. co

m

(ó (ó O) O)

si SI

Ji~

esteejercicio ejercicio seseveveinmediatamente inmediatamenteque quelos losproductos productos DeDeeste 00

TI (1+ (1 n= 1 n=l

ir:! +_._)) (

n

.

.

)

(1n=2

( l)n.1 2

convergenyayaque que 2 2 [("n1)no112 (-=¡;--1 converge converge y y lassenes series convergen

~ (.l)n.l ~ _(_l)n-1 .:.. n , n

.:..

convergen condicionalmente. condicionalmente. convergen EJERCICIO 172 CIClO 172 Sea 2 2 an convergente convergente condicionalmente condicionalmente, Sea demostrar que queelelproducto producto demostrar

I

)2 diverge a +00, sisi 2 2(a(an n )2

TI (l(1+ +a) a) diverge diverge a a CERO. CERO. n

n=n=1 1

n

SoluciÓn Utilicemos laladesigualdad: desigualdad: Utilicemos

w

M

ww u u • - lolog g ( 1(1+ +u)u) )

.

2

> 1_1 u 2u__

( (si si u u > > O)O)

2 11 + +u u

at

)_ 2 2 (si > > 2 u u (si

em

entonces tenemos: tenemos: entonces (am+l+'"

-+

/2 !¡((am+I)2 am+l )2

LL

at ic

+am+q) - log[(1 + am+1j ••• ,> 1

donde oonde

OO > >u u

(1

••• ++ .••

> -1)

+ am+q)]

a1 yL

+ (am+q)2

Sup ¡ 1, 1 + an,,n=1,2,3, n = 1,2,3, ••• . .. Sup!1,1+a n

1, I,

. co

m

sea: oo sea q q >_1_~q)2 2 aa kk - lo g Il (1 + am+k) k. (a +q k=l m+ k=l 2L k=l m "'1 m+ Entonces: Entonces: log log

q

nq (1(1 ++ am.l..J am+k) nk=l k=l

__, ...,·00

-00

(q__,oo) , , (q...,oo)

T'"

sea que que el el producto producto infinito infinito diverge diverge aa cero. cero •• 111 oo sea

De este este eJerCICiO. se ve ve que que los los productos • se De

245

(_1)n-11

00

n

00 00

n

(l+....i.:..::~-)yn (1 + .en ) y

1

(_l)n-l) 1 (1_....:-..;......-) (1_

"In

-Fl

divergen a cero. cero. NOTA NOTA

Para Para obtener obtener el resultado del ejercicio ejercicio 172 basta basta suponer suponer que _ lim

n

2.

k=l1 EJERCICIO 173 EJ ERC/CJO 173

2. an

Sea

n

(1 (1 + + an)

f-

ak

+00 ,

convergente

condi dona/m ente, demostrar demos tr ar que el producto produc to condicionalmente.

converge. converge , o diverge aa cero de acuerdo acuerdo con la convergencia convergencia o

w

M

di liergen ci a de la diuergen /a serie serie ww L (G ) 2 •

.

Sugerencia Sugerencia Ejercicio

at

171 erci cio 172. 171 yY ej ejercicio 172 ••

em

174 174

EJERCICIO EJERCICIO

n

.,

at ic

entes productos: Investigar ()o di uergen ci a de los Investigar la convergmcia convergencia los siguientes productos: )(1 •

(i)

(ii) (1- _l)(l_

2

00

mi) (ii i)

I nt k= 1

I

) x ••••

a1

1) ( 1.__l_)(1 +..l.) ..l.)(11+ + ..l.)(1_ ...l)(1 )(1. )(1+ )x x •••• ••••

3

4

5

6

77

. co

m

11 + (_l)kk - 1 +(-1) 2

SoluciÓn SoluciÓn Del 171, Del ejercido ejercido 171, el producto producto en en W (i) diverge (U) (ií)

diverge diverge a cero. cero,

aa,.+oo, +"" , Yy el producto el_producto

en

El produ ero en (iii) producto (iii) divergee a cero de acuerdo acuerdo con el

ejercicio 172,. ejercicio

solución

directa

(1 + +_1_)(1)(1 (1

3n' 3n-l 1

1 • 1_) ++_1_)(1__ 3n 3n 3n+l

11

1 1 1 + 3n 3 n - 9n2 - 1 - 3n(9n2 •- 1) 1)

I 1

donde donde

an

= _1_ • _...,._

3n

3n(9 n2•

9n2.1

> O para todo n O para

1)

Evidentemente: Evidentemente:

1) 1) ==

(1

2, :¿ :( - 1

+ O(--'n_) O(~n )

\3n \3n

TI n

entonces producto entonces el producto en

(1 4- aan) (1 + n)

diverge diverge a

1 1 )(1 +_1_) 1 (1._1_)(1 (1. - - ) ( 1__ -1 - )(1 + - - )

3n·j 3n-l

3n 3n

w

donde donde

.

M

_1_ +_~l__

3n 3n

verge tlerge a

9 n2 - 1

2, :¿ bbn

diverge diverge a

11

11 3n 3n

11 9n2• 9n •

at

1

3n(9n2• .1) 1¡

> >

O O

emun at ic

(X) 00

TI n (1 - bn) di-

cero, sea que el producto producto en (ii) díverge cero, o sea diuer g e a cero. cero.

1 11 11 11 11 1 1 7)) x ••••• ••••• "2)( 1 1 +3)( +3)(11- 4)(1 +5)( 1 1 + 6)(1 6)(1. (1 + 2)( 1 +5)( '7

'"4)(

1 1 1 1 111 + 5")(1 5 )( 1 +"8)( 1 + 11 + 8")(1 Ti) ) x

a1

.c

(1 • J.)(1 .1.)(1.• .J.)( _.1. )( 11 ++..1.)()( 11•' -1_J_)(1 ..1.)(11 +.1.) +..1.) x ••.• (1, )( 1 • -1.)( ••.• om 2 3 5 6 7 44-

< <

.

1

)(1 . (1 •- -)(1 (1

2

puesto que puesto

(¡ii) (iii)

J para todo n. para to ao n ,

+00. entonces el producto +00, entonces el producto

> (1 2")(1 (1 + +2")(1 (ii) (in

1 J1 3n(9n3n(9n- -• 1)

---;;-+ -..;-2

b 11 n

Otra Otra solución solución (¡) (i)

1

3n+l 3n+l

ww

Como la serie la serie

+00, sea que el producto producto +00, o sea

+00, + 00 •

(i) (i) diverge diverge a

(ii) UiJ

00

+00 +00

P2n

R 8 1

1 5

-'--

=

. ..

1 ) ( 1 .1 1 )(1• - - )) x •.•

5

8

4-TI

+00. -1-00•

...

1 (1. (1. -)( +2 )( 11 + 211 ))

2

= ___3_ 11! = = [_1 (_1_._3_1') = (.J....)n (.l..)1I 2

2

O O ,

+ •••• ••••

(1 • ~)( 1 +-L)

2

-l> -->

4

2

_> _>

O O

2

(n-->oo). (n->oo). l1li •

247

175 175

CIClO EJ ERC1ClO

lnue stig ar la la corwergellcía co nuer g en ci a oo di uerg en cía ci a del de! producto: producto: xx

00 00

n

cos-' C O$'-

zn2n

nn= 11

de convergencia. con uerg en ci a , producto lotal total en en caso caso de hallar su su producto JIy hallar Solución

2:"" \

!J11-

111

sen

2 x

~.t:-

71l'r-l

~

el producto entonces el entonces cto ii)

=

in (n

i)

P

nn

cos ~x TIn cos k=1 ~ k=l

n

,,"" l.! 11+112, _1__ IX 2 ~ I x 12",,,-, /11+1 n=L n=I /1 =1 +

winfinito ww

.

=

M

conuerge con¡:erge

at

11 2'1-1

2n•1

~

k=1 =1

(2k.

cos cos]11

1) x

sen xx ' (x!2n) sen (xIP) xx

Para nn Para

=

-k 2

=

zn-l zr!

xx

n 11

nneos cos 1 kk=1

2: ::E 2n' k=l k=l

= --1

4-N

,

cos cos

x 7

1

+ cos

11

r'

~.1

se 11 xX xx

11# Nota Nota

cos 'x:,x COS

em. . at ic

x -!. CO S .1..!_ + ,. --1 [[co coss ¿_ '":.: 2'1< 21)'1 2n +' cos z¡' + •

=

-:

absolutamente para todo lodo x. x. absolutamente para

x co s L ·cos-co s 3... x •••"!I cos x. 2 44

1

)) ,,

1,2,3, .• 1,2,3,

¡¡iI

Nota

sen x sen 2 2 sen sen -x p

a1

(n -e 00 ) • (n-,>"").

. co

m

(2k • 1) X

14) (( 14)

2n

(14) es es evidente. evidente. 11 ,, (14)

la fórmula fórmula (14), (14), entonces entonces Suponemos válida la nemas válida n+ 1

xx

rl==11 cos--;_r =

1 2211n•- 1

2n•11 11 == 22n•1 ; = 11 n- 1

n- 1 22n,1 (2k • 1) x cos cos 1 J!l k=l

xx xx cos ]11+1

(4k· - 1)x 1) x (4k

(4k • 3) x

1=

::E

;~ [[ cos cos

2n+1

++ cos cos

2n+1

1

=_1_",:¿n (2h-l)x """ cos-~-:..:..:.. cos---2n b= 1 :¿n + 1 1 EJERCICIO CIClO 176176 Sea Sea

_

00

1

1

n,

--+ 1ñ+ n ,

a2n_ 1 00

Demostrarque que TI TI (1 (1 converge a pesar a pesardedequequelalaserie serieI L a diDemostrar + +a an) ) converge ndi· n=n=2 2 n verge. verge. Solución Solución n n, •

+ n

entonces entonces

a, )

00

2.:

OQ

= n=l '"

(a2n_l+ + a2n)= • 1w -n n=1 n=l por tanto.la laserie serie por lo lotanto. Ahora. A.hora •

ww

M

. "»

I L

2N2N

1a + an) ~(l,( + TI TI n n= -

)

"

n

_1 n

diuergea a+00+ DO•

at

em (1

n= 2

NN

1

•

.1)( 1 +

+

at ic

a2n )

1 )(1 +_1_ + _L) )(1 {ñ + -1n) rrnTIn= 22(1(1.--(Ti n

fñ

NN

1 _.~)

n (1(1 TIn= 2

n ,-

12=2

entonces el el producto producto infinito infinito entonces que la la serie serie IL 13/2 que n

=

00

2

(1 + aan)) (1 +

_. TI

n

00

2

. co

1 (l • ----sT2) converge ya (1 converge ya n'

m

converge ••11 converge.

EJERCICIO 177 EJERCICIO 177 Sean a)

TI

a1

O • a2n_l .1

11 = .- r-en 1). (n >> 1),

rn

yn

1 1 1 a2n -_:: _-==-+ñ +--(n a2n +

1n tn

nVn

~ 1),

00 00

demostrar que el el producto producto TIn (1 + an) converge a pesar de que las Si! demo straT que n=l (1 + an ) converge a pesar de que las sSt. n=1 2 ríes ¡L an yy ¡¡ (a (an))2 divergen. diuergen ; ríes n N Solución 2N L (a2 i : a2n ) ¡ n=2 nn=3

249 249

N _1._1 k 2:"N !¡ _1 ++nnfñ n=2 n=2 11n NN

2N

(a)2) 2 (a n=3 nn n=3

2.

2:2.

n=2 n=2

+

->

(n~) ->~.

OQ

1 1 1? - 1++ -,.. +_1_)21 +--)- ! ++ (( -

¡..1.. !~

(1/->""). (11->""),

ex:;

nYn n nYn

-¡;; -r;

nn

Por otra otra parte: parte: Por 2N

NN (1 2n'.11)()(11 ++ a2n) a2n ) (1 ++ aa )) === 44 (1 ++ aa2n (1 nn 2 nn=I1 nn=2

nn

Il

N

= 44 TITIN (1(1 -• n=2 n=2

4 TI

w

N

n=2

También: También:

Il

1 1 1 11 )( 1 _._-1 - + + --) ++ ---) nYn nn niñ

-r;; )( 1 +'iñ

M

ww (1-2)

.

n

~+1 (1 + a

n=l

entonces

1

1

-

n

el producto nnfinito

)

= TI

->

2

N

at

m

n=I

em

11 (1 + a )(1'~r:-:I) -===)

CONVERG

...->

vn+1

n

at• ic

(N.... 00) , , 22 (N...,oo)

E a 2 •

111

178 EJERCICIO EJERCICIO Sean Sean

_ _1_ 1 a2n - _en 1"

1

m

a2n+l

Demostrar que que el el producto producto Demostrar

n" k=l

=..¡--r

n+z+

a1

(n :;:. 1)

,

(1 +

_1_ )(1 )(1 (1++ _1_ (1

)( 1 -

-{ñ

1 ~==--) _..-=--

Vn + t +

1

1

1 +

1{ñ

+ 1

y;;-;r - ¡; -

1 +

"¡n ¡..jn + t

= O •

.

m

divergen.

Solución Solución i)

al

pesar de que ¡ 1 + (_l)k ak 11 converge converge a esar o

2. (.V (.l)kk ak y !(ak)2 2:

las dos series series las

1

+ 1

1

- Fn ¡yn,..-----, + t +

1

1

( 1/2) :=

11 + +

y;; 1 y;;:;:-r + Vn¡

1 11

312 ) 11 ++ O( O( lln 1/n3/2)

y;:;:-r + y;- 1

entonces el el producto infinito entonces

rr

oc

nn == 11

((1+a2 1

12

)( 1• )(1.a2n+1)

lim an == o O se se tiene tiene que que el el producto in/ini infinitolo lim

converge I como como converge,

1/;-4>00 12--"'00 00 00

"» 1

11 1 1 ++ (.1)1' (.l)n

TI TI

n=l n=l

converge, converge.

iiJ ji) La La divergencia divergencia de de la l a serie serie 2:. :l. (a (a)2 es evidente. evidente. nn)2 es iii)

a2n·

a2n 1

+

11

=

_1 -

-,==::---y'n + 2 + + 11

Yn w ---r ~ yn +wZw -"';n

Vñ lyn

M

.+

+ 1

+

2:

1

1

at

++ ,-

+ 11 II yn 1 y' n + 2+ 1

¡ vn

y' n

""

serie serie

:l.

ge a

+"".

n=l n=l

EJERCICIO EJERCICIO

Se'a

yn

t=z;>

em 1

+ 2+ 1J

1 yn + z +1\ + 11 a2n+l)

.--,-

1Hyn+2+vnl

at ic

312 ) + O( lln l/n3/2

1

2:.--""""'=-:l. ,-,-----¡-

pero como

(1/2)

J

ynlyn+2+ Vn

1 -

1

== + ce

y

a1

312 ) converge, O( 1/1/ 1/113/2) converge

2:. 2:

I

.

00 (. LOO diuer diverge diverge a +"" +"" ,I o o sea sea que n::;;l :l. co (.1)ñ an diver n=l

m

•

l1li

179 179

una una sucesión sucesiÓn

tal que (n= 1,2, .. ,)) 1.2 ....

Demostrar Demostrar que el producto producto "2. (.l)k (.l)k ak

la

Ir k=l k=1

n"" !1 11

+ (.l)k (.l)k ak

1

converge converge

si si la la

converge, converge. y que la serie serie converge converge óó diverge diverge a +""

(15) (15)

serie serie si

el

251

1

,1'11

infinito infinito converge. converge.

producto

~ .1 !

SoluciÓn

W (i) Tenemos: T enemo s : 11 •-

o sea sea

1

1+ a

1 (16) (16)

> 1 - a2n+l > 2n+2

Entonces: Entonces:

IJ

271

!1 +

k= 1

esto esto es

tI

(.l)k llk l

w es decredente la y positiva lP2n decreciente positiva la sucesiÓn su ce sion 1P 2nw1¡ es w

límite: límite:

lim lim

.

M

n->oo

71->00

entonces entonces existe existe el

at

P 2n :::: c. c.

em

Por otra parte otra parte -1 _ 211-1 k P2n-1 - ~=11 11 11 + + (.1)k (-1) ak ak 1 1 :=: (1 (1 ++ a2n_2)(1II

tI

at ic

-1 )P2n-3 a2n-1 )P2n-3

>> P2n-3, -3,

sea entonces la sucesión crecí en te , sea entonces sucesión 11 P2n-1.11 1 es creciente,

,

Si la serie serie

P2n = lim P2n-1 lim P .1 (1 (1 + a2n ) 71_ tt-soo n->c>o2n n4O
Il"" 00 IJ

k=l k=l

(ii) (íi)

a1

r O )) I O lim lím P P2n ·1 -1 = ee (( 1n-+oo 2n ¡ 0, luego: luego: lim a :::: O, (-1) k llk ak converge. entonces converge I entonces ~ (.1) n->CQ 71n 71->00

71->00

!111 +

. co

lim P2n -1 n-><>o ·1

m

71->00

O. (_l)k ak! = e = e' f1 o. (.

Supongamos ahora ahora que el el producto Supongamos producto

tiene que tiene

lim

n pII CQ

k= 11

+ (.l)k (_l)k ak

1 converge. converge

I

se se

::= O O •

1/-'>00

Sea Sea entonces entonces

>

ll2n-4-1 > O

(de

(16»,

luego,, lalasusucesión cesión.

S2n_lJJ ¡ S¡2n.1

lim lim

n....oc 11. ..."'"

creciente, entonces entonces eses creciente, = dd (d (d

S2n+l

lim a =O, O, sese tiene: tiene: Pero como como lim Pero n-.oo n n-lim S S lim d d. n-+oo n n n->=

.

puede ser ser +""') +00)

•

111

.t!.Qll Sean Sean

a2n

11

=_1_

a2n+l

Yn

J;:-T++1 1

entonC:es: entonczs: a2n

11

1 + a 2n

1

-vn + 1++ 1 1, •

,¡Ti ++ 11 , •

porlolotanto tanto sese cumple cumplewlaladesigualdad (15) por w desigualdad (15)

w

'In + 1 + 1 Del ejercicio Del

<<

.

M 11

Yn

at

<

+ "2 + 1

1

Yn +

emn at ic

producto infinito infinito 178 elelproducto 178

Por otra otra parte parte Por __1__

_1_ •

{ñ {Ti

OO

2' +

(_1)kakakI 1 converge. converge. ¡ ¡1 1++(.l)k

k=2 2

yn+"2+ + 1

11

>> ..J n + t ¡ yn +

1 •

.Jn + t J

. co

m

11

I1

2Z

a1 1

n + 2'

entonces entonces +00'l1li

EIERClCIO 180 180 EJERCICIO Sean Sean

investigar in

a

- ---

2n+l -

1

y;; +

_1 1

¡;,

la convergencia convergencia divergencia de: de: la oo divergencia

253

,

~.

(ii)

(i)

l "" (.1)k ak

(iii) (iii)

1

k=l

Sugerencia (i) (i)

+

)( 1 -

(1..1-

el el producto producto infinito

converge aal. 1. converge

(U)

(1

'\' ( -1 )k ak .....

CIClO EJERCICIO

)( 1

(a,,,/

LL

((iii) iii)

-J.C<>.

11 ,

)

+00,.

181

Sean Sean a

investigar

-

n

-1 2 -1

-

-vn +-

_

ww

~1 = ..l'n

M

1

m·

a2n_2 ·2

.. i

la con vergnz cía w oo di uerg en da convergencia ci a de de

00

(¡) n 1 1 ++ ro 11 <>O

kk=ce 11

!

(. l)k ak

.

(ji)

at

2:

(Liii} iii)

(.

2:

(ak

em

.SugHencia .Sugt'rell ci a nn

at ic

(¡) (i)

el producto diu erg e aa. +00. +"" • r~ 2k -1 )( )( 11 + a2k."-?2 )) '" n , el ~ == 2 (( 11 •• aa2k.1

(ii)

11

Liii)

1 2 ( • a?k ~-

2

00

(a

n--=l

n

¡.

a2k -2 )

2

2:

---

1

-

k::.22 k • 11

)2

->

+ ce

•

a1

. co

m

182 182

El ERCICIO

O)y) Y 2: L an11 ís /5 n con verDemostrar que las las dos dos series series 2: ¡ aann (an > O Demostrar n nn gen o divergen simultáneamente simultáneamente, J donde donde SS ""= L 2: a n k= 11 k 12 k=

Solución

n

e11tonces entonces

lim l/->oo

SS nTI

sea que la serie serie sea EJERCICIO EJ ERe/CID S~a

nrz= 2

((11

nn=22

Sn

<

+00 00

si y sólo sólo si el producto infinito si

2: /5 n L anTI ís

converge. • converge. 111

183 lB3

Pn el n-ésimo n-é sim o primo , sí si ss > 1 demostrar demostrar

conuPrge, conlwrge,

~~ltl le loS)

00

¡

1 *s~

nS

n= 1 n=l

PkPk ••

Sol ucion

,

Sea Sea

Como Como

(

mm

nnk=

PP m m

k=.l 1 \ 1

1 + p-s ·s k

[I __fS r."

P¡~.

(p*s)2 (p'S)2

+-

kk

entonces entonces

nm nk= 1 m

P

m

k 1

k

..

.... .. .. ~

n"

(p'S)

w

.

M

N

1

o

N 1 (P"S) 2 2

••• ,-r ... 11

N

( P *S)

m

m

at

em

sea oo sea

at ic

m

que Pero tenemos terJemos elJÍdentemente etiÍdentemente Pero que

1s

p Nm m

entonces el/ton ces

;,¡

m 1 ) = )2 11k = 1[ [11 -' pk*s + (Pk.*S)2 \. 1 __P~S k 1

(../

w NI' .... w

P

(p*s )1

~~

kk

m _1_ 11 = 1 nS

¡

~

~

:2-

11 71=1 1

. co

m

000

Pm

a1

nS

tiene: tanto sese tiene: por lolo tanto por oc

lim PP lim m .v»: mm

m"'~

:211

11=1 1

7 l1li

•

255 255

CAPITULO CAPITULO

StJCESION SlJCESION

§ Il Límite Límite §]J

VV

DE DE

FUNCIONES FUNCIONFS

de una una sucesión sucesión de de funciopes func iones de

Una famila contable ordenada ordenada de de funciones funciones llll 1 l'11¡! ,donde ,donde famila contable Una .

InJ'11

común D[) para para todo todo 1111 , , se se llama 11ama su su' es una una función función definida en enun undominio dornin iocomún es

1!Inf,/x) (x) !!

Para cada pumo punto xx del del dominio dominio común DD , • Para

cesión de de funciones. funciones. cesión

es una una sucesión sucesión de de números, números, luego luego podemos podemos pensar pensar en en lala convergencia oo dídi" es vergencia de de la la sucesión sucesión w numérica numérica

ww

.

M

Si para para UlJ;/-\-)!. ( x) ¡, Si l1

TODO x.v ~~ DD TODO

SU" lala su'

cesión numérica ¡¡n( I/n(x)! converge, se se dice dice que que lala sucesión de de función función I/n ! x) 1 converge,

at

converge pUlltuaim"ute puntualmente (ó (ó converge) converge) en en D. D. E El l 1imite de lIn(x) Ifn(x)! 1 depende converge Ide evidentemente de de cada cada punto punto xx evidentemente

FF

una FU FUNC10¡\/ NCION una

¡.l. f 1 sese llama

de

x , digamos digamos x,

límite de de ,o sea sea que que elel límite DD ,o

em

lim f1 '"= lim

7I-><Xl 11-"'"

esto es es esto [I x) ¡(x)

e

lim l/x) I11(x) tim

todo xx para todo para

71 ....00 1I-+<><>

EJEMPLOO

66 66

FUNCION LIMITE LIMITE FUNCION

at ic

sucesión IJ¡1 I!71¡I yy se se nota nota : :

FF:-

a1 D. D.

nx 11 __ nx

si si

x E lO. .J_1 xElO'n n 1

O

si si

lJ.. , 1]. xx '"F l~ nn· ' 1 l.

de funciones funciones de fin ida en en [O, [O, 1]. 1]. Iln 11 es es una una sucesiÓn su c esi on de ¡In definida /n(O) J~(O)

Si xx ¡::;E (O, (O. Si se ti ti !?ue elle que que se es :

11. 11, 11

==

11

. co

m

{o

!,/ X )

de lala de

(1) (1)

(Figura 41 41)) (Figura

Sea Sea

!J,/d! l/):d I eses

Por de'linición, definici dn , Por

(11-"""') •

exi st e N N tal tal que que _l. < < x. x , entonces en ton ces para para todo todo 11) 11 :? N N existe N In(x) = O O ya ya que que x E E [~ 1Lesto ],esto <- ~ < xx ,• luego luego In(x) T I ', 1

lim fn(x) limn->ooIn(x) =

n ... oo

que o oseasea que la

o~ .o .

la función límite f es: función límite I es: f( x) = si x = O j( x) si x =: O si x I o. si x I o.

En la figura 41 (i) • se muestra CÓmo se comporta la sucesión de funciones En la figura 41 (i) • se muestra CÓmo se comporta la sucesión de y la sucesión numérica !/n(x) I para un x 1- o. I/ lln ! y1 la sucesión numérica Ifn(x)! para un x I o. n

ww

w

o

1.n

M

at

em

\

...x

1

.

at \ ic 2' a1

o

•

1

N (i)

(in

(i)

(ii)

FIG. 41 FIG. 41 El EMPLO ETEMPLO

t

I

I

. co

m

67 67

In(x) = .J.. n'

Sea Sea

¡

")

x

x E

R1

= (.

O<J.

N )

(Fig. 42 J • (Fig. 42 J •

1 In I es un a sucesión de funciones definida en R1 := (- oc. oc) • es evidente ¡In 1 es una sucesión de funciones dejillida en R I '" (-oc, oc), es evidente qu e que O lim nx ( para todo x ) • lim =: O (para todo x) , lim l/x) 114~ n_oc

La [un cion límite, 1, es la [un ci án nula La función limite, f, es la fUllción mda : l im lim 11~ tl--=

11;

=:

I

donde

f(

O O

x) =

I(x)

para todo x f (•oc, ,,) para todo x !f ( • oc • ",)

• •

257 257

h

x

v ww

w

F1G. FlG.

E' E,\lI'L ()

ve que 'lile l/e

M

68

Sea Sea

=

J;/x)

Lagrá/ica La

.

42

de' d(:'

1In 11

x(

j ,

at

rtc . 43 43 rIC.

em

~ [O, xX :,¡;. [O,

«)"

O •

O,

11/(0)

fI,r·.:) r/ xl

oO

at ic

:x

sea que qlle para para todo todo ~X" EE (O, (O. 1] 1) sea

I,/x) ¡,/x)

lim ¡im

(Il"'oc) (n ..."")

Dela'figura:i3 De la figura:1.3

a1

y a que qu e ya

se tiene tiene se ='

43).J. 43

(Fig.

s e muestra m u es tra 1.'11 en la la figura figura 43·1' 43·7~. se

O. en en realidad" Tea/id ad .. canuerge ¡llll J~I 1¡ ca nver ge aa O.

si x"l x -¡. OO ,, si

Il 11

OO ~~

1· x.v l.

. co

se se

< 11 , • oa

m

O • O.

11-->00 rl400 1;¡;

Nota Nota

1,;

(1•

(x) I~ (x)

de donde donde de

1) 1 • (11+ 1) x

máximo en en xx I,/->:) tiene tiene un un máximo f)x)

[,-. _1_. )) fIn,,+l n

28 §§ 28

X)l1·

11

Convergencia Sea

+ 1

~=

=n :

-1-1 I 1 _-1-111 n+ 1

nn+1 +

1

áxima es 1 • yY el el valor valor mmáximo es:.' _,

O (n...oc) •.•

uniforme uniforme

una sucesión sucesión de de funciones funciones que que converge converge aa f/ en en InIn una

D. enenD.

ronces para para cada xx EE DD se se tiene que que In(x) In( x) ronces existe NN tal tal que que In(x) - - ¡(x) I(x)!I I!In(x)

implica implica

nn ;;:.~ NN

-lO-+

número NN depende depende evidentemente evidentemente de de ElElnúmero

I( x) • ,oo sea. sea, dado dado (.e >> OO f(x)

<< €.E.

( (2)2)

del punto punto dado xx €t: D, D, por por yy del

fE

ejemplo : : ejemplo (x) == InIn(x)

ti) W

SiSi

l/x)! 1 [ !In(x)

<< € (

en

(O(O,.-fí] • n ]

en

(~, [~

(n ~-+(0) ...-+ OO (n oo.) • ,

.

(Ejemplo 66) 66) (Ejemplo

entonces se se tiene tiene entonces x < < e E, , ó Ó, -- nnx .

> 1 -

nn

E

X

u alor de de nn aumenta infinitamente cuando cuando xx se se acerca acerca alal origen esto es, es, elel valor esto waumenta infinitamente

w

( (ii) ji)

SiSí

¡

In

M

!In(x)! sea sea menor menor que w que !tn(x)!

para que que para

I x)

II/x)! Iln(x)!

_ 1

- -

<<

n

x E R1

xx , ,

ée

.

se tiene tiene que que se nn

fE. ••lit

at

= (-

11

00,

(0).

em

<< (E •,

ti [xl Ixl ti

>>M ( ,

In(x)

= x( 1 - x)n

->

O

(n...".,)

para para

f.E

•• fE" ••

.

a1

( Ejemplo

Sabemos que que el el vawr valor máximo máximo de de Iln(x)! I/n(x)I Sabemos

{1

ÓÓ

at ic

esto es, es, el el ValOI ualot de de nn depende de xx yy de de esto ((¡ii) iii)

(Ejemplo 67 67))

en en

(O, l] I1 fo,

68 )) 68

es es

. co

m

In <

dado si si escogemos escogemos nn tal tal que que __ __ 1_ 1_ < < f( entonces entonces se se tiene: tiene: >>. OO dado n+l n+l

11 - n+

para todo todo xx EE (O, [O, 11. 11. para

In <

sea que que existe existe n, n , independiente independiente de de x, x , para que que I/n(x) \In(x)\\ seamenOT sea menor que que oo sea €( ••

(Naturalmente, (Naturalmente

I

de €.) (.) nn depende de

•

•

Como en en el el caso caso del del ejemplo ejemplo (íiD (iii) si si existe existe N, N, Como

independiente independiente

de

259

x EE D D (que (que depende únicamente únicamente de de te )) que que satisface

Un !in!1

ces se dice die e que que

condición (2) entOn enton la condición

converge uniformemente a Ii en desigualdad en DD.• Ladesi gualdad

en scribirse como: como: en (2) (2) puede eescribirse [i x) - e

< in (X)

[ix) ++ < I{x)

(3 (3 ))

ft ,,

esto esto es es ,, la la gráfica gráfica

de in (para nn

todo todo

f

;:: ;;:.N) N) debe debe estar estar

compre~ franja compre~ en la franja

f-t

dida entre grá~ entre las gradida ficas ficas de

Ii

++

í:é

Y

fi - <.. (. En En la la figura 4S se se muestran los los ejemplos (i) ,(ii), yy ejemplos (lii) (iii) anteriormente anteriormente

(i) citados, , en en (i)

ww

w

.

M

at

em

y

(iít) (ii~) una parte parte de

FrG. FIG.

at ic

44

1

a1

. co

m

o ( i)

(ij) (ii)

(iii) Wi)

FIG. 45 la gráfica gráfica de . In in siempre sale sale fuera

anj a subrayadá subr ay adá aunque TIn sea sea de la [r franj

-+ -s.

la la totalidad totalidad de la la gráfica de In In esta esta con ~ n es suficientemente grande. grande.

muy grande grande, , en cambio en (iii) muy

tenida en la franja franj a subrayada 69 69

EJEMPLO

f (x) = n x( x ( 1 •- x)n x)n In(x) n

Sea Sea Si xx = O O. , Si

[O,

en

,• sí fn(O) (n->oo) si fn(O) = O ..,.-> O (n-'>oo) n (1 - x)TI

ya que

51 Si

O O ~ ~

x E E (O, (0,1] 1 ]

. (

1ww ,y -;:;;z ,y n+ w 1

J nn+ --1 *'* In(x)

=

x E [O, [O • 1 1. ].

46 46 se mu mu es tra tr a la gráfi ca de In • fn( x)

'. ca máximo maxtmo co en x ===

nx( 1 -

X)1I

)

.

M

..:ti * *

1hL

(_L) =_n_ 11_ 11 In III ) =~!lIIn+1 n+11 n+1 n+

I

O)

toma su úni-

¡·1 --1' 1 ln

,.

at .*.

y

•

I~(x) =n(l - x)II-1p_(II+

()

·lal'· el e valor v or m áximo axtmo es es

n --1 n+ _

se se tiene tiene que

Entonces: Entonces: para para todo

EII la la figura En

46) 46)

(Fig

O ( n ...."")

-e-

< 1.

1· 1- x

11. 11.

n+

em

at ic

a1

. co

m

x FIG. FlG.

Como Como

¡ 1__ 11 __

1-1lInn .. -'> -e 1-1 n+ n +

cuando nn4.... entonces ee cuando 0o 0c entonces

46 46 r(

ln

1) --1

....e (n ....oo).

n+ de f tá fuera existe la parte de la gr Sí E < 1 siempre existe parte de la gráfica de fn que es está [uer a de de Si E < n que O Entonces franja subrayada subrayada O ~ ~ YY < €. E. Entonces la convergencia convergencia In fn ....... O O la franja NO NO ES ES UNIFORME. UN lFORME •

261 261

"

EJEMPLO EJEMPLO

(FIG 47) 47) 70 (FlG 70

Sea

e" nx

en

(O

<XI) ,

I

evidentemente: evidentemente:

>> OO• •

para todo todo xx para De la la figura figura 47 47 De ve inmedialainm e diat a : se ve se m en te que que la la CO!} ca!! mente

uer g en ci a

In ... O

ww

w

no ees unójormee no s unójorm en (O, 00), (0), en en reare aen

.

M

li dad , sisi lidad,

< " se tiene tiene se

e"nx

at

em

at ic

'(

.

< {e •

FIG. 47 47 FIG.

sea, oo sea, nx -- nx

<< lag

té ,,

entonces: entonces:

> ." lag nn > x

x

a1

. co

m

é

lo tanto tanto no no existe existe n, n, independiente independiente de x. x , tal tal que que lfn(x)! ifn(x)! Por lo de que <e para para todo todo xx que [orm e en en (O. (O I !Xl). (0) , forme

Si Si consideramos consideramos

>>

O II oo sea sea que que la la convergencia O

«= ->...OO

l/x):: fn(x) =

UNI FORME ya que que para para UNIFORME N N

€é

Infn

sea sea

O ~... O

no es es uni. uní" no

en [1. [1. (0) (0) ,, la la convergenda convergencia en

O dado dado escogemos escogemos N tal tal que >> O N

>> •-logé log

t

=

log{l/d, lag (l

::

tenemos: entonces para para cualquier cualquier nn ~ ;. N N Y Y para todo todo x E E [1, [1, (0) (0) tenemos: entonces nn:;>

'"

N N

>> •-lag

(= {=

-log xx

€

(nótese que que _1_ __1 (nótese xX

<

menor menor

11 )) I '

es es

sea: oo sea:

¡1/.J •

(/Jara todo xx EE i p ara todo

00 00 ) ) • • })

•

11

Este ejemplo ejemplo nos nos ilustra sobre sobre como como la la uniformidad uniformidad de ele la la convergencia convergencia d~ cI~ pende del dominio. dominio. EJERCICIO EJERCICIO

Sea Sea

184 184-

IIn 11 una una Un

sucesion de de funciones funciones que que converge converge aa CeTrJ cero en en D. D.

l.

n "" ..

Sup Ifn(x) I/n(x) 1 # demostrar demostrar que· que ffn '"" p. S~p P xED' xED' O.• lim M Mn :::= O sólo si si lim sólo n n->oo n""'" M 11

Sea Sea

uniformemente uniformemente en en D D si)i si y

SoluciÓn Si lim lim Si

(í) (¡)

Mn

n->O oo

= oO ,•

dado dado

ww

w

entonces entonces

.

tal que que « > OO existe existe NN tal (>

M

=»

n ) NN ,•

para para todo todo

at

y) ,

em

para todo todo xx EE DD para (( para para todo todo nn 3:~ N N

at ic

esto es: es: esto

I

uniformemente D. uniformemente en D. (ii) (ji)

a1

--> O un iformem ente en D I dado e O existe N Si fIn n .... O uni formem ente en D ,dado ( > O existe N tal que

>

para todo nn ). para

N Y y todo todo N

lo tanto tanto se ti tiene: Por lo ene :

E D D • xx E

. co

m

para todo

Mn

nn

;:

N, N •

esto es •I esto lim n-->oo

TEOREMA TEOREMA

Mn = O •

•

11

25 25

Suponemos que que fInn ...... fI uniformemente en en D. D. Si Si /n In es continua Suponemos en ee EE D D para todo todo n11 ,entonces ,entonces la función límite 1imite f es continua continua en en c. c. en

263 263

D em o str aci on DemostraciÓn

Dado Dado

fe

>> oO

I/N(x)

IN IN

Como Como

I

[i x)

-

<< d 3

D. xx EE D.

para todo todo para

(4)

es continua continua en en e, c, existe existe fi?i tal tal que que es Ix - c

Por lo lo tanto. tanto, si si Por

.:c

existe NN tal tal que que existe

1

o

<

implica

- el c I

¡ xx

lj(x)-IN(x)

1

4-

"""__'r----

<<

I/N(x) - IN(c)

-------.M ~

A 1\

w

ti d33 (de (de (4) (4»

(5) ( 5)

tenemos: (¡R tememos:

liN(x)-IN(c) -IN ( cJ

ww

i < tl3.

II ++ I!t,.. !,v(/c)-j(c) el - l(c) II

f f <~+...!:.+~= -+-+ 3 33

..._________., 33

-----.,------

e

A 1\

A1\

ti3 (de (de (5)) (5»

d33 (de (de (4» (4» ti

at

•

em

Nótese que que el el teorema teorema 25 puede puede expresarse expresarse como como Nótese lim lim lim li m Ji jn(x) x) x~c n-seo

lim lim

:.t~(,

lim

n~oo~

1'1->00

'--.r----' I(x) f(x)

In(x)

[CO"""g
JJ

su c e si on sucesiÓn

o O

at ic

continuidad de J In 1¡ 1¡continuidad n

In( e) tn(e)

sea que sea que los dos 1ímites :

lim lim y lim lim x-+c X->C

n-->O()

a1

EJEMPLO BMPLO (( iJ

m

71 71

In (x)

/" lu ...-> I/

. co

SOl1 intercambiables. son

n40Q

don d « d'mde

1

rOrO,J.l 1.1 n

l. l-nxnx en en

en

• 1'1

" o O si si x ~f. O, 0,1(0) 1(0) '"= 11

IrI(x)x)

do r..l. n -fl] n I'

(E,oemplo 66 66) )

NO ES UNIFORME UNIFORME en en [0,1] [0,1] NO 00

y a que que la /ufHül" [un cirln límite límite 1 I es discontinua discontinua O a pesar pesar de que }a en O tinu a en f)(J para para lodo todr, 11. T/. tinlla

In

es c0E. c0E.. es ~:

t ii) fiiJ

Ir/x} 1,/ x)

= =

x2n t

h Ixl H Ixl >> JJ

c",,/I)1J( (/'1'Jit;1il

xx

x2n es es

J E R R1 = E

(( •- 00, 00,

00 )). • 00

2n xx2n 11 ~+ x2n

X

-2n ++ 11

-;. -+

11

(FIG 48) (FIG

.

Si Si

Ixl << Ixl

ento nc e s enbnces

1I

±I entonces entonces Si :x:x== ±l Si

... -+

IIn ((±I) ±I) n

.

O • O

1 = _1_. =_l_ =..1.. 22 11+ + 11

...

-+

.i: 2

.

tanto, la la función función limite Por lo lo tanto, límite If es: es .' Por

JJ

I (x) f(x)

ll

O O

si si

1/2

si si

jxj << 1 ±I xx = ±I

11

si si

jxl >> 11 ••

ww

w

.

M

at

o 01

- 1

em

at ic

FIG. 4848 FIG. La convergencia convergencia La

x

a1

NO esesuní uniforme que lala ¡un función límite I f nono fnIn -+ f f NO lorm e yaya que ción limite

continua enen ±±1 1mientras mientras que que Infn sisí eses continua continua enen ±±1 1... •• esescontinua ERCICIO EJEJERCICIO

. co

m

185 185

Investigar sisi convergen convergen uniformemente uniformemente oonono las las sucesiones sucesiones Investigar (¡)(i) (ii) (ji)

liIn(x )x)

sen n x '" sen nx

fn(x) fr/x)

1 n x ,

x

E R1

'(Tí

JI: x

r - M ,M EE f.M,Ml

1

l/nI.' l/ni:

=(-00,00). (FIG 4949i)i) ( • 00, (0). (FIG (M esesuna una constante constante (M

>>OO). ). (FIG 4949 ii)ii) (FIG

SoluciÓn (¡)(i)

1/ (x)i \ !tn(x) n

1 Como _1_ Como

-{ñ

-+

=

\ sen

yn

nx\ ~ .

...!... (para (paratodo todo x x EE RRI). 1) •

-(ñ

-+ OO(n-+oo) (n-+oo) I ,entonces entonces

1• uniformemente enen RR1• fnIn -+-e OOuniformemente

26_C¡

entonces entonces

en [. [.M uniformemente ,M1. ffn ...~ OO un iformem en te en M ,M 1. n

y

• ·\f

o

ww

w

.

M

at

em

w

FIG. 49 49 FIG.

M

~

at ic

EJERCICIO J 86 el BRClCIO 186 las sucesiones sucesiones IfIfn1:1: Investigar sisiconvergen convergen uniformemente uniformemente o onono las n fn(x)'" = n 2n2x(l. x (1. x)n «)" , , x x E E[0,11. [0,1]. W(i) In(x) (ii) (ii)

nx nx In(x)

a m 1

(FIG5050i) i) (FlG

1 • (FIG5050 ií) x x E E R R •1 (FIG

1 + n

. co

m

SoluciÓn Solución fn(O)'" = O (¡)(i) fn(O)

o ... ~ O.O.

SiSixx

E E(O,l], (O • 1] , n 2n2(l.x)n (1. x)n

-l>

~

__ ) yayaque que oO(n (n_)

OO~~ 1·1·xx

<< 1,1,

entonceslalafunción funciÓn limile límite esesI(x) f(x) :: =OO/Jara paratodo todo x xE E[O, (O,1]. 1]. entonces

Tenemos : : Tenemos

entonces In(xJ In(x) toma tomasusuvalor valormáximo máximo enen x'" x = __ 1-1 , ,y valormáximo máximo es: es: entonces y elelvalor n+ 11.+ J n2 1 =-11-I1n f n1(--) + 11 - 11. + (nn+l n ~ 1) :: n n+l n+ In Como I In< n! J> ... +00 (n....oo) , la convergencia no es uniforme en (0,1]. Como n( n:J) .... +",,(n.-) ,laconveTgenda no es uniforme en [0,1].

ca :

ver Fi Pig.g. 50 50 (j). ((ver xx

(ti) fn(x)

L.z

-e

J... +

x2

= _1_

(n->oo)x

sisi

x

xx // OO

nn

liO) == O

....

O

entonces la la función función limite límite entonces

[i x)

es ff es

::

xx f.f. OO

si si

= OO

si si

x X'"

La convergencia convergencia NO. NO es es uniforme uniforme ya ya que que la la función función limite límite nf) no es es PmtiTtu(,/ t on tinu a La

en O. O. en Tenemos Tenemos

n (1 • n x2)

!~ (x) /~ (x)

=ww

M

w(1+nx2)2,

.

1 en x=x == - 1 yy un un mínimo mínimo en en e s un a Funcion impar, impar, tiene tiene un un máximo máximo en esunafundón

In¡(x) (x) n

at

fñ

em

1

x

--. y ..¡ñ

-{ri

-2.

(Pig. 50 50 (¡i).) (ii» (Fit::

at .. ic a1 '

. co

m

o

1

n+l Nótese

(i)

x

X

PIG. 550O FIG. que en en ambos ambos casos casos el el valor valor máximo máximo de que

!/n(x) \ diverge ifn(x)!

a +oo ••

267

187 187

EJ ERCICJO

Investigar si oo no las in 1: Investigar si convergen convergen uniformemente uniformemente las sucesion suc esion c;s ,:s !I!~1:

f

(¡')

1 (x) =_.1_

_ nx .n x e- nx nxe-

rii)

[O,, (0) ",,). • (FIG 51 51 i)

en

x + n

n

2

[O, (o, <XI). ",,). (FIG 51 51 ii) il)

en

SoluciÓn ti) (¡I

Evidentemente Evidentemente

o O

"'-----....:¡. " ' - - ----4'~ (n __) (n-+OO)

Tenemos Fe n em o s

ww __ I_:<.l w x+n " n

.

M

para para todo

(_1_ ....

at

('n/e,nces «n trrnces la la convergencia convergencia es es uniforme uniforme en (¡j) (¡il

=

In(O)::: O O In(O)

Si S i xx

f=f O se se ti ene en e ::

(O, [O, oc) "",) ••

n

--....,2.... ... O

(n.... oo),

en x entonces: e n ton c es:

...

/,/ x) ._.... f/x)

I

em

....... O. o.

n e- n

O)

n

x :;:. ~ O. O.

at ic

oc) • ppara ara todo to do x e [O, (0,00).

O O

Tf!nemos :

2

f~ (x) =n = n _e-nx f~(x)

11 _ 11

2n

a1

. co

m

2

xl, I ,

sea que In(x) // x) tiene o sea ti ene un máximo m áximo en x

=.rl' Yy el valor valor máximo m dximo 'l2n

=12n _1_

I

es: es:

1

"¡ f n (110). =-Vn "(T ee~ t.•

Como COmo (Ver (Ver

1,/ J 1..[I;d) .. 1"" 1"" , la convergencia convergencia es uniforme uniforme en 1.,/1 NO es I

Pie.

EJERCICIO El ERClCIO

, ",,) [0,00).

H fíO fii)) J.••l1li 11 188 188

si CCHIIJeTgen convergen uni/ormemen te o o no las las sucesiones sucesiones Unl: l n-ue s ti gar si un iform emen te Irn.;,'slíga., l/n l:

x

E:. RR11 = = (-00,00). (-"",00). (FlG (PIG 52 52 i) i) E:.

.

x

=_ 1

(iii) ( ii¡)

R 1. (PIG 52ii) 52 ii) xx EE R1.(FIG

+ n Xl

1

..

xx

ee

(O, 1) 1) IV) (O, ív) (PIG 53 i) (FIG 53 í)

'* * '*

$:

(O, 1). 1) • xx EE (O, (PIG 53 53 ii) ii) (FIG

•

..• .. • '*

••

yy

ww

w

oo

.

M

xx

ti) (i)

at

em

PIG. 5511 FIG.

y '(1

(ii) W)

at ic

y

a1

. co

m

o

X

(í)

PIG. FIG.

52 52

SoluciÓn (i) (¡)

-

Evidentemente: : Evídentemente fn(x) x) fi

[I x) f(:':>

=

,; oO

{~ " {~

La convergencia convergencia NO es es uniforme NO La

SI SI

XX

si si

xx

O. O.

ya que que la la función límite límite ya

ff

no es es continua continua no

en O O.• en

269 269

I(f( x)x)

para todo todo xx EE RR11• • para

= OO

Tenemos: Tenemos: f~ f~(x) (x)

1 _ n x2 2 ? (I( 1++nn x )- ,

==

' . o en x fn(x) toma toma un un máximo máximo en en xx = - 1 , , un In(x) mtntm un mínimo en x

entonces entonces

.±-b-. 2v'n

j (+ l/\;n 1/\~) ¡J/'±'

Como Como

:: .±

11 -

If1/ ± !_ ) ),I I = _1_

1n

O

-->

22{ñ

1 en ton ce s la la convergencia convergencia es es uníjorme uniforme enen RR1 entonces

En Fn (i) •

1 = - "(ñ ,

'fñ

(Fig. 52 52 (iíJ) (h» ..•

1

uniformemente en en cualquier cualquier intervalo cerrado cerrado wwOO uniformemente origen. wdigamos digamos en en (b [b ,oo) ,<Xl) , ,bb > oO ,en ,en realidad: realidad: que no no contenga contenga alal origen, que ?

11++nn x"

-¡.->

.

M

at

oO <-~-.." < ---=--""2 <-<--1 = + nx n x2 " n b2 1

n

1 1 1-1_ (b2 I 11n

em

para todo todo para

=>

b. x;:. b.

En (ji) (ji) ,el ,el factor factor xx hace hace uniforrnizar la convergencia en en elel origen origen,, En

at ic

como veremos continuación: veremos aa continuación: como

. s R R1 J . p artimo en dos aos co rnunt os : partimos 1 en conjuntos:

Da do €(> > O O Dado

! x / Ix! < ((IU!x Ix IU!xl/ Ixl ~)- (e I1 .•

R1 [1]

Si Si

\x\ < < ¡xl

ff

entonces entonces

L \xl ~¿

2 I ~ .lsí, -$

n x2

I ~"én ~ lIS l+nx """':"--""'\

_1_ _1_

~<

(11

que para para todo todo nn que

V./x)!I << ltn(x)

para todo todo para

('

E

('E

?:> /

n , n.

\ \.

1

Ixl

-$

n

tn

1 , para todo n )' >(2 , para todo n ~

si N N lo tanto. tanto, sí por lo

sea oo sea

<<

~

f(entonces entonces

I1+ nx x

. co

m

I ~ Ixl !x!

l~xnx2

[111 [lll Si Si

a1

EN EN

<<

• N se se tiene: tiene: N

f. E.

N se se obtiene: ob tien e : N

para todo todo para

xx

E

R1 •

yy

uu: I,/x) l/x) .... oo

(Ui)

-+

xx

para todo todo para

(O, 1). 1). EE (O.

ya ya que que

La convergencia convergencia NO NO es es uniforme La SuP f (x) = xJ(~ = xE(O, 1/11,(:;;) 1) n

En realidad. realidad, En

I II/x) U n ( x) I

si si

p ara todo todo n. n , para

1

< Ee = _.....:....._< nx+l nx+1

nn > 1 _ > ((_!_-

se tiene: tiene: se

1) /:;; • l)/x,

(

cuando cuando

así hay hay que que tomar tom ar valores valores de de nn cada cada vez vez más más grandes así ca al alorigen ca

ffnn(x) (xl

O( i vl

(Fig.53 (Fig.53 (¡J). (i)l.

para todo todo para

....... O O

xx

(O, 1) •• EE (0,1)

ww enen (O. La convergencia convergencia es es uniforme uniforme (O, 1) 1) gracias La dado dado

EE

xx se se acero ac er-

.

si xx EE >> OO si

I/n(x) I

M

w (O, fE)) (O I

= __

Si xx EE (E, (E, 1) 1) tenemos: tenemos: Si Ifn(x)

I

tenemos tenemos

at

x_._ ~.:;; xx <<

nx + 1

= _x_

nx+ 1

yy

fE. .

em

x = < 2... = J.. .J.. nn, • nx nx

tanto, -si si escogemos escogemos nn tal que por lo tanto»

< ..l. .1. < n <

fE

x, x , en en realidad realidad, ,

al/actor

at ic

~~ <

p ara todo to do x para

e E

a1

(ó (Ó

n

E (O. (O, 1) 1) E

yy

» .J..) _L) se se tiene tiene :> EE

(ii».

