Resonancia 3a3i5h

RESONANCIA

Nombre: Pulido Cornelio, Roy Profesor: Curso:

Huánuco - Perú

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INDICE Introducción .................................................................................................................................. 5 MARCO TEORICO ........................................................................................................................... 6 Objetivos ....................................................................................................................................... 7 Fenómeno de la resonancia en estructuras................................................................................. 8 1.

Concepto ........................................................................................................................... 8

2.

Causas ............................................................................................................................... 9 

Viento ............................................................................................................................ 9



Terremotos .................................................................................................................... 9

3.

4.

Efectos dinámicos del viento.......................................................................................... 10 

Resonancia .................................................................................................................. 10



Desprendimiento de remolinos .................................................................................. 11



Inestabilidades aeroelásticas ...................................................................................... 12



Los efectos dinámicos del viento en la normativa ...................................................... 12



Ensayo de Túnel del viento ......................................................................................... 12

Casos de es estructuras en la ingeniería que colapsaron por causa del fenómeno ........... 13 

PUENTE BROUGHTON ................................................................................................. 13



PUENTE TACOMA NARROWRWS ................................................................................ 14



PASARELA DEL MILENIO DE NORMAN FOSTER ........................................................... 14



PUENTE DE VOLGOGRADO .......................................................................................... 15



PUENTE DE ARCOS DE ALCONETAR............................................................................. 15

5.

Ejemplo demostrativo: FENÓMENOS DE RESONANCIA EN PUENTES ................. 16

6.

Conclusiones........................................................................................................................ 20

7.

Bibliografía .......................................................................................................................... 21

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RESONANCIA RESONANCIA: es un fenómeno mecánico que se da por la vibración natural que es sometida una estructura a un periodo de vibración externa de la misma frecuencia, pero en forma repetida. La resonancia de una estructura es el aumento en amplitud de un sistema causado por una una fuerza pequeña en ase con el movimiento. Para evitar daños irreparables a causa de este fenómeno, se de evaluar los edificios y puentes para poder hacer uso de ellos con la confianza de estar habilitados para lo que fueron diseñados. Ejemplo demostrativo Los tres puentes tienen su propia frecuencia natural, son tres estructuras, que simularemos que son puentes. Frecuencia natural lenta, intermedia y muy rápida.

Sacudimos el soporte lentamente, nos percatamos que cuanto más lenta lo movemos, la frecuencia natural lenta se mueve más rápido, es decir la estructura más lenta y más pequeña se mueve mucho más rápido que los demás., sin necesidad de hacer esfuerzo.

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RESONANCIA Pero si hacemos lo contrario, la estructura más alta es la que se dispara, su frecuencia empieza ser más rápida. Como se muestra en la siguiente imagen.

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INTRODUCCIÓN En la actualidad se tiene un conocimiento muy deficiente de lo que es el fenómeno de la resonancia en las estructuras civiles, así también del ancho campo de sus aplicaciones. En el presente informe, se explicará con un ejemplo por que se origina, y que proceso tiene el fenómeno de la resonancia en una edificación. Estudiar porque se origina y que daños puede causar la resonancia, ya que generalmente las estructuras se ven afectadas por ello. Las vibraciones libres ocurren cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo y, cuando las fuerzas externamente aplicadas son inexistentes. El sistema bajo vibración libre vibrará a una o más de sus frecuencias naturales que, son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y rigidez. Además, se indagará que evaluaciones se puede efectuar en una estructura, para poder evitar pérdidas humanas y daños en las infraestructuras de una edificación.

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MARCO TEORICO Cada estructura cuenta con una frecuencia natural, cuando la estructura entra a una excitación externa de vibración, que podrá ser un movimiento sísmico, la fuerza del viento, un motor sobre una estructura de soporte. Generalmente hace que la estructura adopte un movimiento oscilatorio con una frecuencia determinada. Cuanto más se acerque la frecuencia generada por la excitación a la frecuencia natural, mayor será la intensidad que se visualizara en el fenómeno de la resonancia., el cual se mostraría en grandes movimientos oscilatorios en amplitudes máximas. También, este fenómeno se puede analizar matemática y cualitativamente en Laboratorios básicos de física como lo hacen en el Empresa mexicana Ambher ingeniería. Este fenómeno se ve más en sismos y viento. En el Perú se observa especialmente en los sismos, debido a la localización geográfica del país.

