Solucionario Calculo Moises Lazaro b4k2q

1.

1 f ( t )=( 2⏟t ,−3 ⏟t , ⏟t ) ❑ f ⏟ ❑

❑

−f 1=2 t → polinomio D ( f 1 ) =t ∈ IR −f 2=−3 t → polinomio D ( f 2 ) =t ∈ IR

−f 3=

1 t

D ( f 3 ) =t ≠ 0 Dom f (t) =Dom ( f 1 ) ∩ Dom ( f 2) ∩ Dom(f 3 ) D om f t=t ∈ IR ∩t ∈ IR ∩t ∩ IR− ( 0 ) Dom f f =t <0 ∪t > 0

2.

hT =( ⏟ L∩t , t⏟ ) h1

h2

Solución: −h1=L∩ t Dom ( h1 )=t>0 −h2=t h (¿¿ 2)=t ∈ I −IR Dom ¿ ⇒ Dom hT =Dom ( h1 ) ∩ Dom(h 2) Dom hT =t> 0∩ t ∈ IR

Dom hT =t> 0

3.

f T =(SenT ⏟ , CosT ⏟ , tgT ⏟) f1

f2

f3

−f 1=Sent Dom ( f 1 ) =T ∈ IR −f 2=cosT Dom ( f 2 ) =T ∈ IR −f 3=tg T t ∈ IR−

{ π2 ( 2 k +1)}; k =0 ±1 … 3 t¿

Dom(¿)=t ∈ IR−

{ π2 (2 k +1)}

⇒ Dom f (t) =Dom ( f 1 ) ∩ Dom ( f 2 ) ∩ Dom (f 3 ) Dom f (t) =t ∈ IR ∩ t ∈ IR ∩t ∈ IR−{} Dom f t =t ∈ IR− k =0 ; ±1 ; ± 2; …

{π2 ( 2 k +1) }

15.- Demostrar que la curvatura y la torsión de la curva : 2 x=e t , y=e−t , z=√ 2t sea : k=−τ = t √ −t 2 (e +e ) Solución: La ecuación de la curvatura: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} f ' (t) x ¿ ¿ k=¿

f (t)*f'''(t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) x {f} ^ {''} (t) right rdlin f ' (t ) x ¿ ¿ τ=¿ f ( t )=( et , e−t , √2 t ) f ' ( t )=( et ,−e−t , √ 2 ) f ' ' ( t )=( et , e−t , 0 ) f ' ' ' ( t )=( et ,−e−t , 0 )

' f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # j # k ## {e} ^ {t} # {-e} ^ {-t} # sqrt {2} ## {e} ^ {t} # {e} ^ {-t} # 0

j, 0

‖√ 2∗(e−t−et ) ‖√ 2∗(e−t−et ) 2 k= = = t √ −t 2 3 3 ‖√ et +−e−t + √2‖ ‖√ et +−e−t + √2‖ ( e +−e ) ❑ ( e t ,−e−t , √ 2 ) x ( e t , e−t ,0 )∗( et ,−e−t , 0 ) ‖ −‖1,1,0‖ τ= = 2 2 t −t t −t ‖(et +−e−t +2)‖ ‖( e ,−e , √2 ) x ( e ,−e , 0 )‖

τ=

−√ 2 (e +−e−t )2 t

f ( t )=( acosht , asenht ,bt )

16.- Demuestre que la curva

Torsión iguales en dos puntos , si y solo si f ( t )=( acosht , asenht ,bt )



tiene curvatura y

a=b

Tenemos en cuenta. e t −e−t et + e−t Senht= ; Cosht = 2 2

(( ) ( ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) t

f ( t )= a

f ' ( t )= a

t

−t

e +e 2

,a

−t

e −e 2

, bt

e t −e−t e t +e−t ,a ,b 2 2

f ' ' ( t )= a

f ' ' ' ( t )= a

e t + e−t et −e−t ,a ,0 2 2

e t −e−t e t +e−t ,a ,0 2 2

f ' ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} ‖ k= 2 ‖f ' (t ) x f ' ' (t)‖

