Rendon Teoria De La Medida p3i4m

Teoría de la Medida

Leonardo Rendón Pedro Zambrano

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, D.C. 15 de abril de 2013

Índice general

1. Definiciones preliminares

1

1.1. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1.

σ-Álgebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2.

Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. La recta extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1.

Abiertos básicos de la recta extendida. . . . . . . . . . .

6

1.2.2.

Arimética en la recta extendida. . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Más sobre σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Funciones simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Definición de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1.

Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2. La medida de Lebesgue

16

2.1. Medida exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

16

2.2. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3. La integral

33

3.1. Integrales de funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.

33

Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2. Teorema de la convergencia monótona. . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3. Teorema de la convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4. Las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . . . . . .

44

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4. Medida producto

53

4.1. Definición de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.2. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5. Espacios Lp

68

5.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.2. Completez de los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.3. Algunos conjuntos densos en Lp (µ) . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6. Algunos tipos de convergencia

88

6.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

6.3. Teorema de Egoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

7. Cargas

101

7.1. Teorema de descomposición de Hahn . . . . . . . . . . . . . . .

101

7.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.3. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . .

109

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

CAPÍTULO 1 Definiciones preliminares

1.1.

σ-álgebras

Definición 1.1.1. Sean X 6= ∅ y M ⊆ P(X). M es una σ-álgebra cuando : 1. X ∈ M. 2. Si A ∈ M, entonces X − A ∈ M. 3. Si {An }n∈N es una familia de elementos de M entonces

S∞

i=1

An ∈ M.

Al par (X, M) se le denomina espacio medible. Igualmente, X es denominado espacio medible si se sobreentiende cual es la σ-álgebra considerada. Observación 1.1.2.

∅ ∈ M (consecuencia de las propiedades 1. y 2.)

Si A1 , · · · , An ∈ M, entonces

Sn

i=1

∅ para k > n y de la propiedad 3.

1

Ai ∈ M: consecuencia de tomar Ak =

1.1. σ-ÁLGEBRAS Si {An }n∈N es una familia de elementos de M, entonces T S∞ c c que ∞ i=1 Ai = ( i=1 Ai ) y de las propiedades 2. y 3. Si A1 , · · · , An ∈ M, entonces

Tn

i=1

T∞

i=1

Ai ∈ M: ya

Ai ∈ M: consecuencia de tomar Ak =

X para k > n y de la observación anterior. Ejemplo 1.1.3 (Ejemplos de σ-álgebras).

1. Dado X 6= ∅, P(X) es una σ-álgebra.

2. {R, ∅, Q, I} ⊆ P(R) es un σ-álgebra Observación 1.1.4. Sean M1 , M2 σ-álgebras en X 6= ∅. Entonces M1 ∩ M2 es un σ-álgebra en X. Por otro lado, al considerar A, una colección no vacía de subconjuntos de X poT demos tomar MA = M∈F M, donde F := {M : M es una σ-álgebra en X y A ⊆ M}. Tenemos que MA es la menor σ-álgebra que contiene a A, en el sentido que dada M σ-álgebra en X, con A ⊆ M entonces MA ⊆ M. MA se denomina σ-álgebra generada por A.

1.1.1.

σ-Álgebra de Borel

Consideremos Rn con su topología usual. La σ-álgebra generada por la familia de abiertos en Rn es denominada σ-álgebra de Borel. Observación 1.1.5. No existe una σ-álgebra con cardinal ℵ0 , cardinal de N. En efecto. Supongamos que M es una σ-álgebra sobre el conjunto X , con M enumerable. Note que si X es finito entonces P(X) es un conjunto finito y por lo tanto M es un conjunto finito.

2

1.1. σ-ÁLGEBRAS Supongamos entonces que X es un conjunto infinito y que M es infinito enumerable. Dado x ∈ X definimos Ex = ∩E∈F E donde F = {E ∈ M : x ∈ E}. remarkérvese que Ex ∈ M, además dado E ∈ M se tiene que x ∈ E o x ∈ X − E por lo tanto Ex ∩ E = ∅ o Ex ⊆ E. De igual forma dados x, y ∈ X, distintos, se tiene que Ex = Ey o Ex ∩ Ey = ∅. Como X es un conjunto infinito y M es infinito enumerable existe G = {x1 , x2 · · · }, xi ∈ X para cada i ∈ N, tal que Exi ∩ Exj = ∅ si i 6= j . Definamos EA = ∪x∈A Ex para cada A ⊆ G. Nótese que EA ∈ E. Ahora si A 6= B entonces EA 6= EB ; esto es, la función ϕ : P(G) → M tal que ϕ(A) = EA es inyectiva. Absurdo, ya que P(G) no es enumrable y M es enumerable.

1.1.2.

Funciones medibles

Sea (X, M) un espacio medible y (Y, T ) un espacio topológico. Decimos que f : X → Y es medible si y solo si dado V ∈ T (es decir, un abierto en (Y, T )) se tiene que f−1 (V) ∈ M (es decir, f−1 (V) es medible).

Ejemplo 1.1.6. Sean (X, M) espacio medible y A ∈ M entonces la función χA : X → R definida por

χA (x) =

   1

si x ∈ A,

  0

si x ∈ / A.

es medible. Dado un abierto básico V ∈ R tenemos que 3

1.1. σ-ÁLGEBRAS si 1, 0 ∈ V entonces f−1 (V) = X ∈ M si 1 ∈ V y 0 ∈ / V entonces f−1 (V) = A ∈ M si 1 ∈ / V y 0 ∈ V entonces f−1 (V) = X − A ∈ M si 1, 0 ∈ / V entonces f−1 (V) = ∅ ∈ M y por lo tanto χA es medible. Proposición 1.1.7. Sean (Y, TY ), (Z, TZ ) espacios topológicos, (X, M) un espacio medible, f : X → Y una función medible y g : Y → Z una función continua. Entonces g ◦ f es medible. Demostración. Sea V ∈ TZ (un abierto en (Z, TZ )). Como g es continua, tenemos que g−1 (V) ∈ TY . Además como f es medible, tenemos que f−1 (g−1 (V)) = (g ◦ f)−1 (V) ∈ M. Es decir: g ◦ f es medible. Proposición 1.1.8. Sean (X, M) espacio medible, (Y, T ) espacio topológico, u, v : X → R funciones medibles y ϕ : R2 → (Y) una función continua. Se tiene que ϕ(u, v) es medible. Demostración. En virtud de la proposición anterior basta ver que

f = (u, v) : X → R2 x 7→ (u(x), v(x))

(1.1) (1.2)

es una función medible. En efecto, siendo R = I1 × I2 donde cada Ii es un abierto en R, tenemos que f−1 (R) = {x ∈ X : u(x) ∈ I1 } ∩ {x ∈ X : v(x) ∈ I2 }.

4

1.1. σ-ÁLGEBRAS Como {x ∈ X : u(x) ∈ I1 } ∈ M por ser u medible y {x ∈ X : v(x) ∈ I2 } ∈ M ya que v es medible, por la definición de σ-álgebra tenemos que f−1 (R) ∈ M. CONSECUENCIAS:

1. Sean (X, M) espacio medible y u, v : X → R medibles. Entonces f(x) = u(x) + iv(x) es medible. 2. Sea (X, M) espacio medible, y consideremos

f:X → C x 7→ u(x) + iv(x) medible. Entonces u, v, |f| :=

(1.3) (1.4)

√ u2 + v2 son medibles. La prueba consiste

en escoger las funciones continuas √ x, y2 , y + w, x, y, w ∈ R, con x ≥ 0 Im(z), Re(z) z ∈ C y usar la proposición anterior. 3. Siendo (X, M) espacio medible y u, v : X → R, se tiene que u + v y u · v son funciones medibles. Basta uilizar la proposición anterior combinada con las funciones continuas + : R2 → R y · : R2 → R.

5

1.2. LA RECTA EXTENDIDA

1.2.

La recta extendida

1.2.1.

Abiertos básicos de la recta extendida.

Puede ser que una sucesión (an )n∈N de números reales no sea acotada (es decir, que sup an y/o ´ınf an no existan). Vamos a anexar dos nuevos elementos (que se notarán por +∞ y −∞), donde [−∞, ∞] denotará el conjunto R ∪ {+∞, −∞}. De esta manera se define sup an := +∞ (si (an ) no es acotada superiormente en R) e ´ınf an := −∞ (si (an ) no es acotada inferiormente en R). Se define en [−∞, ∞] un orden parcial que extiende al usual en R, teniéndose que −∞ ≤ r y r ≤ +∞ para todo r ∈ R.

Las vecindades básicas de [−∞, ∞] son de la forma (α, β), [−∞, α), (β, +∞] con α, β ∈ R .

1.2.2.

Arimética en la recta extendida.

En [−∞, ∞] se va a tener especial cuidado al definir las operaciones básicas, ya que no se definen las situaciones del tipo ∞ + (−∞), las que consideraremos como una indeterminación. Adicionalmente, se define el producto de manera que 0 · d = d · 0 = 0 para todo d ∈ [−∞, ∞]. En este nuevo conjunto, se harán las definiciones de manera que extiendan las operaciones + y · usuales con las que se cuentan en R.

La siguiente tabla muestra la suma definida en [−∞, ∞], con a, b ∈ R:

6

1.3. MÁS SOBRE σ-ÁLGEBRAS Suma en la recta extendida.

+

−∞

a

+∞

−∞

−∞

−∞

Indeterminado

b

−∞

b+a

+∞

+∞

+∞

+∞ Indeterminado En la siguiente tabla, a, b ∈ R .

Producto en la recta extendida

·

−∞ 0

−∞

+∞ 0

0

0

0

b < 0 +∞ 0 +∞

1.3.

−∞ 0

a > 0 +∞ −∞

−∞

0

0

b·a

−∞

+∞

+∞

Más sobre σ-álgebras

Proposición 1.3.1. Sean M una σ-álgebra sobre X, Y un espacio topológico y f : X → Y una función. 1. N := {E ⊆ Y : f−1 (E) ∈ M} es una σ-álgebra sobre Y. 2. Supongamos que Y := [−∞, ∞]. Si para todo α ∈ R, f−1 ((α, ∞]) ∈ M, entonces f es medible. Demostración de 1). Tenemos que Y ∈ N puesto que f−1 (Y) = X ∈ M. Si A ∈ N, entonces f−1 (A) ∈ M y por lo tanto X − f−1 (A) = f−1 (Y − A) ∈ M y con esto concluimos que Y − A ∈ N. Por otro lado, si {Ai }i∈N es una familia en N, entonces f−1 (Ai ) ∈ M (i ∈ N). De

7

1.3. MÁS SOBRE σ-ÁLGEBRAS esto, tenemos que

S

i∈N

f−1 (Ai ) = f−1 (

S

i∈N

Ai ) ∈ M, por lo tanto

S

i∈N

Ai ∈

N. Demostración de 2). Veamos que f−1 [−∞, α) ∈ M y f−1 (α, β) ∈ M para todo α, β ∈ R. No es necesario estudiar f−1 (α, ∞] puesto que pertenece a M por hipótesis. Sea (αn )n∈N una sucesión tal que αn < α para todo n ∈ N y αn → α. De esto S S tenemos que [−∞, α) = n∈N [−∞, αn ] = n∈N (αn , +∞]c (donde notaremos Ac := X − A si A ⊆ X). Luego S f−1 ([−∞, α)) = f−1 ( n∈N (αn , +∞]c ) = S −1 c n∈N (f (αn , ∞]) ∈ M. Además tenemos que f−1 (α, β) ∈ M para todo α, β ∈ R, puesto que f−1 (α, β) = f−1 ([−∞, β) ∩ (α, ∞]) = f−1 [−∞, β) ∩ f−1 (α, ∞]. Definición 1.3.2. Sean (an ) una sucesión en [−∞, ∞] , bn := sup{ak : k ≥ n} y cn := ´ınf{ak : k ≥ n}. Definimos

l´ım sup an := ´ınf bn y l´ım inf an := sup cn Definición 1.3.3. Sea {fn : X → [−∞, ∞]}n∈N una sucesión de funciones. l´ım sup fn (x) := l´ım sup{fn (x)} l´ım inf fn (x) := l´ım inf{fn (x)} sup fn (x) := sup{fn (x)} ´ınf fn (x) := ´ınf{fn (x)}

Proposición 1.3.4. Sean (X, M) un espacio medible y {fn : X → [−∞, ∞]}n∈N 8

1.4. FUNCIONES SIMPLES. una sucesión de funciones medibles. Entonces l´ım sup fn , l´ım inf fn , sup fn e ´ınf fn son también medibles. Demostración. Basta observar que {x ∈ X : supfn (x) ≤ a, n ∈ N} =

{x ∈ X : inffn (x) < a, n ∈ N} =

T

S

n∈N

n∈N

{x ∈ X : fn (x) ≤ a}

{x ∈ X : fn (x) < a}.

l´ım sup fn = ´ınfn≥1 supk≥n fk

l´ım infn = supn≥1 ´ınfk≥n fk estas igualdades aparecen al final del capítulo como ejercicios.

1.4.

Funciones simples.

Definición 1.4.1. Sean (X, M) un espacio medible y s : X → R una función. Se dice que s es simple si el conjunto s(X) es finito . Observación 1.4.2. Si s : X → R es simple y s(X) := {a1 , · · · , an }, definimos Ai := {x ∈ X : f(x) = ai } i = 1, · · · , n

Es decir, Ai corresponde a la imagen inversa de ai por la función s, para cada i. P Con lo que es posible escribir s = ni=1 ai χAi , recuerde que χAi es medible si Ai es medible ( ver ejemplo lección 1) 9

1.4. FUNCIONES SIMPLES. Proposición 1.4.3. Sea (X, M) un espacio medible y s : X → R una función simple. s es medible si y sólo si Ai ∈ M, para i = 1, · · · , n. Demostración. " ⇒ " Si s es medible, fíjemos i y escójamos αi , βi ∈ R tales que ai ∈ (αi , βi ) y aj ∈ / (αi , βi ) para j 6= i. De esta manera, Ai = s−1 (αi , βi ) ∈ M (debido a que s es medible). " ⇐ " Como χAi es medible si Ai ∈ M (i = 1, · · · , n) y dado que s =

Pn i=1

a i χ Ai

tenemos que s es medible .

Proposición 1.4.4. Sea f : X → [0, ∞] una función medible. Existe {sn }n∈N sucesión de funciones simples,no negativas, tal que s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ f y sn → f puntualmente en X. Demostración. Consideremos los conjuntos

(n) Ek

=

k k+1 x ∈ X : n ≤ f(x) < 2 2n

, k = 0, 1 · · · , n2n − 1

(n)

y En2n = {x ∈ X : f(x) > n}. Note que cada conjunto Enk es medible. Por lo tanto n2 X k sn = χ (n) 2 n Ek k=0 n

es medible; además la sucesión (sn )n∈N es creciente y sn → f puntualmente. Más aún en los conjuntos donde f es acotada tenemos convergencia uniforme, 10

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA. de hecho: si E = {x ∈ X : f(x) ≤ M} entonces para n > M tenemos 0 ≤ f(x) − sn <

1.5.

1 2n

Definición de medida.

Definición 1.5.1. Sea (X, M) un espacio medible. una función µ : M → [0, ∞] se denomina medida si : 1. µ(∅) = 0 2. Dado {Ei }i∈N ⊆ M disyuntos 2 a 2, µ(

S

i∈N

Ei ) =

P∞ i=1

µ(Ei ) (esta pro-

piedad es denominada σ-aditividad). Si µ(X) < ∞, decimos que la medida µ es finita. S Si existe {Ei }i∈N ⊆ M tal que X = i∈N Ei y µ(Ei ) < ∞ para todo i ∈ N, decimos que µ es σ-finita. La tripleta (X, M, µ) será llamada espacio de medida.

Ejemplo 1.5.2. Consideremos el espacio medible (N, P(N)).

µ : P(N) → [0, ∞]    card(A) A 7→   ∞

(1.5) si A es finito (1.6) en caso contrario

Esta medida es denominada medida de cardinalidad o de conteo

11

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA. Ejemplo 1.5.3. Dado (X, M) espacio medible, fíjese y ∈ X.

µ : M → [0, ∞]    1 si y ∈ A A 7→   0 en caso contrario

(1.7) (1.8)

es una medida para (X, M).

1.5.1.

Propiedades.

1. Si Ai , · · · , An ∈ M y son disyuntos 2 a 2, µ(

Sn

i=1

Ai ) =

Pn i=1

µ(Ai )

(considérese Ak := ∅ para k > n). 2. Si A ⊆ B (con A, B ∈ M), entonces µ(A) ≤ µ(B) y adicionalmente si µ(A) < ∞ entonces µ(B − A) = µ(B) − µ(A). En efecto, µ(B) = µ(A) + µ(B − A). Si µ(A) < ∞, µ(B) − µ(A) tendría sentido (ya que µ(B) podría ser ∞ sin problemas, lo que no ocurriría en caso contrario) y por tanto tendríamos µ(B) − µ(A) = µ(B − A). 3. Si {Ai }i∈N ⊆ M es tal que Ai ⊆ Ai+1 (i ∈ N), µ(

S

n∈N

An ) = l´ımn→∞ µ(Ai ).

En efecto, definamos E1 := A1 y En := An − An−1 (n ≥ 2). Así, An = Sn S S i=1 En y por tanto n∈N An = n∈N En . De esta manera:

12

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA.

µ(

[

An ) = µ(

n∈N

=

[

En )

(1.9)

n∈N ∞ X

µ(Ei ) (pues son disyuntos 2 a 2)

(1.10)

i=1

= = =

l´ım n→∞

n X

l´ım µ(

n→∞

µ(Ei )

(1.11)

i=1 n [

Ei )

(1.12)

i=1

l´ım µ(Ai ) (pues

n→∞

n [

Ei = Ai )

(1.13)

i=1

4. Si {Ai }i∈N ⊆ M es tal que Ai ⊇ Ai+1 (i ∈ N) y µ(A1 ) < ∞, entonces T µ( n∈N An ) = l´ımn→∞ µ(Ai ). S En efecto, tómese En := A1 − An (n ≥ 1). Se tiene que n∈N En = S T A1 − n∈N An = A1 ∩ n∈N (X − An ) . S T En virtud de la propiedad 2., tenemos que µ( n∈N En ) = µ(A1 )−µ( n∈N An ) S (pues µ(A1 ) < ∞). Por otro lado, µ( n∈N En ) = l´ımn→∞ µ(A1 − An ) = µ(A1 ) − l´ımn→∞ µ(An ) (pues µ(A1 ) < ∞, en virtud de la propiedad 2.). T Así, podemos concluir que l´ımn→∞ µ(An ) = µ( n∈N An ). Para tenerse esta propiedad, basta pedir que µ(Ai ) < ∞ para algún i ∈ N (¿Por qué?). Observación 1.5.4. Sea µ : P(N) → [0, ∞] la medida de cardinalidad. T Definiendo An := {n, n + 1, · · · }, nótese que n∈N An = ∅, pero µ(An ) = ∞ por lo que l´ımn→∞ µ(An ) = ∞. ¿Por qué falló aquí la propiedad 4.?

13

1.6. EJERCICIOS

1.6.

Ejercicios

1. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X, muestre que:

χ∪ni=1 Ai = 1 − Πni=1 (1 − χAi ) χ∩ni=1 Ai = Πni=1 (χAi ) χlimsupAn = limsupχAn χliminfAn = liminfχAn 2. Sean (X, M) un espacio medible y {fn : X → [−∞, ∞]}n∈N una sucesión de funciones medibles. Muestre que:

{x ∈ X : supfn (x) ≤ a, n ∈ N} =

{x ∈ X : inffn (x) < a, n ∈ N} =

T

S

n∈N

n∈N

{x ∈ X : fn (x) ≤ a}

{x ∈ X : fn (x) < a}.