(Fig.5353 (ii».

. co

m

x

x (u)

(i) PIG. FIC.

53 53

271, 271

EJERCICIO 189

Investigar In1'r.~"""P11.tp o nO si convergen convergen uniformemente no las las sucesiones sucesiones ¡In UnII Investigar si

ln (x)

ti)

(ii)

fix)

= Vn - r;; sen sen...!. yn n =

en R1 = (

y;; sen:

..

·oo, ""y

en [-M [·M ,Ml. ,M] •

SoluciÓn

I Para todo x E- R R1 se se tiene: tiene: !xl ::: _'_1

-40

"Iñ entonces entonces

(n....".,) ,

w f( x) ::::= OO (para todo fn(:x) .... todo x). x). ww

(i) (i)

O

P ara cual qui er n Jijo , si Para cualquier -fijo, fn(xj

=

fn

.

M

xn = 2" 11n se se tiene: tiene:

at

em

sen sen ( ~ nlnJ

eesto sto nos die 11 qtJ nos in indica quee ¡la11 convergencia

(ñ .... +00 (n-.oo) ,

=

at ic

NO es es {.mi/orme uniforme en en nI. R1•

a1

. co

m

PIG. FIG. 54 54 (i¡) (ii)

Si Si

JxJ

.,:;:: ~ MM se se tiene tiene

J/n(x)

Como Como

M M /{Ti l-{ñ

J = Vn !I sen sen -> ->

:

II $.~ 11~~ Ix] ~ ~ nn

n. n.

O O entonces entonces la la convergencia convergencia es es uniforme en en (.M [.M ,M]. ,M J. (ver (ver

Fig. 54.) 11 • Fig • . 54.)

EJRRClCIO ERClCIO 190 190 uniio.mlemente las sucesiones sucesiones !in!in emente o ononolas I I:

Investigar sisiconverg conuergen en

+ x

[O, 00) enen (0,00)

2n

en

[O, 11 .

si

O

'io!ución "(i)

fr/x)

[t x)

--+

[

wwsí x x > > 1 1• • NO eses uniforme que lala NO w yayaque

l .a convergencia La

(F i g. 5555 (iJ). til ) ,

ir/x) .... --+ ríOun J~(X)

<1

x

si x '" =1 1

: O

en01 x x = 1

.~

.

M

función límite / f nonoesescontinua continua ción limite

at

para todo todo x x E E' [O[O, OO para , 1]1].•

Tenemos Tenemos

f~(x) t x) f~ entonces fn(x) fn(x) entonces

f

em

toma un un máximo máximo en en xx toma

(_1_) n "(2n + 1

at , y =;¡;-;/;-¡ i

= n(In (1 - x2)n {1•• (2 o; )n •-1 J. 11 ) x2 ¡¡ ,, n ++ 11) 1

ca

, y

1.

_n_T 1__ l_]n --> + oc (n-->oo). 1I/2n+ 1· 2n + 1

=

tanto, la la convergencia convergencia NO es es uniforme uniforme en en [0.11 [0,1] Por lo lo tanto. Por NO

(Fíg. 55 (im • c 55 Ciij).

om

EJERCICIO 191 EJ ERCIC/O 191 Investigar

si convergen convergen uniformemente uniformemente oo no no las las sucesion sucesioneses si

(i) (¡)

x) = ffn( n ( x) =

)n (1 ++~ )n (1 n

en en

(ii} (iiJ

fn(x) fn(x)

• 1 tan• 1 nx nx tan

"en 'en

•

11

{fn 11: :

[O, bb]1 •• [O,

[O, [O,

00) •• (XI)

su; ciÓn (n(¡J

Sabemos que que para para cada cada xx la la sucesiÓn sucesión Sabemos eX. Sea aa eX. Sea

l( 1 + 1(1+

:z

)n

I1

es creciente creciente es

y tiende

273

y

ww

w

(i)

FIG.

.

M

55

55

FIG.

at

y

em y

at ic

a1

. co

m

o

x

b

(i) x (¡)

FIG.

FIG.

56

56

_ (1 +

gn( x}

(íi) Lii)

)n

entonces

entonces

_ (1 + L )n-l

g~( x) o

sea que

n

gn(x)

es

:;:.

eX _ (1 +

una función creciente, luego,' creciente. luego:

3-

O

•

que es que la la convergencia convergencia es uniforme uniforme en en '[o, lo, bb 1 (Fíg. (Fig. 56 56 W (i) ). J.

esto esto nos no s indica indica

o •

(ii)

Si Si

> OO entonces nx entonces n x .".... +00 +"" ,, luego luego

xx

tan-11 nx nx

...... rr/2. TT/2.

Esto Esto es:

=

f(f( x)

La NO NO es es uniforme La convergencia convergencia en x === O (Fíg. (Fig. 56 (ii») ) •

ww

M

{

0

si

x === O O

.2

si si

x > O. O • llimite imi te If no es continua continua

ya ya que la función

w•

Dada una

111

.

de funciones

sucesión

L"" f n= n= 1 1 Inn

at

sucesión de las las sumas parciales es la sucesión f1 + f2 + + ...... •••

Sn

definida en 1! fnn 11 definida

sene D , la sene

em

! 5Snn I1 donde

at ic

fn .• ++ In

a1

Se puede hablar de de convergencia convergencia puntual puntual y convergencia convergencia uniforme de la seserie de funciones. funciones. EJEMPLO

72 fn(x) =

Sea Sea

Sn(x) =

?

Ln

k=l

en

/-

(-1,1)

,

. co

m

x(I-?)

•- xx

Como 0 ? .......OO en (-1,1) (- 1, 1) se tiene: ti ene " Como

Sn(x)

xx ... --1_x 1_x

....

puntualmente puntualmente

en (-1,1) (-1, 1) ,,

o sea: sea,' 00 oo

LL

n= 1 n=1

?

x =_x_ 11 _ xx

puntualmente en (.1,1). puntualmente (-1,1).

Pero. la convergencia Pero, la convergencia de la serie serie NO NO es es uniforme uniforme en (.1,1) (-1, 1) como puede puede

275

ier se a acOntinuación cont inu aci on l'er5e

S,/ x)

!

¡_¿_: <

-

ixn+l¡

---'--~

entonces entonces

e

- x

1 -

< €( , ,

x

sea o osea

dI.

x)

,

donde dede donde

xl <

1) (n -;-l)log

logé(

-1- +

x ), , lolag g (1(1- x)

e sto es es esto \ \

lag

11

11 1/ , •

SiSi xxseseacerca , , lolag g acercatia 11 Ó. Ó. 11w

w

é

M

~ lag lag Ix'

(¡ -

.d

tiende tiacero, cero, asi así que que debemos debemos escoger escoger tiende

Ixi

nn cada ue z más más gral/de cuando cuwando x x titiende esto l/OS no sindica in die aque que cada vez ende aa ±.=.1 1 • , esto

hay

u al or de'

UlI

menor que que menor

fé. •

.

Se Se puede verificar

ff

(O (O

<<

fé

at ic

<

2

ixll+I! I '< 1_ x

1·- xx '' 1-·

x .• x

rT

(x (x

por la derecha) .-1¡ por' a derecha)

.

l im

a1

.1.. ) Slsi existiera existiera algún n71 tal tal que que 2

_.\_. -l --'---1 tomando tomando

sl?a sea

que haga que

la convergencía convergencia NO NO unijorme uniforme también también de_la de.la siguiente la en te

an e r a • anera.

Dado Dado

110 110

em

• Nota

III

at

in de pelldiente end ien te dede x "No t a 11

tiende aa tiende

é

ara lo lodo do xx Et=' ((- 1, 1 I 1) 1) ppara

por la la izquierda) por

. co

m (x(x tiende jitiende aa óÓ xx ->.... •- J+

se tendría: t endria : se

I x'1+ 1i

---'-

x-.» 1+ 1 - x

11

2~ 2 .::::

((

I

lim x....1-

lo cual cual es es absurdo. absurdo. lo En En esta esta forma forma ,I se se puede observar observar que que la la dificul dificultad en los los extremos extremos tad está en

del intervalo intervalo (.1, (.1, 1) 1) •• del LLaa serie serie converge converge

uniformemente en [·d, [·d d], dl, emente en I

x

• x

¡

O O

< dd <

oO

que 11 ,,ya ya que

(71->00) •• (71-'>00)

1- d 111

EJEMPLO EJEMPLO

7373

Demostrar que quelalaserie serie Demostrar 00

1

¿¡+1)

(1- ;?l)(l. ¿¡)(ln=l (1n"'1

converge l'onverge

el

Ixl¡xl <<

cuando a (1 _ x)2 cuando (1 •

1 ---=---,.. cuando IxlIxl > >1.1. cuando

1 I Y a a 1 1,y ---'--.... x(1-x)2 x(l. x)2

converge uniformemente uniformemente o oTlOno lalaserie. serie. fn tn ce süg arsísi converge

5.2.Iud ón x n-1 x n-1

1 x (1 • x)

(l.xn)(I.

¡ _-=1_ - ¿¡

xn -1 --~--1 = ww n n=1 1 (1 . :J1) w(J • xn +) N

1

.

M

N

1

TI

1 ! n= 1 1x(x( 1.1 -x)x)

¡_. _1_- _l_

at

1 1_1_ 1_1_ x (1 - x) 1·1 -x x -x"""'-"'"

Si Si

Ixl <<

xN+l ~h-i".

entonces 11 entonces

_--=-1 _ x (1 -- x) x) x(1 Si' SI

Ix! >>

.en ton ces 11 ,entonces

->->

n=l n"'1

n-1

(l. ~)(1

1

1 •1 -

at ic

?+

(N ->00) ....00) , , luego OO (N

1_1___

11

(1 _ x)2 •

11-- xx

Ix¡N+l Ix!¡N+I

--> ->

00 00

00

1

1¡

-~'7""""":ll. j.

em

x ( 1 _ x )2 Entonces En ton ces

1 - ¿¡+

1. xn

_ :J1+1)

=

,

,

i

1luego uego

a1

. co

m

•

(1 - x )

2

x ( 1 • x)

2

en

Ixl << Ixl

11 I ,

en en

Ixl >>

1. 1.

en

Se puede demostrar demostrar que que la la convergencia convergencia no es es uniforme uniforme en en Se no

Ixl <1,(6en < 1, ( ó en

¡xi >> 1) 1) por por un un razonamiento razonamiento similar similar al al utilizado utilizado en en el el ejemplo 72. 72 • ¡.X-;

•

1III

277

§§ 29

Algunas propiedades

de la la convergencia

uniforme

En En los los siguientes ejercicios ejercicios se se darán algunas propiedades de la cOnv~ opllea:aat~s de gencia uniforme uniforme de de sucesiones sucesiones de de funciones. EJERCICIO EJERCICIO

192 192

Supongamos que Infn Supongamos que

-+...

uniformemente en D. D. ff uniformemente en

es acotada acotada SiSi Infn es

en DD (para (para cada cada nn ), ) , demostrar demostrar que que existe existe una una constante constante MM tal tal que que en

I

~

para todo todo nn yy para para todo todo xx EE DD , , para

M

(6(6) )

D. que f / es es una una función [un ción acotada acotada en en D. yy que

SiSi existe MM que que wsatisfaga satisfagalala condición condición (6) (6) , ,se se dice que que IIUn¡¡ es es unl uru n ww forrnemente acotada acotada en en D. D. formemente

.

Demostración

M

at

em

Dado (> e > OO existe exis te NN tal tal que que para para todo todo nn ~~ NN tenemos: ten emo s : Dado ifn( x) - f( x)

I

<

para todo

é

x

sea oo sea !fn(x)!

< !f(x)!

IIIf(x)! (x) I

<

+ e

at ic

para todo todo para

E D ,

También: .' También

Sea Sea

IfN(x)!

Mo una una cota cota de de Ala !f( x)1 x)! << 1/(

e

+

a1

para todo todo xx EE- DD •• para

€f

sea que que /f es es acotada acotada en en D. D. oo sea

(para todo todo (para

D), , xx E-E- D)

De (7) (7) tenemos: tenemos: De (para todo todo (para

). xx FF- DD ).

Sea Mi Mi una una cota cota de de JiJi (i(i Sea

1,2, ••• ••• IN· IN· 11)) €n €n DD •, sea sea 1,2,

M es es una una COTA COTA UNIFORME UNIFORME M

de todas todas las las funciones funciones de

en D. D. en

•

11

. co

m

t» enen D, D , entonces: entonces IN Al M oo ++

(7)

D • xx EE D

tifi (t i ¡

= 1,2, 1,2,3, •••• .... ) )

74

EJEMPLO EJEMPLO

/,i x) ::

1 - ,!l ..::,1_"--.::._ 1•- xx

[O, 1). 1). [O.

en en

Para cada cada ni n , In fn es es acotada acotada en en [O. [O, 1), 1), en enrealidad re alidad: : Para

1tn{ ()Ix

= _1 l ·-~ ~ === 11++ xx ++ x 2+ •••. + x n·1 + .•..+ «

Í

1- x

<< nn ••

__ ._ en [O, ..-+ ~ en [O , 1) 1) , , como como la la [unción ciÓn I imi te no no es es acotada acotada 1. 1 - xx

[o, 1) ,la convergencia [O,1),la

no es es uniforme uniforme '111 •• no

193 193

EJERCICIO

en en

_.

Si Unl Un}yy !gn! !gn 1 convergen convergen Si

uniformemente

en DD I , demostrar demostrar que que Un + gT/I en

uni formem ente w en D. converge uniformemente converge en w D.

w

DemostraCiÓn fn In Dado t e Dado

_,. f. f,

->

gn yy gn

.

M

at

uniformemente en en D. D. gs uniformemente

->-e

em

existe NN (independiente (independiente de xx e-e- DD )) tal tal que que para para todo todo >> OO existe de

). }~N "i~1l~"" tenemos: nn '.:-

I <

<..L. -g(x) 1 <-L 22

enton ces :: entonces

at ic

(para todo todo x EE D ), ), (para

a1

. co<~+.!.. 2 22 f

= €e

=:

m

EJERCICIO El ERClClO

194 194

Supongamos que que Supongamos

fn /n

_,. f

-+

y

gn ... .. g

uniformemente en D. D. Si uniformemente en

y 19n 19n1 1 son sucesiones sucesiones de funciones funciones acotadas, demostrar que acotadas, demostrar f·g

uniformemente

en en

D. D.

DemostraciÓn DemostraciÓn Por el el ejercicio

¡fr/ x) I

•

l1li

~ M ,

192 existe existe una una con constante M tal tal que 192 stnnle M

l/ex)!

~ M,

!gn(xJ! ~ M

(para todo todo n ,y , y para todo todo x E E D D (para

I~M

l/nI l/nI

..

Como Como

yy

fn ........ ff In

gn w_> --e gg uniformemente uniformemente en en D, D, dado dado

E(

existe >> aO existe

N N

tal que que si si nn ::;;~ N N tenemos: tenemos: tal

<< -(-f

l'

2M

para todo todo xx EE D. D, para

2M

Entonces: Entonces: -/(x)g(x)!

- f( x)

I+

M_<_ M-<- ++ M_f M_E '"= 2M 2M w

w

o sea que

tf , ,

2M 2M·

M

uniformemente en ff gg wuniformemente en

fn gn

.

D,.111 D.

at

es condición condición indispenindispenII¡fnn l1 yy ¡gn 1 es tiende aa ffgg uniformemente,, corno como puede v~ ffnn e; tiende

La acotación acotación de de las dos dos sucesiones sable para para delmo."'tr;1! demostrar que que sable

em

at ic

se en los siguientes ejemplos. EJEMPLO EJEMPLO

75 75

Sean Sean 1 11 +n x +7

Ir/X) Evidentemente Evidentemente

,,

'

a1

x X

(O , 1). 1), E (O,

ten emo s que: que: tene.mos

. co

m

uniformemente en (O, (0,1), uniforme m ente en 1) •

x

T'enemo s : Tenemos: 1 1 1 + -1 xx + - 1 1 ++ L +n n n nx

+-;; ...

->

f ( x) g ( x) t(x)g

11•,

Pero, Pero. 1

+

esto es es ,dado ,dado esto

f(

>>

O ,, aunque aunque nn sea sea muy muy grande grande O

que que

n1x >> €e (basta (basta tomar tom ar xx nx

fL«; n

~

....Ifgg

+ñX

<<

nx

,

existe xx EE (O, (0,1)1) tal tal existe

n1( J, ), oo sea sea que que la la convergencia convergencia n!

NO es es uniforme uniforme en en (O, (0,1),. NO 1 J.

..

En este este ejemplo. ejemplo, la dificultad de la la uniformidad de la convergencia convergencia está / x) I) ((5 .> .» O) O) entonces entonces 1 In(x) en x = O, o. si consideramos consideramos un un intervalo intervalo ((). [R. 1) en 11 tOfrnenlen!te en y gn( x) son acotadas, luego In gn ->-> fI gg uniformemente en [8, [8. 1). 1) ••111 76 76

EJEMPLO

Sean

I 2.) ,,(1 xCI +ñ") n

-J

si si x

I

l:+; (i) Demostrar Demostrar que

{In I1 y I{gnl !In

lo acotado. acotado.

ww

w

x

.

=

E R 1 = (.00, (0) ,

O. irracional O , Ó x ::::= irracional

si x:::: x o racional

~ ((bb

• Nota

en cualquier intervf!. in terua

convergen converg en unilormemeni~

M

> O). O ) •

UiJ t ii) Demostrar Demostrar que {In gn I1 no converge converge uniformemeflte uniformemente en ningún ningún intervalo. intervalo. Solución

x E E (A,S] lA ,B]

(i) Si

Ifn (x) por lo lo tanto tanto

In

- x

=

at

.lzl, ~ _f_ _, n ~ n

e o m

at e :: ic a1

O

....

-lo

t:

O áÓ x ::::= irracional si x = O irracional

si si

tlA/. {IAI. /B/ IBI I1

en en [A, [A, B]. 8] .

emente uniformemente

Xx

Md~'¡1rtO M.áximo

donde donde

tenemos: tenemos:

g(x) ::::= g(xJ

Sea

I

entonces entonces

x:::: x = a/b al b

(b> (h> O O )

• Nota

. co

m

entonces entonces ->

O ,

esto esto es es ,• 1 uniformemente uniformemente en R RI• • ** Nota

Sea Sea

a bh

.,*

*'*

*

*'.

( b >O O) ) • a • b enteros enteros, , la expresión

irreducible irreducible

del

número número racional racional x. x , ?Rl

'ii)

Sea

entonces entonces

~

=

x (1 +

l

~

n

o ó

si x

x(1 +.J.)(b+..l)

n

n

irraciónal 1

)( 1 +;;¡;) si x

a(1

Si x:= tenemos al bb (racional) (racional) tenemos: : x:= al

_ a

h (alb)

n

:=

..E. (1 (1 +..1. +J.. ++_1_)) . n

cual qui er intervalo in terualo pero en cualquier

hn(alb) hn(alb)

... a

lim

bb

nn b

I al

:=

J

+ 00

NO NO es es uniforme. uniforme •

-+

ww

w

EJERCICIO 195 EJ ERCICJO 195

...

.

M

lu ego

J

•

!IIi

es unilar, que l/nI D yy que en D em ent e en Ilnl es que In -> fI uni jorm emente Supongamos que Supongamos demostrar en íIxl gs es xI ~ es continua continua en ~ M J demostrar memenle acotada por M • Si m em en t e acotada

em

que que g(¡J

g (In)

at

uniformemente uni jorm em ent e

Solución Como

Para Para este este

D. en D en

at ic

M I¡ es es compacto, compacto, g es es uniíormemente uniformemente ~!E.?'!.!!.!: continua, Ixl \x\ \xl ~.:¡:; M Ixl

sea sea que, que J dado (e > O O existe existe \y -_ :y

I

z:

¡:;l'

tal tal que

< R r. • Iy\..:;; Iyl ~ M M , ¡zl..:;:; Izl ~ M M implica J

a1

\g(y)_g(z) Ig(y)-g(z) \1

. E co

<

I

f f..

!i(í ya existe de x E D) ya escogido. escogido, existe N N (independiente (independiente D) tal m tal que

n /::. >' N N

Ifn(x) - I(x)

implica

I <

ti

para para todo x

~ ~

D ,

[U('gf, lue gr, :

,/

g

El PLO El E,',l E\1PLO

o

(

f

para Nt para todo x E D Y para para todo n :;: ;:::N,

uniformemente uniformemente en D.

•

II1II

77

/J(- la desigualdad 1)(, (¡

{J

-,

"

1 -_

1

conocid a : *Nota conocida

lo g (1 (1 \I t) t)

< <

t2I 2

para para todo

t): O. 1;;;: O

oo

se se tiene tiene

O ~ ~ luego: luego:

2 +--z 2n 2n

n .( nX -_ lo g (1 (1 -'+- -.::) ~) ~ ~ X

. n

(x (x:; ~

O

"

2 x O x - n lag O ~~ x-n log (1 (1 + : ) ~ 2xn n

(8) (8)

Enton En ton ces ces se se ti ene :

logg (1 (1 + 2:..) n lo :11 ) ya que ya X

-. -,

X x

'd ''1 , 1a su ' 'd em as nemas, suceSlO1l .t1 c e st..on

-, O O

¡! 12n

(n->oo) •

1og ( 11 1-+- -¡¡ nx )

ww

w

(8) (8) una una cota cota uniforme uni jo rme

M

. es I?S

1í

,l rO , B] B] es UnljOrmemente un i•jorm em ent e acota acota d a en [O

B ) <:/llonces: eu ton c es :

at

uniformemente en [O. uniformemente [O, B 1,

em

o sea sea que

ro.

en fa, B ] •

uníformemente uniformemente • Nota Nota

Sea Sea

f(t) f(t)

= = _/_/ -2

at ic

=

0=

O, O,

tt22

+ __ 1 tt-- 11 + 1+ t

r(t) /'(t)

11 + t

a1

> O O ,

:;:. ~ O. O.

j(t) /(t)

EIERC/CID EIERC/CID

196 196

Sea Sea

fnn

. co

m

esto es. es, esto

Si

•

111

t + l og (1 (1 + t )) •,

ent(mces entonces

feO) feO)

,

2

271 2n

(de

[O ,B 1 [O ,B 1

uniformemente en uniformemente

uniformemente uniformemente (n = 1,2,3, ••• (n=1,2,3, •••

)

en

(a, (a, b). b) •

es función continua es una una/unción continua en

[a, b1. demostrar [a,b],demostrar

que que : uniformemente uniformemente DemostraciÓn DemostraciÓn Basta demostrar Basta demostrar la la

convergencia de convergencia

en

[a, bb]1.• [a.

IIn(a)!. !ln(b)!. IIn(b)!. !ln(a)!,

283

Dado ..(

> O O existe existe

3

n

N

IIn(x)-f(x)

implica

No

Sean mayores que Sean n y k mayores x

tal tal que

o

I

para todo

<~

4

No' por 11a a continuidad fn y continuidad de fn No ' por

x E (a; b) ,

h en Ik

[a, b] b 1 existe existe (a,

E (a, b) talque tal que E (a,b)

<~" , < 4

luego

tenemos tenemos: :

ww

w

.

M

< ....:+~ +.!.+..:..= 4

4

4

4

!In<

Esto es. la sucesión es, sucesión lfiaJ! aJl I/r/a> !ln(a)

¡I

CONtJ(!rge. converge,

a.t

e

,

em

satisface la satisface la condición condición de Cauchy,o e auchy ,o sea sea que

at ic

)fn(b) 1 converge. 111 !fn(bJ! converge, •

De la la misma misma manera, manera,

78 78

EJEMPLO

"n ¡n .:..

S (x) n

/-b

es es continua continua

y,;'"

k=l k=l 1"" )< xk k=l1

Si la la serie serie

con convergiera

a1

[.1, 1] 1] para para todo n. n, [.1,

en

. co

uniformemente en uniformemente en (.1,1) (.1,1) entonces entonces

las las

"" 00 k esto 196), deberían esto (E¡ er ci cio m196), deberían converger converger (Ejercicio 1 11 Y y 2: (.1)k (.1 ) := 1 ::::: 1 k=l k=1 convergencia de de la la serie serie NO es uniforme en es es imposible, • Por Por lo tanto, tanto, la convergencia

dos dos

series

(-1,1), (-1,1),

l1li •

EJEMPLO

fn(x) Si

fln n

79 79

= ---

...." aO

->.

es es

continua en en [O. [O, continua

11 11

para todo todo n. n, para

nx + (O, (0,1]1]

em ente en uniformemente

entonces entonces Un lfnl¡ convergerÍa convergería unifor"l!

mente luego lafundón la funciÓn límite límite serfacontinua sería continua en [O,l1.Pero: [O,I].Pero: mente en [O,n, [0,1] ,luego

........ ¡( f( x) x)

=.ff

:::

O 110 si si xx = O O si x ¡.1- O

llO

uniforme un i lorm e ••

en (0,1] (O. 111/0 es ¡¡ en 110 es

) __ 1_, nx+ 1

esto es e s imposible. imposible. entonces entonces la la con/Jergencia convergencia de de esto

•

III

EJERCICIO EJERCICIO

197 197

J~¡¡ una una sucesión sucesión .Sea Sea ¡1J~ uialmente en [a, b]. b]. tualm ente en

ff

Si Si

Inl;n

Solución

-+-+

Porla Parla continuidad continuidad

de [undones cion es monótonas monáton as de

fI

es continua continua es

que tiende tiende aa

puuff PUII'

[a, b] b 1 ,, demostrar demostrar que que

en en

uniformemente en en [a, bbl.l. uniformemente

¡.l.

uniforme de de

IxIx--yl -. y I << ~')

dado f e >> OO existe existe dado

talque que OO tal

é I!(x)_.j(y) !f( x) f(y) I¡ .<_é_

implica

(9) (9)

55

Consideremos !!!!!!.. particiÓn de (a, [a. bb11 : Consideremos de w

=a,x¡, tal tal que que NNk k

ww

.

M

,

X2 • • • •

#

at

< O[) para para todo todo kk. .

xk -- Xk·I xk.1

Como Como

Ser¡ Sea

Sí Si xx E E la. (a, b] b], •

fn( xk) ¡ixk)

at ic

implica

o =

=b

12

em

tal que que tal

N. No

X

rfxk.l, xk.1 •

existe existe

.

. co

para 12n?;. No para >N o .

#"

m

lIi x ).-

1+

~ 1\

I/ixk)-

<

+

1+

--"...--' A

1f;/xk.l)-ln (xk)1

5

a1

xk]J para para algún k •

tenemos: tenemos:

<:

I( xk) !(xk)

(JO) (JO)

,\1 áxim o ¡1 No' No ' NI' N l » •• •• •• ,• N N12nI.I

pertenece aa x pertenece

-+-+

.s: (podIO» (por (10) 5

I/(Xk)-/(x)

I

~

1\ ...i../por(9» .s: (por (9) ) 55 ..

J\ +

)I 285

11 11 < - 2 ff +-1 ft +_ _t +_f E + +_f 5 5 5 5 5 5 5 Esto es es ,,In fn Esto

fI

-> ....

'" =

Nota /fI~ Nota

tf

ra, b 1. 1.


1 < .2. l/,/Xk_l) I(xk_l) I1 < If7/Xk_l) -- f(xk_l) -

(10) , por (10) por

5

I

< <

1/ I 1/ xk) 1

< <

\j(xk.¡) I(xk) xk) I/(xk. 1) - I(

Ij( xk ) II( xk)

-

--

por (9) ,, pcr

fE

5 1

--

5

por (10) (10) •. por

fE

• 11

Nótese que en este este w ejercicio sucesión !/,/x) ejercicio la sucesión !/)x} ¡ no es monótona sino que Nótese

w

M

cada las funciones /~ es monótona (algunas pueden pueden ser ser crecientes creclentes yy cada una de las funciones w/~ monótona" (algunas

.

at

otras decrecientes, ver Ejemplo Ejemplo 881). 1 ). FI es válido otras pueden ser ser decrecientes, El resultado resultado no es válido

para intervalos intervalos abiertos empl o 8 O) O) para abiertos (ver el ej emplo EJ EMPLO EJEMPLO

em

80

/I/X)

Sea Sea

o;

nx

e1JÍdentemente «t.i den tem ente

f/nn

-1-

o

la convergencia {aconvergencia

a1

una /unción monótona monótona (decreci (decrecí ente) para cada en te ) para cada 11n y una función

es

ppuntualmente un tu alm ente

O

pero pero

at ic

(O, 1) ,, (O,

en

_ __

NO

en e12

(0,1), (O I 1) I

en (0,1) (0,1) (Ejemplo (Ejemplo 79,Ejercicio 79,Ejercicio18R 18R

(i i iJ )J..• l1li i iii) EtEMPLO E/EMPLO

81 81

I i(x) 2....±..1.. x) = = (.(.1)n u«:- 1 .L.:t..J. n 11

Sea

n

n

evidentemente fn e ui de n t em en te rada cada In

es creciente !!s creciente

ItIIi!

eS decreciente eS decreciente

()

en

[O,111 Il .• [O

es monótona. en realidad, realidad, es monóto7la.

In

si si

n

si n si

. co

m

es uniforme uniforme

es

es

!'un ente te p un !ualm tu al m en

impar, impar,

par. par.

en [0,11. [0,11,

Como Como

I'n(x)

EJEMPLO eJEMPLO

2 ~n se tiene tiene •' se

I

~ n

que que

fn

uniformemente en en [o. [OI 1]. r l, Oo uniformemente

...

82 82

Sea {cnl Icnl una una sucesión sucesiÓn que que converge converge aa Sea

c >> O. O I demostrar demostrar

que que

C

uniformemente en uní lormem ente en

(.[-M,M]. M. M].

Solución Como ec >> OO , I supongamos supongamos que que Como (cn)X

> 11 creciente. creciente. sisi cn << .1 1 d.!l,

n

....

eX es esuna una función función continua continua en en [.M. [-MIMl,Por tanto M 1,por lolo tanto

eX

EJ ERCICIO EJERCICIO

[-M I M 1. [.M,M].

uniformemente en en uniformemente

ww

w

m emen te memente

para todo todo n. n , >> OO para

monótona (si (si ccn es una funciÓn ciÓn monótona

creciente) ) , I además además creciente

Sea Set:

cn

198 198

.

M

•

111

at

monótonas l/nI una sucesión de de funciones es monótonas I!n luna es monótona. monótona. en [a, [a, bb], demostrar que que I f es en J. demostrar

que tiende tiende aa ff uni/~ unifo::. que

em

Demo stración

at ic

qu ee If no no es es monótona. monótona I entonces entonces existen 1tataexisten x, X, y, y I zZ íé~ [a, [a, bb1 qu

Supongamos les que que les

f(y) << f(y)

xX

<< yy <<

zZ

f(x) f(x)

X

< y

z

f( x) > > J{y) f( y) f(x)

,I

I(y) > ley)

o ,

f(y) I(y)

a1

(11)) (11

fez) fez)

.

fez) c•o << fez)

m

tiene (11), (11). Sea Sea Supongamos que que se tiene Supongamos (

= Mínimo

f(y)-f(z)1

I!(y)-f(x)I

existe N N tal tal que que entonces existe entonces ~ N N implica implica nn ~

Ifn(t) -- ¡(e) f(t) Ifn(t)

II << d2

para todo todo para

[a, bs1. l, tt EE [a,

lo tanto tanto tenemos tenemos Por lo Por

I! (y)-!(y) (y)-f(y) 11 nn

I/(y) -f(xJ _¡(x)! 1++ ¡¡(x) I!(x) ¡1 ++ IJ(y) ~ -----v----'

fn(x) -- In(x)

I1 >>

O ,, O

\Ve (

287

f(y)-f(z) nIn(y)-fJz) . n

= Iln(y)";'j(y),

+ ~+

·1..·

> o

I!(z)-In(z)'

:,,

\V \V t

.. •

(absurdo. ) ).

esto es es • , f In no no es es monótona monótona esto n EJERCICIO El ERCICIO

e

l1li

199 199

Sea Un Iln I ,'una sucesión de de funciones funciones continuas continuas en en D. D. Sea una sucesión

SiSi Infn

->...

un i f f uní

que form ement e en en D. D, demostrar demostrar que lormemente lim f f (x) (x ) lim n-+<Xl nn 11.n n->o<> donde donde

xn

->

ww

w

I

sea, existe existe VD I, oo sea.

De De

M

< d2 d2

Como Inln eses continua continua yy Como

xx

.

D.

existe NN1 tal que que para para todo todo nn .::;:.): NI N1 tenemos: tenemos: >> OO existe 1 tal

Ifn(l) - [I t)

lyIy --

x E

(n-><Xl), xn'

x

DemostradÓn Demostradón Dado " ( Dado

[I x) f(x)

1I <<

at

em

para todo todo para

fn'" f I es es uniforme uniforme In'"

que tal que hh tm implica implica

hh

xn ....-> ':te-x •, existe existe

NN2 2

II(y)-f(x)1 I!(y)-I(x)!

implica implica

En (i) (iJ tomando tomando En

tt

=

- f(x)

I < d2

yy

sea que que oo sea

a1

(ii) fii)

. co

(iii)

m (ií) yy (iii) (iii) :: (iv) (iv)

xn :: n

:te

Ifn(xn) - f(xn) (iv) De (iu) De

<< d2

si n :> No tenemos de •, NN2, 2 1 ,si n> No tenemos de

Máximo IN IN] Máximo 1 Ilxn)

entonces f f es escontinua continua en en entonces

at ic

tal que que tal

(i)

D. t t EE D.

I < d2

.

(v) se que se titiene (v) ene que

lfn(xn) - f(x)

I <

fn( xn) lim n->oo

=

e

,

f( x) x) •• f(

•

i u)

200 ESe 200

El ERCIClO EJERCICIO

1 una 1IUn n 1 una

sucesión de de funciones funciones continuas continuas en en un u~ conjunto conjunto compacto compacto sucesión . supongamos que que DDI I supongamos Sea Sea

f(x) I(x) Demostrar que que Demostrar

puntualmente en en DD •• puntualmente

uniformemente en DD si si yy so'lo s010 si si se se cumplen las las ffn'" en n '" If uniformemente

dos condiciones condiciones siguientes: siguientes .' dos (í) (i)

If

es continua continua en en D D • es

(ii) Dado Dado (ii)

existe mm >> OO Yy O O >>OO tales tales que que (e >> OO existe

< O

- ¡(x) 1

DemostraciÓn (A1 [A]

Supongamos

que que

-

€e

ww

M

fn... w If /11.""

.

If

Evidentem ente ente Evidentem Dado Dado

implica

Ifk+n(x)-f(x)

para todo n ) m.

uniform em emente ente en en D. D. uniform

at

es continua continua en en D. D. es

I <

e

em

- I( x) I

para todo todo x E E D, D, k;:: k;= 1,2,3, 1,2,3, ••• ..• para

puede ser oo puede

Supongamos Supongamos

cualquiera.

que If satisface

O > O ,I Dado Ó

at ic

para todo todo xx EE- D D •I para

luego: luego:

(a1 [B]

< e

existe m m tal tal que que para para todo todo nn ;;:~ m m tenemos tenemos >> OO existe

Ifn(x) - f(x)

Nótese que que

I

Xo

E J) D o E

a1

. co

las dos condic(ones con dicion es W (i) y (iíJ.(ii).las

m

existe h tal que existe

<

(12)

continuidad de fb fh y I/ existe existe una una vecindad vecindad de De la continuidad

xo'

N(xo)

I

tal

si x E N(x N(xo)) se tiene: tiene: que si o I/h(x)-fh(xo)!

< 0/3

I

If(x)-f(xo)i

< 0/3.

((13 13))

tiene: De (12) Yy (13) se tiene: ( 14) (14)

.289

¡N(x IN(xo)}x ED es es o ) lxo ED

Como

D I, existe existe un número número

un recubrimiento recubrimiento abierto abierto del del conjunto conjunto compacto compacto

finito de vecindades que forman forman finito vecindades

nuevamfnte nu eu am ent e un

re Tf_

cubrimiento abierto D : cubrimiento abierto de D

o¡= o

(j=1,2, ... ,p) (j=I,2, ... ,p) kk1, ' ••• 'kpkp 1 I kk22 •••••

Sean Sean

j= 1

(x¡o) N (x,')

los subíndices h los subíndices

D. D.

, :::

en (12) a los (12) correspondientes correspondientes los

•,xp' x p • es decir decir :

puntos xl ' x2 ' • •• puntos •• I

ti

,p) = 1,2, ... ,p)

,

sea sea No =

Si x

E- D D

entonces entonces

luego luego tenemos tenemos de

ww Máximo w

.

M

;;:. ~ No No

(14) :

entonces entonces

' k2 ' ...

,kp

I

at

em

I < (i. 11.

at ic

n ?;: ~ k¡ + m , ~ No No -:::.k¡

tenemos: tenemos: I!n( x) -

f(x)

I < <

i .•

Sea Sea

¡Ifn} Inl

201 201

.

aplicando aplicando la la condiciÓn con di cion (ii) (ti)

•

II1II

EJERCICIO EJ ERClCID

+ m •

pertenece a alguna alguna vecindad, vecindad, digamos x pertenece digamos x E- N N(x¡), (Xj)'

I/k.(X) -- f( I(x) Ifk _(...,;) x) ¡ 1

Si n

Ik l

(Teorema Dini) Ele> (Teorema de Dini)

a1

. co

m

una sucesiÓn monótona de funciones funciones continuas una sucesiÓn continuas l{'.Je que tiende tiende a

una función continua D, demostrar demostrar que que una funciÓn continua en un conjunto conjunto compacto D,

f

uniformemente en D. D. uniformemente

.t!QLi ~

1Ifnlfnl

es CRECIENTE si si es una una SUCESION SUCESJON CRECIENTE para todo para todo para todo n. n , y para todo x

l/nI l/nI

e D ,

es DECRECIENTE si si es una una SUCESlON SUCESlON DECRECIENTE fn(x) ~ fn+lx) In(x) ~ In+lx)

para todo ,y para para todo D. para todo n ,y todo x E E D.

DemostraciÓn

1111. 1 In I¡ es es una una

Supongamos Supongamos que. que, para para mayor mayor sencillez. sencillez,

Iy\y Paracada x fijo, Paracada lijo,

xx I\ < fJ?; implica

< d3

\I(y) - I( x) \

(1) ( 15)

I,/:x)", es, Mx talque In(x) ... If(x) (x) ,esto ,esto es, existe existe talque

\1M

x

I x)

I (x)

-

es es continua continua en

Iy - xl < Por la

°

uniformemente \,.VI:HUIU<1, continua, dado dado ,,> " > O O existe existe O tal tal que que

Como Como fI es es

Como!,:>.,t Como 1M 'x x que que

sucesión ente. sucesión crecí creciente.

< d

\

ww

0x (escogemos (escogemos 0x menor menor que fi)tal ohal

D. D, existe existe

implica

M

(16) (16)

3 •

11M (y) - 1M 1M (x) xx x

(17) ( 17)

I < <13 d3 •

1

w D ero [ini to de pun /1) s. dí co comp aci dad del conjunto D existe existe un nÚm número puntos, di 11l pacídad tales ,Xp tales que

.

o\] nt», p.

j= 11 Sea Sea

at

M áximo 1M l'

Si Si .\'x E E D D

entonces entonces

em

) )

N(x. ¡J

D.

at ic

ton tan ces ces 11.n ¿~ M Mkk '' luego:

-I(x)

~ ~

I\f(x)-f(xk)! f( x) - f(

I

xk) 1 + + if(xk) If(xk)-fMk(xk)\

esto esto es ,

...

_ ....

~

/\ A e

~

11.

N o erp en-

T

e ,, E

..J J

A

(

f

)

. co

I/Mk(xk)-f.'I1.k(x)\ < I ++ I/MiXk)-~'r1./x)1 <

~ _ _ _- - - ' "

(por (por (15) (l5»

Xj

m

A 1\ 3

a1

=f(x)

. ~

E f

= M

J

para algún k • Si

E

x

((M.

, • .. , Mp \

€

(por ( 16» 16»

emente uniformemente

en en

3

(por{ 17) (por (17»

D. D.

Nota # N(x., ()x ) = la la vecindad vecindad de Xi x,' N (x,' , 8;.;,) , ... Jj

radio 0x, 0x = (x¡,-ox ' x,.+ox,>· con radio j 1 ,j

291 291

Observación

El teorema de Dini Dirii es es un caso caso especial del ejercicio ejercicio 198"" .'

<

m

Un I {¡ni = 1 •

implica implica

€

1= EJEMPLO

Si Si

dado (e > O O podemos escoger escoger :

es una sucesión sucesión creciente, {) 8 '" = e •, luego :

<

f.

•

11

83

Sea Sea

ww

en

nx +

M

(O, (O, 1) 1) •"

w una sucesiÓn sucesión decreciente, es una en realidad: realidad: decreciente,

Ilnl l/ni

--._-

1 nx+ 1

fn(x)

>

.

1 (n+1)x+l

fn(x)

,

= fM¡(x)

em

yy

oO

at

at ic

puntualmente puntualmente

1) •" en (O; 1)

Además, In SOn continuas, continuas, sin embargo In Además, In y If son sin (O, 1)

(Ejemplo

--> ->

188 188 fiiiJ (jií) ) •

79 , Ejercicio

O NO es uniforme O

a1

en

Este ejemplo ejemplo nos muestra muestra que el resultado resultado del teorema teorema de Oini Dini no es es váEste lido si DD no es c9mpaCto. compacto .

•

EJEMPLO

. co

m

111

84

x Sabemos 1 + y tiende Sabemos que I( 1(1 + ~ : )n! )n I es una una sucesión sucesión creciente. creciente, tiende a e • - , JI (1 + ñ x)n]11. Y . Ademtis Ad em as y eX ex son continuas, continuas, rÓ.

(1

EJERCICIO Sea Sea

lfnl Ilnl

+ s: n

)n

x

uniformemente emente en

(O,B]. [O, B].

•

111

202e 202e

dones continuas continuas en [a, (a, b 1 que que una sucesión sucesión de funciones una

puntualmente f. Si dado puntualmente aa /.

que que

ee

entonces entonces tenemos: tenemos

FF

O existe existe >> O

o8

tiende tiende

(independiente n } tal (independiente de n)

..

Ixlx-y! y 1 << (jÓ

IfIfnn(x) fnn(y) (x) --I. (y) I < < (e

implica implica

1

(para todo todo n) n) (para

demostrar que que demostrar [a, bb1. 1. [a.

uniformemente en uniformemente en

NOTA NOTA

Si una una sucesión de de funciones funciones continuas satisface la la condición condición (18) (18) se se di.. diSi ce que la la sucesión sucesión de fllrl"I.C'ln.,." funciones es es EQUICONTlNU EQUICONTlNU A. A. El El ejercicio ejercicio 202 dice dice ce que una una sucesión sucesión equiconcinua equicontinua de de funciones funciones converge converge unÍformemence uniformemente si conconque verge puntualmente. puntualmente. verge Demostración Dado {( Dado

>> OO

10m emos tomemos

ww

o

que satisfaga satisfaga la la condiciÓn condiciÓn (18), (18). S >> OO que

M

Consideramos una una particiÓn del in intervalo del tervato w Consideramos

a

.

at

bb

" Xk ' •••

que tal que implica

-

em

ces

eE

(a,b]b J entonces entonces [a,

para

-1' xk] x E fXk_1,xk]

xk) \ < fe ••

p ara algún para

+ \fn(xk)-f(xk)i

~ ifn(x)-fn(xk)\ 1,:;;;

1\ 1\ (por (18» (18» (e (por

fnn

f

I -< (

- ¡(x) + :f(xk)-f(x)\

:33ff

,

,

e (por (18» # Nota

bl •• 111 bl.

(18) (18) tomando tomando límite límite cuando cuando n ->00 -->00

si

I <

--r--------------1\ 1\ A

uniformemente en en (a, (a, uniformemente

Nota ti# En En la desigualdad If(x) -f(y)

T'enemo s ento!!. en ton . co Tenemos

k. k.

m

n ;::: No :

ifn(x)-f(x)\

sea que oo sea

at ¡ ic a1

Ifn(xk) -f(

Sea Sí x Si

(a, b] b1 :

lx-y!

::

< O •

293 293

30 §§ 30

Condición de de Caúchy Condición

Para una una sucesión numérica numérica se se manera similar similar (Propiedad 20), 20), de de (Propiedad manera

ha estudiado la condición condición de de Cauchy lUU:1dlR' la ha tenemos el el siguiente siguiente teorema: teorema: tenemos

TEOREMA 26 26 (Condición (Condición de de Cauchy) Cauchy) TEOREMA

converge una sucesión sucesión de de funciones funciones definidas definidas en en D. D. I1ffn !¡ converge ¡¡In! In ¡ una n uniformemente en en DD si si yy sólo sí, si, dado dado (f > OO existe existe NN ,indepen,indepenuniformemente Sea

diente de de xx EEn, diente D nn

,

tal que que tal ( 19) (19 )

N >> N para todo todo xx wEE DD I , para para todo todo para

ww

DDemostración emo stración

(i) Si Si In fn W

.... ff

-lo

.

M

1,2,3, •••• ••• qq == 1,2,3,

at

en DD ,dado , dado uniformemente uniformemente en

para todo todo nn ;;:.:;:: NN tenemos: tenemos: para

em

f

e >> OO existe existe N N tal tal que que

at ic

paratodo todo x x E-E- D. D. para tam bi én Como n n+ +q q ~:;::. ten emos tambi Como NN tenemos

a1

para todo todo x x E EDD• • para Delas las dos dosdesigualdades desigualdades anteriores anteriores tenemos: tenemos .' De

. co

m

< .! + 2

Supong amo s ahora ahora lalacondición condición (19). (19). La La sucesión sucesión numérica num éri c a l!lJn(x) SupongMlos (x) I n satisface lalacondición condición dede Cauchy Caacby para paracada cada x x fijo lijoI Ientonces entonces IIn(x) lin(x)1 1co!!, ca!!, verge puntualmente puntualmente enen D, D, sea sea f Ilalafunción función límite. límite •EnEn (19) (19) tomando tomando lí-líverge

(ii) (U)

cuando mite cuan mite do q q ... ... ""00 sesetitiene: ene: todo x x E EDD• paratodo para esto es. es Ilala convergencia esto

fn

I

D• uniforme enen D. f Iesesuniforme 111

•

85 85

EJEMPLO EJEMPLO

x nx + 1

Sea Sea

_.:..x:..._ x

en

x2 (k • n)

-kx+ -x -1 X__

nx ++ 1 nx

[0.00).

(nx+ 1)(kx+ 1) •

para kk >> nn tenemos.' tenemos: para

(n xs: I)(kx+

_ k-n k-n -kn kn

1)

-:_l_(I_'!!"') -=.J..(l nn

escogemos >> OO sisi escogemos w tiene: ww se tiene.' todo kk >> nn se todo

Dado Dado yy

NN

l'f

lin( x)

-

ikCx)

.

<

1

M

111f lE

_1

<<

(ó _1_ (ó NN

at

1 nn ~

N

<

!

o sea

converge

f(

)),

.

para todo para todo nn ~¿ NN

em

xl(nx+ 1) 1)II satisface xl(nx+

por lo lo tanto tan to la la sucesiÓn su cesi Ón por que fa sucesión

>>

<< n1n ••

k

la condición condición de de Cau Cau cby , la

at ic

uniformemente

••

La condición condición de Cauchy Cauchy es es muy muy útil para comprobar la ('on,,,,,,ro,pnr1 convergencia UI1lu01forme cuando no no se se conoce la función límite. límite. 84 (A) (A) 84

EJ EM,PLO EMPLO EJ

Sea Sea demostrar demostrar

=

fn(x) que que

1lfnlInl

a1

(1 + : )n •

converge uniformemente uniformemente converge

en [O, [O,bl. en b 1,

. co

m

y Y

que

(1+2:.)'1)n (1,+ n

lim lim n->oo n400

continua. creciente. creciente. es una funciÓn continua,

Observación En el el ejercicio ejercicio 191. 191, en los ejemplos ejemplos En (1

+

J!.)n

n

...

eX

nn

visto que: que: y 84 hemos visto

uniformemente en [O, [O. b] :: uniformemente en

suponiendo que que EXISTE EXiSTE el límite límite puntual

eX

y

eX eX

es continua. connnua . es

295 295

Solución Solución fn(x)

1

~n

+ k=1

(n) k

~ --;}.

~n ~ (1 1 2 ~n ~ 1 _ -)(1 1 +,,;., +..... (1 _ -)(1 -- -)) •• .• .• k= n n k= 1 k! k!

k 1 (1. " )) (1 - _n

1 1 )(1 _ _ 2) (1 k- 1 ) + 1 fn+l x):::= 11 + k-lI) xn+ fn+z(x) + ¡n ~ n ~(1" --xk (1- -)(1 -_2 J ••• •.. (1.---1 + xn+ 1 k= 1 k! n + 1 n + 1 n + (n + 1 )n+ k! in 1)n+

. entonces entonces : ~+ ~+11

1 k _1 ) ~nn'¡'-.!:...j(l. 1 + + ,,;., ~ _-_ 1 (1 - --) ) ... ... (1 (1 - -(k-l1) 1) ) 1 (n + 1 )n+ k::: n 1)n+ k = 11 k! k! n + 11 n+

ww

w

~

.

M

--e

_(1.2.) •• _(1-2) .. u-..!.:2.)! (I-H)I n n n· · n

at

bn+ 1 n bk 1 k 1 1 k.:..l (n+ I)n+1 + ~ [(1----r) ... (1---=-1) - (1--) ... (1-)] k= 1 k! n+ l n+ n n

em

at ic

Como

se se tiene tiene entonces entonces :

a1

. co

m

La sucesión sucesión numérica La numérica

lin(b>! y acotada IIn(b)j es es creciente creciente acotada UNota #Nota

convergente. oo sea sea que convergente,

entonces entonces es

lIn(b) satisface la La de.§. l!n(b) 1 Isatisface la condición condición de Cauchy. Cau cby ; La de..§.

igualdad garantiza que sucesión de funciones funciones igualdad (20) (20) nos nos garantiza que la la sucesión

Itn(x)! Ifn(x)!