; τ= {left ldline {f

f ' ( t ) xf (t)= left [matrix {i # j # k ## a( {{e} ^ {t} - {e} ^ {-t}} over {2} ) # a ( {{e} ^ {t} + {e} ^ {-t}} o

' f ( t ) xf (t)=(0-ab ( {{e} ^ {t} - {e} ^ {-t}} over {2} ))i , -(0-a b( {{e} ^ {t} + {e} ^ {-t}} over {2} ))j , +

f ' ( t ) xf (t)=((-ab ( {{e} ^ {t} - {e} ^ {-t}} over {2} ))i ,(a b( {{e} ^ {t} + {e} ^ {-t}} over {2} ))j , ( {( a f ' ( t ) xf (t)=((-ab ( {{e} ^ {t} - {e} ^ {-t}} over {2} )) ,(a b( {{e} ^ {t} + {e} ^ {-t}} over {2} )) , 0)

‖

−ab (

k=

‖(

‖

et −e−t e t + e−t ), a b( ), 0 2 2

) (

)

3

‖

e t −e−t e t +e−t a ,a ,b 2 2

ab 2 t −2 t √e +e 2 √ √ e2 t + e−2 t = = 3 3 2t −2 t a √ e2 t + e−2 t +1 √ e + e + 1 √2

‖

t

−ab(

τ=

−t

(

t

−t

‖

) ( ,a

‖

‖

t

−t 2

t

−t

), 0‖

2

−t 2

e −e e +e ) , a2 b( ) , 0‖ 2 2 t

t

e +e 2

‖

e t −e−t e t +e−t −ab( ), a b( ),0 2 2

−a2 b (

τ=

t

−t

e −e e +e e −e ), a b ( ) ,0 ¿ a 2 2 2

−t

t

−t

2

‖

e −e e +e −ab( ), a b( ) ,0 2 2

=

√ e 2 t +e−2t 3

√ e 2 t +e−2t +1

t t t 17.- Hallar la curvatura camino f ( t )=( e sen 2t , e cos 2t ,2 e ) en t=0

f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} f ' (t) x ¿ ¿ k=¿ f ( t )=( et sen 2t , et cos 2t ,2 e t ) f ( t )=( f (1), f (2) , f (3)) Derivamos por partes: f ' ( 1 )=2 ( e t cos 2 t ) + et sen 2 t f ' ( 1 )=f ' ( t =0 )=2 −cos 2t t t e (¿)+2 ( e cos 2 t ) +2 e cos 2 t + e sen 2t '' f ( 1 )=4 ¿ t

t

−cos 2t e (¿)+2 ( e cos 2 t ) +2 e t cos 2 t+ et sen 2t f ' ' ( 1 )=4 ¿ t

t

'' t f (1 ) =e sen 2 t ❑

f ' ' (1 ) =f ' ' ( t =0 )=0

e ¿ −sen 2 t ) 2¿ ¿ f ' ( 2 )=¿ f ' ( 2 )=f ' ( t=0 )=1

e ¿ −sen 2 t e ¿ 2¿ 4¿ ¿ '' f ( 2 )=¿ e ¿ −sen 2 t e ¿ 2¿ 4¿ ¿ f '' ( 2 )=¿ '' t f (2 )=e cos 2 t

f ' ' (2 )=f ' ' ( t =0 )=1 f ' ( 3 )=2 e t f ' ( 3 )=f ' ( t =0 )=2 ' t f ' ( 3 )=2 e

f ' ' ( 3 )=f ' ' ( t =0 ) =2

Remplazamos en la ecuación ⇒ f ' ( t=0 ) =(2 , 1 ,2) ⇒ f ' ' ( t =0 )=(0 , 1 ,2) f ' ( t ) xf (t)= left [matrix {i # j # k ## 2 # 1 # 2 ## 0 # 1 # 2} right ] =(0 , 4 , 2)

k ( t )=

k ( t )=

2√ 5 9

‖( 2 ,1 , 2 ) x ( 0 ,1 , 2 )‖ ‖( 0 , 4 ,2 ) ∥ 2 √5 = =¿ 3

‖( 2 ,1 , 2 )‖

3

‖( 2 ,1 , 2 )‖

9

t t 18.- Hallar la curvatura camino f ( t )= 2 cosh 2 , 2 senh 2 , 2t en t =0

(

)

solución t t f ( t )= 2 cosh , 2 senh , 2t en t =0 2 2

(

)

