Sgm - Sistemas De Ecuaciones 5y5p1i
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Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
¿Qué es un Sistema de Ecuaciones? En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Para que tenga solución, deberá tener tantas incógnitas como ecuaciones independientes. Las ecuaciones independientes son aquellas que no pueden obtenerse amplificando o simplificando por un factor. Sistema de Ecuaciones Lineales: es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado). Un ejemplo de Sistema de Ecuaciones Lineales es el siguiente:
donde:
x1, x2, x3= incógnitas de las ecuaciones.
¿Cómo se resuelve un Sistema de Ecuaciones Lineales? Existen varios métodos: • Sustitución • Igualación • Reducción • Regla de Cramer • Eliminación de Gauss-Jordan • Método gráfico En esta guía sólo se revisarán los métodos de Sustitución, Reducción y Regla de Cramer. Sustitución Consiste en despejar una incógnita dentro de una ecuación (de preferencia la que tenga menor coeficiente), para sustituirla en otra. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
1 de 8
Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
en la otra ecuación, para así
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la
.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
, y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
, con lo que el sistema queda
ya resuelto. La aplicación de este método para sistemas de 3X3 (3 ecuaciones y 3 incógnitas) se discutió en clase (primer ejercicio de la Ley de Kirchoff). Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por
para poder cancelar la incógnita . Al
multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la
incógnita : 2 de 8
Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en cualquiera de
las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de
si
sustituimos en la primera ecuación es igual a:
La aplicación de este método para sistemas de 3X3 se discutió en clase (segundo ejercicio de la Ley de Kirchoff). Regla de Cramer La regla de Cramer da una solución para sistemas de ecuaciones lineales en términos de determinantes y adjuntos dada por:
Para un sistema de 3x3 de la forma:
La representación en forma de matriz es:
3 de 8
Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
, ,
pueden ser encontradas como sigue:
¿Cómo se calculan estos determinantes de 3X3? Se aplica la regla de Sarrus:
-
Ejemplo:
Ejercicio 1: Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales:
Calcule , ,
4 de 8
Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
Solución: Expresando en forma Matricial, tenemos:
Los valores de
serían:
Calculando los determinantes, tenemos: 3 2 1 |A|= 2 0 1 -1 1 2 |A|= 3·0·2 + 2·(-1) ·1 + 1·2·1 - 1·0·(-1) - 2·2·2 - 3·1·1 = 0 - 2 + 2 - 0 - 8 - 3 = -11 1 2 1 |Ax|= 2 0 1 4 1 2 |Ax|= 1·0·2 + 2·4 ·1 + 1·2·1 - 1·0·4 - 2·2·2 - 1·1·1 = 0 - 8 + 2 - 0 - 8 - 1 = 1 3 1 1 |Ay|= 2 2 1 -1 4 2 |Ay|= 3·2·2 + 1·(-1) ·1 + 1·4·2 - 1·2·(-1) - 1·2·2 - 3·1·4 = 12 - 1 + 8 + 2 - 4 - 12 = 5 5 de 8
Guía N°2 – SERVICIOS GENERALES PARA MINERÍA 1er Semestre 2015 Sistemas de Ecuaciones Profesor Hernán Gajardo
