Solucion De Hoja De Trabajo S1 3i73

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería SESIÓN 1 Tema: Funciones Reales de Variable Real – Funciones elementales 1. Valor numérico de una función. Determine el valor de N en cada caso: a)

f ( x) 

b)

f ( x) 

x  3; N 

f (19)  f (12) f (7)

x  2 N  f (0)  f (1) ; f (2)  f (3) 3x  4

Solución: f (19)  f (12) f (7) Hallemos los valores:

c) f ( x ) 

x  3;

N 

f (19)  19  3  16  4 f (12)  12  3  9  3 f (7)  7  3  4  2 Sustituyendo en la expresión N, tenemos: N 

d) f ( x) 

x2 ; 3x  4

N 

f (19)  f (12) 4  3  6 f (7) 2

f (0)  f (1) f (2)  f (3)

Hallemos los valores:

02 1  3(0)  4 2 1 2 f (1)   3 3(1)  4 22 f (2)  2 3(2)  4 3 2 f (3)  1 3(3)  4 f (0) 

Sustituyendo en la expresión N, tenemos: N  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)



1 5  (3) 5 2  2  2 1 2 4

1

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 2. Utilice la prueba de la recta vertical para determina si la gráfica es de una Y función. Y Y

X

X

X

Solución: La gráfica de una ecuación representa a una función si toda recta vertical trazada sobre la gráfica corta a esta en un solo punto.

No es función

Es función

Por tanto solo a y c representan funciones. 3. Determine el dominio de la siguiente función

p ( x) 

x 1 x  5x  6 2

Solución: La función f(x) está bien definida si la expresión que está dentro de la raíz cuadrada es positiva. Es decir

x 1 0 x  5x  6 2

Resolviendo la inecuación:

x 1 0 ( x  3)( x  2) –

+ –2

–

– 0

+ 2

+

Luego el dominio de la función sería: D f   1, 2  3, 

2 – –

+ –2 1

– 0 2

+ 2 3

+

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 4. Determine el dominio y el rango de la siguiente función

2x x 4

f ( x) 

2

Solución:  Dominio: La función f(x) está bien definida si

2x 0 x 4 2

Aplicando puntos críticos para resolver la inecuación

x

 x  2  x  2 –

+ –2

–

0

–

+

0

2

+

Luego el dominio será: D f  2;0   2;     Rango: Para determinar el rango despejamos “x” en función de “y” de la función dada.

y

2x , x 4

además observa que y  0

2

Elevar al cuadrado para eliminar la raíz:

y2 



2x x 4 2



y2 x2  4  2x y x  2x  4 y 2  0 2

2

Desarrollamos esta última ecuación cuadrática usando la fórmula general, donde: a  y 2 , b  2, c  4 y 2 x

 b  b 2  4ac 2a

2  4  16 y 4 x , 2 y2

y0

Ahora bien, “x” será un número real si y sólo si y  IR , puesto que si racionalizas  8y2 la expresión anterior, obtienes x  , donde y  0 2  4  16 y 4 3

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 Es decir: y  R   0;   0; Por lo tanto el rango de la función será,

R f   0, 5. Determine el rango de la función:

f (x)  x 2  x ;

x [1,4]

Solución: Primero observamos que el dominio está dado en forma explícita, es decir: 1  x  4 Para hallar el rango, partimos del dominio, así podemos obtener la regla de correspondencia de la función,

f ( x)  x 2  x Para ello, arreglamos la función completando cuadrados:  1   2

f  x  x 2  x  

1  f  x   x   2 

Entonces, ahora como:

2

 1   2

2

 2



1 4

1  x  4

Sumamos (-1/2) en cada parte de la expresión anterior 1 1 1  x  4 2 2 2 3 1 7  x  2 2 2

1

Luego elevamos al cuadrado, teniendo en cuenta que la expresión siempre será positiva 1  0 x  2  0

1  1  x  4  2

2

 7   2

2



2



1  7   4  2

2



1 4

4

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 

1  1  x  4  2

2



1  12 4

Aquí nos detenemos, puesto que ya obtuvimos la regla de correspondencia de la función



1  f ( x)  12 4

Por lo tanto el rango será:  1  R f    ,12  4  6. Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si su grupo es menor de 12, cada boleto cuesta $9,50. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta $8,75. Escriba una función que definida por partes represente el costo de comprar n boletos Solución: Sea n la cantidad de personas que entrarían al teatro, según los datos definimos la función por partes, así:

