Simplex 1u1648

Optimización Ejemplo: (Decisiones sobre fijación de precios) La Corporación de Cremas Dentífricas Orgánicas produce crema para dientes en dos tamaños, de 100 y 150 mililitros. El costo de producción de cada tubo de cada tamaño es de 60¢ y 90¢, respectivamente. Las demandas semanales * y (en miles) para los dos tamaños son de = 3

− * = 320 + 3 * − 5 donde * y son los precios en centavos de los tubos. Determine los precios maximizarían las utilidades de la compañía. *

= −

Solución:

*

=

= 90

= −3

*

=

= −3

= 60

*

*

*

=

+ 320

*

− 180

*

=

*

+

* *

*

−3

*

= 320

+3

*

=3

+6

+

−

−5

+6

+ 590

*

*

*

−5

= 180

−5

+6

*

− 270

− 180

*

− 90

*

− 450

− 28800 + 90

−5

*

−5

= 28800 + 270

+ 28800 + 270

= 28800 + 90

+ 320 *

*

=

−5

= 90 320 + 3

= −3

−

= 60 ∙ 3

= 180 *

*

*

*3

320 + 3

=

*

*

*

− 450

− 270

− 28800

Calculamos las derivadas parciales y determinamos puntos estacionarios J J

J J

*

= −6

*

+6

= 590 + 6

*

− 90 = 0

− 10

=0

*

y

que

Optimización Que dan origen al sistema de ecuaciones b −6 * + 6 = 90 c 6 * − 10 = −590 Sumando las ecuaciones tenemos −4 = −500 = 125 = 110 *

Y obtenemos el punto estacionario 110.125 Calculamos las derivadas de segundo orden para determinar si el punto obtenido es un máximo o mínimo utilizando el método del Hessiano

La matriz Hessiana queda

Y el Hessiano

−6 6 R ! 110.125 = ] ^ 6 −10

6 |R ! | 110.125 = _−6 _ = 60 − 36 = 24 > 0 6 −10

Como

El criterio dice que si

J = −6 J * J = −10 J J =6 J J * J =6 J *J

*

= 110 y

J J

*

110.125 = −6 < 0

= 125 se obtienen las máximas utilidades que ascienden a

110.125 = −3 ∙ 110 + 590 ∙ 125 + 6 ∙ 110 ∙ 125 − 5 ∙ 125 − 90 ∙ 110 − 28800 110.125 = 75725

Ejemplo: (Fijación óptima de precios de productos que compiten entre sí) La compañía occidental de dulces produce caramelos en dos tamaños a costos unitarios de 10¢ y 20¢ cada uno. Las demandas semanales "* y " (en miles) para los dos tamaños están dadas por "* = − * "* = 60 + * − 3

en donde * y denotan los precios en centavos de los caramelos en los dos tamaños. Determine los precios * y que maximizarían las utilidades semanales de la empresa.

Optimización Solución: Primero obtenemos la función utilidad

=

*

=

*

*

=2

*

=2

− *

*

=

*

−

−

− 10

*

−

=

−3

= 20" = 20 60 +

=2

*

*

+

* "*

=

= 60

=

*

*

*

+

+ 60

*

+

−

−

*

−3

+ 110

*

−3

−3

−3

− 10

= 1200 + 20

+ 1200 + 20

= 1200 + 10

+ 60

*

+

*

= 10

*

−3

−

*

"

+ 60

*

= 10"* = 10

= 10

=

*

*

60 +

=

= −

*

− 50

*

− 60

− 1200 + 10

−3

*

*

*

− 60

− 50

− 1200 − 10

*

Calculamos las derivadas parciales y determinamos puntos estacionarios J J

J J

*

=2

=2

−2

*

*

− 10 = 0

+ 110 − 6

=0

Que dan origen al sistema de ecuaciones b 2 − 2 * = 10 c 2 * − 6 = −110 Que da el punto estacionario = 25 = 20 * Calculamos las derivadas de segundo orden para determinar si el punto obtenido es un máximo o mínimo utilizando el método del Hessiano

Optimización

Laramente el punto es un máximo pues

Y

J J

J = −2 J * J = −6 J J =2 J J * J =2 J *J *

= −2 < 0

|R ! | 110.125 = _−2 2 _ = 12 − 4 = 8 > 0 2 −6

Ejercicios: Pag 749-751, Matemáticas aplicadas a la istración Airya-5°Ed

Optimización Multiplicadores de Lagrange.

Supongamos que tenemos una función ! de @ A en @.

H = ! "* , … , "A

La cual se quiere optimizar bajo condiciones adicionales representadas por las ecuaciones d* "* , … , "A = 0 d b "* , … , "A = 0g ⋮ df "* , … , "A = 0

Para determinar un optimo de !, construimos la función de Lagrange o Lagrangeano = ! − h* d* − h d − ⋯ − hf df

donde los hI ∈ @ se llaman multiplicadores de Lagrange y los puntos estacionarios de ! serán los puntos estacionarios de , y tendremos que utilizar algún método para determinar su calidad de máximo o mínimo por ejemplo la evaluación. Otra técnica que se ocupa frecuentemente es la despejar una o más variables desde las restricciones y sustituirlas en la función objetivo, consiguiendo una reducción en la dimensión del problema. Ejemplo: (Costos de producción mínimos) Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. El costo de producir " unidades en su primera planta e G unidades en la segunda planta está dado por la función conjunta de costo ", G = " + 2G + 5"G + 700 Si la empresa tiene una orden de suministrar 500 unidades, ¿cuántas unidades debe producir en cada planta con el objetivo de minimizar el costo total? Solucion: En este problema la función objetivo es ", G = " + 2G + 8" + 10G + 7000 y la condición de pedido es " + G = 500

Podemos despejar una de las variables de esta restricción, por ejemplo G y obtenemos G = 500 − "

Esta expresión para G la podemos sustituir en la función objetivo y obtenemos " = " + 2 500 − "

+ 8" + 10 500 − " + 7000

Que después de un breve trabajo algebraico nos queda

" = 3"² − 2002" + 512000

Determinamos el o los puntos críticos de la forma tradicional

Optimización " = 6" − 2002 = 0

que nos da el punto estacionario " = 333.7. Ocupando la restricción " + G = 500

podemos determinar que G = 166.3. Para determinar si es un máximo o un mínimo aplicamos el criterio de la segunda derivada " =6>0 Lo que nos indica claramente que es un mínimo y el valor de este costo mínimo es 333.7 = 3 ∙ 333.7² − 2002 ∙ 333.7 + 512000 = 177999.67

Al resolver el mismo problema por multiplicadores de Lagrange hacemos lo siguiente: ", G, h =

Construimos el Lagrangeano donde La función objetivo y

", G − hd ", G

", G = " + 2G + 8" + 10G + 7000 d ", G = " + G − 500

es la restricción. Finalmente el Lagrangeano queda:

", G, h = " + 2G + 8" + 10G + 7000 − h " + G − 500

Buscamos puntos estacionarios b

= 2" + 8 − h = 0 m P = 4G + 10 − h = 0 = − " + G − 500 = 0 l %

Note que la última ecuación coincide con la restricción original del pedido. Resolviendo, tenemos que de la última ecuación G = 500 − "

De la primera y segunda, podemos igualar por lambda h Finalmente sustituyendo

2" + 8 = 4G + 10

2" + 8 = 4 500 − " + 10 2" + 8 = 2000 − 4" + 10 6" = 2002 " = 333.7

Que claramente nos da el mismo punto estacionario que el método anterior.

Optimización