[ace la condición condición de face la

1. CO"-Coen [o, b 1.

mo

fn(x) fn(x)

Cauchy para la convergencia convergencia uniforme uniforme Cauchy para la

satissatis,

es continua función limite es continua y creciente, creciente I su función límite es es continua continua y creci creci

ente Ejercicio ente (Teorema (Teorema 25 y Ejercicio

198).

Evidentemente una Evidentemente una cota cota es es 1+ 1

bk/k! +00 •• 111 ~oo bk/k! < +"".

~oo

Enelelcaso caso dede series defunciones. funciones, lalacondición condición dede Cauchy Cauchy toma toma la sigq] En nteforma: forma: ote TEOREMA 27 27 (CondiciÓn (CondiciÓn dede TEOREMA

Cauchy para para serie serie dede funciones) funciones)

Una serie dedefunciones: funciones: Una 00

¡,

n n=l 1

fn( x) In(x)

converge uniformemente uniformemente enen DD SISIYY sólosisi> ,dado dado ( € >>OO converge paratodo todo n n,?;2;; NN tenernos: tenemos: que para que

exrsre NNtal tal

paratoda todo x x ED. E D, para para toda todo q= q=1,2, 1,2,••• ••• (21) (21) para

La demostración esesw inmediata inmediata

ww

!S/ x>! donde donde

que yayaque

.

M

Si Si

n

at

¡,

n

1

fk(x)

at ic

86 86

1/1./x) I

k=l

em

S (x)-S(x) n+q n EJEMPLO

aplicamos teorema 26 a alalasucesión sucesión ICaLlTICIS elelteorema

SISI

a1

también converge converge uniformemente en D. D. ente en también

. co

m

Demostrad Ón

uUtilizando tilizando

00

converge uniformemente en D D entonces entonces '2Loo fn(x) ente en . In(x) converge nn=11

la desigualdad desigualdad : la

lMx) I , aplicar

condiciÓn de de 1la a condiciÓn

EJERCICIO Sea Sea Si Si

¡

00

n= 11 n=

auchy. eCCItl chy.

• l1li

203 203

!an(x) 1 laix)!

I

Ifn( x) 1 Iln(x)

una sucesión sucesión de de funciones una

uniformemente

acotada en en D. D. acotada

converge uniformemente uni [ormem ente en en D D •, demostrar demostrar que que la la serie serie converge

297

oo

an(x) In(x) ::sn=l I. (x) n= 1 n

converge converge uniformemente uniformemente en D, D.

Sugerencia

1

fonde lon de M es es una una cota cota uniforme

lan (x) l.

de

Aplicar

la

condición condición

de

Cauchy. Cau cbv ; l1li • EJEMPLO EJEMPLO

87 87

Sea Sea

x

Osi

n+I

+

sen2 w

ww

{

O

íI In! Inl

(j) (i) Demostrar Demostrar que que

<_1_

M

.si

tu,

ñ+l ~ 1 n.L n <

at

DO

Demostrar Demostrar que que la la serie serie

x , x.

::S.

![.

em

at ic

(x) (x) converge converge n= 1 nn n"'"I

x, x J pero pero no uniformemente. uniformemente.

SoluciÓn

W ti) Para Para cada cada x lijo fijo,

I

n

converge converge aa una una función función continua continua t, f, pero que que la la con

vergencia uergen ci a no no es es uniforme. uniforme, (U)

1

sí si

si si n

absolutamente para todo absolutamente todo

x <___l_ n+ 1

(en ~ O) (en caso caso de que xx..:s O) ,

xx>_I_ >

( en caso caso de

óó

a1

es es suficientemente suficientemente grande

tenemos tenemos que

J

n

. co

m

x > o O),) ,

entonceS entonces

lim n_ n--K:19

oo

[( f( x) x)

para para todo x. x ,

Para Para todo n tenemos: tenemos:

11

<

""ñ+i

---1 n + 2:

luego: luego:

fn ( por lo lo tanto

)

n+

[n

...

[

< < 2

n

sen sen2 Tr(n tt i n + + ~ ))

:::

11 ,,

no es es uniforme uniforme (ver (ver Pig.

57.) 57,), •

yy

-

-

-

-

In (x) 1

l r'--",

O

(ií) Si xx ~ ~ O O ,ó , Ó (H)

xx

71

57 FIG. 57

ww

>>

xx

ñ+T

w11

.

M

(x) = == O O f 71(x)

luego

para todo todo n, n , entonces entonces para

n

at

O<)

n'" 1

In(x) '"

o = OO •• 2."iOO O n71=11

em

que Si O O < < xx .:;;:~ 11 •, existen existen aa lo lo más dos dos números núm ero s naturales. naturales, n, 71, tales tales que --1 n71 ++

s" 71=11

entonces la la serie serie entonces

11,=

1

~xx ~-n·

Ifn(x) (x) n

at ic

converge absolutam absolutamente. converge ente.

Ahora, consideremos consideremos la la suma suma :: Ahora.

a1

•.•• 1,2,3,••••• pp:== 1,2,3 Si xx Si

. co

m

,

-, 71+2

1 , =n

satisface

esto es es , • esto

la condiciÓn condición de de Cauchy para para taconla conla

uerg en ci a uniforme uniforme de de la la serie serie de de [un ciones e s •• vergencia

EJ ERClCIO EJERCICiO

•

l1li

204 204 00

Si "i Si Infn(x) (x) 71=1 n=l

converge uniformemente uniformemente en en D, D, demostrar demostrar que que converge ?QQ ?QQ

fn

o

->

uniformemente

en D. D. en

!.!!._f!.er en ci a Aplicar la la condición condición de de Cauchy Cauchy (21) (21) para para el el caso caso de de Aplicar

qq

=

1. 1.

•

111

TEOREMA TEOREMA

28 28

(Criterio M M de de WeierstrassJ Weierstrass) (Criterio

Sea U l/n(( x)! x) I una una sucesión sucesión de de funciones acoradas acotadas en en Sea n sea Mn una una constante constante tal que que sea,\1n (para todo todo (para

para cada nn para

D ,, D

D). • nn= 1,2,3,3, ••• ... xx EE D) == 1,

00

Si la serie numérica numérica Si

wnLn=l ww1

M

converge, entonces entonces la la serie serie de de funciones funciones converge,

Mn M

n

.L

oc

n=l n=1

converge uniformemente uniformemente en en converge

fn( x) fn(X)

at

em

D. D.

at ic

Demostración Demostración

aplicar ahora ahora lala condición condición de de aplicar EJEMPLO 88 88 EJEMPLO Sea Sea

L

a1

Caucby aalala serie serie convergente convergente

ec

L

MM. •

n= 1 nn l1li• n=l

. co

m

00

una serie serie absolutamente absolutamente convergente, convergente, entonces entonces aan una nn=1 1 n 00 'C'OO

sen nx nx :E"" aan sen n=1 n n=l

LOO

yy

n=l n=1

an cos cos nx nx

1 ( - 00,(0) ya ya que qu e convergen uniformemente uniformemente en en RR1 convergen == (.00,00)

EJEMPLO EJEMPLO

89 89

Demostrar que que Demostrar real. real.

L

ce

x

n = 1 n (1 + n x2 ) n=1

converge uniformemente para para todo todo x x converge

...

.

Solución Solución

x

Sea Sea

entonces entonces

f~(x) f~(x)

Ir/x) toma tomaunun máximo en en x::x::: 1 l!'yñy yunun mínimo enenx x= •= l/fi " I/fi• , I,/x) máximo mínimo )

1

±-2n{ñ

,

tenemos queque tenemos paratodo todox.x , para Como serienumérica numéricaw -:i,"" 1 converge, entonces la serie dada con" Como la laserie wwn=l2nf'ñ 2n"{ñconverge. entonces la serie dada conn=l veTge uniformemente III!•• verge uniformemente.

.

EJERCICIO 205 205 EJERCICIO [Lx):: = ¡(x)

Sea Sea

M

at

em

at ic

(i) ¿¿ Para Para qué qué valor valor de de xx la la serie serie converge converge absolutamente? absolutamente? (¡)

a1

(ii) ¿¿ En En qué intervtdo intervalo la la serie serie converge converge uniformemente uniformemente? ? (U) i,

I

¡

I

I

I

(Ui) Investigar Investigar la la continuidad continuidad yy la la acotación acotación de de la la función función (UiJ Solución Solución

l

""1

entonces 1la serie converge converge absolutamente absolutamente si si xx f.f. entoTlces a serie

o. o.

IX)

n=l

1 _ 11 11 1 < l 1 + n2x2 ~.... n= 1 -;:;2;í --;2 -~ IX)

n'" 1

Sea (a, [a, bb11 un un intervtdo intervalo cerrado cerrado Sea O), para para todo todo xx aa >> OO , , Óó hb << O).

iii) (íi)

1

n=l

. co

m

(í) Si Si x'¡' x F OO W

l

f.l·

n=

17

que no no contiene contiene al al origen origen (esto (esto es. es, que (a, bb11 se se tiene: tiene: Eé (a,

1':::: n=l-;;r;r

00

~

t

I

1 00

II

(si (si

O) aa >> O)

((sib
·301 ...,", ". 301

Por el criterio;'tl criterio M de Weierstrass Weierstrass se tiene tiene que la serie serie converge converge te en [a, (a, b] • Consideremosahorauni17teTvalo Consideremos ahora un intervalo (O,bl (O, b] (ó [a,O) [a, O) ). i • 'Tenemos: "Ten emo s :

L

1

2n

2n

> !.

k =n+ 1 1 + 4 n2

k =n+ 1 1 + k 2 x 2

Aunque Aunque n sea sea muy grande, , si escogemos escogemos

x

=

x

2

_L 2n

E (O, (0, b 1 E

se se tíen tiene:e :

2n

> 1:

0 0, 00,

1 +

k=n+l

esto esto es, es,

la la serie serie NO satisface

da cia uniforme uniforme en (O,

°,

Sí Si x'; x el O

(Ui) iiii)

I

w b 1. w é

w

],

.

1laa con di ciÓn cion de Cau cbv para para la la convergenconvergen-

M

existe existe un un intervalo intervalo [a, [a, bb 1 1 tal que que

at

em

xEb],O/[a,bJ. XE-(a,b].O!(a,b]. 1/(1/x2+

Como Como

o sea sea que

f( x) [t peTO pero

If

1) 1) es es continua continua

para todo todo n, n , f{x) f(x) es es continua continua en en [a, (a, b] b] ,,

es continua continua en x:;!:: x:;!:: o. O ,

at ic

es es acotada acotada en cualquier cualquier intervalo intervalo cerrado cerrado que no contenga contenga cJ al origen)

f( x) NO es b] (ó [a, f( es acotada acotada en (O, (O ,b] (a, O» O»

1 1(-)

nn

..

= !.""

(¿')

k= 1 1 +k2

n

1

> > r=l

1 +k2

a1

ya ya que

(7)

. co

m

....

00

(n.... "")

•

11

00

Sil Si laa serie vEn = 1 In (x) n=1

satisface el criterio M de WeÍerstrass Weierstrass enton ent0E_ satisface

más ces la serie converge absoluta absoluta y uniformemente, uniformemente, más aÚn, aún , la serie serie 00

I/n(x) 1I nL 1 Ifn(x) n=1

converge converge uniformemente

Pero, Pero, en en general. general, el el concepto concepto de de la la convergencia convergencia

absoluta absoluta es es diferente al concepto concepto de de la la convergencia uniforme. uniforme, muestra muestra en los siguientes

ejemplos: ejemplos:

como como se se

..

EJEMPLO 90 90 EJEMPLO

1"" x" :!l(1(1 • •x) x) converge .converge absolutamente, absolutamente, en en [O, [O, 1] 1] peTo pero no no 71=0 n=o 00 uniformemente, , mientras mientras que que la la serie serie 1 (.l)n (.1)n xn (1. (1 • x) x) converge converge uní fo..!,. n=o n=o mem ente en en [O, [O, 1]. 1]. memente La serie serie La

=i»:

Demostración 00

ti) (i)

SiSi xx = 11 •

I oO

(1 • x)

J

OO

oo

o

[O, 1) 1) SiSi xx EE- [O, 00

100 Ix" ¡:!l(1. x)¡ (l. x)1

= (l.x)2.. (l. x ) 100 xn

oo

(1. x) (1 - x)

oo

11 • •

x

1 •

xn(1(1. x) x ) es eswcontinua ro, 111] para para todo todo n, n, sisi la la convergencia convergencia wcontinua enen rO,

Como Como

w

.

M

de la la serie serie 2..1f(i:!lelo x) x) fuera fuera uniforme, uniforme, su su suma suma total total sería sería una una funciÓn funciÓn col! co_!l de

at

tilma en en rO, rO, 1] 1),,peTo pero la la suma suma total total tinua

=

f(x) f(x)

1

1 "r¡,

If

es: es:

em

fO,l)1) xx Ee- ro,

sisi

':'x = 1,1

si -:}.

at ic

I

lo tanto tanto la la convergencia convergencia NO NO es es uniforme uniforme por lo (ii) Sea Sea (iiJ

Sn( x} :::= Sn(x)

In k=o =0

= (1(l. • sn (1) Sn(x)

!Sn(x)

....-

->-

11 •• x l+x +x

~¡ -~\ 1+ x 1+ x

(_l)k (.l)k:J. (1 (1•• x) x)

x) x) _ _~.:...-_

a1

(XF

. co

1),

m

= O • n....oo) ((n->oo)

todo para todo

1(, x)n+l¡(1.

[O,I 1]. 1). xx EE- [O

x)

1+ x

Dado E> e > O O ,si , si xx EE [1. [1. E, e , 11, 1 ), paratooo para todo nn tenemos ten emos Dado

[sr) t » I x --n 1+ x »

(l,x),;;;l'x..:E

f

•

l+x

303 303

e >i5i x x E-E[0[O,, 1.1 •(']

entonces entonces

NH << (' e , , porlolotanto: 'uego existe existe NN tal tal que que (1. (1.d()NH tanto:

Ti

11); P NN

implica implica

_ 1 1• • XI 1+x +x

I Si") I Sn(X)- -

<< t: ~

( paratodo to do x x EE [O(O , . 1]) ), , (para ,'1]

e

x)/(l ++x)x) uniformemente uniformemente enen [0,1]. (0,1] •

(1.,,)/(1 ->....(1.

•

Coneste este ejemplo ejemplo vemos vemos que quelalaconvergencia convergencia uniforme uniforme yy absoluta de de lala Con

ww

M

serie I I f fn( no siempre siempre wgarantiza la convergencia uniforme uniforme de delala serie serie ( x)x) no n

ifJx) Il· !:~ifn(x) . EMPLO '3/'3/BMPLO

91 91

Demostrar que que la la serie serie Demostrar

.

at

em

at ic

a1

:onverge uniformemente uniformemente en en cualquier cualquier intervalo intervalo acotado, , pero 120 no converge converge aj, aJ¿ :onverge so lut amen te para ningún valor de x , valor de x. >olutamente para SoluciÓn

.

(í) Consideremos Consideremos el el "intervalo 'intervalo [·M [·M 1M ,M],1 ,dado dado t(> > O O existe existe c N tal que que W o N tal

m

si 12n ;? )- N N sé se tien ti en ee :: si

<

(convergencia de (convergencia

I

((convergencia con vergen da de de

I(_l)k I (.l)k ), ), k

)

entonce s: i?utonces:

---,... +

('

.

acuerdocon conla lacondidón condición dede Cauchy Cauchy la laserie serieconverge converge uniformemente uniformemente de deacuerdo

enen

[.M, [ .ltf • 1\f]M]• • 00

k

+00 •

+

n=I 17"'1

n=l

•

Criterio dede DirÍchlet Dirichlet § §3131 Criterio parágrafo 16. 16. Recomendamosal allector lector repasar repasarel elparágrafo Recomendamos Dadasdos dossucesiones sucesiones dedefunciones funciones Itn}l/nIy !gn} y Ignldefinidas definidasenenD Darlas n

An(x)

entonces entonces

= k= k

1

fk(x)

ww

w

.

=

+ Jj.x) + •••

h(x)

M

+

I

n

D , sea t sea

(x) ,

at

em

at ic

a1

. co

(22)

m

Análogamente alal teorema teorema 11 11, , aplicando aplicando aa la la fórmula fórmula (22) (22) la la condición condición Análogamente Cauchy obtenemos obtenemos elel siguiente siguiente teorema: teorema: Cauchy 29 (Criterio (Criterio de de Dírichle Dirichlet)t TTEOREMA BOREM A 29

de de

)

suIAn(x>l es es uniformemente uniformemente acotada en en DD yy {gn(x>! {gn(x)} es es una una suSiSi IAn(x}j cesión decreciente ## que que tiende tiende aa cero cero uniformemente uniformemente en en D, D, entonces entonces cesión la serie la

converge uniformemente uniformemente en en D. D. converge

##

Nota n= 1,2,3., ••• ... D , todo todo n=l,2,l, xx eE D, ,,

p ara todo para/oda -> ->

oO

unifonnemente

en en

D. D.

Demostración

Sea cota uniforme de de Sea M M una una cota

1 An(x) ! lA n (xJ!

n

x)! 11 L ffk( (x)! k=l k

en D, D, como en como 1 en D D ,, dado dado fe >> O O existe existe IV N tal tal que para todo todo gn ->-> O O uniformemente uniformemente en que para n ). N tenemos: n ). IV tenemos:

<<

.s.:

_E_

para todo todo para

2M 2M

w De (22) (22) se se tiene tiene entonces entonces De

ww

.

==

M

~ D. D. xx E-

at

em

at ic

=

n+q

~ ,L

R,=n+l

M 19k(x)-gk

M (gn+l(x)

2M

EJEMPLO EJEMPLO

-

<

g

+

M Ig Ign+q+ ¡ex) 1+ M l(x) II ++ M n+q+l(x) I + M

(x) n+q+l·

2M 2M _<_ -<2M 2M

¡ex)

a1

l(x) I IgIgn+ n+ I( x). I co m

1 + M g n+q+ 1(x) + M gn+ 1(x) (é

.• •

111

92 92

Supongamos que que Supongamos todo nn para todo" todo- xx EE D D ,, todo para

Si

oO

en D, D, demostrar demostrar uniformemente en uniformemente

= 1,2,3, 1,2,3, ••• ...

que la la serie serie que

i

ix)1

L Z. 00

00

n=n=l 1

1 1 g (x) (o 1)no (.1)n· g (x) nn

D. convergeuniformemente uniformemente enen D. converge SoluciÓn Sea Sea

fn( x)

1)no1I ,entonces ,entonces (. (o1)'/1

sisi n neses impar par , , sísi n n eses par

0

aplicando elelcriterio criterio dede Dirichlet D'iri cbl e tlalaserie seriedada dadaconverge converge uniformemente uniformemente enen aplicando

D.D .• 111 EJERCICIO 206 206 EJERCICIO

1 sennxn x n sen

n

Sean Sean

n=1,2,3, •••• .... n=1,2,3,

fn(x) converge converge para paratodo todo x xreal real• • ww LOO fn(x) 1 n wn=I serie converge uniformemente en cualquier intervalo

quelalaserie serie (j)i i) demo str qrque

.

M

(ii) Demostrar Demostrar que quelalaserie converge uniformemente en cualquier intervalo C.f..c~ (i¡) rr adoque quenonocontenga contenga rrado

at

lospuntos puntos O,O, ± ±2"2TT,I ± ±417, 4TT, ••• ••• a alos

em

t lii) Demostrar Demostrar que quelalaserie serienonoconverge converge ununiformemente (¡ii) iformem ente enen (O(0,1T]. 00

ii o) Demostrar

L

que la serie

n=l

f~ (x) uun e a converge.

at ic

Solución

-

..;n

:;.n

k= 11 k=

nx (1 sen -2- sen n + "2) x sen

sen kx kx sen

sen l!.... 2

a1

entonces entonces

Ln

k=l

sen kx kx sen

. co

m

Isen sen "2 iIXI

aplicando el el criterio criterio de de Dirichlet Dirichlet (Teore' t TeoreSi xx if. O, O , ± 2",,.±4ir, .±. 4 TT s ••• ••• ,, aplicando Si Si xx == OO ,, ±21Tir ,.±41T J ••• entonces m a 11) 11) la la serie serie dada dada converge. converge. ma Si entonces = O para todo n , luego ¡, f/x) = LO LO == O. O. fl/x) r/ x) == O para todo n , luego L f'/l( x) (ii) En En (a, (a, b] b] donde donde aa >> OO , bb << 2" 2 TT se S e ti en e .' (ji) tiene:

"

n 'Ls e sen kx ¡ n kx I k= = 11

II ~,<'

Máximo Máximo

11

¡!----a-asenT sen T

--bT"" 11 ,, • --.....,... sen "2

aplicando el el criterio criterio de de Dirichlet Dirichlet (Teorema (Teorema 29) 29) la la serie serie converge converge uniform!_

307 307

mente en en [a, (a, bb]. mente ).

=

(iii) SiSi xx = _1_ se se tiene: tiene .' Wi) 2n

L

2n

1

k

k

en

- sen sen..,,-

k=n+l

Nota ##Nota

)

serie no no satisface satisface lala condición con di cion de de Cauchy Cauchy para para la la convergencia entonces lala serie entonces uniforme en en (O(O,1T1. ,17 1• 11/1 Nota.'

sen x?! x '? sen f~ i x) = f~(x)

(ív) (iv) La serie serie La

1

2"xx 2w ww

cos nx nx , , cos

.

M

sisi

O ~ xx ~~-T O:;;; ~

at

em

cos nx n x NO NO converge converge ya ya que que ¡Cos leos nxl nxl NO NO conver conuer 1:L f~f~ (x) = 1:L cos

cero. ge aa cero. ge

•

at ic

EJERCICIO ERCICIO 207 207 EJ Demostrar el el siguiente Demostrar

Sea 19n(x)

.

.

a1

teorema (Criterio (Criterio de de Abel) .Ab ei } :: teorema

¡ una sucesión decreciente de de funciones funciones definidas definidas en en

acotada uniformemente uniformemente yy 19n(x) 11 es es acotada Ign(x)

SI SI

LOO n= 1

! (x) In(x)

n= 1 n

D. D.

Si Si

. co uniformemen· converge converge uniforrnemen-

m

te en en DD entonces entonces la la sene serre te

;=

00

fn(x) gn(x) gn(x) n= 11 In(x)

..

converge uniformemente uniformemente en en D. D. converge Demos tración 00

uniforme de de !g,/..J 19n(x) l. 1, como como Sea M ,\f una una cota cota uniforme Sea

li

L 1 fn( xx)) n= n=l

converge converge

entonces: uniformemente entonces: uniformemente en D D I, uniformemente uniformemente en sea, dado dado fe > > OO oo sea.

N tal tal que que para para todo lodo nn ;;;:. ~ N N tenemos: tenemos: existe N existe

(i3 ) (2])

(

(22) tenemos: tenemos: DeDe (22)

n+q

'" I k=ns-l ~

+ A +q(x) g

Ak(x) {gk(x)-gk+l(x>!

+[A

n+q

(x)-A(x)lg

ww

w

n+q ~ ~ IAk(x)k=n+l

.

n

- n+q+

M

n+

I(x)-fA

at

- n

em

I

A(x) {gk(x)-gk+Z(x)

q Z(x)-A

(x)-A(x)]g

I + lA

n+q

1

##

I

_(_ 4M 4M === ~~ -('""4M 4M ._

€

+

+....:.. 2M

n+

(x) _ A(x)

at ic

!gk(X) -gk ¡(x)

(x) g l(x) n n+

+

a1

I

¡(x)

Ilgn+q+ Z(x)

11

#Nota

. co

m

( ••

Nota:

En el el criterio de de Abel Abel ,, la la lSUI.;ClSIUl sucesión En

1 puede ser creciente Ig{gn n 1 puede ser creciente ,309 ,309

EJEMPLO EJEMPLO

Sea Sea

93 00 00

¡l

aan n n=l n=I sión creciente, creciente • la sión la

1¡/ln fl n H f.1 /ln;:' n ;'

una serie serie convergente. si una convergente. si

1) est es'una suceun a suce-

serie serie

x ;;;;. .? O. O,

converge en converge uniformemente uniformemente Solución Solución

ww

w

.

M

para todo x ::. para :;. OO

Por el el criterio criterio de Abel Abel la serie converge Por la serie converge unifonnemente uni form em ent e en [0,00). [O. (0) • EJEMPLO EJEMPLO

94

¡l

00 00

n=o n=o

at

em

00 00

Sea ¡l aan Sea n=o n

una serie convergente. convergente, demostrar demostrar que que la serie una serie la serie a xn

at ic

f(x) [i x)

n

converge en converge uniformemente uniformemente

[0,11. (0,11.

Solución Solución

Si

x

•

111

E (O. [O, 11 11

tenemos: tenemos:

a1

. co

m

por el el criterio criterio de Abel Abel la serie converge converge uniformemente en [0,1], (O, 11. Nótese Nótese la serie uniformemente por que

¡(x) f( x)::==

¡l

n,

<Xl 00

n=o

a xll an xn

n

/(0) = Loo feo) lOO

a II =0 n n=o

== '"

lim lim

x-> 1x-«

....

[O, 1] , luego luego [O,

es continua continua en

¡I

00 00

(24) (24 )

n=o n=o

El resul resultado conoce con el nombre nombre de Teorema Teorema de Abe! teore ~ ~ cado (24) se se conoce Abel , el recre ma producto de dos series series ~Teorema es fácil fácil de, de. d~ Abel para el producto \Teorema 20) 20) es ma de Abe! mostrar utilizando la relación relación (24) mostrar utilizando la (24) (ver § i~ 8 de potencias potencias.) .) 111

Continuidad Continuidad de la serie serie

32 Convergencia Convergencia uniforme uniforme ee integración §§ 32

Dada una una sucesión de funciones integrables integrables, , !1InIn11 ,SI ,SI """'",,,./1, de uni jorm em en t e en en [a, b 1 uniformemente

f JJ

dado dado

ff

existe NN tal tal que que para para todo nn.?::...> NN_- tenemos tenemos >> OO existe (25) ) (25

I es integrable en(a,b] en [ a, b 1 , integrando la desigualdad (25) (25) se se

SiSi, , además, tiene: tiene:

~

fa ti n(x)

I(x)w

w¡wdx

-

.

sea: oosea: b

1

pata todo todo xx E<::: [a, [a, bb11 pata

- I(x)!

II/x)

h

fa In (x) dxdx

< J

M

a

e

bb

-.:.:: Jaa ~

h

==

b

bb

dx dx

-.->

ffa I (x) a

1

a

ati ic

dx <

dx ,, elx

oo l im lím n->oo n-.""

bb fJa

f

a

(x) 12

dx dx

Ja

b

,,

lin(x) - I(x) [L«) 11dx dx :

!/n(x)-I(x) -{(

esta desigualdad desigualdad nos indica que que esta

Ja / n (x)

(b • • a) a) f f (b

dx

at i J em

Ja I (x) dxdx

-

b

l im I (x) dx n->oo n

•

f

(b·

a1

a),

. co

m

(26 ) (26)

En otras otras palabras,' , , el el límite límite de de la la integral integral es es igual aa la integral del del límite', ,'lim oo ," lim

yy

J... f...

dx son son io intercambiables'. dx tercambíables'.

Hemos supuesto supuesto la la íntegrabílidad inregrabil idad de de la la función función límite 1imite para para garannzar Hemos el resul tado (26) ,, SiO sin embargo podemos suprimir suprimir esta esta condición condición como como pu.~ pu.~ el de verse verse en en el el siguiente siguiente teorema: teorema:

311 311

TEOREMA 30 30 TEOREMA

Sea

l!n 1

una sucesión de defunciones funciones integrables integrables en en [a, [a, bb)J una

,SI ,SI

en (a, [a, b] b] en

uniformemente uniformemente

entonces entonces en [a, r a, bb]1•. If eses integrable en

(i) (i)

J

(ii)

b fn(x) dx

-->

a

J

b

[I x) dx

(n ...."")

a

DemostraciÓn Dado Dado

f

<

existe NN tal tal que que >> OO existe

wIw

sea oo sea fN(X) -.

M

w<

IfN(x) - f(x)

.

4(b-a)

at

< ¡(x) [t x) << ¡",,(x) j¡.'¡(x) ++

em

f

4(b-a)

xx EE [a, bb11 , I

para todo todo para

-:-:_<_"""7

E

4(b _ a)

(27) (27)

I

at ic

Como Como fN(x) /¡~(x) es es integrable en en [a, [a, b] b]; , existe existe una una partición partición del del intervalo intervalo a, bh 1 1 :: [( a, a

=

, XI

J

••

,

,

I

. ., . .

=

h

tal que que tal

a1 x

=

¡n fN(l ) k k=l

es donde tk tk es donde

cualquier

- xk - 1 )

. co

(28) (28)

m

punto del del kk-ésimo subinterualo ("k [~k-l1 punto - ésimo subintervalo -1

>

xk]'1.

tenemos :#Nota De la la desigualdad desigualdad (27) tenemos: De (27) ~n

e - fN(tk) ~kx _...L k=I 44 s:

....

nn fe << 2n f( j(tk) ~kx < Ik IN( IN('k) ~kx +...;...... +-' lk) ~kx tk) ~kx k=l 4 k=11 k=l 4.>

(28): utilizando (28): utilizando

J

a

b

!N(x) dx -

Sean U(f) Uf!) ,L(f) • L(!) Sean

.s: 2

n

k << k=

1

i(tk) ~kx

=c:..;:;.;.=

las ~ sumas superior las

< f

b

a

e inferior

IN i x} dx

e 2

+-

respectivamente respectivam ente

(29) (29)

u (j) (f) n

L L ((f)/)

L 2:,

k=l k=l

entonces entonces •I de

mk mk 6. Llkx kx

•

tenemos: tenemos:

(29) (29)

o sea sea

u ( f) esto esto es

f .fjf

es

,la la ¡un fun ción cien f

ww

w

Nota Nota

E¡FiMPLO EJAMPLO

f

x

,\

4(b-

a)

.

M

I

k

*scn

at

n --2. L\ --," i,\ x .H b. a) .k-~ 1 k 4(b-a)k-~lk

em

c_

nx

Entonces Entonces

1 - n1/ sen sen

+s('n

.J_ n sen e

De! teorema Del teorema 30

llX nx

n~

para .todo _todo para

oo

JlX 1/X

(Ejercicio (Ejercicio

f (b-a) -. (b • a) 4(b 4( b - a) a)

-_

{f

• 4 . 11

a1

. co

m

\+-n

11i sen nx sen n x i <. <:.

o sea: sea:

que

demostrar demostrar que

tt •

Solución Solución

Ri-emann sea Riernann ,• o sea

at ic

95 95

e

f.

[a, (a, b 1. 1•

integrable Ríematzn integrable Ri em ann en

k=l

~

satisface la condición satisface condición de

I

"'in

L (f)

U7ziformemente uniformemente

x. x.

en

('/1

f 0,771. o. Tll.

193) 193) e

o

uniformemente elz uniformemente en

(0,771. (O Tl] • I

se tiene: tiene:

313

.L ';CtlllX l.sennx

tr

J o

en en

EJ T:JERClCIO ERC/GO

208 208

InIn

I/

dx 11 dx

ii.

•

Iln 1 l/nI

Sea Sea

dx

sucesión de de funciones [un cio ne s integrables integrables en en una sucesión una

r a, bl, b], fa,

si si

uniformemente, demostrar demostrar que que unilormemente, xx

JIln(t)dt lit) aa

xx

dt

->->

ff/(t)dt I( t) aa

en t e en en uni lormemente

dI

x f- [a,

bl.

Solución SoluciÓn Sabemos Sabemos que que [I t) es ES integrable integrable en en xx

ww

Xx

'faJa In (ti dtdt -- faJ I(/( t)t) d!dtw'. I

a

x

< Ja II/t} I/n(t)

'"

EJERCICIO

/(t)!

x

209 00

:lo

(.I)Ti f~ (.1)11

11=0 n""o

:

a

at

! d!dt .:S f 1/,/t) a

(i) i i) Demostrar Demostrar 'fue que

entonces e/ltonces

dt i f 11,/ 1 /n( e)t) -- I( t) !1 dI

b

_-

c'

M

rra,a, bb1,1,

em

--1(/) j( f)

t

dtdt

-4->

OO

(n->oo) , • (n--><x»

at ic

converge uniformementete en en ['T, [·r, rr1 1,, donde donde converge

0< O < l, (ii) que: (ii) Demostrar Demostrar que:

lag (l (1 ++ x) x} log

•

111

nn

SI SI

a1

Ix!x!

1

. co

• < 11•m

Solución (i) Sea Sea W =0

+x

entonces entonces

15

ix) 11

1 x + x+ 1

__

1

=

... (U) Sí (ii) Sí

xlIxl <

1

-> O

---

1 + x

uniformemente

en en

rr.r, -r • r -I. 1.

existe un un número número positivo positivo rr tal tal que que existe

(n->oo) ,

[.r, r-I1 , xx EE [-r,

r

J. < J.

Entonces .. Entonces: (

_l_dt _l_dt 11 ++ tt

o

log (1 + x ) ,

sea: .' oo sea 00 00

f

LL

x

r

n=o o n=o

n.c l.

00

1 (.l)n (.I)n_x_

I)n ~ dt (.1)n dt =

log (1 + x) •

nn ++ 11

n =0 n=o

•

La convergencia convergencia uniforme uniforme de !1 In! fn! no no es es condición condición necesaria para obteobteLa el resultado resultado (2(.;) como como puede verse en en los los ejemplos siguientes : ner el ner EJ EMPLO EMPLO 96 96 Sea Sea mente en en (O, [O, mente

/ (x) n

11 11

ww

M

w2 2 ,' demostrar demostrar que que !Jn(x) l!n(x)!I converge converge puntualpuntual1l+nx + n2 no uniformemente. uniformemente. Es posible posible integrar integrar término término por pero no ¿G' Es

.

Solución fn(O)

1 _,

t.i»=

1

n

1

at

em

término esta esta sucesión sucesión ?? término

+ n2 x2

->....

O0

entonces la la función limite límite f(x) f(x) es.' es" entonces ¡(x) f( x)

i

=

si x:::: x = OO si O

sisi

at o ic xx f- O

a1

si x:f. x f- OO si

. co

m

la cual cual es es discontinua discontinua en en x:::: x = OO,I pero pero ffn es es continua continua para para todo todo n, n , por por lo lo la n tanto la la convergencia no no es es uniforme. uniforme. tanto

f

1

o

fn(x) dx =

f

1

o

---=--::--::'

+n2x2

1 11 dx dx = --"2ff -:;;;.;;;..,......-2 I 2 dx n oo x +(1111)

11·1 -1 = n'tan notan

¡ f:::

11

dx ;:: ff ff I(f( x)x) dx oo

11

oo

dx OO dx

1 =r+r

n

-1 1 11 tan nx] nx] oo

(n_,oo)) ,, nn_,O -> O (n->oo

= OO,,

por lo lo tanto tanto tenemOS: tenemos: por

315

dx

SJEMPLO ~JEMPLO

fJ

->

1 I(x) f(x) dx

o

••

'111

97

Sabemos Sabemos que que

no es .' que la convergencia convergencia es uniforme

11

oo

11 fn( x) dx=Inx(1. dx = f n x (1 - x)n dx oo nn (n+1)(n+2)

ww

w

fJ oo

11 O O dx dx

esto esto es es ,,

O O,

I

.

M

11

lím l im

n_,.oo

n400

fooJI/x)

J

.

(Ejemplo (Ejemplo 69). 69).

!

fJ

puntualmente L puntualmente en [O, [O, 11],

O

-->

J

1 n (1 - t)

l

dt

1-

(t

.d

o

_, o O

(n->oo) (71->00)

,

I

at

em

1

( x) dx Hm lim ffn(x) dx •• o n40Q n_,oo n

elx dx

at• ic !II

E/EMPLO EJEMPLO 911 9R

Demostrar que: Demostrar que:

n sen lim ee-n sen

f¡) (i)

ee '=" ((e) I(e)

si sí

n->oo n-+oo

si si

!iiJ La convergencia (ii) La "iii) 'jii)

lim n-.oo

ee -1-1 oO ,, e == OO ,

17 TT 17. TT.

en (i) (i) no es uniforme en

a1

. co

m

ro, (O, TT].

fTT e-n sen sen e e de de

n sen e de fTT Hm lim e" e-nsene de

o

o

oO .•

n...-:t n->oo

Solución i) P. viden te • fi) evidente

f

(iiJ e" n sen í ii) e-nsen(J en en O, O,

11 TT

(¡ii) Dado Wi)

e

es es continua continua en en [0,17] (0,17] pero la la función función límite límite f nO no es es continua continua

,,

entonces entonces la la convergencia

te

O ,la , la sucesión sucesión >> O

te le en en [Ie/ 3,,17TT- d 3]L,luego

no no es es uniforme. uniforme.

n sen !e-nsenel

eI

existe existe N N tal tal que

converge converge a cero c era uni form em en-

l'tea implica nn ):.;;..n~,Nímp

¡'

para todo todo f)e EE [d3, para

rr-d31.

Por lolo tanto: tanto: Por

f tr

e" n

e de = J d3 e-e"nnsen e de + rItt - 1'13e-e"nnsen e"de ++J1Tf sen de sen a dO + ,)' Il

sen

17'

fJ

o

o

f

tr- ti::; 1'1> 77-

1'13 3

A

e" nsen sen FJde de e"n

t (' tr +~ E = t < - _f ++-__!_ 7 7 +-= ('

33

3" 31/

33

esto es es , , esto

frre"e"11nsen sen ee de de

o

o Otra .;;.;....;......;.. solución Otra __

/T

«»

w e deww

sen

o

Utilizando la la siguiente Utilizando

2.. () ..<;,

sen

1T

e

M

.

2

f "12e"e"nnsen sen eedR. dA •

o

at

desigualdad:

si

() E

ro,

(Pig. 58 58))

em

Y!

tenemos

e

-TI

e

= ..

TT

11

at ic

~ O

o

(n->oo) ,

esto es es ,, esto lim lim

. co

o FlG. FIG.

n->oo 11->00

1)

m

2n

EJEMPLO RJBMPLO

a1

de

• 2nfi. 7712 e 1i] o

= _!!_( 1_ e"n)

(n~cxo).

f tt o

O• o.

58 58

•

l1li

99 99

Sabemos que que Sabemos

!n(x) === nx(l nx t l - ;,l)l1 ./)12 In(x) »

-> jL-d [I x) ...

oO

puntualmente

en [O. [0,1] en

n

1J7

190 (¡i)). t iil},

y que cía rlO que ¡a la co¡¡¡;ergen convergencia no es uní! rrme om e (Ejercicio (Ejercicio

fJ o()

1

f

dx l/x)dx=J

1

o

??

11

I( x) fJ i( oo

n

dx

12x(1. x-)n llx(I.x-)'ldx

.

1

dx

(n-.oo).

2(n + 1)

O dx = J(Odx= Ó o

0, O

el/tor/ces entonces

fJ o

lim ti m

11

o

ll-¡;C'
fJ

f

Ir/x) dx dx

11

lím l im

n~rx: n->oo

oo

(x) I 11(xl

dx , dx.

•

l1li

tl

El Siguiente teorema wdew Arzelá nos da otra condición suficiente P para g~ ara b_ °a rantlzar rannzar la integración

w

.

M

térmillo término por término término de una una sucesiAn sucesión, , su f1p"mncrr dernosrra-

at

clOn ícil pero el sumamente difícil el teorema teorema es es muy muy útil para para varias aplicacig cion es es sumamente

em

nes ,, aquí aquí lo lo enunciamos sin demostración demostración TEOREMA TEORE,IIA

31 (Teorema (Teorema de de Arzelá) Arzelá)

at ic

•

sucesión de funciones integrables integrables que tiende a II pUll pu_!! Sea ! In I¡ una sucesión rualrnente en [a, b l. Si

Un

bIe ble en [ a, a. b 1 entonces entonces tenemos: tenemos:

Iim l im

b

fJI/x)Ir/x)

a

a1

¡ es uniformemente acotada acotada y fI es integri!

rr b lim Iim áa l/->OO n->oo b

dx

fIn(x) n ( x) dx

// a

. co

[l x) dx. dx , i(x)

m

!:!QI.li : Si

que

-> I , y ! /n1

In

In /n ->-> f/

es un i tormem ente en te

ACOT ADAM ENT E en ACOTADAMENTE

acotada acotada en [a. biT b l. se dice dice

bL [a,bl.

Según el el teorema de Arzel Arzel á , en en caso caso de convergenci a acotada acotada se puede n'~'n.,>r término integrar término por término la sucesión sucesión dada. dada.

En En el caso caso de de los los ejemplos ejemplos 96,97 cadamenre ,

y 98 las sucesiones convergen acg ac.Q "'OI.'V"'''''' convergen

en cambio, cambio, la sucesión en en el el ejemplo 99 99 nO no converge converge acotada-

mente. mente ~ Nótese que que la la convergencia convergencia uni forme forme no no siempre implica la conv<:.r conv~ gencla genera <>'-"H{llUG. acotada, , por por ejemplo ::

..

f n (x) pero pero

1x +

'"

uniformemente en (O, (O, 1] 1] ,, uniformemente en

x

l!nI1no no es es uniformemente uniformemente acotada acotada en en

(O, 111. 1. (O.

da una una condiciÓn condición suficiente para para garantizar garantizar la la El teorema teorema de Arzelá Arzelá da El integración de una sucesión de de funciones término por por término. término, EJEMPLO EJEMPLO

100 100

Sea Sea

x(l_xYl

:=.

en en

[O. 1], 1] • [O,

eIlidentemente ..: e/lidentemente x) ( x) ffn( n

1~l~aa

f(

->~

'on' ffnn >, 1Cel t''';;'' U1 ffUt.

x)

= OO

puntualmente en en [O, [O. 11 1] ., puntualmente

:=.

toma su su valor valor máxt'mo m dxi mo en en xx =n +1 1 , • yrv toma

ww

VH

f (__1_)

M

w . n+1 »:__

n_(l __ 1_)n

::

nn+1

ffnn

la convergencia Entonces, la Entonces,

->-e

at

/

f

n3/2x(

o

11

f( x) dx dx ¡(x)

oo

:: f

::=

o

em

1 _ x)n dx dx

11

O dx

O ,• O

at ic

•

l1li

210 210

EJERCICIO CIClO

fn( x} = xn-l xn•1 (1 (1 -• 2x1l) 2 ~) ,, f,/x):=.

S ea Sea

00

no es es uníforme uniforme ff no

pero .': pero In(x) dx

->

(n->oo).

n+1 ni acotada acotada en en (O, [O, 1], 1], ni

O , ....--+ O

a1

. co

m

demostrar que: que demostrar

= n:2."" I i x) = =1 n

(i) ¡(x) [i x) (¡)

x-:;::I x+

en en

[0,1), (0,1),

(ji) ¿¿ Es Es acotada acotada la la convergencia convergencia en (i)? (i)? (U) en 00

11

I,/x) Jf f,/X) o

Uii) Wi)

¡

(iu) (¡v)

f I( x)

n= 11 o n:='

1

dx dx

dx dx

=

O O.

log 2. 2, log

o

319 319

SoluciÓn

Sea Sf!a

(¡) (i)

L

=:

n 1

k S (x) n

.1)

~.l - ...? x

=:

~

=1

2 1_x

1 -x 2n ~ x --;---y1 -x-

1-, l'

->

1

Jo

.

Sn(x)

->

_00

M

,luego

at

S/x) S/x)

1 + x + 2:11+ 1 )

f :;!l-!1 .d;: dx __ 2/ 2 f fJ!l'

'71

oo

oc

n=l1 n"

.....

11

11 I( x) dx dx ff ¡(x) oo

oc

l/x} dx dx

11

ff

oo

__ 1_ dx dx 1+ x

~

n=l n=1

at ic

x2n .1.d;: -1 dx

oo

11

ff oo

I

em

11

f (x) dx

es acotada acotada en en (O [O, 1) 1) YY por no es

no es es acotada. acotada. no

entonces entonces

(iv) (tv)

(

ww l+x+2:11+1 w 1 _ x2

lo tanto tanto la la convergencia lo (iii)

_)c.Tl

1+x •

1 _ x2

+x -?

1

1-

( 1 - x)

1

x

1 - -;-----,2x -_ xxl-

~ (n~oo )

i x) sSn (x)

(¡¡)

Si Sí

entonces entonces

Ik(x)

OO

OO

11

(1 log(l+xJ1 :d 1 oo

1

= -n-2n

a1

2

o ,

O

. co

2. log 2. log

m

•

11

..

211 EJERCICIO erclO 211 Demostrar que: que: Demostrar ?2

(í) lim lim ne-n-sene ne-n sen B (O

n~oo n->oo

oO

en (O, (O, 11). TI). en

(ii) La La convergencia convergencia en en (i) (iJ no no es es acotada acotada ni ni (ji)

utu

WiJ

t

lim l im flT nn e'n2sen8 e-n2sene n~oo oo n-><><>

de de = oO .•

un iform e en en (O,rr). (O, TI).

Solución

E vidente. (i)(i) Evidente. (ji) P P aracada cada n n ji jo (ji) ara

e8

8....0

o

<<2f 2

13 § §~3

TT/2 o

2 _j_() lT TT

011

71 ne e

n n ...,. ....0000

TT/2 2 "/2 seneedede 2 2 Jf n ne eO n sen oo

( n e- n2 sen 8 de

0.:S

(iii) (jii)

2 lim n n e eO n sen

I

e

dedI)

=..J!.... (1 _

eO

2 n )

~ o

11

l1li

•

Convergencia uniforme uniforme y y deri derivación vación

funciones UnIIn1,I , derivables enen (a, (a, b)b ), ,lala conve!. Dada una sucesión wdewfunciones w genciauniforme uniforme de Infn -> I f enen (a. (a,b)b) no no garantiza laladerivación derivación tértér minopor por término : millO

.

M

.... f'f'(x) (x) • ,

I~f~( (x)x)

at

em

como puede óoservarse observarse -en' en los siguientes como EJEMPLO

at ic

ejemplos

101 101

Sea

=

.J._ sen nx nx n sen

sabemos ,I sabemos

en [a, [a, bb11 (O (O en


(Ejercicio

<< aa < bb << lTTT )) ,

O()

2.

punto xx la la serie serie punto EJEMPLO

n=1 n= 1

converge ••\1& converge.

f~(x) /~(x)

I

~ 1 /,fn(x) (x) n= 1 n pero en en ningún pero

. co

m

102 102 x

Sea Sea

enfDnces

[Lx) == O O /(x)

1_

Tenemos: Tenemos:

f~(x) (x) /~ como COmo

a1

00

206) que que 206)

j'(x) == O O ((x)

1 - nnx

uniformemente uniformemente 2

2 2 (1 ++ nnx) (1

(n-><x»

en en

RR11

{~{~

si si si sí

(Ejercicio (Ejercicio xl xl

188 (i¡). Liil}; 188

OO

xx = O0,,

tiene se tiene: se

321

lim /~ (x) lim I~ (x)

/'( x)

EJEMPLO EJEMPLO

f O O

si x si

n->oo n-"""

,

/~(O) I~ (O) -1 1-

lim

I

n-+oo n->=

103 103

Sea Sea

, entonces la seri seri e entonces la

2 2424 2 n +n x

¿¡ verge con verge

I

11

00 00

n=l n=l

n

2

4 2

+ n x

uní lorm [orm em ente ente en (. (.00, (0) ya uní oo. 00) ya que

L

1

00

<

-2-

ww

M

n= 1 n

w

Sea Sea

I( x) 1<x)

.

(Criterio (Criterio M M de

+00

entonces entonces

OO_l_

¿¡""-122

1(0)

n= 1 n

at

2 4- 2 n +n x

•

em

at ic

luego luego :

-¿

I(x) - 1(0) [t»)

OQ

n=l

entonces entonces /(x) - 1(0) =: I(x) = •• x

x II

¿<Xl LOO n=l n=l

11

Loo

22 22 + n x

n= 1

ara xx=:4-..l.. = 4- _!_ PPara - m m

2

a1 x

. co

m

(para (para xx'; 1- O). O).

tenemos: tenemos:

> >L¿

2

1 1 1+ n (-2) m

11

m

22>.:..>

n=11+5n=11+5-

m

entonces entonces

I( l/m) 1< l/m)-- 1(0)

< <

(l/m) (l/m) 1(· fe·

Weierstrass Weierstrass

00 00

¿¡

n=l n=1

Pero Pero

/,(0). /,(0).

l/m) - feO) 1(0) l/m} (.17m) (.llm)

m

>

12 m m. . -21 2 m m

m2 m""T

=_1_ =_1_

2

",m __.-::.1_.."m __ ..::.l_r m J!L k 2 =2 2 n=l 1+~ n=l 1+.!!!..z m

esto es es , , esto lim lim x->o x->o

NO existe existe. • NO

I(x) - 1(0) xx

sea que que /,(0) /,(0) no no existe. existe. Sin Sin embargo: embargo: oosea f~ (x)

entonces : entonces 00

(O) ::EL f t;(O)

LOO

nn=11 11n

n=1 1 n=

oo . .

oO

•

oc

En Enelel eje~plo 101 101 , , lala serie

w

M

converge, en en elel ejejemplo f'f'(x)i x) nonoconverge, emplo

L

nn=11 nn

102 ¡¡~ lJ~11 converge converge yy f Iwes pero 102 wes derivable pero

.

lim f~I~ -1-1 f't' ,yen , yen elel eje!!! lim n-~oo

I']-.¡,.oc

converge pero' pero' f I nonoes es derivable . converge

plo 103 lO, n 1 f~ plo

at

•

111

em v: at ic

Sea Il 1 nInlluna unasuceSlOfl sucesión defunciones funcionesderi derivables Consusu derivadacontinua continua vables con Sea [a... hb1.. 1 , sisilala sucesión dede las las derivadas , ,lJ~J 1 converge uniformemente uniformemente enen La en [a, b]: b] : en

I~ f~

uni jorm ement e en en uniformemente

gg

se tiene tiene (Teorema 30. 30, Ejercicio Ejercicio 208)' 208)' se xx

Jefe

t; (t) (t) dI dt ->... f~ n

f

x

e

(t) dt dt gg (¡)

(a, b] b] ,,

a1

.

co hb11 uniformemente en [a. Ca. uniformemente en m

donde ee es es cualquier punto punto fijo fijo del del intervalo intervalo (a, (a. b] b] ,esto ,esto es es :: donde xx

__"Jf ee

gel) dt dt

uni prm em en te en en uniprmemente

(a, bb 1. 1. [a,

Si ,, suponemos suponemos que que 11 IIn(e) 1 converge, entonces se tiene: Si n ( c) 1 converge, entonces se tiene: In(x) (x) In

... lim lim

-'>

n-»()O n->oo

fnCt:) +

f

e

x dt gg(t) (t) dt

uniformemente

en en

[a, b 1.