; si 0  n  12 ; si n  12

 9,50 n  8, 75 n

C ( n)  

7. El ángulo  descrito por la hélice de un ventilador que define una trayectoria circular está dado por la función  (t )  10  2t  t 2 . Donde  está dado en radianes y t en segundos. Determine (T) si T = [10, 15]. Solución: Como la función está dada por la regla de correspondencia   t   10  2t  t 2 , es necesario completar cuadrados, luego,   t   t 2  2t  1  1  10   t    t  1 2  9 Ahora bien, nos piden determinar   10;15  , para ello partiremos de la desigualdad, 10  t  15 y llegaremos a la regla de correspondencia de la función   t    t  1  9 2

10  t  15 10  1  t  1  15  1 9  t  1  14 9 2   t  1  14 2 2

81  9   t  1  9  196  9 2

5

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 90   t  1  9  205 90    t   205 2

Luego: R   90; 205

8. Una compañía fabrica sus productos con un costo de S/. 12 cada uno y los vende a S/. 30 la unidad. Si los costos fijos para dicha empresa son S/. 36 000. a) Encuentre la función del costo total C y el ingreso total R de producir x unidades y grafique en un mismo plano cartesiano. b) ¿Cuál es la pérdida o ganancia de la compañía si sólo se producen y venden 1000 unidades al mes? c) ¿Cuál es la pérdida o ganancia de la compañía si sólo se producen y venden 3500 unidades al mes? d) Encuentre las coordenadas del punto de equilibrio Solución: Sea “x” las unidades producidas y vendidas. Según los datos tenemos: PV = 30 CV = 12x CF = 36000 Usaremos las fórmulas conocidas: Costo Total = Costo Fijo + Costo Variable Ingreso = (Precio) (cantidad) Utilidad = Ingreso – Costo Total a) Hallemos la función de costo total y la función ingreso. Función de Costo Total: C(x) = 36000 + 12x Función de Ingreso Total: R(x) = 30x

C, R C (x ) 36000

0

R(x)

x

b) ¿Hay pérdida o ganancia si se producen y venden x = 1000 unidades? La función utilidad está dada por: U (x) = R (x) – C (x) 6

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería U (x) = 30x – (36000 + 12x) U(x) = 18x – 36000 U (1000) = 18000 – 36000 U (1000) = - 18000 Respuesta: Si se producen y venden 1000 unidades al mes hay una pérdida de S/ 18 000. c) ¿Cuál es la pérdida o ganancia de la compañía si sólo se producen y venden 3500 unidades al mes? U(x) = 18x – 36000 U (3500) = 63000 – 36000 U (3500) = 27000 Respuesta: Si se producen y venden 3500 unidades al mes hay una ganancia de S/ 27000. d) Encuentre las coordenadas del punto de equilibrio Hay punto de equilibrio si R ( x )  C ( x) equivalentemente si U ( x)  0 U(x) = 18x – 36000 = 0 x = 2000 Luego las coordenadas del punto de equilibrio son: (2000, 60 000) R, C

R(x) 60000

(2000;60000)

C (x )

36000

2000

x

9. Al producir q artículos, el precio es p  32  q y el costo total C  80  8q.

a) b) c) d)

está dado por

Determine la función de utilidad que dependa de la cantidad q de artículos. Esboce su gráfica. ¿Cuál es la utilidad máxima? ¿Para qué cantidades de artículos se produce ganancia?

Solución: Tenemos los siguientes datos, el precio de cada artículo y el costo total respectivamente: 7

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p  32  q C  80  8q a) Hallemos la función utilidad U(q) = Ingreso – Costo Total

U (q )  (32  q)q  (80  8q) U (q )  q 2  24q  80 b) Esboce su gráfica:  Encontramos el vértice de la parábola: U (q )  q 2  24q  80 b  24 h   12 2a 2  1 k  U 12   64



Hallamos los interceptos con el eje “q”, hacemos U (q )  0

q 2  24q  80  0 Resolviendo la ecuación cuadrática por aspa simple, tenemos dos soluciones,

q  4 y q  20 Luego hacemos la gráfica, U(q ) 64

0

(12; 64)

4

12

20

q

c) La utilidad máxima es 64 soles, y eso ocurre cuando se venden 12 artículos. d) Hay utilidad cuando se produce y vende, entre 4 y 20 artículos, es decir: 4  q  20