Recordemos: t 2

t e −e senh = 2 2

⇒ f ( t )=2

(

t 2

t 2

t e +e ; cosh = 2 2 t 2

−t 2

−t 2

e + e e −e , ,t 2 2 t

(

−t 2

t

−t

−t

⇒ f ( t )= e 2 +e 2 , e 2 −e 2 , 2 t ⇒ f ' ( t )=

(

t 2

−t 2

t 2

−t 2

)

)

−t 2

e e e e − , + ,2 2 2 2 2

)

⇒ f ' ( t =0 )=( 0 , 1 ,2 ) ⇒ f ' ' ( t )=

(

t 2

−t 2

t 2

−t 2

e e e e + , − ,0 4 4 4 4

)

⇒ f ' ' ( t=0 )=( 0.5 , 0 , 0 ) f ' ( t ) xf (t)= left [matrix {i # j # k ## 0 # 1 # 2 ## 0.5 # 0 # 0} right ] =(0 , 1 , 0) Remplzando en la ecuación:

f (t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline left

k=

1 16

19.- Hallar la curvatura y la torsión del camino 4 3 f ( ts )= cos ( s ) , 1−sen ( s ) ,− cos ( s ) en s=π siendo s lalongitud de arco. s s

(

Solución:

)

f ' ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} ‖ k= 2 ‖f ' ( t ) x f ' ' (t)‖

Remplazando : f ( s )=

( 4s cos ( s) , 1−sen ( s ) ,− 3s cos ( s ))

f ( s )= ( 4 s−1 cos ( s ) , 1−sen ( s ) ,−3 s−1 cos ( s ) ) f ( s )= ( f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) ) Derivamos por parte: f ( s 1 )=4 s−1 cos ( s )

(s) −sen ¿−4 ¿ ' f ( s 1 )=4 s−1 ¿ (π) −sen ¿−4 ¿ ' −1 f ( s=π )=4 π ¿ f ' ( s 1 )=f ' ( s=π )=¿

(s ) −cos ¿−4 s (−sen ( s ))−4 ¿ f '' ( s 1 )=4 s−1 ¿ −2

(s ) −cos ¿+8 s−2 ( sen ( s )) ¿ f '' ( s 1 ) =4 s−1 ¿ (π) −cos ¿+8 s−2 ( sen ( π )) ¿ '' f ( s=π )=4 s−1 ¿ f ' ' ( s 1 )=f ' ' ( s=π )=¿

f ( s 2 )=1−sen ( s )

τ= {left ldline {f} ^ {

' f ( s 2 )=−cos ( s )

f ' ( s=π )=−cos ( π ) ' ' f ( s 2 )=f ( s=π ) =¿

f ' ' ( s 2 )=sen ( s ) f ' ' ( s=π ) =sen ( π ) f ' ' ( s 2 )=f ' ' ( s=π ) =¿ −1

f ( s 3 )=−3 s cos ( s )

( s) −sen ¿−3 ¿ ' f ( s 3 )=3 s−1 ¿ (π) −sen ¿−3 ¿ ' −1 f ( s=π )=3 π ¿ f ' ( s 3 )=f ' ( s=π )=¿

(s ) −2 −cos ¿+6 s ( sen ( s )) ¿ f '' ( s 3 )=3 s−1 ¿ (π) −cos ¿+6 π−2 (sen ( π ) ) ¿ f '' ( s=π )=3 π−1 ¿ (π) −2 −cos ¿+6 π (sen ( π ) ) ¿ '' f ( s=π )=3 π−1 ¿ f ' ' ( s 3 ) =f ' ' ( s=π )=¿ Remplazando se tiene: f ( t ) right rdline right none} over {{left ldline f '( t ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline {f} ^ {'} left (s 1

k =1

' ' ' '' '' '' '' ' f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) x f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 )∗f ( s )‖ ‖ τ= =0 2 ' ' ' '' '' ' f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) x f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ' ( s 3 ) ‖ ‖

τ =0

20.- Hallar la curvatura de la curva en 1

son:

x=∫ cos 0

R

3

, cuyas ecuaciones paranéfricas.