Corno f~ f'n es es continua, continua, su su límite límite uniforme uniforme gg es es también continua continua ,entonces .enronces ('..amo

323 323

fJ

x

gg(t) (t) dt

ec

y su derivada es

es derivable

dx

1 (x)

n->oo

n

esto es es. • Itn(x) esto

11 converge

cuya derivada es es el l ímite de de f~ f~(x): (x) :

uniformemente a una función derivable

_!!_ lim

g(x). g(x).

lim _:!_ f (x) • dx n

=

(3 O) (0)

tt-sco n-+oo

Para Para obtener obtener la relación (30) hemos supuesto supuesto las las tres tres condiciones condiciones

In

G) (i)

I~ es contInua continua

es deri vabl e y

I~

(ü) 1/,; ! I~¡I converge converge uniformemente. (iD

(iii) Para Para algún pumo punto (iiD

convergente. Unn(( de) !1 es una sucesión convergente.

c, e,

-'

Para obtener obtener el mismo mismo resultado, se puede suprimir la continuidad continuidad de f' I~ wwresultado, n w verse en el siguiente teorema 32 • pero al suprim!r la hipóte sis como puede verse teorema.

.

M

f' la demostración demostración va a ser muy muy artificiosa. artificiosa. de la continuidad de I~ ·n TEOREMA

32

at

em

Sea !In 1 una sucesión de funciones derivables en (a, (i) (ii)

!J~~! converge uniformemente en en Existe un un cE cE

(a, b) b)

(a, b)

o

at ic

b) , 81 :

tal que que 1Un(c>! converge, • tal I n ( cJ I converge

a1

a, b ) entonces 11In In!I converge converge aa una una función función derivable uniformemente uniformemente en en ((a,b) entonces

yy lim lim n->oo n-""'"

1,

(x) l' (x) Inn ••

. co

m

Demos/raciÓn Dado un un punto punto t/ EE (a, (a, b) b) definimos definimos la la nueva nueva sucesión sucesión {gn {gnl como como sisiDado gue: gue:

gn(x)

De la la hipótesis De la suc esion la (a, (a, h). b).

i

x I~ (t)

t

si si

xx

i-1

tt

(31) (31)

si xx '"= tt si

.•

(í) I !gn(tJl !gn(t)j converge. converge. Aplicando la la condiciÓn condiciÓn de de Cauchy aa W, Aplicando

{gnl1

Tenemos: Tenemos:

vamos aa demostrar demostrar que que 19n {gnl1 converge converge uniformemente uniformemente en en vamos

1: +o(X) - g,,(x) 1I

:::::_..=..l.::L-_""::"'_ _-":::'.L..:l.._-:';'_

X

'1

t

-

ApliclllltIo el el teorema teorem a del del valor valor medio medio aa la la función función (¡'Hq [/n+q -In] -In] entre Aplicado entre

t t yy

xx

se lÍene: lÍetle: se (32) (32)

donde donde

.ro

est. enhe en'tre t t yy x. x , Como Como !/~ I!~II converge converge uniformemente uni jormem en te esl.

(a, bi b).• dlUlo JaJo (a.

en en

existe NN tal tal que que para para todo todo nn )). NN tenemos tenemos >> OO existe

€e

para todo todo xx yy todo todo qq ,, para· entollces tIe tk (32): (32): enmsces

ww o sea lfI'e

Ig,,1

w

converge

.

M

para todo torro xx yy todo todo qq para

tmi/OTIIlemente en (a. b) •

at

De (31). (31). to.ado 100IIando t t = ee tenemos tenemos para para todo todo xx E'e (a, (a, b)b) De /(r) = ,.

1/,,(eJl l/,/dl

CCllllO COIJIrO

In (e)

+g(x)(x-c), 11

converge yy converge

verge lI7IifoT1llemenle tia un unaa

em

at ic

Ig,) . convergetmiformemente converge uniformemente Ig,) función l. • ti.!UJL ftm ción f."!:!.rlliI.

entonces Ilnl llnl entonces

a1

=u

COl!.

Ahora. ¡l/ITa para cualqu.ier cualquier tI dado. dado, de de (31) (31) se se observa observa que que la la funciÓn función Kn gn Abor«. c01lIi_a ya qu.e que In /n es es derivable derivable Como es COI1IIÍ1IIJIi« ya •• Como su fusciÓli !a"dÓn Ji.te U.te SIl

1_ x4

li", g,ixi g"(X> 1m n_

IIgnll

es tdmbién también continua. continua, oo sea sea eS

.-000

gi

. co

converge tf.niloT11t_emente, unilorm_emente, converge

m

f;

lim gn( t)t) ::::;= lim /,' (t) (t) • lim

( lí. gn(x) )) n_

n-+oo 71-+00

n-1l-+CO

n

esto es: es: eslo

1_ Ii.. .r->t x...,.!

Coao COMO

/,. .... -+ I/ l. li_ x_'"

1;'

I_

/,,< x)

,.__.

I!J~

In(t) 1

-

xx-

lim I~(t). I~(t). lim

II

11-+00 1.1-+00

f!1Ilonces enlosces

I( x)

- I( t) = r _1

lim n->oo

f.' (t)

,

n

esto nos "05 indica i"dica flI'e iple la la ftm:ciÓli función lÍmite es derivable derivable en cualquier cualquier punto punto tt del del esto limite II és

325

I!~Il .•

intervalo intervalo (a, (a, b). b) , Yy la l a derivada deri uada es es el el limite límite de la sucesión

G(x)

I ..

O.

•

111

104 104

EJEMPLO

Sea Q Q :::::: IXn

1

el ,1 L _sea el conjun-to conjunto de todos todos los los raciona/es racionales en en [O [0,1], _sea

ww

w( x

Como Como I/r/x) If/x)

I ..$:~ 1l/zn

.

M o

1 ) 2 'sen xn )2 sen x-:::x x ~x

a 11 • t

em

rO.

mente mente en en [0,1]1] (Criterio (CriterioMM de

tt x) entonces entonces

f

=

si xx === x n , si 00

serie la serie [O, 1] , la

en

00

~ /n( x) n= 1

~

nn=11

Weierstrass). Weierstrass).

fn(x) fn(x)

at f ic

00'()2

= ~ x - xn• n= 1 2n

o

si

converge uniformeuniformeconverge

•

Sea Sea

1 ] sen x-xn

es continua continua en [0,1].] • También: También: f~(x)

f-

si x nn

x

a1

. co

m

1

1 si "'[X-Xnj

co j_J_

P

x =f:.

"« ,

...-<

luego: luego: (x) If~ 1/n' (x)

I .$~ "

Ix-xnl

zn°'1

11

1 +-+ poI p-l p

1

+ + -- < 7l P

zn

00

Por la f' eme,!! Por el el criterio criterio "f M de Weierstrass. Weierstrass, la serie serie ~ f~(x) converge converge uniformeme!}. n= n=l1 n te, del del teorema teorema 32 32 se tiene tiene que I es derivable derivable y te.

r( x)," = dn ...dp

oo'(X-X

~_ \" n-l

:zn~iJ sen f;-+. 1] XOXn

en la sum a y'

nmitimn<:

,.,

=

b

- ~",,' 1zn

- I .

00'

n= n-I 1

",¡

x

1

...n

¿;-

cos cos

[1x:::x ._o.

=

x , E- Ó.

,

n

1

NOTA NOTA

Sí Si x x=

=

xk E EQ Qentonces entonces

_1_ cos-_1_ a cerocuando cuandox x.~ tiendea cero cos _....!-- no no tiende 2k x - xk filiaTIlia en en xk e Q ••

Como Como

->

xk, 'f' f'no no es es concon ti •ti

»

EJERCICIO 212 FfERClCIO 212 00

Sea Sea

4 2 ' demostrar que :¿ In(x) fn( x)converge convergeuní· unin -v n x • demostrar que n n=11[orm em en t e a una función [t x) en (-00, 00) donde j es derivable y que lormemente a una función ¡(x) en ('00,00) donde f es derivable y que 3

ww

M

f' (x) =w I f' f~ (x) n=1 (x)

.

n~

SoluciÓn

00

1

n

desigualdad:: DeDela la desigualdad

(- ",,),(0)• e e(.00,

paratodo todo x x para

em

1 <- ----r n

oc

¡

que que

¡

I

f'

I

(x)

f~n-n (x)

If~(x) I ..:s If~(:dl ~

como COmo

at ic

(para todo todo x) x) (para

a1

fn(x) converge converge uniformemente uniformemente en en (.(- 00, (0) (0) ya fn(x) ya nn=1 1 converge. converge.

n=1

l

•

at

4 2 + n x se tiene que la serie se tiene que la serie

00

= -

2

2

2 /n2

2/n

2x 2x

. 2 2 (1 + n x )

.

para todo

x

. co

m

#~

para todo x

uniformemente en en (,oo, ( : 00, ""). (0). uniformemente

OQ,

.,

serie ¡ f~ (x) converge • lala serie :2. f~ (x) converge

Aplicar ahora ahora elel teorema teorema 32. 32 • Aplicar

11Nota

It Nota

SiSi

f

Ixl ~ ~

se tiene: -1-1 se tiene: 2x

In2(1+nx2)21..( SiSi

Ixl >>

2 n2(1+nx2)2

2

<-7

se tiene tiene :'r 11 se 327

11

2x 2x 2(1 2(1 2)21I n + nx nx 2)2

EJEMPLO EJEMPLO

2\xl 2 21xl 2 2)2 ~ ~ ---y -22( 2)2 n nx n

~ <:

•

105 105

ffn (x)

Sea Sea

fn fn

'" ::: _1_ e"

n

f( x) ==:::O O f(

TI

2 2 x

,,entonces entonces


R1•

También: También: 2nx •_ 2nx

f~ (x) f~

2 2

e- nn xx e"

-> ~

O O

en

R1 •

Esto es Esto es

ww

w

O ...-> O

sin embargo , f~ sin embargo

.

M lim l im

f~ (x)

lI-+eo 11-+eo

at

es uniforme uniforme en cualquier cualquier intervalo intervalo que contell.. cante.!!. no es

em

ga al origen origen como se ve ve a continuación: continuación:

2n

2 2

!xl

y

e-n x

< e

22 22 x

(33) (33)

entonces entonces :: n Sea Sea

Ixl << ··-e22-te en

Xo

la mayor mayor raíz raíz de la la ecua" ecua-

o

ciÓn ción 22 -x x

eX

at ic

a1

. co

m

2

e

E

si si

n = xollxl xo/!x!

n

IXol iXol

se tiene se tiene

x

O

=-r ~. 22 2 2

"'yen en ~.

FIC. FIG. 59 59

(33) (33) se Para obtener Para obtener la la desigualdad desigualdad se tiene tiene

como

x o /!x! 1 1

OQ 00

cuando x->O cuando x .... O , f~

valo que contenga contenga al origen. origen _ l1li • valo

.... O -> O no es es uniforme uniforme en un interint er-

34 §§ 34

Convergencia en media Convergencia

Sea Ilnl l!nI Sea

sucesión de de rUfl,CH)ne'S funciones integrabl inregrabl es en en [a. [a, bb1 1 .,sisi para para una "m{'p,;¡IOn

una función integrable integrable fI se se tiene : una lim lim n~90 n~90

f

a

b

!/n(x) - [I x)

se dice dice que que ¡¡ In 11 converge converge aa se l.í.m. l s i cm ,

I

I

2

=

dx

o°

(34) (34)

en media yy se se nota: nota: en

= I

In

(35 )) (35

n-+oo 1'1"",00

Si In Si

-> ->

fI

uniformemente en en ([el;a, b] b] ,ó ,ó acotadamente en en [[ a, a, bb ]] •, eviden

wpero remente tenemos tenemos (34). (34), pero la convergencia convergencia puntual puntual no no siempre implica la la cemente w la convergencia EJEMPLO EJEMPLO

en media en

w

o

.

M

106 106

nx n

Sea Sea {

at

i= 11 xx =1=

si

x = 1.

si

°

em

entonces entonces == O

Pero ,• Pero 11

fof 11.I/n(x) (x) n

22 ¡(x) 1 dx dx -- I(x)

I

o

1

fo

en en

n2 x 2n dx

[O, ,~x fE JO"

at ic

[0,1]. [O, 1].

n

2

11 ", JJ

a1

2n + 1 2n

-+

.00,co

m

esto es, es, In In no no converge converge aa cero cero en en el el sentido sentido de de la la convergencia convergencia en en media. media. esto

••

EJEMPLO EJEMPLO

107 107

Sea Sea

In( x)

=

[cos n77X]n

en en

[O. 1] 1] ,, [O,

entonces: entonces: 121 I¡(x)-Ol o n

f

1 2 dx = ff (cos (eosnT7x)ndx dx o o

dt ==-..1.rL. f17/2 eo s2n Idt t dt dt fon17 eos2n t t n1T 1i7T - n17 o

2 1 =-(1--)(1--·

ya ya que el producto

o

(1 __ 1 ).!L )..!!... o (n -> (0) (l· 2 2n <Xl 1 TI diverge n00 (1. (1- -) diverge a cero, cero, esto esto es 2n . 2n

1 )) .•.• ..

2

TT

4

in finito finito

l. i.m. (r:os l.í.m. i co s n7TX)n nnx T" '"=0.O. 7.1->00 n->eo

pi pi q (p (p, I q son naturales), naturales), entonenton-

Si Sí x es es un nÚmero ntim ero racional, racional, digamos digamos

.•

ces = qm q m (m (m = natural) natural) se tiene: tiene: ces para n = Cco s nn x t'' '"= (cos [cos 17rrqm.P...]'fm '"=I (cos co s mprr)CZ mpn t'["m

2

pq

(_l)m

q

I¡ (cos (cos

esto esto es es ,, EJEMPLO EJEMPLO

Sean

nrrx)n nrrx)n 1 1 no tiende tiende a cero para para xx racional. racional •

ww

M . w

108 108

.

en gener ai ,, si si

~

.;;;

v;

!In!1

, 13 =

[-t,

17

[~

em 17 [~,f], -:[, 4

'

;!a+ 1 ,

n

i:

n + 1-

2k

te

n

~]

[2 2...]

( n'

1

Sea Sea

at

111 12 '" (O, [O, 1) l) ,12= [O, 1 = (O,

15=r.J_21 4], 16 16 /5 . 4 ' 4 '

=

at ic

;!al

.

una sucesión cesión de funciones tales que [un cion e s tales fIn(x) n(x) '"'"

11

si

xx

O O

si sí

xx fIn

1 1

•

111

11.14 = [O,

,

;

1.

11], 1, .... ..••

a1

. co

m

E E 17.1 In

[O, 1] 1} ,, xx E E [O,

...

entonces en ton ces :

f oo

11

22 ¡In(x) -- 01 O I dx

1

f IJ ji n (x) I x) J2 12 o n

dx dx

Longitud

o sea: sea:

l. l. i.m. i cm , In In n-><X1 n-->oo

=

O O.•

Pero,six se Pero, si x EE [O, [O, 11 l} evidentemente evidentemente se tiene tiene

O,

de In

-e

O (n-->oo) ,

estoes, es. esto

!/n(x)1 1NO NOconverge. conv·erge. lJix) 11

-------o--{--o

_1 12

[

T

14

[ 18

1 ! ~ {lO

3

1

15

111

-]

13

1

1

[

1.

2

"4

16

1

1/ I 1 12

113

114

17

]

I 1151

PIG. 6 O 60 FIG.

unasucesión sucesióndedefunciones, funciones, sisi eX1S Obsérvese que quecllúnite el Límiteenen mediadedeuna Obsérvese ww te no , noesesúníco úní co yayaque quepuede e modificarseelelvalor valordedelalafunción funciónenenununnúms núm~ w pued modificarse te,

.

M

integral, sin sinembargo. embargo, sí si e~e· finito dedepuntos puntos sinalterar alterarelelvalor valor .delalaintegral, ro rofinito límitesenenmedia media xrsten dos dos límites xisten l s i s m , In /~ l.i.m. n...ec

==

=t I

1'1-->00

I

I

at

em

l s i vm , In /n ¡.í.m. n ...oo 1'1-'>00

tenemos: tenemos:

1/(x)

- g ( x)

12

gg

at ic

b

2

. co

m

lo cual cual implica implica qu~ qu~ :: lo b I/(x) fJ l/ex) aa

a1

g(x)\ 2 dx..:S dx ~ g(x)!

bb I/(x) - I. (x) I22 dx + 2 Jbb ig(x)-[, (x)!22 dx 22 fJa l!(x) - f n(x) \ dx + 2 J jg(x)-!, n(x)! dx a 1'1 aa 1'1 ... OO- ,•

->

o sea osea b

b JaJ

a TEOREMA 33El)m TEOREMA 33

2I/(x) -- g(x) g(x) \ \2-dx dx !f(x)

(36 ) (36)

aO ••

r

puntual~ente aa /(x) [I x) en en ra, a, bb11 Supongamos que que I/ix)} lin(x)! converge converge puntual~ente Supongamos

yy

331 331

que l vii •sm m •, In /n=g. g qu el.

•

nn-+oo ... oo (i) Si Si f/ es es acotada acotada en en [a, (a, b] b] se se tiene que que (i)

l s i sm , l.i.m. n~oo n->oo

(ii) Si Si f/ yy gg SOn SOncontinuas, se tiene tiene que que /( /( x) x) (iD continuas, se

ffnn == l.j.

= gg (x) (x) para para todo todo

xx

del

intervalo (a, b]. b). intervalo DemostraciÓn DemostraciÓn (i) (i)

Sea Sea

si

I//x) -

si si

!/n(x) - g(x) g(x) lIr/x)

1> I/(x) l/ex) -- g(x) g i x) I1 1>

para todo todo para

xx EE [a, b] ,

g(x)

I~I/(x) II(x) --

entonces entonces

lh n(x)l

luego: ~ luego

bb 22 dx ..::;; f b ¡¡ (x) - g(x)1 2 dx -+ ffa Ih!hn(x)1 dxw ~. (x)1 n a ww a n . g(x)! .:;;.<: MM paratodo Ih/x) 1 .:¡;;.::; l/ex) l/ex) -- g(x)l para todo xx

También: También: donde donde

~

I/i x) -

g

M

M es es una una cota cota de de M

es integrable. integrable, luego gg es Evidentemente

at

!J -- gg 11 en en l!

fj -- gg

O

g(x) 1 g(x)í

(n-+oo).

[a, b] EE [a,b]

(37) (37)

(a, b]. s l. (Nótese (Nótese que! que / es es acotada acotada [a,

em

yy

es acotada. acotada. ¡) es

at ic

se tiene:

en (a, (a, b], b], puntualmente en puntualmente

a1

es acotada acotada (por (por (37», (37», entonces entonces por por elel teorema teorema de de Arz_! yylala convergenciaa es lá (Teorema (Teorema 31) 31) tenemos: tenemos: lá b ¡h (x) 2í 2dxdx Jfab ¡b,/x)¡ n

a

bb 1/ (x) - g (x) ),22 . dx L , ...... I f I/(x) - g(x ¡ I a;x,

aa

. co

,bb Ih (x) ZI 2 dx... O se ti ene que b erocomo como ) f !hn(x) pero n 1 dx ... O se tiene que aa b 2 dx = O. O. I fb !/I f(x)(x) - - gg(x)(x)I21 dx:::

m (36) (36)

aa

Delala desigualdad: desigualdad: De b 2 b b 2 2 Jb ¡(x) / (x) _g(x) - s (x) 2 dx+2f dx + 2 bJ g(x)-!(x) s (x) - f (x)22dxdx f (x) - /(x) f ( x)2 dxdx ~~ 2f faJb ífx) a nn aa nn aa tiene que que l.í.m, l vi s m , Infn = !. [, sese tiene n~oo n->oo (ii) De Delala relaciÓn rel acion (36) (36) yy de de la' lacontinui d adde de las las funciones W) continuidad tiene que: que: tiene [tx) = g(x) g(x) para todo todo x x EE (a, (a, bb). I(x)::: para 1. !JI•

f f yy gg sese

..

EJEMPLOo

109 109

'Sea l/l( x) 'Sea

t:

TJ( 2zIn/«,,

(O, 1l/n}.J[ si xx EE (o, In

S1

1]. n-

2/n) xx e:t' (1(l/n, ,2In)

sisi

en [0,1] (O, 1] ,pero ,pero que que [.í.m. demostrar que In(x) tiende tiende aa OO en que Ir/x) IZO e xi s l.i.m. InIn no demostrar n->oo n ....""

tete • •

Solución Solución E (0,1] (0,1] , , sisi nn es es sulicientemente suficientemente grande grande se se tielle tiene que que

Dado xx Dado

xx

luego

In (x)

--. O

>> __]_ 1111 •

(n-->oo). También,

ww fTI (O)

w

.

M O

O.

->

Del teorema teorema 33, 33, sisi existiera existiera límite límite en enmedia media seria sería igual aa OO , • pero: pero: Del 1

J o

01 2

I/n(x)

es, no no existe existe esto es, esto

EJERCICIO

a[;nt n em In • ...

dx

2/n 2 2/n

{¡n

l.i.m. l.í.m.

fn.

n->oo '1rm.

•

213 213

Sea Sea

Ir/x)

O

1

= ~

O

~

( nn+ n

Demostrar que que Demostrar

lim fn( x) lim

xx

si xx

==: OO

dx dx

22

TI11

1 n

:::

n

1/

-.,.-+

000, 0,

at ic(+, n a1

• Ó xx E E ,ó

n

, r]

1 (O, n)) ., si xx EE (O, si

= O O en en (O, (0,1]1] Y)' que que

110 110

.

existe ct.Lm. los i s m , In' existe In'

m

n->oo

11->"" n-+oo

n~(XJ

Sugerencia Similar al al ejemplo Similar

109,. 109,.

EJERCICIO 214 214 EJERCiCIO

Sea Sea

In(x) In(x)

x

en en

+ xn 11 +

(O. [O,

n11 .,

demostrar :: demostrar (í) (¡)

uo

(¡¡)

lim lím n....oo n-><XJ

111(x) (x) In

l.í.m, l. i.m. In In n....oo 11->00

~ti ~~

sí si

x1- 1 xi.

si sí

xx= 11

== xx...

,.,,.,,.,

Solución Solución (i) (¡)

Evidente. Evidente.

i1

Jfoo I¡(x)-xl Irnn(x) • xl

i ii)

2

((? f

dx dx

1

1

t t3/n -Él. _.!!!.. ~~ i_L fJi dt == _1_ _1 o (1 (1 + tJ2 t)2 n non o n o n

f/

-> ->

O O

= = t )

(n->oo). (n-><XJ).

_ 111

•

EJERCICIO 215 EJERCICIO 215 bb

acotada. acotada.

ww

Solución Solución

w

.

M

2

¡¡ J J ¡/ 1 In(x) 1 n (x)¡2

Si ¡1 In In 11 cOlllJerge sucesión converge en media media en [a, b] • la la suc esi on

a

dx dx 1 1 es es

Existe una I tal que Existe un a lunción [un eion integrable integrable b

!lId. fJ !t,/-d.

a

/(x)\2 /(x)1

2

dx

at

em

O • O.

->

Pero : Pero

!JJx)!- ?

=

lJ,/x)

- I(x) + [I x)

b

JJa ij i 1,/(x) x) ii 2 dx dx a

11

': ..(:

esto esto es es • la la .'jI/cesión sucesión I

at ic

?

'7

¡- ~ 2 1 In (x) - [t x) \- + 2:/(x)\-

a1

bb? ? rb 2 2 fJ Iln(x) Ifn(x) - I(x) f(x) 1I dx + 2 J If(x)l~ dx J II(x)\a a b 1¡ afJ Iln(x)!2dx ifr/x)!2 dx 1 1 es es acotada. acotada. _ a

111

•

?

I

. co

m

EJ ERClClO 216 EJERCICIO 216 Sean l. In l i.m. i cm , In

If , l .l. i.m. i sm ,

si si

n ·-)00 n-.--)oo

x

h,/

x)

= afJ IIn (t) gs n (tJ co


hhnn

->

h

gn gn

I

i

ti 400 tI->oo

dt

I

h( x) h(x)

= = fJ

x

a

uniformemente uni form emen te

x il/t)g(t)-I(t)g(t)!dt

n

en [a, b 1 1 •I

f( t) g (t) dt I(t)g(t) dt ,

en [a, bh lo 1-

DemostraciÓn DemostraciÓn

~ Ja

= =g

b] , x E [a, b] I

~ fa

f

b

a

b

-/(t)g(t)idt

lj (1) \Ig '11

'

TI

+

(t)-g(t)\ dI

( Aplicar

'

b

fa

aldad dede lala desigualdad

'-----v---' '-------v----' acotada . ww acotada w (Ejercicio 215) 215)

----~~

M

I

Cauchy SchUJarlz) Schwarlz)

f

. oo

O

(TI

/71fn = fI

l.i.m. ¡.í.m. n->oo n-+oo

x

x ffa a

In(t)g(t) dI dt fit)g(t)

at

acotdda

o

em

00).

l1li

at ic

en (a, (a, b] b] ,, si si gg es es integrable en ... ->

xx

faJ

a

¡

!g (t) 2 dt

~

El ERCICIO ERCICIO 217 217 Sea Sea

b

I(t)g(t) dt dt j(t)g(t)

a1

demostrar que que demostrar en (a, (a, bb]. en 1.

uniformemente

Sugerencia

. co

m

En el el ejercicio En

216 tomar tomar 216

gn(x) == g(x) g(x) Kr/X)

para todo todo para

n , 1II!I 11.

EJERCICIO 218 218 EJERCICIO Sea

22 2'J fn(x) '" n3/2 xx ee- nn xx~ ,demostrar , demostrar que que

tu alm en te acero a cero en en (.1,1], (- 1, 1], pero pero que que l.i.m. l.i.m. fn tualmente In n->oo 12-+00

I/lin(x)! / x)! r

converge pU,T}.. pU7}_ converge

no existe. existe. no

Sugerencia 1

J 1/n (x) -1

-

01

11

2 dx

.,

~1

3 212

f

o

,1 e

dx

335 335

= 2n 2n

='

3

2

222 2 dt e- t dt

nt2 --; f nt ---:r

oo

n

f /

2

nn

e- 2t

2

dt )

2

o

1

f /

e- 2t

2

dt .j O.

o

•

1III

EJ ERClClO EJERCICIO

219 219

[o, ttTT 1 1

en

,

demostrar demostrar que que

• (í) (i)

l,í,m, l. i m ,

(ií) (ii)

lit/(x) lIn(x)

°

i

pero pero

lfn(rr)

l

no converge.

1 pero la convergencia no es l converge converge en [O, [O, TTI21 rr/21 , pero convergencia es uniforunijorI

me. me.

Sugerencia Sugerencia

f

(i)

TTtr

o

2 cos := 2 cos n x dx =

ww f

o

w TTI2 rr/2

M

2 .cos cos n x dx

.... • .'' ((2n 1)rr 1 3 5 •• 2n. - 1) rr

at

em

J._ _L ..i-L (1 (1 •- 2)( 2)( l. 1 - 4)'" 4)'"

f/O) f'/O)

(ii) (iO

1 •

co~n x

oo

(cos x)n

L _es uniforme L a convergencia convergencia no _es uniforme

2n

2 4

(1 _ _ 1_) TT (1 __1_) tt

sí si

2n

at ic x

§ 3'i 35

co s'!n x cos

< (

°° (n-;oo). (n_",).

•

E E (0, (O, rr tt Í21 í21 •

a1

ya que la función función límite ya límite no es es continua. continua.

Nota Nota Si

.... ->

entonces entonces

n

> lo lagg (é

. co

m

_" ->

log(cos lag (ca s x)

00 00

(x _"0+) •

•

l1li

Convergencia Convergencia uniforme del producto infinito infinito

El producto infinito infinito

es la sucesión sucesión

¡1 Pp

n

n

(x)

I¡ == ¡1 n n

k= k= 1

gk(:r;) gk(x)

1 1 ,, as! que podemos hablar hablar de co,!! cOQ

vergencia producto infinito vergencia puntual y convergencia convergencia uniforme de un producto infinito como caso caso especial especial de sucesión sucesión de funciones funciones

..

EJERCICIO EJERCICIO Sea Sea

220 220

!gk(-'-)! IgixJl

una sucesión sucesión de funciones una de

acotadas .diferente s de de cero cero acotadas yy .diferentes

en D D 1, demostrar demostrar que que el el producto infinito infinito : en 00

TI

gk(x) 1 gk(x) k=l uniformemente en en D D si si ,, dado dado te >> OO converge uniformemente converge

existe N N tal tal que que existe

para para

todo nn 'J;;:. se tiene tiene todo ;- NN se (

t

~ para para todo todo xx E D D L (38) (38) { l para para todo todo qq = 1,2,3, 1,2,3",)•• }

Demostración De la la condición De

(38) ten tenemos: (38) emos :

ww

w

.

sea oo sea !glx)",

<

gN+ix)!

M (1

i < ( Ig

at

+

e)

em

tt

í

!gz(x) ••• '" gN(x) gN(x)! I} para para todo todo x~ EE D D tpara todo todo qq-l,2,.5 (para 1,2,.5

at ic

(39) 0'9)

Como Como gl(x) gl(x) ,, ••• "" , gN(x) gN(x) son acotadas, acotadas, de (39) (39) se deduce deduce que existe existe una una constante M tal tal que que constante M

Ig!gl(x).

.. gn(x)! ..:;:;M

(38). para cualquier De (38).

a1

(para todo xx eE D yY para para todo n=n = 1,2,3, 1,2,3, ... .. ,),).

~ N N tenemos: tenemos: nn ;;:.

. co

m

nn gk(x) 1 satisface la condición condición de Cauchy Cauchy Pi!. P.E. k=I k=l r a la la convergenda convergencia uniforme. • Evidentemente Evidentemente función límite límite es difere.!!. ra la función

esto es, es, sucesión esto la sucesión

! TI In

cero en D ya ya que que el producto producto infinito te de cero cuerdo cuerdo

condición de con la condición

converge paracada para cada x de a converge

Cauchy para para el producto producto infinito Cauchy

(38) (38), •

•

111

TEOREMA TEOREMA

Sea Sea

34 34

( x) Ig !gn( x) 1 1 una sucesión sucesión de funciones funciones continuas continuas y diferentes de n

337 337

00 00

cero en en (a, (a, bb11. . El producto cero


n=l existe NN talque que f e >> OO

b] sisi yysólo sólo sisi •,dado ( (a, a, b] dado

implica implica

nn ;;;.~ NN

TI gn(x) gn(x) nn=1

_ 1

!gn+l( x) •••

I <

en en

(40) (40)

f

••• Yyrodo (a, b]. b]. para todo todo qq =1,2, 1,2, ••• para todo xx EE [a,

..

Demostración Demostración Del ejercicio ejercicio 220, 220, la la condición condición (40) (40) es es suficiente. Del Ahora, supongamos supongamos que que Ahora,

rr

lim lim

n

k= 1

n->oo

gk(x)

= P(x) P (x)

w

uniformemente emente

M

en en

(a, bb] [a, 1

donde P(x) Pi x) t -lOen (a, bw b]. Primero, se seobserva observa que que PP es es fontinua ,Fontínua en en donde O en [a, 1.w Primero,

.

(a, b 1 , luego: fu ego: [a,b1,

In/

xe[a.b] Dado !Q << ec Dado

!P(x) \ = I

at o. em c

>

existe No No tal tal que que sisi nn ~;;:.No No existe

Iglx)

gf.x) ••• g no, (x) - P(x)

tenemos tenemos:

at ic

I <

e

sea: oo sea:

b >

a1 o

todo nn :;;. ;:;. No No ,para ' para todo todo xx EE [a, (a, b] b 1 •• para todo La sucesión sucesión La

!

r=

n 1 gk( x)

I satisface

uerg enci a u:niforme. uniforme, esto esto es es ,dado ,dado N mayor mayor que que No No )) tal tal que que N

Ig I( x) ...

gn+l x)

la condición condición de de la é«

O existe existe >> O

. co

m

Cauchy para la la ca!,! ca!!

N (podemos N

escoger. escoger

si nn ;;:;;: N N tenemos: tenemos: si

gi x) •.•• gn(x) 1

<

f

(e

b ) •

luego: luego:

ign+l x ) todo qq para todo

_ 1

I<

= 1,2, 1,2, .. •••~

gi x ) 1 y para para todo todo V

<

dcf

c

E (a, (a, b]. b]. xx E

!Q • l1li

.....

EJ EMPLO 110 110 ElrlPLO

Sea Sea

gn(x)

l!2 n n , demostrar que: que: , demostrar

x x 1/2

=:

00

(j)

(i)

gn(x) converge converge uniformemente uniformemente a x en (0,1]. n Il a x en (O, 1]. n= gn(x) 1

n= 1 condición (40) (40) del teorema 34 en (O, NoNo s ati sfacela lacondición del teorema 34 en (O,

n.n.

(ii)(ii)

SoluciÓn P i x) n

entonces : entonces • ¡p n( x)

-

X!I

=

x [-1/2" x -

.

M

2 ¡Pn(x) - x ] < 1xI/2 ¡Pn(x) - xi < x /

e2 ~

x ~

IP n (x)

- x I

1tenemos: tenemos:

1

luego, , existe existe que que

• 1/2 0

<[

>o O si six xE w,::(O, tenemos: ww(O,/ )(2) tenemos:

Dado e Dado E

Si Si

11

~

( X·1/2 n

tal que que NN tal n

¡Pn(>") - x I << lPix)-x\

(

e

~

x

at

(paratodo todon). n). <
1]~

em

at . ¡/ icrl/r ° _ a1

r 1I2 n _

1

implica implica !f2

;:. No

para todo todo paTa

1!2 2n

= 1) << <.(; << 1)

se tuviera sisi se tuviera

.Ix?<( 1-l--}q) -1\« 1

tomando limite límite cuando cuando tomando

10\0_1\=1<=< 1 I

I < {

_

sea << {e •, oo sea

1 1

(O, 1]1) sisi nn ;:. No' xx EE(O, ;:.. No·

(ii)

Dado f e (O (O Dado

2

. co

m

la desigualdad: desigualdad: la

para todo para todo

x E (0,1], x E (O, 1] ,

x -, 0+ 0+ se se tendría: x..". tendría:

1 ""

f

(absurdo ! !))..• (absurdo •

339 339

EJEMPLO El EMPLO

Sea Sea

111 111

luna IIIfn(x) n(x) 1 una

su cesiiin de de funciones funciones acotadas acotadas en en D. D, sucesión

Si Si

00

Y

A.2, ... )

¡,

M converge, converge. M nn= 11 nn

que el el producro: producto : demostrar que demostrar 00

"

nnTI= 11111+/(x)! + [n( n x) I 1

n

converge COflt/erge

uniformemente en en D. D. uniformemente

Solución

ww

w

.

M

TJll+q (l+Mk) ( k=n+l

at

,(

nótese que que 1laa convergencia convergencia de de nótese

n

(1 + Mk) -

k=n+l

1

_1,

s"1 JI n implica implica la la convergencia convergencia

ll+q

00 00

,luego ro to 11 TI1! l (I+M + M n}n.)I luego

em

)

at ic 1

del produ roduc del

< ( sísi n neses su lici en tg,

mente grande. grande. Aplicar Aplicar ahora ahora el el ejercicio 220. 220. mellte

a1

Compararcon conelel criterioMM deWeierstrass Weierstrass para paraelelcaso casodede serre . Comparar

EJ ERCICIO 221 221 Sea Sea

n

[i x)

1(1 + ~)

OG

n= 1

e-·r:ln

n

!!JI

. co

m

I

una función continua continua para paratodo todo x xreal. real. demostrar que que f fesesuna demostrar Soluc;;ón SoluciÓn

w(i) x

x :; ;.(J.O,

donde donde

Sea Sea

e't =1 -1 -t + t +RCt) R(t) • , "

?

!R(t)! =!L r 2!2!

/1

2

r Fórmula dede \ .( _1_ r Fórmula 2

Entonces Entonces (1

(1 2:.) e- .dl1 = (1 + ~ )( 1i( 1 __ L ~ + R( )~ )) ) + n 11

1 -

2 - L, + R(.2:..) n~ t

n'

.;...!_ n

R(..!..) n

.

T'aylor) ) ,

11

Ir/x)

1+

2 -2"-., + «:

donde donde

R(.3.)

n

X

x + +n n-

f1

R(~)

n

Si xx EE fO, ro, b] b] entonces: entonces Si 1

3

- 2 ¡- 3 -b2 ++-1 b 1 n 2 2 n

"'<

yy

r.l... 2

< ++00 O

,

III L11 el el producto producto converge converge uni form etll em ente en te etl en [O, [O, b], b 1, luego fu ego

del ej ejemplo emplo del ¡(x) f(x)

es continua continua en en xx es

((ji) ii)

-pP -- 1

1 <<

-p << -p

xx

Por un un procedimiento Por

¿:.> O, o.

(ó •_11 << xx < 1) 1)

natural) ww((p'P' = natural) w

.

M

análogo tia (i), ui , se se tiene tiene que que el el producto converge converge análogo

uniformementete en en (. (- p. P - J,. .1, - P P (iii) (Ui)

,

at

), I , entonces entonces ¡(x) f( x) es es continua continua er¡{.p. en (- p- l,-p), 1,- p),

em

Sea pp un un número número natural. natural , entonces: en to nc es : Sea

[i x} = TI"" OO l(l 1(1 +..E)e-x/n )e n nn=11

n

(1 +.:!.) I1 ""= (1 p

e-x/p

an"t ic

(n=l)

nI p

!( 1 + L ) e-·dll 1 n

a1

un procedimiento to similar similar al caso caso UiJ, (U), el produc productoto en (41) (41) Por un

(41)) (41

converge converge

uniformemente en(-p-1,-p+l), lo tanto tanto fes continua en x""-P, x=-p, uniformemente en(.p-l,-p+l), por lo fes continua

yy

o.

f(- p) p) = O • 1('

EfERCICIO EfERC1ClO

•

l1li

. co

m

222 222 00 00

Sea Sea

F(x) = xx F(x)

nTI

n=o

[1 ..

demostrar que que FF es es continua continua para para todo todo demostrar F( n) F(n)

real y que que x real

...

= O. O • n=O,=.l, n = O , ,",1 , ±.2,,. ,.•••

Sugerencia Sugerencia Similar al al ej er ci cio Similar

221 'l1li •• 221

341 341

36 §§ 36

Serie de de potencias

En este este parágrafo parágrafo se se va va aa tratar tratar de series series de de términos términos cqmpiejos,por cqmplejos,POr En tanto aclaremos aclaremos alguna alguna de de sus sus pr()pí,ed~lde's propiedades • lolo tanto Sea

! zn =

l. una sucesión de núlmPlro" números complejos. complejos, entonces entonces . uc.eSl.UI1 de

xn + iYn

tenemos: tenemos: ~oo

n=l Obsérvese que que la sene serie

n=I

00

senes senes

~ x n= 1 n

•

k n=l

Xn+tk

~O<>

n=l

y

n.

converge absolutamente absolutamente converge

Zn

si 51

las yy sólo sisilas

ya que que convergen absolutamente absolutamente ya yy LOO YYnn convergen nn=l1 ~O<>

_..

Iznl

=

J(xn)2 + (Y>~ w

w<:w Ixnl

.

M

IYnl ~ y2 J(xn)2

+

at

+ (yn)2

,=

y2 Iznl.

porlolo tanto. tanto, lala convergencia convergencia absoluta (o (o sea. sea, la la convergencia de ~ Iznl) por oo implica la la convergencia convergencia de de la sene serie I ~ n=l n=l Utilizando la misma desigualdad, la serie converge sisi yysólo sólo sisi ~ Utilizando la misma desigualdad. la Zzn converge O<>

em "'.= at ic O<>

n=Il

n

se cumple cumple la la condición condición de Cauchy Cauchy ,, oo sea. sea. dado dado se que que

<

é

para todo todo para

(; >> OO existe

é

a1

N N

tal tal

~ N N :YY todo todo qq = 1,2,3, 1,2,3, •• •• nn ~

De 1laa mi misma forma,, la condición de de Cauchy para para la la convergencia convergencia uniforme, uniforme, sma forma cdeo términos el criterio M M de de Weierstrass •, etc. etc. ,, son son aplicables aplicables aa series de términos com com

.

m

piejos .• 111 pIejos. Una serie de la la forma: forma: Una

• +

se llama llama serie serie de de potencias se ak ak

(k = 0,1,2, 0,1,2, ••• ••• (k'"

el +

(z·

(z·c)

de Z· z ee ,donde , donde >

2+

(42) (42)

z. ee yy los los coeficientes coeficientes z,

son números números complejos. complejos. )) son

Aplicando el el teorema teorerna.? 7

la

en (42) (42) converge converge abaol absol utamente utamenre si si la serie en

Iz.c\ <

1,

sea sea Nota: {##Nota:

lim

puede ser ser +00 +"". l' r puede ,)\ p ue dé ser ser O. O. J r r puedl!

\(

rr

entonceslala serie de potencias en entonces en (42) converge convergeabsolutamente absolutamente

Iz-cj << 11 -'-_""':"" l'

Iz-cl << 1'.r , Iz-cl

oó

r

SiSI

(43)

Enelelplano planocomplejo complejoz z, ,elelconjunto: conjunto: Fn

uncírculo círculoabierto abiertocon concentro centro en en ec de deradio radio eses un

(verFig. Fig. 61) ,lo que quese se ) ,lo exteriorde de SiSi z z está enen elelexterior

llama círculo círculo de de convergencia convergencia de delala serie.

Iz -el> el> r,r , Iz< ww w

círculo , oosea, sea, círculo,

.

entonces: entonces: lím

'V la n (z

- c)n

M

mago

at

1=...:......._..:.. l=._:_1 >>1,1, r T

estoes es, ,lalaserie serie divergeya yaque que esto n 1 no ¡ an(z< (z - et c)n! no

la sucesión

tiende aa cero. cero. Si Si zz tiende

l' r

em o

está sobre sobre

la circunferencia circunferencia .1,1z· z - el el === rr •, entonces aa veces veces la la serÍe serie conconentonces verge yy aa veces veces la serie diverge , verge

at ic

e

a1

. co

m Fig. 61 esta circunferencia se se llama llama la la ciT· ciresta cun jeren ci a de convergencia de de la la serie, , yy su su radio rr se se conoce conoce con con el el nombre del del radio radio de de convergencia. convergencia. nombre EJEMPLO EJEMPLO

112 112

ls" <Xl

nn=o ==0

~

2

11++ xz ++ z ++ ....

'_1 1 === lim

'V-1-1- === V-

1

rr

entonces el el círculo círculo de de convergencia convergencia es es el el circulo circulo unitario unitario con con centro centro en en el el entonces origen. • Si Si

Izl ~- = 1, 1, 1::tf1¡ l? 1no no Ixl

tiende ela cero, cero. o o sea sea que que la la serie serie div~ tiende

343 343

ge sobre sobre la circunferencia circunferencia de convergencia convergencia •••..

113

EJEMPLO

z3 + T + •.•

00

loo _.t:_ 11+ + 2: n= 1 nn n=1

1+z +

-l' utm _- 1 zm -- 1 '" = lim

lim

r

Vn

n->oo n->oo

::: =

rn

11I,

luego, • el círculo círculo unitario unitario es es el círculo círculo de convergencia. convergencia.

entonces: entonces:

Si z:::: z =

1

1 + 1 +

si si z = •• 1

2"

+

entonces en ton ce s : 1 1 +2

oc

.

= 11

M

entonces entonces

em

z :: e ie

la la suma suma parcial parcial de de la la n=l n= 1

(O

<e

at ic

n=1 n=l

2:"" LOO

oo. +00,

converge lag 2. converge aal· 1 - log

at

IL

n=1 n=l

serie serie

w

diuer ge a

+ •••

00 oo

¿

COmo como

ww

+

fzl

En general. general, si si

n

inO es eeine es acotada, • 1

por el el criterio de de Dirichlet Dirichl et la la

<

21T) 2"),• y

• e

a1

ie

. co

m

e o ,es , esto10

serie serie converge converge sí si e ¡."

es es •, la la serie serie converge converge sobre sobre la la circunferencia circunferencia de de cunvergliZ!. converg~ cia ci a salvo salvo un un solo solo punto punto z

=

FI G. 62 (L FIG.62 (Laa serie serie diverge en en z:::: z= 1,) 1.)

1, l.

Advertencia Advertencia De la conocida conocida desigualdad la

[im lim

'n+11 ianl lanl

I

_-:.!,..L...:-_~

~

lim

(Ejercicio

'V lanl ~

sabemos sabemos que que si si existe existe el el límite:

lim

22) 22): :

V lanl

~~,

m

.·· I

,;:--

<-

---'.'¡ ,--~

lim nlim __ n.....,.,

Ia;:I a;;zl 11

sese tiene:

I I

1 lim V!an! lim1an an+l lim + 1 = lim n->oo'V ¡anl n->oo a n.,¡.oo 11.->00 an n

~¡a¡. o/Ianl n•

= lim

muchasocaciones ocaciones esesmás másfácil fácilcalcular calcular elellímite límitedede ! 11 I an+ 1 / an I EnEnmuchas casodel del ejejemplo emplo 60: 60: caso lim lim

(_1+ 1/ . / _!_]

n_"OQ n

11. ..."'"

n

= lim lim

L

en el

1 1. •

11

n->oo

EJEMPLO 114 114 EJEMPLO Sea Sea

ww

00

L

1 1+ +

w

n=1 11.= 1

M

n in s- l ) ,

Izl

at

em

lim lim n ....oo 11. ....""

rr

Si Si

.

se tiene: tiene: 11 se 1

In

n (n+ 1)

yy

L:2.

n(n+1)

· n+2 2 l tm-lim

n.... ce n+ 11. ...."'" 11.+

at ic

1

11 ••

converge, converge,

a1

entonces la la serie serie converge converge en en TODOS TODOS LOS LOS PUNTOS PUNTOS sobre sobre la la circunferenentonces

'.

cia de de convergencia .• da EJ ERCIClO 223 223 EJERCICIO Sea Sea si si

lim lim

n-+oo 11....,.""

Tr

. co

m

el radio radio de de convergencia convergencia de de la la serie serie de de potencias el

'VfbJ '"= Wnf

a 11.=0

11.

1, demostrar demostrar que que la la serie serie 1, 00

:2.

n=o tiene el el radio radio de de convergrtncia convergencia tiene

r , T.

SoluciÓn SoluciÓn Como Como

lim lim

n-+oo

VI bn! = 11 •, dado dado

1:e

(O (O

<<

Ef

<<

1) existe existe NN tal tal que que po> pe; 1)

ra todo todo nn :;:, ~ NN tenemos: tenemos: ya

345

<

1 - (

''VV Ibnl Ibnl <

1 + ée •,

entonces: entonces: (l-dO/lanl

«1+d~.

<'Vlan'bnl

Por lo tanto Por tanto tenemos: tenemos:

.. Como

es es cualquiera cualquiera

ff

II

se ti ene : se r

ww anterior De la se puede puede cambiar De la advertencia advertencia anterior se cambiar la la condiciÓn condi ci on

NOT A : NOT

w

r;¡ I bn I

lim lim nn-->o<> ....oo

EJ ERCIClO El ERCICIO

= 1

.

M

por por

at

1!f±1-1 l--'nf±ll = 11 • •

lim

=

111

n-->oo n-+oo

em

224

de las siguientes series series e investigar la H alZar all ar el radio de convergencia convergencia las siguientes investigar

at ic

convergencia divergencia de las las series la circunferencia circun feren ci a de converconuerconvergencia o divergencia series sobre sobre la

gencia. gen ci a , (i) (i)

¡oo (n + :2.0<> (n +

1)

n=o n=o (iv) (i o)

1 1+ +

¡oo :2.

00

zn z?2

n/n l»

n= 1

(ii)

11 + +:2. ¡

00 00

zn z!l

---¿ ---:¿

n= 1 n

(tii)

"" zn a:2.nr 1

z?2 ¡nI 00

(O O //

11 )

n=o n=o

. co

zn z!l

m

Sugerencia Sugerencia Similar a los los ef ejemplos 59 ,6060 Y Y 61. 61. Similar emplos 59,

En (iU) Bn (iiiJ

• ..

yenen (ív) (iv) rr=O. r == +.00 +"" Y = O. 111

EIERCIClO 225 ETERCICIO

Hallar el circulo series: Hallar círculo de convergencia convergencia de las'siguientes las-siguientes series:

to

1+ +:2. ¡

(ü) (ii)

1

(íJ

00 00

n

n-2 n·2

n=l n=l (n-1)1 (n-1)/

zn .• z?2

a bz· + _. + a (a + 1) b (b + 1) z 2 +••• + a( a + 1).. (~n - 1) b(b+ 1).. (b+n - 1) z!l 1 ci 2/ c( c + 1) n l c( c + 1)... (e + n - 1)

zn

00

I

(iii) (iii)

n"'l 11=1

7" n

{I

1

00 k :I. --,¿z I n==l ;ti~

k

n=l

I xi} ( xi) 1

n=l n=l

(2n -

2·4...

uo

T =: T =: 1

1

ww

(iii) (¡¡,¡)

.

M

o/ nn

~

::=

at

f1-

n n->

¡n0 2

1

11+

--+00 00

em ,

J

...-)f!

r

I

r

IX)

•

at ic

r=e.

a1+ ::

. co

m

1 ] 2; 1 [ 1 +31 + ... +2;l:l 1 ) 1 +Z;;:-:1 ~n+ _ n+

1)/

1·3 (2n - 1)/ 1·3 ••• (21: 2·4 (2n)(2n) 2'4 ••• (2n)(2n) .

ti

iP 1

=:

r=oo.

r = 3. == 3.

¡;ti 11 I11nk

2n

e-1 e-1

T

:::;

T

1 -[1 ++ -3 + •••

(x) (x)

e·1

->

rT

(1

Iix) (ix)

2n

x

(v) T = 00 (v) r =: ""

( (viii) viii)

z?

(2n ~ 1)

2'4 •••

n=L 11=1

1)]22n

(1

(vii) (vii)

1·3 ••

00 00

x2n

2n

-2 ~n + 1)11-1 == n (n- 1)/ n! n+

fií)

nr

== n atur al fijo) (k( k natural fijo)

w

(j)

n=o n=o

:I.

(ix) (¡x) I

...

1 + Loo [Id ...

+

:I.

n==1 3n.n n=1

1 - 2n 00 1 :I. [1 (1 ]-2Z + + -3 + + ••• +-n= 1 2n _1 n n=1 00

(x)(x)

:I.

