Seno Coseno Y Tangente 4l6n1o

Seno, coseno y tangente Tres funciones, la misma idea.

Triángulo rectángulo Antes de concentrarnos en las funciones, nos ayudará dar nombres a los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera:

(Adyacente significa tocando el ángulo, y opuesto es opuesto al ángulo... ¡claro!)

Seno, coseno y tangente Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro... ¡sólo tienes que aprenderte qué lados son! Para el ángulo θ : Función seno: sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa Función coseno: cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa Función tangente: tan(θ) = Opuesto / Adyacente Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa "sine") o sen(). Aquí utilizaremos sin() pero puedes encontrarte la otra notación en otros libros o sitios web.

Sohcahtoa Sohca...¿qué? ¡Sólo es una manera de recordar qué lados se dividen! Así: Soh...

Seno = Opuesto / Hipotenusa

...cah... ...toa

Coseno = Adyacente / Hipotenusa Tangente = Opuesto / Adyacente

Apréndete "sohcahtoa" - ¡te puede ayudar en un examen!

Ejemplos Ejemplo 1: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 30° ? El triángulo clásico de 30° tiene hipotenusa de longitud 2, lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud √3:

Seno

sin(30°) = 1 / 2 = 0.5

Coseno

cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866

Tangente tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577 (¡saca la calculadora y compruébalo!) Ejemplo 2: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 45°? El triángulo clásico de 45° tiene dos lados de 1 e hipotenusa √2:

Seno

sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707

Coseno

cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707

Tangente

tan(45°) = 1 / 1 = 1

Ejercicio Prueba este ejercicio sobre el papel donde tienes que calcular la función seno para ángulos de 0° a 360°, y dibujar el resultado. Te ayudará a entender estas funciones que son bastante simples.

Funciones menos comunes Para completar el cuadro, hay otras 3 funciones donde divides un lado por otro, pero no se usan tanto. Son iguales a 1 divivido entre las tres funciones básicas (sin, cos y tan), así: Función secante: sec(θ) = Hipotenusa / Adyacente Función cosecante: csc(θ) = Hipotenusa / Opuesto Función cotangente: cot(θ) = Adyacente / Opuesto ¡Y eso es todo!

(=1/cos) (=1/sin) (=1/tan)

LA TRIGONOMETRÍA ES UNA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS RELACIONES DE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS EN LOS TRIÁNGULOS. PARA ESTO SE VALE DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS, LAS CUALES SON UTILIZADAS FRECUENTEMENTE EN CÁLCULOS TÉCNICOS. NOSOTROS VAMOS A TRABAJAR SOLAMENTE SOBRE TRIANGULOS RECTÁNGULOS. SABEMOS QUE UN TRIANGULO ES UNA FIGURA GEOMETRICA QUE TIENE 3 LADOS Y 3

ANGULOS.

CUANDO UN TRIANGULO TIENE 1 DE SUS 3 ANGULOS RECTOS (90º) SE LLAMA TRIANGULO RECTANGULO. ESE ES EL CASO DEL TRIANGULO DEL GRAFICO 1, EN ESTE TRIANGULO EL ANGULO RECTO ES EL ANGULO C (VEMOS QUE ESTA SEÑALIZADO CON DOS SEGMENTOS PERPENDICULARES). COMO LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO TIENE QUE SER 180º Y YA TENEMOS UNO (EL ANGULO C) QUE MIDE 90º, CADA UNO DE LOS OTROS DOS ANGULOS (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) TIENEN QUE SER MENORES QUE UN RECTO (90º), ES DECIR, SON ANGULOS AGUDOS. SIGAMOS CON EL GRAFICO 1 PERO AHORA VAMOS A DARLE NOMBRES A LOS LADOS. OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO ESTA FORMADO POR 2 LADOS DEL TRIANGULO. SIEMPRE, LOS LADOS DEL TRIANGULO QUE FORMAN EL ANGULO RECTO SE LLAMAN CATETOS. COMO SABEMOS QUE EL TRIANGULO ESTA FORMADO POR 3 LADOS, NOS FALTARIA UN LADO PARA NOMBRAR, ESE TERCER LADO SE LLAMA HIPOTENUSA. EL TRIANGULO DE NUESTRO GRAFICO, ENTONCES, QUEDARIA COMO EL GRAFICO 2:

OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO AGUDO (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) ESTAN FORMADOS (CADA UNO) POR UN CATETO Y LA HIPOTENUSA. ESE CATETO QUE FORMA AL ANGULO JUNTO A LA HIPOTENUSA SE LLAMA CATETO ADYACENTE, EL CATETO RESTANTE ES EL CATETO OPUESTO. EXISTEN UNAS FUNCIONES QUE RELACIONAN LADOS Y ANGULOS DE UNA FIGURA GEOMETRICA (DECIMOS FUNCION PORQUE TENEMOS POR LO MENOS UNA VARIABLE INDEPENDIENTE), DE ESAS FUNCIONES APLICADAS A LOS ANGULOS AGUDOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO VAMOS A UTILIZAR TRES: SENO, COSENO Y TANGENTE. (EN NUESTRO TRIANGULO LA VARIABLE INDEPENDIENTE SERA EL VALOR DEL ANGULO). EN UN TRIANGULO RECTANGULO LAS FUNCIONES QUE MENCIONAMOS (FUNCIONES TRIGONOMETRICAS) SON LAS SIGUIENTES: SENO DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / HIPOTENUSA COSENO DE UN ANGULO: CATETO ADYACENTE / HIPOTENUSA TANGENTE DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / CATETO ADYACENTE EN ADELANTE SIMPLIFICAREMOS LAS DISTINTAS DENOMINACIONES DE LA SIGUIENTE MANERA: CATETO OPUESTO = CO CATETO ADYACENTE = CA HIPOTENUSA = H SENO = SEN o SIN COSENO = COS

TANGENTE = TAN VEAMOS COMO PODEMOS UTILIZAR ESTAS FUNCIONES. VAMOS A PONERLE ALGUNOS VALORES A NUESTRO TRIANGULO: :

TENEMOS EL VALOR DEL ANGULO B QUE ES 35º Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS QUE ES 25 M. CON UNA CALCULADORA CIENTIFICA O CON UNA TABLA OBTENEMOS EL VALOR DEL SENO, DEL COSENO Y LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º (ESTOS VALORES SIEMPRE SERAN DATOS EN NUESTRAS EVALUACIONES). SIN 35º = 0.574 COS 35º = 0.819 TAN 35º = 0.700 OBSERVEMOS QUE EL CATETO QUE MIDE 25 M. ES EL CATETO QUE FORMA AL ANGULO DE 35º JUNTO CON LA HIPOTENUSA, ENTONCES PODEMOS DEDUCIR QUE SE TRATA DEL CATETO ADYACENTE DE ESE ANGULO. SUPONGAMOS QUE NECESITO SABER CUANTO MIDE EL OTRO CATETO Y OBTENER ESE VALOR CON LOS DATOS QUE TENGO. LOS DATOS QUE TENGO HASTA AHORA SON EL VALOR DE UN ANGULO (35º), EL VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ESE ANGULO Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS (CON RESPECTO A ESE ANGULO EL CATETO ADYACENTE). COMO NECESITO OBTENER EL VALOR DEL CATETO QUE ME FALTA Y YA TENGO EL VALOR DEL OTRO CATETO, ME FIJO EN CUAL DE LAS 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS UTILIZADAS

APARECEN LOS 2 CATETOS. LOS 2 CATETOS APARECEN EN LA TANGENTE: TAN = CO / CA COMO HABIA DEDUCIDO QUE EL CATETO QUE MEDIA 25 M. ERA EL CATETO ADYACENTE, EL OTRO CATETO SE QUE ES EL CATETO OPUESTO. REEMPLAZO LA FORMULA CON LOS VALORES QUE TENGO (EL CATETO DE 25M. Y EL VALOR DE LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º). 0.700 = CO / 25 M COMO TENGO QUE ENCONTRAR EL VALOR DEL CO TENGO QUE DESPEJARLO (DEJARLO SOLO), PARA ESO DEBO PASAR LOS 25 M. AL OTRO LADO DE LA IGUALDAD. ME FIJO QUE OPERACIÓN ESTA REALIZANDO Y OBSERVO QUE ESTA DIVIDIENDO, COMO SE QUE CUANDO PASO UN TERMINO DE UN LADO A OTRO DE LA IGUALDAD PASA CON LA OPERACIÓN OPUESTA Y LOS 25 M. ESTAN DIVIDIENDO, ENTONCES, PASARAN MULTIPLICANDO. POR LO TANTO: 0.700 x 25 M = CO HAGO LA OPERACIÓN Y OBTENGO: 17.5 M. = CO POR LO TANTO, EL CATETO QUE ESTABA CALCULANDO MEDIRA 17.5 M. (Ver grafico 4).

AHORA QUIERO CALCULAR EL VALOR DE LA HIPOTENUSA UTILIZANDO EL CATETO QUE MIDE 25 M (CATETO ADYACENTE). ME FIJO QUE FUNCION ME REUNE EL CATETO ADYACENTE CON LA HIPOTENUSA.

LA FUNCION ES EL COSENO. HAGAMOS LOS CALCULOS SIN DETALLAR LA EXPLICACION: COS = CA / H 0.819 = 25 M / H 0.819 x H = 25 M H = 25 M / 0.819 H = 30.52 M. Ver grafico 5