. 3. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X . Tomando E0 = ∅ y En = ∪nk=1 Ak , Fn = An − En−1 para cada n ∈ N. Muestre que: ∞ ∞ En−1 ⊆ En ∀n ∈ N , Fi ∩ Fj = ∅ si i 6= j y ∪∞ n=1 En = ∪n=1 Fn = ∪n=1 An

4. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X. Defina:

14

1.6. EJERCICIOS ∞ limsupAn = ∩∞ m=1 (∪n=m An ). ∞ liminfAn = ∪∞ m=1 (∩n=m An ).

Muestre que: ∅ ⊆ liminfAn ⊆ limsupAn ⊆ X. 5. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X tal que Ai ⊆ Ai+1 ∀i ∈ N, muestre que: limsupAn = ∪∞ n=1 An = liminfAn 6. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X tal que Ai ⊇ Ai+1 ∀i ∈ N, muestre que: limsupAn = ∩∞ n=1 An = liminfAn 7. Sean (X, M, µ) un espacio de medida (An )n∈N una sucesión de conjuntos medibles . Muestre que:

µ(liminfAn ) ≤ liminfµ(An ) limsupµ(An ) ≤ µ(limsupAn ), si µ(∪n∈N An ) < ∞ 8. Sean (X, M) un espacio medible y f : X → [−∞, ∞] una función entonces muestre que: f es medible si y sólo si {x ∈ X : f(x) = ∞} , {x ∈ X : f(x) = −∞} ∈ M y

f∼ =

   f

si |f| < ∞,

  0 si |f| = ∞.

es medible.

15

CAPÍTULO 2 La medida de Lebesgue

2.1.

Medida exterior.

Definición 2.1.1. Una medida exterior sobre un conjunto X ,no vacío, es una función µ∗ : P(X) → [0, ∞] con las siguientes propiedades µ∗ (∅) = 0 si A ⊆

S

k∈N

Ak entonces µ∗ (A) ≤

P∞ k=1

µ∗ (Ak )

Decimos que un conjunto es una celda en R si tiene alguna de las siguientes formas (a, b) [a, b] 16

2.1. MEDIDA EXTERIOR. [a, b) (a, b] con a, b ∈ R. Diremos además que un conjunto es una n-celda o una celda en Rn si es de la forma J1 × J2 · · · × Jn , donde cada Ji es un celda en R.

Definamos para E ⊆ Rn µ∗ (E) = inf

∞ X

µ(Ik ) : Ik es una n-celda y E ⊆

[

Ik

.

k∈N

k=1

donde Y µ(Ik ) = µ( ak1 , bk1 × · · · × akn , bkn ) = (bki − aki ) 1≤i≤n

usamos la notación {a, b} para indicar las diferentes posibilidades de celdas en R. Antes de probar que µ∗ es una medida exterior en Rn hagamos las siguientes observaciones Si E ⊆ F entonces µ∗ (E) ≤ µ∗ (F) , como consecuencia de las propiedades del ínfimo como µ(Ik ) = µ(Ik ) es posible escoger en la definición de µ∗ (E) cubrimientos por n-celdas cerradas (producto de intervalos cerrados) es posible escoger en la definición de µ∗ (E) cubrimientos por n-celdas abiertas (producto de intervalos abiertos) ya que si {Ik }k∈N es un cubrimiento por n-celdas para E y dado > 0 existe {Jk }k∈N cubrimiento por 17

2.1. MEDIDA EXTERIOR. n-celdas abiertas tales que Ik ⊆ Jk y µ(Jk ) < µ(Ik ) + P∞ P∞ k=1 µ(Jk ) ≤ k=1 µ(Ik ) +

2k

y por lo tanto

Proposición 2.1.2. µ∗ es una medida exterior en Rn Demostración. Restaría mostrar que dada (Ek )k∈N una secuencia de subconjuntos de Rn tenemos que µ

∗

(∪∞ k=1 Ek )

≤

∞ X

µ∗ (Ek ).

k=1

Si para algún k ∈ N µ∗ (Ek ) = ∞ tenemos igualdad , pues ambos lados serían infinito. Supongamos entonces que µ∗ (Ek ) < ∞ ∀k ∈ N. Dado > 0 y para cada k ∈ N escojamos (Ikm )m∈N una sucesión de n-celdas tales que ∞ [

Ek ⊆

m=1

Ikm

y

∞ X

µ(Ikm ) ≤ µ∗ (Ek ) +

m=1

2k

luego µ∗ (∪∞ k=1 Ek ) ≤

P∞ P∞ k=1

k m=1 µ(Im ) ≤

P∞

∗ n=1 (µ (Ek ) +

) 2k

=

P∞ n=1

µ∗ (Ek ) +

Proposición 2.1.3. Si I es una n-celda entonces µ(I) = µ∗ (I) Demostración. Como {I, ∅, · · · , ∅, · · · } es un cubrimiento para I por n-celdas tenemos que µ∗ (I) ≤ µ(I). Veamos la otra desigualdad. Consideremos inicialmente el caso en que I es cerrado. Dado > 0 existe un P ∗ cubrimiento (Ik )k∈N de I por n-celdas abiertas tales que ∞ i=1 µ(Ik ) ≤ µ (I) + , como I es compacto existe un subcubrimiento finito de n-celdas que cubren I, que por comodidad notaremos I1 , · · · , Im . 18

2.1. MEDIDA EXTERIOR. Consideremos la extensión de los planos n − 1-dimensionales que contienen las fases de las n-celdas I, I1 , · · · , Im si K1 , · · · , Kp son las n-celdas cerradas en las que se dividieron las n-celdas I1 , · · · , Im y J1 , · · · , Jr las n-celdas cerradas en las P P P que se dividió I tenemos: µ(I) = rj=1 µ(Jj ) ≤ pk=1 µ(Kk ) ≤ m k=1 µ(Ik ) ≤ µ∗ (I) + . Si I no es cerrado existe J cerrado tal que J ⊆ I y µ(I) − < µ(J) por resultado anterior tenemos que µ(I) ≤ µ(J) + ≤ µ∗ (I) + 2. Por la arbitrariedad del obtenemos lo deseado. Definición 2.1.4. Sean X un conjunto no vacío y µ∗ una medida exterior en X. E ⊆ X es µ∗ medible si para todo C ⊆ X,

µ∗ (C) = µ∗ (C ∩ E) + µ∗ (C − E)

. Observe que siempre se tiene: para C, E ⊆ X, µ∗ (C) ≤ µ∗ (C ∩ E) + µ∗ (C − E). Note además que: Si E es µ∗ -medible, entonces X − E es µ∗ -medible.

Definición 2.1.5. Ł = {E ∈ P(Rn ) : E es µ∗ − medible} Proposición 2.1.6. Sean B ⊆ Rn si µ∗ (B) = 0 entonces B es µ∗ -medible . Demostración. Dado E ⊆ Rn veamos que µ∗ (E) ≥ µ∗ (B ∩ E) + µ∗ (E − B)

19

2.1. MEDIDA EXTERIOR. Ahora como

µ∗ (E) = µ∗ (B) + µ∗ (E) ≥ µ∗ (B ∩ E) + µ∗ (E − B)

Puesto que 0 = µ∗ (B) ≥ µ∗ (B ∩ E) y µ∗ (E) ≥ µ∗ (E − B) Definición 2.1.7. Sea (X, M, µ) un espacio de medida decimos que µ es completa si dados B ∈ M con µ(B) = 0 y A ⊆ B entonces A ∈ M Proposición 2.1.8. (Rn , Ł, µ∗ ) es un espacio de medida y µ∗ es una medida completa. Demostración. Veamos inicialmente que Ł es una σ-álgebra; para esto mostremos que:

i φ∈Ł ii A ∈ Ł entonces X − A ∈ Ł iii Si E, F ∈ Ł entonces E ∩ F ∈ Ł Como E es medible entonces para cada A ⊆ Rn tenemos µ∗ (A ∩ F) = µ∗ (A ∩ F ∩ E) + µ∗ (A ∩ F − E)

Dado que F es medible tenemos

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ F) + µ∗ (A − F)

20

2.1. MEDIDA EXTERIOR. como también

µ∗ (A−(E∩F)) = µ∗ ((A−(E∩F))∩F)+µ∗ ((A−(E∩F))−F) = µ∗ ((A∩F)−E)+µ∗ (A−F).

De lo anterior concluimos

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ F ∩ E) + µ∗ (A − (E ∩ F)) S iv Dados A1 , A2 , ..., An ∈ Ł entonces ni=1 Ai ∈ Ł T S Basta observar que ni=1 Ai = X − ni=n (X − Ai ) y por lo tanto como T consecuencia de los numerales 2, 3 tenemos que Rn − ni=n (Rn − Ai ) ∈ Ł v Si E, F ∈ Ł con E ∩ F = ∅ entonces µ∗ (E ∪ F) = µ∗ (E) + µ∗ (F) Sabemos que E, F ∈ Ł luego

µ∗ (A∩(E∪F)) = µ∗ ((A∩(E∪F))∩F)+µ∗ ((A∩(E∪F))−F) = µ∗ (A∩E)+µ∗ (A∩F)

Tomando A = Rn obtenemos lo deseado. vi Sea {Ei }i∈N familia disyunta en Ł entonces P∞ ∗ i=1 µ (Ei ).

S∞

i=1

Ei ∈ Ł y µ ∗ (

S∞

i=1

Ei ) =

Para cada A ⊆ Rn , E, F ∈ Ł se tiene que µ∗ (A ∩ (E ∪ F)) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F) si E ∩ F = φ (∗)

Definamos Fn =

Sn

i=1

Ei

21

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE Veamos que

µ∗ (A) ≥ µ∗ A −

∞ [

! Ei

+ µ∗ A ∩

i=1

∞ [

! Ei

i=1

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ Fn ) + µ∗ (A − Fn ) pués Fn es µ∗ -medible (2.1) n X = µ∗ (A ∩ Ei ) + µ∗ (A − Fn ) de (∗) (2.2) ≥

i=1 n X

µ∗ (A ∩ Ei ) + µ∗ A −

∞ [

! Ei

(2.3)

i=1

i=1

haciendo n → ∞ tenemos S∞ S∞ P ∗ ∗ ∗ ∗ ) (A (A E ≥ µ − µ (A∩E )+µ − µ∗ (A) ≥ ∞ i i i=1 Ei )+µ (A∩ i=1 i=1 S∞ i=1 Ei ) Con esto probamos que Ł es una σ-álgebra, además si tomamos A =

S∞

i=1

Ei

tenemos la σ-aditividad y con esto vemos que µ∗ es una medida, la completez de µ∗ es una consecuencia directa de la proposición anterior.

2.2.

Medida de Lebesgue

Definición 2.2.1. El espacio (Rn , Ł, µ∗ ) es llamado espacio de medida de Lebesgue, y la medida µ∗ es llamada medida de Lebesgue. Proposición 2.2.2. Lema Sean A, B ⊆ Rn disjuntos tales que d(A, B) = inf {ka − bk : a ∈ A, b ∈ B} > 0

22

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE entonces µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) Demostración. Demostración Para esto basta probar que µ∗ (A ∪ B) ≥ µ∗ (A) + µ∗ (B); podemos suponer además que µ∗ (A ∪ B) < ∞. Sea δ = inf {ka − bk : a ∈ A, b ∈ B} > 0. Dado > 0 existe (Ik )k∈N una P ∗ ∗ sucesión de n-celdas que cubren A ∪ B tales que ∞ k=1 µ (Ik ) ≤ µ (A ∪ B) + , podemos asumir que las n- celdas tienen diámetro menor que δ (por qué?). Con este supuesto vemos que ninguna n-celda intersecta simultaneamente a los P ∗ ∗ conjuntos A y B. Luego µ∗ (A) + µ∗ (B) ≤ ∞ k=1 µ (Ik ) ≤ µ (A ∪ B) + Proposición 2.2.3. Toda n-celda es Lebesgue medible Demostración. Veamos que dado A ⊆ Rn tenemos µ∗ (A) ≥ µ∗ (A∩I)+µ∗ (A−I). Consideremos

1 n Ik = x ∈ I : dis(x, R − I) > k

como (A ∩ Ik ) ∪ (A − I) ⊆ A y dis(A ∩ Ik , A − I) ≥

1 k

entonces por el lema

anterior tenemos

µ∗ (A) ≥ µ∗ ((A ∩ Ik ) ∪ (A − I)) = µ∗ ((A ∩ Ik )) + µ∗ ((A − I))(∗)

. De otro lado sabemos que A ∩ I = (A ∩ Ik ) ∪ (A ∩ (I − Ik ) Luego µ∗ (A ∩ Ik ) ≤ µ∗ (A ∩ I) ≤ µ∗ (A ∩ Ik ) + µ∗ (I − Ik ). Pasando al l´ímite y observando que limn→∞ µ∗ (I − Ik ) = 0 (por qué?). tenemos que µ∗ (A ∩ I) = limn→∞ µ∗ (A ∩ Ik ). Tomando l´ímite en (∗) obtenemos lo deseado. Usando el Teorema de Lindeloff vemos que todo abierto en Rn es unión enu23

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE meraable de n-celdas abiertas y por lo tanto es un conjunto Lebesgue medible, de ah´í concluimos que todo conjunto cerrado es también Lebesgue medible y por consiguiente todo Boreliano es Lebesgue medible; esto es, la σ-álgebra de Borel es un subconjunto de la σ-álgebra de Lebesgue.

Ejemplo 2.2.4. Consideremos I = [0, 1] , 0 < α ≤ 1 removemos de I sucesivamente una colección de intervalo abiertos de la siguiente forma: removemos el intervalo central de longitud α3 ; es decir removemos I11 = α 1 α ( 12 − 2,3 , 2 + 2,3 ) obtenemos por lo tanto dos intervalos cerrados disjuntos,

cada uno de longitud

J11

1− α 3 2

a saber

1 α = 0, − 2 2,3

J12

1 α = + ,1 2 2,3

removemos los intervalos centrales , I21 , I22 , de longitud

α 9

de los intervalos

J11 , J12 respectivamente , obteniendo cuatro intervalos cerrados disjuntos. J21 , J22 , J23 y J24

cada uno de longitud

− 2α 1− α 3 9 4

procediendo de forma análoga de los intervalos cerrados disjuntos, cada uno de longitud

1− α −···− 2 3 2n

n−1 α 3n

removemos los intervalos centrales

Ikn+1 , 1 ≤ k ≤ 2n cada uno de longitud

24

α 3n+1

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE sean An =

n−1 2[

j=1

∞ \

n

Ijn−1 , Bn

=

2 [

Jnk

y Cα =

k=1

n=1

Bn = [0, 1] −

∞ [

An

n=1

el conjunto Cα es llamado conjunto de cantor. La longitud de los intervalos removidos de I es ∞ X n=0

α

2n =α 3n+1

Luego µ ∗ (Cα ) 6= 0 si 0 < α < 1 entanto que µ ∗ (Cα ) = 0 si α = 1. El caso más conocido de conjunto de Cantor es cuando α = 1, sabemos por example que es un conjunto no enumerable, esto nos permite deducir que cualquier subconjunto de este conjunto está en la σ-álgebra de Lebesgue y por lo tanto el cardinal de de la σ-álgebra es por lo menos 22

ℵ0

= 2c , mas como la σ-álgebra

de Lebesgue está contenida en P(R) vemos que el cardinal de la σ-álgebra de ℵ

Lebesgue es 22 0 . No es dificil intuir que la σ-álgebra de Borel tiene cardinal c = 2ℵ0 , para esto pensemos en la familia de intervalos con extremos racionales, la cual resulta ser contable, la σ-álgebra generada por esta familia es justamente la de Borel . Consideremos uniones enumerable de intervalos de la familia con complementos de intervalos de la familia ,este nuevo conjunto tiene cardinal c = 2ℵ0 . Si nuevamente hacemos uniones enumerables de conjuntos de la nueva familia con complementos de conjuntos de la familia obetenemos un conjunto de cardinal c = 2ℵ0 . Lo que nos permite intuir que el cardinal de la σ-álgebra de Borel es c = 2ℵ0 y por lo tanto está estrictamente contenida en la σ-álgebra de Lebesgue. Para una prueba del cardinal de la σ-álgebra de Borel presentamos el siguiente Teorema, sin prueba, que se encuentra en el libro: Real and Abstract Analysis de 25

2.3. PROPIEDADES . Edwin Hewwit y Karl Stromberg. Teorema 2.2.5. Sean X un conjunto y A una familia de subconjuntos de X tal que φ ∈ A. Si MA es la menor σ-álgebra que contiene a A y el cardinal de A es e, con e ≥ 2, entonces el cardinal de MA es menor o igual que eℵ0

2.3.

Propiedades .

Teorema 2.3.1. Sea E ⊆ Rn E es Lebesgue medible ⇔ (∀ε > 0)(∃G abierto)(G ⊇ E ∧ µ∗ (G − E) < ε) Demostración. " ⇒ " Si µ∗ (E) < ∞ como µ∗ (E) = ´ınf

∞ X

µ(Ik ) : Ik es una n-celda y

[

Ik ⊇ E

k∈N

k=1

dado ε > 0 existe (Ik )k∈N cubrimiento de E por n-celdas abiertas tales que ∞ X

µ∗ (Ik ) < µ∗ (E) + ε

k=1

Si tomamos G =

S

In µ∗ (G) < µ∗ (E) + ε

. Ahora como E es Lebesgue medible tenemos

µ∗ (G) = µ∗ (G ∩ E) + µ∗ (G − E) = µ∗ (E) + µ∗ (G − E)

26

2.3. PROPIEDADES . Luego µ∗ (G − E) = µ∗ (G) − µ∗ (E) < ε Si µ∗ (E) = +∞ Hagamos E1 = {x ∈ E : kxk ≤ 1} .. . En = {x ∈ E : n − 1 < kxk ≤ n}, n = 2, 3, ... ε Para cada n ∈ N existe Gn abierto tal que Gn ⊇ En ∧ µ∗ (Gn − En ) < n 2 S∞ Hagamos G = n=1 Gn Luego G ⊇ E µ∗ (G − E) ≤

∞ X

µ∗ (Gn − En ) <

n=1

"⇐" Dado n ∈ N; existe Gn abierto tal que .

Gn ⊇ E,

hagamos G =

T

n∈N

µ∗ (Gn − E) <

1 n

Gn ⊇ E luego

µ∗ (G − E) ≤ µ∗ (Gn − E) <

1 , n

∀n ∈ N

µ∗ (G − E) = 0, As´í G − E ∈ Ł y E = (G − E)c ∩ G con lo que E ∈ Ł Corolario 2.3.2. Si E ⊆ Rn entonces µ∗ (E) = ´ınf{µ∗ (G) : G es abierto ∧ G ⊇ E}

27

2.3. PROPIEDADES . Demostración. si µ(E) = ∞ entonces cada abierto, G, que contiene a E tiene medida infinita y por lo tanto el infimo del conjunto es infinito. si la medida de µ(E) < ∞ se razona de la misma manera como en la prueba del Teorema. Teorema 2.3.3. Sea E ⊆ Rn E es Lebesgue medible ⇔ (∀ε > 0)(∃F ⊆ E)(F es cerrado ∧ µ∗ (E − F) < ε) Demostración. " ⇒ " Dado ε > 0 Existe G abierto G ⊇ Ec tal que µ∗ (G − Ec ) < ε

con Gc ⊆ E y Gc cerrado .

µ∗ (E − Gc ) = µ∗ (E ∩ G) = µ∗ (G − Ec ) < ε 1 " ⇐ " Dado n ∈ N, Existe Fn ⊆ E, Fn cerrado y µ∗ (E − Fn ) < n S Hagamos F = n∈N Fn µ∗ (E − F) ≤ µ∗ (E − Fn ) <

1 n

Así µ∗ (E − F) = 0 y por lo tanto E − F ∈ Ł y E = E − F ∪ F ∈ L

Corolario 2.3.4. Si E ⊆ Rn Lebesgue medible entonces µ∗ (E) = sup{µ∗ (F) : F es cerrado ∧ F ⊆ E} Demostración. Si µ∗ (E) < ∞,dado > 0 existe G abierto tal que Ec ⊆ G y 28

2.3. PROPIEDADES . µ∗ (G − Ec ) < . Ahora Gc ⊆ E, con Gc cerrado, además µ∗(E−Gc ) < luego µ∗ (E)−µ∗ (Gc ) < , ya que µ ∗ (E) < ∞ y por lo tanto µ∗ (Gc ) < ∞,de donde se sigue el resultado. Si µ∗ (E) = ∞ consideremos Dk = {x ∈ Rn : 1 ≤ kxk < k}. Entonces E = P ∪k∈N Dk ∩ E y por lo tanto ∞ = µ∗ (E) = k∈N µ∗ (E ∩ Dk ). Como para cada k ∈ N se tiene que µ∗ (Dk ∩ E) < ∞. Entonces para cada k ∈ N existe Ck conjunto cerrado tal que Ck ⊆ Dk ∩ E con µ∗ (Ck ) ≥ µ∗ (Dk ∩ E) − 21k . P P Ahora limn→∞ µ∗ (∪nk=1 Ck ) = µ∗ (∪k∈N Ck ) = k∈N µ∗ (Ck ) ≥ k∈N [µ∗ (Dk ∩ E) −

1 ] 2k

= ∞.