( uii) ( vii)

z3n

00

i-:

(v)

:/l zn

00

--2-

n"'l

(oiii) (viii)

n! ? nn:/l

n"'1

2'l.?

00

:I.

( vi)(vi)

00

I

(ivJ(iv)

log (2n - 1)

0(1)

2n

+2

log(2n

+ 1)+ 0(1)

2n 211

--+

1 ,

.... 1

1

T:: 1. r::: l.

(2n + 2)2 -1--3 ••• (2 (2n+ 1) -1,..3 ••• __ (2n + 2)2 n + lJ 1, T== 1. 2'4 ... (2n+2)(2n+2) - 2n (2n + 1) --+ 1 • r = 1.

2'4 ••• (2n+2)(2n+2) - 2n (2n

1. k {2

1-k _ {21 si si kk = 11 ...· si k> k> 1. 1 si 1.

2n_ 2n

+

(2n - 1) + 0(1) --2n + 2 ___;=-------

+ 1) ...

2 si k = 2 si k ::= { T ={ si k> k > 1. 1. r = 11 si

347

(1'3 ...

((xi) xi)

2-4 .. •

EJ EJERClClO ERCICIO

I)_VAl'3

(2n(2n)

1,

(2n+1))2=Cn+2Y-+ (2n + 2) 2n + 1 )

j/ '\2-4

llar llar el radio de de convergencia convergencia de de las las siguientes ~ (an)k

(iii)

2

1•

•

226

2 an zfl es es 2, h(f. ha.

Si el radio de converg en da de la serie convergencia serie de potencias

(i)

r

zfl ((kk

an

zfl

= natural natural fifo) fijo)

series: series:

a in (k '" = natural natural fijo) ) L2 an}n (k n

(ii) (i¡)

2

Solución (io i)

lim

ww

o/ I an Ik

M

[ o/w 1-,

.

I]k

(ii)

la la serie serie converge converge si si !zkl

= _1_ 2k

at

em 1):1 aIzlt ic

sea que que la la se> 22 •, o sea

< 22 •, diverge diverge si si

I!, l/k' , entonces .k entonces rT '"= 22 l/k • > 2

Izl I z] < 21/k , di uerg e si si

ríe rie converge converge si si

)

(tU) (¡ii)

._2 2 '!J"") .,¡ ¡-n

n=l

:¿k. zk.

Tr

entonces' entonces'

[ ~TaJl1ln o/faJl1/n

o

a1

. co

m

lím l 11n /ím [tl/r;¡¡ [0/Ianll1/n V 1 n'

TEORE\fA

Sea

l im [1/2]1/n

1. 1 I

n-+oo

rT

1. 1 •• 11

35 oc

aa (z. (z - c )"

2

n=o

n

una serie serie de p,ptencias. ROtencias _ Si Si ,r es el radio de

convergencia ,para para cualquier I

Iormemente

en en

.

ro ro

•

(O (O

< <

T 'o o

< r) r ) la serie converge uni< . uní 3

Iz - c I. ..:( ro • Iz.c!~ro'

Demostración ro

Ir) < 1 ,

00

2. \anl (ro)n n=o n=o

entonces lalaserie serie entonces

sisi

conllerge, pero perocomo: como: conlJerge,

Iz -e 1 e I ~~ roro, , Izo

porelelcriterio criterio MMdedeWeierstrass Weierstrass por converge uniformemenuni form emenserie converge lalaserie

tete enen Izo el ~ roro < cl-:s

,

COROLARIO COROLARIO

potencias den· tienUna serie dedepotencias Una unafunción funcióncontinua continua wwenen elel dedea auna círculodedeconvergencia. convergencia. w

.

Demostración

M

F1G. 6363 F1G.

at

em

Izo-el que t alque - el <
I

o

O

el Comolalaca!!. I < <
Izo- c

at ic

•

Este corolario corolario puede puede expresarse expresarse en en la la siguiente srgurente forma: forma: Este Una serie de potencias

a1

define una función continua en el círculo de co_!!

vergencla.

.

co uniforme Nótese que que la la converge convergencia de la la ser te !.2. an(z· (z c)n c t" es es uniforme Nótese ncia de m Iz cle I ~.::S roro para para cualquier cualquier ro 70 r ~ pero no siempre es uniforme Iz> << r,peronosiempreesuniforme o

o

Iz elel << rr ,, por por ejemplo ejemplo Iz. o

la serie serie ;; la

z) pero pero no no uniformemente uniformemente en en 1 I( 110- z) 1/( 1

Si Sn( z) Si

...

1: o

z Z

00

zn

converge puntualmente puntualmente aa converge

Izl << 1,1, como como se se

ve aa conúnuacÍón: continuación: ve

,.

¿Z 11 (z)_ -1 = 1-. l. ISISn n(z) -I--1 Joz Joz Z . z

J-¿Z

l_z

=0

2.

n=o n=o

en en en en

o

uniformemente en en uniformemente

Izl << Izl

1.1 ,,dado dado

(>

O

para nn su· supara

ficientemente grande grande se se tendría tendría :: ficientemente

<

lE

para todo todo para

Izl << 1z1

1 , 1,

349 349

lomando tomando

z... 11 :: z...

<

+"" +""

tf

absurdo. absurdo.

,,

111 •

Del que garan Del teorema teorema ~5 obtenemos obtenemos lnrnC(lla.trunelrlte inmediatamente el el sigui ente ente teorema .que

tiza la la derivación derivación ee integración de la serie serie de de w<e¡¡t,;!.<:l.1S potencias término por término: término: TEOREMA TEOREMA

..

36 36 00

Sea Sea SI SI

ZZ

n

pertenece pertenece al círculo de convergencia convergencia de la serie, , entonces entonces tenemos: tenemos: z

00

dI dt = L

I( f( x) z) es es

ww

w

Loo a ~

dz

(t·

n c

derivable y

.s. f( z) =

z

f

a

n=o

c

(¡¡) (ii)

a (z. c)1l ,

71=0 n=o

f I( f( t)t)

(i)

2.

f( f( z) z) =

n=o

.

M

(z.

__ n_ (z· c )n+

n=o 71=0

at

e)"

n dz

a

00

= L

c fl dt

= Loo

n + 1

71.1 ) z cc)n.1 nnaa ((z, nn

em n= 1 n=1

1

(44) (44)

>

at ic

donde donde la la serie en en (44) converge converge en en el el mismo círculo círculo de de convergencia convergencia de

la serie para serie para

I(z). fez).

Demostración Demostración (i) (i) Sea

rr

a IIz. cI1 I

el radio de converg encia de la serie convergencia serie dada, dada I sx si zZ

círculo de convergencia,

ro ro < rr tal tal que

exis existete

t

teorema teorema 35 35 la la serie serie converge converge uniformemente uniformemente

z· c

pertenece pertenece

< ro <

Del

r •,

. coradio en el círculo círculo de radio

centro en c, c. y por el el teorema teorema 30 podemos podemos integrar la serie serie centro

al

ro ro con

m por término término por

té.!:.

mino. mino.

ua

(ti)

Sea Sea

00

L

g (z)

71=1 n=1

TI n

a n (z (z • c) c) n

n.1 TI -1

(45)

entonces entonces

ntTal VI n'

r;r,;

lim = 11 (Ejercicio 223). 223). Esto Esto es, es el radio de convergencia convergencia lím n....ec de la serie serie en (45) es es igual a r. r , De W (i) tenemos: tenemos:

ya que ya

f

c

zZ

g(l)ti dt g(

I

= 2.

DO

n= 1

a lz n

»

c)n

= f(z)-

ao •

..

Como g es continua, continua,

z

JJ

g(t) g(t) dt

es derivable derivable

o y su derívadaes derivada es g(z), g(z),

c

sea sea ..!!....!!(z) --cl=__"!!_ tg(t) dt 3....l!(z) el == ~ (g(t) dI dz dz cc

ó,

_r!_ f(fez) z) -=L

'~oo " 00

g(z)

k.::.

n=l n=l

dz 115

EJEMPLO EJEMPLO

= ==

g(z), g(z),

)n-l (( )n-l .111 n aan •• n Zz -- c

Sabemos: Sabemos: ;/1

~OQ

1 _ z

\zl Izl <

n=o

1

entonces entonces

z

di dt

J 1 - tI J--

lOO _1_ .¿z+1 lOO_1_ ;/1+1 == n=o nn + 11

•- lag lag (1 (1 •- z) z)

o

z

fJ - lag (1 (1 •- t) t}

ww

M

di z) dt = (1 - w z) lo g (1 (1 •- z) z) + z

o

.

at

¡lOO 00 1 .¿z+ 1 ?+1 n=l n=l n(n+1) nin v L} EJ ERClCID ERClCID 2Z7 El 27:7 g (z) == = loo ~oo .¿z ;/1 n==o n=o nI nl

Sea Sea demostrar demostrar que

¡OO. _1 .¿z loo._l ;/1 n= 1 n

em

(O !!

:

d g(z) g(z) = = g(z) g(z) ,•

--¡;;=z::

z

JJ

g (t) dt

o

1

=

==

;/l.

(n - l)n

at ic

1) ,

g (z) - 1

a1

para z ••111 para todo z.

Aplicando Aplicando el teorema 36 sucesivamente sucesivamente se tiene: tiene: dkf(z) dkf(:r)

dzk

= =

2,00 n(n-l) ••• (z-cJ n - k , ~OQ n(n-I) ••• (n-k+l)a (n.k+l)an(z-dn-k, n n=k n=k

. co

m (45)

y el círculo de convergencia convergencia de la la serie serie en (45) (45) es igual al círculo círculo de conserie para fe f( z) vergencia de la serie

•

sea: o sea:

La función potencias es derivable cuantas función definida definida por una serie de potencias cuantas veces se quiera. quiera. y las las derivadas derivadas son continuas en el mismo mismo círculo de cooverg~ cía dada. cia de la serie serie dada.

351 351

De (4<;) (4<;),reemplazando tiene: ,reemplazando zZ = e se tiene: = ._1 fU( e) k!

ak

luego :: fez) :=: 2 fez)

oc

2oc 2:

an(z - e)n

TEOREMA TEOREMA

fn)( c) (z _ e)n

00

n=o n=o

n=o n=o

(46) (46)

nI

)7 17

convergencia de de la la serie: serie: Sea rr el radio de convergencia Sea 00

2

fez) f( z) =

(z. cJn •

n=o

Si bb pertenece pertenece al círculo de convergencia se nene tiene la siguiente siguiente identiidentiSi w ww dad: dad: f(

.

z)

M

(47) (47)

Ak (z· b)k

"'o

donde 2"" (;)

Ak

j=k ;=k

(i) k

at

em

a. (b (b -- e)j-k. a, 11

at ic

El radio de convergencia de la serie de potencias

r-Ib-el·

en (47) no es menor que

a1

como sigue: sigue: El teorema 37 puede expresarse también como

.

en serie serie Una función función definida por por una una serie serie de de vv" potencias es desarrollable desarrollable en Una ... "",."..'", es c om, yy lala nueva' nueva de potencias potencias en en cualquier cualquier pUnto punto del del círculo de de convergencia, de

serie converge converge en en el el círculo círculo máximo con con centro centro en en el el punto del del desarrodesarrode la serie original original (ver (ver la la titi llo contenido en en el el círculo de de convergencia convergencia de .$_ura 64.). Demostración 00

fez) fez)

~ n=o n=o

00

¡

n=o n=o

an (( z - b t + (b - e»)n

00 00

== 2:2

n=o n=o

aan n

[ ~_n) z: (nk k=o \

(b - e)" - k Ir z - b) k

-ll

11

cambio de de orden orden en en cambio la serie serie iterada; iterada; #Nota #Nota_, la ...

serie dada dada converge converge LLaa serie en el el círculo círculo grande, grande, en la nueva nueva mientras que que la mientras serie (47) (47) desarrollada desarrollada serie en el el punto pun lo bb convercon ver en ge en en el el círculo círculo pequeño pequeño ge subrayado. subrayado.

ww

w

L "" =0

n=k

.

M

(48) (48)

at

em

donde donde

n=k

***** *

***** *

*•••* *

## Nota ~"k :.::tin ../ /

55

(49)

a1

33

/'

22

,/ /

etc. etc.

V / 11

22

FIG. 65 65 FIG.

están indicados in dic ado s en la figura, figura. están los pun puntos son iguales aa los tos in , k) k) tales tales que: que .: (n, k=O, n=O,l, n=O,l,2,3, 3, •••• •••• k=O, 1, nn '"= 1, 1,2,3,4, •.• k == 1, 2,3 I 4, ••• k = 2, nn = 2, 2,3,4, , •• •• •• •• ,• eetc. k=:2, te. qU2 qU2

// oo

.

n=O,k=O n=O,k=O nn=l,k=O,l l,k 0,1 co m n=2,k=O,l,2 n=2,k=O,1,2 n=3,k=O,l,2,3 n=3,k=O,1,2,3

./r-,~

44

o

·k

Los puntos puntos (n,k) (n,k) tales tales que Los

nn

1

at ic

(h·

an

33

4

L~

OC) 00

n=o n=o

55 nn

I1 L~

k=o k=o

kk

•.. 1l =

~oo

k

=0 =0

¡ ~oo

•••

l.

n=k n=k

353

Para Para justificar

el cambio cambio de orden orden en la la serie serie iterada iterada hecho hecho para para llegar llegar ela

(48) •• basta basta demostrar demostrar la la convergencia convergencia absoluta absoluta como sigue: si gu e.t

Iz. Iz - bl <

Si

hb = rr -

lb· lb - el cI

I lb. e I + Iz· b I In < +"'"

n=o

\b-c!+lz-b\ Ib-cl+lz-bl <

ya que que

(ver Fig. 64). 64), (ver Fig.

Tr •,

Esto Esto también también nos nos muestra muestra que la igualdad igualdad (47) (47) es es valida

ww

oo

sea sea que

M

'" r-Ib-cl, r - lb - I . . el el radio radio de de convergencia convergencia de de la la serie serie en en

Iz-bl Iz - b I
c

at

== r -- lb - cc II ..•11

De (49) (49)::

(47) (47) no no es es menor menor que que

em

at ic

·k

(por (45»

."

a1

•

116 116 1

00

Sea fez) ::=2. ~ =-Sea fez) 11-z, - z, n=o el círculo círculo de rlHu,p'ro convergencia

es

el circulo círculo unitario unitario con con centro centro en el el origen, , sea sea b = = •- 1/2 1/2 (ver (ver Fig. 66) 66) entonces entonces .. de (50) (50)

tenemos: tenemos:

Ak = _1 k¡

fk) (- ~) fkJ(· 2

. co

(50) (50)

m

l1li

EJEMPLO EJEMPLO

en en --_-

HG. 66

!·l !.l 1 _

k

1

k! k!

1-rk-Z ; rk-Z 2

= = (213)k-,:-1 (213)k-cl

por lo tanto parlo tanto tenemos: tenemos:

f(f( z)

= =:2. 2:.

oc 00

zn

n=o Nótese que el radío es N6tese radio de convergencia convergencia es (312), (312), mayor mayor que

l--I--J._Ol = ~~ . l--I--J-.OI= L suma total eva serie seTi e es tambi én igual Laa suma total de esta esta uu llueva también igual a

,,00

(..2)k-l ( 2 "" oc ¡ -3 2 (~ "-' 3 z -...l..) ) k -_ -.c.. k =0 3 k =0 ~

,

??

w,-7") w1w.

t(z

T

2

.

221l 22R

EJ ERClClO ERClCIO

Sea Sea

- z i

2:. :2.

desarrollar función desarrollar la función

Sea Sea (í) (i)

_1_

-

1 - Zz:

«

at

at ic

pertenece al círculo serie, pertenece círculo de convergencia convergencia de la la serie,

serie de potencias potencias de 1/( 1 - z) z } en serie «

el radio radio de convergencia con vergen cía '111 '. 229

EJERClClO EJERCICIO

_ ) serie geométrica) geometrica serie

¡

(+)k-l (+)k-1 (z.,.. (z -t- +)k +-)k

00

«

¡k

-

3 2 - 2 Lzz

k "'o =0

= = V -:T

..1-) )

em

00

'"=

«

comprobar comprobar que

M

33

~

sigue'-- - como sigue: 1- z

f (z) i z) == «lo - lo g

a1

<Xl 00

(1 (1 -- z) z)

oc e-

2:. :2.

iJ i) y hallar hallar

(z iz -

. co

m

n=1

desarrollar funcióll lag (1 - z) serie de potencias potencias de (z + desarrollar la [un cion --Iog(l z) en serie

y demostrar demostrar que su radio radio de convergencia convergencia es es igual igual a (iiJ Desarrollar la [un función (ii) Desarrollar cion

- lag serie de potencias potencias de lag (1 (1 -- z) en serie

radio de convergencia y demostrar demostrar que que su radio conuer g en ci a es es igual igual a TEOREMA TEOREMA

+,

-+2 '.

~

(z -

2 3") 3)

1

2")

'111

38

Sean

= = 2L"" 00

f(f{Z) z)

g{z) g(z)

n=o n=o

355

convergentes en el círculo círculo común común dos series de potencias convergentes ,

IX" .. ee ¡z

entonces entonces

,

<

tj

r ,, r

son desarrol lable s.gn serie de de pot(!ncias porencia-, son

f( Z) z) + g (z) i z) y f{ f( Z)'g z).g (z) (z) ¡( l' g

i z c) c ) convergentes convergentes en el mismo círculo. de (z· >

(i)

f(

00

z) + (z) _. + g (z)

1 (an + b,)

(z • c)n

//=0 n=o

t enernos :: , y tenemos

.

e»:

(ii)

f( z).

1

g( z)

(z ccn (z·

n=o n=o

donde

11

= k=o 1

C

n

ak b n-]:

tii) (ii)

chy

r

ww

w

Demostración Demostración i i) (¡)

C)II

¡¡

.

(S elJidente e ui den te •, es

M

at

em

dos series series CfJllv/?rg con uerg en en absolutam absolutamente. entonces el el producto LLas as dos ente, entonces converge absoíutamente absolutamente y es es igual a f(z).g(z) converge

FJEMPLO

117 117

Sean Sean

f( zt

nooo 72=0

(zJ gg(z)

]!1

la primera converge en en \z\ la era converge

at ic JI

< 2, 2,

'.

=q

a1

lassegunda egun da converge converge en en }')' la

Izi << 11 (ver I uer Fi Pig, g.

m

67 ),J, entoll.ces entonces

las dos dos series: series: las (¡

+.g(z)

4-

1

) ;:;11

o

!(z).g(z) !(zJ.g(;rJ

o

en

Y

zn

do n d e donde 2 .. =0

cont.erg en

en

jz\ << l. 1,

. co

F/G. 67 67 HG.

de, Cau de

EJEMPLO EJEMPLO 118118 Sean 00 Sean f( z) ==1_1 - L I( z):= n=l

_:?

g(z) = g(z)

J!l

L

I J

ce

ti

n=o n=o

11

Izl< <1 • 1,

converge en en zi ¡z! <2 2 y la segundaconverge converge en era converge la la primera < Y la en mo s t mOS:

Ten e

:1

!I

00

i!

L

f(z).g(z) f(z)·g(z)

n=o

n=D

donde donde

1

n

L 1 1 - - k= 1 2k

( n f- O) (n'ÍO) J

1

Co

,

00

entoncesla laserie serie entonces

L

c

n=o

n=o

+

n

Izl < <2. 2.

converge en en converge n 1 de la última

estoes, es. el elcirculo círculo de de convergencia de la última serie seriees esmayor mayorquequeel el cir esto culocomún com ún series dadas'lII '_ w dadas culo de delaslasdosdosseries

ww

.

M

ElEJEMPLO EMPLO 119119 radiode de convergencia de de series: El El radio laslasdosdosseries:

f (z) fez)

1 L 1-1_ n=o 2n 00

=:

at

em 00

1

- 1 l:? g t z) = L ! ¡,g(z)'" + 1+ 11 n=o 1 2n n~o

1

¡ :?

at ic

es uno, uno I pero pero elel radio radio de de convergencia convergencia de de lala seTÍe serie es 00 2 fez) ++ g(z) g(z) '"= ¡L f(Z> n =0 J!l zn n""o es igual a 2 •• es a 2 ••

a1

ElERCICIO ERC/C/O 230 El 230

. co

m

Sean Sean fez) fez) "" 1 +

n=l

2

i!

g(z)

= 22- 5z 5z + LOO (_l)n + ¡oo (.On n=2

z'I 66 zrI

n=2

demostrar que que elel radio radio de de convergencia de de ambas ambas series series es es igual a pero a l , •pero demostrar que el radio de converg encia de f( z)- g( z) es mayor que l. que el radio de convergencia de f(z)'g(z) es mayor que 1. Sugerencia f( z).g (z) = 2 - z por lolo tanto, tanto, elel radio radio de de convergencia convergencia es es +"'" por +00.

•

IIB

357 ..

EJ enctcto 231 231 EJERCICIO 00

¡

Sea Sea

una serie serie de de potencias potencias cuyo cuyo radio radio de de convergencia convergencia una n=o n=o Demostrar que que existe existe una una constante constante MM tal tal que que mayor que que r.r , Demostrar mayor

es es

••.• para todo todo n=' n= 0,1,2, 0,1,2, ••.• para

.•

SoluciÓn SoluciÓn menor que que elel radio radio dede convergencia, convergencia, lala serie serie Como r T eses estrictamente estrictamente menor Como

Loo la I ¡z¡z converge, converge, _ jan! n=o n n-o MM :::: =

sea sea

Loo

n=o n=o

la •.I.. !an! ll n

w

entonces: entonces:

M

w lanl 1'nrn ~~ MAl , , woosea sea,

.

232 EJERCICIO 232 EJERCICIO

at

em

Sean Sean f(f(z) z) :::: =

g g(z) (iJ :::: =

n=o

dos series series de de poi potencias convergentes en dos encías converg en t es en

¡

00

n=o converge converge

en en

cn zn

< IIzl z! <

n

M/rn M/r

lanl ~~

I

00

at r ic

IIzl z¡ << f'

k=o

p. p.

Solución

..

n=o n=o

¡

cn

l1li

¡

n

con

.••

Demostrar que que 'ta la sehe serie lJemostrar

ak bn-k

a1

. co

Daremos una una demostración demostración sin utilizar utilizar el el teorema teorema 38. 38. Daremos sin Si Izl Izl < pP Si una constante constante una

llaanini¡I

existe tal que que !z! Izl existe rr tal que M tal tal que M

<~

'"

< rr << o. o. Del Del ejercicio

rn

1.:; =0

Por lo lo tanto tanto Por

lim lim n->oo n~

231 existe existe 231

...

Entonces: Entonces: =0

m

_I_ r

estoeses• el 1 el radiodedeconvergencia convergencia dede esto radio

~~

cn

z!l esesmayor mayor ó óiguat iguata ar r por por 1

I

Izi < < p.p 11••

tanto lalaserie serie converge converge enen lolotanto

Aplicando teorema 38sucesivamente. sucesivamente, sisilalaserie serré Aplicando elelteorema f(z)=

~oo an(z-c)n n=o n=o convergeenen !zI z• •c Ic I<
{fez) ¡k =

¡~: n-o n=o

donde donde

e

(k)

L asuma suma La

~~

ww

(h +. • + ik 01+"

n

(k)( z • c)lI

a.

M

(51) (51 )

Jk

11 12

w eseslalasuma sumapara para todo todo (h. (h 12';2'•••. • Ik) I;k

=n) n)

.

1

ath

TI,

TEOREMA

e

a. a- ••.

~

(il+ ••• +tk=n)

# Nota

que que

.71=0

TI

::

n

c)n1k

(z. a an(z·

li;:O ~ O••••• ik ik ~O. ¿ O

em

1

•••.

1

at ic

39

Sean Sean fez}

71=0

dos series de potencias potencias, , si g(a) g (a) dos con centro centro en en a: a: con

'" ao === bb

f(g (2'» === /(g(z»

a1

•

entonces existe existe un un círculo entonces

Iz. al << rr Iz.a! en donde donde (fog)(z) (f o g)( z) en

•

11

tales tales

. co

m

es una una serie de de potencias potencias de de (z· (z· a). a). es

DemostraciÓn

° ).

Para mayor mayor sencillez sencillez supongamos que que aa = = OO , 1 bb '"= OO (a (ao ::== O ). Para supongamos o 00

Sea rlTI el el radio radio de de convergencia converg enci a de de la la serie serie Sea h(e)

~

n=o 71=0

z!1 •1 sea Sea bbn ~ n

= real real )) ,1 (( t t =

así que que hh es es una una funciÓn funciÓn continua continua en en alguna alguna vecindad vecindad de de tt = = OO , 1 pero pero co' co r mo hh(Oi (O) === Clao = OO existe existe rr (> (> O, O) tal tal que que mo o

359 359

circulo de de radio radio rT en en donde donde circulo

zz-a a

dominio

i'

fog

es una una serie serie de de potencias potencias de de es

recorrido de g

.-

.'>'" . ~ __ .>.....:> __ /~>~c

(¿'::;'>-;:;,:::;.:.>~~:/ ....

F1G. 68 68 FIG.

"-.:.....

ww

b(;) n Sea Sea

!g(.ti !g(z)

1 ¡ nw 1 la

00

.

¡klk = ¡¡ :E."i,<X> aa

M

n r

< '1 •

~

n= 11 nn n=

donde donde

"

Cn(k)

k.i

(h+··· +ik si

jzi

<

dominio de de gg , dominio

n)

at

¡k¡k =

a·

11

Cn(k)

em n=1

af1

i2 '2

Zl1

at ic . a1

••• a. •••

'k

,"

tenemos tenemos para para todo todo kk = 1,2,3, 1,2,3, ... ...

rr

. co

m

por lo lo tanto tanto se se titi en en ee :: por

Entonces, Entonces, para

jzl :;; ~ Izl

tenemos: rr tenemos:

f( g( z» = bo + "i, OQ [[2."" aa ~]k]k ::: b0-'". k=l 1 n= n=I1 nn

b

o

nótese nótese

4-

.

n==l

1

[

n=l

Cjk) ,.

(53) (53)

que la la convergencia convergencia absoluta absoluta de de la la serie serie iterada iter ad a en en (52) (52) nos nos gart!!! garC!!l que

tiza elelcambio cambiodedeorden ordenenenlalaserie serieiterada iterada paTa para llegar alalresultado resultado (53). (53) • tiza

•

EJEMPLO 120 120 EJEMPLO Sean Sean

I( z) I(z)

"" :¿2

=

z!1 -,

00

entonces : entonces

1 n

=

2

g(z)== g(zJ

n= 1 n n=l

11

00

2!l

n=l n=1 para n n=I,2,3, para == 1,2,3, •.••

luego: a~

w

2

00

1'1

n=l 1I

cualconverge converge enen lala cual ¡

1r

, I ff- l

¡ 2ww

M (

2

00

1

at

=_7_ < < 1, 1, l· r

at ic

fez) = • log (1. z) ,

Como lim lim Como

n ..."" Tl->OO

;zJ

log [ ::

(P. o/o/ (P.

=

n=l

1 )/n l)/n

a1

z zg(z) = sea: -.-, , oo sea: 1 1. zz

log (1 (1. z) •• log log (1 (12z) • z) • 2%)

+

n=l

(g) = 1. ) (g)=l.J

em

,n

n=I

:¿

(Nota (Nota

n.

k•

_1_ rr << _1_ 22 .

=.

(n ~k) ~·k ) (n

donde Izljzj < r rdonde

sea oo sea

f(g(z»

. 11) -- --('k~knrn." •11)

n . 1- (n.k-l1)1)! 1 2!l

k=l =1

n

En realidad realidad ,,

'k

(1'1

Tenemos entonces entonces: =

Q.

(n

o

=0

I(g(z» I(g(z))

•••

a~

11 12

=n)

. co

m

.....;;;;.-----:P • n

= 2, 2, el el radio radio de de converg converg enda encía es es

=:

.i. 2'

Nótese que que Nótese

2n

k=l =1

1k en. 1)1) k·· l1 k

_!_ en'

= In((

= :¿n 2n

k=l k=l

(n) _ k

k

(n-I)f (k- l)!(n-k)!

2n (n) _ 11 J] =:=- ~ (p. (~ • 1) 1) •• :¿12 k=o k n k=o

n

1

n

n!

-2 ---n k=I kf(n-k)! ( 2n = ( 1+ l)n

= 2n

k=o

(n) k·

•

11

361

40 TEOREMA 40 TEOREMA

Sea Sea

00

s'

g( zJz) =

g( c) ::::= S1 Si g(c)

"« (% n (z·

2:

a

n=o n=o

,

c)n

c : uncírculo círculo con con centro centro en en e: entonces existe un ao f.-# OO entonces

lz. Iz - cc¡1 << rr (z •- cJ e)••

endonde donde 1/g (z) es desarrollable en serie de de potencias potencias de de en

...

Demostración O ,yY que P aramayor mayor sencillez sen ctill ez supongamos supongamos que que c:;: c = O, que g(O) g (O·) -- 1.1.--#Nota Para Sea Sea

1 00 = -= 2: 1- z n=o n=o

fez) fez)

w

M

?,

ww elel teorema que la O. aplicando la/unción com » 39 se se titiene aplicando teorema 39 • - ggCO) (O) :;:=O. ene que ¡unción cOm-

como como

.

puesta: puesta:

=

at

1 =_ 1_[I-g(z)] gg(z) (z) de potencias potencias convergente convergente en en algún algún circulo círculo con con centro centro en en O,. O,. es una una serie serie de es f(lg(z» [(l-g(z»

em

# Nota

Si g(O):/'O g (O) -# O ,sea sea Si

gg

at ic

.•

G( z) == gg (z) IIg(O). g (O). entonces entonces G(O) G(O) == 11 Yy

:zJ

= [g:O)] [g/O)]

G/z) '. '. G:Z)

a1

. co

ejercicio 233, 233, hallaremos hallaremos explícitamente explícitamente el el desarrollo desarrollo En el el siguiente siguiente ejercicio de 1/ 1/ g( g( z) z) en en serie serie de potencias potencias de de

m

z, z.

EJERCICIO 233 233 EJERCICIO Sea Sea

g (z) =

1 +

hallar el el desarrollo desarrollo de de hallar

1%1 << lzl

a n=l n

g(z) en en serie serie de de potencias potencias de de 1/g(z) 1/

la serie serie obtenida converge en en alguna alguna vecindad vecindad del del origen. obtenida converge la Solución 1 g( z) g(z) 00

1

-!11 an?I+!I -1 1+ ¡

+1 00

1

2

3

an ?I -!11 an znl13 + ••• 00

...

rr z, yy demostrar demostrar que que z,

kk

..k

00

++(-1) (-1) I II a :JZr1 n

+'"

(54)

Pero como: como: Pero

tal que que existe hh tal existe Izl << hh jzl Entonces Entonces

I I

implica implica

IzIIzl << h1;

sisi

la I n

I

< 1,

serie lala serie

ww

M

I I lalan:JZ 1I + .. , w+ lIla 1 n ? 1\ + •.• + I 1 00

1+

n:::: 1

.

k

00

n

+ ....

znll

at

(54) converg convergee enlzl en Izl << hh'11'. converge I por por lolo tanto tanto lala serie serie (54) converge,

em

Observación [Ioo

Sea Sea

at ic

an :JZ]k

n=l

en donde donde (ver (51» (51»: : en C (k) :::= Cik) n

2:I

(h+.. (Íj+ ...djk +ik

=0O Si

lanl

~ M/rn

ICn(k)

I~

= n) n)

a, a. a. •• •• ..

11 12 12

a, a. Ik Jk

a1

(n '9 k) k) (n?

(n
. co

m

tenemos:

I

(h +... +ik = n )

1) M k

,~k ='(n -, T k - 1,

n

(n )kJ. )k). (n

T,

Ent mees: orces : Ent

11 g(z)

11 ++

s" (_l)k k= 1

Ioo n=k

Cn(k)

z!l

= 11 ++ Ioo {I "'i,n (.l)k (_l)k C (k)) n=l.k=1 1 n n=1

?

363 363

M

"'-'-(1 + M

.1

,11

1l+My.!

< < tanto, la serie serie para para l/g(z) l/g(z) por lo tanto, por

Izl < EJERCICIO CIClO

r

converge en en converge

...

r

T+M.

234 eal (Serie (Serie para para la función invusa) 234

Sea Sea

y ==

n + .•. ++ an Z + • - .

z+

ww

M

al fi O. o. al

I an I ~~ janl

(55) (55)

h~ r

donde M M es es una una con constante positiva, hallar la [ormul a para para e:J;:presar expres ar z el? c.Q donde stante wpositi va , hallar

.

at

demostrar que que la la sed seriee obtenida obtenida conver conuer y. yy demostrar de y,

mo una una serie serie de de potencias mo

en alguna alguna vecindad vecindad de yy === O O.• ge en SoluciÓn Supongamos :fupongamos 00

z = 1 bk z= k=l =1

RReemplazando

y

k

=

em

b 1 Y + b2 y

2

at ic

+ •••

(55) en en (56) (56) (verla (verla observación (55) 00 00

00 00

00

=Z

k

00

bk

11

nn 11 I~ k=l1 nn=l1 k= Entonces tenemos: tenemos : Entonces

n =k

1

m

bk C (k) n

1?

bbZ 1 eCll) ll) == 11 n

bk C (k) (k) :::= oO k= 1 n

1

. co

<» ? 1

00

'"

a1

( 56) (56)

anterior): : anterior)

a?)k zZ = ~1 b ((1 ~ k=l k n=1 n=1 n k=l

1

..

11 )) (57) (57)

sisi nn ~¿. 22 •

De (57) se se puede puede hallar hallar los los valores valores de de bbl' Z' sucesivamente: De bb2, 2' •••• .. suces'Ívam en! e : l Z a ¡ • b2=-aZ/(al)3 ••••• -a2/(al)3 ••••• bbll :::= l/al'

fas b b1 l'' indispensable para paradeterminar determinar los alal f. -lOes O es indispensable

'l/ótese que quelala condición condición 'Vótese

b 2b2• • •••• Ahora. reemplazamos reemplazamos (56) (56) enen (55): (55): Ahora.

y

n==1

l

ah d (k)] n

1

donde donde d (k) n

~

:=

(,

'1+'"

Porlolotanto tanto tenemos: tenemos: Por al

w

dI (1) = 1

n

:¿

ww

k= 1

M

.(ó ó (

ak d (k) :::oO n

sea: o osea:

b 1 =1)

at si

n

}

;;. 2

em

at ic

(58)

a1

Como el el ~~j~_"'_~ segundo mliembro miiembro de de (58) (58) contiene contiene bb¡1 •,.b2, , ••• o •• , bn•I entonces la la ,b _ entonces Como n 1 sirve para para determinar de termin ar sucesivam su ce si úamente ente los los valore:; ualores rel ación (58) (58) tambi tambi én én nos nos sirve relación de bb1I '" b 2' b3 ,' ••• ••. de

. co

m

para mayor mayor sencill sencillezez supongamos supongamos que que Ahora. para Ahora. al al

= 1, 1 ,

en ton ces : entonces: b 1 '" 1 ,

b n ==-

2

(n (n

3-~

2). 2).

(59) (59)

Consideremos ahora una una relaciÓn relaciÓn entre entre dos dos parámetros p artim etro s ss yy t: t: Consideremos ahora (60) (60)

si si t.

fh s2 ++ /33 /33 s3 ++ •••• ss ++ f3z

los valores ualore s de de Pn f3n (11.(n==1,1.2.3 son determinados determinados por POTuna rel acion similar similaT los 3, •••• .•• ) ) son una relación .(59): aa (59):

n

:L

k=2

(V

Ak dn(k)

(61) (61)

donde donde

d

(k)

n

laln ~

Como

An

=:L

(h+... + jk = n)

=¡\f/!l M /f1

f3. 8· .•. fi·

'k

11 12

p ara todo todo 11.n • • de de (59) (59) yy (61) (61) para

sisi

Ib;1

<

••••• 11.n-1) r l} tenemos: tenemos: 1.2••••• (jt i= :::; 1,2

2

ww

M

esto .•..w esto es, es. tenemos tenemos lala -.,,, siguiente desigualdad (por (por inducción) in duccion l: : desigualdad

.

at

p aratodo todo n. n, para De (60): (60): De

t -

(62) (62)

em

at ic

.•

M t2 _

T(' - t ) •

sea: oo sea: (M

o,

+ rJ

entonces entonces

tt::; == __r_ r _ ((s [( S ++ ,) r) ±± J(s 2(M

+

+

T)

2 _ 4s

T)

a1

(M + r ) ]. ]•

. co

m

Teniendo en en cuenta cuenta que que s:: s =O O implica implica tt = O, O. hay hay que que escoger escoger el el signo neo neo Teniendo

gativo :: gativo -4s(M +r)

1.

Sea Sea - 2s( 2M + r) +

= (s .,..

- v)

entonces entonces u .> (2M +7) + 2

luego tenemos: tenemos: luego

VMe'\!+,).

v::; (2M +,)_2

V~

•

..

t :::

(63) (63)

De (63) (63) se se ve ve que que (63) (63) es es desarrollable desarrollable en en serie serie de de poten poten das das de de ss si si De

[s] << Isl

[s] << vJI << Isl

(Nótese que que (Nótese

JI. v.

u )', De De (62) (62) se se tiene tiene que que la la serie serie (56) (56) Il)'

converge si si converge

Iyl <<

(2M ++ r) r) -- 22 vJI '"= (2M

YM(M M(M ++ r) r) V

(64) (64)

•

11

Nota Si suponemos suponemos que que Si

entonces entonces

rT

= 1,,

(2M ++ 1) 1) - 22 vJI == (2M

v' M (M

ww

M

_-

-2

1 VM + 1_ == 1 yM + 1 - Y MI

==

+

1)

1

1wyM + 1 + {M12 <<

.

1

at

Esto es es •, la la serie de potencias (56) (56) converge converge en en Esto TEOREMA

em

ffi 00

Sea Y y = fez) fez) = L

n= n=l1

l. IIzlzl ~~ 1. ley) Zz = r ley)

r

aan ¿r n

00 OQ

Si al:::: al = 11 yY 2: L Si

n= 1 n=l

_1_

(yM + ...[ii)2

Iyl ~ Irl

at ic

4M •• 4M _1

4M

:

una sefle serie de potencias convergente convergente en en una

=M I1 an 1 =M

a1

función inversa entonces la función

convergente en es una serie de potencias de y , convergen te en

Iyl ~::; Irl

114M. 114M.

. co

m

EJEMPLO EJEMPLO

Sea

121 121

y = y::::

Loo ¿r n==l n=1

== 1 todo n == 1,2,3, 1,2,3, ••• aan n '" 1 para todo n

entonces •f entonces

luego: luego:

e

1 (1'1..1) (n. 1) k- 1 . k-I

¡ 1 ==== 2: 'ii+ ... +ik=n)n) (h+'"

(k) '" = (k)

n 13

tenemos: De (57) tenemos:

b1

1.

¡n .(n.l) bb (n1) k=.1 kk k.l k.l

o

si si

n;::. 22 ••

Así tenemos: tenemos: Así b1 = 1

= (.

1, •.• ••• # , bk 1,

1)k. 1 , •••

• Nota

JOT lo lo tanto: tanto: 'Jor

y. zz=y·y

2

+Y

3

....

...••••

Nota •• Nota (.l)k.Z bbk == (.1)k.l k

Por inducción, inducción, si si suponemo suponemoss Por

para kk=1,2, para 1,2, ••..." ,n.1 n- 1

entonces entonces ;;

·1

.

=1

e

ww

M

w. n.2 1 n-1 1 n.l 1l' . _.• ~_ _.2(n~1\(_I)í "'. 1\(.1)7 =.• [~ [~. (n~ 1\,(.1)1__ (.1 (.1)n· ] = n~ 1'\(.1)1 -o 1 ) 7-0 ,) 7=O\'_} , 1=0 J /

.

ya que que ya

(l_1)n-l

~:¡

37 37

1)(.1)1

~~.1(n~ j=o

ate emo • •• at ic

1

Fórmula de de Taylor Fórmula

1

(.1)n·

o•

..•

a1

.

este parágrafo parágrafo trataremos trataremos solamente solamente de de funciones de una variable uari able En este co -e al y de valor real real, • y de series de potencias de términos términos reales. reales. "eal

m

En el el parágrafo parágrafo anterior hemos estudiado las funciones funciones definidas definidas por En ! as series de Dotellcí,as potencias, • ahora a partir partir de una una función real dada,

mos su desarrollo desarrollo en mas Sea

/(x) ¡(x)

serie de potencias

estudi ar~

o

función real definida definida en en un un intervalo intervalo (a, (a, b) b),,si si ¡/ es d~ d~ una función

sarrollable en en serie de potencias de x· x ec donde donde sarrollable »

pertenece a (a, bb ) cc pertenece

entonces es derivable cuantas cuantas veces veces se se quiera yy todas sus sus derivadas derivadas en conces f es son con con tinuas tinuas (T (T eorem eorem aa 36). 36). Si Si una función ¡/ posee posee este este carácter ,0 ,o sea sea n» ésima derivada derivada //n)n) en en cualquier cualquier punto del inte;!: para todo n71 ,, existe la n. (a, valo (a,

b) •, b)

abreviadamente que que se nota abreviadamente F ff E-

OO eco C

en en

a. b) b) •• ((a.

.....

Si

C'" ff EE- coa

f( x) x) "":: f( f( cJ e) + + f(

en en

conocemos la la siguiente fónnu!a fórmula de Taylor: Taylor : conocemos

(a, b) b)

(x _ de)" n -- 11 + f' (el (x •- c)c) + ••• ++ f (n- 1)( c)(x. + J !

(n-1)!

b) • donde ee yy xx están en en (a, (a,b). donde

expresiones

para

(( /o) /0)

• cJk + R,/x)

k!

""O

Ri x)

= ¡. f,

Rn(x) es es el el resto resto de de

R'

()

Rn(x) nx

O! O!

=

1) 1)

(65) (65)

Taylor,yunadelas , y una

es: (66) (66)

donde

otra expresion para Rn( x) es: es algún punto punto entre entre ee yy x. x , La otra

Xó

ww

w (n-

Si Si

R (x) R/x) n

....O O ->

.

M f

1)/ e

at

em

o

122 122

at ic

E C"''' e= E

f

f(x) ""= eX I(x)

Sea Sea

(67) (67)

(x·

de (65) (65) se se obtiene el el desarrollo de de /I en en

(n _,"") ,,entonces (n->oo) entonces

de x· x - c. e serie de de potencias de serie EJEMPLO EJEMPLO

x

y

para todo n. Tenemos: Tenemos:

Xo

Rn(x)::

Si M

•,donde donde

_e_ (x- c)n nI

a1

.c

está entre e o x , o está entre c y mx.

XXo

Máximo Ix. Ix, ee I1 entonces: entonces: Máximo

IR n(x) I ~

M

_e_·¡x - cln n!

... O .

tn ...",,) ,

por lo tan tanto, desarrollable en serie serie de potencias potencias • por to • f(x) == eX es desarrollable (x·

Particularmente, O tenemos tenemos la conocida conocida fórmul fórmula:a: Particularmente, si ee = o eX =

L""

b XV

k=o k! =0 k!

•

• 11

tl/n)(x) /n)(x) 1 1 es es uniformemente uniformemente acotada, acotada, oo sea sea

Como Como en en el el ejemplo ejemplo anterior, • si si

que que existe una constante constante M M tal que que

! .;;:

(68) (68)

para

M

entonces entonces

.• por por lo lo tanto, tanto, fI es es desarrollable desarrollable en en serie serie de potencias de x· x c. c. »

EJEMPLO EJEMPLO

(i) w

123 123

I(x) '"= sen sen xx. • ¡(x)

in) w (x) === ± sen sen xx I, (x)

l/n)( I/n)(x)x) 1I ~<:;

entonces entonces

ww

.

M

cos x. x, cos

at

em

3

...

(ii) (U) De De la misma maneTa: manera:

2

x4 ¿_ + +- ... 21 21

±

1,• por por lo lo tanto tanto tenemos: tenemos:

x5 x = x· x » -_3_ + sen x::: +-31 51 31 51

tos xx === 1 • cos

ó tÍ

=

2n·J

'5.:"" (.l)n.l ~x_~ n=l

:::

41

(2n• 1)/

at ic

2n X (.1)'l (. 1)1l --..-::.--__....;.:-(2n) 1 n==o

EJERCICIO EJERCICIO 235 235 (i) (i)

a1

m

f{ I( x):; x) = log (1 + x) x} •• entonces entonces /n)(x) (l /n)(x) === (.1)n.l(n.l)! (.l)n.l(n.l)1 (1 + +

I Rn(x)1 =

I (.lJn.Z(n.Z)!(l

+ x

nl

. co

xrn. «Y"

I

Y" ? I < .1. Ixln ... n

O"

O

si

entonces: entonces: log (l (1 +x) + x) =

"2

(.1)n.l~

00

n= 1

n

Nótese Nótese que que el resultado resultado es inmediato inmediato si si integramos la serie: serie:

1l+x +x

=l·x+x·x+

2.

X

3 + •••• ••••

Ixl <

.1

I

(u) (ii)

log(l+x) log (1 + x) -log{1-x) log (1 .. x)

log ~ log 1" x

. (.. 1)n .. 1_ _ "i..00 n=l

Nótese que que la funcim función Nótese

n

(_

1)n - 1 (.. x)n : ; ; 2

n=l

n

n=.1

l1li

no cumple cumple la la ""V':1U''''''''''1I condición (68), (68). que que es es no 'Engeneral general ••hay que emplear métodos métodos es~ espe

log (I (1 +x) +x)

apenas una una condición condición suficiente" apenas

ciales para para obtener obtener el el desarrollo desarrollo en en serie de de nn.' potencias de una una función función dada. ciales ....... ,l'. de Además. una una función función I¡ E C"" C NO SIBMPRB SIEMPRE es es desarrollable desarrollable en en serie de de Además, NO OO

potenClas .. potenclas EJEMPLO BJBMPLO

124 124

Sea Sea

I(x)

=

1 ;-l/

wwx w l

1

.

(si xx (si

#.1- OO ))

( si x (six

= O), O ) •

M

at

(i) Demostrar Demostrar que que existe existe /n)(O) /n)(O) paTa para todo todo n. n , (O (ii) (ii)

em

¡(n)(O) n Demostrar que que la la serie serie "i.. L .x Demostrar n=o n=o nn r es igüllÍ. igual 11a f{:Ü [t x) si si ~x F 1- (lO •• í:'S <Xl 00

converge para para todo todo x, x , peTo pero no no converge

at ic

SoluciÓn Solución

. d,uc cton . - #N p ue d e demostrar demo s trar que m -_.ota se se puede P or inducción Por

+

a1

¡(n)(x) = [un polinomio polinomio de +de de grado 2n 2n 1 x ee" ll/Ixl (x #.¡. O) O) /n)(x) / lxl (x

. co

m

entonces tenemos: tenemos: entonces ce

00

oO

L

~

n=o n=o

n=o

[Lx) -F1- I(x)

si

x f O O x!

Nota ## Nota Sea x > O O • Y Y supongamos supongamos : Sea /n)(x).

= [un polinomio

de

-+

de grado

2n] x e"l/x

•

entonces : entonces

371 371

[.un Vottnorm = (un polinomio

1 x ee- l/x de grada grado (2n ++ 1) 1) 1 de

x1

de

:=

. . de J d e grado J 2] 1 ee- l/x + [ un po 1tnom to ae -; 1 de grauo n xx -2 2nl x x

= [un [un polinomio polinomio

l/x ; de de grado grado 2(n 2(n+ 1)] xx e-l/x. + 1)]

de de

==

De la la misma misma manera, manera, si si xx < < OO se se titi ene: ene: De

/11) (x) '"= [un /n)(x) [un polinomio Abora ,, suponemo:" suponemos que que Abora ¡
= lim '" lim

de ; de de grado grado 2n 2n] ] xx ee "«: de

/n)(x)

x-o

[un polinomio lim [un '"= lim

M

wxx

.\"->0

. t(n)(O)

236 236

[t x}='" !(x)

Sea

~.I/x2 e

si si

O

si sí

Coo en !f E:. E e"'"

(íi) Demostrar Oi} Demostrar que que la la serie serie

em

xxlo -1 O x=o x =O

(212+.1)] (2n+.1)]

f(n)(O)

n=o

n I

__ . ~

x e"l/Ixl e-l/lxl

at ic

(00, ",,) (0) • (.00,

00

L

/n)(x) ¡(n)(x)

x->o x-o

!dedeagrado t

1. 1

(í) Demostrar W Demostrar que

lim ; lim x

==

.J..X

de de

x->o x-->o

EJERCICIO CCO

= O ,, entonces entonces "'O

/n)(O)

ww

a1

=

== O. O •

.

co converge para para todo toda converge

m

• 11

x. pero pero no x,

es igual x) si f Oo.• igual a f(!(x) si xx'¡

Sugerencia Sugerencia Similar Similar al al ej ej emplo EJ EMPLO EJEMPLO

125

124 124.•• 111

(Serie (Serie binomial) binomial)

Demostrar Demostrar el el desarrollo desarrollo binomial: binomial: (.l (1

+ x)a

=

Solución Solución Sea Sea

Loo n=o

[i x)

ca) xn n

en en

Ixl <<

1 ••

(69)

entonces lala serie serie converge _converge absolutamente absolutamente en en entonces j'(x)::: !'(x)

'i._oo

IxlIxl <<

1. luego: luego: 1.

Ca-I)(a-2) ••• (a-n-) ~ ~ a) nn~-l ~.1 ==:::aa!'~ _((J_.-..;...;._...;.,-;-.;..;;....:......-= ((a) n=o n! n=o

n= 1 nn n=1

!,_oo aa n-o _ (a.(a.n.1)·I)~ ~ n-o

= ag(x) ag(x)

n

donde donde !,OO (a-I)xn

g(x) =

•

(íi) WJ

n

n=o

También : : También x) gg(x)::: (1(1++ x) (x) ==

ww

w

sea oosea

Ca. 1)

_(a-l)xn a.I) xn ++ !,OO (a-1\xn n-J) 11n=11 n-J

!,~

n-o ( nn n=o

.