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Objetivos:   

Priorizar sobre el estudio de la resonancia y los daños que pueden causar a una estructura. Indagar sobre las posibles causas que pueden ocasionar el fenómeno en estudio. Con ejemplo demostrativo y sencillo entender que es la resonancia y como actúa en las estructuras.

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RESONANCIA FENÓMENO DE LA RESONANCIA EN ESTRUCTURAS 1. Concepto La resonancia de una estructura es el aumento en amplitud de un sistema causado por una una fuerza pequeña en ase con el movimiento. Lo que da a entender que es un fenómeno mecánico que se da por la vibración natural que es sometida una estructura a un periodo de vibración externa de la misma frecuencia, pero en forma repetida. Dando lugar que la amplitud del sistema oscilante de la estructura se haga más grande. Este fenómeno puede ser destructiva para varias edificaciones como; hospitales, escuelas, casas particulares, puentes, etc. ocasionando pérdidas humanas y materiales considerables. Para evitar daños irreparables a causa de este fenómeno, se de evaluar los edificios y puentes para poder hacer uso de ellos con la confianza de estar habilitados para lo que fueron diseñados. Ambher ingeniería, empresa mexicana dedicada a la ingeniería de monitoreo ha diseñado la implementación de sistemas con medición de alta tecnología, para el estudio de la salud de la estructural monitoreando los movimientos oscilatorios de las estructuras. Ejemplo: Puente de Tacoma Antes que se acabase de construir, con brisas suaves el puente se oscilaba. El 7 de noviembre de 1940, cruzar el puente con el coche, era como un deporte. El viento era moderado, apareció más grave, el puente se enroscaba, el viento se movía 64km/h no era demasiado fuerte, pero si era fuerte para que el puente se enroscara. A las 11 de la mañana el puente cayó. Un puente que había sido construido por las mejores técnicas de la ingeniería había caído, que había originado esto.

Para poder entender cómo actúa el fenómeno de resonancia en las diversas estructuras, en caso más general edificios y viviendas, necesitamos conocer y entender un par de conceptos, relacionados con el diseño de la estructura en sí. ING.CIVIL

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RESONANCIA 2. Causas  Viento Es cuando el índice de flujo del aire sobre un cilindro, suponiendo este caso. El flujo del aire detrás de un cilindro situado perpendicularmente a una corriente se caracteriza por el desprendimiento alternado periódicos remolinos. Esta circunstancia genera sobre el cilindro fuerzas laterales periódicas que son la causa de las vibraciones en el plano perpendicular al flujo de aire incidente. Este tipo de modelo se puede generalizar a otros tipos de estructuras no cilíndricas como el puente de Tacoma.

 Terremotos La liberación de energía ocasionada por la interacción de las placas tectónicas genera ondas sísmicas, las cuales afecta en el suelo donde descansan las edificaciones. Estos movimientos vibratorios tienen un periodo y frecuencia fundamentales que en algunas edificaciones causa el fenómeno de la resonancia. En algún momento después de su generación, estas ondas sísmicas alcanzan la superficie de la tierra y la ponen en movimiento. A este movimiento lo conocemos comúnmente con el nombre de terremoto. Cuando el terremoto llega a la fundación del edificio provoca su movimiento y, luego, se transfiere al resto del edificio de una manera muy compleja. Estos movimientos generan fuerzas que pueden ocasionar mucho daño. Comienza a vibrar (régimen transitorio) en una manera compleja, en la misma mezcla de frecuencia que tiene el terremoto. Después de un período muy corto, el movimiento se centra alrededor de una las frecuencias naturales de vibración del edificio. Cuando el pico del espectro de frecuencia del movimiento de la tierra es muy próximo a una de las frecuencias naturales del edificio, el edificio entra en resonancia, las amplitudes de la vibración pueden tomar valores muy grandes y los edificios pueden sufrir incluso el colapso.

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3. Efectos dinámicos del viento  Resonancia Este efecto se produce cuando las acciones variables que actúan sobre las estructuras presentan una periodicidad bastante acusada, es decir, cuando los valores de la amplitud se repiten pasado un período de tiempo. Hernández Vázquez1,

Mª Representación de una unción periódica en función del tiempo Departamento de Ingenie

Cuando se da esta situación, se dice que dicha estructura ha entrado en resonancia. Pues bien, en la figura se muestra una función densidad espectral dependiente

de (vv)2, representativa de un caso típico real se observa que las frecuencias más características de L bien a

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RESONANCIA En la figura se muestra que es muy similar a alguna de las frecuencias fsi correspondiente a una de las formas de vibración propias de la estructura, dicha forma o modo de vibración aumenta considerablemente su amplitud; es decir, se produce un efecto de amplificación de la respuesta de la estructura ante la acción exterior periódica, que también depende del amortiguamiento estructural, aproximadamente, valores muy lejanos al entorno de los 0,2 Hz (12 14 vibraciones/minuto) a los que estaba oscilando el puente cuando se produjo su colapso.