Obsérvese que para cada n ∈ N ∪nk=1 Ck es un conjunto cerrado. Teorema 2.3.5. Sea E ⊆ Rn , µ∗ (E) < ∞ E es Lebesgue medible ⇔ (∀ε > 0)(∃ K compacto, K ⊆ E ∧ µ∗ (E − K) < ε) Demostración. " ⇒ " Hagamos En = {x ∈ E : kxk ≤ n} luego l´ım µ∗ (En ) = µ∗ (E)

Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que µ∗ (E) − µ ∗ (En0 ) <

Luego µ ∗ (E − En0 ) <

ε 2

ε 2

por teorema anterior, existe C cerrado C ⊆ En0 tal que µ∗ (En0 − C) < tanto µ∗ (E − C) = µ∗ (E − En0 ) + µ∗ (En0 − C) < ε 29

ε por lo 2

2.3. PROPIEDADES . Note que C es cerrado y acotado , por lo tanto compacto " ⇐ " Lo mismo que en el caso anterior. Corolario 2.3.6. Si E ⊆ Rn , Lebesge medible entonces µ ∗ (E) = sup{µ ∗ (E) : K compacto ∧ K ⊆ E}) Demostración. Si µ∗ (E) < ∞, dado > 0 existe F conjunto cerrado tal que F ⊆ E y µ(E − F) < 2 ; como F es Lebesgue medible y con medida finita, existe K compacto tal que K ⊆ F y µ∗ (F − K) < 2 . Luego µ∗ (E − K) < ; es decir µ∗ (E) < µ∗ (K) + . Si µ∗ (E) = ∞ entonces existe F cerrado tal que F ⊆ E y µ∗ (E − F) < . Nótese que necesariamente µ∗ (F) = ∞ (por qué?) Si consideramos DK == {x ∈ F : kxk ≤ K} vemos que µ∗ (F) = limk→∞ µ∗ (Dk ) y que cada Dk es compacto., Esto concluye la prueba. El siguiente resultado nos muestra que no todo subconjunto de R es Lebesgue medible Teorema 2.3.7. Si A ⊆ Rn es Lebesgue medible y todo subconjunto de A es Lebesgue medible, entonces µ∗ (A) = 0 Corolario 2.3.8. Si µ∗ (E) > 0 entonces existe B ⊆ E tal que B ∈ /Ł Demostración del Teorema : definamos en Rn la relación x ∼ y ⇔ x − y ∈ Qn Se puede ver que ∼ es una relación de equivalencia. Escojamos, usando el axioma de elección, un elemento de cada clase de Rn / ∼ y denominemos por E dicha 30

2.4. EJERCICIOS colección. Dados r, s ∈ Qn tenemos i (E + r) ∩ (E + s) = φ si r 6= s ii ∀x ∈ Rn , ∃r ∈ Qn tal que x ∈ E + r Hagamos At = A ∩ (E + t), t ∈ Qn , At medible At ⊆ A Sea K ⊆ At (compacto) Luego  ∞ > µ∗ 

 [

X

K + r =

r∈[0,1]n ∩Qn

µ∗ (K + r)

(2.4)

µ∗ (K)

(2.5)

r∈[0,1]n ∩Qn

X

=

r∈[0,1]n ∩Qn

entonces µ∗ (K) = 0. Luego µ∗ (At ) = 0 y por lo tanto µ(A) = 0 pues A =

2.4.

S

t∈Qn

At

Ejercicios

1. Sea A ⊆ Rn con µ∗ (A) < ∞. Muestre que para cada > 0 existe A ⊆ R acotado tal que A ⊆ A y µ∗ (A − A ) < 2. Muetre que el conjunto {E ⊆ Rn : µ∗ (E) = 0 o µ∗ (Rn − E) = 0} es una σálgebra. 3. Sean M ⊆ Rn , h ∈ Rn y λ ∈ R: Si M es medible muestre que M + h , λM son medibles y que µ∗ (M + h) = µ∗ (M) , µ∗ (λM) = |λ|n µ∗ (M) 4. Demostrar que si f : R → R es monotona entonces es Lebessgue medible

31

2.4. EJERCICIOS 5. Sea f : Rn → R Lebesgue medible si muestre que

df dx1

df dx1

existe en cada punto de Rn

es Lebesgue medible.

6. Muestre que no existe una σ-álgebra con cardinal ℵ0 (el cardinal de N ) 7. Sea E ⊆ [0, 1] si µ∗ ([0, 1] − E) = 0 muestre que E es denso en [0, 1]. 8. Sea E ⊆ Rn si µ∗ (E) = 0 muestre que intE = ∅ 9. Sea E ⊆ Rn enumerable muestre que µ∗ (E) = 0

32

CAPÍTULO 3 La integral

3.1.

Integrales de funciones medibles.

Definición 3.1.1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida , s : X → [0, ∞) una P función simple medible, (s = ni=1 ai χAi , donde Ai ∈ M para i = 1, · · · , n) y E ∈ M. Definimos

Z sdµ := E

n X

ai µ(Ai ∩ E)

i=1

Si f : X → [0, ∞] es medible y E ∈ M definimos Z

Z fdµ := E

sdµ .

sup 0≤s≤f,s simple

E

Tal supremo existe, en virtud del hecho de que existe una sucesión {sn }n∈N de funciones simples sobre X, tal que 0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ f y sn → f puntualmente.

33

3.1. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES.

3.1.1.

Propiedades.

R R 1. Si 0 ≤ f ≤ g y E ∈ M, entonces E fdµ ≤ E gdµ R Demostración. Sean A := sdµ : s es simple no negativa y s ≤ f y E R B := sdµ : s es simple no negativa y s ≤ g . De esta manera, como E R R A ⊆ B entonces sup A ≤ sup B, es decir, E fdµ ≤ E gdµ. R

R fdµ ≤ B fdµ. R R Demostración. Del hecho de que A sdµ ≤ B sdµ si s es simple no

2. Si A, B ∈ M, A ⊆ B y 0 ≤ f,

A

negativa (¿Por qué?) se sigue el resultado. 3. Si E ∈ M y c ∈ R+ ∪ {0},

R E

cfdµ = c

R E

fdµ.

Demostración. Es consecuencia de las propiedades del supremo ya que c ≥ 0 4. Si E ∈ M es tal que µ(E) = 0, entonces

R E

fdµ = 0.

Demostración. Si µ(E) = 0 y s es simple no negativa entonces

R E

sdµ = 0,

luego el resultado se tiene para funciones simples no negativas y por lo tanto para f 5. Si f ≥ 0 y E ∈ M,

R E

fdµ =

R X

fχE dµ

Demostración. Como χA∩B = χA χB y el resultado es válido para funciones simples no negativas, obtenemos lo deseado. 6. Si s es simple no negativa y E ∈ M entonces ϕ(E) := medida para (X, M). Demostración. a) ϕ(∅) = 0 se sigue de la propiedad 4.

34

R E

sdµ define una

3.1. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES. b) Sea {Ei }i∈N ⊆ M disyunta 2 a 2, y considérese E := Z sdµ =

ϕ(E) = E

=

n X i=1 n X

=

=

i∈N

Ei .

ai µ(Ai ∩ E)

(3.1) "

ai

µ Ai ∩

i=1 n X

S

#!! [

Ej

(3.2)

i∈N

ai

∞ X

i=1

j=1

∞ X

n X

ai

j=1

! µ (Ai ∩ Ej )

(3.3) !

µ (Ai ∩ Ej )

(3.4)

i=1

(suma finita de límites es el límite de la suma) (3.5) Z ∞ X sdµ (3.6) = =

j=1 Ej ∞ X

ϕ(Ej ).

(3.7)

j=1

Por lo tanto, ϕ es una medida para (X, M). 7. Si s, t son simples no negativas y E ∈ M, entonces R R sdµ + tdµ. E E

R E

Demostración. Supongamos que s y t son de la forma s = P t= m j=1 bj χBj , respectivamente.

(s + t)dµ = Pn i=1

a i χ Ai y

Al considerar Cij := Ai ∩ Bj (i = 1, · · · , n; j = 1, · · · , m) se forma una R R partición de X. Como Cij (s + t)dµ = (ai + bj )µ(Cij ) = Cij sdµ + R S tdµ y i,j (Ai ∩ Bj ∩ E) = E, el resultado se sigue utilizando el hecho Cij R R de que ϕs (E) := E sdµ y ϕt (E) := E tdµ definen dos medidas para (X, M).

35

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA.

3.2.

Teorema de la convergencia monótona.

Proposición 3.2.1 (Teorema de la convergencia monótona). Sean (X, M, µ) un espacio de medida , fn : X → [0, ∞], n ∈ N una sucesión creciente de funciones R medibles tal que fn → f puntualmente en X. Entonces f es medible y X fdµ = R l´ımn→∞ X fn dµ. Demostración. Es claro que f es medible, por ser el límite de funciones medibles (ver sección 3 capítulo 1). R R Por otro lado, como X fn dµ ≤ X fdµ para todo n ∈ N (por ser {fn }n∈N una R R sucesión creciente), l´ımn→∞ X fn dµ ≤ X fdµ. Por otro lado, sea 0 ≤ s ≤ f simple y fijemos 0 < α < 1. Definimos

En := {x ∈ X : fn (x) ≥ αs(x)}. Claramente, E1 ⊆ E2 ⊆ · · · ⊆ En ⊆ y X =

S

n∈N

En (pues si f(x) 6= 0,

αs(x) < f(x), luego existe n ∈ N tal que αs(x) < fn (x) ≤ f(x)). R R R Así, X fn dµ ≥ En fn dµ ≥ En αsdµ, para cada n ∈ N. R R Tomando n → ∞, tenemos que En αsdµ → X αsdµ en virtud de la propieR dad 3 (sección 5 capítulo 1), ya que ϕ(E) := E αsdµ define una medida. R R R Por lo tanto, l´ımn→∞ X fn dµ ≥ X αsdµ = α X sdµ. R R Tomando α → 1, tenemos que l´ımn→∞ X fn dµ ≥ X sdµ. Pero como esto vale R para toda función simple s ≤ f, entonces podemos decir que l´ımn→∞ X fn dµ ≥ R fdµ. X Luego se tiene el resultado. Corolario 3.2.2 ((1) Lema de Fatou). Sean (X, M) un espacio de medida y fn : R R X → [0, ∞] funciones medibles (n ∈ N). Entonces X l´ım inf fn dµ ≤ l´ım inf X fn dµ. 36

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. Demostración. Defínase gn := ´ınfi≥n fi (n ∈ N). De esta manera tenemos que 0 ≤ g1 ≤ · · · ≤ gn ≤ · · · y que l´ımn→∞ gn (x) = R R l´ım inf fn (x). Adicionalmente tenemos que X gn dµ ≤ X fi dµ si i ≥ n (puesto R R que gn ≤ fi ), por lo que X gn dµ ≤ l´ım inf X fn dµ, esto para todo n ∈ N. R Por el teorema de la convergencia monótona tenemos que X l´ım inf fn dµ = R R R l´ımn→∞ gn dµ = l´ımn→∞ X gn dµ ≤ l´ım inf X fn dµ, luego se tiene el reX sultado. Ejemplo 3.2.3. Definamos

fn : [0, ∞) → [0, ∞]    1 si n ≤ x < n + 1 x 7→   0 en caso contrario

(3.8) (3.9)

Nótese que l´ımn→∞ fn (x) = 0, ya que fn (x) = 0 si n ≤ x. R R R Por otro lado, 0 = [0,∞) l´ım inf fn dµ = l´ımn→∞ [0,∞) gn dµ ≤ l´ım inf [0,∞) fn dµ = 1 Corolario 3.2.4 ((2)). Sean (X, M) un espacio de medida, µ : M → [0, ∞] una R P medida y fn : X → [0, ∞] funciones medibles (n ∈ N). Entonces X ∞ n=1 fn dµ = P∞ R n=1 X fn dµ Demostración. Sabemos que dado m ∈ N, existe una sucesión de funciones simm m m ples {sm n }n∈N tal que s1 ≤ · · · sn ≤ · · · fm y l´ımn→∞ sn (x) = fm (x) para todo

x ∈ X. De esta mamera, la sucesión s1n + s2n n∈N converge puntualmente a f1 + f2 , de forma creciente. Por el teorema de la convergencia monótona, tenemos que R R R 1 R 2 1 2 ) (f + f dµ = l´ ı m s + s dµ = l´ ı m s dµ+l´ ı m s dµ = 1 2 n→∞ n→∞ n→∞ n n X X n X n X 37

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. R X

f1 dµ +

R X

f2 dµ.

R Pn Utilizando un argumento inductivo, podemos verificar que X i=1 fi dµ = Pn R i=1 X fi dµ. P Tomemos gn := ni=1 fi (n ∈ N). Claramente, 0 ≤ g1 ≤ · · · ≤ gn ≤ · · · ≤ P∞ i=1 fi . Finalmente, nuevamente por el teorema de la convergencia monótona tenemos R R Pn Pn R P R g dµ = f dµ = l´ ı m f dµ = l´ ı m f dµ = l´ ı m que ∞ i n→∞ i n→∞ n n→∞ i=1 i=1 X n=1 X X n X R R P∞ l´ımn→∞ gn dµ = X n=1 fn dµ. X Corolario 3.2.5 ((3)). Dados (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, +∞] R medible, entonces ϕ(E) := E fdµ (E ∈ M) define una medida en (X, M) y R R además X gdϕ = E fgdµ (donde g : X → [0, +∞] es medible). Demostración. 1. Es evidente que ϕ(∅) =

R ∅

fdµ = 0 (ya visto anteriormente).

2. Sea {En }n∈N ⊆ M una colección cuyos elementos son disyuntos 2 a 2. De R S esta manera tenemos que ϕ(E) = ϕ n∈N En = X fχE dµ. R Puesto que ϕ(En ) = X fχEn dµ, tenemos que ∞ X

(ϕ(En )) =

n=1

∞ Z X n=1

Z

X

=

(3.10)

X ∞ X

= Z

fχEn dµ ! fχEn

dµ (por el corolario 2)

(3.11)

n=1

fχE dµ (por ser los En disyuntos 2 a 2) (3.12) ZX

=

fdµ

(3.13)

E

! = ϕ

[

En

n∈N

38

(3.14)

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. De esto tenemos que ϕ es una medida para (X, M). R R Por otro lado, veamos que X gdϕ = X fgdµ. R R Primero veámoslo para g := χE . En este caso, X χE dϕ = ϕ(E) = E fdµ = R fχE dµ. X R R De este hecho tenemos que X gdϕ = X fgdµ vale si g es una función simple. Siendo ahora g : X → [0, ∞] una función medible, existe {sn }n∈N una sucesión de funciones simples tal que 0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ g y l´ımn→∞ sn (x) = f(x) para todo x ∈ X. Así tenemos que Z gdϕ =

Z

l´ım sn dϕ (3.15) Z l´ım sn dϕ (por el teorema de la convergencia monótona)(3.16) n→∞ X Z fsn dµ (el resultado vale para funciones simples) (3.17) l´ım n→∞ X Z (3.18) f l´ım sn dµ (por el teorema de la convergencia monótona) n→∞ X Z fgdµ (3.19) X

X

= = = =

n→∈∞

X

Corolario 3.2.6 ((4)). Si c ∈ R+ ∪ {0}, (X, M, µ) es un espacio de medida y f : R R X → [0, ∞] es medible, X cfdµ = c X fdµ. Demostración. Este resultado se tiene como consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona, pues esto vale para las funciones simples. Completar los detalles es un buen ejercicio. Corolario 3.2.7 ((5)). Sea (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una función medible. 39

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. µ ({x ∈ X : f(x) 6= 0}) = 0 ⇔

R X

fdµ = 0

Demostración. Sea E := {x ∈ X : f(x) 6= 0}. Tenemos que E ∈ M puesto que E = f−1 (0, ∞], donde es claro que f−1 (0, ∞] está en M por ser f medible. Luego tiene sentido µ(E). Veamos ahora la prueba de este corolario. " ⇒ ": Si µ(E) = 0, Z

Z fdµ = X

fdµ Z Z fdµ + =

(3.20)

E∪(X−E)

E

fdµ (porque la integral define una medida en (X,(3.21) M))

X−E

= 0 + 0 (pues µ(E) = 0 y f(x) = 0 si x ∈ X − E)

(3.22)

= 0.

(3.23) (3.24)

" ⇐ ": Consideremos En := x ∈ X : f(x) > n1 (n ∈ N). De esta manera teneS mos que E1 ⊆ E2 ⊆ · · · y que E := n∈N En . Veamos que µ(En ) = 0 para cada n ∈ N.

R Si x ∈ En tenemos que f(x) > n1 , luego fχEn ≥ n1 χEn . Por lo tanto 0 = X fdµ = R R R 1 R 1 fdµ = fχ χ dµ = χEn dµ = n1 µ(En ) para cada dµ ≥ E E n n n X En X X n n ∈ N. Luego µ(En ) = 0 para cada n ∈ N. Por la propiedad 3 de una medida S (sección 5 capítulo 1) tenemos que µ(E) = µ n∈N En = l´ımn→∞ µ(En ) = 0 Definición 3.2.8. Sean (X, M, µ) un espacio de medida decimos que una propiedad P(x) es válida para µ-casi todo x ∈ X si µ ({x ∈ X : x no satisface P(x)}) = 0 . As´í por example dada f : X → [0, ∞] una función medible . Diremos que f es nula en µ-casi todas partes si µ ({x ∈ X : f(x) 6= 0}) = 0. 40

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA.

Ejemplo 3.2.9. Sea f : [0, 1] → [0, ∞] tal que f(x) = 0 si x ∈ Q y si x ∈ I f(x) = n donde n es el número de ceros que aparecen inmediatamente después del punto decimal. R Muestre que f es medible y encuentre el valor de fdµ. (medida de Lebesgue). Consideremos g : [0, 1] → [0, ∞] tal que g(0) = 0 y g(x) = n si 10−(n+1) ≤ x < 10−n n = 0, 1, · · · Entonces f ≤ g y f = g en µ-casi todas partes. Luego f es medible y además R R fdµ = gdµ pero R P∞ 9n P 1 1 1 gdµ = ∞ n=0 10n+1 = 9 n=0 n( 10n − 10n+1 ) = [0,1] Corolario 3.2.10 ((6)). Sean (X, M, µ) un espacio de medida y fn : X → [0, ∞] (n ∈ N) funciones medibles tales que f1 ≤ f2 ≤ · · · y l´ımn→∞ fn (x) = f(x) en R R µ-casi todas partes de X. Entonces l´ımn→∞ X fn dµ = X l´ımn→∞ fn dµ Demostración. Sea E := {x ∈ X : l´ımn→∞ fn (x) 6= f(x)}. Podemos decir sin problemas que f = fχE + fχX−E . Análogamente fn = fn χE + fn χX−E para todo n ∈ N. Por hipótesis tenemos que µ(E) = 0 (puesto que l´ımn→∞ fn (x) = f(x) en µ-casi todas partes en X).