M I(

I [x)

at

f' (x) === af(,,) a x) • • (1(1++x)x}{'(x)

Entonces tenemos: tenemos: Entonces

d [I(x) ;¡; (1 +x)a

Jo,

em

sea oo sea ¡(x) (J + x)a'

•

(constante). eC (constante).

at ic

[i x) x) == e C(l(1 + +x)a. f( x)a •

a1

lo tanto tanto en en Pero como como /(0) 1(0) ==== 11 entonces entonces e C::: l1,, por lo Pero

. co

m Ixl << Ixl

tenemos 11 tenemos

el desarrollo desarrollo binomial binomial (69).lIIl (69) ••• el

NOTA NOTA varios métodos métodos para demostrar demostrar el el desarrollo desarrollo binomial binomial (6<)) (6<» ,, aquí aquí d.ltcd¡ucHay varios Hay mos otra otra solución solución. . mos Sea Sea

[i x) = (1 + x)a ¡(k)(x) ::: a(a.1)

Utilizando la la fórmula Utilizantb

entonces entonces •••

(a.k+

l)(l+x)a-k

(67) tenemos: tenemos: (67)

373

1 +(~) (~)xx ++ •••...,, +C,~ +C~1)1)~.1 x"-l

(1+ +x)
donde donde = a(a-l)

R n

(Cx-

••• (a-nt1) (n-l)!

Rn ++Rn

t)n-i(1+t)a-ndt.

o

Aplicando el el teorema teorema del del valor valor medio medio de de la la integración integración tenemos: tenemos: Apllconoo

donde oonde

Xo

está entre entre OO yy x. x , está

ww

Pero : : Pero

w

\l

+ Xo

1..:;:.

1+

.

M -..-......I.t--l

Ixl •

at

la(a-lJ

sisi Ix!Ixl <<

1

em

entonces :: entonces \Rnl ~

<

••• (a'n+1)llxln(1+lxIJa-I (n' 1J!

at ic

... O

(n ...oo)

ya que que el el radio radio de de convergencia convergencia de de la ia serie serie ya

¡oo "i,OO n=l' n=l

a(a.1) ••• ••• (a-n+J) (a'n+J) ~ x" a(a.1) (n·l)! (n.1)1

es igual igual a al l .••11 es

a1

Demostrar el el siguiente siguiente desarrollo desarrollo en en ¡xl ¡xl Demostrar (í) sen

¡¡) (••

-1

tan

x = x +

·1

. co

m

EJ ERCICIO 237 237 EJERCICIO 1.2x3 + _1_3 x.5 3

2 4 5

_ 1 3 1 x - x - - x +-

3

5

s

+

J('. -

13 5 / 24 '6"7

<<

11 ::

+

... ...

.. .. ••••

Solución

w

11 • ,

1 22 11 33 44 ••• +--x+ - - x + ••• 1l+-x + 2 x + 22 44 2 (2n.l) x 2n + .... ___ 11 J3 +-+ 2n 22 44

integrando de de O Q aa xx tenemos: tenemos: integrando

5 x3 ++ __ Z 3 x5 J _ 13x : : /1:/'o ,(z:/2 di -_- x+ ++ •••• x+ _ __ •• - •• dt

-z xx sen·1 sen

_

o

J

tfz-::t2

22 33

2245 4

(ii) Utilizar V tilizar (ii) 2 46 :::: 11-x -x 6 ++•••• •••• -x 2 ++xx 4 -x

1 1+

•

111

EJERCIClO EROCJO 238 238 EJ

!Ixl xl <<

Demostrar el el siguiente desi1Trollo de.sarroll o en en Demostrar log log

t (1 ++.¡T+:;) 1 = L ~ __L!. ¡1 tu 22 244 ww

Solución

w

_!/_log b

.

M

at

2x

1

1·3 x+--

x2 + _!_ _!_ _!_ x3 .; ••.• 2466

,

1 = .L ¡ 1

+~ 1 21(1 (1 +

11 ::

- (1 + xf2:¡

em

2·4

at ic

1 1 11 33 xx 3 55 x2 11 11 3-+-__.;.-- -_-----+ - - - ..... .. 222422462 22 242 2462 entonces entonces 2

I¡] )

a1 3

5 1 =.l~~--.LL~ + J...l1...!. -

lag {1..2 (1 + +~ (1 log

222244 2 2 4 4

24666 6 24

. co

m

•

11

E/ERCICIO EJERCICIO 239 +y) x = y(a y(a +y; x::::

Si

y = Solución Solución

(a> O) O) (a>

demostrar que: demQstri1Tque:

x x2 4 x3 - •••• + (-1) ( I)n· 1 (2n • 2) !! --.¡--z ~ ~ ++ •••• - -, + ---5 - .•.. + • n • ~..;.;::;..-=..;.. --:rn:1 •••• a aJ Z·2a n!(n·l)!an• a",n·

2 _ y + + ay· ay· xx - O. O 1

Y="2(·a±ya y= (.a±

. I 2

+4x).

375 375

'l't>lIi':lI4lu ,.It ''' .. 11;.. ",/0 f'1I nuuta cu enta t¡ul! qut' xX '"= o O implica implica yy ::= O. O , hay que que escoger escoger el signo po. po~j/jn'.

1)

$1'(1:

,'n' : /'/'l'", íI

all+4x al 1 +¡"2 = a

11

a2

¡2

14.'( (4x.\2 11(4x" )2 "8:?J ++... ••• + 2-;;2-"8:?J

1·3 ••• (2n-3) (_4x'rz 1 ZZ n I (;?J + ... ,

((1)n-1 1)n.1

+ + •-

el' 1011e t'S :

x ,,2 n 1 (2n-2)! ~ ++ •• •• •• •• •• y = -'-2 - -3 +. ••w + (- 1) ~ a a (n -1) ! n ! a¿n - 1 • 11 w

w

I:]F.RClCIO EJERCICIO

.

240$IV 240

M

at

em

[) emo strar el siguiente teorema Demostrar teorema de Bemstein: Bern st ein : Sea

flEC"" E

(a - O, 0, b) C"" en (a·

n e g atiu as en en (a, [a, b) b)

I(x)

donde 8(5 > O. O. Ni Ni /I ni sus sus derivadas derivadas son dDnde

at e ic

entonces' tenemos tenemos el el siguientes siguientes desarrollo': desarrollo': entonces'

=!.

I(k)() /kJ(a) _. _a (x. (x - a)k a)k

00

,

DemostraciÓn (i) Primero Primero demostramos demostramos (70) (70) (¡)

para xx EE (a, ajb). ). para

b, 2x - aa << b. aa$.~ xx ~~ lx· entonces existe existe un un yy ell10nces

aa

tal que que a.~

a1

xx

[

2x-a
T

F1G 69 69 FIG

tenemos: tenemos:

-1 /k)(x) n=L I(k)(x)

k=o

donde donde

xx

<<

Yo

k! k!

kk (y • x) x) ++ (y.

I

(n)()

yo (y. (y. x)n x)n

nl

<< yy.•

Como /k)( /k)( x) x) (y. (y _x)k x)k // k! k! Como

~ ~

O para para todo todo kk O

.

Si aa~~c xx << aib Si

De De la la fÓrmula IÓrmula de de Taylor Taylor en en xx

I (y) '"= !. ley)

(70) (70)

b) •• xx E [a, b)

k! k!

=0 k=o

om •

2x- a 2x-a

Iyy

)

....

I (y)

(71) (711

?;

Adem ás, lalafunción función Adem

/n) esescreciente creciente yaya que que (/n», (/n», in)

implica que que /n)(x) /n)(x) implica

/n)(yo) • , dede (71) (71) tenemos: tenemos: ~< /n)(yo) ~ _-f

f(Y)

(n)(x). nI

(y - x)

i'":" ~o,

==¡

:;:.

O, esto esto

n

o: o: f(y)

»t"

(y _

fórmula EnEn¡ala!órmul a dede

Taylor (65) (65),utilizando ,utilizando elelresto resto (66) (66) tenemos:

ww

w

.

M

puesto que que (x. (x -a)l(y' a)/(y -x)x) << puesto a a~~ x x

1, porlolotanto tanto tenemos tenemos eleldesarrollo desarrollo (70) (70)enen • por

b)/2 • • <<(a(a++b)!2

(U) Sea Sea a a ~~ x x (iiJ

at

em

fórmula dedeTayloT Taylor << b,b, enenlala fórmula

luego: luego: n»

1 f(k) (a)

k=o

k!

¡

(x-

a)

k

(65) sese tiene tiene qlH' que RfJ(x) R,/'-);;: :;: (65) OO

at ic

.~ f(x)

,

igual aa f(x). f( xi , Sea Sea g(x)

=

g(x) ==

a1

(k) (k)(aJ . k j -(xa) converge converge yy su su Hmi/e límite 1'5 es Ifftmor m enor Ij'fe, ,!,"e,Do f--1.El (x· a)k k! k=o =0 k! 00

¡

entonces la la serie serie entonces

f(x)

_

I(x) -

2

00

k=o

f(k)( a)(x _ a)k k!

;.

. co

m

O ,

entonces, por por un un razonamiento razonamiento similar similar se 'se tiene: tiene: entonces. ,_ _":,,,;,;,: (x • a)k

~

(1

111

= 1.:1. . ••

).

m

En (i) hemos hemos demostrado demostrado que que En g(x) g(xJ

Sea Sea

A = A

O === O

si si

~ aa ~

(1+

b

xx << -2-.

Sup Ix! !x/g(t)=0 para t(}(I(~ todo II EE la. la,x)1 Sup g(t) == O para xl I

vamos aa dem.ostrar demostrar que que AA '"= h. h. Si Si AA << bb .,uiste vamos

(ver Pig. Fi g; 70) 70) (lIe1 lo

••

< A tal q~e 377 377

> A. Como gg EE Como

cOO

g=O

ni gg ni ni sus sus ni

derivadas son son negativas, en derivadas "U''''''L''. en (i) reemplazando reemplazando I¡por por gg yy (i)

tia

. .

h

.-!±fL. 2

por bh tenemos tenemos el el siguien siguien....... aa por

FlG. 70 70 PlG.

.....,

te desarrollo: desarrollo: te g (x) g(:.)

b ~ x

si si

h

<

b

pero ik)(h) ik)(h) =:= OO para para todo todo kk ya ya que que g(x) g(x) =OO en en (a, A), A), entonces: entonces: pero (x) == OO gg(x)

Como (h (h +b)/2 + b) /2 Como

[h,h+b). )

en en

ww

M

2.

A, esto esto wcontradice contradice >> A, g

(x) = O

.

en en

.

at

la de definición de A. A, oo sea sea que que la finiciÓtl de

[a,b). [a, b) •

•

l1li

em

NOTA NOTA

[t x) es' es' una una. serie serie de de potencias potencias convergente I(x)

u,

en [a, [a, b), enton entonces el radio radio en ces el

at e ic a1

NO ES ES MENOR MENOR que que bb -- a. a. Si Si ee

de convergencia

[a,b) pertenece al e [a,b), ee pertenece al J

círculo de convergencia convergencia de la serie, serie, luego luego se se tiene tiene el el siguiente circulo [I x)

= 2

00

k=o

jk)(c)(x. • cJk c)k ,, (72) (72) k!

el cual cual es válido válido en en:: el (2c·• b,b) b , b) [a, b) b) [d,

si si

2c - b ?? '7 a. a, 2e·

2 C. bb 2e·

si

(ver Fig. Fig. 71). 71). (ver

a. << a.

Sea Sea

. cob-e

z-. b

a[ IC ) b -1---~EI;i!5!~a$iss;s:E9i5!5liS!=,~-

I

........ .__--.., ~ .'--v---~ h· ec h- ce b-

•

FIG. 71 71 PlG.

126 eES 126

f (x) = (1 (1 :: xrA x)" A ¡(x)

O) ,, en (( ,\A >> O)

Ixl < Ixl

11,,

entonces entonces jk)(x) /k)(x)

=

=:

Ák A(A + 1) ... ... (A +k - I)(I.xr 1)(1 - x)"A-k >..(1..+1) Ot+k•

De la la fórmula fórmula (72) (72) De

~

m

l1li

EJEMPLO EJEMPLO

desarrollo: desarrollo:

(a = •• 1 ,• (a

O) c = O)

se tiene tiene en se

>

O • O

Ixl <

-

I( x)

=;

(1 • x r A

Reemplazanoo x Reemplazando

11 ++ .1"" A(A+ 1) ... k==11 k!

por·• POT

1) x k •

xx::

1+

§ 38

(A + k·

(desarrollo binomial).• (de s arrollo binomial)

•

Continuidad de la serie de potencias potenCIas en los los puntos extremos extremos Continuidad

del círculo círculo de convergenCIa convergencia Dada una serie serie -de -de potencias de x (real); (real); 00

ww

.1

n=o SI si

w

.

M

rT es el radio de convergencia,

a = t

la serie serie define define una función continua continua en el

em

00

a xn ,en este parágrafo parágrafo vamos a a xn ,en este n=o n n n-o x .... estudiar el comportamiento comportamiento de la función /I cuando x -+ r' T· Ó Ó X -+ -• r+ T+ • •

intervalo

(-T, (·T, r)

EJ EMPLO EJEMPLO

,digamos ,digamos

.1 _

¡(x) [Lx)

at ic

127 In /(x) [l x}

= =

11

1· 1· xx

00

.1

entonces entonces lim lim ¡(x):::: I(x) = +"" +00, xx->r .... r

,

1

lim ¡(x) I(x) = = _!__ 22 xx_1+

=

11 ,, <5.~ mientras m i entr as que que la la serie serie diverge cuanoo cuando x:::: x -5 x

2:.1"" 1:::: 1 = +"" +"" •, 00

oo

a1

xxE(·l,l) E (.1,1)

~

n=o n=o

.1"" (.l)n (.l)n ao

. co

= -. 11 ::

m

d" di,veTge. uerge ••111

128 128 (ver (ver el el ejemplo .115 J15))

EJEMPLO

!(x) I (x) == -iog(l-xJ • lo g ( 1 • x) =

.1

00

:? ~

•, xx EE (-.1, (•.1, 1) 1)

nn= 11 nn

entonces entonces lim lim ¡(x):::: I(x) = +"" +00 x->lx-+1·

,lim.¡.

/(x):::: [i x) = •- lag log 22

x_1'

También: También

379 379

"i,"'" (1)n

I"'"

n= n= 11 nn

n= n= 11 nn

(_l)n

= •- lag log

2. 2.

Nótese que que la la suma suma total de la la serie serie en en los los puntos extremos del del inrervalo intervalo (.1,1) (-1, 1) es es

igual igual al al límite límite de de la función función definida definida por la serie en en (-1, (-1, 1). 1). II1II• 129 129 (ver (ver el el ejemplo ejemplo 1115)

EJEMPLO

00

Sea Sea

f( x)

=:

Ix?,

x + (1 - x) /0 g (l-x)= (1 - x ) =

n=2 n=2 (n(n- l)n l)n

as; así tenemos tenemos: : lim f(x) [I x) :::= x....1

f(x)::: f(x) = -1+ -1+ 2log 2log 2, 2.

, lim x-+- 1

ww

M

w yy Xx = ·1: La La serie serie converge converge en en x:: x = 1 -1 : I

oc

_

= ~oo I

(1)n (I)n

OO

2N

1

at

[_1 [_1___-11 :::=: l. 1-

n=2 n=2 n-.1 n-.1

n=2 n= 2 (n- l)n

!I2N

.

(.(_1)n

n=:2 fn· (n- Un l)n n-=-2

I

2N

n=:2·

t-u"

n

em (_1 n

>

J

_L]

at ic n

1

a1

1+-+ 1 2 ( ........ ••• 2 4-

1 _

1 _.. 2N

. co

m

(2M· 1) + _ (lag (N· 1) + C) -_ 111+0(~) ] + 2 [log(2N-V + C C-(log(N-!)+

1_J_+

ZN

= _ 1+

]

+ 2N- /

2 2:::

log -=:..:._.::..+ +

O(~) ..... 1

+ 210g

2

(N ....00

)

) ,

entonces: entonces:

I"'" n=2 n=:2

_-,-_(.1)n J (_ J)n (n - l)n

"'.1 =: -1 + 2 2 lag log 2. 2.

•

l1li

TEOREM.A TEOReM.A 41 41 (Teorema (Teorema de Abel) Abel) 00

Sea

rr

el radio de convergencia de la serie f(x) f( x)

sene serie converge en x = Tr (ó x::: x =: -r) -r ) entonces: entonces: lim [l x) x-+,·

=:

Ioo

n=o n=:o

,n

a rn nn

;::; =:

I

n=o n=a

a n

x? , si la la

=

Para sencillez supongamos Para mayor sencillez supongamos r

==

(ésta no es una restricción restricción esenesen11 (ésta

cial ya que por un cambio lineal lineal x = siempre se ;umple ~umple esta esta condición,) condición.) cíal = Tr X siempre 00 00

Si la la serie serie ¡¡

nn=o "'o

converge vamos a demostrar converge demostrar la la relación relación :

an n

lim

x~

(73)

1

la utilizando el criterio Abel p~ la cual cual ya fue demostrada demostrada en el ejemplo 94 utilizando criterio de Abel p!! ra la la convergencia convergencia uniforme. uniforme. Ahora daremos una demostración demostración diferente, diferente. Demostración Demostración Sean Sean

00

f(1) [tl) =:= ¡¡ a n.

[I x) '" = f(x)

n=o

wwLOO w n=o n=o

la serie serie _1_ Como la _1_ 11 - x Cauchy) Caacby ) :

.

1 f(x) f( x) _1_ 11 - x

M xn

00

= ¡¡

donde donde

at

k=o k=o

akk••

00

=

(1 •_ x = (1 x))

¡¡"" 00

e c

n=o n n=o =(1-x)¡ == (1. x)

L

00 00

n=o n=o

Por hipótesis, Por hipótesis,

len -

I1 ce

em

Tenemos entonces: entonces: Tenemos f(x) -f(1) - f(l) = (1. (1. x) f(x) x)

00

00 00

~ I an :en 1

n=o n=o n

n=o

In

e cn

»

converge 1) se tiene tiene (producto (producto de converge en (.1, 1)

xn

n=o n=o

n

at ic

¡100 e xn - [t l) ~

n=o n=o

nI.

,,? _ (1 •_ x) f/ (1) xn _ (1

a1

,,? xn

x

¡¡

xn

00

. co

m

11=0 1Z=0

!en-f(1)}"? f(I)! xn 1l = f( 1), o sea, sea, dado dado == f( 1),

/(1) \ <

d2

(74) ée

existe tal que > O existe N tal N •• n ~ N

p ara todo para

N·I 00 N·l ¡ lene Separando la suma suma en (74) en dos dos partes: partes: ¡¡ Separando I1 ++ L ten!!.. n=o n=N n=o n=o n==N n=o mass mo N 00 N·l-1 .. 00 f(x) f(l) = (l. x) ¡ le le· - f(1) /(1) lxn }xn + (1. (l. x) x) I¡ le -f(l) -f(l) ¡:en. }~. I(x) - 1(1) == (1x) L n=o n . n=n n n=o n=N (75) 00

En la la primera suma: sum a: -1 N-1

1(1 le 1(1-• x)x) 1 I c -- f( 1)1) 11xn xn I ~ ~ n=o n n=o

(1· (1 - x) x)

n

·1 N-1

1

n=o n=o

leI en -- /(1) 1(1) 1, I' n

en en la la segunda segunda suma sum a (n (n ~ ~ N) N) ::

\(1 • x) 1(1-x)

00

f(I>! x1Z 1 ~ 1 le ..-1(1)1~1 ~ n=N n n=N e (1 • x) =-y(1-x)-=-x

00

(1. (I-x)lx)

n=N

-2E,¡z

::::"2f2é x N <<_i_2.

xN l-x - x

Entonces Entonces tenemos: tenemos: If(x) If(x) - f(l) f(1)

Sea Sea

¡:;

entonces entonces

N -1 -1

¡I <

\le -- f(1) f(1) I +~ +~ 22 n =.0 n ww n"'o -1 h wNN-1 < E/ 2 í! I1. le I c11n ..- f(l) 1(1) II 1 1 / n=o n=o

1

(1 (1 -- x) x)

M

si 11•- xx < < 8o se tiene: tiene: (I ( 1-- x) x)

N•-11

at

em

f (1) I << II en -_ fW

1

n=o 11=0

-2

f E

luego: luego:

I <

If(x) -_/(1) j(1)

(f

f(

-+- '" -+22 22

(f

,,

at ic

esto esto es es : f( x) = f(l) lim f(x) f(l). x->lx->IPLO EJEMPLO (i) (i)

.

•

l1li

a1

. co

m

130 130

f(f( x) ;;;:= x + (1 (1 -- x) x ) log lo g (1 (1 -- x) x) :: =

Sabemos Sabemos que la serie serie

nn=22

100 _.-:;..._{.l)n (_ I)n n=2 (n - l)n 1

(n-

00 1

_

lIn -

xn • (n·1)n

converge ya converge absolutamente absolutamente ya que

0(1)--;?,

entonces: entonces: lim f(x) [I x) = •- 11 + 2l0g 210g 2 x_1 x_l

100 -~-(.(_1)n • (ver (ver el el ejemplo 129.) 129,) n=2 n=2 (n· 1) n

• ·1 1 tan xx tan

g (x) gf:';)

(ii) UiJ

= xx---- T1 x 3 "515"1 x 5

-+- (.

-t

-1 x2n•1 l t" • 1 _....:..:.._+-+•••..., , ----

z«. 2n'

1

(Ejercí ~io 237 237) ) La serie serie cOl/verge cOl/verge cuando cuando x x La 17TT tan• •11x x==_ lim tan lim , 4 x x...->l-l'

= 1,luego: 1 , luego:

11 1· 3"3 1·

1 •••• _+ (.I)n.I , .. + (.1)n.1 ~_1_+ •••

5"

2n • 1

•

111

EJEMPLO PLO

1)1 131

Aplicando elel teorema teorema 41 41 podemoss demostrar demostrar fácilmente teorema Aplicando ente elel teorC'ma

I/n.

de Abel para para elel producto producto de Abel

Cau cbv de de dos dos se1'Íes(Teorema series (Teorema 20, 20, Capítulo 11/).

oc

oc

2: anan )'y

Sean Semi

1)=0 11=0

'<;'

wwn=o w r¡=Q

.

yy

b1/ dos dos series series conuerge/ltes con u erg eut es• , entonces entonces

M

ce

.... '\'

b

n=o

at

n

xn implica erlen xx = 11implica

son convergentes convergentes en en (.1,1) (.1,1) ya ya que que lala convergencia son su radio radio dede convergencia su

em

oc

O()

an xn • ~ n=o n=o 11=0 n=o

at ic

? =

bn

donde donde

~ a b k =oo k n·k

n

00

n=o n=o

cn

tenemos: 1 tenemos:

a1

.

~ en cn conuerge. converge, aplicando aplicando el el teorema teorema 41 41 tenemos._ tenemos oo c DO 00

00

que que

11 "'o

n c

¡

¡xl <

no es es menor menor que que 1,l. En En no

'<;'

Si la la serie serie $i

de de

c ¡ lim I. nX x ...1 n=o n=o

ce

TI

'--..____-7'

l im lim xx->l ... 1

~

oo

an

». L

00

bn

om

?

o

Teorema 41 41 Teorema

lim lím

x-> 11 x->

I i

I

¡

00

an o

xr? l

00

•

lim lim X-> Z

¡

o

-,?

¡

.L

oc

00

an

oo

bn

Teorema 41 41 Teorema

sea que que el el producto producto de de Cauchy Cauchy es es igual igual al al producto producto de de las las dos dos series series da da oo sea 'das das

383 383

ET ERCICIO ETERC1ClO

241 241

Porun unmétodo método similar similar alalutilizado utilizado enen elel teorema teorem a41 41 • I demostrar. demostrar. que: que: Por 00

Suponiendo elelradio radio de de con uergen ci ade de lala serie serie Suponiendo al. sisi al,

o

an

+00 entonces: entonces: '"=+"""

2, 0nan?- == f(f( x)x)igual igual oo

lim /(x) [I x) === 1-""'. 1-00, lim

X x->....11-

Solución n 2,

Sea Sea

ak

k=o

entonces entonces

? lOO -, ~

= 2,00

~(x)

ww

1- x

n=o

w

óó

=

n=o

.

M

/ f((:dx} = = ( (1 1 - -x)x)

I

00

at

n=o n""o

e

n

:?x . ,

n

em

númeropositivo positivo cualquiera, cualquiera. entonces entonces Sea ,\fM unun número Sea 00

f (x) -,_."/'jM ""=','¡(1 •- XI x) I ' (e·) ~ Id" ! . - 'fuM\"~ n=o n 11=0

N -1

= (( 11 -- x)x) IlN·I ((ce n=o n=o

nn

+ (1 ( 1-- x) x)

.L

I

oc

n=N n=N

todo O O Por lo lo tanto, tanto I para para todo Por

>>

a1

M) x (( ce -- M) nn

cn ¿~ M M para para todo todo nn ~;. N. N,

donde N N es es tal tal que que donde

[I x) ..-- M M /(x)

M) ~ ".. M)

at ic

n

. co

•

tenemos la la desigualdad: desigualdad:m << xx << 11 tenemos N -1

(l-x) O-x)

N -1 (e ,....M)~, Iln=o (en-M):? n 11=0

Tomando limite lÍmite cuando cuando xx --lo.... 1"1" se se tiene: tiene: Tomando

r

lim _ f/( f tx)x) _- MM )1 ¿:;_ OO ,• lim 1 x-+ 1" x-+ , sea oo sea lim {(x) f( x) ~~ ,W. M. lim x -> 1x-.l" como M M ees cualquiera se titiene: como s cual qui era se en e : lim [I x) = lim _ . 1- {(x) :::

-'-00, 00 •

132

El EMPLO

oc

(i)

~

1- x 00

~

Como

xtl

n=o

=

1

n=o

_"", en tonc es -x,el1tonces

•- log lo g (1 (1•- :d x}

(U) (ii)

~OQ

]1= 12=

~

como como

1

00

n= 1 1/n 1/=1

lim lim

x....1-1- 1 •- xx X->

";"O
XT1

11 11n

~oo, entonces entonces == +00.

lim •-log (J (1-• x) x) lim

-,.00,

x -e 1x->l-

•

El ERClClO ERCICLO 242 242

lb 2:. wbIIll

Sean 2:~ an yy Sean

ww

series de de potencias potencias de de x: x : series

an f

f( x)

o convergen convergen en en i xi

in Si Si W (i¡) (ii)

lim n-.oo

Si

<<

an

¡;;;

(bl1

.

M y

dos series series divergentes. divergentes. si si las las dos dos dos

O) O)

.»

at

g(;.;)

=

bn xiI

em Q

demostrar que: que: ,, demostrar

at ic

O O

entonces entonces

l im [(x) lim xx .......11- gg i x)

= O. O.

1

entonces entonces

li1m __[( x) lim 1- g (x) xx.... ... 1-

1• l.

a

Tn n->"" lim

a1

Solución Solución

. co

m

(i) Dado f( > O existe existe N tal tal que W

II :: ¡I Sea

Im(x)

I/(x)

esto es es esto

=

para todo

< e

ao + a1x + ••••

Im(x)¡

=

I

I :(:) I << tx)

g(x)

=m+l

t(

+ am xm.

ak x

k

é

I

n ~ ~ N. N.

TI

para m

?:

N ~

x

> O tenemos

~ g( xl,

II ;(X) I

++ --lm(X)

1"

g (x)

385 385

Tomando (ver

límite

cuando

el ejercicio

fm.(x)/g(x)

x ... 1- •

~ O ya que

g(x)

-;. +00

241). luego:

I f(g x) I

lim

x ... 1-

~

(x)

e •

o sea que

u1m __I( x) = x ... 1-

(ii)

2:.

[t x) g (x)

O

•

g (x) 00

l

_lb)xn

(a

n=o

n

l

n

ce

b

n=o pero 1 bn

an

lim n-soc

ww

w

bn

M

.lim _n_abn n-->oo

de (í) se tiene

entonces,

I1

1--

gg(x)

x--> 1-

EJEMPLO EJEM.PLO

I( x) .-

!

lim

yfl n

-

1

at

O,

eo m

I!

O

•

133 133

U t¡/izando el ejercicio Utilizando

at ic

a1

anterior. Abel (Teorema anterior, demostrar demostrar el el teorema teorema de Abel (Teorema

41 J. )•

. co

m

SoluciÓn 00

Sea Sea

2:.

n=o. n=o

a Qn

1

ce

<'lO 00

2:. a xn = 2:. 2 xn.2:.

[t x) =-/(x) 1-x

,

una serie convergente. una serie

n

o

o

n

O()

o

sean sean

2

a ~ n

00

o

c n yfl

00

g(x) g(x)

-x

1 donde donde

cn cn

xn 2:. xn

== ao °0

o

-' ~-" al al ~

.... ,a

n

.

Entonces Entonces lim lim I(x) xX-> ....JJ- g(x)

oc

lim

xX-> ....1-

l

o

a xn n

lim n->oc n.... oc

cn 1

00

2_ 0n

n-o

..


Sea Sea

243 (1 (1

(:)?

+ + x)a x)a = ~:o

(desarrollo (desarrollo binomial) binom i al ) •

el comportamiento comportamiento del del desarrollo desarrollo binomial binomial en x

investigar

=±

=:

1 •

SoluciÓn

(1] X = .1. (I]x=.].

n=o

(na) xn : :;

a = = •- b

W (i) Si

LOO (.I)n n=l

LOO (.1)n (_l)n a(ad) a(a- 1) ••• ••• (a'n+ (a-n+ n=o

(b> O) (b> O)

entonces: entonces.'

(-b)(-b-l) n!

... (-b-n+l)=

ww

w

11

2

.

M

entonces entonces la la serie serie diverge diverge a+"". a +oo. (iiJ (ii)

Si a:::: m +b a =.m

LLoo""

b(b+l)

=

00

1 n

at

~ b ~

L n= 1

em

(m:::; O, (m O. JJ ,2, , 2. ••• • ••

O O .~ .~ b

n>m n>m

n l (m+b) ...

n>m ~m

b(l·b)(2-b) n!

<

+00, +"".

n

1) 1) entonces: entonces:

at ic

100 (.1)n (m+b)(m- l+b) ••• (m-m+b)(m-m-1+b)

= LOO Loo(.l)n( • .J)n-m-l (.1)n(_.l)n-m-l

••• (b+n·l) n I

n=l n=l

LOO b b+l b+ 1 bb+22 ... n=l n=l

1)

n! nl

... (m-n+b+

...

a1

1)

(n-m-1-b)

. co

m

u!

n>m

Pero Pero :.'

LOO ~-"-'-'---=...::.:.~.;;....;:.:.:;.....:.-...::...:..~ (1-b)(2-b) ... (n-m-l-b) < 100 (1-b)(2-b) n! n !

n>m n>m

n>m 100 b -.2 =_ ¡ r(1r(1-b)(1·-2) n>m bb 11o>m

i

" n>m n>m )

." .

...

(n·l·b)

n !

b -)1 (1110 •

1

n

_j¡_1)) -- (1. b b ••• (1 • J.... bU 1· b ... (l .-)(1.->1 .. ·(I· (l·b)(l.-) n' n•1 2 n» 1 n

(1. b)( 1. ~) ...

(1 -

!))

((serie serie telescópica)

•

387 387

Esto Esto es. es, la serie serie binomial binomial converge converge si si a ;::.. ~ O. O.

[n] >: (ll] x = 1.

~:(:) ((i) i) Si =m + b Si aa=m+b

1 oc a(a a( a·n=o n=o

(m (m=0,I,2, 1,2,.•••••

Si a ~ • 11,, se aa Si a.::; ~"" -b(-b.....

n= 1

1"" (, l)n b (b + 1) ... (b + n -

1)

n=1

ww

w

.

M

b (b + 1) ... (b +n - 1) >. n! ;/ •- 11

<< aa <

1"" (_l)n

O ~ ~ b < <1) entonces la serie serie co.,!! COn , O 1 ) entonces

(b (b ¿~ 1) 1) entonces: en ton ces :

a::: a = -b

la serie serie diuerg e ya que

(iU) (iii)

+ 1)

[1] [1] (#». (U».

(-b-n+

1) ••• n !

(a· n

n !

verge absolutamente absolutamente (ver (ii)

1) • ••

O O ,, oo sea sea

b(b+I)

at

1 - 2 ... n!

aa '"= •- bb

...

<

'

11 ••

em

(O (O

(b+n·1)

n bb

<

11 )) entonces entonces

at ic

n !

n= 1

1)

n I

•••

a1

1- b l f 1 ..... -11.-

,

. co

la serie ya que el protf4¿cto serie es es alternada alternada y converge converge condicionalmente condicionalmente producto in· injiniIQ finita, :

m

00

n" 11 _l..:.l.¡ TI

n= 11.=

11

n

diverge diuerge

a cero. cero.

Fn Fn resumen: resumen:

(1] x=-l. (11 x = • l. (i)a
(ii) (ti)

[lI] [1I]

a ~> OO

'"

x

(i) aa (¡.)

lim (1 + x)a ....·l+

xx

+ x)tt (1 + lim lim (1 x->-Z+ x ....-I+

1O(J (a) (.l)n n=o n

:: Loo ¡,OO 11=0 n=o

(11)(01)11. (a) (: 1)" 11. n

= 11 >> ·1. - 1•

(1 + + x)11 x)a lim (1

xx-« ... 1-

;=0 ((a'a)n) 00

11.=0

11.;

== 2a

= +"" == O. O.

a

(U) (ií)

.~ .~

oc

,

\

(1 + + xJ x)aa =- 2a •I pero lim (I pero n=o L (a. xx... ... 11n=o (:) n)

,-1. .-1.

diverge. diuerg e ,

•

111

00

Dada {(x) f (x) ='~ ~ Loo aann x1l xn

en en (-1,1). (- 1, 1) , el teorema de Abel garantiza que que n=o n==o la convergencla convergencia de la la serie en en xx '"= 11 (ó (ó x=-· x = - 11 ) implica la existenca existencia del

límite límite: te te: :

lim {(x) f(x) (ó (ó lim lim ¡(x) I (x) )) •• Sin Sin embargo, , la existenciá existencia dellímidel l ímix ..... 1+ x... 1...-l+ lim f( x) no siempre implica implica la convergencia de la serie serie en x x =l 1: : x ... 1134 134

EJEMPLO EJEMPLO

!( I( x)x)

==

ce

»

(.1 t.i )n

L

pero pero la serie serie

lim x ......-1 ·1 11•- xx

1• x 1·

n=o n=o

w

243 (A) (A)

EJERCICIO EJERCICIO

!(x) f (x) '" (1 (1 + + x)fJ x) a

.

M

at

((a.:S a ~ •- J1 ). ) •

.I L"" ((1) (a) diverge. 00

pero pero la serie serie

22

..e

diuerge •, díverge

ww

=.l

n=o n n=-o

.

(1 +x)a

em

111 •

x->

at ic

En los los "'.~:,.u'''' siguientes En ....''''' ejercicios

observemos observemos que la existencia existencia del del límite

lim ..",l(,<> condj lim ¡(x) f (x) implica la convergencia convergenci a de la la serie en en x === 11 bajo bajo
244

EJERCICro oc

Sea Sea L

nn=o "'o

1xl Ixl <<

1. 1.

Si

n aa xn X nn

a1

. co

m ]:! ~ O) O) una una serie serie de potencias potencias convergente convergente

(a (ann

en

00

lim L an? x ... l1- n"'o n=o x-'>

existe y es igual a A ,I demostrar existe demostrar que

00

L

aa n=o nn

'"

A.

Demostración Demostración La serie serie .I L an La

es de términos términos positivos, positivos I 00

n ==0

+ oc

,

óó

L

n=o

a

n

S (finito). (finito).

00

Si

n=o

239),estoes lim L_ aan? = +00 + 00 (Ejercicio (Ejercicio 239) I esto es im im»o xx...1... Z" n=o n-o n

389

posible.

00 ;=0 "« n=o

Entonces

se se tiene tiene que

::

De acuerdo acuerdo con el teorema teorema de Abel Abel

S. S.

A A:: S. S ••111

EJERCICIO EJ ERClClO

245

[i x) = = 'i,oo a xn ¡(x) convergente en (-1, 1) • Supongamos convergente (-1.1). que n=o n ";i(XJ 'i,00 a lim n an '"= O, O. si lim [(x) =.= S •• demostrar demostrar que la serie serie conver n=o nn x....1nge a S. S.

Sea Sea

Solución Solución

Sea

wnw

w

entonces entonces

lim n-Dado

M

.=

O

[(I _l) 11 1(1~) n

--

S\

< _!_ <.!... 33

,

an

.' n Sn = 'i,_ =0 k-o

n

=

- S

ak

:!-

l. 1- ~

x

xx

+ 'i, n

{

at ic

33

a1

tenemos: tenemos:

E·(·l,l) E' (-1,1)

k + 'i, ak xx 1 - S S k=n-s l c OQ

.

om

ak (1 - ~ )

k=o "'o

E E (O, (O, 1) 1) tenemos tenemos la desigualdad: :

) .:;;< k( 11 •- x) 1 •- x)( :: ((1 x)( 11 + + xx +. +. • •• +x + xkk·l - 1) x) <,

~

•

(n tl a -> ....O (n O)) nn

por lo tanto tanto tenemos tenemos para para 11n >.>- N N yY xx E E

-SI

la n \1 < _!_ 3

,• nn

n n b 'i, ak + [i x) - ('i, ak x" k=o k=o ¡(x) f (x) _- SS

P P ara ara todo

para para

•

em

<~ < .:

... 0) (an->O)

(f( x) ->....S cuando x -+ 1) ([(x) Scuandox->l)

S

at

>> OO existe existe N N tal tal que que para todo todo nn )~ N N tenemos: tenemos:

tE

Sea Sea

23 23).J •

(Ejercicio

i!( x) -

S: +

(para todo k) k). • (para

(O, (O. 1) 1) 00

k(1-x)! =0

k

!

i+

I 1+

":i

k =11+1 1 n

1· x

;;¡.

i/ (x)

-

sI

+ ( 1 - x)

TI

{

1

++--f 3 nI.

an

x

Como para todo todo x E E (0,1) (0,1), , reemplazando Como esta esta desigualdad desigualdad es es válida válida para

.n

. xx= 11 • 711 se ti tI ene :

-SI

- -;}) -Si

.:::-

(

+

+-

f f < ...:.+..!:.+!.. +<

TI

33

371

33 33

= '"

e

(

esto es es esto

lim S n11-+00 """" n

ww

w

.

S •

M

at

em

EJERCICIOS El

ADlelON ALES ADICIONALES

at ic

El ERClClO ERCIClO 246 246 Sea Sea

1 + [~ _1_ __ 1_] + r_1 + 1 -• zz 1 • r- 1· z 1 - z4 demostrar demostrar que que:

Izl < Izi

11

1l. • z2

la serie serie converge converge a O si si

y diuerge Y

si si

Ixi Izl

a1

1_1 + ••••

Izl

>

. co

11, , converge converge aa

m

1

si si

= 1.

Solución Sea Sea

la suma suma parcial parcial de la la serie serie Sn la S/z)

Si

Izl <

1

11 entonces entonces

Sn(z)

Si

=

\x\ Izl > 1

...

entonces entonces

2n-2 z 2n-2 .... O (n->oo) , luego: z2n-2 (71-.00), z -> O

-

(n->oo)

IIz2n z 2n-21

->

•

(n 00 00 (TI

-> 00) 00) ->

luego: , luego:

391 391

Si Si

\zl Izl

e iO

z

(2no2)ie IIno convergf! I¡ee(2n-2)iO . convergi!

'l1li '.

converge converge uniformemente

para para

(e o)

(e rJof. O) entonces entonces

EJERCICro 247 EJ ERClClO 247

n a ---2-2-

00

L

Demostrar Demostrar que que

todo todo

n=o n=o n! n I l+x an x. aa x , y que que la la suma suma total total es es igual igual

a

eox - x

3 22 aa3 4 a5 - •• ee ++xe

sí sí

lal lal <<

Ixl <<

11 Y Y

1. 1.

Solución

1

,ll

1- .-"::__~5.-,2....n+x a

n!

..:s-- nia¡n]

22n

n!l+xa

ww

w

.

M

para para to do nn. •

¡¡ ja¡n por el criterio la¡n ín! In! converge. converge, criterio Al M de de Weierstrass Weierstrass la la

Como Como la la serie serie

serie serie dada dada converge Si Si

laln• ~_¡_;,:_,¡_

lal Ixl < < lal < 1 Yy [xi 2 2n

n! nl

at

emente • uniformemente.

1 tenemos: tenemos: =

+ x a

em

Loo (oI)k(x2a2n)k

~ nl

k=o

at ic

y

LOO Loo I JI n=1 n=1 k=o

2n }k (o I)k (x (x22 aa2n)k (.l)k

n! n!

la última última converge converge comparándola x2a2n

I= 1=

2.,00

la¡n

n=1 n! n=I

con la serie serie

... O

a1

1 2L 2n Ln 11 • x a o

n In! ya ¡¡ lal ja¡n ín! ya que

. co

m

(n ...oo).

Por Por lo tanto: tanto:

Loo_J_

+ x L a Ln

n=o n!

= ¡"" (o1)k k=o

ET

ERC1Cro ERCIClO

x2k

¡00

ti' 2.,00 (ol)k (x2 a2n )k

n=o

nI

Loo

(a2k.+-1)n

n=o n=o

n ]

=0 k=o

=0.

248 248

Demostrar serie Demostrar que la serie 1 1-., sen sen _ 3xx

1 + 4-4 sen sen+ ••• 9xx

11

sen sen -n- + 3 x

converge absolutamente para todo cOllverge absolutamente para todo

pero la es unJ. xx ¡t ¡, O, O, pero la convergencia convergencia no es »ni

forme en la del origen origen • forme la cercanía cercanía del Solución Solución la desigualdad desigualdad (i) De la

¡sell X ¡sen

I ~ IXI

se se

tiene: tiene:

"" 1 1"" sen+ I ~ :l 12'1 l.tl sen-n..(

n= 1 11=1 (U) (U)

< + oc.

33 x

Consideremos Consideremos

grande, existe grande. existe

x

UJI 1111

intervalo sea muy muy intervalo (O, al. al. Para Para cualquier cualquier n, n , aunque aunque sea

::;. a) .z: (O, (O. al

tal tal que '"fUe x

( basta basta tomar

sen sen

=

3n

2

.)

11 .

ww la Entonces la serie la condición condi ci on de Cauchy Cauchy para la convergencia convergencia Entonces la serie 1/0 no satisface satisface para la uní/omze uniforme en

(O,a] (O, a] ... ••.

EJ El ERClCIO ERC1ClO

249

oc 00

1. /f L n=o n=o

(x) (x)

n

w

.

M

at

em

x

si sí

--:--:r 1-:-2 •- x

¡xi <

1

at ic oc

O<)

00

(ii)

1•

a pe s ar de que pesar

f(1)",O

n=o

n

Si

Ix\ < Ix!

oc ""

•

. co

Solución Solución (i)

a1 .

1 fI (x) ix) lim L n .x-s oc n=o n=o 11.

tenemos: tenemos:

m

00

xn

L

n=o

n "'o 1 1-x l ·x

x 1-x' x ¡

- - - - -:--7 ---:--7 == -:--z :--:! J·x 1 -x

ce

(ii) WJ

1,/1> =

O

para todo para todo

1 In(l)

n entonces n,, en lances

=0.

1/=0

En cambio: cambio : lim

x-« x-> 1-

x 1. x2

• 393 393

250

EJERCICIO

<Xl 00

W (i) Si la sum sumaa parci p arci al de la serie!' serie:L

eess acotada, acotada I demostrar demostrar que la

el an

n= n= 11 n

serie serie

¡

an

00

nn=l 1

==»: n

conv'erge a una función uniformemente función continua continua en converge uniformemente

;::. _:;:.ec

x

>

O. O.

(ii) Demostrar Demostrar que que: :

Loo (_1)n-l n-x

lim xx-+1 ...

log 2.

n=1

Solución Solución

(o

oO

ww !¡ 11/nx I1 es

Entonces, Entonces I

>

m ente en mente en x ~ ?- ec

w

.

M

O. O.

j(x) f(x) =

Sea Sea

at

Por el el criterio criterio de de Dirichlet Diricblet la serie serie converge converge u· u-

em

¡"" (_1)n-l/nx n=1

entonces entonces

l/

•

una una sucesiÓn sucesión decreciente, decreciente I y tiende tiende a cero uniform!f.. uniform!!_

tlijormemente. niformemente. (ii)

tn ....00)

es es continua continua en lim [I:x)

(e, (Xl) [c,OO)

at ic

>O O) )

(c (c

f( 1) ,I = f(I)

X-+ 1

,I luego:

oo sea sea 00

lím lim ¡ X-+ x+L1 nn=l1

EJ EROOO ERClClO

~OO !,OO s:

n= 1 n=1

l)n- 1

(_

= log 2. 2.

n

•

. co

m

251

!! /ln I!n 11

Sea

::: =

a1

(IJ. (f-Ln?- ?:

1) 1) una una sucesión sucesión creciente. creciente

I

n

consideremos consideremos la sese-

rie: ri e : n

1

Demostrar f)emos trar que qu e existe existe un un número número aa tal tal que que la serie seri e converge con verge si xX diverge diuerg e si si

x

I

< a. a.

Nótese Nótese que que aa puede ser ser ± ± xx •,S1 SI

> aa ,

+ "" 00 aa '"== +

oo. oc.

Si Si aa

= •-

00 00

la serie serie converge converge para todo todo

la serie serie diverge diverge para todo x. x ,

Sea Sea

a

x < Si ,,<

=

In]

'i.oo c tIxx // n= 1 n

(/1)"x n

n=1

converge converge

11 ••. .

serie diverge diverge evidentemente. evidentemente. aa la serie

exi ste y. y, aa .:f;. ~ y < xx tal que la serie serie Si "x > aa existe Entonces: Entonces:

'i. ec (p. ( r" )"" n = 11 nn ILn ,,= n

=

00

'i.oo c {p. ( ¡·Y ley (p. ( r(x-y) r("- y) ILn nn === 11 n /1t( 11' n •

(x-y) >0, !(/1-nr(x!(ILnr(x-Y)lY)j es es una sucesión sucesión decredente decreciente Co.o ("-'1»0. 11 para tódo todo n) n) ( para

w

M

criterio de Abel Abel laww serie converge. converge. por el criterio serie

.

NOTA

1 n!

Si Si si

EJERClClO ERCICIO El

=

cn

at

entonces entonces

a=-oo

em

n I , /1n === n

entonces entonces

00 oc

leI :: leI

l:'i.

n=l n=1

+"".

at ic

252 252

(i) Dlllla DIIIlIl_Il'serie convergente (i) tma'serie convergente

a =

an, , demostrar demostrar que que la la serie serie de de DiricJ!. DiricJ!.

00 ,.."" -x -x k'i. aan n nn n=1 n=1

co.verte tmifoT1llemente _ifoT1llemente cOFIverge

•

l1li

a1

en [O [O,• .,.,). (0). en

. co

m

(ii) D_ostrar De.ostrflr file file :: (ii)

n-x 00 oc

'i. ~

aa

n=1 nn 12=1

') (':\ (J .~

(111+1)*" (.+1)-% _< s:_ l._-x..::: n-x.:::'";;:.11 _

l:'i.'"" aa 00

nn=11 nn

converja. converia.

((para .1 .1 O) J J O) para 10"0 toao 'o.. •, touo toao x ;;:. . •'.', . 11n === 11•,22•,33•••• x;¡:.

Por el el criterio criterio de de Abel Abel la la serie seri e dada dada converge converge uniformemente uni [orm em en le en en (O, [O, "",J. ()O). Por (ii) (ii)

..

"

-x es [0,00) , entonces entonces es continua c01ItiTlllaen en xx EE [0,(0).

00

'i.

n=1

an n-x es un a

función continua en funciÓn continua

[O, <Xl) (0) ,• luego: luego: [O, 00 00

II

a n •• n.

n=I n=1

l1li

El ERCICIO ERClClO 253 El 00

a»

«=

((x):::= I In-x n=1 n=l [l+h,oo) [l+h,oo) donde donde h > O. O.

(í) Demostrar que la serie (i) Demostrar que serie

elintervalo elintervalo

converge converge uniformemente uniformemente en

(U) Demostrar que : (ii) Demostrar

-_II 00

(" (,' (x)

00

(iU) Hallar

enw x

{,(k)(x)

ww

Solución Solución (i) (i) El criterio criterio

l.v n

M de M

.

M si si

l. > 1.

at

x

em

:; ~ 1+h

>

1•

at ic

converge. entonces serie II converge, entonces la la serie

Como la serie la serie

[1 [1 + h, (0). 00).

en ge uniformemente uniformemente

a

x

> 1.

Weierstrass. Weierstrass.

tu )

(r _Loo

si si

~

n= 1

~1

n=1

dt =

n

Por lo tanto: Por tanto:

_!21y-]

Loo ([ n=la

dt

=

n

a1

Loo n-x n=1

~ .lss». X

x

<Xl 00

L n -a + fJ L n= 1 a

((x) ((x) II

00

(IL [- n= 1

log n ]] dt •, log nni1

entonces entonces tenemos: tenemo s :

C,'( t,'( x)

_ Loo ..!.2..K.E.... _LOO .Isss: n=l n=1

.lsss: -_ Loo ~ X n=l n=l

nXX

una función continua. es una función continua.

nX

(iii) (iii) De la la misma misma manera manera tenemos: tenemos:

conver conuer

nX

00

IL

n=1 . con=l

m

sea o sea

ya que ya

n= 1

-a

n

254 254

EJERCICIO EJERCICIO

00

Sea Sea

~

an una unaserie serie convergente, convergente. demostrar demostrar que quelala serie serie

a n=1 n n=l

n!

~oo

f(x)

n=1

an

(x+l)(x+2)

••• (x+n)

converge-uniformemente uniformemente enen x x >> OO • converge Solución tenemos: SiSi JI:x >> OO tenemos: 1

> _1_ > "'x+

>

nI

1 /' i x x L}••• (x+n)

Aplicar elelcriterio criterio dede Abe!. Abel • Aplicar EJ ERCICIO

ww

255 255

w

Demostrar que quelala serie serie (i)(i) Demostrar

LOO

.

~_-:-(_n~+_1-:-)_!_-:-:-__

__,.

./ (x+l) ••• (x+n)(x+n+l).

•

M

at

(x.1)(x·2) ••• (x(x·n)7/) (xl)(x- 2) ... n ! n

n= 1 n=1

em

[1.2}. absoluta y yuniformemente uniformemente enen (1, converge absoluta converge (ii) Demostrar Demostrar que"la que la serze serie (U) ¡(x

a

at¡ ic

• •• (x (x a- n)1 n) 1)( x - 2) 2) ••• l)(x-

,

.

nn. 2]. en (1, (l. 2], no converge converge uniformemente uni formem ente en no n=l

Solución Soluci6n

w (i)

(x-l)(x-2)

••• (x-n)= n I.

= (-1)n[{1_(x-1)!ll-

x·l n

(_I)n-l{1_(x-IJl

. co

lI-~1m

...

no'

x;llx x ••• ... xlI. xlI_ ::~ n-

_ {l- (x-

a1

1>l11-

I

xi 11 ••• xPx 1I Ixx.•.