 Desprendimiento de remolinos Este fenómeno se comenzó a estudiar en detalle durante los primeros años del siglo XX y establece que, para determinados valores del número de Reynolds, el flujo corriente abajo de un cilindro circular situado perpendicularmente a una corriente incidente uniforme se caracteriza por el desprendimiento alternado y periódico de remolinos que giran en sentido horario y anti horario de forma alternativa. Theodore Von Kárman, famoso ingeniero aeronáutico, demostraron mediante ensayos experimentales que esta teoría se podía generalizar a otros tipos de estructuras no cilíndricas, como el puente de Tacoma, por lo que ahora se podría hablar de la existencia de una acción periódica sobre el puente. Cuando se produjo el colapso, la velocidad del viento era del orden de 65 km/h, con lo que la frecuencia de desprendimiento de remolinos, fv, sería aproximadamente 1 Hz. Sin embargo, el puente estaba vibrando a una frecuencia de 0,2 Hz. Por lo tanto, y puesto que ambas frecuencias no coinciden, no se pudo producir ninguna resonancia, por lo que el desprendimiento de remolinos tampoco fue la causa del colapso. Es de destacar que, durante muchos años, el colapso del puente ha sido mostrado, como un ejemplo de estructura que ha entrado en resonancia. .

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RESONANCIA  Inestabilidades Aero elásticas Estas inestabilidades aparecen cuando un cuerpo sometido a un flujo de viento se mueve o deforma apreciablemente. Estas deformaciones producen variaciones en la forma de la interacción entre viento y estructura que modifican las fuerzas aerodinámicas ejercidas por el viento, lo que, a su vez, afecta a las propias deformaciones del cuerpo. En algunas situaciones, dichas fuerzas tienden a seguir aumentando progresivamente la deformación del obstáculo, causando su fallo por fatiga o al alcanzar tensiones excesivas. Se trata, por tanto, de una vibración auto excitada. Es éste un problema típico en Ingeniería Aeronáutica ya que se puede dar en las alas de las aeronaves, aunque también puede ocurrir en otras estructuras. En el caso del puente de Tacoma, el factor desencadenante de esta inestabilidad fue el solape de la oscilación existente de flexión con una vibración de torsión, ocasionado por el fallo de un cable de suspensión. El proceso hasta ahora descrito se denomina flameo o flutter y concretamente aparece cuando para una fase determinada entre torsión y flexión, la estructura extrae energía del flujo constante de aire  Los efectos dinámicos del viento en la normativa Hasta hace pocos años, a nivel de normativa general, prácticamente no se había contemplado la posibilidad de que ocurrieran estos efectos sobre las estructuras, tal como se puede observar en la instrucción “NBEAE/ 88, Acciones en la Edificación”, en donde únicamente se considera la acción del viento como acción estática. Sin embargo, en el más reciente Código Técnico de la Edificación (C.T.E.) se especifica que, en el caso de estructuras sensibles a los efectos dinámicos inducidos por el viento, será necesario efectuar un análisis dinámico detallado y comprobar su seguridad frente a la fatiga. Así, se consideran especialmente sensibles aquellos edificios cuyas dimensiones cumplen alguna de las siguientes relaciones: siendo h la altura del edificio, d su dimensión en el sentido paralelo a la dirección del viento y b en el sentido perpendicular el viento. También se deberá llevar a cabo un análisis detallado en los casos en que se cumplan simultáneamente las siguientes relaciones: Si, conforme a la figura 9, el caso está situado en el rango de las estructuras sensibles frente a los efectos dinámicos.  Ensayo de Túnel del viento Es un aparato que permite estudiar en laboratorio la aerodinámica de cualquier objeto que se coloque en su interior. Es una habitación con una plataforma giratoria en su centro a la que se fija el objeto. La pared situada frente a él está formada por una rejilla por la que penetra el aire que envía una gigantesca turbina situada detrás.