41

3.3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA De esta manera, Z

fn dµ =

l´ım n→∞

X

= = = = =

Z

l´ım fn dµ (pues µ(E) = 0) (3.25) n→∞ X−E Z fn χX−E dµ (3.26) l´ım n→∞ X Z h i l´ım fn χX−E dµ (por el teorema de la convergencia monótona) (3.27) n→∞ X Z h i l´ım fn χX−E dµ (3.28) n→∞ X Z l´ım fn dµ (3.29) n→∞ ZX−E l´ım fn dµ (pues µ(E) = 0) (3.30) X

3.3.

n→∞

Teorema de la convergencia dominada

Definición 3.3.1. Sea (X, m, µ) un espacio de medida. Decimos que una función R f : X → [−∞, ∞] o f : X → C es integrable si f es medible y X |f|dµ < ∞. Proposición 3.3.2. Sean f, g funciones integrables y α, β ∈ C. Entonces αf + βg es una función integrable. Demostración. Se sigue del hecho de que αf + βg es medible por ser f y g medibles, y de que |αf + βg| ≤ |αf| + |βg| (como ejercicio completar los detalles) Definición 3.3.3. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [−∞, ∞]

42

3.3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA medible. Definimos:

f+ (x) := máx{f(x), 0}

(3.31)

f− (x) := máx{−f(x), 0}

(3.32)

Además si f es integrable definimos Z

Z

Z +

fdµ := X

f− dµ

f dµ − X

X

Para el caso complejo definimos Z

Z fdµ :=

Z +

u dµ −

Z Z + − v dµ − v dµ u dµ + i −

donde f = u + iv R R Proposición 3.3.4. Sea f una función integrable . Entonces X fdµ ≤ X |f|dµ Demostración. R 1. Supongamos que f : X → [−∞, ∞]. Como f = f+ − f− , X fdµ = R + R + R R [f − f− ]dµ ≤ f dµ + X f− dµ = X |f|dµ X X R R R 2. Supongamos que f : X → C y que f = u+iv. Así, X fdµ = X u+ dµ − X u− dµ + R R i X v+ dµ − X v− dµ . R Sean z := X fdµ y α ∈ C tales que |α| = 1 y αz = |z| (tal escogencia se hace de la siguiente manera: si z 6= 0, α := |z|/z; si z = 0 se toma cualquier α con la condición pedida). Tomemos u = Re(αf) y v = Im(αf). De esta manera u ≤ |u| ≤ |αf| = |f|. R R R Como X fdµ = αz = α X fdµ = X αfdµ ∈ R, tenemos que 43

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE R X

R R R R αfdµ es real. Así, X fdµ = X αfdµ = X udµ ≤ X |f|dµ (pues-

to que u ≤ |f|). Teorema 3.3.5 (Teorema de la convergencia dominada). Sean fn : X → C (n ∈ N) funciones medibles tales que l´ımn→∞ fn (x) = f(x) para todo x ∈ X. Si existe g integrable tal que para todo x ∈ X y todo n ∈ N se tiene que |fn (x)| ≤ g(x), R R entonces f es integrable y l´ımn→∞ X fn dµ = X fdµ. Demostración. Fijo x ∈ X, se tiene que |f(x)| ≤ g(x) (ya que |fn (x)| ≤ g(x) para R R todo n), y por lo tanto f es integrable (ya que X fdµ ≤ X |f|dµ). Además, |fn − f| ≤ 2g. Usando el lema de Fatou tenemos que R R R (2g − |f − f|)dµ . Así, (2g)dµ = l´ ı m inf[2g − |f − f|]dµ ≤ l´ ı m inf n n X X X R R R R R |f − f|dµ . −|f − f|dµ ≤ (2g)dµ−l´ ı m sup (2g)dµ ≤ (2g)dµ+l´ ı m inf n n X X X X X R R por lo tanto l´ım sup X |fn − f|dµ = 0, luego l´ımn→∞ X |fn − f|dµ = 0. R R R R Ahora X fn dµ − X fdµ = X (fn − f)dµ ≤ X |fn − f| dµ. Luego obtenemos lo deseado.

3.4.

Las integrales de Riemann y de Lebesgue

En esta sección suponemos que el lector está familiarizado con la integral de Riemann y algunas de sus propiedades. Sea P([[a, b]) el conjunto de particiones del intervalo [a, b]. Dada una función acotada f : [a, b] → R definimos: Zb f(t)dt = supP∈P([a,b]) a

n X 1=1

44

mi (ti − ti−1 )

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE

Zb f(t)dt = infP∈P([a,b]) a

n X

Mi (ti − ti−1 )

1=1

donde mi = inf {f(t) : t ∈ [ti−1 , ti ]} y Mi = sup {f(t) : t ∈ [ti−1 , ti ]} As´í tenemos que

Zb (b − a)inft∈[a,b] f(t) ≤

Zb f(t)dt ≤ (b − a)supt∈[a,b] f(t)

f(t)dt ≤ a

a

. Decimos que f es integrable según Riemann, lo que escribimos f ∈ R si

Zb

Rb a

f(t)dt,

Zb f(t)dt =

y dicho valor lo denotamos por R

f(t)dt a

a

Rb a

f(t)dt Una función ϕ : [a, b] → R es

escalonada si existe una partición P de [a, b] tal que ϕ(t) = ci , ci es constante, en cada intervalo abierto de la partición es sabido además que Zb a

Zb a

Zb

f(t)dt = sup R ϕ(t)dt : ϕ es una función escalonada en [a, b] , ϕ ≤ f a

Zb

f(t)dt = inf R ϕ(t)dt : ϕ es una función escalonada en [a, b] , ϕ ≥ f a

Consideremos (X, M, µ) un espacio de medida y E ∈ M tal que µ(E) < ∞ .

45

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE Dada f : E → R acotada ,no necesariamente medible, definimos

sdµ : s ∈ S(E), s ≥ f

Z

Z∗ fdµ = inf

E

E

Z

Z

sdµ : s ∈ S(E), s ≤ f

fdµ = sup ∗E

E

donde S(E) es el conjunto de funciones simples definidas en E y tomando valores Reales Proposición 3.4.1. Sea E un conjunto medible de medida finita y f : E → R una función acotada entonces R∗ E

fdµ =

R ∗E

fdµ si y sólo si f es medible

si f es medible entonces

R∗ E

R

fdµ =

∗E

fdµ =

R E

fdµ

Demostración. Sean (sk )k∈N , (rk )k∈N sucesiones de funciones simples tales que

sk ≤ sk+1 ≤ f ≤ rk+1 ≤ rk k = 1, 2, · · ·

y

Z

Z

Z

sk ↑

Z∗ rk ↓

fdµ ∗E

E

fdµ E

E

Por qué existen dichas funciones? recurde que si s, r son funciones simples entonces max{s, k} y min{s, k} son funciones simples. Las funciones f∗ = supsk y f∗ = infrk son medibles. Además como sk ≤ f∗ ≤ f ≤ f∗ ≤ rk tenemos que f∗ y f∗ son integrables, pués son medibles y acotadas con µ(E) < ∞, y vale Z

Z

Z

sk dµ ≤

Z ∗

f∗ dµ ≤ E

f dµ ≤ E

46

rk dµ E

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE Concluyendo que Z

Z

Z

fdµ ≤ ∗E

Supongamos ahora que

f∗ dµ ≤ E

R

Z∗ ∗

fdµ = ∗E

f dµ ≤

fdµ. E

E

R

fdµ. Entonces E

R E

(f∗ − f∗ )dµ = 0 y como

f∗ − f∗ ≥ 0 tenemos por resultado anterior que f∗ − f∗ = 0 µ-casi todas partes. Luego f∗ − f = 0 µ-casi todas partes y f es medible (por que?). Reciprocamente supongamos que f es medible (y acotada) y sea la sucesión (sk )k∈N de funciones simples , no negativas, tales que sk ↑ kfk − f, con kfk = supx∈E |f(x)| entonces sk dµ ↑

ya que

R E

(kfk − sk )dµ ↓

(kfk − f)dµ y por lo tanto

fdµ E

E

E

E

Z

Z

Z

Z

|f| dµ ≤ kfk µ(E) < ∞, nótese también que kfk − sk ∈ S(E) y que

kfk − sk ≥ f y kfk − sk ↓ f por lo tanto Z

Z∗

Z (kfk−sk )dµ ≥ E

De manera análoga se puede ver que

E

R E

(kfk−sk )dµ ≥

fdµ = limk→∞

fdµ lo que implica que E

Z∗

Z

fdµ ≤

E

R ∗E

fdµ con lo que se estar´ía

probando que las tres integrales son iguales Proposición 3.4.2. Sea f : [a, b] → R una función Riemann integrable entonces f es medible y el valor de la integral de Riemann es igual al valor de la integral de Lebesgue. Demostración. Como el conjunto de funciones escalonadas en [a, b] está conte-

47

fdµ E

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE nido en el conjunto S([a, b]) tenemos Zb

fdµ ≤

f(t)dt ≤ a

Z ∗b

Zb ∗a

Zb fdµ ≤

a

fdt a

y como f es Riemann integrable entonces las cuatro integrales son iguales y el resultado se sigue del teorema anterior. Una función f : [a, ∞) → R es Riemann integrable ,integral impropia, si Rk Rk existe la integral, R a fdt, para cada k > 0 y existe limk→∞ R a fdt . Ejemplo 3.4.3. Puede existir la integral impropia de Riemann de una función y no obstante no existir la integral de Lebesgue. si x 6= 0 y f(0) = 1. consideremos f : [0, ∞) → R tal que f(x) = sent t Rx sent Es sabido que l´ımx→∞ R o t dt existe. R∞ R∞ Ahora el valor de las integrales 0 f+ dt y 0 f− dt es ∞, con lo que la integral de Lebesgue de f no existe. En efecto : Z∞ 0

∞ Z (2n+1)π ∞ Z (2n+1)π ∞ X X X sent 1 2 f (t)dt = dt ≥ sentdt = =∞ t (2n + 1)π (2n + 1)π 2nπ 2nπ n=0 n=0 n=0 +

. De forma análoga se muestra para la otra integral. Definición 3.4.4. Una función f : [a, b] → R se dice semicontinua inferiormente (semicontinua superiormente) si para todo x ∈ [a, b] y para todo c < f(x) ( c > f(x)) existe una vecindad Vx de x tal que, para todo y ∈ Vx se tiene que c < f(y) (c > f(y)). Note que el sup (inf) de una familia no vac´ía de funciones semicontinua inferiormente (semicontinua superiormente) es semicontinua inferiormente (se48

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE micontinua superiormente) Proposición 3.4.5. Sea f : [a, b] → R una función acotada. f es Riemann integrable si y sólo si f es continua en µ-casi todas partes. Demostración. Sean (sk )k∈N , (rk )k∈N sucesiones de funciones escalonadas con sk ≤ sk+1 ≤ f ≤ rk+1 ≤ rk k = 1, 2, · · · tales que Rb Rb Rb Rb R a sk (x)dx ↑ f(x)dx y R a rk dx ↓ a f(x)dx. a

Siendo (tj−1 , tj ), j = 1, 2 · · · , nk los intervalos en los que sk (tk ) es constante , podemos suponer que

limk→∞ sup1≤j≤nk (tkj − tkj−1 ) = 0

También podemos suponer que cada sk (tk ) es semicontinua inferiormente ( semicontinua superiormente) bastando para eso que en tkj sea igual al inf (sup) de los valores en los intervalos adyacentes y del valor f(tjk ). Tomando f∗ = supsk y f∗ = infrk tenemos Zb

Z sk (x)dx ↑

R a

por lo tanto

Zb

Zb

a

Z

f∗ dµ [a,b]

Zb

f(x)dx = a

rk (x)dx ↓

f∗ dµ y R [a,b]

Z

f∗ dµ.

f∗ dµ y [a,b]

a

Si suponemos que f es Riemann integrable entonces

R

f∗ dµ = [a,b]

R

f dµ [a,b] ∗

y

como tenemos f∗ ≤ f ≤ f∗ se sigue que f∗ = f = f∗ , µ-casi todas partes en [a, b] y por consiguiente f es semicontinua superiormente e inferiormente en µcasi todo punto de [a, b] y por lo tanto continua en µ-casi todo punto en [a, b]. 49

3.5. EJERCICIOS Reciprocamente. Si f es continua en x podemos suponer que sk (x) ↑ f(x) y rk (x) ↑ f(x). Por lo tanto si f es continua en µ-casi todas partes de [a, b] tenemos que f∗ = f∗ µ-casi todas partes y por consiguiente Z

Z f∗ dµ

f∗ dµ = [a,b]

entonces

Rb a

3.5.

f(x)dx =

Rb a

[a,b]

f(x)dx. y así f es Riemann integrable.

Ejercicios

1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y fk : X → [0, ∞], k ∈ N una R sucesión medibles tales que fk → f en µ-casi todas partes y X fk dµ → R R fdµ con X fdµ < ∞. Muestre que para todo conjunto medible A ⊆ X X R R se tiene que A fk dµ → A fdµ R R sugerencia: B fdµ ≤ liminf B fk dµ haga B = A y B = Ac 2. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y fk : X → [0, ∞], k ∈ N una R sucesión decreciente de funciones medibles con X fk dµ < ∞ muestre R R que limk→∞ X fk dµ = X limk→∞ fk dµ 3. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y fk : X → [0, ∞], k ∈ N una R sucesión creciente de funciones medibles tales que X fk dµ ≤ M ∀k ∈ N muestre que existe f tal que fk → f en µ-casi todas partes , f es integrable R R y que X fdµ = limk→∞ X fk dµ 4. De un ejemplo de una función f : [0, 1] → R que es Lebesgue integrable

50

3.5. EJERCICIOS y que no exista una función g integrable segun Riemann tal que f = g µ-casi todas partes 5. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una función mediR ble tal que X fdµ < ∞ muestre que µ({x ∈ X : f(x) = ∞}) = 0 6. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una función meR dible tal que X fdµ < ∞ muestre que el conjunto {x ∈ X : f(x) > 0} es σ-finito 7. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una función mediR ble tal que X fdµ < ∞ muestre que para todo > 0 existe un conjunto R R E ∈ M tal que µ(E) < ∞ y X fdµ ≤ E fdµ + 8. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una función medible tal que f es integrable muestre que µ({x ∈ X : |f(x)| ≥ }) ≤ R 1 |f| dµ < ∞ (desigualdad de Chebyshev) X 9. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X×[a, b] → R tal que la función x → f(x, t) es medible para cada t ∈ [a, b], suponga también que para algún t0 ∈ [a, b] f(x, t0 ) = limt→t0 f(x, t), ∀x ∈ X y que existe una R función g integrable tal que |f(x, t)| ≤ g(x). Muestre que X f(x, t0 )dµ = R limt→t0 X f(x, t)dµ 10. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f : X × [a, b] → R tal que la función x → f(x, t) es medible para cada t ∈ [a, b], suponga también que la función t → f(t, x) es continua en [a, b] y que existe una función g inteR grable tal que |f(x, t)| ≤ g(x). Muestre que la función F(t) = X f(x, t)dµ es continua 51

3.5. EJERCICIOS Rx 11. Sean −∞ < a < b ≤ ∞ y f : [a, b] → [0, ∞] tales que limx→b R a f(t)dt < R Rx ∞ muestre que f es integrable y [a,b] fdµ = limx→b R a f(t)dt . µ medida de Lebesgue

52

CAPÍTULO 4 Medida producto

4.1.

Definición de álgebra

Definición 4.1.1. Sean X un conjunto no vacío y A ⊆ P(X) decimos que A es una álgebra si: i φ∈A ii Si E ∈ A entonces X − E ∈ A iii Si E1 , ..., En ∈ A entonces

Sn

i=1

Ei ∈ A

Una función µ : A → [0, ∞] es una medida en A si i µ(φ) = 0 ii Si {Ei }∞ i=1 es una familia disyunta en A tal que P∞ i=1 µ(Ai )

53

S

Ei ∈ A entonces µ (

S∞

i=1

Ai ) =

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Definición 4.1.2. Sean A una álgebra en X y µ una medida en A la función µ∗ : P(X) → [0, ∞]

tal que dado B ⊆ X

µ∗ (B) = ´ınf

∞ X

µ(Ai ) : Ai ∈ A, ∀i ∈ N y B ⊆

i=1

[

Ai

i∈N

es llamada medida exterior generada por µ. De la misma manera como en el cápitulo 2 , medida exterior de Lebesgue, podemos mostrar. Proposición 4.1.3. µ∗ es una medida exterior en P(X). Demostración. Por la definición es claro que µ∗ (∅) = 0, ahora por las propiedades del ´ínfimo se tiene que si E, F ⊆ X con E ⊆ F entonces µ∗ (E) ≤ µ∗ (F).

Restaría mostrar que dada (Ek )k∈N una secuencia de subconjuntos de X tenemos que µ∗ (∪∞ k=1 Ek ) ≤

∞ X

µ∗ (Ek ).

k=1

Si para algún k ∈ N µ∗ (Ek ) = ∞ tenemos igualdad , pues ambos lados serían infinito. Supongamos entonces que µ∗ (Ek ) < ∞ ∀k ∈ N. Dado > 0 y para cada k ∈ N escojamos (Akm )m∈N una sucesión en A tal que

Ek ⊆

∞ [ m=1

Akm

y

∞ X

µ(Akm ) ≤ µ∗ (Ek ) +

m=1

54

2k

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA luego µ∗ (∪∞ k=1 Ek ) ≤

P∞ P∞ k=1

m=1

µ(Akm ) ≤

P∞

∗ n=1 (µ (Ek )

+

) 2k

=

P∞ n=1

µ∗ (Ek ) +

Definición 4.1.4. A∗ = {A ∈ P(X) : A es µ∗ − medible}. Observación 4.1.5. Dado E ∈ A entonces µ(E) = µ∗ (E); en efecto: por la definición se tiene que µ∗ (E) ≤ µ(E), ahora dado {En }n∈N cubrimeinto de P E por elementos de A tenemos que E = ∪n∈N En ∩ E luego µ(E) ≤ n∈N µ(En ∩ P E) ≤ n∈N µ(En ); y por lo tanto µ(E) ≤ µ∗ (E). Teorema 4.1.6. (X, A∗, µ∗ ) es un espacio de medida , µ∗ es una medida completa y A ⊆ A∗. Demostración. Veamos inicialmente que A∗ es una σ-álgebra; para esto mostremos que:

i φ ∈ A∗ ii si A ∈ A∗ entonces X − A ∈ A∗ iii Si E, F ∈ A∗ entonces E ∩ F ∈ A∗ Como E es µ∗ -medible entonces para cada A ⊆ X tenemos

µ∗ (A ∩ F) = µ∗ (A ∩ F ∩ E) + µ∗ (A ∩ F − E)

Dado que F es µ∗ -medible tenemos

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ F) + µ∗ (A − F)

55

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA como también

µ∗ (A−(E∩F)) = µ∗ ((A−(E∩F))∩F)+µ∗ ((A−(E∩F))−F) = µ∗ ((A∩F)−E)+µ∗ (A−F).

De lo anterior concluimos

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ F ∩ E) + µ∗ (A ∩ F − E) iv Si E, F ∈ A∗ con E ∩ F = ∅ entonces µ∗ (E ∪ F) = µ∗ (E) + µ∗ (F) Sabemos que E, F ∈ A∗ luego

µ∗ (A∩(E∪F)) = µ∗ ((A∩(E∪F))∩F)+µ∗ ((A∩(E∪F))−F) = µ∗ (A∩E)+µ∗ (A∩F)

Tomando A = X obtenemos lo deseado. S v Dados A1 , A2 , ..., An ∈ A∗ entonces ni=1 Ai ∈ A∗ T S Basta observar que ni=1 Ai = X − ni=n (X − Ai ) y por lo tanto como T consecuencia de los numerales 2, 3 tenemos que X − ni=n (X − Ai ) ∈ A∗ vi Sea {Ei }i∈N familia disjunta, dos a dos, en A∗ entonces P∞ ∗ i=1 µ (Ei )

S∞

i=1

Ei ∈ A∗, µ∗ (

Si A, B ∈ A∗ entonces

µ∗ (A ∩ (E ∪ F)) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F) si E ∩ F = φ (∗)

. Definamos Fn =

Sn

i=1

Ei .

56

S∞

i=1

Ei ) =

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Veamos que para A ⊆ X

µ∗ (A) ≥ µ∗ A −

∞ [

! Ei

+ µ∗ A ∩

i=1

∞ [

! Ei

i=1

µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ Fn ) + µ∗ (A − Fn ) pués Fn es µ∗ -medible (4.1) n X = µ∗ (A ∩ Ei ) + µ∗ (A − Fn ) de (∗) (4.2) ≥

i=1 n X

µ∗ (A ∩ Ei ) + µ∗ A −

∞ [

! Fi

(4.3)

i=1

i=1

haciendo n → ∞ tenemos S∞ S∞ P ∗ ∗ ∗ ∗ ) (A (A F ≥ µ − µ (A∩E )+µ − µ∗ (A) ≥ ∞ i i i=1 Ei )+µ (A∩ i=1 i=1 S∞ i=1 Ei )

Mostremos ahora que A ⊆ A∗ Dado B ∈ A veamos que B es µ∗ -medible. Sea A ⊆ X y veamos que µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (A − B) Dado ε > 0 existe {Ai }i∈N , Ai ∈ A cubrimiento de A tal que ∞ X

µ(Ai ) ≤ µ∗ (A) + ε

i=1

Como A ⊆

S∞

i=1

Ai ; y A ∩ B ⊆

S∞

i=1 (Ai

∩ B), A − B ⊆

S∞

i=1 (Ai

− B)

Entonces

∗

µ (A ∩ B) ≤

∞ X

µ∗ (Ai ∩ B), µ∗ (A − B) ≤

i=1

57

X

µ∗ (Ai − B)

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA

∗

∗

µ (A ∩ B) + µ (A − B) ≤

∞ X

µ∗ (Ai ) ≤ µ∗ (A) + ε

i=1

La completez de µ∗ se sigue directamente de las observaciones del capítulo 2

Teorema 4.1.7. Si A es un álgebra y µ una medida σ-finita en A entonces la extensión, µ∗ , de µ a A∗ es única Demostración. Sea ν otra extensión de µ a A∗ Inicialmnete suponemos que µ(X) < ∞ . Sea B ∈ A∗ y {Ai }i∈N una familia de conjuntos en A tal que B ⊆

S∞

i=n

Ai .