::

11

III -

x~ 1 1 11] •.

Entonces. si si xx 1--F 11 tenemos: tenemos: Entonces,

!l-(x-l)l{l-(x-l)l!lLN ¡(xo1) ••• (x-n)¡ == p. (x- lJI- \1.(xl)lp·

n=2 n==2

n I

.

esto es es. I la la serie serie con converge absolutamente. esto verge absolutamente.

4Ix1x .••... xP1

x!I _ x~ 1 I -

tenemos: tenemos:

x E 2,3, ... E [1,2]. (1,2], para para todo nn= 1, 1,2,3, ...

Ahora. Ahora, para para todo todo

1)~ •• \1. x-111{1:x-1¡. n-

Por emenlre en Por el criterio criterio de Abel Abel la serie serie converge converge uniformemente ( l)n -1 01 converge. 2 converge.

n

[1,2] [1,21 ya ya

que

-=-n-

(ii) (íi) De De

(i): (i):

¡

OO 00

II.

¡

(x -o 1). 1) • ~. (x· n) n) I 1 (x • (x'

n=2 n=2

nn I

si si x x i f I1 =

si si

xx === 1. 1.

La La funciÓn ¡imite límite no es es continua continua en x == 11 a pesar de que la función [un ci dn

ww

¡(xol)

M

••• ,(xon)¡ n!

w

.

I

es , por lo tanto no es es continua continu a en x x =l1, tanto la convergencia convergencia es uniforme uniforme

BT El ERCICIO ERCICIO

256 256

Demostrar Demostrar que que

a > > 1/2. 1/2.

2

x

00

at

n = 1 n a( 1 +n + n x2 )

em

converge uniformemente converge

en R 1

si

t'l Es uniforme uniforme la convergencia convergencia de la serie serie en caso caso 'de que a>O? a>O?

Solución

1-

dd [ x 1 -n x2 dx 1 + n x2 - (1 + n x2 )2 •

entonces entonces

at ic

"l1li '11

1 +n ix/(1+nx2)¡

lor máximo máximo es

a1

. co

tiene tiene el valor valor máximo máximo en x::; x = ± z/Vñ 1/y'ñ ,y , y su vava-

m

11/2,¡;i, , por lo tanto: tanto:

.$ -..:...--

1 así así que la serie serie converge converge uniformemente uniformemente en R R1 si a > ~ • Si

¡x] Ixl

:;; ~ cc > O entonces entonces x a n(1+nx)

2

< Ixi -..;n a n x 2

1

c

ti+I n

entonces en entonces la la serie serie converge converge uniformemente uniformemente en (e, ""') 00) si si aa > O. O. Ahora, un Ahora, consideremos consideremos un intervalo intervalo nemas: nemas:

[O, [O, bb1 1,, tomando tomando

..L EE [O [O •b] s l tetexx =..L {ñ fñ '

> _1_ > - r t....!!L 2{ñ k =11 7 Z'¡ñ 11 ta 2..¡ñ n

1

1

;:: _L'2,Tl

=

1. 2 ( 1 - a Nn

¡ n1-a

_

11

sisi a < si si

a:=

la convergencia con uergen ci ade de lala serie serie no no es es uniforme uniforme en en [o, [O,b] bJ sisi a::;. a.:f- 1/2. 1/2. entonces la entonces conuergenci a fuera fuera uniforme uniforme elel lÍmite límite seria sería continuo continuo en en a, O, oo sea sea ( (SiSilala convergencia


w

.

M

b1 b2 + [I x) =-- + x+1 ( x + 1) ( x + 2)

Sea Sea

donde donde

ww

257 257

x). x).

OO • , bhn n

tal que la serie

at

em

(n = 1,2, 1,2, •• • 3-:> OO (n

converge

(absurdo !). !). ] J (absurdo

a

lim lim

xx-so ... o n= 1

si x

o ••

). Demostrar que que existe existe r oro;:: ). Demostrar ~ OO

at ic

> ro' diverge sisi xx <
todo NOTA: Si Si ro ro === ++ 00 00 la la serie serie diverge para todo NOTA: converge pa~a para todo todo xx > > O. O. converge SoluciÓn Sea Sea

x> ro ro x>

a1

O I/ la la serie serie converge converge en en xx ro =:= In!! Inf Ix;:: ro x ;;: O

la serie serie diverge diverge si si xx entonces la entonces Si Si

x , Si Si ro ro x.

existe existe

Xl '' xx Xl

>>

= OO

:=

la serie serie la

.

1I c o

m

ro' << ro' Xl ~ ;:: TOo '» tal tal que que Xl

hn n=1 (x¡+ 1) ••• (x¡+n) n=l

'2, 00

converge. converge.

De la la desigualdad: desigualdad De ------~~---- ~

(x+1) ••• (x+1I)

(Xl+ 1) 1) ••• ••• (x1+n) (xl+n) (x1+

(para todo todo n) n ) (para

en se tiene tiene que que la la serie serie dada dada converge converge uniformemente uniformemente en se

xx;::~

Xl ,luego I luego Xl

[t x) x) es es conti1Ul.a continlla en en x. x , yy f(

399 399

lim f (x)::: j(x) =lim lim¡ lim

x->oo X..->

bn

'C'oo

00

,

bn

:::: =O O. • • ••(x+n) (x + n) (x + n= 1 X-+OO (x+ 1) 1) •••

lim ::: =¡nI= 1lim •• ~ (x+n) x->oo

00 k

""

X-+oo n=l (x+l) X-.oo n= 1 (x+ 1) •• ~ (X+1,¡)

l1li

EJERCICIO 258 258 EJERCICIO quelalaserie serie Demostrar que Demostrar

•

~+1]

Ioo

n=o n=o

2n + 2

converge puntualmente, puntualmente, pero pero nonouniformemente unijormem ente enen [0,1], (O, 1]. converge Solución

SiSi JI; x'" =1 1: 00 1 1 I 1-- --2n+ 1 2n+2 n=o n"'o

w

M

w=w 1 1

.

1 1 1 -2 + -3' - -4 + •

dosseries series las dos SiSí O O.....<,<x x< <1,1,las

Ioo

x2n+I 2n + 1

n=o n=o

at

em 00

I

yy

n=I

n"" 1

convergen,

luego la serie dada converge.

Si OO ,s:~ xx Si

<<

tenemos tenemos:

00

1

I

-2

n=o n"'o

=loglog2.2.

+

at ic

k

a1

1 2(I-x)

xn

'C'''''

n=o

n=o

las des dos series series anteriores anteriores se se tiene: tiene: Integrando las Integrando 00

I

n=o n"'o

2n + 1

dx J x -;---2 ol-x'

= -

m

_1 log ~c...._;,;_ 1+ x log 1 x 2 t:»

.-

. co

JI;

»

00

I

n=o

log(l-x),

entonces: entonces: ~+I

1

-;;;__-l =7log(l+x) n=o

2n +2

1

->2"log2 logl

Como la la función junción limite límite de de la la serie serie dada dada no no es es continua continua en en xx Como vergencia no no es es uniforme uniforme en en (O, [O,IJ1 J.•• 11 vergencia

(x->l). (x...,I).

= 1, 1 , la la concon-

EJERClCIO ERCICIO

Sea Sea

259 259

¡InI ¡una una sucesión sucesión ¡ In

continuas enen [O, [O, 11, 1], sisi InIn dede funciones continuas

->-e

ff

unlormem i form emente ente enen (O, [O, 11. 1], demostrar: demostrar; tmi 1

lim lím n->oo

1·1ñ

11

r'of1·o ñ fni:n(x)i x)dxdx

= f J I(x) [t x)dx. dx , oo

Solución

f

1. 1

f o

n

o I~(X) dx dx /~(x)

o

1

In(x) dx -

I1 _ ñJ

11

11

f Jo

como como

1

-+ ->

¡(x) .Ix dx , •entonces entonces I fo I(x)

o

1

lim

f1-.l

ww

w

.

f,/x> dx

,

basta demostrar demostrar que que basta

f ix)dx dx '" =O. O.

.n

M

n

es acotada acotada y y J~II~l~ ~/ / eses uniforme enen [O,Il.entonceslfnl [0.11. entonces !/~ll I~I~ es

Además Además

at

uniformemente acotada acotada enen [O,[O, 1111 (F.jercicio 191) 192). sea que quee.tiste existe , o osea eses uniformemente

em

tal que que tal

I.l/1/x)x}i i ~~

para todo todo n n y y todo todo x x MM para

luego .-.' luego 11

f.1-_l_ 1,/--.:) f (x) 11 t-L

dx' dx

11

11n

n n'

EJ ERClCIO F.R a CIO EJ

260 260

Si la la serie serie Si

[I x} '" I(x)

L

OC

n= 1 n=1

bn sen sen n.-.: nx

[O. 1111, , [O,

at icf'0 .. a1

t 1- I~Ld l/x). • dx dx tl-

~ ~

,-,-

11

.:::.JIM ~

¡\JM

,\1

11dx dx

J .- n

-11 11

n

O. O.

•

IIJI

. co

converge uníformemenll? uniformemente en [O, [0.2171. m converge en

demostrar que: que: demostrar b

(i)

= -

n

1

7T

217

Jo

[I x) sel1nxdx. sen lIX dx

00

(ii) (ii)

¡

nn=l1

cOJ/verge. converge.

Solución Obsérvese que que f(:d ¡(x) es es continua continua en en Obsérvese

ro, ro,

2171, luego f(x) [I x) es es 2iT 1. luego

R}e!ll{/}l/J' (/IlI!

int epr abl e •

401 401

(i)

Como

sen sen nx n x es acotada, acotada.

entonces entonces la serie serie

00

2:

bk sen sen kx kx sen sen nx

k=l1

converge emente a V(x) sen converge uniformemente sen 217 277

Jf

oo Pero Pero

2:

I(x) [I x) sen sen nx dx ,=>

[O, 217 1. Luego: (0,2771.

=) en 217 277

ÓQ 00

fJ

~

bbk sen kx kx sen sen nx n x dx. dx , k sen

k= k= 11 oo

como: como: 2IT 277

Ir

{{

I

(n-lk)

(76)

277

. ..,

r sen nx IlxJ"'"

o

entonces entonces se se tiene tiene

que

=

1777 bn

(i¡) (ii)

dx

ww

w

27T

J

.

rr77

M

I(x) [t x) sen sen tlX n x dx dx •

oo

277

O O ~ ..:S

J ¡1 f(x) f( x) o

2rr) 2rr

"

1/(;.-) l/(x) ¡'" 1- dx dx »

J[ oo

=== OO

sen sen kx sen sen tlX n x dx

oo

em

n 2 1bk sen k 12 dx -1 "k sen kxx ¡ dx k=1 k=1 ",n

at ic

2rr 277 b¡J J f sen sen kx kx sen sen hx b x dx dx bbkk bb k,hh=l =1 o n

1

n

_ 2 -

2IT lj(x)

at 2:

2

k==11

J

277

o

J

J

1-

dx

2

2IT 2rr

oo

dx" dx

í

?

(b )- ._ 2 k k=l

17'

)

2

¡f(x 1

-7T

('n en tOIlCf'S ton c es

dx - rr

277 2rr

JI

",.11 (bk) 2 ~ Joo kk 11 _

-

==

la sprie serie

/ (l

.c

(por W) (i))

' )? =l(b k - .

Por lo lo tanto: tanto: •1

(por

f( x) senom kx dx

Ti

o

fJ l! (x) 1 I[(x) 1

a1

bk sen sen kx kx dx

[(x)

,2

1 (bk )

I{La ¡I (x)

,?

rr dx dx

con lJerge . conllerge.

••

•

l1li

(76» (76)

EJERCICIO CIClO

261 261 00

Si la la sen seriee Si

[I x) I(x)

2.

=:

nn=o =0

cos IIX nx converge cOllvergE' lIJ1ihrmemellle uni form em en te 1211 en lO, 10.2;,1 a"» cos 11

demostrar que que :" demostrar 11

277 2"

-TT"~ fo I([t x)xr cos cos !/x nx dx dx oc

i:2:""

(ii) (ji)

n=() n=a

(111"0), O). (n

/

a() Cl(J

::? - 77TT

271 .2iT.

JoJo

J (x) dx. dx ,

(a )2 converge. converge. TI

Sugerencia Similar al al ejercicio Similar EJ ERCIClO ER CI CIO EJ

Sea Sea

II

260 . 260.

262 262

int egrabl ewen en (0,217], [0,2"), sean sean

ww

2"

277 2"

ff o

an

.

M

[L x) sen sen !IX nx dx dx I(x)

fo

bn

•

iII

o

at

(n=l,2,3, (n 1,2,3,

em

[i x) cos cos nx nx dx dx I(x)

(n =0.1,2, ••. (n 0,1,2, •••

demostrar que las l as dos dos series series,' .. demostrar 'i,OO (a)2 n=o 71=0

n

at ic

2.""

(b )2 n=1 n

yy

EJERCICIO

))

..

convergen. convergen.

Sugerencia Similar aa (ii), (ii) , Ejercicio Similar

...

260,. 260 'l1li

a1

. co

m

261 261 00 00

2. a coskx cos kx conver,ge con uer oe a [ix) uniformemente uniformemente <m en (0.2171 (0,2"1 .2. k=l k .o k=1 oc con ver ver derivable y I' es contil/ua, contiuu a , demostrar demostrar que que"'i, lakl es derivable lakl con

Si la la serie serie Si si yy si

II

r

k=11

ge. gr? Solución a cos kx 1 k.

Delejercicio Del

iun ijorm em ente ente en en (ullilormem

[O, rO,

2" 1 ). I, 217

261,': 261 ak

1

= rr I

277

o

I(

x) cos cos kx kx dx dx

403

277 - sen sen kx kx f(x) f(xn k .o

_ 1 [ 1

- -

TT

-t

1

1

= • Ti = ; k J

2TT,

o

J277-k1

11

-TT

11

sen sen kx kx !'(x) !'(x) dx

o

k1

f (x) sen sen kx kx dx

b'. b' k

donde donde

=.;.;

k

h

2rr 2TT

Jf rj'((x)x)

262 262 se tiene tiene que la serie serie

Del ejercicio ejercicio N N

¡

k=I

jak

i '" =;

¡=zlak ¡aki i

k=I

El EJ BRClClO EROClO

J

oc

?

ie.r

L (h' )2 k= 11 k

converge, entonces enton c es converge,

ww

1 'b' ' i k I

w

00

o sea sea que

sen sen kx kx dx. dx ,

oo

.

M

converge •• converge,.

at

em

264fJ) 264$

Sea Sea la ¡an una sucesión sucesión decreciente decreciente de de términos términos positivos. positivos •.,Demostrar Demostrar n l1 una

at ic

00

que 1lael sen seriee

si si

¡

an sen n x

n=I n an ..,.-> O O cuando cuando n ->..."" oo. •

Solució11 [1]

Supongamos

que

( > O existe

Dado

2: Sea

x =

..!l.

LOO

ak sen kx

(ó

I <

2nx = 77/2

para todo )

4n

kx

77

para

~2

lu ego: O O

a1

sólo sólo

an sen n x converge uniformemente en R1. n= 1 co N tal que sí n ~ N tenemos: m

2n

k=n

1

converge uniformemente uniformemente en R R1. si si y converge

<< 2: ¡

k

n,n+l,

2n 2n

k=n

Clk ak sen sen kx kx

E R

1

:

entonces

=

x

...

• .Zn

< <. e,

I)tilizando 'Ltil i z ando la desigualdad desigualdad conocida: conocida: sen tt ::;. >,. ._1_ sen rrTT tt

cuando cuando

tt E E [O [O,t

~

11 ,

•

.

se se tiene tiene 2n ak sen e > L 2. sen kx kx k=n k==n

2n 2n

>. 2: 2.

(

> .1. x /' 17

2 kx kx =n ak ak TT kk ==n

-

3

17 4n

k 17

3 a2n (2n) (2n) , 8

o sea sea ((2n) 2n) a2n

lanl janl

Como

<

es decreciente decreciente

(i) ( i)

<•

3

se tiene tiene

De

(i) y

(ii) ( ii)

se s e tiene ti en e que qu e

ww

= O.

lim lim n n->o<>

M

w lim n11 an Ahora Ahora supongamos supongamos que

(1I] (1I] que

n

:; ;: N

.

n-">oo

Teniendo Teniendo en cuenta cuenta la periodicidad

at

te te en en [O, (O, Para Para

TI' TT

em

¡

n=l n=1

entonces entonces para

nn

~ ~ N N

"»

4

dOnde donde

~

parece p arec e si si n+q n+q ~ m. m.

at ic

x im n) n ) <,< tr < efx(m' 2" r

> m

=m+l

(( m m

[ Tri 2x]) 2x])

. cosen kx m

(iv)

kx kx ~ .::;; Trl2 , luego: luego:

m kx 1 .:S ¡ kx sen kx! ak kx ak sen k=n i.l =n+1 k=n+l1

k

a1

Trl2x

n , y la segunda suma suma no a· a< n.

2.

0 e Si Si

= 1,2, 1,2, •. •.

converge u n i jor m em en converge uniformeme1J..

sen n x

ak sen kx +

la pTím era sum primera sumaa nO no aparece aparece si m m

® e Si Si k ..:S ..::; m m

sen sen nx n x (n

tenemos tenemos en en general: general:

=n+l

O N tal O exíste existe N

(iii)

m m la la parte parte entera entera de de

sen kx

'>

f

< {. é.

LL xx FF [0,171, [O, tt 1,· sea sea

Dado

de la función la función

oc

vamos vamos aa demostrar demostrar que que la la serie serie

O. O.

n an

implica

JI é (1

( 2 n) a 2n ( 1 +

(2n +- 1)

xx

fé

m

2.

k=n-v =n+ll

.

kka

k (v)

entonce.s en ton e es

405

m-cq=L

~ 1 1_ k-m+l

Sk(x) (ak - ak 1) I + +

I

a S (x)(x) - a 1 Sm(x) (x) m+qsm+q m-cq m+

(vi)

1

donde donde

Si x )

::: =

(x)== = MM(x)

k

1 sen sen i= 1

ww x sen sen T w

Entonces: Entonces:

m+q

~

k=m+l

ak sen kx

I

.

jx

sen kx ~x sen sen(k(k + + ;lx/sen ) x/sen sen T

M <

TT

at

em

I

""n+q k=n+l ak sen kx

I < ;

para todo todo para

22

am+l <

< 4( •

nn ?;;;:. NN :: TT

a1

(+ 4( 4( = (2 ++ 4) 4) f ( (+

[O, xx EE (O,

TT

1 00

Nota tt# Nota m+l

>

TT

2x

x > TT. -2 >_..!..!....4 (m + 1)

óó

la desigualdad yy la 2 sen tt ;;) Ti t sen EJERClCIO ERClCIO

265 265

Demostrar en en [O, [O I 11TT)J que que Demostrar

para para

((uiii) viii)

. co

m

1 ak sen sen kx kx es es uniforme. uniforme. k=l

esto es. es, la la convergencia convergencia de de la la serie serie esto

Utilizar Utilizar

tt

am+l

sen

at ic

4(m + 1) a TT . m+ 1

De (v) (v) yy (viii) (viii) tenemos tenemos para para todo todo De I

,

( uii) ( vii)

22 x sen-¿

~

~

tt

=

TT

4 (m + 1) •

ee '"= QO

-n sen sen

W (i) lim lim

11.n e"n e

(8";O,TT). (OIO,u),

11.->00

t ii) La La convergencia (ii) (iii) (iiiJ

en (i) (i) no no es es un ilorm ee ni ni acotada. acotada. en

Es válida válida la la relación relación siguiente? ? ¿¿ Es l im lim

sen l'f17 nn e"e"nnsen

n···.. oo

o

fjf)

e

de = de

lim 11.n ee"- nn sen sen e dn d(J. (J • /fTT ' lím rJ--=-oo oo n-o<>

Solución (i) ,• (ti) (ii) w

Evidente. Evidente.

f TT

" n s en fJ

li m nn e-nsenfJ e d () ~~ [ " lim dO

.i iii) '(Ui)

oo

n~oc n-l>OO

e de w;;w

fTT n e" n sen o

w

esto es es ,, esto

.

11

at f em

dede

266 266

T1

i

o

D emo s trar que que lalasen sene e Demostrar 00

L

n=l n=l

O• o.

o

M

e" n sen e lim ( 11.n e"nsen8 lim n-e» o n--.oo El ERCIClO EJERCICIO

f 17oO elel()o

(l)n

-_"_ sen s en(.1(.1 ~-=-) ~..::_)

.¡n

e e/R, l)

l im lim

-17 sen lJe"lIsen"e/A.

11

11ll~oc ~ oc-

at ic

11 11

•

l1li

a1

.

converge ulliformemente uniformemente enen cualquier intervalo intervalo acotado, acotado, pero pero nono co nuer g e converge co 1 uniformemente enen RR1• m uniformemente • Solución Solución [/] Consideremos Consideremos ununintervalo intervalo (.["a,al: [I} a, al: sen (1(1++11.L) _ sen (1 + __E_J sen n n +

)

=

2 cos [ 1 +- x( 2n +- 1) 21l( n

+

1)

1 sen

:::-..,..x_--:-:"", Zn (n + 1)

luego: luego: x) - sen. (1 +--1)'< x '\ 21 sen 2 x( )1) Ii:;'+Isen(l _ senU+ n+' )1< 2\seIl2'~ \ sen ( 1+x n IIn+1 11.+'

Entonces lalasuma suma parcial dede lala serie serie Entonces

L"" 11=1

("1)'1

sen (1.;. ~)

IIrl+l

(Ixl

n i n«

.'

aa

1) ':- -(--' -1) ni n+ s-1)i •r , n(1l

y tiende 1 ¡! es decreciente decreciente tiende a cero, cero. 1n por el criterio criterio de Dirichlet Dirichlét la serie serie converge converge unifornlf!mente uniformemente en ('¡'l, (oGl. al. a l.

es emente acotada. es uniformemente acotada.

!

Como Como

[/11 [Ill Sea N N cualquier nÚmero número natural natural dado, dado. si m m > > N N para x =-= 1Tm(m n mtm

c

1) l)

terlf?mos t en emo s : (. !)m

- - - s en (1 + ~ ) "1 m m

1 sen 1 -

x (ol)m+l1 ( l ) m.,- 1(o -'--'-sen ((1 1 ++--¡) ~) '" _o__ --m + 1 ...¡;;;:¡ 'l/m + 1

. ...;:..;..:.:.--

¡l" l)1lI

sen 1 1 sen J=-. ~

seJl seu

II++ 11

o

_

",--;¡¡-;-r ,• 'I/!i!+1

en general: sen ( 1 ~

Si .. Si

kk

~

ww

m-w

.

M

o_I_ "[m • k

entollces en tal/ce s

!

s en Sea S"a

1 ~ tr k (k m +k o

2"1 vm

No No

111

at

<

em

por lo lo tanlo tanto: :

1)! >

k (k

tr :..:....:.-'--:-'-. o 1) 17

at ic

(ii) (ji)

s en 11 sen

a1

entonces tenemos: (i) y)' (U) (ii) tenemos: en ton c es de (i)

(ol)m~.kk x 1 sen 1 sen )) II > seu srm +• --'--"-'-- sen __1+ +--+. 1::>I k=o L ",-----;:-sen (1 ( 1 ++ ~ > ._. ni +k k=ovm-Lk m+k Aim ~ N 1) --"'-m+No

V

E sto es Esto es •• la la serie serie

uniforme

11

Sea

(x]

_ (sen 2

vm

1)

~~==

s en 1 sen

om

~~(m-:x;).

Jfli + tfiñ

2

l1li

267 267

la la parte parte fraccionaria fraccionaria de de xx ,• sea sea

f (x) (x)

.

+-="'Im+No c

satisface e la condición condición de Cauchy paTa para la convergencia conuer g enci a

110 110

en en R .••

El ERC/CID ERCIC/O

(i)

1+

No

> (sen

I

+k

LOO ::>00

==

n=1 n=1

(nx]

---;;r .

encontrar en con trar todos los los puntos puntos de de disc011tinuidad discontinuidad de de

f. f.

Solución 1 Primero, ente en Primero, se se observa observa que la seríe serie converge converge uniform:mente en R R1 (el ( el clj

terío terio M M de

Weierstrass). Weierstrass).

Para cada cada n fijo, I la función

o

±

n

(nxJ (nxJ es discontinua discontinua en

(ver la {igura) figura)

n:ll···

#

entonces todos los los números números irracionales. irracionales. entonces If es continua continua en en todos Sea

== = p/ q

Xo

o

(en (en forma irreducible, irreducible, PI p, q enteros, enteros. q> O O ) •,

(nxJ

/

ww

w

n

(nxJ

.

M

em

n

es es discontinua discontinua en en 1(:,;) [I x) === 2~

at

lE.:9-

q,rn q,rn

at ic

o si si qq divide divide aa n. n ; Tenemos Tenemos entonces: entonces:

X

n

+ ~.00 k= 11

(k1X~ (kr~ kk

a1

(i)

. co

donde continua en donde la la primera suma sum a representa representa una una función función continua en xxo•· o " oc 00

2~

(kqxQJ

00

v»

k= k=1

~

k=1

i»: 2 2 k q

oc 00 (qxJ (kqxJ (qxJ lim lim 1--2-+ 1--2-+ 2~ k2 q2 k=2 X4X· k=2 qq o

00 00 (kqxJ (kqxJ lim lim 2~ 2 22 k=1 k 2 q x....XO k==l

::::

lim

(qx-:J 2 q

m

O O ""= O 2~ O

I

11

=---¿ > O. =----¿>O. qq

Esto Esto es es ,, la la segunda suma suma en en (i) (i) es es una una función discontinua discontinua en en x."" x > XXoo '' por lo lo tanto tanto

If

es es discontinua discontinua en en xx == xXoo ',oo sea sea que que cualquier cualquier número número racional racional es es punto de de discontinuidad discontinuidad de de la la función función f. f •

•

l1li

EJERCICIO CIClO

268 268

Sea Sea

;: t

1O·O

sisi x x~ ~ O O sisi x x> >O O •

1( x) = ( 1 [(x) 1

.

unasucesión sucesión dede diferentes diferentes puntos pun tosdede (a,(a,b)b) y sisi SiSi IXn I 1esesuna Y verge, demostrar demostrar que: que: verge,

i co_!? ¡ ~ ¡cn1 co..!!

00

j(x) = ~ cnI(x· l i x -x xn) converge uniformemente un iform em ente enen[a,[a,b]. b1. ¡(x);::: ) converge n= 1 n n"'l x -1lxn ' n =1,2,3, 1,2,3,••• ••. (ii) I(x) f(x) esescontinua continua enen x Gi) . n;::: serie (i)(i) lalaserie

(íii) ElElsalto salto dede (iii)

j enen

I

xn eses

cn'

il j es de variación acotada en [a, s l. (iv)$ Civl / es de variación acotada en b 1.

Solución (i)

Evidente

ww

ya que

w

(i), evidente. evidente. (ii) DeDe W. (ii) (iii)

j(x) ;::: I(x)

=

c

n

l(x-

x) n

.

M + ~

[e

at

k-ln

n

i.

em

ck l Ix

»

(Criterio

M de Weierstrass)

xk)'

at ic

entonces elelsalto sal lodede f. f enen I. ck 1 (x - xk) es continu a en xn ..'entonces k 1.12 es igual a cn •' oo sea sea xxn n es igual a Como

(iv) Sea Sea (iv)

a1

. co

m

g(x) ;:::

entonces gg es es creciente. creciente. entonces

¡ "" (jckl-

b(x) '" g(x) - f(x)

k=I es también también creciente, creciente, luego es luego

g(x) -- h(x) h(x) es es de de variación variación acotada. acotada • f(x) ;:::= g(x) I(x)

•

111

EJ ERClCIO EJERCICIO

269 íB$ 269

Sea {gn Ignl .una sucesión de de lU71rHl12 funciones Sea l un a sucesión que :: que dado dado

1: €

>>

de variaciÓn uariacion acotada acotada en en [a, [a, bb]1 tal tal de

existe NN tal tal que que OO existe

n • kk n.

>>

NN

implica implica

t«; -- !lb) g¡,,) vv (!l~

1:. << <.

Demostrar que que existe existe Ulla una función función de variación uari acion (lcotada, acotada, g, tal tal que que Demostrar de g, V( gn - g)

_, O.

•••) ) indica indica la NOTt\A : : VV ( (... la variación variación total total de de ((... ... )) en en r[a, b]. NOT a, b1. Solució;¡ Solución Sea Sea

h (X) n

=

g (x) - g (a)

n

en ton c es li!nton ces

n

luego, si si n, 11, tenemos: luego, kk > NN tenemos

lh (x) , 11

- bk(x)

!'

\h,l(x)

- bk(x) - h 11 (a).

f.,k( aU .',

.i,

.: l/eh F (h 11-h - hk) k.). . 11

-, <. t.

es, , ¡hn ¡ satisface la la cOlldició¡; co o di cioc de de eCallcb) para para 1la c on rcrg en ci a Esto es el COII Esto [orm e en en [a, [a, bl. bl. por por lolo tanto tanto existe existe gg tal tal '¡Uí:' que fom¡e

ww

w

(x) gg(x)

=

.

M

.;:;:-X;

T enemas para para n11 >> NN Tenemos -g)

V

V

xx

paratodo todo para

II

Esto eses• , Esto V (gil

Oo

g)

¡:=

~

em V(!>

-g+

que yayaque Ti' (h

at

l im b (x) lim 11 n

11

1I1!!.

la. hh].l. la.

a- t ic g)

k k

11.

1/ ,

( 11 ~ ,,-)

(II~"-).

•

as.1 S.

. co

m

además, g g esesdedel'ariacióll uari ac ionacotada acotada yayaque qu e g g además.

- g) • 11

EROClO 270 270e ffi ElEJ ERCIClO Sea / i continua continua enen [a, Sea . bl.bl.

SI

si

¡gil

l

es u u a su ce s i on de

uari acotada tales tales que que !'ar; aelaci ónonacotada ( A) ( A)

VV

's11)

<,

"

.

...

todo n n"1) 1•2. ( paratodo ,\1 ,\( ( para 2, . ~ •

\1

esunUIIti

\(

'/1/:, :"'/}('S

de

ti Cf)J/ ~ IUIf/<,'i* (-¡-itl..,

(

.

g (x) para paratodo todo x x -la.la.b \b ¡ (B)(B)g gil(x)(x) g (:d 11 demostrar que: que : demostrar h h b [L x) el g tx) l i m I f (:d / (x)d g,/ dg,/x) f{x) el g(x) • litl! x) I Il-"(X, a a a el n'''--x.

r

•

4.11

411

NOT A Si

¡ satisface la condición condición (A) (A) se dice dice que la sucesron es

!gn

de variación uniformemen te acotada. uniformemente Solución (i)

[a, [a. b 1 :

Dada una partición partición del inten'alo in t erralo

aa =

Xo • Xl'

::=

, xk' 1 '"•••• •

•••

b

tenemos

2-~

m m !g.(xk) f

k=l k=l

- g.(xk ¡) T -

Tomando Tomando límite límite cuando cuando

k=I

:g(xk)

w

-

.

¡

v (g) b

ra b I(x) / (x) d g( x) -

1 [

¡(x) -1

<~ M.

at

_;;" M.

b ~ [Ix)

(para todo í). [ l ,

tenemos: tenemos:

M

g(xk_l)

oo sea: sea:

(U) (ii)

!T

~ <Xl co

ww

T1'

~

í

,::_: M M <

V(g.) V(g,)

~

em

dg{d!

( x)

at ic

I(x) d g/x)

-1

!

a1 1

. co

m

]I ¡ d g(x) I m + I=ll/(xk)ilg(xk)-g(xk-l)-g/xk) + g¡(xk_¡J!

Como Como If es uniformemente continua en (a, b] , dado e > o O si la norma norma ' ,. #Nota de es d e la 1a partición parucion suficientemente pequeña -tenemos: tenemos:

-"

I

k~ 1

I

fXk l/ex) _ /(xk) ldg (x) xk _ 1

< (f

V(g) V (g)

~ ~

ff

M ,

(78)

de la misma misma maneTa: manera:

L

m

If

k=I

xk

I/(x)

l dg.(x) I ~ e V(g,,) ~ e

- /(xk)

xk_I

M •

(79) (79)

1

También: También: (k=O,1,2, •• (k=0,1,2, ••

,m) ,m)

entonces entonces existe existe N N tal que j

.> ?

ww

N implica

w

por lo tanto tanto

C

L

m

k= 1

.

M

< < _f_ .s: m

at

em

l~+.!...l= m

at ic

De De (77), trn , (78). (78) , (79) (79) Y Y (80). (80), si si j

bb

aa

f/(x)dg(x)(x) d g ( x)

f

-,

j

b

a

!f

fa f (x) (x) a

I <

.

22é(M+C), ((M C), c

om

d g (x) (x) •• _ ..

Nota

\t\t-sl - sI < j

[i x) dg/x)

bb

a1

N N tenemos: tenemos:

b

f( x)

Dado Dado (( >> O O

1j

>

a

oo sea sea ¡

f

(80) (80)

2Cé.

m

donde donde C C es es una una cota cota de de f/ en en [a. fa, hbl.

1Iff

(para O, 1, (para todo k =0, 1, •• oo,, m ~~

Tomemos Tomemos ::

existe existe

i5fi

O fi tal tal que que implica

\/(t) I/(t) •- fes) fes) 1I <

M •1) Máximo (xk - xk_l)

k

Ef. •

< o. fi. 413 413

271$e 271

EJERCICIO RRClCIO

Sea Infn derivable derivable en en (a, Ca.b)b ) , sisi lala suma suma parcial parcial de de lala serie serie Sea

~f'(des ~/'(des 1/

I

11

ente el!en (a, bJ. b) , de (:c) converge converge p un tu al mente uniformemente acotada y y sisi ~2:I f (.d emente acotada nn que ¡ L f fn converge converge uniformemente uniformemente enen (a, (a, b)b) • •(BendixolI) t Ben dixon ) mostrar que mostrar n Solución SoluciÓn tal que que Sea MAl tal Sea m

L j'(x)!<M J' (x) I < Al n

n=1 n n=l

todo x x • •todo todo m. m. para todo para

" '-""

Dado ( e >> OO consideremos consideremos una unapartición partición del del intervalo intervalo Dado aa

tal que que tal

xl' = X oXo • •xl'

.. ••.• 11

..

w

oo

nn

I

<<wtiwd4M 4M

Xk - Xkxk.1 -1

Comolalaserie serie Como

xk'

,

.

•••

,..

,.

M

Ol

[a. blb1: .'

=bb

,

para todo todo k. k. para

L_ Inf (xk) (xk) converge converge para para todo todo k, k. existe existe NN tal tal que que n= 1 n n-1

at

em

> NN implica implica

e

<2

todo k:= k ~0,1, 0.1, ....,m) para todo ,m) . para ( (para todo q= q-I,2, .... para todo 1,2, ••••

at ic

ti)(i)

Xk 1 para para algún algún k, k, aplicando aplicando xx EE [xk.1' _1'Xk1 n--q n+q teorema del del valor valor m medio ala ¡un función L se tiene: tiene: teorema edio ala ción I¡. se

Si Si

b) entonces entonces xx EE (a, b)

ll+q ~ f·(x)-~ j=n+l'

n+q

f,(xk.1) 7=n+1 ,

j =n + J1 í7 n+q

a1

. rf(eJ(x.xk.¡)' (eH x • ,=n+1 =n+1 J7 L.

luego: luego:

. co

• 1) ,

m

~ 1 (

2M_L ~ 2++ 2M 4M Nota ## Nota

n+q

L

j=n+11

n+q

n+q L I ¡;0= j = 11

rnJ1 1I -.::~

n+q n+q

L II ~1= i= 11

rr1 J

# Nota fe •

nn

- ¡L fn7 ¡I j= 11 1 n

r1 1I ++ II Lt= 11 JjrJ II

f~J

<

.;f:

M. 22 M.

•

111

el el

EJERCICIO EJERCICIO

272 272 oo

Sea Sea

<"

.1

I(x} j(x) =

n=o n=o

una serie de potencias potencias convergente convergente una serie ra todo todo

Ix\ Ixl <<

Ixl < rr

(r:J (r f O O ) • Si

I(x) j(x) == O O P.E.

=

'" O O, ,

aan n

en

demostrar demostrar que :.'

rr

n , 2,3, ••• n I 1,2,3, •••

Solución

(lo ao

=

=:

ya ya que

O O

Supongamos Supongamos que

=

aao o

j(O) j(O)

L

w

= ¡.1

existe existe

[xl ¡xl < O O

M

s

!'

00

at

an-tk x

k

1

=O O .•

at ic

"" a kk~1 ~ :.... :l"" kk= 11 an+ n+

implica

"

i )!

all

> > ./ /

1

(~)n 2

entollces en ton c es se se tiene tiene que que

an

, a!

n'

1 an+k

Sea Sea

1 • < I'anl,

)k

a1

)I

. co

m

_ i ¡"" ak a k (21i k==11 n+ n+

= O. O.

para todo paratodo

EJERCICIO

rr, , luego .'

em

por lo lo tanto: tanto .'

I f(

¡xi Ixl <

es es continua continua en

tal tal que

(j

an .1 = O n.1 O •, entonces entonces .'

x+

k = 11

X40 X-<J

Si an'¡':J O O

.

k=l lim

=

=

al

+ww La La junciÓn [uncion

= O O = = a"o o..

)k )k!, i

!¡ >

O O (absurdo! (absurdo U)

Luego: Luego: n=0,1,2, ••• n=0,1,2, •••

•

111

273 273 n=o n=o

an

X

II

tal tal que que

+ A an.¡ aan .1 ++ BB an.2 .2 n +.4

= oO ((nn == 2, 3.4, 3,4, ••• •••

,, A, B B son comstalltesJ co nst ant esl

Demostrar Demostrar que que para todo todo x en en que que la la serie serie converge, converge, la la suma total es es igual .

415 415

aa

+ (a 1 +

ao

A ao)x x

l+Ax+

Bx

Solución Sea

=

bn

an xn entonces entonces sesetiene: tiene:

sea: o osea:

donde donde

-A x, e c+ +d d'" =- A x,

2 edcd =B B x •

tanto: Porlolotanto: Por

ww

w

donde dededonde

N ~ n=I

b n

.

M

NN

at

N

c 2._ 1 bn _ 1 =(bl-eb = (b 1 - c b)0n=l ) 2. d n-l dn - 1 el n1

n==I

em

•

o n= 1

at ic

Si la la serie serie converge, converge, Si

.... sS

b

n= 1 n

luego: luego:

a1

b 1 - c ha

ss

. co

m

b

sea oo sea

(N ... oo) ,

_!:_p_

+ (1 - c)( 1 - d) + 11•- cc b1

+dJ+cd

+

boll_{c+d)l II-(c+d)! 1 (e + d) ++ cd cd 1- (c+d)

a 1x + ao (1 + A x)

1 + Ax + B x

2 •

•

11

EJERCICIO

774 Z74 D'emostr ar que: que : D.emostrar

1 1 + aa - a+b+a+2b-a+3b+ a+

a+

a+

+ .. .... ti

..

11

::=

fo

ta-I1

1 1

+

i

dI dt

(a,I hb >> O), O J. (a

Solución ( l)n.nb . +t 2b _- •..••• ++-(_1)n f" (lb ++ :•.. ••

!,

tenemos: << 11 tenemos:

si xx si

(x

foo

a-l ~ 1+ t

xxaa ~ xa+b + xa+2b __ x_a+_3b_+ ••••• a+ b a+ 2b a + 3 b + " " " .... aa

dt dt :::

Tomando limite límite cuando cuando xx -> 1-1- :: Tomando ta-11 11 11 J ~dt +----+ -- - - + ••.• foo . + t dI - 71--a+2b a +b a+2b a + 3b -,>

la serie serie del del segundo segundo miembro miembro converge converge (TéoTema (Teorema de de Abel Abel )) •••111 puesto que que la puesto

EJERCICIO EJERCICIO

ww

w

Z75 275

(i) Demostrar Demostrar el el siguiente (i)

L

¡lag

(J.

.

M

at

Ixl << Ixl

desarrollo en en desarrollo

xJl2 =

+

2

em

(1+

+

1: 1: (1+

at ic

+ ........

+

t ii) Demostrar Demostrar que queelelresultado resultado esesválido válido enen x x==.1, == - 1. (iiJ Solución Solución log(1(1• •x)x) =o W(i) log

1 -1 •x x

X

x2 ) x+-+ 2 + +-3 + + ••••• 234

1+ x +

+

+

1

1)2

lag (1. x) = x + (1 +-2

2 ; flog 110g(1-x)¡2 ( J • x) I

unSiSi x x

X'

+ ( 1 +21 +3I)~.x + +......

1 xx lo g (1 - t) dt f Jo _-1· tlog(I·tJdt

°

1- t

+ (1 + (ti)

. co

m

luego :' 1- x

a1

+ (l +

+

=·1·1 sesetiene tiene lalaserie: serie:

417 417

1 +

1 n

+ •.•

)-+

Pero :: Pero

1 + ;;-:-y eu ton c e s ell/otlces

por por

:

I)'i ((1 ••. ++ _1_ ) (.(. 1)" 1 ++ ••. n» 11 n'

".~

1 C + O (n )

log n +

L

I. (_1)n lOngn +:¿ (_1)n

C'1++ ::E ¡O(-!;¿n)

11

lo tallto t an to la la serie s eri e converge. converge Del teorema teorema de de Abel Abel. • el el desarrollo desarrollo es es váli lo Del

do e/l ('1/ do xX

= -. 11

:

1 1 -"2 lag log 22 = 2" F.] F.RC/UO EJ UO

(1

1)

+ 2"

ww

w

276 276

.

"31

1.1

M

'\-

n11=0 o

aatin xx11Jl

•

at I(

lim lim.

xx ->... 11

n"'o

1-x

1) - [(x).

00 00

1- x

11 (

1-

x)

(n

:¿ ::E

1• x

1_

1 • xli

+ 1¿(1-

x)

n (n

convergen. nn an convergen.

at ic

... + 1)( 1 -

a1

n n (1- x)

n

+x

«

l

-nx

n¡

x)

. co

m

(1- xn ) + ( x- xli) + ... + ( x n «] - x n) n (n + 1 )

Aplicando el el criterio criterio de Abel Abe/till Nota. , la la serie serie Aplicando 00 00 a na(l.~) L L ~(1 + x+ ••• ec 1 n (1 • x) nn-=1 n= 1 n cOllverge uni Iormem ente converge x '"oc; 11 ::

I( lim 1xx ->... 1-

en [O. (O, en

+ x

I( [( 1) 1) --

>O •

[St ')

O ~x~1

n -1)

f(x) I(x) 11 __ x

11. entonces entonces 11,

es continua continua en en es

I(x) 1_ x

1) -

#11 Nota

1 _ xli n( 1 - x)

Sea Sea

n a (1 _ xn)

nn=11

( 1-x11+x+ )

Xli + 1

•

em

1) - {(x)

SoluciÓn

I(

::E¡

v an yy

demostrar que que demostrar

n

.

111

Supongamos que que las las dos dos series series Supongamos [t ») =

1

3' )) 4 - . . .

+ (1 + 2 +

n

+ x

n -1 .1 ~

1

en

x E E

to , 11 Z1 ••• 11 ro.

Algunas apJlIC¡lCl'on<~s aplicaciones de sucesiones Algunas de

§§ 39

de de

funciones funciones

Teorema de de aproximación aproximación de de Weierstrass Weierstcass Teorema

una función función continua continua en en un un intervalo compacto compacto puepueSegún Weierstrass Weierstcass, , una como se se qul quiera, sea: de ser ser aproximada aproximada por poc polinomios polinomios tanto tanto como de era, oo sea: TEOREM.A TBORBMA

42 (Teorema (Teorema de de aproximación aproximación de de Weierstrass) Weierstrass) 42

Sea I/ coonClua conunua en en (a, (a, b] b 1 ,, dado dado (( > > OO cualquiera cualquiera existe un un polipolinormo PP tal que que nomiO tal

I / (x) -- P(x} P (x) II < < ee I/(x)

(a, b] b1 xx EE- [a,

para todo todo para

También puede expresarse como sigue:

w

M

Dada una función / ,wcontinua en w mIOS

.

I/n I tal que ~

f

r a, bl • existe

una sucesión de polinq

at

uniformemente en [a, b].

em

La demostración del teorema 42 es es sumamente sumamente sencilla sencilla si si utilizamos utilizamos í!! ~ gunos conocimientos sobre series de Fourier (Teorema de Féjer), sin em, directa eses siempre siempre complicada complicada ~ Aquí Aquí"'''''''rr,,>~ daremos dos dos d~ bargo la demostración demostración directa bargo rot alrneure distintas, dis ti ntas " mostracrones [O¡almenre mostraciones

at ic

DemostraciÓn Para mayor mayor sencillez se u ci ll e z supongamos su po ngamo s que: que: Para

[ [a,a, bb11

(O I 1] • I (0,1]

yy

/(1) /(0) = f(!) ¡(O)::::

Sea Sea

(x) ¡*t' (x)

que tiene que se tiene Yy se

/

r•

=oO;;

1 t

~

f (x)

f:X) O

o

a1

. co

m

_--

11 # Nota

# Nota 22

sisí

ro, x x E'0- (O.

sisi

xx

IlIl

f (O.(O, nl) %

1 =(000, 'l . uniformemente continua en RR1 es unt¡ormemente es contInua en

)

. 419 419

Consideremos el siguiente siguiente polinomio Consideremos polinomio ºn (x) C"

C

n

(1) (1)

(n=I,2,3, ••.• ( n = l , 2 . 3 , ••.•

" (1 _ x2)n

constante en cn es determinado determinado por donde la constante 1

e-n (x) +n

f

•f1 -1

dx

1

=: '"

( 2)

•

o sea sea ( x == se senti (}() ))

17/2 2 11 1112 cn ff e ocos n+ fJ() de de 2 en s n+ o

ww

w

luego tenemos tenemos luego

.

M

1

1

1 ' 3 • 5 • • • (2n + 1) 2.2·4·6 • 2n

at

em

. ald. a d ti11No/a 3 :, Utilizando Nota 1 ---, d esegu Utilizando la desigualdad x2)n (( J1•• x2)n tenemos

la siguiente

>. :;; :/

at t·l, 11 ic a1

nx2 1 • n:i

evaluación

de

1

2

'11{íi

fo

(l. n x

r-l,

en

coe/idtmltJ/5

10$

:2

?:. 2 J (1.

n x ) dx

2

1

o

~

x E

=-

) dx

4

31ñ

>

-

1

1ñ'

. co

m

o sea

(4) Sea (5)

por un cambio de variable variable x + + t

x+l x+l

JIxJI x' esto esto es, es.

P n(x) Pn(x)

es es

= =

s se tiene tiene

"• [t s) Qn(s-x)ds Qn(s.x)ds !(s) un polinomio polinomio de de

= fJ

=:

1 1

o o

ls)Q(s.x) ds; ls)Q(s-x) dSi n n

Ahora x • Ahora,

I

vamos demostrar vamos a demostrar

que

yy

[O,1]. 1]. enen [O,

=»:

continuidad uní/o!. Por lalacontinuidad Por m e dede me

dado ¡:t:dado

f

e >> OO

[I x} =OO ¡(x) sixE(O,Z] síxE(O,Il

exis te 8 O tal talque que existe

I tiI II <

implica implica

o

x-l • .1-.1 x-l

(por (2) (2)y y(5) (5)) ).. : Tenemos (por Tenemos

x

PIPIG.G. 7272

..

IP n (x)

- [t x)

1 ..

1.... 1".. -¡Ix)) [(x)]

[/Ix+t) ! fI• J1-1 fllx+!).

ww

-8...

J -1

1

..

"[I x w t} Qn(l) - J 1 "[(x) Q (1) dI I I '" I fI -1 J1 /(x+tJ f4z(/) - f -1 ¡(x) Q,/t) dI ¡ 12 •1 •1

I¡(x+t)

w

.

1

M

- j(x)

1

Q (1)dIdtI I~~ f J ~(t) n • 1-1

__ " 1[(x+I) -¡ix) - ¡ix)I In (.t)didI I¡(x+t) f4z(t) ~

0...

I ~(I)

dI +

at

1 -o

I!IX+I)

- [(x)

em

"' 1 1...lO' .. + ~ I¡(x+e). I[(x+t) -/(x) !(x) + ~

r-l,-~] ,ó[o,l1 ,ó [0,11 EnEn r·l,.~]

Q,z( x)

existe NN tal tal que que existe IQ

I

IIQ'/I) n (t) 1

(J.

(J. (;2)n

.$

8tH

ara todo todo PPara

.

-o .. .. " f-1-o I!(x+t)· I/(x+t) - /(x) [t x) ¡I ºn(t) Q (1) dt dt n ~f¡

[- 1, 1, xx EE (.

1/(x)l.

el valor valor m máximo de lIfM '"= el áximo de

2M 2M _( 8~ 8M

-8 ·8

[1[1

dt dt

->

O (n->oo),

a1

.c

om (o, 1]1] oo11V\) (o,

Así:

I¡(xl! • Así

00.. .{)

J 11[(x+t)1

~

!1

~

o

1

I

'----.r--'

.r. //\

~

(7) (7)

(ó en en [8,1]), [0.1]), luego (ó

im pl ic a nn ;;:.~ NN implica

.s: << _t_ 8M

Qn(t) dI. I Iºit) dI,

tenemos: dede (4)(4) tenemos:

Qn ... O O uniformemente uniformemente en [-1,-0] [-1,-8] ºn'" en

o se a-que oseaque

donde donde

at ic

I Qn (1) dI

<<

+ [1[1 (

oo

Al M dt dt

=

.

.. 1/(x)1 I! ºn(t) Qn(l) di dt ++ .....__,._...------..--I/(x)! '--r-' ~ ,,\ 1(\ 1/\ lA M (~M M (ÁlM f

e

4,

(8) (8)

421

de la forma : la misma misma forma:

í1"!f(x+ t)

• - f(x)!

(9 )

< ;

Qn(t) dt

Por otra parte, de (6) tenemos: Por otra parte, tenemos: 11

JJ 1 •.1

Q (t) di Qn(t) n

= = (e 2' 2'

(10) ( 10)

Reemplazando las (8), Reemplazando las desigualdades desigualdades (8), (9) Y Y (10) en (7) tenemos tenemos :

IP nn(x) (x)

I

•• •- f(x)! /(x)

<

(( t (

+ - + -ff 2 4

4.4-

= =

ff

,,

o sea sea que que

Pn # Nota Nota

...

->

wwf /

w

.