1

π θ2 π θ2 dθ ,∫ sen dθ k=πt aplicar la formula 4 en 16.2 2 2 0

solución t

La curva definida por

f ( t )=(∫ cos 0

t

π μ2 π μ2 dμ , ∫ sen dμ , 1) 2 2 0

Haciendo un pequeño artificio: t

2 cos ( π μ 2) dμ ,∫ 2 sen (π μ 2) dμ , 1

Nuestra función quedara así: (

0 t

∫¿¿ 0

a) Derivando la función: t

t

d (∫ 2 cos ( π μ ) dμ ,∫ 2 sen ( π μ2 ) dμ , 1) 2

0

0

 Quedará de la siguiente manera: π t2 ¿ ¿ 2 cos ⁡(, 2 sen ( π t 2 ) , 0 ¿ ) f ' ( t )=¿

 Hallando la segunda derivada: f left (t right ) = left (-2 sen( {π {t} ^ {2} )2tπ} ,2cos left (π {t} ^ {2} right ) 2tπ, 0 right )

 Hallando la curvatura(K): f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} ' f (t) x ¿ ¿ k=¿

f ' ( t )∗f (t)= left [matrix {i # j # k ## 2 cos (π {t} ^ {2} ) # 2sen(π {t} ^ {2} ) # 0 ## -2sen left (π {t 4 cos2 ( π t 2 ) 2 πt+ 4 sen2 ( π t 2 ) 2 πt i ( 0 ) ,− j ( 0 ) , k ¿ k =8 πt

 Hallando el modulo:

‖√(8 πt)2‖

= 8 πt

 Como ya conocemos la primera derivada podemos hallar el módulo de la siguiente manera: 2

‖f ' (t)‖ =

2 cos ⁡(π t ) ¿ ¿ ¿ √¿

‖f ' (t )‖ = 2 √ 2  Reemplazando en la ecuación de la curvatura:

√2

2¿ ¿ ¿ |8 πt (0,0,1)| k= ¿ k =πt

−θ

21.- Hallar la curvatura de la espiral logarítmica : r=e

para todo t ,

¿ Que resultado se obtiene si � tiende al infinito. Solución:

Resolviendo por cordenadas polares tenemos que: x=rcosθ , y=rsenθ pero :r=e−θ −θ

−θ

x=e cosθ , y=e senθ pero

La curva parametrica: e (¿ ¿−θ cosθ , e−θ senθ ) C : f (θ)=¿ Derivando: −e (¿ ¿−θ senθ−e cosθ , e−θ cosθ−e−θ senθ ) f ' ( θ )=¿ −θ

f ' ( θ )=e−θ (−senθ−cosθ , cosθ−senθ) f ' ( θ )=e−θ (−senθ−cosθ) , e−θ (cosθ−senθ) f

' ' (θ )

−θ

=e ( (−cosθ+ senθ ) −(−senθ−cosθ ) , (−senθ−cosθ )− ( cosθ−senθ ))

f ' ' (θ )=2 e−θ (senθ ,−cosθ) f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} f ' (t) x ¿ ¿ k=¿ ⇛ f ' ( t ) xf (t)= left [matrix { {e} ^ {-θ} (-senθ-cosθ )

#

{e} ^ {-θ} (cosθ- senθ)

## {2e} ^ {-θ} (sen

' f ( t ) xf (t)= {e} ^ {-θ} (-senθ-cosθ )* {2e} ^ {-θ} (-cosθ)- {2e} ^ {-θ} (senθ )* {e} ^ {-θ} (cosθ- senθ)

f ' ( t ) xf (t)= {2e} ^ {-2θ} (senθ*(cosθ)+ {cosθ } ^ {2} )- {2e} ^ {-2θ} (senθ )* (cosθ)- senθ) f ' ( t ) xf (t)= {2e} ^ {-2θ} ' f ( t ) xf (t) right rdline = {e} ^ {-θ} sqrt {2} ¿