Luego ν(B) ≤

∞ X

ν(Ai ) =

∞ X

µ(Ai )

i=1

i=1

de donde ν(B) ≤ µ∗ (B) Ahora µ∗ (X − B) + µ∗ (B) = µ∗ (X) = µ(X) < ∞ y ν(X − B) + ν(B) = ν(X) = µ(X) < ∞ Luego µ∗ (B) = ν(B) Miremos ahora el caso en que µ es una medida σ-finita; esto es, existe una familia S de conjuntos (Fi )i∈N en A tal que X = ∞ i=1 Fi , µ(Fi ) < ∞. Podemos suponer también que Fi ⊆ Fi+1 ∀i ∈ N Luego

58

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES

µ∗ (B) = =

l´ım µ∗ (B ∩ Fi )

(4.4)

l´ım ν(B ∩ Fi )

(4.5)

n→∞

n→∞

= ν(B)

4.2.

(4.6)

Algunas propiedades

Sean (X, M1 , µ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida. Definimos el rectángulo R = A × B, A ∈ M1 , B ∈ M2 y M = M1 ⊗ M2 la σ-álgebra generada por el conjunto de rectángulos. Nuestro objetivo es definir una medida Π en M tal que Π(A × B) = µ(A)ϕ(B) con A ∈ M1 , B ∈ M2 . Consideremos

Z=

k [

Ri : k ∈ N, Ri es un rectángulo para cada i = 1, 2, ..., k

i=1

Note que en la definición de Z podemos escoger los rectángulos disjuntos dos a dos pués dados A1 , A2 ⊆ X y B1 , B2 ⊆ Y tenemos que

(A1 ×B1 )∪(A2 ×B2 ) = [(A1 −A2 )×B1 ]∪[(A1 ∩A2 )×(B1 ∪B2 )]∪[(A2 −A1 )×B2 ]

La afirmación se sigue por un argumento inductivo.

59

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES Proposición 4.2.1. Z ⊆ P(X × Y) es un álgebra Demostración. Es claro que ∅ ∈ Z además dados R1 , · · · , Rn ∈ Z entonces ∪ni=1 Ri ∈ Z . Resta probar que dado R ∈ Z entonces X × Y − R ∈ Z, lo que es consecuencia de la siguiente propiedad : Dados A1 , A2 ⊆ X y B1 , B2 ⊆ Y tenemos

(A1 × B1 ) − (A2 × B2 ) = [(A1 ∩ A2 ) × (B1 − B2 )] ∪ [(A1 − A2 ) × B1 ]

Definición 4.2.2. Dado R = ∪ni=1 Ai × Bi con Ai × Bi i = 1, · · · , n rectángulos disjuntos dos a dos. P Definimos Π(R) = ni=1 µ(Ai ).ϕ(Bi ) Proposición 4.2.3. Π es una medida en Z Demostración. Mostremos inicialmente que si A × B =

S∞

i=1 (Ai

× Bi ) , con

(Ai × Bi )i∈N familia disjunta dos dos entonces XA×B (x, y) = XA (x).XB (y) =

∞ X

XAn (x)XBn (y)

n=1

Usando el Teorema de la convergencia monotona dos veces tenemos

µ(A)ϕ(B) =

∞ X

µ(An )ϕ(Bn )

n=1

Π(A × B) =

∞ X n=1

60

Π(An × Bn ).

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES

Consideremos una familia {En }n∈N de elementos de Z disjunta dos a dos y tal que ∪i∈N Ei ∈ Z. Como cada Ei es union finita de rectángulos, dos a dos disjunta, se obtiene el resultado por la consideración ya probada Por Teorema de la sección anterior existe una extensión de Π a la σ-álgebra Z∗ que continuaremos denotando por Π; además si suponemos que µ, ϕ son σ-finitas entonces la extensión es única. Nótese que M ⊆ Z∗ Definición 4.2.4. Dado E ⊆ X × Y definimos

Ex = {y ∈ Y : (x, y) ∈ E} Ey = {x ∈ X : (x, y) ∈ E} Dada f : X × Y → K definimos fx : Y → K : y 7→ f(x, y), fy : Y → K : x 7→ f(x, y)

Proposición 4.2.5.

Si E ∈ M entonces Ex ∈ M2 , ∀x ∈ X y Ey ∈ M1 , ∀y ∈

Y Sea f : X × Y → K, K espacio Topológico. Si f es M- medible entonces fx es M2 − medible y fy es M1 − medible Demostración. Para mostrar la primera parte veamos que Ω = {E ⊆ M1 ⊗ M2 : (∀x ∈ X)(Ex ∈ M2 )} es una σ-álgebra y que M ⊆ Ω

61

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES Dado R = A × B, A ∈ M1 , B ∈ M2    B si x ∈ A, Rx =   φ si x ∈ / A. luego R ∈ Ω Para ver que Ω es una σ-álgebra mostremos que: X×Y ∈Ω Si E ∈ Ω entonces (Ec )x = (Ex )c pués y ∈ (Ec )x ⇔ (x, y) ∈ Ec

(4.7)

⇔ (x, y) ∈ /E

(4.8)

⇔ y ∈ (Ex )c

(4.9)

y por lo tanto (Ec )x ∈ M2 Si E =

S∞

i=1

Ei entonces Ex =

S∞

i=1 (Ei )x

∈ M2

Mostremos la segunda parte del enunciado si

fx : Y → K : y 7→ fx (y) = f(x, y) −1 y U un abierto en K entonces f−1 x (U) = (f (U))x ∈ M2

Es importante mencionar que la inclusión M ⊆ Z∗ puede ser propia; pués Z∗ es completa en tanto que M puede no serlo. si existe un conjunto B no medible en M1 entonces escogiendo un conjunto C 62

4.3. TEOREMA DE FUBINI en M2 con medida nula tenemos que B × C ⊆ X × C con Π(X × C) = 0. Luego B × C ∈ Z∗ , pero por el resultado anterior B × C ∈ / M.

4.3.

Teorema de Fubini

Definición 4.3.1. Dado X un conjunto no vacío ,un conjunto no vacío C ⊆ P(X) es una clase monotona si Si dada (Ai )i∈N una familia en C y A1 ⊆ A2 ⊆ ... entonces

S

i∈N

Ai ∈ C

si dada (Ai )i∈N una familia en C y A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ... entonces T i∈N Ai ∈ C Observación 4.3.2. Si A es una familia de conjuntos, CA =

T

C∈F

C donde F =

{C : C es clase monótona C ⊇ A} es la menor clase monotona conteniendo A y será llamada clase monotona generada por A Lema 4.3.3. Si A es un álgebra, entonces CA = MA (σ-álgebra generada por A) Demostración. Dado que una σ-álgebra es una clase monotona tenemos que CA ⊆ MA , para mostrar la otra inclusión probemos que CA es una σ- álgebra, lo que se obtiene si conseguimos mostrar que CA es un álgebra. Definamos

CA (E) = {F ∈ CA : F − E ∈ CA , E − F ∈ CA , E ∩ F ∈ CA }

Observe que: CA (E) es una clase monotona para todo E ⊆ X

63

4.3. TEOREMA DE FUBINI E ∈ CA (F) ⇔ F ∈ CA (E) E ∈ A ⇒ A ⊆ CA (E) CA = CA (E) para cada E ∈ A, por ser CA la menor clase monotona conteniendo A. CA (F) = CA , ∀F ∈ CA Así concluimos que CA es una álgebra. Lema 4.3.4. Sean (X, M1 , µ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida σ-finitos. Si E ∈ M entonces las funciones

f(x) = ϕ(Ex ), g(y) = µ(Ey )

son M1 y M2 medibles, respectivamente, y Π(E) =

R X

f(x)dµ =

R Y

g(y)dϕ

Demostración. Supongamos inicialmente que Π(X × Y) < ∞ Definamos Z

Z

H = {E ∈ M : f(x) = Ex es M1 −medible , g(y) = µ(E ) es M2 −medible y Π(E) = y

f(x)dµ = X

Ahora si E = A×B con A ∈ M1 y B ∈ M2 entonces f(x) = Ex = ϕ(B)χA (x) y g(y) = Ey = µ(A)χB (y) luego E ∈ H, por lo tanto Z ⊆ H. Mostremos que H es una clase monótona, con lo que probariamos que H = M. S Si A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ... con Ai ∈ H, ∀i ∈ N entonces i∈N Ai ∈ H, ya que si hacemos fn (x) = ϕ(AnX ) tenemos que f1 ≤ f2 ≤ ... y fn (x) → ϕ((∪i∈N Ai )x ) el resultado se sigue al aplicar el Teorema de la convergencia monotona. 64

g( Y

4.3. TEOREMA DE FUBINI Si A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ... con Ai ∈ H, ∀i ∈ N entonces tomando las mismas funciones como en el caso anterior y usando el Teorema de la convergencia dominada tenemos que ∩i∈N Ai ∈ H . En el caso en que Π(X × Y) = ∞ tomamos una secuencia creciente (Zk )k∈N de rectángulos tal que Π(Zi ) < ∞, ∀i ∈ N y ∪i∈N Zi = X × Y. Aplicamos el resultado anterior a los conjuntos E∩Zi y usamos el Teorema de la convergencia monotona para obtener el resultado. Teorema 4.3.5 (Teorema de Tonelli). Sean (X, M1 , µ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida σ-finitos y F : X×Y → [0, ∞] una función M-medible. Entonces las funciones Z

Z

Fy dµ

Fx dϕ, g(y) =

f(x) =

X

Y

son M1 y M2 medibles, respectivamente, y vale Z

Z

Z

fdµ = X

gdϕ = Y

FdΠ X×Y

Demostración. Vale para χE , E ∈ M y por lo tanto vale para funciones simples. Dada F no negativa M- medible, existen S1 ≤ S2 ≤ ... ≤ Sn sucesión de funciones simples tal que Sn → F . Haciendo

Z

Z

fn (x) =

(Sn )x dϕ, Y

(Sn )y dµ

gn (y) = X

tenemos que fn → f, gn → g (por Teorema de la convergencia monotona) El resultado se obtiene integrando. Teorema 4.3.6 (Teorema de Fubini). Sean (X, M1 , µ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida σ-finitos y F : X × Y → [−∞, ∞] una función integrable entonces las funcio65

4.4. EJERCICIOS nes

Z

Z

f(x) =

Fy dµ

Fx dϕ, g(y) = Y

X

son integrables y además Z

Z

Z

fdµ = X

FdΠ = X×Y

gdϕ Y

Demostración. Basta aplicar el teorema de Tonelli a F+ , F− .

4.4.

Ejercicios

1. Sea E ∈ BR ,σ-álgebra de Borel. Muestre que {(x, y) ∈ R2 : x + y ∈ E} y {(x, y) ∈ Rn .x − y ∈ E} son elementos de BR ⊗ BR 2. Sean (X, M) un espacio medible , α, β ∈ R y E ∈ M ⊗ BR . Muestre que {(x, t) ∈ X × R : (x, αt + β) ∈ E} ∈ M ⊗ BR 3. Sean (X, M) un espacio medible y f : X → R medible . Muestre que {(x, t) ∈ X × R : f(x) = t} ∈ M ⊗ BR 4. Sean f integrable en (X, M1 , µ) , g integrable en (Y, M2 , υ) y ϕ(x, y) = f(x)g(y), x ∈ X , y ∈ Y. Muestre que ϕ es integrable en (X × Y, M1 ⊗ R R R M2 , Π) y X×Y ϕ(x, y)dΠ = ( X fµ)( Y gdυ) 5. Sean (X, M, µ) un espacio de medida , f : X → [0, ∞] y ωf = {(x, t) ∈ X × [0, ∞] : 0 ≤ t ≤ f(x)} muestre que f es medible si y sólo si ωf ∈ M ⊗ B[0,∞] , B[0,∞] σ-álgebra de Borel Si f es medible entonces

R X

fdµ = Π(ωf ) 66

4.4. EJERCICIOS 6. Sean (X, M1 , µ) y (Y, M2 , ϑ) espacios de medida σ-finitos.Muestre que si E, F ∈ M1 ⊗ M2 ϑ(Ex ) = ϑ(Fx ), ∀x ∈ X entonces Π(E) = Π(F)

67

CAPÍTULO 5 Espacios Lp

5.1.

Definición

Definición 5.1.1. Una función ϕ : (a, b) → R se dice convexa si dados x, y ∈ (a, b) y t ∈ [0, 1] ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y). Una función es convexa si el gráfico de ϕ, {(t, ϕ(t)) : x ≤ t ≤ y}, está por debajo del segmento de recta comprendido entre (x, ϕ(x)) y (y, ϕ(y)). Proposición 5.1.2. ϕ : (a, b) → R es convexa si y sólo si para todo c ∈ (a, b) ϕc : (a, b) − {c} → R x 7→

ϕ(x) − ϕ(c) x−c

es creciente. Demostración. Sea t1 < t2 y veamos que ϕc (t1 ) < ϕc (t2 ), si ϕ es convexa. Hay que considerar tres casos: t1 < c < t2 , t1 < t2 < c y c < t1 < t2 . 68

(5.1) (5.2)

5.1. DEFINICIÓN Miremos el primer caso, los otros se tratan de manera análoga . −c 1 Como t2 − t1 = (c − t1 ) + (t2 − c), tenemos que tc−t + tt22−t = 1 y que 2 −t1 1 c−t1 −c t2 + tt22−t t1 = c. Como ϕ es convexa, t2 −t1 1 t2 −c c−t1 t2 −c c−t1 1 ϕ(t )+ ϕ(t ), luego + ϕ(c) ≤ ϕ(t2 )+ ϕ(c) ≤ tc−t 2 1 −t t2 −t1 t −t t2 −t1 t −t 2 1 2 1 2 1 t2 −c −c 1 ϕ(t1 ), de donde tenemos que tc−t (ϕ(t2 )−ϕ(c))+ tt22−t (ϕ(t1 )− t2 −t1 2 −t1 1

ϕ(c)) ≥ 0, por lo que (c − t1 )(ϕ(t2 ) − ϕ(c)) ≥ (t2 − c)(ϕ(c) − ϕ(t1 )), luego ϕ(t1 )−ϕ(c) t1 −c

≤

ϕ(t2 )−ϕ(c) . t2 −c

Reciprocamente sean x, y ∈ (a, b). Sin pérdida de generalidad podemos asumir que x < y. Si t ∈ (0, 1), x < tx + (1 − t)y < y. Por hipótesis tenemos que ϕ(tx+(1−t)y)−ϕ(x) tx+(1−t)y−x

≤

ϕ(y)−ϕ(tx+(1+t)y) . y−tx−(1−t)y

≤

ϕ(y)−ϕ(tx+(1+t)y) . t(y−x)

esto es ϕ(tx+(1−t)y)−ϕ(x) (1−t)(y−x)

Luego t[ϕ(tx + (1 − t)y) − ϕ(x)] ≤ (1 − t)ϕ(y) − (1 − t)ϕ(tx + (1 − t)y) y por lo tanto ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y). Observación 5.1.3. Si ϕ : (a, b) → R es diferenciable, entonces ϕ es convexa si sólo si ϕ0 es creciente. Proposición 5.1.4 (Desigualdad de Jensen). Sea (X, M, µ) un espacio de medida tal que µ(X) = 1 ( espacio de probabilidad). Si f : X → R es medible , f(x) ∈ R (a, b) para todo x ∈ X, y si ϕ : (a, b) → R es convexa entonces ϕ X fdµ ≤ R (ϕ ◦ f)dµ X Demostración. Sea t :=

R X

fdµ. Obsérvese que a < t < b. Siendo s, u tales que

a < s < t < u < b y puesto que ϕ es convexa, tenemos que H(s) = ϕ(u)−ϕ(t) u−t

ϕ(t)−ϕ(s) t−s

≤

= H(u) (tomando c := t). De esto tenemos que existe β := sup{H(s) : 69

5.1. DEFINICIÓN a < s < t} y α := ´ınf{H(s) : t < s < b}. Así, β(u − t) ≤ ϕ(u) − ϕ(t), es decir, ϕ(u) ≥ β(u − t) + ϕ(t) si t ≤ u. Análogamente tenemos que ϕ(s) ≥ β(s − t) + ϕ(t) si s ≤ t. Así, ϕ(s) ≥ β(s − t) + ϕ(t) para todo s ∈ (a, b). Haciendo s := f(x) (x ∈ X), ϕ(f(x)) ≥ β(f(x) − t) + ϕ(t). Integrando sobre X, tenemos que R R R R ϕ(f)dµ ≥ β [f(x)−t]dµ+ϕ(t) = ϕ fdµ (ya que [f(x)−t]dµ = X X X X R 0 y t := X fdµ). Definición 5.1.5. Sean (X, M, µ) un espacios de medida y 1 ≤ p < ∞ definimos R Łp (X, M, µ) = {f : X 7→ C : fes medible y X |f|p dµ < ∞} En Łp (X, M, µ) definimos la siguiente relación f ∼ g ⇔ f = g en µ-casi todas partes de X , no es difíl ver que que ésta relación es de equivalencia. Definición 5.1.6. Lp (X, M, µ) = Łp (X, M, µ)/ ∼ . 1 < p < ∞ los elementos de Lp (X, M, µ) son clases de equivalencia , los representantes de esas clases los notaremos simplemente por las letras f, g, h Proposición 5.1.7. Lp (X, M, µ) 1 ≤ p < ∞ es un espacio vectorial. Demostración. Dados f ∈ Lp se tiene que ∀c ∈ C cf ∈ Lp . Si usamos que la función tp , 1 ≤ p < ∞, t > 0 es convexa entonces (λx + (1 − λ)y)p ≤ λxp + (1 − λ)yp 70

5.1. DEFINICIÓN 1 Si λ = , 2

x+y 2

p

xp + yp ≤ Así dadas f, g ∈ Lp , f + g ∈ Lp 2

Proposición 5.1.8. La función k.kp : Lp (X, M, µ) → [0, ∞) : f 7→ kfkp = R p 1/p |f| dµ 1 ≤ p < ∞ . es una norma. X Demostración. kfkp = 0 si y sólo si f(x) = 0 en µ-casi todo x ∈ X, es decir f pertenece a la clase de la función nula, esto es f = 0 en Lp . Dados f ∈ Lp y λ ∈ C tenemos que kλfkp = |λ|kfkp En el caso p = 1 la desigualdad triangular es una consecuencia de la desigualdad triangular en C. Para los casos 1 < p < ∞ es necesario mostrar algunos resultados previos Definición 5.1.9. Sea 1 < p < ∞ , q es el exponente conjugado de p si

1 1 + = p q

1 Proposición 5.1.10 (Hölder). Sean p, q exponentes conjugados. Si f ∈ Lp (X, M, µ)yg ∈ Lq (X, M, µ) entonces Z |fg|dµ ≤

1

f.g ∈ L (X, M, µ) y

1/q 1/p Z q |g| dµ . |f| dµ .