1

Por el cambio Por cambio

x=:

M

uniformemente [o , 11. 1], uniformemente en lO,

[O, 1]. [0,1].

en

at

x·a b· a

se se

at ic

definida por : definida por

g(x) =: = [t x) » ¡rO) feO) - x [¡rO [f(1) - f(O) g(xJ /(x). /(0)11

,

entonces entonces g(O) g(O) =:= g (1)

:::: =

O. O,

Si obtenemos sucesión de polinomios polinomios obtenemos un unaa sucesión

a1

Ig n ! tal Ignl tal que

uniformeme11te tmiformemente se se

(a, (a, b 1 1

puede transformar puede transformar el intervalo intervalo

em

# Nota Nota 2

Considerando /undón g Considerando la la fundón

• 111

en

. co

m

[a, [a, bb]1,,

tiene sucesión de polinomio polinomio s !in II tiene la la sucesión ~ x) ~ [i I(x)

fn(x)=gn(x)+f(0)+x(j(1)-f(0)l fn(x) == gn(x) + 1(0) + x(¡(1) - /(0)1


ra,á. b Li, í

Nota.1.1 # .Nota Sea Sea

h(t) h (t) = (1(1 • tJrI tJTI • - (1(1 • nt) nt )

.r

h 'I (t) === n-n n n ( 1 • t) n • 1 >

porlo tanto se tiene parlo tanto se tiene que

4221

= =

n

entonces entonces

rr 1 _

h(t);;: h(t).:;: O

h(O):::: h(O) = O, O,

(1. (1 • t)n t)n· - 1] 1] ;;. ;::. O

para para

si si

t E l1li E rO,1]. rO,11. •

O <; ~ tt <; ~ 1,

PaTa mayor sencillez supongamos supongamos que Para mayor sencillez que

If(x) I .:$. I/(x) ~

Consideremos polinomio s de gr grado Consideremos tos los polinomio ado

n :

en

[0,1]. [0.1].

(k=0,1,2, (k=0.1.2 ••••• ·.,n), ·•• n). vamos vamos a demostrar demostrar que que

f (x)'= L (x) n

'=o

n

k=o k=o

f(kln) wk(x) /(kln) k(x)

uniformemente en [0,1]. uniformemente [0.1].

/f

-> -->

'

Primero, demostremos siguiente identidad: Primero. demostremos la la siguiente identidad:

L

n

k=o k=o

(k - n nx) x}

2

Pk(x) 1k(x)

= x). = llx(I· nx i l x).

(11)

»

Del desarrollo Del desarrollo binomial: binomial :

ww

M

derivando derivando con respecto respecto a wx una una y dos dos veces veces y multiplicando multiplicando 2 respectivamente x respectivamente se ti ene: elle:

.

por x por

y

at

em

En (12), (12). (13) (13) Y (14) (14)

tomando tomando

y '"= 11 - x

at ic L

>

1)x2=

Ln

k(k-

k=o

J)(ll)xk(1_

k

x)n-k

. co

( 15) 15)

m

n

k=o

nin

a1

ten ernos emos :

k c?k(x)

= Ln

k=o

(16)

k (k - 1) o/k( x). (17)

Tenemos, po r lo tanto: Tenemos. por tanto:

L

tl)

k=o

ile": - 2kflX +

2 2 11

X

) c?k(x)

423

2n rk(k - 1) + k(1 - Znx ) + n 2 x 2] r?k(x) k=o nx (1 • x).

continuidad uniforme uniforme dede ¡ / enen [0,1] [O, 1) ,dado ,dado Porlalacontinuidad Por

11

(> existe 8 1)tal tal > OO existe

f

que que

Ix-yl

< O

e 2 2

1/( x)• -ley) I(y) I I << I/(x)

implica implica

( 18) ( lB)

l'

De (15) (15) tenemos: tenemos: De n

[Lx)- ¡(x)

2

/(kln)

~k(x)

ww

k=o

w

.

M

.,

!,/ 2.

at

k=o

- f(kln)

I/(x)

em

n

suma Separamos lalasuma Separamos

n

2

2

I ?k( x)

dos sumas sumas (19) .enendos enen (19)

k=o =0

= la suma para todos los

at ic

k

(19) ( 19)

k'2' y y k'l:

1#- xl

tales que

< R ,

2/1 = la la sum suma para todos todos los los kk tales tales que que I ~ - xl;; a para entonces :: entonces

1

1!(x)

1

I

- f(.k,ln) l1>k(x)

~f II(

a1

x) - /(kln)

.

co xJ I 1'k(

1\

R

(

m

,

(20) (20)

._f (

22 (por (15)) (15)) (por

(12 (por (por (18» (18) ) También : También:

r

" /1 I/(x) --/(kln) ~k(X) II .::; k2 ¡I/(x) 1+ I/(kln) I ! r?k(x) ~ II k l/ex) !(kln) II~k(X) ~ k '----... ,--------' 1I ~k(x) .(. l.

.

11

k

k

//\ 1/\

22

pero como como pero

I! - xl x I ~ f¡f; ~ (k -

IIX)

(no)2

se tiene: tiene: ,I se

2

>> /'

/'

11 ,,

22

"

2 k( ~k(X) x) k

LL L2-

kk

I j

Tk1x) 1'k' xJ <-.:;.

'" ,,"' ..... , cfk( rfk(x) x) (n8)0)2 (n

2L .2.2kk

<--2 }; .(k(k ••nx).c. nx)" cfk( rfk(x)x) ..:s<, (no)2 k (n[}) k

11#

n 22 22 2 (k· n x} 2 cfk(x) rfk(x) =--2 nx (1. x) x } .:s ~~ nx(l· ~ {no)2 k=o (k· (n8)2 (nñ) (por (11) (11) )

11

./

Sitomamos tomamos Si

(21) (21)

grande para para que suficientemente que su¡icientemellte grande

n11

!

I

f <_!_

(ó (ó

22

(2n

l

de de

2n 82

1f.r2l.!!

n71>(;;;2)' >

11 )

,

(

(19),J (20) (20) YY (21) (21) tellemos: tenemos (19) n71

I/(x) -¡¡(x)

2:L

k=o k=o

11# Nota

ww

Obsérvese que que Obsérvese

w

Sea Sea

<< ~f ++.!.... f 2

.

M

f(x) !(x)

e

x

at

2/

••••

+

donde donde

I R ni x) I

i-

e

e

X

" /l.

+ 11 +

n ·1 -1

1

k= 1

1

O ....... O

ff

•,

a1

(TI ....<Xl) •

. co

m

!gn(x) ¡: ¡g,/x)!:

~ k / k!

•

11

+ R (x) (x) + nTI

1) /

1/1

sucesión de de polinomios polinomios Así que la sucesión Así

t x) '" gg 111/(x)

n.11.

at ic

x n-1

+

n

[O, [O,

t

(n·

(,t)

en en

em1111

2 1 + x +~

= l'e

[O[O,

en en

entonces f( x) x) = !(

2

+

x ( 1•• x) x) .::;(~ x(J

135 135

EJ /iMPLa EJEMPLO

I

f(kln) 4>k(X)! !(khz)

uni formen/en te en en (0,11. [0,11.

otra par! p art ee, , PP n( r/ x) x) definida definida por (5) (5) es es : Por otra

PP 11 (x) Míentras que' ff ll M íentras que n

~

ee11ti

,,definida

1J

rIoo

,,1 et

r[1.1 _ {t(t·-

x) 21 y'rl x)2

dt , dI.

en la 1(/ seguNda segunda demostración, demostración, es: : es

('/1

425

f

(11)

2.,n ek/n

(x) '"

k=o

11

'" xe - x) }InIn. • I Ix ellnl/n.l- +( 1(1-x

-k xk(1(1- x),i-k

k

, Obsérvesequelastressucesiones Obsérvese que las tres sucesiones

!gnl, IP!Pnl, I/n! Ignl, n l.l!n l

sondiferentes di jeren tes '.•• son

teorema 42 nonoesesv válidopara paraintervalos intervalos nonoacotados acotados como comoveremos veremos enen ElElteorema siguiente elelsiguiente

ejemplo:

r:J EMPLO 136 o 136 [i x)==eXeX /(x)

Sea Sea dado dado

enen

(0) • • [O(O. ~ (0)

e>> OO sisi existiera existiera ununpolinomio polinomio P P(x) (x) talque tal que

l

II(x) -P(x) P(x)I ¡ << f I/(x).

tendría: sesetendría:

ww

w

I I1 _

I( x) I (x)

e

M

.I I

1 _ P( P(x)x) I (x)

Tom ando ,x x ... -)+00 +00 Tomando oc

ya 'Fe que ya .~

e

El

x

...

+00

(

~

P(:d

-;x

,

para todo x x E E[O, [O, (0)(0) paratodo

I 1-

eX

at

P(~

e

I

>

< f e para paratodo todo x x ¿. O.O.

em

(absurdo !)!) (absurdo

->... O

O

at ic

)".. (( xx->+oo -> + 00 )

a1

42 no no es es utilizable utilizable en en intervalos no no cerrados cerrados. , como como veremos veremos aa 42

teorema

continuación: continuación: EJEMPLO EJEMPLO

fe

. co

m

137 137

[l x} '"= /(x)

Sea Sea Dado Dado

'ti

+

(O,I (O

en en

1]. 1].

si existiera existiera un un polinomio polinomio P( P(x) tal que que >> OO si x) tal

I ~ --

P(x) x) P(

II <<

tomando el el limite límite cuando cuan do tomando

++ 00

00

EJERCICIO EJERCICIO

= ++ 00 00

•-

prO) prO)

xx

fe

-> ->

~ ..::;

para todo todo para

(O, 1] 1] xx EE (O,

0+ 0+ fe

(absurdo!) ... •• (absurdo!)

Z77 Z77

Sea /I continua con tinu a en en [a, (a, bb1, 1, demostrar demostrar que que existe existe una una sucesión de de poUpoli. Sea

l.i ."., PP l si •s-n

/

n

nri-+oO .... OO

en

[a, b ].

Sugerencia

La La convergencia convergencia uniforme

implica la la convergencia convergencia implica

en media media en fa, bbl.. cm L.

278 Z78

El ERCIClO

Sea Sea ¡/ ánltinua continua en (O, [O, 1] 1],, si si

foo

J1

¡(x) /(x) xn dx = O

(para (para todo n = 0,1,2, 0,1. 2•••. •••

)).,

n.


I(x) /( x) = O O en en [O, [O. r}.

Soluciá,l SoluciÓn Dado

> O O existe existe un 'WL1.nr:,m polinom io P(:d P( x) tal que·· que

ée

ww

oo sea sea que que si si

f( /( x) x)

M

w<

1/(x).P(x)1 1/(x),P(x)1

= P( P(x) x)

.

(e paratodo p ara to do x F fo, 1] 1] ,•

++ Q( Q( x) x)

C01I < (e" IQ IQ(x)

em

y tenemos tenemos que que

f

1 [/(x)]2

dx

o

~

f

at

1

af t ic 11

P(x)/(x)dx P(x) [i x) dx +

'-::~

______.--/ .c:> 1111

#Nota ItNata

Q(x)l(x)dx, Q(x) [I x) dx,

oo

O O

luego: luego:

11

Jf

oo

oo

Q(x) Q( x) ¡(x) /( x) dx dx .;S

< (e Como Como

e

(

es cualquiera 1

JJo

y

1/(x)1 1/(x)1

2 [¡(x) [/(x)121

.1.1

fJ II(x)i 1/( x)j oo

es in integrable.

dx

=

=O O para todo todo

I

dx ••

entonces entonces se titiene ene que

O •

esto esto es, es •

I([I x)x)

. co JI i/(x)\ dx fJoo IIQ(x)1 ¡¡(x) mI dx

11

?

f rr/(x)}~ /(x) dx dx

a1

[O. x E [O.

.

Il . 11 427

11 # Nota

m

¡ k-."

¿n PP(x}::: (x) = aoao+alx+ + x + " ••• • " ++amr

Sea Sea

akak x

k=o k=o

k

entonces entol2ces 111m

[I x)P(x) P(x} dx dx fofo !(x) EJERClCro ERClClO

=

1

[I x) fofo ¡(x)

11

mm

k ak x dxdx ak k=o =0

k

ak f /(x) [i x) xkx dx dx=O. o. k=o ak foo k=o 111

¡ 2:

2:

•

Z79 Zl9

Sea 1/ cOIHinua continua enen Sea

Ira} =0 = O dado dado SiSi /(a)

[a, b]. fa,bL

€

(>> OO exísteunpolin!!. existe un pol ino

mio P( P( tal que que mio x)x) tal

II(II(x)x} • -1'(P(x)x)IwI << f e

para todo todo para

M

ww P(a} P( a) ::: =aO .• •

Solución

fa,hh11, , y y

¡::¡::. fa,

JI: x

at

em

Por elelteorema teorema 42, 42, dado dado (> (> OO existe existe ununpolinomio polinomio Q(x) Q(x) tal tal que que ' • Por I/(x). Q(x) Q(x)I I << ( ( I/(x). 2

at ic

¡lara

L

Luego Luego I/(a)Q(a)1 II(a)Q(aJ\

(a, bl. x x GE (a,bl.

lodo

e 2

IQ(aJI << IQ(a)1

(

Tenemos: Tenemos:

< .~

I/(x). (Q(x)· (Q(x)· Q(a))1 I/(x). Q(a»1

Q(a} P(x) Q(x} 1'( x) :::= Q( x) •• Q( a)

donde donde

EJ ERC1ClO ERCICIO EJ

a1

.c

I/(x)· Q(x) Q(x) ¡1+ Q(a) II < ;om + ; I/(x)' + II Q(a) es 1m UTl polinomio polinomio yy es

(a) '"'" O O•• PP (a)

=

e,

•

280 280

en (O, (O, <XI) oo) tal tal que que Sea I/ continua continua en Sea x) I(/( x) Dado Dado

f

O para para todo todo :::= O

;;. bb xx ;;:.

un polinomio polinomio PP (tJ (t ) e >> O O existe existe un

f "" o

I/(x) -

¡

m

k"'o

> OO es es una una constante. bb >

donde donde ,

m

= 2:

k=o

ak t

k

tal que

Sea Sea

ii

F(t) F(t) :::=

Ir. /~& IJ

·h e·h

O O

donde donde

f3

(e >

existe exis te un polinomio

O O

:::

"I F(&)_ F(t) -

F F

s"

=0 k=o

ak

si si

f5

.:;; t

si si

O

~

es continua continua en ak

t

1

$;/3

[O, [O, 1] 1] , por por el teorema teorem a 42 42 •, dado

~

~¡ f, < ..¡¡

~

tal que

para todo para todo

E (O, [O. 1]. 1]. t E

Bnbrlces Bnnnces : <Xl

Jo

IJx ¡2 dx

I/(x) =0

11

m j(.log t) - ¡ Jfo II j(.JogtJ_ ww k=o ak w 11 m . - Jfo I F (t) - ¡ ak ~;. 1¡22

M

o~=o

I{\ lA

.e: -.!!!.. t

2 ~+1 ;'+1 1 ¡2

at

tt dI dt

J{\ 1/1

tJ

t

< <

{{

em

Jfo

1 dt

e

(

.

11

y¡-

at ic

281 281

<'EJERCICIO

( xx=.logt) =•

Sea Sea j/ continua continua en en [. [. a, a, a]. ,demostrar demostrar que que

•

a1

W (i) Si Si I/ es es par. par. dado dado (e > O O existe existe un un polinomio polinomio par P tal tal que que -NxJI - Pl x ) , < (e

'/(x) (U) Si Si

11

I/

para todo todo para

E x E

es impar, impar. dado (f rel="nofollow"> o O existe existe un un polinomio polinomio impar Q tal que que

I / ( x) x) lt(

•-

Q (x (x),).1, < "e Q

para para todo todo

x EE [-a,

al.

SoluciÓn (í) Por el el teorema teorema 42. (iJ 42. dado dado

<:e

ll(x) I/(x) •- P/x)! P/x) , < (e Reempl'dzando

xx por ·x <x ((nótese

> OO existe existe un un polinomio polinomio para para todo todo que que

x

E E' [. [; a, a,

Po(x) tal tal que que

al. al.

[I-»] '"= I(x) [i x ) )) :: ¡(-x)

429

I/(x) -• Po(-x) Po(·x)I

I << (e

para todo todo para

(.a, al a] ,, xx EE [-a,

luego

~, << k, óó

""""::"-2-..=..--1

I/(x);-

obtenemos el ('x)JI 1/ el polinomio PP(x) (x) == I!Po(x) por x) ++ Po(-x /22 obtenemos

haciendo haciendo

(íi) Similar Similar aa (i). (i) • W)

EJERCicIO EJERCicIO (i) Sean Sean (i)

282 282

/(x) /(x)

fJ

11

oo

(u) (ji)

< ( ,

=

•

l1li

w

ww1 xx -.2

/(x) (g(x)]n /(,,)lg(")

.

M

dx d"

1

1 2 /(x)(x.x]n_x2]n fJ /(x)

22 xx -» xx

g(x) g(x):=

•

at

=0O

Sea f/ continua continua en en (O, [0,1], si Sea 1] , si

demostrar que que:: •, demostrar

•••• p ara todo nn=0,1,2, paratodo 0,1,2, ••••

em

dx =0 =0 dx

o

at ic

p ara todo to do para

SoluciÓrf SoludÓtf

ia

..L) ..L) 22

1 ::;;

i

t( l· 1· 12)n t( )n

ya que ya (ii) (ii)

1

1 /( x) (x· (x· fJoo /(x) = 2~n ==

2-4n

Sea Sea

JI

t ( 1 • t2

dx dx

( x·

dI

a1

(22) (22)

??

. co )

m

O

es impar. es

2 x )n )n dx

f~Ile! JI -1

(x' X2)11 x2)n (x.

nn =0,1,2,.... 0,1,2, • • • •

O II==- a

adicional (22) (22) implica bajo qué condiciÓn condición adicional ¿¿ bajo

11 JJo ((x.x ' o

par. par.

((x._j_=_1 x- 2

1) (1. /

/ {ti l)1)

f ~tj

)n di dt = O

= F(t)+G(t) F(t) + G(I)

2 n = 0,1/,2, •• ••• • )) ((para para todo n·:::;0,1I,2,

JJ J-1J·1

(1) (1(1- •I 2I F F( t)

212 )11)ndidi+ +

J

G (1) ( 1 • t )n di

L_l

--.

/ __

--"

JI 11

OO

11

('.1. F(t) (1. J.1J• 1 F(tJ

12)71dtdi = ==OO (para (p aratodo IdO o o 11 n ==0,.1, r :12

, •••

)

(23) (23)

Porelel ejercicio 281 281 ,dado ,dado ( e >> OO exis existe polinomio par par P P(tJ (1) tal talque que Por te ununpolinomio IF(t) • •P(¡) P(t) IF(t)

I I << ( (

paratodo todo para

I E E [-[.1, .1], 1, .1],

I

sea: o osea: F(t) F(O

==P(t) p(t)

MI) , , + +Mt)

IM/)I << ( e • • IMtJl

Tenemos: Tenemos: 11

1

!F (t)¡212didt w=w JL IF(tJ

w ~

-1

1

L F F(tJ( PP(t>(1)didI + + f ~1 1 F F( (t )D.11(¡)(1)dtdt

.

M

t)

at 11 1111

OO

11

t)

-1

II.NoJ.il

em

11

JJ F F(¡)(t) D.11(t>( t }dIdi << ((Jf• 1• 1F P( t)( i)dtdt , , • •1 1 lo tanto tanto se se títi ene ene que que for lo

at ic

F( t)t) == OO •• F(

Esto es, es, Esto

ff

~tl1)es es una una función función impar impar de de t. t.

1111 No ta

a1

De la la condiciÓn condiciÓn (23) (23) por por inducción inducción se se tiene tiene que: que : De 1

If•1z1

2k di Ft t ) tt2k F(O di

= OO

. co

m

para todo todo kk para

0,1,2, 2, == 0,1,

ya que que PP (( ya

es un un poi poi i11omio inomio par.) par.) es

••• •••

luego luego

11

JJ-1·1

u¡ dt dt = =O O FF(,) ( t) Pr (tJ

•

11

431 431

§§ 40

Teorema de de existencia existencia

En En este este parágrafo, parágrafo, se trata de demostrar la existencia existencia de la solución solución de una ecuacron diferencial diferencial :: dy dx

P(x,y) F(x.y)

(l) (1)

con la condición condición inicial con (O) y (O)

(2) (2 )

= O

donde F es una función continua continua en en O O <S .~ x ~ ~ a.

-b ~ ~ Yy ~ ~ b •. •.

Si ..... ' .... "'0 la condición respecto Si la función PF satÍsface satisface "'además condición de Lipshitz ·con "con respecto

w

M

a la sej~ul1láa segunda variable, variable, owwsea sea que existe existe una constante constante K

.

IIF(x,y)_F(x,z)l~ F(x,y)

tal que

1 ..;;; KKly-zl 1y zl

at

z)

em

(3) (3)

podemos demostrar demostrar fácilmente la existencia existencia y la unicidad de la solución solución

dd del

problema como puede verse verse a continuación continuación :

at~~~~~~----~ ic a1

F es es continua continua en en el el dominio dominio

y

b

rectangular ,a 1x [-b, b 1 (ver rectangular [O [O,alx[-b,bl (ver Fig. 73) 73), • sean s ean

o

M = Máximo Máximo de de FF en en [O,a1xf-b,b1. [O,alxf-b.bl. a, _l. a00o -:~ M bb !. M ínimo inimo de I! el. M M

. co

xx

m

-b

Construimos Construimos una una sucesiÓn suce sion de funciones [un cione s en en [O. [O, ao 1 como como sigue:

/¡(x) /¡(x)

FIG. FlG.

= f

x

73

F(I.O) F(t, O) dt ,

o

en general, generar, IJx)

Primero. Primero, podemos 1 (x) II

=

f

x

ri ), In_l(t))

((4) 4)

dt.

o

ItNota 1. 1. demostrar demostrar por inducción inducción que ttNola -- - -. .

< b

si

O

x

<

el

(para (!J ara todo todo

11 11

)

(5) ( 5)

x,

~ ~ lIF(t,ln(t»-

F(t,ln_¡(t»

lldt

~

x

f

------._

K II,/t)-

In_¡(t)ldt.

o

11' 1/\

K I/n(t) 1,¡_1(t) Klln(t)-llIo¡(t)1

(por (por (3») (3»

1

Así, Así, x

i ~ f 11' 1 F (t, O)jdt O) I d t

I /¡ (x) - l/x)

lllx) lti x)

o

xx

-, 11(x) (x)

II .z-~ IJ oo "

x Ih(.d-12(x)1

(:

fo

-S ~

KwIh(t)-!¡(t) w

I dt ,< f

M

~ ..:..'

M x , M,x,

dI dt

xx

JI °o

I di dt

.

x

o

K K Ih(t)-!o(f} 111(t) - lo (t)

w

f

M M

x

o

at

KM~ KM

K MI Mt di dt K

K

2

2 2 ,

3 K2 M...L 3! 3/ ,

2

M __L dt 2

en en general general (por (por inducción inducción ## Nota.? Nota] )) :: Kn Al xn+1

!11 c\.) I Por Por lo tauto t au to

(n+1)/

em

(( pelra para todo todo n) n)

at Iic

se se ti ene ('T/I' : :

(x)

(k

_

Al

1 (Kx)k+l (Kx)k+l 2:.'2+q01

K

k=n

Al K

(k"-l)f (k.¡_ 1)/

«=' k=n

a1

+

1) !

(6) (6)

. co

m

(K {/ )kt J

(k+l)!

()o sea sea que qUI! la la sucesiÓn sucesión

Iln!

/Jergencia uer g en ci a mlÍ!orme un i jo rme en

{O, [O, ao 1 puesto IJUeSlo 1¡IU' /file la serie s eri e

satisface satisface la condición condición de' de

,Ji Cauchy para la COn Cauchy para COn

,'¡¡

¡~ ,>_"Xl

k-:-:¡ =J

K a )k '- ¡ (k.,_1),'

(

COJltlerge COI/ uerge

•

#

433 433

I

Luego

II

1: 1:

existe la la lunciÓn [un ci on 1límite existe imite

In

II

->

en [O, [O, aaoJo o 1,

uniform em en te uniformemente

('11

que II es es continua continua en en (O, [O, a"o11 ya ya que que que o mando lím.ite límite cuando cuando nn -.00 ->00 • I se se tiene: tiene: mando Nótese

I(x) /(;.,)

xx

fJ

==

oo

InIn

es continua. continua. En En (4), (4), Ig tQ es

I(t»

FU,t, /(t») dI dt ,, F(

sea "" oo sea

.!!..L=

F(x,l(x» F( x, I(x»

d«

/(0) " O, O , /(0)

así se se ha ha demostrado demostrado wla la existencia existencia de de la la solución solución del del problema. problema. asi

w

M

w lala unicidad Ahora vamos vamos aa demostrar demostrar unicidad de de la la solución. solución, Ahora

.

at

I/

entonces: entonces:

at ic

Supongamoss que que existen existen dos dos soluciones, soluciones,

em

j'(x) =:"F(F( x, x, ¡(x)), [(x», !'(x)

sea sea

= /(x) [(x)

h(x) h(x)

g'(x) == F(x, ¡:(x,g(x» g'(x) g(x))

- g(x) g(x)

IhIh'(x)! '( x) 1 =

yy gg :: 1(0) [(O)

g(x»! I = lF(x, !Nx, t(x)J [(x») - - F(x, F(x, g(x»

It(x)-g'(x)! (x)-g'(x)1

¡[(x) - -g(x) g(x) 1 ¡'" = KK lMx)j lh(x)! ..::::~ KK l/ex) (O) h h(O)

=:

= t (O [(O))

= ggrO) O I, (O ) = O

=:

a1 ,,

_ g g(O) (O) '" e;OO

. co

m

Tenemos, por por lolo tan tanto: Tenemos, lo : xx

(x)1 IhIh(x)1

SiSi

lb (x) !h(x)i

h'(t) I If Jo /;'(/)

o

¡ <:-

BB

Ih (x)! lh(;.)!

lh !

(xi! Ih(x)

Ih (xl! lh(xJ!

e71
dtl ~~ dt!

xx

'(t) i ¡didt f Jo!bIh'(ti

o

tiene ro,ro, el al 1 sese liene x

~~

KK

fo

,

KK

'-: KK

Jo

KK BRt tdIdI

xx

sucesivamente que: que: sucesivamente

)

2

~ BR

foJo l313KK - 2_!_2 didt 2

x

o

=KB KB x x

BB dIdt

»: -..:..:~~,

f

::::.::: KK

K2_L

2

2

BK 3 _

3!

t

IM!)I

dt

.b

1

:

(x)1

(Kx)n

< B ---

..........

(para todo lodo 11) 11)

,

(R) (1'1)

11 -

En (R) (R) ,, tomando tomando límite límite cuando cuando 11->"'" 1/"''''' En

!h(:d! ya que ya

11# Nota

~

obtenemos: obtenemos:

O

lim (Kx)l1 (Kx)n In! lim-

O », oo sea sea que que === O

n.... oo 11""""

h(x) === O. O• h(x)

•

l1li

J

xx

¡\JJo

If11+ 1(x) !

o

~ J

F(t,ln(t»dtl ~ F(:, In(t)) dtl -:S

x

o

ww

i\l M dI de

w

11# Nota 22

.

M

J

x !F(t,/r/t))\dt

o

at

e Il m Ir/di at ic

Supon gamos vi/ida válida la la desigualdad desigualdad (6), entonces: en ton c es t Suporlgamos (6),

Iln +2(x)

-

In +1 (x)!

x

..:;;.

J

K

n +1 (tJ -

dI

•a

11

1.

En la demostración demostración anterior, anterior, 11 /1 es es la la primera aproximación de de la la solusoluEn ción, /2 /2 es es la segunda segunda aproximación, ,In112 cióo, solución , • así sucesivamente obtenemos la Soluclón obtenemos la

es la la »-ésima aproximación de co es de m la mejor mejor aproxirnaci ón para alalla

canzar aa su su función {unción límite 1imite gracias aa la condición condición de de Lipshitz. Lipshirz . Sin Sin embargo, embargo, canzar sin suponer suponer la la condición de de Lipshirz Lipshitz se se puede puede demostrar demostrar la la existencia

de la la

solución del problema problema utilizando utilizando un un método método totalmente totalmente diferente, diferente, lo lo daremos daremos sol ución del al final final de de este este parágrafo. al Dada una una sucesión sucesión de de funciones, funciones , no no SIempre siempre convergente convergente , , enlos en los Slgl!! Dada entes teoremas teoremas se se trata trata de de hallar una una sub~ sub- sucesión convergente convergente empleando empleando entes 435 435

un método método c<1mún común (método (método de de diagonal) diagonal) , este este método método es es una una de de las las herramien herramien tas para estudiar análisIs ras más más importantes importantes para estudiar análisis más más avanzado. avanzado. TEOR¡~MA 4} Helley) TEOR~MA 43 (Teorema (Teorema de Helley)

(9 (!)

Sea Un uniformemente acotada l/n 1 1 una sucesión sucesión de funciones funciones de variacióo variación uniformemente acotada en [a, b 1 (ver 270), (ver el ejercicio ejercicio 270), es es decir, decir, existe existe una constante constante K tal

que

para para todo S1 S1

f,/a) = para todo ft/a) = O para

.1, 2. 2,3, ••• n = '" .J. 3, •••

n ,existe ,existe una sub-sucesión sub-sucesión

!f link 1 1 que conconnk

verge a una función limite límite f tal que

ww

w

.

Demos traci ón Demostración

[1l [Il

M

f(f( a) "= O O •

at

em

fn ' n '"= 1,2,3, son fn 1,2,3, •••• .... son Q= fa,b], Q = lt'k IAk l1 un conjunto conjunto conúbledenso conúble denso en fa, b1, enton° enton»

Primero supongamos supongamos que las funciones Primero las funciones

crecientes. crecientes.

Sea Sea

at ic

ces sucesión de números: ces la la sucesión números:

a1

luego subsucesiÓn luego existe existe una una sub su cesion COTlvergenconvergen'

es sucesión acotada Nota es una una sucesión acotada ##Nota

te te que que notaremos: notaremos: II f11jA )A1),1 ), n= n = 1,2,3, 1,2,3, •• •o

lim n-H'o

. co1 1 • 1 /11 •

m

La sucesión sucesión : La

fIjA].) ¡¡ hjAi) ,

1,2,3, ••• o •• nn== 1,2,3,

es sucesión numérica es una una sucesión numérica acotada, acotada, luego luego

{I fl 2z ,n(A (A2), 2) , n

,"

existe sub- sucesión: sucesión: existe una una sub-

= = 1,2,3, 1,2,3, •

que Así sucesivamente sucesivamente que tiende tiende a un límite límite IL2' JL2' Así sión sion # Nota Nota

fkk ,H ,n

,n=1,2,3, ' n = J,2,3. ••.

Ifn(x)

tal tal que

O"

Un Unl 1

I

sucese obtiene obtiene una una 'subsub> su e e-

,:+:. * *:+: * * *:+: **' *'* * >le:+: * * ** *:+: ** '":+: es sucesión uniformemente es una una sucesión uniformemente acotada acotada ya ya que que Ifn(x) - fn(a)

I

.:S

"¡ :;

K

para todo x , todo n ,

".p"

11->00

• •• • • * I 11.1

SI

• *

...

I ],P, ,

11.2 '

•• •

*

\.)

1 12,1 ,

E2,2 ' E2,3 '

"

S3

13,1

13,2 ' 1'J,3 '

.....

U

..

S2

=

U

, 11,n '

.

....

12,n

I

•

Ik,2 ' Ik ,3

1"

, Ik,n

....

PIG.7474 wwFlG. w liJ,)' sucesión

.

.

/

•• 33 ,, •• ••

111

(Al) ntO

11..22"2·Ia,3'···' ,133, ••• ,1 , H,n

M

.

I h,l ' 12,12,2', J?,, /'J,3"" 3 l,luego I , luego

Evidentemente lalasucesión Evidentemente Ih.n,n=1,2,3,1,2,3, ••• ... dede Ihn,n

lim

at

I

'

••

.,.

unasubsucesión subsucesiÓrl I 1esesuna

.,

em

at ic

1, luego 1, fim lim

11 = 1,2,3,. 1,2,3, ••• _.

lim / fl-+CXJ

oo

Si

Hjn

J,!

I

.

es una una subsub- suces{ol1 sucesión '(le' de Í/2 1/2 n ,n ' 11 es ,n

...

ll~oo n-+oo

n ,1l ' 11 lI1 h k ,n •

~

..

I h,l

n--1>OQ

«Ó»

h ,n " ..

\.)

Sk V

....

a1

1,2,

. co

es una una subsub- sucesión su c esi on de de es

m

por lo lo tanto: t unlo : por (para todo todo k). k). (para

(A k )

=

(9) (9)

sea que que la la sucesión su c es ián de de [unciones e s l/n,n ¡1H,n II converge converge en en sea

Ak < Ah

xx = ~.\1 1 •• A2'

•••

se tiene que

I n,n

• Ak ,' "•••.... (Ak).$;

1Il,Il ('\h)'

luego :

437

Si

E j:\k 1 E- Q :::= ,1Ak l •, existe existe una una sucesión sucesión decrecí decrecí ente de puntos puntos de

Xo

tiende tiende a ~t ~l

(10) (10)

implica implica

< Ah

Ak

11

Q Q que

digamos: o I' digamos:

Xo

> -\ \

> '\ \ > 2

> .•

k

->

xo •

De (10) tenemos: tenemos: flt fll 1 ~ ~ /lt fll 2 ·~ ~ 1 2·

)

fll

k

)

esto esto es, es , existe existe el limite límite

w

M

lim /1 fltl w k...oo kk· w k-.oo Evidentemente el lÍmite. Evidentemente l imi te , lim fll •' s070 s010 depende depende del punto punto XXoo (índepetldil in d ep endi-: k->oo k ente que se hhaya aya tomado) ente de dellaa esco g en ci a de la sucesiÓn sucesiÓn decreciente decreciente tomado) , por #

.

at

lo tanto podemos podemos definir una función una funciÓn ) = lim g(xo) k->o<>

g( Ak)

= flk

-.

em g

si si si

(10) , la De De (10), la función g es es creciente. creciente.

Si

XXo

o

como sigue:

at :J ic a1

x

E

o E

Q

}

(11) (I1)

E Q •. E

Ak

es es un un punto de continuidad continuidad de de la funciÓn [un ci on g, g , tenemos tenemos ## Nota r1 :• f

(x o) n,n

->

(n ->00)

g(xo)

Los Los puntos puntos de de discontinuidad discontinuidad de de la la función función

. co

(12) ( 12)

m

gg /ormml forman un un conjunto conjunto contable contable

(ya (ya que que gg es es creciente) creciente) •, digamos: digamos:

l. 1,

¡l/k 1 l/k ,k=1,2,J,... ,k=.1,2,3,...

De De la la sucesión su c esi on de de la la funciÓn

sucesión sucesiÓn

•

se puede puede escoger escoger una una sub· sub= sucesión sucesión

lim lim f (Vi) (1/.) sea sea converge.nte conuergente para 12. to k->oo n k , . k·.oo un un procedimiento procedimiento idéntico idéntico al al utilizado utilizado al escoger escoger la la subsub-

,k=1,2,1, •••

do do jí ((aplicando

1

I1If nnt~nil

tal tal que que

I/n,n 1 de de la la sucesión sucesiÓn ori gin al .). i), Definimos IJefinimos la función [uncidn

If

como como

sigue: f( x) =- g( x) f(x) g(x)

si

x

E- IVi

I (13)

se tiene tiene que: que: yy se

f

lim k~oo Es claro claro que que

nk

= I( xJ

(x)

para todo para todo

xx.;

I es creciente y adem adem ás es creciente

¡V¡I.:SK, IVII'::;K,

j(a)=O. l(a)=O.

[11] Caso f¡eneral. [111 Caso gener ai , Como In Como

donde donde

es

1\ «. Pn

1qn

de de

van aciÓn ación

= la = la

=

acotada. se puede descomponer descomponer In acotada, se puede

r: =:

vari.aci~:l Positi~a de In de In

la van acion aczon ne negatzva g atiua de In

pp(a)=q(a) (a) = qn (a) TI n

entonces Pn Pn y qll son crecientes entonces s; son crecientes y

=

VI

n

Dee D

rr 11 podemos demos ll ,, po

link lInk

1I tal

Vp n

ww

M

+ wV

. qn

-> -e

para todo todo nn). ( para J•

.::: K

at

encontrar una una su subsucesión 11#Nota2 encontrar b - sucestQn --Nota -l

que que

P Pnk nk

O. además: además: O,

p. p,

qnk

«Ó»

em

q

sea o sea (p (p -

q)

at ic

Evidentemente: Evidentemente:

de de

a1

!In I , digamos

. co

m

11# Nota Nota

Si g

( demo demostraciÓn s traci on de (12» es es

continua en continua

dado o ',dado

Xo

implica

l' e

Ig(x)

>

O existe existe O

- g(xo)

I <

oo

tal que que tal

e

Sean Sean

.(Nótese que Q Q es \ *(Nótese denso toda parle.) parte.) denso en toda entonces entonces

439 439

- flk

I <

• g

I -:S

/1 A e (t por por (i) ti) )

/\ /\ (por (í» {( (porCí)

Como

In,nO'h) 12

;;,>

N

f

Y InjAk)

{lb

implica

(ii) (ji)

2f •

flk

~

I/n,n(Ah)

{lb

existe N tal que

•

I <

f ,

<

IIn,/Ak)-

(Ui)

f

luego :

ww

w

.

M

1\ 1\ l'e

De De

(i), I (iii) (iii) Y y (i)

/'\ A

(por (iii)) (iii» (por (iv) (iv)

1/

n,n(xo)-g(xo)1

~

(xo) ~~~~~

at (¡i» em

-/

(AkJl

+

ciente

J! !/h"Ph)~ /n,n(Ak)! I/hjÁ¡yJ-I",P1k

(iv)

<

i iii) (e (por (iiiJ)

a1/ t ic

u. ~n,n C~ic~;t:-) es

4

1\ 1\

(por Cii) 2( (por

tenemos: tenemos

1/

)¡

(Ak)-fik

1\

1 + ! fik

a1

f\

';( (por (por (jiiJ) (Lii)

,/\ '/\

- g(xo)! ~ tpor (i)) ti) f (por

. co

m

(por (iv)) 44 (e (po;(iv))

< 66 f e • • esto es es : : esto nlim __

Nota 22 ft# Nota sucesión De la la sucesión De

lPn ¡1 escogemos escogemos una una subsucesión sub su c esion convergente. convergente, digamos IPIl

c es i COlluerla sucesiÓn c esi escogemos ullaa subsucesióll de la Iqle¡ sk !1 escogemos sk l.. l .. Abora, Ahora, de lp!psk sk así las las dos dos sucesiones sucesiones 5011 con' cong cn t e , digamos di gamos Iq 11,• así gente. lpIp nk Il}' y lqIq nkI1 5011 nk su

on

un

11k

u er gen t e s; vergelltes.

subsu

on

Ilk

con

uer-

1 suponiendo: El [(,orema rcorerna de de Hel ley es es ramhíén tarnbien nilído válido para para RR1 El

1/1/(."") (' 11

)=0, =O ,

V· (.",

/n

ex.)

'

K

.

todo ppara ara todo

11. 11.

•

<,

l1li

--_._---_._----_._-_._--l/luna . n

Sea

r a, bb l.1. SiSi fa,

sucesión de de funcíones funciones equLCOntInUa equiconnnua en en

la sucesión l1umenca numérica 1/n (x) 11 es es acotada. , eXl~ exi-s Para todo x E- [a, b] la re una subsucesión uniformemente uniformemente com'crgcnte convergente en en rr a, a, hb1. l. J) emostración

Sea m éri ca m(rica

denso en en fa, fa, hb).L La La sucesión sucesión l11inu = PPkk 11 l/JI UII con¡unio conjun to contable contable denso 1 j~//l.l 1II es es acotada, acot ad a , luego luego existe existe una UI/a sltb· su b- sucesión sucesión cOlwergente, co nuerg ente, 1111°'1) Q

r

1 I J./Al)

digamos

l.

1/I.II()\1)

ww

I

M

es es /lila uu a sucesión SI/cesión acotada acotada

II

luego luego existe existe

una subsub>sucesión sucesión conuergente, couuer g en t e , dig amos 1/,) 1/.) (2)2 ) \. l •. Así Así sucesivamente, su ce si uamen te , (A una --,11 tI)

w

l/k.n .11=

1m

11,2,3, .1,3,

l/k ,H(Ak )

que

11

converge etmverge Como

1,2,3, •

n

I

. es una II es una sub· sub- sucesión s u ce si on de de

.

I f1

I

n = 1,2 1,2,.... ••• !I

l/k.l,n'

at

es convergente. convergente. La sucesión: su ce sion : es La

2 '

f 3 .,'I

l'

em I

en x:= x = Ak Ák ( para para todo k). k). erJ

Iln l/~¡

~

at o ic ••••

a1

e quicontinu a , dado {( > O existe existe f;fi tal que II es e'tuieanttuua.

y I Ix - y!

< ,'i(~

i/,/.;)L..) ... In (y) (y) I < il '11

impli ca implica

Consideremos una p arti ci on del iu intervalo terva/o Consideremos a. xl' x2 •

",

...

té

a, b 1 1 :: r a,

, xk' ' •.

,

Xlii

(para todo n). 11). (14) (14)

. co

m

/;b

tal que tal ,\ItÍx

k

(x

k

.

..

D

-1)

Q Q es es denso denso en el/ la, bb 1, cada cada sub-intervalo su b in t erual a /lOS UII punto punto de /tos un

r

º.

15) (( 15)

\xk.¡'·1 • xk. \ contÉ con ti ene en e por lo mi:. «s:

Q, digamos -I •

((k"k

1,2,. .••. ,11/). 1,2 . . ,m),

441

I/umiricas!j su ces io u e s I/Ufll l.I.{/.~' as· sl/cesio/les prie as tes , por /Jor la la ¡es,

II,I!

.

:¡

im pl i c a im/Jlircl

I

1,2, . •"• ((kk ~~ 1,2,

;\' tal t al existe .\' existe

Cau cbv con dic iou de Cauchy umdicirill

nIl,flt p ;-NN

.

!i

(Ak) )

(/1,)

11,11

.-

J

'"

J'

p,1'

todo kk ~ 1,2, 1,2, ,••.• • ((/Jara para todo ('- rfa, e xis t e algún a, bbl, i , existe

Si xx Si ,/

n,u

(x)-/

p,p'

.:._: I!

(x)!

tal que que kk lal (x)

- /

11 11

+

(Í\k)'

11 11

"

f

w

.

I satisface !l/fn,n 11,n1

(16) (16)

m) m ¡:;:E !!xk_l' xk] , • 1 ' Xk 1

1/ (Ak,) . 11, Tl',

- /

t en emo s luego tenemos

(.\¡,,)

p,l' '

1

K. :

r. (/Jor (.14)) (.14») (IJOr

M

3J ,( •• esto es, es, esto

cOIl1;erge_1I cÚII¡:erge!!...

'"----y-___""'_______ j\

ww

SQ/I 5Q/I

e

k

xx

~.

m) m)

que que

(A-))

I I

II

at

(flor (16)) (16)) (por

(por (14)) (14)) (por

em

la condición condición de de la

1/",11 cOl1l1erge uniformemente un i iorm em en t e ,!l! I emlll(!rge

1'11 ell

CC1JiChy, Oo sea: sea: Cauchy,

athl. ic .[a,bl. [a,

11•

del [corema teorema 44 44 es es esencialmente igual aa la la que Ila demostración \'Ót(.'sc e que él acmostraci ón del del teorema teorema de pero elel teorema teorema 44 44 es es sólo sólo ",ilido válido en en un un intervalo intervalo de Ilcllcy, Hel lev , pero dd compacto . . compacto E{ UUJUO

21\¡

l/II ¡ fina u n a slleesión su c e sion

Sea

en la.bl. !a,hl, s(:'a sea

('1/

¡:,.. (x) 11

q//e dvmostr ar qu d"lI/o:;/rar (' t

('1/ " ,« ('1/

a1

existe IIl1a exi" te ulla

. co

m

de jUI}(jones [un cio u es integrables de xx

/,/,) tJ dIdt JtiIa f/

uniformemente acotada acotada uniformemente

b), ((a::.~x::. a x :;; .. b)

sub- SUCf! sucesión de ! lF'i enfete cO/lvergen> cOlluergensuh· si ÓI1 de F¡; 11,, un i jorm emel!

1Ir/.bl. h l. (l.

Sol 11 ci ri" _._---_ SO{/ ,.." SO(/

filia u/UI

i (1)' '11 vu to ucc» entol/ces

cola uniforme un i jorm e d" de cota

,\1

,

i1;/I), ),

para todo todo para

11/1

1'11 el/

[a,

todo t yy todo

b1 ("

la. h 1,

,

I

FLd-F JI

x

1

'1/

(1))

dI d! -

(/

x

.\"

(t) JJy' /nn'(tJ

lFlll IFTI I es

I (1 )j

"

'11

dt! dt! " ~,~,

dI dt

dt ..::.: Z

'-

)'

Por lo tmlto, tan/o,

.\

I

¡\f M

una una sucesión su c esi on equicolltinua e qui con tinu a en

M (h· a)

,

¡X --)

¡I )' 1t ..•

la, [a, b 1. l. ,\demás Ade m ás, I

para todo n, para n,

luego existe existe UlJa un a suh-sucesión sub-sucesión lmijormefll('nte ulliformemente con nerg ente eute ('!I en (a, [a, b 1 1 (teorema 44). 44) ••

l1li

Aplicando cxi sten-' Aplicando el teorema 44, 44, demostraremos el siguiente teorema de' dccxi srenCl;a era

::

TRORE\IA. Th.'OREMA

45

w

M

ww continua en OO < x < a. Sea F Ft x , y) y) una función a, --bb

.

ecuación diferencial diferencial la ecuación

=

d)'

F( x,yy)) F(x,

dx

at

em y lO) un

00

<.

y .;

hb, I

O O

at ic

tiene (lene por lo menos una solución solución en una vecindad de x :::= O. O• DemostraciÓn Sea Sea .\1 ¡\f tJ1la U71a cota cota de de

"o

=

1!F(x, F y)1 y)1 ,' sea sea

Mínimo

la,b/Ml,

a1

.

co construyamos construyamos U1la una sucesión sucesión de de ¡un [undones cio n es que que sean sean solucionesaproximadas solucionesaproxim adas del del m

problema problema en en fo, [O, ao]1 como como sigue sigue Para Para n

lijo,• sean s e.au x·t

_i_a u ao 71 o

((ii

= O. 0,1,2,., .,11)11) 1,2, ••..

,, j

dejinimo s ahora In In : (ver (ver Fig. 75 75))

Ir/O) In(O) == O ° /1/ (O • O ) In(t)t) = F F(O,O)

si ,¡

It

~rO.xll ~ F

10,x11

I ((17) 17)

443 443

If

)} (t·

[O, (O, ao 1,

así de jini da es continua continua en

In

»

tt ~ E' [xk'

sí si

Iln(tJ

I 0

xk

. +

11. 11 • j

y

b

si

( 18)

Sea Sea ;'I.n(t) = I~(t) {

-F(t,ln(!)

t -t xo'

si

=i-

""xn ( 19) 19)

°

=o

si si

t

= xo' 'xl'# Xl' •••.... 'I xn

entonces entonces tenemos: tenemos:

IL\(t ) I ~ I/~ wt tw) I + I F ( t , 1/ t)) I ~ 2 M w x /, (x) -= f 1 F(t,! (t» + 6.n(t) ! dt non

.

M

at

em

Luego:

X'

.:S J IIF(t,/,/t))1

+ 1/~n(t)1

oo

I/nn 1I es es I/

sea que la la sucesión sucesión sea

(20) (aJ)

)I

) +

I

dI

at Ix' - xl , ic a1

! dt.:S

X

,

equi con tinu a

y

un iform em ente en te acotada acotada

[o, a"o 1. Por el teorema 44 existe una sub- sucesiÓn digamos o l. Por el teorema 44 existe una sub- sucesión, formemente en [orm em en te COlllJergente con uerg ente a una una función [un cidn límite Limite II en rO, fa,caaoo 11 I

.

IlIk

..

• * *.: yy

I

14 ,1

1',

o

***

***

le

I

la pendie-nte

=

la endie11te la = HO)

\

*• *• ••

F(

'

p

2

.f"

\

la la I'"ndiptll<' IH'ndi"IlI"

la ppndiplll"

F(l' ) =-= ['0':1'

11 4¿

1 2

1l

3

-= F

I1 =F(' =F(1. Y]) YJ) 1I

:?, <JI

ti

y¡ ~

:1

y¡

I 33

j

la la pendiente pendiente I1 1 yY \)) F(O,O) (2' , "-= F(O,O) Ila Ila pendiellte pendiente

P2)

i

o

()

.v

en en

I!nk !, uni-

om

uniformemente un i torm em en te en en fo ro,I aao1. o l.

fI

(( 2.1)

3M

xx

i\,/ t) f~

luego luego

si

Nota _-.

t-

I

.

o

uniformemente

1.

[O,

en

También: : Tamb¡ill ¡O.(t,! F. ( t,

12k

I t)

En En (20), (20), tomando tomando

f (x ) f(x)

11n

= xx

c,

ff

uniilo form emen ente te ell en rO, fa, aol.1 • rm elll

FF(t, ( t, I(f(/»f ))

.->-e

l/k.•

•

Ov oc

UII

se se fiene" tiene:

F ( t, f ( I » dt, d( , I'(t,/(/»

oo

sea Ifue Ifue If es es /lila /111 a solución solución del del problellia probl em a en en [0, [O, [/01. aó 1 •• oo sea •1

11

Nota

ww

M

fa, alal ro,

es uniformemente uniformemente continua ('11 en FF es continfla

w

o tal tal que que O I(x,y) y) I(x,

<;:;

,y') (x' .y')! -- (x'

De (21), (21), si si lJe

.

1)

at

im /JI i cal

x [·b, [-h, b1, b1,

at ic a

IIn(xk) -

es suficientemente ente grande

11 11

1,/1)

.(

IXk

.•

, /;1

(x k))

(. e,

(22) (22)

Nt,lr/O)1

- ti

"

(

n

.

O

a1

tiene: ene: se ti

sea ((por (22) )) :: por (22) oo sea

IF

" O O .e xi st e existe

"

se ¡iene :

3¡\f·_011

lo tanto tanto si si por lo

(

f.

F( x' ,y')1 ,y' ) I < Hx'

F( x , y} y) --

em

dado dado

<

. co

m

•

l1li

445

Sucesiones Y Series 56e68

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