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RESONANCIA En uno de los laterales, y separado por una ventana, está el laboratorio que recibe los datos de los sensores que se colocan sobre la superficie del objeto y registran la velocidad del aire, su dirección, formación de remolinos y otros. La plataforma puede girarse para variar el ángulo de incidencia del aire.

4. Casos de es estructuras en la ingeniería que colapsaron por causa del fenómeno  PUENTE BROUGHTON Quizás no sea un puente famoso pero su colapso nos ha dejado una recomendación que siguen la mayoría de los ejércitos del mundo: “Todas las tropas deben romper el paso cuando marchen sobre un puente”. El puente de Brighton era una estructura colgante de 144m sobre el río Irwel, en Manchester, Inglaterra. En 1831 colapsó cuando 74 soldados lo cruzaron marcando el paso. Si bien fueron 40 los soldados lanzados al río,afortunadamentenohubomuertes. Aunque actualmente no se esté seguro de que el fallo estructural se debiera a la entrada en resonancia por culpa la frecuencia inducida por el paso del ejército.

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PUENTE TACOMA NARROWRWS Quizás el colapso de un puente más famoso de la historia y que, gracias a él, personas sin conocimientos de estructuras han oído hablar del fenómeno de la resonancia. El 7 de noviembre de 1940, tan solo a 4 meses de su inauguración, el puente Tacoma Narrows (el tercero más grande del mundo en ese momento) entró en resonancia con un viento de apenas 65 Km/h. En este vídeo podéis ver el colapso: Sin embargo el efecto que causó el colapso del puente no debe ser confundido con resonancia forzada. En este caso, no existía una perturbación periódica ya que el viento soplaba en forma constante. La frecuencia del modo destructivo fue 0,2 Hz, que no se corresponde ni con un modo natural de la estructura aislada ni con la frecuencia del desprendimiento de vórtices del puente a la velocidad del viento. El evento solo puede ser comprendido si se consideran acoplados los sistemas estructurales y aerodinámicos lo cual requiere un riguroso análisis matemático. En el caso de este puente, la ligera velocidad del viento y la frecuencia del mismo coincidieron con la frecuencia natural del puente, por lo que la energía transferida se maximizó de tal manera que las ondas lo balancearon hasta colapsarlo, a pesar de estar construido para soportar vientos de hasta 200 kilómetros por hora según sus constructores.

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PASARELA DEL MILENIO DE NORMAN FOSTER La construcción comenzó a finales de 1998. Fue abierto en el 2000, y unas inesperadas vibraciones y fallos estructurales, hicieron que éste tuviera que ser cerrado dos días después de su apertura, para realizar modificaciones. Estos movimientos eran producidos por el gran número de personas, 90.000 el primer día y más de 2.000 en el puente al mismo tiempo. Las primeras pequeñas vibraciones animaron (o incluso obligaron) a las personas a caminar de manera sincronizada con el balanceo, incrementandoelefecto.

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Se intentó limitar el número de personas cruzando el puente en el mismo momento. La clausura del puente solo 3 días después de que se abriese produjo una gran crítica pública. Se realizaron modificaciones, y tras un periodo de prueba, se reabrió en febrero del 2002.

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PUENTE DE VOLGOGRADO Puente que conecta el centro de Volgogrado fue bloqueado debido a las fuertes vibraciones de las estructuras en medio de la lluvia y el viento. La amplitud de las fluctuaciones, de acuerdo con datos preliminares, eran 11.5 metros". El puente fue bloqueado para determinar las razones de estas fluctuaciones. Sorprendente efecto de resonancia, una oscilación originada como consecuencia de unas fuertes ráfagas de viento y lluvia que azotaron la zona, dejando atónitos a los conductoresy testigos del balanceo.

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PUENTE DE ARCOS DE ALCONETAR Para atravesar el Tajo de Alconetar se diseñó el que hoy llamamos puente Arcos de Alconétar, estructura basada en un par de arcos metálicos de 220 metros, sobre el que iría un tablero de hasta 400 metros de longitud. El sistema de arcos fue construido mediante un ingenioso método que ahorra tiempo: los arcos se construyen en un taller, se llevan a su emplazamiento y se montan allí. En su momento, fue el mayor puente del mundo construido mediante este sistema.

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RESONANCIA Todo iba bien hasta el 10 de enero de 2006 los dos semiarcos del primer arco de soporte habían sido unidos entre sí y estaban ya empotrados en sus arranques empezaron a tambalearse por efecto del suave viento que soplaba, a una velocidad constante de unos 20-30 km/h.