Z

X

p

X

Como ex es convexa

etx+(1−t)y ≤ tex + (1 − t)ey

etx e(1−t)y ≤ tex + (1 − t)ey Para α > 0 y β > 0 t=

1 1 , 1−t= p q 71

X

5.1. DEFINICIÓN x = ln α y = ln β 1 p 1 q θ + δ (*) ∀δ, θ ∈ [0, ∞) p q Si alguna de las funciones f o g es la función nula el resulatdo se tiene.Supongamos

Hagamos θ = α1/p , δ = β1/q luego δθ ≤

pués que kfkp 6= 0 y kgkq 6= 0 Usando (*) tenemos 1 |f|p 1 |g|q |f| |g| ≤ + kfkp kgkq p kfkpp q kgkqq Integrando tenemos que 1 kfkp kgkq

Z |fg|dµ ≤ 1

Z |fg|dµ ≤ kfkp kgkq X

Proposición 5.1.11 (Desigualdad de Minkowsky). Sean f, g ∈ Lp (X, M, µ) (1 < p < ∞) entonces kf + gkp ≤ kfkp + kgkp Demostración.

|f + g|p = |f + g||f + g|p−1 ≤ |f||f + g|p−1 + |g||f + g|p−1

72

5.1. DEFINICIÓN Usando Hölder, Z |f + g| dµ ≤ (kfkp + kgkp ) p

Z

X

p−1 q

|f + g|

1/q dµ

X

R Si X |f + g|q dµ = 0 el resultado se tiene . R Si X |f + g|q dµ 6= 0 entonces kf + gkp ≤ kfkp + kgkp Definición 5.1.12. Sean (X, M, µ) espacio de medida, f : X → [0, ∞] medible. f es esencialmente acotada si existe α > 0 tal que µ(f−1 ((α, ∞])) = 0 (|f(x)| ≤ α en µ-casi todo x ∈ X). Definición 5.1.13. Sea β = ´ınf A donde A = α : µ(f−1 (α, +∞])) = 0 , β = ∞ en el caso en que A = ∅. β es denominado supremo esencial de f. Ahora β ∈ A pués

−1

f (β, +∞] =

∞ [

−1

f

n=1

1 β + ,∞ n

Es decir |f(x)| ≤ β para µ-casi todo x ∈ X Además si |f(x)| ≤ λ para µ-casi todo x ∈ X entonces β ≤ λ

Definición 5.1.14. Ł˜ ∞ (X, M, µ) = {f : X → C : f es medible y |f| es esencialmente acotada} Como en el caso anterior definimos en Ł∞ la siguiente relación de equivalencia f ∼ g si y sólo si f = g en µ − casi todas partes

73

5.1. DEFINICIÓN y se define Ł∞ (X, M, µ)/∼ = L∞ (X, M, µ) Proposición 5.1.15. Dado (X, M, µ) espacio de medida entonces L∞ (X, M, µ) es un espacio vectorial, además la función kfk∞ : L∞ (X, M, µ) → [0, ∞) donde kfk∞ = supremo esencial de |f| es una norma Demostración. Veamos la desigualdad triangular

si f, g ∈ L∞ (µ) entonces kf + gk∞ ≤ kfk∞ + kgk∞ (Minkowski)

Existen E1 , E2 ∈ M tales que µ(E1 ) = µ(E2 ) = 0

kf(x)k = kfk∞ , ∀x ∈ X − E1

kg(x)k = kgk∞ , ∀x ∈ X − E2 Luego

|f(x) + g(x)| ≤ kfk∞ + kgk∞ , ∀x ∈ X − (E1 ∪ E2 ) y µ(E1 ∪ E2 ) = 0

Asi kf + gk∞ ≤ kfk∞ + kgk∞

Definición 5.1.16. El exponente conjugado de 1 es ∞ Proposición 5.1.17 (Hölder). Sea (X, M, µ) si f ∈ L1 (µ) y g ∈ L∞ (µ) entonces fg ∈ L1 (µ). 74

5.2. COMPLETEZ DE LOS ESPACIOS LP

Z

Z X

|fg|dµ < kgk∞

|f|dµ < ∞ X

Observación 5.1.18. Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Si µ(X) < ∞ entonces Lp (µ) ⊂ Lr (µ), 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞ Sea 1 ≤ r < p < ∞. Si f ∈ Lp (X) entonces Z |f| dµ ≤ r

X

Z

r/p r |f| dµ .(µ(x))1− p < ∞ p

X

Si p = ∞ el resultado es inmediato.

5.2.

Completez de los espacios Lp

Proposición 5.2.1. Si (X, M, µ) es un espacio de medida entonces Lp (µ) para 1ŁeqpŁeq∞ es espacio vectorial normado y completo. Demostración. Mostremos inicialmente que Lp (µ) es completo para 1 ≤ p < ∞. Si (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy en Lp (µ) entonces existe (fni )i∈N tal que

kfni +1 − fni kp <

1 para i = 1, 2, ... 2i

1 En efecto, para = , existe n1 ∈ N tal que si m ≥ n1 entonces 2 1 1 kfn1 − fm kp < de igual forma vemos que para = i existe 2 2 1 ni ∈ N, ni > ni−1 tal que si m ≥ ni entonces kfni − fm kp < i razonando 2 por inducción se garantiza la existencia de 1 (ni )i∈N tal que |fni +1 − fni |p < i 2 Pk P Sea gk = i=1 |fni +1 − fni | y g = ∞ i=1 |fni +1 − fni | 75

5.2. COMPLETEZ DE LOS ESPACIOS LP gk ∈ Lp (µ) y kgkp Łeq1 ; pués usando el lema de Fatou tenemos que R R Łiminf|gk |p dµŁeqŁiminf X |gk |p dµŁeq1. X textŁuego, existe E ∈ M µ(E) = 0 tal que g(x) < ∞ ∀x ∈ X − E.(por qué?) Por lo tanto

fn1 +

∞ X

fni +1 − fni es convergente ∀x ∈ X − E.

i=1

   Łimi→∞ fn i Definamos f =   0 f es medible. Note que fnk = fn1

si x ∈ / E, si x ∈ E. Pk−1 + i=1 (fni +1 − fni ) y limi→∞ fni (x) = f(x)

para cada x ∈ /E Veamos que f ∈ Lp (µ) y además que fn → f en Lp (µ) Dado ε > 0 ∃N ∈ N tal que si n, m ≥ N kfn − fm kp < ε En particular i, m > N, kfni − fm kpp Łeqεp . R R Usando el lema de Fatou tenemos que X |f − fn |p dµŁeqliminf X |fni − fm |p dµŁeqεp . Luego kf − fm kp < ε , m ≥ N Es decir, f − fm ∈ Lp si m ≥ N y por tanto f ∈ Lp y además fn → f en Lp (µ). Para el caso p = ∞ Si (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy en L∞ (µ) definamos Ek = {x ∈ X : |fk (x)| > kfk k∞ } Bm,n = {x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| > kfm − fn k∞ }. 76

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) (Ek ∪ Bm,n )) existe una función acotada f˜ tal que fn → f˜ S uniformemente y µ(A) = 0 donde A = k,m,n (Ek ∪ Bm,n ).

Así en X − (

Definamos

S

k,m,n

   f˜ f=   0

si x ∈ X − A, si x ∈ A.

f es medible; f ∈ L∞ (µ) y fn → f en L∞ (µ)

5.3.

Algunos conjuntos densos en Lp(µ)

Proposición 5.3.1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida. El conjunto S = {s : X → C : s es una función simple y µ({x : s(x) 6= 0}) < ∞} es denso en Lp (µ) 1 ≤ p < ∞. Demostración. Note que S ⊆ Lp (µ), dada f ∈ Lp (µ) ,suponemos inicialmente que f ≥ 0, existe (ϕj )j∈N tal que 0 ≤ ϕj ≤ f, así ϕj ∈ Lp (µ) y por lo tanto ϕj ∈ S. Como |f − ϕj |p ≤ (2f)p el Teorema de la convergencia dominada garantiza que kf − ϕj kp → 0, cuando j → ∞. En el caso real , f = f+ − f− , se aplica el resultado ya probado a f+ y a f− . Para el caso complejo escribimos f = Real(f) + iIm(f) y usamos el resultado anterior Definición 5.3.2. Sean X espacio topológico y f : X → C una función. El soporte de f ,denotado por suppf, es la adherencia del conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0}. El conjunto de funciones continuas sobre X con soporte compacto será denotado por C0 (X) Proposición 5.3.3 (Teorema de extensión de Tietze). K ⊆ Resn es compacto y 77

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) f : K → Resm es una función continua, entonces existe f˜ : Resn → Resm tal que ˜ f = f˜ en K y supx∈Resn |f(x)| ≤ supx∈K |f(x)| Demostración. Como f = (f1 , ...., fm ), donde cada función fi : K → Res, basta mostrar el resultado para m = 1. Sea U = Resn − K.Para cada x ∈ U y s ∈ K tomemos

us (x) = max{2 −

|x − s| , 0} dist(x, K)

Observamos que :us es continua en U, 0 ≤ us ≤ 1 y us (x) = 0 si |x − s| ≥ 2dist(x, K). Tomemos {sj }∞ j=1 un conjunto denso en K (por qué existe?)y definamos

σ(s) =

∞ X

2−j usj (x), para cada x ∈ U

j=1

0 < σ(x) ≤ 1 para cada x ∈ U. Tomando ahora para cada x ∈ U

vk (x) =

y definiendo ˜ f(x) =

2−k usk (x) σ(x)

   f(x)

six ∈ K,

 P   ∞ k=1 vk (x)f(sk )

six ∈ U

tenemos que por el criterio M-Weierstrass f˜ es continua en U. ˜ Mostremos que en U se tiene que limx→a f(x) = f(a) para cada A ∈ K. Dado > 0 existe δ > 0 tal que |f(a) − f(sk )| < para todo sk tal que |sk − a| <

78

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) δ. Tomemos x ∈ U tal que |x − a| < δ4 . Si |a − sk | ≥ δ entonces δ ≤ |a − sk | ≤ |a − x| + |x − sk | <

δ + |x − sk |, 4

luego |x − sk | ≥

3δ > 2|x − a| ≥ 2dist(x, K). 4

Por lo tanto vk (x) = 0 siempre que |x − a| < δ4 y |a − sk | ≥ δ. Ahora dado que P∞ δ k=1 vk (x) = 1 tenemos que si |x − a| < 4 entonces ˜ − f(a)| ≤ |f(x)

∞ X

vk (x)|f(sk ) − f(a)| <

k=1

Proposición 5.3.4 (Teorema de Lusin). Sean E ⊆ Resn de medida de Lebesgue finita y f : E → Res una función medible . Dado ε > 0 existe un conjunto compacto K ⊆ E tal que µ(E − K) ≤ ε y la restriccioón de f a k es continua Demostración. como 0 = limk→∞ µ({x ∈ E : |f(x)| > k}) vemos que para ε > 0 existen M > 0 y Eε ⊆ E tales que µ(E − Eε ) ≤ ε y |f| ≤ M si x ∈ Eε . Lo que muestra que es suficiente probar el teorema para el caso en que f es acotada. Consideremos inicialmente el caso en que f ≥ 0. Veamos que el resultado es válido para funciones simples no negativas. Pr Sea ϕ = k=1 ck χEk una función simple, dado ε > 0 para cada k existe un compacto Fk ⊆ Ek tal que µ(Ek − Fk ) < 2ε . S Tomemos K = rk=1 Fk . La restricción de ϕ a K es continua (pués ϕ es constante en cada Fk , los cuales son dos a dos disjuntos) y µ(E − K) < ε. 79

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) Ahora para f existe una sucesión de funciones simples no negativas (ϕj )j∈N tales que ϕj → f uniformemente.Para cada j existe Kj compacto tal que Kj ⊆ E , µ(E − kj ) ≤ 2εj y adeás la restricción de ϕj a kj es continua. Tomando K = T j∈N Kj vemos que K es compacto y µ(E − K) ≤ ε, también como ϕj → f uniformemente entonces f restricta a K es continua. En el caso general f = f+ − f− se aplica el resultado anterior a f+ y a f− Observación 5.3.5. Por los dos resultados anteriores es posible mostrar que: Si f : Resn → C una función Lebesgue-medible y A ⊆ Resn Lebesgue-medible con µ∗ (A) < ∞ y f(x) = 0 ∀x ∈ Resn − A. Entonces para cada > 0 existe g ∈ C0 (Resn ) tal que µ∗ ({x : f(x) 6= g(x)}) < ; además kgk∞ ≤ supx∈Resn |f(x)| Proposición 5.3.6. El conjunto C0 (Resn ) es denso en Lp (µ), 1 ≤ p < ∞. (µ medida de Lebesgue en Resn ) Demostración. Sea S como en la proposición anterior.Si s ∈ S y ε > 0 entonces existe g ∈ C0 (Resn ) tal que g(x) = s(x) excepto en un conjunto de medida menor que ε y |g| ≤ ksk∞ (teorema de Lusin). Luego 1

kg − skp ≤ 2ε p ksk∞ y el resultado se sigue por la densidad de S Corolario 5.3.7. Sean 1 ≤ p < ∞ y u ∈ Lp (Rn ) la función ϕ : Rn → Lp (Rn ) y 7→ ϕ(y) = uy 80

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) donde uy (x) = u(x − y). Es continua . Demostración. Dado > 0, por teorema anterior existe g ∈ C0 (Resn ) tal que

ku − gkp <

. 3

Como g es uniformemente continua existe δ > 0 tal que

|g(x) − g(y)| <

1

3(2µ(K)) p

si |x − y| < δ , donde K = suppg. Si kyk < δ entonces Z kg − gy kp = ( Z =(

1

|g(x) − g(x − y)|p dµ(x)) p Resn

1

|g(x) − g(x − y)|p dµ(x)) p < K∪(K+y)

3

Luego para |y| < δ tenemos

ku − uy k ≤ ku − gkp + kg − gy kp + kgy − uy kp <

Definición 5.3.8. Sean f, g : Resn → C definimos el producto de convolución R f∗ g(x) = Rn f(x − y)g(y)dy, para los valores de x donde esta integral tenga sentido. En las condiciones de la definición vale 1. f∗ g = g∗ f 81

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) 2. f∗ (h∗ g) = (f∗ h)∗ g 3. f∗ (g + h) = f∗ g + f∗ h Proposición 5.3.9. f, g ∈ L1 (Rn ) entonces

f∗ g(x) < ∞ en µ − casi todas partes y kf∗ gk1 ≤ kfk1 .kgk1

Demostración. Z

Z

Z

|f∗ g|dx ≤ Resn

pués

R Resn

|f(x − y)|dx Rn

|g(y)|dy ≤ kfk1 kgk1 Rn

|f(x − y)|dy = kfk1 .

Teorema 5.3.10. Si f ∈ Lp (µ), p ∈ [1, ∞) y g ∈ L1 (µ) entonces f∗ g ∈ Lp , kf∗ gkp ≤ kfkp kgk1 ,

Demostración. Z |(f∗ g)(x)| = f(x − y)g(y)dy n Z R 1 1 = g p (y)g q (y)f(x − y) Rn Z 1/q 1 p ≤ kgk q |g(y)||f(x − y)| dy Rn

Z |f∗ g| dx ≤ kgk p

Rn

p q L1

Z

Z |g(y)|(f(x − y))p dydx Rn

Rn

p q

= kgk1 kgk1 kfkpp 82

(5.3) (5.4) (5.5)

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ)

Proposición 5.3.11 (Teorema de Young). Sean p, q, r, ∈ [1, ∞) con

1 1 + = p q

1 + 1. Si f ∈ Lp (Resn ), g ∈ Lq (Resn ) entonces f∗ g ∈ Lr (Resn ). y kf∗ gkr ≤ r kfkp kgkq Demostración. Sin perdida de generalidad supongamos que kfkp = kgkq = 1. Probaremos el resultado para funciones no negativas , el resultado general se sigue de este, tomando |f| y |g|. Usando la desigualdad de Holder para tres funciones, ver ejercicios, tenemos Z

h

f∗ g(x) =

p r

f(y) g(x − y)

q r

i

p

q

f(y)1− r g(x − y)1− r dy

Resn

Z

f(y)p g(x − y)q dy

≤

1r Z f(y)

(1− pr )q 0

10 Z q

g(x − y)

dy

Resn

Resn

Resn

donde p 0 , q 0 son los exponentes conjugados de p y q respectivamente. Note que 1 1 1 1 1 1 + 0 + 0 = + (1 − ) + (1 − ) = 1 r q p r q p Además (1 −

p 0 1 1 1 )q = p( − )q 0 = p(1 − )q 0 = p; r p r q

(1 −

q 0 1 1 1 )p = q( − )p 0 = q(1 − )p 0 = q. r q r p

Luego

Z

p

f∗ g(x) ≤

q

f(y) g(x − y) dy Resn

o

83

1r ,1,1,

0 (1− qr )p

10 p

dy

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ)

Z r

f(y)p g(x − y)q dy

(f∗ g) (x) ≤ Resn

esto es (f∗ g)r ≤ fp∗ gq . Por proposición anterior tenemos Z Resn

(f∗ g)r dx ≤ kfp∗ gq k1 = kfp k1 kgq k1 = kfkpp kgkqq = 1

P Definición 5.3.12. α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn , αi ∈ N∪{0}, |α| = ni=1 αi , ∂α ϕ ≡ ∂|α| ϕ ∂xα1 1 ...∂xαnn n Decimos que ϕ ∈ C∞ 0 (Res ) si ϕ tiene soporte compacto y existe y son continuas las funciones ∂α ϕ , ∀α ∈ Nn Ejemplo 5.3.13.     ϕ(x) =

1 2 e 1 − kxk −

si kxk < 1,

   0

en otros casos.

n ϕ ∈ C∞ 0 (R )

Si se define J(x) = R

1 ϕ entonces ϕdx Rn J∈

n C∞ 0 (R )

Z y

84

Jdx = 1

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ) Tomemos Jε (x) = ε−n J Jε ∈

x ε

n C∞ 0 (R );

para ε > 0

Z Jε dx = 1

SuppJε = B[0, ε] Dada f ∈ Lp (Rn ), f∗ Jε ∈ C∞

∂α (f∗ Jε ) = f∗ ∂α Jε Teorema 5.3.14. Si f ∈ Lp (Rn ) entonces f∗ Jε → f en Lp (Rn ) Demostración.

|f∗ Jε (x) − f(x)| =

(5.6)

Z = f(x − y)Jε (y)dy − f(x) Z = Jε (y)(f(x − y) − f(x))dy Z

1/q Z

q

≤

|f∗ Jε − f| dx ≤ K(µ (B[0, ε])) ∗

p q

Rn

luego

1/p |f(x − y) − f(x)| dy (5.9) B[0,ε]

Z p

Z

Z |f(x − y) − f(x)|p dydx Rn

B[0,ε]

Z |f∗ Jε − f| dx ≤ K(µ (B[0, ε])) p

(5.8) p

(Jε (y)) dy B[0,ε]

(5.7)

∗

Rn

p q

Z kfy − fkp dy B[0,ε]

85

5.4. EJERCICIOS n p n Corolario 5.3.15. C∞ 0 (R ) es denso en L (R )

Demostración. Sea f ∈ Lp (Rn ). Dado > 0 por el teorema de la convergencia dominada existe k ∈ N tal que

f − χB(0,k) f < p 2

Luego existe un δ > 0 tal que Jδ∗ χB(0,k) f − χB(0,k) f p < 2 , note que Jδ∗ χB(0,k) f tiene soporte compacto (por qué?).

Luego f − Jδ∗ χB(0,k) f p <

5.4.

Ejercicios

1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,1 < pk < ∞, k = 1, · · · , N con

Pn

1 k=1 pk

=

1 y fk ∈ LPk (µ), k = 1, · · · , N muestre que kf1 .f2 · · · fN k1 ≤ kf1 kp1 kf2 kp2 · · · kfN kpN 2. Sean (X, M, µ) un espacio de medida con µ(X) < ∞. Muestre que si 1 ≤ p < q < ∞ entonces Lq (µ) ⊆ Lp (µ) 3. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,p, q, r ∈ [1, ∞). Si

1 r

=

1 p

+

1 q

y

f ∈ Lp (µ), g ∈ Lq (µ) muestre que kfgkr ≤ kfkp kgkq 4. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < r < q < ∞ .Muestre que Lp (µ) ∩ Lq (µ) ⊆ Lr (µ) 5. Sean (X, M, µ) un espacio de medida. Muestre que L∞ (µ) ⊆ L1 (µ) si y sólo si µ(X) < ∞ 6. Sean (X, M, µ) un espacio de medida con µ(X) < ∞. Muestre que si f ∈ L∞ (µ) entonces limp→∞ kfkp = kfk∞ 86

5.4. EJERCICIOS 7. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f ∈ Lp (µ), 1 ≤ p < ∞ .Muestre que el conjunto E = {x ∈ X : kf(x)k = 6 0} es σ-finito, Muestre además que limn→∞ µ(En ) = 0 donde En = {x ∈ X : kf(x)k ≥ n} 8. Suponga que X = N, M = P(N) y µ la medida de conteo en N.Mostrar que si f ≥ 0 entonces

R X

P∞

fdµ =

f ∈ L1 (µ) si y sólo si

P∞ n=1

n=1

f(n)

|f(n)| < ∞

9. Sean (X, M, µ) un esapcio de medida y f ∈ Lp (µ) 1 ≤ p < ∞ Muestre la desigualdad de Markov ∀ > 0, µ({x ∈ X : |f(x)| ≥ } ≤

kfkp p

10. Sea f una función integrable en un espacio de probabilidad (X, M, µ) R R muesre que e X fdµ ≤ X ef dµ 11. Suponga que X = N, M = P(N) y µ la medida de conteo en N .Muestre que si f ∈ Lp (µ) entonces f ∈ Ls (µ) donde 1 ≤ p ≤ s < ∞ y además |fks ≤ kfkp 12. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f, g ∈ Lp (µ), 1 < p < ∞ con kfkp 6= 0 6= kgkp .Muestre que si kf + gkp = kfkp + kgkp entonces f kfkp

=

g kgkp

13. Sean f, g : Rn → R con soporte compacto . Si existe f ∗ g muestre que supp(f ∗ g) ⊆ supp(f) + supp(g)

87

CAPÍTULO 6 Algunos tipos de convergencia

6.1.

