Recta Tangente Y Normal Definicion 4f20g

Historia Desde la época griega, la búsqueda de la recta tangente y normal a una curva en un punto ha sido uno de los asuntos que más ha interesado a los matemáticos. El problema era que el concepto de tangente se intuía, pero no se era capaz de dar una definición formal e inequívoca del mismo. Hasta que Cauchy, en 1823, definió la derivada y solventó el problema, los matemáticos intentaron obtener la tangente y normal a una curva en un punto mediante diversos e ingeniosos métodos, hoy día totalmente olvidado. Los griegos tenían la idea de que la tangente a una curva era una recta que “tocaba” a la curva sin cortarla. Hay que destacar a Euclides (325 a. C., 265 a. C.), quien analizó el comportamiento de una recta trazada por una circunferencia y formando un ángulo recto con su diámetro (ver Suzuki, 2005). Las dos propiedades que observó parecían constituir para él las características de la tangente: 1. La recta sólo tiene en común un punto con la circunferencia. 2. Es imposible interponer otra línea entre esa recta y la circunferencia.

Los griegos sabían que una recta en el mismo plano que una cónica (en el caso de la parábola o de la hipérbola, una recta no paralela a alguno de sus ejes) o la cortaba en dos puntos o la tocaba en un punto, o no la cortaba. A la recta que tocaba la cónica en un punto la llamaban tangente a la cónica en dicho punto. Por ejemplo, en el caso de la circunferencia sabían también que el radio que pasa por el punto de o es perpendicular a tal tangente, por lo que no tenían problema para trazar la tangente a una circunferencia en cualquiera de sus puntos.

PENDIENTE DE LA TANGENTE A LA CURVA:

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Es igual al valor de la derivada en cualquier punto. Se representa matemáticamente:

PENDIENTE DE LA NORMAL A LA CURVA:

Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí. Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente a la curva. Se representa matemáticamente:

Forma de ambas rectas

Aplicaciones

La recta normal se suele tener en consideración en todo tipo de problemas de dibujo de tangentes, en particular en las que involucran circunferencias y curvas cónicas. Las circunferencias tangentes entre sí o a una recta tienen el centro en la normal a su punto común. Así se considera la normal como el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes por un mismo punto. Esto permite resolver problemas de tangentes múltiples con circunferencias y rectas. En la elipse, la hipérbola y la parábola la normal es la bisectriz de los radios vectores. Esto también tiene una aplicación directa en óptica y en general en toda la física que estudia fenómenos de reflexión, ya que los rayos incidentes y reflejados son simétricos respeto a tangente y normal de la curva. Conclusiones La tangente es la posición límite de la recta secante (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto (se desplaza sucesivamente) La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.