Rotasi 2o3s69

PUTARAN (ROTASI) Definisi :Sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir. BA dan Lambang ⦨ABC adalah untuk sudut berarah dengan kaki awal ⃗ ⃗ kaki akhir BC . Untuk melambangkan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-hal berikut :

m (⦨ ABC) = m (∠ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah positif m (⦨ ABC) = - m (∠ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah negatif C

C

G

B A

B

H

A

m (⦨ ABC) =

m (⦨ CBA) = -

45

45

I m (⦨ GHI) =

150

Apabila ∠ ABC sebuah sudut, maka ∠ ABC = ∠ CBA sehingga m (∠ ABC) = m (∠ CBA). Tetapi untuk sebuah sudut berarah ABC, berlaku m ( ⦨ ABC) = - m (⦨ CBA). Ini disebabkan orientasi ganda (BAC) selalu lawan orientasi ganda (BCA). Apabila ada dua garis berpotongan yang tidak tegak lurus, sudut antara dua garis itu kita pilih sudut lancip. Sebab ada dua pasang sudut bertolak belakang, satu pasang lancip dan satu pasang tumpul. Pada gambar 11.2 besarnya sudut antara garis s dan garis t adalah 70 sedangkan besarnya sudut antara s dan u adalah 80. u

C

t

3 0

7 0

Gambar 11.2

s

A

B

P Gambar 11.3

Kita sekarang akan lebih merinci sudut antara dua garis sebagai berikut. Andaikan garis s dan garis t berpotongan dititik A (gambar 11.3). andaikan P sebuah titik pada s sedangkan B dan C dua titik t sehingga A terletak antara B dan C. Jika ∠ PAB lancip, maka dikatakan bahwa sudut dari s ke t adalah ∠ PAB. Jika ∠ PAB tumpul, maka sudut dari s ke t adalah ⦨ PAC. Pada gambar 11.3 jika m(∠ PAB) = 150, maka besarnya sudut dari s ke t adalah m(⦨ PAC) = -30 sedangkan besarnya sudut dari t ke s adalah m( ⦨ CAP)= 30. u

t C

B P

70 A

30

D E

s

F Gambar 11.4

Pada gambar 11.4 anda dapat melihat bahwa : 1. Sudut dari s ke t : m(⦨ APB) = 70 2. Sudut dari s ke u : m(⦨ DPC) = -80 3. Sudutdari u ke t : m(⦨ B) = -30 Sehingga dapat dikatakan bahwa sudut berarah dari satu garis kegaris lain dapat berkisar antara -90 hingga 90. Sedangkan sudut antara dua garis dapat berkisarantara 0 dan 90. Teorema11.1 :Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. Andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A, maka m(⦨ PAP”) = m(⦨ QAQ”) dengan P” = M tMs(P) dan Q” = MtMs(Q) Bukti : Kasus1 . Andaikan P dan K terletak pada garis s (gambar 11.5.a) Maka MtMs(A) = A. Sebut peta ini A”, jadi A” = A, oleh karena M tMs sebuah isometri, maka P”, K” dan A” = A terletak pada satu garis yang melalui A. sehingga m(⦨ PAP”) = m (⦨ KAK”). Kasus 2. Apabila P ∉ s dan karena besar sudut-sudut tidak berubah terhadap isometric maka m(⦨ PAK) = m(⦨ P” AK ” ¿ Oleh karena komposit dua refleksi garis adalah sebuah isometric langsung maka orientasi ganda (APK) sama dengan orientasi ganda (AP”K”)

Jadi m (⦨ PAK) = m(⦨ P”AK”). Apabila kedudukan P seperti dalam gambar 11.5.b maka m(⦨ PAP”) = m(⦨PAK) + m(⦨ KAP”). Sedangkan m(⦨ KAK”) = m(⦨ KAP”) + m(P”AK”). Sehingga m(⦨ PAP”) = m(⦨ KAK”) Kasus 3. Dengan cara yang serupa untuk kedudukan P seperti pada gambar 11.5.c, dapat pula dibuktikan bahwam(⦨ PAP”) = m(⦨ KAK”) Jadi dapat disimpulkan bahwa : Untuk setiap titik P ≠ A kita peroleh:m(⦨ PAP”) = m(⦨ KAK”) Begitu pula n untuk titik Q : m(⦨ QAQ”) = m(⦨ KAK”) Sehingga m(⦨ QAQ”) = m(⦨ PAP”) Jadi oleh transformasi MtMs setiap titik terputar dengan sudut berarah yang sama mengelilingi titik yang sama.

Definisi2 : Andaikan A sebuah titik dan ϕ sebuah bilangan yang memenuhi -180 < ϕ < 180. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah padanan RAϕ : V → V yang ditentukan sebagai berikut : 1. RAϕ (A) = A 2. Jika P ≠ A maka RAϕ (P) = P’ sehingga m(⦨ PAP’) = ϕ dan AP’ = AP.

Teorema11.3 :Hasil kali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi. Bukti : ´ , Jika m(⦨ Andaikan ada rotasi RA,ϕ1dan rotasi RB,ϕz. Tarik garis s = AB XAY) = m(⦨ XAZ) = ½ ϕ, maka R A,ϕ1 = MsMt dan RB,ϕz= MuMg. Jadi RB,ϕzRA,ϕ1 = (MuMg)(MsMt) = MuMt Apabila u//t maka RB,ϕ2 RA,ϕ1 adalah suatu geseran. Kalau u dan t berpotongan di C maka MuMt adalah suatu rotasi yang berpusat di C. Andaikan RCϕ = RB,ϕ2 RA,ϕ1 hubungana pakah yang terdapat antara ϕ, ϕ 1 dan ϕ2 ? Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m(⦨ ABC) = ½ ϕ2 sedangkan m(⦨ BAC) = ½ ϕ1 Dengan demikian m(⦨ PCB) = ½ (ϕ1 + ϕ2 ) . Ini berarti bahwa sudut dari t ke u adalah ½ (ϕ1 + ϕZ), sehingga 2ϕ= ϕ1 + ϕ2 . Jika ϕ1 + ϕ2 > 180 maka ϕ= (ϕ1 + ϕ2 ) – 360

Sebagai gambaran, andaikan ϕ2 = 140 dan ϕ1 = 60. Dalam hal ini m(∠ ACB) = 80 dan m(∠ PCB) = 100. Oleh karena m( ⦨ ACB) = - 80 maka sudut dari t ke u adalah -80; jadi ϕ= -160. Perhatikan bahwa -160 = (ϕ 1 + ϕ2 ) – 360.