3 2 1 |Az|= 2 0 2 -1 1 4 |Az|= 3·0·4 + 2·(-1) ·2 + 1·2·1 - 1·0·(-1) - 2·2·4 - 3·1·2 = 0 - 4 + 2 + 0 - 16 - 6 = -24 De esta forma:
Ejercicio 2:
𝑥𝑥 =
−1 −5 24 , 𝑦𝑦 = , 𝑧𝑧 = 11 11 11
Dado el siguiente circuito:
donde
,
Calcule 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3 Solución:
Aplicando las 2 leyes de Kirchhoff, obtenemos el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales: 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼3 = 0 100𝐼𝐼1 + 200𝐼𝐼2 + 0 = 3 � 0 − 200𝐼𝐼2 + 300𝐼𝐼3 = −7
Escribiendo ahora en forma matricial: 1 −1 −1 𝐼𝐼1 0 �100 200 0 � �𝐼𝐼2 � = � 3 � 0 −200 300 𝐼𝐼3 −7
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Calculando los determinantes, tenemos: 1 -1 -1 |A|= 100 200 0 0 -200 300 |A|= 1·200·300 + 1·0 ·0 + (-1)·(-200)·100 – (-1)·200·0 – (-1)·300·100 - 1·(-200)·0 = 60000 + 0 + 20000 + 0 + 30000 + 0 = 110000
|AI1|= |A I1|= = =
|A I2|= |A I2|= = =
|A I3|= |A I3|= = =
0 -1 -1 3 200 0 -7 -200 300 0·200·300 + (-1)·0 ·(-7) + (-1)· (-200)·3 – (-1)·200·(-7) – (-1)·300·3 - 0·(-200)·0 0 + 0 + 600 1400 + 900 + 0 100 1 0 -1 100 3 0 0 -7 300 1·3·300 + 0·0 ·0 + (-1)·(-7)·100 – (-1)·3·0 – 0·100·(-7) - 1·(-7)·0 900 + 0 + 700 + 0 + 0 + 0 1600 1 -1 0 100 200 3 0 -200 -7 1·200·(-7) + (-1)·3 ·0 + 0·(-200)·100 – 0·200·0 – (-1)· (-7)·100 - 1·(-200)·3 -1400 + 0 + 0 + 0 700 + 600 -1500
𝑥𝑥 =
100 1600 −1500 [𝐴𝐴], 𝑦𝑦 = [𝐴𝐴], 𝑧𝑧 = [𝐴𝐴] 110000 110000 110000 𝑥𝑥 =
1 4 −3 [𝐴𝐴], 𝑦𝑦 = [𝐴𝐴], 𝑧𝑧 = [𝐴𝐴] 1100 275 220
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Ejercicio Propuesto Para el siguiente circuito, calcule 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3
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¿Qué es un Sistema de Ecuaciones? En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Para que tenga solución, deberá tener tantas incógnitas como ecuaciones independientes. Las ecuaciones independientes son aquellas que no pueden obtenerse amplificando o simplificando por un factor. Sistema de Ecuaciones Lineales: es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado). Un ejemplo de Sistema de Ecuaciones Lineales es el siguiente:
donde:
x1, x2, x3= incógnitas de las ecuaciones.
¿Cómo se resuelve un Sistema de Ecuaciones Lineales? Existen varios métodos: • Sustitución • Igualación • Reducción • Regla de Cramer • Eliminación de Gauss-Jordan • Método gráfico En esta guía sólo se revisarán los métodos de Sustitución, Reducción y Regla de Cramer. Sustitución Consiste en despejar una incógnita dentro de una ecuación (de preferencia la que tenga menor coeficiente), para sustituirla en otra. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
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En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
en la otra ecuación, para así
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la
.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
, y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
, con lo que el sistema queda
ya resuelto. La aplicación de este método para sistemas de 3X3 (3 ecuaciones y 3 incógnitas) se discutió en clase (primer ejercicio de la Ley de Kirchoff). Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por