‖f ' ( θ )‖=√ e−2θ (−senθ−cosθ )2 +e−2θ ( cosθ−senθ)2 ‖f ' ( θ )‖=√ e−2θ ( senθ2 +2 cosθsenθ+ cosθ2 )

❑

+ e−2 θ ( senθ 2−2 cosθsenθ+ cosθ2 )

‖f ' ( θ )‖=√ 2 e−2 θ=e−θ √ 2

f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} = {{e} ^ {-θ} sqrt {2}} over {{le ' f (t) x ¿ ¿ k=¿ e2 θ √ 2 k= 2

22.- Hallar la curvatura de la espiral de Arquímedes ¿Que resultado.

r=θ

para toda t

x=rcosθ , y=rsenθ pero :r=θ x=θ cosθ , y=θ senθ

La curva parametrica: C : f (θ)=(θ cosθ , θ senθ) f ' (θ)=(−θ sen θ+cos θ , θ cos θ+ sen θ)

f ´ '(θ)=(−θcos θ−senθ−sen θ ,−θsen θ+ cosθ+cos θ) f ´ '(θ)=(−θcos θ−senθ−senθ ,−θsenθ +cosθ+ cosθ)

f ´ '(θ)=(−θcos θ−2 senθ ,−θsen θ+2 cos θ)

' ⇛ f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # j # j ## -θsen θ +cosθ # θcos θ +senθ # 0 ## -θcos θ -2senθ # -θsen θ +2co

⇛ f ' ( t ) xf (t)= 0,0,( -θsen θ +cosθ )* ( -θsen θ +2cosθ )- ( -θcos θ -2senθ )* ( θcos θ +senθ ) ⇛ f ' ( t ) xf (t)= 0,0,( -θsen θ +cosθ)* (-θsen θ +2cosθ )+( θcos θ + 2senθ)* (θcos θ +senθ) Remplazando en la ecuacion: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} f ' ( t )∗¿ ¿ k=¿

23.- Calcular el radio de la curvatura de la carioide r=1+ cosθ , en θ=0 Solución

Como radio de la curvatura es: ρ ( θ )=

1 k (θ)

La ecuación de la curvatura es (k) f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} ' f ( t )∗¿ ¿ k=¿

Resolviendo por cordenadas polares tenemos que:

θ 2+ 2

= ( θ2+ 1 )3/ 2

x=rcosθ , y=rsenθ pero r=1+ cosθ

C=rcosθ , y=rsenθ pero r=1+ cosθ Entonces la curva de la carioide “C” esta expresada por : C : x=(1+ cosθ)cosθ , y=(1+cosθ)senθ La curva en forma parametrizada es : (1+cosθ) cosθ ,(1+ cosθ) senθ )) f ( θ )=¿ f ' ( θ )=( (1+ cosθ ) (−senθ )−sen θ cosθ ) , ( 1+cosθ ) cosθ+ (−senθ ) cosθ f ' ( θ )=( (−senθ ) −2 sen θ cosθ ) , ( cosθ+cosθ 2 )− ( senθ ) cosθ f ' ( θ )=( (−senθ ) −sen 2 θ ) , ( cosθ +cosθ 2 )−( senθ ) cosθ f ' ( θ=0 )=( (−sen 0 )−sen 20 ) , ( cos 0+ cos 02 ) −( sen 0 ) cos 0 f ' ( θ=0 )=0, 2 , 0 f ' ' (θ )=( (−cos θ ) −cos 2 θ ) , (−sen θ−2 senθ ) +1 f ' ' (θ=0 )=( (−cos 0 ) −cos 20 ) , (−sen 0−2 sen 0 ) f ' ' (θ=0 )=−2, 0,0

‖0, 2,0 x −2, 0,0‖ =4 /3

k=

3

‖0, 2,0‖