Definiciones

Definición 6.1.1. Sean (X, M, µ) espacio de medida,(fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f una función medible fn → f cuando n → ∞: Puntualmente. Si ∀ε > 0 ∃N(ε, x) tal que |fn (x) − f(x)| < ε si n ≥ N. En µ casi todas partes. Si existe E ∈ M, µ(E) = 0 tal que fn → f(x) puntualmente en X − E. Uniformemente. Si ∀ε > 0 ∃N(ε) tal que ∀x ∈ X, |fn (x) − f(x)| < ε si n≥N En Lp (µ). Si ∀ε > 0 ∃N ∈ N tal que kfn − fkp ≤ ε „ n ≥ N Casi uniformemente. Si ∀δ > 0 existe E ∈ M, µ(E) < δ tal que fn → f uniformemente en X − E. 88

6.1. DEFINICIONES En medida. Si ∀α > 0 , l´ım µ{x ∈ X : |fn (x) − f(x)| ≥ α} = 0. n→∞

Miremos algunos ejemplos y comentarios de comparación. 1. Sea fn = X[n,n+1] , fn → 0 puntualmente pero no uniformemente, además 1 1 para α = , µ{x ∈ X : |fn (x)| ≥ } = 1, ∀n ∈ N luego fn no converge 4 4 a 0 en medida. kfn kp = 1, por lo tanto tampoco tenemos convergencia en Lp (µ), 1 ≤ p≤∞ 2.

X[0,n] , p ≥ 1, fn → 0 uniformemente en X pero fn no converge a 0 en n1/p R Lp (µ), 1 ≤ p < ∞, R |f|p dµ = 1 , ∀n ∈ N

3. Si fn → f en L∞ entonces existe E ∈ M, µ(E) = 0 tal que |fn (x) − f(x)| < kfn − fk∞ ; ∀x ∈ X − E. Luego fn → f uniformemente en X − E. 4. Convergencia uniforme implica convergencia puntual, casi uniforme y en medida. 5. fn = X[− 1 , 1 ] converge casi uniformemente pero no uniformemente. n n

6. Sean X = [0, 1], µ medida de Lebesgue consideremos

1 1 1 1 2 2 1 [0, 1], 0, , , 1 , 0, , , , , 1 , 0, ... 2 2 3 3 3 3 4 y fn = χIn ,

R R

|fn |p = µ(In ) luego, fn → 0, en Lp (µ).

De otro lado ∀x ∈ [0, 1], existen (fnj (x))j∈N , tal que fnj (x) = 1, ∀j ∈ N y (fnk (x))k∈N , tal que fnk (x) = 0, ∀k ∈ N. Esto nos dice que para ningún valor de x se tiene convergencia puntual. 89

6.2. EJEMPLOS 7. De la prueba de la completez de los espacios Lp (µ) 1 ≤ p < ∞ se vió que si fn → f en Lp (µ) entonces existe una subsucesión (fni )i∈N tal que fni → f en µ-casi todas partes.

6.2.

Ejemplos

Proposición 6.2.1. Sean (X, M, µ) espacio de medida (fn )n∈N sucesión en Lp (µ) . Si fn → f uniformemente, y µ(x) < ∞, entonces fn → f en Lp Demostración. εp si n ≥ N. Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que |fn (x) − f(x)|p < µ(X) R Luego, X |fn − f|p dµ < εp , si n ≥ N lo que muestra que f ∈ Lp (µ) y que kfn − fkp < ε, si n ≥ N. Proposición 6.2.2. Sean (X, M, µ) espacio de medida (fn )n∈N sucesión en Lp Si fn → f en Lp (µ), 1 ≤ p < ∞ entonces fn → f en medida.   En }|α { z Demostración. Dado α > 0, veamos que l´ım µ {x ∈ X : |fn (x) − f (x) |≥ α} = 0. n→∞

Dado ε > 0, ∃N ∈ N tal que si n ≥ N entonces

R X

|fn − f|p dµ < εp

Z p

α

µ(Enα )

|fn − f|p dµ < εp

≤ En α

Así, µ(Enα ) <

ε p α

Proposición 6.2.3. Sean (X, M, µ) espacio de medida y (fn )n∈N una sucesión de 90

6.2. EJEMPLOS funciones medibles. Si fn → f casi uniformemente entonces fn → f en medida. Demostración. Dado α > 0 y ε > 0 existe Eε ∈ M µ(Eε ) < ε tal que fn → f uniformemente en X − Eε . Luego para n suficientemente grande el conjunto {x ∈ X : |fn (x) − f(x)| ≥ α} esta contenido en Eε

Proposición 6.2.4. Lema Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles. Si (fn )n∈N es de Cauchy en medida, entonces existem (fni )i∈N y f función medible tales que fni → f en medida , en µ-casi todas partes y casi uniformemente. Demostración. (fn )n∈N de Cauchy en medida,

∀α > 0,

l´ım µ{x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| ≥ α} = 0

m,n→∞

∀ε > 0, ∃N; si n, m ≥ N µ({x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| ≥ α}) < ε Existe (fni )i∈N tal que    Ei = {x ∈ X : |fni+1 − fni | ≥ 1 } 2i   µ(Ei ) < 1 2i Tomemos Fk =

S∞

i=k

Ei , µ(Fn ) <

1 2k−1

91

6.2. EJEMPLOS Note que si i ≥ j ≥ k, x ∈ / Fk entonces |fni − fnj | ≤ |fni − fni−1 | + ... + |fnj+1 − fnj | < <

1 2i−1 1 2j−1

+ ... +

1 2j

(6.2)

.

(6.3)

(fni ) converge uniformemente en X − Fk T Definamos F = Fk

F ∈ M, µ(F) = l´ım µ(Fk ) = 0 k→∞

y f(x) =

(6.1)

    l´ım fni (x)

si x ∈ /F

  0

si x ∈ F

i→∞

f es medible. fni → f µ − casi todas partes además fni → f casi uniformemente

dados ε > 0, α > 0 Tomemos k ∈ N tal que µ(Fk ) <

1 2k−1

< m´ın{α, ε}

Para i ≥ k µ {x ∈ X : |fnj (x) − f(x)| ≥ α} ≤ µ(Fk ) < ε fni → f en medida.

92

6.2. EJEMPLOS Proposición 6.2.5. Sea (fn )n∈N sucesión de funciones medibles, (fn ) de Cauchy en medida, entonces existe f medible tal que fn → f medida. f es únicamente determinada, excepto por un conjunto de medida nula Demostración. Demostración: Sabemos que existen (fni )i∈N , f medibles, fni → f en medida. Veamos que fn → f en medida. Dado α > 0 A = {x ∈ X : |fn (x) − f(x)| ≥ α} Bi = {x ∈ X : |fn (x) − fni (x)| ≥

α } 2

Ci = {x ∈ X : |fni (x) − f(x)| ≥

α } 2

Note que A ⊆ Bi ∪ Ci ∀i ∈ N de donde se obtiene la convergencia deseada

Supongamos que fn → fyfn → g en medida. Dado α > 0 E = {x ∈ X : |f(x) − g(x)| ≥ α}, α > 0 Fn = {x ∈ X : |fn (x) − g(x)| ≥

α } 2

Gn = {x ∈ X : |fn (x) − f(x)| ≥

α } 2

E ⊆ Fn ∪ Gn , ∀n ∈ N lo que garantiza que f = g en µ-casi todas partes.

Proposición 6.2.6. Si (fn )n∈N es casi uniformemente de Cauchy entonces existe f 93

6.2. EJEMPLOS medible tal que fn → f en µ-casi todas partes y fn → f casi uniformemente Demostración. Dado k ∈ N, ∃Ek ∈ M, 1 µ(Ek ) < k , (fn )n∈N converge uniformemente en X − Ek . 2 S∞ 1 Si Fk = j=k Ej luego, µ(Fk ) < k−1 2 y F1 ⊇ F2 ⊇ ..., µ (∩Fk ) = 0.   l´ım fn (x) si x ∈ X − Fk , Sea gk (x) = fn → gk uniformemente en X − Fk   0 si x ∈ Fk . De otro lado como Fk ⊇ Fm si k ≤ m, entonces gk = gm en X − Fk

f(x) =

    l´ım fn (x)

si x ∈ X − ∩Fk ,

  0

en caso contrario.

n→∞

f medible fn → f en µ-casi todas partes . Los resultados presentados hasta aqui pueden ser resumidos en el siguientes gráfico , donde se denota : convergencia en µ-casi todas partes (ctp), convergencia en medida (m), convergencia casi uniforme (cu), convergencia en Lp (µ) (Lp ), 1 ≤ p < ∞. Además cuando se estudia convergencia en Lp (µ) se asume que la sucesión de funciones pertenece a Lp (µ) . Cuando de un tipo de convergencia se sigue otro, se usa una la línea continua. Cuando sólo es posible garantizar la existencia de una subsucesión convergente se usa una línea puntillada .

Sean (X, M, µ) un espacio de medida y (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles 94

6.3. TEOREMA DE EGOROFF

6.3.

Teorema de Egoroff

Proposición 6.3.1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y (fn )n∈N una sucesión en Lp (µ) i Si fn → f en µ-casi todas partes y existe g ∈ Lp (µ) tal que |fn | < g entonces fn → f en Lp (µ) ii Si fn → f en medida y existe g ∈ Lp (µ) tal que |fn (x)| ≤ g(x) µ-casi todas partes entonces f ∈ Lp (µ), fn → f en Lp (µ) Demostración. i Como fn → f µ-casi todas partes entonces |f| ≤ g µ-casi todas partes . |fn − f|p ≤ (2|g|)p luego f ∈ Lp (µ). Por Teorema de la convergencia R dominada X |fn −f|p dµ → 0 cuando n → ∞ y por lo tanto kfn −fkp → 0 ii Supongamos que fn no converge a f en LP (µ). Existe ε > 0 (fnj )j∈N , kfnj − fkp > ε(∗) fnj → f en medida.

95

6.3. TEOREMA DE EGOROFF Existe (fnik )k∈N , fnik → f cuando k → ∞ en µ-casi todas partes Usando (i) kfnik − fkp → 0 lo que contradice (*) Sean (X, M, µ) un espacio de medida , (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y g una función en Lp (µ), 1 ≤ p < ∞ tal que |fn | ≤ g∀n ∈ N. La siguiente gráfica, con las convenciones asumidas anteriormente, ilustra los resultados probados.

Proposición 6.3.2 (Ergoroff). Sea (X, M, µ) espacio de medida., (fn )n∈N funciones medibles, µ(X) < ∞ Si fn → f µ-casi todas partes entonces fn → f casi uniformemente. Demostración.

En (m) =

∞ [

{x ∈ X : kfk (x) − f(x)k ≥

k=n

Em+1 (m) ⊆ En (m) µ

\

En = 0

Así l´ım µ(En (m)) = 0 n→∞

96

1 } m

6.3. TEOREMA DE EGOROFF Sea ε > 0 existe Enm (m) tal que

µ (Enm (m)) <

Consideremos F =

S∞

m=1

Enm µ(F) <

ε 2m

ε 2

fn → f uniformemente en X − F. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,con µ(X) < ∞ y (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles

Ejemplo 6.3.3. Sean (X, m, µ) un espacio de medida , (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f medible. Si fn , f ∈ Lp (µ)(1 ≤ p < ∞), ∀n ∈ N , fn → f en µ-casi todas partes y kfn kp → kfkp entonces kfn − fkp → 0. Como la función xp , x > 0 1 ≤ p < ∞ es convexa entonces

x+y 2

p ≤

xp + y p 2

(x + y)p ≤ 2p−1 (xp + yp ) luego

97

6.3. TEOREMA DE EGOROFF |fn − f|p ≤ 2p−1 (|fn |p + |f|p ) 2p−1 (|fn |p + |f|p ) − |fn − f|p ≥ 0 Z l´ım inf 2p−1 (|fn |p + |f|p ) − |fn − f|p dµ X

Z 2p−1 (|fn |p + |f|p ) − |fn − f|p dµ

≤ l´ım inf X

Z 2

Z

|f| dµ ≤ 2

p

p

Z |f| dµ − l´ım sup

p

|fn − f|p dµ

p

X

X

Z

|fn − f|p dµ ≤ 0

l´ım sup X

Miremos otra solución. Definamos Ak = {x ∈ X :

1 < |f(x)|p < k} k

Z

Z |f(x)| dµ →

|f|p dµ

p

Ak

X

Dado ε > 0 existe k ∈ N tal que Z |f|p dµ < X−Ak

Existe B ⊆ Ak , µ(X − B) <

ε 2

ε tal que fn → f uniformemente en B (Egoroff) 2k

Hagamos A = X − B Fatou

Z

Z |f| dµ ≤ l´ım inf

|fm |p dµ

p

Z

B

Z |f| dµ −

|f| dµ ≤ l´ım inf

p

X

B

p

A

Z

|fn | dµ

|f| dµ − X

98

Z p

p

A

6.4. EJERCICIOS Z

Z

Z

|f| dµ − X

Z

Z

|f| dµ ≤

p

|f| dµ − l´ım sup

p

A

Z

|fn |p dµ

p

A

A

ε + kµ(Ak ) = ε 2 A A Z Z Z p p p p−1 |fn | + |f| < ε |fn − f| dµ ≤ 2

l´ım sup

A

|f|p dµ ≤

|f|p dµ <

A

Z

A →

|fn − f|p dµ n → ∞ 0 B

Luego kfn − fkp → 0

6.4.

Ejercicios

1. Muestre que el lema de Fatou continua válido si se en lugar de convergencia en µ-casi todas partes se usa convergencia en medida 2. Muestre que el teorema de la convergencia dominada continua válido si se en lugar de convergencia en µ-casi todas partes se usa convergencia en medida 3. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,µ(X) < ∞ y f una función medible. Si r(f) =

R

|f| dµ. Muestre que una sucesión de funciones medibles, (fn )n∈N , X 1+|f|

converge en medida a f si y sólo si r(fn − f) → 0. 4. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,(fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f una función medible. Para cada > 0 y m ∈ N, si Am = {x ∈ X : |fm (x) − f(x)| ≥ }.Muestre que fn → f casi uniformemente si y sólo si limn→∞ µ(∪∞ m=n Am ) = 0

99

6.4. EJERCICIOS ∞ fn → f en µ-casi todas partes si y sólo si µ(∩∞ n=1 ∪m=n Am ) = 0

5. Sean (X, M, µ) un espacio de medida ,(fn )n∈N y (gn )n ∈ N sucesiones de funciones medibles. Si fn → f y gn → g en medida muestre que |fn | → |f| en medida fn ± gn → f ± g en medida si para cada n ∈ N fn (x) = gn (x) en µ- casi todas partes entonces f(x) = g(x) en µ-casi todas partes

100

CAPÍTULO 7 Cargas

7.1.

Teorema de descomposición de Hahn

´ Definición 7.1.1. Sea M una σ − algebra en X; λ : M → R es denominada carga si: 1. λ(φ) = 0 2. Si {Ei }∞ i=0 una familia disyunta en M ! ∞ ∞ [ X λ Ei = λ(Ei ) i=1

i=1

Observación 7.1.2. Note que la convergencia de la serie debe ser absoluta, de lo contrario una reorganización de los conjuntos modificaría el valor de la carga. S P Si {Ei }ni=1 es una familia disyunta en M, entonces λ ( ni=1 Ei ) = ni=1 λ(Ei ).. Una carga puede tomar valores negativos (a diferencia de lo pedido para una medida) , además si A, B ∈ M, A ⊆ B entonces λ(B − A) = λ(B) − λ(A).

101

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN Ejemplo 7.1.3.

Sean (X, M) espacio medible y µ, φ medidas finitas sobre

M entonces λ = µ − φ es una carga Sean (X, M, µ) un espacio de medida y f ∈ L1 (µ) entonces λ(E) =

R E

fdµ

es una carga Proposición 7.1.4. Sean M una σ-álgebra en X y λ una carga. Si (Ai )i∈N es una familia de conjuntos en M tal que A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ... ⊆, S entonces l´ım λ(An ) = λ ( ∞ n=1 An ) n→∞

Demostración. Hagamos E1 = A1 , En = An − An−1 para n > 1 luego (En )n∈N S S es una familia disjunta en M y n∈N En = n∈N An

! λ

[

En

=

n∈N

∞ X

λ(Ei )

(7.1)

i=1

= =

l´ım n→∞

n X

λ(Ei )

(7.2)

i=1

l´ım λ(An ).

(7.3)

n→∞

Observación 7.1.5. Si A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ... entonces l´ım λ(An ) = λ n→∞

T

n∈N

An

Definición 7.1.6. Sea λ una carga en X. Decimos que A es positivo con respecto a λ si λ(E ∩ A) ≥ 0 ∀E ∈ M. Decimos que B es negativo con respecto a λ si λ(E ∩ B) ≤ 0, ∀E ∈ M. Decimos que C es nulo con respecto a λ, si λ(E ∩ C) = 0, ∀E ∈ M. Teorema 7.1.7 (Descomposición de Hahn). Dada λ una carga, existen P, N ∈ M, 102

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN P positivo con respecto a λ,N negativo con respecto a λ tales que P ∩ N = φ; P ∪ N = X. Demostración. Definamos P = {P ∈ M : P es positivo con respecto a λ}, P es no vacío (φ ∈ P) llamemos α = sup λ(P). p∈P

Escojamos A1 ⊆ A2 ⊆ ... tales que λ(An ) → α S Definamos P = ∞ n=1 An luego

0 ≤ λ(E ∩ P) = λ

∞ [

! (An ∩ E)

n=1

Veamos que N = X − P es negativo con respecto a λ Supongamos que no, luego existe E ⊆ X − P = N, λ(E) > 0, ahora E ∈ / P caso contrario P ∪ E es un conjunto positivo con respecto a λ y λ(P ∪ E) > λ(P). 1 y Sea n1 ∈ N el menor natural tal que existe E1 ⊆ E tal que λ(E1 ) ≤ − n1 λ(E − E1 ) > 0, Ahora E − E1 ∈ / P, por identica razón. 1 Sea n2 el menor natural. E2 ⊆ E − E1 , λ(E2 ) ≤ − . n2 Razonando de igual manera tenemos que {Ek }k∈N es una familia disjunta de con S P 1 juntos y λ k∈N Ek ≤ − ∞ k=1 nk P∞ 1 1 Luego k=1 converge y asi nk → 0 cuando k → ∞ nk S Obsérvese además que λ (E − ∞ i=1 Ei ) > 0 S Veamos que E − ∞ k=1 Ek ∈ P lo que sería una contradicción . S 1 Si ∃G ⊆ E − ∞ k=1 Ek tal que λ(G) < 0 entonces ∃nk , tal que λ(G) < nk − 1 contradiciendo la minimalidad de nk . Observación 7.1.8.

La descomposicíón de Hahn no es única.