para poder cancelar la incógnita . Al
multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la
incógnita : 2 de 8
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El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en cualquiera de
las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de
si
sustituimos en la primera ecuación es igual a:
La aplicación de este método para sistemas de 3X3 se discutió en clase (segundo ejercicio de la Ley de Kirchoff). Regla de Cramer La regla de Cramer da una solución para sistemas de ecuaciones lineales en términos de determinantes y adjuntos dada por:
Para un sistema de 3x3 de la forma:
La representación en forma de matriz es:
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, ,
pueden ser encontradas como sigue:
¿Cómo se calculan estos determinantes de 3X3? Se aplica la regla de Sarrus:
-
Ejemplo:
Ejercicio 1: Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales:
Calcule , ,
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Solución: Expresando en forma Matricial, tenemos:
Los valores de
serían:
Calculando los determinantes, tenemos: 3 2 1 |A|= 2 0 1 -1 1 2 |A|= 3·0·2 + 2·(-1) ·1 + 1·2·1 - 1·0·(-1) - 2·2·2 - 3·1·1 = 0 - 2 + 2 - 0 - 8 - 3 = -11 1 2 1 |Ax|= 2 0 1 4 1 2 |Ax|= 1·0·2 + 2·4 ·1 + 1·2·1 - 1·0·4 - 2·2·2 - 1·1·1 = 0 - 8 + 2 - 0 - 8 - 1 = 1 3 1 1 |Ay|= 2 2 1 -1 4 2 |Ay|= 3·2·2 + 1·(-1) ·1 + 1·4·2 - 1·2·(-1) - 1·2·2 - 3·1·4 = 12 - 1 + 8 + 2 - 4 - 12 = 5 5 de 8
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3 2 1 |Az|= 2 0 2 -1 1 4 |Az|= 3·0·4 + 2·(-1) ·2 + 1·2·1 - 1·0·(-1) - 2·2·4 - 3·1·2 = 0 - 4 + 2 + 0 - 16 - 6 = -24 De esta forma:
Ejercicio 2:
𝑥𝑥 =
−1 −5 24 , 𝑦𝑦 = , 𝑧𝑧 = 11 11 11
Dado el siguiente circuito:
donde
,
Calcule 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3 Solución:
Aplicando las 2 leyes de Kirchhoff, obtenemos el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales: 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼3 = 0 100𝐼𝐼1 + 200𝐼𝐼2 + 0 = 3 � 0 − 200𝐼𝐼2 + 300𝐼𝐼3 = −7
Escribiendo ahora en forma matricial: 1 −1 −1 𝐼𝐼1 0 �100 200 0 � �𝐼𝐼2 � = � 3 � 0 −200 300 𝐼𝐼3 −7
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Calculando los determinantes, tenemos: 1 -1 -1 |A|= 100 200 0 0 -200 300 |A|= 1·200·300 + 1·0 ·0 + (-1)·(-200)·100 – (-1)·200·0 – (-1)·300·100 - 1·(-200)·0 = 60000 + 0 + 20000 + 0 + 30000 + 0 = 110000
|AI1|= |A I1|= = =
|A I2|= |A I2|= = =
|A I3|= |A I3|= = =
0 -1 -1 3 200 0 -7 -200 300 0·200·300 + (-1)·0 ·(-7) + (-1)· (-200)·3 – (-1)·200·(-7) – (-1)·300·3 - 0·(-200)·0 0 + 0 + 600 1400 + 900 + 0 100 1 0 -1 100 3 0 0 -7 300 1·3·300 + 0·0 ·0 + (-1)·(-7)·100 – (-1)·3·0 – 0·100·(-7) - 1·(-7)·0 900 + 0 + 700 + 0 + 0 + 0 1600 1 -1 0 100 200 3 0 -200 -7 1·200·(-7) + (-1)·3 ·0 + 0·(-200)·100 – 0·200·0 – (-1)· (-7)·100 - 1·(-200)·3 -1400 + 0 + 0 + 0 700 + 600 -1500
𝑥𝑥 =
100 1600 −1500 [𝐴𝐴], 𝑦𝑦 = [𝐴𝐴], 𝑧𝑧 = [𝐴𝐴] 110000 110000 110000 𝑥𝑥 =
1 4 −3 [𝐴𝐴], 𝑦𝑦 = [𝐴𝐴], 𝑧𝑧 = [𝐴𝐴] 1100 275 220
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Ejercicio Propuesto Para el siguiente circuito, calcule 𝐼𝐼1 , 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3
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