8

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 10. En un experimento de laboratorio, se observa que cuando se reduce la temperatura T (grados Celsius) de un conejo, su ritmo cardíaco (latidos por minuto) disminuye. En condiciones de laboratorio, un conejo a temperatura de 37° C tiene un ritmo cardíaco de 220 y a una temperatura de 32° C su ritmo cardíaco disminuye a 150. La función R es ritmo cardíaco y está relacionada linealmente con la temperatura T. a) Encontrar la relación funcional entre R y T y su respectiva gráfica. b) Hallar la variación de R si T= [26; 38]. Solución: Sea: T: la temperatura R: ritmo cardíaco Tenemos las siguientes condiciones: Si T = 37°, entonces R = 220 Si T =32°, entonces R = 150 Además T y R se relacionan linealmente a) Suponga que la función lineal del ritmo cardiaco está dada por: R (T )  mT  b Además por las condiciones tenemos: R(37) = 37 m + b = 220 R(32) = 32 m + b = 150 Solucionamos el sistema de ecuaciones lineales, para ello reste las siguientes ecuaciones 37 m + b = 220 32m + b = 150 De aquí obtenemos: m = 14 y b = -298 Luego la función que relaciona R y T sería: R (T )  14T  298 Graficar R (T )  14T  298 R(T ) 220

150

9 32

37

T

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b) Hallar la variación de R si T = [26,38] Como: 26  T  38

14( 26)  14T  14(38)

364  14T  532 364  298  14T  298  532  298 66  14T  298  234 Respuesta: R varía de 66 a 234, cuando T varía de 26 a 38 11. Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de $ 5 por platillo de carne tendrán un promedio de 200 clientes por noche, mientras que si lo vende a $ 7 el número promedio de clientes bajará a 100 (asuma la relación demanda – precio como lineal). Además se sabe que el costo promedio por la elaboración del platillo de carne es de $3. a) Establecer una relación entre el Ingreso del restaurante y el precio por platillo. b) Indicar cual se considera una variable independiente y cual dependiente. c) Graficar la relación establecida d) Encontrar a qué precio se debe de vender cada platillo de carne con la finalidad de maximizar las utilidades del restaurante y cual es esta utilidad. e) Grafique la relación de la utilidad que dependa del precio. Solución: De los datos tenemos, Si el precio es p = 5, entonces el número de clientes = 200 Si el precio es p = 7 entonces el número de clientes = 100 Como la relación demanda – precio es lineal, entonces la función cliente – precio toma la forma Clientes (p) = mp + b Luego, usando la información dada tenemos: Clientes (5) = m(5) + b = 200 Clientes (7) = m(7) + b = 100 Solucionando el sistema de ecuaciones lineales 5m + b = 200 7m + b = 100 Obtenemos al restar ambas ecuaciones: m = -50 y b = 450. Luego: Clientes (p) = -50 p + 450 a) Hallamos la función ingreso del restaurante: Ingreso = (precio) (cantidad)

I ( p )  p (50 p  450) 10

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Se observa que la función ingreso adopta una forma cuadrática

I ( p )  50 p 2  450 p b) El ingreso depende del precio del platillo, así que: p: variable independiente I: variable dependiente c) Para graficar la función I(p) hallamos el vértice de la parábola, h

b  450   4,5 2a 2  50

Como h = 4,5, sustituya p = 4,5 en I ( p )  50 p 2  450 p para obtener la otra coordenada

k  I  4,5   50  4,5   450  4, 5   1012,5 2

Ahora, hallamos los interceptos con el eje “p”; es decir hagamos I(p)=0 0  50 p 2  450 p p  50 p  450   0

p =0 ó p = 9

1012, 5

I( p)

(4,5; 1012,5)

9

4, 5

0

p

d) Hallamos la utilidad Utilidad = Ingreso – Costo Total Costo Total = 3(-50p +450) Entonces: U ( p )   50 p 2  450 p  3  50 p  450  U ( p)  50 p 2  600 p  1350





Para encontrar en qué precio alcanza la máxima utilidad hallamos el vértice de la parábola: b  600 h  6 k  U (6)  450 2a 2  50  11

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Rpta: Cuando el precio es de $ 6 alcanza una utilidad máxima de $ 450. U(p ) 450

0

(6; 450)

3

6

9

p

12