5. Ejemplo demostrativo: FENÓMENOS DE RESONANCIA EN PUENTES Con los ejemplos ya expuestos anteriormente, se indagara más sobre los efectos de resonancia en un puente. En puentes de ferrocarril la resonancia se produce a causa de la combinación de dos factores: en primer lugar por la regularidad de las distancias entre ejes de los trenes, regularidad que se debe a que, excepción hecha de las locomotoras, los coches de cada composición para el transporte de pasajeros suelen ser idénticos entre sí; en segundo lugar la velocidad de paso del tren sobre el puente debe ser tal que el tiempo transcurrido entre el paso de dos grupos de cargas que se repiten sea igual al (o múltiplo del) periodo fundamental de vibración. Esta última condición no suele verificarse a velocidades inferiores a 200 km/h, pero superado dicho umbral se corre el riesgo de aparición de fenómenos de resonancia. El comportamiento de la estructura en situación de resonancia se pone de manifiesto en los registros temporales de desplazamientos en centro de vano correspondientes a los máximos de respuesta de la figura 1.1.1. Las figuras 1.1.2, 1.1.3 y 1.1.4 muestran dichos registros temporales para los trenes Eurostar, TGV y Virgin.

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Como puede observarse en la figura, el registro temporal de desplazamientos correspondiente al paso del Eurostar muestra una respuesta oscilante de amplitud creciente con el tiempo, debido a que cada uno de los bogies entra en el puente estando en fase con la oscilación de éste, cediéndole por tanto energía y aumentando la flecha máxima alcanzada. La única irregularidad en el registro se presenta en la transición entre cadenas de vagones, momento en que las distancias entre cargas dejan de ser regulares y por tanto se alteran ligeramente las coincidencias de fase entre las entradas de cargas y la oscilación del puente. Tal es el caso como el puente de Tacoma, que se estudiara con detenimiento. EL PUENTE DE TACOMA NARROWS El puente de Tacoma Narrows está situado en los EE.UU fue construido en los años 30, cabe decir que esos momentos el país pasaba por una terrible crisis económica. La ciudad de Tacoma, en el noroeste del país, necesita un puente para conectarse con la península de Kitsap, al norte. El resultado fue un hermoso puente colgante, inaugurado el 1 de julio de 1940. Su forma recuerda al famoso Golden Gate de San Francisco, y era sólo algo más pequeño: más de 1.800 metros de longitud, con una separación de 850 metros entre soportes. Fue en su momento el tercer puente más grande del mundo, una mole compuesta por miles de toneladas de acero y cemento, diseñado para durar. La ejecución del puente duro exactamente cuatro meses y seis días. Este puente era algo especial, no solo por la infraestructura sino por Los suaves vientos de la zona hacían que el tablero del puente subiese y bajase cada pocos segundos. Evidentemente, eso no era lo que debía suceder, pero al público le encantó. Los conductores recorrían decenas de kilómetros para cruzar por “Gertrudis galopante,” como la bautizaron los obreros que la construyeron.

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RESONANCIA Eso eran buenas noticias, no sólo para el turismo local, sino para la cuenta de resultados del puente, que era de peaje. Origen Como podría suceder estas oscilaciones en el puente. Eso le sucede, por ejemplo, a un muelle cuando lo estiramos, o a un péndulo cuando lo separamos de la horizontal. Eso implica una fuerza que tiende a restaurar el estado inicial. Cuando esa fuerza es proporcional a la distancia que el cuerpo se ha alejado del equilibrio, tenemos el llamado movimiento armónico simple. La naturaleza, por su parte, suele imponer fuerzas disipativas (viscosidad, rozamiento, amortiguamiento magnético), así que ni el muelle ni el péndulo van a estar oscilando eternamente, y la amplitud de las oscilaciones se va reduciendo con el tiempo. Para compensarlo, podemos efectuar una fuerza externa. Hay una fuerza que e es sinusoidal (e incluso si es periódica, es decir, que va repitiéndose con el tiempo), tenemos el llamado movimiento armónico forzado. La expresión para su movimiento es similar a la anterior, pero con algunas diferencias. La más significativa es que la amplitud A ya no es constante, sino que depende de los parámetros del sistema. Las oscilaciones crecen tanto más cuanto menor sean las fuerzas disipativas; y si éstas son muy pequeñas. El viento viene horizontalmente, digamos de izquierda a derecha. Cuando topa con el izquierdo, se desdobla en dos flujos de aire, que recorren el puente. Pero como el puente carecía de línea aerodinámicas, el aire formaba remolinos en la parte superior, y también en la inferior Investigaciones No disponemos el puente para hacer mediciones, y el último que lo intentó tuvo que salir corriendo; pero una simulación realizada posteriormente en túneles de viento mostró que para velocidades del viento bajas hay al menos tres frecuencias de resonancia entre 0,13 y 0,3 Hz. Eso se corresponde aproximadamente a la frecuencia con que el período con el que Gertrudis galopaba arriba y abajo (entre 0,1 y 0,2 Hz, dependiendo de la velocidad del viento), y también con la frecuencia de Strouhal para velocidades de entre 8 y 20 km/h. Se procedieron las investigaciones por el profesor, Farquharson, de la Universidad de Washington, que daba una solución, Sin embargo el fenómeno hizo colapsar el puente. El 7 de noviembre de 1940, cuatro meses después de su inauguración, los vientos en la zona eran más fuertes que lo habitual, unos 65 km/h. Hacia las diez de la mañana, el puente se vio sacudido por fuertes movimientos de torsión. El tablero central no se limitaba a subir y bajar suavemente, sino que se retorcía de una forma que solamente podemos calificar como salvaje.