Sea (P, N) un adescomposicón de Hahn y C ∈ M un conjunto nulo con realción a λ Entonces P ∪ C, N − C es también una descomposición de 103

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN Hahn. Sean (P1 , N1 ), (P2 , N2 ) dos descomposiciones de Hahn para λ Dado E ∈ M, λ(E ∩ P1 ) = λ(E ∩ P2 ), λ(E ∩ N1 ) = λ(E ∩ N2 ) pues

λ(E ∩ (P2 − P1 )) = 0

λ(E ∩ (P1 − P2 )) = 0 luego λ(E ∩ P1 ) = λ(E ∩ P1 ∩ P2 ) = λ(E ∩ P2 ) La observación anterior le da sentido a la siguiente definición Definición 7.1.9. Sean X un conjunto no vacío , M una σ-álgebra , λ una carga y (N, P) una descoposición de Hahn definimos para cada E ∈ M

λ+ (E) = λ(E ∩ P), λ− (E) = −λ(E ∩ N), |λ|(E) = λ+ (E) + λ− (E)

Observación 7.1.10.

λ+ ,λ− son medidas finitas además λ = λ+ − λ−

si λ = µ − ϕ con µ y ϕ medidas finitas.

λ+ (E) = λ(E ∩ P) = µ(E ∩ P) − ϕ(E ∩ P) ≤ µ(E ∩ P) ≤ µ(E)

luego λ+ ≤ µ Análogamente

λ− (E) = −λ(E ∩ N) = ϕ(E ∩ N) − µ(E ∩ N) ≤ ϕ(E)

luego λ− ≤ ϕ. 104

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM Ejemplo 7.1.11. Sean (X, M, µ) un espacio de medida f ∈ L1 (µ) entonces λ(E) = R fdµ es una carga y E Z

Z +

+

−

f− dµ

f dµ, λ (E) =

λ (E) = E

E

Z |λ|(E) =

|f|dµ E

Además P = {x : f(x) ≥ 0}, N = {x : f(x) < 0} es una descomposición de Hahn.

7.2.

Teorema de Radon-Nikodym

Definición 7.2.1. Sean (X, M, µ) un espacio de medida y ϕ una medida ( o una carga) en X. Decimos que ϕ es absolutamente continua en relación a µ, ϕ µ, si para cada A ∈ M con µ(A) = 0 entonces ϕ(A) = 0. Lema 7.2.2. Si ϕ y ,µ son medidas tales que ϕ µ entonces ∀ε > 0, ∃δ(ε) tal que si µ(E) < δ entonces ϕ(E) < ε Demostración. Razonemos por el absurdo , esto es supongamos que existen ε > 0 P∞ , una sucesión (δn )n∈N tal que δn > 0 y n=1 δn < ∞ y (En )n∈N familia en M tales que µ(En ) < δn y ϕ(En ) ≥ ε. S Hagamos Fn = ∞ k=n Ek F = ∩n∈N Fn P P∞ n=1 ∞µ(En ) ≤ n=1 δn < ∞ luego µ(F) = 0. T Además ϕ(F) = ϕ ( ∞ n=1 Fn ) ≥ limsupϕ(En ) ≥ ε. 105

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM absurdo Lema 7.2.3. Sean ϕ, µ medidas finitas. Si ϕ µ y ϕ no nula, entonces existen ε > 0, A ∈ M tales que µ(A) > 0 y A es positivo con respecto a ϕ − εµ 1 Demostración. Sean (An , Bn ) Descomposición de Hahn para ϕ− µ. El resultado n es probado si mostramos que existe n ∈ N tal que µ(An ) > 0. S Caso contrario µ(An ) = 0 para todo n luego µ ( ∞ n=1 An ) = 0 y por lo tanto S ϕ( ∞ n=1 An ) . 1 ϕ(∩n∈N Bn ) ≤ ϕ(Bn ) ≤ µ(Bn ) ≤ n1 µ(X). n T∞ Así ϕ ( n=1 Bn ) = 0. Luego ϕ ≡ 0.

Absurdo.

Teorema 7.2.4 (Radon-Nicodym). Sean µ, ϕ medidas σ-finitas tales que ϕ µ entonces existe una f : X → [0, ∞) medible tal que Z fdµ ∀E ∈ M

ϕ(E) = E

Cualquier otra función que satisfaga la condición anterior es igual a f en µ-casi dϕ todas partes ,f es denotada por dµ Demostración. Supongamos ϕ, µ finitas. Z A = {g : X → [0, ∞]; medibles

gdµ ≤ ϕ(E) , ∀E ∈ M} E

i A 6= ∅ ,pues 0 ∈ A ii Si g ∈ A entonces g es finita en µ-casi todas partes

106

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM iii Si f, g ∈ A entonces máx(f, g) ∈ A ya que si definimos A1 = {x : f(x) ≥ g(x)} y A2 = {x : f(x) < g(x)} tenemos

Z

Z

Z

máx(f, g)dµ =

fdµ + A1 ∩E

E

gdµ

(7.4)

A2 ∩E

≤ ϕ(A1 ∩ E) + ϕ(A2 ∩ E) = ϕ(E)

(7.5)

iv Si (gn )n∈N es una sucesión en A entonces supn∈N gn ∈ A, para ver esto basta usar el argumento anterior y el Teorema de la convergencia monotona R gdµ y (f ) una sucesión en A tal que f dµ → α n n∈N X X n g∈A R Definamos f = supn∈N fn luego f ∈ A y X fdµ = α ≤ ϕ(X) luego f es Sea α = sup

R

integrable. Por lo tanto existe una función f finita tal que f = f µ-casi todas partes. Veamos que ϕ(E) =

R E

R fdµ ∀E ∈ M.; esto es ϕ − fdµ ≡ 0. Supongamos que

no es así. Como ϕ −

R

˜ ∈ A tales que fdµ µ por lema anterior existen ε > 0 y A

˜ >0yA ˜ es positiva con respecto a µ(A) Z ϕ − fdµ − εµ

Así, dado C ∈ M Z ˜ ≥ ϕ(C ∩ A)

˜ fdµ + εµ(C ∩ A) ˜ C∩A

107

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM y

Z ˜ ≥ ϕ(C − A)

fdµ ˜ C−A

Sumando tenemos

Z ϕ(C) ≥

˜ fdµ + εµ(C ∩ A)

(7.6)

(f + εXA˜ )

(7.7)

ZC ≥ C

Z

Z

Z

f + εXA˜ = X

f+ε

dµ > α.Absurdo. ˜ A

X

Si suponemos ahora que ϕ, µ son σ-finitas.entonces existe {An }n∈N familia S disyunta tal que µ(An ) < ∞, n∈N An = X, ϕ(An ) < ∞ Por el resultado ya probado ∀n ∈ N , ∃fn : X → [0, ∞) medible, tal que R f dµ = ϕ(An ∩ E). E∩An n Si tomamos f=

∞ X

fn XAn

n=1

obtenemos lo deseado. R Supongamos que existe g tal que para todo E ∈ M gdµ = ϕ(E) luego E R (f − g)dµ = 0 , ∀E ∈ M , así f = g en µ-casi todas partes E Definición 7.2.5. Dos medidas µ, ϕ sobre una σ-álgebra son singulares si existen A, B ∈ M , X = A ∪ B y ∅ = A ∩ B tales que µ(A) = 0 = ϕ(B) lo que se denotará por , ϕ ⊥ µ. Una carga λ en M se dice singular con µ si |λ| ⊥ µ

108

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Teorema 7.2.6. Descomposición de Lebesgue Sean µ, ϕ medidas σ-finitas sobre M luego existen ϕ1 , ϕ2 medidas tales que

ϕ = ϕ1 + ϕ2 ϕ1 µ, ϕ2 ⊥ µ

Las medidas ϕ1 , ϕ2 con ésta propiedad son únicas Demostración. Definamos λ = µ + ϕ, ésta resulta σ-finita y además

µλy ϕλ

por teorema de Radon-Nicodym existenf, g finitas y no negativas tales que Z

Z

µ(E) =

gdλ , ∀E ∈ M

fdλ y ϕ(E) = E

E

Sean A = {x ∈ X : f(x) = 0}, B = {x ∈ X : f(x) > 0} . Definamos ϕ1 (E) = ϕ(E ∩ A), ϕ2 (E) = ϕ(E ∩ B), para cada E ∈ M. Dado que µ(A) = 0 se sigue que ϕ1 ⊥ µ. De otro lado si µ(E) = 0 entonces f = 0 en λ-casi todas partes luego λ(E ∩ B) = 0, esto es ϕ2 (E) = 0. Para mostrar la unicidad basta observar que si α es una medida tal que α µ y α ⊥ µ entonces α = 0

7.3.

Teorema de representación de Riesz

Definición 7.3.1. Dada T : Lp → C operador lineal, decimos que T es acotado si existe k > 0 tal que |T (f)| ≤ kkfkp

|T (f)| p kT k = sup : f ∈ L , f 6= 0 kfkp 109

∀f ∈ Lp . Si T es acotado definimos

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Observación 7.3.2. Si T es acotado entonces kT k = sup{|T (f)| : kfkp = 1} Para mayores detalles sobre operadores lineales acotados ver. Ejemplo 7.3.3. Sean 1 < p < ∞ y (X, M, µ) un espacio de medida Dada f ∈ Lp definimos Z Tf : L → C : g 7→ Tf (g) = q

fgdµ X

donde

1 1 + =1 p q

Ahora

Z |Tf (g)| = fgdµ < kfkp kgkp

así Tf es acotado y kTf k ≤ kfkp Consideremos h˜ = sig(f)|f|p−1 , h˜ ∈ Lq ya que Z

˜q |h|

Z

X

|f|

p

=

1/q

= kfkp/q =C<∞ p

X

Como f 6= 0 hagamos h =

1˜ h luego C

1 |Tf (h)| = C

Z |f|p = X

kfkpp p/q

kfkp

= kfkp

luego, kTf k = kfkp Ejemplo 7.3.4. Sea (X, M, µ) espacio de medida con µ σ -finita.

110

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Dado f ∈ L∞ definamos Z Tf : L → C : g 7→ 1

fgdµ X

Así |Tf | ≤ kfk∞ kgk1 Luego Tf es acotado y kTf k ≤ kfk∞ S Sea X = ∞ n=1 An con µ(An ) < ∞ (A1 ⊆ A2 ⊆ ...) dado η > 0, 0 < η < kfk∞ definamos Eη = {x : |f(x)| ≥ kfk − η} y

h = sig(f)χEη χAn

se puede ver que h ∈ L1 . Ahora

Z |f|dµ ≥ (kfk∞ − η)µ(Eη ∩ An )

|Tf (h)| = Eη ∩An

∀η > 0,

∃h˜ ∈ L1 , , h˜ =

h 6= 0 para n suficientemente grande µ(An ∩ Eη )

˜ ≤ 1. tenemos que khk ˜ ≥ kfk∞ − η. Luego kTf k ≥ |Tf (h)| Teorema 7.3.5 (Teorema de representación de Riesz). Sean (X, M, µ) espacio de medida, µ σ-finita. T : Lp → R (1 ≤ p < ∞) operador lineal acotado. Entonces ∃!g ∈ Lq ( p1 +

1 q

= 1) tal que Z fgdµ, ∀f ∈ Lp , con kT k = kgk

T (f) = X

Demostración. Supongamos inicialmente que µ(X) < ∞ y dividamos la prueba 111

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ en las siguientes etapas se define η(E) = T (χE ), E ∈ M y se muestra que η es una carga con ηµ Usando el Teorema de Radon-Nicodym existe

dµ dη

= g y se muestra que

g ∈ Lq Se muestra que T (f) =

R X

fgdµ ,∀f ∈ Lp

Finalmente se discute el caso en que µ es σ-finita. Veamos que η es una carga: η(∅) = 0, η(X) = |T (1)| < ∞. dado {Ei }i∈N familia disyunta en M. Si An = ∪nk=1 Ek entonces {χAn }n∈N converge a χE , donde E = ∪n∈N En . Por el Teorema de la convergencia dominada tenemos que Z |χAn − χE |p dµ = 0

limn→∞ X

también |T (χE − χAn )| ≤ K k χE − χAn kp y por lo tanto limn→∞ |T (χE − χAn )k = 0. De la linealidad de T se sigue que η(E) = T (χE ) = limn→∞ T (χAn ) = 0. P P P Dado que χAn = nk=1 χEk entonces η(E) = limn→∞ nk=1 T (χEk ) = limn→∞ nk=1 η(Ek ) = P∞ k=1 η(Ek ). Supongamos ahora que µ(E) = 0 entonces kχE kp = 0 luego |T (χE )| ≤ K kχE kp = 0 112

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ y por lo tanto |η(E)| = 0, así η µ. Por el teorema de Radon-Nikodym existe g(x) =

dµ dη

, g es una función real y Z gdµ, ∀E ∈ M

T (χE ) = E

por la linealidad de T vemos que para cada función simple no negativa s tenemos que

Z sgdµ

T (s) = X

Supongamos inicialmente que 1 < p < ∞. Tomemos {sk }k∈N sucesión de funciones simples tales que s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ |g|p y limk→∞ sk = |g|p . Definamos A = {x ∈ X : g(x) ≥ 0} y B = {x ∈ x : g(x) < 0}. 1

Hagamos ϕn (x) = (χA −χB )(sn (x)) p , x ∈ X. La sucesión {ϕn }n∈N de funciones simples medibles es tal que Z 1 kϕn kp = ( sn dµ) p . X

Además 1

1

g(x)ϕn (x) = |g(x)| (sn (x)) p y (sn (x)) q ≤ |g(x)| Luego 1

1

g(x)ϕn (x) ≥ (sn (x)) p + q = sn (x) así

Z

Z

0≤

sn dµ ≤ X

ϕn gdµ ≤ T (ϕn ). X

113

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Entonces Z

Z

1

sn dµ ≤ |T (ϕn )| ≤ kT k kϕn kp = kT k ( X

sn dµ) p X

esto es

Z

1

sn dµ)1− p ≤ kT k

( x

es decir

Z sn dµ ≤ kT kq X

Por el teorema de la convergencia monotona tenemos que Z |g|q dµ ≤ kT kq . X

Lo que muestra que g ∈ Lq y kgkq ≤ kT k en el caaso que (1 < p < ∞). Miremos ahora el caso P = 1 (q = ∞) Desamos probar que kgk∞ ≤ kT k. Caso contrario la función simple ψ = (χA − χB )χC donde C = {x ∈ X : |g(x)| ≥ kT k} no sería nula y Z |g| dµ > kT k µ(C) = kT k kψk1

T (ψ) = C

lo que es una contradicción. R Mostremos que T (f) = x fgdµ, ∀f ∈ LP . Dada f ∈ Lp existe {sn }n∈N sucesión de funciones simples tal que l´ımn→∞ kf − sn k = 0. Por la continuidad de T (T es cotado) se tiene que T (f) = l´ımn→∞ T (sn ). Usando

114

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ la desigualdad de Holder tenemos que Z Z Z fgdµ − sn gdµ ≤ |f − sn | gdµ ≤ kf − sn k kgk p q x

X

X

Luego

Z

Z

limn→∞

sn gdµ = X

fgdµ X

y así

Z

Z T (f) = limn→∞ T (sn ) = limn→∞

fgdµ

sn gdµ = X

X

para ver que kT k = kgkq usaamos los ejemplos anteriores. Veamos la unicidad. R Si existe otra función g1 tal que T (f) = X fg1 dµ, ∀f ∈ Lp . R Como g − g1 ∈ Lq entonces T(g−g1 ) (f) = X (g − g1 )fdµ = 0 ∀f ∈ Lp .

entonce T(g−g1 ) = kg − g1 kq = 0. Para finalizar mostremos el caso en que µ es σ-finita. Sea {Xn }n∈N una sucesión en M tal que X1 ⊆ X2 ⊆ · · · , ∪n∈N Xn = X y µ(Xn ) < ∞ Definamos Tn (f) = T (f)∀f ∈ Lp (Xn , M ∩ Xn , µ) donde M ∩ Xn = {E ∩ Xn : E ∩ Xn } donde f es tratada, en cada caso, como una función definida en X con f = 0 en X − Xn . Por el resultado anterior existe gn ∈ Lq (Xn , M ∩ Xn , µ) tal que Z T (χXn f) =

fgn dµ Xn

donde gn es tratado como una función en L(X, M, µ) con gn = 0 en X − Xn y kgn kq ≤ kT k . Dado que la sucesión {Xn }n∈N es creciente y cada gn es únicamnte determinado, excepto por un conjunto de medidaa cero, podemos suponer que gn+1 (x) = gn (x) si x ∈ Xn . 115

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Definamos g(x) = gn (x) si x ∈ Xn . La cual satisface las condiciones deseadas. Corolario 7.3.6. Sean (X, M, µ) espacio de medida, T : Lp → R (1 < p < ∞) operador lineal acotado. Entonces ∃!g ∈ Lq ( p1 +

1 q

= 1) tal que

Z fgdµ, ∀f ∈ Lp , con kT k = kgk

T (f) = X

Demostración. Dado T : Lp → R operador lineal mostraremos que existe unconjunto A con medida σ-finita tal que Si f ∈ Lp y f = 0 en A entonces T (f) = 0; esto nos permite reducir el resultado al caso anterior, al considerar los espacios de medida (A, A ∩ M, µ) que son σ-finitos. Sea {fn }n∈N una sucesión de funciones en Lp tal que

T (fn ) ≥ kT k (1 −

1 ) con kfn kp = 1. n

Usando la desigualdad de Markov se ve que existe A con medida σ-finita tal que fn = 0 en X − A , ∀n ∈ N. Sea E un conjunto medible , de medida finita, y disjunto con A.

1

kfn ± tχE k ≤ (1 + tp µ(E)) p , t ≥ 0 Ahora T (fn ) + T (±tχE ) ≤ |T (fn ± tχE |

116

7.4. EJERCICIOS Luego 1

|T (tχE )| ≤ kT k {(1 + tp µ(E)) p − (1 −

1 )} , ∀n ∈ N n

Haciendo n → ∞ y dividiendo por t tenemos 1

(1 + tp µ(E)) p − 1 |T (χE )| ≤ kT k t Haciendo t → 0+ ( regla de L’ Hospital) vemos que T (χE ) = 0 . De ahi se sigue el resulatdo para funciones simples y por densidad para cualquier función f ∈ Lp Observación 7.3.7. El teorema de representación de Riesz es aplicable también para un operador lineal T : Lp → C para ver esto basta considerar los operadores lineales (ReT )(f) = Re(T (f)) y (ImT )(f) = Im(T (f)) y aplicar el teorema anterior

7.4.

Ejercicios

1. Sean M una σ-álgebra en X . Muestre que si λ es una carga en X entonces

λ+ (E) = sup{λ(F) : F ⊆ E, F ∈ M}

λ− (E) = −inf{λ(F) : F ⊆ E, F ∈ M} 2. Sea M una σ-álgebra en X. Defina H = {λ : λ es una carga en X} con las operaciones definidas naturalmente y kλk = |λ|(X). Muestre que H es un espacio vectorial normado y completo 3. Muetre que. Un conjunto N es nulo en relación a una carga λ si y sólo si 117

7.4. EJERCICIOS |λ|(N) = 0 4. Sean λ1 , λ2 y µ cargas .Muestre que ,si λ1 ⊥µ y λ2 ⊥µ entonces (λ1 +λ2 )⊥µ 5. Sean M una σ-álgebra en X y µ, υ, λ medidas en X. con υ(X), µ(X) < ∞, µ λ y υ λ. Muestre que si f = R |f − g|dλ X

dµ dλ

yg=

dυ dλ

entonces kµ − υk =

6. Sean M una σ-álgebra en X y µ, λ medidas σ-finitas. Muestre que si λ µ dλ y si f = dµ entonces para g función no negativa y medible en X se tiene R R gdλ = X gfdµ X

7. Sean M una σ-álgebra en X y µ, λ, υ medidas σ-finitas. Muestre que si υ λ y λ µ entonces dυ dυ dλ = en µcasi todas partes dµ dλ dµ

8. Sean M una σ-álgebra en X y µ, λ1 , λ2 medidas σ-finitas. Muestre que si λ1 µ y λ2 µ entonces

d(λ1 +λ2 ) dµ

=

dλ1 dµ

+

λ2 dµ

en µ-casi todas partes

9. Sean M una σ-álgebra en X y µ, υ medidas σ-finitas. Muestre que si µ υ y υ µ entonces

dυ dµ

=

1 dµ dυ

en µ-casi todas partes

10. Sean M una σ-álgebra en X y µ, υ medidas. Muestre que si υ µ y υ⊥µ entonces υ = 0

118

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