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RESONANCIA Los resultados del estudio realizado para esclarecer las causas muestran que sí hay un efecto de torsión a 0,2 Hz, tanto más violento cuanto mayor fuese la velocidad del viento. Experimentalmente, pues, el túnel de viento muestra que el puente debió romperse, y eso es exactamente lo que hizo. Pero no se trató de un fenómeno de resonancia. Si la velocidad del viento es pequeña, el remolino irá recorriendo el puente durante más de un período de torsión. Es decir, mientras el remolino se encuentra a medio camino, la torsión del puente habrá cambiado de sentido y ahora se formará un remolino en la parte inferior. El efecto de ambos remolinos se anula. Colapso del puente Eso es lo que pasó en el puente de Tacoma Narrows. Cada vez que se inclinaba lateralmente, se generaban remolinos, los cuales ejercían un momento de torsión que retorcía el puente cada vez más. A cada oscilación, la torsión crecía, lo que incrementaba el tamaño de los remolinos, que a su vez aumentaba la torsión, y así sucesivamente. El efecto es un “bombeo” de energía del viento al puente.

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6. Conclusiones  En la actualidad, el diseño estructural está conduciendo a la realización de edificios esbeltos y estructuras ligeras y de grandes luces. En algunos casos, los efectos dinámicos del viento pueden ser especialmente peligrosos, por lo que deben ser estimados para evitar sucesos similares al ocurrido en Tacoma.  Los efectos dinámicos es un aspecto del proyecto muy importante por una variedad de circunstancias, Una carga dinámica (fuerzas variables en el tiempo) puede hacer resonar la estructura., El viento produce resonancias en estructuras que tienen un período fundamental alto, Los terremotos resuenan más fuertemente con estructuras de período más corto , pero pueden hacerlo también con estructuras de período más largo, Las cargas de alta frecuencia como el caminar o correr puede resonar con el sistema piso.

 Existen como el ensayo de Túnel de Viento, para evitar estas oscilaciones. Es decir, las posibles destrucciones que puede provocar una resonancia estructural.  El puente Tacoma estaba diseñado para resistir vientos de hasta 200km/h , pero el dia que colapso el viento tenía una velocidad de 65 km/h, Esto es debido a que fue ocasionado por un fenómeno llamado frecuencia natural, es decir resonancia estructural.

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7. Bibliografía  R. Álvarez, J. Díaz, J. Fernández, J. Ley, J. Santos y F. Santos. Modelo numérico de simulación dinámica para puentes de ferrocarril sometidos a tráfico de alta velocidad. Intemac, 1996. (Colección "Cuadernos Intemac")

 R. Álvarez, J. Díaz, C. Moreno , J. Santos y F. Santos. Conclusiones de los ensayos realizados en el "Viaducto sobre el río Tajo" en la línea de alta velocidad Madrid-Sevilla. Consideraciones para el proyecto de obras de paso en F.F.C.C. de alta velocidad. Hormigón y Acero, 214, pp 131-140, 1999

 J.M. Biggs. Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill, 1964.

 Bleich. Theorie und Berechnung der Eisernen Brücken. Springer, 1924.  http://naukas.com/2012/03/26/la-resonancia-bien-entendida-el-puente-

de-tacoma-narrows/

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